บทที่ 3 ความน่าจะเป็นเบื้องต้น

º··Õè 3

¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹àº×éÍ§µŒ¹

à«µáÅÐ¡ÒÃ´íÒà¹Ô¹¡ÒÃÃÐËÇ‹Ò§à«µ

¡ÅØ‹Á ËÁÙ‹ ½Ù§ËÃ×ÍªØ´

• à«µ·Õè¹ÔÂÒÁªÑ à¨¹ (Well - defined set) ¤×Í à«µ·ÕèÊÒÁÒÃ¶ºÍ¡ÊÁÒªÔ¡¢Í§à«µä Œ

àª‹¹ A = {2, 4, 6, 8, 10} • à«µÇ‹Ò§ (Empty set ËÃ×Í Null set)

• ÊÑÞÅÑ¡É³� φ (Í‹Ò¹Ç‹Ò phi) ËÃ×Í { }


• à«µ¨íÒ¡Ñ (Finite set)

• à«µ·ÕèÁÕ¨íÒ¹Ç¹ÊÁÒªÔ¡¨íÒ¡Ñ´á¹‹¹Í¹

• à«µÍ¹Ñ¹µ� (Infinite set)

• à«µ·ÕèÁÕ¨íÒ¹Ç¹ÊÁÒªÔ¡äÁ‹¨íÒ¡Ñ´á¹‹¹Í¹

• ¨Ñ¡ÃÇÒÅà«µ (Universal set) ËÃ×Í àÍ¡À¾ÊÑÁ¾Ñ·¸�

• à«µ·Õèà»š¹¢Íºà¢µ·Ñé§ËÁ´·ÕèÊ¹ã¨ÈÖ¡ÉÒ

• ÊÑÞÅÑ¡É³� U


(Element)

ÊÔè§·ÕèÍÂÙ‹ã¹à«µ¨íÒ¹Ç¹ÊÁÒªÔ¡ã¹à«µ ãªŒÊÑÞÅÑ¡É³� n(A)àª‹¹ à«µ A = {3, 5, 7}

à¢ÕÂ¹á·¹ ŒÇÂ n(A) = 3

à«µ B = {0}à¢ÕÂ¹á·¹ ŒÇÂ n(B) = 1

à«µ C = φà¢ÕÂ¹á·¹ ŒÇÂ n(C) = 0

¡ÒÃ´íÒà¹Ô¹¡ÒÃÃÐËÇ‹Ò§à«µ (Set Operation)

: ∪¤×Í à«µ·Õè»ÃÐ¡Íºä»´ŒÇÂÊÁÒªÔ¡¢Í§ A ËÃ×ÍÊÁÒªÔ¡¢Í§ B

ÂÙà¹ÕÂ¹¢Í§ A áÅÐ B à¢ÕÂ¹á·¹´ŒÇÂ A ∪ B

àª‹¹ A = { a, b, c } áÅÐB = { b, c, d, e, f }

A ∪ B = { a, b, c, d, e, f }

A B

á¼¹ÀÒ¾àÇ¹¹� (venn diagram)

