ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1ee.knu.edu.ua/Shchokin/MZEE/Metod_MZEE_12.pdf · Спосіб введення векторів є ідентичним введенню матриці,

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

ДНВЗ «Криворізький національний університет»

Кафедра електропостачання та енергетичного менеджменту

Методичні вказівки

до самостійної роботи студентів з дисципліни

«Математичні задачі електроенергетики»

для студентів спеціальності 6.050701

"Електротехнічні системи електроспоживання"

всіх форм навчання

м. Кривий Ріг

2012

Укладач: Щокін В.П., докт. техн. наук, професор

Відповідальний за випуск: Щокін В.П.

Рецензент: Сінолиций А.П. , д-р техн. наук, професор

Розробив: проф., докт. техн. наук

Щокін Вадим Петрович

E-mail: [email protected]

Розглянуто Схвалено

на засіданні на вченій раді

кафедри електропостачання електротехнічного

та енергетичного менеджменту факультету

Протокол № 4 Протокол № 2

від 19.10.2012 р. від 26.10. 2012 р.

mailto:[email protected]

3

ЗМІСТ

№ Найменування розділу Стор.

1 Вступ. Математичні програмні пакети MathCAD xx Professional та

MatLab xx.

4

2 Індивідуальне домашнє завдання №1. Визначення

граничних абсолютних і відносних похибок

математичних дій

12

3 Індивідуальне домашнє завдання №2. Матричний метод

розрахунку електричних кіл

18

4 Індивідуальне домашнє завдання №3. Матричний метод

розрахунку режимів роботи електричної мережі

29

5 Індивідуальне домашнє завдання №4. Апроксимація

табличних функцій методом найменших квадратів

55

6 Індивідуальне домашнє завдання №5. Інтерполяція

табличних функцій з використанням формул ньютона

59

7 Індивідуальне домашнє завдання №6. Апроксимація

функцій з використанням нейронних мереж

64

8 Індивідуальне домашнє завдання №7. Графоаналітичне

рішення задач електротехніки з нелінійними елементами

74

9 Індивідуальне домашнє завдання №8. Чисельні методи

розрахунку визначених інтегралів

77

10 Індивідуальне домашнє завдання №9. Чисельні методи

рішення диференційних рівнянь

80

11 Індивідуальне домашнє завдання №10. Застосування

чисельних методів наближення функцій і рішення

нелінійних рівнянь при розрахунках задач з курсу

"Електроніка".

83

12 Рекомендована література 85

4

Математичні програмні пакети

MathCAD xx Professional та MatLab xx

Мета: вивчення особливостей роботи з програмними пакетами для подальшого їх

використання при вирішенні складних інженерних задач.

Короткі теоретичні відомості

Основи роботи в середовищі пакету MatLab.

1. Типи та формати даних

- Matlab відрізняє великі та малі літери, окрім того, запис імені файлу та повного

шляху до його розміщення повинні підкорятися формату системи MS-DOS.

- Для запису комплексних чисел використовують символи i та j.

- Тип нескінченність inf (число/0);

- Тип невизначеність nan (0/0).

- У пакеті визначені значення змінних pi та eps (2-52

).

Табл. 3. - Формати даних.

Запис Значення

Short 5 значущих цифр числа

Long 15 значущих цифр числа

Short e Число з плаваючою комою і п'ятьма значущими цифрами числа

Long e Число з плаваючою комою і 15 значущими цифрами числа

Short g 5 значущих цифр як у форматі з фіксованою, так і з плаваючою комою

Long g 15 значущих цифр як у обох форматах

Hex Шістнадцяткова система числення

Format + +, або пробіл для додатних, від‟ємних елементів і нуля. Уявна частина

ігнорується

2. Елементарні функції пакету (Всі функції пакету визначені малими літерами.)

Табл. 4. - Елементарні функції пакету.


Тригонометричні

sin, cos, tan, cot Тригонометричні функції

asin, acos, atan, atan2,acot Обернені тригонометричні функції

sinh,cosh, tanh,coth Гіперболічні функції

asinh, acosh, atanh, acoth Обернені гіперболічні функції

sec, csc Секанс і косеканс

asec, acsc Обернені функції секанса і косеканса

sech, csch Гіперболічний секанс і косеканс

asech, acsch Обернені гіперболічні функції

Логарифмічні та експонента

exp Експонента

log Натуральний логарифм

log10 Десятковий логарифм

log2 Логарифм за основою два

Піднесення до степеня

pow2 Піднесення до квадрату

sqrt Корінь квадратний

nextpow2 Піднесення числа до степеня n

Функції комплексного аргументу

abs Модуль комплексного числа

angle Фаза комплексного числа

conj Комплексно-спряжене число

imag Уявна чистина комплексного числа

real Дійсна частина комплексного числа

5

cplxpair Сортування на комплексно-спряжені

пари

Функції закруглення та визначення остачі від ділення чисел

fix Заокруглення 0

floor Заокруглення -

ceil Заокруглення

round Заокруглення до найближчого цілого

mod Остача від ділення зі знаком

rem Остача від ділення

sign Знак

Зауваження: довідкову інформацію отримують використовуючи наступний

формат запису функції - help ___.

3. Матричні операції. Матричні функції.

У середовищі пакету всі змінні трактуються як матриці. Наприклад змінна

а=1,2 записується у вигляді а=1.2 (матриця розмірністю 1*1). Елементи матриці

вводяться за рядками, які відділяються один від одного символом “;” або

переходом на новий рядок a = [1 2 3; 4 5 6].

Табл. 5. - Стандартні функції для генерації певних типів матриць

Назва функції Визначення генерованої матриці

zeros Матриця, всі елементи якої дорівнюють 0

ones Матриця, всі елементи якої дорівнюють 1

eye Одинична матриця

rand Матриця випадкових чисел

Спосіб виклику подібних матриць є однаковим: А=zeros(5,8) і т.д.

Спосіб введення векторів є ідентичним введенню матриці, однак є

можливість генерування вектору наступним командним рядком: Х=Хпоч: крок: Хкін

Табл. 6. - Операції з матрицями з використанням оператору “:”

A(:,j) Виведення j-го стовпця матриці А

A(:,j:k) Виведення стовпців A(j), A(j+1), .. , A(k)

A(i,:) Виведення і-го рядка матриці А

A(i:k,:) Виведення рядків А(і), А(і+1), .. , А(k)

A(:) Виведення всіх елементів матриці в стовпець

A(j:k) Виведення в рядок елементів матриці А від

елемента з індексом j до елемента з індексом k

Розмірність порожньої матриці – 0*0, визначається як A=[].

Табл. 7. - Перелік базових матричних операцій


A‟ Транспонування матриці

A B Додавання (віднімання) матриць

A*B Множення матриць

A/B Праве ділення матриць (хА=У)

A\B Ліве ділення матриць (Ах=У)

A^p Піднесення матриці до степеня

a^p Піднесення скаляра до матричного степеня

У пакеті визначені операції додавання, віднімання і множення, якщо один з

операндів є скаляр.

Окремим типом матричних операцій є табличні операції (скалярні операції),

визначені на елементах матриці. Табличні операції мають ідентичний запис з

матричними, однак перед знаком операції ставитися символ “.”.

Табл. 8. - Елементарні матричні функції та операції


expm Матрична експонента

logm Матричний логарифм

sqrtm Матричний корінь квадратний

6

lu Декомпозиція трикутна LU

qr Декомпозиція ортогональна QR

norm Норма вектора і матриці

rank Ранг матриці

det Детермінант матриці

trace Сума діагональних елементів матриці

inv Обернена матриця

size Розмір матриці

reshape Зміна розміру матриці

lenght Довжина вектора

diag Діагональні елементи матриці

triu Верхня трикутна частина матриці

tril Нижня трикутна частина матриці

Матрична функція poly визначає коефіцієнти характеристичного полінома,

який визначається як det(sI-A). Результатом виконання функції є вектор-рядок

коефіцієнтів характеристичного полінома, впорядкований у порядку спадання

степенів.

4. Статистичний аналіз.

Табл. 9. - Основні функції пакету для статистичного аналізу


min Найменший елемент

max Найбільший елемент

mean Середнє значення

std Стандартне відхилення

cov Коваріація

corrcoef Коефіцієнт кореляції

sum Сума елементів

prod Добуток елементів

5. Графічне подання інформації.

Табл. 10. - Функції для виводу двовимірного графіку


plot Побудова графіка в декартовій системі координат

loglog Побудова графіка в логарифмічних осях

semilogx Побудова графіка з логарифмічною віссю абсцис

semilogy Побудова графіка з логарифмічною віссю ординат

polar Побудова графіка в полярній системі координат

plotyy Вивід осей як ліворуч, так і праворуч вікна графіка

Активізація описаних у табл.10 функції є подібною до виклику функції plot.

Якщо 'у' є вектором, plot(y) виконує побудову графіку залежності значення

елемента вектора від його порядкового номера. Якщо визначені два вектори як

аргументи функції, plot(x,y) будує графік залежності y=f(x).

У випадку декількох пар векторів х-у за допомогою команди plot можна на

одному графіку вивести декілька залежностей. Структура команди при цьому –

plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3).

Для виводу графіків можна завдавати колір залежності, тип лінії та маркери

за допомогою наступної структури: plot(x,y,‟colorstylemarker‟).

Кольори: c - голубий; m – бузковий; y –жовтий; r – червоний; g- зелений;

b-синій; w- білий; k-чорний.

Знаки стилів ліній: - - неперервна; -і - штрихова; : - пунктирна; -. – штрих-

пунктирна; none – без лінії.

Знаки маркерів: '+', '0', '*', 'х'.

Для відкриття нового вікна для виводу графіків необхідно виконати команду

figure. Команда figure(n) задає поточне вікно з номером n серед відкритих

графічних вікон.

7

Для виводу нових залежностей у створеному вікні графіку необхідно

виконати команду hold on.

Команда subplot(vha) дозволяє здійснювати поділ вікна виводу графіків на

чотири, або на два. У даній команді v та h дорівнюють 1 або 2, таким чином

задають відповідно поділ екрану по вертикалі та по горизонталі, а параметр “а”

визначає номер активного вікна.

Використання під час побудови графіку функції axis дає змогу задавати

діапазон зміни координат. Структура такої команди: axis([Xmin Xmax Ymin

Ymax]). Окрім цього команда axis equal формує однаковий крок розбиття по осі

абсцис і ординат, а команда axis off дозволяє не виводити мітки та розбиття

координатних осей.

Використання команди grid дозволяє нанести сітку на графік.

Для опису графіків існують команди, які дають можливість задавати наступне:

- назви x-,y-осей, відповідно, - xlabel („Назва осі‟), ylabel („Назва осі‟);

- назва графіку – title („Назва графіку‟);

- підпис у будь якому місті – text(x,y,‟Текст підпису‟).

5.2 Тривимірна графіка.

Табл. 11. - 3D функції пакету


plot3 Побудова 3D графіку

mesh Побудова сітки на поверхні графіку

surf Побудова поверхні графіку

contour3 Побудова контурів поверхні графіку

6. Циклічні оператори та організація розгалужень у середовищі пакету.

Цикл for повторює виконання групи

операторів фіксовану кількість разів.

for змінна = вираз

оператори;

end

Структура циклічного оператору While

While умова

оператори;

end

Для виходу з циклу до його завершення є

команда break.

Структура умовного оператора if

if умова1

оператори1

elseif умова2

оператори2

else

оператори

end

Оператор switch виконує групу команд

залежно від значення виразу або змінної.

switch вираз або змінна

case значення 1

оператори 1





otherwise


end

7. Структура m-файлів.

Файли, що містять написані користувачем програми мовою MatLab, які

виконують певні операції, називаються m-файлами. Розрізняють два види m-

файлів:

- script – не має ні вхідних, ні вихідних аргументів. Працює з даними робочої

області.

- function – має вхідні та вихідні аргументи. Внутрішні змінні є локальними

змінними функції.

Запис m-файлу (function) починається наступним рядком:

Function вихідні аргументи = назва функції (вхідні аргументи).

8

Після описаного рядка розміщують коментар, котрий виводиться командою

- help назва функції.

8. Числове інтегрування та диференціювання функцій.

Для знаходження значення означеного інтеграла в середовищі пакету передбачена

функція quad, яка розраховує значення інтеграла F(x) у діапазоні від А до В з

допустимою точністю 1е-3 використовуючи метод Сімпсона.

Q= quad('F', a, b)

де 'F' – текстова змінна (назва файлу, у якому зберігається підінтегральна

функція).

Функція quad8 реалізує рекурсивну адаптивну восьми-точкову формулу

Ньютона-Котеса.

Для визначення наближеного значення похідної, необхідно знайти різницю

між сусідніми значеннями функції. Цю операцію виконує функція diff. Якщо х є

вектором, то результатом виконання команди diff(x) буде вектор [x(2)-x(1) .. x(n)-

x(n-1)]. Якщо вектори х та в складаються з координат точок кривої, то наближене

значення похідної:

dydx=diff(y)./diff(x) .

Основи роботи в середовищі пакету MathCAD

У пакеті використовуються вбудовані функції. До основних функцій

відносяться тригонометричні і зворотні, гіперболічні і зворотні, експонентні і

логарифмічні, статистичні, Фур'є, Беселя, комплексних змінних. Основні функції:

1. Тригонометричні і зворотні функції: sin(z), cos(z), tan(z), asin(z), acos(z), atan(z).

Де z - кут у радіанах.

2. Гіперболічні і зворотні функції: sinh(z), cosh(z), tanh(z), asinh(z), acosh(z),

atanh(z) .

3. Експонентні і логарифмічні: exp(z) - ez; ln(z) - натуральний логарифм; log(z)-

десятковий логарифм.

4. Статистичні функції: mean(x)- середнє значення; var(x)- дисперсія; stdev(x) -

середньоквадратичне відхилення; cnorm(x)- функція нормального розподілення;

erf(x)- функція помилки; Г(x) - гамма-функція Ейлеру.

5. Функції Беселя: J0(x), J1(x), Jn(n,x) - функції Беселя першого порядку; Y0(x),

Y1(x), Yn(n,x) - функції Беселя другого порядку.

6. Функції комплексних змінних: Re(z)- дійсна частина комплексного числа; Im(z)-

уявна частина комплексного числа; arg(z)- аргумент комплексного числа.

7. Перетворення Фур'є: U:=fft(V)- пряме перетворення (V- дійсне) ; V:=ifft(U)-

зворотне перетворення (V- дійсне); U:=cfft(V)- пряме перетворення (V- дійсне);

V:=icfft(U)- зворотне перетворення (V- дійсне).

8. Кореляційна функція - дозволяє розраховувати коефіцієнт кореляції двох

векторів vx і vy і визначити рівняння лінійної регресії:

corr(vx,vy)- коефіцієнт кореляції;

slope(vx,vy)- коефіцієнт нахилу лінії регресії;

intercept(vx,vy)- початкова координата лінії регресії.

9. Лінійна інтерполяція:

linterp(vx,vy,x)

vx,vy- вектори значень аргументу і функцій, де x- значення аргументу, для якого

проводиться інтерполяція.

10. Функція для визначення коренів алгебраїчних і трансцендентних рівнянь:

root(рівняння, змінна)

11. Датчик випадкових чисел: rnd(x) - випадкове число з рівномірним розподілом

від 0 до x

12. Ціла частина змінної: floor(x)- найближче найменше ціле число; ceil(x)-

найближче найбільше ціле число.

13. Виділення залишку: mod(x,y)- залишок від розподілу x на y.

9

function [y,H,r]=iffor(x)

% Приклад структури m-файлу

if x<1

y=x

else disp('Значення більше за одиницю')

end

' Введення матриці x*x_______________'

for i=1:x

for j=1:x

H(i,j)=input(' Введіть елемент H')

end

end

' Розрахунок довжини окружності _____'

r=0

while r>=0,

r=input('Введіть радіус окружності r=');

if r>=0 disp(' Довжина окружності L=');

disp(2*pi*r)

end

end

14. Зупинка ітерації: until(x,y) - коли x<0

15. Функція умовного переходу: if(умова, x, y) - якщо умова виконується, то

функція дорівнює x, інакше y.

16. Одинична функція (функція Хевисайда): Ф(x) - якщо x>0 то функція дорівнює

1, інакше 0.

Побудова графіків.

Пакет MathCAD надає широкі графічні можливості. Крім того, тут можна

використовувати креслення і малюнки, отримані в інших графічних системах.

Натисканням однієї кнопки можна задати шаблон для генерації двовимірного

графіка, причому в тих самих осях може бути кілька графіків одночасно. У пакеті

представлені наступні види графіків: Декартовий (X-Y plot), полярний (Polar plot),

поверхні (Surface plot), карта ліній рівня (Contour plot), векторне поле (Vector Field

plot), тривимірний точковий (3D Scatter plot), тривимірна стовпчаста діаграма (3D

Bar Chart). Усі графіки є стандартними об'єктами пакету: їх можна редагувати, а

при перерахуванні вихідних даних вони автоматично регенеруються.

Приклад побудови двомірного графіку:

a ..0 .10 X( )a sin( ).900a

Y( )a cos( ).900a Приклад побудови тривимірної стовпчастої діаграми:

Y( )aa .cos( )a

2a .cos( )a

3a

a

i ..0 100 a

i..10 deg i

Vi

Y ai

Обчислювальні здібності.

Крім роботи з десятковими числами

існують можливість роботи з восьми, і

шістнадцятковими числами. Є набір процедур

для можливості функціонування не тільки над

числами, чи вектор-матрицями, але і над більш

складними об'єктами, такими як дерева, чи

списки-набори.

При обчисленнях у символах

використовується символьна математика

(аналітичні перетворення). Існують три групи

інструментів:

1. Команди символьної математики з меню

(Symbolic);

2. Режим безупинних символьних перетворень (Life Symbolics);

3. Оптимізація чисельних вкладок через символьні перетворення (Optimize).

Вони дозволяють обчислювати невизначені інтеграли, інтегрувати по змінній,

диференціювати по змінній, спрощувати і розкладати по степенях і на множники

вирази, знаходити поліноміальні коефіцієнти, розкладати в ряд, проводити

матричні перетворення та перетворення Фур'є, Лапласа і Z, знаходити межі і т.д.

Висновок числового значення можливий з точністю до 4000 знаків.

10

Завдання до самоперевірки

MatLab:

1. Обчислити значення виразів, використовуючи математичні функції пакета.

1.) 45.0*7521 arctg ; 3.) 6785092arcsin ;

2.) ))/9cos(

1234ln(

4

.

2. Створити m-файл для виразів.

1.)22

13

3

2

aaxx ; 2.)

