Механические колебания и волны

Лекция 3.1.

План

• 1. Понятие о колебательном движении.

• Виды колебаний

• 2. Характеристики колебательного процесса

• 3.Гармонические колебания

• 4. Свободные затухающие колебания.

• 5. Вынужденные колебания. Резонанс.

• 6. Механические волны.

Колебательные движения широко распространены в природе. Говоря о механических колебаниях, мы подразумеваем периодически повторяющееся перемещение тела по одной и той же траектории.

Итак:

Движения, которые точно или приблизительно повторяются через одинаковые промежутки

времени, называются механическими колебаниями.

Раскачивание качелей –типичный

пример механических

колебаний.

Верхушка останкинской

телебашни под действием

ветра может совершать

колебания с амплитудой до десяти метров.

При проезде железнодорожного транспорта

испытывают колебания навесные конструкции мостов.

• По природе колебательного движения, различают три основных вида колебаний:

механические электромагнитные

электромеханические

• По характеру физических процессов в системе, которые вызывают колебательные движения, различают три основных вида колебаний:

свободные вынужденные

автоколебания

Виды колебаний

Свободные

Колебания под действием внутренних сил при выведении системы из равновесия.

Вынужденные

• Колебания под действием внешней периодической силы.

Автоколебания

Незатухающие колебания, которыемогут существовать в системебез воздействия на неё внешнихпериодических сил

Маятниковыечасы

• По характеру превращения энергии

незатухающие затухающие

Виды колебаний

Незатухающие

колебания, амплитуда которых со временем не изменяется, силы трения, сопротивления отсутствуют.

Затухающие

Колебания системы под действием внутренних сил и сил сопротивления.

График незатухающих

колебаний

График

затухающих

колебаний

X, см

А1 = А2 = А3 = . . . = const 10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A1 5 - A3

0 t, с

5 - 2 4 6 8 10 12 14

10 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

A2

X, см

А1 > A2 > A3 > . . . = 0 10 -

A1

5 - A3

0 t, с

5 - 2 4 6 8 10 12 14

10 - A2

Виды колебаний

Колебательные системы

Колебательные системы

Общие признаки колебательных систем

1. Наличие положения устойчивого равновесия

2. Отсутствие сил сопротивления движению

(или ими можно пренебречь в данных условиях).

3.Наличие в колеблющейся материальной точке избыточной энергии.

Превращение энергии

Превращение энергии

• график зависимости потенциальной и кинетической энергии пружинного маятника от координаты х.

• качественные графики зависимостей кинетической и потенциальной энергии от времени.

Характеристики колебательного процесса

Смещение - отклонение колеблющейся точки от положения равновесия в данный момент времени.

Единицы измерения: Метры (м) Обозначение : x

Амплитуда- наибольшее смещение от положения равновесия.

Единицы измерения :Метры (м)

Обозначение : А

Если колебания незатухающие, то амплитуда постоянна!

Амплитуда-

2. Характеристики колебательного процесса

Период- время, за которое совершается одно полное колебание.

Единицы измерения :Секунды (с)

Обозначение : T

Формула : T=t

N

За время, равное одному периоду (одно полное колебание), тело совершает перемещение, равное 0 и проходит путь, равный 4xmax или 4А.

Частота- число полных колебаний за единицу времени.

Единицы измерения :Герцы (Гц)

Обозначение : ω

Формула : ν=Nt

Частота колебаний равна одному герцу, если за 1 секунду совершается 1 полное колебание. 1Гц=1с-1

Циклической (круговой) частотой

периодических колебаний называется число полных колебаний, которые совершаются за 2π единиц времени.

Единицы измерения : с -1 Формула : =

2 πT

Обозначение : ν

ω = 2πν

=1ν =

2 πω

Фаза колебания- физическая величина, определяющая смещение x в данный момент времени.

Единицы измерения : Радианы (рад)Обозначение : φФормула: φ= φ0 + ω t

Фаза колебания в начальный момент времени (t = 0) называется начальной фазой (φ0)!

