§§ 14-1 惯性力·质点的达朗贝尔原理

NFFam

0 amFF N

令 amFI

惯性力

有 0 IN FFF

质点的达朗贝尔原理 : 作用在质点的主动力、约束力和虚加的惯性力在形式上组成平衡力系 .

例 14-1

已知 :60,m3.0,kg1.0 lm

求 : ., TFv用达朗贝尔原理求解

解 :2

sinI n

vF ma m

l

0 IT FFgm

0, cos 0b TF F mg

0, sin 0n T IF F F

解得 N96.1cos

mgFT

sm1.2

sin 2

m

lFv T

§§ 14-2 质点系的达朗贝尔原理

记 )(eiF

为作用于第 i 个质点上外力的合力 .

)(iiF

为作用于第 i 个质点上内力的合力 .

则有

0

0

000 Iii

ie

i

Iii

ie

i

FMFMFM

FFF

niFFF IiNii ,,2,10

　　质点系的达朗贝尔原理 : 质点系中每个质点上作用的主动力 , 约束力和它的惯性力在形式上组成平衡力系 .

因 ,0,0 0i

ii

i FMF

有

0

0

00 Iie

i

Iie

i

FMFM

FF

　　也称为质点系的达朗贝尔原理 : 作用在质点系上的外力与虚加在每个质点上的惯性力在形式上组成平衡力系 .

已知：如图所示 , 定滑轮的半径为 r, 质量为 m 均匀分布在轮缘 上 , 绕水平轴Ｏ转动 . 垮过滑轮的无重绳的两端挂有质量 为 m1 和 m2 的重物 (m １ >m2), 绳与轮间不打滑 , 轴承摩擦 忽略不计。求：重物的加速度 .

例 14-2

解 : amFamF II 2211 ,

,amrmF iit

Ii

0,0 2211 armramgmamgmM iO

由 mararmarm ii

解得 gmmm

mma

21

21

r

vmF i

nIi

2

已知：飞轮质量为 m, 半径为Ｒ , 以匀角速度　 定轴转动，设 轮辐质量不计 , 质量均布在较薄的轮缘上 , 不考虑重力 的影响 .

求 : 轮缘横截面的张力 .

例 14-3

解 : 2

2

RR

R

mamF i

niiIi

0cos,0 AIix FFF

0sin,0 BIiy FFF

令 ,0i

2

mRR

2

mF

222

0A dcos

2

mRR

2

mF

222

0B dsin

§§ 14-3 　 刚体惯性力系的简化 Ce

iIR amFF

１ 刚体平移

惯性力系向质心简化 .

只简化为一个力 CIR amF

2 刚体定轴转动

0ICM

惯性力系向点 O 简化 .

( ) ( )IO i Ii i i C i i C

C C

M r F r m a m r a

mr a

平移刚体的惯性力系可以简化为通过质心的合力，其大小等于刚体的质量与加速度的乘积，合力的方向与加速度方向反向。

C

O

i

IiF Ca

ir

Cr

iitii

tIi rmamF 2ii

nii

nIi rmamF

t nIx x Ii x Ii x IiM M F M F M F

)sin(cos 2iiiiiiii zrmzrm

由i

ii

i

ii r

y

r

x sin,cos

有 iiiiiixI zymzxmM 2

记 iiizxiiizy zxmJzymJ ,

为对于 z 轴的惯性积 .

2 yzxzIx JJM 同理 2 xzyzIy JJM

2

t nIz z I i z I i i i i

i i z

M M F M F m r r

m r J

Iz zM J

IO Ix Iy izM M i M j M k

　　如果刚体有质量对称面且该面与转动轴垂直 , 简化中心取此平面与转轴的交点 , 则

0,0 iiiyziiixz zymJzxmJ

zIzIO JMM

３　刚体作平面运动　（平行于质量对称面）

Ic C IR CM J F ma

向质心简化

已知：如图所示均质杆的质量为 m, 长为 l, 绕定轴 O 转动的角 速度为 , 角加速度为 .

求：惯性力系向点Ｏ简化的结果 ( 方向在图上画出 ).

