Решение задач С4

ПланиметриПланиметрияя

Учитель математики: Семёнова Елена Юрьевна

МБОУ СОШ №5 – «Школа здоровья и развития» г. Радужный

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

Решение.

a) Найдем периметр ∆О1О2О3

(т.е. диаметру большей окружности)

drrrrrrrP 1213132 2

;rrОО;rrОО;rrОО 323231312121

r 1− r 3 O2

O3

O1r2

r3

r1r1− r2

r 2+ r 3

11

Решение (продолжение). б) Пусть r1 = 6, r2 = 2. Тогда

;rrМОООМО 23

23

23

2322 2

;rrОО 4262121

;rrrОО 33232 2

;rrrОО 33131 6

;rr

МОООМОООМО2

32

3

23

2311212

64

4

;rrrr 23

23

23

23 642

.rrr 31236444 333

O2

O3

O1

r2r3

r1M

r3

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

11

22

На диагонали параллелограмма взяли точку, отличную от её середины. Из неё на все стороны параллелограмма (или их продолжения) опустили перпендикуляры.а) Докажите, что четырёхугольник, образованный основаниями этих перпендикуляров, является трапецией.б) Найдите площадь полученной трапеции, если площадь параллелограмма равна 16, а один из его углов равен 60°.

Решение. a) ∆AOQ ~ ∆CON (по двум углам) ⟹AO : CO = OQ : ON ∆AOM ~ ∆COP (по двум углам) ⟹AO : CO = OM : OP ⟹ OQ : ON = OM : OP ⟹ ∆QOM ~ ∆NOP (по углу ∠MOQ = ∠PON = = 120° и двум прилежащим сторонам) ⟹ ∠OQM = ∠ONP (накрест лежащие) ⟹PN ∥ QM.

б)

⟹

O

А

С

В

D

MN

P

Q 60°

12021

sinQNMPSMNPQ

PMABsinADABSABCD 60

120606021

sinsinABsinADSMNPQ

PMsinAD 60

QNsinAB 60

QNADsinADABSABCD 60

623

1621

1206021

2

sinsinSS ABCDMNPQ

Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO за точку O отмечена точка K так, что ∠BAC + ∠AKC = 90°.а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный.б) Найдите радиус окружности, описанной вокруг четырёхугольника OBKC, если cos∠BAC= =3/5, а BC = 48.

Решение. a) Пусть ∠АВС = х; ∠ВOС = 2∠АВС = 2х (как центральный и вписанный углы с общей дугой ВС); ∠АКС = ∠ОКС = 90° − х∆ВOС – р/б; ОВ = ОС (радиусы) ⟹∠ОВС = ∠ОСВ = (180° – 2х) : 2 = 90° − х

⟹ ∠ОКС = ∠ОВС (вписанные в окружность с общей дугой ОС)ОВКС – вписанный четырёхугольник.

б)

O

А С

ВК

х;xcosBACcos

53

;xcosxcosBOCcos257

153

21222

2

.,xcosBOCsin 960257

1212

2

По теореме синусов: .R,BOCsin

BCR 2550

96048

2

33

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный треугольник.б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.

O

А С

В

Р

Q

D

Решение.

44

Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается стороны BC в точке P и пересекает отрезок BO в точке Q. При этом отрезки OC и QP параллельны.а) Докажите, что треугольник ABC – равнобедренный треугольник.б) Найдите площадь треугольника BQP, если точка O делит высоту BD треугольника в отношении BO : OD = 3 : 1 и AC = 2a.

Решение (продолжение).

O

А С

В

Р

H

Q

44

Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T .а) Докажите, что прямые KT и DE параллельны.б) Найдите угол BAD, если известно, что AD = 6 и KT = 3.

Решение. a) ∠АDE = ∠СDE = ∠АED (как накрест лежащие при параллельных прямых AB и DC и секущей DE) ∆AOT = ∆AOK (по общей гипотенузе и катетам ОТ = ОК = r) ⟹ AT = AK ⟹ ∆ATK – р/б ⟹ ∠ATK = ∠AKT ∆AKT ~ ∆AED (по общему углу А и двум прилежащим сторонам) ⟹ ∠ATK = = ∠ADE – соответственные ⟹ KT ∥ DE

O

А

СВ

Р

E

DT

K

б) ∆ADE – р/б; AD = AE = 6, АР – высота и медиана ⟹ DP = EP. Пусть АТ = АК = х, тогда TD = PD = 6 – x, т. к. ∆AKT ~ ∆AED ⟹ AT : AD = KT : ED, x : 6 = 3 : 2(6 – x) ⟹ x = 3.Значит, ∆AKT и ∆AED – равносторонние, ∠BAD = 60°.

