ОТКРЫТЫЙ УРОК ПО МАТЕМАТИКЕ В 10в КЛАССЕ

ЛИЦЕЯ № 179

ТЕМА УРОКА “ВЕКТОРНЫЙ МЕТОД

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ”

УЧИТЕЛЬ: ЗАКУЦКАЯ М.В.

“Не следует придавать значения тому факту, что

алгебра и геометрия по видимости различны. Алгебраические факты

есть факты геометрические, которые доказаны”.

Омар Хайям

А

Е

В

D

СF

О

ЗАДАНИЕ № 1

Даны точки: А (x1, y1, z1); B (x2, y2, z2).

Найти координаты вектора АВ и его длину.

ЗАДАНИЕ № 2

Даны векторы: m {m1, m2, m3}; n {n1, n2, n3}.

Записать для них:

а) определение скалярного произведения векторов;

б) теорему о скалярном произведении векторов.

ЗАДАНИЕ № 3

Записать условие перпендикулярности a и b,

и условие их коллинеарности, если

а {xa, ya, za}; b {xb, yb, zb}.

№ На языке векторовНа геометрическом языке

Таблица перевода геометрических утверждений на язык векторов

1. Точка С лежит на прямой (отрезке) АВ

АС = k × АВ

2. АВСD - параллелограмм

АB = DС или BC = AD

3. Точка С делит отрезокАВ в отношении m : k

OC = OA + OBk + m k

k + m m

k × АС = m × CB k > 0m > 0

4. Точка С – середина отрезка АВ

AС = AВ21

AС = СВ

ОС = (ОA + ОВ)21

5. Точки А, В, С лежат на одной прямой

ОС = α ОA + β ОВ

(О АВ), где α + β = 1

6. Точки А, В, С лежат в одной плоскости

ОD = α ОA + β ОВ + γ ОС(О (АВС)), где α + β + γ = 1

7. Точка M – центроид ∆ АВС

MA + MB + MC = 0

ОM = (ОA + ОВ + OC)31

С

В

A

D

Задача № 1

5DА1 = DA

2

5DВ1 = DB

3

5DС1 = DC

4

А1

С1 В1

М1

М

DM – ?

DM1

РЕШЕНИЕ

DM1 = xDM

DM = (DA + DB + DC)3

1

1) Как перевести на векторный язык

DM ?

DM1

2) Как перевести на язык векторов, что

M – точка пересечения медиан Δ ABC?

РЕШЕНИЕ

3) Как выразить из условия:

а) DA через DА1?

б) DB через DB1?

в) DC через DC1?

2 DA = DA1

5

3 DB = DB1

5

DC = DC14

5

4) Осуществить подстановку (2) и (3) в (1):

DM1 = DA1 + DB1 + DC1 6

5x

9

5x

12

5x

РЕШЕНИЕ

РЕШЕНИЕ5) Каково условие принадлежности трёх точек одной плоскости?

+ + = 1 6

5x

9

5x

12

5x x =

65

36

Ответ: 36 : 65.

Задача № 2

С

В

A

D

F

Е

N

M

L

K

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 2

1) Как перевести на язык векторов,что KLMN – параллелограмм?

KN = ML

KN = ON – OK

2) Как представить KN в виде разности двух векторов с концамив точках N и K?

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 23) Как перевести на язык векторов, что N – середина BF?

ON = (OB + OF)2

1

4) Выразить в векторном виде,

OF = (OC + OD)2

1

OE = (OA + OB)2

1

что F – середина СD,

E – середина АВ.

5) Подставить всё в выражение для KN,упростить и получить ответ

KN = (OB – OC + OD – OA)4

1

7) Сделать вывод.

6) Аналогичную работу проделать для MN.

KNLM – параллелограмм.

ML = (OD – OA + OB – OC)4

1

ЗАДАЧА № 3

Найти область значения функции:

2361)( xxxxf

a

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 3

2231)( xxxxf 3;1

2;1 2

b

xxxa

3. Найти .b

4. При каких ? х ba

6. Ответ.

5. При каких ? х ba

2. Найти .a

b

b

1. Найти .)( fD

ЗАДАЧА № 4

В правильном тетраэдре DАВС точки K, M, N – середины рёбер CD, AD, AB соответственно. Точка О – центр ∆ABC. Найдите угол между прямыми MO и KN.

Задача № 4

С

В

A

D

O

N

a b

с

M K

ТАБЛИЦА УМНОЖЕНИЯ

a

b

с

a b с

1

1

1

21

21

21

21

21

21

ПЛАН РЕШЕНИЯ

3. Выразить на векторном языке М – середина АD.

2. Перевести на язык векторной алгебры О – центр ∆ АВС (связать с точкой D).

10. Найти сos . 11. Ответ.

1. Представить MO в виде разности двух векторов(связать с точкой D).

5. Выразить KN через DN и DK.

6. N – середина AB. 7. K – середина DC.

9. Найти: а) MO × KN, б) │MO│, в) │KN│.

4. Выразить МО через a, b, c.

8. KN – через a, b, c.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!