Лекции по устойчивости стержневых систем

Методические указания

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

УЛЬЯНОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЛЕКЦИИ ПО УСТОЙЧИВОСТИ

СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Методические указания

для магистров, обучающихся по направлению 27010068 «Строительство»

по программе «Теория и проектирование зданий и сооружений»

Составитель А. А. Битюрин

Ульяновск

2011

УДК 539.3:534.1 (076)

ББК 22.251я7

Л 43

Рецензент: доктор технических наук, профессор, заведующий

кафедрой «Теоретическая и прикладная механика» строительного

факультета Ульяновского государственного технического универ­

ситета В. К. Манжосов.

Одобрено секцией методических пособий научно-методического

совета университета

Лекции по устойчивости стержневых систем : методические ука-

Л 4 3 зания для магистров, обучающихся по направлению 27010068

«строительство» по программе «теория и проектирование зданий и

сооружений» / составитель А. А. Битюрин. - Ульяновск : УлГТУ,

2 0 1 1 . - 6 3 с.

Составлены в соответствии с программой курса «Устойчивость стержне­вых систем»

В методических указаниях излагаются основные теоретические принципы и подходы расчета на устойчивость сжатых стержней в пределах упругости и за её пределами, решения общих задач устойчивости при статическом и ди­намическом нагружении.

Методические указания предназначены для магистрантов, изучающих теоретические основы курса «Устойчивость стержневых систем» (направле­ния 27010068 «Строительство») и преподавателей, ведущих соответствую­щие дисциплины.

Подготовлены на кафедре «Теоретическая и прикладная механика».

УДК 621.372.061 (076)

ББК 31.27.01я7

© Битюрин А. А.,

составление, 2011

© Оформление. УлГТУ, 2011

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 4

1. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ В ПРЕДЕЛАХ

УПРУГОСТИ 5

1.1. Устойчивость стержня, шарнирно опертого по концам. Формула

Эйлера 5

1.2. Другие случаи закрепления концов 9

1.3. Пределы применимости формулы Эйлера. Равновесные формы в

закритической области 13

1.4. Различные критерии устойчивости и методы решения задач 19

1.5. Приложение принципа возможных перемещений 23

1.6. Энергетический критерий устойчивости 25

1.7. Методы Ритца и Тимошенко 27

1.8. Метод Бубнова-Галеркина 29

1.9. Метод конечных разностей. Упругая шарнирная цепь. Метод

коллокации. Метод последовательных приближений 30

1.10. Применение интегральных уравнений. Приближенное

определение первой критической нагрузки 33

1.11. Динамический критерий устойчивости 36

1.12. Критерий начальных несовершенств 38

1.13. Эксцентричное сжатие. Приближенное решение 40

1.14. Эксцентричное сжатие. Точное решение 42

1.15. Влияние поперечной нагрузки 44

2. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ

УПРУГОСТИ. БОЛЕЕ ОБЩИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ 46

2.1. Экспериментальные зависимости 46

2.2. Выпучивание стержня при неизменной нагрузке 48

2.3. Влияние формы сечения. Случаи двутаврового и прямоугольного

сечений 50

2.4. Случай сосредоточенной силы в пролете 51

2.5. Действие распределенной продольной нагрузки 53

2.6. Одновременное действие распределенной и сосредоточенной

нагрузок 56

2.7. Устойчивость стержня, связанного с упругим основанием 58

ЗАКЛЮЧЕНИЕ 61

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 62

ВВЕДЕНИЕ

Расчет на устойчивость, которой посвящен спецкурс, имеет первостепенное

значение для элементов конструкций, представляющих собой сравнительно

длинные и тонкие стержни, тонкие пластины и оболочки. Напомним основные

понятия о видах равновесия.

Равновесие называется устойчивым, если при любом малом отклонении от

положения равновесия тело возвращается в исходное положение после устра­

нения причины, вызвавшей это отклонение. Равновесие называют неустойчи­

вым, если при любом малом отклонении от положения равновесия тело не воз­

вращается в исходное положение, а все далее отклоняется от него. При безраз­

личном равновесии тело, будучи отклоненным, остается в равновесии и в новом

положении.

Основы современной математической теории устойчивости движения соз­

даны в конце XIX в. выдающимся русским математиком и механиком

А. М. Ляпуновым. Чтобы иметь представление о том, в чем заключается отли­

чие приведенных выше определений состояния равновесия от введенного Ля­

пуновым, сформулируем его применительно к некоторому физическому телу.

Пусть С - произвольное положительное число. Если для любого С, каким

бы малым оно не было, можно выбрать такое малое положительное число В

в процессе его колебательных движений.

В курсе сопротивления материалов было изучено устойчивое состояние

продольно сжатого стержня сосредоточенной силой. При значении этой силы

меньше некоторой критической величины стержень сохранял прямолинейное

положение. При достижении этой величины и дальнейшее ее превышение,

стержень приобретал криволинейную форму. Расчет критической продольной

нагрузки мы проводили путем решения дифференциального уравнения изогну­

той оси балки, получая известную формулу Эйлера. Необходимо помнить, что

эта формула справедлива только в пределах выполнения закона Гука. В других

случаях расчет на устойчивость производился по формуле Ясинского.

В данном спецкурсе помимо метода Эйлера и Ясинского мы познакомимся

с другими методиками и принципами расчета критической сжимающей силы и

приступим к решению более сложных задач, которые в курсе сопротивления

материалов не рассматриваются. Настоящие методические указания составлены

по материалам монографии Вольмира А. С. «Устойчивость деформируемых

систем» [3].

подразумевается отклонение тела от положения равновесия чиво. Здесь под

< С, то такое положение равновесия тела устой-выполняется неравенство

< В, в любой момент времени ния равновесия, удовлетворяющих условию

(зависящее от С), что при любых начальных отклонениях шарика от положе-

1. УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ В ПРЕДЕЛАХ

УПРУГОСТИ

1.1. Устойчивость стержня, шарнирно опертого по концам. Формула Эйлера

Определим критическую сжимающую нагрузку для стержня с прямой

осью и постоянным по длине поперечным сечением (рис. 1.1.1, а). Пусть один

конец стержня О имеет шарнирно неподвижную опору, а второй конец

а - шарнирно подвижную. Будем считать, что сжимающая сила Р приложена в

центре тяжести сечения и во все время нагружения направлена строго по вер­

тикали. Расположим оси координат, как показано на рис. 1.1.1.

Рис. 1.1.1. Сжатый стержень, шарнирно опертый по концам

При малых значениях силы Р ось стержня остается прямой и в стержне воз­

никают напряжения сжатия а=Р/А, где А - площадь поперечного сечения.

Когда, постепенно возрастая, сила Р достигнет критического значения, то наря­

ду с прямолинейной формой равновесия должна иметь место другая, ис­

кривленная форма, как изображено на рис. 1.1.1, б. Мы предполагаем, что пе­

реход от прямолинейной формы к изогнутой происходит без изменения вели­

чины силы Р, т. е. при постоянной длине осевой линии. Но тогда точка а долж­

на получить некоторое смещение А; можно сказать, что при малых прогибах А

пропорционально квадрату стрелы прогиба упругой линии и, таким образом,

является величиной второго порядка малости. В дальнейшем на рисунках ус­

ловно будет приниматься, что точка а вообще не смещается по вертикали.

Выпишем выражение для кривизны изогнутой оси стержня:

(1.1.1)

где / - момент инерции поперечного сечения, М - изгибающий момент в не­

котором сечении.

Общее выражение для кривизны имеет вид

(1.1.2)

где v - прогиб в сечении х;

Будем считать здесь прогибы малыми по сравнению с длиной стержня.

Изогнутая ось будет тогда пологой кривой; считая (dv/dx) « 1 , можно при

этом принять

(1.1.3)

Изгибающий момент в сечении х равен

(1.1.4)

(1.1.5)

Получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде

Как видно из рис. 1.1.1, а -б , при изгибе стержня, соответствующим сплош­

ной линии, прогиб v положителен, а вторая производная отрицательна; таким

образом, в уравнение типа (1.1.5) прогиб и вторая производная входят с раз­

ными знаками. Исходя из этого, мы, независимо от правила знаков для х иМ,

приходим к одному и тому же уравнению.

В курсах сопротивления материалов последующее решение задачи ведут

исходя из уравнения второго порядка типа (1.1.5). Здесь мы перейдем от (1.1.5)

к уравнению четвертого порядка, так как это придаст решению более общий

характер и позволит распространить его на другие граничные условия.

Принимая EI=const, продифференцируем (1.1.5) дважды по х; тогда получим:

(1.1.6)

Это соотношение можно также непосредственно получить, исходя из из­

вестного уравнения упругой линии

(1.1.6а)

вводя фиктивную поперечную нагрузку интенсивностью q. Рассмотрим де­

формированный элемент стержня, находящийся под действием сжимающих

усилий Р (рис. 1.1.2, а ) ; равнодействующая этих усилий, направленная вдоль

нормали, будет по рис. 1.1.2, б равна {—Р d2dv/dx

2) dx, а величина q равна

q=-Pd2v/dx

2; отсюда приходим к (1.1.6).

Введем обозначение

(1.1.7)

(1.1.8)

Однородному линейному дифференциальному уравнению (1.1.6) соот­

ветствует характеристическое уравнение s2(s

2+k

2) = 0; корни его равны

sx = s2 = 0, s3А = ik. Следовательно, интеграл уравнения (1.1.6) будет

v = A sin кх + В cos кх + Сх + D. (1.1.9)

Рис. 1.1.2. Интенсивность поперечной «нагрузки», вызываемой сжимающими силами

Для решения задачи существенно то обстоятельство, что корни s3 и s4 полу­

чаются мнимыми; это в свою очередь объясняется тем, что в уравнение типа

(1.1.5) величины v и d2v/dx

2 входят с разными знаками.

Решение (1.1.9) должно удовлетворять граничным условиям, которые в дан­

ном случае имеют вид

(1.1.10)

Пользуясь этими условиями, находим:

B+D= О, В = 0,

A sin kl + B cos kl + Cl+ D =0, A sin kl+B cos kl =0.

тогда уравнение (1.1.6) примет вид

Отсюда B= С = D = 0. Полагая будем иметь

sinkl = 0. (1.1.12) Для аргумента kl получаются значения:

kl = nn, (1.1.13)

где п - произвольное целое число . Отбрасывая решение kl = 0, как не от­

вечающее исходным данным задачи, находим:

(1.1.11)

(1.1.14)

или, по (1.1.6),

Изменяя число п, получаем последовательный ряд значений силы Р, которым

соответствуют различные искривленные равновесные формы.

Под критической силой мы условились понимать силу, при которой прямо­

линейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой. Следователь­

но, из всех возможных значений силы надо выбрать наименьшее и принять

п=1. Считая, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жест­

кости стержня, будем под / понимать минимальный момент инерции

сечения 7min.

Вводя для критической силы обозначение Ркр, получаем:

(1.1.16)

Формула такого вида была получена Л. Эйлером и носит его имя.

Вернемся к уравнению изогнутой оси стержня

Мы получили синусоиду, имеющую п полуволн. Критической силе

(при п — 1) соответствует синусоида с одной полуволной:

(1.1.18)

(1.1.17) v= Asinkx =

здесь А = f- стрела прогиба.

Принимая последовательно п - 2, 3 и т. д., получим искривленные формы

равновесия в виде синусоиды с двумя, тремя и более полуволнами в пределах

длины стержня. При этом сила Р будет в четыре, девять и т. д. раз превышать

критическую величину.

Эти формы равновесия неустойчивы, но их можно осуществить, если перей­

ти к новой системе, поставив в точках перегиба синусоиды дополнительные

шарнирные подкрепления.

