Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

Задание 18. Задачи с параметром

Линейное уравнение 𝒂 ∙ 𝒙 = 𝒃 имеет:

единственное решение, при 𝑎 ≠ 0;

бесконечное множество решений, при 𝑎 = 0, 𝑏 = 0;

не имеет решений, при 𝑎 = 0, 𝑏 ≠ 0.

Квадратное уравнение 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙+ 𝒄 = 𝟎 имеет:

два различных корня тогда и только тогда, когда 0D .

два (может быть кратных) корня тогда и только тогда, когда 0D .

два положительных корня тогда и только тогда, когда

два отрицательных корня тогда и только тогда, когда

корни разных знаков тогда и только тогда, когда

корень, равный нулю тогда и только тогда, когда

два разных корня тогда и только тогда, когда

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

два разных корня тогда и только тогда, когда

два корня тогда и только тогда, когда

корни тогда и только тогда, когда

корни тогда и только тогда, когда

корни тогда и только тогда, когда

один корень внутри интервала , а другой вне этого интервала тогда и

только тогда, когда

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители:

21

2 xxxxacbxax

Теорема Виета

Приведенное квадратное уравнение: 02 cbxax

a

cxx

a

bxx

21

21

Частные случаи:

1) Если a+ b+ c = 0, то x1 = 1, x2 = c/a.

2) Если a = b + c, то x1 = -1, x2 = -c/a.

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

Система уравнений с коэффициентами отличны от нуля имеет:

.

,

111 cybxa

cbyax

единственное решение, необходимо и достаточно выполнения условия

11 b

b

a

a

бесконечно много решений, необходимо и достаточно выполнения условия

111 c

c

b

b

a

a

не имела решений, необходимо и достаточно выполнения условия

111 c

c

b

b

a

a

Случай, когда коэффициенты равны нулю, нужно рассматривать отдельно.

Неравенства вида bax с переменной х:

1) имеет решение на

;

a

bx , при 0a ;

2) имеет решение на

a

bx ; , при 0a ;

3) имеет решение на ;x , при 0,0 ba ;

4) не имеет решение, при 0,0 ba .

Четность и нечетность функции

четнаяxfxf . Если функция четная, то корням уравнения будут числа: - х; 0; х.

нечетнаяxfxf

Инвариантность

Утверждение 1. Если выражение f (x) – инвариантно относительно преобразования x → (-

х) и уравнение f(x)= 0 имеет корень x0, то число – x0 также корень этого уравнения.

Утверждение 2. Если выражение F(x; y) инвариантно относительно преобразования x →

(- х) и уравнение

F(x; y) = 0 имеет решение (х0; y0), то и пара чисел ( - x0;y0 ) также решение этого

уравнения.

Утверждение 3. Если выражение F(x; y) инвариантно относительно преобразования у →

(- у) и уравнение

F(x; y) = 0 имеет решение (х0; y0), то и пара чисел (х0; - y0), также решение этого

уравнения.

Утверждение 4. Если выражение F(x; y) – инвариантно относительно преобразования x →

у и у → х и уравнение F(x; y) = 0 имеет решение (х0; y0), то пара чисел (y0;х0 )также

решение этого уравнения.

Утверждение 5. Если выражение f (x) – инвариантно относительно преобразования x →

g(х) и уравнение f (x) = 0

имеет корень x 0, то число g(x0) также корень этого уравнения.

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

Метод оценки

Иногда уравнение (неравенство) f (x) = g(x) (либо любой другой знак неравенства)

устроено так, что на всей

ОДЗ неизвестной имеют место неравенства f (x)≥ A и g (x)≤ A при некотором А. В этом

случае:

а) решение неравенства f (x) ≤ g(x) или уравнения f (x) = g(x) сводится к нахождению тех

значений x , для которых одновременно f (x) = A и g(x) = A ;

б) решение неравенства f (x) ≥ g(x) сводится к нахождению тех решений неравенства f (x) ≥

A, для которых определена функция g(x) .

Неотрицательность функции

Пусть левая часть уравнения (неравенства) f (x) ≤0 или f(x) = 0 есть сумма нескольких

, каждая из которых неотрицательна для любого x из области

ее определения. Тогда неравенство f (x) ≤ 0 или уравнение

f (x) = 0 равносильно системе уравнений

а неравенство f (x) ≥ 0 сводится к нахождению области определения функции f (x) .

