1

∆ιαγώνισµα Α΄ τετραµήνου στα Μαθηµατικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

Γ΄ Λυκείου

∆ιάρκεια: 2 διδακτικές ώρες

2.1 ως 2.3: Μιγαδικοί αριθµοί

Εισηγητής: Πρωτοπαπάς Ελευθέριος

Ονοµατεπώνυµο: ……………………………………………………………………..

Ηµεροµηνία: …………………………………… Τµήµα: ……………......

Θέµα Α

Α1. Να αποδείξετε ότι για κάθε 1 2z , z ∈C ισχύει: 1 2 1 2z z z z= .

Μονάδες 10

Α2. Τι ονοµάζουµε µέτρο του µιγαδικού z = x + yi, x, y∈R .

Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στην κόλλα αναφοράς σας

τη λέξη "Σωστό" αν η πρόταση είναι σωστή και "Λάθος" αν η πρόταση είναι

λανθασµένη, δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε µία από τις προτάσεις: α, β, γ, δ

και ε.

α) Αν 1 2z , z ∈C µε 1 2z z= , τότε ισχύει πάντα ότι 1 2z = z .

β) Αν z ∈C , τότε ισχύει πάντα ότι 2 2| z | = z .

γ) Αν 1 2z , z ∈C , τότε ισχύει πάντα ότι 1 2 1 2 1 2| z | | z | z + z | z | + | z |≥ ≥- .

δ) Αν z ∈C και ρ > 0, τότε η εξίσωση | z |= ρ απεικονίζει πάντα στο µιγαδικό επίπεδο

κύκλο µε κέντρο το Ο(0, 0) και ακτίνα ρ.

ε) Αν 1 2z , z ∈C , τότε ισχύει πάντα ότι _________ ___ ___

1 2 1 2z + z z + z= .

Μονάδες 10

Θέµα Β

∆ίνονται οι z,u ∈C και w ∈R όπου 3 2z z 2 0− + = ,

uw

iu 2=

− και u 2i≠ − .

Β1. Να αποδείξετε ότι οι εικόνες των λύσεων της εξίσωσης στο µιγαδικό επίπεδο είναι

κορυφές ισοσκελούς τριγώνου.

Μονάδες 7

Β2. Να αποδείξετε ότι | u i | 1+ = .

Μονάδες 8

Β3. Να αποδείξετε ότι οι z 1 i= + και 5 2 5 5

u i5 5

− −= − + είναι οι µιγαδικοί για τους

οποίους το | z u |− γίνεται µέγιστο.

Μονάδες 10

2

Θέµα Γ

∆ίνονται οι *z ∈C , w ∈C όπου | 3z 2 |= | 2z 3 |- - και

iw iz

z= − .

Γ1. Να αποδείξετε ότι | z | 1= .

Μονάδες 8 Γ2. Να αποδείξετε ότι η εικόνα του µιγαδικού w κινείται σε ευθύγραµµο τµήµα.

Μονάδες 9

Γ3. Να εξετάσετε αν η απόσταση των εικόνων των µιγαδικών z και iw− παίρνει ελάχιστη

τιµή.

Μονάδες 8

Θέµα ∆

∆ίνονται οι 1 2z , z , w ∈C µε 12z 1 2− = , 2z 3= και 2

1 1 10

| w 4i | | w 4i | | w 16 |+ =

− + +.

∆1. Να αποδείξετε ότι 1 2 1 2

2 3| 2z z 1| 3z z

3 2+ − = + − .

Μονάδες 7

∆2. Να βρείτε το µέγιστο και το ελάχιστο του 1 2z z+ .

Μονάδες 6 ∆3. Να βρείτε το γεωµετρικό τόπο των εικόνων του w.

Μονάδες 6

∆4. Να αποδείξετε ότι 1

3 13w z

2 2≤ − ≤ .

Μονάδες 6

Καλή Ε πιτυχία

3

Απαντήσεις διαγωνίσµατος Α΄ τετραµήνου

στα Μαθηµατικά θετικής και τεχνολογικής κατεύθυνσης

Γ΄ Λυκείου

Θέµα Α Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα …..

Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα …..

Α3. α) Λ, β) Λ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ.

