teta.at.ua · 2 ЗМІСТ Розділ 1. Лінійна алгебра 1.1. Матриці та дії над ними. 3 1.2. Визначники. Мінори

2

ЗМІСТ Розділ 1 Лінійна алгебра 11 Матриці та дії над ними 3 12 Визначники Мінори Алгебраїчні доповнення 6 13 Обернена матриця 10 14 Системи лінійних рівнянь Метод КрамераМатричний метод 13 Розділ 2 Аналітична геометрія 21 Прямокутні координати на площині 17 22 Пряма і площина в просторі 20 23 Криві лінії другого порядку 23 Розділ 3 Основи теорії границь 31 Функція Основи елементарної функції 26

32 Границя функції Застосування правил розкриття невизначеностей утворених алгебраїчними виразами 28

33 Дві визначні та три необхідні границі 31 34 Неперервність та розриви функцій 34 Розділ 4 Диференційне числення функцій однієї змінної 41 Основні правила та формули диференціювання 37 42 Особливі випадки диференціювання 40

43 Диференціал функції Застосування диференціалу до наближеного обчислення функції 42

44 Застосування похідної до дослідження динаміки функції 44 Розділ 5 Диференційне числення функцій багатьох змінних 51 Частинні похідні функції багатьох змінних 47 52 Градієнт функції та похідна функції у напрямку вектора 48

53 Застосування функції двох змінних до знаходження наближеного значення функції 51

54 Екстремум функції двох змінних 53 Розділ 6 Інтегральне числення 61 Невизначений інтеграл Основні методи інтегрування 55

62 Інтегрування виразів що містять у знаменнику квадратний тричлен Інтегрування раціональних дробів 57

63 Інтегрування деяких тригонометричних виразів 59 64 Визначений інтеграл Формула Ньютона-Лейбніца 61 65 Геометричне застосування визначеного інтегралу 63 Розділ 7 Диференційні рівняння 71 Рівняння з відокремлюваними змінними 65 72 Однорідні диференційні рівняння 66 73 Лінійні диференційні рівняння 67 Розділ 8 Ряди 81 Ряд геометричної прогресії Необхідна умова збіжності ряду 69 82 Ознаки збіжності рядів 71 ДОДАТКИ

3

РОЗДІЛ 1 ЛІНІЙНА АЛГЕБРА sect11 Матриці та дії над ними

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ

П р и к л а д Дано матриці А та В

102353

021А

2135411010

В

знайти матриці а) ВА б) А4 в) ТА г) ВА д) АВ е) 2А

а)

111298011

2110325345113

001201ВА

б)

408

122012084

140424345434

0424144 А

в)

130052231

102353

021 Т

ТА

г)

102353

021ВА

2135411010

215002114012311100223550313451333115032052011042113011201

23319264610722

д)

2135411010

АВ

102353

021

123103025123223113153401105542112534111

103100005120203110

4

112174211353

е)

102353

0212 ААА

102353

021

113002015022213012133503035523233513103201005221203211

1401219126125

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ

11 Для матриць А та В

14

21А

3725

В знайти матриці

а) ВА б) А4 в) ТА г) ВА д) АВ е) 2А

12 Виконати множення матриць АВ та ВА якщо

631123

А і

274431

В

13 Для матриць

73

111А та

1829


а) ВА212 б) ВАВ 2 в) АВА 42


212

241130

А

5342019111




123454321

А

314251421


5



51

32А та

3729

В перевірити чи справджуються

формули скороченого множення а) 222 2 bababа б) 22 bababа

Виконати дії в наступних прикладах

17 2

1432

4312

18 2

74119

7365

19

102243581

102243581 2

110

Т

132201

472

132201

472 2

111

4312

2431

86012

21

112

4315

2137

36012

31

113

8024

21

2318

4137

114

3096

31

5718

4157

115

31

207

645342

732514

116

645342

153642541

4732514

6

117

3120

7

617342

739564

118

152670541

4

695443

782536

Індивідуальне завдання

Виконати дії

01423

12

121543543

71451321

nn

nnnn

nn

n

де n ndash остання цифра номера студента за списком

Теми рефератів 1 Дії над матрицями та їх властивості 2 Застосування матричного числення при розвrsquoязуванні прикладних задач

sect12 Визначники Мінори Алгебраїчні доповнення

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д 1 Обчислити визначники другого та третього порядку

7041223221

43

536352234

633232554

532433652 1843036605412100

П р и к л а д 2 Дано матрицю

536352234

А

Обчислити мінори 12М і 22М та алгебраїчні доповнення 12А і 22А

818105632

12 М 3212205624

22

М

81810635215632

1 321

12 А

7

321220265415624

1 422

22

А

П р и к л а д 3 Обчислити визначник розкладаючи його за елементами третього рядка

2173

1113153

123257

141124321573

332313

44172311115331225371463118

П р и к л а д 4 Обчислити визначник четвертого порядку

6142302151032121

Додамо перший рядок до другого і четвертого утворивши визначник

8021302170242121

Переставимо місцями перший і третій стовпчики

812032074202121

1

Додамо другий рядок до третього і четвертого рядків і винесемо спільний множник елементів третього та четвертого рядків

5100210074202121

35

153001050074202121

Віднявши третій рядок від четвертого одержимо

8

90312115

3000210074202121

35


Обчислити визначники в наступних завданнях

119 12743

120 11409

121 7564

122 2817

123 51

116

124

2843

125 537356235

126 158269374

127 538412235

128 963852

741

129 017356295

130

4713221543

131 252

1433825

132

562413387

133 447321

6511 134

5143102213

135 232

5129193

136

3427653320

9

137

2511122122321241

138

2311122221301201

Обчислити мінори та алгебраїчні доповнення в наступних завданнях

139 2113501354

140 1260314412

141

2622121123041254

142

3011150442321246

Обчислити визначник розкладаючи його за елементами рядка або стовпця в наступних завданнях

143 213

117

144

1071433

145 631

1582321

146

1310814422

147

2130162205041231

148

2622526124311254



1) 51

1nn 2)

nnn

nn

32712

22 3)

26152412411225

nn

nnn

n


10

Теми рефератів 1 Основні властивості визначників та їх застосування 2 Правило Лапласа

sect13 Обернена матриця


П р и к л а д 1 Знайти матрицю обернену до заданої

321433152

А

Обчислимо визначник матриці А і алгебраїчні доповнення всіх елементів

68321433152

173243

11

А 53143

12 А 92133

13

А

173215

21 А 73112

22

А 132152

23 А

174315

31

А 11

4312

32

А 2133

5233

А

Обернена матриця має вигляд

21191175

171717

6811А

Матриця 1А знайдена правильно тому що ЕАА 1 тобто

21191175

171717

681

321433152

1АА

213112171137217193521712141131731473173945317321111517211751729155172

681

100010001

680006800068

681

11

П р и к л а д 2 Розвrsquoязати матричне рівняння

74

9535

21X

1

3521

7495

X

Обчислимо обернену матрицю 1

3521

1310335

21

311 А 512 А 221 А 122 А Тоді обернена матриця матиме вид

1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X


Для заданих матриць знайти обернені матриці

149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012

Розвrsquoязати матричне рівняння

159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х

Зrsquoясувати чи існують матриці обернені до заданих

169

011211

211 170

464321

232

Якщо так то виконати перевірку ЕАА 1


1 Знайти обернену матрицю до заданої

71451321

nn

nА

2 Розвrsquoязати матричне рівняння

nX

nn

104

371


13

Теми рефератів 1 Матриця та її ранг 2 Застосування матричного числення при розвrsquoязуванні прикладних задач

sect14 Системи лінійних рівнянь Метод Крамера Матричний метод

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д Розвrsquoязати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера та

матричним методом

962385371772

zухzух

zух

Розвrsquoязання а) Розвrsquoяжемо систему лінійних рівнянь за правилом Крамера Для цього обчислимо головний визначник системи

677252331357271632623537172

1682942091051436 Так як 0 то система має єдиний розвrsquoязок Обчислимо додаткові визначники замінюючи по черзі перший другий та третій стовбець головного визначника стовбцем вільних елементів

678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z

3364413215323816854 Визначимо корені системи рівнянь за формулами Крамера

1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz

Отже 1 ndash3 2 ndash шуканий розвrsquoязок системи лінійних рівнянь

14

б) Розвrsquoяжемо систему лінійних рівнянь матричним методом скориставшись

формулою

3

2

11

bbb

Аzух

де ndash головний визначник системи

А ndash зведена матриця

3

2

1

bbb

ndash стовбець вільних елементів

З попередніх обчислень головний визначник системи дорівнює 168 Обчислимо математичні доповнення до кожного елемента матриці за формулою

ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А

Запишемо зведену матрицю

431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15

Тоді стовбець невідомих елементів

zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681

Отже 1 ndash3 2 ndash шуканий розвrsquoязок системи лінійних рівнянь Відповідь 1 ndash3 2

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Розвrsquoязати систему лінійних рівнянь а) за правилом Крамера б) матричним методом

171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16

Індивідуальне завдання Розвrsquoязати систему лінійних рівнянь за правилом Крамера та матричним методом

1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух

Завдання обирається за останньою цифрою номера студента в списку Наприклад студенти за номерами 3 13 та 23 розвrsquoязують систему 3

Теми рефератів 1 Розвrsquoязування систем лінійних рівнянь методом Гауса 2 Прямокутні системи

17

РОЗДІЛ 2 АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ sect21 Прямокутні координати на площині


П р и к л а д Дано координати вершин трикутника ∆А1А2А3 А1 (0 6) А2 (3 2) А3 (5 3) і точку А4 (2 1) Побудувати рисунок в системі координат Знайти а) рівняння прямої А1А2 б) рівняння висоти та медіани ∆А1А2А3 опущених з вершини А2 в) тангенс кута А2 г) площу трикутника ∆А1А2А3 д) відстань від точки А4 до прямої А1А2

Розвrsquoязання Побудуємо рисунок в системі координат

X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0

а) Запишемо рівняння прямої А1А2

Рівняння прямої що проходить через дві точки має вигляд 12

1

12

1

уууу

хххх

Координати точок А1 (0 6) і А2 (3 2) відомі тому рівняння набуватиме вигляду

626

030

ух або після спрощення 01834 ух

б) Запишемо рівняння висоти та медіани ∆А1А2А3 опущених з вершини А2 Для запису рівняння висоти А2Н що перпендикулярна стороні А1А3 запишемо

рівняння сторони А1А3 користуючись попередньою формулою 12

1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050


Кутовий коефіцієнт цієї прямої дорівнює 53

31

ВАk АА Кутовий

коефіцієнт перпендикулярної прямої 35

351

31

31

АААА k

k

Рівняння прямої що проходить через точку А2 (3 2) з кутовим

коефіцієнтом 35

2НАk має вигляд 22 ххkуу або 3

352 ху Після

перетворення рівняння висоти набуває вигляду 0935 ух Для запису рівняння медіани А2М знайдемо координати точки М як

середини сторони А1А3 522

502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу

Запишемо рівняння медіани як рівняння прямої що проходить через дві

точки 12

1

12

1

уууу

хххх

Так як координати точок А2 і М відомо то

2542

3523

ух Після спрощення рівняння медіани 0175 ух

в) Знайдемо тангенс кута А2 обчисливши кутові коефіцієнти прямих А1А2 і А2А3 Рівняння прямої А1А2 з попередніх обчислень 01834 ух тоді

34

21

ВАk АА Кутовий коефіцієнт прямої А2А3 обчислимо за формулою

21

21

5332

32

3232

ххууk АА

Кут між прямими знаходимо за годинниковою стрілкою користуючись

формулою 552

1131

611

21

341

34

21

1 21

12

kkkktg Тоді користуючись

чотиризначними таблицями маємо 2478 г) Визначимо площу трикутника А1А2А3

1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв

д) Відстань від точки А4 (2 1) до прямої А1А2 01834 ух

19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd


21 Які з точок М (3 5) N (2 7) P (ndash1 ndash3) Q (ndash2 0) R (3 ndash5) лежать на прямій 12 ху

22 Загальне рівняння прямої 01243 ух представити у вигляді а) з кутовим коефіцієнтом б) у відрізках на осях в) побудувати пряму 23 Знайти рівняння сторін трикутника вершини якого є точки А (1 ndash1) В (3 5) С (ndash7 11) 24 Знайти кути трикутника сторони якого задано рівняннями 01125 ух