例 14-4

解 : 2

lmF t

IO

2

2l

mF nIO

23

1mlM IO

已知：如图所示 , 电动机定子及其外壳总质量为 m1, 质心位于O 处 . 转子的质量为 m2 , 质心位于Ｃ 处 , 偏心矩ＯＣ＝ e , 图示平面为转子的质量对称面 . 电动机用地角螺钉固定 于水平基础上 , 轴 O 与水平基础间的距离为 h. 运动开始时 , 转子质心Ｃ位于最低位置 , 转子以匀角速度　 转动 .

求：基础与地角螺钉给电动机总的约束力 .

例 14-5

解 :2meFI

0sin,0 Ixx FFF

20, sin sin 0A IM M m ge F h 因 得,t

22 sinxF m e t

temgmmFy cos2221

themtgemM sinsin 222

1 20, ( ) cos 0y y IF F m m g F

已知：如图所示 , 电动绞车安装在梁上 , 梁的两端搁在支座上 , 绞车与梁共重为 P. 绞盘半径为 R, 与电机转子固结在一 起 , 转动惯量为 J , 质心位于 O 处 . 绞车以加速度 a 提升质 量为 m 的重物 , 其它尺寸如图 .

求：支座 A ， B 受到的附加约束力 .

例 14-6

解 : maFI

解得 :

R

JmlaPlmgl

llFA 232

21

1

R

aJJM 0I

2 2 3 1 20 0B I IO AM mgl F l Pl M F l l 00 IBAy FPmgFFF

R

JmlalllPmgl

llFB 13211

21

1

AF

BF

IOM

IF

上式中前两项为静约束力 , 附加约束力为

R

Jml

ll

aFA 2

21

R

Jml

ll

aFB 1

21

已知：均质圆盘 1, ,m R 均质杆 22 , .l R m纯滚动 .

　　求： F 多大 , 能使杆 B 端刚好离开地面 ? 纯滚动的条件 ?

例 14-7

B

解 : 刚好离开地面时 , 地面约束力为零 .

030cos30sin0 22 gRmaRmM A

ga 3

研究 AB 杆

AxFAyF

ICF

解得 gmmF 32

321

20 sin 30 cos30 0DM FR F R M F R m gR I A I A I C

研究整体

得 21 1

1,

2

aF m a M m R

R I A I A

A

B

D

F

IAF

mg

SFNF

2m g

ICF

IAM

00 21 ammFFF sx

gmFs 12

3

gmmfFfF sNss 21

解得 21

1

2

3

mm

m

F

Ff

N

ss

00 xIxRxBxAx FFFFF

§§ 14-4 绕定轴转动刚体的轴承动约束力

00 yIyRyByAy FFFFF

00 zRBzz FFF

00 xIxyAyBx MMOAFOBFM

00 yIyBxAxy MMOBFOAFM

解得 1Ax y Rx Iy IxF M F OB M F OB

AB

OBFMOBFMAB

F IyIxRyxAy 1

1Bx y Rx Iy IxF M F OA M F OA

AB

OAFMOAFMAB

F IyIxRyxBy 1

RzBz FF

0,0 IyIxIyIx MMFF

即 :

00

00

2

2

xzyzIy

yzxzIx

CyIy

CxIx

JJMJJM

maFmaF

必有 0Ca

0 yzxz JJ

通过质心的惯性主轴称为中心惯性主轴

引起的轴承约束力称动约束力 ,由IOIR MF

,

称满足 的轴 z 为惯性主轴0 yzxz JJ

动约束力为零的条件为 :

静平衡：刚体的转轴通过质心，刚体除重力外，没有受 到其他主动力作用，则刚体在任意位置可以静 止不动。

动平衡：当刚体的转轴通过质心且为惯性主轴时，刚体 转动不出现动约束力。

因此 , 避免出现轴承动约束力的条件是 : 刚体的转轴应是刚体的中心惯性主轴 .

转轴 AB 与轮盘的质量对称面垂直 , 但轮盘的质心C 不在转轴上 , 偏心距　　　　　 当轮盘以均转速 转动 .

已知：如图所示 , 轮盘 ( 连同轴 ) 的质量 ,kg20m

.mm1.0er12000 minn

求：轴承 A,B 的约束力

例 14-8

解 : 2

22

n 158eas

ms1

30

12000πm

1000

0.1

3160NnI nF ma

nINBNA FmgFF

2

1

1680NN31609.8202

1

NAF

NBF

IF

emg