Лекция 2. Комбинаторика. Свойства …mk.cs.msu.ru/images/f/f2/Dm-mag-lect2i-selezn.pdfЛекция 2. Комбинаторика. Свойства биномиальных

Лекция 2. Комбинаторика. Свойствабиномиальных коэффициентов. Подсчет сумм иметод производящих функций. Полиномиальные

коэффициенты. Оценки биномиальных иполиномиальных коэффициентов.

Асимптотические оценки биномиальныхкоэффициентов и их сумм.

Лектор - доцент Селезнева Светлана Николаевна

Лекции по “Дискретным моделям”.Магистратура, 1-й курс,

факультет ВМК МГУ имени М.В. Ломоносова

Лекции на сайте http://mathcyb.cs.msu.su

Биномиальные коэффициенты Суммы биномиальных коэффициентов Производящие функции Полиномиальные коэффициенты Оценки биномиальных коэффициентов

Биномиальные коэффициенты

Напомним, что биномиальный коэффициент C kn равен числу

сочетаний из n по k . Другое обозначение:(nk

).

По теореме 1.4 верно C kn = (n)k

k! .Откуда получаем

(n)kk!

=(n)k · (n − k)!

k! · (n − k)!=

n!

k!(n − k)!.

Следовательно,

Свойство 2.1. Для всех 0 ≤ k ≤ n верно C kn = Cn−k

n .


Последовательности биномиальных коэффициентов

Теорема 2.2. При каждом n ≥ 1 (конечная)последовательность биномиальных коэффициентов

C 0n ,C

1n , . . . ,C

rn , . . . ,C

n−1n ,Cn

n

возрастает, если r < n−12 , и убывает, если r > n−1

2 .

Доказательство. Рассмотрим отношение C r+1nC rn, 0 ≤ r ≤ n − 1:

C r+1n

C rn

=n!

(r + 1)!(n − r − 1)!:

n!

r !(n − r)!=

n − r

r + 1.

Определим, когда это отношение больше единицы:

n − r

r + 1> 1, если r <

n − 12

.


Последовательности биномиальных коэффициентов

Доказательство (продолжение). Получаем, чтопри r < n−1

2 последовательность возрастает,при r > n−1

2 последовательность убывает.�

Пример 2.1.Пусть n = 3. Тогда последовательность такова: 1, 3, 3, 1.Пусть n = 4. Тогда последовательность такова: 1, 4, 6, 4, 1.


Максимальные значения

Следствие 2.2.1. При четных значениях n максимальноезначение среди биномиальных коэффициентов C r

n ,r = 0, 1, . . . , n, достигается только при r = n

2 ;

при нечетных значениях n максимальное значение средибиномиальных коэффициентов C r

n , r = 0, 1, . . . , n, достигаетсяпри r = n−1

2 и при r = n+12 .

Доказательство. По теореме 2.2 если n ≥ 1, топри r < n−1

2 последовательность C rn , r = 0, 1, . . . , n, возрастает

и при r > n−12 последовательность C r

n , r = 0, 1, . . . , n, убывает.


Максимальные значения

Доказательство. Если значение n четно, то число n−12

нецелое; поэтому максимальное значение достигается приr = bn−12 c+ 1 = n

2 ;

если значение n нечетно, то число n−12 целое; следовательно,

Cn−12

n = Cn+12

n , и максимальное значение достигается приr = n−1

2 и при r = n+12 .

�

Следствие 2.2.2. Для всех n ≥ 1 и 0 ≤ r ≤ n верно C rn ≤ C

b n2 cn .


Суммы биномиальных коэффициентов

Напомним формулу бинома Ньютона (теорема 1.5):

При n ≥ 1 верно (x + y)n =n∑

k=0C kn x

n−kyk .

Из нее следуют два свойства сумм биномиальныхкоэффициентов:

Теорема 2.3. Для всех n ≥ 1 верно

1.n∑

k=0C kn = 2n.

2.n∑

k=0(−1)kC k

n = 0.

Доказательство.

1. (1 + 1)n =n∑

k=0C kn = 2n.