052 ух 012 ух 25 Знайти площу трикутника сторони якого задано рівняннями

01125 ух 052 ух 012 ух 26 Знайти рівняння прямої що проходить через точку М0 (2 5) паралельно прямій 01543 ух 27 Знайти рівняння прямої що проходить через точку Р0 (5 ndash1) паралельно прямій 01473 ух 28 Задана пряма 0432 ух Скласти рівняння прямої що проходить через точку М (2 1) 1) паралельно заданій прямій 2) перпендикулярно до заданої прямої 29 Знайти відстань між двома паралельними прямими 01243 ух

01343 ух 210 Знайти точку М яка симетрична точці Р(ndash6 13) відносно прямої

0332 ух 211 Знайти точку К яка симетрична точці Р(8 ndash9) відносно прямої що проходить через точки А (3 ndash4) В (ndash1 ndash2) 212 Задано три вершини паралелограма А (ndash3 1) В (3 3) С (4 ndash1) Знайти координати четвертої вершини 213 Задано вершини трикутника А (12 ndash4) В (0 5) С (ndash12 ndash11) Знайти а) довжини сторін б) рівняння сторін в) рівняння висоти що проведена з вершини В г) довжину цієї висоти д) рівняння медіани що проведена з вершини А е) точку перетину висоти що проведена з вершини В та медіани що проведена з точки А ж) кут С з) площу трикутника

20

Індивідуальне завдання Дано координати вершин трикутника ∆А1А2А3 і точку А4 Знайти а) рівняння прямої А1А2 б) рівняння висоти та медіани ∆А1А2А3 опущених з вершини А2 в) тангенс кута А2 г) площу трикутника ∆А1А2А3 д) відстань від точки А4 до прямої А1А2 е) побудувати рисунок в системі координат 1 А1 (1 2) А2 (ndash3 2) А3 (ndash5ndash 3) А4 (2 ndash1) 2 А1 (2 1) А2 (ndash1 2) А3 (ndash2 ndash3) А4 (1 ndash6) 3 А1 (2 2) А2 (ndash2 2) А3 (ndash3 ndash3) А4 (2 ndash4) 4 А1 (1 1) А2 (ndash4 2) А3 (ndash4ndash 3) А4 (2 ndash7) 5 А1 (1 6) А2 (ndash3ndash 2) А3 (ndash5 3) А4 (2 ndash1) 6 А1 (2 6) А2 (ndash3 ndash1) А3 (ndash5 2) А4 (1 ndash6) 7 А1 (3 6) А2 (ndash2 ndash2) А3 (ndash5 1) А4 (2 ndash3) 8 А1 (4 6) А2 (ndash4 ndash2) А3 (ndash5 4) А4 (2 ndash4) 9 А1 (6 6) А2 (ndash3 ndash5) А3 (ndash2 3) А4 (2 ndash7) 10 А1 (7 6) А2 (ndash5 ndash2) А3 (ndash4 3) А4 (2 ndash8) Завдання обирається за останньою цифрою номера студента в списку

Теми рефератів

1 Різні види рівнянь прямої 2 Відхилення та відстань від точки до прямої

sect22 Пряма і площина в просторі

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д Дано координати А1 (2 3 ndash4) А2 (5 7 9) А3 (2ndash 2 4) А4 (13

1 2) вершин піраміди А1А2А3А4 Знайти а) довжину ребра А1А2 б) рівняння ребер А1А2 і А1А4 в) косинус кута А4А1А2 г) площу грані А1А2А3 д) рівняння площини А1А2А3 е) обrsquoєм піраміди

Розвrsquoязання а) Довжину ребра А1А2 обчислимо за формулою

212

212

21221 zzууххАА тобто

14194169169947325 22221 одАА б) Рівняння ребер А1А2 і А1А4 запишемо користуючись формулою

12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх

За умовою А1 (2 3 ndash4) А2 (5 7 9) А4 (13 1 2) тоді

Для прямої А1А2

494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух

в) Косинус кута А4А1А2 222222cos

zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА

Враховуючи

що рівняння прямої можна подати у вигляді

zyx azz

aуу

aхх 111

то для прямої А1А2 а (3 4 13) а для А1А4 в (11 ndash2 6)

Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А

Отже 035358290arccos А г) Площу грані А1А2А3 обчислимо користуючись властивістю добутку

векторів А1А2 і А1А3 312121 AAAAS де

іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS

д) Рівняння площини А1А2А3 у загальному вигляді

0

131313

121212

111

zzууххzzууххzzуухх

тобто 0443222493725432

zух

0265324415232 xyzх 0182152497 zyx е) Обrsquoєм піраміди

487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ 214 На якій відстані від початку координат знаходяться точки А (ndash3 0 4) В (0 8 ndash6) С (1 ndash1 4) 215 Задано дві вершини А (2 ndash3 ndash5) В (ndash1 3 2) паралелограма АВСД і точку перетину його діагоналей М (4 ndash1 7) Визначити координати двох інших вершин цього паралелограма

22

216 Задано вершини трикутника А (3 2 ndash1) В (5 ndash4 7) і С (ndash1 1 2) Обчислити довжину його медіани що проведена із вершини С 217 Обчислити відстань від точки Р (ndash1 1 ndash2) до площини що проходить через три задані точки А (1 ndash1 1) В (ndash2 1 3) і С (4 ndash5 ndash2) 218 Скласти рівняння площини що проходить через точку перетину трьох площин 012 zух 042 zх 0 ух через початок координат і через точку Р (7 1 2) 219 Знайти точку перетину площин 0932 zух 0643 zух

0322 zух 220 Дано координати вершин піраміди А1А2А3 А4 А1 (1 1 1) А2 (ndash1 ndash2 ndash2) А3 (0ndash 3 3) А4 (4 3 ndash1) Знайти а) довжину ребра А1А2 б) рівняння ребер А1А2 і А1А3 в) косинус кута А3А1А2 г) площу грані А1А2А3 д) рівняння площини А1А2А3 е) обrsquoєм піраміди


Дано координати вершин піраміди А1А2А3 А4 Знайти а) довжину ребра А1А2 б) рівняння ребер А1А2 і А1А3 в) косинус кута А3А1А2 г) площу грані А1А2А3 д) рівняння площини А1А2А3 е) обrsquoєм піраміди 1 А1 (1 2 1) А2 (ndash3 2 ndash2) А3 (ndash5ndash 3 3) А4 (0 2 ndash1) 2 А1 (3 2 1) А2 (ndash3 ndash1 2) А3 (ndash5 ndash2 ndash3) А4 (0 1 ndash6) 3 А1 (2 1 2) А2 (ndash3 ndash2 2) А3 (ndash3 ndash5 ndash3) А4 (0 2 ndash4) 4 А1 (1 1 3) А2 (ndash4 ndash3 2) А3 (ndash4ndash 3 ndash5) А4 (0 2 ndash7) 5 А1 (1 2 6) А2 (ndash3 ndash3 ndash 2) А3 (ndash5 ndash5 3) А4 (0 2 ndash1) 6 А1 (2 4 6) А2 (ndash3 ndash3 ndash1) А3 (ndash5 ndash5 2) А4 (0 1 ndash6) 7 А1 (4 3 6) А2 (ndash2 ndash3 ndash2) А3 (ndash5 ndash5 1) А4 (0 2 ndash3) 8 А1 (5 4 6) А2 (ndash4 ndash3 ndash2) А3 (ndash5 ndash5 4) А4 (0 2 ndash4) 9 А1 (1 6 6) А2 (ndash3 ndash3 ndash5) А3 (ndash2 ndash5 3) А4 (0 2 ndash7) 10 А1 (1 7 6) А2 (ndash5 ndash3 ndash2) А3 (ndash4 ndash5 3) А4 (0 2 ndash8) Завдання обирається за останньою цифрою номера студента в списку


1 Площина в просторі 2 Нерівності і їх геометричний зміст

23

sect23 Криві лінії другого порядку

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д 1 Визначити центр і радіус кола яке задано рівнянням

0204222 ухух Розвrsquoязання

Так як в заданому рівнянні коефіцієнт при 2х та 2у рівні між собою і відсутній член з добутком координат то задане рівн6яння є рівнянням кола Зведемо його до вигляду 22

02

0 Rуухх виділивши повний квадрат 0204211 22 ух звідси 2521 22 ух Можна зробити висновок що задане рівняння визначає коло цент якого має координати С (1 ndash2) і радіусом 5 од

П р и к л а д 2 Знайти довжину осей координати фокусів і ексцентриситет еліпса 14494 22 ух

Розвrsquoязання

Приведемо це рівняння до канонічного виду 12

2

2

2

ву

ах

Розділивши обидві частини заданого рівняння на 144 одержимо 11636

22

ух

Звідки одержуємо що 6а 4в Тоді 5220163622 вас Координати фокусів будуть F1 ( 52 0) і F2 (ndash 52 0)

Ексцентриситет еліпса 35

652

ас

П р и к л а д 3 Скласти рівняння параболи симетричної відносно осі Ох що проходить через точку М (1 ndash4) і початок координат

Розвrsquoязання Канонічне рівняння параболи симетрична відносно осі Ох вершина якої знаходиться в початку координат є рху 22 Так як парабола проходить через точку М (1 ndash4) то координати точки М повинні задовольняти рівняння

рху 22 тобто 8124 2 рр Звідси ху 162

П р и к л а д 4 Скласти рівняння гіперболи в якої ексцентриситет 45

а

уявна вісь 3в Знайти асимптоти та директриси гіперболи Розвrsquoязання

Оскільки ексцентриситет 45

ас то

45 аас і тому з рівності 222 вас

отримаємо 4345 22

2

ааа

24

Отже шукане рівняння гіперболи є таким 1916

22

ух

Асимптотами цієї гіперболи є прямі ху43

а директрисами ndash 5

16

454

х


221 Скласти рівняння кола з центром в точці С (2 ndash3) і радіусом 6 од 222 Скласти рівняння кола що проходить через точку М (2 6) і його центр співпадає з точкою С (ndash1 2) 223 Скласти рівняння кола що проходить через точки А (ndash1 1) і В (1 ndash3) якщо центр лежить на прямій 012 ух 224 Скласти рівняння кола що проходить через три точки А (ndash1 5) В (ndash2 2) і С (5 5) 225 Скласти рівняння кола якщо точки А (3 2) і В (ndash16) є кінцями одного з діаметрів 226 Скласти рівняння еліпса фокуси якого розміщені на осі абсцис симетрично початку координат Знаючи що 1) його велика вісь дорівнює 10 одиниць а відстань між фокусами 82 с 2) його мала вісь дорівнює 24 одиниць а відстань між фокусами 102 с

3) відстань між фокусами 62 с і ексцентриситет 53

4) його велика вісь дорівнює 20 одиниць а ексцентриситет 53

5) його мала вісь дорівнює 10 одиниць а ексцентриситет 1312

227 Скласти рівняння гіперболи фокуси якого розміщені на осі абсцис симетрично початку координат Знаючи що 1) відстань між фокусами 102 с і вісь 82 в


3) вісь 162 а і ексцентриситет 45

4) рівняння асимптот ху34

і відстань між фокусами 202 с

5) точки А (6 ndash1) і В ( ndash8 22 ) знаходяться на гіперболі 228 Скласти рівняння параболи вершина якої знаходиться в початку координат Знаючи що 1) парабола розміщена симетрично осі Ох і проходить через точку М (9 6) 2) парабола розміщена симетрично осі Ох і проходить через точку Р (ndash1 3) 3) парабола розміщена симетрично осі Оу і проходить через точку А (1 1)

25

3) парабола розміщена симетрично осі Оу і проходить через точку К (4 ndash8) 229 Визначити яка крива задається рівнянням та визначити її основні параметри 036422 ухух 230 Визначити яка крива задається рівнянням та визначити її основні параметри 0288104 22 ухух


1 Скласти рівняння еліпса фокуси якого розміщені на осі абсцис симетрично початку координат знаючи що відстань між фокусами nс 22 і ексцентриситет

20n

2 Скласти рівняння гіперболи фокуси якого розміщені на осі абсцис симетрично початку координат знаючи що відстань між фокусами nс 22 і

ексцентриситет 2

3n

3 Скласти рівняння параболи симетричної відносно осі Ох що проходить через точку М (n ndash2n) і початок координат У вказаних завданнях n ndash остання цифра номера студента за списком

Теми рефератів 1 Поверхні другого порядку сфера еліпсоїд гіперболоїди параболоїди 2 Поверхні другого порядку циліндричні та конічні поверхні поверхні обертання

