浙江大学控制科学与工程学系

信号与系统 Signals and Systems

第二章 LTI系统的时域分析

控制系网络课程平台：http://www.cse.zju.edu.cn/eclass/signal_system/

本章主要内容

(1) 离散时间LTI系统的时域分析：卷积和，卷积性质

(2) 连续时间LTI系统的时域分析：卷积积分，卷积性质

(3) 单位冲激/脉冲响应与LTI系统的基本性质

(4) LTI系统的微分、差分方程描述

(5) 系统的响应分解：零输入、零状态响应

3

连续LTI系统的时域分析——(P35-第一节)

卷积积分

信号的脉冲分解：用δ(t)表示连续信号

连续时间LTI系统的卷积积分与单位冲激响应

卷积积分的图示

卷积的性质

4

连续LTI系统的时域分析——信号的脉冲分解（1）

)()()()( txttx

dtxdttx )()()()(

dtxdttx )()()()(

dtxtx )()()(

对照

两边对积分

积分与x(t)无关

(t–)积分面积为1

––任意连续信号可用(t)的加权,移位后的积分来表示

1) 连续信号的脉冲分解

筛选性质

k

knkxnx ][][][

离散信号

5

dtxtx )()()(

任意连续信号 求和 移位冲激函数 权值

任意连续信号都可以分解为一系列加权的移位冲激函数之和

或: 任一信号x(t)可用无穷多个单位冲激函数δ(t)的移位、加权之和（积

分）来表示。

连续LTI系统的时域分析——信号的脉冲分解（2）

k

knkxnx ][][][

离散信号

6

t

x(t)

2）几何意义

k

ktkxtx )()()(ˆ

k

ktkxtxtx )()(lim)(ˆlim)(00

任一x(t)由δ(t-kΔ)的线性组合来近似表示，

其“权值”为x(kΔ)Δ，不同的k，权值不同。

连续LTI系统的时域分析——信号的脉冲分解（3）

)(ˆ tx

t Δ k

„

)(lim)(0

tt

Δ→0

dtx )()(

x(kΔ) δΔ(t-kΔ) Δ 矩形脉冲

else

tt

0

01

)(

7

连续LTI系统的时域分析—单位冲激响应与卷积积分（1）

1）LTI系统的冲激响应

LTI x(t) y(t) )()( tytx LTI

)()( tht LTI h(t)为单位冲激响应

)()( 00 tthtt LTI LTI时不变性

δ(t) h(t)

δ(t-t0) h(t-t0)

2）LTI系统的卷积积分

信号分解：

k

ktkxdtxtx )()(lim)()()(0

)()( 00 tthtt LTI

LTI系统的齐次性

)()()()( 00 tthkxttkx LTI

LTI系统的叠加性

k

LTI

k

kthkxktkx )()()()( Δ→0

)()( tht LTI

)(lim)(0

tt

)(lim)(0

thth

dthxtydtxtx LTI

)()()()()()(

8

dthxtydtxtx LTI

)()()()()()(

卷积积分：记y(t)=x(t)*h(t) 卷积积分的物理意义：

将信号x(t)分解成移位冲激信号δ(t-τ)的线性组合，借助系统的单位冲

激响应h(t)和LTI系统的叠加性，就可获得LTI系统对激励为x(t)的响应解。

LTI x(t) y(t)

h(t) x(t) y(t)=x(t)*h(t)

h(t)可以完全表征系统的特性

LTI系统 该系统单位冲激响应

连续LTI系统的时域分析—单位冲激响应与卷积积分（2）

9

LTI系统

LTI系统

LTI系统

)(t )(th

)( t

连续LTI系统

)( th

)()( tx )()( thx

LTI系统

x(t)

LTI系统 )(tx

)()()()()( thtxdthxty

卷积积分定义

单位冲激响应

结论:h(t)刻画了连续LTI系统的特性

dtx )()(

y(t)

