要点梳理1. 两种增长型函数模型的图象与性质

§2.9 函数模型及其应用

基础知识 自主学习

y=ax

(a>1)y=logax

(a>1)在 (0,+∞) 上

的增减性 _______

_

_______

增长速度_______

_

_______

_

增函数 增函数

越来越快 越来越慢

函 数性

质

图象的变化随 x 增大逐渐表现为与______ 平

行

随 x 增大逐渐表现为与______ 平

行y 轴 x 轴

2. 常用的几类函数模型 (1) 一次函数模型 f(x)=kx+b (k 、 b 为常数， k≠0); (2) 反比例函数模型 (k 、 b 为常数 ,k≠0); (3) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c (a 、 b 、 c 为常数， a≠0) ； (4) 指数函数模型 f(x)=a·bx+c （ a 、 b 、 c 为常数， a≠0,b>0,b≠1 ）； (5) 对数函数模型 f （ x ） =mlogax+n （ m 、 n 、 a 为

常 数， m ≠ 0,a>0,a≠1 ） ;

bx

kxf )(

3. 求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意 图表示为

4. 实际问题中函数的定义域要特别注意 , 另外，结果 要回到实际问题中写答案 .

基础自测1. 我国为了加强对烟酒生产的宏观调控，除了应征税 外还要征收附加税，已知某种酒每瓶售价为 70 元， 不收附加税时 , 每年大约销售 100 万瓶 , 若每销售 100 元国家要征附加税为 x 元（税率 x% ） , 则每年销售量 减少 10x 万瓶，为了要使每年在此项经营中收取的附 加税额不少于 112 万元，则 x 的最小值为 （ ） A.2 B.6 C.8 D.10

解析 依题意

解得 2≤x≤8, 则 x 的最小值为 2.

,112100

70)10100( x

x

A

2. 从 1999 年 11 月 1 日起 , 全国储蓄存款征收利息税 , 利息税的税率为 20% ，由各银行储蓄点代扣代收， 某人 2000 年 6 月 1 日存入若干万元人民币，年利率 为 2% ，到 2001 年 6 月 1 日取款时被银行扣除利息税 138.64 元 , 则该存款人的本金介于 （ ） A.3~4 万元 B.4~5 万元 C.5~6 万元 D.2~3 万元 解析 设存入的本金为 x ， 则 x·2%·20%=138.64 ，

.6603440

4003861 x

A

3. 在一定范围内，某种产品的购买量 y t 与单价 x 元 之间满足一次函数关系 , 如果购买 1 000 t, 每 t 为 800 元；购买 2 000 t, 每 t 为 700 元 ; 一客户购买 400 t, 单价应该是 （ ） A.820 元 B.840 元 C.860 元 D.880 元 解析 依题意，可设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b, 由 x=800,y=1 000 及 x=700,y=2 000, 可得 k=-10,b=9 000, 即 y=-10x+9 000, 将 y=400 代入得 x=860.

C

4. 某物体一天中的温度 T( 单位：℃ ) 是时间 t( 单位： h) 的函数； T(t)=t3-3t+60,t=0 表示中午 12∶00 ，其后 t 取 正值，则下午 3 时温度为 （ ） A.8℃ B.78℃ C.112℃ D.18℃ 解析 由题意，下午 3 时， t=3 ，∴ T(3)=78℃.

B

5. 为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一 种方式其加密、解密原理如下： 明文 密文 密文 明文 已知加密为 y=ax-2 （ x 为明文 ,y 为密文），如果明 文“ 3”通过加密后得到密文为“ 6”，再发送，接 受方通过解密得到明文“ 3”，若接受方接到密文 为“ 14”，则原发的明文是 ______. 解析 依题意 y=ax-2 中，当 x=3 时， y=6,故 6=a3-2 ， 解得 a=2.所以加密为 y=2x-2 ，因此，当 y=14 时，由 14=2x-2, 解得 x=4.