322

1

xaax;

3.) axx 2cos3sin2

3. Обчислити вирази m-файлу для довільних значень перемінних.

4. Зберегти значення даних а =1235; х=0.345 у виді mаt-файлу.

5. Обчислити значення виразів m-файлу для збережених даних у mаt-файлі.

6. Побудувати графік залежності значення елемента вектора від його порядкового

номера

1. (1,2,3,10) 2. (4,5,8,0) 3. (12, 6,4,3)

7. Описати побудову графіку функцій по точках, із завданням кольору залежності,

типу лінії і маркеру; з виводом на графіку осей координат, назви графіка, написом

у будь-якому місці графіка; нанести сітку на графік.

x=[1,5 2,13 2,6 3,09 3,6 4,15 4,52 4,78 5,2 5,59 6,77 7,74 8,55 9,13 10,58]

y=[80 100 120 140 160 180 190 200 212 220 240 252 260 264 276]

назва осей : U(V), I(mA) відповідно;

назва графіка “Апроксимація характеристики неробочого ходу генератору”;

напис у будь-якому місці графіка “експериментальні данні”.

MathCad

1. Вибрати команду New (Новий).

2. Створіть текстову область.

Курсор – може бути перетворений у рамку для тексту натисканням

клавіші [ “ ]. При цьому буде відкрита, оточена чорною рамкою,

текстова область, що залишиться відкритою доти, доки курсор

кліком миші не буде переміщений на вільну ділянку документа. У

текстовій області курсор має вид вертикальної червоної риси.

Після створення області тексту введіть заголовок (дивись документ нижче). За

замовчуванням він буде представлений шрифтом Arial.

Якщо вводити текст, забувши створити текстову область, для

MathCAD це означає, що вводиться формула (це можна визначити

за шрифтом Times New Roman). Щоб виправити помилку досить

натиснути клавішу пробілу, щоб MathCAD перетворив формулу в

текст.

11

3. Ввести наступну послідовність символів:

а: (або а=1)

MathCAD автоматично перетворить цей текст у визначення а:=1.

MathCAD розрізняє прописні і рядкові символи. Уведіть послідовно

:

Х:3

х: -Х,-Х+.02;Х {-Х – початкове значення; 0,02 – величина кроку; Х – кінцеве

значення}

f(x):a*cosh(x/a) {коса риса відразу перетвориться в позначення дробу}

h(x):x2[Пробіл] +a

{пробіл необхідний, щоб змінна а була додана до значення х2, а не

до показника ступеня 2}.

g(x):а

4. Вставка/Графік або клавіша [@]

Після цього в документі з'являться дві вкладені

рамки. Зовнішня рамка, позначена трьома

маркерами зміни розмірів, це є границею

графічної області і служить для переміщення

графіка і зміни його розмірів. Графік буде

знаходитися усередині меншої рамки, позначеної

осередками для формул. Ці осередки призначені

для введення описів, що відповідають осям.

При завданні декількох функцій на графіку необхідно розділяти їх коми.

Зауваження: в якості звіту з роботи наводиться тезисний конспект з вивченого

матеріалу.

Для осі абсцис

Сравнение цепной линии и квадратичной параболы Файл Mathcad: seil.mcd

Начальные значения для графика: a 1 X 3 x X X .02 X

Цепная линия : f x( ) a coshx

aПарабола: h x( ) x

2a

Параллельная оси абсцисс линия, проходящая

через точку минимума обеих кривых: g x( ) a

График:

3 2 1 0 1 2 30

5

10

f x( )

h x( )

g x( )

x

12

Індивідуальне домашнє завдання №1

ВИЗНАЧЕННЯ ГРАНИЧНИХ АБСОЛЮТНИХ І ВІДНОСНИХ

ПОХИБОК МАТЕМАТИЧНИХ ДІЙ

Короткі теоретичні відомості PC обробляє числа, які записані в наступних формах: з фіксованою точкою;

плаваючою точкою.

Для представлення дійсних чисел при рішенні науково-технічних задач з

використанням PC використовується форма з плаваючою точкою.

Десяткове число D у цій формі запису має вид:

10nD m

де m и n – відповідно мантиса числа і його порядок.

Якщо представити мантису числа у виді 1 20, ... km d d d

те при d1 0 одержимо нормалізовану форму числа з плаваючою точкою.

Число N у системі числення з основою можна представити у виді

1 20, ... n

kN a a a

З цього запису випливає, що підмножина дійсних чисел, з якими оперує PC

визначається розрядністю k, а також границями порядку n1,n2. Ця підмножина

містить 1112 1

12

knn чисел.

Границі порядку визначають обмеженість дійсних чисел по величині, а

розмірність - дискретність їх розподілу на відрізку числової осі.

Різниця між двома сусідніми значеннями дорівнює одиниці останнього

розряду. Числа, менше цієї різниці, сприймаються як машинний нуль. Отже

машини оперують з наближеними значеннями дійсних чисел. Мірою точності

наближених чисел є похибка.

Розрізняють два види похибок: абсолютну і відносну.

Абсолютна похибка деякого числа дорівнює різниці між його дійсним і

наближеним значенням, отриманим у результаті обчислення.

Відносна похибка – це відношення абсолютної похибки до наближеного

значення числа.

Таким чином, якщо а наближене значення числа х, то вираз для абсолютної і

відносної похибок має вид

axx - абсолютна похибка;

axx / - відносна похибка.

Дійсне значення величини x не відомо, тому приведені вирази для похибок

не можуть бути використані.

Відповідно вводиться поняття граничної похибки а, що є верхньою

оцінкою модуля абсолютної похибки ( ax ) і це значення приймається як

абсолютна похибка наближеного числа а. У цьому випадку дійсне значення х

знаходиться в інтервалі (а - а а + а).

Для наближеного числа, отриманого в результаті округлення, абсолютна

похибка а, приймається рівній половині одиниці останнього розряду числа,

наприклад.

а = 0,8; а = 0,05: а = 0,888; а = 0,0005.

13

Точне число х знаходиться в границях

а - а аах

отже

а - а - є наближення числа х по недоліку;

а + а - по недоліку х по надлишку.

Граничне значення відносної похибки – відношення граничної абсолютної

похибки до абсолютної величини наближеного числа

a

Приклад:

Знайти граничні абсолютні і відносні похибки числа а = 3,14, що заміщає

число .

= 3,1415926

Має місце нерівність 01,0,15.314.3 а

тобто можна прийняти а = 0,01.

Якщо ,15.314.3 а = 0,002 ще краща оцінка

%06,00006,014,3

002,0

a

aa

Дії над наближеними числами

Сформулюємо правила оцінки граничних похибок при виконанні операцій

над наближеними числами. Для випадку двох наближених чисел:

baba

ba

ab

baabab

ba

bb

aa

bababa

)()()(

)()(

akka

amamma

bab

a

b

ba

ab

bab

a

b

a

)(1

2

Приклад: знайти відносну похибку функції k

nmy

22,

де m = 28,3, n = 7,45, k = 0.678

1) m = 0,05 абсолютні похибки

n = 0,005

k = 0,0005

2) 51002,4678,0

345,723,28y

3) knmy 5,032

0018,03,28

05,0m

k

n

3101,3yyy

14

Варіанти завдань до ІДЗ №1

3 c

abX

Варіанти

Змінні

1 2 3

a 3,85( 0,01) 4,16( 0,005) 7,27( 0,01)

b 2,0435( 0,0004) 12,163( 0,002) 5,205( 0,002)

c 962,6( 0,1) 55,18( 0,01) 87,32( 0,03) 2

)(

nm

cbaX

Варіанти

Змінні

4 5 6

a 4,3( 0,05) 5,2( 0,04) 2,13( 0,01)

b 17,21( 0,02) 15,32( 0,01) 22,16( 0,03)

c 8,2( 0,05) 7,5( 0,05) 6,3( 0,04)

m 12,417( 0,003) 21,823( 0,002) 16,825( 0,004)

n 8,37( 0,005) 7,56( 0,003) 8,13( 0,002)

2

222

)(

2

18 ba

babahS

Варіанти

Змінні

7 8 9

a 1,141( 0,05) 2,234( 0,04) 5,813 ( 0,01)

b 3,156( 0,02) 4,518( 0,01) 1,315( 0,03)

h 1,14( 0,05) 4,48 ( 0,05) 2,56( 0,04)

c

baX

Варіанти

Змінні

10 11 12

a 3,85( 0,01) 4,16( 0,005) 7,27( 0,01)

b 2,0435( 0,0004) 12,163( 0,002) 5,205( 0,002)

c 962,6( 0,1) 55,18( 0,01) 87,32( 0,03)

3 c

abX

Варіанти

Змінні

13 14 15

a 228,6( 0,01) 315,6( 0,005) 186,7( 0,01)

b 86,4( 0,004) 72,5( 0,002) 66,6( 0,002)

c 68,7( 0,1) 53,8( 0,01) 72,3( 0,03)

dc

bamX

)(3

Варіанти

Змінні

16 17 18

a 13,5( 0,02) 18,5( 0,03) 11,8( 0,02)

b 3,7( 0,02) 5,6( 0,02) 7,4( 0,03)

c 4,22( 0,04) 3,42( 0,003) 5,82( 0,005)

d 34,5( 0,002) 26,3( 0,01) 26,7( 0,03)

m 23,725( 0,005) 14,782( 0,006) 11,234( 0,004)

15

12

)(

4

)( 3 hbahbaM

Варіанти

Змінні

19 20 21

a 8,53( 0,01) 6,44( 0,005) 9,05( 0,01)

b 6,271( 0,0004) 5,323( 0,002) 3,244( 0,002)

c 12,48( 0,1) 15,44( 0,01) 20,18( 0,03)

2)(

)(

dc

mbaX

Варіанти

Змінні

22 23 24

a 2,754( 0,001) 3,236( 0,002) 4,523( 0,003)

b 11,7( 0,04) 15,8( 0,03) 10,8( 0,02)

c 0,56( 0,005) 0,64( 0,004) 0,85( 0,003)

d 10,536( 0,002) 12,415( 0,003) 9,318( 0,002)

n 6,32( 0,008) 7,18( 0,006) 4,17( 0,004)

5

)(

2

)( 222 hba

h

baX

Варіанти

Змінні

25 26 27

a 3,85( 0,01) 4,16( 0,005) 7,27( 0,01)

b 2,0435( 0,0004) 12,163( 0,002) 5,205( 0,002)

h 962,6( 0,1) 55,18( 0,01) 87,32( 0,03)

2

2

13 A

a

A

aS

hV

Варіанти

Змінні

28 29 30

a 13,5( 0,02) 18,5( 0,03) 11,8( 0,02)

A 3,7( 0,02) 5,6( 0,02) 7,4( 0,03)

S 4,22( 0,04) 3,42( 0,003) 5,82( 0,005)

h 34,5( 0,002) 26,3( 0,01) 26,7( 0,03)

ndc

baX

2)(

)(

Варіанти

Змінні

31 32 33

a 2,754( 0,001) 3,236( 0,002) 4,523( 0,003)

b 11,7( 0,04) 15,8( 0,03) 10,8( 0,02)

c 0,56( 0,005) 0,64( 0,004) 0,85( 0,003)

d 10,536( 0,002) 12,415( 0,003) 9,318( 0,002)

n 6,32( 0,008) 7,18( 0,006) 4,17( 0,004)

)3(6

1 22 hahX

Варіанти

Змінні

34 35 36

a 3,85( 0,01) 4,16( 0,005) 7,27( 0,01)

h 962,6( 0,1) 55,18( 0,01) 87,32( 0,03)

16

h

ba

h

baM

12)(4)(3

Варіанти

Змінні

37 38 39

a 8,53( 0,01) 6,44( 0,005) 9,05( 0,01)

b 6,271( 0,0004) 5,323( 0,002) 3,244( 0,002)

c 12,48( 0,1) 15,44( 0,01) 20,18( 0,03)

mdc

baX

2)(

)(

Варіанти

Змінні

40 41 42

a 2,754( 0,001) 3,236( 0,002) 4,523( 0,003)

b 11,7( 0,04) 15,8( 0,03) 10,8( 0,02)

c 0,56( 0,005) 0,64( 0,004) 0,85( 0,003)

d 10,536( 0,002) 12,415( 0,003) 9,318( 0,002)

n 6,32( 0,008) 7,18( 0,006) 4,17( 0,004)

hbahbaX 5)(2)( 222

Варіанти

Змінні

43 44 45

a 3,85( 0,01) 4,16( 0,005) 7,27( 0,01)

b 2,0435( 0,0004) 12,163( 0,002) 5,205( 0,002)

h 962,6( 0,1) 55,18( 0,01) 87,32( 0,03)

SA

a

A

a

hV /1

32

2

Варіанти

Змінні

46 47 48

a 13,5( 0,02) 18,5( 0,03) 11,8( 0,02)

A 3,7( 0,02) 5,6( 0,02) 7,4( 0,03)

S 4,22( 0,04) 3,42( 0,003) 5,82( 0,005)

h 34,5( 0,002) 26,3( 0,01) 26,7( 0,03) 3 cabX

Варіанти

Змінні

49 50 51

a 3,85( 0,01) 4,16( 0,005) 7,27( 0,01)

b 2,0435( 0,0004) 12,163( 0,002) 5,205( 0,002)

c 962,6( 0,1) 55,18( 0,01) 87,32( 0,03) 2

)()( nmcbaX

Варіанти

Змінні

52 53 54

a 4,3( 0,05) 5,2( 0,04) 2,13( 0,01)

b 17,21( 0,02) 15,32( 0,01) 22,16( 0,03)

c 8,2( 0,05) 7,5( 0,05) 6,3( 0,04)

m 12,417( 0,003) 21,823( 0,002) 16,825( 0,004)

n 8,37( 0,005) 7,56( 0,003) 8,13( 0,002)

17

2

222

)(

2*

18 ba

babahS

Варіанти

Змінні

55 56 57

a 1,141( 0,05) 2,234( 0,04) 5,813 ( 0,01)

b 3,156( 0,02) 4,518( 0,01) 1,315( 0,03)

h 1,14( 0,05) 4,48 ( 0,05) 2,56( 0,04)

bcaX

Варіанти

Змінні

58 59 60

a 3,85( 0,01) 4,16( 0,005) 7,27( 0,01)

b 2,0435( 0,0004) 12,163( 0,002) 5,205( 0,002)

c 962,6( 0,1) 55,18( 0,01) 87,32( 0,03)

abcX /

Варіанти

Змінні

61 62 63

a 3,85( 0,01) 4,16( 0,005) 7,27( 0,01)

b 2,0435( 0,0004) 12,163( 0,002) 5,205( 0,002)

c 962,6( 0,1) 55,18( 0,01) 87,32( 0,03)

cabX /

Варіанти

Змінні

64 65

a 3,85( 0,01) 4,16( 0,005)

b 2,0435( 0,0004) 12,163( 0,002)

c 962,6( 0,1) 55,18( 0,01)

18


МАТРИЧНИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ ЕЛЕКТРИЧНИХ КІЛ


У даному методі вітки електричних кіл зображують у вигляді відрізків

ліній. Складена в такий спосіб геометрична фігура називається графом.

Граф, у якого кожна хорда має позначений стрілкою напрям, називається

орієнтованим графом.

Позитивний напрям струму у вітках вважають співпадаючим з орієнтацією

хорд. Якщо з графа видалити мінімальну кількість віток так, щоб зберегти усі

вузли, але розірвати всі замкнуті контури, то отримана геометрична фігура буде

називатися деревом графа. Число віток дерева на одиницю менше числа вузлів.

Рисунок 2.1 - схема електричного кола, на рис.2.1.б - її граф, на рис. 2.1.в -

можливі дерева цього графа.

Вилучені з графа для утворення дерева вітки називають головними вітками

графа. Т.я. приєднання до дерева кожної хорди утворить новий контур, то число

незалежних контурів в електричному колі повинен дорівнювати числу хорд N.

N=Q-(P-1)

де Q – число віток графа, Р – число вузлів.

Синтез структурної матриці.

На рис.2.2. зображений орієнтований граф до схеми

(рис.2.1)

Для структурної матриці:

число стовпців дорівнює числу віток (стовпець має

номер вітки);

число рядків у таблиці дорівнює числу вузлів

(номер рядка дорівнює номеру вузла).

Заповнення матриці:

якщо вітка m спрямована від вузла n, то в осередок

стовпця m і рядка n записують +1;

якщо вітка m спрямована до вузла n, записують -1;

якщо вітка m не з'єднана з вузлом n, в осередок записують 0.

1 3

2

4

1

4

65

2

3

Рисунок 2.2

1 3

2

4

1 3

2

4

1

4

65

2

3

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

1

4

3

2

а) б)

19

Вузли Вітки

1 2 3 4 5 6

1 +1 0 0 +1 0 -1

2 -1 +1 0 0 +1 0

3 0 -1 -1 0 0 +1

4 0 0 +1 -1 -1 0

Матриця заповнена подібним чином називається повною структурною або

матрицею інциденцій електричного кола. Позначається вона символом По.

011100

100110

010011

101001

По

У кожному стовпці По міститься дві одиниці +1 і -1, т.я. кожна вітка з'єднує

два вузли. Сума чисел у будь-якому стовпці матриці По завжди дорівнює нулю.

Отже, один з рядків є залежним і може бути викреслений. При цьому матриця По

приводиться до виду структурної матриці П. Вузол, рядок якого відкидається,

називається базисним.

Синтез контурної матриці.

На рис. 2.3 зображений спрямований граф кола й одне з можливих дерев.

Головними вітками графа є вітки 2, 3, 5, 8.

Утворимо тепер прості (внутрішня

область не перетинається ні однією віткою)

замкнуті контури шляхом послідовного

додавання до дерева головних хорд графа.

На рис.2.4. контур I – простий, контур II –

складний.

Усі контури є незалежними, тому що в

кожен новий контур входин нова головна

хорда. При цьому число незалежних

контурів, дорівнює числу головних віток

графа.

Довільно приймають для кожного

контуру напрямок обходу, співпадаючий з

напрямком фіктивного контурного струму.

Складемо матрицю, так, щоб число рядків у ній дорівнювало числу

незалежних контурів N, а число стовпців - числу віток графа Q.

Заповнення матриці:

якщо напрям обходу контуру (наприклад k) збігається з орієнтацією вітки (m),

що входить у цей контур, то в осередок записують (+1);

якщо напрям вітки протилежний напряму обходу контуру записують -1;

якщо вітка не входить у контур - (0).

1

23

9

56

4

87

1

9

6

4

7

Рис.2.3

1

56

4

87I

II

Рисунок 2.4

20

Таблиця, заповнена зазначеним чином, називається контурною матрицею

(збігів) і позначається символом (Г).

