ЛЕКЦИЯ 7

ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА.

ЛИНЕЙНЫЙ И ОРТОГОНАЛЬНЫЙ

ОПЕРАТОР.

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

7.1. Линейные пространства. Базис линейного

пространства..................................................................2

7.2. Линейный оператор: определение, действия над

линейным оператором. Координаты вектора.............6

7.3. Преобразование координат. Изменение матрицы

линейного оператора при переходе к новому базису.

Ортогональный оператор и замена базиса.................8

7.1. ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА. БАЗИС ЛИНЕЙНОГО

ПРОСТРАНСТВА

В математике существует много объектов, над которыми можно проводить

линейные действия (сложение и умножение на число)- векторы, матрицы,

функции и т.д. (см. ЛЕКЦИЯ 2). Эти действия имеют одинаковые свойства -

коммутативность, ассоциативность, существование нулевого элемента и т.д.

Это позволяет перейти к общему взгляду на линейные действия, которые

выполняются над совокупностью каких-либо элементов и подчиняются

определённым аксиомам. Это взгляд выражается в понятии линейного

пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейным пространством L называется множество

элементов ,...,, zyx , если:

1. Lyx , указан закон (правило) нахождения суммы элементов:

Lzyxz : .

2. RLx , указан закон (правило) нахождения произведения элемента на

число: Lzxxz : .

3. Операции сложения и умножения на число, удовлетворяют аксиомам:

1) xyyx - коммутативность сложения,

2) )()( zyxzyx - ассоциативность сложения,

3) xOxLO : - существование нулевого элемента L0 ,

4) Lx OxxLx )(:)( - существование противоположного элемента

Lx )( ,

5) xxL 1:1 - существование единичного элемента L1 ,

6) xx - ассоциативность умножения на число,

yxyx

xxx

)()8

)()7 - дистрибутивность.

Непосредственно из определения линейного пространства следуют его

свойства.

СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОГО ПРОСТРАНСТВА

1. Существует единственный нулевой элемент линейного пространства.

2. Для Lx существует единственный противоположный элемент.

3. OxLx 0: , где LOR ,0 .

4. xxxLx ,)1(: - противоположный элемент.

5. ООО ,:0 - нулевой элемент пространства .

ПРИМЕРЫ ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ:

1. Множество всех вещественных чисел R .

2. Множество всех матриц.

3. Множество всех многочленов RaaxaxaxPxP in

nn

nn ,...)(: 1

10 .

4. ,...3,2,1, nAn - n-мерное пространство арифметических векторов (см.

ЛЕКЦИЯ 2). Элементом этого пространства является любой упорядоченный

набор из ,...3,2,1n вещественных чисел: naaaa ,...,, 21

, где nАa

- вектор

(точка) этого пространства, naaa ,...,, 21 - координаты вектора (точки) nАa

.

5. Множество всех свободных векторов (см. ЛЕКЦИЯ 2, ЗАМЕЧАНИЕ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейное пространство называется евклидовым Е , если

в нём задано скалярное произведение векторов: определено действие,

сопоставляющее каждым двум векторам Еy,x число yx .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Длиной (модулем, нормой) вектора Еx называется

число x ( x ), равное корню из квадрата скалярного произведения вектора x :

хххx .

ЗАМЕЧАНИЕ. Тогда операция нормирования вектора (т.е. приведение

длины вектора к 1) : х

хx0 .

Ранее (см. ЛЕКЦИЯ 4) было введено понятие линейной зависимости и

независимости арифметических векторов. Аналогично можно ввести

понятие линейной зависимости (независимости) обобщённых векторов

(точек, элементов) линейного пространства L :

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность векторов Laaa n ,...,, 21 называется

линейно независимой, если их линейная комбинация

Raaa inn ,...2211 равна нулю только при 0...21 n .

ПРИМЕР 1.Рассмотрим P -линейное пространство многочленов 2-й степени

RaaxaxaxPxP i ,)(: 21

2

022 .

Совокупность его элементов (обобщённых векторов) 2x , x , 1 является

линейно независимой.

Действительно, рассмотрим их линейную комбинацию:

132

2

1 xx .

