(:1) مثالص15+ س20= ر التالية: الربح دالة عظم

التالية: بالقيود 16 ص4+ س2 12 ص2+ س3

0 ص 0 سالحـــل

معادالت: إلى المتباينات - نحول112= ص2+ س163= ص4+ س2

6= ص0= س4= ص0= س0= ص4= س0= ص8= سالمعادالت. - نرسم2 منطقة - نحدد3 فى تتحــدد الحلــول منطقة فــإن المتباينات التجاه الحلول: وفقا

د. جـ، ب، أ، طقالنالهدف: دالة فى بالنقط - نعوض4

ص15+ س20= ر جنيه80( = 0 )15( + 4 )20= ر(0 ،4) أ النقطة عند جنيه85( = 3 )15( + 2 )20= ر(3 ،2) ب النقطة عند جنيه60( = 4 )15( + 0 )20= ر(4 ،0) جـ النقطة عند( = صفر0 )15( + 0 )20= ر(0 ،0) د النقطة عند

األمثل: الحل - اختيار5 وقــدره ممكن ربح أقصى يتحقق الــربح دالة تعظيم هو الهــدف كــان لما

.3= ص ،2= س حيث ب النقطة عند جنيه85المستغلة: الموارد - تحديد6

ص س، قيود فى بالتعويض ذلك يتم 16 ص4+ س2األول: القيد

2(2 + )4(3 = )16 مـــــوارد توجد وال القيد يحقق

مستغلة غير

ــانى: القيد ص2+ س3الثـ12

3(2 + )2(3= ) 12

مــــوارد توجد وال القيد يحققمستغلة غير

(:2) مثال الدالة: تجعل التى ص س، قيمة أوجد

يمكن ما أكبرص10+ س12= رالتالية: بالقيود

720 ص3+ س4 570 ص3+ س2

0 ص 0 سالحـــل

معادالت: إلى المتباينات - نحول1570= ص3+ س7202= ص3+ س4

190= ص0= س240= ص0= س0= ص285= س0= ص180= سالمعادالت. - نرسم2 منطقة - نحدد3 فى تتحــدد الحلــول منطقة فــإن المتباينات التجاه الحلول: وفقا

د جـ، ب، أ، النقط

الهدف: دالة فى بالنقط - نعوض4ص10+ س12= ر

2160( = 0)10( + 180)12= ر(0 ،180) أ النقطة2300( = 140)10( + 75)12= ر(140 ،75) ب النقطة1900( = 190 )10( + 0)12= ر(190 ،0) جـ النقطة( = صفر0 )10( + 0)12= ر(0 ،0د) النقطة

األمثل: الحل - اختيار5 تحقق التى هى ب نقطة فإن للدالة العظمى النهاية المطلوب كان لما

الهدف140ص= ،75س= عند2300 وقدرها العظمى نهايتها الدالة تبلغ حيث

المستغلة: الموارد - تحديد6 ص3+ س4األول: القيد

720 + س2الثـــــــانى: القيد

570 ص3

123

654

ص

س321

أ (4

،0)

4567

987 د(0

،0)

جـ(0 ،

4) ب(2 ،

من(3ط

قة الحلول

30

60

90

180

150

120

ص

س90

60

30

أ (18

0 ،0)

120

150

180

210

270

240

210

د(0 ،

0)

جـ(0 ،

190)

ب(75 ،

140)

240

300

منطقة الحلــول

4(75 + )3(140 = )720 موارد توجد وال القيد يحقق

مستغلة غير2(75 + )3(140)

=570 توجد وال القيد يحققمستغلة غير موارد

(:3) مثالص8+ س5= ت للدالة: الصغرى النهاية أوجد

التالية: بالقيود 300 ص5+ س10 250 ص10+ س5 150 ص3+ س4

0 ص 0 سالحـــل

معادالت: إلى المتباينات - نحول1150ص=3س+2504ص=10س+3005ص=5س+1050= ص0= س25= ص0= س60= ص0= س0= ص37.5= س0= ص50= س0= ص30= سالمعادالت. - نرسم2 منطقة - نحدد3 النقط فى الحلول منطقة تتحدد المتباينات التجاه الحلول: وفقا