2. (1 + (−1))n =n∑

k=0C kn (−1)k = 0. �


Подсчет сумм биномиальных коэффициентов

Можно находить значения других сумм биномиальныхкоэффициентов, сводя их к суммам теорем 1.5 и 2.3.

Пример 2.2. Найти значение суммыn∑

k=0C kn · ak , где a ∈ R.

Например, если n = 2, a = 2, то надо найти значениие суммыC 02 · 20 + C 1

2 · 21 + C 22 · 22 = 1 + 4 + 4 = 9.

Решение. Несложно заметить, что указанная сумманепосредственно сворачивается по теореме 1.5:

n∑k=0

C kn · ak ·1n−k = (a + 1)n.



Пример 2.3. Найти значение суммыn∑

k=0k · C k

n .

Например, если n = 3, то надо найти значениие суммы0 · C 0

3 + 1 · C 13 + 2 · C 2

3 + 3 · C 33 = 0 + 3 + 6 + 3 = 12.

Решение. Заметим, что при k ≥ 1 верно

k · C kn = k · n!

k!(n − k)!=

n!

(k − 1)!(n − k)!=

= n · (n − 1)!

(k − 1)!((n − 1)− (k − 1))!= n · C k−1

n−1 .

Слагаемое при k = 0 обнуляется. Поэтому, получаем

n∑k=0

k · C kn =

n∑k=1

k · C kn =

n∑k=1

n · C k−1n−1 = n ·

n−1∑l=0

C ln−1 = n · 2n−1.



Пример 2.4. Найти значение суммыb n2 c∑k=0

C 2kn .

Например, если n = 4, то надо найти значениие суммыC 04 + C 2

4 + C 44 = 1 + 6 + 1 = 8.

Если n = 5, то надо найти значение суммыC 05 + C 2

5 + C 45 = 1 + 10 + 5 = 16.

Решение. По теореме 2.3 (п. 2) верноn∑

k=0(−1)kC k

n = 0.

Поэтомуb n2 c∑k=0

C 2kn =

b n2 c∑k=0

C 2k+1n .

Следовательно,

b n2 c∑k=0

C 2kn =

12

n∑k=0

C kn =

12· 2n = 2n−1.


Производящие функции

Одним из методов получения значения комбинаторных сумм итождеств является метод производящих функций.

Для последовательности чисел {an} (конечной илибесконечной) рассмотрим формальную сумму (конечную илибесконечную)

∑anx

n, где x ∈ R.

Если последовательность {an} конечна, то эта сумма всегдаопределяет функцию

F (x) =∑

anxn,

которая называется производящей функцией дляпоследовательности {an}.

Рассмотрим пример подсчета комбинаторной суммы припомощи производящей функции.


Применение производящих функций

Вернемся к примеру 2.3: нам надо найти значение суммыn∑

k=0k · C k

n .

Решение. Рассмотрим конечную последовательностьбиномиальных коэффициентов C 0

n ,C1n , . . . ,C

nn и ее

производящую функцию F (x) =n∑

k=0C kn x

k . Из примера 2.2

следует, что F (x) = (x + 1)n.

Функция F (x) дифференцируема в R. Найдем ее производную.

С одной стороны, F ′(x) = ((x + 1)n)′ = n(x + 1)n−1.

С другой стороны, F ′(x) =

(n∑

k=0C kn x

k

)′=

n∑k=0

C kn kx

k−1.

Подставляя в оба полученные выражения для производной

F ′(x) значение x = 1, получаемn∑

k=0k · C k

n = n · 2n−1.


Обобщение формулы бинома Ньютона

А можно ли найти формулу для степени суммы вида(x1 + · · ·+ xm)n, аналогичную формуле бинома Ньютона?

Интуитивно кажется, что можно. И в самом деле это так.

Теорема 2.4’. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно (x1 + · · ·+ xm)n =

n∑k1=0

n−k1∑k2=0· · ·

n−k1−···−km−2∑km−1=0

C k1n C k2

n−k1. . .C

km−1n−k1−···−km−2

xk11 . . . x

km−1m−1 x

kmm ,

где km = n − k1 − · · · − km−2 − km−1.