Нами подразумевалось, что сжимающее напряжение в стержне лежит в пре­

делах действия закона Гука, т. е. не превышает предела пропорциональности

материала; следовательно, формулой Эйлера можно пользоваться лишь при

этом условии. Напомним также, что мы применяем приближенное выражение

(1.1.3) для кривизны изогнутой оси, что является уместным лишь при прогибах,

достаточно малых по сравнению с длиной стержня. Именно поэтому величина

стрелы погиба f осталась в конечном счете неопределенной. С математической

точки зрения рассмотренная нами задача представляет собой задачу о собст­

венных значениях линейного однородного уравнения типа (1.1.5). Тривиальное

решение v = 0 относится к начальному, неискривленному равновесному со­

стоянию стержня. Нетривиальное решение соответствует так называемым соб­

ственным функциям задачи, которые в данном случае имеют вид (1.1.17). Пер­

вая и высшие критические силы (1.1.15) являются собственными значениями

параметра Р, входящего в основное уравнение, т. е. такими значениями Р, при

которых это уравнение имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее всем

граничным условиям задачи.

1.2. Другие случаи закрепления концов

Рассмотрим далее случай, когда один конец стержня защемлен, другой —

свободен; сила Р, сохраняющая вертикальное направление, приложена к сво­

бодному концу (рис. 1.2.1). При потере устойчивости стержень получит прогиб

по форме, изображенной на рис. 1.2.1.

Дифференциальное уравнение изо­

гнутой линии сохраняет вид (1.1.8); об­

щий интеграл уравнения по-прежнему

имеет вид (1.1.9). Выпишем граничные

условия. Для защемленного конца

имеем: v=0,

п р и х = 0. (1.2.1)

На свободном конце изгибающий мо­

мент должен обратиться в нуль:

Рис. 1.2.1. Стержень, защемленный (1.2.3) одним концом, и со свободным другим

концом

Выражая поперечную силу через прогиб, получим:

или

Используя выписанные условия, находим:

(1.2.4)

(1.2.4 а)

B+D = 0, Ak+C = 0,

Ак2 sin kl+ Вк

2 cos kl = 0, А=0 (1.2.5)

Отсюда А = С = 0,В = -D. При В

(1.2.6)

n = 0, 1,2,3,... (1.2.7)

Рассуждая так же, как и в предыдущем пункте, находим критическую вели­

чину силы Р равную (при п - 0)

(1.2.2)

Поперечная сила на верхнем конце

может быть выражена через силу Р и

угол поворота:

будет

cos kl = 0

и

Уравнение изогнутой оси получает вид

v = В (cos kx -1). (1-2.9)

Если ввести обозначение для перемещения свободного конца, то найдем

при В = - f

v = f(l - cos kx). (1.2.10)

Примем теперь, что один конец стержня защемлен и неподвижен, в то

время как второй конец защемлен в подвижной опоре (рис. 1.2.2). Граничные

условия здесь будут:

Пользуясь (1.1.9), получаем:

В + D = О, Ак + С = О,

Л sin kl + В coskl + CI + D = О,

Ak cos kl — Bk sin kl + С = 0.

Для постоянных А, В получаем уравнения

A (sin kl - kl) + В (cos kl - 1) = 0,

A(cos kl - 1) - В sin kl = 0. (1.2.14)

Условие нетривиального решения

имеет вид

sin kl — kl cos kl — 1

cos kl — 1 —sinkl = 0. (1.2.15)

Рис. 1.2.2. Стержень с

защемленными концами

Отсюда для kl находим уравнение

(1.2.16)

Наименьшее возможное значение kl будет равно 2л. Если же приравнять нулю

выражение, стоящее в скобках, то наименьший корень будет kl = 8,99. Таким

образом, для определения критической силы мы должны положить kl = 2л;

тогда

(1.2.11)

(1.2.12)

(1.2.13)

Приравнивая нулю первый множитель, получим:

n = 1 , 2 , 3,... (1.2.17)

Уравнение упругой линии здесь получает вид (при 2В - —f)

v = 0,

v = 0,

= 0 при х = О,

= 0 при х = l.

Между постоянными выражения (1.1.9) получим соотношения:

В + D = 0, Л/с + С = О,

A sin kl + Bcoskl + Cl + D = О,

A sin kl + B cos kl = 0.

или tg kl = kl.

(1.2.21)

(1.2.22)

(1.2.23)

Рис. 1.2.4. Приведенная длина при различных

условиях закрепления

Рис. 1.2.3. Один конец

стержня защемлен, а

другой оперт шарнирно

Наименьшее значение kl, удовлетворяющее этому уравнению, будет

через f по-прежнему обозначена стрела прогиба (рис. 1.2.2).

Наконец, обратимся к случаю, когда нижний конец стержня неподвижно

защемлен, в то время как верхний имеет шарнирную опору (рис. 1.2.3).

Граничные условия будут:

При - D = В = - Akl, С = - Ak будем иметь

sin kl - kl cos kl = 0

б)

Уравнение упругой линии будет

v =A[sin кх - кх + kl(l - cos кх)]. (1.2.27) На рис. 1.2.4, а - в сопоставлены упругие линии для рассмотренных случаев

закрепления. Формулу Эйлера можно записать теперь в обобщенном виде:

Обозначим через imin минимальный радиус инерции поперечного сечения:

тогда получим:

(1.2.31)

(1.2.32)

здесь обозначена так называемая гибкость стержня:

Для критической силы находим выражение

или, с известным приближением,

Г*Р ~ , 2 (1.2.26)

(1.2.28)

или

(1.2.29)

Под /о понимается приведенная длина стержня. При произвольных гранич­

ных условиях ее можно трактовать как длину эквивалентного стержня, имею­

щего по концам шарнирные опоры. Величину v = l0IL называют коэффициентом

приведения длины; он равен отношению длины полуволны синусоиды к дейст­

вительной длине стержня; на рис. 1.2.4 а - в полуволна синусоиды выделена;

здесь же приведены значения v.

Величине Ркр по (1.2.28) соответствует критическое напряжение в попереч­

ном сечении,равное

(1.2.30)

Через

1.3. Пределы применимости формул Эйлера. Равновесные формы

в закритической области

Как уже говорилось, формула Эйлера справедлива при условии, что дефор­

мация сжатия стержня вплоть до момента потери устойчивости подчиняется за­

кону Гука. Иными словами, критическое напряжение не должно превышать

предела пропорциональности для данного материала:

или

(1.3.2)

Предельная «упругая» гибкость стержня, т. е. наименьшая гибкость, при кото­

рой еще можно пользоваться формулой Эйлера, будет

(1.3.3)

(1.3.4)

До сих пор мы ставили перед собой цель определить первую критическую

силу, предполагая, что для сжатого стержня она является предельной. Действи­

тельно, для элементов металлических конструкций достижение нагрузкой кри­

тической величины сопровождается значительными деформациями и, как пра­

вило, приводит к исчерпанию их несущей способности. Однако в некоторых

случаях, например, для гибких тонких полос, приходится вести расчет, исходя

из того, что элемент конструкции подвергается действию нагрузок, превосхо­

дящих критическую. Перемещения концевых сечений такого стержня обычно

ограничивают, исходя из конструктивных соображений.

Таким образом, для практических целей важно исследовать закритическую

деформацию сжатых стержней. Кроме того, этот вопрос имеет большое теоре­

тическое значение, так как позволяет установить случаи неприменимости ли­

нейных уравнений и уточнить критерий устойчивости.

Рассмотрим закритические равновесные формы на примере стержня, за­

щемленного нижним концом и при свободном втором конце. Будем считать,

что к верхнему концу приложена сила Р, сохраняющая свое направление (рис.

1.3.1). Так как здесь прогибы уже нельзя считать малыми по сравнению с дли­

ной стержня, то мы должны воспользоваться точным выражением (1.1.2) для

кривизны упругой линии. Предполагая, что напряжения лежат в пределах про­

порциональности, получим нелинейное уравнение

(1.3.5)

(1.3.1)

Условие (1.3.1) получает вид

Рис. 1.3.1. К точному решению задачи о

закритической деформации стержня

Обозначим горизонтальное смещение верхнего

конца через /, тогда изгибающий момент в некотором

сечении на расстоянии х от нижнего конца равен

M=-P(f-v). Введем вместо v новую переменную

y = v~f

(1.3.6)

(1.3.7)

и воспользуемся обозначением (1.1.7); тогда уравне­

нию (1.3.5) можно придать вид

(1.3.8)

(1.3.9)

(1.3.10)

в справедливости этого соотношения легко убедиться непосредственным диф­

ференцированием. Исходя из (1.3.9), находим

С = 1 -

уравнение (1.3.10) принимает вид

(1.3.11)

= 1 -

Отсюда вытекает

ds = dx

Пользуясь выражениями (1.3.12) и (1.3.14), приходим к зависимости

(1.3.12)

(1.3.13)

(1.3.14)

Граничные условия будут

У = ~ f. при х = 0.

Выпишем первый интеграл уравнения (1.3.8):

( f 2 - у 2 ) .

Разделяя переменные, получим:

Длина элемента изогнутой линии as по рис. 1.3.2 равна

к ds =

Введем новые переменные

dy. (1.3.16)

(1.3.18)

Выражение типа

(1.3.21)

носит название полного эллиптического интеграла первого рода. Так как ниж-

Сравнивая (1.3.18) и (1.3.23) и оставляя один из знаков, находим

(1.3.24)

Взятые вместе, соотношения (1.3.22) и (1.3.23) позволяют установить зави­

симость между отклонением верхнего конца стержня f и нагрузкой Р. Пусть

связанные сy , j и Этакими соотношениями:

(1.3.19)

(1.3.17)

Тогда по (1.3.7) и (1.3.8)

Соотношение (1.3.16) приобретает вид

kds =

Рис. 1.3.2. Элемент изогнутой оси стержня Мы считаем, что длина осевой ли­

нии / является неизменной. Относя зна­

чение к нижнему концу стержня, примем по (1.3.18):

и = 0 , 1,2, . . . . (1.3.19а)

С другой стороны, для верхнего конца должно быть у = 0. Соответствую­

щее значение положим для определенности равным

Интегрируя левую и правую части (1.3.19) по всей длине стержня, получим:

(1.3.20)

ний предел интеграла (1.3.20) равен

больше выражения (1.3.21):

то этот интеграл будет в раз

(1.3.22)

Интегралы вида (1.3.21) табулированы и приводятся во многих справочных

книгах.

Вернемся теперь к соотношениям (1.3.17); второе из них дает

(1.3.23)

kv = 2 sin (1 — cos

известны жесткость стержня EI и длина /. Допустим, что задана величина на­

грузки Р; тогда по (1.1.7) можно найти А: и из (1.3.22), при том или ином п, оп-

Рп = (2п + 1УРкр , (1.3.26)

где Ркр - первая критическая сила. Значения Рп при п = 1, 2, 3 и т. д., будут со­

ответствовать другим точкам разветвления равновесных состояний по (1.2.7),

т. е. высшим критическим силам. Соотношениям (1.3.22) и (1.3.23) можно при­

дать вид:

Положим, например, Р = ЗРкр. Тогда при п = О из (1.3.27) будем иметь

= 2,72.

и, далее,

(1.3.27)

(1.3.28)

На рис. 1.3.3 изображена зависимость между величинами Р/Ркр и f/l для

п = 0. С увеличением нагрузки прогиб верхнего конца вначале возрастает до

значения 0,8061, а затем начинает уменьшаться. В пределе, при Р -> со, должно

быть f->0.

Рис. 1.3.3. Зависимость между стрелой прогиба и нагрузкой в закритической области

ределить параметр Наконец, по (1.3.23) может быть найдено отклонение f.

Таким образом, определяется соотношение Р - P(f) для каждого значения п.

Если положить = 0, то при к получим /= 0. В этом предельном случае

выражение (1.3.22) становится Равенство (1.3.22) тогда дает

( 2 п + 1 )2, (1.3.25)

или, по (1.2.7),

По таблице эллиптических интегралов находим

Аналогичным образом может быть получена зависимость между нагрузкой

и прогибом верхнего конца для п = 1, 2, 3 и т. д. Отметим, что точки соответст­

вующих кривых могут быть получены по точкам первой кривой (для п — 0), ес­

ли их абсциссы умножать на (2п+1)2, а ординаты делить на (2п+1), это следует

из (1.3.27) и (1.3.28). Несколько таких кривых приведено на рис. 1.3.4.

f / i

Рис. 1.3.4. Диаграммы «прогиб - нагрузка» при нагрузках, превышающих первую и высшие критические силы

Форму упругой линии

стержня, отвечающую тому или

иному значению нагрузки, мож­

но найти, исходя из зависимости

(1.3.24). Как легко видеть по

(1.3.8), вторая производная от у

по х обращается в нуль при

у = 0,т. е. при значениях проги­

ба v, равных f; здесь будут ле­

жать точки перегиба упругой

линии. С другой стороны, из

(1.3.17) для этих значений про­

гиба находим cos

Рис. 1.3.5. Формы упругой линии стержня

= 0 и

так как верх­

ний предел для мы приняли равным

В случае п = 0 упругая ли­

ния не будет иметь точек пере-

гиба; при п = 1 получим одну точку перегиба, при п = 2 — две и т. д. Упругие

линии для случаев и= 1 и п = 2 представлены на рис. 1.3.5.

