ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ · 2012-06-25 · будут рассмотрены следующие типы уравнений: простейшее,

1

Министерство образования и наукиРоссийской Федерации

Санкт-Петербургский государственныйархитектурно-строительный университет

В. Б. СМИРНОВА, Л. Е. МОРОЗОВА

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ

Учебное пособие

Санкт-Петербург2010

2 3

Обыкновенные дифференциальные уравнения

УДК 519.95 (075.8)

Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доцент Е. К. Ершов (СПбГАСУ);канд. физ.-мат. наук, доцент Д. Ю. Волков (РГПУ им. А. И. Герцена)

Смирнова, В. Б.Обыкновенные дифференциальные уравнения: учеб. пособие /

В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова; СПбГАСУ. – СПб., 2010. – 87 с.

Пособие предназначено для самостоятельного изучения раздела «Обык-новенные дифференциальные уравнения» студентами специальностей с сокра-щенным курсом математики. Даны основные определения и теоремы. Приво-дится методика решения задач. Рассмотрены многочисленные примеры.

Ил. 1. Библиогр.: 6 назв.

Рекомендовано Редакционно-издательским советом СПбГАСУ в качествеучебного пособия.

В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова, 2010 Санкт-Петербургский государственныйархитектурно-строительный университет, 2010

Введение

Изучение различных задач геометрии, механики, физики часто при-водит к уравнениям, содержащим искомые переменные величины и ихпроизводные. Такие уравнения принято называть дифференциальными.

Если искомые величины являются функциями одной переменной,то дифференциальные уравнения называются обыкновенными. Если ис-комые величины являются функциями нескольких переменных,то уравнения называются дифференциальными уравнениями с частны-ми производными.

В данном учебном пособии изучаются только обыкновенные диф-ференциальные уравнения. Дадим развернутое определение этого понятия.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется ра-венство, выражающее зависимость между функцией одной переменной,ее аргументом и ее производными. Это равенство может не содержать са-мой функции или ее аргумента, может не содержать ни функции, ни аргу-мента, но оно обязательно содержит хотя бы одну производную функции.

Приведем примеры обыкновенных дифференциальных уравнений:032 =−′+′′ yyy ;

xy 2sin)4( = ;

xyy tg2 =′′−′′′ ;5=′′′y .

Всюду далее обыкновенные дифференциальные уравнения будемназывать дифференциальными уравнениями.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок стар-шей входящей в него производной.

В приведенных выше примерах порядки уравнений, рассматривае-мых сверху вниз, таковы: 2; 4; 3; 3.

4 5


Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГОПОРЯДКА

Общий вид дифференциального уравнения первого порядкатаков:

.0),,( =′yyxF (1.1)Здесь )(xуу = .

Решением уравнения (1.1) на промежутке X (открытом или зам-кнутом, конечном или бесконечном) называется дифференцируемая напромежутке X функция )(xyy = , которая при подстановке в (1.1) об-б-ращает его в тождество относительно аргумента Xx∈ .

Если уравнение (1.1) можно разрешить относительно производной,то оно принимает вид

)).((),,( xyyyxfy ==′ (1.2)

В этом пособии мы будем рассматривать именно такие уравнения.Приведем два примера уравнений первого порядка и постараемся

найти их решения.1. Рассмотрим уравнение

xxy 2cos)( =′ . (1.3)

Легко видеть, что функция xxy 2sin21)( = является решением уравнения

(1.3) при всех ),( ∞−∞∈x . Действительно, )(xy – первообразная дляфункции x2cos . Но любая функция вида

Cxy += 2sin21

, (1.4)

где const=C , также является первообразной функции x2cos и, следова-а-тельно, является решением уравнения (1.3). Так что уже этот пример по-

зволяет сделать вывод, что дифференциальное уравнение имеет беско-нечное множество решений.

2. Рассмотрим уравнение

)(2)( xyxy =′ . (1.5)

Нетрудно догадаться, что его решением при всех ),( ∞−∞∈x является

функция xxy 2e)( = (ведь только функция вида xαe , где α – число,не меняет своего вида при дифференцировании). Нетрудно также уви-деть, что любая функция

xCy 2e= , (1.6)

где const=C , является решением уравнения (1.5). Таким образом, вы-вод, что дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество ре-шений, подтверждается и на этом примере.

Любое уравнение (1.2) имеет бесконечное множество решений. Что-бы конкретизировать какую-то функцию из этого множества, для уравне-ния (1.2) задают начальное условие

00)( yxy xx == . (1.7)

Оно читается так: функция )(xy при 0xx = имеет значение 0y . Условие(1.7) часто записывают в виде

00 )( yxy = .

Заметим, что при 0xx = , 0yy = функция ),( yxf должна быть оп-ределена.

Поскольку любое уравнение (1.2) имеет бесконечно много реше-ний, для него вводятся понятия общего и частного решений.

Общим решением уравнения (1.2) называется семейство функций),( Cxy ϕ= , зависящих от независимой переменной x и произвольной

постоянной C , обладающее следующими свойствами:

Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка

6 7


1) для любого конкретного значения 0CC = функция ),( 0Cxy ϕ=удовлетворяет уравнению (1.2);

2) для любой пары чисел ),( 00 yx , для которой функция ),( yxfопределена, найдется такое значение 0CC = , что ),( 0Cxϕ удовлетво-о-ряет начальному условию (1.7).

Обратимся к рассмотренным ранее примерам. Убедимся, что реше-ние (1.4) является общим решением уравнения (1.3). Пусть задано усло-вие (1.7). Оно эквивалентно требованию

000 2sin21 Cxy += .

Таким образом, 000 2sin21 xyC −= . Тогда функция

00 2sin212sin

21 xyxy −+=

удовлетворяет условию (1.7).Легко убедиться, что формула (1.6) дает общее решение уравнения

(1.5). Действительно, при любом С функция xCy 2e= удовлетворяет урав-

нению (1.5), и для любой пары ),( 00 yx функция xxyy 220 e)e( 0−=

(т. е. 02

00 e x

yC = ) удовлетворяет начальному условию (1.7).

Частным решением уравнения (1.2) называется решение, полу-ченное из общего при конкретном значении C .

Таким образом, общее решение является совокупностью частныхрешений.

У уравнения (1.2) могут оказаться решения, которые не могут бытьполучены из общего решения ни при каком значении С. Мы их рассмат-ривать не будем. Нас будет интересовать нахождение общих и частныхрешений дифференциальных уравнений.

Процесс нахождения решений дифференциального уравнения назы-вается интегрированием дифференциального уравнения.

Замечание. Часто при интегрировании дифференциального урав-нения зависимость между функцией y , ее аргументом x и произвольной

постоянной C не удается получить в виде ),( Cxy ϕ= , а удается полу-чить в виде

0),,( =Φ Cyx . (1.8)

Равенство (1.8) называется общим интегралом дифференциально-го уравнения (1.1). Равенство

0),,( 0 =Φ Cyx , (1.9)

полученное из (1.8) при конкретном значении 0CC = , называется част-ным интегралом уравнения (1.1).

Заметим, что каждое частное решение уравнения (1.2) ),( 0Cxy ϕ=задает линию на плоскости xOy . Эта линия называется интегральнойкривой уравнения. Общее решение геометрически определяет множествоинтегральных кривых.

В связи с частными решениями уравнения (1.2) часто ставится за-дача Коши. Эта задача состоит в нахождении решения уравнения (1.2),удовлетворяющего заданному начальному условию (1.7).Мы не излагаем здесь теорем, гарантирующих существование и един-ственность решения задачи Коши (1.2), (1.7). Они изложены в учебномпособии [6].

Если дифференциальное уравнение таково, что его общее решениеили общий интеграл можно выразить через элементарные функции и нео-пределенные интегралы от элементарных функций (при этом интегралымогут оказаться неберущимися), то говорят, что уравнение интегрирует-ся в квадратурах. Существует несколько типов уравнений первого по-рядка, которые интегрируются в квадратурах. В этом пособиибудут рассмотрены следующие типы уравнений: простейшее, с разделяю-щимися переменными, линейное, обобщенное линейное (уравнениеЯ. Бернулли) и однородное.

1.1. Простейшие уравнения

Их общий вид таков:)(xfy =′ . (1.10)


8 9


Их общее решение представляет собой неопределенный интеграл от фун-кции )(xf , т. е.

Cdxxfy += ∫ )( .Здесь и во всех последующих записях решений дифференциальных

уравнений под символом ∫ dxxf )( имеется в виду одна (любая) первооб-разная подынтегральной функции.

Уравнение (1.3) является простейшим.

1.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Так называются уравнения вида

)()( ygxfy =′ . (1.11)

Чтобы получить общее решение (общий интеграл) уравнения (1.11),

следует воспользоваться тем, что dxdyxy =′ )( , а затем «разделить» пере-

менные, т. е. записать уравнение (1.11) в виде

dxxfyg

dy )()(=

или

( )∫∫ =

dxxfdyg

dyd )()( .

Деля обе части (1.11) на )(yg , можно потерять решения вида η=y ,где η=y является решением уравнения 0)( =yg . Эти решения послеполучения общего решения следует рассмотреть отдельно. Может ока-заться, что они не являются частными решениями (1.11).

Если дифференциалы двух функций равны, то сами функции могутотличаться друг от друга лишь на постоянное слагаемое. (См. теорему опервообразных учебного пособия [2].) Следовательно,

∫ ∫ += Cdxxfyg

dy )()( . (1.12)

Формула (1.12) и дает общее решение (общий интеграл) уравнения(1.11). Заметим, что простейшее дифференциальное уравнение (1.10)является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными(1.11), когда 1)( ≡yg .

Пример 1.1. Найти общее решение уравнения

44 22 +++=′ yxxyy . (1.13)

Решение. Правую часть этого уравнения можно разложить на мно-жители:

).1)(4()1(4)1(

)44()(4422

2222

++=+++=

=+++=+++

xyxxy

xyxyyxxy

Следовательно, уравнение (1.13) можно переписать в виде

)1)(4( 2 ++=′ xyyили

)1)(4( 2 ++= xydxdy

(1.14)

и «разделить» в нем переменные:

dxxy

dy )1(42 +=

+.

Отсюда

∫ ∫ ++=+

Cdxxy

dy )1(42

или

Cxxy++=

22arctg

21 2

.

Тем самым получен общий интеграл уравнения (1.13). Его можнопереписать в виде

Cxxy++=

2

2arctg 2 .


10 11



xyy 42 +

=′ . (1.15)

Решение. Перепишем уравнение в виде

42 += ydxdyx

и, «разделив» переменные, получим

xdx

ydy

=+ 42

. (1.16)

Отсюда

∫ ∫ +=+

Cx

dxydy ln

42.

Здесь произвольная постоянная выбрана в виде Cln ( 0≠C ). Пос-с-ле вычисления интегралов получаем

Cxyy lnln4ln 2 +=++

или

)0(42 ≠=++ СCxyy .Тем самым получен общий интеграл исходного уравнения (1.15).Пример 1.3 [1]. Дано дифференциальное уравнение

)0(2 >=′ yyy . (1.17)

А. Найти его общее решение.Б. Решить для него задачу Коши с начальным условием

11 ==xy . (1.18)РешениеА. Запишем уравнение (1.17) в виде

dxy

dy=

2. (1.19)

Проинтегрируем (1.19). Получим

∫ ∫ += Cdxy

dy2

илиCxy += . (1.20)

Получен общий интеграл уравнения (1.17). Легко увидеть, что гео-метрически формула (1.20) определяет семейство полупарабол

CxCxy −>+= ,)( 2 (рисунок).

x

y

0

yx =

Интегральные кривые уравнения (1.17)

Б. Чтобы решить задачу Коши (1.17), (1.18), подставим в формулу(1.20) начальные данные 1=x и 1=y . Получим

0;11 =+= CC .Следовательно, искомое частное решение имеет вид

yx = . (1.21)

График функции (1.21) отмечен на рисунке жирной линией.


12 13


1.3. Линейные уравнения

Линейным уравнением называется уравнение вида

)0)(()()( ≠=+′ xpxfyxpy . (1.22)

Заметим, что искомая функция y и ее производная y′ входятв уравнение (1.22) только в первой степени и между собой не перемножа-ются.

