第 1 讲　导数的概念与运算

抓住 5个考点抓住 5个考点突破 3个考向突破 3个考向揭秘 3年高考揭秘 3年高考

第 1 讲　导数的概念与运算


考点梳理

1 ．函数 y＝ f(x)在 x＝ x0 处的导数(1)定义：设函数 y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈ (a，

b)，当 Δx无限趋近于 0时，比值ΔyΔx＝_______________

无限趋近于一个常数 A，则称 f(x)在 x＝x0处可导，并

称常数_____为函数 f(x)在点 x＝x0 处的导数，记作

f′ (x0)．可表示为“ 当Δx→ 0时，fx0＋Δx－fx0

Δx → A” ．

A

fx0＋Δx－fx0Δx


(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义

是过曲线 y＝ f(x)上点 ___________的切线的斜率．

若 f(x)对于区间 (a， b)内任一点都可导，则 f(x)在各点的导数也随着自变量 x的变化而变化，因而也是自变量 x

的函数．该函数称为 f(x)的导函数，记作 f′(x)．

2 ．函数 f(x) 的导函数

(x0， f(x0))

3 ．基本初等函数的导数公式原函数导函数

f(x)＝ C f′(x)＝ ____

f(x)＝ xα(α为常数 ) f′(x)＝ _______

f(x)＝ sin x f′(x)＝ ________

0

αxα － 1

cos_x


f(x)＝ cos x f′(x)＝ _________

f(x)＝ ax(a>0， a≠1) f′(x)＝ _______

f(x)＝ ex f′(x)＝ _______

f(x)＝ logax(a＞0， a≠1)

f′(x)＝ ________

f(x)＝ ln x f′(x)＝ ______

－ sin x

axln a

ex

1xln a

1x


(1)[f(x)±g(x)]′＝ ____________；(2)[f(x)·g(x)]′＝ _________________；

(3)

fx

gx ′ ＝___________________ (g(x)≠ 0)．

f′ xgx－fxg′ x[gx]2

f′(x)±g′(x)

f′(x)g(x)＋ f(x)g′(x)

4. 导数的运算法则


　一个命题规律本讲知识是高考中的常考内容，尤其是导数的几何意义及导数的四则运算，更是高考考查的重点．以填空题的形式出现，有时也出现在解答题的第一问中．导数的运算及复合函数的导数一般不单独考查，在考查导数应用的同时考查导数的运算．

【助学 · 微博】


曲线 y＝ f(x)“ 在点 P(x0， y0) 处的切线”与“过点P(x0， y0) 的切线”的区别与联系(1)曲线 y＝ f(x)在点 P(x0， y0)处的切线是指 P为切点，切线斜率为 k＝ f′(x0)的切线，是唯一的一条切线．(2)曲线 y＝ f(x)过点 P(x0， y0)的切线，是指切线经过 P

点．点 P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线可能有多条．


解析　 f(1)＝ 0， f′(x)＝ 3x2－ 4x， f′(1)＝－ 1，所以切线方程为 y＝－ (x－ 1)，即 x＋ y－ 1＝ 0.

答案 x＋ y－ 1＝ 0

考点自测

1． (2012· 济南模拟 )曲线 f(x)＝ x2(x－ 2)＋ 1在点(1， f(1))处的切线方程为 ________．


2． (2012· 泰州市高三期末考试 )设 A为奇函数 f(x)＝ x3

＋ x＋ a(a为常数 )图象上一点，曲线 f(x)在 A处的切线平行于直线 y＝ 4x，则 A点的坐标为 ________．

答案 (－ 1，－ 2)或 (1,2)

解析设 A(x0，y0)，则由 f(0)＝0，得 a＝0，所以 f(x)

＝x3＋x，f′ (x)＝3x2＋1，于是由 4＝f′ (x0)＝3x20＋1，

得 x20＝1，所以 x0＝±1，所以 A(－1，－2)或 A(1,2)．


• 　　 3．已知函数 y＝ f(x)的图象在点• M(1， f(1))处的切线方程是 y＝ x＋ 2，

则 f(1)＋ f′(1)＝ ________.


4． (2012· 南京模拟 )若直线 y＝ kx－ 3与曲线 y＝ 2ln

x相切，则实数 k＝ ________.解析由 y＝2ln x，得 y′ ＝

2x.设 y＝kx－3与曲线 y＝2ln x

相切于点(x0，y0)(x0＞0)，则有 k＝2x0，y0＝kx0－3＝－1，

y0＝2ln x0，所以 x0＝e－12，k＝

2x0＝2 e.

答案 2 e


【例 1 】 (2013· 泉州月考 )求下列函数的导数： (1)y＝ ex·ln x；

考向一　导数的运算

(2)y＝x

x2＋1x＋

1x3 ；

(3)y＝x－sinx2cos

x2；

(4)y＝( x＋1)

1

x－1；

(5)y＝x＋x5＋sin x

x2 .


