Upload
cs-center
View
100
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
Слова Штурма
Анна (Эдуардовна) Фрид
ИМ им. С. Л. Соболева СО РАН, Новосибирск[email protected]
Лекция 3, 16.10.2011
Лекция 3 Слова Штурма 1/32
Источник
Опять пользуемся книгой
M. Lothaire, Algebraic Combinatorics on Words. Cambridge Univ. Press,2002.
Глава 2, Sturmian words (J. Berstel, P. Seebold)Книга полностью выложена в сеть
Лекция 3 Слова Штурма 2/32
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.
Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.
Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.
Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.
Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
Слова Штурма
Слова Штурма допускают множество эквивалентных определений, изкоторых основные следующие:
Непериодические слова с минимальной комбинаторнойсложностью.Непериодические уравновешенные слова.Слова, кодирующие траекторию прямой с иррациональнымнаклоном.Слова, кодируемые иррациональным вращением.Слова, возникающие как коды прямоугольных бильярдов.
Лекция 3 Слова Штурма 3/32
Комбинаторная сложность
ОпределениеКомбинаторной сложностью бесконечного слова w называетсяфункция pw (n), равная числу его подслов длины n.
ExampleВ слове Туэ-Морса
0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 · · ·
не встречаются слова 000 и 111, поэтому pTM(3) = 6.
Лекция 3 Слова Штурма 4/32
Комбинаторная сложность
ОпределениеКомбинаторной сложностью бесконечного слова w называетсяфункция pw (n), равная числу его подслов длины n.
ExampleВ слове Туэ-Морса
0110 1001 1001 0110 1001 0110 0110 1001 · · ·
не встречаются слова 000 и 111, поэтому pTM(3) = 6.
Лекция 3 Слова Штурма 4/32
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 3 Слова Штурма 5/32
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;
Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 3 Слова Штурма 5/32
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;
Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 3 Слова Штурма 5/32
Свойства функции сложности
Напомним, что слово (со временем) периодическое, если имеет видuvvvvvv · · · .
Для любого бесконечного слова над алфавитом мощности q
1 ≤ pw (n) ≤ qn;Функция pw (n) не убывает;Функция pw (n) ограничена тогда и только тогда, когда слово w современем периодично.
Лекция 3 Слова Штурма 5/32
Лемма Морса-Хедлунда и первое определение
LemmaСледующие утверждения эквивалентны:
Слово w не является со временем периодическим;pw (n) ≥ n + 1.
DefinitionСлово w называется словом Штурма, если pw (n) = n + 1 для всех n.
Лекция 3 Слова Штурма 6/32
Лемма Морса-Хедлунда и первое определение
LemmaСледующие утверждения эквивалентны:
Слово w не является со временем периодическим;pw (n) ≥ n + 1.
DefinitionСлово w называется словом Штурма, если pw (n) = n + 1 для всех n.
Лекция 3 Слова Штурма 6/32
Пример: слово Фибоначчи
Example
ϕ(0) = 01, ϕ(1) = 0
0→ 01→ 01 0→ 010 01→ 01001 010→ 01001010 01001→ · · ·
Предел: слово Фибоначчи
ϕ∞(a) = 0100101001001010010100100101001001 · · ·
LemmaСлово Фибоначчи является словом Штурма.
Лекция 3 Слова Штурма 7/32
Пример: слово Фибоначчи
Example
ϕ(0) = 01, ϕ(1) = 0
0→ 01→ 01 0→ 010 01→ 01001 010→ 01001010 01001→ · · ·
Предел: слово Фибоначчи
ϕ∞(a) = 0100101001001010010100100101001001 · · ·
LemmaСлово Фибоначчи является словом Штурма.
Лекция 3 Слова Штурма 7/32
Уравновешенные слова
Напомним, что |x | — длина слова x , а |x |1 — количество единиц вслове x .
Обозначим δ(x , y) = ||x |1 − |y |1|.
DefinitionБесконечное слово называется уравновешенным, если для любых егодвух подслов x и y одинаковой длины верно неравенство
δ(x , y) = ||x |1 − |y |1| ≤ 1.
Лекция 3 Слова Штурма 8/32
Уравновешенные слова
Напомним, что |x | — длина слова x , а |x |1 — количество единиц вслове x .Обозначим δ(x , y) = ||x |1 − |y |1|.
DefinitionБесконечное слово называется уравновешенным, если для любых егодвух подслов x и y одинаковой длины верно неравенство
δ(x , y) = ||x |1 − |y |1| ≤ 1.
Лекция 3 Слова Штурма 8/32
Уравновешенные слова
Напомним, что |x | — длина слова x , а |x |1 — количество единиц вслове x .Обозначим δ(x , y) = ||x |1 − |y |1|.
DefinitionБесконечное слово называется уравновешенным, если для любых егодвух подслов x и y одинаковой длины верно неравенство
δ(x , y) = ||x |1 − |y |1| ≤ 1.