Монотонность функции на множестве R

Если функция f (t) строго монотонна на R, то уравнение f (h(x)) = f(g(x)) равносильно

уравнению h(x) = g(x).

Если функция f (t) строго возрастает на R, то неравенство

f (h(x)) > f(g(x) равносильно неравенству h(x) > g(x).

Если функция f (t) строго убывает на R, то неравенство

f (h(x))> f(g(x)) равносильно неравенству h(x) < g(x).

Монотонность функции на промежутке

Если функция f (t) строго монотонна на своей области существования – промежутке М, то

уравнение f (h(x)) = f(g(x)) равносильно системе

Если функция f (t) определена и является возрастающей на своей области определения –

промежутке М, то неравенство

f (h(x)) > f (g(x)) равносильно системе

где E(h) и E(g) – множество значений функций h(x) и g(x) соответственно.

Если функция f (t) строго убывает на своей области определения – промежутке М, то

неравенство

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

f (h(x))> f (g(x)) равносильно системе

где E(h) и E(g) – множество значений функций h(x) и g(x) cоответственно.

Функции разной монотонности

Уравнение f (x) = g(x) , где f (x) – возрастающая, а g(x) – убывающая функции, либо не

имеет решений (смотри рис. а), либо имеет единственное решение (см. рис. б).

Пусть на промежутке (a; b) заданы возрастающая функция

f (x) и убывающая функция g(x) , причем x0– корень

уравнения f (x) = g(x) , принадлежащий промежутку (a; b) .

Тогда решение неравенства f (x) > g(x) – все числа из промежутка (x0; b), а решение

неравенства f (x) < g(x) – промежуток (a ; x0) (см.рис.).

Пусть на промежутке (a; b) задана возрастающая функция

f (x) и x 0– корень уравнения f (x) = c , принадлежащий промежутку (a; b) . Тогда решение

неравенства f (x) > c – все числа из промежутка (x0 ; b), а решение неравенства

f (x) < c – промежуток (a ; x0) (см. рис.).

Задачи вида f ( f (x)) = x

Если функция f (x) строго возрастает на некотором промежутке, то уравнения f (x) = x и f (

f (x)) = x равносильны на этом промежутке.

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

х

y y=kx+b

b

α

b

α x

y

y

x

b y=b

y

x

x=const

Основные функции

Линейная функция y = kx+b графиком является прямая.

Область определения - yD =R

Область значения - yE =R

Значение коэффициентов

Коэффициент k является тангенсом угла, который образует прямая с положительным

направлением оси абсцисс.

Коэффициент b является показателем ординаты точки пересечения прямой с осью

ординат.

Свойства

1)При k>0, прямая образует острый угол с осью абсцисс (α – острый угол), функция

является возрастающей.

2)При k<0, прямая образует тупой угол с осью абсцисс (α – тупой угол), функция является

убывающей.

3)При k=0, прямая параллельна оси абсцисс (y=b).

4)Прямая x = const параллельна оси ординат (x=const).

5)Функция прямой пропорциональности y=kx проходит через начало координат

если k>0, прямая лежит во I и Ш четвертях, функция является возрастающей.

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

x

y

y=x y=-x

I четверть II четверть

III четверть IV четверть

если k<0, прямая лежит во II и IV четвертях, функция является убывающей.

если k=1, прямая является биссектрисой I и III четвертях.

если k=-1, прямая является биссектрисой II и IV четвертях.

Условие параллельности двух прямых111 bxky и

222 bxky

Две прямые параллельны, если у них равные коэффициенты 21 kk

Условие перпендикулярности двух прямых111 bxky и

222 bxky

Две прямые перпендикулярны, если произведение их коэффициентов равно -1, т.е.

121 kk

Функция обратной пропорциональности х

kу

Графиком является гипербола

Область определения - yD = 0; ;0

Область значения - yE = 0; ;0

Функция обратной пропорциональности является нечетной (симметрия относительно

начала координат).

Свойства функции

если k>0, функция лежит в I и Ш четвертях и является убывающей.

если k<0, функция лежит во II и IV четвертях и является возрастающей.

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

Квадратичная функция cвxaxy 2

Графиком квадратичной функции является парабола.