解 (1)y′ ＝(ex·ln x)′ ＝exln x＋ex·1x＝ex

ln x＋1x .

(2)∵ y＝x3＋1＋1x2，∴ y′ ＝3x2－

2x3.

(3)先使用三角公式进行化简，得

y＝x－sinx2cos

x2＝x－

12sin x，

∴ y′ ＝

x－12sin x ′ ＝x′ －

12(sin x)′ ＝1－

12cos x.

(4)先化简，y＝ x·1x－ x＋

1x－1＝－x

12＋x－

12，

∴ y′ ＝－12x－

12－

12x－

32＝－

12 x

1＋1x .


[ 方法总结 ] (1)求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错； (2)有的函数虽然表面形式为函数的商的形式，但在求导前利用代数或三角恒定变形将函数先化简，然后进行求导，有时可以避免使用商的求导法则，减少运算量．

(5)∵ y＝x12＋x5＋sin x

x2 ＝x－32＋x3＋

sin xx2 ，

∴ y′ ＝

x－32 ′ ＋(x3)′ ＋(x－2sin x)′

＝－32x－

52＋3x2－2x－3sin x＋x－2cos x.


【训练 1 】求下列函数的导数． (1)y＝ (x＋ 1)(x＋ 2)(x＋ 3)；

(2)y＝sin x2

2cos2x4－1；

(3)y＝tan x；

(4)y＝xln x；

(5)y＝1－ex

1＋ex.

解 (1)因为 y＝(x＋1)(x＋2)(x＋3)＝(x2＋3x＋2)(x＋3)

＝x3＋6x2＋11x＋6，所以 y′ ＝3x2＋12x＋11.


(2)因为 y＝sin x2

2cos2x4－1＝sin

x2cos

x2＝

12sin x，所以 y′

＝

1

2sin x ′ ＝12(sin x)′ ＝

12cos x.

(3)因为 y＝tan x＝sin xcos x，

所以 y′ ＝

sin x

cos x ′ ＝cos2 x＋sin2 x

cos2 x ＝1

cos2 x.

(4)因为 y＝x ln x，

所以 y′ ＝(xln x)′ ＝ln x＋x·1x＝ln x＋1.

(5)因为 y＝1－ex

1＋ex＝2

1＋ex－1，

所以 y′ ＝

2

1＋ex－1 ′ ＝

2

1＋ex ′ ＝－2ex

1＋ex2


(2)(2012· 淮安市第四次调研 )已知曲线 y＝ (a－ 3)x3＋ ln x

存在垂直于 y轴切线，函数 f(x)＝ x3－ ax2－ 3x＋ 1在

[1,2]上单调递增，则 a的取值范围是 ________．解析　 (1)∵ f′(x)＝ ln x＋ 1，又 f′(x0)＝ 2，∴ ln x0＋ 1

＝ 2.

解得 x0＝ e， y0＝ e＋ 1.故 f(x)在点 (e， e＋ 1)处的切线

方程为 y－ (e＋ 1)＝ 2(x－ e)，即 2x－ y－ e＋ 1＝ 0.

考向二　导数的几何意义及综合应用

【例 2 】 (1)设 f(x)＝ xln x＋ 1，若 f′(x0)＝ 2，则 f(x)在点 (x0， y0)处的切线方程为 ________．


答案 (1)2x－ y－ e＋ 1＝ 0 (2)(－∞， 0]

(2)由题意，可得 y′ ＝3(a－3)x2＋1x(x>0)，

即 3(a－3)x3＋1＝0有正实根，所以 a－3<0，a<3. 由 f(x)＝x3－ax2－3x＋1在区间[1,2]上单调递增，得 f′ (x)

＝3x2－2ax－3≥ 0在[1,2]上恒成立，即 a≤32

x－1x在[1,2]

上恒成立．因为 y＝32

x－1x在[1,2]上递增，所以 ymin＝0，

所以 a≤ 0.综上，得 a的取值范围是(－∞，0]．


[ 方法总结 ] (1)利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点的坐标．②切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．(2)与导数几何意义有关的综合性问题，涉及到三角函数求值、方程和不等式的解，关键是要善于进行等价转化．


【训练 3 】 (1)(2012· 南通市第一学期调研 )曲线 c： y＝

xln x在点M(e， e)处的切线方程为 ________．(2)(2012·镇江调研)设P是函数 y＝ x(x＋1)图象上异于原点

的动点，且该图象在点 P处的切线的倾斜角为 θ，则 θ的取

值范围是________．


解析 (1)y′ ＝ln x＋1，k＝ln e＋1＝2，所以曲线在点M处的切线方程为 y－e＝2(x－e)，即 2x－y－e＝0.

