题型一 函数图象性质题型二 规律探索题题型三　 新定义类型题型四　方案设计型问题题型五　图形动态探究题题型六　二次函数与几何图形探究型

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题型一　函数图象性质

类型一　分析判断函数图象

类型二　二次函数图象性质

类型三　反比例函数图象与性质

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类型一　分析判断函数图象

例１　（’ 13 重庆Ａ卷）万州某运输公司的一艘轮船在长江上航行，往返于万州、朝天门两地，假设轮船在静水中的速度不变，长江的水流速度不变，该轮船从万州出发，逆水航行到朝天门，停留一段时间（卸货、装货、加燃料等），又顺水航行返回万州，若该轮船从万州出发后所用的时间为 x （小时），轮船距万州的距离为 y （千米），则下列各图中，能够反映 y 与 x 之间函数关系的大致图象是 （ ）C

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【解析】分三段考虑，①逆水行驶；②静止不动；③顺水行驶，结合图象判断即可．①逆水行驶， y

随 x 的增大而缓慢增大；②静止不动，随 x 的增加，y 不变；③顺水行驶， y随 x 的增加快速减小．结合图象，可得Ｃ正确．

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【方法总结】本题考查分段函数图象与实际应用相结合的问题，解答这类题型时要分段考虑，分析在不同的阶段运动的变化情况，考虑函数图象的变化规律，明白每段直线所代表的实际意义及拐点的含义和实际情况．

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例　（’ 13 烟台）如图是二次函数 图象的一部分，其对称轴为 ，且过点 .

下列说法：① ；② ；③ ；④若 、 是抛物线上两点，则 ，其中说法正确的是（　　）

1x

0abc 2 0a b 4 2 0a b c 1( 5, )y

2y ax bx c

2

5( , )2y

1 2y y

( 3,0)

类型二　二次函数图象性质

Ａ．①②　　　 Ｂ．②③ Ｃ．①②④ Ｄ．②③④

C

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① √

∵二次函数的图象开口向上，∴ a ＞０，

∵二次函数的图象与 y 轴的交点在 y 轴

的负半轴．∴ c ＜０，∵二次函数图象的对

称轴是直线 x ＝－１，∴ ＝－１，∴ b

＝

2a ＞０，∴ abc ＜０，∴①正确② √ ，所以②正确

2

b

a

2 2 2 0a b a a

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③ ×

∵二次函数 图象的一部分，其对称轴为 ，且过点 ， ∴与 x 轴的另一个交点的坐标是 ，∴把 代入 得：

，∴③错误

2y ax bx c

1x ( 3,0)

(1,0)2x 2y ax bx c

4 2 0y a b c

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④ √

∵二次函数 图象的对称轴为 ∴点 关于对称轴的对称点的坐标是 ，根据当 时， y

随 x 的增大而增大，∵ ，∴ ，∴④正确

2y ax bx c

1x 1( 5, )y

1(3, )y 1x 53

2 2 1y y

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【点评拓展】解答此类问题，首先要明白二次函数的表达式中各系数所代表的意义以及系数正负和大小对函数图象的影响： a ＞ 0 ，函数开口向上， a ＜ 0 ，函数开口向下； b 值的大小影响函数的开口大小， b值越大函数开口越大； a 和 b 值的符号同时决定了函数图象对称轴的位置， ab ＞０对称轴在 x 轴负半轴，ab ＜０对称轴在 x 轴正半轴，当 b ＝０时，对称轴为 y 坐标轴． |ｃ |值代表函数图象在 y 坐标轴上的截距， c ＞０时截点在 y 轴正半轴， c ＜０时截点在y 轴负半轴．其次是要清楚二次函数的顶点坐标和对称轴的表达式，顶点坐标为 , 对称轴为

2

bx

a

24( , )2 4

b ac b

a a

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例 （ ’ 12 河南）如图，点 A、 B 在反比例函数 的图象上，过点 A、 B作 x 轴的垂线，垂足分别为 M、 N ，延长线段 AB交 x 轴于点C ，若 OM=MN=NC ，△ AOC 的面积为 6 ，则 k

值为 .

类型三　反比例函数图象与性质

( 0, 0) k

y k xx

4

【解析】设 OM=a ，∵点 A 在反比例函数 上，所以 ， OM=MN=NC ，∴ OC=3a ，∴

，解得 k=4.

k

yx

k

AMa

1

2 AOCS OC AM 1 33 6

2 2

ka k

a

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【点评与拓展】利用反比例函数图象性质确定反比例函数解析式，有两种方式：①已知图象上一点或可求出图象上一点的坐标，可直接用待定系数法；②已知与反比例函数图象结合的几何图形面积，一般用 k 的几何意义，或表示出图象在某点的横纵坐标，此种方式一定要注意图形所在象限，即注意 k 的正负 .