dthx )()(

连续LTI系统的时域分析—单位冲激响应与卷积积分（3）

10

例2-6(P38) 已知LTI系统的单位冲激响应 ，系统输入信号

为 , 求系统对输入信号的响应输出y(t)。

)()( tueth at

batuetx bt ),()(

解：

dtueue

dthxthtxty

tab )()(

)()()(*)()(

)(

)(1

)(

)()()(

0

)(

0

)(

0

)(

tueeba

tuba

ee

tudeetudeety

atbt

tba

at

tbaat

ttab

τ>0 t-τ>0 => τ<t

t<0时，积分为零

连续LTI系统的时域分析—单位冲激响应与卷积积分（4）

11

卷积积分的注意事项：

*1 卷积积分的定义式中积分区间[-∞ +∞]，但针对不同的信号，

积分上下限不同；

*2 若 t<0时 h(t)=0（因果LTI系统），则

t

dthxdthxthtxty )()()()()(*)()(

*3 若t<0时 x(t)=0 （输入为因果信号），则

0)()()()()(*)()( dthxdthxthtxty

积分上限改变

积分下限改变

*4 若满足*2和*3条件，即t<0时 x(t)=0，h(t)=0，则

t

dthxdthxthtxty0

)()()()()(*)()( 积分上下限改变

连续LTI系统的时域分析—单位冲激响应与卷积积分（5）

因为：t-τ<0时 h=0

t-τ>0时 h≠0

12

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的图示（1）

卷积积分：

dthxthtx )()()(*)(

几何解释：x(τ)和h(t-τ)相乘之后，该曲线下的面积。它是t的函数，也

是系统输出在t时刻的值。

步骤： y(t)=x(t)*h(t) 图示求解的五个步骤

(1) 变量置换: t

(2) 其中一个信号反褶: –

(3) 反褶之信号移位t : – t–

(4) 两信号相乘: x()h(t–)

(5) 相乘后积分:

图解：

连续时间LTI系统的时域分析 ——卷积积分的图示（5）

例2-7 已知 )()(,0),()( tuthatuetx at , 求卷积。

h(t-)

1

0 t

h(t-)

1

0 t

1( ) (1 ) ( )aty t e u t

a

(1) t<0, 0)()()( thtxty

(2) t>0, )1(1

0

1)(

0

atat

a ea

te

adety

x()h(t-)

1

0 t

2）平移

3）相乘 4）积分

dtuuethtxty

tt

a

0

0

)()()()()(

直接按定义求：

)()1(1

)(0

tuea

dety att

a

t,

x(t), x()

1

0 t,

h(t), h()

1

0

h(-)

1

0

1) 变量替代及反转

13

τ

h(-τ)

1

1

-1

t

h(t)

1

1

1) 变量替代及反转

将 x(t)和h(t)的自变量用τ替代；

将h(τ)以纵坐标为轴线反转得h(-τ);

τ

x(τ)

1

1

τ

h(τ)

1

1

t

x(t)

1

1

参见P39，图2-6

τ 1

1

-1 τ

x(τ)

1

1

h(t-τ)

t -1+t

2）平移

将h(-τ)随参变量平移－－h(t-τ)= h[-(τ-t)]

若t>0，则h(-τ)沿τ轴向右平移；

若t<0，则h(-τ)沿τ轴向左平移；

dthxthtx )()()(*)(

h(-τ)

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的图示（2）

14

3）相乘

将x(τ)和h(t-τ)相乘，得函数x(τ)h(t-τ)

dthxthtx )()()(*)(

τ

x(τ)h(t- τ)

1

1

t -1+t

4）积分

求x(τ)h(t-τ)曲线下的面积，即为t时间的卷积积分值。

)(*)( thtx

τ

x(τ)h(t- τ)

1

1

200 tort

t -1+t

10)2(2

1 2 ttt

21)2(2

1 2 tt

t -1+t

t -1+t t -1+t

区间确定––成对求和规则：

(1) 建立x(t), h(t)的范围边界点

(2) 构成它们的成对和

(3) 按上升次序排列成对和, 并舍去重复值

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的图示（3）

15

例: 此例中的区间

边界 x(t): (0, 1) h(t): (0, 1)

成对和 (0, 1, 1, 2)

排序： (0, 1, 2)

16

τ

h(t-τ)

1

τ

h(-τ)

1

例2-8(P39) 已知信号x(t), h(t)，求卷积积分y(t)=x(t)*h(t)。

t

h(t)

3

1

t

x(t)

1

2

-1 解：

1）变量替换τ→t，x(t)→x(τ) ，h(t)→h(τ)，并且 h(τ)反转h(-τ)；

t -3+t -3

2）平移：h(-τ)沿τ轴随t不同向左/向右平移得h(t-τ)；

3）相乘得x(τ)h(t-τ)；

1 -1

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的图示（4）

17

τ

x(τ)h(t- τ)

1 -1

2

①当t<-1或t≥4时，x(τ)与h(t-τ)无重叠 ② 当-1≤t<1时，重叠区为[-1, t]

③ 当1≤t<2时，重叠区为[-1, 1]