a b c

d e

f


: ∩¤×Í à«µ·Õè»ÃÐ¡Íºä»´ŒÇÂÊÁÒªÔ¡«Öè§à»š¹ÊÁÒªÔ¡¢Í§·Ñé§ A áÅÐ

B

ÍÔ¹àµÍÃ�à«¡ªÑ¹¢Í§ A áÅÐ B à¢ÕÂ¹á·¹´ŒÇÂ A ∩ B

àª‹¹ A = { a, b, c } áÅÐ B = { b, c, d, e, f }

A ∩ B = { b, c }

bc a d

ef


¤×Í à«µ·Õè»ÃÐ¡Íº´ŒÇÂÊÁÒªÔ¡·Ñé§ËÁ´·ÕèÍÂÙ‹ã¹ A áµ‹äÁ‹ÍÂÙ‹ã¹ B

¼Åµ‹Ò§¢Í§à«µ A áÅÐ B à¢ÕÂ¹á·¹´ŒÇÂÊÑÞÅÑ¡É³� A - B

àª‹¹ A = {3, 4, 5, 6}, B = {7, 8} áÅÐ C = {5, 6, 7}

A B C B63

87

45 5 78

6

A - B = {3, 4, 5, 6} B - C = { 8 }


: / ËÃ×Í C

¤×Í ¤ÍÁ¾ÅÕàÁ¹µ�¢Í§ A ¤×Í à«µ·Õè»ÃÐ¡Íºä» ŒÇÂÊÁÒªÔ¡¢Í§àÍ¡À¾ÊÑÁ¾Ñ· � áµ‹äÁ‹à»š¹ÊÁÒªÔ¡¢Í§ A

¤ÍÁ¾ÅÕàÁ¹µ�¢Í§ A à¢ÕÂ¹á·¹ ŒÇÂÊÑÞÅÑ¡É³� U - A ËÃ×Í A′ ËÃ×Í AC

àª‹¹ ¶ŒÒ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, A = {0, 3 ,5} áÅÐ B = {1, 5}

A′ 0

35

1

2 4

B′ 1

502

3

4

A′ = {1, 2, 4 } B′ = { 0, 2, 3, 4 }

µÑÇÍÂ‹Ò§

¡íÒË¹´ãËŒ U = { a, b, c, d, e, f, g} ,

A = {a, b, c, d, e} B = { a, c, e, g} C = { b, e, f, g} 1) A ∪ C

2) B ∩ A3) C - B

4) B/ ∪ C ;

5) C/ ∩ A ;

= {a, b, c, d, e, f, g}= {a, c, e}

= {b, f}

B/ = {b, d, f}∴ B/ ∪ C = {b, d, e, f, g} C/ = {a, c, d}

∴ C/ ∩ A = {a, c, d}

íÒ¹Ç¹ÊÁÒªÔ¡¢Í§ A∪B : n(A∪B)

¨Ò¡á¼¹ÀÒ¾àÇ¹¹�

n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

A B

¨íÒ¹Ç¹ÊÁÒªÔ¡¢Í§ A∪B∪C ËÃ×Í n(A∪B∪C )

¨Ò¡á¼¹ÀÒ¾àÇ¹¹�

A B

C

n (A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) -n(B∩C) + n(A∩B∩C)

µÑÇÍÂ‹Ò§

¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒã¹ËŒÍ§Ë¹Öè§ 45 ¤¹ ªÍºàÅ‹¹¡ÕÌÒ 28 ¤¹ ªÍºàÅ‹¹´¹µÃÕ 21 ¤¹ áÅÐ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ·ÕèªÍºàÅ‹¹·Ñé§¡ÕÌÒáÅÐ´¹µÃÕ 7 ¤¹ ¨§ËÒ¨íÒ¹Ç¹¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ·ÕèªÍºàÅ‹¹¡ÕÌÒËÃ×Í´¹µÃÕ

¨Ò¡ n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)

¨Ò¡â¨·Â�

ãËŒ A - ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÍºàÅ‹¹¡ÕÌÒ ∴n(A) = 28

B - ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÍºàÅ‹¹´¹µÃÕ ∴n(B) = 21

A∩B - ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÍºàÅ‹¹·Ñé§¡ÕÌÒáÅÐ´¹µÃÕ ∴n(A∩B) = 7

