Embed Size (px)
Citation preview
ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ № 4 (ПО ИНТЕГРАЛЬНОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ).
Для выполнения домашнего задания необходимо, пользуясь табл. 1, заполнить первую
строку табл. 2, затем выписать соответствующие вашему номеру варианта данные из табл. 1.
Например, Вы учитесь в группе 5, Ваш номер в списке 14. Тогда по табл. 1 имеем:
5 A C D B K F M
Вписываем эти буквы в первую строку табл. 2 и выбираем строку, соответствующую
четырнадцатому варианту:
Номер по
п/п
Коэффициент
A C D B K F M
14 4 5 2 -6 -3 7 8
Таблица 1
Значения коэффициентов для разных групп
Группа Коэффициент
1 A B C D K F M
2 C D B A K F M
3 B A K D C F M
4 C A B K D F M
5 A C D B K F M
6 A K B D C F M
7 B K A C D F M
8 C K D A B F M
9 B D K C A F M
10 D K A C B F M
11 D C K B A F M
12 K C A D B F M
13 D A B K C F M
14 K B C D A F M
15 K A C B D F M
16 K C D A B F M
Таблица 2.
Данные для выполнения домашнего задания
Номер по
п/п
Коэффициенты
1 2 3 –1 5 7 4 14
2 –5 –9 2 1 –4 3 8
3 6 4 1 2 –7 3 12
4 2 –1 6 –9 8 5 13
5 1 5 –4 –3 6 2 –8
6 4 3 11 –1 –4 3 9
7 2 5 1 4 10 3 24
8 5 –2 9 3 –1 4 7
9 –2 7 6 11 –1 4 8
10 –4 10 5 –3 7 2 13
11 –3 2 –4 7 1 4 12
12 –6 5 –1 8 11 2 –6
13 3 –2 9 –5 1 4 17
14 4 5 2 –6 –3 7 8
15 9 3 –5 7 4 3 –12
16 2 5 –1 –3 4 6 –10
17 1 –6 2 3 –5 4 14
18 10 –2 6 –4 3 5 21
19 –4 7 –3 9 6 2 –17
20 2 1 7 12 4 6 –8
21 8 5 –2 4 1 3 17
22 –3 2 –4 6 –7 5 14
23 –1 7 2 5 4 6 3
24 3 –5 6 –4 1 2 8
25 10 –2 4 7 5 3 –27
26 2 11 6 4 –3 5 16
27 1 4 –3 2 9 6 –17
28 4 5 –9 7 3 2 –12
29 3 2 –5 4 7 6 13
30 –2 10 –4 1 –3 4 37
Домашнее задание №4
Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл:
1)
dx
DCx
BAx;
2) dxBAxM
;
3)
dx
BDx
CM
;
4) ))(( BxAx
Fdx;
5) dxDCxF M;
6) dxCeB
eAx
Ax
;
7) dxCx
xBMx F
ln2
;
8) dxFC BAx
)( ;
9) dxDCx
DCxM
)(sin
)(tg2
;
10)
dxC
xe BxA
22
;
11) dxFBAF xx )()( ;
12) dxxC
KxCxB
221
arctg;
13)
dxKx
BxF
logsin;
14) dxeKDx Fx
;
15) dxKxCBxAx )sin(2
16) dxFKxDx 2ln ;
17) dxKMx arctg ;
18) dxCBxAx
MFx
2
;
19) dxFxKMxB )cos()sin( ;
20) dxKAxF
)(cos ;
21) dxKxBxCx )sin()cos()sin( ;
22) dxBxAx )(ctg)(tg ;
23) dxFxDC
Fx
)sin(
)sin(;
24) )sin()cos( FxKFxBA
dx;
25) dxMFxKx
DCxBxAx
2
23
;
26) dxFBxCx
M
2;
27) dxxMxK
BxA
3
6
;
28) dxMKxFx
DCx
2;
29) FMxKxBAx
dx
2)(;
30) dxFxMxK 22.