加密 发送 解密

4

题型一 一次、二次函数模型【例 1】如图所示，在矩形 ABCD 中，已知 AB=a ， BC=b （ b<a ） , 在 AB ， AD ， CD ， CB 上分别截取 AE ， AH,CG, CF都等于 x ，当 x 为何值时，四边形 EFGH 的面积最 大？并求出最大面积 . 依据图形建立四边形 EFGH 的面积 S关于 自变量 x的目标函数，然后利用解决二次函数的最 值问题求出 S的最大值 .

题型分类 深度剖析

思维启迪

解 设四边形 EFGH 的面积为 S ，

则 S△AEH=S△CFG= x2,

S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x) ，

由图形知函数的定义域为 {x|0<x≤b}.

又 0<b<a,∴0<b<

2

1

2

1

,8

)()

4(2)(2

)])((2

1

2

1[2

222

2

babaxxbax

xbxaxabS

,2

ba

若 ≤ b, 即 a≤3b 时，

则当 时， S 有最大值

若 即 a>3b 时 ,S(x) 在（ 0,b］上是增函数， 此时当 x=b 时， S 有最大值为

综上可知，当 a≤3b 时， 时，

四边形面积 Smax=

当 a>3b 时， x=b 时，四边形面积 Smax=ab-b2.

4

ba

4

bax

;

8

)( 2ba

,4

bba

,8

)()

4(2 2

22 bab

babab

4

bax

,8

)( 2ba

探究提高 二次函数是我们比较熟悉的基本函数 ,建

立二次函数模型可以求出函数的最值 ,解决实际中的

最优化问题，值得注意的是：一定要注意自变量的取

值范围，根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的

区间之间的位置关系讨论求解 .

知能迁移 1 某人要做一批地砖，每块地砖（如图 1所 示）是边长为 0.4米的正方形 ABCD ，点 E 、 F分别在 边 BC 和 CD 上，△ CFE 、△ ABE 和四边形 AEFD均由 单一材料制成，制成△ CFE 、△ ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为 3∶2∶1. 若 将此种地砖按图 2所示的形式铺设 ,能使中间的深色 阴影部分成四边形 EFGH.

图 1 图 2

(1) 求证：四边形 EFGH 是正方形；(2)E 、 F 在什么位置时，做这批地砖所需的材料费用最省？(1) 证明 图 2 是由四块图 1所示地砖组成 , 由图 1 依次逆时针旋转 90°， 180°,270°后得到，∴EF=FG=GH=HE ，∴△CFE 为等腰直角三角形，∴四边形 EFGH 是正方形 .

(2) 解 设 CE=x ，则 BE=0.4-x ，每块地砖的费用为 W ，制成△ CFE 、△ ABE 和四边形 AEFD三种材料的每平方米价格依次为 3a 、 2a 、 a （元），

=a(x2-0.2x+0.24 ）=a[(x-0.1)2+0.23] （ 0<x<0.4 ） ,∵a>0 ，∴ x=0.1 时， W 有最小值，即总费用最省 .答 当 CE=CF=0.1米时，总费用最省 .

axx

axaxW

)]4.0(4.02

1

2

116.0[

2)4.0(4.02

13

2

1

2

2

题型二 分段函数模型【例 2】 某公司研制出了一种新产品 ,试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售 ,并且价格根据销售 情况不断进行调整，结果 40 天内全部销完 .公司对 销售及销售利润进行了调研 , 结果如图所示，其中 图①（一条折线）、图②（一条抛物线段）分别是 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系、 图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系 .

(1)分别写出国外市场的日销售量 f （ t ）与上市时间 t 的关系及国内市场的日销售量 g （ t ）与上市时间 t 的关系；(2) 国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于 6 300 万元？若有，请说明是上市后的第几天；若没有，请说明理由 .