Контури Вітки

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1 +1 0 0 -1 0 0 +1 -1 0

2 0 0 0 +1 +1 +1 0 0 0

3 0 +1 0 0 -1 0 0 +1 -1

4 0 0 +1 0 0 -1 -1 0 +1

Зв'язок між контурними струмами і струмами у вітках.

Якщо контурні струми kkI помножити на відповідні числа кожного стовпця і

підсумовувати, одержують систему рівнянь, що визначає струми у вітках через

контурні струми:

4433944226443

33118133225332

4411722114111

;;

;

;;

IIIIIIII

IIIIIIIII

IIIIIIII

(2.1)

або

kв IГI (2.2)

де

1

2

9

...в

I

II

I

- вектор струмів у вітках;

44

33

22

11

I

I

I

I

I k

- вектор контурних струмів;

Якщо підсумувати елементи контурної матриці по рядках, помноживши

кожний з елементів попередньо на напругу відповідної вітки kU - одержують

рівняння, що відповідають ІІ закону Кірхгофа:

0

0

0

0

9763

9852

654

8741

UUUU

UUUU

UUU

UUUU

(2.3)

або в матричній формі

0вUГ (2.4)

де

1

2

11

...в

U

UU

U

- матриця напруг віток.

Перевірка правильності вибору числа незалежних контурів.

Перевірка утворення контурними струмами незалежної системи рівнянь

ґрунтується на аналізі контурної матриці Г. При цьому з матриці Г виділяють

визначник шляхом збереження тих стовпців, що відповідають головним хордам

графа.

21

1

0010

1101

0100

1000

Г

Якщо визначник не дорівнює нулю, то система контурних рівнянь є

незалежною.

Матриці параметрів віток.

Матриця опорів (Zв) віток завжди квадратна, порядок її дорівнює числу віток.

В діагональ матриці записуються власні опори віток.

На перетинанні n-го рядка і m-го стовпця записуються опори

взаємного зв'язку між n-ю і m-ю віткою.

- якщо коло задовольняє умові взаємності (Zmn=Znm), то матриця буде

симетричною відповідно до головної діагоналі;

- якщо відсутні взаємні зв'язки між вітками то матриця буде діагональною.

Матриця провідності – це матриця, зворотна матриці опорів

1

вZYв (2.5)

- при відсутності індуктивних зв'язків віток матриця Yв буде діагональною,

причому діагональні елементи цієї матриці дорівнюють значенням провідності

відповідних віток;

- при наявності індуктивних зв'язків як діагональні елементи, так і недіагональні

будуть відрізнятися від провідності віток, тому що елементи матриці Zв-1

не

дорівнюють зворотним значенням елементів матриці Zв.

Приклад:

Матриця опорів кола записується в такий спосіб:

номера рядків і стовпців відповідають номерам віток;

на головній діагоналі записуються власні опори віток;

на перетинанні n-строки і m-го стовпця - опір взаємної індукції при наявності

індуктивного зв'язку і нуль при відсутності;

опори взаємної індукції входять зі знаком «+» якщо в двох

індуктивнопов‟язаних котушках струми спрямовані однаково щодо

однойменних затисків;

рекомендована нумерація віток: - першими номерами маркірують індуктивні

елементи, потім активні опори, і після - ємнісні.

Нижче приведена матриця опорів віток Zв для схеми на рис.2.6.

ZL4

ZL2

ZC2

ZL3 ZL1

ZC1

R1

R2

*

*

*

IV

III

II

IZМ2,3 ZМ1,2

3

2

4

7

1

8

5

6

Рисунок 2.6

22

2

1

2

1

4

323

23212

121

0000000

0000000

0000000

0000000

0000000

000000

00000

000000

C

C

L

LM

MLM

ML

в

Z

Z

r

r

Z

ZZ

ZZZ

ZZ

Z

Дану матрицю розглядають як складну, з розбивкою на підматриці:

C

LM

в

Z

r

Z

Z

00

00

00

Контурну матрицю Г також зручно розбити по вертикалі на підматриці

відповідно до ZLM, r, ZC і представити у вигляді:

CrL ГГГГ

00100110

10110000

11000001

01001010

.

Вектор Е.Р.С. – це вектор-стовпець, число рядків якого дорівнює числу

віток графа:

QE

E

E

E

...

2

1

якщо позитивний напрямок Е.Р.С. збігається з обраним напрямком вітки, то в

векторі E відповідні Е.Р.С. входять зі знаком «+».

Вектор джерел струмів – вектор-стовпець, число рядків якого дорівнює

числу віток графа:

QI

I

I

I

...

2

1

Струм джерела входить у вектор зі знаком «+» якщо при обході контуру, що

складається з джерела і паралельної йому вітки в напряму вітки, позитивний

напрям струму джерела збігається з напрямом обходу.

Основні матричні рівняння електричного кола.

Для схеми (рис.2.7), напруга на клемах Ап, Вп дорівнює:

Uп

Ап

Eп Zп, Yп Bп

Jп

Iп

Рисунок 2.7 – Схема узагальненої вітки

23

пEпJпIZппU )( (2.5)

або )( пJпIZппEпU , )( пEпUYппJпI .

Якщо між вітками немає індуктивних зв'язків, то останнє рівняння може

бути записане для кожної вітки довільного кола.

Якщо коло містить Q віток

)(

............................

)(

)(

22222

11111

QQQQQ EUYJI

EUYJI

EUYJI

, (2.6)

або в матричній формі:

)( EвUYвJвI

або )( JвIZвEвU (2.7)

Останні рівняння називають законом Ома в матричній формі.

Помножимо з лівої сторони обидві частини останнього рівняння на

контурну матрицю Г:

)()( JвIZвГEвUГ

з огляду на те, що добуток вUГ дорівнює нулю, одержимо

)( JZвEГвIГZв . (2.8)

Струми вI можна виразити через контурні струми згідно kIГвI , отже

рівняння узагальнення ІІ закону Кирхгофа (матричне рівняння електричної

рівноваги контурних струмів) буде мати вид:

)( JZвEГIГГZв k (2.9)

Потрійний матричний добуток ГГZв - є квадратною матрицею контурних

опорів, що позначається Zk , і її порядок, дорівнює числу незалежних контурів.

NNNNN

N

N

ZZZZ

ZZZZ

ZZZZ

Zk

.

.....

.

.

321

2232221

1131211

де N – число незалежних контурів.

Діагональний член матриці контурних опорів Zkk являє собою суму всіх

опорів k-го контуру, а позадіагональні елементи Zkj – опори, загальні для контурів

k і j , знак цього опору визначається напрямками контурних струмів.

Якщо напрями контурних струмів k і j у вітці kj

збігаються, то опір Zkj має позитивний знак.

Приклад:

Складемо контурну матрицю для представленого

графа:

1 0 0 1 0 1

0 1 0 1 1 0

0 0 1 0 1 1

вітки

Г контури

Добуток матриці опорів віток Zв і транспонованої контурної матриці Г‟

3

5

1

46

2

I

IIIII

Рисунок 2.8

24

66

55

44

3

2

1

6

5

4

3

2

1

0

0

0

00

00

00

101

110

011

100

010

001

00000

00000

00000

00000

00000

00000

'

ZZ

ZZ

ZZ

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

Z

ZвГ

Потрійний матричний добуток (матриця контурних опорів)

65356

55424

64641

66

55

44

3

2

1

0

0

0

00

00

00

110100

011010

101001

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZZZZ

ZZ

ZZ

ZZ

Z

Z

Z

Z k

З отриманої матриці випливає:

65333532631

52354222421

61341264111

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZ

ZZZZZZZZ

При наявності в колі індуктивно-пов'язаних віток, матрицю опорів

розбивають на підматриці ZLM, r, ZC, відповідно потрійний матричний добуток

буде мати вигляд

CCCrrLLML

CC

r

LLM

CrL

C

r

L

C

LM

CrL ГZГГrГГZГ

ГZ

Гr

ГZ

ГГГ

Г

Г

Г

Z

r

Z

ГГГГZвГ

00

00

00

'

Якщо ввести позначення

CCCC

rr

LMLLML

ZГZГ

rГrГ

ZГZГ

' , (2.10)

основне рівняння електричного кола для контурних струмів буде мати вид:

)(''' JZвEГIZrZ kCLM (2.11)

Якщо підставити в ліву частину рівняння (2.9) значення потрійного

матричного добутку Zk і записати його в розгорнутому вигляді, одержимо систему

рівнянь контурних струмів:

NэквNNNNNN

эквNNN

эквNNN

EIZIZIZ

EIZIZIZ

EIZIZIZ

...

..................................................

...

...

221111

2222221121

1122121111

де Nэквэквэкв EEE ,...,, 21 - еквівалентні е.р.с., кожна з який дорівнює сумі е.р.с. джерел

відповідного контуру за винятком суми падінь напруг від

струмів джерел струму.

Любий контурний струм системи може бути визначений як:

n

NNI (2.12)

де

NNNN

N

ZZZ

ZZZ

ГZвГ

.

....

.

'

21

11211

(2.13)

а алгебраїчне доповнення n виходить з шляхом заміни n-го стовпця на елементи

матриці эквE .

25

Розкладаючи n по елементах n-го стовпця (правило Крамера), одержимо:

Nэкв

Nn

экв

n

экв

n

NN EEEI ...2

2

1

1 (2.14)

де jn – алгебраїчні доповнення (ад'юнкти) елемента (jn) .

Останнє рівняння може бути записане у виді:

NэквNnэквnэквnNN EsYEsYEsYI )(...)()( 2211 (2.15)

де Yjn(s) – часткова системна функція провідності.

Матричні рівняння вузлових потенціалів.

Для складання матричних рівнянь вузлових потенціалів використовують

структурну матрицю П, наприклад:

100110000

010011000

001101000

010000011

001000101

П

Якщо помножити струми галузей на відповідні елементи матриці П и потім

просуммировать отримані добутки по рядках, одержимо систему записана

відповідно до І закону Кирхгофа:

0

0

0

0

0

365

854

764

821

731

III

III

III

III

III

У матричній формі:

0вIП (2.16)

Позначимо потенціали вузлових точок через П (індекс відповідає номеру

вузла, у якому виміряється потенціал щодо базового).

Якщо помножити елементи матриці П на потенціали відповідних вузлів і

потім взяти добуток отриманий по стовпцях, одержимо:

5953613

42854522

317434211

,,

,,

,,

UUU

UUU

UUU

ця система може бути записана в матричній формі

вUП у' (2.17)

помножимо ліву і праву частини рівняння )( EвUYвJвI на матрицю П та

врахуємо (2.16, 2.17):

)()'( EYвJППYвП у (2.18)

Потрійний матричний добуток називається матрицею вузлових провідностей

ppppp

p

p

YYYY

YYYY

YYYY

ПYвПYу

.

.....

.

.

'

321

2232221

1131211

де Y11, Y22, ...Yрр – власні провідності вузлів (сума провідностей віток, що

сходяться до даного вузла); Ykl (k l) – взаємна провідність (провідність вітки між

вузлами k і l без індуктивно-пов'язаних віток).

26

Підставимо в рівняння (2.18) значення потрійного матричного добутку Yу,

перемножемо ліву і праву частин та запишемо результат у виді системи

алгебраїчних рівнянь:

pэквppppp

эквpp

эквpp

IYYY

IYYY

IYYY

...

..................................................

...

...

2211

22222121

11212111

де pэквэквэкв III ,, 21 - еквівалентні струми, кожний з який для даного вузла

представляє суму струмів від усіх джерел струму за винятком суми струмів к.з.

усіх віток, що сходяться до даного вузла.

При цьому значення потенціалу П визначається:

pэкв

pn

экв

n

экв

nn

П III ...2

2

1

1 .

Вітки з ідеальними джерелами.

При побудові графа ідеальні джерела е.р.с. замикають, а ідеальні джерела

струму розмикають.

- ідеальне джерело е.р.с.

З метою адекватності графів проводять розщеплення вузлів. Наприклад на

рис.2.9.а можна розщепити вузол 1 на два 1‟ та 1‟‟.

Розподіл струмів і потенціалів у схемі при цьому не зміниться, тому що

вузли 1' і 1'' будуть мати однаковий потенціал, який дорівнює потенціалу вузла 1.

При складанні матриці е.р.с. замість одного джерела вітки 8 уводиться два

однакових у вітки 1' і 4'.

- ідеальне джерело струму.

У даному випадку проводять розщеплення вітки.

Замість одного джерела струму в вітці 9 уводять два джерела в вітки 4 і 8.

Струморозподіл в колі при цьому не міняється, тому що у вузол 4 додані два

однакових джерела з різним напрямком струмів стосовно вузла.

2

1

45

3

15

2

6

37

4

8

2

1' 45

3

15

2

6

37

4

8'

8''

1''

Рис.2.9.а Рис.2.9.б

3

1

2

5

4

2

53

8

4

9

6

1

6

7

3

1

2

5

4

2

53

8'

4'

6

1

6

7

Рис.2.10.а Рис.2.10.б

27


Використовуючи матричний метод розрахунку електричних кіл (метод граф)

розрахувати струми в схемі (для варіантів 1-10), потенціали вузлів схеми (для

варіантів 11-20), розрахувати струми в дуальних схемах (для варіантів 21-30),

розрахувати потенціали вузлів в дуальних схемах (для варіантів 31-40). При

складанні алгоритму розрахунку врахувати можливість зміни номіналів елементів.

10Ом

175sin314t

40мкФ

12мкФ

0,255Г

30мкФ

1В, 11В, 21В, 31В

15кОм

12Ом 3кОм

12кОм

0,255Г

Zм=j1,5Ом140sin314t

0,56мкФ

0,255мГ 0,5мГ 0,8мГ

0,5кОм

1,2кОм

0,2кОм

Zм=j1,5Ом

*

* **

3кОм 1,2кОм

1кОм

0,3мкФ

0,12мкФ

0,255мГ0,5мГ

3кОм

175sin314t

5sin314t

0,5А

1,2кОм

0,5кОм 0,2кОм

0,255мГ

0,5мГ

0,8мГ60sin314t

0,56мкФ

0,13мкФ

0,5кОм

0,25мГ0,13мкФ

0,15мГ

0,5мГ

0,15мГZм=j1,5Ом

0,25кОм

0,4мкФ

0,15кОм0,1мкФ

0,5А15sin314t

0,25мГ

0,1мкФ

0,5А

4,15мГ

0,4мкФ

0,2мкФ0,1мкФ

0,15кОм

0,5кОм

150Ом

220sin314t

0,15кОм 0,1мкФ

1,1мкФ 10мкФ

0,5кОм

0,15мГ15sin314t 12,15мГ

0,51мГ

50Ом1,1кОм

Zм=j1,5ОмZм=j1,5Ом

0,15мГ

0,5мГ 0,2мГ

10мкФ

1мкФ

50Ом

10Ом 25Ом

15Ом

32Ом

15sin314t

0,5А

10мкФ

*

*

*

* * *

2В, 12В, 22В, 32В

3В, 13В, 23В, 33В 4В, 14В, 24В, 34В

5В, 15В, 25В, 35В6В, 16В, 26В, 36В

7В, 17В, 27В, 37В8В, 18В, 28В, 38В

28

0,5кОм

0,25мГ0,13мкФ

0,5мГ

0,15мГ

0,25кОм

0,4мкФ

0,15кОм0,1мкФ

0,5А15sin314t

0,15кОм 0,1мкФ

1,1мкФ 10мкФ

0,5кОм

0,15мГ15sin314t 12,15мГ

0,51мГ

50Ом1,1кОм

0,15мГ

0,5мГ 0,2мГ

10мкФ

1мкФ

50Ом

10Ом 25Ом

15Ом

32Ом

15sin314t

0,5А

10мкФ

1,1кОм

10кОм

5кОм

15sin314t

15sin314t

10мкФ

3мкФ

2мкФ

5мкФ0,51мГ

12мГ

32Ом 50Ом

0,3мкФ

0,12мкФ

0,055мГ0,05мГ

12Ом

220sin314t

0,15мГ

12sin314t

Zм=j1,5Ом

*

*

43В

46В

60sin314t

9В, 19В, 29В, 39В 10В, 20В, 30В, 40В

10Ом

175sin314t

40мкФ

12мкФ

0,255Г

30мкФ

41В

15кОм

12Ом 3кОм

12кОм

0,255Г

140sin314t

0,56мкФ

0,255мГ 0,5мГ 0,8мГ

0,5кОм

1,2кОм

0,2кОм

42В

32Ом 50Ом

0,3мкФ

0,12мкФ

0,055мГ0,05мГ

12Ом

220sin314t

0,15мГ

12sin314t

44В

45В

1,1кОм

10кОм

5кОм

15sin314t

10мкФ

3мкФ

2мкФ

5мкФ0,51мГ

12мГ

32Ом 50Ом

0,3мкФ

0,12мкФ

0,055мГ0,05мГ

12Ом

220sin314t

0,15мГ

60sin314t

47В 48В

10кОм

29


МАТРИЧНИЙ МЕТОД РОЗРАХУНКУ РЕЖИМІВ РОБОТИ ЕЛЕКТРИЧНОЇ

МЕРЕЖІ


1. Часткове технічне завдання:

Af

a b

cde

Sa Sb

Sc

SdSe

L1

L2

L3

L4

L6

L5L7

L8

Рисунок 3.1 - Розрахункова схема електричної мережі

Таблиця 3.1

Навантаження споживачів

Вузол мережі Підстанція

a b c d e Повна потужність, МВА 6.3 4 2.5 4 2.5

cosφ 0.75 0.79 0.8 0.83 0.82

Таблиця 3.2

Довжина ділянок електричної мережі

Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8

Довжина лінії, км 10 5 11 12 7 9 15 13

Номінальна напруга мережі Uн=10 кВ Марка проводу – АС-70

Завдання: розрахувати режими роботи електричної мережі з метою наступного

визначення струмових навантажень ліній та електричного обладнання, розрахунку рівнів

напруги на різних ділянках мережі, визначення потокорозподілу.

Зміст пояснювальної записки: титульний аркуш, часткове технічне завдання, вступ,

схема заміщення, синтез структурної, скороченої структурної та контурної матриць,

визначення матриці провідності, розрахунок потенціалів вузлів за прямим методом та

методом ітерацій, розрахунок струмів у вітках, визначення втрат активної потужності,

висновок, література.

2. Методичні вказівки до виконання завдань РГР

2.1. Розробка схеми заміщення базується на заміні джерел та споживачів енергії

джерелами струму, а лінії – комплексними опорами (рис.3.1).