0)( ty )1(22)()()(11

tddthxty

tt

42)()()(1

1

1

1

ddthxty

t -3+t t -3+t τ

x(τ)h(t- τ) 2

1 -1 t -3+t

τ

x(τ)h(t- τ) 2

1 -1 t -3+t

④ 当2≤t<4时，重叠区为[-3+t, 1]

)4(22)()()(1

3

1

3tddthxty

tt

τ

x(τ)h(t- τ) 2

1 -1 t -3+t

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的图示（5）

18

t

h(t)

3

1

t

x(t)

1

2

-1

42)4(2

214

11)1(2

4,10

)(*)()(

tt

t

tt

tt

thtxty

t

y(t)

1 2 3 4 -1 0

4

另一规则描述

(1) y(t)始=x(t)始+h(t)始

(2) y(t)终=x(t)终+h(t)终

(3)面积 Sy=SxSh

＊ ＝

信号边界：-1+0=-1；1+3=4

总面积： Sy= 4 3=12

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的图示（6）

19

t

x(t)

1

-0.5 0.5 t

h(t)

1

-0.5 0.5

Sx=1,

Sh=1Sy=1

成对和(-1, 0, 1)

t

1

-1 1

y(t)=x(t)h(t)

例2-9 某些特殊信号的卷积和。

t

x(t)

1

-3 1

t

h(t)

1

-1 1

2

-4 2 t

y(t)=x(t)h(t)

-2 0

结论: 两个等宽矩形卷积结果为三角形

两个不等宽矩形卷积结果为梯形

成对和(-4, -2, 0, 2)

Sx=4,

Sh=2Sy=8

(1)

(2)

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的图示（7）

20

1. 卷积代数

卷积运算遵从交换律、结合律和分配律等代数定律；

1）交换律

)(*)()(*)( txththtx

dtxhdthx )()()()(

卷积与两个信号的顺序无关，运算时可以选择使运算简单的一个积分

从系统分析的角度：

h(t) x(t) y(t)=x(t)*h(t)

x(t) h(t) y(t)=h(t)*x(t)

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的性质（1）

21

从系统分析的角度来分析结合律：

h1(t) x(t) y(t)

h2(t)

h(t)

)(*)(*)(

)(*)(*)(

)(*)(*)()(

12

12

21

ththtx

ththtx

ththtxty

)(*)(

)(*)(*)(

)(*)(*)()(

21

21

thtx

ththtx

ththtxty

h2(t) x(t) y(t)

h1(t)

h(t)

)(*)()(*)()( 1221 ththththth

级（串）联系统与顺序无关

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的性质（2）

2）结合律 )(*)(*)()(*)(*)( 2121 ththtxththtx 级联系统与顺序无关

22

3）分配律 )(*)()(*)()()(*)( 2121 thtxthtxththtx

从系统的角度：

h1(t)

h2(t)

y(t)

y1(t)

y2(t)

x(t) )(*)(

)()(*)(

)(*)()(*)(

)()()(

21

21

21

thtx

ththtx

thtxthtx

tytyty

并联系统总的h(t)等于各子系统hi(t)之和

h(t)

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的性质（3）

4）平移特性

)()(*)( tythtx )()(*)( 2121 tttytthttx

23

2. 卷积的微分与积分性质

1）卷积的微分性质

)(*)()(*)()( txththtxty )(*)()(*)()( thtxthtxty

图解说明：

h(t) x(t) y'(t)

d/dt y(t)

d/dt x(t) y'(t)

h(t) x'(t)

)(*)()(

)( thtxdt

d

dt

tdyty

dt

tdhtxth

dt

tdxty

)(*)()(*

)()(

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的性质（4）

24

2）卷积的积分性质

ttt

dhtxthdxdhx )(*)()(*)()(*)(

图解说明：

h(t) x(t) y-1(t)

∫ y(t)

∫ x(t) y-1(t)

h(t) x-1(t)

∫ h(t) y-1(t)

x(t) h-1(t)

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的性质（5）

ttt

dhtxthdxdhx )(*)()(*)()(*)(

3）等效特性 )(*)()(*)()( txththtxty )(*)()(*)()(11

thtxthtxty

t

dxtx )()(1 x(t)的一次积分 推广：

等效特性可推广至求卷积的高阶导数或多重微分。

)(*)()( 21 txtxtr )(*)()()(

2

)(

1

)(txtxtr

jiji i取正时为求导的阶次

i取负时为积分的阶次

25

3. 与冲激函数δ(t)和阶跃函数u(t)卷积

冲激函数与任一信号x(t)的卷积等于其x(t)自身

)()()()(*)( txdtxttx

从系统的角度

δ(t) x(t) y(t)=x(t)