思维启迪 第 (1) 问就是根据图①和②所给的数据 , 运用待定系数法求出各图象中的解析式；第（ 2）问先求得总利润的函数关系式 ,再将问题转化为方程是否有解 .解 (1) 图①是两条线段 , 由一次函数及待定系数法 ,

图②是一个二次函数的部分图象，

.4030,2406

,300,2)(

tt

tttf得

).400(620

3)( 2 ttttg故

(2) 每件样品的销售利润 h （ t ）与上市时间 t 的关系为

故国外和国内的日销售利润之和 F(t) 与上市时间 t 的 关系为

.4020,60

,200,3)(

t

ttth

.4030),24020

3(60

3020),820

3(60

,200),820

3(3

)(

2

2

2

tt

ttt

tttt

tF

当 0≤t≤20 时，

∴F （ t ）在［ 0 ， 20］上是增函数，∴F （ t ）在此区间上的最大值为F （ 20 ） =6 000<6 300.

当 20<t≤30 时，

由 F （ t ） =6 300 ，得 3t2-160t+2 100=0,

解得 t= (舍去 )或 t=30.

,0)20

2748(48

20

27)('

,2420

9)8

20

3(3)(

2

232

tttttF

ttttttF

).820

3(60)( 2 tttF

3

70

当 30<t≤40 时，

由 F （ t ）在（ 30 ， 40］上是减函数，得 F(t)<F(30)=6 300.故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于 6 300万元，为上市后的第 30 天 . (1) 分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当作几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值 .(2) 构造分段函数时，要力求准确、简洁，做到分段合理不重不漏 .

探究提高

).24020

3(60)( 2 ttF

知能迁移 2 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元 , 每生产一台仪器需增加投入 100 元 , 已知 总收益满足函数：

其中 x 是仪器的月产量 .

（ 1 ）写出利润 f(x) 与月产量 x 的函数关系式； （ 2 ）当月产量为何值时公司所获利润最大？最大 利润是多少元？（总收益 =总成本 + 利润）

,)400(00080

)4000(2

1400

)(2

x

xxxxR

解 （ 1 ）由题意得，总成本为（ 20 000+100x ）元，

从而

（ 2 ）当 0≤x≤400 时，

当 x=300 时，有最大值 25 000 ；当 x>400 时， f(x)=60 000-100x 是减函数， f(x)<60 000-100×400<25 000.所以，当 x=300 时，有最大值 25 000.所以，当月产量为 300台时，公司所获利润最大，最大利润是 25 000 元 .

.)400(10000060

)4000(000203002

1)(

2

xx

xxxxf

,00025)300(2

1)( 2 xxf

题型三 函数的综合应用 【例 3】 （ 12分）一位牧民计划用篱笆为他的马群围 一个面积为 1 600 m2 的矩形牧场，由于受自然环境 的影响，矩形的一边不能超过 a m，求用最少篱笆 围成牧场后的矩形长与宽 . 解 设一边的长为 x m， 0<x≤a ，则宽为 矩形的周长为 W ， ［ 2分］

m,6001

x

.40,,160

,W,40,40,40

,8040

2W),6001

(22

矩形长与宽都是此时值为

其最小最小周长时若时即当

显然则那么

axx

x

xx

xxW

［ 6分］

解题示范

若 0<a<40 时，由于函数 在区间（ 0,a］上是减函数，则当 x=a 时，周长 W 最小，其最小值为

此时，矩形长与宽分别是 a 与 ［ 10分］

故当 a≥40 时，矩形长与宽都是 40 ；当 0<a<40 时，矩形长与宽分别是 a 与 ［ 12分］ 分类讨论是本题的一个重要内容 .以 40 为标准分为 a≥40， 0<a<40 两种 .本题易出现不讨论，而直接按重要不等式求最值的错误 .

xx

60012W

),6001

(2a

a .6001

a

.6001

a探究提高

知能迁移 3 经市场调查，某城市的一种小商品在过去 的近 20 天内的销售量（件）与价格（元）均为时间 t （天）的函数，且销售量近似满足 g （ t ） =80-2t （件）， 价格近似满足

(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0≤t≤20) 的函数表达式； (2) 求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值 .