د جـ، ب، أ،الهدف: دالة فى بالنقط - نعوض4

ص8+ س5= ت250( = 0)8( + 50 )5= ت(0 ،50) أ النقطة230( = 10)8( + 30 )5= ت(10 ،30) ب النقطة315( = 30)8( + 15)5= ت(30 ،15) جـ النقطة480( = 60)8( + 0)5= ت(60 ،0) د النقطة

األمثل: الحل - اختيار5 ص ،30= س )ب( حيث النقطة عند230 وقــدرها للدالة الصغرى النهاية تتحقق

=10.المستغلة: الموارد - تحديد6

300 ص5+ س10األول: القيدمستغلة غير موارد توجد وال القيد يحقق350( = 10)5( + 30)10

350 ص10+ س5الثانى: القيدمستغلة غير موارد توجد وال القيد يحقق250( = 10)10( + 30)5

150 ص3+ س4الثالث: القيدمستغلة غير موارد توجد وال القيد يحقق150( = 10)3( + 30)4

510

15

30

25

20

ص

1س5

10

5

20

25

30

35

45

40

35

د(0 ،

60)

ب(30 ،

10)

40

50

45

50

55

60

جـ(15

،30)

أ(50 ،

0)

التفاضل قوانين أهم: ن = س ص للدالة األولى المشتقة- 1

)ن( فإن: قيمة كانت مهما ن= س ص الدالة لدينا كان إذا1ن-× س = نص ءس ء

دالتين: ضرب لحاصل األولى ( المشتقة 5 )لالشتقاق قابلتين س فى دالتين ل م، حيث× ل = م ص كانت إذا

فإن

م ء× + لل ء× = مص ءس ءس ءس ء

للدالة األولى × المشــتقة األولى = الدالة دالــتين ضــرب لحاصل األولى المشتقة أن أى الثانية

األولى للدالة األولى × المشتقة الثانية + الدالةدالتين: قسمة لخارج األولى ( المشتقة6)

وقابلة س المتغير فى دالةم= ص كانت إذالالشتقاق ل

فإن

=ص ء2لس ء

أن أىص ء

= للبسط-البسط×المشتقة األولى المقام×المشتقة

للمقام األولىالمقام مربعس ء

الدالة: لدالة األولى ( المشتقة 7 ) فإن: لالشتقاق قابلة س فى دالة ع حيث ن= ع ص كانت إذا

ع ء ×1ن-× ع = نص ءس ءس ء

تفسيرها ويمكن يلى: كما نظريافإن: سالب أو موجب كسر أو صحيح عدد ن حيث ن= )قوس( ص كانت إذا

بداخل ما × تفاضل القوس = تفاضلص ءالقوس س ء

======================================================================

(:1) مثال2س0.1 – 150= التالية: ط بالدالة عنها التعبير )ط( يمكن منها المطلوبة )س( والكمية الســـلعة ســـعر بين العالقة أن بفـــرض

نقدية. وحدات5= السلعة سعر يكون عندما الطلب مرونة أوجد الحـــلط ء×س= الطلب مرونة

س ءط5= س أن وحيثس0.2× -س= ط

2(5 )0.1 – 150= ط

=150– 2.5 = 147.51 = -5 × 0.2= -ط ء س ء 1× -5= الطلب مرونة 147.5

=-5- =0.033 147.5:ملحوظة

سالبة قيمة الطلب مرونة تأخذ قليل الطلب أن ( يقــال1- ،0) بين تقع المرونة كــانت وســعرها. فــإذا معينة ســلعة من المطلوبة الكمية بين عكســية عالقة لوجــود دائمــا المرونة كــانت إذا أما المرونــة، متكافئ الطلب أن يقال1= - المرونة كانت وإذا المرونة