恒等系统（输出响应为输入信号本身）

kδ(t) x(t) y(t)=kx(t)

纯比例（输出响应为输入信号的k倍）

*1. 延时特性 )()(*)()(*)( 000 ttxtxtttttx

*2. 平移特性 )()(*)( 2121 tttxttttx

*3. 微分特性 )()(*)()(*)( txttxttx

微分器的冲激响应为

冲激偶信号δ’(t)

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的性质（6）

x'(t) d/dt

x(t) y(t) h(t)

x(t) x'(t) δ’(t)

x(t)

26

*4 积分特性

ttt

dxtdxdtxtutx )()(*)()(*)()(*)(

积分器的冲激响应为u(t)

t

dtu )()(

推广至一般情况：

)()(*)()(*)()()()(

txttxttxkkk

)()(*)()(*)( 0

)(

0

)(

0

)(ttxtttxtttx

kkk

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的性质（7）

任一信号x(t)与单位阶跃的卷积等于x(t)自身的积分

27

t

y(t)

2

1

1 3

t

y'(t)

2

1

1 t

y'(t)

2

1

1

例2-13 计算y(t)=f(t)*h(t)

t

f(t)

1

1

t

h(t)

2

1

解：方法一：

)1()()( tttf

)1()(

)(*)1()(

)(*)()(

thth

thtt

thtfty

t

dhhty )]1()([)(

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的性质（8）

28

t

f(t)*h(t)

2

1

1 3

r(t)

方法二：

)()()(1)()()(*)(0

trttutuddtuututut

斜坡函数

)1()()( tututf )2()()( tututh

)3()2()1()(

)2(*)1()2(*)()(*)1()(*)(

)2()(*)1()()(*)(

trtrtrtr

tutututututututu

tututututhtf

-r(t-1) -r(t-2)

r(t-3)

连续LTI系统的时域分析——卷积积分的性质（9）

因为：任一信号x(t)与单位阶跃的卷积等于x(t)自身的积分

y(t)=f(t)*h(t)

t

f(t)

1

1

t

h(t)

2

1

本章主要内容

(1) 离散时间LTI系统的时域分析：卷积和，卷积性质

(2) 连续时间LTI系统的时域分析：卷积积分，卷积性质

(3) 单位冲激/脉冲响应与LTI系统的基本性质

(4) LTI系统的微分、差分方程描述

(5) 系统的响应分解：零输入、零状态响应

30

主要内容

单位冲激/脉冲响应与LTI系统的基本性质

LTI系统的可逆性与可逆系统

LTI系统的稳定性

LTI系统的因果性

LTI系统的单位阶跃响应

LTI系统的特征函数

• 任一LTI系统完全可由一个单位冲激/脉冲响应描述

或表征 => 用信号分析方法去分析LTI系统

• 本节讨论LTI系统的一些重要性质在单位冲激/脉冲

响应中的反映

31

LTI系统的可逆性与可逆系统（1）

定义： 若一个系统对应不同的输入有不同的输出，则称该系统是可逆

的，它满足一一对应的关系。

由系统的可逆性定义，可逆系统必存在一个逆系统，与其原系统串

联后等效成一个恒等系统，即串联后系统的输出等于原系统的输入。

x(t)

x[n] h(t)/h[n]

y(t)

y[n]

原系统

h1(t)/h1[n] r(t)=x(t)

r[n]=x[n]

逆系统

x(t)

x[n] δ(t)/δ[n]

x(t)

x[n]

恒等系统 )(*)()( 1 ththt

][*][][ 1 nhnhn

32

例2-15(P50) 已知一连续LTI系统 ，求其逆系统。 )()(

)( txdt

tdxty

解：由定义知，逆系统与原系统之间存在关系: h(t)*h1(t)=δ(t)

令输入为δ(t)，则原系统的单位冲激响应h(t)为：

)()()( ttth

)()(*)( 1 tthth

)()()(

)(*)()()(*)(

11

11

tthth

thttthth

h1(t)是由方程 y1'(t)+y1(t)=x(t) 描述的系统的单位冲激响应。

所以，原系统的逆系统为：

)()()( txtyty

( )* ( ) ( )* ( ) ( ) x t t x t t x t 对冲激偶：

x(t)

(t) h1(t)

y1(t)

h1(t)