Общее решение этого уравнения будем искать методом Бернулли.Согласно этому методу решение ищется в виде произведения двухфункций

)()()( xvxuxy = , (1.23)

где функция 0)( ≠xv выбирается произвольно, а функция )(xu определя-ется при известной уже )(xv так, чтобы )(xy была решением (1.22).

Подставим функцию (1.23) в уравнение (1.22). Получим)()( xfuvxpuvvu =+′+′

или)())(( xfvxpvuvu =+′+′ . (1.24)

Наложим на функцию )(xv условие, состоящее в том, что она удов-летворяет уравнению

0)( =+′ vxpv . (1.25)

Здесь мы воспользовались возможностью произвольно выбрать)(xv . Уравнение (1.25) – уравнение с разделяющимися переменными.

Поэтому представим его в виде

dxxpvdv )(−= . (1.26)

Проинтегрируем (1.26). Получим

∫ ∫−= dxxpvdv )(

или

∫−= dxxpv )(ln ,откуда

=)(xv ∫− dxxp )(e . (1.27)

Нам нужна лишь одна, любая функция, удовлетворяющая (1.25),поэтому произвольную постоянную при интегрировании положим рав-ной нулю.

Подставив функцию )(xv в уравнение (1.24), получим для опреде-ления )(xu простейшее уравнение

)()(

xvxfu =′ .

Его общее решение имеет вид

∫ += Cdxxvxfxu)()()( .

Тогда

)()()()()( xvdx

xvxfxCvxy

+= ∫ ,

где )(xv определяется по формуле (1.27).Пример 1.4. Найти общее решение уравнения

3xxyy =−′ . (1.28)

Решение. Ищем решение в виде uvy = . Тогда (1.28) запишется сле-дующим образом:

3xx

uvuvvu =−′+′ . (1.29)

Функцию )(xv ищем как решение уравнения

0=−′xvv


14 15


или

xdx

vdv

= .

Тем самым выражение x

uvuv −′ в уравнении (1.29) обращается в ноль.

Интегрируя последнее равенство, получаемxv lnln =

илиxv = .

Подставляем найденную функцию )(xv в уравнение (1.29).Получаем

3xxu =′или

.2xu =′Тогда

Cxxu +=3

)(3

.

Общее решение (1.28) имеет вид

3)(

4xCxxy += .


x

xyy 2e=+′ . (1.30)

Решение. Ищем решение уравнения (1.30) в виде uvy = . Тогда(1.30) принимает вид

x

xuvuvvu 2e=+′+′ . (1.31)

Выберем функцию )(xv так, чтобы она была решением уравнения

0=+′xvv (1.32)

или

.x

dxvdv

−=

Интегрируя это равенство, получаемxv lnln −= ,

откуда

xv 1= .

(Мы воспользовались свойством ),0(lnln RAAA ∈α>=α α .)Подставляем найденную функцию )(xv в (1.31). Получаем

xxu 2e=′ ,откуда

Cdxxxu x += ∫ 2e)(или

Cxxu xx +−= 22 e41e

21)( .

Общее решение уравнения (1.30) имеет вид

xx

xxCxy 22 e

41e

21)( −+= .

Пример 1.6. Решить задачу Коши

)e(cos2 22 xyy =+′ , (1.33)

20 ==xy . (1.34)

Решение. Прежде всего следует получить общее решение уравнения(1.33). Ищем решение в виде uvy = . Подставим его в (1.33). Получим

)e(cos2 22 xuvuvvu =+′+′ . (1.35)

Выберем функцию v так, чтобы 02 =+′ uvuv . Тогда

02 =+′ vv . (1.36)


16 17


Решаем (1.36) как уравнение с разделяющимися переменными:

dxvdv 2−= ,

∫ ∫−= dxvdv 2 ,

xv 2ln −= ,

xv 2e−= . (1.37)

Подставляем функцию )(xv из (1.37) в уравнение (1.35). Получаем)e(cose 222 xxu =′ ,

откуда

Cdxxu xx +∫= )e(cose)( 222 .Отдельно найдем первообразную, стоящую в правой части, с помо-

щью замены xz 2e= :

( )∫∫ ∫ =+== dzzzdzdxxx 12cos41cos

21)e(cose 2222

( ) xxzz 22 e41e2sin

81

42sin

81

+=+= .

Таким образом,

( ) Cxu xx ++= 22 e41e2sin

81)( ,

и общее решение уравнения (1.33) имеет вид

41)e2sin(e

81e)( 222 ++= −− xxxCxy . (1.38)

Теперь, чтобы найти постоянную C, подставим значения x и yиз начального условия (1.34) в общее решение (1.38). Получим

412sin

812 ++= C .

Следовательно, 2sin81

47−=C , и решение задачи (1.33), (1.34) име-

ет вид

( )41e2sine

81e2sin

81

47)( 222 ++

−= −− xxxxy .

1.4. Обобщенные линейные уравнения (уравнения Бернулли)

Уравнение Я. Бернулли имеет вид

,)()( ayxfyxpy =+′ (1.39)

где 1≠a и 0≠a (в случае 1=a уравнение (1.39) превращается в уравне-ние с разделяющимися переменными, а в случае 0=a – в линейное урав-нение).

Решение уравнения (1.39) осуществляется тем же методом Бер-нулли, что и линейное уравнение (1.23), т. е. реализуется следующаясхема:

1. Ищем решение в виде произведения двух функций

)()()( xvxuxy = . (1.40)

2. Подставляем функцию (1.40) в уравнение (1.39), получаем урав-нение

aavuxfuvxpuvvu )()( =+′+′ (1.41)

и выбираем функцию )(xv так, чтобы она была частным решением урав-нения

0)( =+′ vxpv . (1.42)Тогда

∫−= dxxpxv )(e)( . (1.43)

3. Подставляем найденную функцию (1.43) в уравнение (1.41) и полу-чаем для определения )(xu уравнение с разделяющимися переменными

aa uxvxfxvu )()()( =′ . (1.44)


18 19


4. Находим общий интеграл уравнения (1.44). Для этого разделяемпеременные и получаем

dxxvxfudu a

a )()( 1−= .

Тогда

.)()(1

1 11 Cdxxvxfua

aa +=− ∫ −− (1.45)

5. Находим общий интеграл уравнения (1.39). При этом удобнов (1.45) заменить функцию )(xu по формуле

)()()(

xvxyxu = ,

полученной из (1.40). Общий интеграл имеет вид

( ) ( )∫ +−= −−− Cdxxvxfxvaxy aaa )()()(1)( 111 . (1.46)


xyxyy ln3=−′ . (1.47)

Решение. Это – уравнение Бернулли с 3=a . Применяем метод Бер-нулли и ищем решение в виде uvy = . Тогда уравнение (1.47) приобретаетвид

xvux

uvuvvu ln33=−′+′ . (1.48)

Выбираем функцию v так, чтобы она удовлетворяла уравнению

.0=−′xvv

В примере 1.4 показано, что решением этого уравнения являетсяфункция xv = . Тогда из (1.48) получаем уравнение для нахождения )(xu :

xxuxu ln33=′или

xdxxudu ln2

3 = . (1.49)

Интегрируем (1.49):

Cxdxxu +=− ∫− ln21 22

или

Cxxxu

+−=−9

ln32

1 33

2 . (1.50)

Учитывая, что xyu = , получим из (1.50) общий интеграл (1.47)

в виде

Cxxxy

x+−=−

9ln

32

33

2

2

или

Cxxxxy

+−=

ln629

33

22 . (1.51)


42

2

+=+′

xy

xyy . (1.52)

Решение. Это – уравнение Бернулли, где 2=a . Согласно методуБернулли полагаем uvy = . Тогда уравнение (1.52) принимает вид

42

22

+=+′+′

xvu

xuvuvvu . (1.53)


.0=+′xvv


20 21


При решении примера 1.5 показано, что решением этого уравнения

является функция x

v 1= . Тогда из (1.53) получаем уравнение для нахож-

дения )(xu :

)4( 22

2

+=

′

xxu

xu

или

)4( 22 +=

xxdx

udu . (1.54)

Интегрируем (1.54). Получаем

Cxxdx

u+

+=− ∫ )4(

12 . (1.55)

Найдем ∫ + )4( 2xxdx

. Для этого представим правильную дробь

)4(12 +xx

в виде суммы простейших дробей:

4)4(1

22 ++

+=+ x

DBxxA

xx.

Определим коэффициенты А, В и D из тождественного равенствамногочленов

)()4(1 2 DBxxxA +++≡ ,откуда

===+

,14;0

;0

AD

BA

или 0,41,

41

=−== DBA . Таким образом,

( )4

ln414ln

81ln

41

441

41

)4( 22

22 +=+−=

+−=

+∫ ∫ ∫x

xxx

xxdx

xdx

xxdx

.

Тогда формула (1.55) приобретает вид

Cx

xu

++

=−4

ln411

2.

Учитывая, что xuuvy == , а значит, yxu = , получим

Cx

xyx

++

=−4

ln411

2,

откуда

4ln

4

2 ++

−=

x

xxCx

y .

Пример 1.9 [4]. Найти общее решение уравнения

)0( >=+′ yyxyy . (1.56)

Решение. Это – уравнение Бернулли, где 21

=a . Ищем его решение

в форме uvy = . Тогда уравнение (1.56) приобретает вид

vuxuvuvvu =+′+′ . (1.57)

Требуем, чтобы функция )(xv удовлетворяла уравнению

.0=+′ vv (1.58)

Решаем уравнение (1.58) как уравнение с разделяющимися перемен-ными:

dxvdv

−= ,


22 23


∫∫ −= dxvdv

,

xv −=ln ,

.e xv −=Подставляем найденную функцию )(xv в (1.57). Получаем

uxux

x 2ee−− =′

или

dxxu

du x2e= . (1.59)

Интегрируем (1.59):

Cdxxu

du x

+= ∫∫ 2e . (1.60)

Найдем первообразную, стоящую в правой части (1.60), интегрируя

по частям. Положив dxdzxtx2e, == , найдем dxdt = и 2e2

x

z = . Тогдада

22222 e4e2e2e2exxxxx

xdxxdxx −=−= ∫∫ .

Формула (1.60) принимает вид

Cxuxx

+−= 22 e4e22 . (1.61)

Учитывая, что vyu = , или xyu e= , определим из (1.61) общий ин-

теграл уравнения (1.56) в виде

2e2x

Cxy−

+−= .

1.5. Однородные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однород-ным, если оно может быть приведено к виду

.

=′

xyfy (1.62)

Чтобы найти общее решение (или общий интеграл) уравнения (1.62),

введем новую функцию xxyxz )()( = , так что )()( xzxxy = .

Тогда )()()( xzxzxxy +′=′ и уравнение (1.62) можно записатьв виде

zzfzx −=′ )( . (1.63)

Мы получили уравнение с разделяющимися переменными

xdx

zzfdz

=−)(

.

Проинтегрируем его:

)0(ln)(

≠+=− ∫∫ CC

xdx

zzfdz ;

xCzzf

dz ln)(

=−∫ . (1.64)

Получен общий интеграл уравнения (1.63). После определения пер-

вообразной, стоящей в левой части (1.64), и замены z на xy получим

общий интеграл уравнения (1.62).Пример 1.10. Найти общее решение уравнения

yxyxy

−+

=′ . (1.65)


24 25


Решение. Уравнение (1.65) можно записать в виде

xyxy

y−

+=′

1

1, (1.66)

поделив числитель и знаменатель его правой части на x . Вводим новую

функцию xyz = , и уравнение (1.66) приобретает вид

zzzxz

−+

=+′11 .

Преобразуем его:

zzzxz −

−+

=′11

или

zzx

dxdz

−+

=1

1 2.

Разделяя здесь переменные, получаем

xdxdz

zz

=+

−21

1 . (1.67)

Интегрируем (1.67). Тогда

Cx

dxdzzz ln

11

2 +=+

−∫∫ ,

откуда

Cxzz lnln)1ln(21arctg 2 +=+−

или

( ))1(lnarctg2 222 += zxCz .

ОтсюдаzzxC arctg2222 e)1( =+ .

Заменяя здесь z на xy , находим окончательно

( ) xy

yxCarctg2222 e=+ .