Θέµα Β

Β1. 3 2z z 2 0− + = �

2(z +1)(z 2z 2) 0− + = �

� z +1 = 0 ή 2z 2z 2 0− + = �

� z = 1- ή 2 2i

z = 1 i2

±= ± .

Έστω 1 2 3z 1, z 1 i, z 1 i= − = + = − µε αντίστοιχες εικόνες Α(−1, 0), Β(1, 1) και Γ(1, −1).

Τότε AB (2,1)→

= , (2, 1)→

ΑΓ = − και 2 1

det AB, 2 2 4 02 1

→ → ΑΓ = = − − = − ≠ − ,

οπότε τα σηµεία Α, Β, Γ ορίζουν τρίγωνο.

Επίσης 2 2AB 2 ( 1) 5

→ →

= ΑΓ = + ± = ,

οπότε το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές µε ΑΒ = ΑΓ.

Β2. Για u 2i≠ − , έχουµε ότι:

w ∈R � __

w = w �

__

__

u u

iu 2i u 2

=− − −

� __ __ __

iu u 2u iu u 2 u− − = − �

� __ __

2iu u 2u 2 u 0+ − = � __ __

2i u u iu i u 0− − + = � __ __

2 2u u iu i u i 0 i− + − = − �

� __ __

u u i i u i 1 − + − =

� ______

(u i) u i 1 + + =

� 2| u i | 1+ = � | u i | 1+ = .

Β3. Ο γεωµετρικός τόπος των εικόνων του u είναι ο κύκλος C,

µε κέντρο ∆(0, −1) και ακτίνα ρ = 1.

• | 1 i | 2 1Α∆ = − + = > = ρ , άρα το Α είναι εξωτερικό του C και ισχύει

2 1ΑΗ = Α∆ − ρ = − και 2 1ΑΘ = Α∆ + ρ = + .

1 – 1 0 2 –1

– 1 2 – 2

1 – 2 2 0

4

• |1 i i | |1 2i | 5 1Β∆ = + + = + = > = ρ , άρα το Β είναι εξωτερικό του C και ισχύει

BE B 5 1= ∆ − ρ = − και BZ B 5 1= ∆ + ρ = + .

• |1 i i | 1Γ∆ = − + = = ρ , άρα το Γ είναι σηµείο του C και ισχύει 2 2ΓΚ = ρ = .

Εποµένως το µέγιστο επιτυγχάνεται από το BZ B 5 1= ∆ + ρ = + .

Η ευθεία Β∆ έχει εξίσωση: 1 ( 1)

y 1 (x 1)1 0

− −− = −

− � y 2x 1= − .

Λύνουµε το σύστηµα

2 2x (y 1) 1

y 2x 1

+ + =

= − �

25x 1

y 2x 1

=

= − �

5x

5

y 2x 1

= ±

= −

�

�

5 5 2 5 5x , y 2 1

5 5 5

5 5 2 5 5x , y 2 1

5 5 5

−= = − =

− − = − = − − =

.

Συνεπώς 5 2 5 5

E ,5 5

−

και 5 2 5 5

Z ,5 5

− −−

το Β είναι εξωτερικό του C

και ισχύει BE B 5 1= ∆ − ρ = − και BZ B 5 1= ∆ + ρ = + .

Εποµένως max | z w | 5 1− = + και επιτυγχάνεται όταν

2z z 1 i= = + και 5 2 5 5

u i5 5

− −= − + .

Θέµα Γ

Γ1. | 3z 2 |= | 2z 3 |- - � __ __

(3z 2) 3 z 2 = (2z 3) 2 z 3

- - - - �

� __ __ __ __

9z z 6z 6 z + 4 = 4z z 6z 6 z + 9- - - - � __

5z z = 5 � | z | 1= .

Γ2. Έστω z a bi, a, b= + ∈R , όπου 2 2a b 1+ = και 1 a, b 1− ≤ ≤ .

Τότε για z 0≠ , έχουµε

2 2 2 2 2 2

i i i(a bi) b aiz i(a bi) ai b b i a

z a bi a b a b a b

− − = + − = − − = − − + − + + + +

b ab i a 2b

1 1

= − − + − = −

.

Έστω επίσης w x yi, x, y= + ∈R .

