1

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное агентство по образованию

Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт)

Кафедра сопротивления материалов,

строительной и прикладной механики

П.П. Гайджуров

МЕТОДЫ, АЛГОРИТМЫ И ПРОГРАММЫ РАСЧЕТА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

НА УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ

Учебное пособие

Новочеркасск 2010

2

УДК 624.04(075.8) ББК 38.112 Г14

Рецензенты: заведующий кафедрой строительной механики Ростовского го-

сударственного строительного университета, заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор Г.В. Васильков;

заведующий кафедрой строительной механики Новочеркасской государственной мелиоративной академии, заслуженный деятель науки РФ, доктор технических наук, профессор В.А. Волосухин Г14

Гайджуров П.П. Методы, алгоритмы и программы расчета стержневых систем на устойчивость и колебания: учебное по-собие. – Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. − Новочеркасск: ЮРГТУ, 2010. – 230 с.

Рассмотрены классические методы строительной механики, предназначенные для расчета стержней и плоских рам на устойчи-вость. Представлены конечно-элементные алгоритмы решения задач устойчивости в линейно упругой постановке и с учетом конечных пе-ремещений. Приведен порядок динамического расчета рам с конеч-ным числом степеней свободы методами сил и перемещений. Изло-жены алгоритмы численного модального анализа и прямого интегри-рования уравнения движения стержневых систем при силовом и ки-нематическом способах возбуждения колебаний. Теоретический ма-териал пособия снабжен учебными примерами. Пособие предназначено студентам высших учебных заведений, обучающимся по направлению подготовки дипломированных спе-циалистов “Строительство”. © Южно-Российский государственный технический университет, 2010 © Гайджуров П.П., 2010

3

Оглавление Предисловие ……………………………………………………… 6 Глава 1. Устойчивость стержневых систем …………………..

8

1.1. Понятие о потере устойчивости 1-го и 2-го рода ……………………………………………………

8

1.2. Классические методы линейного анализа устойчи-вости стержней ……………………………………….

10

1.2.1. Статический метод ……………………………. 10 1.2.2. Энергетический метод ………………………… 16 1.3. Дифференциальное уравнение упругой линии при

продольном изгибе стержня ………………………… 18

1.4. Упругие единичные реакции сжато- и растянуто-изогнутых стержней …………………………………

21

1.5. Расчет плоских стержневых систем на устойчивость методом перемещений ………………………………

28

1.6 Вычисление параметра критической нагрузки в сре-де Maple ……………………………………………….

45

Глава 2. Метод конечных элементов в статике стержневых систем ……………………………………..

49

2.1. Матрицы жесткости стержневого конечного элемен-та ………………………………………………………

49

2.2. Комбинированные балочные конечные элементы ………………………………………………

56

2.3. Преобразование матриц жесткости при переходе к глобальным осям …………………..............................

59

2.4. Формирование результирующей системы уравнений стержневой системы ………………………………….

61

2.5. Линейный анализ устойчивости методом конечных элементов ……………………………………………..

64

2.6. Итерационный анализ устойчивости с применением шаговой процедуры метода конечных элементов ……………………………………………...

66

4

2.7. Примеры линейного анализа устойчивости методом конечных элементов ………………………………….

71

2.8. Примеры деформационного расчета стержневых систем ………………………..………………………..

80

Глава 3. Динамика стержневых систем ……………………….

91

3.1. Виды динамического воздействия на строительные сооружения …………………………………………..

91

3.2. Число динамических степеней свободы стержневой системы ……………………………………………….

92

3.3. Уравнение движения и свободные колебания систе-мы с одной степенью свободы ……………………….

94

3.4. Свободные колебания системы с одной степенью свободы с учетом силы сопротивления ……………..

98

3.5. Динамический отклик системы с одной степенью свободы на частные виды внешних воздействий …...

100

3.5.1. Действие внезапно приложенной силы …….... 100 3.5.2. Действие гармонической вынуждающей

силы …………………………………………….. 102

3.6. Динамический расчет плоских рам …………………. 105 3.6.1. Свободные колебания рам с конечным числом

степеней свободы ……………………………… 105

3.6.2. Ортогональность собственных форм колеба-ний ………………………………………………

109

3.6.3. Примеры определения частот свободных ко-лебаний многомассовых рам …………………

110

3.6.4. Расчет многомассовых рам на вынужденные колебания ……………………………………….

117

3.6.5. Итерационный алгоритм вычисления частот и форм свободных колебаний систем с конеч-ным числом степеней свободы ……………….

126

3.7. Уравнение движения в формулировке метода ко-нечных элементов ………….………………………

131

3.8. Матрица масс стержневого конечного элемента ……………………………………………..

135

3.9. Анализ частот и мод свободных колебаний стерж-невых конструкций ………………………………...

137

5

3.10. Примеры расчета частот и форм свободных коле-баний ………………………………………………..

141

3.11. Конечно-элементный анализ вынужденных коле-

баний ………………………….…………………….. 150

3.12. Примеры расчетов на вынужденные колебания ……………………………………………

154

3.13. Численное моделирование сейсмического возбуж-дения колебаний …………………………………….

162

Заключение ………………………………………………..............

175

Библиографический список ……………………………………..

176

Приложения ………………………………………………………. 177 Приложение 1. Таблица значений реакций для сжато-изогнутых стержней ……………………..

177

Приложение 2. Таблицы реакций для балок, используемые при расчете рам по методу перемещений …………………………...

178

Приложение 3. Варианты заданий для самостоятельной работы ………………………..

180

Приложение 4. Краткие сведения из матричной алгебры ……... 186 Приложение 5. Примеры оформления файлов исходных данных в формате языка Фортран 90 ………….

192

Приложение 6. Программа ANSYS на языке APDL для расчета устойчивости плоской рамы ..……

206

Приложение 7. Программа ANSYS на языке APDL для деформационного расчета Г-образной рамы ..……………………………….

213

Приложение 8. Программа на языке Фортран для определения собственных значений …….…

219

Приложение 9. Программа ANSYS на языке APDL для расчета двухшарнирной балки на вынужденные колебания ...…………………..

226

6

Предисловие

“Размышлять, не познавая – бесполезно, познать, не размышляя – опасно”.

Конфуций Рациональное проектирование зданий и сооружений требует проведения всесторонних исследований напряженно-деформи-рованного состояния при различных сценариях нагружения. Кроме этого необходим анализ предельных состояний проектируемого объ-екта при действии всех опасных сочетаний нагрузок. Такой ком-плексный подход невозможен без глубоких знаний в области строи-тельной механики и применения современных компьютерных техно-логий. Согласно сложившейся практике преподавания строительной механики в “Южно-Российском государственном техническом уни-верситете (НПИ)” принято разделы, связанные с теорией расчета на устойчивость и динамическое воздействие, выделять в специальный курс, называемый “Устойчивость и динамика строительных систем”. Полученные при этом знания студенты используют при дальнейшем изучении специальных курсов: металлических, железобетонных, де-ревянных и других конструкций, а также в дипломном проектирова-нии. Большинство расчетных схем современных зданий и сооруже-ний можно представить набором стержневых элементов, имеющих один доминирующий размер (длину). Поэтому в качестве объекта изучения в предлагаемом учебном пособии рассмотрены упруго де-формируемые стержневые системы, представляющие собой инже-нерные конструкции, образованные из линейных элементов, иден-тичных балкам, колоннам, аркам, тросам и т. п. Размерность задачи напрямую зависит от количества узловых соединений стержневых элементов. Для расчета стержневых систем используются как класси-ческие методы сил и перемещений, так и численный метод, бази-рующийся на конечно-элементном моделировании. Последний метод обладает большими вычислительными возможностями и является ос-новой современных вычислительных комплексов. Метаморфоза сознания современного студента такова, что для него работа за компьютером намного привлекательнее работы с кни-

7

гами, карандашом и калькулятором на письменном столе. Этим об-стоятельством продиктовано стремление автора изложить материал пособия по большей части в виде руководства пользователя персо-нального компьютера с приложением необходимых теоретических данных, большого числа учебных примеров и справочных материа-лов. Общепризнано, что только во время самостоятельной работы студент получает навыки исследователя, т. к. в процессе освоения те-мы в расчетном задании можно варьировать исходными данными и граничными условиями, достигая требуемого результата. Используемое в пособии программное обеспечение ориентировано на среду Windows с применением компьютерных систем Maple и Matlab. Вычислительное ядро пакета прикладных конечно-элементных про-грамм разработано на Фортране – Microsoft Fortran PowerStation вер-сии 4.0. Расчетно-вычислительный комплекс построен по модульно-му принципу и позволяет выполнять расчеты плоских и пространст-венных стержневых систем при статическом и динамическом (вклю-чая модальный анализ) воздействии. Комплекс имеет открытую структуру, что позволяет при необходимости вносить изменения в вычислительную процедуру. Возможности комплекса ограничены размером оперативной памяти и быстродействием используемого компьютера. При написании настоящего учебного пособия преследовались две цели: познакомить студентов с инженерными основами теории устойчиво-сти и динамики на примере стержневых систем; описать численные алгоритмы анализа предельного состояния, ори-ентированные на использование метода конечных элементов. Отзывы и замечания по материалам учебного пособия просьба на-правлять по электронной почте абоненту GPP-56@yandex.ru.

8

Глава 1. УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

1.1. Понятие о потере устойчивости 1-го и 2-го рода

Оценка несущей способности сооружения помимо прочностного расчета должна включать вопросы устойчивости. В зависимости от времени, в течение которого происходит нагружение конструкции, различают статическую или динамическую устойчивость. В даль-нейшем будем рассматривать только статическое нагружение и соот-ветственно статическую потерю устойчивости всей системы, либо отдельных ее элементов. Устойчивость – это свойство сооружения оказывать сопротив-ление внешним воздействиям и самостоятельно восстанавливать ис-ходную форму после прекращения силового воздействия.

а)

б)

Рис. 1.1

а)

б)

в)

Рис. 1.2

Если вертикальная центрально сжатая стойка с шарнирным за-

креплением на конце (рис. 1.1, а) после малого возмущения 0 резко отклоняется в сторону, то исходное теоретически возможное равно-весное состояние является неустойчивым.

E J =

P P

P0

PP

EJ=

t

(t)

00

P

0

PPкр кр

qкрR

qкр

9

Если прямолинейный центрально сжатый стержень с упругим закреплением на конце (рис. 1.1, б), выведенный из положения равно-весия с помощью слабого возмущения 0 , поколебавшись, возвраща-ется в первоначальное положение, то такое исходное равновесное со-стояние является устойчивым. В качестве примера на рис. 1.2 сплошными и штриховыми ли-ниями соответственно показаны первоначальные формы равновесия и возможные состояния после потери устойчивости для плоской рамы (рис. 1.2, а), кольца (рис. 1.2, б) и арки (рис. 1.2, в). При расчете стержневых систем на устойчивость принято внеш-нюю распределенную и сосредоточенную нагрузку приводить к уз-лам расчетной схемы и вектор узловых сил }{P представлять в виде

}{}{ pP , где – параметр нагружения ( 10 ); }{ p – проектный вектор внешней нагрузки, включающий сосредоточенные моменты. Будем рассматривать так называемое “простое нагружение”, когда все со-ставляющие вектора }{P изменяются пропорционально параметру . В инженерной практике принято различать потерю устойчиво-сти 1-го и 2-го рода [3]. Под потерей устойчивости 1-го рода или Эй-леровой потерей устойчивости принято понимать состояние системы, при котором происходит внезапный переход к качественно новой де-формированной форме равновесия. Такой переход, называемый би-фуркацией, может привести к разрушению конструкции. Поэтому со-ответствующая величина нагрузки характеризуется как критическая. Экспериментально установлено, что незадолго до бифуркации эле-менты сооружения начинают самопроизвольно вибрировать, что объ-ясняется переходом части потенциальной энергии деформации в ки-нетическую энергию малых упругих колебаний.

Для иллюстрации Эйлеровой потери устойчивости рассмотрим гипотетический шарнирно закрепленный идеально прямолинейный стержень, нагруженный центрально приложенной силой Р (рис. 1.3, а). Будем постепенно увеличивать величину Р при одно-временном слабом кинематическом возмущении в центре стержня –

0v . При достижении крРP наступит такой момент, когда прогиб v резко увеличится от 0v до maxv ( 0vv max ). На рис. 1.3, б пред-ставлен идеализированный график нагрузка ~ прогиб ( v~Р ) для дан-ного центрально-сжатого стержня.

10

а)

б)

Рис. 1.3

а) б)

Рис. 1.4

Потеря устойчивости 2-го рода характеризуется нелинейной за-висимостью между параметром нагружения и перемещениями конст-рукции. В простейшем случае однопролетного внецентренно сжатого стержня (рис. 1.4, а) в процессе квазистатического (медленного) на-гружения наступает момент, когда незначительное увеличение силы приводит к значительному прогибу (рис. 1.4, б). Состояние системы, при котором рост перемещений продолжается без увеличения нагруз-ки, называется потерей несущей способности. В строительной меха-нике решение задач устойчивости 2-го рода называют расчетом по деформированной схеме или деформационным расчетом. Строительные нормы и правила регламентируют работу стерж-невых конструкций только в докритической стадии.

1.2. Классические методы линейного анализа устойчивости стержней

1.2.1. Статический метод

Рассмотрим прямолинейный идеально упругий центрально-

сжатый стержень постоянного поперечного сечения в сочетании с различными схемами закрепления его концов (рис. 1.5, а, б, в). Схему

P

vmax

E J

v0 v

PPкр

vmax0

P

vmax

yE J

e

v

P

vmax

11

закрепления стержня пока не конкретизируем. При значении силы крРР стержень находится в состоянии равновесия и сохраняет

первоначально прямолинейную форму. В случае, когда величина си-лы составляет крРР , стержень при малейшем отклонении от про-дольной оси переходит в новое равновесное изогнутое состояние, смежное с первоначальным состоянием. Считаем, что изгиб стержня происходит в плоскости наименьшей жесткости, которой соответст-вует минимальный момент инерции сечения J . Для определения кри-тической силы крР составим уравнение равновесия стержня в изо-гнутом состоянии.

Рис. 1.5

Принимаем следующие допущения (рис. 1.5, г): считаем выделенный элемент стержня xd недеформируемым; поперечная сила Q возникает за счет проекции силы N на ось y ; в виду малых деформаций полагаем sincos ,1 . Отметим, что угол поворота нормального сечения стержня связан с прогибом v соотношением (курс “Сопротивление материа-лов”)

vxdvd .

Запишем уравнение равновесия для выделенного элемента стержня, находящегося в изогнутом состоянии:

0 dMMMxdNM c . Отсюда

l l

Pкр Pкр

y y

xxl

Pкр

y

x

vmax

vmax vmax

NNx

dx

N

N

x

y

=N sinQ

а) б) в) г)

dx

Q+dQ

M

Q c M+dM

x

Nx

Nxy

d+

12

0 MdxdN , 0 Nxd

Md , vNxd

Md , Qxd

Md .

С другой стороны, проецируя поперечные силы на ось y , имеем: )()()( xdvvNvNdNNQdQQ ;

xdvNQd ; vNxdQd .

В результате устанавливаем зависимость вида

vNxdMd 2

2.

С учетом выражения для изгибающего момента (курс “Сопро-тивление материалов”)

vJExdvdJEM 2

2

получим дифференциальное уравнение устойчивости стержня посто-янной жесткости ( constJE ):

02

2 vNvJE

xdd ,

02 vkv VI , (1.1)

где 4

4

xdvdv VI ;

JENk .

Однородное дифференциальное уравнение (1.1) четвертого по-рядка справедливо при любых условиях закрепления торцов стержня. Общее решение уравнения (1.1) имеет вид xkCxkCxCCxv cossin 4321)( , (1.2) где 1C , 2C , 3C , 4C – константы, определяемые из граничных условий задачи. Напомним, что в курсе “Сопротивление материалов” для цен-трально-сжатого стержня было получено однородное дифференци-альное уравнение второго порядка в виде

02 vkv . Особенность вывода данного уравнения заключалась в том, что при изгибе стержня вертикальные реакции в опорах считались равными нулю, т. е. поперечная сила Q не учитывалась.

13

Пример 1. Требуется определить выражение критической силы для стержня с шарнирными опорами на концах (рис. 1.5, а). В этом случае граничные условия имеют вид:

0)0( v ; 0)0(0

2

2

vxdvd

x; 0)l(v ; 0)(2

2

lvxdvd

lx. (1.3)

В развернутом виде граничные условия (1.3) с учетом выражения (1.2) представим с помощью следующей однородной системы линей-ных уравнений:

.lkkClkkС;lkClkClCC;Ck;CC

0000

24

23

4321

42

41

cossincossin

Условие ненулевого решения этой системы уравнений имеет вид

0

001

0001001

det

22

2

lkklkklklkl

k

cossincossin

. (1.4)

Это и есть уравнение устойчивости или характеристическое уравнение.

Вычислив определитель, получим выражение 04 lkkl sin .

Так как 04 kl по определению, то 0lksin . Таким образом, корни уравнения (1.4) определяются по формуле

nlk , nlJE

P , ...,,,n 210 .

Наименьшему корню характеристического уравнения mink со-ответствует критическое значение силы:

2

2

1крl

JEPP n

(значение корня 0n не имеет физического смысла). Соответствующая форма потери устойчивости представляет со-

бой полуволну синусоиды.

14

Пример 2. Требуется определить выражение Эйлеровой крити-ческой силы для стержня, жестко защемленного одним концом и шарнирно закрепленным на другом конце (рис. 1.5, б). В этом случае краевую задачу формализуем в виде:

0 vkv VI ; 0)0( v ; 0)0( v ; 0)( lv ; 0)( lv .

Общее решение дифференциального уравнения – аналогично выражению (1.2). Производные v и v имеют вид

xkkСxkkCCv sincos 432 , xkkCxkkCv cossin 24

23 .

Уравнение устойчивости принимает форму

0

001

0101001

22

lkklkklklkl

kdet

cossincossin

.

Раскрыв определитель, запишем 021 , где lklk cos1, lksin 2 .

Рис. 1.6

Решение данного трансцендентного уравнения ищем в числен-ном виде с помощью компьютерной математики системы Maple. В результате получим 49344,lk . На рис. 1.6 представлена графиче-ская интерпретация полученного решения.

Из выражения 49344кр ,JE

Pl находим значение критической

силы:

k l

1

2

-2

0

2

4

6

1 2 3 4 5 6

1

2

,

4,4934

15

22

2кр

191,20)4934,4(l

JEl

JEР .

Пример 3. Требуется найти выражение критической силы для стержня, один конец которого жестко защемлен, а другой свободен (рис. 1.5, в). Полагаем, что сила, приложенная к свободному концу, после потери устойчивости стержня сохраняет свое направление.

Граничные условия задачи: 0)0( v ; 0)0( v ; 0)( lv ; )()( lvPlvJE .

Граничное условие при lx представляет собой равенство по-перечной силы Q и проекции продольной силы P на ось y . Отсюда следует

032 CC , 41 CC ; 0lkcos . Корни характеристического уравнения ...,/,/,/lk 25232 .

Тогда 2

кр l

JEP

и выражение для критической силы принимает

вид

2

2кр

4 lJEP

.

Полученные в примерах 1-3 выражения для крР являются ре-шениями линеаризованных уравнений частных задач устойчивости. Следует отметить, что основной недостаток статического метода со-стоит в отсутствии информации о перемещении maxv стержня после потери устойчивости. Как будет показано ниже, более полную ин-формацию о закритическом поведении стержня можно получить, ес-ли использовать геометрически нелинейную постановку задачи. Критическая сила для стержней, изображенных на рис. 1.5, а, б, в, может быть вычислена с помощью универсальной формулы Эйлера:

2пр

2кр

lJEР

, ll пр , (1.5)

где прl – приведенная длина стержня; – коэффициент приведения длины (впервые введен инженером-механиком Ф.С. Ясинским); l – фактическая длина стержня. Величина для рассмотренных схем

16

имеет следующие значения: 1 (рис. 1.5, а); 70, (рис. 1.5, б); 2 (рис. 1.5, в).

Формулой Эйлера (1.5) можно пользоваться только в рамках за-кона Гука:

пц2

2

EFР .

Здесь введены обозначения: i/l пр – гибкость стержня;

F/Ji – радиус инерции сечения стержня; пц – предел пропор-циональности материала.

1.2.2. Энергетический метод Рассмотрим энергетический вариант статического метода анали-за устойчивости. Потенциальную энергию деформации сжато изогну-того стержня определяем по формуле

l

Fxx xddFU

0,

где x и x – соответственно напряжение и деформация вдоль оси стержня x ; dF – элементарная площадка поперечного сечения стержня. При отклонении стержня от состояния устойчивого равно-весия происходит увеличение значения U . При этом критическая на-грузка находится как минимальная сила, с помощью которой можно отклонить стержень от положения равновесия при соблюдении усло-вия 0U . Величину x представим в виде суммы:

10 xx ,

где xdud

x 0 – составляющая деформации стержня до потери устой-

чивости (u – перемещение вдоль оси x ); 2

2

21 2

1

dxvd

dxvdyx –

дополнительная изгибная деформация стержня, обусловленная поте-рей устойчивости (v – прогиб стержня). Тогда вариацию потенциальной энергии U , вызванную малым возмущением, можно также представить в виде суммы:

17

10 UUU , где

l

Fx xddF

xdudU

00 ;

l

Fx

l

Fx xddF

xdvd

xdvdxddF

xdvdyU

002

21 .

Учитывая, что

F

x dFN ; 2

2

xdvdJEdFyM

Fx ,

запишем выражение для составляющей 1U в форме

l ldx

dxvd

dxvdNdx

dxvd

dxvdJEU

0 02

2

2

21 . (1.6)

Условие потери устойчивости стержня формулируем в виде ра-венства 01 U . (1.7) Для вычисления значения критической силы необходимо задать ап-проксимирующую функцию, описывающую изгибную форму равно-весия стержня.

Рассмотрим шарнирно закрепленный стержень (рис. 1.5, а). Изо-гнутую ось стержня описываем уравнением (полуволна синусоиды)

lxсxv sin)( ,

где с – масштабный коэффициент. Выполним необходимые символьные вычисления:

lxcos

lcv

xdvd

; lxsin

lcv

xdvd

2

2

2

2;

22

222

02

22

0

ll

cxdlxcos

lcxdv

ll

;

24

422

04

42

0

2 ll

cxdlxsin

lcxd)v(

ll

.

Подставив найденные выражения интегралов в (1.6) и учитывая условие (1.7), получим

18

022 2

22

4

421

ll

сNll

сJEU .

Отсюда, выразив продольную силу N через крР , запишем

2

2кр

lJEР

.

Это выражение совпадает с результатом, ранее полученным статиче-ским методом (пп. 1.2.1, пример 1). Выполним аналогичные выкладки для консольно закрепленного стержня (рис. 1.5, в). Уравнение изогнутой оси в этом случае аппрок-симируем функцией

lxсoс)x(v

21 s .

Тогда интегралы, входящие в выражение (1.6), принимают вид:

lcxdv

l 22

0 81

;

3

42

0

2321

lcxd)v(

l .

Подставив эти выражения в (1.6) и учитывая условие (1.7), по-

лучим формулу для определения критической силы 2

2кр

4lJEР

.

Как видно данная запись совпадает с ранее полученным выражением (пп. 1.2.1, пример 3).

Следует отметить, что если выбрать иное выражение для ап-проксимации перемещения )(xv , то вид выражения для крР будет отличаться от Эйлеровой формулы (1.5).

1.3. Дифференциальное уравнение упругой линии при продольном изгибе стержня

Рассмотрим стержень, сжатый продольной силой N в равновес-ном деформированном состоянии, обусловленном малыми попереч-ными перемещениями (рис. 1.7). Данная форма продольного изгиба

19

стержня имеет место при Эйлеровой потере устойчивости. Начало координат 0 помещаем на левом конце стержня, ось x совмещаем с упругой линией стержня до деформации. Подчеркнем, что до потери устойчивости на прямолинейный стержень действует только сжи-мающая сила N . Как видно из рис. 1.7 после потери устойчивости левый конец стержня сместится на величину 0v и повернется на угол

0v . Полагаем, что на левом конце стержня возникают сила 0H и мо-мент 0M .

Рис. 1.7

Пренебрегая укорочением стержня, запишем выражение для из-гибающего момента в сечении x

xHMvvNxM 000 )()( . Дифференциальное уравнение продольного изгиба стержня име-ет вид

xHM)vv(NJExd

vd0002

2 1 . (1.8)

Решение уравнения (1.8) ищем в следующей форме [1-3]:

xkCxkcosCxHMJEk

v)x(v sin2100201

,

где, как и ранее, JE/Nk . Для определения постоянных 1C и 2C используем граничные

условия в начале координат:

при

.

JEk

Hv

kC,v

xdvd

;JEk

MC,vv

x

20

020

20

10

10

откуда

откуда

x

0

v0

0H

M0

x

Nv ( )x

v0

20

В результате преобразований получим выражение для прогиба стержня )x(v :

1200

0 xkcosJEk

Mxksin

kv

v)x(v (1.9)

.xkxksinJEk

H 3

0

С помощью выражения (1.9) получим формулы для угла поворо-та )x(v и изгибающего момента в произвольном сечении x :

)1)(cos()(sin)(cos)( 200

0 xkJEk

Hxk

JEkM

xkvxv ; (1.10)

.)(sin

)(cos)(sin)(

0

00

kxkH

xkMxkJEkvvJExM

(1.11)

Приведенные выражения )(xv , )(xv и xM являются основой для вывода формул упругих реакций сжато-изогнутых стержней, ко-торые в свою очередь используются при расчете плоских рам на ус-тойчивость методом перемещений. Если стержень растянут силой растN , то выражения (1.9), (1.10) и (1.11) принимают вид1:

xch

JE

Mxsh

vv)x(v 12

000 (1.12)

xshxJE

H

3

0 ;

xchJE

Hxsh

JEM

xchv)x(v

1200

0 ; (1.13)

xshH

xchMxshJEv)x(M

000 . (1.14)

1 Киселев В.А. Строительная механика: Спец. курс. Динамика и устойчивость сооружений. Учебник для вузов – М.: Стройиздат, 1980. – 616 с.

21

Здесь введены обозначения: JE/Nраст ; xsh , xch –

гиперболический синус и косинус. Выражения (1.12), (1.13) и (1.14) используется при анализе устойчивости 1-го рода сжато-растянутых стержней.

1.4. Упругие единичные реакции сжато- и растянуто-изогнутых стержней

Наиболее универсальной методикой определения критической нагрузки для плоских стержневых систем является анализ деформи-рованного состояния в форме метода перемещений. При этом, сохра-няя общий подход к формированию канонической системы уравне-ний равновесия, коэффициенты матрицы упругих реакций в сжатых стержнях от единичных смещений будем определять на основании уравнений (1.9), (1.10) и (1.11). В качестве примеров рассмотрим расчетные схемы сжатых стержней, показанные на рис. 1.8. Граничные условия для стержня с жестко защемленными концами (рис. 1.8, а) имеют следующий вид:

при

,v;v

x10

0a

a при

.v;v

lx00

б

б

а)

б)

Рис. 1.8

На основании уравнений (1.9) и (1.10) при lx составим систе-

му уравнений:

a бl

Ma MбRб

Rа

N N

y

x

v а =1

a бl

Ma RбRа

N Nx

yv б =1

22

,RJEk

cosMJEk

sincos

;RJEk

sinMJEk

cosk

sin

01

01

a2a

a3a2

vvv

vvvv

где klJENl /v – безразмерный параметр продольной нагрузки [1, 3].

Отсюда 22a

vvvvvv

sincossincosJEkM ,

2212

a

vvv

vsincos

cosJEkR .

Подставляя полученные выражения для aM и aR в формулу (1.11) и учитывая, что 1a v , запишем

22б

vvvvv

sincossinJEkM .

Вводя обозначение для погонной жесткости стержня lJEi /)( , представим полученные выражения для реакций aM , бM и aR в компактном общепринятом виде [1, 3]:

)(4 2a viM ; )(2 3б viM ; )(64бa v

liRR ,

где специальные функции

)2sincos2(4)sincos()(2

vvvvvvvv ;

)2sincos2(2)(sin)(3

vvvvvvv ;

)()()( vvv 324 231

.

Граничные условия для стержня с комбинированным закрепле-нием концов (рис. 1.8, б) имеют вид:

при

,v;v

x0a

0a0 при

.M

;vlx

0б

1б

Подставляя значение lx в выражения (1.9) и (1.11) запишем систему уравнений для определения aМ и aR :

.Rk

sinMcos

;RJEk

sinM

JEk

cos

0aa

1a3a21

vv

vvv

23

а)

б)

в)

Рис. 1.9

Отсюда vvv

vsincos

sinJEkM

2a ,

vvvv

sincoscosJEk

R

3

a или в ком-

пактной форме )(13

a vli

M , )(123

бa vl

iRR , где специальные

1 2 3 40

-2

-4

-6

-8

-10

1

( )v1

1

1( )v ,

v

1086420

-2-4

1 2 3 4 5 6

3

2

3

2( )v

( )v ,

v

0

1

-1

-2

-3

1 2 3 4 5 6 v

2

4

24

( )v( )v

,

24

функции )cos(sin3

sin2)(1 vvv

vvv

; 3/2)(1)(1 vvv .

В приложении 1 приведены значения упругих реакций aМ , аR ,

бM , бR и эпюры изгибающих моментов для сжато-изогнутого стержня при различных единичных смещениях и схемах закрепления концов. Эти данные предназначены для практических расчетов стержневых систем на устойчивость. Графики специальных функций

)(1 v , )(2 v , )(3 v , )(4 v , )(1 v , 12/)()( 242 vvv ,

входящих в выражения для реакций aМ , aR , бM , бR , показаны на

рис. 1.9. В общем случае параметр продольной нагрузки v изменяет-ся в диапазоне от 0 до 2 . Следует отметить, что специальные функции )(1 v , )(2 v ,

)(3 v имеют сингулярность (особенность в виде деления на ноль) в

точках 20 ,,v . Поэтому при вычислениях обычно принимают значения функций )0(1 , )0(2 , )0(3 , )0(4 , )0(1 , )0(2 равны-

ми единице. При этом упругие единичные реакции aМ , aR , бM , бR автоматически преобразуются к форме, используемой при обычном прочностном расчете по методу перемещений (приложение 2). В расчетной практике иногда встречаются сжато-растянутые стержневые схемы. В этом случае необходимо иметь выражения уп-ругих реакций при единичных смещениях и углах поворота для рас-тянуто-изогнутых стержней. На основании зависимостей (1.12), (1.13), (1.13) получим выражения упругих реакций aМ , aR , бM , бR для растянуто-изогнутого стержня с жестко защемленными концами при единичном повороте ( 1 а v ) и единичном смещении ( 1а v ) ле-вой опоры стержня (рис. 1.10). В случае единичного поворота (рис. 1.10, а) граничные условия представим в форме:

при

,1;0

0а

аvv

x при

.0;0

б

бvv

lx

25

а) б)

Рис. 1.10

Используя граничные условия при lx и выражения (1.12) и (1.13), составим систему уравнений:

,RJE

chMJE

shch

;RJE

shMJE

chsh

01

01

а2а

а3а2

vvv

vvvv

где безразмерный параметр продольной нагрузки lv , аналогичный ранее введенному параметру klv . Отсюда получим в символьном виде формулы для упругих ре-акций в левой опоре стержня:

)22()1()1( 22

аvvvv

vvv

vv

eeeeeJEM ;

vv vv

v

22)1(2

аee

eJER .

Подставив полученные выражения аМ и аR в уравнение (1.14), запишем

)22()1()2(

бvv

vvvv

vvv

eeeeeeJEM .

Приведенные выражения для аМ , бМ , аR можно представить в общепринятом компактном виде:

)(4 2 viM a ; )(2 3б viM )(64ба v

liRR .

В выражениях для аМ , бМ , аR , бR введены следующие спе-циальные функции:

)22()1(4)1()(

222

vvvvvv vvv

vv

eeeee ;

Ma

v а =1

la б

RбRa

Nраст

Nраст

Mб

vа=1

a бl

Rб

NрастNраст

Ra

MбMa

26

)22()1(2)2()(3

vvvvv vvv

vv

eeeee ;

)22(6)1()(

24

vvvv vv

v

eee .

Для единичного смещения (рис. 1.10, б) граничные условия за-пишем в виде:

при

,v;v

x01

0а

а при

.v;v

lx00

б

б

На основании граничных условий на правом конце стержня )( lx и зависимостей (1.12) и (1.13), составим систему уравнений:

.RJE

chMJE

sh

;RJE

shMJE

ch

01

011

а2а

а3а2

vv

vvv

Отсюда находим:

vv vv

v

22)1(2

аee

eJEM ; vv vv

v

22)1(3

аeeeJER .

Или в компактном виде:

)(64ба v

liМM ; )(12

22ба vl

iRR ,

где специальная функция )2212(

)1()(3

2vv

vv vv

v

eee .

а) б)

Рис.1.11

Аналогично для стержня с комбинированной схемой закрепле-

a

RaMa Rб

б

v а =1NрастlNраст

vа=1

a б NрастNраст

RбRa

Ma

27

ния (рис. 1.11) выражения упругих реакций имеют следующий вид. При единичном угле поворота 1а v :

)(3 1а viМ ; )(31ба v

liRR .

При единичном смещении 1av :

)(31а v

liМ ; )(3

12ба vl

iRR .

Здесь введены обозначения:

)1(3)1()( 22

221

vvvv vv

v

eee ;

)1(3)1()( 22

231

vvvv vv

v

eee .

На рис. 1.12 представлены графики функций )(1 v , )(2 v , )(3 v , )(4 v , )(1 v , )(2 v .

Рис. 1.12

На представленных графиках параметр v изменяется в диапазо-не ]2,0[ . В точке 0 функции )(1 v , )(2 v , )(3 v , )(4 v , )(1 v ,

)(2 v принимают значение 1. Отметим, что эпюры изгибающих мо-

0 1 2 3 4 5 6 v1

1,21,41,61,8

22,22,4

1

4

1( )v

4 ( )v2 ( )v

2

2468

101214

0 1 2 3 4 5 6

1

2

v

( )v12( )v

-0,1-0,2-0,3-0,4-0,5-0,6-0,7-0,8-0,9

0 1 2 3 4 5 6 v

3 ( )v

28

ментов для растянуто- и сжато- изогнутых стержней качественно совпадают (см. приложение 1).

1.5. Расчет плоских стержневых систем на устойчивость методом перемещений

Общий порядок определения критической нагрузки для плоских рам включает следующие шаги [4].

Шаг 1. Расчет по недеформированной схеме. Построение эпюр изгибающих моментов 0M , поперечных 0Q и продольных 0N сил. Уточнение, заданных априори, параметров поперечных сечений стержней.

Шаг 2. Формирование матриц упругих реакций для ожидаемых форм потери устойчивости с использованием функций )(1 v , )( v2

, …, )(2 v , зависящих от продольных сил, полученных на шаге 1. Решение соответствующих уравнений устойчивости.

Шаг 3. Расчет по деформированной схеме. Формирование кано-нической системы метода перемещений с учетом уточненных пара-метров поперечных сечений и фактических значений параметров

jiv ( j,i – номера узлов стержней). Решение результирующей систе-мы уравнений и построение эпюр изгибающих моментов )(vM , попе-речных )v(Q и продольных )v(N сил. Шаг 4. Сравнительный анализ эпюр 0M (шаг 1) и )(M v (шаг 3). Проверка на прочность сжато-изогнутых стержней, в кото-рых имеет место увеличение изгибающего момента более 5%. Пове-рочный расчет выполняется по формуле

cymaxmax R

W

)(M

F

)(N

vv,

где W,F – площадь и момент сопротивления сечения стержня; yR – расчетное сопротивление стали; c – коэффициент условий работы. Для более точного анализа перераспределения внутренних уси-лий в раме, обусловленного учетом продольной нагрузки, всегда можно повторить расчет, начиная с шага 2, используя новые значения

jiv , вычисленные по эпюре )v(N (шаг 3). Для сходимости такого

29

процесса достаточно двух, трех последовательных приближений. Более детально рассмотрим данную последовательность на при-мере расчета плоской трехэтажной рамы, показанной на рис. 1.13, а. Стойки и ригели рамы выполнены из стального двутавра. Считаем, что имеет место центральное приложение продольных усилий в стержнях. Назначаем: 1P =400кН; 2P = 3P =300кН; 1q =30кН/м; 2q = 3q=20кН/м (рис. 1.13, а).

