ใบความรู้�ที่�� 1“กรู้าฟสมการู้เชิ�งเสนสองตั�วแปรู้”

เมื่��อแทนคู่�อ�นดั�บใดั ๆ บนจุ�ดับนระนาบจุ�านวนสมื่าชิ�กตั�วท��หน �ง ของคู่�อ�นดั�บจุะแทนจุ�านวนท��อยู่�บนแกนนอน (แกน X) และ สมื่าชิ�กตั�วท��สอง ของคู่�อ�นดั�บแทนจุ�านวนท��อยู่�บนแกนตั�%ง (แกน Y)

ซึ่ �งโดัยู่ท��วไป การเข�ยู่นคู่�อ�นดั�บใดั ๆ ในรป (x,y)

แทน x ดั*วยู่จุ�านวนท��อยู่�บนแกน Xแทน y ดั*วยู่จุ�านวนท��อยู่�บนแกน Yก�าหนดัให* A เป+นจุ�ดัจุ�ดัหน �งบนระนาบ จุ�านวนท��เป+นกราฟของ

(x , y) กล�าวไดั*ว�าจุ�ดั A มื่�พิ�ก�ดั (Coordinate) เป+น (x , y)

เข�ยู่นแทนดั*วยู่ A(x , y)ตั�วอย่�าง

A (……..,…….) G G(……..,……..)

F (……..,…….) A B(……..,……..)

F

HD E C

D(……..,……….) C(…….,…….)E(……..,……….) H(…….,……)

แกน X และ แกน Y จุะแบ�งระนาบออกเป+น 4 ส�วน Yแตั�ละส�วนเร�ยู่กว�าจุตั�ภาคู่ (Quadrant) จุตั�ภาคู่ท�� 2 จุตั�ภาคู่ท�� 1จุ�ดั และ…… …….มื่�พิ�ก�ดัยู่�ในจุตั�ภาคู่ท�� 1 (- , +) ( + , +)

B

จุ�ดั และ…… …….มื่�พิ�ก�ดัยู่�ในจุตั�ภาคู่ท�� 2 Xจุ�ดั และ…… …….มื่�พิ�ก�ดัยู่�ในจุตั�ภาคู่ท�� 3 จุตั�ภาคู่ท�� 3 จุตั�ภาคู่ท�� 4จุ�ดั และ…… …….มื่�พิ�ก�ดัยู่�ในจุตั�ภาคู่ท�� 4 ( - , - ) ( + , - )

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 1“ชิ�วย่ก�นลงพิ�ก�ด 1”

ชิ�วยู่ก�นลงพิ�ก�ดัของจุ�ดัตั�อไปน�%บนระนาบA(3,-2) B(0,-6) C( -5,-2) D(-2,5)E(-3,-3) F(0, 5) G(-4,3) H(6,-1)

Y

X

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 2“ชิ�วย่ก�นลงพิ�ก�ด 2”

มื่าชิ�วยู่ก�นลงพิ�ก�ดัของจุ�ดั A, B, C, D, E, F, G, H บนกราฟเส*นตัรง L1 , L2 , L3

Y L1

A C L2

G F B E H

X

D L3

พิ�ก�ดัของจุ�ดับนเส*นตัรง L1

คู่�อ…………………………………………………………………..

พิ�ก�ดัของจุ�ดับนเส*นตัรง L2

คู่�อ…………………………………………………………………..

พิ�ก�ดัของจุ�ดับนเส*นตัรง L3

คู่�อ…………………………………………………………………..

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 3“ชิ�วย่ก�นลงพิ�ก�ด 3”

จุงชิ�วยู่ก�นลงพิ�ก�ดัของจุ�ดั บนกราฟวงกลมื่

M

N O P Q

R

S

M(…….,……..) N(…….,……..) O(…….,……..)P(…….,……..)Q(…….,……..) R(…….,……..)S(…….,……..)

