عرض ) اإلحصاء مقرر160)

(8المحاضرة )

الشائع . عهد أ

المحاضرة : أهداف

في*( االساسية المفاهيم أهماالحتماالت

لالحتمال*( المختلفة التعاريف

أساسية : تعاريفالعشوائية : التجربة

ال كنا وان له الممكنة النواتج جميع 4 مسبقا نعلم إجراء أي هيالواضح . من حيث 4 فعال سيتحقق النتائج هذه من بأي نتنبأ أن نستطيع

نستطيع إننا إال العشوائية التجربة بنتيجة نتنبأ أن نستطيع ال أننااالحتماالت . باستخدام وذلك نتيجة أي ظهور احتمال حساب

: ) المحددة ) المؤكدة التجاربالمؤكد فمن الظروف نفس تحت تكررت إذا التي التجارب هي

النتيجة نفس الهواء .مثل : مالحظة في قلم إلقاء

العشوائية : التجاربإذا أنه بمعنى الصدفة عوامل نتائجها في تتحكم التي التجارب هي

النتائج تختلف فربما الظروف نفس تحت التجربة إلقاء مثل : تكررتنقود . قطعة

العينة : فراغعشوائية تجربة من الممكنة النتائج جميع من المكونة المجموعة

بالرمز ) له ( .Sويرمزالممكنة . الحاالت أو الشامل الحدث لفظ عليه يطلق وقدالفراغ . تسمى النتائج ومجموعة عنصر تسمى نتيجة وكل

( :6-1مثال )؟ العينة فراغ هو فما واحدة مرة متوازنة نقود قطعة إلقاء عند

التجربة / : لهذه الممكنة النتائج مجموعة هو العينة فراغ الحل

S = {H,T}بالرمز للصورة Hنرمزبالرمز للكتابة Tنرمز

••

( :6-2مثال )واحدة ) نقود قطعة أو واحدة مرة نقود قطعتي إلقاء عند

؟ ( العينة فراغ هو ما مرتينلهذه الحل / الممكنة النتائج مجموعة هو العينة فراغالتجربة :

S = {HH,HT,TH,TT}العينة : فراغ أنواع

المنتهي( ) ( : المحدود العينة فراغ أالعناصر . من محدود عدد على يحتوي الذي الفراغ

( :6-3مثال )؟ العينة فراغ ماهو واحدة مرة متزنة نرد زهرة إلقاء عند

الحل / S} , { =

••••

••

••••

•••••

••••••

الالنهائي( ) ( : المحدود غير العينة فراغ بتقسيمه ويمكن العناصر من نهائي ال عدد على يحتوي الذي الفراغ

نوعين : إلى

للعد :1( قابل نهائي ال عينة فراغللعد هو وقابلة العناصر من نهائي ال عدد على يحتوي الذي الفراغ

العينة : فراغ فيكون الوجه يظهر حتى نرد زهرة إلقاء مثل S = {1, 2 }المناظر

للعد( :2 قابل غير نهائي ال عينة فراغقابلة هو غير العناصر من نهائي ال عدد على يحتوي الذي الفراغ

فراغ : فيكون عمره لمعرفة كهربائي مصباح اختبار مثل للعدالمناظر = } { Sالعينة

••••••

0: xx

الحادثة :العينة فراغ من جزئية .مجموعة

الحوادث : أنواعالمركبة :1( والحادثة البسيطة الحادثة

عناصر من واحد عنصر من تتكون التي الحادثة هي البسيطة الحادثةالعينة , فراغ

عنصر من أكثر على تحتوي التي الحادثة هي المركبة الحادثة بينماالعينة . فراغ عناصر من

إذا ( :6-4مثال ) ما حددي واحدة مره نقود قطعتي إلقاء عندهو العينة فراغ ان علمت_ إذا ال أم بسيطة التالية الحوادث كانت

S = {HH,HT,TH,TT} ؟الحادثة وصفها الحادثة نوع

A1= {TT} ظهور حادثةكتابتين

بسيطة حادثة

A2= {HH} ظهور حادثةصورتين

بسيطة حادثة

A3= {HH,TT} ظهور حادثةوجهين متشابهين

مركبة حادثة

A 4= {HH,HT,TH} ظهور حادثةواحدة صورة

االقل على

مركبة حادثة

المؤكدة( :2 الحادثةمن البد عملة إلقاء عند 4 فمثال وقوعها من البد التي الحادثة هيالعينة ) ( فراغ الشاملة الفئة 4 وعموما الكتابة أو الصورة ظهور