المرونة. كثير الطلب أن ( فيقال1)- من أقل(:2) مثال

التالية: الدالة تمثلها ما لسلعة والسعر العرض بين العالقة كانت إذا2س1.2 + 150= ع

نقدية. وحدات10 الوحدة سعر يكون عندما العرض مرونة أوجد الحـــل= العرض مرونة

ع ء×سس ءع

10 = س أن وحيثس2.4× س= ع 270 = 120 + 150 = 2(10 )1.2 + 150= ع

240 = 10 × 2.4= ع ء س ء 240× 10= العرض مرونة 270

[

=240 =0.889 270:ملحوظة

موجبة قيمة العـــرض مرونة تأخذ ــا وإذا المرونـة، قليل العـرض أن ( يقـال1 ،0) بين تقع المرونة كـانت فـإذا وسـعرها، معينة سلعة من المعروضة الكمية بين طردية عالقة لوجـــود دائمـ أن ( فيقــال1) من أكبر المرونة كانت إذا أما المرونة، متكافئ العرض أن يقال1= المرونة كانت

المرونة. كثير العرض

(:3) مثال الكلى اإلنتاج )ص( وحجم الكلية التكاليف بين العالقة تتحدد للدالة: )س( وفقا

3(55 – 2س3)1= ص1000

ــير معــدل احسب ــاليف دالة فى التغ ــاج لحجم بالنســبة الكلية التك وحدات.5 قدره كلى إنتاج حجم عند وذلك الكلى، اإلنتالحـــل

للدالة األولى = المشتقة الحدية = التكلفة التغير معدلس(6 ×2(55 – 2س3)3)1=ص ء 1000س ء

2(55 – 2س3)س18=1000

5= س أى وحدات5 قدره كلى إنتاج حجم وعند2(55 – 25 × 3)5 × 18=ص ء1000س ء

= 0.09( × 75 – 55)2

= 0.09( × 20)2 = 0.09 × 400 = 36نقدية. وحدة36 بمقدار لإلنتاج الكلية التكاليف فى تغير إلى مثال( يؤدى )وحدة جدا ضــئيال وحدات( ولو5 إنتاج )بعد المنتجة الوحدات عدد فى تغير أى أن ذلك ومعنى

(:4) مثالالتالية: الدالة تحددها المصانع أحد )س( فى المنتجة الوحدات )ص( وعدد الكلية التكاليف بين العالقة كانت إذا

2س0.2+ س5 + 50= ص

الحـــل وحدات10 إنتاج عند المتوسطة والتكلفة الحدية التكلفة أوجدوحدات 10 إنتاج وعندس0.4 + 5= ص ءهى الحدية التكلفة س ء

10 × 0.4 + 5= ص ء س ء = 5 + 4 = 9

نقدية. وحدات9 بمقدار الكلية التكــاليف زيــادة إلى يــؤدى إضافية وحدة أى إنتاج فإن وحدات10 إنتاج بعد أنه أى)س( المنتجة الوحدات ÷ عدد الكلية = التكاليف المتوسطة التكلفة2س0.2+س50+5=

سسسوحدات 10 إنتاج وعندس0.2 + 5+ 50= س

10 × 0.2 + 5+ 50= المتوسطة التكلفة 10 =5 + 5 + 2 = 12

وحدات(.10 اإلنتاج حجم كان )إذا نقدية وحدة12= الوحدة إنتاج تكلفة متوسط أن أى(:5) مثال

المصـانع أحد )س( فى الكلى اإلنتـاج )ص( وحجم الكلى اإليراد بين العالقة تتحدد التالية: للدالة وفقا2(100 – 2س5 )0.004= ص

وحدات.10 إنتاج عند اإلنتاج لحجم بالنسبة الكلى اإليراد دالة فى التغير معدل احسب الحــلالكلى اإليراد لدالة األولى المشتقة أو الحدي المطلوب: اإليراد

س(10( × 100 – 2س5)2 )0.004= ص ء س ء(100 – 2س5) س20 × 0.004 = (100 –2س5) س0.08 =

س ء وحدات10 إنتاج وعند س8 – 3س0.4= ص ء(10)8 – 3(10 )0.4= ص ء س ء

= 0.4 × 1000 – 80 = 400 – 80 = 320

نقدية. وحدة320 بمقدار الكلى اإليراد فى زيادة إلى يؤدى واحدة بوحدة ولو المنتجة الوحــدات عــدد فى زيادة أى فإن وحدات10 إنتاج بعد أنه ذلك ومعنى(:6) مثال