В соответствии с шагом 1 выполняем линейный расчет рамы ме-тодом перемещений. Для определения числа неизвестных представим раму в деформированном состоянии (рис. 1.13, б). При этом учитыва-ем симметрию геометрии и нагрузки. Основная система метода пере-мещений будет иметь вид, приведенный на рис. 1.13, в. Здесь неиз-вестными являются 1Z , 2Z , 3Z , 1Z , 2Z , 3Z – углы поворотов узлов 2, 3, 4, 2', 3', 4'. Причем в силу симметрии деформации имеем 11 ZZ ,

22 ZZ , 33 ZZ . а) б) в)

Рис. 1.13

Составляем систему канонических уравнений метода перемеще-ний:

.rZrZrZr;rZrZrZr

;rZrZrZr

00

0

1333223113

2332222112

1331221111

p

p

p

Здесь jir , 321 ,,j,i – упругая реакция в связи i от единичного

5м

5м

6м

6м

JJ

J

J1,5J1,5J

1,5J2,5J2,5J

2q

1q

3q

1

2

3

1

2

3

4

5м

5м

6м

6м1

2

3

44

1

2

3

4

Z1 Z1

Z2 Z2

Z3 Z3

0,417i 0,417i0,25i

0,3i 0,3i

0,2i 0,2i0,167i

0,167i

3P3P

2P2P

1P1P

30

смещения связи j ( ijji rr , ji ). Величины jir определяем из условия равновесия узлов и считаем положительными, если они сов-падают с принятыми в данном расчете направлениями перемещений

jZ ; p1r , p2r , p3r – грузовые члены, обусловленные действием на-грузки. На рис. 1.14 приведены единичные 1m , 2m , 3m и грузовая

pm эпюры, а также схемы для определения упругих реакций 11r , 21r ,

22r , 23r , 33r и грузовых членов p1r , p2r , p3r в узлах 2, 3, 4.

Рис. 1.14

После подстановки величин jir и pir в исходную систему уравнений получим:

.Zi,Zi,

;Zi,Zi,Zi,

;Zi,Zi,

432

4321

421

106134140

10640334260

109603683

1

2

3

1

2

3

44

2 0,3i.

4 0,417i.

2 0,417i.

4 0,3i.

2 0,25i.

m1

r11

r12

r 12

1

2

3

1

2

3

44

m2

2 0,167i.

2 0,2i.

r33

r 23

1

2

3

1

2

3

44

m2

2 0,3i.

2 0,167i.4 0,3i.4 0,2i.

4 0,2i.2 0,2i.r22

r 12

r23

1

2

3

1

2

3

44

mp

60 кНм

90 кНм

60 кНм

r1p

r2p

r3p

Z =11

Z =12

Z =13

Z = 12 -

Z = 11 -

Z = 13 -

4 0,417i.

4 0,3i.

2 0,25i.

r11

2 0,3i.

r12

2 0,167i.

4 0,3i.

4 0,2i. r22

90 кНм 60 кНм 60 кНм

r1p r2p r3p

2 0,2i.

r23r33

4 0,2i.

2

2

33

3

4

4

4

31

Отсюда находим: i

Z 247751 ;

iZ 10931

2 ; i

Z 490543 .

Результаты расчета рамы по недеформированной схеме (шаг 1) в виде эпюр изгибающих моментов 0M , поперечной 0Q и продольной

0N сил приведены на рис. 1.15. Далее по условиям прочности уточняем параметры поперечных сечений стержней рамы. В соответствии со СНиП 11-23-81 [10] рас-чет на прочность стержней, изгибаемых в одной из главных плоско-стей, выполняем по формуле

cyx

max RW

M ,

где maxM – максимальное значение изгибающего момента в стерж-не, Н·м; xW – момент сопротивления сечения, м3; yR – расчетное со-противление стали растяжению, сжатию и изгибу по пределу текуче-сти, Н/м2; с – коэффициент условий работы.

Рис. 1.15

Расчет на устойчивость стержней, подверженных центральному сжатию силой N , выполняем по формуле

cyRA

N

,

где А – площадь поперечного сечения, м2; – коэффициент про-дольного изгиба, зависящий от гибкости стержня и величины yR . Значения ),( yRf приведены в [10].

M , кНм

41,32477,612

27,982

43,616

43,616

56,349

28,367

36,288

20,662

0 Q кН,

+

+

+

+

+

+

-

-

--

-

-

60

6014,40

12,85

10,33

90

0N кН,

- -

-

--

-

-14,40

+1,543

+2,523

360

720

1210

0

32

Выполнив соответствующие вычисления, получим новые значе-ния погонных жесткостей стержней рамы: стойки – i,i 22121 , i,i 3032 , i,i 2043 ; ригели – i,i 45022 , i,i 25033 , i,i 167044 , где нижние индексы соответствуют номерам узлов рамы (рис. 1.13, б). Для реализации вычислений на шаге 2 рассмотрим две возмож-ные формы потери устойчивости рамы, показанные штриховой лини-ей на рис. 1.16. Как видно, форме I отвечает кососимметричная де-формация рамы, а форме II – симметричная. Очевидно, что жесткость рамы, соответствующая деформации по форме I, меньше жесткости, соответствующей деформации по форме II. Основные системы мето-да перемещений для форм I и II представлены на рис. 1.17. Вычислим значения параметра критической нагрузки v для обеих форм потери устойчивости.

Рис. 1.16

Система канонических уравнений метода перемещений для формы I имеет следующую структуру:

.rZrZrZrZ;rZrZrZrZrZrZ;rZrZrZrZ;rZrZrZrZ;rZrZrZrZrZrZ;rZrZrZrZ

0666565363262

0656555454353252151

0545444242141

0636535333232

0626525424323222121

0515414212111

5м

5м

6м

6м

2q

1q

3q

1

2

3

1

2

3

44

1

2

3

1

2

3

44I II3P3P

2P2P

1P1P

33

Рис. 1.17

Или в матричной форме

0}{])([ ZR v , где ])([ vR – симметричная квадратная матрица, составленная из уп-ругих реакций jir , 621 ,...,,j,i ; }{Z – вектор-столбец узловых сме-щений. Данная система имеет нетривиальное (ненулевое) решение

0}{ Z , если определитель )]([det vR равен нулю. Символьная за-пись 0)]([det vR представляет собой уравнение устойчивости. Для вычисления коэффициентов jir , 621 ,...,,j,i используем эпюры изгибающих моментов и значения реакций от единичных смещений введенных связей (рис. 1.18). Построение единичных эпюр для сжатых стоек выполняем с использованием таблицы приложения 1, а для ригелей – с помощью таблиц метода перемещений (приложе-ние 2). Выражения для коэффициентов jir имеют вид:

)15,1(5

3,012)39,1(6

22,112222211 vv iir

;

)15,1(5

3,0122221 vir

;

)39,1(622,16)15,1(

53,06

4441 vv iir

; )15,1(

53,06

451 vir ;

)(5

2,012)15,1(5

3,012222222 vv iir

;

5м

5м

6м

3м1

2

3

4

Z1Z4

Z2Z5

Z3Z6

1,22i 1,22i0,9i

1,3i 1,3i

0,2i 0,2i0,334i

0,5i

1,39v 1,39v

1,15v 1,15v

v v5м

5м

6м

6м1

2

3

4

1

2

3

4

Z1 Z1

Z2 Z2

Z3 Z3

0,45i

0,167i

0,25i

III

34

Рис. 1.18

)15,1(5

3,06442 vir

;

)15,1(5

3,06)(5

2,064452 vv iir

; )(5

2,06462 vir

;

)(5

2,0122233 vir

; )(5

2,0122223 vir

)(5

2,06453 vir

;

2m 1

1

2

3

4

Z2=1

6.0,3il23

4

(1,15 )v

6.0,3il23

4

(1,15 )v

6.0,2il34

4

( )v

6.0,2il34

4

( )v

r21

r

r22

23

r15

r

r

r

24

25

26

l23(1,15 )v12.0,3i

2 2

m

( )vl34

12.0,2i2

1

2

3

4

Z1=1

6.0,3il23

4

(1,15 )v

6.1,22il12

4(1,39 )v

6.0,3il23

4

(1,15 )v

r11

r12

r15

r14l23

(1,15 )v12.0,3i2 2

(1,39 )vl12

12.1,22i2

2

2

Z3 =1

1

2

3

46.0,2i

l34

4( )v

6.0,2il34

4

( )v

r32

r33

r35

r36

m 3

( )vl34

12.0,2i2

2

Z4=1

3.0,9i

2

4

4

.

.

.

0,3i

1,22i

0,3i

3

2

2

(1,15 )v

(1,39 )v

(1,15 )v

1

2

3

4 r45

r44

m 4

Z6=1

3.0,334i

2.0,2i3( )v

4.0,2i2( )v

1

2

3

4

r65

r66

m 6

Z5=1

3.0,5i

2.0,2i3( )v

4.0,2i2( )v

4.0,3i2(1,15 )v

32.0,3i (1,15 )v

1

2

3

4

r54

r55

m 5

35

)(5

2,06463 vir

;

iiir 9,03)15,1(3,04)39,1(22,14 2244 vv ; )15,1(3,02 354 vir ;

iiir 5,03)(2,04)15,1(3,04 2255 vv , )(2,02 365 vir ; iir 334,03)(2,04 266 v .

Определив первый (наименьший) корень 1v уравнения 0)]([det vR , можно найти значения критической нагрузки крP для

сжато-изогнутых элементов рамы. Значение 1v вычисляем с помо-щью компьютерной математики системы Maple. Для визуализации уравнения 0)]([det vR используем графическую функцию, позво-ляющую оценить интервал, которому принадлежит искомый корень

1v (рис. 1.19). Последующее численное уточнение на интервале [1,8; 2,0] дает величину 1v =1,847. С целью проверки решения уравнения устойчивости вычислим с точностью до множителя горизонтальные смещения ригелей рамы

1Z , 2Z , 3Z . Для этого решим систему уравнений }{}{])([ 1y bZR v ,

где ])([ 1y vR – усеченная матрица упругих реакций, составленная из коэффициентов jir при 1v =1,847; }{b – вектор-столбец, образован-ный из элементов первого столбца матрицы ])([ 1vR ; }Z{ – вектор-столбец узловых смещений, соответствующих рассматриваемой фор-ме потери устойчивости (форма I). Матрицу ])([ 1y vR получаем из матрицы ])([ 1vR путем назначения 111 r и 01 jr , 01 ir ,

632 ,...,,j,i . В итоге получим систему уравнений

03320,07471,0007866,01

654321

707,13523,002260,02260,003523,0212,35039,02260,01060,0005039,0408,703320,002260,02260,0006311,006311,00

2260,01060,03320,006311,01418,00000001

ZZZZZZ

.

36

Рис. 1.19

После решения находим

TZ }4081,08011,03232,0076,8745,31{}{ . Отсюда устанавливаем, что элементы 1Z , 2Z , 3Z имеют одина-

ковый знак и расположены в порядке возрастания. Это качественно соответствует физической картине кососимметричной формы дефор-мации рамы (рис. 1.16). Выполнив аналогичные вычисления для симметричной формы II (рис. 1.16, 1.17), получим значение параметра продольной нагрузки, равное 1v =3,450. Как видно, данная величина почти в два раза пре-

вышает значение 1v =1,847, соответствующее форме I. Поэтому дальнейший расчет выполняем по наименьшему значению параметра

1v =1,847. Определяем значения критической нагрузки для сжато-изогнутых стоек рассматриваемой рамы:

iiP 041,822,1)39,1( 2121кр v ;

iiP 353,13,0)15,1( 2132кр v ;

iiP 6823,02,0)( 2143кр v .

На шаге 3 выполняем расчет рамы (рис. 1.13) по деформирован-ной схеме [1, 4], т. е. с учетом влияния продольной нагрузки на жест-кость сжатых стоек. Каноническую систему уравнений метода пере-мещений записываем в форме:

v

0,03

0,02

0,01

0

-0,01

1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 2,2 2,4 2,6 2,8v1 v2 v3

R( )vdet [ ]

37

.0)()(;0)()()(;0)()(

p3333223

p2332222112

p1221111

rZrZrrZrZrZrrZrZr

vvvvv

vv

Здесь коэффициенты jir , 321 ,,j,i вычисляем по формулам: iiir 45,02)15,1(3,04)39,1(22,14)( 2211 vvv ;

)15,1(3,02)( 221 vv ir ; iiir 25,02)(2,04)15,1(3,04)( 2222 vvv ;

)(2,02)( 232 vv ir ; iir 167,02)(2,04)( 233 vv .

Грузовые члены: 4p1 109 r Н; 4

p2 106 r Н; 4p3 106 r Н.

Решая систему при 1v =1,847, получим:

iZ 14665

1 ; i

Z 154132 ;

iZ 52540

3 .

Рис. 1.20

Результаты расчета рамы по деформированной схеме в виде эпюр )( vM , )( vQ , )(vN представлены на рис. 1.20. В скобках на эпюре )(M v в процентах приведены результаты сравнения с данны-ми, полученными на шаге 1 (эпюра 0M ). Как видно, наиболее существенное перераспределение изги-бающего момента происходит в сжатых стойках рамы. На шаге 4 по формуле

Q кН, ( )v N кН, ( )vM( ), v кНм

54,26(+31%)

76,80 (-1%)

22,92(-18%)

42,45 (-2,7%)

52,29 (-7%)

29,37 (-3,5%)

36,288

27,13 (+31%)

+

+

+

+

+

+

-- -

-

--

--

--

-

-

60

6014,36

9,092

13,57

90

-14,36

+5,268

-4,478

360

720

1210

38

cyRWM

AN

выполняем проверку прочности стойки 12, в которой имеет место увеличение изгибающего момента на 31%. В результате вычислений назначаем погонную жесткость равной i,i 73121 (для сравнения ра-

нее принималось i,i 22121 ). На этом расчет плоской трехэтажной рамы закончен. Рассмотрим случай, когда величины продольных сил (парамет-ры jiv ) в стержнях рамы известны заранее. Такие расчетные схемы предлагаются студентам в качестве домашнего задания в приложе-нии 3. В данной постановке алгоритм расчета плоской рамы на ус-тойчивость упрощается. Соответствующий учебный пример приведен на рис. 1.21, а. Исходя из принятой расчетной схемы, представим картину возможного деформированного равновесного состояния ра-мы (штриховая линия). Далее строим основную систему метода пе-ремещений. За неизвестные принимаем смещения узлов, в которых введены дополнительные связи n,...,,i,Z i 21 , где n – степень ки-нематической неопределимости системы, равная сумме неизвестных линейных смещений лn и углов поворота уn . В рассматриваемом примере величина 211лу nnn (рис. 1.21, б). а) б)

Рис. 1.21

Положив 6l м, вычисляем безразмерные параметры продоль-ной силы )/( JEРlv для стоек рамы:

l

l

l

l/3

P 2P

2J2J

JJ

1 23

4

5

1 23

4

5

Z1Z2

i1,34i

2,66i 2,66i

39

JEP641 v ;

JEP2852 v ; 530

286

52

41 ,vv

; vv 52 ;

vv 53041 , .

Рис. 1.22

Рис. 1.23

Здесь, как и ранее, нижние индексы в обозначениях 41v и 52v

соответствуют номерам узлов рамы. Матрица коэффициентов канонической системы метода пере-мещений имеет вид

2212

2111rrrr

)(R v .

Реакции 11r , 12r определяем из условий равновесия узла 2 (рис. 1.22, 1.23):

ir ])(498,72[ 211 v ; )v(86

41221 irr .

Единичную реакцию 22r находим из условия равновесия ригеля 1-2-3 (рис. 1.22, 1.23):

12 3

4

5

Z =11

m1 m2

1 2 3

4

5

Z =123 2,66.

3 2,66.2

2 (v)3

3 1,3462

.(0,53v)1

(v)21282

68(v)4

68(v)4

.3 1,346

(0,53v)1

i

i

i

i

i i

i

i

i4 (v)

r11 r22r21

1 2 3

r11 r21 r22

22

4 2

6i8(v)4

3 1,3462

.(0,53v)1 (v)2

1282

7,98 7,98i i

i (v)i i

40

ir

)vv (

812)53,0(

634,13

221222 .

Уравнение устойчивости рассматриваемой рамы записываем в виде

0(

163)53,0(112,0(

43

(43)(496,15

)]([det214

42

)vv)v

)vvv

R .

Раскрыв определитель, получим трансцендентное уравнение )53,0()(447,0)(99,2)53,0(78,1][det 1221 vvvvv R

0)(169)()(

43 2

422 vvv .

а)

б)

Рис. 1.24

60

40

20

0-20

-40

-60

2 4 6 8

-80

)(R v

1v 2vv1 v2 v

R( )vdet [ ]

4

2

0

-2

0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5

)(R v

1v

vv1

R( )vdet[ ]

41

Для вычисления величины наименьшего корня 1v воспользуем-ся компьютерной математикой системы Maple. Сначала для оценки интервала, которому принадлежит искомое решение уравнения

0])(det[ vR , построим график зависимости vv ~])(det[R (рис. 1.24). Как видно, кривая ])(det[ vR первый раз пересекает ось v на участке между точками 2,0 и 4,0 (рис. 1.24, а), а при детализации графика – на участке между точками 2,5 и 3,0 (рис. 1.24, б). Точное решение уравнения 0])(det[ vR , вычисленное численно, равно

96,21v . В заключении расчета определяем величины критической на-

грузки для стоек 1-4 и 2-5:

222

241

41241кр 46,2)96,253,0()53,0(

lJE

lJE

l

JEР 1v ;

22

2

252

52252кр 93,4

3/1196,2)(

lJE

lJE

l

JEР

1v .

В следующем учебном примере вычислим величину критиче-ской силы для двухступенчатой стойки (рис. 1.25). Особенность дан-ной задачи заключается в том, что теоретическая форма упругой ли-нии стойки после потери устойчивости описывается гладкой функци-ей вида

lxcosf)x(v

21 ,

где 1f – перемещение верхнего конца стойки. В месте с тем ре-альной форме упругой линии, как это будет показано в разделе 2.7, соответствует более сложная кривая.

Рис. 1.25

l2

l2

P

4P

2J

J

42

Рис. 1.26

Основная система метода перемещений и соответствующие

единичные эпюры 1m , 2m , 3m , построенные с четом разных жестко-стей участков и продольного сжатия, приведены на рис. 1.26. На основании данных рис. 1.26 сформируем уравнение устойчи-вости

)]([det vR

0

)(33симметр.

)(33)2(

3212)(

33

)(33)2(

326)(

33

)2(24

)(3

12

122212

1412

1

v

vvv

vvvv

v

i

iii

iiii

i

.

Графическая интерпретация решения уравнения )]([det vR =0 по-казана на рис. 1.27.

Рис. 1.27

r11

Z1=1

4 .2 i 2Z1 Z2

i

2 i

Z2 =1

6 . .2 i3

4

v

v;

; 2

Z3

( v2 ).

3 .i 1( v).r22

r23

12.2 i32

.2( v2 )

3 i32

.1( v)

( v2 )

.3

1

3 i ( v)

Z 3 =1 r33

r31

3 i32

.1( v)

.3

1

3 i ( v)

m1 m2 m3

0

0,5

1

1,5

-0,5

-1

0,4 0,8 1,2 1,6 2,0 v

det [R( )]v

v1

43

Значение наименьшего корня уравнения устойчивости, вычис-ленное численно, равно 1v =0,8434. Величина параметра критической нагрузки для двухступенчатого стержня

JEl

JEl

Р 22

2кр

845,2)2/(

v .

Для сравнения в работе [3] получены следующие параметры критической нагрузки для аналогичного двухступенчатого стержня:

статическим методом – JEl

Р 2кр53,2

;

энергетическим методом – JEl,Р 2кр612

.

Максимальное расхождение с решением, полученным методом перемещений, составляет 11%. Несоответствие в результатах объяс-няется различным подходом к формированию уравнения устойчиво-сти. В заключении данного раздела выполним анализ устойчивости 1-го рода для стержня, жестко защемленного по концам и нагружен-ного в точке с продольной силой P (рис. 1.28). Изгибная жесткость стержня EJ =1,144·106 Н·м2 (двутавр № 14). Длины участков стержня 1l =2 м, 2l =8 м.

Рассмотрим два варианта нагружения ( А и B), отличающиеся только направлением продольной силы Р . Вычислим значения критической силы АРкр и ВРкр соответст-венно для вариантов А и B с помощью метода перемещений. На рис. 1.29 представлена основная система метода перемещений и еди-ничные эпюры моментов для варианта А. Здесь же приведены значе-ния реакций, возникающих при единичном смещении связи 2Z .

Рис. 1.28

Pl 1

l2

A

P

B

c c

44

Рис. 1.29

Уравнение устойчивости для сжато-растянутого стержня, со-ставленное на основании данных рис. 1.29, имеет вид

)]([det vR

0)4(228

125,012)(222

5,012

)4(48125,06

)(425,06

)4(2125,04

)(25,04

vv

vvv

v

симметр.

.

Рис. 1.30 Рис. 1.31

Здесь )(2 v , )(4 v , )(2 v – специальные функции, учитываю-щие продольное растяжение стержня на участке 1l . Наименьший корень A1v уравнения устойчивости найдем, ис-пользуя компьютерную математику системы Maple (рис. 1.30). В ито-

r11

r 22

r 21

Z1=1

4.0,5i

4. .0,125i 2

Z1 Z2

c0,5i

0,125i

Z2 =1

6.0,5i2

6 . .0,125i8

4

12.0,5i22

12.

.

0,125i82

2( )v

.2( )v

.2

.4( )v

.(4 )v

.(4 )v .(4 )v.4 v

v;

;

-3

-2

-1

0

1

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4

det R[ ( )]v

v

det R[ ( )]v

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

4321

45

ге получим A1v =1,3891. По аналогии с вариантом А для варианта B уравнение устойчи-вости принимает вид

)]([det vR

0)(222

5,012)4(228

125,012

)(425,06

)4(48125,06

)(25,04

)4(2125,04

vv

vvv

v

симметр.

.

Графическая интерпретация решения уравнения 0)]([det vR для варианта B представлена на рис. 1.31. Значение вычисленного наи-меньшего корня составило B1v =3,1877. Данным величинам параметров A1v и B1v соответствует кри-тическая нагрузка:

Н,,,JEl

Р A66

2

2

22

2кр 1055190101441

83891144

v ;

Н,,,JEl

Р B66

2

2

21

2кр 109062101441

218773

v .

Значения критической нагрузки, вычисленные без учета стаби-лизирующего эффекта от растягивающего усилия, составили:

;Н,Р А6

кр 1051190 Н,Р В6

кр 104461 . Таким образом, учет продольного растягивающего усилия при анализе устойчивости сжато-растянутого стержня дает существенную поправку решения. 1.6. Вычисление параметра критической нагрузки в среде Maple

На рис. 1.32 приведен текст учебной программы для расчета па-раметра 1v в среде Maple 12. Допустимый размер матрицы )]([ vR ог-раничен числом неизвестных n 4. Для удобства работы отдельные блоки программы снабжены комментариями, начинающимися с сим-

46

а)

:)v(n..),v(f..

),v(f..),v(f..,n,nmatrix:R

nn]R[##::n

:v)v(fv:n

:v)v(fv:n

:))v(f)v(f(v:f

:))v(sinv)v(cos(

)v)v((sinvv:f

:))v(sinv)v(cos(

))v(sin)v(cosv(vv:f

:))v(cosv)v((sin

)v(sinvv:f

)v(n),v(n),v(f),v(f),v(f),v(f:#:lg)lina(with

:restart

28

1250122

50124812506

2506

4812506

2506212504504

ьюразмерностреакцийупругихМатрицазадачимостинеопределискойкинематичестепень2

1241

311

322314

2223

2242

31

214321функцииеСпециальны

22

2

2

2

2

б)

);..v,)v(y(fsolve);"vint("pr

)]v(Rdet[#);a(]display[plots

);")]v(Rdet[int("pr:)thickness,blackcolor,linestyle,...v),v(y(plot:a

v~R#:)R(detv:y

)]v(R[det#

6501тиустойчивосуравнениякореньНаименьший

0тиустойчивосуравнениярешениеЧисленное

0тиустойчивосуравнениярешениееГрафическо2610

изависимостГрафик

0уравнениетическоеХарактерис

Рис. 1.32

47

вола #. Отметим, что программа выполняет только вычислительную часть задачи, а подготовительную работу по выбору основной систе-мы метода перемещений и формированию матрицы упругих реакций осуществляет пользователь (студент).

Для обозначения специальных функций )(1 v , )(2 v , )(3 v , )(4 v , )(1 v , )(2 v в программе использованы следующие пере-

менные в латинской транскрипции: f1(v), f2(v), f3(v), f4(v), n1(v), n2(v). На первом этапе вычисления параметра 1v выполняется по-строение графика v~R с помощью процедуры

“ :)2,,,6..1.0),((: thicknessblackcolorlinestylevvyplota “. Изменяя верхний предел параметра v , визуально определяем

интервал, на котором кривая )(vR первый раз пересекает ось абсцисс.

);g(]display[plots

:thickness,blackcolor,s..t,fplot:g

#);cubic,t,y,x(spline:f

##

s...v)]v(R[#:;.vi:vi

));vi(f(evalf:]i[ysi

:.:vi:))v(R(detv:f

:;.]i[x:]i[xsi

::][x:)s(vector:y:)s(vector:x

s..v)]v(R[det#}y{}x{#::s

:)spline(with

210

1

функцииграфикаПостроение

экраннавыводятсяточкамиузловымимеждуотрезкахнафункцийсплайнВыражения

0точкахвфункциисплайнаокубическогПостроениеod10

doto1fromfor010

od101doto2fromfor

01

0точкахвмассиваиеФормированивекторовьразмерност30

Рис. 1.33

48

На втором этапе с помощью интерактивной процедуры “ );6..5,0)(( vvyfsolve ”

находим наименьший корень 1v уравнения устойчивости 0)]([det vR .

Верхнюю и нижнюю границы интервала 65..v следует назна-чать как можно ближе к искомому корню 1v .

Изменения в программу вносятся на латинице. Запуск програм-мы на выполнение осуществляется нажатием клавиши “Enter”. Для вычисления параметра критической нагрузки в случае, ко-гда порядок матрицы )]([ vR больше четырех необходимо вместо бло-ка программы, показанного на рис. 1.32, б, использовать видоизме-ненный блок, приведенный на рис. 1.33. Эта замена вызвана тем, что прямое вычисление функции )v(y при формировании списка данных а требует больших вычислительных ресурсов и при числе неизвест-ных 4n приведет к “зависанию” программы (рис. 1.32). В блоке рис. 1.33 использована векторно-сплайновая схема построения гра-фика функции ])([det vR , что эффективнее с вычислительной точки зрения, но требует дополнительных усилий для окончательного вы-числения наименьшего корня уравнения 0])([det vR . Как отмечено в комментариях к программе (рис. 1.33) выражения кусочных сплайн-функций выводятся на экран монитора. Пользователю остается с по-мощью графика vvR ~])([det установить границы интервала ],[ ba , которому принадлежит значение 1v , скопировать из имеющегося списка в буфер обмена соответствующую сплайн-функцию )(tu и за-пустить на выполнение оператор “ );..),(( battufsolve ”.

);...t),t(u(fsolve;)^.t(.)^.t(.

t..t:u])v(R[det#

28139100000006151228670302919831122236006209370

0000000714194977340265998739700тиустойчивосуравнениякорняонаименьшегВычисление

Рис. 1.34 Пример такого вычислительного блока представлен на рис. 1.34. В приведенном примере интервалу ],[ ba параметра t соответствуют значения ]2..8.1[ .

49

Глава 2. МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ В СТАТИКЕ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

2.1. Матрицы жесткости стержневого конечного элемента

Стержневые системы широко используются в расчетных схемах строительных конструкций. В настоящее время эффективным средст-вом их расчета на ЭВМ является метод конечных элементов (МКЭ) в форме метода перемещений. В терминологии и схеме построения вы-числительного процесса этот метод имеет много общего с матричным методом перемещений, получившим широкое распространение в рас-четной практике в 60-е – 70 е годы XX века. МКЭ является числен-ным методом прочностного анализа, базирующимся на векторно-матричной записи результирующих выражений. Необходимые сведе-ния из матричной алгебры приведены в приложении 4. Суть МКЭ со-стоит в представлении пространственной конструкции ансамблем стержневых (балочных) конечных элементов. Причем для повышения точности численного решения отдельные протяженные фрагменты расчетной схемы обычно моделируют сетью конечных элементов с заданным шагом. Жесткостные характеристики стержней в МКЭ вы-числяют с помощью соотношений, основанных на принципе возмож-ных перемещений. Для моделирования двумерных стержневых систем, восприни-мающих изгибные деформации в одной плоскости, используют ба-лочные двухузловые конечные элементы, отнесенные к локальной (местной) декартовой системе координат },{ yx (рис. 2.1). Ось z на-правлена из узла 1 на наблюдателя и на рис. 2.1 не показана. Харак-теристиками такого элемента являются: длина l ; площадь поперечно-го сечения F ; момент инерции сечения J ; модуль упругости E . Ка-ждый узел имеет три степени свободы: перемещение u вдоль оси x ; перемещение v вдоль оси y ; угол поворота нормали торцового сече-ния элемента xd/vdv . Вектор-столбец узловых перемещений состоит из шести компонент и имеет следующую структуру (рис. 2.1, а):

Tvvuuw }{}{ 221121 .

Здесь T}...{ – операция транспонирования. Согласно кинематической гипотезе, выражение для продольной

50

деформации стержня имеет вид

2

2

2

21

xdvd

xdvdy

xdud

x . (2.1)

В уравнении (2.1) первый член соответствует осевой деформации (растяжение – сжатие), второй – изгибной деформации, третий член – учитывает нелинейность, связанную с продольным изгибом. Коорди-ната y отсчитывается от срединной линии балочного элемента.

а) б)

в)

Рис. 2.1

На основании принципа возможных перемещений запишем уравнение, связывающее вариацию потенциальной энергии деформа-ции элемента U с вариацией работы внешних сил A на возможных перемещениях системы

AU или в развернутом виде

11112211 MvPuPuPd yxxxxv

v

.MvPy 2222 (2.2) Здесь обозначено: xx E – продольное напряжение; x –

вариация осевой деформации; lFv – объем, занимаемый конечным элементом; xdFdd v – элементарный объем; 1xP , 2xP , 1yP , 2yP ,

1M , 2M – узловые силы и моменты (рис. 2.1, б); 1u , 2u , 1v ,

2v , 1 , 2 – вариации узловых перемещений и углов поворота

x

y

1v 2v1 2

1 2u1

u2 x

y

M1 M2

1 2

Py1 Py2

Px1 Px2

x

y

1 2l

E J

51

элемента. Под возможными (виртуальными) перемещениями будем понимать малые прогибы и углы поворота, допускаемые наложенны-ми внешними связями. Подставляя зависимость (2.1) в выражение для вариации U , получим

l

F xdvdy

xdvd

xdudy

xdudEU

0

2

2

22

2

22

xdFdxdvd

xdvd

xdvdy

xdvd

xdud

42

2

22

41 ,

где в соответствии со свойством вариации произвольной функции использованы соотношения вида

xdud

xdud ,

2

2

2

2

xdvd

xdvd .

Выполнив интегрирование по толщине элемента с учетом гео-метрических характеристик сечения стержня

FFdF

, 0F

Fdy , JFdyF

2 ,

получим

l

xdvdN

xdvdJE

xdudFEU

0

22

2

22

.xdxdvdFE

4

4

Здесь введено обозначение для величины продольной нагрузки

xdudFEN . Знак минус указывает на то, что сила N вызывает сжа-

тие стержня.

Опуская член высокого порядка малости 4

4

xdvdFE , приводим

уравнение (2.2) к статически эквивалентному виду

52

lll

xdxdvdNxd

xdvdJExd

xdudFE

0

2

0

2

2

2

0

2

222211112211 MvPMvPuPuP yyxx . (2.3) Выразим функции перемещений )x(v и )x(u через узловые пе-ремещения элемента:

2

2

1

1

4321 )()()()()(

v

v

xxxxxv ;

2

165 )()()( u

uxxxu ,

где 6,...,2,1,)( ixi – функции формы двухузлового балочного ко-

нечного элемента; Tvv }{}{ 2211и , Tuu }{}{ 21c –векторы узловых перемещений, учитывающие изгибную }{ и и осе-вую }{ c виды деформации. Поле перемещений )x(v элемента аппроксимируем с помощью полного кубического полинома

34

2321 xaxaxaa)x(v

}{}{1 432132 aXaaaaxxx Т . (2.4)

Используя граничные условия на концах стержня (рис. 2.1, а):

при

,v;vv

x1

10 при

,v;vv

lx2

2

и зависимость (2.4), определим вектор узловых перемещений в виде }{][}{ и aL .

Здесь матрица коэффициентов

2

32

32101

00100001

lllll

]L[ .

53

Полученное выражение позволяет установить связь между пе-ремещением в произвольной точке элемента )(xv и вектором узло-вых перемещений }{ и :

}{}{}{][}{)( иии1 LXxv ,

где 1][ L – матрица, обратная матрице ][ L ; вектор функций формы конечного элемента

})()()()({}{ 4321и xxxx , где балочные функции

3

3

2

21 231)(

lx

lxx , 2

322 2)(

lx

lxxx ,

3

3

2

23 23)(

lx

lxx , 2

324 )(

lx

lxx .

Элементы вектора }{ и представляют собой кубические поли-номы Эрмита, описывающие изгибную деформацию балочного эле-мента с защемленными концами (рис. 2.1, в) при единичных линей-ных (функции )(1 x , )(3 x ) и угловых (функции )(2 x , )(4 x ) смещениях. На рис. 2.2, а показаны графики функций )(1 x , )(2 x ,

)(3 x , )(4 x . Функцию осевого перемещения )(xu в пределах конечного эле-мента аппроксимируем одномерными линейными полиномами типа (рис. 2.2, б)

lxx 1)(5 ,

lxx )(6 .

Тогда }{}{)( cc xu , где })()({}{ 65c xx . На основании уравнения (2.3) и вектора }{ и формируем мат-рицу изгибной жесткости

246226

612612

226246

612612

30 2}и{2

2}и{2

]и[

llll

llllll

ll

l

JElxd

xd

dT

xd

dJEk

и матрицу, учитывающую изменение изгибной жесткости стержня в зависимости от величины продольной силы N ,

54

l

llll

llllll

ll

lN

xdxd

dT

xd

dNk

024323

336336

23243

336336

30

}и{}и{]г[ .

Как видно, элементы матрицы ][ гk зависят только от геометрическо-го параметра l (длины стержня), поэтому ее называют геометриче-ской матрицей жесткости.

а)

б)

Рис. 2.2

По аналогии формируем матрицу осевой жесткости стержня:

11

11}{}{][ c

0cc l

FExdFEkl T .

Матрицу общей жесткости ][ k двухузлового балочного конеч-

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0x/l

1

2

3 3 (x)4

4

(x)1 , (x)2 , (x),

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0

5(x)6

6

x/l

(x)5 ,

55

ного элемента в локальных осях },{ yx построим с помощью сле-дующей взаимно непроникающей блочной сборки:

][00][

][и

ck

kk (2.5)

l/JEl/JEl/JEl/JE

l/JEl/JEl/JEl/JE

l/JEl/JEl/JEl/JE

l/JEl/JEl/JEl/JE

l/FEl/FEl/FEl/FE

42622600

263122631200

22642600

263122631200

00000000

.

В соответствии с полученной структурой ][ k геометрическую матрицу жесткости элемента представим в форме

2432300

33633600

2324300

33633600000000000000

30]г[

llll

llllll

ll

lN

k . (2.6)

Таким образом, матрицы ][ k и ][ гk имеют одинаковую раз-мерность 66 , что необходимо для программирования алгоритма формирования матричных уравнений МКЭ. Результирующее уравнение равновесия для сжатого балочного элемента в местных осях }y,x{ имеет вид }{}{)][][( г pwkNk , (2.7)

где Tyyxx MPMPPPp }{}{ 221121 – вектор узловых сил

(рис. 2.1, б). В приведенном выражении (2.6) элементы матрицы ][ гk зависят от продольной силы N , т. е. в конечном счете, от неизвестных со-ставляющих 1u и 2u вектора узловых перемещений }{w . Поэтому уравнение (2.7) оказывается нелинейным и решение его может быть

56

получено численным методом с использованием итерационной про-цедуры, например алгоритма Ньютона-Рафсона.

2.2. Комбинированные балочные конечные элементы

В расчетной практике часто встречаются схемы рам с шарнир-ными неопорными соединениями стержней в узлах (рис. 2.3). Данная задача может быть решена тремя способами. Рассмотрим каждый из них в отдельности.

а)

б)

Рис. 2.3

Первый способ заключается в задании дополнительных враща-тельных степеней свободы для стержней, присоединяемых к основ-ному стержню. За основной обычно принимается стержень, имеющий наименьший номер в каждом конкретном шарнирном соединении. Таким образом, для рам, изображенных на рис. 2.3, необходимо вве-сти одну (рис. 2.3, а) и две (рис. 2.3, б) дополнительные степени сво-боды. Второй способ основан на задании в неопорном шарнире допол-нительных номеров узлов для каждого присоединяемого стержня. Так, для рамы, приведенной на рис. 2.3, а, в шарнире необходимо за-дать два узла, а для рамы, показанной на рис. 2.3, б – три узла. Ли-нейные смещения узлов, принадлежащие шарнирному соединению, полагаются равными. Третий способ учета шарнирных соединений базируется на вве-дении так называемых комбинированных балочных конечных эле-ментов, имеющих шарнир на одном из концов. В дальнейшем будем использовать этот способ.

57

Выполним построение матрицы общей ][ k и геометрической ][ гk жесткости для комбинированного балочного конечного элемен-

та (рис. 2.4, а), имеющего шарнирное закрепление в начале (узел 1) и жесткую заделку на конце (узел 2). Используя граничное условие

0x 01 M и четвертую строку матрицы общей жесткости (2.5), составим уравнение

026462221121

lJEv

lJE

lJEv

lJEM .

Отсюда находим 2211 21

23

23

vl

vl

.