Очевидно, что

001 32132

2

1 xx .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Совокупность векторов Laaa n ,...,, 21 называется

линейно зависимой, если существует хотя бы одно nii ,..,1:0 , при

котором их линейная комбинация равна нулю:

0...2211 nnaaa niii ,..,1,0: .

ПРИМЕР 2. Рассмотрим P -линейное пространство многочленов 2-й степени

RaaxaxaxPxP i ,)(: 21

2

022 .

Совокупность его элементов (обобщённых векторов) 2x , x , 1 является

линейно независимой - см. ПРИМЕР 1.

Рассмотрим совокупность 32 2 x , 2x , x , 1 и докажем, что она линейно

зависима.

Рассмотрим их линейную комбинацию:

1)32( 43

2

2

2

1 xxx ,

01)32( 43

2

2

2

1 xxx

при

14321 3,0,02 ,

например, при

3,0,2,1 4321 .

Значит элементы 32 2 x , 2x , x , 1 - линейно зависимы.

Понятие линейной зависимости (независимости) векторов является одним из

основополагающих понятий курса линейной алгебры и позволяет дать

определение размерности и базиса линейного пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Линейное пространство L называется n - мерным, если

в нём существует n линейно независимых векторов, а любые (n+1) векторов

являются линейно зависимыми. Обозначение: nL ( nL ).

Число n называется размерностью линейного пространства nL : nLn dim .

ПРИМЕР 3. Пространство P многочленов RaaxaxaxPxP i ,)(: 21

2

022

является 3-х мерным: 3dim P - см. ПРИМЕР 1 и ПРИМЕР 2.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Базисом n-мерного линейного пространства L

называется любая упорядоченная совокупность (система) n линейно

независимых векторов этого пространства.

ЗАМЕЧАНИЕ. 1)Если базис состоит из конечного числа векторов, то

пространство - конечномерно.

2) Если для Nm найдётся m линейно независимых векторов этого

пространства, то это пространство называется бесконечномерным.

ПРИМЕР 4. Совокупность 2x , x ,1 является базисом пространства P

многочленов RaaxaxaxPxP i ,)(: 21

2

022 .

ПРИМЕР 5. 1) Рассмотрим любые три некомпланарных вектора в 3R ,

например 1,1,1 p

, 1,3,0q

, 1,0,2r

- они линейно независимы и являются

базисом в 3R .

Для доказательства этого факта составим линейную комбинацию этих

векторов rqp321

и найдём, что 00321 irqp

:

0)1,0,2()1,3,0()1,1,1( 321321 rqp

.

Эта запись равносильна однородной системе уравнений:

0

03

02

321

21

3

1

.

Посчитаем определитель этой системы:

05

111

031

201

,

значит эта система имеет единственное решение - тривиальное, т.е. 0321 .

Если мы рассмотрим систему из 4-х векторов 1,1,1 p

, 1,3,0q

, 1,0,2r

,

4,5,8 s

, то она будет уже линейно зависимой и вектор 4,5,8 s

можно

выразить через базисные вектора 1,1,1 p

, 1,3,0q

, 1,0,2r

. Для этого

нужно найти значения rqpsi

321:0 или решить равносильную

этой записи систему линейных уравнений

4

53

82

321

21

31

.

Решением этой системы было найдено ранее (см. ЛЕКЦИЯ 5, ПРИМЕР 4):

3

1

2

3

2

1

.

2) Рассмотрим любые два неколлинеарных вектора в 2R , например

1,0p

, 0,1q

- они линейно независимы и являются базисом в 2R .

3) Рассмотрим любой ненулевой вектор в R , например 3p

- он является

базисом в R .

7.2. ЛИНЕЙНЫЙ ОПЕРАТОР: ОПРЕДЕЛЕНИЕ, ДЕЙСТВИЯ

НАД ЛИНЕЙНЫМ ОПЕРАТОРОМ. КООРДИНАТЫ

ВЕКТОРА

В математике много примеров, когда под действием некоторого

преобразования (например, один объект (прообраз) переходит в другой

(образ), сохраняя при этом линейные действия над изменённым объектом

(прообразом).

Рассмотрим поворот всех векторов вокруг начала координат на некоторый

угол .Обозначим это преобразование буквой , тогда каждому вектору х

будет соответствовать его образ - вектор х

. При этом хх

)( , а если

21 ххх

, то 2121 )( ххххх

.