´Ñ§¹Ñé¹ n(A∪B) = 28 + 21 - 7

= 42

µÑÇÍÂ‹Ò§

¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ¨íÒ¹Ç¹ 120 ¤¹ ä´ŒÅ§·ÐàºÕÂ¹àÃÕÂ¹ 3 ÇÔªÒ ¤×Í ÇÔªÒ Ê¶ÔµÔ (S) á¤Å¤ÙÅÑÊ (C) áÅÐ ÀÒÉÒÍÑ§¡ÄÉ (E) ´Ñ§¹Õé àÃÕÂ¹ÇÔªÒÊ¶ÔµÔ 47 ¤¹ àÃÕÂ¹ÇÔªÒá¤Å¤ÙÅÑÊ 56 ¤¹ àÃÕÂ¹ÇÔªÒÀÒÉÒÍÑ§¡ÄÉ 59 ¤¹ àÃÕÂ¹ÇÔªÒÊ¶ÔµÔáÅÐá¤Å¤ÙÅÑÊ 20 ¤¹ àÃÕÂ¹ÇÔªÒÊ¶ÔµÔáÅÐÀÒÉÒÍÑ§¡ÄÉ 21 ¤¹ àÃÕÂ¹ÇÔªÒá¤Å¤ÙÅÑÊáÅÐÀÒÉÒÍÑ§¡ÄÉ 26 ¤¹ àÃÕÂ¹·Ñé§ÊÒÁÇÔªÒ¹Õé 11 ¤¹

¨Ò¡â¨·Â�

n(S) = 47 n(C) = 56 n(E) = 59

n(S∩C) = 20

n(S∩E) = 21 n(C∩E) = 26

n(S∩C∩E) = 11

¨Ò¡â¨·Â� n(S) = 47 n(C) = 56 n(E) = 59n(S∩C) = 20 n(S∩E) = 21 n(C∩E) = 26

n(S∩C∩E) = 11

S C

E

11

9

10

15

17

21

23

120

20 - 11 = 926 - 11 =

1521 - 11 =

10

56-9-11-15 = 21

47-9-11-10 = 17

59-10-11-15 = 23

àÃÕÂ¹ÇÔªÒÊ¶ÔµÔÍÂ‹Ò§à ÕÂÇ

àÃÕÂ¹ÇÔªÒá¤Å¤ÙÅÑÊÍÂ‹Ò§à ÕÂÇ

àÃÕÂ¹ÇÔªÒÀÒÉÒÍÑ§¡ÄÉÍÂ‹Ò§à ÕÂÇ

àÃÕÂ¹ÇÔªÒá¤Å¤ÙÅÑÊáÅÐÀÒÉÒÍÑ§¡ÄÉ áµ‹äÁ‹àÃÕÂ¹ÇÔªÒÊ¶ÔµÔ

àÃÕÂ¹à¾ÕÂ§ÊÍ§ÇÔªÒà·‹Ò¹Ñé¹

äÁ‹àÃÕÂ¹·Ñé§ÊÒÁÇÔªÒ

S C

E

11

910 15

17 21

23

120= 17 ¤¹

= 21 ¤¹

= 23 ¤¹

= 15 ¤¹

= 9 + 15 + 10 = 34 คน

= 120 -(17+21+23+9+15+10+11)

= 14 ¤¹

120

¡ÒÃ·´ÅÍ§àªÔ§ÊØ‹Á á«Áà»�ÅÊà»« áÅÐ àËµØ¡ÒÃ³�

¡ÒÃ·´ÅÍ§·ÕèäÁ‹ÊÒÁÒÃ¶·ÃÒº¼ÅÅÑ¾ �ËÃ×Í¼Å·Õèà¡Ô´¢Öé¹ä´ŒÍÂ‹Ò§á¹‹¹Í¹ áµ‹ÊÒÁÒÃ¶ºÍ¡¢Íºà¢µ¢Í§¤ÇÒÁà»š¹ä»ä´Œ