а)

б)

Рис. 2.4

На основании выражения для 1 сформируем матрицу преобра-

зования ][ 1g , устанавливающую связь между векторами узловых пе-ремещений базового (рис. 2.1, в) и рассматриваемого комбинирован-ного элемента

10000001000021

23

023

00

000100000010000001

]1[ll

g .

Составляющие матрицы общей жесткости ][ 1k комбинирован-ного элемента определяем с помощью соотношения

][][][][ 111 gkgk T ,

x

y1 2

l

E Jx

y1 2

l

E J

58

или в явном виде

lJElJElJE

lJElJElJE

lJElJElJE

lFElFElFElFE

k

/32/302/300

2/33/303/300001000

2/33/303/300

0000//0000//

]1[ . (2.8)

Выполнив аналогичные преобразования для комбинированного балочного элемента, показанного на рис. 2.4, б, определим:

023

21

23

00

01000001000

000100000010000001

]2[

ll

g ;

10000003/392/33/300

02/3/32/300

03/32/33/300

0000//0000//

]2[][]2[]2[

lJElJElJE

lJElJElJE

lJElJElJE

lFElFElFElFE

gkTgk

. (2.9)

Соответствующие выражения для ][ 1гk и ][ 2гk вычисляем по формулам:

200090900

00000090900

000000000000

8]2г[]г[]1г[]1г[

llll

ll

NgkTgk ; (2.10)

59

00000009900020009900000000000000

8]2г[]г[]2г[]2г[

llll

ll

NgkTgk , (2.11)

где матрицы преобразования

10000001000041

43

043

00

000100000010000001

]1г[ll

g ,

043

41

43

00

01000001000

000100000010000001

]2г[

ll

g ,

][ гk – геометрическая матрица жесткости базового элемента

(рис. 2.1, в), вычисляемая по формуле (2.6). Отметим, что в матрицах (2.8), (2.9) элементам, расположенным на главной диагонали, в местах пересечения нулевых строк и столб-цов искусственно присвоено значение единицы.

2.3. Преобразование матриц жесткости при переходе к глобальным осям

Процедура формирования глобальной матрицы жесткости стержневой системы называется ансамблированием и выполняется в глобальной, как правило, декартовой системе координат },{ yx (рис. 2.5).

Векторы узловых перемещений и сил для балочного элемента в осях },{ yx имеют структуру:

Tvvuuw }{}{ 221121 ; Tyyxx MPMPPPp }{}{ 221121 .

Узловые перемещения в локальных },{ yx и глобальных },{ yx координатах связаны матричным соотношением

60

}{][}{ wcw T , где диагональная матрица поворота конечного элемента размерно-стью 66

1000000cos00sin0001000000cos0sin0sin00cos0000sin0cos

][

c .

Рис. 2.5

Отметим, что матрица ][ c является ортогональной, т. е.

Tcc ][][ 1 . Аналогично осуществляем преобразование вектора-столбца уз-ловых сил

}{][}{ pcp T . При переходе от локальных осей },{ yx к глобальным координа-там },{ yx матрицы общей ][ k и геометрической ][ гk жесткости ба-лочного конечного элемента преобразуются с помощью следующих соотношений: ][][][][ сkсk T ; ][][][][ гг сkсk T , (2.12)

где ][ k и ][ гk – матрицы общей и геометрической жесткости в гло-бальных осях },{ yx .

x

y

1

2

y

x

1

2

1v1v

2v2v u2

u1

u2

u1

x

y

1

2

y

x

x

y

x

y

Py1Px1

M1

M2

Py2Px2

Px1

Px2

Py2

Py1

61

Отметим, что угловые перемещения 1 и 2 и моменты 1М и

2М при повороте координат в плоскости изгиба не изменяются, по-этому соответствующим элементам матрицы ][ c присвоены единич-ные значения.

Величины cos и sin для отрезка 21 (рис. 2.5) определяем по формулам:

lxx

cos 12 ;

lyy

sin 12 .

При программировании длину элемента удобно вычислять по значениям глобальных координат узлов элемента 1x , 2x , 1y , 2y с помощью выражения

212

212 )()( yyxxl .

2.4. Формирование результирующей системы уравнений стержневой системы

Рассмотрим алгоритмические аспекты управления данными и формирования топологических массивов, определяющих конечно-элементную сетку. В качестве примера возьмем раму, показанную на рис. 2.6, а. Величину l принимаем равной 6 м. В данном случае при дискретизации (разбивке) исходной схемы на конечные элементы ис-пользуем равномерную сетку (длина конечного элемента 2 м). Одна-ко следует учитывать, что при расчете на устойчивость точность вы-числений повышается при сгущении сетки на сжатых стержнях кон-струкции. Узлы и степени свободы ансамбля элементов нумеруем це-лыми положительными числами, начиная с единицы. С каждым уз-лом связываем два перемещения вдоль осей x , y и угол поворота от-носительно оси z (направлена на наблюдателя). Параметры конечно-элементной схемы, представленной на рис. 2.6, б, следующие: en =13 – число конечных элементов (номера элементов обведены кружками);

rn =14 – число узлов; gn =42 – число неизвестных узловых переме-щений (степеней свободы). В дальнейшем будем различать две системы нумерации степе-ней свободы: глобальную, вводимую расчетчиком в порядке последо-

62

вательного обхода узлов модели; локальную нумерацию, жестко свя-занную с узлами 1 и 2 базового конечного элемента (на рис. 2.6, б от-мечен символом ).

а)

б)

Рис. 2.6

Введем матрицу инцидентности ][ E (связности), устанавли-вающую однозначное соответствие между строками и столбцами глобальной и локальной матриц жесткости. Матрица ][ E имеет раз-мерность ge nn и является булевой матрицей, т. е. состоит из нулей и единиц. Причем 1jiE , если номер j глобальной степени свобо-

x

y

2PP

l l

l

l/3

2J 2J

JJ

x

y

1

3

456 78 910

11

12

14

131

2

3

4 5

6 7

8 9

10

11

12

13

12

3

4

56

78

9

171816

2627 25 13

1415

3332

31

3839

3741

4240

x

y

1 2

12

34

56

0

*

63

ды принадлежит элементу i . В противном случае 0jiE . Для рас-сматриваемого примера портрет (структура в символьном виде) мат-рицы

4213][

E имеет вид, показанный на рис. 2.7.

Рис. 2.7

Рис. 2.8

На практике построение матрицы ][ E полностью или частично автоматизировано. Как правило, вводится топологическая информа-ция о нумерации узлов ансамбля элементов, на основании которой формируется матрица ][ E . Формально процесс конечно-элементной сборки можно пред-ставить в виде символьной процедуры произведения матриц

][][ EE T . В результате получаем портрет глобальной матрицы жест-кости

)4242(][

K (рис. 2.8).

5 10 15 20 25 30 35 40

2

4

6

8

10

12

nz = 78

2468

1012

5 10 15 20 25 30 35 40

5 10 15 20 25 30 35 40

5

10

15

20

25

30

35

40

nz = 360

5

10

15

20

25

30

35

405 10 15 20 25 30 35 40

64

Характерной особенностью матрицы ][ K является ее симмет-ричная структура и разреженность. Последнее указывает на то, что матрица ][ K содержит большое количество нулевых элементов. По-этому в памяти компьютера достаточно хранить верхний треугольник матрицы ][ K , содержащий только ненулевые элементы. Для этого будем использовать экономичную схему хранения числовой инфор-мации в виде разреженного строчного формата. Отметим, что при организации вычислительного процесса про-цедура символической сборки ( ][][ EE T ) предшествует процедуре численного включения элементной матрицы жесткости ][ k и вектора сил }{ p в глобальную матрицу жесткости ][ K и соответствующий глобальный вектор узловых сил }{ P .

2.5. Линейный анализ устойчивости методом конечных элементов

Полагая, что в продольно сжатых стержневых элементах конст-рукции до потери устойчивости отсутствуют изгибные деформации, представим уравнение равновесия в матричной форме

0}{]][][[ г WKK , где ][ K и ][ гK – глобальные матрицы общей и геометрической же-сткости; – параметр нагружения (скалярная величина); }{W – век-тор узловых перемещений ансамбля элементов, соответствующий нормированному вектору узловых сил }{P , вызывающих только сжа-тие в конечных элементах. Для формирования матриц ][ K и ][ гK используем выражения (2.5), (2.6), (2.8) – (2.12). После потери устойчивости узловые перемещения становятся неопределенными. Математическим критерием потери устойчивости является равенство нулю определителя

0]][][[det г KK . При этом из определителя исключаются “лишние” строки и столбцы, отвечающие номерам узлов, на которые наложены связи. Таким обра-зом, порядок результирующей системы уравнений всегда меньше, чем порядок глобальной матрицы жесткости. С вычислительной точ-

65

ки зрения определение параметра путем раскрытия определителя высокого порядка и решения соответствующего трансцендентного уравнения нереально. Поэтому подойдем к анализу устойчивости стержневой системы как к обобщенной проблеме собственных значе-ний, допускающей прямое решение уравнения вида }{][}{][ гmin XKXK , (2.13)

min – неизвестное наименьшее собственное значение; }{X –собственной вектор, характеризующий возможную форму потери ус-тойчивости сжатых стержней.

В данной формулировке требуется определить величину min , при которой геометрическая матрица жесткости “компенсирует” влияние матрицы общей жесткости. С физической точки зрения ве-личина min представляет собой критическую силу крР , соответст-вующую потере устойчивости. При выборе алгоритма решения урав-нения (2.13) следует иметь в виду, что матрица ][ гK имеет нулевые диагональные элементы, т. е. является вырожденной.

Для решения данной смешанной системы алгебраических урав-нений применим два специальных итерационных алгоритма. Первый алгоритм основан на отношении Релея [5]:

1г1

11)1(min }{][}{

}{][}{

k

Tk

kTkk

XKX

XKX , ,,k 21 .

Процесс последовательных приближений останавливаем, когда

)1(min

)(min

)1(min

k

kk

,

где S210 , S – требуемое число значащих цифр, с которым вы-числяется величина min (обычно S =3). Второй алгоритм определения критической нагрузки базируется на методе итераций векторных подпространств (МИВП) [5]. В соот-ветствии с алгоритмом данного метода в конце каждого итерацион-ного цикла формируем проекции матриц:

)()()( ]][[][][ kTkk uKuK , )(г)()(г ]][[][][ k

Tkk uKuK ,

66

где ]}{}{}[{)( 21)(

][ qqn

uuuku

– матрица итерируемых векторов, чис-

ло строк которой n равно порядку матриц ][K и ][ гK , а число столб-цов nq соответствует числу одновременно итерируемых векто-ров. Задачу на собственные значения решаем обобщенным методом Якоби:

)(min)(г)()( }{][}{][ k

kkk XKXK . В качестве критерия окончания итерационного цикла используем нормы ошибок:

)(

)(г)(

min)(

}]{[

}]{[}]{[

k

kk

k

XK

XKXK .

Вектор узловой критической нагрузки определяем по формуле }{}{ minкр PP .

Общеизвестно, что линейный анализ устойчивости стержневых систем дает завышенную величину критической нагрузки. Это связа-но с идеализацией расчетной схемы (отсутствие начальной “погиби” стержней и центральное приложение сил), а также тем, что в общей матрице жесткости блок осевой деформации независим от блока из-гибной деформации. Реальные стержневые элементы имеют началь-ные геометрические несовершенства, что приводит к взаимосвязи между осевыми и изгибными реакциями. Вместе с тем рассмотренный численный метод позволяет дать верхнюю оценку критической нагрузки, величина которой может быть уточнена с помощью шаговой процедуры МКЭ.

2.6. Итерационный анализ устойчивости с применением шаговой процедуры метода конечных элементов

Элементы геометрической матрицы жесткости ][ гK являются нелинейными функциями продольных усилий в сжатых стержневых элементах. Поэтому вычислительный процесс МКЭ должен быть ор-ганизован по схеме ступенчатого (шагового) увеличения нагрузки при одновременной корректировке элементов матрицы ][ гK и кон-троле несущей способности конструкции по найденным значениям

67

перемещений w в конце каждого шага нагружения. Полагаем, что приращение нагрузки iP на i -ом шаге происхо-

дит квазистатически и небольшой порцией. Решение геометрически нелинейной задачи на каждом шаге будем осуществлять итерацион-ным методом Ньютона-Рафсона, суть которого состоит в последова-тельном вычислении дополнительных перемещений в узлах элемен-тов, обусловленных невязкой сил. Графически такой подход (для трех шагов нагружения) представлен на рис. 2.9, а, где численное решение показано в виде ступенчатой пилообразной линии.

а)

б)

Рис. 2.9

Рассмотрим итерационный алгоритм МКЭ на примере первого шага нагружения (рис. 2.9, б). Для упрощения на рис. 2.9 фигурные и квадратные скобки в обозначениях векторов и матриц опущены.

Вычислительный процесс организуем следующим образом. 1. С помощью уравнения равновесия без учета геометрической

матрицы жесткости вычисляем начальный вектор узловых перемеще-ний

}{][}{ 11

0 PKw , где ][K – матрица общей жесткости; }{ 1P – вектор узловых сил на первом шаге нагружения.

2. Начало итерационного цикла maxn,...,,i 21 (i – номер ите-рации, maxn – максимальное число итераций, задаваемое расчетчи-

ком). По найденным значениям }{ 1iw вычисляем осевые узловые

P

w

P1

P2

P3

w1 w2 w3а

P

w

w w w

P1

w1

1 2 3

213

K0

K1

K2

P0*

P1*

P2*

0w* w1* w2* w3*

68

реакции в сжатых конечных элементах и формируем геометрическую матрицу жесткости ])}({[ 1г

iwK . В обозначении ])}({[ 1г

iwK ве-

личина в круглых скобках указывает на то, что элементы геометриче-ской матрицы жесткости зависят от узловых перемещений.

3. Формируем “секущую” матрицу жесткости ][ iK , относящую-ся к текущей итерации

]})({[][][ 1г

ii wKKK .

4. Вычисляем узловые реакции }{ *1iP , соответствующие векто-

ру узловых перемещений }{ *1iw :

}{][}{ *1

*1 iii wKP .

5. Вычисляем вектор невязки узловых реакций: }{}{}{ *

11 ii PP . 6. Вычисляем вектор дополнительных узловых перемещений }{ iw , обусловленных вектором невязки }{ i :

}{][}{ 1iii Kw .

7. Осуществляем корректировку вектора узловых перемещений: }{}{}{ *

1*

iii www . 8. Начиная с 2i , выполняем оценку сходимости итерационной

процедуры с помощью условия 1ii ww , (2.14)

где }{}{ 111 iiT

iiii wwwwww – норма век-тора разности дополнительных узловых перемещений на смежных итерациях; 810 – положительное малое число, используемое для окончания итерационного процесса уточнения решения. Этапы 82 повторяются до тех пор, пока не выполнится усло-вие (2.14) или количество итераций не превысит maxn . Графически минимизация невязки сил представляет собой некоторую траекторию в виде пилообразной линии, приближающуюся к искомой точке ре-шения (рис. 2.9, б).

69

Старт второго шага нагружения начинаем с решения системы уравнений

}{}{]})]({[][[ 201г PwwKK , где }{ 1w – вектор узловых перемещений, сформированный на первом шаге нагружения; }{ 2P – вектор дополнительных узловых сил, соот-ветствующий второму шагу нагружения. На этапе 3 итерационного процесса “секущую” матрицу жестко-сти ][ iK формируем с учетом данных, полученных на первом шаге нагружения

]}){}({[][][ 11г

ii wwKKK .

На этапе 7 корректировку вектора узловых перемещений выпол-няем по формуле

}{}{}{}{ *11

*iii wwww .

По аналогии выполняем вычисления на последующих шагах на-гружения, используя векторы ...},{},{ 43 PP . В процессе шагового процесса нагружения осуществляем кон-троль поведения вектора }{ iw на каждой итерации. Обычно при нелинейном анализе устойчивости уменьшение величины }{ iw между смежными итерациями свидетельствует о достижении систе-мой устойчивого состояния (процесс сходится). Фактом потери ус-тойчивости является состояние, когда величины }{ iw увеличива-ются от итерации к итерации (процесс расходится). В разработанном программном обеспечении по желанию поль-зователя может быть включена опция “if_dis = 1”, позволяющая после каждого шага нагружения корректировать геометрию расчетной схе-мы рамы путем алгебраического суммирования узловых координат и полученных перемещений. Эта опция позволяет проследить за эво-люцией деформации конструкции. Естественно, что при этом расчет-ное время увеличивается, т. к. в начале каждого шага нагружения приходится заново формировать матрицу общей жесткости ][K . В отключенном состоянии “if_dis = 0”. Следует отметить, что многие упругие системы после достиже-ния точки бифуркации могут переходить в новое устойчивое состоя-

70

ние при дальнейшем росте нагрузки. Примером такой системы может служить пологая арка, нагруженная сосредоточенной силой в центре (рис. 2.10).

Рис. 2.10 Рис. 2.11

Рис. 2.12

Как видно с ростом нагрузки арка будет прогибаться вниз, пока

не наступит момент “прощелкивания”. Далее арка принимает новую устойчивую форму, что позволяет ей вновь сопротивляться увеличе-нию нагрузки. На практике такое поведение конструкции может быть исследо-вано с помощью метода продолжения решения по параметру или ме-тода корректирующих дуг. Суть этих методов, базирующихся на про-цедуре Ньютона-Рафсона, состоит в корректировке величины шага нагружения при приближении и после прохождения точки “бифурка-ции”. Геометрическая интерпретация этих методов представлена со-

P

w

P PP

w

2

0

Р

w1 w2

aa

b

Р1

Р2

1

w

P

P1

P2

r1

r2

r3

ww

P3

P

k-1 wk

l Pi P

P

0

Pl k-1

kkk

w1 w2 w3

rk

1

w1

l

2i

[K ]1( )k

[K ]2( )k

w2

[K ]l( )k

n1

rk-1

71

ответственно на рис. 2.11, 2.12. Метод продолжения решения по параметру основан на коррек-

тировке параметра нагружения , характеризующего длину вектора ba (рис. 2.11). Величина j на j -м шаге определяется по формуле

jj 20 cos ,

где j – угол между касательными к кривой wP ~ , построенными в точках a и a . Очевидно, при малой кривизне угол j близок к и

0 j . При увеличении кривизны угол j значительно уменьшает-ся )( 0 j , что приводит к снижению приращения нагрузки при прохождении точки перегиба на кривой wP ~ . Представленная на рис. 2.12 схема метода корректирующих дуг

1r , 2r , 3r , … обеспечивает сходимость равновесных итераций метода Ньютона-Рафсона путем определения векторов jn , lj ,...,2,1 орто-гональных отрезкам радиуса kr , секущих кривую wP ~ . Каждый от-резок секущей линии представляет собой решение системы:

kiik

i PwK }{}{][ )( ,

где ]})]{}({[][[][ 1г)(

ikk

i wwKKK . В обоих методах при переходе к следующему шагу нагружения автоматически осуществляется пересчет геометрии исследуемой кон-струкции.

2.7. Примеры линейного анализа устойчивости методом конечных элементов

С целью верификации (проверки на точность и сходимость) ко-нечно-элементного решателя рассмотрим серию учебных примеров, для которых критическая нагрузка определена аналитически. При ли-нейном анализе устойчивости рам с помощью алгоритма Релея сле-дует придерживаться правила, согласно которому сжатые (нагружен-ные) стержни, как правило, стойки можно разбивать на несколько ко-нечных элементов, а ненагруженные – обычно ригели – моделируют-ся только одним элементом. При расчете критической силы по МИВП данного правила не придерживаемся. Подробное описание ввода ис-

72

ходных данных изложено в приложении 5. Пример 1. Требуется определить критическую нагрузку крР для плоской рамы, показанной на рис. 2.13, а. Стержни рамы выпол-нены из стального проката двутаврового поперечного сечения № 14 (ригель двойной профиль). На рис. 2.13, б изображена конечно-элементная модель рамы, состоящая из 13 пространственных балоч-ных элементов. Данная модель применима только для МИВП. Конеч-ные элементы, включающие узлы 3, 4 и 4, 6 являются комбинирован-ными. Причем у элемента с узлами 3, 4 шарнир расположен в конце (рис. 2.4, б), а у элемента с узлами 4, 6 в начале (рис. 2.4, а). Здесь и далее значок “” связан с ориентацией “третьей точки” (рис. 2.13, в), лежащей в плоскости наибольшей жесткости элемента. Шарнир обо-значен выделенной точкой – (рис. 2.13, б). Введенные дополни-тельные связи в направлении оси 1Z позволяют раме деформировать-ся только в плоскости 2Z , 3Z .

а)

б)

в)

Рис. 2.13

Опытным путем установлено, что при реализации алгоритма Ре-лея конструкционные элементы рам, не воспринимающие сжимаю-щей продольной нагрузки, следует моделировать одним конечным элементом. В противном случае итерационный процесс расходится. Поэтому в рассматриваемом примере ригель представляем двумя ко-

2PP2J 2J

JJ

6м

6м 6м

2м

x1

x2

x3

1 23

0

2

4

6

8

Z3, м

Z2, м0 2 4 6 8 10 12

1

2

3

4 56 78 910

11

12

13

14

73

нечными элементами, т.е. узлы 6, 7, 8, 9 отсутствуют. Безразмерный параметр продольной нагрузки для стойки высо-

той 6 м принимаем равным 1, для стойки высотой 8 м – 2. Ранее в пп. 1.5 методом перемещений для рассматриваемой ра-

мы было получено значение критической силы, равное крР =2/)64,4( lJE =78209 Н. Численное значение критической силы,

найденное с помощью алгоритмов Релея и МИВП соответственно за 7 и 11 итераций, составило крР =78340 Н. Таким образом, для приня-той схемы разбивки рамы на конечные элементы относительная по-грешность не превышает 0,2%. Следует отметить, что при использовании процедуры Релея ин-формация, содержащаяся в собственном векторе }X{ , практического значения не представляет. Это связано с ранее указанным ограниче-нием, накладываемым на дискретизацию ригелей рамы.

Рис. 2.14

Рис. 2.15

0 2 4 6 8 100

1

2

3

4

5

6

7

8

Z 2, м

Z 3,

м

1

33

44

2

5

77

88

99

610 1111 1212 66 1414 1515 13

X

Y

Z

FREQ=78345

74

Процедура МИВП дает возможность получить как значения критической силы, так и проанализировать соответствующую форму потери устойчивости. На рис. 2.14 приведена картина деформирован-ного состояния рассматриваемой рамы после потери ею устойчивости 1-го рода. Для сравнения на рис. 2.15 представлена аналогичная кар-тина рамы до и после потери устойчивости, полученная с помощью вычислительного комплекса ANSYS 10. Соответствующая программа на языке APDL с комментариями приведена в приложении 6. Как видно в данном случае значение критической силы составило FREQ=78345 Н. Пример 2. Требуется определить критическую нагрузку крР для Г-образной плоской рамы, показанной на рис. 2.16, а. Конечно-элементная модель для данного примера при расчете по МИВП пред-ставлена на рис. 2.16, б. Параметр продольной нагрузки для стойки принимаем равным 1.

а)

б)

Рис. 2.16

В работе [3] приведено аналитическое значение крР =2 EJ . Чис-ленное решение, полученное с помощью алгоритмов Релея и МИВП соответственно за 11 и 8 итераций, составило крР =2,01 EJ . Величина критической нагрузки, определенная в работе [6] с помощью степен-ных рядов, равна крР =2,04 EJ . Форма потери устойчивости Г-образной рамы приведена на рис. 2.17.

P2J

J4м

3м

Z3, м

Z2, м0

1

2

3

4

0 1 2 31

2

3

4

5 6 7 8

75

Рис.2.17

а)

б)

Рис. 2.18

Пример 3. Требуется определить критическую нагрузку крР для симметричной рамы с центральным шарниром, изображенной на рис. 2.18, а. Рассмотрим два варианта нагружения: а) силой Р , при-ложенной к средней стойке; б) асимметричной системой сил Р , Р ,

Р2 . Разбивка рамы на конечные элементы для МИВП показана на рис. 2.18, б. Конечные элементы, примыкающие к шарниру являются комбинированными. Причем данные элементы располагаем так, что они все ориентированы “шарнирными концами” к общему узлу 15. Шарнирное соединение рамы моделируем путем задания дополни-тельного граничного условия, запрещающего поворот относительно оси 1Z в точке с соответствующими координатами. Величину пара-метра продольной нагрузки назначаем исходя из рассматриваемого варианта нагружения.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Z 2, м

Z 3,

м

2P

P

PP

2J 2J

J JJ3м

3м 3м

1м

Z2, м

Z3, м

0

1

2

3

4

0 1 2 3 4 5 61

3

5

7

2

4

6

8

109 11 13 15 14 12

16

17

18

76

В работе [3] аналитически получены следующие результаты: а) крР =0,9216 EJ б) крР =0,3108 EJ .

В работе [6] для рассматриваемого примера приведены значения критической нагрузки:

а) крР =0,9253 EJ ; б) крР =0,3116 EJ . Данные численного решения, полученные с помощью итераци-онного алгоритма, основанного на отношении Релея: а) 10 итераций, крР =0,9227 EJ ; б) 8 итераций, крР =0,3102 EJ . Результаты конечно-элементного расчета на базе МИВП: а) 8 итераций, крР =0,920 EJ ; б) 8 итераций, крР =0,310 EJ .

Соответствующие картины форм потери устойчивости пред-ставлены на рис. 2.19 и 2.20.

Рис. 2.19

Рис. 2.20

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Z 2, м

Z 3,

м

0 1 2 3 4 5 60

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Z 2, м

Z 3,

м

77

Пример 4. Требуется определить критическую силу крР для двухступенчатой стойки, изображенной на рис. 2.21, а. Используя равномерный шаг, разбиваем стойку на 6 конечных элементов (рис.2.21, б). Величину параметра продольной нагрузки v назначаем для первой ступени, равной 4, для второй ступени – 1. Изгибную же-сткость второй ступени принимаем равной JE =1,144·106 Н·м2.

Численные значения критической нагрузки, полученные с по-мощью алгоритмов Релея и МИВП практически совпадают: крР=90421 Н , крР =90420 Н. Для сравнения величина крР , полученная для аналогичной двухступенчатой стойки в разделе 1.5 методом пе-ремещений, составила 90413 Н.

а)

б)

Рис. 2.21

Формы потери устойчивости двухступенчатого стержня, полу-

ченные с помощью МИВП и метода Релея, показаны на рис. 2.22.

Рис. 2.22

4P

P

2J

J3м

3м

Z1 , м

Z2 , м

Z3 , м

0

0

01

23

45

6

12

34

56

7

4P

P

4P

P

78

Пример 5. Требуется определить критическую нагрузку крq для арки параболической формы (рис. 2.23). Размеры поперечного сече-ния арки 4040 ,, м. Модуль упругости материала 101072 ,Е Н/м2. Уравнение, описывающее положение оси арки принимаем в виде [6]:

)(4 22 xxl

lfz .

Схема равномерной разбивки арки на конечные элементы с ша-гом 2 м (8 конечных прямолинейных балочных элементов) показана на рис. 2.24. Здесь оси 2Z и 3Z соответствуют осям x и z расчетной схемы.

Рис. 2.23

Рис. 2.24

Особенность данной стержневой конструкции состоит в том, что мы заранее не располагаем параметрами продольной нагрузки в ко-нечных элементах. Поэтому предварительно решим обычную стати-ческую задачу прочностного анализа, приняв 1q Н/м. Схема приве-дения равномерно распределенной нагрузки к узловым силам и мо-ментам рассмотрена ниже.

f =3,2 м

l =16 м

q

z

x

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

4

9

8

76

Z 2, м

54

3

2

1

Z 3,

м

79

Рис. 2.25

В результате прочностного расчета получим картину распреде-

ления продольных сил в элементах (рис. 2.25). Отсюда можно задать-ся значениями параметра продольной силы для каждого элемента. Так для элементов 4-5, 3-4, 2-3, 1-2 принимаем следующие значения безразмерного параметра продольной силы: 1,0; 1,04; 1.13; 1,23.

Рис. 2.26

Как следует из полученных данных, минимальному значению критической нагрузки (в замке) крN =14510·103 кН соответствует ко-сосимметричная форма деформации арки (рис. 2.26). Для перехода от

крN к крq используем соотношение:

мН101479Н819

мН1Нк1014510 33

кр /,

/q

.

Теоретическое значение критической нагрузки, приведенное в [3], составляет крq =1420·103 Н/м. Относительная погрешность чис-ленного решения составляет 4,2%. В работе [6] с помощью МКЭ для аналогичного числа элементов получено значение крq =1457·103 Н/м.

Рис. 2.27

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

-12.12

-11.06

-10.25-9.812

Z 2, м

-9.812-10.25

-11.06

-12.12

12.1

Z 3,

м

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

Z 2, м

Z 3,

м

0 2 4 6 8 10 12 14 160

1

2

3

Z 2, м

Z 3,

м

80

Интерес представляет влияние уменьшения шага разбивки на уточнение значения крq . Выполнив расчет с шагом 1 м (16 конечных элементов), получим крq =1466·103 Н/м. Таким образом, двукратное уменьшение размеров конечных элементов практически не отражает-ся на точности численного решения. Соответствующая форма потери устойчивости арки приведена на рис. 2.27.

2.8. Примеры деформационного расчета стержневых систем Напомним, что согласно разработанному алгоритму вычисли-тельный процесс организован в виде шаговой итерационной проце-дуры, с использованием равномерной схемы разбивки процесса на-гружения. Результирующие узловые реакции в элементах вычисля-ются с помощью формулы

}{)][][(}{ гср wkPkp x ,

где )PP(/P xxx 21ср 21 – среднее значение сжимающей про-дольной силы в элементе. Для растянутых элементов принимаем

0ср xP . Пример 1. Требуется оценить напряженно-деформированное со-стояние портальной рамы, изображенной на рис. 2.28. Сечения всех стержней рамы принимаем одинаковыми, выполненными из стально-го двутавра с характеристиками: xI =8950 см4; yI =518 см4; F=61,2 см2. Параметр нагрузки Р назначаем как в примере [3] равным 1 т. Разбивку стоек и ригеля на конечные элементы выполняем с ша-гом 1 м. Процесс нагружения осуществляем за десять шагов.

Рис. 2.28

50P 50PP

J J

J

8м

4м

81

Результаты расчетов в виде картин рамы в деформированном состоянии (визуальный масштаб перемещений 100:1) представлены на рис. 2.29. Данные линейного расчета показаны на рис. 2.29, а.

а)

б)

в)

Рис. 2.29

На рис. 2.29, б и 2.29, в приведены результаты деформационного

-10

1

01

23

45

0

1

2

3

4

5

6

7

Z 1, м

2160019110

14110

9105

4103

2501

5901

10900

15910

138104607

4600

19090

14090

9096

4098

2499

13790

Z 2, м

5898

10900

15890

Z 3,

м

Z3 , м

Z2 , мZ1, м

7

65

43

2

10

11 0-1

54

32

0 -10

1

01

23

45

0

1

2

3

4

5

6

7

Z 1, м

2400021450

16120

10530

4787

2921

6841

12540

18040

155705196

21420

16110

5187

10530

4786

2922

Z 2, м

15550

6845

12540

18030Z3 , м

Z2 , м

43

2

10

110-1

54

32

0

7

65

Z1, м

-10

1

01

23

45

6

0

1

2

3

4

5

6

7

Z 1, м

3320029980

23420

15720

7268

5558

10230

18470

25810

219107319

29890

23440

15780

7306

7297

5663

Z 2, м

10290

21860

18530

25820

Z 3,

м

Z3 , м

Z2 , м

43

2

1

110-1

5 43 2

7

6

6

5

Z1, м0

0

82

расчета, полученные соответственно без включения и с включением опции dis_if .

На рис. 2.29 и далее цифры, нанесенные с помощью наклонного шрифта, являются значениями изгибающего момента 1ZМ (Н·м) в центрах конечных элементов. Значение максимального момента на каждом рисунке выделено жирным ненаклонным шрифтом.

Как видно, расчет по деформированной схеме с корректировкой координат узлов после каждого шага нагружения (рис. 2.29, в) приво-дит к увеличению изгибающего момента по сравнению с линейным расчетом (рис. 2.29, а) на 35%.

Сравнивая полученные величины максимального изгибающего момента 24,0·103 кН·м (рис. 2.29, б) и 33,2·103 кН·м (рис. 2.29, в) с данными, приведенными в [3, 6] (26,155·103 кН·м), обнаруживаем, что вычисленные значения образуют “вилку”, в которую попадает ре-зультат из цитируемых источников.

а)

б)

Рис. 2.30

Перемещение ригеля вдоль оси 2Z принимает следующие зна-

чения: 0,01477 м (рис. 2.29, а); 0,01681 м (рис. 2.29, б); 0,02397 м (рис. 2.29, в).

-10

1

0

2

4

6

0

1

2

3

4

5

6

7

Z 1, м

410000386500

321500

225500

107400

65440

147600

259800

346600

287700

381400

323300

229500

96750

110000

Z 2, м

67300

95500

151300

285200

263800

346900

Z 3,

м

Z3 , м

Z2 , м

Z1, м

76

6

543210

0-1

42

0 -10

1

0

2

4

6

8

0

1

2

3

4

5

6

7

Z 1, м

511000462200

365600

236100

123900

155400

149200

463900

369500

278300

403900

234000

342600

111100

Z 2, м

114400

141700

150400

114100

278600

342200403200

Z3 , м

Z2 , м

Z1, м

76

6

543210

0-1

42

0

8

83

Выполнив расчет рассматриваемой плоской рамы на устойчи-вость 1-го рода, получаем параметр критической нагрузки крР=46874 Н или P/Ркр =4,78.

Таким образом, критическая нагрузка оказывается почти в 5 раз выше заданной. С целью анализа около критического поведения рамы осуществим расчет по деформированной схеме при значении пара-метра нагрузки P=4,5 т. Результаты нелинейного конечно-элементного решения без учета и с учетом конечных перемещений приведены соответственно на рис. 2.30, а и 2.30, б (визуальный мас-штаб перемещений 10:1). Значение перемещения ригеля вдоль оси 2Z при P=4,5 т увели-чилось до 0,3255 (рис. 2.30, а) м и 0,3705 м (рис. 2.30, б).

Рис. 2.31 Рис. 2.32 Пример 2. Выполним расчет Г-образной стальной рамы, нагру-женной сосредоточенной силой P=10 т и распределенной нагрузкой q =2 т/м, рис. 2.31. Принимаем, что стойка выполнена из двутавра № 14, xI = 572 см4, yI = 41,9 см4, F = 17,4 см2, а ригель – из двутавра № 18, xI = 1290 см4, yI = 82,6 см4, F = 23,4 см2. Шаг разбивки на ко-нечные элементы по длине стойки и ригеля принят одинаковым и равным el 1 м. Процесс нагружения разбиваем на десять шагов. Схема приведения распределенной нагрузки к узловой на примере одного элемента показана на рис. 2.32. Считая концы элемента жест-ко защемленными, величины сосредоточенных узловых сил и момен-

P

8м

4м

J1

J2

q

1 2Z1

Z2

Z3M

1,z1 M1,z2

P1,z3P2,z3

q

1 2Z1

Z2

Z3

lе

lе

84

тов с учетом знака вычисляем по формулам:

233 21e

Z,Z,lq

PP ; .12

2

21 11

eZ,Z,

lqMM .

В дальнейшем формирование вектора }P{ выполняем способом ад-ресного включения и аккумулирования составляющих узловых сил и моментов для всех элементов модели.

а)

б)

в)

Рис. 2.33

0 1 2 3 4

1

2

33

5

6

7

8Y, м

X, м

3740

0

1832

986.5

422.8

704.8

1551

2396

3242

4088

9725

1915

0

1102

9

1745

0

0 1 2 3 4

1

2

33

5

6

7

8Y, м

X, м

3780

0

2097

1148

517.9

899.1

1869

2723

3408

3887

1000

5

1953

0

1108

6

1767

1

0 1 2 3 4

1

2

33

5

6

7

8Y, м

X, м

3870

0

2812

1578

818

1501

2792

3553

3610

2995

1032

4

2016

5

1112

1

1803

4

85

На рис. 2.33 представлены картины распределения изгибающего момента ZM (Н·м) в деформированной раме (визуальный масштаб перемещений 50:1) в следующем порядке: рис. 2.33, а – линейное ре-шение; рис. 2.33, б – обычный деформационный расчет; рис. 2.33, в – деформационный расчет с корректировкой узловых координат на ка-ждом шаге нагружения. На рис. 2.33 и далее ось Z направлена на на-блюдателя.

а)

б)

в)

Рис. 2.34

0 1 2 3 4

1

2

33

5

6

7

8Y, м

X, м

-131900

-131900

-131900

-131900

-131900

-131900

-131900

-131900

-845

.7

-845

.7

-845

.7

-845

.7

-132000 0 1 2 3 4

1

2

33

5

6

7

8Y, м

X, м

-131600

-131600

-131600

-131600

-131600

-131600

-131600

-131600

-823

-823

-823-8

23

-132000

0 1 2 3 4

1

2

33

5

6

7

8Y, м

X, м

-125800

-98750

-82500

-95590

-123300

-126500

-67950

61570

2952

50

2859

0

1510

40

1266

40

3640

00

86

Шаг разбивки рамы на конечные элементы принят равномерным и равным 1 м. Для сравнения точное значение максимального изги-бающего момента (в месте заделки ригеля) при линейном решении составляет ZM = 37,58 кН·м. Таким образом, принятая дискретиза-ция рамы дает относительную погрешность расчета равную 0,5%.