X

0 tT

xм

xм

x = xм cos (ω t)

φ0 = 0

x = xм cos (ω t - π)

φ0 = -π

Гармонические колебания – это колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону синуса или косинуса

•уравнения гармонических

колебаний (законы движения точек)

имеют вид

Максимальная

скорость

Максимальное ускорение

Аmax

2

max Аа

• Если же за начальный момент временимы принимаем некий промежуточныймомент колебаний, то тогда формулабудет иметь самый общий вид:

х(t) = A cos(ω0t +φ);

Здесь (ω0t +φ) –фаза колебаний, а уголφ называется начальной фазой.

Математический маятник• это материальная точка, подвешенная на невесомой и

нерастяжимой нити. Реальный маятник можно считать математическим, если длина нити много больше размеров подвешенного на ней тела, масса нити ничтожна мала по сравнению с массой тела, а деформации нити настолько малы, что ими вообще можно пренебречь.

• Колебательную систему в данном случае образуют нить, присоединенное к ней тело и Земля, без которой эта система не могла бы служить маятником.

• Причинами свободных колебаний математического маятника являются:

1. Действие на маятник силы натяжения и силы тяжести, препятствующей его смещению из положения равновесия и заставляющей его снова опускаться.

2. Инертность маятника, благодаря которой он, сохраняя свою скорость, не останавливается в положении равновесия, а проходит через него дальше.

.• Период свободных колебаний математического

маятника не зависит от его массы, а определяется лишь длиной нити и ускорением свободного падения в том месте, где находится маятник.

•Период свободных колебаний математического маятника

Пружинный маятник

• Материальная точка, закрепленная на абсолютно упругой пружине

Циклическая частота и период колебаний равны, соответственно:

Формулы периодов для математического маятника и груза на пружине

• Уравнение периода для математического

маятника:

T = 2π√ l /g

• Уравнение периода для

пружинного маятника:

T = 2π√m/k

30

Кафедра физики

Общая физика. «Физика колебаний и волн»

Свободные затухающие колебания.

Мы рассмотрели идеальные колебательные системы, т.е. системы, вкоторых первоначально запасенная энергия не переходит в другие видыэнергий, например, в тепловую.

Говорят, что в системе не происходит диссипация (потеря) энергии.

В реальных системах всегда присутствуют процессы, приводящие к диссипацииэнергии. Это могут быть, например, силы трения. Происходит изменение амплитудыили затухание колебаний.

Рассмотрим законы изменения параметров свободных затухающих колебаний.

Свободные затухающие колебания – это такие свободные колебания, амплитудакоторых из-за потерь энергии реальной колебательной системой с течениемвремени уменьшается.

Закон затухания колебаний определяется свойствами колебательных систем.

Кафедра физики

Общая физика. «Физика колебаний и волн»

Свободные затухающие колебания.

Чаще для простоты рассматривают линейные системы, т.е. такие идеализированныесистемы, в которых параметры, определяющие физические свойства системы, в ходепроцесса не изменяются.

Пример линейной системы: пружинный маятник при малых растяжениях пружины,когда справедлив закон Гука.

Линейные системы описываются линейными дифференциальными уравнениями.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейнойсистемы задается в виде

0xt

x2

t

x 202

d

d

d

d 2

, или 0xx2x20

const - коэффициент затухания

0 - собственная частота колебательной системы.

Кафедра физики

Свободные затухающие колебания.

,x

t

0At

0eAA

tcosAex

t

t0eAA

T

A

- циклическая частота свободных незатухающих колебаний той же колебательной системы в отсутствие потерь энергии (при ). 0

0

В случае малых затуханий ( ) решение уравнения затухающих колебанийимеет вид 0

tcosAex

t

- амплитудазатухающих колебаний

t0eAA

0A - начальная амплитуда.

Время , за котороеамплитуда колебанийуменьшится в е раз, называетсявременем релаксации.

1

Кафедра физики

Свободные затухающие колебания.

,x

t

0At

0eAA

tcosAex

t

t0eAA

T

A Колебаниене является периодическим и, тем более,не является гармоническим.

tcosAex

t

Периодичность такого колебаниянарушается затуханием.

Следовательно, к затухающим колебаниямнеприменимо понятие периода иличастоты.

Но, если затухание мало, то можно условно пользоваться понятием периода какпромежутка времени между двумя последующими максимумами или минимумамиколеблющейся физической величины.