26

РОЗДІЛ 3 ОСНОВИ ТЕОРІЇ ГРАНИЦЬ sect31 Функція Основні елементарні функції


П р и к л а д 1 Знайти значення функції 122 хху в точці 2х Розвrsquoязання

Так як 2х то підставимо у функцію це значення 114412222 2 у

П р и к л а д 2 Знайти область визначення функції 56 2 хху Розвrsquoязання

Так як аргумент знаходиться під знаком кореня то функція буде мати дійсні значення тільки при таких значеннях х при яких підкореневий вираз невідrsquoємний тобто 0562 хх або 0562 хх

Одержуємо 051 хх Методом інтервалів знаходимо що 51х П р и к л а д 3 Користуючись графіком функції 2ху побудувати графік

функції 222 хху Розвrsquoязання

Задану функцію представимо у вигляді 11 2 ху Виходячи з графіка функції 2ху (рис а) спочатку побудуємо графік функції 21 ху перенесенням графіка 2ху відносно осі Ох вліво на 1 одиницю (рис б) А потім 21 ху перенесемо вгору на 1 одиницю (рис в)

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Знайти значення функції у вказаних точках

31 хх

у

2

1 у точках ndash1 05 2

32 ху 25 у точках 0 1 25

33 4хаrcsіnу у точках ndash2 4 2

27

34 2хsіnу у точках

3

2

35 хх

у lg1 у точках 01 1 10

Знайти область визначення функції

36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у

312 4хаrcsіnу 313 х

ху 2

lg1

314 5233 хаrcsіnху

315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу

Користуючись графіком функції 2ху побудувати графіки функцій

318 222 2 хху 319 422 2 хху 320 822 хху 321 1042 хху 322 12 хху 323 862 хху

Користуючись графіком функції sіnху побудувати графіки функцій

324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2

21 хsіnу 327 sіnху21

328 sіnху21

329 sіnху212

Побудувати графіки функцій

330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1

Побудувати графіки функцій а) 12 nnхху б) 12 хcоsу де n ndash остання цифра номера студента за списком

Теми рефератів 1 Поняття та властивості функції Елементарні та неелементарні функції 2 Основні елементарні функції що використовуються в агрономічних дослідженнях

sect32 Границя функції Застосування правил розкриття

невизначеностей утворених алгебраїчними виразами

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д Обчислити наступні границі

а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0

г) )4510216(lim xxxx


а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x

Для розкриття невизначеності

необхідно чисельник і знаменник

поділити на nx де n minus найбільше значення степеня Найбільше значення степеня 2n тому ділимо чисельник і знаменник на 2x

73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx

Зауваження 0а 0

а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x


00 від раціональних дробів необхідно

розкласти чисельник і знаменник на множники і однакові скоротити Розкладаємо квадратичні вирази на множники за теоремою Вієта і

отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx

xx (скоротили на 1x )

в)

0

00

040444lim0 x

ххx


00 від ірраціональних дробів необхідно

позбавитись від ірраціональності помноживши чисельник і знаменник на спряжений вираз Спряженими називають такі ірраціональні вирази які при множенні один на інший утворюють раціональні вирази

xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx

Для розкриття невизначеності необхідно вираз представити у

вигляді дробу 1а в утвореному дробі помножити чисельник і знаменник на

спряжений вираз В подальшому позбавитися утвореної невизначеності

)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22

Поділимо кожен елемент чисельника і знаменника на x під коренем на 2x

30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610


Обчислити наступні границі

333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx

373 )(lim 22 xхxхx

374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx

Індивідуальне завдання Обчислити наступні границі

а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn

хx 0lim г) )4(lim 2 xхnх

x


Теми рефератів 1 Нескінченно малі та нескінченно великі послідовності 2 Основні теореми про границі послідовності

sect33 Дві визначні та три необхідні границі


а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0

Скористаємося першою визначною границею 1sinlim0

x

xx

Введемо заміну 07 yyx при 0x

Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х

x хх Безпосередня підстановка х дає невизначеність 1

тому скористаємося другою визначною границею аваn

ne

n

)11(lim 722e

Введемо заміну 2311

хх

n Зведемо до спільного знаменника і виразимо

х через n 25 nх При чому якщо х то n 125212 11lim

23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0

Безпосередня підстановка 0х дає невизначеність

00

тому скористаємося першою необхідною границею 1)1ln(lim0

xx

x

Введемо заміну yx7 yx71

Якщо 0x то 0y тоді

0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому

скористаємося другою необхідною границею ax

a x

xln1lim

0

Виносимо в чисельнику за дужки множник x5

xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00

тому скористаємося третьою необхідною границею a

xх а

x

11lim0

Введемо заміну yx1212yx Якщо 0x то 0y тоді

5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0


Теми рефератів 1 Число е 2 Порівняння нескінченно малих величин

sect34 Неперервність та розриви функцій


П р и к л а д 1 Дослідити на неперервність функцію і побудувати її графік

74

13

xxx

y 2

211

xxx

Розвrsquoязання Зайдемо границі справа та зліва в точках 1х та 2х

X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35

Для точки 1х

)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx

Лівостороння та правостороння границі мають різні значення ( 14 ) Отже функція має розрив у точці 1х

Для точки 2х 1)74(lim)(lim0202

xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx

Лівостороння та правостороння границі мають однакові значення ( 11 ) Отже функція неперервна в точці 2х


xy

31 при Rx

Розвrsquoязання Так як 3х то знайдемо границі справа та зліва в точці розриву х = 3

01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx

Отже маємо розрив ІІ роду

X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0


Дослідити на неперервність функції та побудувати їх графіки

3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12


Теми рефератів 1 Властивості функцій неперервних в точці 2 Одностороння границя Скачок функції

37

РОЗДІЛ 4 ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЄЇ ЗМІННОЇ sect41 Основні правила та формули диференціювання


П р и к л а д Знайти похідні вказаних функцій

а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х

ху в) xху 9logcos

г) x

xуln

arcsin д) xxtgу 43

Розвrsquoязання Для знаходження похідних функцій користуємося таблицею похідних

(Табл 1 додатку)

а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху

Скористаємося властивостями степеня mn

m n aа mm

aa

1 отримаємо

1373

137 3

54

54 ххх

ху

Тоді похідна функції 147 4

1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху

в) xху 9logcos Скористаємося формулою похідної добутку vuvuuv тоді

9ln

1coslogsinlogcoslogcos 999 xxxxxxxxу

г) x

xуln

arcsin

Скористаємося формулою похідної частки 2v

vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38

Враховуючи що функція складена то її похідна дорівнюватиме

43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу


Знайти похідні вказаних функцій

41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху

Знайти похідні функцій користуючись формулою добутку

421 хеу х sin 422 3 хеу х 423 xсоsxу ln 424 xсоsxу 2log 425 xху 7log 426 xаrccоsху 5log 427 хху 3sin 428 xсtgху 429 3 хtgху 430 хеу х ln

Знайти похідні функцій користуючись формулою частки

431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94

Знайти похідні складених функцій

441 xу 4arcsin5 442 xу 2ln 443 ху cos 444 ху sin 445 хеу 3 446 xxу 2

447 34 2 xу 448 xу ln

449 хеу ln 450 xу 4sin2 451 xarctgy 2 452 xy 3ln 453 )52(cos4 xy 454 5ln arctgxy 455 xy cossin 2 456 xy sin

457 x

у2ln

36 458 4ln 2 хarctgу

459 xу 2arccosln 460 xу 8lnsin 461 5

12 )56(log xy 462 )3(arcsin7 xarctgy


463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn

ху nn 412 2 б) nxх

ху nn n 61

40

в) nnxxnxсtgу 24 г) x

xnxу n

n

sin22


Теми рефератів 1 Означення похідної Залежність між неперервністю та диференційованістю функцій 2 Означення похідної Застосування похідної до розвrsquoязування прикладних задач

sect42 Особливі випадки диференціювання

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д Знайти похідну від вказаних функцій

а) 4)ln()sin( yxyx б)

1sin1cos

2

2

tytх

в) xхху 4sin23 43 г) )1(log sin xy x Розвrsquoязання

а) 4)ln()sin( yxyx Дана функція задана неявно тому знаходимо похідну від лівої та правої

частини памrsquoятаючи що y є деякою функцією від x 4))ln()(sin( yxyx

0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх

ndash функція задана параметрично тобто у вигляді

tytх

тому її похідна обчислюється за формулою t

tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх

в) xхху 4sin23 43 Функція задана у вигляді )()()( xvxuxf тому прологарифмуємо функцію

зліва та справа за основою е

41

xхху 4sin23 43lnln або 43ln4sinln 23 ххxу Для знаходження похідної скористаємося формулою добутку

xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23

Тоді шукана похідна

xy 4cos4 xхх 4sin23 43

43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43

г) )1(log sin xy x Перейдемо до нової основи логарифма (наприклад е)

скориставшись формулою abba ln

lnlog тоді

)1(log sin xy x

2)sin(ln)sin(ln)1ln(sinln)1(ln(

sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(

)1ln()1(cossinlnsin2

1

2


Знайти похідні функцій заданих неявно 471 уxxу 322 472 уxxyx 332 473 54yxye y 474 хyxctgyx 2)()sin( 475 уxxyx 3)ln( 2 476 )4( ytgxyexy 477 2)()arcsin( yxarctgyx 478 3)ln(sin 2 xyxx

479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32

480 )()ln( xytgxyxye xy

Знайти похідні функцій заданих параметрично

481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42

Знайти похідні вказаних функцій 487 42

cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x

xxу 490 xх хеу 7cos

491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log

Знайти похідні логарифмічних функцій

495 23log xxу x 496 43log 234sin xxу x

497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log



а) nуexyx xnn 22 б)

n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3

в) 42 xnn nxху г)

xxnу n x sin

2log


Теми рефератів 1 Означення диференціала Механічний та геометричний зміст диференціалу 2 Параметричне завдання функції Циклоїда

sect43 Диференціал функції Застосування диференціалу до наближеного

обчислення функції


П р и к л а д 1 Знайти наближено значення функції 3 2 5105 хху при 034х


43

Значення функції обчислимо за формулою ххухуу 00 Нехай 40 х тоді 0300 ххх

5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу

П р и к л а д 2 Знайти наближено 63sin Розвrsquoязання

Значення функції обчислимо за формулою ххухуу 00

Нехай ху sin 63х 60х тоді 0ххх 0520180

14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Знайти наближено значення функцій

4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х

4105 3 2 1089 xxy 121x 4106 39127 23 xxxy 950x 4107 3 129 4108 53 4109 80051 4110 5 31 4111 44sin 4112 47tg 4113 85ctg 4114 65sin 4115 29cos 4116 62cos 4117 5034 4118 3111

Індивідуальне завдання Знайти наближено значення функцій

а) n хху 135 2 nх 00101 б) nsin та n30cos де n ndash остання цифра номера студента за списком

44

Теми рефератів 1 Теорема Лагранжа та її економічний зміст 2 Формула Тейлора та її застосування в економічних задачах

sect44 Застосування похідної до дослідження динаміки функції


П р и к л а д Дослідити функцію і побудувати її графік 12

х

ху

Розвrsquoязання 1 Елементарні дослідження

Область визначення функції 1111х Точки перетину графіка функції з осями координат 00 minus єдина точка перетину з віссю абсцис та ординат

Функція непарна так як 11 22

хх

ххху Отже графік функції

симетричний відносно початку координат

2 Дослідження точок розриву

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

Отже 1х і 1х minus вертикальні асимптоти

3 Знаходження похилих асимптот Похилі асимптоти визначатимемо за формулою bkху Для цього знайдемо невідомі коефіцієнти k і b

001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx

Тоді рівняння асимптоти набуватиме вигляду 0у

4 Дослідження функції на монотонність Знайдемо першу похідну функції

22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45

Прирівняємо першу похідну до нуля 01

122

2

х

х

Так як рівняння не має розвrsquoязків то критичних точок першого роду не має Тому на числовій осі 0Х позначаємо лише точки розриву функції minus minus minus х

ndash1 1 Отже функція спадає на всій області визначення

5 Дослідження на опуклість та ввігнутість Знайдемо другу похідну функції

42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх

Прирівняємо другу похідну до нуля 0

4122

32

2

х

ххх 0х minus критична

точка другого роду Визначимо знаки другої похідної на отриманих інтервалах

minus + minus + х

ndash1 0 1 Отже функція опукла вниз на проміжках 101х опукла вгору minus 101 х Точка (0 0) ndash точка перегину 6 Побудова графіка функції

X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Знайти екстремуми функцій

4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху

4125 122 3 хху 4126 sіnxсоsxу 0х Знайти інтервали монотонності та екстремуми функцій