Учет изменения жесткости рамы от действия продольной на-грузки приводит к росту момента на нижнем конце стойки. Наиболее точным следует считать решение по деформированной схеме с кор-ректировкой узлов (рис. 2.33, в), т. к. при таком подходе конечно-элементное решение ближе к результату деформационного расчета в форме метода перемещений [3].

Интересную информацию получаем, сравнивая картины распре-деления продольной силы срxP (Н) в стойке и ригеле рассматривае-мой рамы. Результаты для сравнительного анализа срxP , полученные при линейном расчете, обычном деформационном расчете, и дефор-мационном расчете с корректировкой координат узлов расчетной схемы приведены соответственно на рис. 2.34.

Абсолютное значение максимальной величины срxP на рис. 2.34 обозначено жирным шрифтом. По данным работы [3] значе-ния продольной силы при линейном расчете составили: в стойке – 131600 Н; в ригеле – 800 Н; при деформационном расчете в ригеле – 710 Н. В табл. 2.1 приведены результаты численного решения данной задачи, полученные с помощью вычислительного комплекса ANSYS 10 шаг разбивки рамы на конечные элементы – равномерный, равный 1 м. В приложении 7 представлен текст соответствующей программы на языке APDL с комментариями.

Таблица 2.1

Тип балочного конечного элемента

Значение в ригеле maxZM , кН·м

Значение в стойке N , кН

Линейное решение

Деформац. расчет

Линейное решение

Деформац. расчет

BEAM3 39,305 39,807 131,251 130,884 BEAM4 39,305 39,812 131,251 130,880

BEAM188 37,351 37,889 131,343 130,950

87

Моделирование рамы элементом BEAM188 с неравномерной сеткой (1 м на стойке и 0,5 м на ригеле) дает следующие значения момента в заделке: при линейном расчете maxZM =38,601 кН·м; при деформационном расчете maxZM =39,139 кН·м.

Как видно из рис. 2.34 при линейном и обычном расчетах по де-формированной схеме сжимающие осевые усилия в ригеле и стойке постоянны и численно определяются величинами одного порядка. В случае решения задачи по деформационной схеме с корректировкой координат узлов (рис. 2.34, в) растягивающие усилия срxP в ригеле значительно превышают данные предыдущих расчетов и существен-но изменяются по длине этого элемента рамы. Последнее является следствием наличия распределенной нагрузки, которая при изгибной деформации ригеля обуславливает неравномерное осевое воздействие на него. Учет изменения податливости стойки при перестройке рас-четной схемы рамы также приводит к неоднородному распределению продольной сжимающей силы в этом элементе. Пример 3. Требуется выполнить анализ устойчивости внецен-тренно сжатой стойки квадратного поперечного сечения 0,4x0,4 м (рис. 2.35). Модуль упругости материала принимаем как и работе [6] равным Е =2,7·107 Н/м2.

Рис. 2.35 Рис. 2.36 Данные расчетов представлены в виде графиков зависимости горизонтального перемещения свободного конца стойки

2zw от на-

P

J5м

0,1м

0

ZZ

Z

12

3

wZ2

е=

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

1000 2000 3000 4000 5000 6000

1

23

Р, кН

wz2, м

4

88

грузки P на рис. 2.36. Здесь цифрами обозначено: 1 – линейное ре-шение; 2 – решение по обычной деформированной схеме; 3 – реше-ние по деформированной схеме с пересчетом координат узлов на ка-ждом шаге нагружения; 4 – результаты работы [6]. Во всех вариантах расчетов шаг приращения по нагрузке принимался равным 500 кН. Отметим, что при максимальном нагружении P=6000 кН де-формационный расчет с корректировкой координат узлов дает мень-шее значение

2zw , чем решение по обычной деформированной схе-ме. Это объясняется тем, что конечно-элементная модель, деформи-руясь, перестраивается и тем самым активнее сопротивляется внеш-нему силовому воздействию. Пример 4. Требуется выполнить конечно-элементный анализ за-висимости между сосредоточенной силой P и узловым вертикальным перемещением центрального шарнира v фермы Мизеса, рис. 2.37. Размеры фермы: 0x =3 м; 0y =0,3 м. Стержни конструкции выполне-ны из стальной трубы ( Е =2·105 МПа), наружный и внутренний диа-метры которой соответственно равны 10 см и 9,3 см.

Рис. 2.37

Расчеты осуществлялись с использованием шаговой процедуры процесса нагружения без учета влияния продольной силы на дефор-мацию системы. Рассматривалась 1/2 часть фермы. При этом наклон-ный стержень моделировался тремя балочными конечными элемен-тами. Начиная со второго шага нагружения, выполнялась корректи-ровка координат узлов расчетной схемы с поправкой на конечные пе-ремещения. На рис. 2.38 показаны результаты численного решения для двух вариантов приращения нагрузки: Р =1000 кН (кривая 1);

Р =500 кН (кривая 2). Установлено, что двукратное уменьшение шага Р приводит к 10%-ому снижению критической нагрузки (рис. 2.38).

Py

x0

v

x0

y0

89

Рис. 2.38

На представленном графике отчетливо прослеживается резкое

нелинейное падение осевой жесткости фермы на участке нагрузки от 6 до 9 кН. С физической точки зрения это явление объясняется эф-фектом “прощелкивания” или Эйлеровой формой потери устойчиво-сти фермы. После “прощелкивания” в предварительно сжатых стерж-нях возникают растягивающие осевые усилия.

Р=1 кН

Р=8 кН

Р=9 кН Рис. 2.39

Это видно из серии картин на рис. 2.39, демонстрирующих ра-боту 1/2 части фермы при различных уровнях нагружения

)кН1000( Р . Здесь исходное положение наклонного стержня по-казано тонкой линией.

Р, кН

v, м

0 2 4 6 8 10 12 14

-0,1

-0,2

-0,3

-0,4

-0,5

-0,6

-0,7

1

2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.10.2

x,м

y,м

x,м

0,20,1

0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

y,м

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.10.2

x, м

y,м

x,м

0,20,1

0 0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

y,м

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

-0.10

0.10.2

x, м

y,м

x,м

0,20,1

0

0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

y,м

-0,1

90

Таблица 2.2 Решение крР , кН

Автор (3элемента) LINK1 (1 элемент)

BEAM3 (3 элемента)

90 90

86,14 В табл. 2.2 приведены значения критической нагрузки крР для фермы Мизеса, полученные с использованием разработанного про-граммного обеспечения и вычислительного комплекса ANSYS10 с применением двух типов конечных элементов LINK1 (2D ферменный элемент) и BEAM3 (2D балочный элемент).

91

Глава 3. ДИНАМИКА СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

3.1. Виды динамического воздействия на строительные сооружения

Силовое воздействие носит динамический характер, если оно изменяется за короткий промежуток времени. При динамическом на-гружении массивные элементы сооружения совершают колебатель-ные движения, что может стать причиной аварии. Кроме этого про-должительные механические колебания, вызванные работой меха-низмов, оказывают негативное воздействие на организм человека. Вместе с тем искусственные колебания широко используются в ряде технологических процессов, например, при уплотнении бетонной массы в опалубке и транспортировке сыпучих грузов. Динамическую нагрузку разделяют на следующие виды: гармо-ническое возбуждение с периодом Т (рис. 3.1, а); негармоническое возбуждение с периодом Т (рис. 3.1, б); ударное воздействие (рис. 3.1, в); взрывное воздействие (рис. 3.1, г); сейсмическое воздей-ствие (рис. 3.1, д). Сейсмическое воздействие, как правило, задается в виде акселерограммы (графика ускорения )t(v ) для точек опор со-оружения.

а)

б)

в)

г)

д)

Рис. 3.1

Динамический расчет выполняется с целью проверки системы на резонанс, анализа кинематических параметров (перемещений, ско-ростей, ускорений) конструкционных элементов, оценки динамиче-

P

t0 T

P

t0T

P

t0

P

t0t

v

0

92

ских реакций и выбора схемы гашения колебаний. Динамический расчет является одной из сложных задач строительной механики. Для его реализации привлекается математический аппарат решения сис-тем дифференциальных уравнений и специальные численные методы, учитывающие динамический характер нагружения. Такие виды динамического воздействия, как ветровая нагрузка, сейсмическая активность земной коры и ударная волна, носят слу-чайный характер. Динамический расчет при случайном воздействии на сооружение называется недетерминированным и выполняется с использованием математического аппарата теории вероятности. 3.2. Число динамических степеней свободы стержневой системы

Числом динамических степеней свободы линейно деформируе-мой системы, находящейся в движении, называется количество пере-мещений, определяющих положение всех ее точек в каждый момент времени. Реальные конструкции обладают бесконечно большим чис-лом степеней свободы. На практике принято ограничивать размер-ность задачи и вводить точечные сосредоточенные массы или мас-сивные недеформируемые диски. Процедура построения расчетной схемы с конечным (ограниченным) числом степеней свободы для ди-намического расчета называется дискретизацией или приведением масс.

Рис. 3.2

Точки приведения масс выбираются таким образом, чтобы коле-

бания расчетной схемы соответствовали колебаниям реальной конст-рукции. Точность, а вместе с ней и сложность динамического расчета

m1

m2

mn

m1

m4

m2 m3

mnmn-1

...

... ... ...... ... ...

93

возрастает с увеличением числа приведенных масс. Недеформируемыми дисками можно заменять ригели много-

этажных рамных конструкций, считая несущие стойки безмассовыми элементами. На рис. 3.2 представлены два возможных варианта при-ведения плоской многоэтажной рамы к n массовой системе. Естест-венно, что расчетная схема с дисками будет грубее, но при этом зна-чительно упрощается решение задачи.

Рис. 3.3

Под числом динамических степеней свободы многомассовой

m w(t)E =J

w(t)

m

w (t)1

w (t)2

w (t)1

w (t)2

m

m

w (t)1

w (t)3

w (t)2

m1

m2

w (t)1w (t)1

w (t)3 w (t)3

w (t)4

w (t)4

w (t)2

w (t)2m1

m1m2

m2

m3m3

m4

94

стержневой системы будем понимать число линейно независимых перемещений точек сосредоточенных масс )t(w i , n,...,,i 21 .

Рис. 3.4

На рис. 3.3 приведены примеры систем с одной, двумя, тремя и четырьмя степенями свободы. Число динамических степеней свободы для плоских рам можно определять путем введения дополнительных связей [3], препятствующих смещениям сосредоточенных масс и дис-ков (рис. 3.4).

3.3. Уравнение движения и свободные колебания системы с одной степенью свободы

Рассмотрим движение одномассовой системы на примере кон-сольной балки, представленной на рис. 3.5. Считаем, что положение всех точек балки в любой момент времени t определяется функцией

mm1

mm1

2

m1

m2

m1

m2

1

1

2

2

3

3m1 m2

m3

m1 m2

m3 4

95

прогиба )( tv . Осевым и угловым перемещениями массы m ввиду их малости пренебрегаем.

Рис. 3.5

На основании квазистатического принципа Даламбера уравне-

ние движения точечной массы m представляем в виде суммы проек-ции на ось y всех сил, действующих на m : )(tP FJR , (3.1) где R – восстанавливающая сила; J – сила инерции; F – сила сопро-тивления движению; )(tP – внешняя возбуждающая сила. Остановимся более подробно на каждой составляющей левой части уравнения (3.1).

Восстанавливающая сила R обусловлена упругостью балки и пропорциональна величине прогиба )( tv :

)( tvrR . Здесь коэффициент пропорциональности r численно равен ре-

акции балки при единичном статическом прогибе ( 1cт v ). Для кон-

сольной балки единичная реакция 3/)3( lJEr . Сила инерции J определяется по формуле

vm J ,

где 22 td/vdv – ускорение массы m . Сила сопротивления F возникает в результате сопротивления движению внешней среды, внутреннего трения в материале, трения конструкционных элементов в местах соединения и в опорах, а также искусственного демпфирования (гашения) колебаний. Обычно выра-жение для силы F представляют в виде

vF , где – коэффициент затухания колебаний; td/vdv – скорость массы m .

y P(t)

v(t)

F

R

x

J

ml EJ,

96

Знак минус в выражениях для R , J , F говорит о том, что данные силы направлены противоположно прогибу )( tv (см. рис. 3.5). Подставив выражения для сил R и J в (3.1) получим уравнение движения точечной массы без учета силы сопротивления:

mtPvv )(2 , (3.2)

где m/r – угловая частота свободных (собственных) колебаний балки (с-1). Величина представляет собой число циклов колебаний, совершаемых за 2 секунд. Период Т – это длительность одного полного цикла колебаний. Величина Т измеряется в секундах и чис-ленно равна

2T .

Технической частотой T/1 называется число колебаний в секунду. Величина измеряется в герцах (сокращенно Гц). Для анализа свободных колебаний одномассовой системы необ-ходимо в уравнении (3.2) положить 0)t(P . В результате получим однородное дифференциальное уравнение 02 vv . (3.3) Для возбуждения свободных колебаний в консольной балке (см. рис. 3.5) следует в начальный момент времени 0t задать кинемати-ческое возмущение 0vv .

Решение уравнения (3.3) имеет вид tCtCtv sincos)( 21 ,

где 1C и 2C – вещественные постоянные, определяемые из началь-ных условий. При 0t имеем 0vv и 0vv . Отсюда найдем

01 vC и /02 vC . В результате решение уравнения (3.3) преоб-разуем к виду

tv

tvtv

sincos)( 00

.

Чаще используют другую форму решения в виде гармоническо-го закона колебаний (рис. 3.6):

)(sin)( 0 tAtv ,

где 22

21 CCA – амплитуда колебаний; )/( 210 CCarctg – на-

чальная угловая фаза колебаний.

97

Рис. 3.6

Согласно закону сохранения энергии свободные незатухающие колебания одномассовой системы представляют собой непрерывный циклический переход кинетической энергии движущейся точечной

массы 2

2vmK

в энергию деформации vrU21

.

Пример 1. Требуется определить частоту свободных колебаний эстакады (рис. 3.7), положив: 6l м; 8

c 10572 J м4; 51012 ,ЕМПа; 3058m Нс2/м.

Рис. 3.7

Определяем упругую реакцию r связи Z на единичное смеще-ние:

6671906

105721012123123 3

811

3c

,l

JEr Н/м.

Значение частоты свободных колебаний вычисляем по формуле

9073058

667190 ,mr

с-1.

Пример 2. Требуется определить частоту свободных колебаний однопролетной балки с сосредоточенной массой m (рис. 3.8, а), по-ложив: 3a м; 5l м; 3773J см4 (двутавр № 24); 51012 ,Е

v

t

v0

0

A

A

T= 2

0

mE =Jr

Z =1

lJc Jc Jc

98

МПа. Балку считаем невесомой. Силу от веса сосредоточенной мас-сы принимаем равной 20G кН.

а) б)

Рис. 3.8

Прогиб от действия силы 1X в точке расположения сосредо-точенной массы (рис. 3.8, б) вычисляем по формуле

6811

222210303,0

103773101,253)35(31

3)(

JElalaX

м.

Масса груза g/Gm = 20000/9,81 = 2039 кг (Нс2/м), где g9,81 м/с2 – ускорение свободного падения. Частоту свободных колебаний балки определяем по формуле

2,40)10303,02039/(1)/(1 6 m с-1.

3.4. Свободные колебания системы с одной степенью свободы с учетом силы сопротивления

На практике свободные колебания быстро затухают, что объяс-няется наличием силы сопротивления движению. Рассмотрим кон-сольную балку с сосредоточенной массой m на свободном конце. Свободные колебания возбуждаются путем отклонения свободного конца балки в момент времени 0t на величину 0vv с последую-щим его отпуском. Считаем, что положения всех точек балки в любой момент времени определяются функцией прогиба )(tv . В последую-щем колебательном процессе участвуют восстанавливающая сила R , сила инерции J и сила сопротивления F . Последняя обусловлена внутренним трением и сопротивлением внешней среды (рис. 3.9). В качестве физического аналога, воспроизводящего действие силы F , принимаем гидравлический демпфер, представляющий собой

x

y

al

x

y

al

Gm

X =1

99

цилиндр, в котором расположен поршень с отверстием малого диа-метра. Цилиндр полностью заполнен вязкой жидкостью. Механиче-ская модель консольной балки, учитывающая эффект затухания коле-баний, представлена на рис. 3.10. Дифференциальное уравнение движения для рассматриваемой системы принимает вид 02 2

0 vvnv , (3.4) где m/n 2 ; m/r 0 – угловая частота свободных колебаний без учета затухания.

Рис. 3.9

Рис. 3.10

Рис. 3.11

Решение уравнения (3.4) ищем в виде )(sin 0 teAv tn , (3.5)

где 220 n – угловая частота затухающих свободных колеба-

ний. Постоянные A и 0 определяем из начальных условий: при

0t ; 0vv ; 0vv . После преобразований получим:

y

v(t) xml EJ,

A(t)

A(t)R+J+F

y

xm

r

v

t0Ai

i+1A

T= 2

v0 e-ntv0

e-ntv0-

100

2

2002

0

vnvvA ;

00

00 vnv

vtg

.

Учитывая, что для реальных строительных конструкций 0n, принимаем 0 . График уравнения (3.5) показан на рис. 3.11, на

котором огибающая колебаний определяется функцией tnev 0 . В качестве количественной характеристики темпа затухания свободных колебаний обычно принимают величину

1

i

iAA

ln ,

называемую логарифмическим декрементом колебаний. Мерой затухания также может служить коэффициент погло-щения энергии деформации за один цикл колебаний, численно рав-ный отношению

i

iiUUU 1

,

где iU , 1iU – амплитудные значения упругой энергии деформации в начале и конце i -го цикла колебаний. Величины и связаны зависимостью 2 .

3.5. Динамический отклик системы с одной степенью свободы на частные виды внешних воздействий

3.5.1. Действие внезапно приложенной силы

Полагаем, что нагрузка )(tPP действует на точечную массу m , расположенную на конце консольной балки. График динамиче-ского воздействия показан на рис. 3.12, а. В данном случае сила вне-запно прикладывается в момент времени 0tt и в дальнейшем не из-меняется.

Уравнение движения в данном случае имеет вид m/Pvv 0

2 . (3.6) Общее решение дифференциального уравнения (3.6) ищем в форме

101

)/(sincos)( 2021 mPtCtCtv , (3.7)

где первые два слагаемые представляют собой решение соответст-вующего однородного уравнения (3.3), а последнее слагаемое – част-ное решение неоднородного уравнения (3.6).

а) б)

Рис. 3.12

Постоянные 1C и 2C найдем из нулевых начальных условий за-дачи: при 0tt имеем 00 v и 00 v . Отсюда на основании выра-жения (3.7) получим два уравнения:

0)/( 201 mPС ; 02 C ,

с помощью которых определяем постоянные )/( 201 mPC и

02 C . Подставив в выражение )/( 20 mP вместо 2 ранее введен-

ное соотношение m/r 2 , запишем rPmP /)/( 02

0 , где r –единичная реакция консоли. Вводя обозначение для статического прогиба балки r/Pv 0cт , уравнение (3.7) преобразуем к виду )tcos(v)t(v 1cт . (3.8) Визуализация данной зависимости представлена на рис. 3.12, б. Как видно, решение (3.8) представляет собой незатухающие гармониче-ские колебания с амплитудой cтvA . Максимальный динамический прогиб балки равен cтдин 2vv . Для установившихся колебаний ко-эффициент динамичности определяем по формуле cтдин v/v . В рассматриваемом примере 2 .

Вычислив величину , можно динамический расчет свести к обычному статическому расчету, умножив действующую силу 0P на коэффициент .

P

t

P0

0

T= 2

0

v

t

vст

vст2А

А

102

3.5.2. Действие гармонической вынуждающей силы

Принимаем изменение возмущающего внешнего воздействия, прикладываемого к точечной массе m , в виде гармонического закона:

tPtP sin)( 0 , где 0P и – соответственно амплитуда и угловая частота вынуж-дающей силы. Полагаем, что гармоническая сила )(tP в начальный момент времени 0tt начинает действовать на покоящуюся сосредо-точенную массу, расположенную в центре двухопорной балки. Гра-фик изменения величины )(tP представлен на рис. 3.13. Такой вид, например, имеет динамическое воздействие, передаваемое на балку от вращающегося ротора электродвигателя с расположенной на нем неуравновешенной точечной массой m . Динамическая нагрузка в данном случае зависит от величины центробежной силы 2

0 RmP. Если масса совершает n оборотов в минуту, то 60/)2( n (с-1).

Рис. 3.13

Рис. 3.14

Уравнение движения при гармоническом возбуждении колеба-ний принимает вид tmPvv sin)/( 0

2 . (3.9) Общее решение дифференциального уравнения при (3.9) имеет форму tАtCtCtv sinsincos)( 21 , (3.10) где tAtv sin)( – частное решение неоднородного уравнения (3.9); А – неизвестная постоянная величина. Подставив выражение

)( tv в уравнение (3.9), получим

P

t0P0

P0

T= 2

mR

0 0,5 1,0 1,5 2,0

12345

/

6

103

tmPtAA sin)/(sin)( 022 .

После преобразований запишем

ст22

0 )()/( vmPA ,

где коэффициент динамичности 2)/(11

, показывающий во

сколько раз амплитуда установившихся вынужденных колебаний больше величины статического прогиба: rPmPv /)/( 0

20ст (r –

единичная реакция балки). График зависимости величины от от-ношения частот / показан на рис. 3.14. Как видно, с увеличением частоты вынуждающей силы от 0 коэффициент возрастает и при 1 / стремится к бесконечно-сти. При дальнейшем увеличении величины коэффициент по-степенно уменьшается и при 2 / становится меньше единицы. В этой области динамический эффект прикладываемой гармониче-ской силы )(tP становится меньше, чем ее статическое действие, со-ответствующее силе 0P . На основании нулевых начальных условий получим окончатель-ное решение уравнения (3.10) в виде разности двух гармонических составляющих с различными частотами: ]sin)/(sin[)( ttAtv . (3.11) В реальных условиях колебания, описываемые соотношением (3.11), можно наблюдать только в начальной стадии динамического процес-са. В дальнейшем вследствие сил внутреннего трения, которые здесь не учитывались, влияние составляющей tА sin)/( уменьшается до нуля. Физически это означает, что свободные колебания быстро затухают и продолжаются только вынужденные колебания, описы-ваемые выражением tAtv sin)( . Графически решение (3.11) ус-ловно можно представить в виде переходного и установившегося ди-намических процессов (рис. 3.15). Следует отметить, что согласно выражению (3.11) при 1 / функция )( tv находится в фазе с вы-нуждающей силой )(tP , а при 1/ – в противофазе.

104

Рис. 3.15

Состояние системы, когда , называется резонансом. В этом случае уравнение движения принимает вид

tmPvv sin)/( 02 .

Соответствующее решение при нулевых начальных условиях описы-вается формулой

)cossin(2

)(11

0рез ttt

rP

tv . (3.12)

Рис. 3.16

Отметим, что наличие в выражении (3.12) слагаемого tcost ,

содержащего параметр t вне знака косинуса, приводит к неограни-ченному возрастанию функции )(рез tv во времени (рис. 3.16). Одна-ко в реальном колебательном процессе наличие сил трения и сопро-тивления внешней среды приводит к тому, что амплитуды )(рез tv остаются некоторыми конечными величинами при t .

t0

T= 2

2T T4

v

Переходнойпроцесс

Установившийсяпроцесс

АA- /( )

0

0246

-2-4-6

4 8 12 16 20 t,с

8vvст

рез

105

3.6. Динамический расчет плоских рам

3.6.1. Свободные колебания рам с конечным числом степеней свободы

Рассмотрим упругую невесомую раму с n точечными сосредо-точенными массами. Полагаем, что в момент времени 0t точки, в которых расположены массы im , n,...,,i 21 , получили начальные смещения и затем были мгновенно отпущены. Если силы сопротив-ления движению отсутствуют, то рама будет совершать незатухаю-щие свободные колебания. Введем вектор независимых перемещений точечных масс

Tnni wwwwww }......{}{ 121 ,

отвечающий заданной форме свободных колебаний (рис. 3.17, а) и соответствующий вектор сил инерции (рис. 3.17, б):

Tnni }......{}{ 121 JJJJJJ .

а) б) в)

Рис. 3.17 Расчет рам на свободные колебания может быть выполнен с по-мощью метода сил или метода перемещений [1, 3]. Выбор того или иного метода решения устанавливается в зависимости от вида рас-четной схемы рамы и степени статической неопределимости. При использовании метода сил необходимо сформировать мат-рицу податливости ][D от действия единичных сил инерции

n,...,,i,i 211 J (3.17,в). Для n -массовой системы матрица ][D

w1

w2

wnwn-1

wimi

mn

m2

m1

... ...

y

x0

2J

iJ nJn-1J

1J 1112

1i 1n

1-1n( )

1J =1

106

имеет следующую структуру:

nnnn

n

n

]D[

21

22212

12111

,

где ji – перемещение сосредоточенной массы по направлению iw от действия единичной силы инерции jJ .

Для статически неопределимых рам необходимо предварительно раскрыть статическую неопределимость и построить эпюры изги-

бающих моментов *m1 , *m 2 , … , *nm от действия единичных сил, сов-

падающих с направлениями сил инерции 1J , 2J , … , nJ . Перемеще-ния ji вычисляются путем соответствующих перемножений эпюр

*m1 , *m 2 , … , *nm . Задача упрощается, если расчетная схема рамы для

построения эпюр *m1 , *m 2 , … , *nm позволяет использовать готовые

(приведенные в справочнике) формулы1. Уравнение движения, описывающее свободные колебания n

массовой системы в матричной форме, имеет вид 0}{}{][][ wwMD , (3.13) здесь диагональная матрица масс

]...[][ 21 nmmmdiagM . Полагаем, что движение точечных масс подчиняется гармониче-

скому закону )(sin}{}{ 0 tAw , (3.14)

где – частота свободных колебаний; TnaaaA }...{}{ 21 – вектор

формы колебаний ( nia i ,...,2,1, – амплитудные значения пере–мещений точечных масс рамы).

1 Справочник по сопротивлению материалов/ Г.С. Писаренко, А.П. Яковлев, В.В. Матвеев – Киев: Наук. думка, 1988. – 736 с.

107

Подставим в уравнение (3.13) зависимость (3.14) и сократим по-лученное выражение на )(sin 0 t . В результате получим 0}{)][][][( AIMD , (3.15)

где 2/1 – параметр круговой частоты; ][ I – единичная матри-ца. Уравнение (3.15) представляет собой систему однородных ли-нейных алгебраических уравнений. Решение уравнения (3.15) будет нетривиальным (ненулевым), если выполняется условие равенства нулю определителя

0][][][ IMD или в развернутом виде

0

)(........

2...)222(1...221)111(

)(det

nmnn

nmnmnmnmm

симметр.

. (3.16)

Уравнение (3.16) называется характеристическим. Раскрыв оп-ределитель )(det , получим характеристический полином n -й сте-пени. Корни полинома 1 2 n , расположенные в порядке возрастания, характеризуют спектр частот свободных колебаний сис-темы. С математической точки зрения решение уравнения (3.16) представляет собой стандартную задачу о собственных значениях 1 ,

2 , … n матрицы ][][][ MDH .

Рис. 3.18

При анализе свободных колебаний многоэтажных рам, модели-руемых абсолютно жесткими дисками и невесомыми гибкими стой-

m1

m2

mn

... ...

y

x0

m1

m2

Z1

Z2

Znmn

... ...

y

x0

r11

r21

Z1=1

108

ками, более эффективным является метод перемещений (рис. 3.18). При использовании этого метода колебательный процесс n мас-совой системы описывается матричным уравнением 0}{)][][( 2 AMR , (3.17) где матрица упругих реакций

nnrnrnr

nrrrnrrr

R

21

2221212111

][

.

Нетривиальное решение уравнения (3.17) выглядит следующим образом:

0][][ 2 MR ,

или в развернутом виде

0

)2(

........2...)2

222(

1...21)12

11(

)2(det

nmnnr

nrmr

nrrmr

симметр.

. (3.18)

На математическом языке решение данного характеристическо-го уравнения представляет собой обобщенную задачу нахождения собственных значений 2

1 , 22 , … 2

n . Отметим, что для рамы с n динамическими степенями свободы

существуют n вещественных положительных значений частот сво-бодных колебаний n,...,,i,i 21 . Каждой частоте i соответствует собственный вектор }{ iA или собственная форма (мода) свободных

колебаний. На практике не обязательно вычислять все корни 21 ,

22 , …, 2

n , достаточно определить несколько первых (в строитель-стве до 10) собственных чисел. Отметим, что низшие частоты и соот-ветствующие формы свободных колебаний являются важной дина-мической характеристикой сооружения, позволяющей выявить резо-нансные режимы и проанализировать возможные формы деформации конструкции.

109

3.6.2. Ортогональность собственных форм колебаний

Рассмотрим i -ую форму колебаний:

)(sin}{}{ 0 tAw iii . Амплитудное значение вектора сил инерции ( 1 tsin i ) равно

}{][}{ 2iii AMJ .

Аналогично записываем для j -й формы колебаний }{][}{ 2

jjj AMJ . На основании принципа о взаимности работ внешних сил имеем:

}{}{}{}{ iT

jjT

i AA JJ ;

}{][}{}{][}{ 22i

Tjjj

Tii AMAAMA ;

0}{][}{22 jiji AMA .

Поскольку по определению 22ji , получаем условие М -ор–

тогональности любых двух собственных форм колебаний системы в виде

0}{][}{ jT

i AMA . Физический смысл условия М -ортогональности состоит в том,

что суммарная работа сил инерции i -й формы колебаний на переме-щениях j -й формы равна нулю. При вычислениях часто используют процедуру нормирования собственных векторов в виде jij

Ti AMA }{][}{ , (3.19)

где символ Кронекера

.ji,ji

ji припри

01

Используя уравнение (3.17) и выражение (3.19), можно получить условие R-ортогональности собственных векторов:

jiijT

i ARA 2}{][}{ . Как отмечалось ранее, задача определения частот и форм сво-бодных колебаний линейно деформируемой системы эквивалентна

110

обобщенной проблеме собственных значений, суть которой состоит в нахождении нетривиального решения уравнения: ][][][][][ AMAR , (3.20)

где ]...[][ 222

21 ndiag – диагональная матрица собственных

значений; ]}{...}{}{[][ 21 nAAAA – матрица соответствующих соб-ственных векторов. Нетрудно установить, что матрица ][A – ортого-нальная, т. е. 1][][ AA T . Матрицы ][ и ][A называются соответ-ственно спектральной и модальной, а сама процедура определения частот и форм свободных колебаний – модальным анализом системы.

3.6.3. Примеры определения частот свободных колебаний многомассовых рам методами сил и перемещений

Пример 1. Требуется определить частоты свободных колебаний трехмассовой статически неопределимой рамы (рис. 3.19, а), приняв изгибную жесткость и массу сосредоточенных в центрах стержней грузов равными JE =2·104 кН·м2, m =2,0387·103 кг. Как видно из рис. 3.19, б, система имеет четыре динамические степени свободы. Расчет данной статически неопределимой рамы выполняем ме-тодом сил.

а)

б)

Рис. 3.19

На первом этапе расчета раскрываем статическую неопредели-мость. Учитывая характер внешнего воздействия (рис. 3.20), основ-ную систему метода сил представим в виде четырех расчетных схем (рис. 3.21). Здесь введены обозначения: 1 – единичные силы, совпа-

mm

2m2J

JJ

6м

6м

8м 12

34

111

дающие с направлениями векторов 1J , 2J , 3J , 4J ; )1(X , )(X 2 , )3(X

, )4(X – неизвестные усилия, эквивалентные реакции отброшенной связи.

Рис. 3.20

Рис. 3.21

Эпюры изгибающих моментов p1m , p2m , … , p4m от действия единичных сил показаны на рис. 3.22. Для первой расчетной схемы запишем каноническое уравнение метода сил

0p111 )1(X , где перемещение от единичной силы 1X (рис. 3.23)

)6666466(6

82

111

k s EJsd

JE

m

;324)663340(266

EJEJ

перемещение от единичной силы в направлении вектора 1J

EJEJsd

EJmm

k s

pp

48)062464(6

4111

.

Для вычисления интегралов в выражениях 11 и p1 использо-

J1 J2

J3

J4

X(1) X (2) X (3) X(4)

1

1

1 1

112

вана формула Симпсона (k – число участков на эпюрах моментов; s– длина участка интегрирования).

Рис. 3.22

Рис. 3.23

После подстановки величин 11 и p1 в исходное уравнение

получим )1(X 0,1481.

Рис. 3.24

“Исправленная” эпюра 1m)1(X и эпюра “суммарных” момен-

тов p111 mmm* )1(X для первой расчетной схемы представлены на рис. 3. 24. По аналогии выполняем вычисления для трех остальных расчетных схем. Последовательно находим:

)2(X -0,5278; )3(X 0,4792; )4(X 0,9877.

1 1

11

42

3

3

31,5

1,5

m1p m2p m3p m4p8

4

3

X=1m1

6

3

3

0,8886

0,8886

m1*3,111

1,111

0,44430,8886

0,8886

X(1)m1

113

Соответствующие “суммарные” эпюры изгибающих моментов *m 2 , *m3 , *m 4 показаны на рис. 3.25.

Рис. 3.25

На втором этапе расчета формируем матрицу податливости ][ D трехмассовой системы с учетом действия единичных сил инерции

11 J , 12 J , 13 J , 14 J (см. рис. 3.20). Матрица ][ D имеет следующую структуру:

44342414433323134232221241312111

]D[ , ijji , 41,j,i .

Перемещения ji вычисляем на основании результатов первого эта-па расчета по формуле

k s

*j

*i

ji EJ

mm.

После “перемножения” эпюр *1m , *

2m , … , получим

99,86568,49468,29959,55159,32478,378

57,176693,92988,99657,42

7102

1][

симметр.

D .

Матрицу масс формируем “прямым” включением диагональных элементов mm 11 , mm 22 , mm 233 , mm 244 . В итоге имеем

]4,40774,40777,20387,2038[][ diagM .

m4*

5,926

5,926

2,963

2,074m3*

0,125

1,438

m2*

3

30,167

1,417

1,926

114

Для определения частот свободных колебаний составим харак-теристическое уравнение:

0][][][ IMD . Стандартную задачу о собственных значениях матрицы ][][][ MDH решаем с помощью интерактивной функции eigenvalues компьютер-ной математики системы Maple V. Получены следующие значения частот свободных колебаний рамы:

2/111 )/1( 6,664 с-1; 2/1

22 )/1( 22,53 с-1;

2/133 )/1( 34,82 с-1; 2/1

44 )/1( 59,63 с-1. Пример 2. Требуется вычислить частоты свободных колебаний трехмассовой статически определимой рамы (рис. 3.26).

Рис. 3.26

Заметим, что данная рама получена из рамы, рассмотренной в

предыдущем примере, путем замены жесткого защемления на левой стойке шарнирно неподвижной опорой. Задачу решаем методом сил. Эпюры изгибающих моментов 1m , 2m , 3m , 4m от действия единичных сил инерции 11 J , 12 J , 13 J , 14 J приведены на рис. 3.27.

mm

2m2J

JJ

6м

6м

8м

1 1 1m1 m2 m3 m4

4

4 2

2

232

356

56

12

434

312

J1=1J

JJ2

34=1

=1=1

8

4

5,53

1,5

1,50,750,75 8

4

4

115

Рис. 3.27

После вычисления перемещений

k s

jiji EJ

mm, 41,j,i и

соответствующих подстановок матрица податливости принимает форму

67,2340,9250,2

0,252375,1267,27633,14950,433,15533,101

7102

1][

симметр.

D .

Матрица масс ][M эквивалентна данным предыдущего примера. Спектр частот свободных колебаний в рассматриваемом случае принимает следующие значения:

1 3,425 с-1; 2 28,03 с-1; 3 59,75 с-1; 4 344,1 с-1. Сравнивая частоты основного тона свободных колебаний, полу-ченные в первом (6,664 с-1) и втором (3,425 с-1) примерах, устанавли-ваем, что замена жесткой заделки на шарнирно неподвижную опору в левой стойке рамы приводит к уменьшению величины 1 почти в два раза. Это связано с тем, что в результате данной реконструкции жест-кость рамы во втором примере понизилась при сохранении инерци-онных свойств системы. Пример 3. Необходимо вычислить частоты свободных колеба-ний трехэтажной рамы (рис. 3.28), приняв погонные массы ригелей равными:

1Пm 3,058 (кН·с2)/м2; 3П2П mm 2,039 (кН·с2)/м2. Величины сосредоточенных масс:

1m 40,77 (кН·с2)/м; 32 mm 30,58 (кН·с2)/м. Значение изгибной жесткости стоек EJ 3680 кН·м2.

Основная система метода перемещений показана на рис. 3.29. Как видно система имеет три динамических степени свободы, что совпадает со степенью кинематической неопределимости задачи. Матрицы жесткости ][R и масс ][M имеют вид:

3323

322212

2111

0

0][

rrrrr

rrR ;

]262626[][ 33П22П11П mmmmmmdiagM .

116

Рис. 3.28 Рис. 3.29

Рис. 3.30

Для вычисления величин jir , 31,j,i используем выражения

для реакций, возникающих при единичных смещениях связей 1Z , 2Z ,

3Z (рис. 3.30). В итоге получим характеристическое уравнение:

07339500

07339500099898

2

1920019200480002880010131

3103680

,,,

,,

симметр..