نفسها من جزئية مجموعة النها مؤكدة حادثة( :6-5مثال )

هي المؤكدة الحادثة فإن واحدة مرة متزنة نرد زهرة إلقاء عندإلى من وجه أي ظهور

المستحيلة( : 3 الحادثةبالرمز لها ويرمز بالحادثة متعلقة نواتج أي للتجربة تكون ال عندما

( :6-6مثال )ظهور هو المستحيلة الحادثة فإن واحدة مرة نرد زهرة إلقاء عند

واحد . آن في وزجي فردي عدد

SS

•••••••

المتماثلة( :4 الحوادثالحدوث فرصة نفس لها يكون التي الحوادث تلك .هي

( :6-7مثال ) الكتابة ظهور فرص فإن واحدة مرة نقود قطعة إلقاء عند

الصورة . ظهور فرص تماثل االوجه على الحصول فرص فإن واحدة مرة نرد زهرة إلقاء عند

متماثلة . تكون

5: ) بالتبادل( ) المانعة المتنافية الحوادثحدثان هناك كان B 4وA eإذا حدثا 4 معا الحادثتين وقوع وكان

وقوع أو 4 معا يقعا أن يمكن ال الحدثين أن يعني وهذا 4 مستحيالأن gقال ي فإنه االخر وقوع يمنع أو BوA eأحدهما مانعان حدثان

بالتبادل . متنافيان

( :6-8مثال ) ظهور حدث يمنع الكتابة ظهور حدث فإن واحدة مرة نقود قطعة إلقاء عند

الصورة . االوجه ظهور يمنع االوجه أحد ظهور فإن واحدة مرة نرد زهرة إلقاء عند

االخرى .

الحادثة كانت الزوجية Aاذا الوجوه = } A: تمثل}

الفردية :Bوالحدث الوجوه = } Bيمثل }

بالتبادل . لبعضهما مانعان يعتبران الحدثين فإن

المستقلة( :6 االحداثأن gقال في االخر وقوع في يؤثر ال أحدهما وقوع وكان حدثان لدينا كان لو

أحدهم , واليتأثر يؤثر ال حدثين من أكثر هناك أن لو كذلك مستقالن الحدثينمستقلة االحداث تلك أن gقال في االخرى باألحداث

( :6-9مثال ) يتأثر وال يؤثر ال االولى القطعة على ما رقم ظهور فإن نرد قطعتي إلقاء عند

الثانية . القطعة على ظهر بما يؤثر ال نرد قطعة أي على ما رقم ظهور فإن نرد قطعتي من أكثر إلقاء عند

يعتبران , الحدثين فإن االخرى النرد قطع على ظهر بما يتأثر والمستقالن . حدثان

••

••••

••••••

• •••

•••••

التوافيق ) ( : العد طرق

حيث :

: ? فمثال

( :6-10مثال )؟ رجال أربع بين من رجلين اختيار يمكن طريقة بكم

الحل /

أن بين X = 2حيث من الرجال n = 4من

)!(!

!

xnx

n

x

ncn

x

12...)2()1(! nnnn

241234!4

)!(!

!

xnx

n

x

ncn

x

)!24(!2

!4

2

4 4

2

c !2!2

1234

64

24

( :6-11مثال )للرجال وظائفشاغرة ثالث توفر عن الشركات إحدى أعلنت

عدد كان اذا االختيار يمكن طريقة بكم للنساء ووظيفتين؟ وخمسنساء رجال المتقدمينست

الحل /طريقة : الرجال اختيار طرق عدد

طريقة : النساء اختيار طرق عدد

طريقة : الكلي االختيار طرق عدد

هامة : مالحظات

20!3!3

!66

3cH

10!3!2

!55

2cL

2001020 LH

10 a1!0

10c

n

1cn

n

االحتمال :لإلحتمال : الكالسيكي التعريف

هو ما تجربة نتائج بها تظهر أن يمكن التي الطرق عدد كان إذاn وكان الظهور فرصة نفس لها النتائج هذه وكانت طريقة