ใบความรู้�ที่�� 2“กรู้าฟของสมการู้เชิ�งเสนสองตั�วแปรู้”

สมื่การเชิ�งเส*นสองตั�วแปร หร�อ สมื่การของกราฟเส*นตัรง โดัยู่ท��วไปก�าหนดัไว*สองรปแบบ คู่�อ

1. รปท��วไปของสมื่การคู่�อ Ax + By + C = 0 เมื่��อ A และ B ไมื่�เท�าก�บศูนยู่0 C เป+นคู่�าคู่งตั�วใดั ๆ จุากรปท��วไป น�ามื่าจุ�ดัเส�ยู่ใหมื่�ให*อยู่�ในรปมื่าตัรฐาน จุะไดั*ดั�งน�%

จุาก Ax + By + C = 0 By = -Ax - C

y = - -

ถ้*าก�าหนดั ให* a = - และ b = -

2. รปมื่าตัรฐาน ก�าหนดัดั*วยู่สมื่การ y = ax + b

โดัยู่ท�� a และ b เป+นคู่�าคู่งตั�วและ a เป+นคู่�าของคู่วามื่ชิ�นของเส*นตัรง b เป+นระยู่ะท��เส*นตัรงตั�ดัแกน Y

ตั�วอย่�าง ให*น�กเร�ยู่นจุ�ดัสมื่การ Ax + By + C = 0 ในรป y = ax + b

ก�าหนดัสมื่การ 3x – 4y + 12 = 0

เราสามื่ารถ้จุ�ดัในรปมื่าตัรฐาน จุะไดั*เป+น y = x + 3

คู่�อ�นดั�บ คู่�อ

X -2 0 2Y

(-2 ,……..) (0 ,………) (2 , ……..)

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 4“จุ�ดัใดัอยู่�บนกราฟ”

จุงตัรวจุสอบดัว�า จุ�ดัท��ก�าหนดัพิ�ก�ดัให*ตั�อไปน�% จุ�ดัใดัอยู่�บนกราฟเส*นตัรงของสมื่การเชิ�งเส*นท��ก�าหนดัให* 1. (0, -6) , (2,2) ; 4x – y = 6ว�ธี�การู้ตัรู้วจสอบ แทนคู่�า x = 0 และ y = -6 ใน 4x – y = 6

4(0) – (-6) = 6 เป+นจุร�งแทนคู่�า x =2 และ y = 2 ใน 4x – y = 6

4(2) – (2) = 6 เป+นจุร�งสรู้#ป พิ�ก�ด (0, -6) , (2,2) อย่��บนเสนตัรู้ง 4x – y

= 6

2. (2, 1) , (4,1) ; 4 y - x = 2

ว�ธี�การู้ตัรู้วจสอบ แทนคู่�า x = 2 และ y = 1 ใน 4 y - x = 2

…………………………………………เป+น………………….

แทนคู่�า x =4 และ y = 1 ใน 4 y - x = 2…………………………………………

เป+น………………….

สรู้#ป พิ�ก�ด (2, 1) , (4,1)

…………………………………….4 y - x = 2

3. (-3, 0) , (1 ,3) ; x + 2y = 7ว�ธี�การู้ตัรู้วจสอบ แทนคู่�า x = -3 และ y = 0 ใน x + 2y = 7

…………………………………………เป+น………………….

แทนคู่�า x =1 และ y = 3 ใน x + 2y = 7…………………………………………

เป+น………………….

สรู้#ป พิ�ก�ด (-3, 0) , (1 ,3) …………………………………… x + 2y = 7

4. (2, 1) , (0, ) ; 3x – 2y + 5 = 0

ว�ธี�การู้ตัรู้วจสอบ แทนคู่�า x = 2 และ y = 1 ใน 3x – 2y + 5 = 0

…………………………………………เป+น………………….

แทนคู่�า x =0 และ y = ใน 3x – 2y + 5 = 0…………………………………………

เป+น………………….