Это общий интеграл уравнения (1.65).Пример 1.11. Найти общее решение уравнения

xyy x

y

+=′−

e . (1.68)

Решение. Сделаем замену искомой функции y по формуле xyz = и

запишем уравнение (1.68) следующим образом:

zzzx z +=+′ −eили

zzx −=′ e ,откуда

xdxdzz =e .

Значит,

∫∫ += Cx

dxdzze

или

Cxz += lne .Отсюда находим, что

( )Cxz += lnln

при Cx −>ln , или Cx −> e .Таким образом, общее решение уравнения (1.68) имеет вид

( ) )e(lnln CxCxxy −>+= .


26 27



22

2

2224

yxyxxyyy+−

−=′ . (1.69)

Решение. Уравнение (1.69) является однородным. Действительно,преобразуем его к виду

2

2

2

2

222

4

xy

xy

xy

xy

y+−

−=′ . (1.70)

Теперь сделаем замену xyz = . Получим

2

2

2224

zzzzzxz

+−−

=+′

или

222632

2

23

+−−+−

=′zz

zzzxz . (1.71)

«Разделим» переменные в уравнении (1.71) и проинтегрируем его.Это дает

Cx

dxdzzzz

zz ln632

22223

2−=

−+−+−

∫∫ . (1.72)

Вычислим первообразную, стоящую в левой части (1.72). Заметим,что

( ) 666632 223 −+−=′

−+− zzzzz .Тогда

( ) zzzzzzzzzddz

zzzzz 632ln

31

632632

31

632222 23

23

23

23

2−+−−=

−+−−+−

−=−+−+−

∫∫ .

В результате формула (1.72) приобретает вид

Cxzzz lnln632ln31 23 −=−+−−

или

( )zzzxC 632 233 −+−= .

Это общий интеграл уравнения (1.71). Заменяя в нем z на xy

и C на

C− , находим общий интеграл уравнения (1.69)Cyxxyy =+− 223 632 .

1.6. Решение задачи Коши для различных типов уравненийпервого порядка

Пример 1.13 [4]. Решить задачу Коши:

xy

yxy +=′ , (1.73)

2ee ==xy . (1.74)

Решение. Сначала получим общий интеграл уравнения (1.73). Это –однородное уравнение (его можно рассматривать и как уравнение Бернул-

ли, где 1−=a ). Введем функцию xxyxz )()( = . Тогда )(xy =′

)()( xzxxz ′+= и уравнение (1.73) примет вид

zzx 1=′ (1.75)

или

xdxzdz = . (1.76)


28 29


Интегрируя (1.76), получим

Cxz+= ln

2

2

.

Общий интеграл уравнения (1.73) имеет вид

Cxxy

+= ln2 2

2

. (1.77)

Теперь подставим в (1.77) значения x и y из начального условия(1.74). Получим для определения C уравнение

С+= 11 ,откуда 0=С . Тогда искомый частный интеграл уравнения (1.73)имеет вид

222 ln xxy = .Учитывая (1.74), можем утверждать, что решение задачи Коши (1.73)–

(1.74) имеет вид2ln xxу = .

Пример 1.14. Решить задачу Коши:

2yxyy =+′ , (1.78)

21

1 ==xy . (1.79)

Решение. Уравнение (1.78) является уравнением Бернулли ( 2=a ).Найдем его общее решение. Положим uvy = . Уравнение (1.78) приобре-тает вид

22vux

uvuvvu =+′+′ . (1.80)


0=+′xvv .

При решении примера 1.5 показано, что этому уравнению удовлетво-

ряет решение x

v 1= . Тогда из (1.80) получаем уравнение для нахожде-

ния )(xu :

xuu 12=′

или

xdx

udu

=2. (1.81)

Интегрируя (1.81), получаем

Cxu

+=− ln1.

Тогда, поскольку yxvyu == , общий интеграл уравнения (1.78) име-

ет вид

Cxxy

−−= ln1. (1.82)

Подставим начальные значения x и y из (1.79) в общий интеграл(1.82). Получим

С−=2 .Тогда решение задачи (1.78)–(1.79) имеет вид

)ln2(1

xxy

−= .


42 yxyy+

=′ , (1.83)


30 31


12 ==xy . (1.84)

Решение. Прежде всего определим тип уравнения (1.83). Для этогопредставим его в виде

yyx

dydx 42 +

=

или

32 yyxxy =−′ . (1.85)

Уравнение (1.85) является линейным относительно функции)(yxx = .

Ищем его общее решение в виде uvx = . Тогда из (1.85) следует, чтоо

32 yyuvuvvu =−′+′ . (1.86)

Выбираем функцию v , удовлетворяющую уравнению

02=−′

yvv .

Тогда

ydy

vdv 2= .

Это уравнение с разделяющимися переменными. Найдем его част-ное решение:

∫∫ =y

dyvdv 2 ,

yv ln2ln = ,

2yv = . (1.87)

Подставим (1.87) в (1.86) и получим уравнение для определения)(xu

32 yyu =′или

yu =′ .Его общее решение имеет вид

Cyyu +=2

)(2

.

Тогда общее решение уравнения (1.85) запишется следующимобразом:

24

2)( Cyyyx += . (1.88)

Подставим в (1.88) начальные значения x и y из (1.84). Получим

С+=212 ,

откуда 23

=С . Таким образом, частный интеграл для задачи Коши (1.83)–

(1.84) имеет вид

24

23

2yyx += .


32 33


Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВТОРОГОПОРЯДКА

Общий вид дифференциального уравнения второго порядка таков:

0),,,( =′′′ yyyxF . (2.1)

Здесь )(xyy = .Решением уравнения (2.1) на промежутке X называется дваж-

ды дифференцируемая функция )(xyy = , которая при подстановкеев уравнение (2.1) обращает его в тождество относительно аргумента хна промежутке X .

Во многих случаях уравнение (2.1) может быть разрешено относи-тельно старшей производной. Тогда оно принимает вид

( )yyxfy ′=′′ ,, . (2.2)

Именно такие уравнения мы и будем рассматривать.Рассмотрим пример уравнения второго порядка

0=+′′ yy . (2.3)

Здесь легко «угадать» решения: xyxy cos и sin == . Нетрудно так-же догадаться, что любая функция вида

xCxCy cossin 21 += ,где 21 и CC – любые числа, также будет решением данного уравнения.

Ещё один пример:2xy =′′ . (2.4)

Любая функция вида 21

4

12CxCxy ++= , где 21 и CC – числа, являетсяся

решением этого уравнения. Действительно,

( ) .01212

2221

4

21

4xxCxCxCxCxy =+=″++

″

=

″

++=′′

Итак, уравнение второго порядка, так же как и уравнение первогопорядка, имеет множество решений. В отличие от уравнений первого по-рядка множество решений здесь определяется не одним параметром C , адвумя параметрами: 21 и CC .

Чтобы конкретизировать какую-то функцию из этого множества ре-шений, для уравнения (2.2) задают начальные условия

10 00)( ,)( bxybxy xxxx =′= == (2.5)

(или 1000 )( ,)( bxybxy =′= ). Функция ( )yyxf ′,, должна быть определе-

на при 100 ,, bybyxx =′== .Для уравнения второго порядка (так же как и для уравнения первого

порядка) введем понятия общего и частного решений.Общим решением уравнения (2.2) называется семейство функ-

ций ),,( 21 CCxy ϕ= , зависящих от независимой переменной x и двуххпроизвольных постоянных 21 и CC , обладающее следующими свой-ствами:

1) для любых значений 02

01 , CC функция ),,( 0

201 CCxy ϕ= является

решением (2.2);2) для любых трёх чисел 100 , , bbx , таких, что значение

( )100 ,, bbxf определено, существуют такие значения 02

01 , CC , что

),,( 02

01 CCxy ϕ= удовлетворяет начальным условиям (2.5).

Частным решением уравнения (2.2) называется решение, полу-ченное из общего решения при конкретных значениях 21 и CC .

Задача Коши для уравнения (2.2) состоит в нахождении его част-ного решения, удовлетворяющего начальным условиям (2.5).

Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка

34 35


2.1. Уравнения второго порядка, допускающие понижениепорядка

Приведем некоторые типы уравнений второго порядка, которые мо-гут быть сведены к уравнениям первого порядка.

2.1.1. Простейшие уравнения

Общий вид простейшего уравнения таков:

)(xfy =′′ . (2.6)

Общее решение этого уравнения получается последовательным ин-тегрированием. Запишем (2.6) в виде уравнения первого порядка отно-сительно )(xy ′ :

)()( xfy =′′ (2.7)

и получим общее решение этого простейшего уравнения:

∫ +=′ 1)()( Cdxxfxy . (2.8)

Равенство (2.8) снова является простейшим уравнением первогопорядка. Его общее решение имеет вид

( ) 21)()( CdxCdxxfxy ++= ∫ ∫или

( ) 21)()( CxCdxdxxfxy ++= ∫ ∫ . (2.9)

Приведенное ранее в качестве примера уравнение (2.4) является про-стейшим уравнением.

Пример 2.1. Дано уравнение

xy 2cos=′′ . (2.10)

А. Найти его общее решение.Б. Решить задачу Коши для уравнения (2.10) с начальными усло-

виями

1y ,1 00 −=′= == xxy . (2.11)

РешениеА. Последовательно интегрируем (2.10):

∫ +=′ 12cos)( Cxdxxyили

12sin21)( Cxxy +=′ ; (2.12)

∫ ++= 21)2sin21()( CdxCxxy

или

212cos41)( CxCxxy ++−= . (2.13)

Б. Подставим значения yyx ′и, из начальных условий (2.11) после-довательно в (2.12) и (2.13). Из (2.12) получим

101 C+=− ,откуда 11 −=C . Из (2.13) получим

2411 C+−= ,

откуда 45

2 =C .

Итак, решение задачи Коши (2.10)–(2.11) имеет вид

452cos

41)( +−−= xxxy .

2.1.2. Уравнения, в которых отсутствует искомая функция

Это уравнение имеет вид

),( yxfy ′=′′ . (2.14)


36 37


Введём новую функцию).()( xyxz ′= (2.15)

Тогда )()( xzxy ′=′′ и уравнение (2.14) можно рассматривать как урав-нение первого порядка относительно )(xz

),( zxfz =′ .Пусть ),( 1Cxz ϕ= является общим решением этого уравнения. Тогда, учи-тывая (2.15), имеем

),( 1Cxy ϕ=′ . (2.16)

Мы получили простейшее уравнение первого порядка для определения)(xy . Общее решение уравнения (2.16) имеет вид

21),()( CdxCxxy +ϕ= ∫ . (2.17)

Это и есть общее решение уравнения (2.14).Пример 2.2. Дано уравнение

xy

xy

′−=′′ 3

1 . (2.18)

А. Найти его общее решение.Б. Решить задачу Коши для уравнения (2.18) с начальными усло-

виями2y ,1 11 =′= == xxy . (2.19)

РешениеА. Введём )()( xyxz ′= . Тогда )()( xzxy ′=′′ , и (2.18) можно записатьть

в виде

3

1xx

zz =+′ . (2.20)

Мы получили линейное уравнение первого порядка относительно)(xz . Решаем его методом Бернулли:

uvz = ,

31xx

uvuvvu =+′+′ . (2.21)

Выбираем функцию v так, чтобы

0=+′xvv .

Это уравнение имеет решение (см. решение уравнения (1.32)из примера 1.5)

xv 1= .

Подставляем его в (2.21). Получаем

311xx

u =′

или

21x

u =′ .

Тогда

11)( Cx

xu +−=

и

+−= 1

11)( Cxx

xz

или

.1)( 12 x

Cx

xz +−=

Отсюда

.1)( 12 x

Cx

xy +−=′ (2.22)

Интегрируем простейшее уравнение (2.22):

∫ +

+−= 2

12

1)( Cdxx

Cx

xy


38 39


или

21 ln1)( CxCx

xy ++= . (2.23)

Б. Подставим значения yyx ′и, из начальных условий (2.19) после-довательно в (2.22) и (2.23). Получим из (2.22)

112 C+−= ,откуда 31 =C . Получим из (2.23)

211 C+= ,откуда 02 =C . Решение задачи Коши (2.18), (2.19) имеет вид

xx

xy ln31)( += .

Замечание. В уравнениях, допускающих понижение порядка,при решении задачи Коши значения одной из двух произвольных посто-янных можно находить сразу после первого интегрирования.