4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху

Знайти найбільше та найменше значення функції на зазначеному проміжку

4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11

Дослідити функцію і побудувати її графік

41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху


Дослідити функцію та побудувати її графік 22 110 xNNxу N

N ndash

остання цифра номера студента за списком

Теми рефератів 1 Економічний зміст похідної Еластичність 2 Задачі про найбільші та найменші значення величини

47

РОЗДІЛ 5 ДИФЕРЕНЦІАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ

sect51 Частинні похідні функції багатьох змінних


П р и к л а д Знайти частинні похідні xz і

yz функцій

а) уyххуz 724 23 б) уеz х в) sіnху

ухz

32

Розвrsquoязання а) уyххуz 724 23

хууу

ху

xz 2

323 402

1214

741272234 22 хухуухухyz

б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn

уcоsхуухsіnхуух

х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn

хcоsхуухsіnхуух

2

2

23

323


Знайти частинні похідні xz і

yz функцій

51 xyxyyxz 323 124 52 yxyxyxz 223 2

53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334

55 cоsxxyyxz 234 56 sіnxyxxyz 2103 57 xsіnxyyz 2ln 23 58 2242ln sіnyyxyz 59 уyххz 63log2 2

2 510 xxyyz 103log 23

48

511 yxz sin 512 yxz cos2

513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln

525 ysіnxz 334 526 32 cоsyxz

527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz

529 ухsіnхуz 42ln 530 53

5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny

ухz nnn 412 22 б) nnx yez

в) nnxxynxtgz 234 г) y

xnxz n

n

sin22


Теми рефератів 1 Геометричний зміст частинних похідних 2 Диференціювання неявної функції декількох змінних

sect52 Градієнт функції та похідна функції у напрямку вектора


П р и к л а д Знайти градієнт функції 3

2

432

ухz

в точці А (-1 1) та

похідну в точці А в напрямі вектора

а (-12 -5)

49

Розвrsquoязання Обчислимо частинні похідні функції в точці А0

333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz

Тоді градієнт функції можна записати у вигляді jyzi

xzgradz AA

Тобто jigradz

431

Для запису похідної в точці А в напрямі вектора

а використаємо формулу

coscos

AA yz

xz

az

Для цього зайдемо напрямлені косинуси

1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az

Відповідь jigradz

431

5233

az


531 Задано функцію 323 24 ухyxz і точку А (1 1) Знайти градієнт функції в точці А

532 Задано функцію 32 уххуухz і точку А (1 4) Знайти градієнт

функції в точці А

533 Задано функцію 2

2

1

yxz і точку А (2 ndash3) Знайти градієнт функції

в точці А


4

y

xz і точку А (ndash1 05) Знайти градієнт


535 Задано функцію )(xycоsz і точку А (2

2 ) Знайти градієнт функції

в точці А

50

536 Задано функцію )2( yxsіnz і точку А (4

2 ) Знайти градієнт

функції в точці А 537 Задано функцію 222 43 yxz і точку А (2 3) Знайти градієнт


Для вектора

а знайти напрямлені косинуси

538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542

а (ndash6 ndash8) 543

а (ndash5 ndash12)


3ухz точку А (3 4) і вектор

а (6 8) Знайти похідну

в точці А в напрямі вектора

а



а (ndash6 8) Знайти

градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора

а


4

y

xz і точку А (ndash1 0) Знайти градієнт функції

в точці А

547 Задано функцію 23ln yxz точку А (1 1) і вектор

а (2 ndash1) Знайти


а

548 Задано функцію )ln( 23 yxz точку А (1 1) і вектор



а

549 Задано функцію

2arccos

yxz точку А (1 2) і вектор

а (12 ndash5)

Знайти градієнт функції в точці А та похідну в точці А в напрямі вектора

а


yxarctgz

2

точку А (1 2) і вектор

а (12 5) Знайти


а

551 Задано функцію 22 43ln yxz точку А (1 3) і вектор

а (3 4)


а




а

51


lnу

хz точку А (1 ndash2) і вектор



а

554 Задано функцію ухz

2ln




а


Задано функцію n

хуyх

уху nnn 2

1 точку А (1 ndash1) і вектор

а (n ndashn)


а

Теми рефератів 1 Частинні похідні вищих порядків 2 Повні диференціали вищих порядків

sect53 Застосування функції двох змінних до знаходження наближеного

значення функції

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д Для функції yхухуxz 522 42 обчислити наближене

значення в точці А (ndash097 209) за допомогою диференціалу Розвrsquoязання

Наближене значення функції yхухуxz 522 42 при 970х 092у обчислимо за формулою

yyzx

xzyxzz yxyx

000000

Нехай 10 х 20 у тоді 03019700 xxx 09020920 ууу

Обчислимо значення функції в точці А0 з координатами 10 х 20 у 224821214212 522

00 ухz Обчислимо частинні похідні функції в точці А0

ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz

Тоді наближене значення функції

yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

Відповідь 212z

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ 555 Для функції xyyxz 22 обчислити наближене значення в точці А

(102 195) за допомогою диференціалу 556 Для функції xyyxz 32 22 обчислити наближене значення в точці

А (196 -103) за допомогою диференціалу 557 Для функції xyyxz 352 обчислити наближене значення в точці

А (395 103) за допомогою диференціалу 558 Для функції уxz обчислити наближене значення в точці А (096

101) за допомогою диференціалу 559 Для функції 32254 yxxyxz обчислити наближене значення в

точці А (ndash297 104) за допомогою диференціалу 560 Для функції yxz ln обчислити наближене значення в точці А (ndash

002 105) за допомогою диференціалу 561 Для функції 3 xyz обчислити наближене значення в точці А

(003 12501) за допомогою диференціалу 562 Для функції xyxуxz 224 36 обчислити наближене значення в

точці А (097 101) за допомогою диференціалу 563 Для функції хyууxz 2324 обчислити наближене значення в

точці А (ndash099 105) за допомогою диференціалу 564 Для функції yxуxz 2332 32 обчислити наближене значення в

точці А (098 ndash104) за допомогою диференціалу 565 Для функції )2( yxcоsz обчислити за допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (4deg 92deg) 566 Для функції )2( yxsіnz обчислити за допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (47deg 91deg) 567 Для функції )(xysіnz обчислити за допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (3deg 32deg) 568 Для функції )( xyxаrcsіnz обчислити за допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (003 099)

53

569 Для функції yxаrccоsz обчислити за допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (41 42) 570 Для функції )2( yxtgz обчислити за допомогою диференціалу

наближене значення в точці А (29deg 92deg)


Для функції 310

10 24 xyyxx

nуxz nn

обчислити наближене значення в

точці А (ndash1001n 1+0001n) за допомогою диференціалу (n ndash номер студента за списком)

Теми рефератів 1 Прикладні задачі що зводяться до використання функцій багатьох змінних 2 Екстремум функції двох змінних

sect54 Екстремум функції двох змінних


П р и к л а д 1 Дослідити на екстремум функцію 206922 ухухухz

Розвrsquoязання Знаходимо частинні похідні функції

92 ухxz 62

ухуz

Розглянемо систему двох рівнянь з двома невідомими

062092

хуух

Розвrsquoязком цієї системи будуть числа 4х 1у Тобто критична точка має координати 140 М

Обчислимо частинні похідні другого порядку в точці М0

2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ

Тоді 3142 ВСА gt0 Так як Аgt0 то існує мінімум функції в точці 140 М 114min zz

П р и к л а д 2 Дослідити на умовний екстремум функцію 22 ухz при 1 ух

Розвrsquoязання Функція Лагранжа буде мати вигляд 1 22 yxyxyxL

54

Запишемо необхідні умови екстремуму

02 х

xL 02

у

уL 01

yxL

Звідки отримуємо 21

х 21

у Тобто критична точка має координати

21

21

0М 1

1 22 yxyxyxL Тоді частинні похідні першого та другого порядку дорівнюють

12 xLx 12 yLy ALxx 2 CLyy 2 BLxy 0

42 ВСА gt0 Так як Аgt0 то існує мінімум функції 21

21

21

min

zz


Дослідити на екстремум функції двох змінних 571 ухухz 6040800 22 572 ухухz 10020250 22 573 ухухz 60801800 22 574 ухухz 100402100 22 575 ухухz 80401700 22 576 ухухz 80201500 22 577 ухухz 401002000 22

Дослідити на умовний екстремум

578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух

580 422 уххуухz при 03 ух

Індивідуальне завдання Дослідити на екстремум функції двох змінних nуnхухnz 1010 22


1 Заміна прямокутних координат полярними для функції двох змінних 2 Метод найменших квадратів

55

РОЗДІЛ 6 ІНТЕГРАЛЬНЕ ЧИСЛЕННЯ ФУНКЦІЇ БАГАТЬОХ ЗМІННИХ sect61 Невизначений інтеграл Основні методи інтегрування


П р и к л а д Знайти невизначені інтеграли

а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln

Розвrsquoязання Для знаходження невизначеного інтегралу користуємося таблицею

інтегралів (Табл 2 додатку)

а) dxxdxdxxdxхdxххх 241512

415 4343

СххххСхххх

2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx

(В даному випадку користувалися заміною змінної)

г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx

(В даному випадку користувалися формулою інтегрування частинами duvvudvu )

56

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Знайти невизначені інтеграли

61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(

63 dxxх )cos551( 64 dx

ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7

Знайти невизначені інтеграли користуючись заміною змінних

621 dxx 14cos 622 хdx

31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57

633 dxхх 432 634 dxxx ln

1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln

Знайти невизначені інтеграли користуючись формулою інтегрування

частинами 641 dxхе

х

642 dxxх ln2

643 osхdxсх 2 644 sіnхdxх 6

645 xdхx ln 646 dxх

x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2

649 dxех х223 650 хdxsіnх 54 2

Індивідуальне завдання Знайти невизначені інтеграли

а) dxхnхх n

nn )25( 1 б) dxnхx

nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2

де n ndash номер студента за списком

Теми рефератів 1 Первісна функції 2 Геометричний зміст інтегрування

sect62 Інтегрування виразів що містять в знаменнику квадратний тричлен Інтегрування раціональних дробів



а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58

Для прикладів а) та б) виділимо із квадратного тричлена повний квадрат

а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА

Розвrsquoязавши отриману систему маємо 4А 1В Тобто дріб можна

представити у вигляді суми дробів 31

524

352172

хххх

х А заданий

інтеграл у вигляді суми інтегралів

Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx


Знайти невизначені інтеграли

651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5


Теми рефератів 1 Розклад многочленна на множники 2 Обчислення сталої інтегрування за заданими умовами

sect63 Інтегрування деяких тригонометричних виразів


П р и к л а д Знайти інтеграли

а) хdхxcоssіn 73 б) cоsхsіnхdx

2

в) dхxsіn 2 г) хdхxсоssіn 23 Розвrsquoязання

а) dххsіnхsіnхdхxcоssіn 73732173 dххsіnхsіn 104

21

Схcоsхcоsdххsіnхdхsіn 10101

214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201

С б) Використаємо універсальну тригонометричну підстановку tgxt Звідки

212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121

212 xСхsіnххdxсоsdxdxхсоsdхxsіn

Cxsіnx

42

2

г) соsххdсоsхсоsхdххsіnхсоssіnхdхxсоssіn 222223 1

соsxхdсоs2 Схsіnхsіnсоsxхdсоs 43

434



669 dххxsіnsіn3

22 670 dххxсоssіn 26

671 dххсоsхсоs 32 672 хdхxsіnsіn 53

673 хdхxsіnsіn 25 674 dхххсоsсоs 25 675 dхххсоssіn 52 676 dххсоsхсоs 3

677 sіnхdx 678 sіnх

dx45

679 cоsхdx32

680 123 cоsхsіnхdx

681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2

683 dхxsіn 22 684 dххсоs 42 685 dххсоs 4 686 dхxsіn 23

687 dххсоs 5 688 dххsіnхсоs

4

3

689 dххсоsхsіn

2

3

690 dххxсоssіn 34

691 dххxсоssіn 33 692 хdхxсоssіn 45

61


Знайти невизначені інтеграли а) хdхnxsіnnsіn 31 б) хdхxсоssіn nn 1 де n ndash номер студента за списком