Ответ: 60. 55

В треугольник ABC вписана окружность радиуса R, касающаяся стороны AC в точке D, причём AD = R.а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.б) Вписанная окружность касается сторон AB и BC в точках E и F. Найдите площадь треугольника BEF , если известно, что R = 5 и CD = 15.

Решение. a) т.к. AD = R и OD⊥AD (как радиус окр., проведенный в точку касания) ⟹ ADOE – квадрат ⟹ ∠САВ = 90° ⟹∆AВС – п/у

б) АС = AD + CD = 20; CD = CF = 15 (по свойству вписанной окружности в ∆ABС) Пусть ВЕ = BF = х, тогда по т. Пифагора(5 + х)2 + 202 = (15 + х)2 ⟹ х = 10.В п/у АВС sin∠B = АС : ВС = 20/25 = 0,8S∆BEF = ½ BE ∙ BF sin∠B = ½ 10∙ 2 ∙ 0,8 = 40.

O

А

С

В

F

DR

ЕОтвет: 40. 66

Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 21.

Решение. (1 случай)АО3 ⊥ О1О2 (как радиус окружности, проведенный в точку касания) ⟹ ∆АО1О3 и ∆АО3О2 – п/у. Пусть AO3 = R и АО1 = х, тогда АО2 = 21 – х. Применив т. Пифагора, составим систему уравнений:

;RRx

,RRх222

222

921

2

;ООАОАО

,ООАОАО2

312

32

1

232

23

22

O2 А

R

х

О3

O1

R9

2

21 – х

R

;xR,Rx

326442

.R,x

86

Ответ: 8. 77

77

;ООАОАО

,ООАОАО2

312

32

1

232

23

22

;xR,Rx

326442

.R,x

8018

O2 А

R

х

О3

O1

R

9

2

21

R

Радиусы окружностей с центрами O1 и O2 равны соответственно 2 и 9. Найдите радиус третьей окружности, которая касается двух данных и прямой O1O2, если O1O2 = 21.

Решение. (2 случай)АО3 ⊥ О1О2 (как радиус окружности, проведенный в точку касания) ⟹ ∆АО1О3 и ∆АО3О2 – п/у. Пусть AO3 = R и АО1 = х, тогда АО2 = 21 + х. Применив т. Пифагора, составим систему уравнений:

;RRx

,RRх222

222

921

2

Ответ: 80.

Угол C треугольника ABC равен 30°, D – отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD : DC = 1 : 6. Найдите синус угла A.

O2

А

С ВD

O1

30°6х х

Решение. (1 случай)Т.к. точки A, С и D лежат на окружности с центром О2 и АС – диаметр, то ∆ADC – п/у; аналогично, ∆ADВ – п/у ⟹ D лежит на ВС.

Пусть BD = x, в п/у ∆ADC выразим АС = 2AD через х:

В п/у ∆AВD по т. Пифагора:

По т. косинусов в ∆АВС:

222 26 ADxAD

xADхAD 3212 22

2222 1312 хххAВ

ABACBCABAC

Acos

2

222

;

xxxxx

Acos392

313342

71334 222

1327

3923

12

Asin 88

Угол C треугольника ABC равен 30°, D – отличная от A точка пересечения окружностей, построенных на сторонах AB и AC как на диаметрах. Известно, что BD : DC = 1 : 6. Найдите синус угла A.

O2

А

С В D

O1

30°5х х

Решение. (2 случай) Т.к. точки A, С и D лежат на окружности с центром О2 и АС – диаметр, то ∆ADC – п/у; аналогично, ∆ADВ – п/у ⟹ D лежит на ВС.

