Мысли вслух(о некоторых методических хитростях)

Рассмотрим еще один способ доказательства теоремы синусов.

Дано: ∆АВС, ω (О; R) – окружность, описанная вокруг ∆АВС. ∠А = α , ∠В = β , ∠С = γ .Доказать:

Доказательство:1) Проведем радиусы OB и OD окружности (OD⊥ BC, OD∩BC=E).

BE=EC, так как ∆BOC – равнобедренный, OE – высота, проведенная к его основанию, а значит, и медиана. ∠BAC = ∠ BOE = α (так как они опираются на равные дуги и ∠BAC вписанный, он равен половине дуги, на которую опирается, а ∠BOE – центральный и половина дуги BC заключена между его сторонами).

2) В ∆BOE BE = BO∙sin∠ BOE , то есть

.sinα⋅=RBC2

Это значит, что .sin

RBC2=

α

3) Аналогично доказывается и то, что:

, а

Следовательно, , то есть требуемое

доказано.

Этот способ доказательства можно взять на вооружение при выводе формулы

nRan

01802 sin⋅= , выражающей зависимость

стороны правильного многоугольника от радиуса описанной около него окружности.Действительно, пусть ω(О; r) – окружность, описанная около правильного многоугольника .... nAAAA 321

Рассмотрим треугольник iAAA 21 , где 21AA - сторона na правильного многоугольника, а точка iA - одна из вершин рассматриваемого правильного многоугольника. Тогда ясно, что если ,α=∠ 21OAA а ,β=∠ 21 AAA i то

С где R,2sin

AB ∠=⋅= γγ

R2sinγ

AB

sinα

BC

sinβ

AC ⋅===

B. где R,2sin

AC ∠=⋅= ββ

D

А

СВ

. О

Е

R2sinγ

AB

sinα

BC

sinβ

AC ⋅===

A2A

1

ОA

i

ат

nn

00 180

2

360

2=== αβ и

nRan

01802 sin⋅= . И все!

По-моему неплохо, а Вы как считаете?