).(|10|2

120)( 元 ttf

解 （ 1 ） y=g （ t ） ·f （ t ）

= （ 40-t ）（ 40-|t-10|）

=

（ 2 ）当 0≤t<10 时 ,y 的取值范围是 [1 200,1 225],在 t=5 时， y 取得最大值为 1 225 ；当 10≤t≤20 时， y 的取值范围是［ 600 ， 1 200］，在 t=20 时， y 取得最小值为 600.答 第 5 天，日销售额 y 取得最大值为 1 225 元；第 20 天，日销售额 y 取得最小值为 600 元 .

|)10|2

120()280( tt

.2010),50)(40(

,100),40)(30(

ttt

ttt

思想方法 感悟提高

1. 求解函数应用题的一般方法 “数学建模”是解决数学应用题的重要方法 , 解应 用题的一般程序是： (1)审题 : 弄清题意 ,分清条件和结论 , 理顺数量关系 ; (2)建模 :将文字语言转化成数学语言 , 用数学知识建 立相应的数学模型； (3) 求模 :求解数学模型 , 得到数学结论； (4) 还原 :将用数学方法得到的结论还原为实际问题 的意义 .

方法与技巧

2. 几种重要的函数模型 (1) 一次函数模型 :f(x)=kx+b (k,b 为常数 ,k≠0); (2) 二次函数模型 :f(x)=ax2+bx+c （ a ， b ， c 为常数， a≠0) ； (3) 反比例型函数模型 : (k,b 为常数 , k≠0); (4) 指数型函数模型 :f(x)=abx+c(a,b,c 为常数 ,a≠0, b>0,b≠1) ； (5) 对数型函数模型 :f(x)=mlogax+n(m,n,a 为常数，

m≠0,a>0,a≠1); (6)分段函数模型 .

bx

kxf )(

1. 函数模型应用不当，是常见的解题错误 .所以，正 确理解题意，选择适当的函数模型 .2. 要特别关注实际问题的自变量的取值范围 ,合理确 定函数的定义域 .3. 注意问题反馈 . 在解决函数模型后，必须验证这个 数学解对实际问题的合理性 .

失误与防范

一、选择题 1. 某电信公司推出两种手机收费方式： A 种方式是月租 20 元 ,B 种方式是月 租 0 元 . 一个月的本地网内打出电话 时间 t(分钟 ) 与打出电话费 s （元） 的函数关系如图，当打出电话 150分钟时 ,这两种方 式电话费相差 （ ）

A.10 元 B.20 元 C.30 元 D. 元

定时检测

3

40

解析 设 A 种方式对应的函数解析式为 S=k1t+20,

B 种方式对应的函数解析式为 S=k2t,

当 t=100 时， 100k1+20=100k2,

当 t=150 时， 150k2-150k1-20=

答案 A

,5

112 kk

.10205

1150

2. 由方程 x|x|+y|y|=1确定的函数 y=f(x ）在（ -∞,+∞ ） 上是 （ ） A. 增函数 B. 减函数 C.先增后减 D.先减后增 解析 ①当 x≥0且 y≥0 时， x2+y2=1, ②当 x>0且 y<0 时， x2-y2=1, ③当 x<0且 y>0 时， y2-x2=1, ④当 x<0且 y<0 时，无意义 . 由以上讨论作图如右， 易知是减函数 .

B

3. 国家规定个人稿费纳税办法是 : 不超过 800 元的不纳 税 ;超过 800 元而不超过 4 000 元的按超过 800 元部分 的 14%纳税；超过 4 000 元的按全部稿酬的 11%纳税 . 已知某人出版一本书 ,共纳税 420 元，这个人应得稿 费（扣税前）为 （ ） A.2 800 元 B.3 000 元 C.3 800 元 D.3 818 元

解析 设扣税前应得稿费为 x 元，则应纳税额为分段函数，由题意，得

如果稿费为 4 000 元应纳税为 448 元 , 现知某人共纳税420 元 ,所以稿费应在 800~4 000 元之间 ,∴(x-800)×14%=420,∴x=3 800. 答案 C

.