Τότε από την i

w izz

= − βρίσκουµε

x 2b= − , y = 0, για 1 b 1− ≤ ≤ , οπότε η εικόνα του µιγαδικού w κινείται στο

ευθύγραµµα τµήµα ΑΒ µε Α(2, 0) και Β(−2, 0).

Γ3. Έχουµε ότι i 1 1

z ( iw) z i iz z zz z z

− − = + − = − + =

, οπότε 1

z ( iw) 1z

− − = = ,

δηλαδή οι εικόνες των µιγαδικών z και iw− έχει πάντα απόσταση ίση µε 1.

Θέµα ∆ ∆1. Έχουµε ότι:

5

12z 1 2− = � __________

1 1(2z 1) 2z 1 4 − − =

� __________

1

1

42z 1

2z 1− =

− (αφού 12z 1 0− ≠ ) και

2z 3= � ___

2 2z z 9= � ___

2

2

9z

z= (αφού 2z 0≠ ).

Συνεπώς:

( )_______________ _________ ____

2 11 2 1 2 1 2

1 2 1 2

4z 18z 94 9| 2z z 1| 2z z 1 2z 1 z

2z 1 z 2z 1 z

+ −+ − = + − = − + = + =

− −

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

18z 4z 9 18z 4z 9 18 4 9 2 3z z 3z z

2z 1 z 2 3 6 6 6 3 2

+ − + −= = = + − = + −

− ⋅.

∆2. Αφού 12z 1 2− = � 1

1z 1

2− = , ο γ.τ. των εικόνων του 1z είναι ο κύκλος µε κέντρο

1K ,0

2

και ακτίνα 1R 1= .

Επίσης ο γ.τ. των εικόνων του 2z είναι ο κύκλος µε κέντρο ( )O 0,0 και ακτίνα 2R 3= .

Ο κύκλος αυτός είναι συµµετρικός ως προς το Ο, οπότε η εικόνα του µιγαδικού 2z−

είναι επίσης σηµείο του κύκλου.

Συνεπώς 1 2 1 2min z z min z z+ = − και 1 2 1 2max z z max z z+ = − .

Η ευθεία ΚΟ έχει εξίσωση (y = 0) και τα σηµεία τοµής των κύκλων µε αυτή είναι τα

1A ,0

2

−

, 3

B ,02

, Γ(−3, 0) και ∆(3, 0).

Εποµένως

1 2 1 2

3min z z min z z

2+ = − = Β∆ = και 1 2 1 2

9max z z max z z

2+ = − = ΒΓ = .

∆3. Για w 4i≠ ± , έχουµε ότι:

2

1 1 10

| w 4i | | w 4i | | w 16 |+ =

− + + �

1 1 10

| w 4i | | w 4i | | (w 4i)(w 4i) |+ =

− + − + �

� | w 4i | | w 4i | 10+ + − = , δηλαδή ο γ.τ. των εικόνων του w είναι η έλλειψη (γ < α)

µε γ = 4, α = 5, β = 3, δηλαδή οι εστίες είναι (0, 4) και (0, −4),

κορυφές του µεγάλου άξονα (0, 5) και (0, −5),

ενώ οι κορυφές του µικρού άξονα είναι (3, 0) και (−3, 0).

∆4. Έχουµε ότι 3 | w | 5≤ ≤ (Ι) (λόγω της έλλειψης) και

6

1

1 3| z |

2 2≤ ≤ (ΙΙ), αφού 1 1 1

1 1 1 1 1 3| z | z z 1

2 2 2 2 2 2= − + ≤ − + = + = .

Τότε:

1

1 3| z |

2 2≤ ≤ � 1

3 1| z |

2 2− ≤ − ≤ − και προσθέτοντας µε την (Ι) βρίσκουµε ότι

1

3 9| w | | z |

2 2≤ − ≤ (ΙΙΙ).

Συνεπώς:

1 1 1

3 13w z | w | | z | | w | | z | 5

2 2− ≤ + − = + ≤ + = (λόγω των (Ι), (ΙΙ))

και

1 1 1 1

3w z | w | | z | | w | | z | | w | | z |

2− ≥ − − = − = − ≥ .

Εποµένως: 1

3 13w z

2 2≤ − ≤