Решая обобщенную собственную проблему с помощью системы

mп1

mп2

mп3

m1 m1

m2 m2

m3 m3

8=i

8=i

8=i

i0,2 i0,2

i0,3 i0,3

i1,22i1,22

6м

6м

5м

5м

Z1

Z2

Z3

Z2=1

r21

r23

12.0,3i52

3Z =1

r33

r32

12.0,3i52

Z1=1

r11

r12

12

12 12

.

. .

0,3

1,22 1,22

i

i i

5

6 6

2

2 2

117

Maple V, получим следующие значения частот свободных колебаний рамы:

1 1,962 с-1; 2 4,758 с-1; 3 6,912 с-1.

3.6.4. Расчет многомассовых рам на вынужденные гармонические колебания методом сил

Вынужденные гармонические колебания возникают в рамах при действии вибрационной нагрузки. Целью “ручного” динамического расчета является определение амплитудных (наибольших) значений внутренних усилий (моментов, поперечных и продольных сил) в стержнях рамы при возбуждении колебаний. Полагаем, что возмущающие силы изменяются синхронно (по одному закону с одинаковой частотой) и синфазно (без сдвига фаз). Силы сопротивления ввиду их малости не учитываем. Считаем, что значение частоты вибрационной нагрузки достаточно удалено от частоты основного тона свободных колебаний 1 . Каноническая система уравнений метода сил для определения амплитудных значений сил инерции ин

1X , ин2X , … , ин

nX имеет вид:

,0p2211

;0p22222112

;0p11221111

nnXnnXnXn

nXnXX

nXnXX

ининин

ининин

ининин

где ji – перемещение сосредоточенной массы по направлению инiX от действия единичной силы инерции 1ин

jX ; pi – переме-щение сосредоточенной массы im от действия амплитудного значе-ния вибрационной нагрузки. Диагональные коэффициенты ii вычисляются с учетом силы инерции массы im по формуле

118

21

iiiii m

.

После вычисления неизвестных ин1X , ин

2X , … , инnX строится

“суммарная” эпюра динамических изгибающих моментов динM и

соответствующие эпюры динQ и динN . Порядок динамического расчета плоской статически определи-мой рамы рассмотрим на конкретном числовом примере. Пример 1. Требуется для статически определимой рамы, пока-занной на рис. 3.31, используя метод сил, определить динамическое воздействие вертикальной вибрационной силы tsinP , приняв

12/1 .

Исходные данные: l =2 м; Q =10 кН; P=1 кН; JE =20·103 кН·м2.

Рис. 3.31

Сначала определим частоты свободных колебаний рамы. Число

динамических степеней свободы рамы равно двум (рис. 3.32). Система уравнений, описывающая свободные колебания, для данной рамы имеет вид:

0)( 22121111 wmwm ,

0)( 22221121 wmwm .

Для определения единичных перемещений 11 , 1221 , 22 , приложим в точке расположения сосредоточенной массы силы инер-ции 1X и 2X (рис. 3.33) и построим эпюры изгибающих моментов

Psin t

Q

2l

l l/2

0,5J J

0,25J

1

2 34

5

119

1m и 2m от действия сил 11 X и 12 X (рис. 3.34).

Рис. 3.32

Рис. 3.33

Рис. 3.34

Единичные перемещения определяем по формуле Мора с после-дующим численным интегрированием:

1

2

w (t)1 w (t)2

4м

0,5J J

0,25J

1

2 3 4

5

2м 1м

X1X2

42

4

2

m2

X =12

1

X =11

1 0,50,5

m1

32

12

120

]05,041[6

1]15,040[5,06

2 221111 JEJE

dsJEmm

JEJEJE 35

62

34

;

JEJE

sdJEmm

316]4125,040[

5,06221

21 ;

2222222 4[

25,064]4240[

5,062

JEJEsd

JEmm

JEJEJE 3320

5,1128

364]024 2 .

Формируем матрицы податливости ][ D и масс ][M для рас-сматриваемой рамы:

32016165

31][

2212

2111JE

D

;

]10191019[][][ 21 diagmmdiagM .

Здесь 1019м/c81,9

Н102

421

gQmm (Н·с2)м.

Составляем характеристическое уравнение в матричной форме: 0][][][)(det IMD ,

где параметр круговой частоты 2/1 , – круговая частота, с-1; ]11[][ diagI – единичная матрица.

Раскрыв определитель )det( , получим квадратное уравнение относительно :

0)()( 221

22211 mmm .

Корни этого уравнения 1 =0,7115·10-4, 2 =0,5448·10-2 соответ-ствуют значениям частот: 1 =13,55 с-1, 2 =118,6 с-1. Амплитудные значения сил инерции сосредоточенной массы

ин1X и ин

2X определим с помощью системы уравнений:

01ин221

ин111

pXX ,

121

02ин222

ин112

pXX . Здесь коэффициенты, стоящие на главной диагонали, определя-

ются по формулам: 4

621111 10213,097,451019

110203

51

m

,

4622222 101605,0

97,4510191

102033201

m ,

где частота внешнего воздействия 78,621

с-1.

Коэффициенты 661221 102667,0

1020316

316

JE ос-

таются без изменений. Для определения свободных членов p1 и p2 необходимо построить “грузовую” эпюру pm (рис. 3.35).

Рис. 3.35

Используя формулу Мора и численное интегрирование, полу-чим:

]101105,05,040[5,06

2 3311 JE

sdJEmm p

p

433 108335,0]0105,05,04101[6

1 JE

,

]104105,0240[5,06

2 3322 JE

sdJEmm p

p

3102667,0 .

mp

1030,5.103 0,5.103

P=103

122

Решая систему уравнений 0108335,0102667,010213,0 4ин

26ин

14 XX ,

0102667,0101605,0102667,0 3ин2

4ин1

6 XX , находим 122,4ин

1 X и 69,16ин2 X .

Рис. 3.36

Рис. 3.37

Значения ординат эпюры динамических моментов вычисляем по формуле:

ин22

ин11дин XmXmmМ p .

Эпюра динМ приведена на рис. 3.36. На этом же рисунке показаны схемы стержней 2-3, 3-4, 1-2, и узлов 2 и 3, которые необходимы для построения эпюр поперечных динQ и продольных динN сил. Эпюры

динQ и динN представлены на рис. 3.37

66,76

M дин

1

2 34

5

3 41м1070,9Нм2 32м

1004,1Нм

1

4м

2

66,76Нм

535,5Н2 3

1004,1Н535,45Н

16,69НN35

N23

N12

Q23Q23

Q34 Q34

Q12

Q12

1070,91004,1

Q дин

1004,1

535,4516,69

16,69

1539,5

535,45

N дин

1

23 4

5 51

2 34

123

Коэффициент динамичности =1070,91000=1,07. Выполним статическую проверку, определив по эпюрам динQ и

динN реакции опор (рис. 3.38):

1yR =535,45 Н; 5xR =16,69 Н; 5yR =1539,5 Н.

Рис. 3.38

Составим сумму проекции всех сил на оси x и y :

PXRRy yyин151пр -535,45+1539,5-1000-4,122=-0,07,

ин21пр XRx x =-16,69+16,69=0.

Сумма моментов сил относительно пятого узла: 1122,4245,5354112 ин

2ин115 XPXRМ y

018,0469,1611000 . Полученная точность вполне удовлетворительна. Пример 2. Требуется выполнить динамический расчет рамы (рис. 3.39) при действии вибрационной нагрузки )(sin)( 0 tPtP и

)(sin)( 0 tqtq , приняв 12/1 . Данная схема рамы аналогична схеме, приведенной в пп. 3.6.3 (пример 2). Поэтому на основании ра-нее выполненных расчетов значение частоты основного тона свобод-

ных колебаний принимаем равным 11 4253 с, . Тогда по условию

задачи частота гармонического возбуждения колебаний составляет 1

1 712150 с,, . Система уравнений для определения амплитудных значений сил

X =4,122 Н 1

X =16,69 Н 2P=1000 Н

1

2 3

5

4

Ry1

x5R

y5R

x

y

ин

ин

124

инерции принимает вид:

.XXXX

;XXXX

;XXXX

;XXXX

0p4444334224114

0p3443333223113

0p2442332222112

0p1441331221111

инининин

инининин

инининин

инининин

Рис. 3.39

Здесь диагональные коэффициенты:

3272

11111 1016220

7121720381

102331011

,

,,,

m;

3272

22222 1015350

7121720381

102672761

,

,,,

m;

4272

33333 1083540

7121440771

10225021

,

,,,

m;

4272

44444 1071920

7121720381

102672341

,

,,,

m.

Значения недиагональных коэффициентов ji ( ji ) приведены в разделе 3.6.3 (пример 2). Свободные члены p1 , p2 , … системы уравнений вычисляем

после построения грузовой эпюры моментов pm (рис. 3.40).

mm

2m2J

JJ

6м

6м

8м

P(t)

q(t)

125

В итоге результирующее матричное уравнение принимает вид }{}{][ bXD ин ,

где вектор правой части Tb }2237,0107649,02340,01481,0{}{ 2 .

Вектор амплитудных значений сил инерции }{ инX находим с помощью функций матричной алгебры системы Maple V. В итоге по-лучим

TX }560,31278,0876,1167,1{}{ ин .

Рис. 3.40

Величины ин1X , ин

2X , … имеют размерность кН.

“Суммарная” эпюра изгибающих моментов динM , эпюры попе-

речных динQ и продольных динN сил представлены на рис. 3.41.

Значения коэффициента динамичности в элементах рамы вы-числяем как отношения максимальных ординат эпюры динM

(см. рис. 3.41) к ординатам эпюры pm (см. рис. 3.40):

в ригеле 391970797 ,/, ; в стойке 3811282176 ,/, . В заключение выполним статическую проверку правильности построенных эпюр (рис. 3.42).

Сумма проекции сил на ось x :

06388 4210 ,XXXqX инининпр ;

06385638761167184 ,,,, ; 00 .

32mp

69,99

128

128

96

19,3323,33

126

Рис. 3.41

Рис. 3.42

Сумма проекции сил на ось y :

04830382630 ,,XPY инпр ;

027801041278448303826127804 ,,,,,, (расхождение в третьем знаке, абсолютная погрешность – 2,7%).

3.6.5. Итерационный алгоритм вычисления частот свободных колебаний рам с конечным числом степеней свободы

Известно, что характеристические уравнения (3.16) и (3.18) при

4n нельзя решить “вручную”, раскрыв определитель. Поэтому за-дачи на собственные значения при 4n решаются с помощью итера-ционных процедур. Рассмотрим модифицированный алгоритм обрат-ных итераций [5], позволяющий решить усеченную проблему собст-венных значений, суть которой состоит в вычислении первой и по-

N дин , кН

97,07

176,2

176,2

122,4

Mдин , кНм

5,6285,628

Q дин, кН

++

+ ---

+5,45 +1,876

30,4826,38

38,6

22,621,45

5,45

26,3830,48 1,876

6м

6м

8м

38,60кН26,38кН

30,48кН

0P =4кН

q0=4кн/м

X3ин

X2ин

X1ин

X4ин

x

y

0

127

следующей частот свободных колебаний 1 , 2 , … , S с одновре-менным определением соответствующих собственных векторов }{ 1A ,

}{ 2A , … , }{ SA системы (3.20).

Полагаем, что матрица упругих реакций ][R положительно оп-ределенная, т. е. для нее может быть вычислена обратная матрица

1][ R . Вычислительный процесс итерационного алгоритма основан на использовании отношения Рэлея

}{][}{

}{][}{

ST

S

ST

SS

AMA

ARA ,

которое обладает свойством 22maxsmin , где 2

min и – минимальное и максимальное значения собственных значений систе-мы (3.20). С помощью величины s называемой сдвигом, на основа-нии выражения ][][ MR s можно вычислить первое и последую-щие (низшие) собственные значения. Блок-схема данного алгоритма представлена на рис. 3.43. Программа на языке Фортран для вычисления частот свободных колебаний приведена в приложении 8.

В качестве исходных данных необходимо задать величину на-чального сдвига 1 и начальный рабочий вектор }{ 1x размерностью

n . При вычислении частоты основного тона 1 принимаем 01 , а

для нахождения последующих частот 2 , 3 , … начальный сдвиг

1 увеличиваем на величину 2

1S . Константу подбираем спо-

собом “пристрелки” таким образом, чтобы искомое собственное чис-ло 2

S было больше предыдущего 21S . Графическая интерпретация

выбора величины 1 для 1S показана на рис. 3.44.

Так как компоненты вектора }{ 1x являются неизвестными, то в первом приближении им можно присвоить единичные значения. Ве-личина S -го собственного значения 2

S вычисляется с точностью p210 , где p – число верных значащих цифр.

2max

128

Рис. 3.43

Вычислительной особенностью рассмотренного алгоритма явля-ется необходимость введения рабочих векторов }{ y , }{ y , }{x раз-мерностью n , предназначенных для хранения промежуточных дан-ных. Для предотвращения итерационного процесса от зацикливания задается максимальное число итераций maxi .

Начало

2

11 s

Ввод сдвига :при вычислении первогособственного значения

1

;01при вычислении последующихсобственных значений

}x{ 1n,...,,i,x i 2111

Формирование вектора

kk

Tk

kT

kk

}y{}x{

}y{}x{

11

11

}x{]M[}y{ kk 11

}y{}x{)]M[]R[( kkk 1

Решение системы уравнений

}x{]M[}y{ 11

?k

kk

1

1

?ik max

А

А Останов

12

ks

}y{}x{

}x{}A{

kT

k

ks

11

1

}y{}x{

}y{}y{

kT

k

kk

11

11

Нет

Нет

Нет

Да

Да

Да

129

Рис. 3.44

Пример. требуется определить модифицированным методом об-ратных итераций частоты и формы свободных колебаний статически определимой плоской рамы (рис. 3.45, а). Величины сосредоточенной массы и изгибной жесткости принимаем равными 310019,1 m кг и

7102 JE Н·м2.

а) б) в)

Рис. 3.45

В соответствии с основной системой метода перемещений

(рис. 3.45, б) матрица упругих реакций принимает вид

15,0005,01875,43046875,0

03300046875,00011719,0

][ JER .

20

21 2

2 23

12

1 +=12

2+=

2det( )

l/2

l=2м

m

l20,25J J0,25

0,5J J

mm

Z4X1

X2

Z3

Z1

Z2

130

Матрица масс для рассматриваемой задачи имеет диагональную структуру

]0010019,110019,1[][ 33 diagM . Отметим, что в данном случае на главной диагонали матрицы ][ M имеются нулевые элементы.

При вычислении первой собственной частоты 1 с точностью 810 получаем значение 1 =13,55 с-1. Итерационный процесс со-

шелся за три итерации.

Рис. 3.46

Для вычисления второй собственной частоты 2 величину на-

чального сдвига принимаем равной 41 10 . В итоге за пять итера-

ций получаем 2 =118,5 с-1. Отметим, что процедура сдвига приводит к появлению на главной диагонали результирующей системы уравне-ний отрицательного коэффициента.

Вычисленные векторы }{ 1A и }{ 2A удовлетворяют условиям M - и R-ортогональности. Визуализация возможных первых двух форм свободных колебаний рамы показана на рис. 3.46. Выполним аналогичный расчет плоской рамы с использованием основной системы метода сил (рис. 3.45, в). Матрицы податливости и масс для рассматриваемой системы имеют вид:

32016165

31][

JED ;

3

3

10019,10010019,1][ M .

1 2

131

Матрицу жесткости определим как 1][][ DR . Далее, применив итерационный алгоритм, находим:

1 =13,55 с-1; 2 =118,6 с-1. Как и следовало ожидать, полученные с помощью метода пере-

мещений и метода сил значения 1 и 2 практически совпали. Без-условно, трудоемкость решения данного примера по методу переме-щений значительно выше, чем по методу сил. Вместе с тем выпол-ненное сопоставление решений представляет определенный методо-логический интерес. Ниже этот пример будет решен с помощью МКЭ.

3.7. Уравнение движения в формулировке метода конечных элементов

В настоящее время МКЭ находит широкое применение при ана-

лизе динамического поведения элементов конструкций и сооруже-ний. Это объясняется тем, что лишь небольшой класс динамических задач строительной механики имеет аналитическое решение. С по-мощью МКЭ выполняются следующие виды динамических расчетов: модальный анализ (определение частот и форм собственных колеба-ний), исследование переходных процессов, гармонический и спек-тральный анализ, анализ поведения конструкции при сейсмическом воздействии.

Рассмотрим движение линейно-упругой системы, происходящее на временном интервале ][ 2,1 tt , в глобальных декартовых осях. Примем обозначения: ),( iwtПП – полная потенциальная энергия внутренних и внешних сил, действующих на систему; ),,( wwtTT – кинетическая энергия системы; iw , ),,2,1( gi niw – обобщённые перемещения и скорости в глобальных осях; gn число степеней свободы системы. Предполагаем, что в простейшем случае силы демпфирования пропорциональны скоростям и направлены в проти-воположную сторону. По природе действия эта нагрузка аналогична силам инерции. Работа диссипативных сил

132

ii wQ , где iQ – обобщенные силы, не имеющие потенциала. При конечно-элементном анализе динамики неконсервативных систем1 принято исходить из вариационного принципа Гамильтона. Суть этого принципа основана на условии стационарности интеграла

2

1

0)(t

ttdПT

для истинного движения системы от момента времени 1t до момента

2t . Согласно принятым обозначениям, вариационный принцип Га-

мильтона запишем в виде, удобном для вывода последующих мат-ричных выражений МКЭ [8]:

2

1

2

1

0)( t

ti

t

ti

ii

itdwQtdw

wTw

wПT

i .

Интегрируя второе слагаемое, стоящее в скобках, по частям и учитывая, что 0)()( 21 twtw ii , получим

0)(2

1

tdwQwT

tdd

wПT

i

t

t ii i .

Отсюда, вследствие того, что iw – произвольные независимые величины, в общем случае отличные от нуля, получаем уравнение Лагранжа второго рода

iii

Qw

ПTwT

tdd

)( . (3.23)

Представим уравнение (3.23) в терминах МКЭ. Полная потенци-альная энергия конечного элемента

1 Система, в которой при ее движении величина энергии П остается постоян-ной, называется консервативной, в противном случае система будет неконсер-вативной.

133

e ee s

TTTe sdqudgudEП

v v}{}{v}{}{v}{][}{

21

ee

dgFwwdDEDw TTTT

vvv}{][}{}{v][][][}{

21 (3.24)

es

TT sdqFw }{][}{ ,

где }{w – вектор-столбец узловых перемещений; }{ – вектор-столбец деформации; ][ E – матрица упругости материала; ][ D – блочная матрица, устанавливающая связь типа }]{[}{ wD ; }{g и

}{q – векторы-столбцы объемных и распределенных по поверхности сил в глобальных осях; ][ F – матрица функций формы, осуществ-ляющая преобразование }]{[}{ wFu ; }{u – вектор-столбец пере-мещений произвольной точки конечного элемента относительно гло-бальных осей; ev – объём, занимаемый элементом; es – площадь по-верхности элемента, к которой приложена распределенная нагрузка. Учитывая, что элементы ][ F – суть функции только локальных коор-динат, установим соотношение

}]{[}{ wFu , в котором }{u , }{w – соответственно векторы-столбцы скоростей произвольной точки и узлов элемента.

Кинетическая энергия элемента

wvdFFwvdT TTTе

ee vv

21uu

21 ,

(3.25) где плотность материала.

На основании выше принятого предположения вектор-столбец сил демпфирования элемента

wvdFFQ T

ev . (3.26)

Здесь – коэффициент демпфирования, определяемый экспери–ментально путем исследования собственных затухающих колебаний

134

конструкции. Для прокатной стали и железобетона соответственно имеем = 0,025 и = 0,1.

Подставляя выражения (3.24)-(3.26) в уравнение (3.23) и учиты-

вая, что 0

iwT , запишем

}{v][][][}{v][][evv

wdDEDwdFF TT

e

wdFFsdqFdgFes

TTT

e ev vvv ,

( w – вектор-столбец узловых ускорений) или в матричной форме pwkwcwm ,

где матрица масс элемента v

evdFFm T ;

матрица демпфирования элемента v

evdFFc T ;

матрица жесткости элемента v

evdDEDk T ;

вектор-столбец узловой нагрузки элемента sdqFvdgFp T

s

T

e

ev

.

В общем случае, когда элементы p зависят от времени, имеем систему линейных неоднородных дифференциальных уравнений вто-рого порядка.

Использование одних и тех же функций формы для векторов пе-ремещений и ускорений приводит к согласованной структуре матри-цы масс, т.е. k и m формально будут иметь одно и то же количе-ство ненулевых элементов.

Построение матрицы масс ][ M ансамбля элементов выполняем аналогично формированию глобальной матрицы жесткости, т.е. пу-

135

тем прямого адресного включения элементов m в ][ M . В отличие от глобальных матриц жесткости ][ K и масс ][ M гло-

бальная матрица демпфирования ][C обычно формируется на уровне ансамбля элементов, т.е. сразу для всей системы. При этом на осно-вании гипотезы Релея записывают [5]:

KMС , где , – постоянные, определяемые по формулам:

2

12

2

2112212

;

2

12

2

11222

.

Здесь обозначено: 1 , 2 – первые две угловые частоты свобод-ных колебаний; 21 , – коэффициенты демпфирования 1-й и 2-й форм свободных колебаний. Константы и соответствуют инер-ционному и конструкционному демпфированию.

Если сооружение представляет собой набор фрагментов, обла-дающих различными демпфирующими свойствами, необходимо ис-пользовать различные значения коэффициентов , для соответст-вующих типов материалов.

Следует подчеркнуть, что при конструировании граничных усло-вий нужно учитывать характер динамического поведения конструк-ции. Так, если в статике мы стремились полностью исключить сме-щения “как жесткого целого”, то в динамике набор связей не должен приводить к образованию динамических реакций, искажающих коле-бательный процесс.

3.8. Матрица масс стержневого конечного элемента Для динамического расчета стержневых секций используются прямолинейные балочные элементы постоянного поперечного сече-ния, для которых общая матрица жесткости ][k приведена в разделе 2.1. Напомним, что для плоской задачи стержневой конечный эле-мент (рис. 2.1) имеет три степени свободы в узле (два линейных пе-ремещения и угол поворота сечения).

Для стержневых систем используются различные схемы дискре-тизации при статическом и динамическом способах нагружения. Тре-буемая точность по перемещениям при статическом расчете достига-

136

ется при ансамблировании системы стержнями, соизмеримыми (по длине) с конструкционными элементами. В то же время при динами-ческом расчете с целью учета предыстории движения стержни долж-ны разбиваться на более короткие участки, т. е. дискретизацию осу-ществляем таким образом, чтобы размеры элемента обеспечивали од-нозначное соответствие между узловыми перемещениями и формой динамической деформации.

Матрица масс ансамбля конечных элементов формально опре-деляется как сумма матриц масс отдельных элементов

en

iimM

1][][ ,

где en – общее число конечных элементов; im][ – матрица масс i -го элемента. В зависимости от структуры различают согласованную, со-средоточенную и редуцированную матрицы масс конечного элемен-та.

Согласованная матрица масс стержневого элемента в локальных осях формируется с помощью балочных функций }{ c и }{ u , приведенных в разделе 2.1. Для вычисления коэффициентов согла–сованной матрицы масс используем выражение

][00][

][и

cm

mm ,

здесь ][ cm , ][ иm – субматрицы, описывающие инерционные свойст-ва элемента при продольной деформации и изгибе.

Блок ][ сm формируем по формуле

l

mТ lqdlFm

031

61

61

31

ccc }{}{][ ,

где F площадь поперечного сечения стержня; Fq m масса погонной длины элемента (кг/м); l длина элемента; }{ c – вектор-столбец функций формы, аппроксимирующих осевые перемещения.

Блок ][ иm формируем по формуле

137

24

22156

231324

135422156

0иии 420

}{}{2

][

l

llll

ll

mlТ lq

dlFm

симметр.

,

где }{ и – вектор-столбец функций формы, аппроксимирующих из-гибные деформации. Сосредоточенная матрица масс формируется путем приведения общей массы элемента к узловым точкам. В итоге для плоской задачи сосредоточенная матрица масс принимает диагональную структуру вида

][][ 665544332211 mmmmmmdiagm . Здесь сумма “узловых” масс в каждом направлении равна общей мас-се элемента. В ряде случаев из матрицы масс исключаются элементы соот-ветствующие вращательным степеням свободы. Такая матрица масс называется редуцированной.

3.9. Анализ частот и мод свободных колебаний стержневых конструкций

Одним из наиболее используемых в строительной механике рас-

четных методов является модальный анализ, суть которого сводится к исследованию частот и форм свободных колебаний конечно-элементной модели в заданном диапазоне. Наибольший интерес представляют значения первых (низших) частот свободных колеба-ний 22

221 n . В практике инженерных расчетов строитель-

ных сооружений ограничиваются числом n 10. Соответствующие формы свободных колебаний дают представление о возможных спо-собах деформирования конструкции. На этапе проектирования мо-дальный анализ позволяет оценить эффективность несущего каркаса сооружения, уточнить принятые значения геометрических и физиче-ских констант, выполнить проверку на резонанс. Модальный анализ предшествует другим видам динамического анализа.

Определенное практическое значение частотный анализ имеет при конструировании граничных условий. Установлено, что каждая

138

дополнительная связь смещает основной тон и все обертоны конечно-элементной модели в сторону повышения частот, и наоборот освобо-ждение от связей приводит к понижению собственных чисел (сво-бодный объект в общем случае имеет шесть нулевых собственных значений). Отсюда актуальной является проблема собственных чисел для пространственных конструкций, собираемых в определенной по-следовательности из отдельных фрагментов (секций).

В большинстве практических задач влиянием демпфирования на частоты и формы собственных колебаний пренебрегают. Свободные колебания конечно-элементной модели описываются матричным уравнением 0 WKWM . (3.27)

Представим вектор-столбец узловых перемещений ансамбля эле-ментов в виде

titeeWW titi sincos, , где i – мнимая единица.

Тогда уравнение (3.27) можно записать в форме так называемого “векового” уравнения 02 WMК . (3.28) Зависимость (3.28) представляет обобщенную собственную пробле-му.

Система (3.28) имеет нетривиальное решение 0W только тогда, когда определитель характеристического уравнения равен ну-лю 02 MK . (3.29)

В развернутом виде выражение (3.29) представляет харак-теристический полином n -го порядка ( nn – размерность матриц K и M ), имеющий n упорядоченных неотрицательных корней

21 2

2 … 2n . Как отмечалось ранее в пп. 3.6.1, действитель-

ные величины 2ii называют собственными числами, а соответ-

ствующие векторы iW – собственными формами или модами сво-бодных колебаний. Собственные числа и формы еще называют соб-ственными парами.

Отметим, что частотный спектр ряда стержневых конструкций,

139

обладающих осевой симметрией геометрии, упругих свойств и гра-ничных условий, может включать группы очень близких или одина-ковых (кратных) собственных значений. Соответствующие собст-венные формы будут представлять собой свободные колебания в «противофазе».

На практике для вычисления низших частот и мод собственных колебаний используют методы Ланцоша и итераций векторных под-пространств. Рассмотрим подробно алгоритм второго метода [5]. Шаг 1. Назначаем начальные векторы-столбцы ,}{ 1u ...,}u{ 2

q}u{, , где )8,2(min ppq - число одновременно итерируемых векторов; p – число искомых первых собственных значений )pq( . Начальные векторы должны включать те степени свободы, которые соответствуют наибольшим массам и наименьшим жесткостям. По-этому 1}{u формируем из диагональных элементов матрицы ]M[ ; векторы q,,,l,}u{ l 32 делаем единичными. Каждому i -ому элементу l}u{ , соответствующему наименьшему отношению

iiii m/k , присваиваем значение единицы. В результате получим матрицу 21

)()( }{}{[][ uuu

qno

]}{ qu , где n – порядок матриц ]K[

и ]M[ после исключения „лишних” строк и столбцов, соответст-вующих внешним связям. Шаг 2. Начало итерационного цикла. Решаем систему уравне-ний типа

,][][][][ )1()( kk uMuK где k – номер итерации (рекомендуемое максимальное количество k=15). Отсюда получаем матрицу )k(]u[ . Шаг 3. Формируем „проекции” матриц ]K[ и ]M[ на подпро-странство. Для этого в каждом итерационном цикле вычисляем

)()()()()()( ][][][][,][][][][ kTkkk

Tkk uMuMuKuK .

Шаг 4. Решаем вспомогательную задачу на собственные значе-ния обобщенным методом Якоби:

)()()()()( ][][][][][ kkkkk QMQK .

Здесь ][][ )()()(22

)(11)(

kqq

kii

kkk diag – диагональная матри-

ца собственных значений, выстроенных в порядке возрастания;

140

)(][ kQ – матрица соответствующих собственных векторов. Шаг 5. Определяем „улучшенные” приближения к искомым собственным векторам по формуле

)()()( ][][][ kkk Quu . Найденные собственные векторы удовлетворяют условиям обобщенной ортогональности, т. е.

][][][][,][][][][ )()()()()( IuMuuKu kTkkk

Tk ,

где ][I – единичная матрица порядка p . Шаг 6. Проверяем сходимость итерационного процесса. В каче-стве критерия используем условие

pikii

kii

kii

,,2,1,)(

)1()(

,

где 810 . Если это условие выполняется, итерационный процесс заканчиваем. В противном случае переходим к шагу 2. Шаг 7. Проверяем по Штурму правильность определения тре-буемых собственных значений. Для этого вычисляем сдвиг S мат-рицы ]K[ , осуществляющий преобразование типа

][][][ MKK S . Выполняем разложение преобразованной матрицы жесткости по формуле

TLDLK ][][][]][ , где ][ L – нижняя треугольная матрица; ][ D – диагональная матрица. Вычисляем количество t отрицательных диагональных элементов матрицы ][ D . Проверку считаем выполненной, если pt . В заключение вычисляем нормы ошибок:

)(

)()(

)(

}{][

}{][}{][

k

kkiik

uK

uMuK .

Вычислительное ядро разработанного программного комплекса реализовано на Фортране 90 с использованием двойной точности и процедур матричной алгебры математической библиотеки IМSL. Пре и постпроцессорные модули разработаны на базе графических

141

функций системы Маtlab. Ввод исходной информации о геометрии и топологии расчетной модели осуществляется фрагментарно (по конг-ломератам КЭ) с использованием процедур приращений и сшивки. Граничные условия вводятся по геометрическому принципу путем последовательной обработки поверхностей, на которые наложены связи. Конечно-элементную модель, номера узлов и элементов для любой расчетной схемы можно проконтролировать с помощью спе-циальной препроцессорной программы. Хранение матриц ][K и ][M ансамбля элементов организовано в виде динамических массивов в разреженном строчном формате. Для решения результирующей сис-темы уравнений (шаг 2) предусмотрено использование методов Хо-лецкого ( TLDL -факторизации) и сопряженных градиентов. Послед-ний метод эффективен для задач большой размерности (более 5000 неизвестных), т. к. не требует упорядочивания портрета глобальной матрицы жесткости. При использовании метода сопряженных гради-ентов проверка по Штурму (шаг 7) не выполняется.

3.10. Примеры расчета частот и форм свободных колебаний С целью апробации разработанной программы модального ана-лиза решены следующие числовые примеры. Пример 1. Требуется выполнить анализ свободных колебаний в плоскости наибольшей жесткости двухшарнирной балки двутаврово-го (№ 30) поперечного сечения длиной l =6 м. Масса погонной длины балки mq =36,5 кг/м. Расчет выполняем для трех вариантов равно-мерной разбивки балки на 6, 12 и 24 конечных элемента. Точные значения частот свободных колебаний балки определя-ются по формуле [8]:

...,3,2,1,2

22 k

qJE

lk

mk

.

Результаты вычислений первых четырех частот сведены в табл. 3.1. Значения частот, найденные на сетке 12 КЭ с использовани-ем комплекса ANSYS10, составляют: 170,9 с-1; 679,6 с-1; 1327 с-1; 1514 с-1.

142

На рис. 3.47 последовательно показаны первые четыре формы свободных колебаний, полученные на сетке из 24 элементов с помо-щью разработанной программы.

Из полученных данных следует, что аналитическое решение не позволяет определить собственную частоту продольных колебаний балки (третий тон). Как видно из табл. 3.1, двукратное сгущение сет-ки весьма неравномерно повышает точность вычислений собствен-ных частот. При этом численные значения 4 оказываются больше

аналитического решения 3 .

Таблица 3.1

№ Тона

МКЭ , с-1 Аналитическое решение, с-1

6 КЭ 12 КЭ 24 КЭ

1 2 3 4

173,6 725,4 1325 1719

171,5 694,4 1322 1593

170,9 685,9 1322 1551

170,8 683,0 1537 2732

Рис. 3.47

0 1 2 3 4 5 6 0

0.2 0.4

Z2 , м

Z3 , м

Z , м2

Z3

0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4

Z2 , м

Z3 ,

Z , м2

Z3

0 1 2 3 4 5 6

-1 -0.5

0 0.5

0

1

2

3

4

5

6

Z2 , м

Z3 , м

Z , м2

Z3 6

0

1

2

3

4

5

Z 1

0 1 2 3 4 5 6 -0.4 -0.2

0 0.2 0.4

Z2 , м

Z3 , м

Z , м2

Z3

0 1 2 3 4 5 6

143

Следует отметить, что при модальном анализе, базирующемся на методе итераций векторных подпространств, необходимо внима-тельно подходить к назначению способа решения системы алгебраи-ческих уравнений. Так, в рассматриваемом примере при использова-нии метода сопряженных градиентов на сетке, образованной из 24 элементов, итерационный процесс расходится, а применение прямого метода Холецкого на этой же сетке обеспечивает сходимость. Пример 2. Требуется выполнить модальный анализ рамы с рав-номерно распределенными массами (рис. 3.48) в дву- и трехмерной постановках. Жесткости стоек и ригеля рамы полагаем постоянными. В качестве материала принимаем стальной двутавр № 24. Наиболь-шая жесткость рамы совпадает с плоскостью 32 ,0, ZZ .

Результаты двумерного анализа для первых четырех собствен-ных пар представлены на рис. 3.49. Полученные формы свободных колебаний в дву- и трехмерной постановках совпадают с результата-ми конечно-элементного анализа, представленными в [6].

Рис. 3.48

1 =157,0 с-1 Рис. 3.49 (см. также с. 144)

6м

6м6м 6мZ1

Z3

Z2

0

J, qm J, qm

J, qm

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0

1

2

3

4

5

6

Z2 , м

Z3 , м

Z 2

Z3

144

2 =181,1 с-1

3 =247,6 с-1

4 =275,8 с-1

Рис. 3.49. Продолжение

1 =10,72 с-1

Рис. 3.50 (см. также с. 145)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 0

1

2

3

4

5

6

Z2 , м

Z3 , м

Z 2

Z3

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0

1

2

3

4

5

6

Z2 , м

Z3 , м

Z3

Z 2

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 0

1

2

3

4

5

6

Z2 , м

Z3 , м

Z3

Z 2

0 1 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18 0

1

2

3

4

5

6

Z1

Z2 , м

Z3 , м

Z 2

Z3

Z1

145

2 =21,28 с-1

Рис. 3.50. Продолжение Данные трехмерного модального анализа для двух первых соб-ственных пар приведены на рис. 3.50. Для конечно-элементного мо-делирования пространственных свободных колебаний в неопорных узлах рамы удалялись ранее введенные связи в направлении глобаль-ной оси 1Z . Вполне очевидно, что более реалистичными являются простран-ственные формы свободных колебаний (рис. 3.50). Пример 3. Требуется вычислить первые три собственные пары для плоской рамы с шарниром (рис. 3.51). Принимаем, что элементы рамы выполнены из двутавра № 14. Стенка двутавра совпадает с плоскостью рамы таким образом, чтобы стойки и ригель имели наи-большую конструкционную жесткость.

Рис. 3.51

Рис. 3.52

-1 0

1 0

2

4

6

8

10

12

14

16

18 0

1

2

3

4

5

6

Z ,

Z2 , м

Z3 , м

Z3

Z 2

Z1

6м

6м 6м

2м

J, qmJ, qm

J, qm22

Z3 , м

Z , м2

Z , м1

01234567

8

12

86

42

0

53

13

1241

25

27

2442

10

34039

12

14

26

5251

28

23

43

146

Конечно-элементная модель рамы с шагом разбивки 0,5 м пока-зана на рис. 3.52 (значки ■ соответствуют узлам модели). Жирной точкой указано место расположения шарнира, обеспечивающего сво-бодный поворот относительно оси (направлена на наблюдателя).