系统

LTI系统的可逆性与可逆系统（2）

33

解：

][][1 nunh ][nx ][][][1 nunxny

n

k

kx ][ ][][

1

nxkx

n

k

][]1[1 nxny

1 1[ ] [ ] [ ] [ 1]z n x n y n y n ][2 nh][1 ny

][]1[][

])1[][(][][][][ 21

nnunu

nnnunhnhnh

验证:

例2-16’ 某系统 ][][1 nunh , 求该系统的逆系统 ?][2 nh 并验证

][][][][ 21 nnhnhnh

]1[][][2 nnnh得: ])1[][(*][]1[][ 111 nnnynyny

LTI系统的可逆性与可逆系统（3）

累加器 逆系统 差分器

问题：连续时间积分系统的h1(t)=? 其逆系统？逆系统的h2(t)=?

z[n]=y1[n]*h2[n]

34

LTI系统的稳定性（1）

（1）定义：如果一个系统对于任何有界的输入，其输出都是有界的，

则该系统是稳定的。

设x(t)是系统的输入，若x(t)有界，即对任何t，有 |x(t)|≤Bx<∞

如果系统的输出y(t)也有界，即|y(t)|≤By<∞

则系统稳定，称为BIBO稳定（Bounded Input Bounded Output）

（2）判定稳定性

利用定义进行判定——繁琐

利用系统的冲激响应判定（定理）

35

稳定性判定定理：

连续时间LTI系统稳定的充要条件是单位冲激响应h(t)绝对可积

离散时间LTI系统稳定的充要条件是单位脉冲响应h[n]绝对可和

证明:（1）充分性

设输入有界，即|x(t)|≤Bx，则输出绝对值

SBdhBdtxhdtxhty xx )()()()()()(

有界，即系统BIBO稳定

Sdh )(

Snhn

][

LTI系统的稳定性（2）

36

系统稳定 输出y(t)有界 令t=0

Sdhd

h

hhdxhy

)(

)(

)()()0()()0(

系统稳定时必有S<∞，即

dh )(

同理可证离散LTI系统稳定的充分必要条件为

n

nh ][

（2）必要性

设系统是稳定的，构造一个函数

0)(0

0)()(

)(

)(

th

thth

th

tx

|x(t)|≤1，即x(t)有界

LTI系统的稳定性（3）

37

例2-17 已知一因果的LTI系统单位冲激响应为 ，判断该系统

是否稳定？

)()( tueth at

解：由于

00

)()(a

ededuedh

ataa

当a<0时 a

dh1

)(

当a≥0时

dh )(

系统稳定

系统不稳定

例2-18(P53) 考察离散累加器系统是否稳定

k

kxny ][][

解： ][][ nunh

0

1][][nnn

nunh

累加器系统是非稳定系统，问题：积分器？

LTI系统的稳定性（4）

38

LTI系统的因果性（1）

（1）定义：因果系统是指系统t0时刻的输出只和t0时刻及以前的输入信

号有关。

*系统的因果性与LTI的冲激响应的关系

若输入为x(t)，冲激响应为h(t)，则输出y(t)为

dtxhdthxthtxty )()()()()(*)()(

若系统为因果系统，y(t)必须与t时刻之后（τ<0）的输入x(t-τ)无关，即

x(t-τ)的所有系数h(τ)在τ<0 时都为零，所以

系统为因果的充要条件是

连续LTI系统： h(t)=0 t<0; 离散LTI系统： h[n]=0 n<0

( ) 0, 0h t t h(t)是因果信号

39

例2-19(P53) 分析延时器系统是否为因果系统。

t

h(t)

t0

δ(t-t0)

t0

δ(t-t0)

解：连续系统延时器

)()( 0ttxty )()( 0ttth

t0≥0时，h(t)=0 (t<0) 系统是因果系统

t0<0时，h(t)≠0 (t<0) 系统是非因果系统(超前)

][][ 0nnxny ][][ 0nnnh

n0≥0时，h[n]=0 (n<0) 系统是因果系统

n0<0时，h[n]≠0 (n<0) 系统是非因果系统(超前) n

h[n]

n0 n0

δ[n-n0] δ[n-n0]