РИС.1.Образ вектора суммы: 2121 )( ххххх

.

Перейдём к определению линейного оператора, действующего в некотором

линейном пространстве L .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. В пространстве L задан линейный оператор , если

установлено правило (задан закон), по которому каждому вектору Lх

сопоставляется вполне определённый (единственный) вектор Lуху : ,

при этом выполнено:

2121 )( хххх ,

Rхх ,)( .

ТЕОРЕМА. Если Leee n ,...,, 21 -базис линейного (n-мерного) пространства L ,

то для Lx существует единственная система чисел nххх ,...,, 21 , такая что

nneхeхeхх ...2211 .

Доказательство.

По определению линейного пространства (см. п. 7.1.) для Lx

совокупность из (n+1) векторов neeeх ,...,,, 21 является линейно зависимой, т.е.

nххх ,...,, 21 , не все равные нулю, такие что

nneхeхeхх ...2211 .

Предположим, что nххх ,...,, 21 :

nneхeхeхх ...2211 .

Тогда

nneхeхeх ...2211 = nneхeхeх ...2211 ,

0)(...)()( 222111 nnn eххeххeхх .

Так как вектора neee ,...,, 21 линейно независимы (см. определение базиса

п.7.1.) , то ,,...,0,00)(...)()( 2211222111 nnnnn ххххххeххeххeхх

.,...,, 2211 nn хххххх

Теорема доказана.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Выражение nneхeхeхх ...2211 будем называть

разложением вектора x по базису neee ,...,, 21 . Коэффициенты iх будем

называть координатами вектора х в этом базисе.

Рассмотрим образ вектора х : ху . Он также является вектором , а

совокупность из (n+1) векторов neeeу ,...,,, 21 является линейно зависимой, т.е.

Rууу n ,...,, 21 , не все равные нулю, такие что

nneуeуeуу ...2211 .

Теперь применим оператор непосредственно к вектору х :

....

)(...)()()...(

2211

22112211

nn

nnnn

exexex

eхeхeхeхeхeхху

Так как Leee n ,...,, 21 , то вектора Leee n ,...,, 21 , а значит могут быть

разложенными по базису neee ,...,, 21 :

.,...,2,1,...2211 nkeaeaeae nnkkkk

Таким образом мы получаем, что

nneуeуeу ...2211 = nn exexex ...2211 ,

т.е.

....

,...

,...

2211

222211222

122111111

nnnnnnn

nn

nn

eaeaeaeу

eaeaeaeу

eaeaeaeу

В матричном виде эта запись выглядит следующим образом:

nnnnn

n

n

nx

x

x

aaa

aaa

aaa

у

у

у

2

1

21

22221

11211

2

1

..

........

..

..

или XAY ,

где

nу

у

у

Y

2

1

-столбец координат вектора ху ,

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

А

..

........

..

..

21

22221

11211

-матрица оператора ,

nx

x

x

Х2

1

-столбец координат вектора х .

ЗАМЕЧАНИЕ. 1)Отметим, что при применении одного и того же

оператора к различным наборам базисных векторов, мы будем получать

различные матрицы этого оператора.

2) Линейный оператор , матрица A которого невырожденная, называется

невырожденным оператором.

7.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ. ИЗМЕНЕНИЕ

МАТРИЦЫ ЛИНЕНОГО ОПЕРАТОРА ПРИ ПЕРЕХОДЕ К

НОВОМУ БАЗИСУ. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР И

ЗАМЕНА БАЗИСА

7.3.1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ КООРДИНАТ

В предыдущем пункте мы отмечали (см. ЗАМЕЧАНИЕ), что матрица

оператора зависит от выбранного базиса - у одного и того же оператора в

разных базисах будут разные матрицы. Далее мы рассмотрим вопрос о том,

как будут меняться координаты некоторого вектора при переходе от одного

базиса к другому.

Фиксируем в некотором линейном n-мерном пространстве L два различных

базиса:

neee ,...,, 21 ,

neee ,...,, 21 .

Рассмотрим вектор Lx и его разложение по данным базисам:

nneхeхeхх ...2211 ,

nneхeхeхх ...2211 .