В п/у ∆ADC выразим АС = 2AD через х:

В п/у ∆AВD по т. Пифагора:

По т. косинусов в ∆АВС:

222 26 ADxAD

xADхAD 3212 22

2222 1312 хххAВ

ABACBCABAC

Acos

2

222

;

xxxxx

Acos392

913342

51334 222

1325

3929

12

Asin 88

В окружности проведены хорды PQ и CD, причем PQ = PD = CD = 12, CQ = 4. Найдите CP .

Решение. (1 случай)в ∆PQC по т. косинусов:

в ∆PDC по т. косинусов:

(по свойству четырехугольника, вписанного в окружность).Приравнивая эти выражения, получим уравнение относительно cos∠PQC:

PQCcosQCPQQCPQPC 2222

PQCcosPC 4122412 222

PDCcosDCPDDCPDPC 2222

PQCcosPC 18021221212 222

PQCcosPQCcos 1212212124122412 2222

.PQCcos31

Подставив обратно в любое из выражений, найдем PC:

.РС;PC 38192321614431

4122412 222

Q С

DP

O

99

В окружности проведены хорды PQ и CD, причем PQ = PD = CD = 12, CQ = 4. Найдите CP .

Решение. (2 случай)в ∆PQC по т. косинусов:

в ∆PDC по т. косинусов:

(по свойству вписанных углов в окружность).Приравнивая эти выражения, получим уравнение относительно cos∠PQC

PQCcosQCPQQCPQPC 2222

PQCcosPC 4122412 222

PDCcosDCPDDCPDPC 2222

PQCcosPC 21221212 222

PQCcosPQCcos 1212212124122412 2222

.PQCcos32

Подставив обратно в любое из выражений, найдем PC:

.РС;PC 6496641614432

4122412 222

Q С

D P

O

99

Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C. AO1 и BO2 – параллельные радиусы этих окружностей, причём AO∠ 1O2 = 60°. Найдите AB.

Решение. (1 случай)Т.к. ∠АО1C = 60° и АО1 ∥ ВО2, то по ∠ВО2C = 120° (как внутренние односторонние при параллельных прямых и секущей О1О2)В р/с ∆АО1С АС = 1; в р/б ∆ВО2С найдем по т. косинусов:

∠АCВ = 180° - 60° - 30° = 90° ⟹в п/у ∆АВC по т. Пифагора:

4812044244 222 cosВC34ВC

49341222 АВ

.АВ 7

Ответ: 7.

O2СO1

А

В

14

1 4

1010

Окружности радиусов 1 и 4 с центрами O1 и O2 соответственно касаются внешним образом в точке C. AO1 и BO2 – параллельные радиусы этих окружностей, причём AO∠ 1O2 = 60°. Найдите AB.

Решение. (2 случай)Т.к. ∠АО1C = 60° и АО1 ∥ ВО2, то по

∠ВО2C = 60° (как накрест лежащие

при параллельных прямых и секущей О1О2)

∠ВCО2 = ∠АCО1 = 60° (как

вертикальные) ∆⟹ ВО2С – р/с ⟹

ВС = 4; в р/с ∆АО1С АС = 1;

АВ = ВС + АС = 1 + 4 = 5

Ответ: 5.

O2СO1

А

В

1

4

14

1010

Решение. (1 случай)Т.к. ∠АВО1 = 15° и ∆АО1В – р/б, то ∠ВАО1 = 15° = ∠CАО2 (как вертикальные) ⟹ ∠АСО2 = 15°∠ВО1А = ∠CО2А = 180° − 2 15°= 150°∙

CAOsinCOAOS CAOΔ 22221

2

425

21

521 2

2CAOΔS

2221

2ВAOsinАВAOS ВАOΔ

415

21

3521

2ВAOΔS

САOΔВАOΔВСOΔ SSS222

104

154

252

ВСOΔS

O2

С

O1

А

В3

5

3

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую – в точке C . Найдите площадь треугольника BCO2, если ABO∠ 1= 15°.

1111

1111

Окружности радиусов 3 и 5 с центрами O1 и O2 соответственно касаются в точке A. Прямая, проходящая через точку A, вторично пересекает меньшую окружность в точке B, а большую – в точке C . Найдите площадь треугольника BCO2, если ABO∠ 1= 15°.