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题型二　规律探索题

类型一　数式规律

类型二　图形规律

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类型一　数式规律,13例 1 （ 衡阳）观察下列按顺序排列的等式：

试猜想第 n 个等式（ n 为正整数）

1 2 3 4

1 1 1 1 1 1 11 , , , ,3 2 4 3 5 4 6

a a a a

n a1 1

2

n n

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【解析】第一步：变形

1

1 1

1

11 ,3 1 2

a

2

1 1 1 1,

2 4 2 22a

3

1 1 1 1,

3 5 3 23a

第二步：找规律由以上递变规律可以看出，每个等式都是由两个分数的差呈现，其中第一个分数是等式序号的倒数，第二个分数是等式序号加上２之后的倒数 . 所以

1 1.2n

a

n n

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【归纳总结】 1.一般地在规律探索题中，所得到规律的表达式常用字母 n 表示，且 n 为正整数，从 1 开始；

2.在数据中分清齐偶，记住常用表达式：整数：…， n-1,n,n+1,… ，奇数：…， 2n-3,2n-1,2n+1,… ，偶数：… ,2n-2,2n,2n+2,… ；

3.整数常见规律：正方形数： 1 ， 4,9,16，

…， n2 ；三角形数： 1,3,6,10，… , ；正整数和： 1+3+4+

( 1)

2

n n

( 1)

2

n nn

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类型二　图形规律

例２　（’ 13 江西）观察下列图形中点的个数，

若按其规律再画下去，可以得到第 n 个图形中所有

点的个数为　　　　．（用含 n 的代数式表示）2( 1)n

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【解析】分析如下：第１个图标为１，第２个图标为２，…，依此类推．

由以上分析可知，第 n 个图中有 (n+1)2 个点．

标序号 1 2 3 4 …

找关系（后一个图与前一个图的关系）

1+3 1+3+5 1+3+5+7

1+3+5+7+9

…

算结果 4 9 16 25 …

找规律 22 32 42 52 …

归纳结果与序数之间的关系

…2(1 1) 2(2 1) 2(3 1)2(4 1)

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【方法指导】对于图形规律探索题可用列表的形式求解，其一般步骤为：（１）标序数：按图号标序；（２）找关系：找后一个图与前一个图中所求物体个数之间的关系（一般是通过作差或作商的形式观察是否含有定量）；（３）算结果：计算每个图中所求物体的个数；（４）找规律：对所求结果进行一定变形，使其呈现一定规律；（５）归纳结果与序数之间的关系，即可得到第 n 个图中所求物体的个数；（６）验证：代入序号验证所归纳的式子是否正确．

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题型三　新定义类型例１　（’ 13 永州）我们知道，一元二次方程 x2

＝- １没有实数根，即不存在一个实数的平方等于 - １，若我们规定一个新数“ｉ”，使其满足 i2 ＝ - １（即方程 x2＝ - １有一个根为ｉ），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律和运算法则仍然成立，于是有 i1 ＝ i， i2 ＝ - １， i3 ＝ i2· ｉ＝（ - １） · ｉ＝ - ｉ， i4＝(i2)2＝ (-1)2＝ 1, 从而对任意正整数 n ，我们可得到i4n+1 ＝ i4n· ｉ＝ (i4)n·i＝ i ，同理可得 i4n+2＝ -1， i4n+3 ＝ -i， i4n ＝１，那么， i+i2+i3+i4+…+i2012+i2013 的值为 ( )Ａ．０　 Ｂ．１ 　 Ｃ．－１ 　　Ｄ．ｉ

D

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【解析】由题意得， i1=1， i2=-1， i3＝ i2· ｉ＝ (-

1)· ｉ＝ - ｉ， i4＝ (i2)2＝ (-1)2 ＝１， i5＝ i4· ｉ＝ｉ， i6＝ i4·i2＝ - １，故可发现４次一循环，一个循环内的和为０，∵ 2013÷4 ＝ 503… １∴ i+i2+i3+i4+

…+i2012+

i2013 ＝ｉ．【点评与拓展】对于这类问题，首先通过阅读与理解，掌握新定义的算法方式，将新定义与常规运算相沟通，从而用新的算法进行运算．

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例２　（’ 13 河北）定义新运算：对于任意实数a、 b ，都有 a b=a(a-b)+1 ，等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，比如： 2 5=2×(2-

5)+1=2×(-3)+1=-6+1=-5.