30

cd

b

e

a

f

Je

Jf

Jd

JbJa

Jc

Z 1

Z2

Z4

Z6 Z8

Z 7

Z 5Z 3

II

III

I

1 2

345

6

Рисунок 3.2 – Схема заміщення розрахункової схеми електричної мережі 2.2. Синтез структурної, скороченої структурної та контурної матриць

Структурна матриця:

P

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

1

1

0

0

(3.1)

Контурна матриця:

G

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

1

0

0

0

(3.2)

В якості базового вузла оберемо т.6, відповідно скорочена структурна матриця

буде мати вид:

Po

1

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

0

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

0

0

0

1

1

0

(3.3)

Визначення величини опорів віток графу. Питомий активний та реактивний опір

лінії при застосуванні проводу АС-70:

ro 0.432, xo 0.444

Повний комплексний опір дорівнює:

zo 0.432 0.444i (3.4)

Довжини ліній представимо у вигляді вектора довжин:

L

10

5

11

12

7

9

15

13

(3.5)

Відповідно складаємо матрицю комплексних опорів:

Zv diag L zo( ) (3.6)

31

Zv

4.32 4.44i

0

0

0

0

0

0

0

0

2.16 2.22i

0

0

0

0

0

0

0

0

4.752 4.884i

0

0

0

0

0

0

0

0

5.184 5.328i

0

0

0

0

0

0

0

0

3.024 3.108i

0

0

0

0

0

0

0

0

3.888 3.996i

0

0

0

0

0

0

0

0

6.48 6.66i

0

0

0

0

0

0

0

0

5.616 5.772i

2.3. Визначення матриці провідності Матриця провідності може бути визначена за матричним рівнянням:

Yv Zv1 (3.7)

Матриця вузлової провідності знаходять за формулою:

Yu Po Yv PoT

(3.8)

,

Yu

0.309 0.317i

0.094 0.096i

0

0

0.102 0.105i

0.094 0.096i

0.33 0.339i

0

0.075 0.077i

0.161 0.165i

0

0

0.087 0.089i

0.087 0.089i

0

0

0.075 0.077i

0.087 0.089i

0.287 0.295i

0.125 0.129i

0.102 0.105i

0.161 0.165i

0

0.125 0.129i

0.613 0.63i

(3.9)

Матриця вузлових опорів може бути знайдена за формулою:

Zu Yu1 (3.10)

2.5. Розрахунок потенціалів вузлів за прямим методом

Розрахунок ґрунтується на використанні методу вузлової напруги.

Комплекс повної потужності може бути визначений за формулою:

(3.11)

де Sn – номінальна потужність підстанцій, МВА; – кут зсуву фази, рад.

Sn

4.725 106

4.167i 106

3.16 106

2.452i 106

2 106

1.5i 106

3.32 106

2.231i 106

2.05 106

1.431i 106

(3.12)

Розрахунок струмів навантажень (струмів, що задають).

Значення комплексу струму:

(3.13)

Падіння напруги:

(3.14)

Вузлова напруга:

(3.15)

Алгоритм прямого методу розрахунку:

1. У першому наближенні для розрахунку струмів навантажень, приймають, що

напруга у вузлах дорівнює номінальній напрузі мережі.

32

2. Визначають матрицю комплексів струмів навантажень (3.13). З цією метою

визначають вектор номінальних напруг

U stack Un Un Un Un Un( ) (3.16)

і формують діагональну матрицю

Uu diag U( ). (3.17)

З урахуванням вищевикладеного формула (2.13) буде мати вид

J diag u( )1

Sn1

3 . (3.18)

3. Визначають матрицю падіння напруги , відповідно до (3.14).

4. Вектор вузлової напруги знаходять за формулою (3.15).

5. Використовуючи отримані вузлові напруги, виконують уточнення рішення,

шляхом циклічного розрахунку п.2-5 до виконання умови гальмування

ітераційних процедур.

Якщо в якості допустимої похибки використати 1В, ітераційна процедура

для даного прикладу завершиться на 26 кроці з наступними результатами:

Uu 26( )

6.135 103

3.916i 103

5.69 103

5.157i 103

4.693 103

8.413i 103

5.418 103

6.454i 103

7.004 103

3.543i 103

(3.19)

Результати розрахунків Uu(n), J(n), dU(n) заносять до таблиці.

2.5. Розрахунок потенціалів вузлів за методом ітерацій

Напруга у вузлах при застосуванні методу ітерацій може бути знайдена за

формулою

(3.20)

де – поправка ітерації n, В; – результати розрахунку матриці вузлової напруги на попередній ітерації , В.

Поправка може бути знайдена за формулою

(3.21)

де – постійна ітерації, В; Zud Yud1– діагональна матриця вузлових

опорів, Ом; – матриця вузлової провідності. Діагональна матриця вузлової провідності може бути знайдена шляхом

присвоєння всім елементам, крім діагональних нульових значень:

Yud

Yu0 0( )

0

0

0

0

0

Yu1 1( )

0

0

0

0

0

Yu2 2( )

0

0

0

0

0

Yu3 3( )

0

0

0

0

0

Yu4 4( )

(3.22)

Постійна ітерації може бути знайдена за формулою

(3.23)

де – номінальна напруга, В; – матриця струмів навантажень, А

Алгоритм прямого методу ітерації:

1. У першому наближенні для розрахунку струмів навантажень, приймають, що

напруга у вузлах дорівнює номінальній напрузі мережі.

2. Визначають матрицю комплексів струмів навантажень (3.13). З цією метою

визначають вектор номінальних напруг

U stack Un Un Un Un Un( )

і формують діагональну матрицю

Uu diag U( ).

33

З урахуванням вищевикладеного формула (2.13) буде мати вид

J Uu( ) diag Uu( )1

Sn1

3 . (3.24)

3. Визначають постійну ітерації за формулою

Uu Uu( ) Zud Yu U1

3J Uu( ) . (3.25)

4. При використанні ітераційної процедури (3.26) знаходять матрицю вузлових

напруг відповідно до (3.21) f n Uu( ) z Uu

z z Uu Uu( ) 3 Zud Yu z

i 1 nfor , (3.26)

де n – кількість ітерацій.

5. З використанням отриманих вузлових напруг виконують уточнення рішення,

шляхом циклічного розрахунку за п.2-5. Для визначення достатньої кількості

ітерацій вводять критерій отримання достатньої точності обчислень. З цією метою

вводять критерій

Re f i Uu( ) Im f i Uu( ) (3.27)

Якщо максимально допустима похибка буде дорівнювати одному вольту, функція

знаходження достатньої кількості ітерацій може мати вигляд:

n Uu( ) s Re f 1 Uu( ) Im f 1 Uu( )

i 2

s Re f i Uu( ) Im f i Uu( )

i i 1

continue

s Re f i Uu( ) Im f i Uu( ) 1while

ireturn

(3.28)

6. Результуюча функція вузлових напруг

Uu ni( ) u U

u f n u( ) u( )

i 1 nifor (3.29)

2.6. Результати розрахунків потенціалів вузлів за прямим методом та методом

ітерацій зводять в таблиці.

2.7. Розрахунок струмів у вітках схеми.

Система взаємно-незалежних рівнянь на основі першого закону Кірхгофа

має вид:

(3.30)

де – вектор струмів у вітках, А.

Другий закон Кірхгофа у матричній формі має вид

(3.31)

де – матриця падення напруги у вітках схеми, В. При відсутності магнітноповязаних елементів у схемі та у випадку

відсутності джерел ЕРС, матриця падінь напруги в вітках має вид:

(3.32)

З урахуванням (3.31) та (3.32) запишемо

(3.33)

34

Узагальнене рівняння може бути складену у вигляді системи матричних

рівнянь

(3.34)

В результаті перетворення рівнянь системи (3.34) отримаємо одне рівняння

(3.35)

де

(3.36)

у фоматі MathCAD: A stack Po G Zv( ),

(3.37)

Матриця комплексів струмів навантажень (3.13) розраховується за

алгоритмом J n( ) u Uu

J u( )1

Sn1

3

U Zu J

u diag Un 3 U

J

i 1 nfor (3.38)

Відповідно матриця F може бути сформована командою

F stack J 1000( ) 0 0 0( ) (3.39)

З урахуванням (3.35)

(3.35)

2.8. Визначення втрат активної потужності

Втрати активної потужності в лінії для трифазного кола визначаються по

закону Джоуля-Ленца

(3.36)

де – вектор струмів в лініях, А; – питомий активний опір лінії, Ом/км;

– довжина лінії, км.

Втрати потужності в лінії складаються з втрат в кожній лінії, відповідно

(3.37)

Активна складова визначається за виразом

(3.38)

где – повна потужність, ВА; – косинус кута зсуву фази.

Сумарна активна потужність всіх споживачів

(3.39)

Відносні втрати активної потужності визначаються як відношення втрат в

лініях до активної потужності споживачів

(3.40)

Складання балансу активних потужностей, при якому повинно

виконуватись співвідношення

(3.41)

де – активна потужність, яка видається центром живлення, Вт.

Потужність, яка видається центром живлення визначають використовуючи

отримані значення струмів віток

(3.42)

та перевіряють баланс потужностей

35


Часткове технічне завдання: розрахувати режими роботи електричної мережі

з метою наступного визначення струмових навантажень ліній та електричного

обладнання, розрахунку рівнів напруги на різних ділянках мережі, визначення

потокорозподілу.

Зміст пояснювальної записки: титульний аркуш, часткове технічне завдання,

вступ, схема заміщення, синтез структурної, скороченої структурної та контурної

матриць, визначення матриці провідності, розрахунок потенціалів вузлів за прямим

методом та методом ітерацій, розрахунок струмів у вітках, визначення втрат активної

потужності, висновок, література.

Варіант № 1

Af

a b

cde

Sa Sb

Sc

SdSe

L1

L2

L3

L4

L6

L5L7

L8

Рисунок 1 - Розрахункова схема електричної мережі

Таблиця 1



a b c d e Повна потужність, МВА 6.3 4 2.5 4 2.5

cosφ 0.75 0.79 0.8 0.83 0.82

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8

Довжина лінії, км 10 5 11 12 7 9 15 13


36



Таблиця 1



a b c d e

Повна потужність, МВА 7,5 2,0 4,8 3,5 2,2

cosφ 0,76 0,98 0,83 0,72 0,84

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8

Довжина лінії, км 16 4 5 11 4 9 13 10




37

Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,80 0,78 0,90 0,69 0,86

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8

Довжина лінії, км 13 9 3 15 6 6 4 12




Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,68 0,98 0,87 0,86 0,70

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8

Довжина лінії, км 10 6 5 9 7 11 13 4


38



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,76 0,97 0,69 0,80 0,79

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8

Довжина лінії, км 6 3 8 9 2 6 5 11




39

Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,68 0,98 1,00 0,96 0,60

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,87 0,69 0,87 0,83 0,80

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8

Довжина лінії, км 6 3 11 12 10 7 8 4


40



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,96 0,93 0,90 0,71 0,76

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





41

Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,76 0,73 0,69 0,87 0,96

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,98 0,98 0,76 0,68 0,90

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8



42



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,86 0,94 0,70 0,80 0,91

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,72 0,61 0,97 0,93 0,91

43

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,98 0,87 0,67 0,99 0,90

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8



44



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,67 0,66 0,95 0,87 0,90

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





45

Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,68 0,97 0,86 0,79 0,72

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,68 0,93 0,91 0,84 0,86

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8



46



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,67 0,89 0,76 0,96 0,94

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





47

Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,73 0,59 0,80 0,76 0,98

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,68 0,75 0,84 0,93 0,91

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8



48



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,97 0,83 0,85 0,69 0,77

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





49

Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,64 0,87 0,86 0,97 0,68

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,99 0,78 1,00 0,97 0,76

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8



50



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,69 0,70 0,80 0,67 0,98

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





51

Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,97 0,92 0,83 0,76 0,73

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8

Довжина лінії, км 4 3 7 10 12 13 2 6




Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,69 0,78 0,69 0,86 0,77

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8



52



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,67 0,92 0,91 0,97 0,73

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8


Номінальна напруга мережі Uн=10 кВ, Марка проводу – АС-70



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,98 0,83 0,73 0,82 0,76

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8


Номінальна напруга мережі Uн=10 кВ, Марка проводу – АС-70

53



Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,96 0,76 0,85 0,90 0,68

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





54

Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,86 0,79 0,64 0,98 0,90

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8





Таблиця 1



a b c d e


cosφ 0,67 0,89 0,99 0,84 0,88

Таблиця 2


Лінія № 1 2 3 4 5 6 7 8



55


АПРОКСИМАЦІЯ ТАБЛИЧНИХ ФУНКЦІЙ

МЕТОДОМ НАЙМЕНШИХ КВАДРАТІВ


Припустимо, що є сукупність n+1 пара величин nixy ii ,..,1,0,, .

Потрібно побудувати залежність )...,,,,( 10 maaaxf близьку до заданої сукупності

значень у контексті мінімуму квадратичного критерію R: n

i

im yaaaxfR0

2

10 ))...,,,,(( (4.1)

Апроксимуюча функція )...,,,,( 10 maaaxf частіше визначається в класі

поліномів і у загальному випадку має вид: m

m

j

jm xaxaxaxaaaaaxf ......)...,,,,( 2

21010 (4.2)

В задачах апроксимації завжди n>m, т.я. у випадку n=m вирішується задача

інтерполяції, у якій значення критерію R може бути зведене до нуля.

Необхідною умовою мінімуму критерію R є рівність нулю всіх часткових

похідних функції R по параметрах maaa ...,,, 10 , т.ч.

midadR j ,..,1,00/ (4.3)

При рішенні системи рівнянь можна знайти вектор невідомих параметрів

)...,,,( 10 maaaa

.

У методі найменших квадратів для підвищення точності найбільш часто

використовується наближення поліномами другого ступеня і вище: n

j

j

j xaaxf0

),(

. (4.4)

Розглянемо вивід для квадратичних наближень (m=2). Визначення

параметрів a0,a1,a2 за методом найменших квадратів зводиться до отримання

мінімуму критерію R, як функції трьох змінних a0,a1,a2: n

i

iii

n

i

i yxaxaayaxfR0

22

210

0

2 )()),((

. (4.5)

умови мінімуму критерію мають вид:

0)(2

0)(2

0)(2

0

22

210

2

0

2

210

1

0

2

210

0

n

i

iiii

n

i

iiii

n

i

iii

xyxaxaada

dR

xyxaxaada

dR

yxaxaada

dR

(4.6)

або

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xyaxaxax

xyaxaxax

yaxaxan

0

2

2

0.

4

1

0.

3

0

0.

2

0

2

0.

3

1

0.

2

0

0

0

2

0.

2

1

0

0

)()()(

)()()(

)()()1(

(4.7)

Лінійна, щодо параметрів a0,a1,a2 система рівнянь (4.7) може бути записана в

матричній формі:

baФ

][ (4.8)

де

56

n

i

ii

n

i

ii

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

n

i

i

xy

xy

y

b

a

a

a

a

xxx

xxx

xxn

Ф

0

2

0

0

2

1

0

0.

4

0.

3

0.

2

0.

3

0.

2

0

0.

2

0

;;

)1(

. (4.9)

Для зручності виконання матричних операцій вводять матрицю [X] розміру

3)1(n , елементи якої визначаються через значення незалежних змінних

nix i ,..,1,0, , у такий спосіб:

2

2

11

2

00

1

...

1

1

nn xx

xx

xx

X .

Тоді:

yXb

XXФ

T

T

; (4.10)

де

0

1

...

n

y

yy

y

.

Отримані співвідношення дозволяють обчислити матрицю коефіцієнтів і

стовпець вільних елементів у системі лінійних рівнянь. У розгорнутому виді

система має вид:

.yXaXX TT (4.11)

Для рішення системи (4.12) можна використовувати метод зворотної

матриці:

bФa 1

або yXXXa TT 1)( . (4.12)

Співвідношення (4.10) - (4.12), які отримані для апроксимації поліномом

другого ступеня, можна використовувати і при апроксимації поліномами вищих

порядків. У цьому випадку розмір матриці (Х) буде дорівнювати ((n+1) (m+1)), де

m - порядок полінома, (n+1)- число кортежів:

m

nnn

m

m

xxx

xxx

xxx

X

.1

.....

.1

.1

2

1

2

11

0

2

00

.

Приклад:

Побудувати апроксимуючий поліном другого ступеня за методом

найменших квадратів. Значення аргументів і функцій дані в таблиці:

i 0 1 2 3

ix 1 2 3 4

iy 2 2 4 5

Для апроксимуючої залежності виду 2

210 xaxaay за даними таблиці

будуємо матрицю [X] розміру 4 3:

1641

931

421

111

1

1

1

1

2

33

2

22

2

11

2

00

xx

xx

xx

xx

X .

57

Обчислюємо елементи матриці [Ф] і вектора b

:

30010030

1003010

30104

1641

931

421

111

16941

4321

1111

XXФ T;

126

38

13

5

4

2

2

16941

4321

1111

yXb T .

Рішенням системи рівнянь

12630010030

381003010

1330104

210

210

210

aaa

aaa

aaa

будуть значення параметрів:

02.0

2.1

4.0

a

Тоді апроксимуюче рівняння буде мати вид: 202.02.14.0 xxy .


Апроксимувати методом найменших квадратів задану функцію поліномами

другого та третього ступеню. Побудувати графіки табличної та апроксимуючих

функцій.