Для значений нагрузки, мало отличающихся от первой критической вели­

чины, можно установить простую приближенную зависимость между Р и f.

Положим п — 0; тогда по (1.3.27) и (1.3.28)

(1.3.29)

Выражение для полного эллиптического интеграла может быть пред-

(1.3.31)

Тогда из (1.3.30) получим:

Таким образом, первый участок кривой рис. 1.3.5 можно с известным при­

ближением заменить отрезком квадратной параболы. Судя по формуле (1.3.30)

и графикам рис. 1.3.5, в закритической стадии стрела прогиба стержня возрас­

тает весьма быстро. Если нагрузка превышает критическую лишь на 1%, то

стрела прогиба должна составить уже около 0,18l. Для стержней в металличе­

ских конструкциях напряжения при подобных значениях прогиба обычно пре­

вышают предел пропорциональности. Следовательно, исследование закрити­

ческой деформации имеет смысл только по отношению к стержням большой

гибкости.

ставлено в виде ряда по степеням sin

(1.3.30)

При достаточно малом

находим

ограничиваясь первыми двумя членами ряда,

(1.3.30 а)

С другой стороны, во втором из равенств (1.3.29) можно положить

(1.3.32)

1.4. Различные критерии устойчивости и методы решения задач

Рассматривая сжатый стержень, различным образом закрепленный по кон­

цам, мы использовали один из наиболее употребительных критериев потери ус­

тойчивости: мы исследовали, при каких условиях наряду с начальным состоя­

нием равновесия возникают соседние, новые равновесные формы. Такой под­

ход к решению задач устойчивости будем называть статическим.

Другой критерий относится к потенциальной энергии, накапливаемой сис­

темой, и может быть назван энергетическим. Исследуем переход от начального

равновесного состояния к изогнутому и определим приращение потенциальной

энергии деформации, а также работу внешних сил. Если энергия деформации

окажется больше работы внешних нагрузок, то, очевидно, система будет воз­

вращаться к начальному положению равновесия; следовательно, его положение

можно считать устойчивым. Напротив, условие неустойчивости состоит в том,

что работа внешних сил превышает потенциальную энергию деформации. При

безразличном равновесии (в линейной постановке задачи) приращение энергии

деформации должно быть равно работе внешних сил. Если внешние силы яв­

ляются консервативными, т. е. если работа их зависит только от начального и

конечного положений точек приложения и не зависит от траекторий перемеще­

ния этих точек, то можно ввести понятия потенциала внешних сил и полной по­

тенциальной энергии системы. Тогда данный критерий можно сформулировать

в применении к полной энергии системы, вернее, к ее приращению при перехо­

де от начального равновесного состояния к соседнему.

Третий, наиболее общий путь состоит в исследовании движения системы,

вызываемого некоторыми малыми возмущениями начального равновесного со­

стояния. Такой критерий может быть назван динамическим. Если малые воз­

мущения вызывают динамические перемещения системы, лежащие в опреде­

ленных пределах, то начальное состояние является устойчивым. Точнее, при

наличии устойчивости всегда можно подобрать такие начальные возмущения,

чтобы при последующем движении системы перемещения ее точек не вышли за

некоторые, наперед заданные границы. Если речь идет о консервативной сис­

теме, на которую действуют консервативные заданные силы, а работа реакций

связей и сил сопротивления равна нулю, то такая система будет совершать соб­

ственные колебания около положения равновесия. Критерием потери устойчи­

вости будет при этом - как уже было сказано в п. 1.1 - обращение в нуль час­

тоты собственных колебаний.

Энергетический критерий, как он был сформулирован выше, является, по

существу, статическим, так как относится только к потенциальной энергии сис­

темы и позволяет анализировать лишь различные равновесные формы. Однако

энергетический критерий можно применить и при динамической постановке

задачи, если ввести в рассмотрение кинетическую энергию системы и исследо­

вать изменение функции, включающей как потенциальную, так и кинетическую

энергии.

Определяя критическую нагрузку, отвечающую точке разветвления равно­

весных состояний, мы имеем в виду некоторую идеальную систему. Мы счита­

ем, например, что ось сжатого стержня является строго прямолинейной, что на­

грузка приложена в центре тяжести сечения, что материал является однород­

ным и т. д. В реальных конструкциях такие условия, как правило, не выполня­

ются. Можно определить характер устойчивости идеальной системы, изучая

поведение близкой к ней несовершенной системы и устремляя параметры, ха­

рактеризующие эти несовершенства, к нулю. Как мы увидим ниже, влияние на­

чальных несовершенств резко возрастает, когда нагрузка приближается к кри­

тической величине, вычисленной для соответствующей идеальной конструк­

ции, это и служит критерием устойчивости идеальной системы, который можно

назвать критерием начальных несовершенств.

Приводят ли перечисленные выше критерии устойчивости той или иной

системы к одному и тому же результату? Как мы убедимся ниже, в задачах, от­

носящихся к консервативным системам, такое совпадение имеет место, поэтому

применение различных критериев может служить для проверки правильности

решения задачи. В случае же неконсервативной системы следует пользоваться

динамическим критерием, так как статический (или энергостатический) подход

может в ряде случаев привести к ошибочным результатам.

Определение критической нагрузки как точки бифуркации равновесных

форм сводится, как мы видим, к решению линейной задачи; к такой задаче и от­

носились перечисленные нами критерии устойчивости. Если же исследуется

послекритическое поведение системы, то задача является нелинейной. Своеоб­

разие нелинейной задачи состоит в том, что здесь одной и той же системе на­

грузок может соответствовать несколько различных деформированных состоя­

ний, одни из которых являются устойчивыми, а другие - неустойчивыми. Так,

например, в случае сжатого стержня при нагрузках, незначительно превышаю­

щих первую критическую величину, мы получали две устойчивые изогнутые

формы стержня (при изгибе стержня в одну и другую сторону) и неустойчивую

форму - прямолинейную. Правда, при определении точки бифуркации мы так­

же сталкиваемся с серией различных равновесных состояний, но от каждого из

них можно непосредственно перейти к другому, соседнему; в нелинейной же

системе равновесные формы могут резко различаться между собой. Допустим,

что тяжелый шарик перемещается по поверхности более сложной конфигура­

ции, имеющей не одно, а два углубления (рис. 1.4.1, а - б). Если шарик перво­

начально находится в левой «ямке», то его поведение при отклонении от устой­

чивого равновесного состояния А зависит от характера возмущений. Если ша­

рик получит малое отклонение или малую начальную скорость, то он будет ис­

пытывать ограниченные колебания около А, не выходя за пределы ямки. Если

же шарик получит достаточно большой толчок, то он может перескочить через

неустойчивое равновесное положение В, попасть в правую «ямку» и начать ко­

лебаться около нового равновесного состояния С. Вероятность перескока ша­

рика из одной ямки в другую зависит от того, насколько высок разделяющий их

барьер. Например, в случае, показанном на рис. 1.4.1, б, эта вероятность боль-

ше, чем в случае рис. 1.4.1, а. Так как высота Н пропорциональна разности по­

тенциалов силы веса шарика, то она характеризует потенциальный барьер, пре­

одоление которого необходимо при перескоке.

Рис. 1.4.1. Устойчивость «в большом»

Мы будем говорить, что в положении А шарик устойчив «в малом», т. е.

при сравнительно малых возмущениях. Вместе с тем он может оказаться неус­

тойчивым «в большом», если возмущения превысят известный предел.

Выбрав тот или иной критерий, мы должны далее принять определенный

метод решения задачи. Если применяется статический или динамический кри­

терий, то можно исходить из дифференциальных уравнений равновесия или

движения для отклоненных положений и непосредственно интегрировать эти

уравнения. Этот путь возможен, однако, лишь в простейших задачах. В более

сложных случаях приходится пользоваться различными приближенными мето­

дами определения критической нагрузки. Так, например, дифференциальное

уравнение равновесия или движения может быть заменено уравнением в конеч­

ных разностях, в зависимости от числа интервалов задача будет решена с той

или иной степенью точности. Другой путь заключается в том, что дифферен­

циальное уравнение - линейное или нелинейное - заменяется интегральным,

т. е. таким, которое включает под знаком интеграла функции, характеризующие

отклоненные состояния системы. Тогда для решения задачи можно применить

метод последовательных приближений, позволяющий шаг за шагом уточнять

характер равновесных форм системы и, в линейных задачах, величину критиче­

ской нагрузки. Теория интегральных уравнений содержит также ряд других пу­

тей определения наименьшего параметра, характеризующего разветвление

(бифуркацию) решений; это значение параметра соответствует интересующей

нас критической нагрузке.

Пользуясь энергетическим критерием, мы должны представить себе, какой

характер имеют отклоненные положения системы, и составить выражения для

потенциальной энергии деформации и работы внешних сил. В линейных зада­

чах критическая нагрузка приближенно определяется путем непосредственного

сопоставления этих величин. Чаще всего энергетический подход осуществляет­

ся с помощью метода Ритца, в котором отклоненное положение равновесия

или движения характеризуется с помощью нескольких независимых парамет­

ров. Подобная аппроксимация отклоненного состояния применяется и в методе

Бубнова-Галеркина, который может быть обоснован из энергетических сооб­

ражений - исходя из принципа возможных перемещений, — но, с другой сторо­

ны, может трактоваться как «формальный» прием приближенного интегриро­

вания дифференциальных уравнений, когда форма интегральной кривой может

быть заранее оценена из физических представлений.

Все перечисленные выше методы позволяют приближенно решать те или

иные краевые задачи теории упругости, поскольку вместе с дифференциальны­

ми уравнениями задачи должны быть заданы граничные условия для переме­

щений или усилий. Существует, однако, путь — он назван ниже методом

проб, - когда задача ставится как задача с начальными условиями: например,

для стержня задается прогиб и угол поворота для одного из концевых сечений.

Граничные условия, относящиеся ко второму концевому сечению, выполняют­

ся после пробных попыток путем варьирования параметра нагрузки, входящего

в дифференциальное уравнение. Трактовка проблемы о собственных значениях

как задачи с начальными условиями имеет особенно большое значение в связи

с применением электронных вычислительных машин; здесь могут быть успеш­

но применены методы оптимального программирования.

Мы познакомились уже с одним из «статических» методов исследования

устойчивости сжатого стержня - непосредственным интегрированием диффе­

ренциального уравнения упругой линии для отклоненного положения. В после­

дующих разделах мы на том же простом примере познакомимся с другими кри­

териями устойчивости и методами решения задач.

1.5. Приложение принципа возможных перемещений

Как известно, наиболее общим принципом, позволяющим исследовать рав­

новесные состояния упругих систем, является принцип возможных перемеще­

ний: он относится не только к линейным, но и к нелинейным статическим зада­

чам; в соединении с принципом Даламбера его можно использовать и в дина­

мических задачах. Поэтому изложение энергетических соотношений мы начнем

с применения принципа возможных перемещений. Согласно этому принципу

равновесное состояние упругой системы характеризуется тем, что сумма работ

всех внешних и внутренних сил на любых кинематически возможных переме­

щениях точек упругой системы равна нулю.

Допустим, что стержень длиной l, известным образом закрепленный по

находим

концам, подвергается действию сжимающей силы Р. Обозначим через

боту внутренних сил при переходе от данной искривленной формы к ра-

другой,

близкой к ней, а через - соответствующую работу сжимающей нагрузки.