(1)求 (-2) 3 的值；(2)若 3 x 的值小于 13 ，求 x 的取值范围，并在

如图所示的数轴上表示出来 .

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例 2题解图

【解题指导】按照新运算法则，先理解 a b 的含义，即第一个数与这两个数之差的乘积与１的和：（１）根据 a b 的含义列式计算；（２）列出关于x 的不等式，即可求出 x 的取值范围．解： (1) (-2) 3=(-2)×(-2-3)+1 =(-2)×(-5)+1 =10+1 =11.(2) 3 ∵ x＜ 13 ，∴ 3(3-x)+1＜ 13 ，9-3x+1＜ 13， -3x＜ 3， x＞ -1. 数轴表示解集如图所示：

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题型四　方案设计型问题　例　（’ 12 株洲）“节能环保，低碳生活”是我们倡导的一种生活方式．某家电商场计划用11.8 万元购进节能型电视机、洗衣机和空调共 40台．三种家电的进价及售价如下表所示：

进价（元 /台）

售价（元 /台）

电视机 5000 5500

洗衣机 2000 2160

空调 2400 2700

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（１）在不超出现有资金的前提下，若购进电视机的数量和洗衣机的数量相同，空调的数量不超过电视机数量的三倍，请问商场有哪几种进货方案？（２）在“ 2012年消费促进月”促销活动期间，商家针对这三种节能型产品推出“现金购满1000 元送 50 元家电消费券一张、多买多送”的活动，在（１）的条件下，若三种电器在活动期间全部售出，商家预计最多送出消费券多少张？

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【信息梳理】（ 1 ）

原题信息 整理后信息一 某家电商场购进节能型电视机、洗衣机和空调共40台，购进电视机的数量和洗衣机的数量相同

设购进电视机的数量为 x台，则洗衣机的数量为 x台，空调的数量为 (40-2x) 台

二 某家电商场用 11.8万元购进节能型电视机，洗衣机和空调，空调的数量不超过电视机的三倍

40-2x≤3x ；5000x+2000x+2400(40-2x)≤118000

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（ 2 ）原题信息 整理后信息

商家针对这三种节能型产

品推出“现金购买满

1000元送 50元家电消

费券一张，多买多送”活

动

根据（ 1 ）中所得方案，

分别计算出销售额，除以

1000可得消费券张数

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解：（１）设购进电视机的数量为 x 台，则洗衣机的数量为 x 台，空调的数量为 (40-2x) 台，依题意：

40 2 3

5000 2000 2400(40 2 ) 118000

x x

x x x

解之得： 8≤x≤10.

由于 x 为正整数，故 x ＝８或９或 10 ．因此有三种方案：① 电视机８台，洗衣机８台，空调 24 台；② 电视机９台，洗衣机９台，空调 22 台；③ 电视机 10 台，洗衣机 10 台，空调 20 台．

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（２）方案①的销售额为：5500×8＋ 2160×8＋ 2700×24＝ 126080 （元），需要消费券： 126080÷1000≈126 （张）；方案②的销售额为：5500×9＋ 2160×9＋ 2700×22＝ 128340 （元），需要消费券： 128340÷1000≈128 （张）；方案③的销售额为：5500×10＋ 2160×10＋ 2700×20＝ 130600 （元），需要消费券： 130600÷1000≈130 （张）．所以最多送出消费券的张数为 130张．

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【点评与拓展】本题首先根据题意列出不等式组求出 x 的取值范围，再根据 x 为整数得到三种方案，当方案较少时，可分别计算各种方案下的费用，以此来确定最佳方案，当方案较多时，则建立费用 y

关于 x 的函数关系式，根据函数的增减性确定最佳方案 .

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题型五　图形动态探究题

类型一　图形变换探究题

类型二　图形动点探究题

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类型一　图形变换探究题例１（’ 13益阳模拟）如图①，在△ ABC 中，点 P为 BC边中点，直线 a绕顶点 A旋转，若点B,P 在直线 a 的异侧， BM⊥直线 a 于点M． CN⊥直线 a 于点 N ，连接 PM， PN ．（１）延长 MP交 CN 于点 E （如图②）．①求证：△ BPM≌△CPE ；②求证： PM=PN ；

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（２）若直线 a绕点 A旋转到图③的位置时，点B， P 在直线 a 的同侧，其他条件不变，此时PM＝ PN还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（３）若直线 a绕点 A旋转到与 BC边平行的位置时，其他条件不变，请直接判断四边形 MBCN 的形状及此时 PM＝ PN还成立吗？不必说明理由．