2.1.3. Уравнения, не содержащие независимой переменной

Такие уравнения имеют вид

),( yyfy ′=′′ . (2.24)

Примем y за новую независимую переменную и введем новую фун-кцию этой переменной yyp ′=)( . Пользуясь правилом дифференциро-вания сложной функции, получим:

ppypypyyy yxyxxxxx ′=′′=′=′′=′′=′′ ))(()( .

Теперь уравнение (2.24) превратилось в уравнение первого порядка

( )( )ypppyfpp y ==′ ),( . (2.25)

Предположим, что нам известно его общее решение

( )1,Cyp Ψ= . (2.26)

Равенство (2.26) является уравнением первого порядка относитель-но функции ( )xyy = :

( ) ( )( )xyyCyy =Ψ=′ 1, . (2.27)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Интегрируем его:

( ) 21,

CxCy

dy+=

Ψ∫ . (2.28)

Получен общий интеграл уравнения (2.24).Пример 2.3 [4]. Решить уравнение

( ) ( )( )xyyy

yy =′

−=′′2

. (2.29)

Решение. Вводим новую независимую переменную y и новую фун-кцию xyyp ′=)( . Тогда ppy y′=′′ , и (2.29) принимает вид

( )( )yppy

ppp ==+′ 02

(2.30)

или

0=

+′

yppp .

Отметив, что 0=p (т. е. const=y ) является решением (2.30), рас-смотрим теперь уравнение

0=+′ypp . (2.31)

Уравнение (2.31) является уравнением с разделяющимися перемен-ными. Приведем (2.31) к виду

ydy

pdp

−= (2.32)


40 41


и проинтегрируем (2.32):

)0(ln 11 ≠+−= ∫∫ CCy

dyp

dp.

Тогда)0(lnlnln 11 ≠+−= CCyp ,

откуда

yCp 1= . (2.33)

Учитывая, что xyp ′= , перепишем (2.33) следующим образом:

( )( )xyyy

Cy ==′ 1 . (2.34)

Это тоже уравнение с разделяющимися переменными. Отделим пе-ременные в (2.34)

dxCydy 1=и снова проинтегрируем:

21 CxCydy +=∫ .Отсюда

212 CxCy +=

или

21 CxCy +±= . (2.35)

Получено общее решение уравнения (2.29). Заметим, что решениеconst=y входит в общее решение (2.35).Пример 2.4 [3]. Найти общий интеграл (или общее решение) урав-

нения

( ) ( )( )xyyyyy =′+

=′′2

1 2

. (2.36)

Решение. Вводим новую независимую переменную y и новую фун-кцию xyyp ′=)( . Тогда ppy y′=′′ и (2.36) принимает вид

( )( )yppyppp =

+=′

21 2

. (2.37)

Это уравнение с разделяющимися переменными. Приведем его к виду

ydy

ppdp

=+ 21

2

и проинтегрируем:

)0(ln12

112 ≠+=+ ∫∫ СC

ydy

ppdp

.

Тогда

( ) )0(lnln1ln 112 ≠+=+ СCyp

или

)0(1 112 ≠=+ СyCp . (2.38)

Из (2.38) и замены xyyp ′=)( следует, чтоо

11 −±=′ yCy . (2.39)Интегрируем (2.39):

21 1

CxyC

dy+±=

−∫или

)0(12121

1≠+±=− СCxyC

C.

Таким образом, найден общий интеграл исходного уравнения (2.36)

( ) )0(44 12

211 ≠+±=− СCxCyC .


42 43


2.1.4. Примеры различных уравнений, допускающих понижениепорядка

Пример 2.5. Решить задачу Коши

12 −′=′′ yy , (2.40)

2,0 00 =′= == xx yy . (2.41)

Решение. Уравнение (2.40) не содержит ни аргумента, ни искомойфункции. Положим )()( xzxy =′ . Тогда )()( xzxy ′=′′ , и уравнение (2.40)приобретает вид

12 −=′ zzили

dxzdz

=−12

. (2.42)

Общий интеграл уравнения (2.42) имеет вид

11 Cxz +=− . (2.43)

Подставим в (2.43) начальные значения yz ′= и x, доставляемыеформулами (2.41). Получим

11 C= .Подставив значение 11 =C в (2.43), получим уравнение первого по-

рядка11 +=−′ xy

или2)1(1 +=−′ xy .


( )2

3

31)( Cxxxy ++

+= .

Снова используем формулы (2.41). Получим

231)0(0 Cy +== ,

откуда

31

2 −=С .

Итак, решение задачи Коши (2.40)–(2.41) имеет вид

( )31

31)(

3−+

+= xxxy

или

xxxxy 231)( 23 ++= .


xy

xyy

′′=′′ ln . (2.44)

Решение. Уравнение (2.44) не содержит искомой функции. Введемфункцию )()( xyxz ′= . Уравнение (2.44) приобретает вид

xz

xzz ln=′ . (2.45)

Это однородное уравнение. Осуществим замену xzu = . Тогда uxz =

и uxuz +′=′ . Уравнение (2.45) преобразуется к виду)1(ln −=′ uuxu

или

xdx

uudu

=− )1(ln

. (2.46)

Проинтегрировав (2.46), получим

)0(ln)1(ln 11 ≠+=

− ∫∫ CCx

dxuu

du


44 45


или)0(ln1lnln 11 ≠=− CxCu .

ОтсюдаxCu 11ln =−

или11e += xCu .

Тогда11e += xCxz

или11e +=′ xCxy . (2.47)

Уравнение (2.47) – простейшее уравнение первого порядка. Найдем)(xy непосредственным интегрированием. Получаем

211e)( Cdxxxy xC += ∫ + .


+

+−=

++

.2

e

,e1e1

)(

2

2

21

21

1

1

11

Cx

CC

xCxy

xCxC


( ) ( )( )xyyyyy =−′

=′′1

4 2

, (2.48)

1,232

32 =′=

== xxyy . (2.49)

Решение. Уравнение (2.48) не содержит аргумента x. Будем рас-сматривать переменную y как новую независимую переменную. Вве-дем новую функцию xyyp ′=)( . Тогда ppy y′=′′ , и уравнение (2.48) при-нимает вид

( )( )yppy

ppp =−

=′1

4 2

. (2.50)

Отметим, что 0=p является решением уравнения (2.50). Ононе удовлетворяет начальным условиям (2.49). Так что интересующее насрешение задачи Коши удовлетворяет уравнению

14−

=′y

pp

или

pdp

ydy

=−1

4 . (2.51)

Проинтегрируем (2.51) и получим

1ln1ln4 Cpy +=− . (2.52)

Подставим начальные значения y и p из условий (2.49). Получим,что 01 =C . Тогда из (2.52) следует, чтоо

4)1( −=′ yyили

dxy

dy=

− 4)1(. (2.53)

Интегрируя (2.53), получаем

.)1(3

123 Сx

y+=

−− (2.54)

Подставляя значения x и y из условий (2.49) в (2.54), получаем,что C2 = –1. Таким образом, искомое решение имеет вид

3 3311−

−=x

y .


46 47


Глава 3. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕУРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Общий вид линейного дифференциального уравнения второго по-рядка таков:

)()()( xfyxqyxpy =+′+′′ . (3.1)

Если 0)( ≡xf , то уравнение (3.1) называется однородным. В про-тивном случае оно называется неоднородным.

Рассмотрим линейное однородное уравнение

0)()( =+′+′′ yxqyxpy . (3.2)

3.1. Свойство суперпозиции решений линейного однородногоуравнения

Теорема 1. Если функции )( и )( 21 xyxy являются решениями ли-нейного однородного уравнения (3.2) ) на промежутке X , то любая фун-кция вида

)()()( 2211 xyCxyCxy += , (3.3)

где 21 и CC – произвольные постоянные, тоже является решением урав-нения (3.2) на промежутке X.

Доказательство. Вычислим первую и вторую производные от фун-кции (3.3):

).()()(),()()(

2211

2211

xyCxyCxyxyCxyCxy

′′+′′=′′′+′=′

Подставим функцию и ее производные в левую часть уравнения (3.2).Получим

=+′+′′ )()()()()( xyxqxyxpxy)()( 2211 xyCxyC+′+′++′′+′′=

)).()(()())()()((

2211

2211

xyCxyCxqxyCxyCxp

+++′+′+

(3.4)

Перегруппируем слагаемые в правой части равенства (3.4). Тогда=+′+′′ )()()()()( xyxqxyxpxy

{ }++′+′′= )()()()()( 1111 xyxqxyxpxyC{ })()()()()( 2222 xyxqxyxpxyC +′+′′+ . (3.5)

Выражения, стоящие в фигурных скобках в правой части (3.5),обращаются в ноль, поскольку )( и )( 21 xyxy являются решениямиуравнения (3.2). Следовательно, при любых 21 и CC справедливоотождество

0)()()()()( ≡+′+′′ xyxqxyxpxy ,и функция (3.3) при любых 21 и CC является решением (3.2). Теоремаадоказана.

3.2. Вронскиан и его свойство

Снова рассмотрим линейное однородное уравнение (3.2). Пусть)( и )( 21 xyxy – два его частных решения на промежуткее X .

Определитель вида

)()()()()()()()(

)( 122121

21 xyxyxyxyxyxyxyxy

xW ′−′=′′

=

называется вронскианом решений )(, )( 21 xyxy (по имени польскогооматематика Ю. Вронского). Конкретный вид функции )(xW определяет-ся видом решений )( и )( 21 xyxy . Однако, каковы бы ни были

)( и )( 21 xyxy , функциям )(xW присуще одно общее свойство.о.Теорема 2. Либо вронскиан )(xW тождественно равен нулю при

всех x из промежутка X , либо он ни при одном значении x в нольльне обращается.

Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

48 49


Доказательство. Запишем )(xW в виде

)()()()()( 1221 xyxyxyxyxW ′−′= (3.6)

и продифференцируем эту функцию:

=′′−′′−′′+′′=′ )()()()()()()()()( 12122121 xyxyxyxyxyxyxyxyxW

= )()()()( 1221 xyxyxyxy ′′−′′ . (3.7)

Составим теперь уравнение, связывающее )(xW и )(xW ′ . Для это-о-го проведем следующие рассуждения. Справедливы тождества

0)()( 111 =+′+′′ yxqyxpy , (3.8)

0)()( 222 =+′+′′ yxqyxpy . (3.9)

Умножим тождество (3.8) на ( )2y− , а (3.9) – на 1y и сложим полу-ченные тождества. В результате получим

0))(()( 21122112 =′+′−+′′+′′− yyyyxpyyyy .

Из равенств (3.6), (3.7) следует тогда, что )(xW удовлетворяет урав-нению

0)()()( =+′ xWxpxW . (3.10)

Уравнение (3.10) является уравнением первого порядка с разделяю-щимися переменными. Найдем его общее решение. Запишем (3.10)в виде

)()()( xWxpdx

xdW−=

или

dxxpxWxdW )()()(

−= .

Отсюда

)0(ln)()()(

≠+−= ∫∫ CCdxxpxWxdW

(3.11)

или

)0(elnln)(ln )( ≠+= ∫− CCxW dxxp . (3.12)Тогда

( ) ( )∫−= dxxpCxW e . (3.13)

Заметим, что в формулах (3.11) и (3.12) мы должны предположить,что 0≠C . Однако в итоговой формуле (3.13) это ограничение можноснять, так как 0)( ≡xW очевидным образом является решением уравне-ния (3.10). Из формулы (3.13) следует, что либо функция )(xW нигдев ноль не обращается (при 0≠C ), либо 0)( ≡xW (при 0=C ). Теоремаадоказана.

Ясно, что обращение или необращение вронскиана )(xW в ноль за-висит от того, на каких решениях он построен. В следующем пунктемы выделим в отдельные классы пары решений )(, )( 21 xyxy , для кото-рых 0)( ≡xW , и пары, для которых )(xW нигде не обращается в ноль.

3.3. Линейно зависимые и линейно независимые частныерешения линейного однородного уравнения

Пусть )( и )( 21 xyxy – какие-либо частные решения однородногооуравнения (3.2) на промежутке X. Будем говорить, что )( и )( 21 xyxy яв-ляются линейно независимыми на промежутке X, если

const)()(

2

1 ≡/xyxy

)( Xx∈ . (3.14)

В противном случае, т. е. если

)(const)()(

2

1 Xxxyxy

∈≡ , (3.15)

эти решения называются линейно зависимыми на промежутке X.