Тогда период затухающих колебаний равен

22022T

Кафедра физики

Свободные затухающие колебания.

,x

t

0At

0eAA

tcosAex

t

t0eAA

T

A

Для характеристики колебаний используют следующие параметры:

1. Логарифмический декремент затухания.

Если и - амплитуды двух последовательных колебаний, которыесоответствуют моментам времени, отличающимся на период, то отношение

tA TtA

Te

TtA

tA

называется декремент затухания.

Логарифм декремента затуханияназывается логарифмическимдекрементом затухания

,N

1TT

TtA

tAln

e

- число колебаний, совершаемыхза время уменьшения амплитуды в e раз.

eN

e

Кафедра физики

Свободные затухающие колебания.

,x

t

0At

0eAA

tcosAex

t

t0eAA

T

AТаким образом, логарифмическийдекремент затухания – это величина,обратная числу колебаний, совершаемыхза время, в течение которого амплитудазатухающего колебания уменьшится в ераз .

2. Добротность колебательной системы.

Для характеристики колебательной системы используется величина, обратнопропорциональная логарифмическому декременту затухания.

При малых затуханиях следовательно, можно записать:,TT0

2TNQ 0

0

e

Добротность колебательной системыпропорциональна числу колебаний ,совершаемых за время релаксации. eN

Вынужденные колебания

• Колебания, происходящие под действием внешней вынуждающей, периодически

• действующей силы

• Установившиеся вынужденные колебания являются гармоническими

Резонанс

Резонанс - это явление возрастания амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы ωк собственной частоте колебательной системы ω0.

A

0

0 ω0 ω

1 = 0

δ2

δ

δ3

δ4

δ1 δ2 δ3 δ4< < <

Резонанс – это явление, при котором резко возрастает

амплитуда вынужденных колебаний (происходит

наиболее полная передача энергии от одной

колебательной системы к другой )

Чем меньше трение, тем больше возрастает амплитуда

резонансных колебаний

Резонанс наблюдается, когда частота собственных

колебаний совпадает с вынужденной частотой V = Vo

• При автоколебаниях необходимо периодическое поступлении энергии от собственного источника

внутри колебательной системы

Волна- это процесс распространения колебаний в пространстве с течением

времени.

Для возникновения механической волны необходимо:

1. Наличие упругой среды

2. Наличие источника колебаний –деформации среды

Условия возникновения волны:

Механические волны могут распространяться только в какой- нибудь среде (веществе): в газе, в жидкости, в твердом теле. В вакуумемеханическая волна возникнуть не может.

Волны бывают:

1. Поперечные – в

которых колебания происходят перпендикулярно направлению движения волны.

Возникают только в твердых телах.

Волны бывают:

2. Продольные - в которых колебания происходят вдоль направления распространения волн.

Возникают в любой среде (жидкости, в газах, в тв. телах).

ЭТО ИНТЕРЕСНО !Волны на поверхности жидкости не являются ни продольными, ни поперечными. Если бросить на поверхность воды небольшой мяч, то можно увидеть, что он движется, покачиваясь на волнах, по круговой траектории. Таким образом, волна на поверхности жидкости представляет собой результат сложения продольного и поперечного движения частиц воды.

Скорость и длина волныСкорость волны (v) - это скорость распространения

колебаний в упругой среде. Скорость волны

равняется произведению длины волны на её

частоту.

Длина волны ( ) – расстояние, на которое

распространяется волна за время, равное одному

периоду.

Длина волны равняется произведению

скорости волны на её период.

λ

Т

X

λ

0 y

λ

Характеристики волны:Cкорость распространения волны равна произведению

длины волны на частоту колебаний[ v ] = м/с

Период колебаний – это минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения

[ T ] = c

Частота колебаний –число колебаний, которое совершается за единицу времени

Единицы измерения Гц

Волны в среде.

Волновая поверхность – геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе

Волновой фронт – геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t

Луч – линия перпендикулярная волновой поверхности (эта линия показывает направление распространения волны)

Виды волн

Уравнение плоской волны

)/(cos),( xtАtx

Уравнение плоской волны

Где - смещение точек среды с координатой х в момент времени t;

- циклическая частота; - скорость распространения колебаний

в среде (фазовая скорость);k – волновое число;

λ – длина волны.