Лекция 3 Слова Штурма 8/32
Второе определение
LemmaПусть x бесконечное слово. Следующие условия эквивалентны:
x — слово Штурма;x — уравновешенное непериодичное слово.
Схема доказательства.1 В уравновешенном множестве слов длины n не более n + 1
элемента.2 Множество F неуравновешено и замкнуто относительно взятия
подслов ⇐⇒ существует палиндром w | 0w0, 1w1 ∈ F .
Лекция 3 Слова Штурма 9/32
Второе определение
LemmaПусть x бесконечное слово. Следующие условия эквивалентны:
x — слово Штурма;x — уравновешенное непериодичное слово.
Схема доказательства.1 В уравновешенном множестве слов длины n не более n + 1
элемента.
2 Множество F неуравновешено и замкнуто относительно взятияподслов ⇐⇒ существует палиндром w | 0w0, 1w1 ∈ F .
Лекция 3 Слова Штурма 9/32
Второе определение
LemmaПусть x бесконечное слово. Следующие условия эквивалентны:
x — слово Штурма;x — уравновешенное непериодичное слово.
Схема доказательства.1 В уравновешенном множестве слов длины n не более n + 1
элемента.2 Множество F неуравновешено и замкнуто относительно взятия
подслов ⇐⇒ существует палиндром w | 0w0, 1w1 ∈ F .
Лекция 3 Слова Штурма 9/32
Наклон слова
DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.
Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел
π(w) = limn→∞
|wn|1n
, где wn — префикс длины n слова w .
LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.
LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.
Лекция 3 Слова Штурма 10/32
Наклон слова
DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел
π(w) = limn→∞
|wn|1n
, где wn — префикс длины n слова w .
LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.
LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.
Лекция 3 Слова Штурма 10/32
Наклон слова
DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел
π(w) = limn→∞
|wn|1n
, где wn — префикс длины n слова w .
LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.
LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.
Лекция 3 Слова Штурма 10/32
Наклон слова
DefinitionНаклон конечного слова x над алфавитом {0, 1} — это число |x |1/|x |.Наклон бесконечного слова w над алфавитом {0, 1} — это предел
π(w) = limn→∞
|wn|1n
, где wn — префикс длины n слова w .
LemmaУ каждого уравновешенного бесконечного слова есть наклон.
LemmaУравновешенное слово периодично тогда и только тогда, когда егонаклон рационален.
Лекция 3 Слова Штурма 10/32
Пример
Example
01001 01001 01001 01001 · · ·
периодическое уравновешенное слово с наклоном 2/5.
Лекция 3 Слова Штурма 11/32
Наклон слова Фибоначчи
Example
ϕ(0) = 01, ϕ(1) = 0
0→ 01→ 01 0→ 010 01→ 01001 010→ 01001010 01001→ · · ·
ϕ∞(a) = 0 1 0 01 010 01001 01001010 0100101001001 · · ·
π(w) = limn→∞
|ϕn(a)|1|ϕn(a)|
= limn→∞
Fn−2
Fn=
1
τ2,
где τ = (1 +√
5)/2,
π(w) =1
τ2= 0, 38 · · · .
Лекция 3 Слова Штурма 12/32
Механические слова
y = σx + ρ, 0 ≤ σ, ρ < 1.
1 0 1 0 0 1 0 1 0 1
w = w1w2 · · ·
wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc.
Лекция 3 Слова Штурма 13/32
Тонкость
?1 0
0 1
wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc.
или
wn = dnσ + ρe − d(n − 1)σ + ρe.
Лекция 3 Слова Штурма 14/32
Формальное определение
DefinitionБесконечное слово w = w1w2 · · · над алфавитом {0, 1} называетсямеханическим, если для всех n > 0 верно одно из двух: либо
wn = bnσ + ρc − b(n − 1)σ + ρc,
либоwn = dnσ + ρe − d(n − 1)σ + ρe.
Лекция 3 Слова Штурма 15/32
Три эквивалентных определения
TheoremДля слова x над алфавитом {0, 1} следующие условия эквивалентны:
px(n) = n + 1 ∀n;x — уравновешенное непериодичное слово;x — механическое слово с иррациональным наклоном σ.
В случае выполнения любого из этих условий слово x называетсясловом Штурма.
Лекция 3 Слова Штурма 16/32
Механические слова и вращения
0=1
σ
ρ
ρ+σρ+2σ
ρ+3σ
ρ+4σ
ρ+5σ
w = 10001 · · ·
Лекция 3 Слова Штурма 20/32
Сложность механических слов
w1 = 1⇐⇒ 1− σ < ρ < 1
−σ
0=1
2 интервала, в каком ρ — такой и первый символpw (1) = 2
Лекция 3 Слова Штурма 21/32
Сложность механических слов
wk = 1⇐⇒ −(k − 1)σ < ρ < −kσ
−σ
0=1
−2σ
−κσ−3σ
k + 1 интервалов, в каком ρ — такой и префикс длины kpw (k) = k + 1.