Решение. (2 случай)Т.к. ∠АВО1 = 15° и ∆АО1В – р/б, то ∠ВАО1 = ∠АCО2 = 15° (как углы р/б ∆АО2С ) ⟹∠ВО1А = ∠CО2А = 180° − 2 15°= 150°∙

CAOsinCOAOS CAOΔ 22221

2

425

21

521 2

2CAOΔS

ВAOsinВOAOS АВOΔ 21121

1

49

21

321 2

1АВOΔS

21122 OВОΔАВOΔСАOΔВСOΔ SSSS

25

23

49

425

2ВСOΔS

O2

С

O1

А

В3

5

3

2

2112121

21OВОsinВOОOS ОВOΔ

23

15018033521

21 sinS ОВOΔ

⟹

Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN .

Решение. (1 случай)О1А ⊥ АС и О2В ⊥ АС (как радиусы окружностей, проведенных в точку касания) ⟹ ∆АСО1 и ∆ВСО2 – п/у с углом ∠С = 30° ⟹ СО1 = 12, СО2 = СО1 – О1О2 = 8. Значит, ВО2 = 4 = О1О2 ⟹ О1 лежит на второй окружности.∆NO1О2 – р/б, т.к. NO2 = O1О2 = 4 (радиусы) NO1 = 6, тогда по формуле Герона:

O1

С

O2NМ

6

4

B

A

7347677 2

21ONOΔS

72

446

p

73421

21

2121 hhООS ONOΔ

.732

7321

MNMNh1212

Окружность радиуса 6 вписана в угол, равный 60°. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 4. Найдите MN .

Решение. (2 случай)О2А ⊥ АС и О1В ⊥ АС (как радиусы окружностей, проведенных в точку касания) ⟹ ∆АСО2 и ∆ВСО1 – п/у с углом ∠С = 30° ⟹ СО1 = 12, СО2 = СО1 + О1О2 = 16. АO2 = NО2 = 8 (радиусы) NO1 = 6, тогда по формуле Герона:

153894969921

ONOΔS

92

846

p

153421

21

2121 hhООS ONOΔ

.1532153

21

MNMNh

6

O2

С

O1NМ

4

B

A

Ответ: .153;731212

Решить самостоятельно (АНАЛОГИЧНО ПРЕДЫДУЩЕЙ ЗАДАЧЕ).

Ответ: .144;24

Окружность радиуса вписана в прямой угол. Вторая окружность также вписана в этот угол и пересекается с первой в точках M и N. Известно, что расстояние между центрами окружностей равно 8. Найдите MN .

26

1313

Две стороны треугольника равны 8 и 10, косинус угла между ними равен 2/5. В треугольник вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол (вершина ромба, противоположная вершине этого угла, лежит на третьей стороне треугольника). Найдите сторону ромба.

1414

Решение. (1 случай)Пусть АВ = 8, АС = 10, примем АМ = АР = х, тогда ВМ = 8 – х; СР = 10 – х; ∆AВС ~ ∆МВК (по двум углам) ⟹МК : АС = ВМ : АВх : 10 = (8 – х) : 8 ⟹ х = 40/9.

B

С A

К

Р

М

х

х

8 – х

10 – х

Ответ: 40/9.

Две стороны треугольника равны 8 и 10, косинус угла между ними равен 2/5. В треугольник вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол (вершина ромба, противоположная вершине этого угла, лежит на третьей стороне треугольника). Найдите сторону ромба.

1414С

B

A

К

Р

Мх

х

10 –

х

10 – х

Решение. (2 случай)Пусть АВ = 8, АС = 10, примем АМ = АР = х, тогда ВМ = 8 – х; СР = 10 – х; cos∠BAC = 2/5, по т. косинусов

∆AВС ~ ∆МВК (по двум углам) ⟹МК : АС = ВК : ВСх : 10 = (10 – х) : 10 ⟹ х = 5.

ВАСАСАВАСАВВC cos2222

10052

1082108 222 ВC

10ВC

Ответ: 5.

Расстояния от точки M, расположенной внутри прямого угла, до сторон угла равны 4 и 3. Через точку M проведена прямая, отсекающая от угла треугольник, площадь которого равна 32. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри угла.