Пример выполнения домашнего задания №3
Номер
п/п
Коэффициенты
A B C D K F M
* –2 –5 1 –3 –4 6 –8
Задача 1. Вычислить неопределенный интеграл:
1)
dx
x
x
3
52=
dx
x
x
3
56)3(2=
dx
xx
x
3
11
3
)3(2=
=
3
11)2(
x
dxdx =
3112
x
dxdx =
3
)3(112
x
xdx =
= –2x – 11ln|x – 3| + C;
2)
dxx8
52 =
dtdx
dxdt
xt
2
1
2
52
=
dtt
2
18 = dtt 8
2
1=
= Ct
)18(2
18
= Ct
714
1=
C
x7
5214
1;
3)
8
53x
dx= dxx
835 =
dtdx
dtdx
tx
3
1
3
35
=
dtt
3
18 = dtt8
3
1=
= Ct
183
1 18
= Ct
27
9
=
Cx
27
359
;
4) )54)(2(
6
xx
dx=
)54)(2(6
xx
dx=
=
13
4,
13
1
185
4
125
04
)2()54(1
:числители Приравняем
)54)(2(
)2()54(
542)54)(2(
1
BAAA
AB
BA
BA
xBxA
xx
xBxA
x
B
x
A
xx
=
= dxxx
54
4
2
1
13
6=
5413
24
213
6
x
dx
x
dx=
=
54
)54(4
1
13
24
2
)2(
13
6
x
xd
x
xd=
= Cxx 54ln13
62ln
13
6= C
x
x
54
2ln
13
6;
5)
dxx6 83 = dxx
3/43 = 33
3/4
xdx =
C
x
134
313/4
=
=
Cx
31
33/1
= Cx
3 3
3;
6)
dx
e
ex
x
2
2
5=
dtdxe
dtdxe
te
x
x
x
2
1
2
2
2
2
=
t
dt
5
2
1
=
t
td
5
)5(
2
1=
= Ct 5ln2
1= Ce
x 5ln
2
1 2 ;
7) dxx
xx
62 ln58= dx
x
xdxx
6ln5)8( = dx
x
xx
62 ln5
2
8=
=dtdx
x
tx
1
ln
= dttx 62 54 = Ct
x
1654
162 = Ctx 72
7
54 =
= Cxx 72ln
7
54 ;
8) dxx 52)6( =
dtdx
dtdx
tx
2
1
2
52
=
dtt
2
1)6( =
dtt)6(
2
1=
= Ct
6ln
)6(
2
1= C
x
ln6
(6)
2
152
;
9)
dx
x
x
)3(sin
)3(tg82
=
)3(sin
)3(tg82 x
dxx =
= 3ctg)3(tg8 xdx
)3(ctg
3ctg8
x
xd=
= tx )3(ctg = t
dt8 = 8 ln|t| + C = 8 ln|ctg(x – 3)| + C;
10) xdxe x
52 22
= xdxe x
54 2
=
dtxdx
dtxdx
tx
8
1
8
54 2
=
dtet
8
1
= dtet
8
1= Cet
8
1= Ce
x 542
8
1;
11) dxxx
6526 =
6ln6
6ln6
6
dtdx
dtdx
t
x
x
x
=6ln
25dt
t =
= dtt 256ln
1=
dudt
dudt
ut
5
1
5
25
= duu5
1
6ln
1= C
u
12
16ln5
11
21
=
= Cu
236ln5
1 23
= Cu 3
6ln15
2= Ct 3)25(
6ln15
2=
= Cx 3
2)6(515ln6
2;
12) dxx
xx
21
4arctg5= dx
x
xdx
x
x
22 1
41
arctg5 =
=
Cxtt
dt
dtxdx
dtxdx
tx
dxx
x
Cx
Ct
tdtdt
x
dx
tx
dxx
x
1ln2
1||ln
2
1
2
1
2
1
2
1
1)2
2
arctg
21
atctg
1
arctg)1
2
2
2
22
2
2
=
= Cxx 12lnarctg2
5 22 ;
13)
dx
x
x
4
)5(sin(log6 =
dtx
dx
dtdxx
tx
6ln
6ln5
5
)5(log6
=
dtt
4
sin6ln =
= Ct )cos(4
6ln= Cx ))5(cos(log
4
ln66 ;
14)
dV
x
U
dxex 6)43( =
63
436
6
6
xx
x
edxeVdxdU
dxedVxU =
=
)3(66
)43(66
dxee
xxx
=
dxee
x xx 66
2
1
6
)43(=
= Ce
ex x
x
62
1
6
)43( 66 = C
xx
x
12
ee
6
4)(36
6 ;
15) dxxxx )4sin()152( 2=
dVU
dxxxx )4sin()152( 2 =
=
4
)4cos()4sin()54(
)4sin(152 2
xdxxVdxxdU
dxxdVxxU=
=
dxx
xxxx )54(
4
)4cos(
4
)4cos(152 2 =
=
dVU
dxxxxxx
)4cos()54(4
1)4cos(
4
152 2
=
=
4
)4sin()4cos(4
)4cos(54
xdxxVdUdx
dxxdVUx
=
=
dx
xxxx
xx4
4
)4sin(
4
)4sin()54(
4
1)4cos(
4
152 2
=
=
dxxxx
xxx
)4sin(4
1)4sin(
16
)54()4cos(
4
152 2
=
= Cx
xx
xxx
16
)cos(4)sin(4
16
5)(4)cos(4
4
1522
;
16) dV
U
dxxx 643ln 2 =
xdxVdxxx
xdU
dxdVxxU
643
46643ln
2
2
=
=
dx
xx
xxxxx
643
46643ln
2
2 =
=
643
1242
643
46 т.е.