Доказательство можно провести индукцией по m, применяяформулу бинома Ньютона (теорему 1.5).

�


Преобразование коэффициентов

Рассмотрим подробнее коэффициент при степенях переменных.Воспользуемся формулой C k

n = n!k!(n−k)! и проведем цепочку

рассуждений:

C k1n C k2

n−k1. . .C

km−1n−k1−···−km−2

=n!

k1!(n − k1)!· (n − k1)!

k2!(n − k1 − k2)!. . .

. . .(n − k1 − · · · − km−2)!

km−1!(n − k1 − · · · − km−2 − km−1)!=

n!

k1!k2! . . . km−1!km!,

где km = n − k1 − · · · − km−2 − km−1.

Т.е.

C k1n C k2

n−k1. . .C

km−1n−k1−···−km−2

=n!

k1!k2! . . . km−1!km!.

Полученное равенство можно строго доказать индукцией по m.


Полиномиальные коэффициенты

Комбинаторное число n!k1!k2!...km−1!km!

, где n ≥ 1,

0 ≤ k1, . . . , km ≤ n иm∑i=1

ki = n, называется полиномиальным

коэффициентом и обозначается C (k1, . . . , km).

Т.е.C (k1, . . . , km) =

(k1 + · · ·+ km)!

k1!k2! . . . km−1!km!.

Через полиномиальные коэффициенты формулу из теоремы2.4’ можно переписать в следующем виде.

Теорема 2.4. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно

(x1 + · · ·+ xm)n =∑

k1, . . . , km ≥ 0,k1 + · · ·+ km = n

C (k1, . . . , km) xk11 . . . xkmm .


Формула квадрата суммы трех переменных

Пример 2.5. Найдем формулу для выражения (x + y + z)2.

Решение. В соответствии с теоремой 2.4 сначала нам нужнонайти всевозможные разбиения числа n = 2 на упорядоченныесуммы трех (m = 3) неотрицательных чисел.

Таких разбиений шесть:2 = 0+0+2 = 0+1+1 = 0+2+0 = 1+0+1 = 1+1+0 = 2+0+0.

Теперь для каждой суммы надо найти соответствующийполиномиальный коэффициент:

C (0, 0, 2) = C (0, 2, 0) = C (2, 0, 0) = 2!0!0!2! = 1;

C (0, 1, 1) = C (1, 0, 1) = C (1, 1, 0) = 2!0!1!1! = 2.

Следовательно, получаем формулу

(x + y + z)2 = z2 + 2yz + y2 + 2xz + 2xy + x2.


Сумма полиномиальных коэффициентов

Аналогично теореме 2.3 можно получить значение суммыполиномиальных коэффициентов.

Теорема 2.5. Для всех n ≥ 1, m ≥ 2 верно∑k1, . . . , km ≥ 0,k1 + · · ·+ km = n

C (k1, . . . , km) = mn.

Доказательство. Подставим в формулу из теоремы 2.4значения x1 = · · · = xn = 1.

�


Число полиномиальных коэффициентов

Несложно увидеть, что в суммеn∑

k=0C kn слагаемых в точности

n + 1.

А сколько слагаемых в сумме∑

k1, . . . , km ≥ 0,k1 + · · ·+ km = n

C (k1, . . . , km)?

Понятно, что их столько же, сколько разбиений числа n наупорядоченные суммы m неотрицательных чисел.

А их столько же, сколько сочетаний с повторениями из mэлементов по n (Почему?). Следовательно, верно следующее

Свойство 2.6. При каждых n ≥ 1, m ≥ 2 числополиномиальных коэффициентов C (k1, . . . , km) приk1 + · · ·+ km = n, k1, . . . , km ≥ 0, равно C̄n

m.


Число полиномиальных коэффициентов

Пример 2.6. При помощи теоремы 1.7 и свойства 2.6 найдемчисло полиномиальных коэффициентов при некоторых n и m.