50 51


В качестве примера рассмотрим снова уравнение (2.3)0)()( =+′′ xyxy .

Это линейное однородное уравнение второго порядка. Легко прове-рить, что у него есть следующие частные решения:

xxy sin)(1 = ,

xxy cos)(2 = ,

xxy sin5)(3 = .Решения )( и )( 21 xyxy являются линейно независимыми. Действи-

тельно,

tg)()(

2

1 = xxyxy

const≡/ .

Точно так же линейно независимыми являются решения)( и )( 32 xyxy . А решения )( и )( 31 xyxy являются линейно зависимыми,

так как

5)()(

1

3 =xyxy

.

Теорема 3. Для того чтобы частные решения )( и )( 21 xyxy линей-ного однородного уравнения (3.2) были линейно независимымина промежутке X, необходимо и достаточно, чтобы соответствую-щий им вронскиан )(xW нигде на промежутке X не обращался в ноль.

Доказательство. Рассмотрим функцию )()(

2

1

xyxy

и продифференци-

руем ее:

)()(

)()()()()(

)()(

22

22

2121

2

1

xyxW

xyxyxyxyxy

xyxy −

=′−′

=′

. (3.16)

Необходимость. Пусть решения )( и )( 21 xyxy линейно независи-мы, т. е. справедливо соотношение (3.14). В силу соотношения (3.14) мо-

жем утверждать, что ′

)()(

2

1

xyxy

не равна тождественно 0 при Xx∈ .

(Известно, что если для какой-либо функции )(xΦ справедливо тожде-ство 0)( ≡Φ′ x при ),( bax∈ , то функция const)( ≡Φ x при ),( bax∈ .) Нотогда из (3.16) следует, что вронскиан )(xW ни при каком Xx∈ в нольльне обращается.

Достаточность. Пусть )(xW нигде на промежутке X в нольльне обращается. Воспользуемся снова формулой (3.16). Из нее следует, что

).(0)()(

2

1 Xxxyxy

∈≡/′

.

Следовательно,

const)()(

2

1 ≡/xyxy

( )Xx∈ .

Теорема доказана.

3.4. Структура общего решения линейного однородногоуравнения

Теорема 4. Общее решение линейного однородного уравнения (3.2)имеет вид

)()()( 2211 xyCxyCxy += , (3.17)

где 21 и CC – произвольные постоянные, а )( и )( 21 xyxy – любые ли-нейно независимые частные решения уравнения (3.2).

Доказательство. Исходя из определения общего решения, нужнопоказать:

1) функция (3.17) при любых 21 и CC удовлетворяет уравнению (3.2);

2) для любых 100 , , bbx найдутся конкретные значения 02

01 , CC та-а-

кие, что функция )( )()( 2021

01 xyCxyCxy += будет удовлетворять началь-

ным условиям (2.5).Справедливость первого из этих утверждений непосредственно сле-

дует из свойства суперпозиции решений.Покажем справедливость утверждения 2). Рассмотрим начальные

условия (2.5):


52 53


10 00)( ,)( bxybxy xxxx =′= == .

Подставим значение 0x в решение (3.17) и его производную и по-требуем выполнения условий (2.5). Получим систему двух линейных ал-гебраических уравнений с двумя неизвестными 21 и CC вида

=′+′=+

.)()(,)()(

1022011

0022011

bxyCxyCbxyCxyC

(3.18)

Значения )(),(),(),( 02010201 xyxyxyxy ′′ являются её коэффици-ентами. Заметим, что определителем матрицы системы (3.18) являетсявронскиан

)()()()(

)(0201

02010 xyxy

xyxyxW

′′= .

Так как решения )( и )( 21 xyxy линейно независимы, то 0)( 0 ≠xW .Следовательно, система (3.18) всегда имеет единственное решение.

Его можно получить по формулам Крамера:

)( ;

)( 0

202

0

101 xW

CxW

C ∆=

∆= , (3.19)

где

)()(

021

0201 xyb

xyb′

=∆ , 101

0012 )(

)(bxybxy

′=∆ .

Функция

)()()( 2021

01 xyCxyCxy +=

удовлетворяет и уравнению (3.2), и начальным условиям (2.5). Теоремадоказана.

3.5. Линейные однородные уравнения с постояннымикоэффициентами

Рассмотрим частный случай уравнения (3.2), когда )( и )( xqxp по-стоянны, т. е. рассмотрим уравнение

0=+′+′′ qyypy , (3.20)где qp и – числа.

Покажем, что для уравнения (3.20) всегда можно найти пару линей-но независимых частных решений и, следовательно, всегда можно пост-роить общее решение.

Будем искать частные решения уравнения (3.20) в виде

kxy e= , (3.21)

где k – число. Заметим, что kxky e=′ , kxky e2=′′ . Подставим решениев виде (3.21) и его производные в уравнение (3.20). Получим

0eee2 =++ kxkxkx qpkkили

0)(e 2 =++ qpkkkx . (3.22)

Равенство (3.22) превращается в тождество лишь тогда, когда k яв-ляется решением квадратного уравнения

02 =++ qpkk . (3.23)

(Оно получено из (3.20) заменой производных )2,1,0()( =jy j на степе-

ни jk .)Уравнение (3.23) называется характеристическим уравнением для

дифференциального уравнения (3.20).Итак, если k является корнем квадратного уравнения (3.23), то фун-

кция kxy e= является решением дифференциального уравнения (3.20).Известна формула, по которой вычисляются решения квадратного

уравнения (3.23):

242

2,1qpp

k−±−

= . (3.24)

Заметим, что уравнение (3.23) может иметь два различных корня(если qp 42 > ), два одинаковых корня (при qp 42 = ) и может не иметь

действительных корней (когда qp 42 < ).


54 55


Рассмотрим каждый из трёх случаев отдельно.1. qp 42 > . Тогда 21 kk ≠ и у уравнения (3.20) есть два решения:

xky 1e1 = и xky 2e2 = .Они линейно независимы, так как

conste )(

2

1 21 ≠= − xkk

yy

.

Следовательно, в этом случае общее решение уравнения (3.20)имеет вид

xkxk CCxy 21 ee)( 21 += .

2. qp 42 = . Тогда 221pkk −== , и говорят, что уравнение (3.23) име-

ет один двукратный корень. В этом случае мы получаем с помощью нашегопредшествующего рассуждения лишь одно решение уравнения (3.20):

xp

y 21 e

−= .

Покажем, что в этом случае функция

xp

xy 22 e

−=

также является решением (3.20). Действительно,

xp

xpxy 22 e)

21()(

−−=′ ,

xp

xppxy 22

2 e)4

()(−

+−=′′ .

Тогда

+−++−=+′+′′

−qxxppxppqypy

xp

24e

222

22 .

Поскольку в данном случае 4

2pq = , легко установить, что выраже-

ние, стоящее в скобках, обращается в ноль и, следовательно, )(2 xy удов-летворяет уравнению (3.20).

Решения )(1 xy и )(2 xy линейно независимы. Общее решение (3.20)имеет вид

xp

xCCxy 221 e)()(

−+= .

3. qp 42 < . В этом случае уравнение (3.23) не имеет корней в облас-ти вещественных чисел.

Введём в рассмотрение числа

2p

−=α , 02

4 2

≠−

=βpq (3.25)

и покажем, что функции

xxy x β= α sine)(1 , xxy x β= α cose)(2

являются решениями (3.20). Рассмотрим )(1 xy и вычислим её производ-ные

xxxy xx ββ+βα=′ αα cosesine)(1 ,

xxxy xx βαβ+ββ−α=′′ αα cose2sine)()( 221 .

Тогда

=β+ββ+βα+βαβ+ββ−α=

=+′+′′α }sincossincos2sin){(e 22

11

xqxpxpxx

qypyx

}cos)2(sin){(e 22 xpxqpx ββ+αβ+β+α+β−α= α .Рассмотрим коэффициенты, стоящие в фигурных скобках при xβsin

и при xβcos , и вычислим их с учетом (3.25):

0244

22222 =+−+−=+α+β−α qppqpqp ,

0)2(2 =+αβ=β+αβ pp .

Таким образом, выражение, стоящее в фигурных скобках, обращается вноль и, следовательно, )(1 xy является решением (3.20). Точно так же можнопоказать, что )(2 xy является решением (3.20). Решения )(1 xy и )(2 xy линей-но независимы. Общее решение (3.20) в этом случае имеет вид

xCxCxy xx β+β= αα cosesine)( 21 .


56 57


Замечания: 1. Если характеристическое уравнение (3.23) имеет двавещественных корня, то эти корни называются простыми (в отличиеот двукратного корня).

2. В случае, когда характеристическое уравнение (3.23) не имеет ве-щественных корней, говорят о его комплексных корнях β±α i ,

где 12 −=i , а α и β определяются по формулам (3.25). Арифметическиедействия сложения и умножения над комплексными числами осуществ-ляются как действия над многочленами относительно i с учетом того,что 12 −=i . Так,

( ) ( ) ( ) ( ) 02222 =β+αβ±+α+β−α=+β±α+β±α ipqpqipi .


076 =−′+′′ yyy . (3.26)

Решение. Составим характеристическое уравнение

0762 =−+ kk .

Оно имеет корни 11 =k , 72 −=k (случай 1). Общее решение (3.26)имеет вид

xx CCxy 721 ee)( −+= .


0252 =+′+′′ yyy . (3.27)

Решение. Отметим сперва, что уравнение (3.27) формально отлича-ется от уравнения (3.20) тем, что коэффициент при y ′′ у него отличен от 1.В этом случае можно поделить уравнение на коэффициент при y ′′и привести его к виду (3.20). Можно поступить иначе: получить для негоалгебраическое характеристическое уравнение относительно k , заменяя

производные )2,1,0()( =jy j на степени jk , и решать его по формулам,составленным для полного (а не приведённого, как (3.23)) квадратногоуравнения. Составим характеристическое уравнение

0252 2 =++ kk .

Найдём его корни:

−

−=

−±−= .

21

;2

416255

2,1k


22

21 ee)(

xx CCxy

−− += .Пример 3.3. Найти общее решение уравнения

016249 =+′+′′ yyy . (3.28)

Решение. Составляем характеристическое уравнение

016249 2 =++ kk .

Оно имеет один двукратный корень 34

21 −== kk (случай 2).Общее решение уравнения (3.28) имеет вид

xxCCxy 3

4

21 e)()(−

+= .Пример 3.4. Найти общее решение уравнения

0204 =+′−′′ yyy . (3.29)

Решение. Составляем характеристическое уравнение02042 =+− kk ,

в котором 20,4 =−= qp . Это уравнение не имеет вещественных корней,

так как 0801642 <−=− qp (случай 3). Введём числа βα и из (3.25):

22=−=α

p, 4

21680

24 2

=−

=−

=βpq

.


xCxCxy xx 4cose4sine)( 22

21 += .


58 59



084 =+′+′′ yyy , (3.30)00 ==xy , 20 =′

=xy . (3.31)

Решение. Найдём сначала общее решение уравнения (3.30). Соста-вим его характеристическое уравнение

0842 =++ kk , (3.32)

в котором 8,4 == qp . Уравнение (3.32) не имеет вещественных корней,

поскольку 0321642 <−=− qp (случай 3). Введём числа

22

−=−=αp

, 22

4 2

=−

=βpq .

Общее решение имеет вид


21

−− += .Подставим в него значения yyx ′и, из начальных условий (3.31).

Для этого сначала найдём его производную:

=−+−−=′ − )2sin22cos22cos22sin2(e)( 21212 xCxCxCxCxy x

}2cos)22(2sin)22{(e 21212 xCCxCCx −+−−= − .

Далее:

20)0( Cy == ,

21 222)0( CCy −==′ ,откуда .0 ,1 21 == CC Решение задачи Коши (3.29)–(3.30) имеет вид

xxy x 2sine)( 2−= .Пример 3.6. Решить задачу Коши:

065 =+′+′′ yyy , (3.33)

10 ==xy , 20 =′=xy . (3.34)

Решение. Характеристическое уравнение имеет вид0652 =++ kk .