Теми рефератів 1 Розвrsquoязування інтегралів виду dххсоsхsіnR 22 2 Розвrsquoязування інтегралів виду dхctgхtgхR

sect64 Визначений інтеграл Формула Ньютона-Лейбніца

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д Знайти інтеграли

а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2

соsхdх г) rсsіnхdха

1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22

аrсsіnаrсsіnхаrсsіn

хdx

ххdх

в) Скористаємося універсальною тригонометричною підстановкою tgxt

Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

і нові межі інтегрування 01 t при 01 х та

12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg

г) Виконаємо інтегрування частинами

62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх

хdxхаrсsіnхxvх

dxdu

dxdvаrсsіnхurсsіnхdха

12

1000

12

хаrсsіn


Знайти визначені інтеграли

693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх


0 22 6104 dххсоsхсоs

0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02

хсоssіnхdх 6110 dххsіn

2

0

2

6111

2

2

3

dххсоsсоsх 6112

3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1

210 32 dхехх nxnn б)

1

12

2n nnхх

dхnx


Теми рефератів 1 Економічний зміст визначеного інтегралу 2 Застосування визначеного інтегралу до знаходження середнього часу затраченого на виготовлення виробу

sect65 Геометричне застосування визначеного інтегралу


П р и к л а д За допомогою визначеного інтеграла знайти площу фігури обмежену лініями 2ху ху Зобразити фігуру в системі координат

Розвrsquoязання Побудуємо фігуру площу якої необхідно знайти та визначимо площу

обмеженої кривими фігури Точки перетину кривих 0х та 1х тому межі інтегрування від 0 до 1

1

0

31

0

21

0

21

0 32ххdxххdxS )(

61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0


Обчислити площу фігур що обмежені лініями Зробити малюнки 6119 Параболою 2ху і прямою ху 6120 Параболою 42 ху і прямою 1у

64

6121 Параболою хху 42 і прямою 0у 6122 Параболою 442 хху і прямою 4у 6123 Параболою 24 ху і прямою 1у

6124 Параболою 2

412 хху і прямою 64 ху

6125 Параболою 22 ху і прямою ху 6126 Параболою 22ху з прямими 1х 2х та віссю Ох 6127 Прямою 4х параболою хху 63 2 і віссю Ох на відрізку 40 6128 Параболою 22 ху прямою ху 4 та віссю Ох 6129 Гіперболою 3ху і прямою 4 ух 6130 Параболами 432 ух і 82 ух 6131 Параболою 225 хху та прямою 22 ху 6132 Параболами 24 ух і уух 22 6133 Параболами 28 ух і 2ух 6134 Параболою уух 62 2 і прямою 02 ух


Обчислити площу фігури що обмежена параболою 21 xnу і прямою 4 nу (n ndash номер студента за списком) Зробити малюнок


1 Наближені обчислення визначеного інтеграла формула прямокутників та формула трапецій

2 Наближені обчислення визначеного інтеграла формула Сімпсона

65

РОЗДІЛ 7 ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ sect71 Рівняння з відокремлюваними змінними


П р и к л а д Розвrsquoязати диференціальні рівняння а) 0 уdухdх б) 32хуух

Розвrsquoязання а) 0 уdухdх В заданому рівнянні змінні відокремлені Інтегруючи обидві частини

рівняння одержимо 222

22 Сух або Сух 22 ndash загальний розвrsquoязок

рівняння б) 32хуух

Так як уdydx

то рівняння набуватиме виду 32хуdydxх

Відокремимо змінні помноживши ліву та праву частину виразу на 3хdу

тобто

dyуdxхх 23

Дане рівняння є рівнянням з відокремленими змінними dyуdxx 225

Інтегруючи обидві частини рівняння одержимо

dyуdxx 225

323

323

yCx

32

ххСy ndash загальний розвrsquoязок рівняння


Знайти загальний розвrsquoязок диференціальних рівнянь 71 хеу 2 72 хsіnу 5

73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66

711 2ууху 712 5 23 ухуу 713 3 2хууу 714 хуух 43

715 4 3 ухуу 716 3 8 уху

717 011 22 dухуdхух 718 21 хуху 719 уху 210 720 сtgхуу 12

Індивідуальне завдання Знайти загальний розвrsquoязок диференціального рівняння

а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух


Теми рефератів 1 Геометричний зміст диференціального рівняння першого порядку 2 Частинний і загальний розвrsquoязок диференціального рівняння першого порядку

sect72 Однорідні диференційні рівняння


П р и к л а д Розвrsquoязати диференціальне рівняння tgххуу

Розвrsquoязання Дане рівняння є однорідним тому скористаємося заміною xuy тоді

похідна uxuу Підставимо покладену заміну у задане рівняння

xxutg

xxuuxu або tguuuxu

xdxctgudu ndash рівняння є диференційним з відокремлюваними змінними

Інтегруючи обидві частини рівняння одержимо Cxsіnu lnlnln

Cxsіnu lnln Схsіnи Схаrcsіnи

Так як xuy то Сххаrcsіnу ndash загальний розвrsquoязок рівняння

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Розвrsquoязати диференціальні рівняння

721 0 dуухdхух 722 уdууdухdх

67

723 dухdхухух 222 724 22 хууух

725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу

729 22 хууух 730 ухууху 22


Розвrsquoязати диференціальне рівняння 0 dуухdхух nnnn де n ndash номер студента за списком

Теми рефератів 1 Розвrsquoязування фізичних задач за допомогою диференційних рівнянь 2 Теорема Коші про існування та єдність розвrsquoязку диференціального рівняння першого порядку

sect73 Лінійні диференційні рівняння

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д Розвrsquoязати диференціальне рівняння хуу 2

Розвrsquoязання Дане рівняння є лінійним так як у і у у однаковому степені (першому)

Тому скористаємося заміною uvy і vuvuy Тоді xuvvuvu 2

vuxuuv 2

002

vuxuu

Розвrsquoяжемо окремо перше рівняння системи 02 uu

02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu

xeuxu 202ln Отриманий вираз підставимо в друге рівняння системи

00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2

02 dvdxxe x 02 dvdxxe x

Обчислимо частинами перший інтеграл

dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2

З поставленої умови uvy

2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC

241 ndash загальний

розвrsquoязок диференціального рівняння


731 2

2 ххехуу 732 ууух ln 733 422 хуух 734 ухух 2412 735 хуу 736 0 хdуdуеху х 737 012 хуух 738 хсosхуху 739 xухху ln12 740 хеуу

Індивідуальне завдання Розвrsquoязати диференціальне рівняння

nхеnyу де n ndash номер студента за списком


1 Економічні задачі що зводяться до диференційних рівнянь 2 Системи лінійних диференційних рівнянь зі сталими коефіцієнтами

69

РОЗДІЛ 7 РЯДИ sect 81 Ряд геометричної прогресії Необхідна умова збіжності ряду


П р и к л а д 1 Обчислити суму заданого ряду

а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n


а) Для знаходження суми ряду 1

143

132

121

1

nn

скористаємося тотожністю 111

11

kkkk Тоді сума може бути

представлена у вигляді 1

111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111

n Тобто ряд збігається і його сума дорівнює 1

б) Для ряду 231

121

61

31

1

n винесемо спільний множник 31 за дужки

21

21

21

211

31

132 n В дужках одержали ряд що являє собою

нескінченну прогресію знаменник якої 21

q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже

сума заданого ряду 322

31

S

П р и к л а д 2 Чи виконується необхідна ознака збіжності ряду

12 12

n nn


Знайдемо границю загального члена 1

22

n

nU n при необмеженому

зростанні його номера n nx

Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn

Отже необхідна умова збіжності 0lim nx

U виконується

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Записати можливий загальний член ряду

70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22

соsсоsсоsсоs

87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321

Обчислити суму заданого ряду

811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213

Перевірити чи виконується необхідна ознака збіжності рядів

821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn


1 Обчислити суму заданого ряду

1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71

2 Перевірити виконання необхідної ознаки збіжності ряду

1 1nNnNn де N ndash

номер студента за списком

Теми рефератів 1 Найпростіші дії над рядам 2 Множення рядів

sect 82 Ознаки збіжності рядів

ПРАКТИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ П р и к л а д Дослідити ряди на збіжність

а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n


а) Дослідимо заданий ряд

1

3

2nn

n на збіжність за ознакою Даламбера Для цього

обчислимо границю

n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1

Отже ряд збігається

б) Для дослідження ряду

2 ln1

nn n

використаємо радикальну ознаку Коші

n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1


в) Для дослідження ряду

1 3 2321

n n використаємо радикальну ознаку Коші

Маємо 3

2

32

1

xxf Знайдемо невласний інтеграл

2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b

Невласний інтеграл розбігається Отже розбігається і заданий ряд

ЗАВДАННЯ ДЛЯ САМОСТІЙНОЇ РОБОТИ Користуючись ознакою Даламбера дослідити на збіжність ряди

72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn

Користуючись ознакою радикальною ознакою Коші дослідити на збіжність

ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg

Користуючись ознакою інтегральною ознакою Коші дослідити на збіжність ряди

843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn


Дослідити на збіжність ряди

а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn

Де N ndash номер студента за списком

Теми рефератів 1 Степеневі ряди 2 Застосування рядів до наближених обчислень

73

СПИСОК РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ

1 Шеченко РЛ Основи вищої математики minus Біла Церква 2005

2 Валєєв КГ Джалладова ІА Вища математика ч І minus К 2001

3 Курош АГ Курс высшей алгебры minus М Физматгиз 1959

4 Натансон ИП Краткий курс высшей математики minus М Физматгиз 1963

5 Барковський ВВ Барковська НВ Математика для економістів minus К

1999

6 Маркович ЭС Курс высшей математики с элементами теории

вероятностей и математической статистики minus М Физматгиз 1972

7 Кудрявцев ВА Демидович БП Краткий курс высшей математики minus М

Наука 1986

3

РОЗДІЛ 1 ЛІНІЙНА АЛГЕБРА sect11 Матриці та дії над ними


П р и к л а д Дано матриці А та В

102353

021А

2135411010

В

знайти матриці а) ВА б) А4 в) ТА г) ВА д) АВ е) 2А

а)

111298011

2110325345113

001201ВА

б)

408

122012084

140424345434

0424144 А

в)

130052231

102353

021 Т

ТА

г)

102353

021ВА

2135411010

215002114012311100223550313451333115032052011042113011201

23319264610722

д)

2135411010

АВ

102353

021

123103025123223113153401105542112534111

103100005120203110

4

112174211353

е)

102353

0212 ААА

102353

021

113002015022213012133503035523233513103201005221203211

1401219126125



14

21А

3725




631123

А і

274431

В


73

111А та

1829




212

241130

А

5342019111




123454321

А

314251421


5



51

32А та

3729




17 2

1432

4312

18 2

74119

7365

19

102243581

102243581 2

110

Т

132201

472

132201

472 2

111

4312

2431

86012

21

112

4315

2137

36012

31

113

8024

21

2318

4137

114

3096

31

5718

4157

115

31

207

645342

732514

116

645342

153642541

4732514

6

117

3120

7

617342

739564

118

152670541

4

695443

782536



01423

12

121543543

71451321

nn

nnnn

nn

n





7041223221

43

536352234

633232554

532433652 1843036605412100


536352234

А


818105632

12 М 3212205624

22

М

81810635215632

1 321

12 А

7

321220265415624

1 422

22

А


2173

1113153

123257

141124321573

332313

44172311115331225371463118


6142302151032121


8021302170242121


812032074202121

1


5100210074202121

35

153001050074202121


8

90312115

3000210074202121

35



119 12743

120 11409

121 7564

122 2817

123 51

116

124

2843

125 537356235

126 158269374

127 538412235

128 963852

741

129 017356295

130

4713221543

131 252

1433825

132

562413387

133 447321

6511 134

5143102213

135 232

5129193

136

3427653320

9

137

2511122122321241

138

2311122221301201


139 2113501354

140 1260314412

141

2622121123041254

142

3011150442321246


143 213

117

144

1071433

145 631

1582321

146

1310814422

147

2130162205041231

148

2622526124311254



1) 51

1nn 2)

nnn

nn

32712

22 3)

26152412411225

nn

nnn

n


10





321433152

А


68321433152

173243

11

А 53143

12 А 92133

13

А

173215

21 А 73112

22

А 132152

23 А

174315

31

А 11

4312

32

А 2133

5233

А


21191175

171717

6811А


21191175

171717

681

321433152

1АА

213112171137217193521712141131731473173945317321111517211751729155172

681

100010001

680006800068

681

11


74

9535

21X

1

3521

7495

X


3521

1310335

21


1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X



149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

4

112174211353

е)