1. Для n = 2 и m = 3 (пример 2.5) получаем:C̄ 23 = C 2

3+2−1 = C 24 = 6.

2. Для n = 3 и m = 3 получаем: C̄ 33 = C 3

3+3−1 = C 35 = 5·4

2! = 10.


Изучение комбинаторных чисел

Точные формулы для нахождения биномиальных илиполиномиальных коэффициентов, других комбинаторных чиселне всегда позволяют качественно оценить их значения.

Иногда важно знать верхнюю или нижнюю оценкикомбинаторных чисел, а иногда необходимы их порядок илиасимптотика.


Оценки биномиальных коэффициентов

Теорема 2.7. Для всех n ≥ 1, 0 ≤ k ≤ n C kn верно

C kn ≤ nn

kk (n−k)n−k (по определению полагаем, что 00 = 1).

Доказательство. Сначала заметим, что для всех n ≥ 1 верноC 0n = 1 ≤ nn

nn·11 = 1, т.е. при k = 0 утверждение теоремы 2.4верно.

Доказательство для n ≥ 1 при всех k , 1 ≤ k ≤ n проведеминдукцией по значению n.

Базис индукции. Если n = 1, то C 1n = 1 ≤ 11

00·11 = 1.

Индуктивный переход. Предположим, что для некоторого n ≥ 1при всех k , 1 ≤ k ≤ n, утверждение теоремы 2.1 верно.Рассмотрим n + 1. Тогда

C kn+1 =

(n + 1)!

k!(n − k + 1)!=

n + 1k· n!

(k − 1)!(n − k + 1)!=

n + 1k·C k−1

n .


Оценки биномиальных коэффициентов

Доказательство (продолжение). Воспользуемсяпредположением индукции, что C k−1

n ≤ nn

(k−1)k−1(n−k+1)n−k+1 , ипроведем рассуждения:

n + 1k·C k−1

n ≤ n + 1k· nn

(k − 1)k−1(n − k + 1)n−k+1 ·(n + 1)n

(n + 1)n· k

k

kk=

=(n + 1)n+1

kk(n − k + 1)n−k+1 ·nn

(n + 1)n+1 ·kk−1

(k − 1)k−1=

=(n + 1)n+1

kk(n − k + 1)n−k+1 ·

(1 + 1

k−1

)k−1(1 + 1

n

)n ≤ (n + 1)n+1

kk(n − k + 1)n−k+1 .

В завершающем переходе мы воспользовались тем, чтопоследовательность an =

(1 + 1

n

)n возрастает. �


Оценки полиномиальных коэффициентов

Следствие 2.7.1. Для всех m ≥ 2 и k1, . . . , km ≥ 0 верно

C (k1, . . . , km) ≤ (k1 + · · ·+ km)k1+···+km

kk11 . . . kkmm

(по определению полагаем, что 00 = 1).

Доказательство можно провести индукцией по m.Базис индукции: m = 2 составляет теорема 2.7.

�


Исследование полученных оценок

Сложно понять, насколько верхние оценки, полученные втеореме 2.7 и следствии 2.7.1 точны.

Например, если n – четное число, и k = n2 , по теореме 2.7

находим

Cn2n ≤

nn(n2

) n2 ·(n2

) n2

= 2n.

Т.е. оценка достаточно “груба”, т.к. мы знаем, что

n∑k=0

C kn ≤ 2n.

Иногда требуются более “тонкие” оценки. Они, как правило,асимптотические.


O-символика

Напомним некоторые определения из математическогоанализа. Мы будем изучать поведение функций натуральногоаргумента n при n→∞.

Пишут ϕ(n) = O(ψ(n)), если существует такая положительнаяконстанта C , что ϕ(n) ≤ C · ψ(n).

Если одновременно выполняются условия ϕ(n) = O(ψ(n)) иψ(n) = O(ϕ(n)), то говорят, что функции ϕ(n) и ψ(n) имеютодинаковый порядок (равны по порядку), и пишутϕ(n) � ψ(n).

Пишут ϕ(n) = o(ψ(n)), если существует такая функция χ(n),χ(n)→ 0 при n→∞, что ϕ(n) = χ(n) · ψ(n).