Если исходная форма стержня является равновесной, то должно удовлетворять­

ся равенство

(1.5.1)

(1.5.2)

Работа внутренних сил может быть представлена выражением

где через обозначена вариация кривизны упругой линии. Примем для кри­

визны значение (1.1.3), так как речь идет о малом отклонении упругой линии

стержня от оси х; тогда

(1.5.3)

(1.5.3а)

Интегрируя это выражение по частям, получим

Повторное интегрирование дает

Пользуясь соотношениями

= Q, М = - (1.5.4)

(1.5.5)

Работа внешней нагрузки на возможном перемещении будет

Развертывая множитель при dx в ряд по формуле бинома Ньютона и ограничи­

ваясь первыми двумя членами ряда, находим

Работа

(1.5.10)

или

(1.5.10а)

(1.5.6)

где через е обозначена проекция взаимного смещения концов стержня, имею­

щего место при искривлении, на направление силы Р; величина е считается по­

ложительной при сближении концов. Напомним, что величина и направление

сжимающих сил считаются неизменными. Воспользуемся соотношением

(1.3.15) между длиной элемента изогнутой линии ds и проекцией его dx на на­

правление Р:

ds — dx (1.5.7)

Полная длина изогнутой линии, равная длине стержня до искривления, будет

(1.5.8)

здесь через lг обозначена длина проекции изогнутой линии на направление

оси х. Проекция смещения краев оказывается равной

(1.5.9)

будет тогда

Интегрирование по частям дает

(1.5.11)

dx = 0.(1.5.12)

Уравнение (1.5.1) получает вид

Мы пришли к вариационному уравнению (1.5.12), вытекающему из принципа

возможных перемещений.

Считая, что вариации произвольны и что первые два члена в левой части

обращаются в нуль, получим отсюда дифференциальное уравнение (1.1.6).

С другой стороны, рассмотрение внеинтегральных членов приводит к статиче­

ским граничным условиям задачи. Так, в случае свободного конца, при условии

получим:

м = о, О - Р

что соответствует равенствам (1.2.2) и (1.2.3).

1.6. Энергетический критерий устойчивости

При исследовании равновесных состояний консервативных систем можно

вместо вариаций работы внутренних и внешних сил ввести вариацию полной

потенциальной энергии системы. Как известно, работа внутренних сил на воз­

можном перемещении равна взятой со знаком минус вариации потенциальной

энергии деформации:

(1.6.1)

(1.6.2)

Сопоставляя (1.5.10) и (1.5.11), находим:

или

Отсюда вытекает известное выражение для потенциальной энергии деформа­

ции изогнутого стержня:

U = dx. (1.6.3)

Это выражение можно также записать в виде

U = (1.6.4)

С другой стороны, по (1.5.10) находим работу внешней нагрузки, про­

изводимую силой Р при искривлении стержня:

W = dx. (1.6.5)

Величина Wравна взятому со знаком минус изменению потенциала нагрузки:

V = —W = — (1.6.6)

Сумма потенциальной энергии деформации и изменения потенциала нагрузки

представляет собой полную энергию упругой системы Э:

Э= U + V = U - W. (1.6.7)

Таким образом, в рассматриваемом случае полная энергия равна

dx. (1.6.8)

При возможном отклонении стержня от равновесного положения первая вариа­

ция от полной энергии должна быть равна нулю:

(1.6.9)

что соответствует равенству (1.5.1).

Об устойчивости равновесного положения можно судить по знаку второй

вариации от полной энергии. Если исходное положение устойчиво, то вторая

вариация положительна:

(1.6.10)

При этом энергия прямолинейной формы стержня будет минимальной по от­

ношению к значениям энергии для близких к ней искривленных форм.

Если вторая вариация от энергии отрицательна,

(1.6.11)

то рассматриваемая равновесная форма будет неустойчивой.

Безразличному равновесию стержня соответствует равенство нулю второй

вариации:

(1.6.12)

Рассмотрим случай шарнирно закрепленного по концам стержня, сжатого

силами Р по концам. Принимая для искривленной упругой линии уравнение

(1.1.18) получим из (1.6.8):

э= (1.6.13)

(1.6.14)

(1.6.15)

Введем безразмерные параметры

Э * =

где h - высота сечения стержня. Тогда по (1.6.13) и будет (1.6.16)

Первая вариация от Э* равна

(1.6.16)

(1.6.17)

а вторая вариация

Любая прямолинейная форма является равновесной; при = 0 будет всегда

между Р и Ркр; Устойчивость равновесия зависит от соотношения

при Р < Ркр, Р > Ркр и Р = Ркр будут соответственно выполняться равенства

(1.6.10), (1.6.11), (1.6.12).

1.7. Методы Ритца и Тимошенко

Энергетический критерий служит основой для эффективных при­

ближенных методов решения задач устойчивости, кратко охарактеризованных

выше. Рассмотрим эти методы более подробно.

Примем, что изогнутая линия стержня при потере устойчивости прибли­

женно может быть представлена с помощью ряда

(1.7.1) v — Здесь под понимаются функции х, удовлетворяющие геометрическим гра­ничным условиям задачи, т. е. таким условиям, которые относятся к прогибам и

углам поворота. Подставим (1.7.1) в выражение для полной энергии системы

(1.6.8). Тогда энергия окажется зависящей от параметров прогиба f i. Вариацию

можно при этом представить как сумму вариаций, соответствующих воз­

можным изменениям параметров f i :

(1.7.2)

Так как рассматриваемые нами изогнутые состояния являются равновесными,

то вариация по (1.6.10) должна быть равна нулю:

(1.7.3)

Но вариации можно считать независимыми друг от друга; поэтому равенст­

во (1.7.3) будет иметь место, если каждый из множителей при

равен нулю:

будет

(1.7.4) = 0, i = 1,2, ...,n.

Судя по (1.6.8), энергия должна являться квадратичной функцией параметров f i.

Вычисляя производные по f i мы получим линейные функции f i . Следовательно,

равенства (1.7.4) представляют собой систему п линейных алгебраических од­

нородных уравнений относительно f i, в коэффициенты при f i входит нагрузка

(1.7.5)

Уравнение (1.7.5) будет содержать нагрузку в степени п. Решая это уравнение,

мы получим п значений Р. Наименьшее из этих значений и будет приближен­

но отвечать первой критической силе. Подобный метод решения вариационных

задач носит название метода Ритца.

Результаты, получаемые с помощью первых приближений по методу Ритца,

можно несколько улучшить, представив выражение для энергии (1.6.8) в ином

виде. Пользуясь вторым из соотношений (1.5.4), напишем

э= dx. (1.7.6)

Р. Если считать то условием наличия решения системы (1.7.4) будет яв-

ляться равенство нулю определителя, составленного из коэффициентов при

Допустим, что изогнутая линия стержня приближенно представлена в виде

ряда (1.7.1). Тогда в числителе и знаменателе дроби (1.7.8) или (1.7.10) мы по­

лучим функции параметров f i . Желая найти наименьшее значение нагрузки,

приравняем нулю производные от Р по fi.

Изгибающий момент М в некотором сечении можно выразить через сжимаю­

щую силу Р и прогиб v. Затем следует идти тем же путем, что и при использо­

вании выражения (1.6.8). В этом случае нам не приходится вычислять вторых

производных от v, как это приходилось делать раньше. Но при аппроксимации

изогнутой линии обычно более или менее хорошо улавливается лишь общее

очертание кривой, в то время как приближенные значения вторых производных

сильно отличаются от истинных. Этим объясняется преимущество применения

выражения (1.7.6) по сравнению с (1.6.8).

Метод Ритца в приложении к линейным задачам устойчивости может быть

использован и в другой форме, указанной С. П. Тимошенко. Как мы видели,

при безразличном равновесии должно быть Если рассматри­

вать весьма малые отклонения стержня, то можно принять полную энергию по­

стоянной: Э = const. Условимся, что нулевой уровень будет соответствовать

критической силе, и примем для Р = Ркр:

Э = U -W = 0. (1.7.7)

Это можно пояснить таким образом, что при продольном изгибе потенциальная

энергия деформации изгиба U оказывается в точности равной работе внешней

сжимающей нагрузки W. Пользуясь теперь выражением (1.6.8), находим

Р = 1 кр

(1.7.8)

Можно также воспользоваться вторым выражением для энергии (1.7.6).

Обозначаем через т изгибающий момент в некотором сечении, отвечающий

силе Р=1. Тогда вместо (1.7.6) можно написать

dx. (1.7.9)

(1.7.10)

Исходя из (1.7.7), находим теперь

Р =

= 0, i = 2 , . . . , п. (1.7.11)

Для линейных задач мы получим тогда точно те же результаты, что и по

уравнениям (1.7.4).

1.8. Метод Бубнова-Галеркина

Другой приближенный метод, предложенный И. Г. Бубновым и развитый

Б. Г. Галеркиным, можно связать с вариационным уравнением задачи (1.5.12).

Допустим, что изогнутая линия стержня аппроксимируется рядом того же вида

или, в более общей форме,

(1.7.1), причем каждая из функций удовлетворяет не только геометриче­

ским, но и статическим граничным условиям задачи. Подставим выраже­

ние (1.7.1) в уравнение (1.5.12). Внеинтегральные члены, отвечающие

статическим граничным условиям, должны тогда выпасть . Вместо

можно подставить выражение

тогда уравнение (1.5.12) приобретет вид

(1.8.1)

(1.8.2) dx = 0.

Но если вариации независимы и произвольны, то отсюда вытекает

система п уравнений типа

dx = 0, i = 1, 2, п. (1.8.3)

Под v в выражении, стоящем в скобках, понимается ряд (1.7.1). После ин­

тегрирования мы снова получим систему однородных линейных алгебраиче­

ских уравнений относительно fi , из условия совместности которых (при нетри­

виальном решении) находим критическую нагрузку. Так как уравнения (1.8.3]

метода Бубнова-Галеркина и уравнения (1.8.3) метода Ритца отвечают одним и

тем же энергетическим зависимостям, то получаемые по этим методам резуль­

таты должны совпадать.

Как легко заметить, в скобках под знаком интеграла в (1.8.3) содержится ле­

вая часть дифференциального уравнения, соответствующего уравнению (1.1.8)

Метод Бубнова-Галеркина можно обобщить, подставляя вместо этих скобок

другие операторы. Такой оператор может, например, отвечать уравнении:

(1.1.5); тогда будет

dx = 0 (1.8.4)

dx = 0. (1.8.5)

Но при этом результаты вычислений уже не будут, вообще говоря, совпадать с

данными, полученными по методу Ритца. Если в основу вычислений берется

уравнение (1.8.5), то уравнение избранной упругой линии должно быть подчи­

нено лишь геометрическим граничным условиям для прогиба.

1.9. Метод конечных разностей. Упругая шарнирная цепь. Метод

коллокации. Метод последовательных приближений

Вернемся теперь к приближенным методам, относящимся по нашей клас­

сификации к статическому критерию устойчивости. Остановимся прежде всего

на методе конечных разностей. Пусть имеется в виду уравнение (1.1.5). Разде­

лим общую длину стержня на п равных частей, длину каждого интервала обо­

значим через s. Вторую производную для некоторой точки, разделяющей два

соседних интервала, можно заменить приближенно с помощью так называемой

центральной разности:

нию второй производной отвечает изгибающий момент от силы Р в i-й точке:

Примем для одного из концов стержня v0 = 0, a vi - заданной величиной, не рав­

ной нулю. Будем определять последовательно приращения v i , пользуясь фор­

мулами:

под понимаются прогибы в соответствующих точках. Этому значе-

М= (-Р ). Тогда уравнение (1.1.5) получит вид

(1.9.1)

Таких уравнений можно составить (п - 1); в них будут входить значения проги­

бов в концевых точках. Таким образом, получаем систему (п - 1) алгебраиче­

ских линейных уравнений относительно v i , условие совместности этих уравне­

ний (при ненулевом решении) снова приводит к определению критической на­

грузки.