124
2
643x
1286x
46x
видуу правильном к дробь Приведем
22
2
2
2
2
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
=
=
dx
xx
xxxx
643
1242643ln
2
2 =
=
dx
xx
xdxxxx
643
342)643ln(
2
2 = J.
Для нахождения второго интеграла выделим в числителе и знаменателе производную
знаменателя 643 2 xx = 6x + 4. Тогда
dx
xx
x
643
32
=
dxxx
x
643
36
4)46(
6
1
2 =
dx
xx
x
643
46
6
12
–
6433
112 xx
dx=
23
4x3
3
11
643
643
6
1
22
2
x
dxdx
xx
xxd=
=
29
4
3
29
1164ln
6
12
23
x
dxxx = 643ln
6
1 2 xx
–
9
22
3
29
112
x
dx= C
x
x
xx
9
22
3
2
9
22
3
2
ln222
9
9
11643ln
6
1 2 =
= Cx
xxx
222
222ln
12
2264ln
6
1
3
33 2 =
= Cx
xxx
222
222ln
12
2264ln
6
1
3
33 2 .
Тогда:
J Cx
xxxxxxx
2223
2223ln
3
22643ln
3
22643ln 22 ;
17) dV
U
dxx
48arctg =
=
xdxVdxxx
dU
dxdVxU
482
1
481
8
48arctg
2
=
=
dx
xx
dxxxx
48)481(
448arctg =
=
48)38(
448arctgxx
xdxxx =
tdttdt
dx
tx
tx
tx
4
1
8
2
8
4
48
48
2
2
=
=
tt
tdtt
xx)34(
4
1
8
4
448arctg2
2
= 48arctg xx
+
)1(8
42
2
t
dtt=
dt
t
txx
1
31
8
148arctg
2
2
= 48arctg xx +
dt
t 1
31
8
12
=
18
3
8
148arctg
2t
dtdtxx =
= Cttxx arctg8
3
8
148arctg =
= Cxxxx 48arctg8
348
8
148arctg ;
18)
dx
xx
x
152
862
=
dx
xx
x
152
862
=
= dxxxxdxxx )54(152 54152
язнаменател юпроизводну числителе в Выделим
22
=
=
dxxx
x
152
82
15)54(
2
3
2=
1522
31
152
54
2
322 xx
dxdx
xx
x=
=
2
1
2
54
31
152
152
2
3
22
2
xx
dx
xx
xxd= 152ln
2
3 2 xx
+
2
1
16
25
4
54
312
x
dx=
16
33
4
54
31152ln
2
32
2
x
dxxx =
= C
x
x
xx
16
33
4
5
16
33
4
5
ln
16
332
1
4
31152ln
2
3 2 =
= Cx
xxx
3354
3354ln
332
31152ln
2
3 2 ;
19) dxxx ))6cos(4)8sin(5( = dxxx ))6cos(4)8sin(5( =
= dxxdxx )6cos(4)8sin(5 = xdxxdx 6)6cos(6
48)8sin(
8
5=
= Cxx )sin(63
2)cos(8
8
5;
20) dxx )42(cos6 =
dtdx
dxdt
xt
2
1
2
42
= tdt6cos2
1=
dt
t3
2
)2cos(1
2
1=
= dtttt )2(cos)2(cos3)2cos(318
1
2
1 32 =
= dttdttdttdt )2(cos)2(cos3)2cos(316
1 32 =
=
2
)2()2(cos
2
)4cos(13
2
)2()2cos(3
16
1 3 tdtdt
ttdtt =
=
2
)2sin()2(cos
4
)4()4cos(
2
3
2
32sin
2
3
16
1 2 tdt
tdtdttt =
=
)2sin()2(sin1
2
1)4sin(
8
3
2
32sin
2
3
16
1 2 tdttttt =
= |sin2t = u|=
duuttt 21
2
1)4sin(
8
32sin
2
3
2
5
16
1=
=
C
uuttt
32
1
2
1)4sin(
8
32sin
2
3
2
5
16