(2)由 y＝ x(x＋1)，得 y′ ＝32x

12＋

12x－

12

＝12

3 x＋1x ≥

12× 2 3 x·

1x＝ 3，所以 tan θ ≥ 3，

所以π3≤ θ<

π2.

答案 (1)2x－y－e＝0 (2)

π

3，π2


求曲线切线时，要分清在点 P处的切线与过 P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．

(1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程；(3)求斜率为 1的曲线的切线方程． [ 审题路线图 ] 求曲线的切线方程方法是通过切点坐标，求出切线的斜率，再通过点斜式得切线方程．

规范解答 3 　求在点 P 处的切线与过点 P 处的切线

【示例】 (2012·扬州阶段检测)已知曲线 y＝13x3＋

43.


[解答示范] (1)∵ P(2,4)在曲线 y＝13x3＋

43上，且 y′ ＝x2，

∴ 在点 P(2,4)处的切线的斜率为 k＝4. ∴ 曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y－4＝4(x－2)，即 4x－y－4＝0.(4分)

(2)设曲线 y＝13x3＋

43与过点 P(2,4)的切线相切于点

A

x0，13x3

0＋43，则切线的斜率为 k＝x2

0.

∴ 切线方程为 y－

1

3x30＋

43＝x2

0(x－x0)，

即 y＝x20·x－

23x3

0＋43.(6分)


∵ 点 P(2,4)在切线上，∴ 4＝2x20－

23x3

0＋43，

即 x30－3x2

0＋4＝0，∴ x30＋x2

0－4x20＋4＝0，

∴ x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，

∴ (x0＋1)(x0－2)2＝0，解得 x0＝－1或 x0＝2，故所求的切线方程为 4x－y－4＝0或 x－y＋2＝0.(8分) (3)设切点为(x0，y0)，则切线的斜率为：x2

0＝1，x0＝±1.

切点为(－1,1)或

1，53，

∴ 切线方程为 y－1＝x＋1或 y－53＝x－1，

即 x－y＋2＝0或 3x－3y＋2＝0.(12分)

　 [ 点评 ] 曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．


解析　 y′＝ 3x2－ 1， k＝ f′(1)＝ 2，所以曲线在点 (1,3)处的切线方程为 y－ 3＝ 2(x－ 1)，即 2x－ y＋ 1＝ 0.

答案 2x－ y＋ 1＝ 0

高考经典题组训练

1． (2012· 广东卷 )曲线 y＝ x3－ x＋ 3在点 (1,3)处的切线方程为 ________．


解析　函数 f(x)展开式中含 x项的系数为 a1·a2·…·a8＝

(a1·a8)4＝ 84＝ 212，所以 f′(0)＝ a1·a2……a8＝ 212.

答案 212

2． (2010· 江西卷改编 )等比数列 {an}中， a1＝ 2， a8＝

4，函数 f(x)＝ x(x－ a1)(x－ a2)…(x－ a8)，则 f′(0)＝

________.


答案 2

3．(2012·陕西)设函数 f(x)＝ ln x，x>0，－2x－1，x≤ 0，

D 是由 x 轴和曲

线 y＝f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则

z＝x－2y在 D上的最大值为________．

解析由 f(x)＝ln x，得 f′ (x)＝1x，k

＝f′ (1)＝1，所以 f(x)＝ln x(x>0)在点(1,0)处的切线方程为 y＝x－1，画出可行域如图所示，则当直线 x－2y＝z 经过点 A(0，－1)时，zmax＝0－2× (－1)＝2.


4．(2012·安徽卷)设函数 f(x)＝aex＋1

aex＋b(a>0)．

(1)求 f(x)在[0，＋∞ )内的最小值；

(2)设曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为 y＝32x，

求 a，b的值．

解 (1)f′ (x)＝aex－1

aex，当 f′ (x)>0，即 x>－ln a时，f(x)

在(－ln a，＋∞ )上递增，当 f′ (x)<0，即 x<－ln a时，f(x)在(－∞，－ln a)上递减． ①若 0<a<1，则－ln a>0，f(x)在(0，－ln a)上递减，在(－ln a，＋∞ )上递增，从而 f(x)在[0，＋∞ )上的最小值为 f(－ln a)＝2＋b； ②若 a≥ 1，则－ln a≤ 0，f(x)在[0，＋∞ )上递增，从而 f(x)

在[0，＋∞ )上的最小值为 f(0)＝a＋1a＋b.


(2)依题意，得 f′ (2)＝ae2－1

ae2＝32，

解得 ae2＝2或 ae2＝－12(不合题意，舍去)．

所以 a＝2e2，代入原函数，得 2＋

12＋b＝3，即 b＝

12.

故 a＝2e2，b＝

12.

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