)0004(%11

)0004800(%14)800(

)8000(0

xx

xx

x

y

4. 某医药研究所开发一种新药，如 果成年人按规定的剂量服用，据 监测，服药后每毫升血液中的含 药量 y （微克）与时间 t （小时）之 间近似满足如图所示的曲线 .据进一步测定，每毫 升血液中含药量不少于 0.25微克时，治疗疾病有 效，则服药一次治疗该疾病有效的时间为（ ） A.4 小时 B.

C. D.5 小时

小时8

74

小时16

154

解析 由 过点 M(1,4) 得 a=3,k=4.

令 y=0.25 ，得 4t=0.25或

因此服药一次治疗疾病有效时间为答案 C

atykty )2

1(,

,25.0)2

1( 3 t

).(16

154

16

15

,516

1

12

21

小时

或

tt

tt

.16

154 小时

5. 某产品的总成本 y （万元）与产量 x(台 ) 之间的函数 关系是 y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*), 若每台 产品的售价为 25 万元 , 则生产者不亏本时（销售收 入不小于总成本）的最低产量是 （ ） A.100台 B.120台 C.150台 D.180台 解析 设利润为 f （ x ） ( 万元 ) ， 则 f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2) =0.1x2+5x-3 000≥0, ∴x ≥150.

C

6. 已知 a>0且 a≠1 ， f(x)=x2-ax,当 x∈(-1,1) 时均有 f(x) < 则实数 a 的取值范围是 （ ）

A. B.

C. D.

,2

1

),2[]2

1,0( ]4,1()1,

4

1[

]2,1()1,2

1[ ),4[]

4

1,0(

解析 由题意可知

在（ -1 ， 1 ）上恒成立，

令 y1=ax,

由图象知：

答案 C

2

12 xa x

,2

122 xy

.2112

1

,10

,2

11

,2

1)1(

21

21

aa

aa

a

a

或

且

二、填空题7.计算机的价格大约每 3 年下降 那么今年花 8 100 元 买的一台计算机 ,9 年后的价格大约是 _____ 元 .

解析 设计算机价格平均每年下降 p% ，

由题意可得

∴9 年后的价格

,3

2

,%)1(3

1 3p

,)3

1(1% 3

1

p

).(300)3

1(1008]1)

3

1(1[1008 393

1

元y

300

8. 设函数 f(x)=x|x|+bx+c ，给出下列命题： ①b=0,c>0 时，方程 f(x)=0只有一个实数根； ②c=0 时， y=f(x) 是奇函数； ③方程 f(x)=0至多有两个实根 . 上述三个命题中所有正确命题的序号为 .

解析

如图①，曲线与 x 轴只有一个交点， 所以方程 f(x)=0只有一个实数根，正确 .

,)0(

)0(||)(①

2

2

xcx

xcxcxxxf

②c=0 时， f(x)=x|x|+bx ，显然是奇函数 .③当 c=0,b<0 时，

如图②，方程 f(x)=0 可以有三个实数根 .综上所述，正确命题的序号为①② .答案 ①②

.)0(

)0(||)(

2

2

xbxx

xbxxbxxxxf

9. 已知 f(x)=-logcos φ(x2-ax+3a)(φ 为锐角 ) ，在区间

［ 2,+∞) 上为增函数，则实数 a 的取值范围是 . 解析 令 u=x2-ax+3a,∵0<cos φ<1, ∴y=logcos φu 在定义域内为减函数，

∴f(x)=-logcos φ(x2-ax+3a) 在［ 2,+∞) 上为增函数，

则 u=x2-ax+3a>0 在［ 2,+∞) 上恒成立，且为增函数，

.44,0324)2(

22

a

aau

a解得所以

-4<a≤4

三、解答题 10. 某旅游点有 50辆自行车供游客租赁使用，管理这些 自行车的费用是每日 115 元 .根据经验，若每辆自行车 的日租金不超过 6 元，则自行车可以全部租出；若超 出 6 元，则每超过 1 元，租不出的自行车就增加 3辆 . 为了便于结算，每辆自行车的日租金 x （元）只取整 数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这 一日的管理费用，用 y （元）表示出租自行车的日净 收入 ( 即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后 的所得） .