)ص( هى: )س( واالستهالك الدخل بين العالقة كانت إذا- س س0.8 + 10= ص

الحـــل جنيه.400 دخل مستوى عند لالدخار الحدي والميل لالستهالك، الحدي الميل أوجدللدالة: األولى = المشتقة لالستهالك الحدي الميل

- س س0.8 + 10= صس – س0.8 + 10= ص

س1 -0.8= ص ء 2س ءجنيه 400 )س( قدره دخل وعند1 -0.8= ص ء س2س ء1 -0.8= ص ء

12

-12

400 2س ء

=0.8- 1 =0.8- 1 =0.8 – 0.025 = 0.775 2 × 2040 1= لالدخار الحدي + الميل لالستهالك الحدي الميل 0.225 = 0.775 – 1= لالدخار الحدي الميل(:7) مثال

التالية: الدالة تمثلها ما دولة )ص( فى التعليم على )س( والمنفق القومي الدخل بين العالقة كانت إذا100 – س2= ص5

القومي. دخلها فى للتغــير بالنســبة الدولة هــذه فى التعليم على المنفق فى التغير معدل احسبالحــل

التعليم على المنفق لدالة األولى المشتقة المطلوبص ءس ء

100 – س2= ص520 – س0.4= ص

0.4= ص ء س ءــادة عليها يترتب القومي الدخل فى زيادة أى أن ذلك ومعنى مليــون(1000) جنيه مليار بمقدار الدولة لهذه القومي الدخل زاد إذا %. فمثال40 تعادل التعليم على المنفق فى زي

جنيه. مليون400 مقدارها التعليم على المنفق فى زيادة عليه يترتب سوف ذلك فإن(:8) مثال

التغير معدل النسيج. احسب من وحدات10 إنتاج إلى تؤدى الغزل من وحدة وكل الغزل، من وحــدات5 إنتــاج إلى تؤدى عمل ساعة كل كانت إذا والنسيج للغزل دمياط مصنع فىالعمل. ساعات وحدات فى للتغير بالنسبة الغزل وحدات فى

الحـــل)ع( النسيج )ص( ووحدات الغزل )س( ووحدات العمل ساعات أن نفرض

5= ص ءومنهاس5= ص س ء10 =ع ءومنها ص10= ع ، س ء

)س( العمل ساعات لوحدات )ع( بالنسبة النسيج وحدات فى التغير معدل المطلوب ولكنص ء×ع ء=ع ءأن وحيثع ءأى

س ءص ءس ءس ء50 = 5 × 10= ع ء س ء

وحدة.50 مقداره النسيج وحــدات فى تغــير إلى يــؤدى واحــدة ســاعة بمقدار العمل ساعات فى تغير أى أن بمعنىآخر: حل

س: ع، بين دالية عالقة نوجد أن ذلك ومعنىع ءبالمطلو س ء ص10= ع،س5= ص س(5)10= عس50= ع

50= ع ء س ء(:9) مثال

15+ س2.4= ص3التالية: الدالة )ص( تحددها لالستهالك )س( دخله من معين مجتمع فى الفــــــــرد يخصصه ما بين العالقة كــــــــانت إذالالستهالك. جنيه300 الشهرى دخله فرد يخصصه ما قيمة أوجد للــدخل(. ثم بالنســبة االســتهالك فى التغــير )معــدل لالستهالك الحدى الميل أوجد

الحـــل15+ س2.4= ص35+ س0.8= ص

0.8= ص ء س ء%.80 مقدارها لالستهالك الفرد يخصصه ما فى زيادة يقابلها الدخل فى زيادة أى أن أى

)ص( لالستهالك يخصصه ما فإن300)س( = الفرد دخل كان وإذا5( + 300 )0.8= ص

جنيه245 = 5 + 240 =

التكامل قوانين أهم(: 1 ) القاعدة

ثابت مقدار أ حيثس ءأ.