)/(cos),( xtАtx ),( tx

2k

Для определения скорости точек среды, необходимо взять первую

производную по времени от смещения

)(sin

x

tAdt

d

Для определения ускорения точек среды, необходимо взять вторую

производную по времени от смещения

)/(cos2

xtAdt

d

Звуковые волны

• Наше ухо воспринимает в виде звука колебания, частота которых лежит в пределах от 17 до 20000 Гц. Такие колебания называются акустическими.

• Звук-это колебательные движения частиц упругой среды , распространяющиеся в виде волн(колебания плотности, давления)

• Звуковые волны - это возмущения, распространяющиеся в материальной среде , в основном в воздухе , и связанные с колебаниями этой среды.

• Звук – продольная механическая волна определенной частоты

• Звуковые волны с частотами от 16 до 2104 Гц воздействуют на органы слуха человека, вызывают слуховые ощущения и называются слышимыми звуками. Звуковые волны с частотами менее 16 Гц называются инфразвуками, а с частотами более 2104 Гц –ультразвуками.

• Восприятие звука органами слуха зависит от того, какие частоты входят в состав звуковой волны.

• Скорость звука в воздухеприблизительно 330 м/с

• Высота тона зависит от частоты: чем больше частота, тем выше тон.

• Громкость звука зависит от интенсивности звука, т.е. определяется амплитудой колебаний в звуковой волне. Наибольшей чувствительностью органы слуха обладают к звукам с частотами от 700 до 6000 Гц.

Визуальное представление звуковой волны

Применение в жизни:

• Областью применения колебаний и волн служат многие изобретения человека: от музыкальных инструментов и акустических динамиков до эхолотов и ультразвуковых диагностических аппаратов .

Ультразвуковые волны.

• Ультразвуковыми называются волны с частотой колебаний больше 20 кГц.

61

Инфразвуковые волны.

• Инфразвуком называются волны, частота которых меньше 16 Гц.

62

Закрепление материала.Тест

1. График смещения точки представлен на рисунке.Закон движения тела имеет вид:1. х=0.2sin ωt2. x=20sin ωt3. x=0.2cos ωt4. X=20cos ωt

• Грузик совершает колебания на нити. Как направлен вектор ускорения грузика в точке О?

• 1. 1

• 2. 2

• 3. 3

• 4. 4

2. Закрепление материала

0

T

AA

12

3

4

2. За какую часть периода Т шарик математического маятника проходит путь от левого крайнего положения до правого крайнего положения.

1. Т

2. Т/2

3. Т/4

4. Т/8

3. Если массу груза математического маятника увеличить в 4 раза, то период его малых колебаний:

1. Увеличится в 4 раза

2. Увеличится в 2 раза

3. Уменьшится в 4 раза

4. Не изменится

Закрепление материала

4. Если длину математического маятника уменьшить в 4 раза, то период Т его свободных колебаний

1. увеличится в 2 раза

2. Увеличится в 4 раза

3. Уменьшится в 2 раза

4. Уменьшится в 4 раза

5. Верно утверждение:

Свободным является колебание

А. груза, подвешенного к пружине, после однократного его отклонения от положения равновесия.

Б. мембраны громкоговорителя во время работы приемника.

1. Только А

2. Только Б

3. А и Б

4. Ни А, ни Б

Закрепление материала

UI

0

0

t

UR

IR

Чем отличаются колебания?

Чем отличаются колебания?

Чему равен период колебаний и амплитуда?

Чем отличаются колебания?

Чем отличаются колебания?

Проверка усвоения

1. Чем отличаются эти колебания?

2. Найдите период , частоту и амплитуду колебаний.

Рис.1Рис.2

Подведем итоги

1. Колебания – это особый вид движения, описываемый уравнением с использованием функций sin или cos.

2. Колебательные системы – особые системы взаимодействующих тел.

3. Сколько видов колебаний существует?

4. Период и частота колебаний зависят от параметров системы.

5. Характеристики колебаний всегда можно измерить или определить по графику.

Домашнее задание (конспект 3.1)

• Тема конспекта: Применение вынужденных колебаний в технике и быту. Механический резонанс в технике.