Решение. Пусть ВК = х, АР = у, тогда АС = 4 + у; СВ = 3 + х. ∆ВКМ ~ ∆МРА (по двум углам) ⟹ ВК : МР = КМ : РА, х : 3 = 4 : у ⟹ ху = 12.

,323421

хуS ABCΔ

;12

,323421

ху

ху

;34,9

;12,1

1

1

1

1

ух

ух

Получим систему:

3221

BCACS ABCΔЗная, что

⟹

2

22

222

34

493

12413

АВ

АВ

По т. Пифагора в п/у ∆АВС:

.3974

,174

АВ

АВ

С

B

A

К

Р

М

х

у

4

3

1515

Окружность, вписанная в треугольник ABC, площадь которого равна 66, касается средней линии, параллельной стороне BC. Известно, что BC = 11. Найдите сторону AB.

СB

A

NМ

O

Решение.

Пусть АВ = х, АС = у, тогда Р∆АВС = АВ + АС + ВС = х + у + 11;

MN = 5,5 (как средняя линия ∆АВС). MNCB – трапеция, в которую вписана окружность ⟹

MN + BC = MB + CN = ½ (x + y) = 5,5 + 11 = 16,5 ⟹ х + у = 33; P ∆АВС = 33 + 11 = 44.

По формуле Герона: ,1122222222 ухS ABCΔ

;6611222222

,33

ух

ухПолучим систему:

;260,33

хуух

.13,20

;20,13

ух

илиух

Ответ: 13 или 20. 1616

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

Решение. (1 случай)Пусть обе окружности касаются катетов и продолжений двух других сторон,

тогда О1О2 = О1С + СО2 (где О1С и СО2 –

диагонали квадратов, построенных на радиусах окружностей в соответствии со свойством радиуса окружности, проведенного в точку касания)

.2242172721 ОО

1717

AС

BO1

O2

7

17

7

17

Ответ: .224

Вневписанной окружностью треугольника называется окружность, касающаяся одной стороны треугольника и продолжений двух других его сторон. Радиусы двух вневписанных окружностей прямоугольного треугольника равны 7 и 17. Найдите расстояние между их центрами.

1717

Решение. (2 случай)Пусть одна из окружностей касается гипотенузы, а другая одного из катетов и продолжений двух других сторон, тогда в п/у

∆МО1О2 по т. Пифагора

(где О2М = О2К + КМ = 17 + 7 = 24 –

сумма радиусов;

О1М = МН – О1Н = 17 – 7 = 10 –

разность радиусов)

,22

21

221 МОМООО

O2

С A

B

O1

7 17

17

М

7

К

РН

,6761024 22221 ОО

.2621 ОООтвет: 26.

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину M , касается окружности с центром K радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

Решение. (1 случай)∆MNQ ~ ∆КHQ (по двум углам) ⟹ МN : KH = NQ : HQ. Пусть KQ = x, тогда QN = 11 – x, в п/у ∆KHQ

16;4 222222 xHQxKHKQHQ .516:114:8 2 xxx

К

H

МL

N

8

11

Q4

11 – xx

Ответ: 5.1188

Дан прямоугольник KLMN со сторонами: KN = 11, MN = 8. Прямая, проходящая через вершину M, касается окружности с центром K радиуса 4 и пересекается с прямой KN в точке Q. Найдите QK.

К

H

Q

МL

N

8

11

4

x

Решение. (2 случай)∆MNQ ~ ∆КHQ (по двум углам) ⟹ МN : KH = NQ : HQ. Пусть KQ = x, тогда QN = 11 + x, в п/у ∆KHQ 16;4 222222 xHQxKHKQHQ

16:114:8 2xx

.3

37x

Ответ: .3

371188

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM .

1919

Решение. (1 случай)BC = 24, EF = 12, значит СЕ = BF = (24 – 12) : 2 = 6 (как средние линии ∆KLM и ∆NLM) ⟹ LM = 12; KN = 2(CE + EF) = 2(6 + 12) = 36 (CF – средняя линия ∆KLN)∆AKN ~ ∆ALM (по двум углам) ⟹ AL : AK = LM : KN = AM : AN. Пусть AL = x, AM = y, тогда AK = 10 + x,

AN = 26 + y.x : (10 + x) = 12 : 36 ⟹ x = 5;y : (26 + y) = 12 : 36 ⟹ y = 13. Значит, ∆AKN ~ ∆ALM – п/у.