Оно имеет два корня: 21 −=k , 32 −=k . Общее решение (3.33)имеет вид

xx CCxy 32

21 ee)( −− += .

Вычисляем его производнуюxx CCxy 3

22

1 e3e2)( −− −−=′ .Подставляем в общее решение и его производную значения yyx ′и,

из начальных условий (3.34):

211)0( CCy +== ,

21 322)0( CCy −−==′ .Получена система уравнений для определения 21 и CC

=−−=+

.232;1

21

21

CCCC

Эквивалентная (равносильная) система примет вид

=−=+

,4;1

2

21

CCC

откуда 51 =C , 42 −=C .Решение задачи Коши (3.33), (3.34) имеет вид

xxxy 32 e4e5)( −− −= .Пример 3.7. Решить задачу Коши:

096 =+′+′′ yyy , (3.35)

10 ==xy , 50 −=′=xy . (3.36)

Решение. Найдем сперва общее решение уравнения (3.35). Соста-вим его характеристическое уравнение

0962 =++ kk . (3.37)


60 61


Глава 4. ЛИНЕЙНЫЕ НЕОДНОРОДНЫЕДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

Рассмотрим теперь линейное неоднородное уравнение

).0)(()()()( ≡/=+′+′′ xfxfyxqyxpy (4.1)

4.1. Структура общего решения линейного неоднородногоуравнения

Пусть )(~ xy – какое-либо частное решение уравнения (4.1), т. е. спра-ведливо тождество

)(~)(~)(~ xfyxqyxpy ≡+′+′′ . (4.2)

Теорема 5. Общее решение линейного неоднородного уравнения(4.1) имеет вид

)(~)()( 0 xyxyxy += , (4.3)

где )(0 xy – общее решение соответствующего однородного уравнения

0)()( =+′+′′ yxqyxpy (4.4)

а )(~ xy – частное решение неоднородного уравнения (4.1).Доказательство. Учитывая вид общего решения однородного урав-

нения (4.4), нам нужно показать, что общее решение уравнения (4.1) име-ет вид

)(~)()()( 2211 xyxyCxyCxy ++= , (4.5)

где )(1 xy , )(2 xy – линейно независимые частные решения однородногооуравнения (4.4); 21 и CC – произвольные постоянные, а )(~ xy – частноеерешение уравнения (4.1). Так же, как доказательство теоремы 4об общем решении однородного уравнения (4.4), доказательство даннойтеоремы разделим на две части.

Оно имеет один двукратный корень: 321 −== kk (случай 2). Общее ре-шение (3.35) имеет вид

xx xCCxy 32

31 ee)( −− += .

Подставим в него значения yyx ′и, из начальных условий (3.36).Для этого найдем производную общего решения

xxx xCCCxy 32

32

31 e3ee3)( −−− −+−=′ .

Далее:

11)0( Cy == ,

2135)0( CCy +−=−=′ ,откуда 11 =C , 22 −=C . Решение задачи Коши (3.35)–(3.36) имеет вид

xx xxy 33 e2e)( −− −= .

62 63


Единственное решение этой системы можно найти по формуламКрамера:

)()(~)()(~)(

,)(

)()(~)()(~

0

0101

0001

02

0

0201

0200

01 xW

xybxyxybxy

CxW

xyxybxyxyb

C′−′

−

=′′−

−

= , (4.10)

где )()()()(

)(0201

02010 xyxy

xyxyxW

′′= – значение вронскиана линейно независи-

мых частных решений )(1 xy , )(2 xy . Напомним, что 0)( 0 ≠xW , так какрешения )( и )( 21 xyxy линейно независимы. Таким образом, функция

(4.8), где постоянные 02

01 и CC вычислены по формулам (4.10), удовлет-

воряет начальным условиям (4.7).Теорема доказана.Существует несколько методов отыскания частных решений )(~ xy

уравнения (4.1). Один из них является универсальным, другие приспо-соблены к определенным видам правых частей уравнения (4.1).

4.2. Метод вариации произвольных постоянных(метод Лагранжа)

Этот метод позволяет находить частное решение )(~ xy неоднород-ного уравнения (4.1) всегда, когда известно общее решение )(0 xy одно-родного уравнения (4.4). Более того, он позволяет сразу получить общеерешение (4.1).

Итак, рассмотрим параллельно оба уравнения (4.1) и (4.4):

)()()( xfyxqyxpy =+′+′′ ,0)()( =+′+′′ yxqyxpy .

Пусть общее решение (4.4) известно и имеет вид

≠+= const

)()(

)()()(2

122110 xy

xyxyCxyCxy . (4.11)

1. Докажем, что при любых значениях постоянных 21 и CC функ-ция (4.5) удовлетворяет уравнению (4.1). Для этого дважды продиффе-ренцируем функцию (4.3) и подставим саму функцию и ее производныев левую часть уравнения (4.1). Получим:

=++′++′′+=+′+′′ )~)(()~)(()~()()( 000 yyxqyyxpyyyxqyxpy)~)(~)(~())()(( 000 yxqyxpyyxqyxpy +′+′′++′+′′= . (4.6)

Поскольку 0y – общее решение уравнения (4.4), где

)()( 22110 xyCxyCy += , выражение в первой скобке правой части равен-ства (4.6) обращается в ноль. С другой стороны, в силу того, что )(~ xyудовлетворяет тождеству (4.2), выражение во второй скобке правой час-ти (4.6) равно )(xf . Так что при любых значениях 21 , CC справедливоотождество

)()()( xfyxqyxpy ≡+′+′′ .

2. Докажем, что для любых начальных условий

00 )( bxy = , 10 )( bxy =′ (4.7)

найдутся такие значения 02

01 и CC , для которых функция

)(~)()()( 2021

01 xyxyCxyCxy ++= (4.8)

удовлетворяет начальным условиям (4.7). Для этого вычислим значениефункции (4.5) и ее производной при 0xx = и потребуем выполнения (4.7).Получим систему линейных алгебраических уравнений относительно

21 и CC

′−=′+′−=+

).(~)()();(~)()(

01022011

00022011

xybxyCxyCxybxyCxyC

(4.9)

Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

64 65


=′′+′′=′+′

).()()()()(;0)()()()(

21

21

xfxyxBxyxAxyxBxyxA

(4.16)

Заметим, что определитель этой линейной относительно )(xA′и )(xB′ системы является вронскианом решений )(1 xy и )(2 xy уравне-ния (4.4)

)()()()(

21

21

xyxyxyxy

′′ .

Поскольку решения )(1 xy и )(2 xy линейно независимы, он всегдадаотличен от нуля. Система (4.16) имеет единственное решение, выражаю-щее )(xA′ и )(xB′ через з )(1 xy , )(2 xy и их производные. Оно может бытьнайдено по формулам Крамера.

Зная )(xA′ и )(xB′ , определим их первообразные:

∫ ′= dxxAxA )()( и ∫ ′= dxxBxB )()( .Частное решение (4.1) может быть записано в виде

( ) ( ) )()()()()(~21 xydxxBxydxxAxy ∫∫ ′+′= . (4.17)

Тогда общее решение (4.1) имеет вид

( ) ( ) )()()()()( 2211 xyCdxxBxyCdxxAxy ∫∫ +′++′= . (4.18)


xyy

sin1

=+′′ . (4.19)

Решение. Рассмотрим соответствующее уравнению (4.19) однород-ное уравнение

0=+′′ yy . (4.20)

Будем искать частное решение (4.1) в виде (4.11), заменив постоян-ные 21 и CC неизвестными пока функциями B(x)xA и)( .

Тогда)()()()()(~

21 xyxBxyxAxy += , (4.12)

где функции B(x)xA и)( подлежат дальнейшему определению. Их следу-ет выбрать так, чтобы решение )(~ xy удовлетворяло уравнению (4.1). Про-дифференцируем функцию (4.12). Получим

)()()()()()()()()(~2121 xyxBxyxAxyxBxyxAxy ′+′+′+′=′ .

Потребуем, чтобы выполнялось условие

0)()()()( 21 =′+′ xyxBxyxA . (4.13)

Найдем теперь вторую производную от функции (4.12), учитываядополнительные условия (4.13). Получим

)()()()()()()()()(~2121 xyxBxyxAxyxBxyxAxy ′′+′′+′′+′′=′′ .

Подставим )(~),(~),(~ xyxyxy ′′′ в левую часть уравнения (4.1). Получим

[ ][ ]

).()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(

)(~)()(~)()(~

2121

222

111

xyxBxyxAxyxBxyxAxyxqxyxpxyxBxyxqxyxpxyxA

xyxqxyxpxy

′′+′′=′′+′′+++′+′′+++′+′′=

=+′+′′

(4.14)

Действительно, поскольку )(1 xy и )(2 xy есть частные решения од-д-нородного уравнения (4.4), выражения, стоящие в квадратных скобках вцепочке равенств (4.14), обращаются в ноль.

Требуется теперь, чтобы выполнялось равенство

).()()()()( 21 xfxyxBxyxA =′′+′′ (4.15)

Тогда )(~ xy будет решением уравнения (4.1).Итак, получена система уравнений для определения )(xA′ и )(xB′ .Ее составляют уравнения (4.13) и (4.15). Она имеет вид


66 67


Его характеристическое уравнение

0232 =++ kkимеет два действительных корня: 1;2 21 −=−= kk . Следовательно,(4.24) имеет два линейно независимых частных решения

xx yy −− == eиe 22

1 ,

а его общее решение запишется следующим образом:xx CCxy −− += ee)( 2

210 .

Частное решение уравнения (4.23) ищем в видеxx xBxAxy −− += e)(e)()(~ 2 .

Для нахождения функций )(xA′ и )(xB′ составляем систему уравнений

+=′−′−

=′+′−−

−−

.1e

1e)(e)(2

;0e)(e)(

22

2

xxx

xx

xBxA

xBxA (4.25)

Ищем определитель системы (4.25):

.ee2eee2

ee)( 3332

2xxx

xx

xxxW −−−

−−

−−

=+−=−−

=

Тогда

1ee

e1e

1e0

e)( 2

2

2

3

+−=−

+=′ −

−

x

x

xx

xxxA ;

1ee

1e1e20e

e)( 22

2

23

+=

+−=′ −

−

x

x

xx

xxxB .

Можно решить систему (4.25) и по-другому. Сложим оба уравнениясистемы (4.25) и получим

1e1e)( 2

2

+=′− −

xxxA


xCxCxy cossin)( 210 += . (4.21)

Здесь xxy sin)(1 = и xxy cos)(2 = являются его линейно независимымичастными решениями.

Частное решение уравнения (4.19) ищем в виде

xxBxxAxy cos)(sin)()(~ += .

Для отыскания функций )(xA′ и )(xB′ составим систему (4.16):

=′−′

=′+′

.sin

1sin)(cos)(

;0cos)(sin)(

xxxBxxA

xxBxxA (4.22)

Определитель этой системы имеет вид

.1cossinsincos

cossin)( 22 −=−−=

−= xx

xxxx

xW

Тогда

xxx

xxA ctgsin

sin1

cos0)( =−−=′ ; 1

sin1cos0sin

)( −=−=′x

xx

xB .

Далее:xxBxxdxxA −=== ∫ )( ,sinlnctg)( ,

и общее решение уравнения (4.19) имеет вид.cos)(sin)sin(ln)( 21 xxCxCxxy −++=


.1e

123 2 +=+′+′′ xyyy (4.23)

Решение. Соответствующее (4.23) однородное уравнение имеет вид

.023 =+′+′′ yyy (4.24)


68 69


Ищем частное решение уравнения (4.26) в видеxx xxBxAxy 22 e)(e)()(~ += .

Для отыскания )(xA′ и )(xB′ составляем систему уравнений

( )

+=+′+′

=′+′

9ee2e)(e)(2

;0e)(e)(

2

2222

22

xxxBxA

xxBxAx

xxx

xx

или

( )

+=+′+′

=′+′

.9

121)()(2

;0)()(

2xxxBxA

xxBxA (4.28)

Определитель системы (4.28) имеет вид

.1212

1)( =

+=

xx

xW

Тогда

9219

10

)( 22 +

−=++

=′x

xx

x

xxA ,

91

91201

)( 22 +

=+

=′xx

xB .