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【思路分析】（１）① 根据平行线的性质证∠MBP=

∠ECP ，再根据 BP=CP ，∠ BPM=∠CPE 即可得到；②由△ BPM≌△CPE ，得到 PM=PE ，则 PM= ME ，而在 Rt△MNE 中， PM= ME ，即可得到 PM=PN;（２）证明方法与②相同；（３）当 a∥BC 时，根据BM⊥直线 a ， CN⊥直线 a ，易知四边形 MBCN 是矩形，进而根据矩形的性质和 P 为 BC边中点，证得PM=PN成立．

1

21

2

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（１）证明：①如解图①，∵ BM⊥直线 a 于点Ｍ，CN⊥直线 a 于点Ｎ，∴∠BMN ＝∠ CNM＝ 90° ，∴ BM∥CN ，∴∠MBP ＝∠ ECP ．又∵Ｐ为 BC边中点，∴ BP＝ CP ，又∵∠ BPM ＝∠ CPE ，∴△BPM≌△CPE （ＡＳＡ），②∵△BPM≌△CPE ，∴ PM＝ PE ，∴ PM ＝ ME ，∴在 Rt△MNE 中，PN= ME ，所以 PM=PN.

1

21

2

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（２）解：成立，如解图②，理由：延长 MP与 NC 的延长线相交于点 E ，∵ BM⊥直线 a 于点Ｍ，CN⊥直线 a 于点Ｎ，∴∠BMN ＝∠ CNM＝ 90° ，∴∠BMN＋∠ CNM＝ 180° ，∴ BM∥CN ，∴ ∠MBP ＝∠ ECP ，又∵ P为 BC 中点，∴ BP＝ CP ，

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在△ BPM和△ CPE 中，∠MBP ＝∠ ECP

BP＝ CP

∠BPM ＝∠ CPE ，∴△BPM≌△CPE（ ASA ），∴ PM＝ PE ，∴ PM ＝ ME ，则在 Rt△MNE 中，PN ＝ ME ，∴ PM＝ PN.

1

2

1

2

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（３）解：如解图③，当 a∥BC时 ,BM⊥直线 a,CN⊥

线 a, 四边形 是矩形，根据矩形的性质和Ｐ为 BC边中点，得到△ ≌△ ，得 PM′＝ PN′成立，即四边形 MBCN 是矩形，PM＝ PN成立．

M BP N CP

M BCN

M N

a

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【难点分析】本题难点在于正确理解旋转的性质，

旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形

的大小、形状都不改变．（１）（２）问中，主要

通过旋转的性质，证明三角形全等，再由三角形全

等及直角三角形性质证明线段相等．

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类型二　图形动点探究题

例２　（’１３邵阳）如图所示，在 Rt△ABC 中，

AB＝ BC ＝４，∠ ABC＝ 90° ，点 P 是△ ABC

的外角∠ BCN 的角平分线上一个动点，点 是点

P 关于直线 BC 的对称点，连接 交 BC 于点 M ，

交 AC于 D ，连接 BP 、 、 .

P

PP BP

AP CP

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（１）若四边形 为菱形，求 BM 的长；（２）若△ ∽△ ABC ，求 BM 的长；（３）若△ ABD 为等腰三角形，求△ ABD 的面积．

BPCPBMP

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【思路分析】（１）由菱形的性质可知，点 M 为 BC

的中点，可求 BM ；（２）△ ABC 为等腰直角三角形，若△ ∽△ ABC ，则△ 必为等腰直角三角形，证明△ 、△ BMP、△ 均为等腰直角三角形，则 BP ＝ ，证明△ BCP

为等腰三角形， BP ＝ BC ，从而 ＝ BC ，进而求出 BM 的长度；（３）△ ABD 为等腰三角形，有３种情形，需要分类讨论计算．

BMP BMP

BMP BPP

BP

BP

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解：（１）∵四边形 为菱形，而菱形的对角线互相垂直平分，∴点M为 BC 的中点，∴ BM ＝ BC ＝ ×４＝２．

BPCP

1

2

1

2（２）△ ABC 为等腰直角三角形，若△ ∽△ ABC ，则△ 必为等腰直角三角形，ＢＭ＝ ．由 是点Ｐ关于直线 BC 的对称点可知，MP ＝ ， ⊥ BC ，则△ BMP 为等腰直角三角形，

BMPBMP MPPMP PP

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∴△ 为等腰直角三角形， ＝ BP ．∵∠CBP＝ 45° ，∠ BCP ＝ ，∴∠BPC＝ 180°－∠ CBP－∠ BCP

＝ 180°－ 45°－ 67.5°＝ 67.5° ，

BPP BP1(180 45 ) 67.52

∴∠BPC=∠BCP ，∴ BP=BC=4,

∴ =4.