离散系统延时器

LTI系统的因果性（2）

40

例2-20 一个因果的LTI系统的逆系统是因果的，这句话对否？

举例：某系统y(t)=x(t-1)是否因果系统？其逆系统是否因果系统？

)1()( txty )1()( tth 原系统是因果系统

设逆系统的单位冲激响应为h1(t)，则

)()1()(*)1()(*)( 111 tththtthth

)1()(1 tth 逆系统是非因果系统

LTI系统的因果性（3）

结论（╳）

41

LTI系统的单位阶跃响应

h[n]/h(t)––决定了离散/连续LTI系统的性质

][n ][nhLTI 单位脉冲（样值）响应

)(th)(t LTI 单位冲激响应

另一种重要响应––阶跃响应

][nu ][],[ ngnsLTI 单位阶跃响应

)(),( tgts)(tu LTI 单位阶跃响应

n

k

khnhnuns ][][][][

两者关系：

][]1[ nhns

1

][][

n

k

nhkh

n

k

khns ][][

]1[][][ nsnsnh

n

kk

kxknukxnunx ][][][][*][

问题：连续系统的关系？

42

另一种推导方法(从[n]与u[n]之间的关系考虑):

n

k

knu ][][

][n ][nhLTI ][nu ][],[ ngnsLTI

n

k

khns ][][ ]1[][][ nunun ]1[][][ nsnsnh

同理：

)(th)(t LTI )(),( tgts)(tu LTI

t

dtu )()(

t

dhts )()()()( tu

dt

dt )()()( tsts

dt

dth

已知h[n]/ h(t)求s[n]/s(t)

或反之, 有了上述关系

带来方便

单位冲激/样值响应与单位阶跃响应之间的关系

n

k

khns ][][

]1[][][ nsnsnh

t

dhts )()(

)()()( tstsdt

dth

43

单位冲激/脉冲响应与LTI系统的基本性质 ——要点

可逆系统: )()()()( 2121 tytytxtx ，则必有若

x(t)

x[n] h(t)/h[n]

y(t)

y[n]

原系统

h1(t)/h1[n] r(t)=x(t)

r[n]=x[n]

逆系统

累加器 逆系统 差分器

稳定性判定定理：

连续/离散LTI系统稳定的充要条件是单位冲激响应h(t)/h[n]绝对可积/和

系统为因果的充要条件是

连续/离散LTI系统： h(t)/h[n]=0 t<0/n<0

单位冲激/样值响应与单位阶跃响应之间的关系:输入若存在导数/积

分关系，输出也存在同样的导数/积分关系。

例：

44

单位冲激/脉冲响应与LTI系统的基本性质—是非题(1)

判断下面有关LTI系统的说法是对是错。并陈述理由

（1）若h(t)是一个因果稳定系统的单位冲激响应，则h(t)满足

（2）若h(t)是一个LTI系统的单位冲激响应，并且h(t)是周期的且非零，则系统是

不稳定；

（3）一个因果的LTI系统的逆系统总是因果的；

（4）若一个离散时间LTI系统其单位脉冲响应h[n]为有限长且有界，则系统是稳

定的

0)(lim

tht

对

dtth )(

错。例如单位冲激响应δ(t-1)是因果的，但其LTI系统的逆系统δ(t+1)

不是因果的。

对

n

nh ][

对。举例：输入阶跃u(t) （有界），输出为 t

dhts0

)()(

45

（5）若 （对每一个n），k为某已知数，则以h[n]作为单位脉冲响应

的LTI系统是稳定的；

（6）若一个LTI系统是因果的，它就是稳定的；

（7）一个非因果的LTI系统与一个因果的LTI系统级联，必定是非因果的；

knh ][

错。例如：

是因果的

)1()(*)()()2()(),1()( 2121 tthththtthtth

错。因为： 。例如h[n]=1,

n

k

khnhnuns ][][*][][

k

kh ][

错。因为因果系统与系统的稳定性定义不同。

LTI系统稳定的充要条件是其单位脉冲响应绝对可积。而因果性的

充要条件是其单位脉冲响应满足h(t)/h[n]=0(当t<0/n<0)

单位冲激/脉冲响应与LTI系统的基本性质—是非题(2)

46

（8）当且仅当一个连续时间LTI系统的单位阶跃响应s(t)是绝对可积的，

即 ，则该系统就是稳定的；

（9）当且仅当一个离散时间LTI系统的单位阶跃响应s[n]在n<0是零，该

系统就是因果的。

dtts )(

错。因为稳定性要求h(t)绝对可积， s(t)不需要绝对可积。

两者不等价，如恒等系统

对。因为， 若s[n]在n<0是零，h[n]在n＜0时也必

为零，满足离散时间LTI系统的因果性充要条件。

][]1[][ nhnsns

单位冲激/脉冲响应与LTI系统的基本性质—是非题(3)

注意定义！！