สรู้#ป พิ�ก�ด (2, 1) , (0, ) ………………………………. 3x – 2y + 5 = 0

5. (2, 1) , (2, -5) ; x = 2ว�ธี�การู้ตัรู้วจสอบ แทนคู่�า x = 2 และ y = 1 ใน x = 2

…………………………………………เป+น………………….

แทนคู่�า x =2 และ y = -5 ใน x = 2…………………………………………เป+น………………….

สรู้#ป พิ�ก�ด (2, 1) , (2, -5) …………………………………………x = 2

ใบความรู้�ที่�� 3“กรู้าฟของสมการู้เชิ�งเสนสองตั�วแปรู้”

สมื่การเชิ�งเส*นสองตั�วแปร หร�อ สมื่การของกราฟเส*นตัรง โดัยู่ท��วไปก�าหนดัไว*สองรปแบบ คู่�อ

1. รปท��วไปของสมื่การคู่�อ Ax + By + C = 0 เมื่��อ A และ B ไมื่�เท�าก�บศูนยู่0 C เป+นคู่�าคู่งตั�วใดั ๆ จุากรปท��วไป น�ามื่าจุ�ดัเส�ยู่ใหมื่�ให*อยู่�ในรปมื่าตัรฐาน จุะไดั*ดั�งน�%

จุาก Ax + By + C = 0 By = -Ax - C

y = - -

ถ้*าก�าหนดั ให* m = - และ c = -

2. รปมื่าตัรฐาน ก�าหนดัดั*วยู่สมื่การ y = mx + c โดัยู่ท�� m และ c เป+นคู่�าคู่งตั�ว

และ m เป+นคู่�าของคู่วามื่ชิ�นของเส*นตัรง c เป+นระยู่ะท��เส*นตัรงตั�ดัแกน Y

ตั�วอย่�าง ให*น�กเร�ยู่นจุ�ดัสมื่การ Ax + By + C = 0 ในรป y = mx + c ก�าหนดัสมื่การ 3x – 4y + 12 = 0

เราสามื่ารถ้จุ�ดัในรปมื่าตัรฐาน จุะไดั*เป+น y = x + 3

คู่วามื่ชิ�น ของเส*นตัรง =

ระยู่ะท��กราฟตั�ดัแกน Y (y-intercept)

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 5“y = mx + c”

จุากสมื่การเชิ�งเส*นในรปมื่าตัรฐาน จุงบอกคู่วามื่ชิ�นและระยู่ะท��กราฟตั�กแกน Y

1. y = 3x + 1 m =……………. c = ……………..

2. y = -4x + 1 m =……………. c = ……………..3. y = 2x + 4 m =……………. c = ……………..

4. y = x - 1 m =……………. c = ……………..

5. y = -x - 1 m =……………. c = ……………..6. y = -3x m =……………. c = ……………..7. y + x = 5 m =……………. c = ……………..8. x - y = 6 m =……………. c = ……………..9. 2y = x + 1 m =……………. c = ……………..10. 4y = 4x - 3 m =……………. c = ……………..

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 6“ค�าของ k”

จุงหาคู่�าของ k ท��ท�าให*คู่�อ�นดั�บท��ก�าหนดัให*เป+นคู่�าตัอบของสมื่การ1. x + ky = 4 ; (-2 , 2)แนวค�ด/ว�ธี�ที่$า

แทนคู่�า x = -2 y = 2 ใน x + ky = 4(-2) + k(2) = 4

…………………………=……………………………………………………………=…………………………………

…………………………=……………………………………………………………=…………………………………

k = ………………………………..

2. 2y = kx – 1 ; (- , )

แนวค�ด/ว�ธี�ที่$าแทนคู่�า x = - y = ใน 2y = kx – 1

2( ) = k(- ) – 1

…………………………=……………………………………………………………=……………………………………………………………=……………………………………………………………=…………………………………

k = ………………………………..