在等腰直角△ 中，斜边 =4 ，

∴ BM=

BPBPBMP

22 2

2BP

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（ 3 ）△ ABD 为等腰三角形，有 3种情形：

①若 AD=BD ，如图②所示。

此时△ ABD 为等腰直角三角形，斜边 AB=4 ，

∴ S△ABD=1 1

2 2 2 2 42 2AD BD

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②若 AD=AB ，如解图所示：过点 D作DE⊥

AB 于点 E ，则△ ADE 为等腰直角三角形，

S△ABD=

2 22 2

2 2DE AD AB

1

2AB DE

14 2 2 4 2

2

E

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③若 AB=BD ，则点 D 与点 C 重合，

可知此时点 P 、点 、点 M均与点 C 重合，

∴ =S△ABC=1 1

4 4 82 2AB BC

P

ABDS

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【难点分析】本题是几何综合题，考查了

相似三角形的性质、等腰直角三角形、等

腰三角形、菱形、勾股定理等知识点．第

（３）问考查分类讨论的数学思想，是本

题的难点．

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例３　（’ 12常德）已知四边形 ABCD 是正方形，O 为正方形对角线的交点，一动点 P从 B开始，沿射线 BC 运动，连接 DP ，作 CN⊥DP 于点 M ，且交直线 AB 于点 N ，连接 OP、 ON ．（当 P 在线段 BC 上时，如图①：当 P在 BC 的延长线上时，如图②）（１）请从图①，图②中任选一图证明下面结论：

① BN＝ CP ；② OP＝ ON ，且 OP⊥ON ；

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（２）设 AB ＝４， BP＝ x ，试确定以O、 P、 B、 N 为顶点的四边形的面积 y与 x 的函数关系．

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【思路分析】（１）根据正方形的性质得出 DC

＝ BC ，∠ DCB ＝∠ CBN ＝ 90°，求出∠ CPD ＝∠ DCN ＝∠ CNB ，证△ DCP≌△CBN ，求出 CP ＝ BN ，证△ OBN≌△OCP ，推出 ON

＝ OP ，∠ BON ＝∠ COP ，求出∠ PON ＝∠ COB 即可；（２）同法可证图②时， OP ＝

ON ， OP⊥ON ，图①中， S 四边形 OPBN ＝Ｓ△ OBN

＋ S△BOP ，代入求出即可；图②中， S 四边形 OBNP

＝ S△POB ＋ S△PBN ，代入求出即可．

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（１）证明：如题图①，∵ 四边形 ABCD 为正方形，∴ OC＝ OB， DC＝ BC ，∠ DCB ＝∠ CBA＝90° ，∠OCB ＝∠ OBA＝ 45° ，∠DOC＝ 90°， DC∥AB ，∵ DP⊥CN ，∴∠CMD ＝∠ DOC＝ 90° ，∴∠BCN＋∠ CPD＝ 90° ，∠PCN＋∠ DCN＝ 90° ，∴∠CPD ＝∠ CNB ，∵ DC∥AB ，∴∠DCN ＝∠ CNB ＝∠ CPD ，

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∵在△ DCP和△ CBN 中， ∠DCB ＝∠ CBN ∠CPD ＝∠ BNC DC ＝ BC∴△DCP≌△CBN（ AAS ）．∴ CP＝ BN ，∵ 在△ OBN和△ OCP 中 OB=OC ∠OCP=∠OBN CP=BN∴△OBN≌△OCP(SAS）

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∴ON＝ OP ，∠ BON ＝∠ COP ，∴∠BON＋∠ BOP ＝∠ COP＋∠ BOP ，即∠ NOP ＝∠ BOC＝ 90° ，∴ ON⊥OP ，即 ON＝ OP， ON⊥OP ．

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（２）解：∵ AB ＝４，四边形 ABCD 是正方形，∴ O到 BC边的距离是２，图①中，S 四边形 OPBN ＝ S△OBN ＋ S△BOP

1 1(4 ) 2 2 4(0 4)

2 2x x x

图②中， S 四边形 OBNP ＝ S△POB ＋ S△PBN

即以 O、 P、 B、 N 为顶点的四边形的面积 y与 x 的函数关系是：

21 1 12 ( 4) ( 4)

2 2 2x x x x x x

2

4(0 4)

1( 4)

2

xy

x x x

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【难点分析】本题考查了正方形性质、全等三角

形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解

第（１）问的关键是能运用正方形的性质进行推

理，解第（２）问的关键是求出符合条件的所有

情况 .