Область определения - yD =R

Координаты вершины параболы a

bх

20 ;

a

Dy

40

Прямая a

bх

2 является осью симметрии параболы.

При а>0 ветви параболы направлены вверх.

При a<0 ветви параболы направлены вниз.

а>0 a<0

Частный случай 2xy

Область определения - yD =R

Область значения - yE = ;0

Координаты вершины параболы 00 х ; 00 y

Точка минимума функции 0min х

Функция является четной (симметрия относительно оси Оу).

Функция возрастает на х ;0

Функция убывает на х 0;

Функция ху

Область определения - yD = ;0

Область значения - yE = ;0

Функция возрастает на ;0х

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

Показательная функция хау

Область определения - yD =R

Область значения - yE = ;0

если а>0, функция возрастающая.

если а<0, функция убывающая.

Логарифмическая функция xу alog

Область определения - yD = ;0

Область значения - yE = R

если а>0, функция возрастающая.

если а<0, функция убывающая.

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

Уравнение окружности

окружностицентрbaАгде

Rbуах

,

,

0

222

Тригонометрические функции

хy sin

Область определения: yD = R

Область значения: yE = 1;1

Четность: функция нечетная.

Периодичность: 2T

хy cos

Область определения: yD = R

Область значения: yE = 1;1

Четность: функция четная.

Периодичность: 2T

tgxy

Область определения: yD =

nn

2;

2, Zn

Область значения: yE =R

Четность: функция нечетная.

Периодичность: T

Возрастающая функция

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

сtgxy

Область определения: yD = nn ; , Zn

Область значения: yE =R

Четность: функция нечетная.

Периодичность: T

Убывающая функция

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

Обратные тригонометрические функции

xy arcsin

Область определения: yD = 1;1

Область значения: yE =

2;

2

Четность: функция нечетная

Функция непериодическая

Возрастающая функция

xy arccos

Область определения: yD = 1;1

Область значения: yE = ;0

Четность: функция ни нечетная ни четной.

Функция непериодическая

Убывающая функция

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

arctgxy

Область определения: yD = R

Область значения: yE =

2;

2

Четность: функция нечетная

Функция непериодическая

Возрастающая функция

arcсtgxy

Область определения: yD =R

Область значения: yE = ;0

Четность: функция ни нечетная ни четной.

Функция непериодическая

Убывающая функция

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

Взаимно обратные функции

Взаимно обратные функции Графики

аявозрастающ

yE

RyD

аау х

;0:)(

:)(

1,

аявозрастающ

RyE

yD

аxy a

:)(

;0:)(

1,log

аявозрастающ

yE

yD

xy

1;1:)(

2;

2:)(

sin

аявозрастающ

yE

yD

xy

2;

2:)(

1;1:)(

arcsin

убывающая

yE

yD

xy

1;1:)(

;0:)(

cos

убывающая

yE

yD

xy

;0:)(

1;1:)(

arccos

Свойства взаимно обратных функций

1) Тождества. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Это означает, что равенства

y = f(x) и x = g(y) равносильны. Подставим одно из этих равенств в другое. Получим два

тождества f(g(y)) = y и g(f(x)) = x.

2) Область определения. Пусть f и g – взаимно обратные функции. Область определения

функции f совпадает с областью значений функции g, и наоборот, область значений

функции f совпадает с область определения функции g.

3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает (убывает), то и

другая возрастает (убывает).

4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе

координат, симметричны друг другу относительно прямой y = x.

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

Основные операции над функциями

Операция Действие График

cxf )( Движение графика вдоль

оси Оу на с

)( cxf Движение графика вдоль

оси Ох на –с

)(xf

Положительные значения

функции остаются без

изменения, а отрицательные

значения функции

отображаются симметрично

относительно оси Ох

хf

Положительные значения х

отображаются симметрично

относительно оси Оу, а

отрицательные значения х

удаляются

)(xf График функции

отображается симметрично

относительно оси Ох

)( xf График функции

отображается симметрично

относительно оси Оу

)(xfk Растяжение и сжатие вдоль

оси Оу (ордината точки

увеличивается в к раз)

Задание 18. Задачи с параметром пифагорчик.рф

)( xkf Растяжение и сжатие вдоль

оси Ох (абсцисса точки

уменьшается в к раз)