3012521

21

LMALS ALMΔ

.2

1312521

30

pS

r ALMΔ

Ответ: 2.

М

К

L

N

А

Е FВC

xy

Боковые стороны KL и MN трапеции KLMN равны 10 и 26 соответственно. Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен 12, средняя линия трапеции равна 24. Прямые KL и MN пересекаются в точке A. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ALM .

1919

Решение. (2 случай)BC = 24, EF = 12, значит СЕ = BF = (24 – 12) : 2 = 6 (как средние линии ∆KLM и ∆NLM) ⟹ LM = 12; KN = 2(CE + EF) = 2(6 + 12) = 36 (CF – средняя линия ∆KLN)∆AKN ~ ∆ALM (по двум углам) ⟹ AL : AK = LM : KN = AM : AN. Пусть AL = x, AM = y, тогда AK = 10 + x,

AN = 26 + y.x : (10 + x) = 12 : 36 ⟹ x = 5;y : (26 + y) = 12 : 36 ⟹ y = 13. Значит, ∆AKN ~ ∆ALM – п/у.AL = AK + KL = 5 + 10 = 15.

270361521

21

LMALS ALMΔ

.6

36391521

270

pS

r ALMΔ

N

L

K

M

А

ЕF ВC

Ответ: 6.

xy

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120°. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

2020

Решение. (1 случай)Проведя высоту на основание, получим два равных п/у ∆АВН и ∆АСН, в каждый из которых вписана окружность ⟹ АН = 2 (против угла в 30°); ВН =.32

.133333

333233

323242

322

21

21

ВНАВАН

ВНАН

pS

r AВВΔ

H

А

В C30°

Дан равнобедренный треугольник с боковой стороной 4 и углом 120°. Внутри него расположены две равные касающиеся окружности, каждая из которых касается двух сторон треугольника. Найдите радиусы окружностей.

2020А

rr

r

rO1

O2

Р

HВ CM КРешение. (2 случай)

Проведём МО1 через центры окружностей, МО1 ∥ АВ, т.к. удалены друг от

друга на r. Рассмотрим п/у ∆МО2К ~ ∆МО1Н ~ ∆ВАН (по двум углам).

Пусть r – радиус вписанных окружностей, тогда О2К = r, О2М = 2r ⟹ MO1 = 4r,

O1H = 2r. В п/у ∆АРО1 РО1 = r, АО1 = AH = AO1 + O1H = ;

32r

;3

3123

22

rrr

.

233

3312

2

rr

В треугольнике ABC известны стороны: AB = 5, BC = 6, AC = 7. Окружность, проходящая через точки A и C, пересекает прямые BA и BC соответственно в точках K и L, отличных от вершин треугольника. Отрезок KL касается окружности, вписанной в треугольник ABC . Найдите длину отрезка KL.

Решение. (1 случай)ВАС + KLC = 180° (по свойству трапеции, вписанной в окружность), KLC = 180° − ВАС ⟹BLK = 180° − KLС = ВАС.Аналогично, ВKL = ВСА ⟹∆ВАС ~ ∆ВLK ⟹BK : BC = BL : BA = KL : AC BK : 6 = BL : 5 = KL : 7KL + AC = AK + LC (по свойству трапеции,

описанной около окружности). Пусть BK = x, BL = y, тогда АК = 5 – х, BL = 6 – y.

.9

14;

910

;34

;4,1,4

,2,1

;657

,756

KLух

yKLyxKL

ух

yxKL

KLyx

2121

А

В

C

KL

Точка O – центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной . Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

314

Решение. (1 случай)∆AOB = ∆COD = ∆EOF (по свойству правильного шестиугольника) ⟹окружности, описанные около этих ∆-ов имеют один и тот же радиус

и общую точку пересечения – О.Окружность с центром O, касается внутренним образом окружностей в точках M, N, P, описанных около треугольников ∆AOB, ∆COD и ∆EOF, и имеет радиус, равный диаметрам этих окружностей R = 2r = 28.