Номер X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7 варіанту

1 0 1 2 3 4 5 6 .20 .60 1.00 1.20 1.40 1.60 1.70 2 -2 -1 0 1 2 3 4 3.10 2.80 2.50 2.00 1.70 2.20 2.90 3 -6 -4 -3 -1 0 1 3 2.50 1.20 .40 -.50 -1.30 -1.20 1.10 4 0 1 2 3 4 5 6 .50 .80 1.30 1.70 1.90 2.50 2.20 5 -3 -2 -1 0 1 2 3 1.70 1.20 1.00 .50 -.20 .50 .80 6 -1 0 1 2 3 4 5 3.10 2.80 2.40 2.10 1.90 2.20 2.60 7 1 2 3 4 5 6 7 1.00 1.70 3.30 5.10 4.60 3.00 1.90 8 -2 -1 0 1 2 3 4 1.80 1.20 .20 -.90 -1.90 .40 2.40 9 0 1 2 3 4 5 6 1.70 1.90 2.40 2.70 3.10 3.10 2.50 10 -1 0 1 2 3 4 5 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.50 2.40 11 -4 -3 -1 0 1 3 4 -1.80 -1.50 -1.10 -1.30 -1.40 -1.60 -1.90 12 0 1 2 3 4 5 6 3.10 3.30 3.40 3.70 3.20 2.90 1.10 13 -2 -1 0 1 2 3 4 -.30 .50 .80 1.80 .80 .40 .00 14 0 1 2 3 4 5 6 1.80 1.90 2.30 2.50 2.80 3.10 2.50 15 -2 -1 0 1 2 3 4 .30 -.50 -1.50 -.50 -.10 .20 1.20 16 -3 -2 -1 0 1 2 3 4.80 4.20 3.70 3.60 3.30 3.10 2.80 17 0 1 2 3 4 5 6 3.50 3.20 2.90 2.10 3.00 3.20 3.50 18 -1 0 1 2 3 4 5 -6.10 -5.80 -5.20 -4.80 -4.50 -5.00 -5.20 19 -2 -1 0 1 2 3 4 1.10 .20 -.40 -1.00 -1.10 -1.00 -.20 20 0 1 2 3 4 5 6 -1.20 -.50 -.20 .30 .70 1.10 1.40 21 -3 -1 0 1 3 4 6 1.70 3.30 5.10 6.60 5.60 4.00 3.50 22 0 1 2 3 4 5 6 1.70 1.90 2.50 2.90 3.10 2.80 2.40 23 -3 -2 -1 0 1 2 3 -.80 -.50 -.20 .50 1.00 1.20 1.70 24 -1 0 1 2 3 4 5 3.10 4.50 4.90 5.10 5.50 5.20 5.00 25 -2 -1 0 1 2 3 4 -.30 .50 1.50 .50 .30 -.20 -1.20 26 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -2.40 -2.50 -2.50 -2.40 -2.30 -2.20 -2.10 27 -5 -3 -1 1 3 5 7 1.20 2.90 4.10 3.10 2.40 2.00 1.70 28 -3 -2 -1 0 1 2 3 1.70 -.90 -2.50 -2.90 -2.60 -.80 1.60 29 -1 0 1 2 3 4 5 1.90 3.80 4.50 5.10 4.60 3.90 1.80 30 -4 -2 0 2 4 6 8 3.90 2.20 1.30 .80 1.50 1.90 4.10

58

31 0 1 2 3 4 5 6 .20 .60 1.00 1.20 1.40 1.60 1.70 32 -2 -1 0 1 2 3 4 3.10 2.80 2.50 2.00 1.70 2.20 2.90 33 -6 -4 -3 -1 0 1 3 2.50 1.20 .40 -.50 -1.30 -1.20 1.10 34 0 1 2 3 4 5 6 .50 .80 1.30 1.70 1.90 2.50 2.20 35 -3 -2 -1 0 1 2 3 1.70 1.20 1.00 .50 -.20 .50 .80 36 -1 0 1 2 3 4 5 3.10 2.80 2.40 2.10 1.90 2.20 2.60 37 1 2 3 4 5 6 7 1.00 1.70 3.30 5.10 4.60 3.00 1.90 38 -2 -1 0 1 2 3 4 1.80 1.20 .20 -.90 -1.90 .40 2.40 39 0 1 2 3 4 5 6 1.70 1.90 2.40 2.70 3.10 3.10 2.50 40 -1 0 1 2 3 4 5 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.50 2.40 41 -4 -3 -1 0 1 3 4 -1.80 -1.50 -1.10 -1.30 -1.40 -1.60 -1.90 42 0 1 2 3 4 5 6 3.10 3.30 3.40 3.70 3.20 2.90 1.10 43 -2 -1 0 1 2 3 4 -.30 .50 .80 1.80 .80 .40 .00 44 0 1 2 3 4 5 6 1.80 1.90 2.30 2.50 2.80 3.10 2.50 45 -2 -1 0 1 2 3 4 .30 -.50 -1.50 -.50 -.10 .20 1.20 46 -3 -2 -1 0 1 2 3 4.80 4.20 3.70 3.60 3.30 3.10 2.80 47 0 1 2 3 4 5 6 3.50 3.20 2.90 2.10 3.00 3.20 3.50 48 -1 0 1 2 3 4 5 -6.10 -5.80 -5.20 -4.80 -4.50 -5.00 -5.20 49 -2 -1 0 1 2 3 4 1.10 .20 -.40 -1.00 -1.10 -1.00 -.20 50 0 1 2 3 4 5 6 -1.20 -.50 -.20 .30 .70 1.10 1.40 51 -3 -1 0 1 3 4 6 1.70 3.30 5.10 6.60 5.60 4.00 3.50 52 0 1 2 3 4 5 6 1.70 1.90 2.50 2.90 3.10 2.80 2.40 53 -3 -2 -1 0 1 2 3 -.80 -.50 -.20 .50 1.00 1.20 1.70 54 -1 0 1 2 3 4 5 3.10 4.50 4.90 5.10 5.50 5.20 5.00 55 -2 -1 0 1 2 3 4 -.30 .50 1.50 .50 .30 -.20 -1.20 56 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -2.40 -2.50 -2.50 -2.40 -2.30 -2.20 -2.10 57 -5 -3 -1 1 3 5 7 1.20 2.90 4.10 3.10 2.40 2.00 1.70 58 -3 -2 -1 0 1 2 3 1.70 -.90 -2.50 -2.90 -2.60 -.80 1.60 59 -1 0 1 2 3 4 5 1.90 3.80 4.50 5.10 4.60 3.90 1.80 60 -4 -2 0 2 4 6 8 3.90 2.20 1.30 .80 1.50 1.90 4.10 61 0 1 2 3 4 5 6 .20 .60 1.00 1.20 1.40 1.60 1.70 62 -2 -1 0 1 2 3 4 3.10 2.80 2.50 2.00 1.70 2.20 2.90 63 -6 -4 -3 -1 0 1 3 2.50 1.20 .40 -.50 -1.30 -1.20 1.10 64 0 1 2 3 4 5 6 .50 .80 1.30 1.70 1.90 2.50 2.20 65 -3 -2 -1 0 1 2 3 1.70 1.20 1.00 .50 -.20 .50 .80 66 -1 0 1 2 3 4 5 3.10 2.80 2.40 2.10 1.90 2.20 2.60 67 1 2 3 4 5 6 7 1.00 1.70 3.30 5.10 4.60 3.00 1.90 68 -2 -1 0 1 2 3 4 1.80 1.20 .20 -.90 -1.90 .40 2.40 69 0 1 2 3 4 5 6 1.70 1.90 2.40 2.70 3.10 3.10 2.50 70 -1 0 1 2 3 4 5 2.10 2.20 2.30 2.40 2.50 2.50 2.40 71 -4 -3 -1 0 1 3 4 -1.80 -1.50 -1.10 -1.30 -1.40 -1.60 -1.90 72 0 1 2 3 4 5 6 3.10 3.30 3.40 3.70 3.20 2.90 1.10 73 -2 -1 0 1 2 3 4 -.30 .50 .80 1.80 .80 .40 .00 74 0 1 2 3 4 5 6 1.80 1.90 2.30 2.50 2.80 3.10 2.50 75 -2 -1 0 1 2 3 4 .30 -.50 -1.50 -.50 -.10 .20 1.20 76 -3 -2 -1 0 1 2 3 4.80 4.20 3.70 3.60 3.30 3.10 2.80 77 0 1 2 3 4 5 6 3.50 3.20 2.90 2.10 3.00 3.20 3.50 78 -1 0 1 2 3 4 5 -6.10 -5.80 -5.20 -4.80 -4.50 -5.00 -5.20 79 -2 -1 0 1 2 3 4 1.10 .20 -.40 -1.00 -1.10 -1.00 -.20 80 0 1 2 3 4 5 6 -1.20 -.50 -.20 .30 .70 1.10 1.40 81 -3 -1 0 1 3 4 6 1.70 3.30 5.10 6.60 5.60 4.00 3.50 82 0 1 2 3 4 5 6 1.70 1.90 2.50 2.90 3.10 2.80 2.40 83 -3 -2 -1 0 1 2 3 -.80 -.50 -.20 .50 1.00 1.20 1.70 84 -1 0 1 2 3 4 5 3.10 4.50 4.90 5.10 5.50 5.20 5.00 85 -2 -1 0 1 2 3 4 -.30 .50 1.50 .50 .30 -.20 -1.20 86 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 -2.40 -2.50 -2.50 -2.40 -2.30 -2.20 -2.10 87 -5 -3 -1 1 3 5 7 1.20 2.90 4.10 3.10 2.40 2.00 1.70 88 -3 -2 -1 0 1 2 3 1.70 -.90 -2.50 -2.90 -2.60 -.80 1.60 89 -1 0 1 2 3 4 5 1.90 3.80 4.50 5.10 4.60 3.90 1.80 90 -4 -2 0 2 4 6 8 3.90 2.20 1.30 .80 1.50 1.90 4.10 91 0 1 2 3 4 5 6 .20 .60 1.00 1.20 1.40 1.60 1.70

* примітка: комп'ютерний формат запису (-.*), стандартний формат (-0,*). {приклад -.2 0,2}

59


ІНТЕРПОЛЯЦІЯ ТАБЛИЧНИХ ФУНКЦІЙ

З ВИКОРИСТАННЯМ ФОРМУЛ НЬЮТОНА


Інтерполяційні поліноми Ньютона синтезуються у виді:

))...()((...))(()()( 110102010 nn xxxxxxaxxxxaxxaaxPn (5.1)

або n

i

i

j

ji xxaxPn0

1

0

)()( (5.2)

Задача побудови зводиться до визначення коефіцієнтів за умови:

000 )( yaxPn ;

101101 )()( yxxaaxPn ;

2

2

2101202202102 22))(()()( yhahaaxxxxaxxaaxPn ;

При використанні методу індукції, одержують наступні співвідношення:

00 ya ;

h

y

h

yy

xx

aya 001

01

01

1 ;

2

0

2

2

002

2

102

222

2

2

2

h

y

h

yyy

h

haaya ;

Загальна формула має вид:

k

k

khk

ya

!

0 , nk ,..,1,0 (5.3)

Підставляючи отримані співвідношення в (5.1), одержуємо наступний вид

інтерполяційного полінома Ньютона:

))...()((!

...))((!2

)()( 110

0

102

0

2

0

0

0 nn

n

xxxxxxhn

yxxxx

h

yxx

h

yyxPn (5.4)

Якщо при інтерполяції поліномом другого ступеня точність виявиться

незадовільної, то при додаванні ще одного вузла інтерполяції, поліном третього

ступеня Р3(х) будується з використанням Р2(х) відповідно до співвідношення:

)()()( /

323 xPxPxP (5.5)

))()((!3

)( 2103

0

3

/

3 xxxxxxh

yxP (5.6)

Формулу (5.4) часто записують в іншому виді. Для цього вводять змінну

h

xxt 0 , тоді:

1, 01

0 th

hxx

h

xxthxx

1,...,2 12 nth

xxt

h

xx n .

З урахуванням цих співвідношень формулу (5.4) можна переписати у виді:

00

2

000!

)1)...(1(...

!2

)1()( y

n

nttty

ttytythxP n (5.7)

Отриманий вираз інтерполює функцію на усьому відрізку зміни аргументу.

Однак з метою підвищення точності розрахунків обмежуються випадком t<1,

тобто використовують формулу (5.7) для 10 xxx . Для інших значень аргументу,

наприклад для 21 xxx , замість х0 приймають значення х1:

i

n

iiii yn

nttty

ttytythxP

!

)1)...(1(...

!2

)1()( 2

(5.8)

Отриманий вираз називається першим інтерполяційним багаточленом Ньютона

для інтерполяції вперед.

60

Дану формулу використовують для обчислення значень функції в діапазоні

лівої половини відрізка.

Т.я. кінцеві різниці i

k y обчислюються через значення функції kiii yyy ...,,, 1 ,

причому nki , при великих значеннях і відсутня можливість обчислити різниці

вищих порядків ( ink ). Наприклад, при i=n-3 в (5.8) можна врахувати тільки y, 2y та

3y.

Для правої половини розглянутого відрізка: h

xxt n , т.ч. t<0,

інтерполяційний багаточлен Ньютона одержують у виді:

02

2

1!

)1)...(1(...

!2

)1()( y

n

nttty

ttytythxP n

nnnn (5.9)

Отримана формула називається другим інтерполяційним багаточленом

Ньютона для інтерполяції назад.

Приклад:

Обчислити в точках х=0,1та 0,9 значення функції )(xfy .

ix iy iy iy

2 iy3

0 1,2715 1,1937 -0,0146 0,0007

0,2 2,4652 1,1791 -0,0139 0,0006

0,4 3,6443 1,1652 -0,0133 0,0005

0,6 4,8095 1,1519 -0,0128

0,8 5,9614 1,1391

1,0 7,1005

При х=0,1 маємо 5.02.0

01.00

h

xxt . За формулою (5.7) одержимо:

0.5(0.5 1)(0.1) (0.1) 1.2715 0.5 1.1937 ( 0.0146)

2!

0.5(0.5 1)(0.5 2)0.0007 1.8702

3!

f P

Значення функції в точці х=0,9 обчислюється за формулою (5.9):

5.02.0

19.0

h

xxt n

0.5( 0.5 1)(0.9) (0.9) 7.1005 0.5 1.1391 ( 0.0128)

2!

0.5( 0.5 1)( 0.5 2)0.0005 6.5325

3!

f P


Використати першу або другу інтерполяційну формулу Ньютона для

розрахунків значення функції за наведеним у варіанті аргументом. Таблиця 5.1

х у

1,415 0,888551

1,420 0,889599

1,425 0,890637

1,430 0,891667

1,435 0,892687

1,440 0,893698

1,445 0,894700

1,450 0,895693

1,455 0,896677

1,460 0,897653

1,465 0,898619

61

Варіант Х1 Х2 Х3 Х4

1 1,4161 1,4625 1,4135 1,470

2 1,4179 1,4633 1,4124 1,4655

3 1,4263 1,4575 1,410 1,4662

Таблиця 5.2

х у

0,101 1,26183

0,106 1,27644

0,111 1,29122

0,116 1,30617

0,121 1,32130

0,126 1,33660

0,131 1,35207

0,136 1,36773

0,141 1,38357

0,146 1,39959

0,151 1,41579


4 0,1026 0,1440 0,099 0,161

5 0,1035 0,1492 0,096 0,153

6 0,1074 0,1485 0,1006 0,156

Таблиця 5.3

х у

0,15 0,860708

0,20 0,818731

0,25 0,778801

0,30 0,740818

0,35 0,704688

0,40 0,670320

0,45 0,637628

0,50 0,606531

0,55 0,576950

0,60 0,548812

0,65 0,522046


7 0,1511 0,7250 0,1430 0,80

8 0,1535 0,7333 0,100 0,7540

9 0,1525 0,6730 0,1455 0,85

Таблиця 5.4

х у

0,180 5,61543

0,185 5,46693

0,190 5,32634

0,195 5,19304

0,200 5,06649

0,205 4,94619

0,210 4,83170

0,215 4,72261

0,220 4,61855

0,225 4,51919

0,230 4,42422


62

10 0,1817 0,2275 0,175 0,2375

11 0,1827 0,2292 0,1776 0,240

12 0,1873 0,2326 0,1783 0,245

Таблиця 5. 5

х у

0,115 8,65729

0,120 8,29329

0,125 7,95829

0,130 7,64893

0,135 7,36235

0,140 7,09613

0,145 6,84815

1,150 6,61659

1,155 6,39986

0,160 6,19658

0,165 6,00551

0,170 5,82558

0,175 5,65583

0,180 5,49543


13 0,1217 0,1736 0,1141 0,185

14 0,1168 0,1745 0,110 0,1825

15 0,1175 0,1773 0,1134 0,190

Таблиця 5.6

х у

0,01 0,991824

0,06 0,951935

0,11 0,913650

0,16 0,876905

0,26 0,807789

0,31 0,775301

0,36 0,744120

0,41 0,714193

0,46 0,685470

0,51 0,657902

0,56 0,631442


16 0,027 0,525 0,008 0,61

17 0,1243 0,492 0,0094 0,66

18 0,083 0,5454 0,0075 0,573

Таблиця 5. 7

х у

0,45 20,4946

0,46 19,6133

0,47 18,9425

0,48 18,1746

0,49 17,3010

0,50 16,3123

0,51 15,1984

0,52 13,9484

0,53 12,5508

0,54 10,9937

0,55 9,2647


63

19 0,455 0,5575 0,44 0,5674

20 0,4732 0,5568 0,445 0,57

21 0,4675 0,5511 0,4423 0,58

Таблиця 5. 8

х у

0,115 8,65729

0,120 8,29329

0,125 7,95829

0,130 7,64893

0,135 7,36235

0,140 7,09613

0,145 6,84815

1,150 6,61659

1,155 6,39986

0,160 6,19658

0,165 6,00551

0,170 5,82558

0,175 5,65583

0,180 5,49543


22 0,121 0,173 0,114 0,18

23 0,118 0,175 0,10 0,185

24 0,115 0,173 0,134 0,10

Таблиця 5.9

х у

0,01 0,991824

0,06 0,951935

0,11 0,913650

0,16 0,876905

0,26 0,807789

0,31 0,775301

0,36 0,744120

0,41 0,714193

0,46 0,685470

0,51 0,657902

0,56 0,631442


25 0,02 0,55 0,08 0,6

26 0,123 0,42 0,009 0,6

27 0,08 0,54 0,007 0,57

Таблиця 5.10

х у

0,45 20,4946

0,46 19,6133

0,47 18,9425

0,48 18,1746

0,49 17,3010

0,50 16,3123

0,51 15,1984


28 0,45556 0,557 0,478 0,574

29 0,472 0,558 0,449 0,578

30 0,467 0,511 0,423 0,583

64


АПРОКСИМАЦІЯ ФУНКЦІЙ

З ВИКОРИСТАННЯМ НЕЙРОННИХ МЕРЕЖ


Нейрон – перетворюючий елемент, який має деяку кількість входів

(синапсів), на які поступають вхідні сигнали ix і один вихід (аксон), з якого

знімається вихідний сигнал . Кожен синапс має вагу , на яку множиться

вхідний сигнал . Нейронна мережа є сукупністю нейронів, зв'язаних між собою

відповідним чином.

Структура нейрона представлена на рис. 6.1.

Усередині нейрона виділяють блок додавання, що визначає зважену суму

всіх вхідних сигналів

(6.1)

і блок функції активації .

Таким чином, нейрон функціонує за два такти:

1) підсумовування вхідних сигналів;

2) обчислення Y по функції активації.

Функція активації повинна задовольняти двом умовам:

1) |F(U)| < 1 при будь-якому U

2) функція повинна бути такою, що не монотонною убуває.

