Выполнила:

Ученица 10А класса Гаязова Алиса

Руководитель

Учитель математики Разумова Зинаида Андреевна

Графики сложных Графики сложных тригонометрических тригонометрических

функцийфункций

1. Цель и задачи проекта:1. Цель и задачи проекта:

Цель: выявление методов построения графиков сложных тригонометрических функций.

Задачи: • проанализировать литературу по проблеме

исследования;• раскрыть сущность методов построения графиков

сложных тригонометрических функций;• подобрать и разработать творческие задания,

способствующие развитию навыков построения графиков сложных тригонометрических функций.

Вспомним определение синуса и косинуса угла поворота:

sin

cos

x

y

010

1

sin - ордината точки поворота cos - абсцисса точки поворота

2

(под «точкой поворота» следует понимать – «точку единичной тригонометрической окружности, полученной при повороте на радиан от начала отсчета»)

• Синусом α называется отношение AB/OB (отношение противолежащего катета к гипотенузе)

• Косинусом α называется отношение ОА/OB (отношение прилежащего катета к гипотенузе)

• Тангенсом α называется отношение AB/OA (отношение противолежащего катета к прилежащему)

• Котангенсом α называется отношение ОА/AB (отношение прилежащего катета к противолежащему)

• Секансом α называется отношение ОB/OA (отношение гипотенузы к прилежащему катету)

• Косекансом α называется отношение ОB/AB (отношение гипотенузы к противолежащему катету)

x

y

5

6

2

2

1

6

0

1

2

1

2

График функции y=sinx называется синусоидойсинусоидой.

6

5

6

3

2

3

2

2

−1

2

y

2

2

1

0

1

23

2

−1

2

График функции y=cosx называется косинусоидойкосинусоидой.

0x

y2

0 1

1

1

2

3

2

линия тангенсов

1

0

y

1

−14

4

2

2

График функции y=tgx называется

тангенсоидойтангенсоидой

0

y

2

1

2

x

−1

4

График функции y=ctgx называется

котангенсоидойкотангенсоидой

3

4

Методы построения графиков сложных

тригонометрических функций • Построение графиков с помощью

компьютерных программ.

• Построение графиков с помощью упрощения формулы. Примеры.

1

-1

0

Построение графиков с помощью компьютерных программ.

Построение графика функции в Excel.

Даны функция y = f(x) и отрезок [a, b]. Шаг h=0,1. Построить график этой функции на заданном отрезке, используя табличный процессор.    Пусть f(x) = x • cos(x); a = —10; b = 10.    Для решения задачи воспользуемся ЭТ MS Excel.    Решение состоит из двух шагов:

    1) протабулировать заданную функцию на заданном отрезке, т.е. вычислить ее значения с заданным шагом.    Занесем начало и конец отрезка в отдельные ячейки, чтобы при необходимости можно было изменить начало и конец отрезка. В один из столбцов поместим значения аргумента, в другой — значения функции. Ниже приведено начало таблицы в режиме отображения формул.

  2) Получив необходимые значения, переходим собственно к построению графика. Для этого воспользуемся мастером диаграмм. Из всех диаграмм наиболее подходящей представляется точечная.    Ниже приведены серия рисунков, иллюстрирующих процесс (шаги) построения графика, и фрагмент таблицы, содержащей конечный результат.

Построение графиков с помощью упрощения уравнения

функции. При построении графиков функций сложного вида можно примерно придерживаться

следующего плана:• Найти область определения и область значений функции. • Выяснить, является ли функция четной (нечетной). • Выяснить, является ли функция периодической. • Найти точку пересечения графика функции с осью ординат. • Найти нули функции и промежутки знакопостоянства. • Вычислить производную функции f(x) и определить точки, в которых могут

существовать экстремумы. • Найти промежутки монотонности функции. • Определить экстремумы функции. • Вычислить вторую производную f(x)• Определить точки перегиба. • Найти промежутки выпуклости функции. • Найти асимптоты графика. • Найти значения функции в нескольких контрольных точках. • Построить эскиз графика функции.

Примеры

1. y=

ОДЗ: sin x ≠ 0 x ≠ πk;

y= = =

y=2 cos x │sin x│ a) Если sin x ≠ 0, то y=2 cos x │sin x│ ( 2πk < x < π+2πk ) y = sin 2x T= =π

b) Если sin x<0, то y=-2cos x * sin x

( π+2πk < x < 2π+2πk ) y=-sin 2x

2. y=

ОДЗ: cos x ≠0

x≠ ;

y= => y= ;

a) Если cos x>0, то y= ;

( - y= cos x

b) Если cos x<0, то y=-cos x (

3. y= на [0;π]

ОДЗ: 2x ≠ x≠ k=0,1,2,3,4

y= ;

а) Если sin 2x<0, то y= - =-sin2x

2πk <2x< π+2πk

б) Если sin 2x<0, то y= sin2x π+2πk <2x< 2π+2πk

4. y= на [ ]

y=

ОДЗ: ctg 2x≠1

2x ≠ πk

x≠ k=0,1 2x ≠

x ≠ k=0,1,2,-1,-2

5. y=

y= =│cos 2x│*tg 2x =

a) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x

-

b) Если cos 2x<0, то y=-sin 2x

Творческие работы учащихся:

1. y= = =ОДЗ: sin x ≠ 0 x ≠ πk; sin x>0, то y=3 (1 и 2 четверти) sin x<0, то y=-3 (3 и 4 четверти)2. y=

3. y=4. y=

5. y=

6. y=7. y=

8. y=

9. y=

Заключение

• Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективные методы построения графиков сложных тригонометрических функций.

• В работе представлены методы построения графиков сложных тригонометрических функций и примеры функций, в которых используются данные методы.

• Результатом проекта можно считать творческие задания, подобранные обучающимися, как вспомогательный материал для развития навыка построения графиков сложных тригонометрических функций .

Спасибо за внимание!