3. 1.5x + 0.2y + 3k = 0 ; (0 , 0)แนวค�ด/ว�ธี�ที่$า

แทนคู่�า x = 0 y = 0 ใน 1.5x + 0.2y + 3k = 0 1.5(0) + 0.2(0) + 3k = 0…………………………=……………………………………………………………=……………………………………………………………=……………………………………………………………=…………………………………

k = ………………………………..

4. ky - 10 = 0 ; (-3 , 2)แนวค�ด/ว�ธี�ที่$า

แทนคู่�า x = -3 y = 2 ใน ky - 10 = 0k(2) - 10 = 0

…………………………=…………………………………

…………………………=……………………………………………………………=……………………………………………………………=…………………………………

k = ………………………………..

แบบฝึ&กที่�กษะเพิ��มเตั�ม

1. ถ้า (2 , 3) อย่��บนเสนตัรู้ง 3x +ay – 6 = 0 จงหาค�า aแนวค�ด/ว�ธี�ที่$า

แทนคู่�า x = 2 y = 3 ใน 3x +ay – 6 = 03(2) + a(3) - 6 = 0

…………………………=……………………………………………………………=……………………………………………………………=……………………………………………………………=…………………………………

a = ………………………………..

2. ถ้า (-5 , k) อย่��บนเสนตัรู้ง 7x – y + 5 = 0 จงหาค�า kแนวค�ด/ว�ธี�ที่$า

แทนคู่�า x = -5 y = k ใน 7x – y + 5 = 07(-5) - (k) + 5 = 0

…………………………=……………………………………………………………=…………………………………

…………………………=……………………………………………………………=…………………………………

k = ………………………………..

3. ถ้า (0 , 2) และ (-3 , 1) อย่��บนเสนตัรู้ง y = mx +c จงหาค�า m และ cแนวค�ด/ว�ธี�ที่$า

แทนคู่�า x = 0 y = 2 ใน y = mx +c2 = m(0) + c

c =…………………………แทนคู่�า x = -3 y = 1 c = ……….. ใน y = mx +c 1 = m(-3) + ……….

m = ………………………………..

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 7“เตั�มส�วนที่��หาย่ไป”

จุงหาสมื่าชิ�กตั�วท��หน �งหร�อตั�วท��สองของคู่�อ�นดั�บ เพิ��อให*ไดั*คู่�อ�นดั�บท��เป+นคู่�าตัอบของสมื่การท��ก�าหนดัให*แตั�ละข*อตั�อไปน�%1. (2 , ………..) ; -2x + y = 32. (-3 , ……….); y = 43. ( 7 , ……….); 2y = 144. ( 0 , ……….); x + y = 35. (5 ,………..) ; 2x+3y = 316. (……… , 0) ; 4x + y = 87. (……… , 1 ) ; y = 3x –28. (……… , 4) ; x – y = 19. (……… , 3) ; x – 2y = 610. (……… , -2 ); 3x + y = 4

ใบความรู้�ที่�� 4

พิ�จุารณาสมื่การ x = -3 หร�อ x + 3 = 0 เมื่��อเท�ยู่บก�บสมื่การเชิ�งเส*นสองตั�วแปรท��อยู่�ในรป Ax +By +C = 0 เมื่��อ A

และ B ไมื่�เท�าก�บศูนยู่0พิร*อมื่ก�น จุะไดั*ว�า สมื่การ x = -3 หร�อ x+3

= 0 เป+นสมื่การเชิ�งเส*นท��มื่� A = 1 , B = 0 และ C = 3 ซึ่ �งเข�ยู่นสมื่การ x = -3 หร�อ x + 3 = 0 ไดั*เป+น (1)x + (0)y + 3 = 0

พิ�จุารณาว�ธี�เข�ยู่นกราฟของสมื่การ x = -3 โดัยู่ท�าตัามื่ล�าดั�บข�%นตั�อไปน�%

1.เข�ยู่น (x , y) ท��เป+นคู่�าตัอบของสมื่การ (1)x + (0)y + 3

= 0 เมื่��อ y เป+น -4, -3, 0 , 2 , 5

2.เข�ยู่นกราฟของคู่�อ�นดั�บในข*อ 13.ลากเส*นตัรงผ่�านจุ�ดัท��เป+นกราฟของคู่�อ�นดั�บท��เข�ยู่นไว*ในข*อ 2