1x

4x

3x

2x

1w

4w

3w

2wU

)(UFY

нейрон

синапси

блок

підсумку

функція

активації

аксон

Рисунок 6.1 Структура нейрона

Найчастіше в якості функцій активації використовуються наступні функції:

1) ступінчаста функція

U,0

U,1)(

якщо

якщоUF (6.2)

2) сигмоідна функція (рис. 6.2,а)

UeUF

1

1)( (6.3)

а) б)

Рисунок 6.2 – Функції активації

65

3) гіперболічний тангенс (рис. 6.2,б)

UU

UU

ee

eeUthUF )()( (6.4)

4) гладкі стискуючі функції

QU

QUUF )( (6.5)

де Q – поріг (зсув); а - параметр, що визначає крутизну статичної характеристики

нейрона.

Нейрони утворюють нейронні мережі шляхом з'єднання синапсів з

аксонами.

Найбільш поширеними і добре вивченими є тришарові НС, що складаються з

трьох шарів нейронів: вхідного, прихованого і вихідного (рис. 6.3).

1x

3x

2x

11H

12H

13H

21H

22H

23H

24H

31H

32H

1y

2y

вхідний

шар

прихований

шар

вихідний

шар

Рисунок 6.3 – Нейронна мережа 3-4-2

Нейрони вхідного шару мають тільки по одному синапсу. Кількість нейронів

вхідного шару відповідає кількості вхідних змінних мережі Х.

Завданням нейронів цього шару є тільки розподіл вхідних сигналів по

нейронах прихованого шару, підсумовування і обчислення функції активації в них

не відбувається.

Кількість нейронів в прихованому шарі може бути різною і часто

підбирається експериментально. Недостатня або надмірна кількість нейронів в

прихованому шарі приводить до погіршення точності апроксимації. Крім того,

надмірна кількість ускладнює мережу і зменшує швидкодію.

Нейрони вихідного шару формують вихідні сигнали, їх кількість відповідає

кількості виходів Y.

Приклад НМ з 3 вхідними, 4 прихованими і 2 вихідними нейронами

приведений на рис.6.3. Така НМ скорочено позначається як (3-4-2). Нij – нейрони.

Дані мережі відносяться до мереж прямого розповсюдження, оскільки в них

вхідні сигнали послідовно проходять через всі нейрони і після перетворень

безпосередньо подаються на виходи.

Вихідний сигнал yij кожного j-го нейрона в i-му шарі визначається як )1(

1

,1

in

k

ki

k

ijij ywFy (6.6)

де n(i) – число нейронів в i-му шарі.

Найбільш популярний клас багатошарових мереж прямого розповсюдження

утворюють багатошарові персептрони (MLP), в яких кожен обчислювальний

елемент використовує порогову або сигмоідальну функцію активації.

Багатошаровий персептрон може формувати дуже складні структури прийняття

рішень і реалізовувати довільні булеві функції.

Мережі, що використовують радіальні базисні функції (RBF-сети), є

окремим випадком двошарової мережі прямого розповсюдження. Кожен елемент

прихованого шару використовує в якості активаційної функції радіальну базисну

66

функцію гаусового типу. Радіальна базисна функція (функція ядра) центрується в

точці, яка визначається ваговим вектором, пов'язаним з нейроном. Кожен

вихідний елемент обчислює лінійну комбінацію цих радіальних базисних функцій.

З погляду завдання апроксимації приховані елементи формують сукупність

функцій, які утворюють базисну систему для представлення вхідних прикладів в

побудованому на ній просторі.

Нейронні мережі відносяться до класу апроксиматорів і «чорних ящиків»,

що апроксимують деякі функції вигляду

)(XfY (6.7)

де Y – вектор вихідних змінних; Х – вектор вхідних.

Процес апроксимації полягає в підборі вагових коефіцієнтів wij і називається

навчанням НМ. Тобто НМ може функціонувати в двох режимах:

- експлуатації, коли на вхід подаються сигнали, а на виході знімаються

результати обчислень;

- навчання, коли відбувається коректування вагів так, щоб вихідні сигнали

найточніше відповідали бажаним.

Від якості навчання НМ залежить точність її роботи в режимі експлуатації.

Структура процесу навчання представлена на рис. 5.4, де позначені: Yбаж –

бажані значення вихідних сигналів, Е – помилка навчання (Е = Yбаж – Y), К – дії,

що коректують (зазвичай зміни ваг ijw ).

1x

3x

2x

11H

12H

13H

21H

22H

23H

24H

31H

32H

1y

2y

алгоритм

навчання

X Y

YбажE -K

Рисунок 6.4 – Процес навчання НМ

Для навчання НМ складається навчальна вибірка вхідних сигналів і

відповідних їм вихідних. Вибірка може бути розділена на дві частини: робочу

вибірку (на основі якої проводиться навчання) і тестову вибірку (для перевірки

якості навчання).

Далі визначається структура НМ. Для тришарової НМ кількості вхідних і

вихідних нейронів визначаються по кількостям вхідних і вихідних змінних.

Кількість нейронів в прихованому шарі Nс може бути взяте з умови:

1

)1(

NoutNin

NoutNpNc (6.8)

де Nin і Nout – кількості нейронів у вхідному і вихідному шарах; Np – кількість

навчальних кортежів (об'єм вибірки).

Вагам синапсів ненавченої НМ спочатку привласнюються довільні

значення. Далі на вхід НМ подається перший вектор Х з робочої вибірки,

визначається вектор Y і помилка навчання Е. Виходячи із значень вектора Е

коректуються ваги синапсів. Потім подається наступний вектор Х з вибірки і т.д.

Цикли навчання повторюються багато разів, поки якість навчання не стане

задовільною, що перевіряється відповідно тестовій вибірці. Існує декілька методів

навчання, які класифікують по способах використання вчителя:

- навчання з вчителем (корекція вагів проводиться виходячи з порівняння

поточного і бажаного вихідних векторів);

- навчання з послідовним підкріпленням знань (мережі не даються бажані

значення виходів, а ставиться оцінка «добре» або «погано»);

- навчання без вчителя (мережа сама виробляє правила навчання шляхом

виділення особливостей з набору вхідних даних).

67

Виходячи з використання елементів випадковості методи навчання

підрозділяються:

- на детерміністських (корекція на основі аналізу вхідних і вихідних сигналів, а

також додатковій інформації, наприклад, бажаних виходів);

- на стохастичні (випадкова зміна вагів в ході навчання – Больцмановське

навчання).

До детерміністських правил навчання відносяться правило Хебба, дельта-

правило, правило Кохонена, ART-правило, правило зворотного розповсюдження.

Найбільш поширеним правилом для мереж MLP є правило зворотного

розповсюдження (back propagation).

Для навчання RBF-мереж розроблені різні алгоритми. Основний алгоритм

використовує двокрокову стратегію навчання, або змішане навчання. Він оцінює

позицію і ширину ядра з використанням алгоритму кластеризації "без вчителя", а

потім алгоритм мінімізації середньоквадратичної помилки "з вчителем" для

визначення вагів зв'язків між прихованим і вихідним шарами. Оскільки вихідні

елементи лінійні, застосовується неітераційний алгоритм. Після отримання цього

початкового наближення використовується градієнтний спуск для уточнення

параметрів мережі. Цей змішаний алгоритм навчання RBF-мережі сходиться

набагато швидше, ніж алгоритм зворотного розповсюдження для навчання

багатошарових персептронів. Проте RBF-мережа часто містить дуже велике число

прихованих елементів. Це робить повільнішим функціонування RBF-мережі, ніж

багатошарового персептрона. Ефективність (помилка залежно від розміру мережі)

RBF-мережі і багатошарового персептрона залежать від вирішуваного завдання.

Правило зворотного розповсюдження

Для навчання зазвичай використовується НМ з функціями активації

сигмоідного типу. Метою навчання за правилом зворотного розповсюдження є

мінімізація помилки навчання, яка визначається як Nout

i

i YбажYE1

2

i2

1 (6.9)

Для зменшення помилки ваги змінюються за правилом

ij

ijijw

Evww (6.10)

де n - константа, що характеризує швидкість навчання.

Дана формула описує процес градієнтного спуску в просторі вагів.

Алгоритм зворотного розповсюдженням складається з наступних кроків.

1 . На вхід НМ подається вектор Х з навчальної вибірки і обчислюються виходи

всіх нейронів Yij.

2 . Визначається величина градієнта помилки EI для кожного нейрона вихідного

шару:

jjjjjN YYYбажYEI 1 (6.11)

де Yj – вихід j-го нейрона вихідного шару.

3 . Рухаючись від останнього шару до першого визначаються градієнти EIij для

кожного j-го нейрона кожного i-го шару: )1(

1

,1,11in

k

j

kikiijijij wEIYYEI (6.12)

де k – номер синапсу, що сполучає нейрон Нij з нейроном Нi+1,k наступного шару.

4 . Корекція вагів синапсів:

kiji

k

ij

k

ij YEIvww ,1, (6.13)

Корекція вагів для вхідного шару не проводиться.

5 . Якщо повчальна вибірка не закінчилася, то кроки 1 – 5 повторюються.

6 . Визначається величина помилки Е. Якщо вона не задовільна, то кроки 1 – 6

повторюються.

68

З описаного алгоритму видно, що процес навчання НМ включає два

вкладені цикли навчання: внутрішній цикл (кроки 1 – 5) повторюється відповідно

кількості прикладів з повчальної вибірки, зовнішній (кроки 1 – 6) – до тих пір,

поки не буде досягнута задовільна (з погляду помилки Е) якість навчання.

Після успішного навчання НМ може бути протестована на тестовій вибірці. Якщо

помилка навчання на кожному прикладі з тестової вибірки задовільна, то НМ

можна вважати навченою і приступати до її експлуатації.

Приклад одного циклу навчання НС.

Вхідні навчальні кортежі наведені нижче:

х1 х2

у

1 0 2

2 1 6

4 2 16

де х1 і х2 – вхідні параметри НМ, у – бажаний вихідний параметр.

Оскільки у функції, що апроксимується, два вхідні параметри і один

вихідний, то вибирається НМ з двома нейронами у вхідному шарі і одним у

вихідному. Кількість нейронів прихованого шару приймемо рівним двом, тобто

формується мережа виду 2-2-1 (рис. 6.5).

1x

2x

11H

12H

21H

22H

31H1y

1

21w

1

22w

2

21w

2

22w

1

31w

2

31w

Рисунок 6.5 – Приклад НМ 2-2-1

Як функція активації вибирається сигмоідна функція з коефіцієнтом 1.

Початкові значення ваг синаптичних зв'язків приймаємо рівними 0,5:

5,01

31

2

31

2

22

2

21

1

22

1

21 wwwwww

Оскільки початкові значення х1, х2 і у не лежать в межах [0, 1], їх необхідно

пронормувати, поділивши, наприклад, х1 на 4, х2 на 2, а у на 16. В результаті

отримуємо нормовану вибірку:

х1 х2 у

0,25 0 0,125

0,5 0,5 0,375

1 1 1

Швидкість навчання приймається рівною n = 0,2.

Розглянемо кроки навчання.

1 . На входи НМ подається перший вектор вхідних параметрів:

х1 = 0,25 і х2 = 0 ( убаж = 0,125).

Виходи нейронів вхідного шару: Y11 = 0,25, Y12 = 0.

Для прихованого шару:

U21 = 1

21w Y11 + 2

21w Y12 = 0,5 0,25 + 0,5 0 = 0,125;

U22 = 1

22w Y11 + 2

22w Y12 = 0,5 0,25 + 0,5 0 = 0,125;

Y21 = 1 / (1 + exp(-a U21)) = 1 / (1 + exp(-0,125)) = 0,5312;

Y22 = 1 / (1 + exp(-a U22)) = 1 / (1 + exp(-0,125)) = 0,5312.

Для вихідного шару:

U31 =1

31w Y21 + 2

31w Y22 = 0,5 0,5312 + 0,5 0,5312 = 0,5312;

69

Y31 = 1 / (1 + exp(-a*U31)) = 1 / (1 + exp(-0,5312)) = 0,6298.

2 . Величина градієнта для вихідного нейрона

EI31 = (Y31 – Yбаж) Y31 (1 – Y31) = (0,6298 – 0,125) 0,6298 (1 - 0,6298) = 0,1177.

3 . Величини градієнтів для прихованого шару:

EI21 = Y21 (1 – Y21) [EI311

31w ] = 0,5312 (1 – 0,5312) 0,1177 0,5 = 0,01466

EI22 = Y22 (1 – Y22) [EI312

31w ] = 0,5312 (1 – 0,5312) 0,1177 0,5 = 0,01466.

4 . Корекція вагів синапсів: 1

21w = 1

21w - n Y11 EI21 = 0,5 – 0,2 0,25 0,01466 = 0,4993 1

22w = 1

22w - n Y11 EI22 = 0,5 – 0,2 0,25 0,01466 = 0,4993 2

21w = 2

21w - n Y12 EI21 = 0,5 – 0,2 0 0,01466 = 0,5 2

22w = 2

22w - n Y12 EI22 = 0,5 – 0,2 0 0,01466 = 0,5 1

31w = 1

31w - n Y21 EI31 = 0,5 – 0,2 0,5312 0,1177 = 0,4875 21

31w = 21

31w - n Y22 EI31 = 0,5 – 0,2 0,5312 0,1177 = 0,4875.

Якщо при отриманих вагах на вхід НМ подати той же вектор вхідних

параметрів, то на виході буде у = 0,6267, що вже ближче до бажаного убаж =

0,125. Тобто даний цикл навчання наблизив відповідь НМ до бажаного на

величину у = 0,6298 – 0,6267 = 0,0031.

Оскільки повчальна вибірка не закінчилася, то кроки 1 – 4 повторюються

аналогічно для наступного вектора вхідних параметрів.


Варіант

Завдання

1 у = 2 sin2x, х [0, 1]

2

3 y1 = 0.5 x2 – 4.8 x + 3.5, y2 = x

3 – 12, y3 = x + 3,5

4 x1, x2 [1, 10]

5 y1 = |x1 – x2|, y2 = x1 + x2, y3 = x1 x2; x1, x2 [1, 10]

6 y1 = x1 sin(x2), y2 = x1 cos(x2); x1 [1, 10], x2 [-90°, +90°]

7 y1 = x1 x2 + x3, y2 = 2 y1; x1, x2, x3 [1, 10]

8 y1 = 1,5 x1 + |x2 – 2 x3|, y2 = x3 – y1; x1, x2, x3 [1, 10]

9 2

2

2

11 xxy , 1

22

x

xarctgy ; x1, x2 [-10, 10]

10 y1 = 2,3 x1 x2 – 0,5 2

1x + 1,8 x2, y2 = 2

1y ; x1, x2 [1, 10]

11 Y1 = X1 AND X2, Y2 = X1 OR X2, Y3 = NOT X1

12 Y = X1*X2 + X3*X4

13

14

15

16 у = 2 x1 + 5 x1 x2 + x2; x1, x2 [-5, 5]

17 у = sin x1 sin x2 sin x3 ; x1, x2, x3 [0, p]

18 у = 2 x1 cos x2, x1 [0,1], x2 [0, p]

19 у = x1 + x2 + x3, xi [0, 10]

70

У варіантах 1 – 10 і 16 – 19 необхідно за допомогою нейронної мережі

провести апроксимацію функції виду Y = f(X) на заданому інтервалі Х, де Х –

вектор вхідних змінних Х = {х1, х2…}, Y – вектор вихідних змінних. Діапазони

зміни вхідних змінних вказані в таблиці.

Варіанти 11 – 15: апроксимація логічних функцій декількох змінних Хi,

вихідна змінна Y – логічна. Розглядається вся область визначення функції.

1) Підготувати повчальну вибірку засобами додатку Microsoft Excel і оформити

її у вигляді файлу *.csv (для завдань апроксимації алгебраїчних функцій).

Примітка: Щоб створити набір випадкових чисел, скористайтеся

функцією: =СЛЧИС()*100. У сусідньому стовпці розрахуйте

значення заданої функції. Збережіть файл, вибравши розширення

.CSV.

2) Провести навчання декількох нейронних мереж за допомогою програмного

нейроімітатору.

Розглядаються п'ять варіантів мережі: MLP з кількістю нейронів в

прихованому шарі, рівному 1, 3, 5, 7 і функцією активації

«сигмоідна» (Logistic). Навчання кожної мережі вести, наприклад, в

100 кроків. Навчання вести по алгоритму зворотного

розповсюдження.

3) Перевірити якість кожної навченої мережі, для чого розрахувати декілька

значень вихідний змінної по заданій функції і по нейронній мережі, потім на

графіці показати близькість кожної навченої моделі до початкової.

4) Розрахувати уручну одне вихідне значення нейронної мережі (для MLP мережі

з п‟ятьма нейронами в прихованому шарі). Порівняти із значенням, розрахованим

за допомогою нейроімітатора.


Neural Network Wizard http://www.victoria.lviv.ua/

Neural Network Wizard 1.7 це програмний емулятор нейрокомп‟ютера. В

Neural Network Wizard реалізовано багатошарову нейронну мережу, що навчається

за алгоритмом зворотного поширення похибки (back propagation).

Підготовка вхідних даних

Дані для навчання мережі мають бути сформовані в текстовому файлі з

розділювачами (Tab або пробіл). Кількість прикладів повинна бути досить

великою і вибірка має бути репрезентативною. Крім того, потрібно забезпечити,

щоб дані були не суперечливі. Вся інформація повинна бути представлена в

числовому виді. Причому це стосується всіх даних. Якщо інформація

представляється в текстовому виді, то необхідно застосувати певний метод, щоб

перевести текстову інформацію у числову.

Робота з системою

Крок 1. Виберіть файл із навчальною вибіркою… Інформація, що міститься в

цьому файлі, використовується для навчання нейромережі. Можна відкрити txt-

файл для навчання, або nnw-файл – навчену нейромережу.

Рисунок 6.6 - Початок роботи системи

Крок 2. Задайте поля і їх властивості

Виберіть поле в списку і вкажіть, як його обробляти.

71

Використовувати поле як… Нейронна мережа складається з вхідного, вихідного і прихованого шарів.

Кількість нейронів у першому та останньому шарі залежить від того, які поля

позначаються як вхідні та вихідні. Поля, що відзначено позначкою "не

використовувати" у навчанні і тестуванні нейромережі застосовуватися не будуть.

Нормалізувати поле як…

На вхід нейромережі повинна подаватися інформація в нормалізованому виді.

Тобто це числа в діапазоні від 0 до 1. Можна вибрати наступні методи

нормалізації.