1 3
=
)42(
2
5
16
1x +
C
ttxx
3
)2(sin
2
1
2
)2sin()168sin(
8
3)84sin(
2
3 3
=
=
2
)84sin()168sin(
8
3)84sin(
2
3105
16
1 xxxx
–
C
x
6
)84(sin 3
=
16)sin(8
8
38)2sin(4105
16
1xxx +
C
x
6
8)(4sin3
;
21) dxxxx )4sin()5cos(sin = xdxxx 4sin5cossin =
= dxxxxxx )4sin()5sin()5sin(2
1=
= dxxxx )4(sin)4sin()6sin(2
1 2 =
=
dxx
dxxx2
)8cos(1
2
1)10cos()2cos(
2
1
2
1=
= dxxdxdxxdxx )8cos(4
1
4
1)10cos(
4
1)2cos(
4
1=
= Cxxxx sin832
1
4
1)sin(10
40
1sin2
8
1;
22) dxxx )5(ctg)2(tg = dxxx )5(ctg)2(tg =
= dxx
xdx
x
x
5sin
5cos
2cos
2sin= )5(
5sin
5cos
5
1)2(
2cos
2sin
2
1xd
x
xxd
x
x=
= x
xd
x
xd
5sin
)5(sin
5
1
2cos
)2(cos
2
1= Cxx sin5ln
5
1cos2ln
2
1;
23) x
xdx
6sin31
6sin=
x
xxd
6sin31
)6(6sin
6
1= |U = 6x| =
U
UdU
sin31
sin
6
1=
=
2
2
1
2
1
2sin
2tg
t
dtdU
t
tU
tU
=
2
22
1
61
1
2
1
2
6
1
t
tt
dt
t
t
=
ttt
tdt
6113
222
=
1
1
16
1
6
1
161
6
1
6
1
0
0
16
06
0
16
06
0
:
:
:
:
66
161
1)(16)(
161161
2222
0
2
3
23223
22
22
2222
tttttt
t
B
E
C
CA
EB
CEC
EEC
CA
EB
CBA
EBA
CA
t
t
t
t
ECtEtCtBBtBtAtAtAtt
ttt
tECtttBAt
tt
ECt
t
BAt
ttt
t
:числители Приравняем
=
1166
1
3
222 t
dt
tt
dt=
t
t
dtatctg
19)3(9
12
=
=
t
t
dtatctg
8)3(9
12
= Ctt
t
atctg
83
83ln
82
1
9
1=
= )3(tg2
tg xU
t = Cxx
x
3
83)tg(3
83)tg(3ln
24
1
9
1;
24) )6sin(46cos52 xx
dx=
xx
dx
6sin46cos52=
dUdx
dudx
Ux
6
1
6
6
=
= UU
dU
sin4cos526
1=
22
2
2
1
2;
1
1cos
1
2sin;
2tg
t
dtdU
t
tU
t
tUt
U
=
=
22
2
2
1
24
1
152
1
2
6
1
t
t
t
t
t
dt
= ttt
dt
855223
122
=
= 3873
12 tt
dt=
7
3
7
821
1
2 tt
dt=
7
3
49
16
7
421
12
t
dt=
=
49
37
7
421
12
t
dt= C
t
t
49
37
7
4
49
37
7
4
ln
49
372
1
21
1=
= Ct
t
3747
3747ln
376
1= )3(tg
2tg x
Ut =
= Cx
x
374)7tg(3
374)7tg(3ln
376
1;
25)
dx
xx
xxx
864
3522
23
= dxxx
xxx
864
3522
23
= J.
Приведем дробь к правильному виду
2x3 + 5x
2 – x + 3 4x
2 – 6x + 8
2x3 – 3x
2 + 4x
8x2 – 5x + 3 2
1x + 2
8x2 – 12x +16
7x – 13,
т. е. 864
3522
23
xx
xxx=
864
1372
2
12
xx
xx .
Тогда
J = dxxx
xx
864
1372
2
12
= dxxx
xdxdxx
432
137
2
12
2
12
=
= dxxx
xdxdxx
432
137
2
12
2
12
= J.
В третьем интеграле выделим в числителе производную знаменателя
(2x2 – 3x + 4)' = 4x – 3, т.е.
d(2x2 – 3x + 4) = (4x – 3)dx.