เส*นตัรงเส*นน�%นจุะเป+นกราฟของสมื่การ x = -3

4.น�กเร�ยู่นบอกไดั*หร�อไมื่�ว�า กราฟของสมื่การ x = -3 เป+นเส*นตัรงซึ่ �งอยู่�ในล�กษณะอยู่�างไร

จุากสมื่การ x = -3 หร�อ (1)x + (0)y + 3 = 0 ไมื่�ว�าจุะแทน y ดั*วยู่จุ�านวนใดั ๆ จุะไดั*

x เป+น -3 เสมื่อ ดั�งน�%น ในการเข�ยู่นกราฟของสมื่การ x = -3 จุะก�าหนดัคู่�า y เป+นจุ�านวนใดั ๆ ก7ไดั*อยู่�างน*อยู่สองคู่�า ซึ่ �งจุะไดั*คู่�า x ท��คู่�ก�บแตั�ละคู่�าของ y เป+น –3

ตั�วอย่�าง จุงเข�ยู่นกราฟของสมื่การ x = 3 และ x = -3 บนแกนคู่�เดั�ยู่วก�น กราฟของแตั�ละ

สมื่การมื่�ล�กษณะอยู่�างไร

แนวค�ด/ว�ธี�ที่$าx = 3 x = -3

กราฟของสมื่การ x = 3 และ x = -3 เป+นดั�งน�%

Y

x = -3

X

กราฟของสมื่การ x = 3 เป+นเส*นตัรงขนานก�บแกน Y และอยู่�ห�างจุากแกน Y ไปทางขวาเป+นระยู่ะ 3 หน�วยู่

กราฟของสมื่การ x = -3 เป+นเส*นตัรงขนานก�บแกน Y

และอยู่�ห�างจุากแกน Y ไปทางซึ่*ายู่เป+นระยู่ะ -3 หน�วยู่

X 3 3 3y -

40 4

X -3.5

-3.5

-3.5

X = 3

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 8

จุงเข�ยู่นกราฟของสมื่การ y = -4 และ y = 2 บนแกนคู่�เดั�ยู่วก�น กราฟของแตั�ละสมื่การมื่�ล�กษณะอยู่�างไร แนวค�ด/ว�ธี�ที่$าy = -4 y = 2

กราฟของสมื่การ y = -4 และ y = 2 เป+นดั�งน�%

X -5

0 5

y

X -3 0 4y

กราฟของสมื่การ y = -4 เป+นเส*นตัรง……………..แกน …………

และอยู่�ห�างจุากแกน ………….. ไปทาง เป+นระยู่ะ ……………… …………… หน�วยู่

กราฟของสมื่การ y = 2 เป+นเส*นตัรง……………..แกน …………

และอยู่�ห�างจุากแกน ………….. ไปทาง เป+นระยู่ะ ……………… …………… หน�วยู่

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 9

จุงเข�ยู่นกราฟของสมื่การ ท��ก�าหนดัให*บนแกนคู่�เดั�ยู่วก�น กราฟของแตั�ละสมื่การมื่�ล�กษณะอยู่�างไร1. x = 4 , y = -2 , y = x

2. x = 0 , y = 2

3. x = -2 y = 0

ใบความรู้�ที่�� 5“แกสมการู้โดย่เข�ย่นกรู้าฟ”

YL จงตัอบค$าถ้ามตั�อไปน�-1. จุ�ดัท��มื่�พิ�ก�ดั เป+น (-1.5,0) อยู่�บน

เส*นตัรง L หร�อไมื่�2. เมื่��อแทน x ดั*วยู่ –1.5 และแทน y ดั*วยู่ 0 ในสมื่การ y = 2x +3