à«µ¢Í§¼ÅÅÑ¾ �·Õèà»š¹ä»ä´Œ·Ñé§ËÁ´·Õèà¡Ô´¨Ò¡¡ÒÃ·´ÅÍ§àªÔ§ÊØ‹Á

à¢ÕÂ¹á·¹´ŒÇÂ S

µÑÇÍÂ‹Ò§

âÂ¹àËÃÕÂÞ 2 ÍÑ¹ ãËŒ H - ËÑÇ áÅÐ T - ¡ŒÍÂ

S = {HH, HT, TH, TT}

âÂ¹ÅÙ¡àµŽÒ 2 ÅÙ¡ S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2),

(2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }

¡ÒÃ·´ÅÍ§àªÔ§ÊØ‹Á á«Áà»�ÅÊà»« áÅÐ àËµØ¡ÒÃ³�

à«µ¢Í§¼ÅÅÑ¾ �·ÕèàÃÒÊ¹ã¨¨Ò¡¡ÒÃ·´ÅÍ§àªÔ§ÊØ‹Á

ÊÑºà«µËÃ×Íà«µÂ‹ÍÂ¢Í§á«Áà»�ÅÊà»«

ตวอยาง สมตรวจหลอดไฟ 2 หลอด วาแตละหลอดมสภาพด

หรอเสย จงหาเหตการณทพบหลอดไฟดทง 2 หลอด

S = { ดด , ดเสย , เสยด , เสยเสย

} A - พบหลอดไฟดทง 2 หลอด

A = { ดด }

à·¤¹Ô¤¡ÒÃ¹Ñº (Counting Techniques)

¡®¢Í§¡ÒÃ¤Ù³ (Multiplicative Rule)

¡®¢Í§¡ÒÃºÇ¡ (Additive Rule)

• áµ‹ÅÐàËµØ¡ÒÃ³�·Õèà¡Ô´¢Öé¹¡ÃÐ·íÒµ‹Íà¹×èÍ§¡Ñ¹à»š¹¢Ñé¹æ

¢Ñé¹µÍ¹¢Í§¡ÒÃ·´ÅÍ§ k ¢Ñé¹µÍ¹

¢Ñé¹µÍ¹·Õè 1, 2, ... , k ÁÕ íÒ¹Ç¹¼ÅÅÑ¾¸�áµ‹ÅÐ¢Ñé¹à»š¹ n1, n2,..., nk

¨íÒ¹Ç¹¼ÅÅÑ¾¸�·Ñé§ËÁ´ = n1 × n2 × ... × nk ÇÔ Õ

µÑÇÍÂ‹Ò§

·Ò§à´Ô¹àª×èÍÁÃÐËÇ‹Ò§¤³ÐÇÔÈÇÐáÅÐ¤³ÐºÃÔËÒÃÁÕ 4 ÊÒÂ áÅÐ·Ò§à´Ô¹àª×èÍÁ¨Ò¡¤³ÐºÃÔËÒÃ¶Ö§¤³ÐÇÔ·Â�ÁÕ 5 ÊÒÂ ¡ÒÃà´Ô¹·Ò§¨Ò¡¤³ÐÇÔÈÇÐä»¤³ÐÇÔ·Â�â´ÂãËŒ¼‹Ò¹¤³ÐºÃÔËÒÃ¨Ðà´Ô¹·Ò§ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ

วศวะ บรหาร วทย

การเดนทางจากคณะวศวะไปคณะวทยโดยใหผานคณะบรหาร

จะเดนทางได = 4 × 5 = 20 วธ

µÑÇÍÂ‹Ò§

µŒÍ§¡ÒÃ»ÃÑº»ÃØ§ËÍ¾Ñ¡â´ÂµŒÍ§¡ÒÃ¼ÙŒÃÑºàËÁÒà¡ÕèÂÇ¡ÑºÃÐºº»ÃÐ»Ò áÅÐÃÐººä¿¿‡Ò ¶ŒÒÁÕ¼ÙŒÃÑºàËÁÒÃÐºº»ÃÐ»ÒÍÂÙ‹ 12 ÃÒÂ áÅÐ¼ÙŒÃÑºàËÁÒÃÐººä¿¿‡ÒÍÂÙ‹ 9 ÃÒÂ ¨ÐÁÕÇÔ¸Õ¡ÒÃàÅ×Í¡¼ÙŒÃÑºàËÁÒä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ

วธการเลอกผรบเหมา = 12 × 9 = 108 วธ

ม 2 ขนตอน

⇒ เลอกผรบเหมาประปา และ เลอกผรบเหมาไฟฟา

µÑÇÍÂ‹Ò§

¹ÒÂÊÁâª¤ÁÕàÊ×éÍ 5 µÑÇ ¡Ò§à¡§ 4 µÑÇ áÅÐÃÍ§à·ŒÒ 2 ¤Ù‹ à¢Ò¨ÐàÅ×Í¡ÊÇÁàÊ×éÍ ¡Ò§à¡§ áÅÐÃÍ§à·ŒÒ ·Õèáµ¡µ‹Ò§¡Ñ¹ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ

วธเลอก = 5 × 4 × 2 = 40 วธ

ม 3 ขนตอน

⇒ เลอก เสอ กางเกง และ รองเทา

µÑÇÍÂ‹Ò§

ÁÕàÅ¢â´´ 4 µÑÇ ¤×Í 1, 2, 3, 4 ¨ÐÊÃŒÒ§àÅ¢ íÒ¹Ç¹ºÇ¡ 3 ËÅÑ¡ ä´Œ¡ÕèíÒ¹Ç¹ â´Â·Õè

¡) áµ‹ÅÐËÅÑ¡ãªŒµÑÇàÅ¢«éíÒ¡Ñ¹ä´Œ

หลกหนวย

หลกสบ

หลกรอย

สรางเลข 3 หลกได = 4 × 4 × 4 = 64 จานวน

เลอกเลขได 4 ตว



µÑÇÍÂ‹Ò§

ÁÕàÅ¢â´´ 4 µÑÇ ¤×Í 1, 2, 3, 4 ¨ÐÊÃŒÒ§àÅ¢ íÒ¹Ç¹ºÇ¡ 3 ËÅÑ¡ ä´Œ¡ÕèíÒ¹Ç¹ â´Â·Õè

¢) áµ‹ÅÐËÅÑ¡ãªŒµÑÇàÅ¢äÁ‹«éíÒ¡Ñ¹

หลกหนวย

หลกสบ

หลกรอย

สรางเลข 3 หลกได = 4 × 3 × 2 = 24 จานวน




µÑÇÍÂ‹Ò§

¹Ñ¡¸ØÃ¡Ô¨ 3 ¤¹ ¨ÐàÅ×Í¡¾Ñ¡âÃ§áÃÁ«Öè§ÁÕâÃ§áÃÁãËŒàÅ×Í¡ 5 áË‹§ ¹Ñ¡¸ØÃ¡Ô¨¨ÐÁÕ íÒ¹Ç¹ÇÔ¸ÕàÅ×Í¡¾Ñ¡ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ ¶ŒÒ¹Ñ¡¸ØÃ¡Ô¨áµ‹ÅÐ¤¹

¡) àÅ×Í¡¾Ñ¡âÃ§áÃÁ«éíÒ¡Ñ¹äÁ‹ä´Œ

นกธรกจคนท 1นกธรกจคนท 2นกธรกจคนท 3

เลอกโรงแรมได = 5 × 4 × 3 = 60 วธ

เลอกโรงแรมได 5 วธ



µÑÇÍÂ‹Ò§

¹Ñ¡¸ØÃ¡Ô¨ 3 ¤¹ ¨ÐàÅ×Í¡¾Ñ¡âÃ§áÃÁ«Öè§ÁÕâÃ§áÃÁãËŒàÅ×Í¡ 5 áË‹§ ¹Ñ¡¸ØÃ¡Ô¨¨ÐÁÕ íÒ¹Ç¹ÇÔ¸ÕàÅ×Í¡¾Ñ¡ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ ¶ŒÒ¹Ñ¡¸ØÃ¡Ô¨áµ‹ÅÐ¤¹