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题型六　二次函数与几何图形探究型

类型一　与三角形结合的二次函数探究题

类型二　与四边形结合的二次函数探究题

类型三　与三角形及四边形结合的二次函数探究题

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例１　（’ 13 绵阳）如图，二次函数 的图象的顶点 C 的坐标为 , 交 x 轴于 A、 B 两点，其中 A ,直线 l： x＝ m（ m＞１）与 x 轴交于 D ．（１）求二次函数的解析式和 B 的坐标；（２）在直线 l 上找点 P （Ｐ在第一象限），使得以P、 D、 B 为顶点的三角形与以 B、 C、 O 为顶点的三角形相似，求点 P 的坐标（用含 m 的代数式表示）；

2y ax bx c

(0, 2)

( 1,0)

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类型一　与三角形结合的二次函数探究题

（３）在（２）成立的条件下，在抛物线上是否

存在第一象限内的点 Q ，使△ BPQ 是以 P 为直

角顶点的等腰直角三角形？如果存在，请求出点

Q 的坐标；如果不存在，

请说明理由．

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【思路分析】（１）由于抛物线的顶点 C 的坐标为 所以抛物线的对称轴为 y 轴，且与 y 轴交点的纵坐标为－２，即 b ＝０， c ＝－２，再将 A 代入 ，求出 a 的值，由此确定该抛物线的解析式，然后令 y ＝０，解一元二次方程求出x 的值即可得到点Ｂ的坐标；（２）设Ｐ点坐标为（ m ， n ）．由于∠ PDB=∠BOC ＝ 90°，则 D 与O 对应，所以当以 P 、 D 、 B 为顶点的三角形与以B 、 C 、 O 为顶点的三角形相似时，分两种情况讨论：①△OCB∽△DBP ；②△ OCB∽△DPB ．根据相似三角形对应边成比例，得出 n 与 m 的关系式，进而可得到点Ｐ的坐标 ;

2y ax bx c

(0, 2)( 1,0)

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（３）假设在抛物线上存在第一象限内的点 Q

使△ BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形．过点 Q 作 QE⊥l 于点 E ．利用 AAS易证△ DBP≌△EPQ ，得出 BD ＝ PE ， DP ＝ EQ ．再分两种情况讨论：① P ②P 都根据BD ＝ PE ， DP ＝ EQ 列出方程组，求出 x 与 m 的值，再结合条件 x ＞０且 m ＞１即可判断不存在第一象限内的点 Q ，使△ BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形．

2( , 2 2)x x

1( , )

2

mm

( , 2 2)m m

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解：（１）∵抛物线 的顶点坐标为C

∴b ＝０， c ＝－２；∵ 过点 A

∴０＝ a＋０－２， a ＝２，∴ 抛物线的解析式为 ．当 y ＝０时， ，解得 x＝ ± １，∴点 B 的坐标为（１，０）；

2y ax bx c

2y ax bx c

22 2y x 22 2 0x

(0, 2)

( 1,0)

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（２）设 P（ m， n ）．则有 m＞１， n＞０∵∠PDB ＝∠ BOC＝ 90° ，∴当以 P、 D、 B 为顶点的三角形与以B、 C、 O 为顶点的三角形相似时，分两种情况：①若△ OCB∽△DBP ，则 OB OC

DP DB

1 2 1, .1 2

mn

n m

即 解得

∴此时点Ｐ坐标为 1

( , )2

mm

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②若△ OCB∽△DPB ，则

即

解得

∴ 此时点 P坐标为

综上所述，满足条件的点 P 的坐标为：

OB OC

DB DP

1 2.

1m n

2 2n m

( , 2 2).m m 1( , )

2

mm

( , 2 2).m m

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2( , 2 2)x x （３）假设在抛物线上存在第一象限内的点Q 使△ BPQ 是以 P 为直角顶点的等腰直角三角形．如图，过点 Q作 QE⊥l 于点 E ．∵∠DBP＋∠ BPD＝ 90° ，∠QPE＋∠ BPD＝ 90° ，∴∠DBP ＝∠ QPE ．在△ DBP 与△ EPQ 中， ∠BDP ＝∠ PEQ＝ 90° ∠DBP ＝∠ EPQ BP ＝ PQ∴△DBP≌△EPQ ，∴ BD＝ PE， DP＝ EQ ．