102353

0212 ААА

102353

021

113002015022213012133503035523233513103201005221203211

1401219126125



14

21А

3725




631123

А і

274431

В


73

111А та

1829




212

241130

А

5342019111




123454321

А

314251421


5



51

32А та

3729




17 2

1432

4312

18 2

74119

7365

19

102243581

102243581 2

110

Т

132201

472

132201

472 2

111

4312

2431

86012

21

112

4315

2137

36012

31

113

8024

21

2318

4137

114

3096

31

5718

4157

115

31

207

645342

732514

116

645342

153642541

4732514

6

117

3120

7

617342

739564

118

152670541

4

695443

782536



01423

12

121543543

71451321

nn

nnnn

nn

n





7041223221

43

536352234

633232554

532433652 1843036605412100


536352234

А


818105632

12 М 3212205624

22

М

81810635215632

1 321

12 А

7

321220265415624

1 422

22

А


2173

1113153

123257

141124321573

332313

44172311115331225371463118


6142302151032121


8021302170242121


812032074202121

1


5100210074202121

35

153001050074202121


8

90312115

3000210074202121

35



119 12743

120 11409

121 7564

122 2817

123 51

116

124

2843

125 537356235

126 158269374

127 538412235

128 963852

741

129 017356295

130

4713221543

131 252

1433825

132

562413387

133 447321

6511 134

5143102213

135 232

5129193

136

3427653320

9

137

2511122122321241

138

2311122221301201


139 2113501354

140 1260314412

141

2622121123041254

142

3011150442321246


143 213

117

144

1071433

145 631

1582321

146

1310814422

147

2130162205041231

148

2622526124311254



1) 51

1nn 2)

nnn

nn

32712

22 3)

26152412411225

nn

nnn

n


10





321433152

А


68321433152

173243

11

А 53143

12 А 92133

13

А

173215

21 А 73112

22

А 132152

23 А

174315

31

А 11

4312

32

А 2133

5233

А


21191175

171717

6811А


21191175

171717

681

321433152

1АА

213112171137217193521712141131731473173945317321111517211751729155172

681

100010001

680006800068

681

11


74

9535

21X

1

3521

7495

X


3521

1310335

21


1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X



149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

5



51

32А та

3729




17 2

1432

4312

18 2

74119

7365

19

102243581

102243581 2

110

Т

132201

472

132201

472 2

111

4312

2431

86012

21

112

4315

2137

36012

31

113

8024

21

2318

4137

114

3096

31

5718

4157

115

31

207

645342

732514

116

645342

153642541

4732514

6

117

3120

7

617342

739564

118

152670541

4

695443

782536



01423

12

121543543

71451321

nn

nnnn

nn

n





7041223221

43

536352234

633232554

532433652 1843036605412100


536352234

А


818105632

12 М 3212205624

22

М

81810635215632

1 321

12 А

7

321220265415624

1 422

22

А


2173

1113153

123257

141124321573

332313

44172311115331225371463118


6142302151032121


8021302170242121


812032074202121

1


5100210074202121

35

153001050074202121


8

90312115

3000210074202121

35



119 12743

120 11409

121 7564

122 2817

123 51

116

124

2843

125 537356235

126 158269374

127 538412235

128 963852

741

129 017356295

130

4713221543

131 252

1433825

132

562413387

133 447321

6511 134

5143102213

135 232

5129193

136

3427653320

9

137

2511122122321241

138

2311122221301201


139 2113501354

140 1260314412

141

2622121123041254

142

3011150442321246


143 213

117

144

1071433

145 631

1582321

146

1310814422

147

2130162205041231

148

2622526124311254



1) 51

1nn 2)

nnn

nn

32712

22 3)

26152412411225

nn

nnn

n


10





321433152

А


68321433152

173243

11

А 53143

12 А 92133

13

А

173215

21 А 73112

22

А 132152

23 А

174315

31

А 11

4312

32

А 2133

5233

А


21191175

171717

6811А


21191175

171717

681

321433152

1АА

213112171137217193521712141131731473173945317321111517211751729155172

681

100010001

680006800068

681

11


74

9535

21X

1

3521

7495

X


3521

1310335

21


1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X



149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

6

117

3120

7

617342

739564

118

152670541

4

695443

782536



01423

12

121543543

71451321

nn

nnnn

nn

n





7041223221

43

536352234

633232554

532433652 1843036605412100


536352234

А


818105632

12 М 3212205624

22

М

81810635215632

1 321

12 А

7

321220265415624

1 422

22

А


2173

1113153

123257

141124321573

332313

44172311115331225371463118


6142302151032121


8021302170242121


812032074202121

1


5100210074202121

35

153001050074202121


8

90312115

3000210074202121

35



119 12743

120 11409

121 7564

122 2817

123 51

116

124

2843

125 537356235

126 158269374

127 538412235

128 963852

741

129 017356295

130

4713221543

131 252

1433825

132

562413387

133 447321

6511 134

5143102213

135 232

5129193

136

3427653320

9

137

2511122122321241

138

2311122221301201


139 2113501354

140 1260314412

141

2622121123041254

142

3011150442321246


143 213

117

144

1071433

145 631

1582321

146

1310814422

147

2130162205041231

148

2622526124311254



1) 51

1nn 2)

nnn

nn

32712

22 3)

26152412411225

nn

nnn

n


10





321433152

А


68321433152

173243

11

А 53143

12 А 92133

13

А

173215

21 А 73112

22

А 132152

23 А

174315

31

А 11

4312

32

А 2133

5233

А


21191175

171717

6811А


21191175

171717

681

321433152

1АА

213112171137217193521712141131731473173945317321111517211751729155172

681

100010001

680006800068

681

11


74

9535

21X

1

3521

7495

X


3521

1310335

21


1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X



149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

7

321220265415624

1 422

22

А


2173

1113153

123257

141124321573

332313

44172311115331225371463118


6142302151032121


8021302170242121


812032074202121

1


5100210074202121

35

153001050074202121


8

90312115

3000210074202121

35



119 12743

120 11409

121 7564

122 2817

123 51

116

124

2843

125 537356235

126 158269374

127 538412235

128 963852

741

129 017356295

130

4713221543

131 252

1433825

132

562413387

133 447321

6511 134

5143102213

135 232

5129193

136

3427653320

9

137

2511122122321241

138

2311122221301201


139 2113501354

140 1260314412

141

2622121123041254

142

3011150442321246


143 213

117

144

1071433

145 631

1582321

146

1310814422

147

2130162205041231

148

2622526124311254



1) 51

1nn 2)

nnn

nn

32712

22 3)

26152412411225

nn

nnn

n


10





321433152

А


68321433152

173243

11

А 53143

12 А 92133

13

А

173215

21 А 73112

22

А 132152

23 А

174315

31

А 11

4312

32

А 2133

5233

А


21191175

171717

6811А


21191175

171717

681

321433152

1АА

213112171137217193521712141131731473173945317321111517211751729155172

681

100010001

680006800068

681

11


74

9535

21X

1

3521

7495

X


3521

1310335

21


1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X



149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

8

90312115

3000210074202121

35



119 12743

120 11409

121 7564

122 2817

123 51

116

124

2843

125 537356235

126 158269374

127 538412235

128 963852

741

129 017356295

130

4713221543

131 252

1433825

132

562413387

133 447321

6511 134

5143102213

135 232

5129193

136

3427653320

9

137

2511122122321241

138

2311122221301201


139 2113501354

140 1260314412

141

2622121123041254

142

3011150442321246


143 213

117

144

1071433

145 631

1582321

146

1310814422

147

2130162205041231

148

2622526124311254



1) 51

1nn 2)

nnn

nn

32712

22 3)

26152412411225

nn

nnn

n


10





321433152

А


68321433152

173243

11

А 53143

12 А 92133

13

А

173215

21 А 73112

22

А 132152

23 А

174315

31

А 11

4312

32

А 2133

5233

А


21191175

171717

6811А


21191175

171717

681

321433152

1АА

213112171137217193521712141131731473173945317321111517211751729155172

681

100010001

680006800068

681

11


74

9535

21X

1

3521

7495

X


3521

1310335

21


1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X



149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

9

137

2511122122321241

138

2311122221301201


139 2113501354

140 1260314412

141

2622121123041254

142

3011150442321246


143 213

117

144

1071433

145 631

1582321

146

1310814422

147

2130162205041231

148

2622526124311254



1) 51

1nn 2)

nnn

nn

32712

22 3)

26152412411225

nn

nnn

n


10





321433152

А


68321433152

173243

11

А 53143

12 А 92133

13

А

173215

21 А 73112

22

А 132152

23 А

174315

31

А 11

4312

32

А 2133

5233

А


21191175

171717

6811А


21191175

171717

681

321433152

1АА

213112171137217193521712141131731473173945317321111517211751729155172

681

100010001

680006800068

681

11


74

9535

21X

1

3521

7495

X


3521

1310335

21


1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X



149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

10





321433152

А


68321433152

173243

11

А 53143

12 А 92133

13

А

173215

21 А 73112

22

А 132152

23 А

174315

31

А 11

4312

32

А 2133

5233

А


21191175

171717

6811А


21191175

171717

681

321433152

1АА

213112171137217193521712141131731473173945317321111517211751729155172

681

100010001

680006800068

681

11


74

9535

21X

1

3521

7495

X


3521

1310335

21


1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X



149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

11


74

9535

21X

1

3521

7495

X


3521

1310335

21


1523

131

3521

1

1523

131

7495

X

1724573419255935

131X

147160

131X

131

1347

131

1360

X



149

4321

150

5042

151

112211322

152

125211011

153

511220311

154

426523314

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

12

155

131202121

156

421531321

157

412520211

158

452521012


159

10910

7111

X 160

11501

3112

X

161

2593

2112

X 162

1251011

2104

X

163

25

042113

X 164

2573

21100

X

165

1501

21118

X 166

10

0111

14X

167

231310

121

411511211

Х 168

231504123

101121

202Х


169

011211

211 170

464321

232




71451321

nn

nА


nX

nn

104

371


13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

13





962385371772

zухzух

zух


677252331357271632623537172


678175293195712863176295381717

х

1683361702731516306

176795238151731976826935871172

у

50471490242556396

977822331717273879329238371772

z


1168168

хх 3168

504

уу 2168336

zz


14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

14


формулою

3

2

11

bbb

Аzух



3

2

1

bbb



ijji

іj MА 1

8101825636253

11 А

27154235676357

12 А

591433272337

13 А

4024221676217

21 А

931231626312

22 А

1721437222372

23 А

3233531575317

31 А

371071525712

32 А

4349677323772

33 А


431753927

32408

332313

322212

312111

ААААААААА

А

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

15


zyx

дорівнює

3

2

11

bbb

Аzух

9817

431753927

32408

1681

94381717593891727

932840178

1681

387136852772459288320136

1681

23

1

336504168

1681



171

55367352

9234

zухzухzух

172

0241343732

zухzухzух

173

1542313302

zухzухzух

174

062333242

zухzух

zух

175

9248326635

zухzухzух

176

82112

3

zухzухzух

177

104286555432

zухzухzух

178

774223

122

zухzухzух

179

0210462138

zухzухzух

180

8531432

45

zухzухzух

181

3342926243

zухzух

zух 182

3542523

zухzух

zух

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

16


1

1246520233632

zухzух

zух 2

223432032

zухzухzух

3

27461379

20952

zухzух

zух 4

2327254539324

zухzухzух

5

721322

zухzух

zух 6

3534203425243

zухzухzух

7

102544323423

zухzухzух

8

93217243

232

zухzухzух

9

949449252

zухzухzух

10

82123

zухzух

zух



17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

17





X

Y

1 2 3 4 5 6

-1

1

2

3

4

5

6

7

8

0



1

12

1

уууу

хххх


626

030




1

12

1

уууу

хххх

А1

А2

А3

М Н

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

18


636

050



31



351

31

31

АААА k

k




352 ху Після



502

31

ААм

ххх 54

236

231

АА

м

ууу


точки 12

1

12

1

уууу

хххх


2542

3523



34

21


21

21

5332

32

3232

ххууk АА



1131

611

21

341

34

21

1 21

12



1

3

2

1

1

3

2

1

21

уууу

хххх

S 552

1160256365332021

6326

0530

21 одкв


19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

19

85529

916181324

22

00 одВА

СВуАхd








20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

20








212

212



12

1

12

1

12

1

zzzz

уууу

хххх



494

373

252 zух

134

43

32

zух

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

21


424

313

2132 zух

64

23

112

zух


zyxzyx

zzyyxx

вввааа

вававаА



zyx azz

aуу

aхх 111


Тоді

58290161194

10362111343

61324113cos222222

А



іzzууzzуу

АААА1313

12123121

jzzххzzхх

1313

1212

kууххуухх

1313

1212

kjі5043

80133

85134

kjikjі 1524970150246532

Тоді 10210152497 2223121 AAAA

Отже 501021021

21

3121 одквAAAAS


0

131313

121212

111


тобто 0443222493725432

zух


487153529061

6211850

1343

61

61

141414

131313

121212


V

65170 одкуб


22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

22







23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

23





02





2

2

2

ву

ах


22

ух



652

ас





а



ас то



2

ааа

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

24


22

ух



16

454

х












25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

25




20n



3n



26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

26










X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

X

Y

-4 -3 -2 -1 1 2 3 4

-2

-1

1

2

3

4

5

6

0

а) б) в)