Тогда
J = dxxx
x
xx
432
134
21)34(
4
7
2
12
22
12
2
= xx
24
2
+
dxxx
xxd
432
432
8
72
2
4328
312 xx
dx=
dx
xx
xxdx
x
432
432
8
72
4 2
22
–
22
316
31
2 xx
dx=
216
9
4
316
31432ln
8
72
4 2
22
x
dxxxx
x=
=
16
23
4
316
31432ln
8
72
4 2
22
x
dxxxx
x= x
x2
4
2
+ 432ln8
7 2 xx C
x
16
23
4
3
arctg
16
23
1
16
31= 432ln
8
72
4
22
xxxx
–
Cx
23
34arctg
23
4
16
31=
= Cx
xxxx
23
34arctg
234
31432ln
8
72
4
22
;
26)
65
8
2 xx
dx=
658
2 xx
dx=
64
25
2
5
82
x
dx=
=
4
1
2
5
82
x
dx= Cxx
4
1
2
5
2
5ln8
2
=
= Cxxx 652
58ln
2 ;
27)
dx
xx
x3
6
84
52=
dx
xx
x3
6
84
52=
dttdx
tx
tx
5
6
6
6
=
dtt
tt
t 5
236
84
52=
=
dt
tt
tt
)2(
52
2
32
5
=
dt
t
tt
2
52
2
3 3
=
dt
t
tt
2
52
2
3 34
= J.
Приведем дробь к правильному виду:
2t4 – 5t
3 t + 2
2t4 + 4t
3 2t
3 – 9t
2 + 18t – 36
–9t3
–9t3 – 18t
2
18t2
18t2 + 36t
–36t
–36t – 72
72
т. е. 2
72361892
2
52 2334
tttt
t
tt.
Тогда:
J =
dt
tttt
2
72361892
2
3 23 =
3
9
4
2
2
3 34 tt
+ Cttt
2ln7236
2
18 2
= Cttttt
2ln108542
27
2
9
4
3 234
=
= Cxxxxx 2ln108542
27
2
9
4
36
1
6
1
3
1
2
1
3
2
=
= Cxxxxx 2108ln542
27
2
9
4
3 6633 2 ;
28)
dx
xx
x
846
3
2= dxxxxd
xxx
)412(846
412846
язнаменател юпроизводну
числителе в Выделим
2
2
=
=
dxxx
x
846
312
4)412(
12
1
2=
8463
10
846
846
12
1
22
2
xx
dx
xx
xxd=
=
34
3263
10
12
1
846
12
1
2
12
12
xx
dxxx=
=
34
91
3163
10846
6
1
2
2
x
dxxx =
=
911
3163
10846
6
1
2
2
x
dxxx =
= Cxxxx 9
113
13
1ln63
10846
6
1 22 =
= Cxxxxx 3
43
23
1ln63
10846
6
1 22 ;
29) 684)52( 2 xxx
dx=
684)52( 2 xxx
dx=
dtt
dx
tx
tx
txt
x
22
1
2
5
2
1;5
12
152;
52
1
=
62
5
2
18
2
5
2
14
1
2
1
2
2
ttt
dtt =
=
620
2
8
4
25
2
5
4
14
2
1
2 tttt
dt=
=
2
2612
1
t
ttt
dt=
2612
1
tt
dt=
19)3(2
1
2t
dt=
= 10)3(2
1
2t
dt= Ctt 10)3(3ln
2
1 2 =
= Cxxx
1
52
6
52
13
52
1ln
2
12
=
=
Cx
xxx
52
52)52(611561ln
2
12
=
= Cx
xxxx
52
1301225204616ln
2
1 2
=
= Cx
xxx
52
684616ln
2
12
;
30) dxxx 26816 = dxxx 2
6
8
6
166 = dxxx 2
3
4
3
86 =
= dxxx
2
3
4
3
86 = dxx
9
4
3
2
3
86
2
=
= dxx
2
3
2
9
4
3
86 =
dtdx
tx
3
2
= dtt 2
9
286 =
=
UdUdt
Ut
cos3
28
sin3
28
= UdUU cos3
28sin
9
28
9
286 2
=
= dUU2cos
3
28
3
286 = dU
U
2
2cos1
9
628=
= CU
U
2
2sin
9
614=
2
28
91
28
6cossin22sin
28
3arcsin;
28
3sin
ttUUU
tUtU
=
= Ct
tt
28
928
28
6
9
67
28
3arcsin
9
614 2
=3
2 xt =
= Cxxx
2
3
2928
3
2
28
2
3
67
28
23arcsin
9
614=
= Cxxxx
412928
3
23
143
67
28
23arcsin
9
614 2 =
= Cxxxx
241292318
6
28
23arcsin
9
614 2 =
=
Cxxxx
6
168623
28
23arcsin
9
6142
.