Q E

P

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分两种情况：①当 时，∵

1( , )

2

mP m

2(1,0), ( ,0), ( , 2 2)B D m E m x

2 11 2 2

21

2

mm x

mm x

1 2

12

11

, ( )21

0

x x

mm

解得 或 均不合题意，舍去；

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综上所述，不存在满足条件的点Ｑ

, 2 - 2

(1 0), ( ,0), ( , 2 2 - 2),

P m m

B D m E m x

②当（ ）时，∵ ，

21 2 2 (2 2)

2 2

m x m

m m x

21

12

51 2 , ( )1 9

2

xx

mm

解得 或 均不合题意，舍去

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【难点分析】本题涉及到二次函数解析式的确定，相似三角形、全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等，综合性较强，其难点在于相似三角形的对应角和对应边不确定时，要对其进行分类讨论，以免漏解．

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类型二　与四边形结合的二次函数探究题

例２　（’ 13昆明）如图，矩形 OABC 在平面直角坐标系 xOy 中，点 A在 x 轴的正半轴上，点 C在 y

轴的正半轴上， OA ＝４， OC ＝３，若抛物线的顶点在 BC边上，且抛物线经过 O， A 两点，直线 AC

交抛物线于点 D ．（１）求抛物线的解析式；（２）求点 D 的坐标；

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（３）若点 M 在抛物线上，点 N在 x 轴上，是否存在以 A， D，M， N 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．

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【思路分析】（１）根据题意，求出顶点坐标，设二次函数解析式为顶点式 ，将原点坐标代入求解即可；（２）用待定系数法求出直线 AC 的解析式，把一次函数和二次函数解析式联立方程组，求得的解是两函数图象的交点坐标，即求出点 D 的坐标；（３）先假设满足条件的平行四边形存在，根据题意，画出图形，按照假设的各种情况从已知条件、定义、定理或公理出发，进行推理，得到和题意相符合的结论，则假设成立，结论也存在．

2( )y a x b c

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解：（１）根据题意，抛物线的顶点坐标为 (2,3),

设抛物线的解析式为 ，把 O(0,0) 代入，得： ，解得：

2( 2) 3y a x 20 (0 2) 3a

3

4a 2 23 3

, ( 2) 3 34 4

y x x x

（２）设直线 AC 的解析式为 ，把点 A(4,0),C(0,3) 代入，得

y kx b

30 4

, 43

3

k b k

bb

解得

∴直线 AC 的解析式为 ，33

4y x

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∴抛物线与直线 AC 的交点坐标为

∴点 D 的坐标是

2

33

43

34

y x

y x x

列方程组，得

12

21

14

,90

4

xx

yy

解得

9(1, )4和（4, 0）,

9(1, )4

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（ 3 ）存在 .

①如图①，若点 M在 x 轴上方，过点 D作 DM1∥x轴，交二次函数于点 M1,

1

9 9(1, ) .4 4

D M∵ , 点 的纵坐标是2

2

1

33

49 3 9

3 ,4 4 4

91 3,

4

y x x

y x x

x M

在二次函数 中，

当 时，-

解得 或 ∴ （3，），

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∴DM1 ＝３－１＝２．

在 x 轴上截取 AN1＝ AN2＝ DM1 ，

则四边形 AM1DN1 与四边形 DAN2M1 都是符合

要求的平行四边形，

∴ ON1＝ OA－ AN1 ＝４－２＝２，

ON2＝ OA＋ AN2 ＝４＋２＝６，

∴ N1(2,0),N2(6,0).

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②如图②，若点 M在 x 轴下方，四边形 AM2N3D 与四边形 AM3N4D 是满足条件的四边形．分别过点 M3、

D、M2作 x 轴的垂线，垂足分别为 E、 L、 F ．

易证M2E＝M3F＝ DL ，

即点 M2、M3 的纵坐标都是

在二次函数 中，当 时，

9

4

233

4y x x

9

4y 23 9

34 4x x

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2 3

9 92 7, (2 7, ), (2 7, )