Другой вариант метода конечных разностей, который получил в литературе

название метода упругой шарнирной цепи, состоит в следующем. Разделим дли­

ну стержня на п равных частей. Обозначим прогибы в узлах через

выпишем дифференциальное уравнение для шарнирно опер­

того стержня в виде

где s = l/п, или представляя производную v' через разность, «взятую вперед»,

Вводя прежнее обозначение Р* = Рl2 /Е1, находим:

Подставляя сюда значения х)2, я),, мы можем выразить прогиб любого узла

через x>i, используя, далее, граничное условие для второго конца стержня, полу-

ям задачи. Параметры fi, определяются таким образом, чтобы после подстанов­

ки выражения (1.7.1) основное дифференциальное уравнение задачи удовлетво­

рялось для п значений независимой переменной. Точки, в которых выполняется

уравнение, называются «точками коллокации». Они могут быть выбраны, во­

обще говоря, произвольным образом, но обычно их располагают на равных

расстояниях друг от друга. Если имеется характерный участок резкого измене­

ния функции, то желательно здесь располагать точки коллокации более часто;

при использовании метода конечных разностей интервала в такой области так­

же «размельчают».

Энергетические методы, метод конечных разностей и метод коллокации

можно объединить в том отношении, что при их применении задача сводится к

получим: Считая

(1.9.2)

чаем из (1.9.2) при

Соотношения уравнение относительно критической нагрузки Р*.

типа (1.9.2) можно пояснить следующим образом. Допустим,

что стержень разделен на п абсолютно жестких звеньев, связанных между со­

бой упругими шарнирами. Единичному углу поворота в i-м узле соответствует

момент

Если бы все звенья имели тот же угол наклона, что и первое звено, мы получи­

ли бы При наличии взаимного поворота звеньев в первом узле

нужно ввести «поправку» к этой величине, равную для Остальные члены в выражении для

ворота в других узлах вплоть до /-го. определяют «поправки» от углов по-

Обратимся к методу коллокации, который занимает как бы промежуточное

положение между методом Бубнова-Галеркина и методом конечных разностей.

Выражение для прогиба аппроксимируем снова с помощью ряда (1.7.1),

причем каждая из функций должна соответствовать всем граничным услови-

рассмотрению системы алгебраических уравнений. Подобные методы в мате­

матической физике называют прямыми.

При использовании энергетических методов нам приходилось аппроксими­

ровать упругую линию, причем погрешность результата зависела от того, на­

сколько удачно выбрано выражение для прогиба. Правда, в предыдущих пара­

графах мы могли сколь угодно близко подойти к точной величине критической

силы, но для этого нужно было всякий раз вводить новый параметр прогиба.

Характер дополнительной составляющей мог быть выбран нами по тем или

иным соображениям. Перейдем теперь к рассмотрению метода последователь­

ных приближений, при котором новое приближение целиком основывается на

предыдущем и вытекает из него, не будучи связано с интуицией автора расчета.

Сущность этого метода состоит в том, что в качестве исходной упругой

линии берется любая кривая, удовлетворяющая условиям на концах. Абсолют­

ные значения ординат этой кривой могут быть выбраны произвольно, так как

при критической нагрузке (если исходить из приближенного дифференциаль­

ного уравнения упругой линии) они определяются с точностью до постоянного

множителя. Далее решается задача об изгибе стержня под действием данной

системы внешних продольных сил. Если бы кривая была нами сразу подобрана

правильно, то, определив изгибающие моменты и проинтегрировав дифферен­

циальное уравнение упругой линии, мы должны были бы получить ту же кри­

вую. Если же первоначальная кривая была подобрана лишь приближенно, то

вторая кривая будет отличаться от первой. Иными словами, новая равновесная

изогнутая форма окажется не той, что мы выбрали раньше. Чтобы прийти к но­

вой упругой линии, надо изменить ординаты прежней. Но так как при наличии

только осевой сжимающей силы изгибающие моменты пропорциональны ор­

динатам, то это тождественно изменению в раз величины внешней нагрузки.

То обстоятельство, что ординаты новой кривой отличаются в раз от ординат

первоначальной кривой, указывает на то, что внешние силы надо увеличить или

уменьшить в раз, чтобы получить критическую нагрузку. Но, как правило, в различных сечениях стержня мы будем получать разные отношения ординат.

Можно условиться определять критическую нагрузку через отношение макси­

мальных ординат или отношение площадей, охватываемые упругой линией.

Ниже будет указан также метод, когда истинное значение критической нагруз­

ки окажется взятым «в вилку», т. е. представится возможным одновременно

подходить к нему сверху и снизу. От первого приближения мы можем далее

перейти ко второму и т. д. При этом мы будем получать ряд значений опре­

деляющих в пределе истинную величину критической нагрузки.

Методу последовательных приближений может быть придана аналитиче

екая и графическая форма.

1.10. Применение интегральных уравнений.

Приближенное определение первой критической нагрузки

Пользуясь методом последовательных приближений, мы задавались той или

иной упругой линией - совпадающей в случае шарнирно опертых концов

стержня с эпюрой изгибающих моментов от сжимающих сил и находили но­

вую упругую линию путем интегрирования; сравнение первоначальных и вновь

найденных ординат позволяло определить приближенное значение критической

нагрузки и установить, какая форма изогнутой оси ему соответствует. Идя по

этому же пути, но исходя из более общих соображений, можно составить инте­

гральное уравнение задачи - уравнение, заключающее неизвестную функцию

прогиба под знаком интеграла.

а) б) в) г)

Рис. 1.10.1. К выводу интегрального уравнения задачи

Рассмотрим стержень, шарнирно опертый по концам. Определим прогиб в

некотором сечении х, пользуясь формулой Максвелла-Мора:

М = М = (1.10.2)

(1.10.1)

где М - изгибающий момент в текущем сечении от заданных сил, - момент

в том же сечении от единичной силы, приложенной в точке с координатой х.

Как видно из рис. 1.10.1, эти моменты будут (при сжимающей силе Р):

при X <

при

Воспользуемся безразмерными параметрами

(1.10.3)

(1.10.4)

и представим (1.10.1) в виде

Будем в дальнейшем опускать индексы при х и

(в безразмерных величинах)

Введем обозначения

(1.10.5)

Учтем также, что в общем случае момент инерции сечения / и модуль Е пере-

и выразим их через некоторые приведенные

(1.10.6)

(1.10.7)

тогда выражение (1.10.4) примет вид

как легко видеть из (1.10.5), является симметричной от-Функция

носительно переменных х и

(1.10.8)

(1.10.9)

(1.10.10)

й:

(1.10.11)

Обозначим

тогда вместо (1.10.7) получим

Судя по (1.10.9), функция также оказывается симметрично

Уравнение (1.10.10) содержит функцию под знаком интеграла, причем

пределы интегрирования конечны и постоянны. Если функция в рас-

одно-

Фред-

сматриваемом интервале непрерывна, то уравнение (1.10.10) является

родным интегральным уравнением Фредголъма второго рода. Теория

гольма распространяется также на функции К, для которых интеграл

(1.10.12)

имеет конечное значение. В нашей задаче это требование всегда выполняется.

Функция носит название ядра, а величина - параметра уравнения.

Уравнение (1.10.10) имеет, вообще говоря, тривиальное решение:

чающее прямолинейной форме равновесия стержня. Нетривиальное решение

у(х) появляется в точках разветвления (бифуркации) равновесных состояний;

отве-

ристическими или фундаментальными числами, а также особыми или собст­

венными значениями параметра, а нетривиальные решения - собственными,

соответствующие этим точкам значения параметра называются характе-

характеристическими или фундаментальными функциями. Характеристиче­

ские числа уравнения (1.10.10) определяют в нашем случае первую и высшие

критические нагрузки.

Таким образом, для определения первой критической нагрузки необходимо

определить наименьшее характеристическое число интегрального уравнения;

последнее заменяет дифференциальное уравнение задачи вместе с граничными

условиями.

Интегральные уравнения решаются с помощью различных приближенных

методов. Одним из наиболее распространенных методов является метод после­

довательных приближений, который уже рассматривался в 1.9. Другой метод

заключается в замене интегрального уравнения конечной системой линейных

алгебраических уравнений, для чего правая часть (1.10.10) преобразуется по

одной из формул приближенного интегрирования.

Но для определения характеристических чисел можно воспользоваться

также теорией симметричных интегральных уравнений Гильберт -Шмидта.

Этот путь приводит к примечательным формулам, выражающим первое харак­

теристическое число через так называемые следы ядра. В первом приближении

можно принять

где S2 - второй след ядра, определяемый по формуле (1.10.12). Такой метод ин­

тересен тем, что определение критической нагрузки (характеристического чис­

ла) как бы отделяется от установления формы потери устойчивости (собствен­

ной функции), в то время как в предшествующих случаях эти задачи вы­

полнялись одновременно. Можно показать, что приближенное значение крити­

ческой нагрузки по (1.10.13) всегда лежит ниже истинного.

Формулу (1.10.13) для двойного интеграла можно преобразовать сле­

дующим образом. Разделим площадь интегрирования на два равных треуголь-

(1.10.13)

S2 = 2

Мы составляли до сих пор интегральное уравне­

ние, рассматривая задачу в линейной постановке. Если

принять точное выражение (1.1.2) для кривизны изо­

гнутой оси, то интегральное уравнение задачи окажет­

ся нелинейным. В литературе по нелинейным инте­

гральным уравнениям рассматривается вопрос о пра­

вомерности их линеаризации при определении бифур­

кационных точек задачи.

Рис. 1.10.2. К определению

величины S при симметричном

ядре

ника (рис. 1.10.2) линией тогда, производя интегрирование по пло­

щади одного из этих треугольников , получим:

(1.10.14)

(1.11.1)

Интеграл этого уравнения представим в форме

36

1.11. Динамический критерий устойчивости

Мы разобрали методы, основанные на статическом и энергетическом под­

ходах к задаче об устойчивости стержня. Обратимся теперь к третьему, дина­

мическому критерию и рассмотрим собственные колебания сжатого стержня,

шарнирно опертого по концам.

Выпишем дифференциальное уравнение изогнутой оси типа (1.1.6):

где q - интенсивность поперечной нагрузки. В случае колебательного движения

прогиб v будет функцией не только координаты х, но и времени t; v=v(x,t).

Поэтому полные производные по х должны быть заменены на частные. Пользу­

ясь принципом Даламбера, примем в качестве интенсивности распределенной

нагрузки силу инерции массы стержня, приходящуюся на единицу длины.

Обозначая через р вес единицы длины стержня, получим:

(1.11.2)

где g - ускорение силы тяжести . Вводя обозначение к2 =Р/Е1, придем к

уравнению

(1.11.3)

Будем искать решение уравнения (1.11.3) в виде произведения двух

функций:

v(x,t) = X(x)T(t); (1.11.4) тогда вместо (1.11.3) получим:

или

(1.11.5)

Левая часть этого уравнения зависит только от х, а правая - только от t; урав­

нение может удовлетворяться лишь в том случае, если левая и правая части яв­

ляются постоянными величинами:

Второе из этих уравнений преобразуется к виду

(1.11.6)

(1.11.7)

Рис. 1.11.1. Зависимость между частотой

колебаний и сжимаюшей силой

частота колебаний со определяется формулой

(1.11.9)

(1.11.10)

(1.11.11)

(1.11.12)

Уравнение (1.11.6) перепишем в виде

соответствующее характеристическое уравнение будет

Это уравнение имеет два действительных корня и два мнимых. Вводя обозначения

(1.11.13)

(1.11.14)

выпишем решение уравнения (1.11.11) в форме

Выражение (1.11.14), определяющее форму колебаний, должно удовлетворять

граничным условиям (1.1.10). Первые два условия, относящиеся к сечению

х = 0, дают: А-С = 0; два других приводят к равенствам: В-0, Dsin s2l = 0.

Считая находим:

S2 = n = 1 , 2 , 3 , . . . (1.11.15)

Отсюда по (1.11.13)

(1.11.16)

(1.11.17)

Частота п-го тона колебаний по (1.11.10) оказывается равной

Обозначим через а)0п частоту п-ro тона колебаний стержня при отсутствии силы Р:

(1.11.18)

(1.11.19)

Тогда окончательно

Эта формула является «ключевой» для дина­

мического анализа устойчивости стержня. Час­

тота колебаний стержня с образованием одной

полуволны {п = 1) делается равной нулю, когда

сила Р достигает критического значения

Таким образом, наступление моно­

тонной неустойчивости стержня характеризуется

здесь обращением в нуль частоты собственных колебаний. На графике получаем пря­

мую, пересекающую ось ординат в точке би­

фуркации равновесных форм (рис. 1.11.1).