بينها احتمال . mمن إن يقال فإنه ما حادثة بها تظهر طريقةهو الحادثة وقوع

للحادثة# رمزنا الحادثة P(A)فإن Aإذا وقوع احتمالويعطى :

( :6-12مثال )

الرقم ) من مرقمة بطاقات عشر لديك كانت ( 10حتى( )1إذاسحبت ثم ومقلوبة عشوائي بشكل طاولة على موضوعة

البطاقات هذه إحدىالرقم( ) تحمل بطاقة على الحصول احتمال ما (4أ

القسمة( يقبل رقم تحمل بطاقة على الحصول احتمال ما ب(3على )

n

m

n

mAP )(

الحل /

أن ( أي عناصر عشر من مكون العينة فراغ وهو m=1وn=10 eأالرقم( )4العدد ) على الحصول احتمال هو( :4بالتالي

على n=10 , mب( القسمة يقبل عدد عن أي 9أو 6أو 3عبارةm=3( على القسمة يقبل رقم على الحصول احتمال ( 3بالتاليهو :

n

mAP )( 1.0

10

1

n

mAP )( 3.0

10

3

( :6-14مثال )؟ احتمال فما واحدة مرة متزنتان نقود قطعتا ألقيت

؟( العلوي السطح على واحدة صورة ظهور أ؟( األقل على واحدة صورة ظهور ب

الحل /هو : العينة S = {HH,HT,TH,TT}فراغ

أن n = 4أيالسطح( على واحده صورة بها تظهر أن يمكن التي الطرق عدد أ

هي العلويm = 2: هو العلوي السطح على واحده صورة ظهور احتمال إذن

االقل( على واحده صورة بها تظهر أن يمكن التي الطرق عدد ب

m = 3هي

n

mAP )(

2

1

4

2

n

mAP )(

4

3

هامة : مالحظات بين واقعة االحتمال قيمة الطرق عدد لتحديد التوافيق تستخدم كليهما nأو mقد أو

إرجاع . بدون أو بإرجاع السحب كان اذا معرفة من البد ولكن

(:6-15مثال )خمسة المعارض بأحد الكومبيوتر أجهزة محالت إحدى لدى كان

مغلفة كانت الخمسة االجهزة ولكن عاطالن جهازان منهم أجهزةجهازين شحن طgلب فعندما العاطل أيهم تمييز يمكن ال بحيث

4 عشوائياالمطلـــــــوب :

؟( 1 العينة فراغ تحديدالحدث( 2 ؟ Aتحديد جيدة بصورة الجهازان يكون أن يمثل الذي؟( 3 جيدة بصورة الجهازان يكون أن احتمال

1)(0 Ap

الحل /الجيدة ) االجهزة ان المعطلة ( ) #1 , #2 , #3نفرض (#1 , #2واالجهزة

هــو 1( العينة :فراغ

S = {(#1#2) ,( #1#1 ),( #1#2) , ( #1#3 ) ( #2#1) ( #2#2) ( #2#3) (#1#2) (#1#3) (#2#3)}

العينة Aالحادثة( 2 فراغ من جزئية مجموعة أن Sهي تمثل التي الحادثة إذنجيدة بصورة الجهازان يكون

A = { (#1#2) (#1#3) (#2#3)}

هو( 3 العينة فراغ عناصر فيها mوn =10 eعدد يكون التي الطرق عدد هيإذن جيدة بصورة بصورة m= 3الجهازان الجهازان يكون أن احتمال بالتالي

هو : جيدة

n

mAP )( 3.0

10

3

لإلحتمال : التجريبي التعريف

الظروف نفس تحت ما تجربة بها أجريت التي المرات عدد كان إذامعين nهي حدث فيها لوحظ التي المرات عدد فإن mهي Aوكان

الحدث وقوع هو Aاحتمال

لإلحتمال : الرياضي التعريفاالحتمال / نظرية مسلمات

حادثة كل يحقق P(A)احتمال Aيرافق أن أي واحد يساوي مؤكدة حادثة وقوع احتمال كانت فإن : BوAeإذا متنافيتين حادثتين

n

mAP

nlim)(

0)( AP

1)( AP 1)( SP

)()()( BPAPAorBP