1 10,07 с-1

2 77,17 с-1

3 108,1 с-1 Рис. 3.53

Данные численных расчетов приведены на рис. 3.53. Представ-ленные результаты модального анализа показывают, что в шарнир-ном соединении левой стойки с ригелем возникает дополнительная

1Z

0 2 4 6 8 10 12 0

1

2

3

4

5

6

7

8

Z3 , м

Z3

Z 2

-10 1 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Z3 , м

Z 2

Z3

-10 1 0 2 4 6 8 10

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Z3 , м

Z3

Z 2

147

угловая степень свободы. Как видно первоначально прямой угол в данном соединении изменяется. Для сравнения угол между правой стойкой, жестко соединенной с ригелем, для всех форм свободных колебаний остается прямым. Пример 4. Требуется определить две первые собственные пары для плоской статически определимой рамы с сосредоточенной массой

1,019·103 кг (рис. 3.54). Массу стоек и ригеля в расчете не учиты-ваем, также пренебрегаем моментом инерции массы . Стойки, ри-гель и консоль рамы имеют квадратное поперечное сечение с соот-ветствующими размерами ребер: 9,306 см; 13,16 см; 18,6 см. Модуль упругости материала 2·1011 Нм2. Конечно-элементная схема рамы показана на рис. 3.55 (значки ■ соответствуют узлам модели). Ранее в разделе 3.6.5 эта задача была решена методами перемещений и сил. Сравнивая результаты конечно-элементного решения (рис. 3.56) с данными, полученными разделе 3.6.5 ( 1 13,55 с-1; 2 118,6с-1), приходим к выводу, что значения соответствующих частот свобод-ных колебаний рамы хорошо согласуются. Выполнив модальный анализ для рассматриваемой рамы с по-мощью комплекса ANSYS10, на сетке с шагом 0,5 м получим сле-дующие значения частот: 1 13,52 с-1; 2 114,6с-1. Эти данные со-гласуются с решением , представленным на рис. 3.56.

Рис. 3.54

Рис. 3.55

Следует отметить, что в рассматриваемом примере итерацион-

mm

E

l/2

l=2м

m

l2

4J0,5J

0,25J0,25J

Z3 , м

Z , м2 1

2

3

4

1718

1920

2122

23

0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

5

6

00,5

1,01,5

2,02,5

3,07

9

11

13

15

8

10

12

14

16

148

ный алгоритм позволяет вычислить только первые две собственные пары. Это объясняется структурой матрицы масс, состоящей из двух ненулевых диагональных элементов. Кроме этого выполнить модальный анализ для рассматриваемо-го примера удается только при использовании прямого метода реше-ния системы линейных алгебраических уравнений. Метод сопряжен-ных градиентов в данном случае дает расходящееся решение. Пример 5. Требуется определить первые четыре собственные пары для плоской рамы с распределенной mq и сосредоточенной m массами (рис. 3.57). Материал рамы стальной двутавр № 14 (ригели двойной профиль). Длина пролета равна высоте рамы и составляет l 6 м. Конечно-элементную разбивку выполняем с шагом 0,5 м.

1 13,4с-1

2 113,9с-1

Рис. 3.56

Рис. 3.57

Результаты конечно-элементного расчета показаны на рис. 3.58.

Z3

Z2

Z3

Z2

Z1

Z3

Z2

0

l l l

l

l

J, qm J, qm

J, qmm qm l= 0,2

149

Для сравнения приведем первые две частоты, полученные в работе [1] методом перемещений:

mqJE

l 214

= 32,1 с-1; mqJE

l 225,11

= 92,3 с-1.

Данные значения хорошо согласуются с первой и третьей частотами, вычисленными численно с помощью МКЭ.

1 31,66 с-1

2 79,48 с-1

3 92,70 с-1

4 123,4 с-1

Рис. 3.58 Отметим, что в работе [1] исследовались только симметричные колебания. Конечно-элементное решение, учитывающее и кососим-метричные колебания, дает более полный спектр частот, в котором

0 5 10 15 20 0

2

4

6

8

Z2, м

Z3, м

Z3

Z 2

0 5 10 15 20 0

2

4

6

Z2, м

Z3, м

Z 2

Z3

0 5 10 15 20 0

2

4

6

Z2, м

Z3, м

Z 2

Z3

0 5 10 15 20 0

2

4

6

Z2, м

Z3, м

Z 2

Z3

150

первая и третья формы соответствуют симметричным колебаниям.

3.11. Конечно-элементный анализ вынужденных колебаний

Запишем систему дифференциальных уравнений, описывающих вынужденные колебания конструкции, в матричной форме с началь-ными условиями tPWKWCWM , (3.30) .)0(,)0( 00 WWWW (3.31)

Здесь обозначено: M , C , K – соответственно матрицы масс, демпфирования и жесткости ансамбля КЭ; WWW ,, – векторы-столбцы узловых перемещений, скоростей и ускорений;

tP - вектор-столбец узловых сил; 00 , WW – заданные векто-ры-столбцы узловых перемещений и скоростей, характеризующие начальное состояние конструкции в момент времени t=0. В случае установки демпфера (гасителя колебаний) уравнение (3.30) можно представить в виде

tPWDKWCWM , где ][ 2211 nnkk dddddiagD ][ – диагональная матрица внешнего демпфирования, суть которого состоит в исключении эф-фекта суперпозиции волн упругих колебаний в заданных узлах ко-нечно-элементной сетки. Элементы матрицы D вычисляем по формуле lcd kk

2 , (3.32) где k – номер степени свободы, соответствующей перемещению j -го узла, соединенного с демпфером, в направлении глобальной оси

iZ 13 ijk ; – коэффициент внешнего демпфирования )( ; с –скорость распространения поперечной волны в материале конст-рукции; l – конструктивная длина стержня, соединенного с демпфе-ром. Произведение 2с , входящее в выражение (3.32), имеет размер-ность такую же, как модуль упругости материала.

Система (3.30), (3.31) может быть решена с помощью специаль-но разработанных для МКЭ процедур прямого интегрирования по временной координате, например методами [5]: центральных разно-

151

стей; Хаболта; Вилсона; Ньюмарка и другими. Все эти методы осно-ваны на разбиении временного интервала, в течение которого рас-сматривается движение, на n равных отрезков (шагов) t . Величина шага t назначается так, чтобы с достаточной точностью учитыва-лись вклады только низших собственных частот, которые играют наиболее существенную роль в динамическом поведении конструк-ции. Как будет показано ниже, выбор значения t зависит от закона изменения внешнего воздействия tP .

Рассмотрим алгоритм метода Ньюмарка, который используется в большинстве современных вычислительных комплексов. Метод ос-нован на предположении о линейном законе изменения ускорения

)(tw на интервале ],[ ttt ii (рис. 3.59). Функции перемещения )(tw и скорости )( tw произвольной узловой точки, совершающей

колебания, представляются в виде отрезков степенных рядов

,)(

,2

)(

22

31

2

iiii

iiiii

wtawtwttw

wtawtwtwttw

(3.33)

где 1a , 2a – числовые параметры, определяющие остаточные члены степенных разложений функций )(tw и )( tw на интервале

],[ ttt ii .

Рис. 3.59

Заменяя w приближенным разностным отношением tww ii /1 , преобразуем выражения (3.33) к виду

.

,2

121

12

12

1

iiiii

iiiiii

wwtawtww

wwtawtwtww

(3.34)

t t +ti

i 1+

0 ti i

w

ww

152

Найдем из первого равенства (3.33) величину 1iw :

iiiii wa

wta

wwta

w

1112

11 2

1111 . (3.35)

После подстановки (3.35) во второе равенство (3.34), получим

iiiii waatw

aa

wwta

aw

1

2

1

21

1

21 2

21 . (3.36)

Выражения (3.35) и (3.36) являются рекуррентными соотношениями метода Ньюмарка. Для вычисления векторов-столбцов перемещений 1iW , скоростей 1 iW и ускорений 1 iW в момент

1 ii ttt (см. рис. 3.35) уравнение движения записываем в виде 1111 iiii tPWKWCWM .

После подстановки в него выражений (3.35) и (3.36) и преобра-зования к компактной форме, получим матричное уравнение вида

11 ii FWA , (3.37)

где Mta

Cta

aKA 2

11

2 1

;

iiii W

taW

taMtPF

121

1111][)(

iii W

aa

Wta

aCW

a11

21

1

2

1

2

1

iW

aat 2

2 1

2 .

В начале алгоритма Ньюмарка, исходя из заданного шага интегриро-вания t , формируется матрица ][ А , после чего она приводится к треугольному виду и до завершения вычислительного процесса не изменяется. Правая часть уравнения (3.37) пересчитывается на каж-дом шаге интегрирования. Векторы-столбцы узловых ускорений и скоростей вычисляем по формулам:

153

iiiii Wa

Wta

WWta

W

1

2111

112

11 ;

tWaWaWW iiii ][ 1221 1 . Для обеспечения устойчивости алгоритма прямого интегрирова-ния параметры 1a и 2a должны удовлетворять следующим условиям:

2a 0,5 и 1a 0,25( 2a + 0,5)2. В работе [5] приведены рекомендации по назначению величин 1a и 2a . Так, если требуется приближенно учесть внутреннее демпфирование, то следует принять 1a = 0,28 и

2a 0,55. Без учета искусственного рассеивания энергии максималь-ная точность метода Ньюмарка достигается при 1a =0,25 и 2a =0,5. Шаг интегрирования вычисляем по формуле

1/2 kt , где k – целое положительное число (k =10, 20, 30, …); p – угловая частота p -го тона колебаний. Учитывая, что наибольший практиче-ский интерес представляют первые (низшие) моды, обычно ограни-чиваются 3p . Точность численной процедуры прямого интегриро-вания обеспечивается соответствующим назначением величины шага

t . При уменьшении шага интегрирования точность повышается, однако увеличивается время, затрачиваемое на вычисления. В качест-ве критерия сходимости обычно принимается стабилизация получае-мых максимальных значений амплитуд в исследуемых точках модели при двукратном уменьшении шага интегрирования.

Заметим, что для запуска алгоритма метода Ньюмарка требуется задать в момент времени t=0 векторы-столбцы 0W , 0W , 0W (начальные условия). Для упрощения в расчетах принимают:

00 W ; 00W ; 00 W . Схема прямого интегрирования, основанная на методе Ньюмар-

ка, является “безусловно устойчивой” и “неявной”. Термин “безус-ловно устойчивая” схема означает, что независимо от величины шага

t метод Ньюмарка сходится. Термин “неявная” схема указывает на то, что компоненты вектора-столбца перемещений являются функ-циями предыдущих (известных) и текущих (неизвестных) векторов

t

154

перемещений, скоростей и ускорений.

3.12. Примеры расчетов на вынужденные колебания Пример 1. Требуется определить амплитудные значения проги-ба в центре двухшарнирной балки (рис. 3.60) при различных зако-нах изменения внешнего динамического воздействия tP (рис. 3.61). Считаем, что балка выполнена из стального прокатного двутавра № 30. Общую массу балки приводим к центру пролета.

Рис. 3.60

а) б) в) г) д)

Рис. 3.61

Балку разбиваем с равномерным шагом на 24 элемента. Предва-рительно выполнив модальный анализ, устанавливаем, что угловая частота первого тона составляет 1 116,2 с-1. На рис. 3.62 приведены графики )(tw , полученные для варианта внезапного приложения нагрузки кН100 P (рис. 3.61, а) при значе-ниях шага t , равных 10/T (рис. 3.62, а) и 20/T (рис. 3.62, б). Зна-чение периода первого тона численно равно 1/2 T 0,05407 с. Установлено, что с двукратным уменьшением величины t значение максимального прогиба не изменяется. При этом улучшается только вид графика на пиках. Для данного вида нагружения коэффициент динамичности принимает значение = 2.

а) б)

w

Z3

Z1

Z26м

m

P(t)w(t)

0PP(t)

t0 t1

S(t)

t0

1S

P(t)0P

0Pt0

P(t)

t0 t1

1P

tt1

P(t)

0P

0

155

Рис. 3.62

а)

б)

в)

г)

Рис. 3.63

На рис. 3.63, а представлен график для варианта нагруже-ния балки, внезапно приложенной нагрузкой , действую-щей в течение времени (рис. 3.61, б).

На рис. 3.63, б показано, как меняется прогиб балки при линейном нарастании нагрузки от 0 при = 0 до при

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 -6

-5

-4

-3

-2

-1

x 10 -3

w, м

t, с

w .10-3

-1

-2

-3

-4

-5

-6t, c0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

,м

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

-6

-5

-4

-3

-2

-1

x 10 -3

w, м

t, с

w .10-3

-1

-2

-3

-4

-5

-6t, c0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3

,м

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 -6

-4

-2

0

2

4

6 x 10 -3

w, м

t, c

6

4

2

0

-2

-4

-6

w .10-3,м

0 0,2 0,4 0,6 1,0 1,2 1,4 t, c1,60,8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 -4

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

x 10 -3

w, м

t, c

w .10-3,м

0 0,2 0,4 0,6 1,0 1,2 1,4 t, c1,60,8

-0,5-1-1,5-2-2,5-3-3,5-4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 -8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

x 10 -3

w, м

t, c

w .10-3,м

0 0,2 0,4 0,6 1,0 1,2 1,4 t, c1,60,8-8-7-6-5-4-3-2-101

0 0.05 0.1 0.15

0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 -5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5 x 10 -4

w, м

t, c

-4-3

-1-2

-5

01234

t, c0 0,1 0,3 0,40,2 0,5

5w .10-3,м

)(twкН100 P

с11 t)(tw

t кН101 P

156

(рис. 3.61, в). Практическое значение имеет импульсный закон нагружения (рис. 3.61, г), описываемый выражением вида

,

где функция формы импульса , , Пара-

метры импульса: ; . График , полученный при импульсном воздействии на балку, показан на рис. 3.63, в. Решение задачи при гармоническом возбуждении колебаний по закону (рис. 3.61, д) имеет вид

tPtP sin)( 0 , где – угловая частота внешнего воздействия, представлено на рис. 3.63, г. Вычисления выполнялись при = 546 с-1. Шаг интегри-рования t принимался равным 20/T . В данном случае на пиках графика прослеживается эффект биения, обусловленный наложением свободных и вынужденных колебаний. Выполним анализ вынужденных колебаний для двухшарнирной балки с распределенной массой mq (рис. 3.64) при гармоническом возбуждении колебаний ( кН100 P , = 546 с-1). Значение t при-нимаем равным 20/T . Частота первого тона свободных колебаний 1=170,9 с-1 (табл. 3.1).

Рис. 3.64

На рис. 3.65, а и 3.65, б приведены графики )(tw , полученные

по стандартной схеме Ньюмарка ( 1а =0,25 и 2а =0,5) и с учетом ис-кусственного демпфирования ( 1а =0,28 и 2а =0,55).

Как видно из рис. 3.65, б, время переходного процесса составля-ет около 1,5 с. При этом следует отметить, что значения прогибов на этапе t 1,5 с почти в три раза превышают прогибы установившихся (стационарных) колебаний. Безусловно, это существенное обстоя-

с7,01 tt

)()( 0 tSPtP

tBetAtS )(1

1t

B 1

1t

eSA

1,01 t 0,21 S )(tw

Z3

Z1

Z26м

P(t)w(t) qm

=P0 sin t.

157

тельство необходимо учитывать в практических расчетах. В приложении 9 приведена программа на языке APDL для рас-чета вынужденных колебаний рассматриваемой балки с использова-нием комплекса ANSYS10. На рис. 3.65, в и 3.65, г приведены графики резонансных

)( 1 колебаний балки )(tw , полученные соответственно без уче-та и с учетом демпфирования. В первом случае амплитудное значение перемещения в центре балки при t 2,8 с достигает 0,4 м. Для срав-нения при = 546 с-1 амплитуда перемещения в центре балки со-ставляет 2,9·103 м.

а)

б)

в)

г)

Рис. 3.65.

Введение искусственного демпфирования позволяет получить

физически правдоподобную картину резонансных колебаний, харак-теризуемую начальным ростом перемещений до некоторой величины и последующей стабилизацией процесса. Пример 2. Для плоской рамы (рис. 3.66) требуется построить

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

-1

-0.5

0

0.5

1

x 10 -3

w, м

t, c

-1

-0,5

0

0,5

1w .10-3,м

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 t, c

0 0.5 1 1.5 2 2.5

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x 10 -3

w, м

t, c t, c0 0,5 1 1,5 2-1

-0,8

-0,4-0,2

00,20,4

-0,6

0,60,8

1w .10-3,м

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

w, м

t, c

-0,3-0,2-0,1

00,10,20,3

w .10-3,м

0 1 2 3 4 t, c

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

w, м

t, c

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1

w .10-3,м

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 t, c

158

графики колебаний вдоль осей и в точках , , , приняв

=0,8 , = 4 кН, = 2 кН/м. Рама выполнена из двутавра № 14 (ригель двойной профиль). Стенка двутавра на стойках и ригеле ори-ентирована таким образом, чтобы жесткость конструкции в плоско-сти 32 ,0, ZZ была максимальной.

Рис. 3.66

Таблица 3.3

№ тона Значение угловой частоты , с-1

МКЭ Метод сил [7] 1 2

11,0 20,17

11,29 23,92

Раму считаем невесомой. Значения сосредоточенных в точках и масс равны =300 кг. Рама разбивалась на 36 конечных элемен-тов с равномерным шагом 0,5 м. Результаты модального анализа для первого и второго тонов приведены в табл. 3.3 и на рис. 3.67. Собственные частоты, получен-ные с помощью МКЭ, сравнивались с данными работы [7]. Приве-денная на рис. 3.67 форма колебаний второго тона в шарнире имеет излом, что отличает ее от собственной формы, априори принятой в работе [7] в виде лекальной кривой.

На основании частоты первого тона назначаем шаг интегриро-вания , где соответствующий период свободных колебаний

. Затухание свободных колебаний не учитываем.

2Z 3Z А В С

1 0Р 0q

J J 4м

3м2м 2м3мZ1

Z3

Z2

0

J2P(t)== sin t.P0

q(t) = sin t.q0

m mA BC

i i

АВ m

20/Tt

12 /T

159

Графики колебаний в точках A, B , C в направлении осей 2Z и

3Z представлены соответственно на рис. 3.68, а, б, в. Сравнивая кривые горизонтальных динамических перемещений

)t(w Z 2 в исследуемых точках, устанавливаем, что они полностью

совпадают.

Рис. 3.67

Максимальная амплитуда колебаний в вертикальном направле-

нии )(3

tw Z имеет место в точке B (рис. 3.68, б). В шарнире C дина-

мические перемещения )(3

tw Z минимальны (рис. 3.68, в).

Картины статических перемещений 2Zw и

3Zw для рассмат-

риваемой рамы представлены соответственно на рис. 3.69, а и 3.69, б.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Z3, м

Z 2

Z3

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0

1

2

3

4

5

Z3, м

Z , м

Z3

Z 2 2

160

а)

б)

в)

Рис. 3.68

0 5 10 15 20 25

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25 wZ2, м

t, c -0,25-0,2

-0,15-0,1

0-0,05

0,050,1

0,150,2

0 5 10 15 20 25 t, c

w ,мz2

0 5 10 15 20 25 -0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

wZ3 , м

t , c 0 5 10 15 20 25 t, c-0,03

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

w ,мz3

0 5 10 15 20 25

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

wZ2 , м

t , c -0,25-0,2

-0,15-0,1

0-0,05

0,050,1

0,150,2

0 5 10 15 20 25 t, c

w ,мz2

t, c

0 5 10 15 20 25

-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

wZ3 , м

t , c 0 5 10 15 20 25-0,05-0,04-0,03-0,02-0,01

00,010,020,030,04

w ,мz3

t, c

0 5 10 15 20 25

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

wZ2 , м

t , c -0,25-0,2

-0,15-0,1

0-0,05

0,050,1

0,150,2

0 5 10 15 20 25 t, c

w ,мz2

0 5 10 15 20 25

-0.015

-0.01

-0.005

0

0.005

0.01

0.015

wZ3 , м

t , c 0 5 10 15 20 25 t, c

w ,мz3

-0,015-0,01

-0,0050

0,0050,01

161

а)

б)

Рис. 3.69

Коэффициент динамичности определим как отношение доми-

нирующего горизонтального динамического перемещения динZw

2( 0,25 м) к соответствующему горизонтальному статиче-

скому перемещению ( стZw2

0,054 м): = 0,25/0,054 = 4,6.

-1 0

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11

0

1

2

3

4

0.05371

0

0.01852

0.03501

0.04741

0.05369

0

0.01706

0.03267

0.04536

0.05368 Z3 м

Z2, м

Z1, м

-1 0

1 2

3 4

5 6

7 8

9 10

11 0

1

2

3

4

0.005129

0

8.94e-006

1.788e-005

-0.000756

0.002876

0.004875

0

-2.043e-005

-4.087e-005

-0.01243 Z3, м

Z2, м

Z1, м

162

3.13. Численное моделирование сейсмического возбуждения колебаний

При кинематическом возбуждении колебаний уравнение движе-ния для ансамбля конечных элементов с распределенными и сосредо-точенными массами представим в виде

WMdiagWKWCWM ][ . Здесь обозначено: W – вектор-столбец ускорений, заданных

в опорных узлах модели; ][ Mdiag – диагональная матрица сосредо-точенных в основании конструкции масс, эквивалентных общей мас-се конструкции. Зависимость tW ~ , описывающую закон кинемати-ческого возбуждения колебаний, называют акселерограммой. В каче-стве модельной (синтезированной) акселерограммы примем цикличе-скую гармоническую функцию с переменным периодом вида [1]: tetAtW tB sin)( , (3.38) где A, B – константы, вычисляемые в зависимости от параметров импульса: 1/1 tB , 11 /)( teSA ; – угловая частота кинематиче-ского возмущения. На рис. 3.70 приведен график модельной акселе-рограммы для параметров: 1t =0,1 с; 1S =4 мс2; =60 с-1. Величина

1S определяет максимальное значение ускорения. Следует учиты-вать, что в отличие от вибрационного возмущения колебаний время воздействия сейсмической нагрузки на сооружение не продолжи-тельно (от 2 до 5 с).

Рис. 3.70

Рассмотрим основные физико-механические особенности сейс-

w (t)

t0

2

4

-2

-4

163

мического воздействия. На практике мощность землетрясения оцени-вается по количеству выделившейся энергии, измеряемой в магниту-дах по 12 бальной шкале Рихтера. Оценку несущей способности со-оружения выполняют на основании экспериментальных геофизиче-ских данных об ускорениях на поверхности грунта (акселерограмм).

С математической точки зрения каждая акселерограмма являет-ся реализацией случайного процесса. Поэтому в строгой постановке расчет на сейсмическое воздействие должен выполняться с использо-ванием стохастической (вероятностной), а не детерминированной ме-ханико-математической модели. Однако такой подход в виду его сложности не получил широкого распространения. Существенно уточнить динамический расчет позволяет использование пространст-венно-временной схемы дискретизации исследуемого объекта и чис-ленного решения уравнения движения. При этом считают, что карка-сы зданий и сооружений высотой до 25 м испытывают только гори-зонтальную сейсмическую нагрузку. Для объектов высотой свыше 25 м учитывается также вертикальная составляющая сейсмической вол-ны. Причем сейсмическое воздействие может иметь произвольное направление по отношению к расположению здания. В этой связи расчетчику необходимо оценить наиболее опасные сценарии поведе-ния проектируемого сооружения при виртуальном землетрясении.

В отечественной практике проектирования учитывают только землетрясения интенсивностью 7, 8 и 9 баллов, что примерно соот-ветствует амплитудам ускорений 1, 2 и 4 м/с2. При этом считается, что капитальное строительство в зонах с возможным землетрясением в 9 баллов не допустимо. Важной характеристикой, позволяющей оценить влияние сейс-мического воздействия на сооружение, является величина смещения грунта . В качестве расчетной зависимости, устанавливающей

связь между величиной и интенсивностью землетрясения I , мож-

но использовать эмпирическое выражение вида ,

где величины и I измеряются соответственно в миллиметрах и

0u

0u

Iu 78,06,40 10

0u

164

баллах. На рис. 3.71 приведен график Iu ~0 для Ставропольского края, где возможно землетрясение в 7 баллов.

Рис. 3.71

Бальность района строительства устанавливается на основании карт общего сейсмического районирования территории Российской Федерации, утвержденных Российской академией наук [9]. Парал-лельно Госстроем России введен список конкретных населенных пунктов с указанием вероятности на их территории землетрясений повышенной бальности. Рассмотрим особенности конечно-элементного моделирования поведения пространственной стержневой системы при кинематиче-ском способе возбуждения колебаний на конкретном числовом при-мере. Пример. Требуется исследовать поведение пятиэтажной про-странственной рамы при кинематическом возбуждении колебаний, имитирующих землетрясение в 9 баллов. Расчетная схема рамы при-ведена на рис. 3.72. Полагаем, что все опорные точки рамы движутся синхронно по одинаковому закону. Стержни рамы сечением 0,40,4 м, выполнены из монолитного железобетона ( Е =29·103 МПа, mq=384 кг/м). Конечно-элементную сборку рассматриваемой схемы осуществляем по фрагментарному способу. Для этого раму предвари-тельно представим в виде конгломерата, состоящего из 25 фрагмен-тов 2521 Ф,...,Ф,Ф (рис. 3.73).

01234567

1 2 3 4 5 6 7 I, баллы

u , мм0

165

Рис. 3.72

Рис. 3.73

Используем два типа повторяющихся фрагментов (рис. 3.74), из

Z3

Z1

w (t)1 w (t)1w (t)1

Z3

Z2mmm m m m

w (t)2 w (t)2w (t)2

6м 6м 3м

3м

3м

3м

3м

3м

3м

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

1Ф

Ф2

Ф3

Ф4

Ф5

Ф6

Ф7

Ф8

Ф9

Ф10

Ф11

Ф12

Ф13

Ф14

Ф15

Ф16

Ф17

Ф18

Ф19

Ф20

Ф21

Ф22

Ф23

Ф24

Ф25

166

которых в определенной последовательности собирается рама. Целе-сообразность данной процедуры объясняется удобством представле-ния первичной топологической информации для фрагментов, имею-щих независимую нумерацию узлов и локальную систему координат.

Рис. 3.74

Сшивку фрагментов выполняем в следующей последо-

-1 0

0 1

2 3

4 5

6 0

0.5

1

1.5 2

2.5

3

Z1, м

19 16 13 10 7 4 1

20

21

22

23

24

2 5 8 11 14 17

25

26

27

Z2, м

28

29

30

3 6 9 12 15 18

31 Z3,м

01

23

45

6

Z

Z

Z

1

3

2, м

, м

, м 1 4 7 10 15 16 19 32 35 38 414744

2022232425

2165

43

21

0

-1-0.5

00,5

1

2 5 8 11 14 17

3336 39 42 45 48

2627

282930

3 6 9 12 15 18 31 34 37 40 43 46 49

167

вательности: 1 – 2; 2 – 3; 2 – 4; 4 – 5; 1 – 6; 6 – 7; 2 – 8; 7 – 8; 7 – 9; 4 – 10; 9 – 10; 6 – 11; 11 –12; 12 – 13; 7 – 13; 12 – 14; 9 – 15; 14 – 15; 11 – 16; 16 – 17; 17 – 18; 12 – 18; 17 – 9; 14 – 20; 19 – 20; 16 – 21; 21 – 22; 22 – 23; 17 – 23; 22 – 24; 19 – 25; 24 – 25. Здесь цифры соответствуют номерам фрагментов. В итоге общее число стыков фрагментов соста-вило 32. В процессе сшивки фрагментов по точкам с одинаковыми координатами формируется глобальная нумерация узлов модели. Каркасная модель пятиэтажной рамы, полученная в результате фрагментарной сборки, приведена на рис. 3.75. На первом этапе выполним модальный анализ для рамы, нижние стойки которой имеют жесткие связи с основанием. Расчет выполня-ем для 12 собственных пар. Выборочные результаты модального ана-лиза представлены на рис. 3.76. Видно, что два первых тона очень похожи и обуславливают колебания рамы в плоскости наименьшей жесткости параллельной координатной плоскости 31 0 ZZ . Далее на-блюдаются крутильные (моды три и шесть), вертикальные (моды де-вять и десять) и комбинированные (мода двенадцать) формы колеба-ний рамы.

Рис. 3.75

168

= 13,44 с-1

= 16,23 с-1

3 = 19,18 с-1

4 = 43,09 с-1

Рис. 3.76 (см. также с. 169)

1 2

169

6 = 58,73 с-1

9 = 92,03 с-1

Рис. 3.76 (см. также с. 169)

10 = 93,27 с-1

12 = 105,2 с-1

Рис. 3.76. Продолжение На втором этапе исследуем динамический отклик рассмат-риваемой пространственной стержневой системы на кинематическое

170

возмущение, моделируемое функцией (3.38) с параметрами: 1t =0,1 с;

1S =4 мс2; =60 с-1. Для учета особенности приложения динамиче-

ской нагрузки расчетную схему рамы скорректируем следующим об-разом. В нижней части рамы вводим невесомые фиктивные стержни длиной 0,5 м с уменьшенным на порядок модулем упругости. Эти стержни, показанные штриховыми линиями, связываем с неподвиж-ным основанием шарнирными связями (см. рис. 3.71). Таким образом, стержневая система фиксируется от смещений как жесткое целое. В точках фактического опирания рамы на основание ( 3Z = 0) распола-гаем сосредоточенные массы m = 124·103 кг, в сумме равные массе всей конструкции (9 m = 1116·103 кг). Динамическую нагрузку при-кладываем, задавая ускорения сосредоточенных масс m сначала в положительном направлении оси 1Z – )t(w1 , а затем в направлении

оси 2Z – )t(w 2 (см. рис. 3.72). Раздельное приложение горизон-тальной нагрузки позволяет оценить продольную и поперечную ди-намическую жесткость рамы. Шаг интегрирования по временной ко-ординате назначаем исходя из периода колебания девятого тона:

209 /Tt , где 9Т =0,06827 с.

Графики относительных динамических перемещений )t(w ра-мы в точках 2, 3, 4, 5, 6, расположенных на оси рамы (см. рис. 3.72), приведены на рис. 3.77. Здесь слева представлены графики колебаний вдоль оси 1Z , справа – графики колебаний вдоль оси 2Z . Перемеще-

ния )t(w в точках 2, 3, 4, 5, 6 являются относительными величинами, т. к. для каждого момента времени вычислялись как разность дейст-вительных смещений данных узлов и перемещений первой точки. Та-ким образом, исключалось совместное смещение рамы и основания. Из приведенных графиков )t(w видно, что наибольшие ампли-тудные перемещения (около 0,3 м) наблюдаются при кинематическом воздействии вдоль оси 1Z в точке 4. Также эта точка получает наи-большее амплитудное смещение (около 0,2 м) при действии внешнего возмущения вдоль оси 2Z . Следует отметить, что точка 4 располо-

t

171

жена на уровне пола четвертого этажа пятиэтажной рамы.

Точка 2

Точка 3

Точка 4

Рис. 3.77 (см. также с. 172)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

t, c

w, м

0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c-0,04-0,03-0,02-0,01

00,010,020,030,04

w ,мz1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

w, м

t, c 0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c-0,04-0,03-0,02-0,01

00,010,020,030,04

w ,мz2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

t, c

w, м

0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c-0,08-0,06-0,04-0,02

00,020,040,060,08

w ,мz1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

t, c

w, м

0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c

w ,мz2

-0,06-0,04-0,02

00,020,040,06

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1

t, c

w, м

0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c

-0,1

-0,05

0

0,05

0,1w ,мz1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

t, c

w, м

0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c-0,08-0,06-0,04-0,02

00,020,040,060,08

w ,мz 2

172

Точка 5

Точка 6

Рис. 3.77. Продолжение Колебания точки 2 рамы в направлениях 1Z и 2Z практически идентичны и имеют выраженный затухающий характер. В точке 6, соответствующей верхней отметке, амплитудные зна-чения перемещений )t(w наименьшие (около 0,07 м), т. е. вопреки ожиданиям рама не раскачивается по схеме консоли, а работает на изгиб в соответствии с четвертым тоном собственных колебаний (см. рис. 3.76). В качестве количественной оценки динамического воздействия на стержневую систему на каждом временном шаге вычисляем норму вектора узловых перемещений:

gn

ii twtW

1)()( ,

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

t, c

w, м

0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c-0,08-0,06-0,04-0,02

00,020,040,060,08

w ,мz1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 -0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

t, c

w, м

0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c-0,06-0,04

-0,02

0

0,02

0,04

w ,мz2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

t, c

w, м

0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c

-0,03-0,02-0,01

00,010,02

w ,мz 1

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

t, c

w, м

0 0,2 0,6 1,0 1,4 1,8 t, c

-0,02

-0,01

0

0,01

0,02

w ,мz2

173

где gn – общее число степеней свободы; iw – i -е узловое перемеще-ние. После завершения процесса прямого интегрирования определяем величину maxW , а также соответствующий номер шага и момент

времени t . Далее вычислительный процесс повторяется для временного ин-

тервала ],0[ t . При этом полученный вектор узловых перемещений

ttW }{ используется для визуализации формы максимального от-

клонения рамы от исходного состояния, а также с помощью него можно вычислить текущие значения внутренних усилий в стержнях рамы. Картины деформации исследуемой рамы при кинематическом воздействии вдоль оси 1Z (496 шаг) и вдоль оси 2Z (85 шаг) пред-ставлены на рис. 3.78, а, б. Здесь для компонент узловых перемеще-ний iw использован масштабный коэффициент 10:1.

Интересно отметить, что при возбуждении колебаний в направ-лении оси 1Z кроме горизонтальных перемещений в узлах средних и правых стоек рамы появляются вертикальные перемещения (рис. 3.78, а). При кинематическом воздействии на раму вдоль оси

2Z наблюдаются вертикальные перемещения на левых стойках (рис. 3.78, б).

а)

Рис. 3.78 (см. также с. 174)

174

б)

Рис. 3.78 Продолжение

Обнаружить опрокидывающий эффект позволило введение фик-тивных стержней, имитирующих связь несущего каркаса рамы с ос-нованием. Естественно, что при полученных амплитудных значениях гори-зонтальных перемещений следует ожидать серьезных повреждений несущих элементов каркаса, выполненных из монолитного железобе-тона. Вместе с тем не следует забывать, что в рассматриваемом при-мере имитировалось землетрясение в 9 баллов.

175

Заключение Требования, предъявляемые к результатам прочностного расчета строительных объектов повышенной сложности, обусловливают не-обходимость повышения числа неизвестных до 1 млн. и выше. По су-ти, современные программные комплексы, базирующиеся на конеч-но-элементном анализе, являются основными потребителями вычис-лительных ресурсов сетевых многопроцессорных систем. Вместе с тем, несмотря на высокий уровень автоматизации проектировочных расчетов, на долю конструктора-расчетчика отводится самая важная часть работы, связанная с выбором геометрических и физических па-раметров расчетной схемы, а также критериев оценки промежуточ-ных и конечных результатов решения задачи. В этой связи встает во-прос о сертификации специалистов, выполняющих расчеты ответст-венных объектов, т. к. любая самая дорогая и верифицированная про-грамма может дать неверный результат при ошибке расчетчика на этапе выбора расчетной схемы, конструирования граничных условий, интерпретации данных моделирования. Досадно, что в учебном плане мало времени отводится изучению математических методов строи-тельной механики и практическому освоению основ алгоритмизации и программирования метода конечных элементов. Знакомство сту-дентов с современным программным обеспечением чаще происходит на уровне перечисления названий и некоторых вычислительных воз-можностей коммерческих комплексов. Стержневые идеализации реальных конструкций находят самое широкое распространение в расчетной практике. Поэтому основное внимание в учебном пособии уделено классическим и численным ме-тодам расчета стержневых систем. К сожалению, из-за ограничений по объему читаемого курса вопросы, связанные с расчетами пластин и оболочек на устойчивость и динамический отклик, не нашли своего отражения в настоящем пособии. Хотя известно, что построение рас-четных схем на базе конгломератов, образованных из пластинчатых, оболочечных и стержневых конечных элементов, существенно рас-ширяет возможности моделирования в области строительства.

Не охваченными остались физически и конструктивно нелиней-ные задачи статики стержневых систем, а также расчеты на устойчи-вость с учетом ползучести.

176

Библиографический список

1. Смирнов А.Ф., Александров А.В., Лащеников Б.Я., Шапошников Н.Н. Строительная механика. Динамика и устойчивость соору-жений. – М.: Стройиздат, 1984. – 416с.

2. Леонтьев Н.Н., Соболев Д.Н., Амосов А.А. Основы строитель-ной механики стержневых систем.– М.: Изд. АСВ, 1996. – 541с.

3. Клейн Г.К., Рекач В.Г., Розенблат Г.И. Руководство к практиче-ским занятиям по курсу строительной механики.–М.: Высш. шк., 1972.–320с.

4. Воронцов Г.В., Резниченко А.И. Расчет плоских рам на проч-ность, устойчивость, свободные и вынужденные колебания: учеб. пособие/ НПИ – Новочеркасск, 1993. – 72с

5. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. – М.: Стройиздат, 1982 – 448с.

6. Синицын С.Б. Строительная механика в методе конечных эле-ментов стержневых систем. – М.: Изд. АСВ, 2002. – 320с.

7. Даниелов Э.Р. Устойчивость и колебания плоских рам: учеб. по-собие. – М.: Изд. АСВ, 2004.– 160с.

8. Бидерман В.Л. Теория механических колебаний. – М.: Высш. шк., 1980. – 408с.

9. СНиП II-7-81*. Строительство в сейсмических районах. – М.: Стройиздат, 1995. – 52с.

10. СНиП 11-23-81. Нормы проектирования. Стальные конструк-ции.– М.: Стройиздат, 1988. – 93с.