(1) 求函数 y=f(x) 的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解 （ 1 ）当 x≤6 时， y=50x-115,令 50x-115>0 ，解得 x>2.3.∵x∈N* ，∴ x≥3 ，∴ 3≤x≤6 ， x∈N* ，当 x>6 时， y=[50-3 （ x-6 ） ]x-115.令 [50-3 （ x-6 ） ]x-115>0, 有 3x2-68x+115<0,上述不等式的整数解为 2≤x≤20 (x∈N* ） ,∴6<x≤20 (x∈N*).

故

定义域为 {x|3≤x≤20,x∈N*}. (2) 对于 y=50x-115 (3≤x≤6,x∈N*).显然当 x=6 时， ymax=185( 元 ) ，

对于 y=-3x2+68x-115

当 x=11 时， ymax=270 （元） .

∵270>185 ，∴当每辆自行车的日租金定在 11 元时，才能使一日的净收入最多 .

,)N,206(115683

)N,63(11550*2

*

xxxx

xxxy

).N,206(3

811)

3

34(3 *2 xxx

11.通过研究学生的学习行为，专家发现，学生的注意 力随着老师讲课时间的变化而变化，讲课开始时， 学生的兴趣激增 ; 中间有一段时间，学生的兴趣保持 较理想的状态，随后学生的注意力开始分散，设 f(t) 表示学生注意力随时间 t （分钟）的变化规律（ f （ t ） 越大 , 表明学生注意力越集中），经过实验分析得知：

.4020,3807

,2010,240

,100,10024

)(

2

tt

t

ttt

tf

(1)讲课开始后多少分钟，学生的注意力最集中？能持续多少分钟？(2)讲课开始后 5分钟与讲课开始后 25分钟比较 ,何时学生的注意力更集中？(3) 一道数学难题，需要讲解 24分钟，并且要求学生的注意力至少达到 180 ，那么经过适当安排，教师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目？

解 （ 1 ）当 0<t≤10 时， f(t)=-t2+24t+100=-(t-12)2+244 是增函数，且 f(10)=240 ；当 20<t≤40 时， f(t)=-7t+380 是减函数，且 f(20)=240.所以 ,讲课开始 10分钟，学生的注意力最集中，能持续 10分钟 .（ 2 ） f （ 5 ） =195 ， f （ 25 ） =205 ，故讲课开始 25分钟时，学生的注意力比讲课开始后 5分钟更集中 .

（ 3 ）当 0<t≤10 时， f （ t ） =-t2+24t+100=180 ，则 t=4 ；当 20<t≤40 时，令 f(t)=-7t+380=180, t≈28.57, 则学生注意力在 180 以上所持续的时间28.57-4=24.57>24,所以，经过适当安排，老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题 .

12. 某化工厂引进一条先进生产线生产某种 化工产品 , 其生产的总成本 y( 万元 ) 与年产量 x(吨 ) 之间的函数 关系式可以近似地表示为 y= -48x+ 8 000, 已知 此生产线年产量最大为 210吨 . (1) 求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成 本最低 ,并求最低成本 ; (2) 若每吨产品平均出厂价为 40 万元 ,那么当年产量 为多少吨时 , 可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解 (1) 每吨平均成本为 ( 万元 ).

5

2x

x

y

,32480008

5248

0008

5

x

x

x

x

x

y则

当且仅当 即 x=200 时取等号 .∴ 年产量为 200吨时 , 每吨平均成本最低为 32 万元 .(2) 设年获得总利润为 R(x) 万元 ,

则 R(x)=40x-y=40x- +48x-8 000

=- +88x-8 000

=- (x-220)2+1 680(0≤x≤210).

∵R(x) 在［ 0,210］上是增函数 ,∴x=210 时 ,R(x) 有最大值为- (210-220)2+1 680=1 660.∴ 年产量为 210吨时 , 可获得最大利润 1 660 万元 .

5

2x

5

2x

5

1

5

1

,x

x 0008

5

返回