(X-MIN)/(MAX-MIN) - лінійна нормалізація.

1/(1+exp(ax)) - експонентна нормалізація.

Авто (х- )/a, 1/(1+exp(a)) - нормалізація, що заснована на статистичних

характеристиках вибірки

Без нормалізації - нормалізація не здійснюється

Параметри нормалізації… Задайте значення, що використовуються у формулах нормалізації.

Рисунок 6.7 - Поле та його властивості

Крок 3. Задайте параметр нейромережі

Число шарів нейромережі… Нейронна мережа складається з шарів – вхідного, вихідного і прихованих.

Необхідно вказати кількість прихованих шарів. Загального правила скільки

повинно бути таких шарів немає, зазвичай обирається 1-3 прихованих шарів. Чим

більш нелінійною є задача, тим більше прихованих шарів повинно бути.

Шари, число нейронів… В Neural Network Wizard всі елементи попереднього шару зв'язані з усіма

елементами наступного. Кількість нейронів у першому та останньому шарах

залежить від того, скільки полів вказано як вхідні та вихідні. Кількість нейронів в

кожному прихованому шару необхідно задавати. Загальних правил визначення

кількості нейронів немає, але необхідно, щоб число зв'язків між нейронами було

меншим за кількість прикладів в навчальній вибірці. Інакше нейромережа

втратить здатність до узагальнення, а просто "запам'ятає" всі приклади з

навчальної вибірки.

Параметр сигмоїди… Сигмоіда застосовується для забезпечення нелінійного перетворення даних.

У противному випадку, нейромережа може виділяти лише лінійно розділимі

множини. Чим вище параметр, тим більше перехідна функція є подібною на

порогову. Параметр сигмоіди підбирається емпірично.

72

Рисунок 6.8 - Параметри нейромережі

Крок 4. Задайте параметр навчання

Використовувати для навчання мережі % вибірки… Всі приклади, що подаються на вхід нейромережі, поділяються на дві

множини – навчальну та тестову. Задайте, скільки відсотків прикладів буде

використано в навчальній вибірці. Записи, що використовуються для тестування,

вибираються випадково, але пропорції зберігаються.

Швидкість навчання…

Параметр визначає амплітуду корекції ваг на кожному кроці навчання.

Момент (імпульс)… Параметр визначає ступінь впливу i-ої корекції ваг на i+1-ту.

Розпізнано, якщо помилка за прикладом <… Якщо результат прогнозування відрізняється від значення з навчальної

множини є меншим за вказану величину, то приклад вважається розпізнаним.

Використовувати тестову множину як валідаційну…

При встановлення цього прапорця, навчання буде припинено як тільки

помилка на тестовій множині почне збільшуватися. Видається відповідне

повідомлення. Це допомагає уникнути ситуації перенавчання нейромережі.

Критерії зупинки навчання… Необхідно визначити момент, коли навчання буде закінчено.

Рисунок 6.9 - Параметри навчання

Крок 5. Перевірте всі задані параметри

Рисунок 6.10 - Перевірка заданих параметрів

Крок 6. Запустіть навчання системи

Пуск навчання/зупинка навчання… Запустіть процес. В таблиці над кнопкою можна спостерігати, як міняється

помилка навчання.

Розподіл помилки…

73

У діаграмі відображається розподіл помилки. Зелені стовпці – помилка на

навчальній вибірці, червоні – на тестовій вибірці. Чим правіше стовпець, тим вище

значення помилки. Шкала від 0 до 1. Чим вище стовпець, тим більше прикладів із

зазначеною помилкою.

Розподіл прикладів у навчальній/тестовій вибірці… На цих графіках можна відслідковувати наскільки результати, що

спрогнозовані нейронною мережею збігаються зі значеннями в навчальній

(ліворуч) і тестовій (праворуч) вибірці. Кожен приклад позначено на графіку

точкою. Якщо точка попадає на виділену лінію (діагональ), то нейромережа

передбачила результат з досить високою точністю. Якщо точка знаходиться вище

діагоналі, значить нейромережа недооцінила результат, нижче – переоцінила.

Необхідно домагатися, щоб точки розташовувалися якнайближче до діагоналі.

Крок 7. Розрахуйте кінцевий результат

У наборі вхідних параметрів введіть числа і натисніть на кнопку

"Розрахунок". У таблиці «розраховані параметри» висвічується результат. Якщо

результати влаштовують, то натисніть на кнопку "Зберегти". Neural Network

Wizard зберігає всі параметри і налаштування у файлі з розширенням nnw.

Рисунок 6.11 - Запуск системи

Крок 8. Результат розрахунку знаходиться в файлі з розширенням .NNW. [Network]

TeachSpeed=0.1

Miu=0.5

Alpha=1

Epoch=27612

CountLayers=3

(кількість нейронів в шарах)

Layer_0=2

Layer_1=3

Layer_2=1

% (синаптичні ваги)

% W_i_j_k – ваги синапсів (i = номер шару - 2, j – номер нейрону, k – номер синапсу даного нейрона).

W_0_0_0=1.88436421955477

W_0_0_1=1.09436537111843

W_0_0_2=2.2901761847617

W_0_1_0=1.70436421955478

W_0_1_1=0.574365371118406

W_0_1_2=2.23017618476171

W_1_0_0=4.25597733015697

W_1_1_0=3.11238189250291

W_1_2_0=3.91917004197399

WT_0_0=-3.59276885024955

WT_0_1=-1.04124724491013

WT_0_2=3.82886355094158

WT_1_0=-4.77655231133209

74


ГРАФОАНАЛІТИЧНЕ РІШЕННЯ ЗАДАЧ ЕЛЕКТРОТЕХНІКИ

З НЕЛІНІЙНИМИ ЕЛЕМЕНТАМИ ( 001,0 )


Використовуючи чисельні методи наближення функцій і рішення нелінійних

рівнянь розв'язати задачі розділу: "Нелінійні кола постійного і змінного струму".

Визначити струми I1 і I2, якщо E1=5B,

E2=5B, E3=10B, R1=3Ом, R2=3Ом, R3=1 Ом

і вольтамперна характеристика

нелінійного елемента задана таблицею I:U

0:0; 1:2; 2:8; 4:32.

I

E2

E1

E3

U

R3

R2

R1

I2

I1

I3

Вольтамперна характеристика нелінійного

елемента представлена в таблиці. Визначити

струм Iн і напругу U при R=200Ом і I=14 А.

U, В 0 8 10 12 14 16 18

I, мА 0 1 3 9 20 48 120

U

IIH RH

В1) В2)

Визначити струм у нелінійному елемен-

ті при E=20В, R1=10 Ом, R2=15 Ом, R3=2Ом,

R4=6 Ом.R1 R2

R3 R4

EI

U, В

I, A0

10

20

30

421 3

ВАХ нелінійного елемента представлена

в таблиці. Визначити струм I і напругу Uн

при R=140Ом і U=20B.

U, В 0 8 10 12 14 16 18 20

I, мА 0 1 3 9 20 48 120 330

Uн

I

R

U

В3) В4)

Визначити напругу в нелінійному еле-

менті при R1=3Ом, R2=4 Ом, R3=8 Ом, R4=16

Ом, J=2A.R 1

R 2

R 3

R 4

I

J

U

U, В

I, A0 20 40

4

2

Дві групи ламп включені послыдов-

но.Визначити напруги на кожній групі, як-

що U=220В.

Характеристики ламп різних груп

U, B 0 20 40 60 80 100 120 140

I1, A 0 0,10 0.16 0,20 0,24 0,27 0,30 0,33

I2, A 0 0,24 0,32 0,38 0,44 0,49 0,54 0,58

1 1n m

U

В5) В6)

Визначити струм у нелінійному еле-

менті, якщо E=25 B, R=2 Ом.

0 R

E

IR R

1 2 3 4

10

20

30

U, B

I, A

Визначити струм у нелінійному елементі,

якщо E=30 B, R1=5 Ом, R2=10 Ом.

2 4 6 80

10

20

30

E

R1 R2

I

I, A

U, B

В7) В8)

75

На малюнку представлені вольтамперні

характеристики двополюснику – крива 1 і

нелінійного елемента - крива 2. Визначити

напругу U , якщо Iх=1,2А, а також IR при

U=2В. Опір R=1 Ом.

U

U(I)R

Rx

IR

Ix1

2

0

20

40

0,5 1,5

U, B

I, мA

Дано: R1=R3=1 Ом,

R2=R4=2 Ом, Uвх=200 В.

Визначити Uвих і Iвих.

Вольтамперна характе-

ристика нелінійного

опору наведена в табл.

U, B 0 8 10 12 14

I, мА 0 1 3 9 20

U, B 15 16 17 18 19

I, мА 30 48 75 120 207

R1

R2

R4

R3

Uвх

В9) В10)

Послідовно з лінійним опором R=7Ом

включено n ламп накалювання з однаковими

ВАХ. При якій загальній напрузі U напруга на

лампі буде дорівнювати напрузі на опорі R?

U

R

nU, B100

I, A

5

0

1

N нелінійних опорів з ВАХ-1 і m нелі-

нійних опорів з ВАХ-2 з'єднані паралельно.

Визначити струм у нерозгалуженій частині

ланцюга, якщо струм в елементі з ВАХ-2 до-

рівнює 0,2 А.

U, B

100

I, A0

0,8 1,20,4

1

2

В11) В12)

n+1 однакових

нелінійних опорів

з вольтамперною

характеристикою,

приведеною на

малюнку, з'єднані

паралельно. Визначити струм I у

нерозгалуженій частині ланцюга, якщо

напруга на лампах дорівнює 50B.

0

2

4

6

50 150

I, A

U, B

Два нелінійних елементи 1 і 2, ВАХ

яких зображені на малюнку, з'єднані послі-

довно. Напруга на першому елементі дорів-

нює U1=200 В.

Чому дорівнює

напруга на дру-

гому елементі?

0,6

0,4

0,2

U, B100 300

I, A

0

2

1

В13) В14)

n+2 ламп з однаковими ВАХ з'єднані

змішано. При якій загальній напрузі U напру-

га на рівнобіжній ділянці буде дорівнювати-

ме 10В ?

U, В

I, A

0,6

0,4

40 60 800

0,2n+1

n+2

1

U

Визначити струм у НО і потужність, на

ньому. Параметри ланцюга: Е=10В, Jk =2 A,

R1=4 Ом, R2=2 Ом, R3=3 Ом, R4=2 Ом, ВАХ

НО задано.

НС

R4

Jk

E

R1

R3

R2

I, A

U, B4 8 10

2

0

4

В15) В16)

76

Визначити струм у ланцюгу до розвітв-

лення, що містить однакові лампи. ВАХ ла-

мпи приведена на малюнку, напруга джерела

U=50В.

U, В

I, А

0,4

040 80 120 160

0,2

0,6

3

1 2

U

I

У ланцюзі з баретером визначити вели-

чину опорів Rд і R1, якщо стабілізований

струм I в опорі R=3 Ом повинний дорівню-

вати 0,6 А. Характеристика баретера на ро-

бочій ділянці ленійна і має координати 5 В,

0,8 А и 12 В, 0,9 А, E=24 В.

IRд

UR1E R

В17) В18)

ВАХ нелінійних

елементів приведені в

таблиці. Визначити по-

тужність нарезисторі R

при різних положеннях

ключа

U, B 0 20 40 60 80 100

I1, A 0 0,1 0,16 0,2 0,24 0,27

I2, A 0 0,24 0,32 0,38 0,44 0,49

UR=80+10n B, U=180+10m B.

R1(I)

R2(I)

U

R

Дано: Е=10В, Jk=5 A, R1=1 Ом, R2=2

Ом, ВАХ НО задана на малюнку. Визна-

чити струм у НО і значення статистичного

опору Rст.

4 8

2

0 U, B

I, A

Jk

НС

Е R1

R2

В19) В20)

Дано: E=10В, R=20 Ом, J=1 A. Визна-

чити струм I у нелінійному опорі

R

E HС J

U, В

I, A0 20 40

4

2

У ланцюзі U=10В; R1=R3=2 Ом; R2=

=R4=1 Ом. Визначити струм In.

I,А1 20

10

20

30

U,В

U

R1

R2

R3 R4

I2

InI1

I3I4

В21) В22)

Дано: R1=R2=1Ом; R3=3 Ом; R4=1 Ом;

E=10 В. Розрахувати струм у нелінійному

опорі, ВАХ якого задана на малюнку.

U, В

I, А

2

0

4

2 4

R1

R2 R3R4E

Визначити струми у всіх вітках схеми.

ВАХ HО1 і HО2 однакові і задані на малю-

нку. E=10В, Ik=2 A, R1=4 Ом, R2=2 Ом,

R3=3 Ом.

R1

R3

2

HC1

Ik

HC2E

R

2

4

2

6 10

I, A

U, B0

В23) В24)

77


ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РОЗРАХУНКУ ВИЗНАЧЕНИХ ІНТЕГРАЛІВ


Чисельне інтегрування виконується на підставі відомого ряду значень

підінтегральної функції:

f(x1)=y1, f(x2) = y2, ... f(xn) = yn.

Значення інтегралу Z одержують за квадратурною формулою: n

i

iinn yAyAyAyAZ1

2211 .... (8.1)

Числові значення коефіцієнтів Ai і похибки формули залежать від

кількості точок на інтервалі інтегрування (n) і від їх розташування.

Отже, методи чисельного інтегрування засновані на апроксимації

підінтегральної функції за допомогою інтерполяційних поліномів.

Метод трапецій використовує лінійну інтерполяцію, тобто графік функцій

)(xfy представляється у вигляді ламаної, з'єднуючої точки (xi,yi). У цьому

випадку площа всієї фігури (криволінійної трапеції) складається з площ

елементарних криволінійних трапецій.

Нехай підінтегральна функція задана двома точками на кінцях інтервалу

інтегрування довжиною h

y1 = f(a); y2 = f(b); h = b – a

Через дві задані точки можна однозначно провести графік полінома не

вище першого ступеня.

Площа трапеції дорівнює добутку напівсуми

основ на висоту

)()(2

bfafh

z (8.2)

тому А1=А2=h/2 і відповідно квадратурна формула hab

a

bfafh

dxxf )()(2

)( (8.3)

і називається формулою трапеції.

Загальна формула трапецій для декількох

елементарних областей з постійним кроком:

)2

...2

()( 21

0 nb

a

yyy

yhdxxf (8.4)

т.я. ...)(2

)(2

3221 yyh

yyh

Z ,n

abh

де yi = f(xi) (i = 0,1,2,3…n).

Відрізок [a,b] розбивається на n рівних частин системою точок

xi=x0 + ih (i=1,2,3…n)

x0 = a

xn = b

Формула трапеції дає точне значення інтеграла, коли підінтегральна

функція f(x) лінійна.

Оцінка похибки формули трапецій

12

2habMR (8.5)

де )(''max],[

xfMbax

, вважаючи, що на всьому інтервалі інтегрування друга похідна

постійна.

Формула Симпсона. Розіб'ємо відрізок інтегрування [a, b] на парне число n

рівних частин із кроком h. На кожному відрізку підінтегральну функцію замінимо

інтерполяційним поліномом другого ступеня:

a bh

y1

y2

x

f(x)

Рисунок 8.1

78

11

2 ,)()( iiiiii xxxcxbxaxxf

У якості )(xi приймають інтерполяційний поліном Лагранжа другого

ступеня, що проходить через точки ),(),,(),,( 111111 iiiiiiiii yxMyxMyxM :

1

111

1

11

11

1

111

1

))((

))((

))((

))((

))((

))(()( i

iiii

iii

iiii

iii

iiii

iii y

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxy

xxxx

xxxxx

Елементарна площа Si може бути обчислена за допомогою визначеного

інтеграла. З огляду на рівності hxxxx iiii 11 , одержуємо:

1

1

1

1

1111112)( ))(())((2))((2

1 i

i

i

i

x

x

iiiiiiiii

x

x

xii dxyxxxxyxxxxyxxxxh

dxS

)4(3

11 iiii yyyh

S .

Провівши обчислення для кожного елементарного відрізка [xi-1, xi+1],

отримаємо

)42...2424(3

1243210 nnn yyyyyyyyh

S

або

))...(2)...(4(3

)( 2421310 nnn

b

a

yyyyyyyyh

dxxf (8.6)

Оцінка похибки формули Симпсона

180

4habMR (8.7)


Для заданої функції обчислити визначений інтеграл за формулами трапецій і

Симпсона. Оцінити похибку кожного результату.