177

Приложения Приложение 1

Таблица значений реакций

для сжато-изогнутых стержней

Схема Эпюры моментов и реакции

N

N

1aRa

Ma

Rбб

M =3a i (v)1

ai (v)

1R = 3l

бi (v)

1R = 3l

N

N

1

a Ra

Ma

Rбб

M =a (v)1

i3l

ai (v)

1R = 3l 2

бi (v)

1R = 3l 2

N

N

1aRa

Ma

MбRбб

M =4a i (v)2

M =2б i (v)3

ai (v)

4R = 6l

бi (v)

4R = 6l

N

N

a Ra

Ma

MбRбб

1 M =a (v)4

i6l

M =б (v)4

i6l

ai (v)

2R =12l 2

бi (v)

2R =12l2

178

Приложение 2

Таблицы реакций для балок, используемые при расчете рам методом перемещений

Схема балки, эпюра моментов и реакции Формулы реакций

iM а 4 ; iM б 2 ;

liRR ба

6

liМM ба

6 ;

212l

iRR ба

lwvPM а2 ;

lwvPM б2 ;

PvwR a )21(2 ;

PwvR б )21(2

12

2lqМ а ; 12

2lqМ б ;

2lqRR бa

1

a бl

Ma MбRб

Rа

a б 1l

RaMa

MбRб

a бvl

P

wll

Ma MбRбRа

a бl

q

Ma MбRа Rб

179

Продолжение прил. 2

Схема балки, эпюра моментов и реакции Формулы реакций

iM а 3 ;

liRR бa

3

liM а

3 ;

23l

iRR бa

)1(2

2vlvPМ а ;

)3(2

2vvPR a ;

)3(2

2wwPR б

8

2lqM a ;

lqR a 85

; lqR б 83

1aб

l

MaRаRб

1aб

l

MaRб

Rа

aб

lvl wl

P

MaRбRа

aбl

q

MaRаRб

180

Приложение 3

Варианты заданий для самостоятельной работы*

Расчет плоской рамы на устойчивость Задание. Для плоской статически неопределимой рамы (рис. П3.1) с выбранными по шифру (три последние цифры в номере зачетной книжки) из табл. П3.1 размерами и нагрузкой требуется оп-ределить значения критических сил, используя метод перемещений. Таблица П3.1

Пер

вая

ци

фра

шиф

ра

1l ,

м 1h ,

м

Вто

рая

ци

фра

шиф

ра

2

1PP

2l ,

м

Трет

ья

цифр

а ш

ифра

(№

схе

мы) 2h ,

м 2

1JJ

1 4 4 1 1,2 4 1 2 0,9

2 5 10 2 1,3 5 2 0 0,8

3 6 9 3 1,4 6 3 0 0,7

4 7 8 4 1,5 7 4 0 0,6

5 8 7 5 1,6 8 5 0 0,5

6 9 6 6 1,7 9 6 0 1,2

7 10 5 7 1,8 10 7 0 1,4

8 11 3 8 1,9 11 8 4 1,5

9 12 11 9 2,0 12 9 5 1,6

0 13 12 0 2,5 13 0 6 1,8

*Митропольский М.Н. Строительная механика. Методические указа-ния и контрольные задания. – М.: Высш. шк., 1982. – 61с.

181

Рис. П3.1

Р1 Р2

2J

2J

2J

2J

2J

2J

2J

2J

2J

2J

2J

2J

2J

2J2J

2J2J2J

2J 2J

1J

1J 1J

1J

1J 1J

1J 1J

1J

1J 1J

1J

1J 1J

1J

1J

1J 1J

1J 1J 1J

2h1h

1l

1Р1 Р2

1h

1l 1l2l

2

Р1 Р2

1h1l 2l

4Р1 Р2

1h

1l 2l

3

Р1 Р2

1h

1l

Р1 Р21h

1l 1l2l

65

Р1 Р2

1h

1l

7

2l /22l /2

2hР1 Р2

1l 2l

1h

8

2h

Р1 Р2

1l 2l

1h

9

2h

Р1 Р2

1l 2l

1h

10

182

Методические указания Так как заданные сосредоточенные силы 1P и 2P действуют вдоль стоек, то грузовых эпюр в основной системе не будет, и сво-бодные члены канонических уравнений метода перемещений обра-тятся в нуль. Построение единичных эпюр для стоек следует выполнять с ис-пользованием специальной таблицы реакций для сжато-изогнутых стержней (приложение 1), а для ригелей – по обычным таблицам ме-тода перемещений (приложение 2). По заданию силы 1P и 2P связаны между собой соотношением

21 P/P , поэтому параметры продольной нагрузки для сжатых сто-ек 1v и 2v также окажутся связанными зависимостью:

1

2

2

1

2

1JEJE

hh

vv

.

Формируем матрицу коэффициентов канонической системы ме-тода перемещений:

2212

2111)( rrrr

R v ,

где коэффициенты jir , 21,j,i включают специальные функции )(1 v , )(2 v , )(3 v , )(4 v , )(1 v , )(2 v от параметра v .

Для нахождения крP составляем уравнение устойчивости:

0det)(det 2212211

2212

2111 rrrrrrr

R v . (П3.1)

“Вручную” уравнение (П3.1) решается методом “хорд” в сле-дующей последовательности (рис. П3.2): а) способом “пристрелки” задаются значениями 0v и 1v таким образом, чтобы величины

)]([det 0vR и )]([det 1vR имели разные знаки; б) по итерационной формуле

00

001 )]([det)]([det

)]([detvv

vvv

vv

ii

i RRR

, maxn,...,,i 21 ,

вычисляется величина 1iv ( maxn – формально назначаемое макси-мальное число итераций); в) начиная со второй итерации ( 2i ) вы-полняется оценка сходимости итерационного процесса по формуле

183

)]([det 1iR v , (П3.2) здесь 0010, – положительная малая величина. При выполнении условия (П3.2) вычисления прекращаются и принимается кр1 vv i . Следует иметь ввиду, что уравнение 0)]([det vR имеет несколько корней. Поэтому необходимо проверять, чтобы на отрезке [ 0v , 1v ] находился только один наименьший корень.

Рис. П3.2

В завершении задания по формулам:

21

121

кр1h

JEP

v , 2

2

222

кр1h

JEP

v

определяются значения критических сил в сжатых стойках рамы.

Динамический расчет плоской рамы Задание. Для плоской статически определимой рамы (рис. П3.3) с выбранными по шифру (три последние цифры в номере зачетной книжки) из табл. П3.2 размерами и нагрузкой требуется:

1) определить значения частот свободных вертикальных и гори-зонтальных колебаний (собственный вес системы не учиты-вается);

2) определить динамическое воздействие вертикальной вибра-ционной силы tP sin :

а) принять частоту вертикальной возмущающей силы , равной половине первой (минимальной) частоты собствен-ных колебаний 1 ; б) построить эпюру изгибающих моментов с учетом дина-мического действия силы P .

v0

v1v2v0 vкр

R( )vdet

R( )v 0det

R( )v 2detR( )v 1det

[ ]

[

[[

]

]]

184

Таблица П3.2

Пер

вая

цифр

а ш

ифра

l ,

м Q , кН В

тора

я ци

фра

шиф

ра

P , кН Тр

етья

ци

фра

шиф

ра

(№ с

хемы

)

JE , кН·м2

1 2,0 10 1 1,0 1 20000

2 2,5 20 2 2,0 2 25000

3 3,0 22 3 2,5 3 22500

4 2,2 18 4 1,5 4 22000

5 2,4 25 5 1,2 5 23000

6 2,8 24 6 3,0 6 21000

7 2,1 21 7 1,8 7 24000

8 2,3 23 8 1,6 8 23500

9 1,8 17 9 2,2 9 24500

0 2,6 16 0 2,6 0 21500

185

Рис. П3.3

6

8

9 10

2 3

l/2

l

Q

l2

Psint

l/2

l

Q

l2

Psint1

l2

l/2

Psint

l

Q

l2

Psint

l

l

Q4

l2

l/2

Psint

l

l

l

l

l

l

l l

l

Q5

l2

l2

l/2

PsintQ

l2 l2

Psint Psint

Psint

Q Q

Q

7

l

l2

l2

PsintQ

186

Приложение 4

Краткие сведения из матричной алгебры Матрица общего вида – это прямоугольный массив чисел, назы-ваемых элементами, представленный в виде таблицы

nmjmmm

nijiii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

A

......

......

......

......

][

21

21

222212

112111

.

Положение элемента jia в матрице ][ A определяется номером стро-

ки i и номером столбца j . Размерность или порядок матрицы опре-деляется произведением числа строк m на число столбцов n . Две матрицы ][ A и ][ B одинакового порядка ( nm ) равны, если

jiji ba , m,...,,i 21 , n,...,,j 21 . В матричной форме равенство

матриц записывается в виде ][][ BA . Матрица ][ A называется квадратной, если число строк равно числу столбцов nm . Элементы n,...,,i,a ii 21 образуют главную

диагональ матрицы ][ A . С квадратной матрицей )(

][nn

A

связан опре-

делитель n -го порядка

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

...

...

...

][det

21

22212

12111

.

Определители 2-го и 3-го порядков соответственно вычисляются по формулам:

122122112212

2111

)22(][det aaaaaa

aaA

,

187

133221332211

332313

322212

312111

)33(][det aaaaaa

aaaaaaaaa

A

113223332112132231312312 aaaaaaaaaaaa . Определители более высоких порядков вычисляются путем при-ведения исходной матрицы

)(][nn

A

к треугольному виду:

nn

n

n

a

a...aa...aaa...aaa

0000

000

333

323222

1312111

.

Процедура приведения матрицы к треугольному виду называется триангуляцией. После триангуляции определитель матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали:

nnnn

aaaaA ...][det 332211)(

.

При программной реализации перемножения диагональных элемен-тов матрицы большой размерности существует опасность переполне-ния разрядной сетки. Для исключения вероятности переполнения оп-ределитель следует вычислять с удвоенной точностью в виде

S

nnmA 10][det

)(

,

где

n

iii )a(sgnm

1 – мантисса определителя;

n

iiialgS

1 – зна-

чение порядка определителя. Квадратная матрица, для которой 0][det A , называется выро-

жденной (особенной). Матричная операция последовательной замены строк столбцами называется транспонированием и обозначается верхним символом

T]...[ . Пример транспонирования прямоугольной матрицы ][ B :

188

8127,4012

][ B ,

801217,42

][ TB .

Отметим, что при транспонировании несимметричной квадрат-ной матрицы диагональные элементы сохраняют свои ячейки, а транспонирование симметричной матрицы не имеет смысла. Квадратная матрица ][ A называется диагональной, если

,ji,a,ji,a

ji

jiприпри

00

n,...,,j,i 21 . Компактная форма записи диагональной матрицы имеет вид

]...[][ 332211 nnaaaadiagA . Квадратная диагональная матрица называется единичной, если

1jia , n,...,,j,i 21 . Единичная матрица обычно обозначается ].[ I Матрица, у которой симметрично расположенные относительно главной диагонали элементы равны, называется симметричной. При-мер симметричной матрицы:

8,45,105,171

012][C .

Основные операции матричной алгебры

1. Сложение (вычитание) матриц ][][][ BAC ,

где jijiji bac , m,...,,i 21 , n,...,,j 21 . Операция сложения (вычитания) матриц коммутативна, т. е.

][][][][ ABBA , ][)][][()][][(][ CBACBA .

2. Умножение матрицы на скаляр ][][ AuC ,

где u – вещественное число; jiji auc , m,...,,i 21 , n,...,,j 21 . 3. Результатом произведения матрицы ][ A размерностью )( rm справа на матрицу ][ B размерностью )( nr является матрица ][C размерностью )( nm . В матричной форме это выглядит так:

189

)()()(][][][nrrmnm

BAC

.

В символьном виде произведение матриц вычисляется по фор-муле

r

kjkkiji bac

1, m,...,,i 21 , n,...,,j 21 .

Отметим, что данное произведение матриц имеет смысл, когда число столбцов матрицы ][ A равно числу строк матрицы ][ B .

Правила произведения матриц Произведение матриц не коммутативно

][][][][ ABBA . Исключение составляет произведение матрицы ][ A на единичную матрицу ][ I :

][][][][ AIIA . Произведение матриц ассоциативно:

)][][(][][)][][( CBACBA , ][][][][)][][(][ CABACBA , ][][][][][)][][( CBCACBA .

Определитель произведения нескольких матриц равен произве-дению определителей этих матриц. Транспонирование произведения матриц подчиняется правилу

TTT ABBA ][][)][][( . Транспонирование суммы матриц выполняется по формуле

TTT BABA ][][)][][( . Дважды транспонированная матрица совпадает с исходной мат-

рицей ][)][( AA TT . Определитель матрицы не меняется при транспонировании.

Обратная матрица и ее свойства Всякая неособенная матрица

)(][nn

A

имеет обратную матрицу,

обозначаемую 1][ A , такую что ][][][ 1 IAA и ][][][ 1 IAA . Матрица называется сингулярной или особенной, если для нее не существует обратной матрицы.

190

Один из алгоритмов обращения (инверсии) матрицы )(

][nn

A

ба-

зируется на решении системы уравнений методом Гаусса:

jj IXA }{}{][ , n,...,,j 21 .

Здесь jX}{ – векторы-столбцы, образующие обратную матрицу

]}{...}{...}{}{[][ 211

nj XXXXA ;

jI}{ – единичные векторы-столбцы, имеющие следующую струк-туру:

TI }n...01{}{ 1 , TI }n...10{}{ 2 и т. д.

Обратная матрица для произведения ][][ BA вычисляется по формуле

111 ][][)][][( ABBA .

Признаки ортогональности и положительной определенно-сти симметричных матриц

Матрица ][ A называется ортогональной, если она удовлетворя-ет одному из следующих условий:

][][][ IAA T ; ][][][ IAA T ; 1][][ AA T .

Матрица ][ A называется положительно определенной, если для некоторого ненулевого вектора }{X размерности n выполняется условие

0}{][}{ XAX T . Требование положительной определенности матрицы ][ A является определяющим при решении системы линейных алгебраических уравнений }{}{][ bXA .

Число обусловленности матрицы Число обусловленности )(Acond квадратной неособенной мат-рицы ][A используется для определения чувствительности системы линейных алгебраических уравнений }{}]{[ bXA к возмущениям

191

(малым отклонениям) вектора правой части }{b . Чем больше число обусловленности, тем более неустойчив процесс нахождения реше-ния системы (вектора }{X ). Величина )(Acond определяется как отношение максимального собственного значения max матрицы

][A к ее минимальному собственному значению min .

Нормирование векторов и матриц Для измерения векторов и матриц с целью их сравнения вводят-ся разные нормы.

Для вектора TnxxxX }...{}{ 21 :

21

1

22 }{}{

n

ii

T xXXX – евклидова (квадратичная) нор-

ма;

inim xmaxX

1 – m -норма;

n

iil xX

1 – l -норма.

Для квадратной матрицы )(

][nn

A

:

n

iji

jamaxA

11

– первая норма (максимум суммы модулей

элементов в столбце);

maxA 2 – вторая (спектральная) норма;

n

i

n

jjie aA

1

2

1 – евклидова (квадратичная) норма.

192

Приложение 5

Примеры оформления файлов исходных данных в формате языка Фортран 90

В качестве демонстрационного примера статического расчета рассмотрим раму с шарниром, показанную на рис. 1. В правой части рис. П5.1 цифрами отмечены узлы (■) и номера балочных конечных элементов (обведены кружочками). Геометрию рамы задаем в гло-бальных декартовых координатах 1Z , 2Z , 3Z . В левой части рис. П5.1 для k -го элемента показана локальная нумерация узлов i и

1i , лежащих на локальной оси 1x , и расположение 3-ей точки на локальной оси 3x . Локальную ось 2x ориентируем таким образом, чтобы глядя с острия оси 3x , видеть поворот оси 1x к оси 2x против часовой стрелки. Точка 3 предназначена для ориентации сечения элемента в глобальных осях. При этом необходимо следить, чтобы плоскость наибольшей изгибной жесткости элемента совпадала с плоскостью 1x ,i , 3x . Считаем, что рама выполнена из стального про-ката двутаврового поперечного сечения № 14 (ригель двойной про-филь): xJ =572 см4; yJ =41,9 см4; F =17,4 см2. Параметр нагрузки Р= 10·кН.

Рис. П5.1

Для конечно-элементного расчета необходимо задать информа-цию о геометрии узлов расчетной модели и топологическую инфор-мацию, т. е. данные о связи нумерации конечных элементов и их уз-лов. В разработанном программном обеспечении для ввода исходной информации использован алгоритм повторения в терминах прираще-

2PP2J 2J

JJ

6м

6м 6м

2м12

34 56 78 910

11

12

1314

Z2Z1

Z3

0 13

12

1110

98

76

54

3

2

1

3

x1

x2

x3

k

ii+1

193

ний. Это позволяет в ручном режиме работать с внешним (ограни-ченным) протоколом данных, которые затем автоматически транс-формируются во внутреннее (расширенное) представление информа-ции об ансамбле элементов с помощью умножителя блока повторов. Ниже приведены примеры протоколов исходных данных. Строки, на-чинающиеся с символа “!”, являются комментариями.

Задание геометрии, топологии и связей !Файл исходных данных DATE1_fr_STAND.f90 !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил:__________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Общее число фрагментов &NFRAG nfr=1/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Параметры фрагмента №1 !Число узлов &NUZL nr=14/ !Число элементов &NKE ne=13/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Параметры фрагмента №1 !Ввод признаков контрольной печати массивов LM(ne,8), X(nr,3) !(ifpr...=1 - печать в файл TEST1.f90; ifpr...=0 - нет печати) &IFWR ifprlm=0, ifprx=0/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод признаков контрольной печати массива X3(nst,3) !(ifpr...=1 - печать в файл TEST1.f90) &IFWR3 ifprx3=0/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Координаты узлов. Массив X(NR,3) !Расшифровка элементов строки (11 позиций): !1) признак (0 – ввод данных, 1 – конец ввода); !2) номер узла; !3)-5) координаты узла Z1,Z2,Z3; !6)-8) блок повторов (начальный номер узла, конечный номер узла, число по-второв);

194

!9)-11) приращения координат узлов dZ1,dZ2,dZ3 0,1,0.0,0.0,2.0,3*0,3*0./ 0,2,3*0.,1,1,3,0.,0.,2.0/ 0,5,0.,12.0,8.0,3*0,3*0./ 0,6,0.,2.0,8.0,3*0,3*0./ 0,7,0.,10.0,8.0,3*0,3*0./ 0,8,0.,4.0,8.0,3*0,3*0./ 0,9,0.,8.0,8.0,3*0,3*0./ 0,10,0.,6.0,8.0,3*0,3*0./ 0,11,3*0.,10,10,4,0.,0.,-2.0/ 1,0,3*0.,3*0,3*0./ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Стержневые КЭ. Координаты 3-ей точки. Массив X3(NST,3) !Расшифровка элементов строки (11 позиций): !1) признак (0 – ввод данных, 1 – конец ввода); !2) номер элемента; !3)-5) координаты 3-ей точки Z1,Z2,Z3; !6)-8) блок повторов (начальный номер элемента, конечный номер элемента, число повторов); !9)-11) приращения координат 3-ей точки dZ1,dZ2,dZ3 0,1,0.,.70,2.0,3*0,3*0./ 0,2,3*0.,1,1,2,0.,0.,2.0/ 0,4,0.,0.,8.70,3*0,3*0./ 0,5,0.,12.0,8.70,3*0,3*0./ 0,6,0.,2.0,8.70,3*0,3*0./ 0,7,0.,10.0,8.70,3*0,3*0./ 0,8,0.,4.0,8.70,3*0,3*0./ 0,9,0.,8.0,8.70,3*0,3*0./ 0,10,0.,6.70,8.0,3*0,3*0./ 0,11,3*0.,10,10,3,0.,0.,-2.0/ 1,0,3*0.,3*0,3*0./ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод признака KOOR, по которому осуществляется преобразование координат !узлов рассматриваемого фрагмента !Значение koor соответствует локальной системе координат: !koor = 0 - преобразования координат не требуется; !koor = 1 - локальные декартовы координаты; !koor = 2 - цилиндрические координаты; !koor = 3 - сферические координаты &AKOOR koor=0/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод массива PER(12) данных для преобразования координат: ! Углы направляющих косинусов(zi-Zi), град Значения смещений осей, мм

195

! (9-ть значений) (3-и значения) z1-Z1 z1-Z2 z1-Z3 z2-Z1 z2-Z2 z2-Z3 z3-Z1 z3-Z2 z3-Z3 z1-Z1 z2-Z2 z3-Z3 0.0, 90.0, 90.0, 90.0, 0.0, 90.0, 90.0, 90.0, 0., 0., 0., 0./ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Топологическая информация о конечно-элементной модели. Массив LM(NE,8) !Расшифровка элементов строки (8 позиций): !1) признак (0 – ввод данных, 1 – конец ввода); 2) номер элемента; !3)-4) глобальные номера узлов элемента; 5)-8) блок повторов (начальный !номер элемента, конечный номер элемента, приращение номера, число повторов) 0,1,1,2,4*0/ 0,2,2*0,1,1,1,2/ 0,4,4,6,4*0/ 0,5,5,7,4*0/ 0,6,6,8,4*0/ 0,7,7,9,4*0/ 0,8,8,10,4*0/ 0,9,9,10,4*0/ 0,10,10,11,4*0/ 0,11,2*0,10,10,1,3/ 1,0,2*0,4*0/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод признака ifpr: !ifpr=0 - модель состоит только из одного фрагмента; !ifpr=1 - "сшивка" фрагментов &IFPRIZ ifpr=0/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- ! Геометрический способ задания граничных условий !Ввод числа поверхностей, на узлы которых наложены связи &NFICA nfic=4/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод массивов ZFIC(nfic,4) и MFIC(nfic,6) одной строкой !Информация, содержащаяся в i- й строке: ZFIC(i,1)=0 - декартовы координаты; !ZFIC(i,1)=1 - цилиндрические координаты !ZFIC(i,j), j=2,3,4 - координаты узлов, на которые наложены связи, !При ZFIC(nfic,1)=0 -> ZFIC(i,2) - Z1; ZFIC(i,3) - Z2; ZFIC(i,4) - Z3. !При ZFIC(nfic,1)=1 -> ZFIC(i,2) - R; ZFIC(i,3) - Q; ZFIC(i,4) - Z3. !Если Z(i,j) - е направление не рассматривается, то Z(i,j)=10.0e+23. !MFIC(i,6) - массив признаков закрепления: 0 - нет связи; 1 - связь ! (MFIC(i,1) - Z1; MFIC(i,2) - Z2; MFIC(i,3) - Z3; ! MFIC(i,4) - поворот относительно оси Z1; ! MFIC(i,5) - поворот относительно оси Z2;

196

! MFIC(i,6) - поворот относительно оси Z3) !---------------------------------------------------------------------------------------------------- 0,0.,0.,2.0,1,1,1,1,1,1/ 0,0.,6.0,0.0,1,1,1,1,1,1/ 0,0.,12.0,8.0,1,0,1,0,1,1/ 0,0.,2*10.0e+23,1,0,0,0,1,1/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

Задание геометрии подобластей для идентификации механических характеристик конечных элементов

!Файл исходных данных DATE2_FRAG_ST.f90 !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод числа NCST обособленных фрагментов, для идентификации механиче-ских !свойств стержневых КЭ &NCA_ST ncst=2/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- ! Ввод массива идентификации типа материала MITST(ncst) для обособленных !фрагментов ! (mitst(i) соответствует типу материала i-го фрагмента) 1,2/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод массива координат ZFRST(ncst,8,3) обособленных фрагментов !---------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.,0.,0., 0.25,0.,0., 0.,12.0,0., 0.25,12.0,0., 0.,0.,7.70, 0.25,0.,7.70, 0.,12.0,7.70, 0.25,12.0,7.70, 0.,0.,7.70, 0.25,0.,7.70, 0.,12.0,7.70, 0.25,12.0,7.70, 0.,0.,8.0, 0.25,0.,8.0, 0.,12.0,8.0,

197

0.25,12.0,8.0/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

Задание информации о неопорных шарнирных соединениях !Файл исходных данных STERG_SHARN.f90 !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !n_sterg - число стержневых КЭ, имеющих неопорные шарниры &SHARN_ST n_sterg=2/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод информации о шарнирных соединениях стержневых КЭ !Массив l_sterg(n_sterg,5): !n_sterg - число стержневых КЭ, имеющих шарнирные соединения !l_sterg(i,1) - номер i-го стержневого КЭ !l_sterg(i,j)=0 - нет шарнира !(i-й стержневого КЭ; j- код точки и локальной оси стержневого КЭ) !l_sterg(i,j)=1 - есть шарнир !(i-й стержн. КЭ; j- код точки и локальной оси стержневого КЭ) !l_sterg(i,2) - начало стержневого i-го КЭ; локальная ось X2 !l_sterg(i,3) - начало стержневого i-го КЭ; локальная ось X3 !l_sterg(i,4) - конец стержневого i-го КЭ; локальная ось X2 !l_sterg(i,5) - конец стержневого i-го КЭ; локальная ось X3 3,0,0,1,0, 4,1,0,0,0, !----------------------------------------------------------------------------------------------------

Ввод механических характеристик конечных элементов !Файл исходных данных DATE2_TIP_ST.f90 !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Количество типов (ltipst) материала стержневых КЭ (при ltipst=0 элементы данного типа !отсутствуют) &TIP_ST ltipst=2/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Файл исходных данных DATE2_ST.f90 !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

198

! Механические характеристики стержневых КЭ. Массив EST(ltipst,7): !ltipst (первая колонка) – номер материала; !j2 – момент инерции сечения стержня относительно местной оси X2, см^4; !j3 – момент инерции сечения стержня относительно местной оси X3, см^4; !f – площадь поперечного сечения стержня, см^2; !e – модуль упругости I-го рода, Н/м^2; !g – модуль упругости II-го рода, Н/м^2; !m1 – погонная масса, кг/м; !alfa – коэффициент температурного расширения, град^-1 !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !ltipst I j2 I j3 I f I e I g I m1 I alfa I !---------------------------------------------------------------------------------------------------- 1, 572.0d00, 41.90d00, 17.40d00, 2.0d11, 7.8d10, 13.7d00, 11.5d-06, 2, 1144.0d00, 83.80d00, 34.80d00, 2.0d11, 7.8d10, 27.4d00, 11.5d-06/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

Задание узловой нагрузки !Файл исходных данных NAGR_FOS_MOM.f90. Узловая нагрузка - силы и(или) моменты !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !--------------------------------------------------------------------------------------------------- !Число узлов (nsp), к которым приложена сосредоточенная нагрузка &NUPA nsp=2/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Параметры узловой нагрузки(сила/момент) !Расшифровка 13 позиций: !1) признак (0 – ввод данных, 1 – конец ввода); !2) номер строки документа (при наличии повторов необходимо соблюдать !нумерацию строк); !3) номер нагруженного узла; !4)-6) проекции вектора сосредоточенной силы на оси Z1,Z2,Z3; !7)-9) компоненты результирующего момента относительно осей Z1,Z2,Z3; !10)-13) блок повторов (начальный номер строки, конечный номер строки, !приращения номера строки, число повторов) 0,1,4,0.,0.,-10.0d03,0.,0.,0.,4*0/ 0,2,10,0.,0.,-20.0d03,0.,0.,0.,4*0/ 1,2*0,6*0.,4*0/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

199

Если на раму действует равномерно распределенная нагрузка q , то используем методику приведения ее к узловым силам и моментам. Ниже приведена распечатка файла NAGR_FOS_MOM.f90 для расчет-ной схемы и конечно-элементной модели рамы, показанных на рис. П5 2.

Рис. П5.2 !Файл исходных данных NAGR_FOS_MOM.f90. Узловая нагрузка - силы и(или) моменты !Тема: "Плоская рама с распределенной нагрузкой на ригеле" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Число узлов (nsp), к которым приложена сосредоточенная нагрузка &NUPA nsp=4/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Расшифровка 13 позиций: !1) признак (0 – ввод данных, 1 – конец ввода); !2) номер строки документа (при наличии повторов необходимо соблюдать !нумерацию строк); !3) номер нагруженного узла; !4)-6) проекции вектора сосредоточенной силы на оси Z1,Z2,Z3; 7)-9) компоненты результирующего момента относительно осей Z1,Z2,Z3; !10)-13) блок повторов (начальный номер строки, конечный номер строки,

P=10т

8м

4м

J1

J2

q=2т/м

Z1Z2

Z3

0

Z3 ,м

Z1 , мZ2 , м00

2

40

1

2

3

4

5

6

7

8

1

2

3

4

5

6

7

8

910

1112

13

200

!приращения номера строки, число повторов) 0,1,9,0.,0.,-11.0d04,-1666.7d00,0.,0.,4*0/ 0,2,10,0.,0.,-2.0d04,0.,0.,0.,4*0/ 0,3,11,0.,0.,-2.0d04,0.,0.,0.,4*0/ 0,4,12,0.,0.,-2.0d04,0.,0.,0.,4*0/ 1,2*0,6*0.,4*0/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

Отметим, что в промежуточных узлах ригеля (10, 11, 12) сосре-доточенные моменты равны нулю, т. к. на стыках элементов значения приведенных моментов равны по величине и противоположны по на-правлению, см. рис. П5.2. В угловом узле 9 сосредоточенный момент равен

7166612

110212

242,lqM е

Н·м,

где еl – длина конечного элемента ( l 1 м). Величина сосредоточенной силы, приведенной к узлам 9, 10, 11,

12, составляет: 4

4101

21102

2

еlq

P Н.

В узле 9 вертикальная сила равна сумме сил: 100 кН+10 кН=110 кН.

Ввод номеров исследуемых узлов !Файл исходных данных DATE3_UZL.f90. Номера узлов, в которых требуется знать перемещения !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Число узлов (nu), в которых требуется знать перемещения &NUA nu=5/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- ! Массив MUZ(nu,2) !№ узла; № координаты, вдоль которой требуется знать перемещение в узле 4,3, 4,2, 10,3, 10,2, 5,2/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------

201

Ввод данных для визуализации результатов расчетов в среде Matlab

!Файл исходных данных DATE6_VIZUAL_BEAM.f90 !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод номера узловой реакции в локальных осях X1, X2, X3: !nreak=1 соответствует r1 (сила, действующая вдоль оси x1) !nreak=2 соответствует r2 (сила, действующая вдоль оси x2) !nreak=3 соответствует r3 (сила, действующая вдоль оси x3) !nreak=4 соответствует m1 (момент, вызывающий поворот сечения относитель-но x1) !nreak=5 соответствует m2 (момент, вызывающий поворот сечения относитель-но x2) !nreak=6 соответствует m3 (момент, вызывающий поворот сечения относитель-но x3)

&REAK nreak=5/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Номер компоненты перемещения nu в глобальных осях Z1, Z2, Z3: !nu=1 соответствует перемещению вдоль оси Z1 !nu=2 соответствует перемещению вдоль оси Z2 !nu=3 соответствует перемещению вдоль оси Z3

&NUA nu=3/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Число обособленных фрагментов nc

&NCA nc=1/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод массива координат ZFR(nc,8,3) обособленных фрагментов !---------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.,0.,0., 0.25,0.,0., 0.,12.0,0., 0.25,12.0,0., 0.,0.,8.0, 0.25,0.,8.0, 0.,12.0,8.0, 0.25,12.0,8.0/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

202

Файлы DATE3_EVAL_EVEC.f90, DATE4_VIZUAL_FORMA.f90 для выполнения модального анализа

!Файл исходных данных DATE3_EVAL_EVEC.f90 !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Количество требуемых для анализа собственных пар &ANROOT nroot=6/ !Максимальное число итераций &AMAXITER maxiter=50/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Файл исходных данных DATE4_VIZUAL_FORMA.f90 !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: студент С-III-8 Иванов И.И. !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Номер собственной пары, используемой для визуализации &INROOT i_nroot=9/ !Коэффициент усиления для визуализации форм свободных колебаний &ZOOMER zoom=300/ !Число обособленных фрагментов nc &NCA nc=1/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод массива координат ZFR(nc,8,3) обособленных фрагментов !---------------------------------------------------------------------------------------------------- 0.,0.,0., 0.25,0.,0., 0.,12.0,0., 0.25,12.0,0., 0.,0.,8.0, 0.25,0.,8.0, 0.,12.0,8.0, 0.25,12.0,8.0/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

203

Ввод параметров продольной сжимающей нагрузки !Файл исходных данных DATE2_N.f90. Узловая нагрузка !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Число сжатых стержневых элементов (nen) &NENA nen=7/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Расшифровка 8 позиций: !1) признак (0 – ввод данных, 1 – конец ввода); 2) номер строки документа (при наличии повторов !необходимо соблюдать нумерацию строк); 3) номер сжатого элемента; 4) про-дольная нагрузка; !5)-8) блок повторов (начальный номер строки, конечный !номер строки, приращения номера строки, число повторов) 0,1,1,1.0d00,4*0/ 0,2,0,0.,1,1,1,2/ 0,4,6,2.0d00,4*0/ 0,5,0,0.,4,4,1,3/ 1,2*0,0.,4*0/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

Файлы DATE3_DYNAMICS.f90, NODE_FOS.f90 для динамического расчета

!Файл исходных данных DATE3_DYNAMICS.f90 !Файл исходных данных DATE2_N.f90. Узловая нагрузка !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !smin - расчетная круговая частота, с^-1 &EVAL smin=0.1007d02/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !beta - коэффициент, уточняющий решение dt=per/beta &STEP beta=20/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !ns - общее число шагов интегрирования &SN ns=1000/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

204

!Ввод признака закона динамического нагружения: !ifd=1 - внезапно приложенная нагрузка, действующая в ! течение времени 0<=t<=teta !ifd=2 - линейно возрастающая нагрузка от 0 до Р в ! течение времени teta. При t=>teta нагрузка постоянна !ifd=3 - косинусоидальный закон нагружения P(t)=P0*cos(w*t), ! М(t)=М0*cos(w*t) !ifd=4 - синусоидальный закон нагружения P(t)=P0*sin(w*t), ! М(t)=М0*sin(w*t) !ifd=5 - нагрузка в виде импульса S(t)=A*t*exp(-B*t), ! где A=(s1*exp(1))/t1, B=1/t1 !ifd=6 - акселерограмма S(t)=A*t*exp(-B*t)*sin(Q*t), ! где A=(s1*exp(1))/t1, B=1/t1, Q - частота внешнего воздействия &PD ifd=1/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !ifd=1 !teta - время действия внезапно приложенной нагрузки, с &PAR1 teta=1/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !ifd=2 !beta, teta - параметры линейно возрастающей нагрузки от 0 до Р. ! При t=>teta нагрузка постоянна &PAR2 beta=-10000.0, teta=0.7/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !ifd=3,4 !omega - угловая частота возбуждающей нагрузки, с^-1 &PAR3 omega=8.80/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !ifd=5 !t1, s1 - параметры импульса S(t)=A*t*exp(-B*t), ! где A=(s1*exp(1))/t1, B=1/t1 &PAR4 t1=0.10, s1=2.0/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !ifd=6 !t1, s1 - параметры акселерограммы S(t)=A*t*exp(-B*t)*sin(Q*t), ! где A=(s1*exp(1))/t1, B=1/t1, Q - частота внешнего воздействия &PAR5 t1=0.10, s1=2.0, g1=20.0/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

205

!Файл исходных данных NODE_FOS.f90 !Файл исходных данных DATE2_N.f90. Узловая нагрузка !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод числа узлов (nrd_p), к которым приложена динамическая нагрузка !в виде сосредоточенных сил &NAGR_FOS nrd_p=2/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод номеров узлов, к которым приложены динамические !сосредоточенные силы и номера соответствующих глобальных осей !Z1, Z2, Z3, вдоль которых эти силы действуют (массив MNRD_P) !Массив MNRD_P(nrd_p,2) вводится построчно: !mnrd_p(i,1) - номер i-го узла; !mnrd_p(i,2) - номер соответствующей глобальной оси 1 - Z1, 2 - Z2, 3 - Z3 4,3, 10,3/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Файл исходных данных NODE_FOS.f90 !Файл исходных данных DATE2_N.f90. Узловая нагрузка !Тема: "Плоская рама с шарниром №1" !Исходные данные подготовил: __________________________ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !nre - число узлов, в которых требуется исследовать амплитуды колебаний &UDIN nre=6/ !---------------------------------------------------------------------------------------------------- !Ввод номеров узлов, для которых требуется вычислить амплитуды !колебаний и номеров соответствующих глобальных осей Z1, Z2, Z3, !вдоль которых эти колебания происходят (массив MNRE) !Массив MNRE(nre,2) вводится построчно: !MNRE(i,1) - номеру i-го узла; !MNRE(i,2) - номеру соответствующей глобальной оси 4,3, 10,3/ !----------------------------------------------------------------------------------------------------

206

Приложение 6

Программа ANSYS на языке APDL для расчета устойчивости плоской рамы

Команда на языке APDL Описание команды Путь выполнения команды в интерактив-ном режиме работы

/FILNAME,plane frame Задание имени задачи Utility Menu > File > Change Jobname [plane frame]

/title,plane frame Задание заголовка Utility Menu > File > Change Title [plane frame]

/PREP7 Вход в препроцессор ANSYS Main Menu > Prepro-cessor

ET,1,BEAM3 Выбор 2D стержневого КЭ BEAM3 (два перемещения и угол поворота в узле)