Говорят, что функции ϕ(n) и ψ(n) эквивалентны(асимптотически равны), и пишут ϕ(n) ∼ ψ(n), еслиϕ(n) = ψ(n) + o(ψ(n)).


Асимптотика биномиальных коэффициентов

Находят асимтотику или хотя бы порядок комбинаторныхчисел.

Например, для биномиальных коэффициентов выполняются

Теорема 2.8. При k →∞ и n − k →∞ верно

C kn ∼

√n√

2πk(n − k)· nn

kk(n − k)n−k.

Следствие 2.8.1. При n→∞ для четных значений n верно

Cn2n ∼

2n√π n2.


Асимптотика сумм биномиальных коэффициентов

Теорема 2.9. Если ϕ(n) – произвольная сколь угодномедленно растущая функция натурального аргумента, то

b n2 c+ϕ(n)√n∑

k=b n2 c−ϕ(n)√n

C kn ∼ 2n.

Доказательство. Пусть K < bn2c. Рассмотрим суммуK∑

k=0C kn .

Сначала заметим, что для произвольного k , 0 ≤ k < K , верно

C kn

CKn

=n!

k!(n − k)!· K !(n − K )!

n!=

=(k + 1)(k + 2) . . .K

(n − K + 1)(n − K + 2) . . . (n − k)≤(

K

n − K

)K−k.



Доказательство (продолжение). Т.к. K < bn2c, верноK

n−K < 1.Тогда

K∑k=0

C kn = CK

n +CK−1n +· · · ≤ CK

n

(1 +

(K

n − K

)+

(K

n − K

)2

. . .

).

В больших скобках стоит сумма бесконечно убывающейгеометрической прогрессии со знаменателем K

n−K < 1. Найдемее:

11− K

n−K=

n − K

n − 2K.

Откуда получаем оценку:

K∑k=0

C kn ≤ CK

n ·n − K

n − 2K.



Доказательство (продолжение). С другой стороны, пользуясьсвойством 2.1 и следствием 2.2.1, получаем CK

n · (n − 2K ) =

CKn + · · ·+ CK

n︸︷︷︸n−2K

≤ CKn + CK+1

n + · · ·+ Cb n2 cn + · · ·+ Cn−K

n ≤ 2n

Получили оценку:

K∑k=0

C kn ≤ 2n · n − K

(n − 2K )2.

Теперь, если K = bn2c − ϕ(n)√n − 1, то при n→∞ верно

K∑k=0

C kn = o(2n). А по свойству 2.1 верно

n∑k=n−K

C kn = o(2n).

Этим завершается доказательство теоремы 2.9 (Почему?).�


Как распределяются значения биномиальныхкоэффициентов?

Теорема 2.9 имеет простой содержательный смысл: в значениесуммы всех биномиальных коэффициентов при достаточнобольших n основной вклад вносят коэффициенты с большимзначением k (примерно половина n плюс-минус корень из n).

И наоборот, коэффициенты с малым значением k никакогосущественного вклада в значение суммы не вносят (они всеесть всего лишь o-маленькое от 2n).


Задачи для самостоятельного решения

1. Найти значение суммыn∑

k=0k(k − 1)C k

n .

2. Найти значение суммыn∑

k=0k2k .


Литература к лекции 2

1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. М.:Высшая школа, 2001. Ч. II, с. 197-200, 202-214.

2. Гаврилов Г.П., Сапоженко А.А. Задачи и упражнения подискретной математике. М.: Физматлит, 2004. Гл. VIII 1.13,1.18, 3.10.

3. Селезнева С.Н. Основы дискретной математики. М.: МАКСПресс, 2010(http://mathcyb.cs.msu.su/paper/selezn/selezn-odm.pdf). Ч. 2.3,с. 28-31.


Конец лекции 2

Documents

Лекция 2. Комбинаторика. Свойства …mk.cs.msu.ru/images/f/f2/Dm-mag-lect2i-selezn.pdfЛекция 2. Комбинаторика. Свойства биномиальных