4 4x M M 解得

2 7 4 7 2,AE OE OA

3 2 3 4,DLN M EA M FN DLA易证：△ ≌△ △ ≌△ ，

3 47 2 4 1 3LN AE FN LA ， ，

3 3 1 7 2 7 1.ON OL LN

4 4 3 7 2 7 1.ON FN OF

3 4( 7 1,0), ( 7 1 0)N N ，综上所述，存在 4 个满足条件的点 N ：

1 2 3 4(2 0), (6 0), ( 7 1,0), ( 7 1 0).N N N N ， ， ，

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【难点突破】本题的难点在于第（３）问中探究M 、 N 点时，如何分情况求解，要使得 ADMN 为平行四边形， AD 已知，由于点 M 在抛物线上，点 N 在 x 轴上，可过点 D 作 x 轴平行线，此为一种情况；另外可想到点 M 在 x 轴下方的抛物线上，也可能满足条件，画出图形探究即可得；对于这种存在探究题，分情况讨论时，要注意结合已知找出分哪些情况，防止漏解．

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类型三　与三角形及四边形结合的二次函数探究题

例３　（’ 13 湘潭）如图，在坐标系 xOy

中，△ ABC 是等腰三角形，∠ BAC＝

90°， A(1,0),B(0,2), 抛物线 的图象过Ｃ点．

212

2y x bx

（１）求抛物线的解析式；（２）平移该抛物线的对称轴所在的直线 l ，当 l移动到何处时，恰好将△ ABC 的面积分为相等的两部分？

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（３）点 P 是抛物线上一动点，是否存在点 P ，

使四边形 PACB 为平行四边形？若存在，求出 P

点坐标；若不存在，说明理由．

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【思路分析】 (1)过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D ，证△ AOB

≌△CDA ，从而求出 C 点的坐标，再代入 中求出 b 的值即可 ;(2)过 x 轴上点 F(a,0)作直线EF∥直线 l 与 BC 、 AC 分别交于点 M 、 N ，分别求出直线 BC 和直线 AC 的解析式，继而求出线段 MN

的长，根据 构建方程模型就可求出 a 的值；

1=2CMN ABCS S△ △

212

2y x bx

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(3) 假设存在这样的 P点，显然，四边形 PACB

为平行四边形时，点 P只可能在第二象限，过点A作直线 AP∥BC与抛物线在第二象限交于点 P，求出直线 AP的解析式，再求点 P的坐标便可得线段 AP的长，求出 BC的长即可作出判断．也可以构建全等三角形证明 AP＝ BC，得出结论．

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解：（１）过点 C作 CD⊥x 轴于点 D

∵∠CDA ＝∠ AOB＝ 90° ，∠ CAD ＝∠ ABO ，∴△ACD≌△BAO ，∴ AD＝ OB， CD＝ AO ，∵ A(1,0),B(0,2),∴OD ＝３ ,

∴C(3,1).

把 C(3,1) 代入 得：

212

2y x bx

1

2b 21 1

22 2

y x x D

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（２）过 x 轴上点 F(a,0)作直线 EF∥直线 l与 BC、AC 分别交于点 M、 N ．设直线 AC 的解析式为 y＝ kx＋ b ，

10 2, ,

3 1 1

2

kk b

k bb

∴直线 AC 的解析式为1 1

2 2y x

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设直线 BC 的解析式为 y k x b 1

2, ,3

3 12

b k

k bb

∴直线 BC 的解析式为 12

3y x

1 1 1, 2,

2 2 3FN a FM a

1 1 1 5 52 ( ) ,

3 2 2 2 6MN a a a

2 2 21 1 5= = 1 2 ,2 4 4CMN ABCS S △ △ ( )

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1 5 5 5( )(3 ) ,2 2 6 4

a a

1 23 3, 3 3( )a a 解得： 不合题意，舍去，

3 3,a 即直线 l 平移到过点 时，恰好将△ ABC 的面积分为相等的两部分．

3 3,0（ ）

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（３）假设存在这样的点 P ，使得四边形 PACB为平行四边形．过点 A作直线 AP∥BC 与抛物线在第二象限交于点 P ．∵直线 BC 的解析式为

12,

3y x

∴设直线 AP 的解析式为 1

3y x m

1 11 0,

3 3m m

∴直线 AP 的解析式为1 1

3 3y x

21 12

2 2 ,1 1

3 3

y x x

y x

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21

12

72 3,1 4

9

xx

yy

解得： （不在第二象限，舍去）

2 2( 2 1). 3 1 10P AP ， ，

在等腰直角△ ABC 中 2 2( 5) ( 5) 10BC ，

.AP BC ∴存在这样的点 P ，使得四边形 PACB 为平行四边形．

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【难点分析】对于第２问，要动直线平分三角形面积，其实就是以动直线与三角形两边交点之间的线段为底边，再以一个顶点到直线的距离为高，运用面积公式得出关于未知数的方程进行求解．对于第３问，讨论是否能构成平行四边形，关键是利用平行四边形的性质，通过对边平行且相等来确认其顶点 .

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