Лекция 3 Слова Штурма 22/32
Свойства слов Штурма
LemmaНи одно слово Штурма не является автоматным.
У слов Штурма частота символов иррациональна (и равнанаклону), а у автоматных — рациональна.
Лекция 3 Слова Штурма 26/32
Свойства слов Штурма
LemmaНи одно слово Штурма не является автоматным.
У слов Штурма частота символов иррациональна (и равнанаклону), а у автоматных — рациональна.
Лекция 3 Слова Штурма 26/32
Свойства слов Штурма
LemmaМножество подслов слова Штурма зависит только от его наклона.
Значит, для многих рассуждений можно считать, что ρ = 0 или —даже лучше — ρ = σ. Такие слова Штурма называютсяхарактеристическими.
Лекция 3 Слова Штурма 27/32
Свойства слов Штурма
LemmaМножество подслов слова Штурма зависит только от его наклона.
Значит, для многих рассуждений можно считать, что ρ = 0 или —даже лучше — ρ = σ. Такие слова Штурма называютсяхарактеристическими.
Лекция 3 Слова Штурма 27/32
Свойства слов Штурма
LemmaХарактеристическое слово Штурма cσ с наклоном σ можно построить,используя разложение наклона σ в цепную дробь.
Подробности. Пусть
σ =1
m1 + 1 +1
m2 +1
m3 +1
m4 + · · ·
= [0,m1 + 1,m2,m3, · · · ].
Тогда cσ = limn→∞ sn, где
s−1 = 1, s0 = 0, sn = smnn−1sn−2.
Лекция 3 Слова Штурма 28/32
Свойства слов Штурма
LemmaХарактеристическое слово Штурма cσ с наклоном σ можно построить,используя разложение наклона σ в цепную дробь.
Подробности. Пусть
σ =1
m1 + 1 +1
m2 +1
m3 +1
m4 + · · ·
= [0,m1 + 1,m2,m3, · · · ].
Тогда cσ = limn→∞ sn, где
s−1 = 1, s0 = 0, sn = smnn−1sn−2.
Лекция 3 Слова Штурма 28/32
Свойства слов Штурма
LemmaХарактеристическое слово Штурма cσ с наклоном σ можно построить,используя разложение наклона σ в цепную дробь.
Подробности. Пусть
σ =1
m1 + 1 +1
m2 +1
m3 +1
m4 + · · ·
= [0,m1 + 1,m2,m3, · · · ].
Тогда cσ = limn→∞ sn, где
s−1 = 1, s0 = 0, sn = smnn−1sn−2.
Лекция 3 Слова Штурма 28/32
Пример: слово Фибоначчи
Наклон слова Фибоначчи равен
1
τ2= [0, 2, 1, 1, 1, 1, · · · ], где τ =
1 +√
5
2.
s−1 = 1
s0 = 0
s1 = 01
s2 = 01 0
s3 = 010 01
s4 = 01001 010
Это действительно слово Фибоначчи.
Лекция 3 Слова Штурма 29/32
Пример: слово Фибоначчи
Наклон слова Фибоначчи равен
1
τ2= [0, 2, 1, 1, 1, 1, · · · ], где τ =
1 +√
5
2.
s−1 = 1
s0 = 0
s1 = 01
s2 = 01 0
s3 = 010 01
s4 = 01001 010
Это действительно слово Фибоначчи.
Лекция 3 Слова Штурма 29/32
Ограниченность степеней
CorollaryСлово Штурма избегает достаточно больших степеней тогда и толькотогда, когда числа mn в разложении σ = [0,m1 + 1,m2,m3 · · · ]ограничены.
Лекция 3 Слова Штурма 30/32
Штурмовские неподвижные точки морфизмов
TheoremХарактеристическое слово Штурма с наклоном σ являетсянеподвижной точкой морфизма тогда и только тогда, когда
σ = [0, 1, a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0
илиσ = [0, 1 + a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0 ≥ 1.
ЗамечаниеВсе такие числа — квадратические иррациональные. Число σ(0 < σ < 1) дает штурмовскую неподвижную точку морфизма тогда итолько тогда, когда 1/σ < 1.
Лекция 3 Слова Штурма 31/32
Штурмовские неподвижные точки морфизмов
TheoremХарактеристическое слово Штурма с наклоном σ являетсянеподвижной точкой морфизма тогда и только тогда, когда
σ = [0, 1, a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0
илиσ = [0, 1 + a0, a1, . . . , ak ], где ak ≥ a0 ≥ 1.
ЗамечаниеВсе такие числа — квадратические иррациональные. Число σ(0 < σ < 1) дает штурмовскую неподвижную точку морфизма тогда итолько тогда, когда 1/σ < 1.
Лекция 3 Слова Штурма 31/32