Каждый базисный вектор neee ,...,, 21 разложим по базису neee ,...,, 21 :

nn etetete 12211111 ... ,

nn etetete 22221122 ... ,

...

nnnnnn etetete ...2211 .

Подставим полученные разложения: nneхeхeхх ...2211

nnnnnnnnnn etetetхetetetхetetetх ............ 22112222112212211111

nnnnnnnnnn eхtхtхteхtхtхtехtхtхt ............ 22112222212111212111 .

Учитывая, что

nneхeхeхх ...2211 ,

получим:

....

,...

,...

2211

22221212

12121111

nnnnnn

n

nn

хtхtхtх

хtхtхtх

хtхtхtх

В матричном виде эта запись выглядит следующим образом:

nnnnn

n

n

n x

x

x

ttt

ttt

ttt

х

х

х

2

1

21

22221

11211

2

1

..

........

..

..

или ХТХ ,

где

nх

х

х

Х2

1

- столбец координат вектора x в базисе neee ,...,, 21 ,

nnnn

n

n

ttt

ttt

ttt

Т

..

........

..

..

21

22221

11211

- матрица перехода от базиса neee ,...,, 21 к базису neee ,...,, 21 ,

nх

х

х

Х2

1

- столбец координат вектора x в базисе neee ,...,, 21 .

ЗАМЕЧАНИЕ. 1) Отметим, что

nnnn

n

n

ttt

ttt

ttt

Т

..

........

..

..

21

22221

11211

- матрица перехода от базиса neee ,...,, 21 к базису neee ,...,, 21 , составляется из

столбцов координат векторов базиса neee ,...,, 21 в базисе neee ,...,, 21 .

2) Матрица перехода от одного базиса к другому является невырожденной.

3) Любую невырожденную матрицу порядка n можно рассматривать как

матрицу перехода от одного базиса к другому в n -мерном пространстве.

4)Так как матрица перехода от одного базиса к другому невырожденная, то у

неё существует обратная матрица и можно выразить координаты в "новом"

базисе neee ,...,, 21 через координаты в "старом" базисе neee ,...,, 21 :

ХТХ 1 .

ПРИМЕР 5. Рассмотрим преобразование поворота на некоторый угол в

плоскости Oxy . Найдём матрицу этого преобразования.

Формулы связи "новых" и "старых" координат:

11

11

cossin

sincos

yxy

yхх

или

1

1

cossin

sincos

y

x

y

x

,

cossin

sincosT ,

тогда нетрудно найти

cossin

sincos1T и

yxy

yхх

cossin

sincos

1

1.

7.3.2. ИЗМЕНЕНИЕ МАТРИЦЫ ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА ПРИ

ПЕРЕХОДЕ К НОВОМУ БАЗИСУ. ОРТОГОНАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР И

ЗАМЕНА БАЗИСА

Рассмотрим:

оператор в некотором n-мерном линейном пространстве L ,

neee

,...,, 21 - базис этого пространства,

А - матрица оператора XAY : ,

neee

,...,, 21 - новый базис пространства L ,

T - матрица перехода от базиса neee

,...,, 21 к базису neee

,...,, 21 : ХТХ ,

YТY . Покажем, как изменится матрица оператора при переходе в базис

neee

,...,, 21 .

Для этого рассмотрим равенство

YTXTAXAY ,

откуда YTXTA ,

YTTXTAT 11 , YYEXTAT 1 ,

XAXTATY 1 ,

где

TATА 1 - матрица оператора в новом базисе neee

,...,, 21 .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Матрица A называется подобной матрице В , если

существует невырожденная матрица С , такая что СВСА 1 .

ЗАМЕЧАНИЕ. Матрицы оператора при переходе от одного базиса к

другому - подобные: матрица А подобна матрице A (где TATА 1 , T -

матрица перехода от базиса neee

,...,, 21 к базису neee

,...,, 21 ).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Квадратная матрица A называется ортогональной,

если её транспонированная матрица равна обратной: 1 AAT .

Ортогональной матрице отвечает ортогональный оператор.

ЗАМЕЧАНИЕ. 1)Определитель ортогональной матрицы всегда равен 1 .

2) Ортогональный оператор переводит один ортонормированный базис

(вектора этого базиса попарно перпендикулярны и имеют единичную длину)

в другой ортонормированный базис.