31 хх

у

2


32 ху 25 у точках 0 1 25


27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

27


3

2

35 хх



36 хх

у

2

1 37 ху 25

38 23

22

ххху 39

хху

41

2

310 342 хху 31123

12

хх

у


ху 2

lg1


315 111 2 ххху

316 xxх

у

32 lg

41 317 216 хsіnxу




324 2хsіnу 325

22 хsіnу

326 2


328 sіnху21

329 sіnху212


330

01

01х

хху

331

24

22

ххх

у

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

28

332

01

012

2

хххх

у



а) nхnху

15

2 б) 22 хnxу

в)xnхn

ху

1 г) xx

хnу

2lg1






а) 497653lim 2

2

xxxx

x б)

253853lim 2

2

1

xxxx

x

в) x

ххx

44lim0



а)

497653

497653lim 2

2

2

2

xxxx

x




73

007003

497

653

497

653lim

497

653

lim2

2

2

222

2

222

2

xx

xx

xxx

xx

xxx

xx

xx


а

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

29

б)

00

2151381513

253853lim

2

2

2

2

1 xxxx

x




отримаємо

11111

213813

2383lim

)23)(1()83)(1(lim

11

xx

xxxx


в)

0

00

040444lim0 x

ххx




xхх

x

44lim0

xхх

x

44lim0

хххх

4444

=

)44(2lim

)44(44lim

00 xxxx

ххххх

xx

xxx 442lim

0

21

42

442

г)

)4510216(lim xxxx




)451016(lim 2 xxxx

xxx

xxxxxxx 451016

4510161

451016lim2

22

xxx

xxxx

xxxxx 451016

510lim451016

1651016lim22

22


30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

30

451016

510lim

451016510lim

22

xxxx

xxxx

xx

451016

510lim

2

2

xxxx

x

451016

510lim

2xx

xx

40016010

451016

510

2

45

810

41610



333 11lim

3

1

хх

x 334 12lim

2

х

x

335 234

lim2

2

хх

ххx

336 6

8lim 2

3

ххх

x

337 6583

2

3

lim

xx

xxx

338 936

lim3

2

xx

xxx

339 6

8lim

2

3

хх

хx

340 6583

lim2

3

xx

xxx

341 xх

хx 69

1lim

2

342 112lim

хх

x

343 14

1lim

х

хx

344 22

23lim

3

2

х

ххx

345 22

228lim

3

4

х

ххx

346 232

43lim

2

2

хх

ххx

347 12536lim 3

2

xxxx

x 348

210

5

44346

limxx

ххx

349 29

5

4346lim

xxхх

x

350

хxхх

x 27

lim2

351 ххх

x 2972lim

2

352623

89lim

2

2

хх

хx

353 ххх

хx 623

89lim

24

2

354 24

lim2

2

х

хx

355 4

65lim

2

2

2

х

ххx

356 234

lim2

2

1

хх

ххx

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

31

357 11

lim4

3

1

х

хx

358 2

16lim

2

4

x

хx

359 x

хx

3

9lim

9 360

134lim

2

1

ххх

x

361 232

23lim

2

2

2

хх

ххx

362 1

1lim

1

х

хx

363 6

8lim

2

3

2

хх

хx

364 12

5lim5

х

хx

365 11

lim20 х

хx

366 26

2lim2

х

хx

367 x

xxx

33lim0

368 x

xx

7

32lim7

369 хх

хx 11lim

0 370 2

2

0

416limx

xx

371 )1(lim ххx

372 )21(lim 2

ххx


374 )241(lim 24

ххx

375 )43(lim 23 xххx

376 )4(lim 2 xххx


а) 21254

lim2

2

хnх

хnхx

б) nx

limxnn

nxnx

2

22 2

в)хnхn


x





а) x

xx 3

7sinlim0

б) 12

23lim

х

x хх в)

xx

x 3)71ln(lim

0

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

32

г) x

xx

x

57lim0

д) xx

x 51)121(lim

4

0


а) x

xx 3

7sinlim0


x

xx


Маємо 371

37sin

37lim

73

sinlim3

7sinlim000

y

yyy

xx

yyx

б) 12

23lim

х



ne

n

)11(lim 722e


хх



23lim

n

n

х

x nхх

1010

1410 111lime

en

n

n

в) x

xx 3

)71ln(lim0


00


xx

x



0limy 3

7137)1ln(lim

37)1ln(

37lim

73

)1ln(00

y

yy

yy

yyy

г) x

xx

x

57lim0


00 тому


a x

xln1lim

0


xx

xx

x

xx

x

1)(5lim57lim 57

00

57ln11)(lim5lim 5

7

00

x

x

x

x

x5ln7ln

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

33

д) xx

x 51)121(lim

4

0


00


xх а

x

11lim0


5484

5121)1(lim

5121)1(

512lim

125

)1(lim4

0

4

0

4

0

y

yyy

yy

yyy



377 x

xx 7sin

14lim0

378 x

arctgxx 9arcsinlim

0

379 xxarctg

x 5arcsin4lim

0 380 0180

)sin(lim

x

xx

381 2

24limx

хсоsхсоsx

382 20 54cos1lim

xx

x

383 х

x х

511lim 384

х

x хх 2

23lim

385 23

2

2

21lim

х

x хх

386

х

x х

2

5641lim

387 x

xx

5

0)33(lim

388 x

xx 2

5

0)102(lim

389 93

)62(lim3

x

xtgx

390 26

3535lim

x

x хх

391 x

xx 10

)51ln(lim0

392 x

xx 6

)31ln(lim0

393 xtg

xx 2

2

0

)sin1ln(lim

394 x

x х

46

1391lim

395 x

xx 5

)91(loglim 4

0

396 x

xx

x 223lim

0

397 x

xx

x

74lim0

398 x

xx 66

lglim1

399 x

xx

x

28lim0

3100 xx

x 41)21(lim

3

0

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

34

3101 xx

x 151)151(lim

4

0

3102 6215lim

3

3

x

x

x

3103 xx

x 91)31(lim

7

0

3104 x

xx 24

1)1(lim5

2



а) x

arctgnxx 2arcsinlim

0 б)

nх

x nх

211lim в) xnnx

x 1)1ln(lim

0

г) xnn xx

x

3lim0

д) x

nxx 5

1)1(lim6

0






74

13

xxx

y 2

211

xxx


X

Y

1 2 3

1

2

3

4

0

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

35


)(lim01

xfx

4)3(lim01

xx

0)1(lim)(lim0101

xxfxx



xxfxx

)(lim02

xfx

1)1(lim02

xx



xy

31 при Rx


01

31lim)(lim

0303 хxf

xx

01

31lim)(lim

0330 хxf

xx


X

Y

-4 -3 -2 -1 1

-3

-2

-1

1

2

3

4

0



3105 1011

00

2

x

xхx

xf 3106 1011

21

00

xx

х

x

xf

3107 1111

141

102

xx

х

x

xf 3108 xf

121

1162210

xx

хx

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

36

3109 3231

4420

2

x

xхх

xxf 3110 xf 21

2112

10

xxхx

3111

121

1112

2102 x

xх

x

xf 3112 xf

121

1144212

xx

хx

3113 201

1

xпри

xxy 3114 Rxпри

xxxy

3 2

3115 221

12

xпри

xy 3116 22

11

xприx

xy

3117 приx

xy 1

12

Rx 3118 при

xxy

21

Rx

3119 приx

xy 4

1

68x 3120 1009

12

xпри

xy

3121 311

12

xприx

xxy 3122 Rxприx

xxy

1122

3123 Rxприххx

y

43

123 3124 Rxпри

xxxxy

1

133 23



а) 010

1102

xxnхnx

xf б) Rxприxnx

y

12



37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

37




а) 7214 23 хху б) 13

7 3

54х


г) x

xуln




а) 7214 23 хху

хххху 21213 12022134

б) 137 3

54х

ху


m n aа mm

aa


1373

137 3

54

54 ххх

ху


1474

113173

552

73

552

7313

54

73

хххххху


9ln


г) x

xуln

arcsin


vuvuvu

тоді

x

xxx

xx

xxxxу2

2

2 ln

1arcsinln1

1

lnlnarcsinlnarcsin

д) xxtgу 43

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

38


43

42cos

142

1 2

33

x

xxxxtgу



41 2214 25 хху 42 ххху 28

41

43 xхху 234 44 xхху 34 76

45 52

51 хху 46 4

412 23 хху

47 274 2 хху 48 х

хху 12 23

49 2612 67 хху 410 73

71 хху

411 34 3 2

хху 412 3

3 5 6х

ху

413 66 5 3

хху 414 7

7 6 4х

ху

415 66 7 2

хху 416 3

7 8

31х

ху

417 43 2 2

хху 418 7

5 3 6х

ху

419 88 7 9

хху 420 5

5 6 3х

ху




431 tgx

xу 432 x

ху 256

433 х

arctgxу 434 x

tgxу

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

39

435 x

xуln

436 x

xуsin

2

437 x

eуx

cos 438

xeу

x

arccos5

439 x

хуcos5

440 х

хху24 94



447 34 2 xу 448 xу ln


457 x

у2ln





463 4

x

xy 464 x

xxy4

ln 2

465 96

943

24

хххху 466

42169

23

2

ххх

ху

467 8ln

2323 2

х

xxу 468 483

16252

4

хх

ху

469 3 3

2

4152016

xxxху

470 52

2544

6

хх

ху



а) nхn


ху nn n 61

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

40


xnxу n

n

sin22






1sin1cos

2

2

tytх




0)ln()sin( yxyx

01)1()cos(yxyyyx

xyyx

yx (cos(1)cos(

1)cos(

1)cos(0)1)

yxyx

yxyx

yyx

y

б)

1sin1cos

2

2

tytх


tytх


tх x

уу

1

21cos21sin 2

2

2

ttgtttt

xуу

t

tх



41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

41


xy

y 4cos41 xxxx

xхх 6343

14sin43ln 23

23



43

634sin43ln 3

223

xxxxxхх

xхх 4sin23 43



lnlog тоді

)1(log sin xy x


sinln)1ln(

xxxxxy

xx

x

xx

xxxx

sinln

cossin

1)1ln(sinln2

11

1

2

xxx

xxxxxx

sinlnsin)1(


1

2



479 xy

yxxytg

yx 12)(

)cos( 32



481

43

2

tyttх

482

7643

3

2

ttyttх

483

39

1121

41

2

34

tty

ttх 484

1log1ln

22

2

tytх

485

ttytttх

4cos1sinsincos 2

486

tey

teхt

t

4cos41

sin7

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

42


cos1 xxу 488 422

3 xxху

489 42

1

x


491 хе

xу

3

44

492

142

211

х

xу

493 4)4( xxy 494 tgxxy )7(log



497

xу

хx

43log25

498

22 2

1log 2 xxухх

499

2334 2

131log xxу

x 4100

xxу

x

1log




n

nn

xntty

tttn

х

1

421

3


xxnу n x sin

2log








43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

43


5125541045 33 20 ху

3 2 510531010

хх

ху 32

25350

5410453104104

3 2

у

01503032500 ххухуу




14333

86602360sin0 ху

502160cos60 у

8920052050866060sin 00 ххуху


4101 5 2 124 хху 980х 4102 3 23 232 ххху 991х

4103 8102

12

хх

у 041х 4104 192

хх

ху 241х




44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

44





х

ху




хх




0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx

0

11

lim 201 xx

x

01

1lim 201 x

xx



001

1limlim 2

xxxfk

xx

010

1lim

1limlim

22

2

2

2

хxx

xx

xxkxxfb

xxx



22

2

22

2

22

22

22

2

11

11

112

121

х

хх

хх

ххх

ххху

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

45


122

2

х

х




42

222

42

2222

122112

1212112

ххххх

хххххху

32

2

432

х

хх


4122

32

2

х



minus + minus + х


X

Y

-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5

-5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

5

0

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

46


4119 322 хху 4120 13231 23 ххху

4121 3159 23 ххху 4122 24 2хху

4123 28 24 хху 4124 2

32х

хху


4127 хху 64 2 4128 31 хху

4129 224 24 хху 4130 х

ху 1

4131 22 4 хху 4132 21 хху


4133 524 24 хху 22 4134 хху 40 4135 155 345 ххху 21 4136 263 23 ххху 11


41372

2

х

хху 4138 2

4 2

х

хху

4139 12

2

хху 4140

5

2

хху

4141 х

ху 12 4142

432

х

ху

4143 92

2

хху 4144 2

1х

ху

4145 22

хху 4146 22

х

ху



N ndash



47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

47





yz функцій


ухz

32


хууу

ху

xz 2

323 402

1214


б) уеz х

уеxz х

уе

уz х

21

в) sіnху

ухz

32

хуsіn


х

xz

2

2

23

322

хуsіn


х

2

2

23

3

уz

хуsіn


2

2

23

323



yz функцій


53 xyxyxz 223 2332 54 уyxyxz 3214 2334


2 510 xxyyz 103log 23

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

48


513 52 xyxz 514 ухz

515 yx

xyz

2 516

10ln

x

yz

517 xy

yz ln 518

хyz ln

519 у

сosxz 520 у

arcсosxz

521 уеz ху 2 522 у

ехzх

322

523 у

ехzу

422

524 yx

yz

ln


527 ух

аrсsіnxz

528 32

32

yxyxz


5 log3 yхуz



yz функцій

а) xyхny



xnxz n

n

sin22






2

432

ухz



а (-12 -5)