1.12. Критерий начальных несовершенств

До сих пор нами рассматривались идеальные стержни с прямолинейной

осью, нагруженные сжимающей силой строго по центру тяжести поперечного

сечения. Между тем реальные элементы конструкций всегда обладают извест­

ной начальной прогибью; приложенные к ним сжимающие силы обычно дейст­

вуют с некоторым эксцентриситетом; наряду с осевыми силами могут быть

приложены те или иные поперечные нагрузки. Все эти факторы играют роль

«возмущений», влияющих на поведение системы. Исследование «не­

совершенных» систем важно, прежде всего, с практической стороны, так как

позволяет приблизить расчетную схему к реальным конструкциям. Правда, все

перечисленные факторы являются, как правило, случайными, поэтому обосно­

ванно оценить их эффект можно лишь с привлечением статистических мето­

дов. Однако построение статистических зависимостей требует предварительно­

го определения того, как ведет себя система при некотором заданном возмуще­

нии. Кроме того, рассмотрение несовершенной системы в ряде случаев позво­

ляет определить критическую нагрузку для ее идеальной модели: мы знаем

уже, что эффект различных возмущений особенно сильно сказывается вблизи

критической нагрузки. Рассмотрим последовательно влияние всех важнейших

возмущающих факторов. Начнем со случая, когда стержень, шарнирно опертый

по краям, имеет начальную погибь

и сжимается силой Р, направление которой проходит через концевые шарниры.

Дифференциальное уравнение (1.1.5) получает вид

(1.12.2)

где под v понимается дополнительный прогиб, возникающий в процессе де­

формации, под Vi - полный прогиб:

d2v

= k2v = -k

2v0 . (1.12.4)

dx2

Пусть, например, в начальном состоянии стержень изогнут по полуволне сину­

соиды (рис. 1.12.1):

(1.12.1)

(1.12.3)

Вводя прежнее обозначение к = Р/Е1, получим

(1.12.5)

Решением уравнения (1.12.2), при у = 0и х = 0, l, будет

Стрела дополнительного прогиба f оказывается равной

где под Ркр понимается критическая сила (1.1.15). Пол-

кр

(1.12.7)

ная стрела прогиба определится формулой

(1.12.8)

Поведение системы оказывается качественно отлич­

ным от того, которое было характерно для «классиче­

ской» задачи устойчивости. Прогиб возникает уже при

малых значениях силы Р, в то время как в случае цен­

трального сжатия при нагрузке

стержня мы считаем здесь идеально упругим и что за­дачу решаем, исходя из линейного дифференциального

Рис-1 12.1. Стержень с

уравнения начальной прогибью

Одним из путей решения задачи о собственных значениях как задачи с на­

чальными возмущениями является применение метода инвариантного вло­

жения. Решая задачу об устойчивости стержня, допустим, что стержень имеет

начальную погибь, либо что сила приложена с некоторым эксцентриситетом.

Тот результат, что при силе, приближающейся к критической, для стержня за­

данной длины прогибы стремятся к бесконечности, можно трактовать иначе,

считая заданной силу и варьируя длину стержня: при длине, близкой к «крити­

ческой», прогибы также должны бесконечно возрастать. Для стержня длиной l,

имеющего шарнирные опоры, наряду с координатой х, характеризующей поло­

жение некоторой точки стержня вдоль оси, введем переменную z. Длина отрез­

ка оси, определяемая z, как бы «вкладывается» в фактическую длину стержня l

и является основным варьируемым параметром - длиной воображаемого

стержня. Далее, используя исходное уравнение и граничные условия задачи,

можно составить уравнение относительно какой-либо характерной функции,

стержень должен

оставаться прямолинейным. Скорость нарастания проги­

ба зависит от «возмущающего фактора» - стрелы на­

чального прогиба. При достаточно малых кривая

лежит весьма близко от оси ординат. В то же время при

нагрузке, приближающейся к критической, прогиб быст­

ро нарастает; функция является нелинейной. Когда

Р приближается к Ркр, получаем стрела прогиба

что материал возрастает беспредельно. Напомним,

обращающейся в бесконечность при В качестве такой функции можно

избрать, например, угол наклона упругой линии на одном из концов отрезка z.

Описанный путь решения интересен тем, что позволяет рассматривать задачи

самого широкого класса.

1.13. Эксцентричное сжатие. Приближенное решение

Рассмотрим, далее, другой возмущающий фак­

тор - эксцентриситет в приложении нагрузки. Пусть

стержень, шарнирно опертый по концам, подвергается

действию сил Р, точка приложения которых отстоит

от центра тяжести сечения на расстоянии е. Предпола­

гается, что плечо е лежит в плоскости наименьшей

жесткости стержня (рис. 1.13.1).

Дифференциальное уравнение (1.1.5) получит

здесь вид

= - Р ( v + e) (1.13.1)

или d2v

dx2 + k

2v = - k

2e. (1.13.2)

Общее решение соответствующего однородного

Рис. 1.13.1. Шарнирно Уравнения будет

опертый стержень под

действием эксцентрично v = A cos kх + В sin kх. (1.13.3) приложенных сил

Сюда надо присоединить частное решение v = — е;

полное решение получает вид

v = A cos kх + В sinkx — е. (1.13.4)

Удовлетворяя граничным условиям задачи v = 0 при х = 0, l, найдем:

(1.13.6)

или

Стрела прогиба равна при х =1 /2

(1.13.7)

А=е, В = е tg (1.13.5)

Решение (1.13.4) теперь можно представить в следующем виде:

Отметим, что и здесь зависимость между f и Р будет нелинейной и что при

Р —>РКр получим f —» 0 0 .

Решим ту же задачу с помощью метода Бубнова - Галеркина. Примем урав­

нение упругой линии в виде

v = fsin

Составим уравнение типа

и подставим вместо v выражение (1.13.9); после инте­

грирования получим:

(1.13.11)

(1.13.9)

Это уравнение имеет ту же структуру, что и зависимость

(1.12.7), относившаяся к синусоидальной начальной

прогиби.

Если такого же типа нагружению подвергается стер­

жень с одним защемленным концом и другим свободным

концом (рис. 1.13.2), то уравнение (1.13.1) получит вид

= P(e+f-v) (1.13.12) Рис. 1.13.2. Стержень с

или

+ k2v = k

2(e + f).

защемленным концом под

действием эксцентрично

(1 13 13) приложенной нагрузки

Подчиняя решение условиям v = 0, dv/dx = 0 при х = 0, найдем:

v = (е + l)(1 - cos kх). (1.13.14)

Полагая х = l, получим :

(1.13.15)

Зависимость между l и Р оказалась точно такой же, что и в случае шар­

нирно опертых концов.

(1.13.10)

1.14. Эксцентричное сжатие. Точное решение

Рис. 1.14.1. К точному решению задачи

об эксцентричном сжатии стержня

Подойдем к той же задаче об эксцен­

тричном сжатии, исходя из точного диф­

ференциального уравнения упругой ли­

нии. На рис. 1.14.1 изображен стержень

длины l в изогнутом положении; сила Р

действует на плече е и сохраняет верти­

кальное направление. Кроме того, здесь

же показан фиктивный стержень длиной

l1 конец которого лежит на линии дейст­

вия силы Р. Очевидно, по отношению к

этому фиктивному стержню можно ис­

пользовать соотношение (1.3.23), связы­

вающее стрелу прогиба f1 с параметрами

кf1 = 2 sin (1.14.1)

Будем рассматривать равновесные положения стержня вблизи первой кри-

(1.14.2)

Определим, далее, угол поворота касательной к изогнутой линии

емся соотношением

(1.14.3)

и подставим сюда значения dx и ds по (1.3.14) и (1.3.16); тогда получим:

или, по (1.3.17),

(оставляем знак плюс):

тической силы, так что для в (1.3.19 а) примем значение п = 0.

Прогиб v в некотором сечении х определяется по (1.3.24):

Пусть для верхнего конца стержня параметр приобретает значение то­

гда стрела прогиба / будет равна

Воспользу-

Угол наклона верхнего торца при х = l найдется тогда по формуле

что совпадает с (1.13.15).

(1.14.5)

Сравнивая с (1.14.2), найдем:

(1.14.9)

(1.14.10)

по сравнению с 1; тогда получим: можно пренебречь что параметр

ожно сопоставить с приближенным решением. Если считать,

мал для незначительных прогибов, то в (1.14.7) и (1.14.8)

Эти данные м

Подобный интеграл, в отличие от (1.3.21), носит название неполного эллип­

тического интеграла первого рода. Эти интегралы также табулированы.

Уравнения (1.14.6), (1.14.7) и (1.14.8) содержат три неизвестные величины:

стрелу прогиба f, параметры Пользуясь ими, можно для каждого задан­

ного эксцентриситета е установить зависимость между нагрузкой Р и стрелой

прогиба f.

Интегрируя выражение (1.3.19) для ds, получим полную длину стержня l:

(1.14.8)

(1.14.7)

Подставляя сюда выражения (1.14.1), (1.14.2) и (1.14.5), находим:

(1.14.6)

Рассматривая рис. 1.14.1, выпишем зависимость между f и f1:

1.15. Влияние поперечной нагрузки

Перейдем к случаю, когда наряду с осевой силой действует некоторая по­

перечная нагрузка. Пусть шарнирно опертый стержень, сжатый силой Р, под­

вергается действию равномерно распределенной нагрузки интенсивности q

(рис. 1.15.1).

Рис. 1.15.1. Стержень при продольно-поперечном изгибе

Уравнение (1.1.5) получает вид

или, при к2 - P/EI,

(1.15.1)

(1.15.2)

Соединяя общее решение однородного уравнения и частное решение, находим

(1.15.3)

(1.15.4)

(1.15.5)

(1.15.6)

Мы получили зависимость между f и Р того же типа, что и для эксцентрич­

но сжатого стержня.

В случае, если вместо распределенной нагрузки имеется сосредоточенная

сила Q посередине пролета, таким же путем находим уравнение упругой линии

для одной из половин стержня

Из граничных условий получаем

А = В =

Окончательно:

Стрела прогиба равна

и стрелу прогиба

(1.15.8)

Решим ту же задачу об одновременном действии осевой и поперечной на­

грузок с помощью метода Бубнова-Галеркина. В случае равномерно распреде­

ленной нагрузки выпишем уравнение

Вводя в качестве аппроксимирующей кривой полуволну синусоиды

(1.15.15)

(1.15.9)

(1.15.10)

(1.15.11)

придем к уравнению

Подставляя вместо v (1.15.10) и интегрируя, находим

(1.15.12)

Здесь числитель представляет собой приближенное значение стрелы прогиба

стержня при действии одной поперечной нагрузки:

(1.15.13)

коэффициент равен 1/76,7 вместо известного значения 5/384 = 1/76,8. Поэтому

формулу (1.15.12) можно переписать в виде

(1.15.14)

что совпадает по структуре с (1.12.8). Для определения максимальных нор­

мальных напряжений надо воспользоваться формулой

где W- момент сопротивления сечения.

Учитывая моменты, отвечающие продольной сжимающей и поперечной на­

грузкам, найдем:

сжимающие напряжения считаются здесь положительными.

Как видим, при продольно-поперечном изгибе принцип независимости дей­

ствия сил неприменим; величина (1.15.15) не равна сумме напряжений, вызы­

ваемых продольной и поперечной нагрузками в отдельности. Поэтому при про­

верке стержня на «устойчивую прочность» (термин Н. В. Корноухова) умно­

жают все нагрузки на коэффициент запаса п и сравнивают максимальное на­

пряжение не с допускаемым, а с напряжением, принимаемым за предельное.