Можно решить систему (4.28) по-другому. Первое уравнение системы(4.28) умножим на (–2) и сложим со вторым уравнением. Получим

91)( 2 +

=′x

xB

и подставим этот результат в первое уравнение системы (4.28).Находим первообразные функций )(xA′ и )(xB′ :

( )9ln21

9)( 2

2 +−=+

−= ∫ xdxx

xxA ,

или

1ee)( 2

2

+−=′

x

xxA .

Подставим полученный результат в первое уравнение системы (4.25)и найдем

1ee)( 2 +

=′x

xxB .

Ищем первообразные функций )(xA′ и )(xB′ :

( )1eln21

1e)1e(

21

1ee)( 2

2

2

2

2+−=

++

−=+

−= ∫∫ xx

x

x

x ddxxA ,

xx

x

x

x ddxxB earctg 1e)e(

1ee)( 22 =

+=

+= ∫∫ .


( ) ( ) xxxx CCxy −− ++

+−= eearctge1eln

21)( 2

221 .


.9

e44 2

2

+=+′−′′

xyyy

x

(4.26)

Решение. Составляем однородное уравнение

044 =+′−′′ yyy . (4.27)


0442 =+− kk

имеет один кратный корень 20 =k . Общее решение (4.27) имеет вид

xx xCCxy 22

210 ee)( += .


70 71


где )0()( 011

10 ≠++++= −− bbxbxbxbxQ nn

nnn – многочлен той жее

степени n, что и многочлен )(xPn , с коэффициентами nn bbbb ,,,, 110 − ,подлежащими дальнейшему определению.

Коэффициенты ),,1,0( nibi = многочлена )(xQn должны бытьтакими, чтобы функция )(~ xy удовлетворяла уравнению (4.29), поэтомудля их отыскания используют следующий алгоритм.

С помощью теоремы 6 устанавливается вид частного решения )(~ xy .Затем находятся производные )(~ xy ′ и )(~ xy ′′ . Решение )(~ xyи его производные с неопределенными пока коэффициентами подставля-

ются в уравнение (4.29) и обе его части сокращаются на xλe . Далее мыопределяем коэффициенты ),1,0,( nibi = исходя из тождественногооравенства двух многочленов, стоящих в левой и правой частях получен-ного равенства.


( ) .e354 xxyyy +=−′+′′ (4.31)

Решение. Общее решение ищем в виде yyy ~0 += . Неоднородному

уравнению (4.31) соответствует однородное уравнение

054 =−′+′′ yyy . (4.32)


0542 =−+ kk (4.33)

имеет корни 5,1 21 −== kk . Следовательно, общее решениеоднородного уравнения (4.32) имеет вид

xx CCxy 5210 ee)( −+= .

Обратимся теперь к правой части уравнения (4.31). Здесь3)(,1 +==λ xxPn , следовательно, 1=n . Поскольку у 1k=λ , частное ре-

шение уравнения (4.31) следует искать в виде

( ) ( ) xx BxAxBAxxxy ee)(~ 2 +=+= ,где коэффициенты A и B неизвестны.

3arctg

31

9)( 2

xx

dxxB =+

= ∫ .

Тогда общее решение уравнения (4.26) имеет вид

( ) xx xxCxCxy 22

221 e

3arctg

31e9ln

21)(

++

+−= .

4.3. Линейные дифференциальные уравнения со специальнымиправыми частями

Пусть функции )(xp и )(xq в левой части уравнения (4.1) являютсясяпостоянными. Тогда для определенных типов правых частей этого урав-нения вид частного решения заранее известен и нет необходимости при-менять метод вариации постоянных.

Рассмотрим здесь два варианта специальных правых частей.

I. Уравнение (4.1) имеет вид

xn xPqyypy λ=+′+′′ e)( , (4.29)

где )0()( 011

10 ≠++++= −− aaxaxaxaxP nn

nnn – многочлен степе-

í è n, а λ – вещественное число.Уравнению (4.29) соответствует однородное уравнение

0=+′+′′ qyypyс характеристическим уравнением

02 =++ qpkk . (4.30)

Теорема 6 (без доказательства).Уравнение (4.29) имеет частное решение y~ вида

λ

λ

λ

=λ

λ

λ

(4.30), корнем кратным является если,e)(

(4.30); корнем простым является если,e)(

;(4.30)корнемявляетсяне если,e)(

)(~

2 xn

xn

xn

xQx

xxQ

xQ

xy


72 73


Решение. Чтобы решить задачу Коши, найдем сначала общее реше-ние уравнения (4.35) в виде yyy ~

0 += , а затем определим произвольныепостоянные так, чтобы выполнялись начальные условия (4.36).

Неоднородному уравнению (4.35) соответствует однородное урав-нение

084 =+′+′′ yyy (4.37)

с характеристическим уравнением

0842 =++ kk . (4.38)

Уравнение (4.38) не имеет вещественных корней )22( 2,1 ik ±−= . Вэтом случае 2,2 =β−=α и, следовательно, общее решение однородногооуравнения (4.37) имеет вид


210

−− += .Теперь по виду правой части уравнения (4.35) подберем )(~ xy . Здесь

1=n , 0=λ . Частное решение уравнения (4.35) ищем в видеBAxxy +=)(~ .

Тогда0)(~,)(~ =′′=′ xyAxy

и( ).8484 BAxAyyy ++=+′+′′

Так как должно выполняться тождество25848 +≡++ xBAAx ,

то справедлива система

=+=

.284;58

BAA

Отсюда устанавливаем, что

.161,

85

−== BA

Итак, общее решение (4.35) имеет вид

.161

852cose2sine)( 2

22

1 −++= −− xxCxCxy xx (4.39)

Чтобы определить A и B , подставим )(~ xy и его производныев исходное уравнение (4.31). Здесь при вычислении )(~ xy ′′ удобно вос-пользоваться формулой vuvuvuuv ′′+′′+′′=′′ 2)( .

Итак,

( )( ) ( )

( ) ( ) ,ee22e2)(~,ee2)(~

,e)(~

2

2

2

xxx

xx

x

BxAxBAxAxyBxAxBAxxy

BxAxxy

++++=′′+++=′

+=

и левая часть уравнения (4.31) принимает вид

( )( ) ( )( ){ }( ){ } .e226

2422541e

)(~5)(~4)(~2

x

x

ABAx

ABAxBxAx

xyxyxy

++=

=++++−++=

=−′+′′

Коэффициенты A и B должны быть такими, чтобы обе части урав-нения (4.31) были тождественно равны друг другу, т. е.

( ) 32612 +≡++ xABAx . (4.34)

Тождество (4.34) выполняется тогда и только тогда, когда слеваи справа стоят одинаковые коэффициенты при одинаковых степенях x :

=+=

.326;112

ABA

Следовательно, 121

=A , 3617

=B , а .e3617

12)(~

2xxxxy

+=

Таким образом, общее решение уравнения (4.31) имеет вид

.e3617

12ee)(

25

21xxx xxCCxy

+++= −


,2584 +=+′+′′ xyyy (4.35)

.1;1 00 −=′= == xx yy (4.36)


74 75


Последнее имеет два вещественных корня: 5,2 21 −== kk . Следо-вательно, общее решение однородного уравнения (4.42) имеет вид

xx CCxy 52

210 ee)( −+= . (4.44)

Теперь для нахождения частного решения )(~ xy обратимся к правой

части уравнения (4.41). Здесь 2)(,3 xxPn ==λ , следовательно, 2=n .

Так как 1k≠λ и 2k≠λ , то частное решение уравнения (4.41) ищем в виде

( ) xCBxAxxy 32 e)(~ ++= ,

где коэффициенты А, В и C подлежат определению. Для этого найдемпроизводные )(~),(~ xyxy ′′′ :

( ) ( )( ) ( ) ,e9e26e2)(~

,e3e2)(~3233

323

xxx

xx

CBxAxBAxAxyCBxAxBAxxy

+++++=′′++++=′

и подставим )(~ xy и его производные в левую часть уравнения (4.41). По-лучим

( )( ) ( )( ){ }( ) ( ){ }.2298e

23621099e~10~3~23

23

ABAxCBxAx

ABAxCBxAxyyyx

x

+++++=

=++++−+++=−′+′′

Приравнивая друг другу левую и правую части уравнения (4.41)

и сокращая их на x3e , получим тождествоо

( ) ( ) .2298 22 xABAxCBxAx ≡+++++

Следовательно, BA, и C надлежит выбрать так, чтобы это тожде-ство выполнялось. Тогда

=++=+

=

,0892;0818

;18

CBABA

A

откуда .25673,

329,

81

=−== CBA

Учтём первое из начальных условий (4.36):

161)0(1 2 −== Cy .

Отсюда

1617

2 =C . (4.40)

Продифференцируем функцию (4.39) с учётом (4.40):

.852sine

8172cose

817

2cose22sine2)(

22

21

21

+−−

−+−=′

−−

−−

xx

xCxCxy

xx

xx

Учтем второе из начальных условий (4.36):

85

8172)0(1 1 +−=′=− Cy

или

41

1 =C .

Итак, решение задачи Коши (4.35), (4.36) имеет вид

.161

852cos

16172sin

41e)( 2 −+

+= − xxxxy x


.e103 32 xxyyy =−′+′′ (4.41)

Решение. Общее решение ищем в виде yyy ~0 += . Составим соот-

ветствующее однородное уравнение

0103 =−′+′′ yyy (4.42)

и его характеристическое уравнение

01032 =−+ kk . (4.43)


76 77


Таким образом, общее решение уравнения (4.45) имеет вид

.eee)( 5252

51

xxx xxCCxy −−− ++=

II. Уравнение (4.1) имеет вид

( ) xxNxMqyypy τω+ω=+′+′′ ecossin , (4.48)

где τ≠ω и0,, NM – вещественные числа.Уравнению (4.48) сопутствует однородное уравнение

0=+′+′′ qyypyс характеристическим уравнением

02 =++ qpkk . (4.49)

Теорема 7 (без доказательства)Уравнение (4.48) имеет частное решение y~ вида

( )

( )

−=ω−=τ

−=ω±τω+ω

−≠ω−≠τ

−=ω±τ+

= τ

.2

4 и

2е.т.

(4.49), )1( ,ecossin

;2

4 или 2

е.т.

(4.49), )1( ,eωcosωsin

)(~

2

2

2

2τ

pqpавненияорнями урявляются к

iiесли числаxBxAx

pqpавнениютворяют урне удовле

iiесли числаxBxA

xy x

x

Здесь A и B – числа, подлежащие последующему определению.Числа A и B определяются непосредственной подстановкой реше-

ния )(~ xy и его производных в уравнение (4.48). В результате этой под-становки уравнение (4.48) превратилось бы в тождество, если бы коэф-фициенты при xωsin и xωcos в его левой и правой частях были бы оди-

Таким образом, общее решение (4.41) имеет вид

.e25673

329

81ee)( 325

22

1xxx xxCCxy

+−++= −


.e22510 5xyyy −=+′+′′ (4.45)

Решение. Составим однородное уравнение

02510 =+′+′′ yyy (4.46)

и соответствующее ему характеристическое уравнение

025102 =++ kk . (4.47)

Уравнение (4.47) имеет один двукратный корень 521 −== kk . Об-щее решение однородного уравнения (4.46) имеет вид

xx xCCxy 52

510 ee)( −− += .

Отметим, что в правой части уравнения (4.45) 0=n , 5−=λ , такчто 21 kk ==λ . Частное решение уравнения (4.45) следует искать в виде

xAxxy 52 e)(~ −= ,где коэффициент A подлежит последующему определению. Найдем про-изводные )(~),(~ xyxy ′′′ :

( )( )xxx

xx

xxAxyxxAxy

5255

525

e25e20e2)(~,e5e2)(~

−−−

−−

+−=′′−=′

и подставим )(~ xy и найденные производные в левую часть уравнения(4.45). Получим

{ } .e225502025202e~25~10~ 52225 xx AxxxxxAyyy −− =+−++−=+′+′′

Следовательно,22 ≡A

или

1=A .


78 79


будет выполнено, если равны друг другу коэффициенты при x2sinи x2cos .