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

49


333 44

4022

ух

ух

ух

xz

1

11

3)11(

Ауz

4

2

4

2

4

2

23

46

4023

ух

ух

ух

уz

43

12134

2

)11(

Ауz


xzgradz AA

Тобто jigradz

431



coscos

AA yz

xz

az


1312

2514412cos

22

ух

х

ааа

135

251445cos

22

ух

у

аа

а

Тоді 5233

521548

5215

1312

135

43

13121

az


431

5233

az






2

1


в точці А


4

y





в точці А

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

50







538

а (1 ndash1) 539

а (ndash2 15) 540

а (0 7) 541

а (5 1) 542


а (ndash5 ndash12)





а





а


4

y


в точці А




а




а


2arccos


а (12 ndash5)


а


yxarctgz

2




а


а (3 4)


а




а

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

51


lnу




а


2ln




а



хуyх

уху nnn 2


а (n ndashn)


а







yyzx

xzyxzz yxyx

000000




ух

ухху

xz 42 5

244 ух

ухху 42 524

1021621521

2214 42)11(Аx

z 8

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

52

52

244 х

ухух

уz 52 24 х

ухух

5128121

2214 52)11(

Ауz


yyzx

xzyxzz yxyx 000000 212090503082

















53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

53






10 24 xyyxx

nуxz nn








92 ухxz 62

ухуz


062092

хуух



2)41(2

2

0

МхzА 2)41(2

2

0

МуzС 1)41(

2

0

МухzВ




54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

54


02 х

xL 02

у

уL 01

yxL


х 21


21

21

0М 1




21

21

min

zz




578 ухz при 2111

22 ух

579 ух

z 11 при 2 ух





55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

55




а) dxххх 12415 43 б) dx

xxx )7( 3

3 5 в) dxx )49cos(

г) dхxxln

д) dxx ln




415 4343


2

54111413

2045

112

144135

б) dxxdxx

dxxdxxdxx

xx 21

33 5

33 5 7)7( dxxdxx 33

5

7

Cxxxdxxхх13

71

351

217

1351

21

131351

21

3

1351

21

38

23

38

23

xx

Cx2

72

127

83

32

27 2

3 832

Cx

xxCx

в)

Ctdttdttdtdxdtdx

txdxx sin

91cos

91

91cos

91

949

)49cos(

)49sin(91 Cx


г) ln21

21lnln 22 CxCtdttdt

xdxtxdx

xx


д)

Cdxxxdxx

xxxvxdvdx

dux

dxuxdxx ln1ln

lnln ln Cxxx


56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

56


61 dxх

хх )3210( 2 62 dxxх )cos7110(


ххх )310( 5

65 dxхх 2612 67 66 dxхх 274 2

67 dxх

хх )543( 2 68 dxxхх )sin1210( 4

69 dxх

хх )124( 23 610 dxх

хх )4331( 2

611 dxx

x )1(4 11

4 612 dxx

x )617(9 5

2

613 dxx

x )1(4 5

3 614 dxx

x )1(4 7

7

615 dxx

x )1(7 12

9 616 dxx

x )1(5 6

3

617 dxx

x )1(6 5

11 618 dxх

х 123 43 2

619 dxх

х 2314 3

7 8 620 dxхx

x )21(3 2

7



31

623 dxех46

624

dxх 144

625 xdx

43sin 2 626 143 2x

dx

627 dxхosс 38 628 291 хdx

629 3

sin 2 хdx 630 х

dx83

631 dxх

х 15

4

632 dxе

ех

х

12

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

57


1

635 dxе

ех

х

1 636 dx

xx

2ln

637 dxxx 2ln

1 638 dxх

х 14

3

639 dxеех

х

1

640 dхxxln



х

642 dxxх ln2



x 2

ln

647 dxx

x 2sin

648 osхdxсх 2



а) dxхnхх n


nxn

n )1(3 3

в)

1

1n nx

dxn г) dxеxn nx

2






а) 842 ххdx б)

2962 ххdx в) dx

ххх

352172


58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

58


а) 842 ххdx

2222222 22428222284 хххххх Тоді

Схarctg

хdх

ххdx

2

221

2284 222

б) 2962 хх

dx

313211323269962 2222 ххххххх 22

133 х Тоді

Схarcsіn

х

dxхх

dx

3

1331

133962 222

в) dxхх

х

352

172

Нехай

352523

352523

352352172

ххВВхААх

хххВхА

хВ

хА

ххх

352

352хх

АВхВА

173522

АВВА



524

352172

хххх



Cxxxdx

xdx

хdx

xdxdx

ххх ln3ln52ln

24

3524

3524

352172

352lnln3ln52ln

22

xxCCxx



651 1072 ххdx 652 544 2 хх

dx

653 469 2 ххdx 654 dx

ххх

54414

2

655 dxхх

х

127

22 656

234 ххdx

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

59

657 2962 хх

dx 658 dxхх

х

2213

2

659 dxхх

х

21

75 660 dxххх

3521

661 dxхх

х

2312

1317 662 dxхх

х

2312

3

663 dxхх

х

2

43 664 dxхх

х

56

92

665 dxххх

х

321

1814 666 dxхххх

34852

667 dxхх

хх

15

142 2

668 dxхх

хх

2

42 2



а) nnххdx

22 б) dxnхnх

nх

2

5







2



21


214

41

21104

21

хcоs481

хcоs10201


212

ttsіnх

2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх

Тоді

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

60

2

2

2 11

122

12

2tt

tt

tdx

cоsхsіnхdx

522

142

114

12

22

2

2 tdt

ttdt

ttt

tdx

Схtg

хtg

522

522ln

5212 Схtg

хtg

522

522ln

51

в)

2

221

212

2121


Cxsіnx

42

2



434



669 dххxsіnsіn3





dx45

679 cоsхdx32


681 cоsхdx

1 682 sіnх

dx2



4

3


2

3



61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

61






а)

7

1 43хdх б)

5

2245 хх

dх

в)

2

0 2


1

0


а) 322125

3243

32

121

433143

43 1

77

1 1

7121

7

1

ххdxх

хdх

б) 201

32

2945 2

55

22

5

22


хdx

ххdх


Знайдемо 2

2

11

ttсоsх

212

tdtdх


12 t при 22

х Тоді

32

332

32

112

12

2 0

11

02

1

02

2

22

0

tаrсtgt

dt

tt

tdt

соsхdх

3

1аrсtg

330

32

632

31

32

аrсtg


62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

62

11

11

1

02

0

1

2

1

0

аrсsіnх


dxdu


12

1000

12

хаrсsіn



693

3

2

23 52 dххх 694

2

2

3 4 dххх

695

1

23511 х

dх 696

13

2 5 43 хdх

697

9

4 11

хdхх 698

1

02 54хх

dх

699

3

22 1ххdх 6100

4

6

2

хсоsdх

6101 2

02 4

3 dххх 6102

2

12 45хх

хdх



0 223

6105

1

50228 хх

dх 6106

13

0223 хх

dх

6107

2

21

соsхdх 6108

2

12

1

х

dхх

sіn

6109 4

02


2

0

2

6111

2

2

3


3

22 232 хх

dх

6113 2

1

ln хdхх 6114 1

0

dххе х

6115 2

1

1ln dххх 6116 1

0

22 dхех х

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

63

6117 dххsіnх 2

0

2 21

6118 dххсоsх3

0



а)

1

1


1

12

2n nnхх

dхnx








1

0

31

0

21

0

21


61

31

21 одкв

X

Y

05 1 15

05

1

15

2

0



64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

64










65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

65








Так як уdydx



тобто

dyуdxхх 23



dyуdxx 225

323

323

yCx

32




73 4

12

х

у 74 хsіn

у2

12

75 22 уdу

хdх

76 ухеу

77 3 25 уху 78 4 хууу

79 хуух 23 710 23 уух

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

66


715 4 3 ухуу 716 3 8 уху



а) уn

n

eху 32

б) 2 nn уух








xxutg








67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

67


725 хууух ln 726 22

2

хуу

727 22

2ух

хуу

728 ух

хуу









vuxuuv 2

002

vuxuu


02 udxdu

udx

02 dxudu

02 dxudu


00 2 vexvux x

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

68

02

dxdvex x xe

dx2



dxxexe

vedxdudxedvxu

dxxex

x

x

x

222

222

2

2 2

2 xxe Ce x

4

2

Тоді 2

2 xxe vCe x

4

2


2(

22

xx xee )

4

2

Ce x

2x

xeC




731 2






69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

69




а) 1

143

132

121

1

nn б)

231

121

61

31

1

n



143

132

121

1

nn


11



111

1141

31

31

21

211

nnnS

Тоді

Sxlim

xlim 1

111



121

61

31

1


21

21

21

211

31



q Тоді 2

211

11

1

q

bS Отже


31

S


12 12

n nn



22

n



Ulimx

lim 1

22n

nx

lim 010

1

2

22

2

2

nnn

nn




70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

70

81 161

81

41

21

82 54

143

132

121

1

83 10000

41000

3100

2101

84 81

61

41

21

85 44

33

22

sіnsіnsіnsіn 86

244

63

22


87 97

175

153

131

1

88

11141

791

541

89 00041003102111 810 65

54

43

321


811 641

161

411 812

163

83

43

233

813 00041003102111 814 10000

11000

1100

1101

815 811

271

91

311 816

8116

278

94

321

817 161

81

41

211 818

531

421

311

819 75

153

131

1

820

341

231

1213


821 12

276

54

32

nn 822 2

1295

431

nn

823 21

103

52

21

nn

824 11000

2001

21001

1

n

n

825 n

n 134

232

826 311

281

91

21

n

827 12

171

51

31

n 828

121

71

51

311

n

829

13

12

11

1n

830

1101

41

21

nn



1

132

121

11

1

nnNNNNNN

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

71







а)

1

3

2nn

n б)

2 ln1

nn n

в)

1 3 2321

n n



1

3

2nn



n

n

x UU 1lim

nnx

nn2

2

1lim3

1

3

21

211lim 3

3

n

nx 2

11211 3

nn lt 1



2 ln1

nn n


n n

xUlim

xlim n

n nln1

xlim 0

ln1

n

lt 1



1 3 2321


Маємо 3

2

32

1


2 32

32x

dxb

lim

b

x

dx2 3

2

32 blim

23323

21

2

31

b

xb

(lim 23)1323 b



72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

72

831

1 2

12n

n

n 832

1 1223

nn

n

n

833

1 10

nn

n 834

1

2

3nn

n

835

112n

nntg 836

1 21

nn n

n

837

1

2

2nnsіnn 838

1

3

2n nn


ряди

839 2

1 131 n

nn n

n

840

n

n nn

1 12

841

1 2nn

nsіn 842

1

1n

n

narctg


843

123

2n n

844

22ln

2n nn

845

1 131

n n 846

121

1n n

847

123

2n n

848

2 ln2

n nn



а)

1n

nNNNn б)

n

n Nnn

1 1 в)

1 311

n NnNn



73







1999




Наука 1986

73







1999




Наука 1986

Documents

teta.at.ua · 2 ЗМІСТ Розділ 1. Лінійна алгебра 1.1. Матриці та дії над ними. 3 1.2. Визначники. Мінори