Варіант Підінтегральна функція нижня межа верхня межа

1 (1.5*Х2+)/(Х

5+1) .00 1.20

2 (Х-Х3)/(Х

4+2) 2.00 4.40

3 (2.2*Х+1.7)/(3.1*Х3+9.3*Х

2) 1.00 2.20

4 (Х2-4.1)/(Х

4+1) .00 1.20

5 (3.5*Х2+Х)/(Х

5+2) .00 1.20

6 (1-3.7*Х)/(Х3+Х) 2.00 4.40

7 (Х3+4.5)/(Х

5+5.4) 1.00 2.80

8 (2.4-Х2)/(Х

3+8.1*Х) 1.00 3.40

9 (5.2*Х+4.8)/(4.5*Х3+4.1) 1.00 2.20

10 (Х2-3.7)/(Х

5+1) .00 1.80

11 (3.3*Х-2.8)/(4.5*Х3+7.4) 2.00 3.20

12 (Х-1.8)/(Х4+5.1) .00 1.20

13 (4.2*Х2-8.1)/(Х

5+3.8) 1.00 2.80

14 (1.6*Х-3.8)/(1.2*Х5+1.7) 2.00 3.20

15 (Х2-4.9)/(Х

4+1.8) 1.00 2.20

16 (Х2+1.5*Х)/(Х

3+7.1) 1.00 3.40

17 (1.8*Х-3.9)/(Х5+2.1) .00 1.80

18 (Х2+1.8)/(Х

5+7.9) 2.00 4.40

19 (3.8*Х-7.5)/(2.5*Х5+2) .00 1.20

20 (1.8*Х3-1)/(Х

3+7.1) 1.00 2.20

21 (3.1*Х+2.1)/(Х5+2) 2.00 3.20

22 (Х2-6.1)/(Х

4+2.4) 1.00 3.40

23 (1.8-Х)/(Х3+4.8) 2.00 4.40

24 (Х2+1.9)/(Х

4+3.1) .00 1.20

25 (Х+3.8)/(Х5+7.1) 1.00 2.20

26 (3*Х2-1.2)/(Х

5+1) 2.00 3.20

27 (Х-1.8)/(Х3+0.6) .00 1.20

79

28 (Х2+1.6)/(Х-1.2) 1.00 2.20

29 (Х3-4.5)/(Х+1) 2.00 3.20

30 (Х4+2.7)/(Х

2-0.9) .00 1.80

31 (1.5*Х2)/(Х

5+1) .00 1.20

32 (Х-Х3)/(Х

4+2) 2.00 4.40

33 (2.2*Х+1.7)/(3.1*Х3+9.3*Х

2) 1.00 2.20

34 (Х2-4.1)/(Х

4+1) .00 1.20

35 (3.5*Х2+Х)/(Х

5+2) .00 1.20

36 (1-3.7*X)/(X3+X) 2.00 4.40

37 (X3+4.5)/(X

5+5.4) 1.00 2.80

38 (2.4-X2)/(X

3+8.1*X) 1.00 3.40

39 (5.2*X+4.8)/(4.5*X3+4.1) 1.00 2.20

40 (X2-3.7)/(X

5+1) .00 1.80

41 (3.3*X-2.8)/(4.5*X3+7.4) 2.00 3.20

42 (X-1.8)/(X4+5.1) .00 1.20

43 (4.2*X2-8.1)/(X

5+3.8) 1.00 2.80

44 (1.6*X-3.8)/(1.2*X5+1.7) 2.00 3.20

45 (X2-4.9)/(X

4+1.8) 1.00 2.20

46 (X2+1.5*X)/(X

3+7.1) 1.00 3.40

47 (1.8*X-3.9)/(X5+2.1) .00 1.80

48 (X2+1.8)/(X

5+7.9) 2.00 4.40

49 (3.8*X-7.5)/(2.5*X5+2) .00 1.20

50 (1.8*X3-1)/(X

3+7.1) 1.00 2.20

51 (3.1*X+2.1)/(X5+2) 2.00 3.20

52 (X2-6.1)/(X

4+2.4) 1.00 3.40

53 (1.8-X)/(X3+4.8) 2.00 4.40

54 (X2+1.9)/(X

4+3.1) .00 1.20

55 (X+3.8)/(X5+7.1) 1.00 2.20

56 (3*X2-1.2)/(X

5+1) 2.00 3.20

57 (X-1.8)/(X3+0.6) .00 1.20

58 (X2+1.6)/(X-1.2) 1.00 2.20

59 (X3-4.5)/(X+1) 2.00 3.20

60 (X4+2.7)/(X

2-0.9) .00 1.80

61 (1.5*X2+)/(X

5+1) .00 1.20

62 (X-X3)/(X

4+2) 2.00 4.40

63 (2.2*X+1.7)/(3.1*X3+9.3*X*X) 1.00 2.20

64 (X2-4.1)/(X

4+1) .00 1.20

65 (3.5*X2+X)/(X

5+2) .00 1.20

66 (1-3.7*X)/(X3+X) 2.00 4.40

67 (X3+4.5)/(X

5+5.4) 1.00 2.80

68 (2.4-X2)/(X

3+8.1*X) 1.00 3.40

69 (5.2*X+4.8)/(4.5*X3+4.1) 1.00 2.20

70 (X2-3.7)/(X

5+1) .00 1.80

71 (3.3*X-2.8)/(4.5*X3+7.4) 2.00 3.20

72 (X-1.8)/(X4+5.1) .00 1.20

73 (4.2*X2-8.1)/(X

5+3.8) 1.00 2.80

74 (1.6*X-3.8)/(1.2*X5+1.7) 2.00 3.20

75 (X2-4.9)/(X

4+1.8) 1.00 2.20

76 (X2+1.5*X)/(X

3+7.1) 1.00 3.40

77 (1.8*X-3.9)/(X5+2.1) .00 1.80

78 (X2+1.8)/(X

5+7.9) 2.00 4.40

79 (3.8*X-7.5)/(2.5*X5+2) .00 1.20

80 (1.8*X3-1)/(X

3+7.1) 1.00 2.20

81 (3.1*X+2.1)/(X5+2) 2.00 3.20

80


ЧИСЕЛЬНІ МЕТОДИ РІШЕННЯ ДИФЕРЕНЦІЙНИХ РІВНЯНЬ


Часто серед всіх рішень диференціального рівняння потрібно знайти те, що

задовольняє умовам: у=у0 при х=х0, де х0, у0 – задані числа. Геометрично це

означає, що потрібно знайти інтегральну криву, що проходить через задану точку

площини М (х0, у0). Визначення подібних умов називається завданням початкових

умов і записується так 00 )( yxy .

Задача перебування часткового рішення, що задовольняє початковим

умовам, називається задачею Коші.

У залежності від способу завдання додаткових умов для одержання

часткового рішення диференціального рівняння існує два типи задач: задача Коші;

крайова задача (якщо додаткові умови задаються більш ніж в одній точці, тобто

при різних значеннях незалежної змінної).

Метод Эйлера.

Геометрично задача Коші означає, що потрібно

знайти інтегральну криву )(xyy , яка проходить через

задану точку М0(х0, у0).

Метод Эйлера - найпростіший чисельний метод

рішення задачі Коші для звичайного диференціального

рівняння, що дає рішення у виді таблиці наближених

значень функції )(xy .

Припустимо, що є диференційне рівняння з початковою умовою:

),(' yxfy , 00 )( yxy .

Вибравши крок h , побудуємо, починаючи з точки

0x систему рівновіддалених вузлів

,...)2,1,0(,0 iihxx i

Моkо – шукана інтегральна крива.

Розглянемо діапазон (x0,x1): замість

інтегральної кривої Моkо беремо відрізок дотичної

до неї (МоМ1) рівняння якої: )(),( 0000 xxyxfyy

При х = х1 одержимо наближене значення рішення )(),( 010001 xxyxfyy

Наступна ділянка (x1, х2): замість інтегральної кривої МоКо беремо відрізок

дотичної М1М2 до інтегральної кривої М1К1, яка проходить через точку М1.

Рівняння дотичної )(),( 1111 xxyxfyy

і при х = х2 : )(),( 121112 xxyxfyy

При цьому шукана інтегральна крива )(xyy , яка проходить через точку

М0(х0, у0) заміняється ламаною МоМ1М2 … з вершинами Мі (хі, уі); кожна ланка

МіМі+1 цієї ломаної називається ламаною Эйлера, має напрям співпадаючий з

напрямом тієї інтегральної кривої рівняння ),(' yxfy , яка проходить через точку

Мі. Якщо задана умова hxx ii )( 1 , то загальна формула має вид:

hyxfyy nnnn ),( 111

Метод Эйлера має малу точність, до того ж похибка кожного нового кроку,

систематично зростає.

Практична оцінка похибки.

Визначається подвійним прорахунком із кроком h і h/2. Збіг десяткових

знаків в отриманих двома способами результатах дає підстави вважати їх вірними.

0x x

y

0y0M )(xyy

0x x

y

0y0M

1x

1y

1M

2x

2y2M

1k2k

0k

81

hxxC

R n 02

де )(// xyC , приймається постійною на всьому інтервалі )( 0 nxxx .

Приклад:

1,0,1)0(,/ hуху

хуу

Обмежитися визначенням перших чотирьох значень y .

х0 = 0 у0 = 1 (виходячи з початкових умов).

х0 = 0

х1 = 0 + h = 0 + 0,1 = 0,1

х2 = 0,1 + h = 0,2

х3 = 0,3

х4 = 0,4

Відповідні значення шуканої функції:

1,101

011.01),( 0001 yxfhyy ; 183,1

1.01.1

1.01.11.01.1),( 1112 yxfhyy ;

254,12.0183.1

2.0183.11.0183.1),( 2223 yxfhyy ;

315,13.0254.1

3.0254.11.0254.1),( 3334 yxfhyy .

Таблиця значень:

x 0,1 0,2 0,3 0,4 y 1,1 1,183 1,25 1,32


Розв'язати диференціальне рівняння Y'=F(X)

Варіант )(xf Інтервал інтегрування Початкова умова Похибка

1 1+.2*Y*SIN(X)-Y2 .00 .50 .00 .01

2 COS(X+Y)+2.5*(X-Y) .00 .60 .00 .02

3 (1-Y*Y)*COS(X)+2.6*Y .00 1.00 .00 .05

4 COS(1.5*X+Y)+X-Y .00 .50 .00 .01

5 1-SIN(X-Y)+1.5*(X-Y) .00 .60 .00 .02

6 .6*SIN(X)-1.2*Y*Y .00 1.00 .00 .05

7 COS(2*X+Y)+1.5*(X-Y) .00 .60 .00 .02

8 1+.8*Y*SIN(X)-2*Y*Y .00 1.00 .00 .05

9 COS(X+3*Y)+X-Y .00 .50 .00 .01

10 .5*X*Y .00 1.00 1.00 .00

11 X2-Y

2 .00 1.00 .00 .01

12 1-X*Y2 .00 1.00 .00 .01

13 SQRT(X)-.7*Y*Y 2.00 3.00 1.00 .05

14 -SQRT(X*Y)+1.5 2.00 3.00 2.00 .02

15 .5*X-X*X*Y 3.00 4.00 1.00 .05

16 SQRT(X3)+4 4.00 5.00 .00 .05

17 SQRT(3*X*Y)+Y2 1.00 2.00 .00 .05

18 X2-X*Y .00 1.00 .00 .01

19 SQRT(X4+4)+7 .00 1.00 .00 .05

20 X+.8*Y2 .00 1.00 1.00 .01

21 SQRT(X*Y2+.7*X) .00 1.00 .00 .02

22 1+X-Y2 .00 1.00 1.00 .02

23 X2-Y

2 1.00 2.00 .00 .01

24 -X*Y-.1*Y2 .00 2.00 1.00 .05

25 X3-Y

2 .00 3.00 1.00 .05

26 EXP(X)-Y2 1.00 2.00 .00 .05

27 X*LOG(Y)-Y*LOG( X) 2.00 2.50 1.00 .05

28 2*Y-X+COS(X) .00 1.00 .00 .05

82

29 2*X+COS(Y) 3.00 4.00 .00 .03

30 COS(X)*SIN(Y)+X*Y .00 1.00 1.50 .05

31 1+.2*Y*SIN(X)-Y2 .00 .50 .00 .01

32 COS(X+Y)+2.5*(X-Y) .00 .60 .00 .02

33 (1-Y*Y)*COS(X)+2.6*Y .00 1.00 .00 .05

34 COS(1.5*X+Y)+X-Y .00 .50 .00 .01

35 1-SIN(X-Y)+1.5*(X-Y) .00 .60 .00 .02

36 .6*SIN(X)-1.2*Y*Y .00 1.00 .00 .05

37 COS(2*X+Y)+1.5*(X-Y) .00 .60 .00 .02

38 1+.8*Y*SIN(X)-2*Y*Y .00 1.00 .00 .05

39 COS(X+3*Y)+X-Y .00 .50 .00 .01

40 .5*X*Y .00 1.00 1.00 .00

41 X2-Y

2 .00 1.00 .00 .01

42 1-X*Y2 .00 1.00 .00 .01

43 SQRT(X)-.7*Y*Y 2.00 3.00 1.00 .05

44 -SQRT(X*Y)+1.5 2.00 3.00 2.00 .02

45 .5*X-X*X*Y 3.00 4.00 1.00 .05

46 SQRT(X3)+4 4.00 5.00 .00 .05

47 SQRT(3*X*Y)+Y2 1.00 2.00 .00 .05

48 X2-X*Y .00 1.00 .00 .01

49 SQRT(X4+4)+7 .00 1.00 .00 .05

50 X+.8*Y2 .00 1.00 1.00 .01

51 SQRT(X*Y2+.7*X) .00 1.00 .00 .02

52 1+X-Y2 .00 1.00 1.00 .02

53 X2-Y

2 1.00 2.00 .00 .01

54 -X*Y-.1*Y2 .00 2.00 1.00 .05

55 X3-Y

2 .00 3.00 1.00 .05

56 EXP(X)-Y2 1.00 2.00 .00 .05

57 X*ALOG(Y)-Y*ALOG( X) 2.00 2.50 1.00 .05

58 2*Y-X+COS(X) .00 1.00 .00 .05

59 2*X+COS(Y) 3.00 4.00 .00 .03

60 COS(X)*SIN(Y)+X*Y .00 1.00 1.50 .05

61 1+.2*Y*SIN(X)-Y2 .00 .50 .00 .01

62 COS(X+Y)+2.5*(X-Y) .00 .60 .00 .02

63 (1-Y*Y)*COS(X)+2.6*Y .00 1.00 .00 .05

64 COS(1.5*X+Y)+X-Y .00 .50 .00 .01

65 1-SIN(X-Y)+1.5*(X-Y) .00 .60 .00 .02

66 .6*SIN(X)-1.2*Y*Y .00 1.00 .00 .05

67 COS(2*X+Y)+1.5*(X-Y) .00 .60 .00 .02

68 1+.8*Y*SIN(X)-2*Y*Y .00 1.00 .00 .05

69 COS(X+3*Y)+X-Y .00 .50 .00 .01

70 .5*X*Y .00 1.00 1.00 .00

71 X2-Y

2 .00 1.00 .00 .01

72 1-X*Y2 .00 1.00 .00 .01

73 SQRT(X)-.7*Y*Y 2.00 3.00 1.00 .05

74 -SQRT(X*Y)+1.5 2.00 3.00 2.00 .02

75 .5*X-X*X*Y 3.00 4.00 1.00 .05

76 SQRT(X3)+4 4.00 5.00 .00 .05

77 SQRT(3*X*Y)+Y2 1.00 2.00 .00 .05

78 X2-X*Y .00 1.00 .00 .01

79 SQRT(X4+4)+7 .00 1.00 .00 .05

80 X+.8*Y2 .00 1.00 1.00 .01

81 SQRT(X*Y2+.7*X) .00 1.00 .00 .02

82 1+X-Y2 .00 1.00 1.00 .02

83 X2-Y

2 1.00 2.00 .00 .01

83

-EK

R1 RК

R2RЭ

Рис.1


ЗАСТОСУВАННЯ ЧИСЕЛЬНИХ МЕТОДІВ НАБЛИЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

І РІШЕННЯ НЕЛІНІЙНИХ РІВНЯНЬ ПРИ РОЗРАХУНКАХ ЗАДАЧ З

КУРСУ "ЕЛЕКТРОНІКА".


Розрахунок імпульсного підсилювача для забезпечення режиму підсилення і

завдання відповідної точки спокою на постійному струму.

Алгоритм розрахунку імпульсного підсилювача.

Дано: Ек(В), Rк(кОм). Статичний коефіцієнт передачі

струму ( DC), коефіцієнт підсилення КU. Координати

робочої точки Iк(мА), Uкэ(В) визначаються згідно

статичних вхідних і вихідних характеристиках

транзистора.

Рішення:

1) KKRk RIU

2) Сумарна напруга емітера:

так як ЭRкККЭ UUEU , то RкКЭКЭ UUEU

3) DC

КБ

II ,

4) БКЭ III

5) при КU<11, U

НЭ

Э

НU

K

RR

R

RK

6) ЭЭRэ RIU ;

7) для стабільної роботи схеми необхідне дотримання умови: БR II )105(2 .

8) 0БЭЭБ UUU , де )()(0 ВХВХБЭ UfIтикихарактерисзнапругапороговаU

9) 2

2R

Б

I

UR , 10)

2

1RК

ЭK

II

UER .


1. На статичних характеристиках транзистора МП40 побудувати пряму

навантаження по постійному струму. Вибрати робочу точку для забезпечення А

класу підсилення.

2. З використанням чисельних методів наближення функцій і рішення нелінійних

рівнянь визначити координати робочої точки.

3. Розрахувати параметри імпульсного підсилювача DC, КU, URk, UЭ, Rэ, R1, R2.

Варіант

Параметр 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Eк, В 15 15 15 30 30 30 25 25 25 25

Rк, Ом 1000 1200 850 1000 1200 850 1000 1500 850 510

10

20

30

40

-4 -8 -12 -16

IБ=0,4

IБ=0,8

IБ=1,2

UКЭ,В

IК,мА

0UБЭ,В

IБ,мА

-0,1 -0,20

0,5

1,0

UКЭ= -5В

84

Варіант

Параметр 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Eк, В 10 10 10 28 28 28 20 20 20 20

Rк, Ом 1000 1200 850 1000 1200 850 1000 1500 850 510

Варіант

Параметр 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30

Eк, В 15 15 15 30 30 30 25 25 25 25

Rк, Ом 900 950 550 900 950 550 900 950 550 500

Варіант

Параметр 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40

Eк, В 10 10 10 28 28 28 20 20 20 20

Rк, Ом 900 950 550 900 950 550 900 950 550 500

Варіант

Параметр 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50

Eк, В 9 9 9 10 100 10 35 35 35 35

Rк, Ом 1000 1200 850 1000 1200 850 1000 1500 850 510

Варіант

Параметр 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

Eк, В 9 9 9 10 100 10 35 35 35 35

Rк, Ом 900 950 550 900 950 550 900 950 550 500

Варіант

Параметр 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70

Eк, В 15 15 15 30 30 30 25 25 25 25

Rк, Ом 850 960 560 1000 1500 600 2000 750 450 540

85

РЕКОМЕНДОВАНА ЛІТЕРАТУРА:

1. Ю.Г. Толстов, А.А. Теврюков. Теория электрических цепей. Учеб. пособие для

электротехнич. и радиотехн. Специальностей вузв. М., “Высшая школа”, 1971. –

296с.

2. Ильин В.П. Численные методы решения задач элекрофизики. – М.: Наука.

Главная редакция физико-математической литературы, 1985 –336с.

3. Калиткин Н.Н. Численные методы. –М.: Наука. Главная редакция физико-

математической литературы, 1978. –512с.

4. Копченов Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах.

М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1972. – 368с.

5. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учебное пособие. – М.: Наука.

Главная редакция физико-математической литературы, 1987. –320с.

6. Данко П.Е, Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. Часть 1,2.

Издание 2. Учебное пособие для втузов. –М.: “Высшая школа”, 1974.

7. Воробьева Г.Н., Данилова А.Н. Практикум по численным методам. –М.:

Высшая школа, 1979. –184с.

8. Методические указания к решению задач и расчетное задание по курсу

“Специальные главы высшей математики”. Часть 1. / Э.Г. Файнштейн. – Кривой

Рог: Ротапринт КГРИ, 1981.

9. Тетельбаум И.М. Электрическое моделирование. Государсвтенное издательство

физико-математической литературы. -Москва. -1959.

Documents

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА 1ee.knu.edu.ua/Shchokin/MZEE/Metod_MZEE_12.pdf · Спосіб введення векторів є ідентичним введенню матриці,