2 . УСТОЙЧИВОСТЬ СЖАТЫХ СТЕРЖНЕЙ ЗА ПРЕДЕЛАМИ

УПРУГОСТИ. БОЛЕЕ ОБЩИЕ ЗАДАЧИ УСТОЙЧИВОСТИ

2.1. Экспериментальные зависимости

Исходные соотношения и расчетные формулы, приведенные в главе 1,

справедливы при условии, что критические напряжения - или максимальные

напряжения при продольно-поперечном изгибе - не превышают предела про­

Рис. 2.1.1. Разброс экспериментальных значений критических напряжений

в пластической области

порциональности материала Между тем для элементов реальных конструк­

ций во многих случаях это условие не выполняется. Поэтому исследования ус­

тойчивости стержней, относящиеся к неупругой области, имеют существенное

практическое значение.

До последнего времени наиболее распространенными являлись методы рас­

чета, основанные на результатах экспериментальных исследований.

Данные опытов удобно сопо­

ставлять с помощью графика, изо­

бражающего зависимость крити­

ческого напряжения от гибкости Если опыты ставятся достаточно

тщательно, то в упругой зоне экспе­

риментальные точки ложатся очень

тесно вблизи гиперболы Эйлера,

между тем в упруго-пластической

зоне они обычно сильно разбросаны,

примерно так, как показано на

рис. 2.1.1. Это объясняется тем, что

в упругой области критическое на­

пряжение при заданной гибкости за­

висит только от модуля Е; колеба­

ния этой величины для различных

образцов, изготовленных из одного и того же материала, незначительны. В уп­

руго-пластической области критические напряжения меняются в зависимости

разцов, принадлежащих к одной и той же партии. Влияние возмущающих фак­

торов - эксцентриситета нагрузки, начальной погиби, остаточных напряжений

от прокатки, сварки, правки и т. д. - в неупругой области также оказывается

более значительным, чем в упругой. Поэтому анализ данных экспериментов и

составление расчетных формул желательно проводить с помощью статистиче­

ских методов.

Различными авторами были предложены формулы для расчета на продоль­

ный изгиб за пределами упругости, из которых наиболее приемлемыми оказа­

лись следующие:

от диаграмм при сжатии, часто отличающихся друг от друга даже для об-

а) Линейная формула

(2.1.1)

где а, Ъ - параметры, зависящие от материала.

При определении величин а, Ъ желательно выполнить условие, чтобы при

(2.1.2)

б) Гиперболическая формула

(2.1.3)

или иначе

(2.1.4а)

(2.1.46)

Хорошее соответствие с данными многочисленных опытов получим, придав

(2.146) несколько иной вид:

где эйлерово напряжение.

вания опасностей, охватывающую с известным приближением как упругую, так

и пластическую области:

то получим формулу суммиро-Если принять в (2.1.2)

сательную. Однако решающим здесь является соответствие формулы экспери­

ментальным данным.

плавно переходила в гиперболу Эйлера, имея с ней при общую ка-

Постоянные можно подобрать таким образом, чтобы парабола на графике

в) Параболическая формула

здесь некоторое напряжение, - эмпирический коэффициент.

составлении эмпирических формул является соответствие их конкретным дан­

ным серии опытов на продольный изгиб для стержней различной гибкости.

Однако основным требованием при было бы более естественно принять

может превысить предела текучести Поэтому для пластичных материалов

ответствует временному сопротивлению, наиденному при сжатии образцов ма­

лой длины. В случае же материала, имеющего диаграмму с ясно выраженной

площадкой текучести (мягкая сталь), критическое напряжение, как правило, не

Для таких материалов, как дюралюмин, его предельное напряжение со-

величина

С другой стороны, можно было бы потребовать, чтобы при

приближалась к предельному напряжению на сжатие оь, так что

мула Эйлера.

предельной гибкости уравнение (2.1.1) давало тот же результат, что и фор-

2.2. Выпучивание стержня при неизменной нагрузке

Рис. 2.2.1. Диаграмма «напряжение - деформация»

называемым касательным модулем:

(2.2.1)

а) б)

Рис. 2.2.2. а) Изогнутая линия; б) сечение стержня, эпюры

напряжений и деформаций при неупругом продольном изгибе

тим, что при этом напряжении происходит

выпучивание, в процессе которого нагрузка

остается постоянной. Тогда волокна, ле­

жащие на вогнутой стороне, будут испы­

тывать дополнительную деформацию уко­

рочения, а на выпуклой - удлинения

(рис. 2.2.2). Если рассматривать изогнутые

формы, весьма близкие к прямолинейной,

то можно принять для зоны нарастающего

сжатия модуль Ею а для зоны разгрузки -

модуль Е. Нейтральная линия z, для точек

которой дополнительные напряжения рав­

ны нулю, не будет проходить через центр

тяжести сечения. Такая концепция «двух

модулей» была впервые предложена

Ф. С. Ясинским и Ф. Энгессером, а в даль­

нейшем развита Т. Карманом.

Обратимся к теоретическому исследованию продольного изгиба за предела­

ми упругости. Допустим, что стержень подвергается центральному осевому

сжатию и что зависимость напряжения от деформации для коротких образцов

из данного материала отвечает диаграмме на рис. 2.2.1. Участок упругой де­

формации соответствует отрезку Оа. Предположим, что при нагружении об­

разца мы дошли по диаграмме до некоторой точки т. Если после этого произ­

вести разгрузку, то на графике мы полу­

чим прямую линию mm', примерно парал­

лельную участку Оа характеризует мо­

дуль разгрузки. Будем в дальнейшем счи­

тать, что модуль разгрузки равен началь­

ному модулю Е. С другой стороны, при

возрастающей от точки т деформации

сжатия получим участок диаграммы mm".

Если дополнительная деформация мала,

то можно принять, что отношение прира­

щений определяется так

сжатия достигло величины Допус-

Рассмотрим стержень, подвергающийся

центральному сжатию. Пусть напряжение

Величину Т можно при / = const считать не зависящей от х, так что все дан­

ные, полученные в главе 1 для упругого продольного изгиба, можно распро­

странить на упругопластическую область при условии замены Е на Т. Сюда же

относятся результаты, полученные с помощью энергетических методов, так как

для любого волокна стержня по-прежнему принята линейная зависимость меж­

ду приращениями напряжений и деформаций.

Пусть главные центральные оси инерции сечения будут у0 и z0 (рис. 2.2.2);

примем, что выпучивание происходит в направлении у0. Считая, что попереч­

ные сечения остаются при изгибе стержня плоскими, и отсчитывая у от ней­

тральной линии z, получим:

(2.2.2)

где р — радиус кривизны упругой линии. Напряжения в зонах догружения и

разгрузки будут соответственно

Результирующая дополнительных усилий должна быть равна нулю, поэтому

или

(2.2.3)

Здесь через Ai и S; обозначены статический момент и площадь относитель­

но нейтральной оси той части сечения, в которой имеет место догружение, а

через А2 и S2 — части сечения, в которой происходит разгрузка. Приравнивая

сумму моментов внутренних сил относительно нейтральной линии внешнему

моменту, находим:

или

(2.2.4)

(2.2.5)

Обозначим через Трезультирующий или приведенный модуль, равный

где / - момент инерции всего сечения относительно оси, проходящей через

центр тяжести. Величину Т называют также модулем Кармана. Уравнение

изогнутой оси приобретает вид, аналогичный (1.1.5):

(2.2.6)

Полагая для случая шарнирного опирания концов стержня М - — Pv, при­

дем к уравнению

(2.2.7)

2.3. Влияние формы сечения. Случаи двутаврового

и прямоугольного сечений

Судя по формулам (2.2.3) и (2.2.5), результирующий модуль Т должен за­

висеть от формы сечения стержня. Вычислим величину Т для двутаврового

сечения с тонкой стенкой (рис. 2.3.1) в предположении, что изгибающий

момент воспринимается только полками двутавра и, благодаря определенным

условиям закрепления стержня, выпучивание происходит в направлении оси у.

Обозначим через h расстояние между центрами тяжести полок, площадь каж­

дой из полок равна половине площади сечения, т. е. F/2. Пусть расстояние h

делится нейтральной при изгибе линией на отрезки h1 (со стороны догру­

жения) и h2 (со стороны разгрузки). Из (2.2.3) получаем:

отсюда

(2.3.1)

(2.3.2)

(2.3.3)

Момент инерции всего сечения относительно центральной оси будет

Моменты инерции I1 и I2 равны

Формула (2.2.5) приобретает вид

Это означает, что для сжатого стержня критическое напряжение практически не

может превысить предела текучести.

В случае прямоугольного сечения (рис. 2.3.2) уравнение (2.2.3) получает

вид

и, следовательно,

(2.3.4)

(2.3.5)

(2.3.6)

Моменты инерции будут

h = 12 = I =

Окончательно

Отклонения в величине Т для разных форм сечения незначительны, так что

в практических расчетах и для других видов сечения можно пользоваться фор­

мулой (2.3.3) либо (2.3.6).

Рис. 2.3.1. Зоны догружения и Рис. 2.3.2. Зоны догружения

разгрузки в случае двутаврового и разгрузки в случае

сечения прямоугольного сечения

2.4. Случай сосредоточенной силы в пролете

Допустим, что стержень, шарнирно опертый по концам, подвергается дей­

ствию сил Р1,Р2 и Р1 + Р2 и что сила Р2 приложена в некотором промежуточном

сечении, расположенном на расстояниях l1 и 12 от концов (рис. 2.4.1). Примем,

что момент инерции сечения в верхней части

равен l1 , а в нижней - I2 .

Обозначим через / отклонение точки при­

ложения силы Р2 при выпучивании стержня.

Дифференциальное уравнение упругой линии

для верхнего участка будет

Воспользуемся обозначениями

тогда уравнения (2.4.1) и (2.4.2) перепишутся

следующим образом:

Рис. 2.4.1. Случай силы, приложенной в пролете

(2.4.1)

здесь учитывается составляющая реакции опо­ры, равная координата Х1 отсчитывается

от 0. Для нижнего участка получаем

(2.4.3)

Отсюда

(2.4.9)

При заданном отношении сил и моментов инерции находим путем проб значе­

ния к1, .., кп, отвечающие наименьшим значениям сил Р1 и Р2. Представим кри­

тическую величину Р1+Р2 в виде

(2.4.10)

и обозначим

(2.4.11)

Случай т = 1 относится к стержню переменного сечения, на который дей­

ствуют только силы P1 по концам.

(2.4.6)

(2.4.7)

(2.4.8)

Граничные условия для концов стержня и точки сопряжения будут:

Пользуясь этими условиями, находим:

А2 = 0,

В2 =

и, наконец, приходим к окончательному уравнению

Коэффициенты К для случая l1 = l2, найденные по уравнению (2.4.9), даны в таблице 2.4.1.

Таблица 2.4.1

Коэффициенты А* для случая сил, приложенных по концам

и посередине пролета

2.5. Действие распределенной продольной нагрузки

Перейдем к случаю, когда продольная нагрузка

распределена по длине стержня. Одним из примеров

такого типа нагрузки является собственный вес стерж­

ня: при расчете колонн в крупных сооружениях, дымо­

вых труб и т. д. его необходимо учитывать. Обычно в

этих случаях один из концов колонны (верхний) явля­

ется свободным, а второй (нижний) - защемленным.

Рассмотрим задачу об устойчивости такого стержня с

постоянным по длине сечением сначала под действием

только собственного веса, а затем - при совместном

действии силы веса и других нагрузок.

Примем систему координат по рис. 2.5.1. Обозна­

чим силу веса, приходящуюся на единицу длины, через

р. В сечении х сжимающая сила равна Рх = рх, а по­

перечная сила

(2.5.1)

подставляя (2.5.1), получим:

Введем обозначения

тогда придем к уравнению

Рис. 2.5.1. К задаче об

устойчивости стержня

под влиянием

собственного веса

(2.5.2)

(2.5.3)

(2.5.4)

(2.5.5)

Уравнение (1.1.6а) преобразуем к виду

(2.5.6)

Это уравнение интегрируется в бесселевых функциях; решение имеет вид

Здесь - бесселева функция первого рода. Производная от функции

по z равна

(2.5.7)

Основываясь на этой формуле, находим:

Дифференцируя (2.5.6), получаем:

(2.5.8а)

(2.5.9)

Подставляя это выражение в (2.5.5), получим:

(2.5.11)

Следовательно, приведенная сила составляет 1/3,18 часть от полного веса.