;143

3143

AB

r

А В

C

DE

FO

M

P N

2222

Точка O – центр правильного шестиугольника ABCDEF со стороной . Найдите радиус окружности, касающейся окружностей, описанных около треугольников AOB, COD и EOF.

314

Решение. (2 случай)∆AOB = ∆COD = ∆EOF = ∆O2О3О4

Окружность с центром O1, касается внутренним образом одной окружности в точке M и внешним образом двух других окружностей, описанных около треугольников ∆COD и ∆EOF.Пусть радиус этой окружности – r1.

;14;14 11211131 rrrООrrrОО

А В

C

DE

F O

M

О1

O3O4

O2

К

;31443 АВОО

По т. Пифагора в п/у ∆КO1О3

.12

;373514

;

1

221

21

23

21

231

rrr

КОКООО

;212

33142

КО

;351421 112121 rrООКОКО

2222

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F, отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если AC = 8, AF = 3, угол BAC равен 45°.

2233

K N

A

O

B

28

45

P

M

В остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA. а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK. б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что KN = и KMN = 45°. 28

Решение.а) ∆ANK и ∆BKN – п/у, опирающиеся на диаметр KN окружности с центром O(по свойству вписанных в окружность углов), тогда ABK = ANK как вписанные в эту же окружность и опирающиеся на дугу АК. б) ∆ANМ и ∆BKМ – п/у и р/б, т.к. М = 45°,а AN и BK – высоты.∆APK и ∆BPN – п/у и р/б Обозначим АP = АK = х, ВP = ВN = у, тогда КP = , PN = ;∆APB ~ ∆KPN (по углам) ⟹ АР : КР = ВР : РN = = AB : KN= ⟹ АВ = KN : = 8.в ∆ABM по т. синусов

2у2х

221 /

.242:82sin45:ABR 2244Ответ: .24

2255

В

N

O1

С

М

К

O2

Q

РA

Решение.а) по свойству касательных к окружности: BN = BP; CN = CQ; CK = CM; и т.д.CN = CB + BN = CB + BP,CQ = CA + AQ = CA + AP,P∆ABC = CB + BP + CA + AP = CN + CQ;Т.к. CN = CQ = P ∆ABC /2.Аналогично, BМ = Р ∆ABC /2; ВМ = CN.

⟹

⟹

S

Окружность ω1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C соответственно; M − точка её касания с прямой BC. Окружность ω2 касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно; N − точка её касания с прямой BC.a) Докажите, что BM = CN б) Найдите расстояние между центрами окружностей ω1 и ω2, если AC = , AB = , BC = 6.17 19

2255

Окружность ω1 касается стороны AC и продолжений сторон AB и BC треугольника ABC за точки A и C соответственно; M − точка её касания с прямой BC. Окружность ω2 касается стороны AB и продолжений сторон AC и BC за точки A и B соответственно; N − точка её касания с прямой BC.a) Докажите, что BM = CN б) Найдите расстояние между центрами окружностей ω1 и ω2, если AC = , AB = , BC = 6.17 19

Решение.б) BC2 = AC2 + AB2 =Значит, ∆ABC – п/у, А = 90°.CL = CA + AL = + y; BS = BA + AS = + xРадиус вневписанной окружности:

22261917

17 19

O2

АВ

С

O1

r2

М

r1

К

NP

L

S

r2

r1

;

Δ

191761917

19-1917621

191721

AB-pS

r ABC2

;Δ

171961917

AС-pS

r ABC1

.26219176

191717196

1917

2rrAOAOOO 212121

Ответ: .26

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. В каком отношении делит сторону ВС прямая, проходящая через точку Р и центр окружности, если АМ : МВ = 1 : 2?

2266А В

СD

N

M

K

SQ

Решение.а) по свойству касательных к окружности: KN = NQ; QM = MS; P∆AMN = AM + MQ + QN + NA = = AM + MS + KN + AN = AS + AK =½ AB + ½ AD = AB, где S и К – точки касания окружности с квадратом или середины сторон квадрата.

К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны АВ и AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что периметр треугольника AMN равен стороне квадрата. б) Прямая MN пересекает прямую CD в точке Р. В каком отношении делит сторону ВС прямая, проходящая через точку Р и центр окружности, если АМ : МВ = 1 : 2?