Приравниваем коэффициенты при x2sin и x2cos в левой и правойойчастях (4.53). Получаем систему равенств

=+=−

.34;54

BABA

Отсюда .1,1 −== BA Следовательно,.2cos2sin)(~ xxxy −=

Тогда общее решение (4.52) имеет вид

.2cos2sin2cose2sine)( 21 xxxСxСxy xx −++= −−


,cos2sin3 xxyy +=+′′ (4.54)

.1,0 00 =′= == xx yy (4.55)

Решение. Найдем сначала общее решение уравнения (4.54). Составимдля этого соответствующее ему однородное уравнение

0=+′′ yy (4.56)

и характеристическое уравнение

.012 =+k (4.57)

Уравнение (4.57) имеет корни ).1,0(2,1 =β=α±= ik Следова-тельно,

.cossin)( 210 xCxCxy +=

Для уравнения (4.54) имеем 2,3,0,1 ===τ=ω NM . Частноерешение )(~ xy следует искать в виде

)cossin()(~ xBxAxxy += ,

наковыми. Условие равенства коэффициентов при xωsin и xωcos в обе-е-их частях уравнения и является условием для нахождения A и B .


.2cos32sin552 xxyyy +=+′+′′ (4.50)

Решение. Уравнению (4.50) соответствует однородное уравнение

052 =+′+′′ yyy (4.51)

с характеристическим уравнением

.0522 =++ kk (4.52)

Уравнение (4.52) имеет два корня:

).22

4,1

2(21

2

2,1 =−

=β−=−=α±−=pqpik

Значит,

).2cos2sin(e)( 210 xCxCxy x += −

В уравнении (4.50) 3,5,0,2 ===τ=ω NM . Заметим, что числаii 2±=ω±τ не являются корнями уравнения (4.52). Следовательно,

частное решение уравнения (4.50) ищем в виде.2cos2sin)(~ xBxAxy +=

Тогда,2sin22cos2)(~ xBxAxy −=′

xBxAxy 2cos42sin4)(~ −−=′′и

( ) ( )( ) ( ) .2cos42sin4

5442cos5442sin)(~5)(~2)(~

xBAxBABABxABAx

xyxyxy

++−==++−++−−=

=+′+′′

Тождество

( ) ( ) xxxBAxBA 2cos32sin52cos42sin4 +≡++− (4.53)


80 81


4.4. Принцип наложения

Теорема 8. Пусть правая часть линейного неоднородного диффе-ренциального уравнения может быть представлена как сумма двух сла-гаемых, а именно:

).()()()( 21 xfxfyxqyxpy +=+′+′′ (4.59)

Тогда уравнение (4.59) имеет частное решение вида)(~)(~)(~

21 xyxyxy += ,где )(~

1 xy – какое-нибудь частное решение уравнения

)()()( 1 xfyxqyxpy =+′+′′ , (4.60)

а )(~2 xy – какое-нибудь частное решение уравнения

)()()( 2 xfyxqyxpy =+′+′′ . (4.61)

Доказательство. Подставим )(~ xy в левую часть уравнения (4.59).Учитывая, что )(~

1 xy удовлетворяет (4.60), а )(~2 xy удовлетворяет (4.61),

получим цепочку равенств

( ) ( )).()(

~)(~)(~~)(~)(~)~~()()~~()()~~(

~)(~)(~

21

222111

212121

xfxfyxqyxpyyxqyxpy

yyxqyyxpyyyxqyxpy

+==+′+′′++′+′′=

=++′++′′+==+′+′′

Тем самым доказано, что )(~ xy удовлетворяет (4.59).Следствие. Пусть линейное неоднородное уравнение имеет вид

)1()()()()()( 21 >+++=+′+′′ nxfxfxfyxqyxpy n .

Тогда его частным решением будет функция)(~)(~)(~)(~

21 xyxyxyxy n+++= ,

где ),,1()(~ nkxyk = являются решениями уравнений

)()()( xfyxqyxpy k=+′+′′ .

поскольку значения ii ±=ω±τ совпадают с корнями (4.57). Тогда),cossin()sincos()(~ xBxAxBxAxxy ++−=′

)cossin()sincos(2)(~ xBxAxxBxAxy −−+−=′′ .После подстановки )(~ xy , )(~ xy ′ и )(~ xy ′′ в левую часть (4.54) имеем

).sincos(2)(~)(~ xBxAxyxy −=+′′Следовательно, A и B должны обеспечивать выполнение тождества

xxxBxA cos2sin3)sincos(2 +≡− .Отсюда

=−=

32,22

BA

или

.23,1 −== BA


).cos23(sincossin)( 21 xxxxСxСxy −++= (4.58)

Будем теперь искать такие значения постоянных 1С и 2С , чтобывыполнялись начальные условия (4.55). Согласно первому из них

2)0(0 Cy == ,откуда 02 =С . Продифференцируем общее решение (4.58). Учитываянайденное значение 2С , получим

).sin23(cos)cos

23(sincos)( 1 xxxxxxСxy ++−+=′

Согласно второму из равенств (4.55) имеем

23)0(1 1 −=′= Cy ,

откуда найдем 25

1 =С .

Итак, решение задачи Коши (4.54), (4.55) имеет вид

xxxxxxy cos23sinsin

25)( −+= .


82 83


Ищем число A:

,e2e)(~ 221

xx AxAxy −− −=′

,e4e4)(~ 221

xx AxAxy −− +−=″

( ) .e2812644e~8~6~ 22111

xx AxxxAyyy −− =+−++−=+′+′′

Следовательно, xxA 22 e4e2 −− ≡ и 2=A .Тогда

xxxy 21 e2)(~ −= .

2. Решим уравнение, правая часть которого совпадает с )(2 xf .

( ) .e386 xxyyy +=+′+′′ (4.66)

Уравнение (4.66) имеет специальную правую часть вида xn xР λe)( ,

где 1=n , 1=λ . Так как 1k≠λ и 2k≠λ , его частное решение следует ис-кать в виде

( ) .e)(~2

xBDxxy +=Определяем коэффициенты D и B:

( ) ,ee)(~2

xx BDxDxy ++=′

( ) ,ee2)(~2

xx BDxDxy ++=″

( ) ( ) ( ){ }( ){ } ( ){ }.81515e158e

8662e~8~6~222

DBDxBDxD

BDxBDxDBDxDyyyxx

x

++=++=

=+++++++=+′+′′

Следовательно,.3)815(15 +≡++ xDBDx

Отсюда

=+=

3815,115

DBD

или

.22537,

151

== BD

Справедливость этого следствия очевидна.Опираясь на теорему 8 и ее следствие, можно к разным слагаемым

правой части неоднородного уравнения применять различные формулы иразличные методы для отыскания частных решений.


.2sine)3(e486 2 xxyyy xx +++=+′+′′ − (4.62)

Решение. Составим соответствующее (4.62) однородное уравнение

086 =+′+′′ yyy (4.63)

и характеристическое уравнение

.0862 =++ kk (4.64)

Последнее имеет два вещественных корня: 4,2 21 −=−= kk . Сле-довательно, общее решение уравнения (4.63) имеет вид

.ee)( 42

210

xx CCxy −− +=Правую часть уравнения (4.62) представим в виде суммы трех сла-

гаемых:

.2sin)(,e)3()(,e4)( 322

1 xxfxxfxf xx =+== −

Будем последовательно искать частные решения неоднородных урав-нений, правые части которых совпадают с одним из указанных слагае-мых, а левые части – одинаковые и совпадают с левой частью уравнения(4.62):


.e486 2xyyy −=+′+′′ (4.65)

Это уравнение со специальной правой частью вида xn xР λe)( , где 0=n ,

а 2−=λ . Так как λ совпадает с корнем 21 −=k , то решение (4.65) ищемв виде

xAxxy 21 e)(~ −= .


84 85


Рекомендуемая литература

1. Натансон, И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон. –СПб. : Лань, 2005.

2. Смирнова, В. Б. Неопределенный интеграл : учебное пособие /В. Б. Смирнова, Л. Е. Морозова. – СПб. : СПбГАСУ, 2007.

3. Матвеев, Н. М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным диф-ференциальным уравнениям / Н. М. Матвеев. – Минск : Вышейшая школа, 1977.

4. Блажнова, Е. М. Сборник задач по дифференциальным уравнениямс решениями и ответами / Е. М. Блажнова, И. К. Кадников, А. П. Тузов,Я. С. Фельдман, Т. Д. Цветкова; под редакцией Тузова.– СПб. : НПО «Мири семья – 95» ООО «Интерлан», 1999.

5. Карпиловская, Э. Б. Обыкновенные дифференциальные уравнения :метод. указания к выполнению задания для студентов всех специальностей ЛИСИ/ Э. Б. Карпиловская. – Л. : ЛИСИ, 1984.

6. Ершов, Е. К. Дифференциальные уравнения : учеб. пособие /Е. К. Ершов, М. В. Неупокоева; СПбГАСУ. – СПб., 2002.

Таким образом,xxxy e

22537

15)(~

2

+= .


.2sin86 xyyy =+′+′′ (4.67)

Это уравнение со специальной правой частью типа ( xM +ωsin

) xxN τω+ ecos , где 0=τ , 2=ω , 1=M , 0=N . Так как числаii 2±=ω±τ не являются корнями (4.64), частное решение (4.67) следует

искать в виде.2cos2sin)(~

3 xKxLxy +=Определяем L и K :

,2sin22cos2)(~3 xKxLxy −=′

,2cos42sin4)(~3 xKxLxy −−=″

( ) ( )( ) ( ).1242cos1242sin

81242cos81242sin)(~8)(~6)(~

333

LKxKLxKLKxLKLx

xyxyxy

++−==++−++−−=

=+′+″

Тогда из тождественного равенства( ) ( ) xLKxKLx 2sin1242cos1242sin ≡++−

получаем систему

=+=−

,0412,1124

KLKL

откуда находим .403,

401

−== KL

Таким образом,

.2cos4032sin

401)(~

3 xxxy −=

Окончательно получим

.2cos4032sin

401e

22537

15e2ee)(~ 24

22

1 xxxxCCxy xxxx −+

++++= −−−

Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные eравнения второго порядка

86 87


Учебное издание

Смирнова Вера БорисовнаМорозова Лидия Евсеевна

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Учебное пособие

Редактор А. В. АфанасьеваКорректор А. Г. Лавров

Компьютерная верстка И. А. Яблоковой

Подписано к печати 16.08.10. Формат 60×84 1/16. Бум. офсетная.Усл. печ. л. 5,1. Тираж 1000 экз. Заказ 72. «С» 58.Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет.190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 4.Отпечатано на ризографе. 190005, Санкт-Петербург, 2-я Красноармейская ул., д. 5.

ОглавлениеВведение..............................................................................................................3Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка ..............................4

1.1. Простейшие уравнения...........................................................................71.2. Уравнения с разделяющимися переменными ......................................81.3. Линейные уравнения ............................................................................121.4. Обобщенные линейные уравнения (уравнения Бернулли) ................171.5. Однородные уравнения ........................................................................231.6. Решение задачи Коши для различных типов уравнений первогопорядка .........................................................................................................27

Глава 2. Дифференциальные уравнения второго порядка.........................322.1. Уравнения второго порядка, допускающие понижение порядка .... 34

2.1.1. Простейшие уравнения ..................................................................342.1.2. Уравнения, в которых отсутствует искомая функция .................352.1.3. Уравнения, не содержащие независимой переменной ................382.1.4. Примеры различных уравнений, допускающих понижениепорядка ...................................................................................................... 42

Глава 3. Линейные однородные дифференциальные уравнениявторого порядка................................................................................................46

3.1. Свойство суперпозиции решений линейного однородногоуравнения ......................................................................................................463.2. Вронскиан и его свойство ....................................................................473.3. Линейно зависимые и линейно независимые частныерешения линейного однородного уравнения.............................................493.4. Структура общего решения линейного однородного уравнения .....513.5. Линейные однородные уравнения с постояннымикоэффициентами ...........................................................................................52

Глава 4. Линейные неоднородные дифференциальные уравнениявторого порядка................................................................................................60

4.1. Структура общего решения линейного неоднородногоуравнения ......................................................................................................604.2. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа) ......624.3. Линейные дифференциальные уравнения со специальнымиправыми частями ..........................................................................................694.4. Принцип наложения ..............................................................................80

Рекомендуемая литература..............................................................................84

88


ДЛЯ ЗАПИСЕЙ

Documents

ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ · 2012-06-25 · будут рассмотрены следующие типы уравнений: простейшее,