+ جـ س = أ ص (:2)القاعدة

1ن+س= صس . ءنس+ جـ 1+ ن

(:3)القاعدة1ن+س أ= صس . ءنس أ

+ جـ 1+ ن(: 4 ) القاعدة

الدوال. لتكامالت الجبري = المجموع دوال لعدة الجبري المجموع تكامل(: 5 ) القاعدة

1 بأس س ثوابت، ب أ، حيثس . ءن+ ب( س )أ

= صن++ ب( س )أ

+ جـ11+ × ن أ

(:1) مثال5+ س2 – 2س0.06= المصانع ألحد الحدية التكلفة دالة أن علمت إذا

عند التكلفة هذه حدد الكلية. ثم التكلفة دالة المنتجة. أوجد الوحدات عدد س حيث وحدة100 قدره إنتاج حجم جنيه.1500 لإلنتاج الثابتة التكلفة بأن علما

الحــلالحدية التكلفة دالة= الكلية التكلفة دالة

س (. ء5+ س2 – 2س0.06)= ص

=س0.063-

2س2

+ جـ س5+ 32

+ جـ س5 + 2 س– 3س0.02= ص(1500= جـ التكامل ثابت تمثل لإلنتاج الثابتة )التكلفة وحدة100 إنتاج وعند

1500( + 100 )5 + 2(100 )– 3(100 )0.02= ص = 0.02( 1000000 )– 10000 + 500 + 1500 = 20000 – 10000 + 500 + 1500

12000= صجنيه ألف12 تبلغ وحدة100 إنتاج تكاليف أن أى

(:2) مثالهما: المصانع ( ألحد) الحدى اإليراد ( ودالة) الحدية التكلفة دالة أن علمت إذا

س0.05 + 2س0.2 = س0.1 – 500 =

ــاج حجم س حيث ــربح دالة أوجد اإلنت ــدد ثم الكلى؟ ال ــذا قيمة ح ــربح ه ــاج عند ال 10 إنت وحدات جنيه.100 تبلغ لإلنتاج الثابتة التكاليف بأن علما

الحـــلالكلية التكاليف دالة – الكلى اإليراد = دالة الكلى الربح دالة

الحدية التكلفة دالة – الحدي اإليراد دالة= س س(. ء0.05 + 2س0.2) – س س( . ء0.1 – 500)=

- س500= 3س0.2 - 1+ جـ2س0.1

+2س0.5

2+ جـ232

0= س عند الكلى اإليراد قيمة تمثل الكلى اإليراد دالة فى التكامل ثابت أن وحيث صفر1جـ =

لوجـــود0= س عند قيمة لها يكـــون الكلية التكـــاليف دالة فى التكامل ثـــابت بينما100 = 2جـ اإلنتاج بعملية لها عالقة ال مصاريف

100 – 2س0.25 – 3س1 -2س0.05 – س500= ر 15100- س500 + 2س0.075 – 3س1= - 15

)ر(: للمصنع الكلى الربح فإن وحدات10 إنتاج وعند100( - 10 )500 + 2(10 )0.075 – 3(10)1= - ر 15

- =66.67 – 7.5 + 5000 - 100نقدية. وحدة4825.83= ر(:4) مثال

40+ س0.05العالقة: - تمثلها معين لمنتج الحدي اإليراد دالة كانت إذاوالمطلوب: المباعة الوحدات عدد س حيث

وحدة.100 بيع نتيجة الكلى اإليراد تحديد-1 وحدة.120 إلى وحدة100 من المبيعات زادت إذا اإلضافي اإليراد هو ما-2

الحــــلالحدي اإليراد دالة= الكلى اإليراد دالة

س ( . ء40+ س0.05)-= ص2س0.05-= ص

+ جـ س40+ 20= جـ حيثس40 + 2س0.025= ص

.100س= بوضع حسابه وحدة. ويمكن100 بيع نتيجة الكلى اإليراد والمطلوب(100)40 + 2(100 )0.025ص= -

- =0.025 × 10000 + 4000- =250 + 4000نقدية وحدة3750= ص

عليه نحصل وحــدة120 إلى وحــدة100 من المبيعــات زيادة عن الناتج اإلضافي واإليراديلى: كما

وحدة120 بيع عن الناتج = اإليراد اإلضافي اإليراد وحدة100 بيع عن الناتج اإليراد –

3750 –( 120)40 + 2(120 )0.025= - صنقدية وحدة690= 3750 – 4800 + 360= -