X สมื่การเป+นจุร�งหร�อไมื่�3. จุ�ดัท��มื่�พิ�ก�ดัเป+น (1,5) อยู่�บนเส*น

ตัรง L หร�อไมื่�4. เมื่��อแทน x ดั*วยู่ 1 และแทน y

ดั*วยู่ 5 ในสมื่การ y = 2x

+3 สมื่การเป+นจุร�งหร�อไมื่�

5. ถ้*า จุ�ดั (a, b) อยู่�บนเส*นตัรง L เมื่��อแทน x ดั*วยู่ a และแทน y ดั*วยู่ b

ในสมื่การ y = 2x + 3

สมื่การเป+นจุร�งหร�อไมื่�6. ถ้*า จุ�ดั (a, b) ไมื่�อยู่�บนเส*นตัรง L เมื่��อแทน x ดั*วยู่ a และแทน y ดั*วยู่ b ในสมื่การ y = 2x + 3

สมื่การเป+นจุร�งหร�อไมื่�สรู้#ป

ถ้*า จุ�ดั (a, b) อยู่�บนเส*นตัรง L เมื่��อแทน x ดั*วยู่ a และแทน y

ดั*วยู่ b ในสมื่การ y = 2x + 3 จุะท�าให*สมื่การเป+นจุร�ง แตั�ถ้*าจุ�ดั (a, b) ไมื่�อยู่�บนเส*นตัรง L

เมื่��อแทน x ดั*วยู่ a และแทน y ดั*วยู่ b ในสมื่การ y = 2x + 3 สมื่การจุะไมื่�เป+นจุร�ง

กราฟของ (x,y) ใดั ๆ ท��สอดัคู่ล*องสมื่การ y = 2x +3 เป+นจุ�ดัอยู่�ในแนวเส*นตัรงเดั�ยู่วก�น และถ้*าลากเส*นตัรงผ่�านจุ�ดัเหล�าน�%นก7จุะไดั*ว�า จุ�ดัใดั ๆ ท��อยู่�บนเส*นตัรงจุะมื่�พิ�ก�ดัสอดัคู่ล*องสมื่การ y = 2x +3

เส*นตัรงท��ไดั*เป+นกราฟของสมื่การ y = 2x+3 หร�อ y = 2x +3 เป+นสมื่การของเส*นตัรงน�%น

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 10

“เข�ย่นกรู้าฟ 1”จงเข�ย่นกรู้าฟสมการู้เสนตัรู้ง1.y = 3x – 2

X -1

0 1

Y

X -1

0 1

Y

2.2x – 3y +6 = 02x + 3 = 3yy = ………………….

3. = 4

=

y = ……………….

ใบก�จกรู้รู้มที่�� 11

“เข�ย่นกรู้าฟ 2”

เข�ยู่นกราฟของสองสมื่การลงบนแกนคู่�เดั�ยู่วก�น แล*วตัรวจุสอบดัว�าพิ�ก�ดัของจุ�ดัตั�ดัน�%นเป+นคู่�าตัอบของสมื่การท�%งสองหร�อไมื่�1. x + y = 1 x – y = 1

X -1 0 1Y

X -1 0 1Y

พิ�ก�ดัของจุ�ดัตั�ดัคู่�อ………………………………………….

คู่�าตัอบของสมื่การท�%งสองคู่�อ………………………………

2. x - 2y = 6 3x+y = 4

พิ�ก�ดัของจุ�ดัตั�ดัคู่�อ………………………………………….

คู่�าตัอบของสมื่การท�%งสองคู่�อ………………………………

3. y = 2x + 3 y = 4x

X -2 0 2Y

X 0 1 2Y

X -1 0 1Y

X -1 0 1Y

พิ�ก�ดัของจุ�ดัตั�ดัคู่�อ………………………………………….

คู่�าตัอบของสมื่การท�%งสองคู่�อ………………………………