2266

Решение.б) Пусть сторона квадрата = 3х, AN = y.Тогда AM = x, и MN = P∆AMN – x – y = = 3x – x – y = 2x – y.Радиус вневписанной окружности OE:

Откуда y = 0,75x, DN = 3x – 0,75x = 2,25x.∆AMN ~ ∆DPN (по углам) ⟹АM : DР = AN : DN; x : DP = 0,75x : 2,25x,DP = 3x, EP = 4,5x, CP = 6x.∆OEP ~ ∆LCP (по углам) ⟹OE : CL = EP : CP; 1,5x : CL = 4,5x : 6x,CL = 2x, LB = 3x – 2x = x ⟹ CL : BL = 2 : 1.

А В

СD

N

M

Р

L

О

x 2x

1,5x

E

Q

;, Δ

0,5x-y0,5xy

y-2x-3x21

yx21

MN-pS

5x1 AMN

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.а) Докажите, что КN : NL = 2 : 1. б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 1.

2727

Решение.а) Продолжим прямые КМ и РL до пересечения в точке Е. Рассмотрим ∆КРЕ, в котором KL, РМ – медианы, по свойству которых KN : NL = PN : NM = 2 : 1.

Q

N

M

Р

L

K

E

На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая МР пересекает гипотенузу KL в точке N.а) Докажите, что КN : NL = 2 : 1. б) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно МР, пересекает отрезок KQ в точке R. Найдите KR, если KQ = 1.

2727

Решение.б) Рассмотрим ∆NКR, ∆PLN – п/у.KRN = LNP∆NKR ~ ∆PLN (по углам) ⟹ PL : KN = LN : KR;

Q

NM

Р

L

K

R

1

S

;1

KR23

1

232

.1

6232

231

KR

Ответ: .61

2828Ответ: 135.СА

В

E

Н

К218

P

F

М

LJ

Решение.∆ABF – п/у, р/б ⟹ FAB = FBA = 45°, Т.к. , то AF = FB = 18.∆APC – п/у, р/б ⟹ PAC = PCA = 45°, ∆HFC – п/у, р/б ⟹ CHF = HCF = 45°, Т.к. , то CF = HF = 12, AC = 30

ВН = BF – FH = 18 – 12 = 6BE – медиана ⟹ ВМ : МЕ = 2 : 1.MJ – высота ∆АМС, MJ = 1/3 BF = 6

KL – высота ∆АКС, KL = 1/2 (MJ + HF) = 9.

212СН

180.2

30122

ACHFS AHCΔ

218АВ

90.2306

2ACMJ

S AMCΔ

135.2309

2ACKL

S AKCΔ

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. А медианы – в точке M. Точка K – середина отрезка MH. Найдите площадь треугольника AKC, если известно что , угол BAC = 45°.212СН,218АВ

Продолжение биссектрисы CD неравнобедренного треугольника ABC пересекает окружность, описанную около этого треугольника, в точке E. Окружность, описанная около треугольника ADE, пересекает прямую AC в точке F , отличной от A. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC , если AC = 8, AF = 3, угол BAC равен 45°.

2929

Решение.

СFА

ВE x

8

D

Ответ: .2

11

45°

3

3030

Точка М пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K-середина стороны BC. б) Найдите длину AK, если BC=6√3.

АВ

С

P

NК

33

М33

Решение.а) PN – средняя линия ∆ABС ⟹ PN ∥ BCPAM = PNM (как вписанные в окружность углы, опирающиеся на одну дугу). PNB = CBN (как накрест лежащие при параллельных прямых) MBK = BAK, ∆AKB ~ ∆BKM (по двум углам, т.к. К у них общий).

3030

Точка М пересечения медиан треугольника ABC, вершина A и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности. а) Докажите, что треугольники AKB и BKM подобны, где K-середина стороны BC. б) Найдите длину AK, если BC = 6√3.

АВ

С

P

NК

33

М33

Решение.∆AKB ~ ∆BKM КВ⟹ : АК = МК : КВ,КВ2 = МК АК, т.к М – точка ∙пересечения медиан, то АМ = 2КМ, АК = 3КМ,КВ2 = МК 3МК = 3МК∙ 2

МК = 3, АК = 9.

.223MK33

Ответ: 9.