Познакомимся с решением этой же задачи без непосредственного примене­

ния бесселевых функций, с помощью метода степенных рядов; этот метод

широко применяется в аналогичных задачах.

Выпишем решение уравнения (2.5.5) в виде

и окончательно

(2.5.10)

Введем понятие приведенной нагрузки, понимая под этим силу Р, сосредо­

точенную в известной точке и эквивалентную распределенной нагрузке в зада­

че устойчивости. Выберем центр приведения у свободного конца, тогда

По (2.5.4) находим:

Наименьшее значение аргумента, при котором функция

будет

обращается в нуль,

(2.5.8)

Граничные условия задачи будут:

при X = 0, М =

или

при при (2.5.7а)

Как известно, функции обращаются в нуль при если индекс

следовательно, ве-

из условий (2.5.7а)

если же то функция личина в то время как

В нашем случае

Но тогда первое

может быть выполнено лишь при А = 0. Считая

находим:

из второго условия

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях, приходим к следующим

соотношениям:

(2.5.13)

Таким образом, коэффициенты с индексами 2, 5, 8, 11 и т. д. обращаются в нуль:

при п=0, 1,2, ... Остальные коэффициенты связаны зависимостью

Можно видеть, что все эти коэффициенты могут быть выражены через Со и С1:

Выражение для w принимает вид

(2.5.14)

(2.5.15)

Производная по будет равна

Пользуясь первым из граничных условий (2.5.7а), находим С1 = 0. Второе из

этих условий при приводит к уравнению

(2.5.16)

которое можно переписать в виде

(2.5.17)

ное (2.5.8); наименьший корень его определяется по (2.5.8а).

Реальные колонны больших размеров имеют, как правило, переменное сече­

ние. В этом случае непосредственное интегрирование уравнения упругой линии

усложняется, и потому расчет на устойчивость необходимо проводить с помо­

щью приближенных методов. В качестве примера рассмотрим Останкинскую

телевизионную башню в Москве высотой в 565 м. Определение коэффициента

запаса устойчивости башни было выполнено с помощью метода последова­

тельных приближений; одновременно устанавливалась форма упругой линии.

Далее определялись изгибающие моменты от вертикальных сил для ряда сече­

ний, и определялась новая упругая линия. Сравнение полученной стрелы про­

гиба с исходной давало возможность найти запас устойчивости.

вой функции

В левой части этого уравнения содержится ряд, соответствующий бесселе-

Таким образом, мы получили уравнение, эквивалент-

2.6. Одновременное действие распределенной и сосредоточенной нагрузок

Перейдем к тому случаю, когда стержень подвер­

гается действию не только распределенной нагрузки р,

но и сосредоточенной силы Р, приложенной к свобод­

ному концу (рис. 2.6.1). Для общности будем считать,

что величина р является переменной: р = р(х). Вос­

пользуемся методом Бубнова-Галеркина; предвари­

тельно выведем исходное уравнение с учетом распре­

деленной нагрузки. Обратимся к вариационному урав­

нению, выведенному ранее. Выражение для вариации

работы внутренних сил представим в виде (1.5.3а):

Рис. 2.6.1. Одновременное действие сосредо­

точенной силы и собст­венного веса для стержня с защемленным концом

Полная работа распределенной нагрузки равна

dx.

(2.6.2)

(2.6.3)

до х, от х до l и по всей длине:

или

Окончательно

Вариация

(2.6.5)

(2.6.6)

(2.6.7)

Эту величину надо прибавить к выражению (1.5.10а); полная вариация работы

внешних сил будет

(2.6.1)

в отличие от 2.5 координата х отсчитывается от нижне­

го конца стержня.

Вычислим работу распределенной нагрузки, счи­

тая ее интенсивность переменной по длине. На элемент

dx приходится нагрузка р dx смещение центра тяже­

сти элемента по отношению к нижнему концу равно

W =

dx.

Введем обозначения для результирующих нагрузки в пределах от 0

(2.6.4)

Интегрируя выражение (2.6.3) по частям, получим:

равна

(2.6.16)

Вариационное уравнение можно представить в виде

жесткость EI здесь для общности принята переменной. Подставляя вместо

выражение (1.8.1) и принимая внеинтегральный член равным нулю, получим

основное уравнение метода Бубнова-Галеркина:

(2.6.10)

Рассмотрим случай, когда наряду с сосредоточенной силой Р должен быть уч­

тен собственный вес стержня р0l, причем EI = const. Вместо (2.6.10) получим:

(2.6.11)

Уравнение упругой линии примем в виде, соответствующем случаю одной со­

средоточенной силы:

(2.6.12)

(2.6.13) Принимая

и подставляя два последних выражения в (2.6.11), находим;

(2.6.14)

(2.6.14)

(2.6.15)

Выполняя интегрирование, получаем:

или

Следовательно, расчет на продольный изгиб можно вести

в рассматриваемом случае, присоединяя к сосре­

доточенной силе 3

/10 от собственного веса стержня и счи­

тая эту приведенную нагрузку приложенной к свободному

концу стержня. Если нагрузка р0 значительна, то при сум­

марной критической силе, равной (2.6.15), сила Р может

получиться отрицательной, т. е. растягивающей. Получен­

ный нами результат хорошо согласуется с решением зада­

чи в бесселевых функциях, так как по (2.5.10) при Р = 0

мы получили приведенную нагрузку равной

Рассмотрим ту же задачу в предположении, что оба

конца стержня оперты шарнирно (рис. 3.11). Выбирая

выражение для v в виде

Рис. 2.6.2. Комбинированное

действие нагрузки на стержень, шарнирно опертый по концам

и подставляя его в уравнение (2.6.11), придем к соотношению

2.7. Устойчивость стержня, связанного с упругим основанием

Рис. 2.7.1. Стержень на упругом основании

Представим себе, что стержень,

шарнирно опертый по концам, связан

со сплошным упругим основанием

(рис. 2.7.1). Пусть реакция основания,

приходящаяся на единицу длины

стержня, будет пропорциональна пе­

ремещению

R=10-5

cv,

размерность коэффициента с будет Па.

Дифференциальное уравнение упругой линии примем в виде (1.1.6а).

(2.7.1)

При q = -Р R получим:

Если воспользоваться обозначениями

(2.7.2)

(2.7.3)

Примем р = ± im, где

(2.7.4)

(2.7.5)

(2.7.6)

(2.7.7)

то вместо (2.7.2) будем иметь следующее однородное линейное уравнение:

Соответствующее характеристическое уравнение имеет вид

его корни будут

Решение уравнения (2.7.4) получает форму

v = A sin mjx +В sin т2х +С cos т}х + D cos т2х. (2.7.8)

Исходя из граничных условий (1.1.10), получим следующее уравнение

Или

(2.7.9)

Приравнивая нулю sin m1l и sin m2l, получим:

п= 1, 2, 3,... (2.7.10)

Определяя к2 по (2.7.7) и пользуясь (2.7.10), находим:

(2.7.11)

Изогнутая линия состоит из п полуволн синусоиды

(2.7.12)

= 0.

отношение Р/Рэ, где Рэ - эйлерова сила для стержня, не имеющего упругого

основания. Принимая п = 1, 2, 3,.. ., получим серию прямых; участки этих

прямых, показанные жирной линией, являются расчетными. Переход от п-й

В отличие от свободно прогибающегося стержня, здесь число полуволн

оно должно быть определено из условия минимума нагрузки.

На рис. 2.7.2 по оси абсцисс отложены значения

ветви к соответствует величине г, определяемой из равенства

Отсюда

Рис. 2.7.2. График для расчета стержня на упругом основании

(2.7.13)

Соответствующие значения k будут

(2.7.14)

Если число полуволн п достаточно велико, то можно записать условие мини-

при этом

Критическая нагрузка по (2.7.14) оказывается равной

(2.7.15)

В безразмерных величинах

(2.7.16)

Формуле (2.7.16) отвечает предельная линия, показанная на рис. 2.7.2 пункти-

мума k2 , приравнивая нулю производную от

ром. Считая в (2.7.9)

прежней формуле (2.7.15).

приходим к соотношению и, далее, к

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Задачи потери устойчивости стержневых систем, которые были рассмот­

рены, имеют на практике огромное значение. Потеря устойчивого состояния

элементов конструкций зданий и сооружений, при эксплуатации которых воз­

можно возникновение различного рода динамических взаимодействий, может

привести к изменению эксплуатационных характеристик конструкций или их

разрушению. Яркий тому пример - потеря устойчивости элементов Волгоград­

ского моста через р. Волгу в мае 2010 г. Колебания дорожного полотна были

вызваны совместным динамическим воздействием водяных волн на опоры

моста и воздействием на дорожное полотно внешних периодически меняющих­

ся сил, связанных с движением транспорта. В некоторые моменты времени на

часть несущих элементов конструкции моста эти силы в своей совокупности

приближались к критическим значениям или даже превышали их. Именно это и

вызвало периодические колебания конструкции дорожного полотна. Потеря ус­

тойчивости часто становится причиной обрушения колонн, элементов кровли,

несущих стен зданий и сооружений. Продольную нагрузку, превышающую

критическую, могут вызвать скопившийся снег, массивные ледяные отложения,

ударные воздействия на пол в помещениях спортивных сооружений во время

тренировок или соревнований, а также периодические движения людских пото­

ков в зданиях школ, вузов, предприятий и проч.

Особенно опасна динамическая нагрузка на здания и сооружения, вызван­

ная землетрясением. При большой амплитуде колебаний земной поверхности

возможны частичные или полные разрушения. Существующие способы повы­

шения прочности и устойчивости зданий к землетрясениям, как показывает

практика, недостаточно эффективны.

Все это подчеркивает важность поставленной задачи и необходимость пра­

вильного ее решения. В курсе сопротивления материалов рассматривались

только статические методы решения задач устойчивости, которые имеют огра­

ниченное применение. В рассмотренном нами спецкурсе помимо статических

методов были рассмотрены энергетические и динамические методы расчета,

основанные на законе сохранения энергии. Преимущество этих методов - ши­

рота применения и возможность корректировки точности расчетных резуль­

татов. Рассматривались задачи устойчивости стержневых систем при совмест­

ном действии нескольких продольных сил, или действия продольной силы и

поперечной нагрузки. Умение решать подобные задачи значительно расширяет

возможности грамотного проектирования и строительства зданий и сооружений

самого различного назначения. Более сложные задачи устойчивости целесооб­

разно решать с применением современных компьютерных программ.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Александров А. В. Сопротивление материалов / А. В. Александров, В. Д.

Потапов, Б. П. Державин. - М. : Высшая школа, 2001. - 560 с.

2. Вольмир А. С. Исследование процесса выпучивания стержней при ударе /

А. С. Вольмир, И. Г. Кильдибеков // Доклады АН СССР. - 1966. - Т. 2. -

Вып. 1 0 . - С . 1 0 - 1 7 .

3. Вольмир А. С. Устойчивость деформируемых систем / А. С. Вольмир. -

М. : ГИТТЛ, 1962. - 880 с.

4. Дарков А. В. Сопротивление материалов / А. В. Дарков, Г. С. Шпиро. -

М. : Высшая школа, 2003. - 641 с.

5. Малышев Б. М. Устойчивость стержня при ударном сжатии / Б. М. Малы­

шев // Известия АН СССР. МТТ. - 1966. - № 4. - С. 137 - 142.

6. Пановко Я. Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я. Г. Пановко,

И. И. Губанова. - М. : Наука, 1987. - 352 с.

7. Писаренко Г. С. Справочник по сопротивлению материалов / Г. С. Писарен-

ко, А. П. Яковлев, В. В. Матвеев. - Киев : Наукова думка, 1989. - 732 с.

8. Тимошенко С. П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек / С П . Тимо­

шенко. - М. : Наука, 1974. - 808 с.

Учебное издание

ЛЕКЦИИ ПО УСТОЙЧИВОСТИ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Методические указания

Составитель БИТЮРИН Анатолий Александрович

Редактор М. В. Теленкова

Подписано в печать 04.05.2011. Формат 60x84 1/16

Усл. печ. л. 3,72. Тираж 75 экз. Заказ 480.

Ульяновский государственный технический университет

432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32

Типография УлГТУ, 432027, Ульяновск, Сев. Венец, 32