Element Type > Add/Edit/Delete > Add… > Beam [2D elastic 3] > OK

KEYOPT,1,6,0 KEYOPT,1,9,9 KEYOPT,1,10,0

Задание свойств КЭ BEAM3 Options > K9 = [9 intermed pts] > Close

R,1,17.4e-04,572e-08,0.14,0,0,0,

Задание геометрических ха-рактеристик поперечного се-чения 1: площади (AREA), момента инерции (IZZ), вы-соты сечения (HEIGHT)

Real Constants > Add/Edit/Delete > [NON DE-FIND] > Add… > [Type 1 BEAM3] > OK > Real Con-stant Set No. [1] > [AREA,IZZ,HEIGHT] > OK

R,2,2*17.4e-04,2*572e-08,0.14,0,0,0,

Задание геометрических ха-рактеристик поперечного се-чения 2

[Type 1 BEAM3] > OK > Real Constant Set No. [2] > [AREA,IZZ,HEIGHT] > Close

MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2e11 MPDATA,PRXY,1,,0.24

Задание механических кон-стант материала: модуля уп-ругости EX; коэффициента Пуассона PRXY

Material Props > Material Models [Structural], [Liner], [Elastic], [Isotropic] > [EX,PRXY] > OK > [×]

K,1,0,2,0, K,2,0,8,0, K,3,6,0,0, K,4,6,8,0, K,5,0,8,0, K,6,12,8,0,

Задаем координаты ключе-вых точек 1, 2, …, 6 модели ( в метрах) рамы (в месте шар-нира задаем две точки 2 и 5)

Modeling > Creat > Keypoints > In Active CS [NPT] = [X,Y,Z]

LSTR, 1, 2 LSTR, 3, 4 LSTR, 5, 4 LSTR, 4, 6

Задаем линии L1, L2, L3, L4, соединяя точки 1 и 2, 3 и 4, 5 и 4, 4 и 6

Modeling > Creat > Lines > Lines > Straight Line [1,2] > Apply, [3,4] > Apply, [5,4] > Apply [4,6] > OK

/PNUM,KP,1 /PNUM,LINE,1

Нумерация ключевых точек и линий модели на экране мо-нитора

Utility Menu > PlotCrls > Numbering [KP], [LINE] = [On] > OK

207

/LPLOT Вывод на экран модели с но-мерами точек и линий (рис. П6.1)

Utility Menu > Plot > Lines

FLST,5,2,4,ORDE,2 FITEM,5,1 FITEM,5,-2 CM,_Y,LINE LSEL, , , ,P51X CM,_Y1,LINE CMSEL,S,_Y

Выделение линий L1 и L2 Meshing > Mesh Attributes > Picked Lines [1,2] > Apply

CMSEL,S,_Y1 LATT,1,1,1, , , , CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1

Задание спецификации сече-ния 1 для линий L1, L2 [REAL] = [1] > OK

FLST,5,2,4,ORDE,2 FITEM,5,3 FITEM,5,-4 CM,_Y,LINE LSEL, , , ,P51X CM,_Y1,LINE CMSEL,S,_Y

Выделение линий L3 и L4 Meshing > Mesh Attributes > Picked Lines [3,4] > Apply

CMSEL,S,_Y1 LATT,1,2,1, , , , CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1

Задание спецификации сече-ния 2 для линий L3, L4 [REAL] = [2] > OK

Рис. П6.1

L1

1

2

L2

3

4L35 4 L4 64

X

Y

Z

208

FLST,5,4,4,ORDE,2 FITEM,5,1 FITEM,5,-4 CM,_Y,LINE LSEL, , , ,P51X CM,_Y1,LINE CMSEL,,_Y LESIZE,_Y1,2, , , , , , ,1

“Ручное” разбиение линий L1, L2, L3, L4 на конечные элементы с шагом 2 м

Meshing > Size Cntrls > Ma-nual Size > Lines > Picked Lines > [1,2,3,4] > Apply > [SIZE]=[2] > OK

FLST,2,4,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-4 LMESH,P51X

Генерация сетки с равномер-ным шагом разбивки

Meshing > Mesh Tool > [Ele-ment Attributes]=[Lines] > [Mesh] > [Mesh Lines] > [1,2,3,4] > OK

/PNUM,NODE,1 Нумерация узлов КЭ на эк-ране монитора

Utility Men > PlotCrls > Num-bering [NODE]=[On] > OK

/REPLOT Вывод на экран модели с но-мерами узлов КЭ (рис. П6.2) Utility Men > Plot > Replot

Рис. П6.2

ESEL,S,REAL,,1 EPLOT

Селектирование КЭ по при-знаку номера сечения 1 (рис. П6.3)

Utility Menu > Select > Enti-ties > [Elements] > [By Attributes] > [Real set num] = [1] > [From full] > [Apply] > [Plot]

1

33

44

2

5

77

88

99

610 1111 1212 6 13141415156

X

Y

Z

209

Рис. П6.3

ESEL,S,REAL,,2 EPLOT

Селектирование КЭ по при-знаку номера сечения 2 (рис. П6.4)

[Real set num] = [2] > [From full] > [Apply] > [Plot]

Рис. П6.4

ESEL,A,REAL,,1 EPLOT

Селектирование КЭ по при-знаку номера сечения 1

[Real set num] = [1] > [Also Select] > [Apply] > [Plot] >OK

* Путем селектирования устанавливаем, что шарнирному соединению стойки (линия L1) с ригелем (линия L3) соответствуют конкурирующие (совпадающие) узлы 2 и 10 FLST,4,2,1,ORDE,2 FITEM,4,2 FITEM,4,10 CP,1,UX,P51X FLST,4,2,1,ORDE,2 FITEM,4,2 FITEM,4,10 CP,2,UY,P51X

Связываем степени свободы UX и UY в совпадающих уз-лах 2 и10 для задания не-опорного шарнирного соеди-нения

Coupling/Cegn > Couple DOFs > [Define Coupled DOFs] = [2,10] > OK > [CP]=1, [Lab]=UX > Apply > [Define Coupled DOFs] = [2,10] > OK > [CP]=2, [Lab]=UY > OK

1

33

44

2

5

77

88

99

6

X

Y

Z

10 1111 1212 6 13141415156

210

Задаем граничные условия

FLST,2,2,3,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 /GO DK,P51X, , , ,0,ALL, , , , , ,

Жесткая заделка в ключевых точках 1 и 3

Loads > Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On Keypoints > [Apply U, ROT on KPs] = [1,3] > OK > [All DOF] > Apply

FLST,2,1,3,ORDE,1 FITEM,2,6 /GO DK,P51X, , , ,0,UY, , , , , ,

Шарнирно-подвижное опи-рание в точке 6

[Apply U, ROT on KPs] = [6] > OK > [UY] > OK

Задание единичной нагрузки в узлах конечно-элементной модели

F,10,FY,-1 Сила FY=-1 приложена в уз-ле 10 (рис. П6.5)

Loads > Define Loads > Apply > Structural > Force/Moment On Nodes > [Apply U, ROT on Nodes] = [10] > OK > [Lab] = [UY] > [VALUE] = [-1] > Ap-ply

F,6,FY,-2 Сила FY=-2 приложена в уз-ле 6 (рис. П6.5)

[Apply U, ROT on Nodes] = [6] > OK > [Lab] = [UY] > [VALUE] = [-2] > OK

Рис. П6.5

Часть I. Статический расчет рамы с целью определения продольных сил в КЭ

/SOLU Вход в решатель ANSYS Main Menu > Solution

1

33

44

2

5

77

88

99

610 1111 1212 6 13141415156

X

Y

Z

211

ANTYPE,0 Линейный статический рас-чет

Analysis Type > New Analysis > Static > OK

PSTRES,1 Вычисление преднапряжений в раме

Sol’n Controls > [Basic] > [Analysis Options] > [Calculate prestress effects] (Вкл.)

SOLVE Решение системы линейных алгебраических уравнений Solve > Current LS

FINISH Конец расчета Close

Часть II. Расчет устойчивости рамы в линейной постановке

/SOLU Вход в решатель ANSYS Main Menu > Solution

ANTYPI,1 Расчет устойчивости Analysis Type > New Analysis > [Eigen Buckling] (Выбрать) > OK

BUCOPT,SUBSP,4,0,0 Определить первые четыре формы потери устойчивости

Solution > Analysis Type > Analysis Options > Subspace (включено по умолчанию) > [Eigenvalue Buckling Options] > [NMODE] = [4] OK

SUBOPT,4,0,0,0,0,ALL Параметры метода итерации векторных подпространств

[Subspace Eigenvalue Back-ling] > [SUBSIZ] = [4] > OK

SOLVE

Решение обобщенной задачи о собственных значениях ме-тодом итераций векторных подпространств

Solve > Current LS

FINISH Конец расчета Close

Просмотр результатов расчета

/POST1 Вход в постпроцессор ANSYS Main Menu > General Postproc

SET,FIRST Чтение результатов для пер-вой формы потери устойчи-вости рамы

Read Results > First Set

PLDISP,2

Вывод на экран монитора картины первой формы поте-ри устойчивости рамы (рис. П6.6)

Plot Results > Deformad Shape > [Plot Deformed Shape] > [Def+undef edge] (Вкл.) > OK

SET,NEXT Чтение результатов для вто-рой формы потери устойчи-вости рамы

Read Results > Next Set

PLDISP,2

Вывод на экран монитора картины второй формы поте-ри устойчивости рамы (рис. П6.7)

Plot Results > Deformad Shape > [Plot Deformed Shape] > [Def+undef edge] (Вкл.) > OK

212

Рис. П6.6

* Значение критической силы FREQ=78345 Н

Рис. П6.7

* Значение критической силы FREQ=316100 Н * Вывод остальных двух форм аналогичен приведенным двум формам

ANSYS 10.0A1 DEC 26 200909:31:46 DISPLACEMENTSTEP=1 SUB =1 FREQ=78345 PowerGraphicsEFACET=1AVRES=MatDMX =1.415

1

1

33

44

2

5

77

88

99

610 1111 1212 66 1414 1515 13

X

Y

Z

DSCA=.424065 ZV =1 DIST=6.93 XF =6.3 YF =4.011 Z-BUFFER

ANSYS 10.0A1 DEC 26 200909:32:00 DISPLACEMENTSTEP=1 SUB =2 FREQ=316100 PowerGraphicsEFACET=1AVRES=MatDMX =.922003

1

1

33

44

2

5

77

88

99

610 1111 1212 66 1414 1515 13

X

Y

Z

DSCA=.650757 ZV =1 DIST=6.606 XF =6.006 YF =4.044 Z-BUFFER

213

Приложение 7

Программа ANSYS на языке APDL для деформационного расчета Г-образной рамы

Команда на языке APDL Описание команды Путь выполнения команды в интерактив-ном режиме работы

/FILNAME, Plane_frame_deform Задание имени задачи Utility Menu > File > Change

Jobname Plane_frame_deform]

/TITLE, Plane_frame_deform Задание заголовка Utility Menu > File > Change Title [Plane_frame_deform]

/PREP7 Вход в препроцессор ANSYS Main Menu > Prepro-cessor

*SET,s_st,1.0 *SET,s_rg,0.5 *SET,N_STEP,10 *SET,p0,100000 *SET,q0,20000

Ввод исходных параметров: s_st – шаг сетки на стойке (1,0 м); s_rg – шаг сетки на ригеле (0,5 м); p0 – ампли-тудное значение сосредото-ченной силы (100000 Н); q0 – амплитудное значение рас-пределенной нагрузки (2000 Нм)

Utility Menu > Parameters > Scalar Parameters > [s_st=1.0] > Accept > [s_rg=0.5] > Ac-cept > [p0=100000] > Accept > [q0=20000] > Close

ET,1,BEAM3 Выбор 2D стержневого КЭ BEAM3 (два перемещения и угол поворота в узле)

Element Type > Add/Edit/Delete > Add… > Beam [2D elastic 3] > OK

KEYOPT,1,6,0 KEYOPT,1,9,9 KEYOPT,1,10,0

Задание свойств КЭ BEAM3 Options > K9 [9 intermed pts] > Close

R,1,17.4e-04,572e-08,0.14,0,0,0,

Задание геометрических ха-рактеристик поперечного се-чения 1: площади (AREA), момента инерции (IZZ), вы-соты сечения (HEIGHT)

Real Constants > Add/Edit/Delete > [NON DE-FIND] > Add… > [Type 1 BEAM3] > OK > Real Con-stant Set No. [1] > [AREA,IZZ,HEIGHT] > OK

R,2,23.4e-04,1290e-08,0.18,0,0,0,

Задание геометрических ха-рактеристик поперечного се-чения 2

[Type 1 BEAM3] > OK > Real Constant Set No. [2] > [AREA,IZZ,HEIGHT] > Close

MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2e11 MPDATA,PRXY,1,,0.24

Задание механических кон-стант материала: модуля уп-ругости EX; коэффициента Пуассона PRXY

Material Props > Material Models [Structural], [Liner], [Elastic], [Isotropic] > [EX,PRXY] > OK > [×]

K,1,0,0,0, K,2,0,8,0, K,3,4,8,0,

Задаем координаты ключе-вых точек 1, 2, 3 модели

Modeling > Creat > Keypoints > In Active CS [NPT], [X,Y,Z]

LSTR, 1, 2 LSTR, 2, 3

Задаем линии L1, L2, соеди-няя точки 1 и 2, 2 и 3

Modeling > Creat > Lines > Lines > Straight Line [1,2] > Apply, [2,3] > OK

214

/PNUM,KP,1 /PNUM,LINE,1

Нумерация ключевых точек и линий модели на экране мо-нитора

Utility Menu > PlotCrls > Numbering [KP], [LINE] = [On] > OK

/LPLOT Вывод на экран модели с но-мерами точек и линий (рис. П7.1)

Utility Menu > Plot > Lines

CM,_Y,LINE LSEL, , , , 1 CM,_Y1,LINE CMSEL,S,_Y

Выделение линий L1 Meshing > Mesh Attributes > Picked Lines [1] > Apply

CMSEL,S,_Y1 LATT,1,1,1, , , , CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1

Задание спецификации сече-ния 1 для линий L1 [REAL] = [1] > OK

CM,_Y,LINE LSEL, , , , 2 CM,_Y1,LINE CMSEL,S,_Y

Выделение линий L2 Meshing > Mesh Attributes > Picked Lines [2] > Apply

CMSEL,S,_Y1 LATT,1,2,1, , , , CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1

Задание спецификации сече-ния 2 для линий L2 [REAL] = [2] > OK

Рис. П7.1

L1

1

2 L22 3

X

Y

Z

215

FLST,5,1,4,ORDE,1 FITEM,5,1 CM,_Y,LINE LSEL, , , ,P51X CM,_Y1,LINE CMSEL,,_Y LESIZE,_Y1,s_st, , , , , , ,1

“Ручное” разбиение линии L1 на конечные элементы с ша-гом 1,0 м

Meshing > Size Cntrls > Ma-nual Size > Lines > Picked Lines > [1] > Apply > [SIZE]=[1.0] > OK

FLST,5,1,4,ORDE,1 FITEM,5,2 CM,_Y,LINE LSEL, , , ,P51X CM,_Y1,LINE CMSEL,,_Y LESIZE,_Y1,s_rg, , , , , , ,1

“Ручное” разбиение линии L2 на конечные элементы с ша-гом 0,5 м

Meshing > Size Cntrls > Ma-nual Size > Lines > Picked Lines > [2] > Apply > [SIZE]=[0.5] > OK

FLST,2,2,4,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,-2 LMESH,P51X

Генерация сетки с неравно-мерным шагом

Meshing > Mesh Tool > [Ele-ment Attributes]=[Lines] > [Mesh] > [Mesh Lines] > [1,2] > OK

/PNUM,NODE,1 Нумерация узлов КЭ на эк-ране монитора

Utility Men > PlotCrls > Num-bering [NODE]=[On] > OK

/REPLOT Вывод на экран модели с но-мерами узлов КЭ (рис. П7.2) Utility Men > Plot > Replot

Рис. П7.2

1

33

44

55

66

77

88

99

22 1111 1212 1313 1414 1515 1616 1717 10

X

Y

Z

216

Задаем граничные условия

FLST,2,2,3,ORDE,2 FITEM,2,1 FITEM,2,3 /GO DK,P51X, , , ,0,ALL, , , , , ,

Жесткая заделка в ключевых точках 1 и 3

Loads > Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On Keypoints > [Apply U, ROT on KPs] = [1,3] > OK > [All DOF] > Apply

/SOLU Вход в процессор решения ANSYS Main Menu > Solution

ANTYPE,0 Линейный статиче-ский расчет

Analysis Type > New Analysis > Static > OK

NLGEOM,1 Учет больших пере-мещений

Sol’n Controls > [Solution Con-trols] > [Basic] > [Analysis Op-tion]=[Large Displacement Static] > OK

OUTPR,ALL,ALL, Вывод результатов расчета на каждом временном шаге

Load Step Opts > Output Ctrls > Solu Printout > [OUTPR] = [All items], [FREQ] = [Every substep] >OK

NROPT,FULL, , LUMPM,0 EQSLV, , ,0, PRECISION,0 MSAVE,0 PIVCHECK,1 SSTIF PSTRES TOFFST,0,

Включение полной процедуры метода Ньютона-Рафсона

Abridged Menu: Analysis Opions > [Static or Steady-State Analysis] > [NLGEOM]=[On], [NROPT]=[Full N-R] > OK

*DO,I_STEP,1,N_STEP TIME,I_STEP p_step=p0*(I_STEP/N_STEP)**0.5 q_step=q0*(I_STEP/N_STEP)**0.5

Цикл по шагам нагружения

Задается только из командной строки

FLST,2,1,3,ORDE,1 FITEM,2,2 /GO F,P51X,FY,-p_step

Силу FY = -p_step прикладываем к точ-ке 2

Define Loads > Apply > Structral > Force/Moment > On Keypoints > [2] > OK > [Apply F/M on KPs] > [Lab]=[FY], [VALUE]= -p_step > OK

LSEL,S,LINE,,2,2 ESLL,S SFBEAM,ALL,1,PRES, q_step, q_step ,,,,,

Распределенную на-грузку q = q_step прикладываем к эле-ментам, располо-женным на линии L2

Define Loads > Apply > Structral > Pressure > On Beams > [9,10,11,12, 13,14,15,16] > OK > [Apply PRES on Bems] > [VALI]= q_step > OK

ALLSEL,ALL Выделяем все Utility Menu > Select > Everything

SOLVE

Решение системы нелинейных уравне-ний методом Ньюто-на-Рафсона

Solve > Current LS

*ENDDO Конец цикла I_STEP Командная строка

FINISH Завершение работы процес-сора SOLU Close

217

Просмотр результатов расчета

/POST1 Вход в постпроцессор ANSYS Main Menu > General Postproc

Построение эпюры изгибающих моментов

ETABLE,MI,SMISC,6 Таблица значений MMOMZ в узле i. Присвоено MI Командная строка

ETABLE,MJ,SMISC,66 Таблица значений MMOMZ в узле j. Присвоено MJ Командная строка

PLLS,MI,MJ Графический вывод эпюры (рис. П7.3) Командная строка

Построение эпюры поперечных сил

ETABLE,QI,SMISC,2 Таблица значений MFORY в узле i. Присвоено QI Командная строка

ETABLE,QJ,SMISC,62 Таблица значений MFORY в узле j. Присвоено QJ Командная строка

PLLS,QI,QJ Графический вывод эпюры (рис. П7.4) Командная строка

Построение эпюры продольных сил

ETABLE,NI,SMISC,1 Таблица значений MFORY в узле i. Присвоено NI Командная строка

ETABLE,NJ,SMISC,61 Таблица значений MFORY в узле j. Присвоено NJ Командная строка

PLLS,NI,NJ Графический вывод эпюры (рис. П7.5) Командная строка

Рис. П.7.3

X

Y

Z

-39808-33108

-26409-19709

-13009-6310

389.9427090

1378920489

218

Рис. П.7.4

Рис. П.7.5

X

Y

Z

-30888-21998

-13109-4219

467013560

2244931339

4022849118

X

Y

Z

-130884-116392

-101900-87408

-72915-58423

-43931-29439

-14947-454.672

219

Приложение 8

Программа на языке Фортран для определения собственных значений

!-------------------------------------------------------------------------------------------- ! Решение обобщенной проблемы собственных значений ! [r]*{y}=ra*[m]*{y} ! модифицированным векторным методом обратных итераций ! Обозначения: ! n - порядок системы уравнений ! kmax - максимальное число итераций ! ra - начальный сдвиг собственного значения ! r(n,n) - матрица реакций ! m(n) - диагональная матрица масс (одномерный массив) ! ra - собственное значение ! y(n) - собственный вектор !-------------------------------------------------------------------------------------------- program Reley_method !ms$real:8 ! Расчеты выполняются с удвоенной точностью integer (4),parameter::ncresults=250 character(ncresults)::ru_doswin integer(4),parameter::n=4, kmax=100 integer(4)::i,k integer(4)::lr(n),mr(n) real r(n,n),m(n),t(n,n) real xa(n),ya(n),yb(n),det,ra,rb,eps,ej,priz

open(unit=4,file='Exit_Reley_method.f90') !Ввод матрицы реакций r(n,n) по столбцам

data r/0.011719, 0.0, -0.046875, 0.0, & 0.0, 3.0, 3.0, 0.0, & -0.046875, 3.0, 4.1875, 0.50, & 0.0, 0.0, 0.50, 1.0/, &

m/1.0190d03,1.0190d03,0.0,0.0/, & ! ввод диагональной матрицы масс m(n) xa/n*1.0d00/, & ! ввод начального вектора xa(n) ra/0.0/, & ! начальный сдвиг eps/1.0d-08/ & ! малое число из условия окончания итераций ej/2.0d07/ ! изгибная жесткость r=ej*r ! умножение матрицы на скаляр ! Контрольная печать исходных данных write(4,*) 'r(n,n)'

220

write(4,4444) ((r(i,j),j=1,n),i=1,n) write(4,*) 'm(n)'

write(4,4444) (m(i),i=1,n) 4444 format(1x,4d10.4)

write(4,'(///)') write(4,*) 'ra=',ra write(4,'(///)') ya=xa*m ! вычисление вектора ya

do k=1,kmax ! цикл по итерациям write(*,*) 'k=',k write(4,*) 'k=',k t=r do i=1,n t(i,i)=t(i,i)-ra*m(i) end do ! i call dminv(t,n,det,lr,mr) ! обращение матрицы [t] call pmum(t,ya,xa,n,n,1) ! вычисление вектора xa=[t]*ya yb=m*xa ! вычисление вектора yb ! rb=(dot_product(xa,ya)/dot_product(xa,yb))+ra ! соотношение Релея write(4,*) 'rb=',rb ! if(k>1) then priz=dabs(rb-ra)/rb ! из условия окончания итераций write(4,*) 'priz=',priz if(priz<=eps) exit ! выход из цикла do k=1,kmax ! if(k>=kmax) then print*,trim(ru_doswin( & 'Превышено максимальное число итераций', .false.)) stop end if ! k>kmax end if ! k>1 ! ya=yb/dsqrt(dot_product(xa,yb)) write(4,*) 'ya' write(4,'(4d12.6)') ya ra=rb end do ! k ! !Печать результатов write(4,'(///)') write(4,'(19hРезультаты расчетов)') write(4,1100) k

221

1100 format(1x,16hЧисло итераций ,i4) write(4,1122) rb 1122 format(1x,/20hСобственное значение,3x,d12.6) write(4,'(/18hСобственный вектор)') write(4,1133) (ya(i),i=1,n) 1133 format(1x,5d12.6) ! print*,trim(ru_doswin( & 'Программа Reley_method завершена',.false.)) ! end program Reley_method !-------------------------------------------------------------------------------------------- ! Обращение квадратной матрицы [a(n,n)] ! Результат записывается на месте исходной матрицы [a] ! d - детерминант матрицы [a] ! l(n),m(n) - рабочие целочисленные массивы !-------------------------------------------------------------------------------------------- subroutine dminv(a,n,d,l,m) real(8) a(1),d,hold,biga integer(4):: l(1),m(1) ! integer (4),parameter::ncresults=250 character(ncresults)::ru_doswin ! d=1.0d00 nk=-n do k=1,n nk=nk+n l(k)=k m(k)=k kk=nk+k biga=a(kk) do j=k,n iz=n*(j-1) do i=k,n ij=iz+i if(dabs(biga)-dabs(a(ij))<0.0) then biga=a(ij) l(k)=i m(k)=j end if ! dabs(biga)-dabs(a(ij)

222

end do ! i end do ! j j=l(k) if((j-k)>0) then ki=k-n do i=1,n ki=ki+n hold=-a(ki) ji=ki-k+j a(ki)=a(ji) a(ji)=hold end do ! i end if ! (j-k) i=m(k) if((i-k)>0) then jp=n*(i-1) do j=1,n jk=nk+j ji=jp+j hold=-a(jk) a(jk)=a(ji) a(ji)=hold end do ! j end if ! (i-k) if(biga==0.0) then print*,trim(ru_doswin('Ошибка в процедуре dminv (нулевой диагональный элемент)' & ,.false.)) d=0.0 return end if ! biga do i=1,n if((i-k)/=0) then ik=nk+i a(ik)=a(ik)/(-biga) end if ! (i-k) end do ! i do i=1,n ik=nk+i hold=a(ik) ij=i-n do j=1,n ij=ij+n if((i-k)/=0 .and. (j-k)/=0) then

223

kj=ij-i+k a(ij)=hold*a(kj)+a(ij) end if ! (i-k)/=0 .and. (j-k)/=0 end do ! j end do ! i kj=k-n do j=1,n kj=kj+n if((j-k)/=0) then a(kj)=a(kj)/biga end if ! (j-k) end do ! j d=d*biga a(kk)=1.0d00/biga end do ! k k=n do while (k/=1) k=k-1 i=l(k) if((i-k)>0) then jq=n*(k-1) jr=n*(i-1) do j=1,n jk=jq+j hold=a(jk) ji=jr+j a(jk)=-a(ji) a(ji)=hold end do ! j

end if ! (i-k) j=m(k) if((j-k)>0) then ki=k-n do i=1,n ki=ki+n hold=a(ki) ji=ki-k+j a(ki)=-a(ji) a(ji)=hold end do ! i end if ! (j-k) end do ! (k/=1) return end

224

!-------------------------------------------------------------------------------------------- !Перемножение двух матриц ! C(M,L)=A(M,N)*B(N,L) !-------------------------------------------------------------------------------------------- !

subroutine pmum(a,b,c,m,n,l) real(8):: a(1),b(1),c(1),d !Цикл по строкам матрицы C

do i=1,m im=i-m jn=-n ij=im

!Цикл по столбцам матрицы C do j=1,l ij=ij+m jn=jn+n ik=im

d=0.0 !Процедура перемножения элементов A и B

do k=1,n ik=ik+m kj=jn+k d=d+a(ik)*b(kj)

end do ! k c(ij)=d

end do ! j end do ! i return end !-------------------------------------------------------------------------------------------- ! Функция вывода сообщений на русском языке в DOS окно !-------------------------------------------------------------------------------------------- function ru_doswin(string,dos_win) integer(4),parameter::ncresults=250 character(ncresults)::ru_doswin character(*),intent(in)::string

225

logical(4),intent(in)::dos_win integer(2)::i,dos_win_code,dif ru_doswin=string do i=1,len_trim(ru_doswin) dos_win_code=iachar(ru_doswin(i:i)) dif=0 if(dos_win)then select case(dos_win_code) case(128:175) dif=64 case(224:239) dif=16 end select else select case(dos_win_code) case(192:239) dif=-64 case(240:255) dif=-16 end select end if if(dif/=0)ru_doswin(i:i)=char(dos_win_code+dif) end do end function ru_doswin !--------------------------------------------------------------------------------------------

226

Приложение 9

Программа ANSYS на языке APDL для расчета двухшарнирной балки на вынужденные колебания

Команда на языке APDL Описание команды Путь выполнения команды в интерактив-ном режиме работы

/FILNAME, Plane_beam _dinam Задание имени задачи Utility Menu > File > Change

Jobname [Plane_beam _dinam]

/TITLE, Plane_beam _dinam Задание заголовка Utility Menu > File > Change Title [Plane_beam _dinam]

/PREP7 Вход в препроцессор ANSYS Main Menu > Prepro-cessor

Часть I. Модальный анализ

n_fe=12 Число конечных элементов, на которое разбивается балка

Utility Menu > Parameters > Scalar Parameters > [n_fe=12] > Close

ET,1,BEAM3 Выбор 2D стержневого КЭ BEAM3 (два перемещения и угол поворота в узле)

Element Type > Add/Edit/Delete > Add… > Beam [2D elastic 3] > OK

KEYOPT,1,9,9 Задание свойств КЭ BEAM3 Options > K9 [9 intermed pts] > Close

R,1,46.5e-04,7080e-08,0.3, , , ,

Задание геометрических ха-рактеристик поперечного се-чения 1: площади (AREA), момента инерции (IZZ), вы-соты сечения (HEIGHT)

Real Constants > Add/Edit/Delete > [NON DE-FIND] > Add… > [Type 1 BEAM3] > OK > Real Con-stant Set No. [1] > [AREA,IZZ,HEIGHT] > OK

MPTEMP,1,0 MPDATA,EX,1,,2e11 MPDATA,PRXY,1,,0.24 MPDATA,DENS,1,,7800

Задание механических кон-стант материала: модуля уп-ругости EX; коэффициента Пуассона PRXY; плотности DENS

Material Props > Material Models [Structural], [Liner], [Elastic], [Isotropic] > [EX,PRXY, DENS] > OK > [×]

K,1,0,0,0, K,2,6,0,0,

Задаем координаты ключе-вых точек 1, 2 модели

Modeling > Creat > Keypoints > In Active CS [NPT], [X,Y,Z]

LSTR, 1, 2 Задаем линию L1, соединяя точки 1 и 2

Modeling > Creat > Lines > Lines > Straight Line [1,2] > Apply, [2,3] > OK

CM,_Y,LINE LSEL, , , , 1 CM,_Y1,LINE CMSEL,S,_Y

Выделение линий L1 Meshing > Mesh Attributes > Picked Lines [1] > Apply

CMSEL,S,_Y1 LATT,1,1,1, , , , CMSEL,S,_Y CMDELE,_Y CMDELE,_Y1

Задание спецификации сече-ния 1 для линий L1 REAL] = [1] > OK

227

FLST,5,1,4,ORDE,1 FITEM,5,1 CM,_Y,LINE LSEL, , , ,P51X CM,_Y1,LINE CMSEL,,_Y LESIZE,_Y1, , ,n_fe, , , , ,1

“Ручное” разбиение линии L1 на n_fe конечных элементов

Meshing > Size Cntrls > Ma-nual Size > Lines > Picked Lines > [1] > Apply > [NDIV]=[1.0] > OK

LMESH, 1 Генерация сетки

Meshing > Mesh Tool > [Ele-ment Attributes]=[Lines] > [Mesh] > [Mesh Lines] > [1] > OK

/PNUM,NODE,1 Нумерация узлов КЭ на эк-ране монитора

Utility Men > PlotCrls > Num-bering [NODE]=[On] > OK

/REPLOT Вывод на экран модели с но-мерами узлов КЭ (рис. П8.1) Utility Men > Plot > Replot

Рис. П8.1

FLST,2,1,3,ORDE,1 FITEM,2,1 /GO DK,P51X, , , ,0,UX,UY, , , , , FLST,2,1,3,ORDE,1 FITEM,2,2 /GO DK,P51X, , , ,0,UY, , , , , ,

Задаем граничные условия (рис. П8.2)

Loads > Define Loads > Apply > Structural > Displacement > On Keypoints > [Apply U, ROT on KPs] = [1] > OK > [UX,UY] > Ap-ply; [Apply U, ROT on KPs] = [2] > OK > [UY] > OK

FINISH Завершение работы препроцессора PREP7

Командная строка

Рис. П.8.2

/SOLU Вход в процессор решения ANSYS Main Menu > Solution

ANTYPE,2 Модальный анализ Analysis Type > New Analysis > Modal > OK

MODOPT,SUBSP,4 EQSLV,FRONT MXPAND,4, , ,0

Выбор метода решения и ко-личества собственных форм.

Analysis Options > [Modal Analysis] > [MODOPT] = [Subspace], [4], [MXPAND], [NMODE] = [4] > OK > OK

SOLVE Решение задачи на собствен-ные значения Solve > Current LS

FINISH Завершение работы процес-сора SOLU Close

1 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 2X

Y

Z

L11 2X

Y

Z

228

Просмотр результатов расчета

/POST1 Вход в постпроцессор ANSYS Main Menu > General Postproc

*GET,FREQ_1,MODE,1,FREQ_1 Присвоить значение час-тоты основного тона пе-ременной FREQ_1

Командная строка

SET,FIRST PLDISP,2

Вывод на экран монитора первой формы свободных колебаний балки (рис. П8.3)

Read Reslts > First Set; Plot Re-sults > Deformed Shape > [PLDISP] = [Def+undef edge] > OK

Рис. П8.3

* Значение частоты основного (первого) тона FREQ=27,206 Гц

SET,NEXT PLDISP,2

Вывод на экран монитора второй формы свободных колебаний балки (рис. П8.4)

Read Reslts > Next Set; Plot Results > Deformed Shape > [PLDISP] = [Def+undef edge] > OK

Рис. П8.4

* Значение частоты второго тона FREQ=108,159 Гц

SET,NEXT PLDISP,2

Вывод на экран монитора третьей формы свободных колебаний балки (рис. П8.5)

Read Reslts > Next Set; Plot Results > Deformed Shape > [PLDISP] = [Def+undef edge] > OK

Рис. П8.5

* Значение частоты третьего тона FREQ=211,14 Гц (продольные колебания)

FINISH Завершение работы постпро-цессора POST1 Командная строка

1 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 2X

Y

Z

133

44 55 6677

8899

1010 1111 12121313

2X

Y

Z

1 33 44 55 66 77 88 99 1010 1111 1212 1313 2X

Y

Z

229

Часть II. Расчет балки на вынужденные колебания

/PREP7 Вход в препроцессор ANSYS Main Menu > Prepro-cessor

Pi=4*ATAN(1) w=2*Pi*FREQ_1 Q=3.2*w F0=10000 N=400 n_FY=NODE(3,0,0)

Ввод исходных параметров: w – частота основного тона (с-1); Q – частота внешнего возбуждения (с-1); F0 – ам-плитудное значение силы (Н); N – число шагов нагру-жения; n_FY – номер узла, к которому прикладывается сила

Командная строка

FINISH Завершение работы препро-цессора PREP7 Командная строка

/SOLU Вход в процессор решения ANSYS Main Menu > Solu-tion

ANTYPE,4 TPNOPT,FULL

Нестационарное нагружение. Полный анализ

New Analysis > [Transient] > OK > [TRNOPT] = [FULL]

TIMINT,1 TINTP, ,0.25250625,0.505, , , ,

Решение методом Ньюмарка. Параметры численного ин-тегрирования

[Unabridgen Menu]; Load Step Opts > Time/Frequenc > Time Integration > Newmark Parameters > [TIMINT] (Вкл.) > [TINTP] > [ALPHA] = [0.25250625]; [DELTA] = [0.505] > OK

OUTPR,BASIC,ALL, Контроль результатов на ка-ждом шаге

Load Step Opts > Output Ctrls > Solu Printout > [OUTPR] = [Every substep] > OK

OUTRES,ALL,ALL, Вывод результатов на каж-дом шаге

Load Step Opts > Output Ctrls > Db/Results File > [OUT-RES] = [Every substep] > OK

KBC,0 Нагружение плавное Sol’n Controls > [Transient]; [Full Transient Options]; [Ramped loading] (Вкл.)

IC,ALL,ALL,0,0,

Задание начальных условий ко всем узлам (ALL), на все степени свободы (ALL) - начальные перемещения 0 начальная скорость 0

Define Loads > Apply > Initial Condit’n > Define > [IC]; [Lab] = [All DOF]; [VALUE] = 0; [VALUE2] = 0 > OK

*DO,I_STEP,1,N,1 AUTOTS,0 TIME,I_STEP/20 FOST=F0*SIN(Q*(I_STEP/20)) F,n_FY,FY,FOST SOLVE *ENDDO

Цикл по шагам нагружения Задается только из команд-ной строки

FINISH Конец расчета Close

230

Рис. П8.6 /POST26 Вход в постпроцессор

POST26 ANSYS Main Menu > Time Hist Postpro

FILE,'file','rst','.' /UI,COLL,1 NUMVAR,200 SOLU,191,NCMIT STORE,MERGE FILLDATA,191,,,,1,1 REALVAR,191,191 NSOL,2,8,U,Y, UY_2 STORE,MERGE XVAR,1 PLVAR,2,

Вывод на экран монитора графика колебаний точки балки, расположенной посе-редине пролета (рис. П8.6)

[Time History Variables – file.rst]; [Add Data] . [Y – Component of displacement] > OK > [Node for Data] = [8] > OK > [Graph Data]

-6.25

-5

-3.75

-2.5

-1.25

0

1.25

2.5

3.75

5

6.25

(x10**-3)

VALU

02

46

810

1214

1618

20

TIME

231

Учебное издание Гайджуров Петр Павлович

Методы, алгоритмы и программы расчета стержневых систем

на устойчивость и колебания Редактор Н.А. Юшко

Подписано в печать 17.11.2008. Формат 60841/16. Бумага офсетная. Ризография. Усл. печ. л. 11,8.

Уч.–изд. л. 12. Тираж 100. Заказ № Южно-Российский государственный технический университет.

Типография