¢) àÅ×Í¡¾Ñ¡âÃ§áÃÁ«éíÒ¡Ñ¹ä´Œ

นกธรกจคนท 1นกธรกจคนท 2นกธรกจคนท 3

เลอกโรงแรมได = 5 × 5 × 5 = 125 วธ




à·¤¹Ô¤¡ÒÃ¹Ñº (Counting Techniques)

(Additive Rule)

áµ‹ÅÐàËµØ¡ÒÃ³�·Õèà»š¹ä»ä´ŒËÃ×ÍàËµØ¡ÒÃ³�·Õèà¡Ô´¢Öé¹áÂ¡¡Ñ¹â´ÂÊÔé¹àªÔ§ (à¡Ô´¢Öé¹¾ÃŒÍÁ¡Ñ¹äÁ‹ä´Œ)

¢Ñé¹µÍ¹·Õè 1, 2, ... , k ÁÕ íÒ¹Ç¹¼ÅÅÑ¾¸�áµ‹ÅÐ¢Ñé¹à»š¹ n1, n2, ... , nk

¨íÒ¹Ç¹¼ÅÅÑ¾¸�·Ñé§ËÁ´ = n1 + n2 + ... + nk

µÑÇÍÂ‹Ò§

¤³ÐÇÔÈÇ¡ÃÃÁÁÕ 3 ÀÒ¤ÇÔªÒ ÀÒ¤ÇÔªÒÇÔÈÇ¡ÃÃÁâÂ¸Ò ÁÕÇÔªÒãËŒàÅ×Í¡àÃÕÂ¹2 ÇÔªÒ ÀÒ¤ÇÔªÒÇÔÈÇÍØµÊÒË¡ÒÃ ÁÕÇÔªÒãËŒàÅ×Í¡àÃÕÂ¹ 3 ÇÔªÒ áÅÐÀÒ¤ÇÔªÒÇÔÈÇ¡ÃÃÁà·¤â¹âÅÂÕ ÁÕÇÔªÒãËŒàÅ×Í¡àÃÕÂ¹ 4 ÇÔªÒ ¶ŒÒ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒµŒÍ§àÅ×Í¡àÃÕÂ¹ÇÔªÒã¹¤³ÐÇÔÈÇ¡ÃÃÁ 1 ÃÒÂÇÔªÒ à¢Ò¨ÐÁÕÇÔ ÕàÅ×Í¡àÃÕÂ¹ä Œ¡ÕèÇÔ Õ

เลอกโยธาได 2 ภาควชา

เลอกอตสาหการได 3 ภาควชา

เลอกเทคโนโลยได 4 ภาควชา

เลอกเรยน (อนใดอนหนง) ได = 2 + 3 + 4 = 9 วธ

µÑÇÍÂ‹Ò§

ËÂÔºä¾‹ 1 ãº¨Ò¡ä¾‹·Ñé§ÊíÒÃÑº ¨§ËÒ íÒ¹Ç¹ÇÔ¸Õ·Õè¨ÐËÂÔºä´ŒáµŒÁ á¨�¤, ¤ÇÕ¹, ¤Ô§ ËÃ×Í àÍ

ไพ 1 สารบ ประกอบดวยไพ 52 ใบ

A, 2 -10, แจค, ควนและคง อยางละ 4 ใบ

หยบ แจค ได 4 วธ

หยบ ควน ได 4 วธ

หยบ คง ได 4 วธ

หยบ เอ ได 4 วธ

เลอกหยบ (แบบใดแบบหนง) ได = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 วธ

ÇÔ¸ÕàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹ (Permutation)

á¿¤·ÍàÃÕÂÅ (Factorial)

¼Å¤Ù³¢Í§àÅ¢¨íÒ¹Ç¹àµçÁºÇ¡ µÑé§áµ‹ n ¨¹¶Ö§àÅ¢ 1 à¢ÕÂ¹á·¹ ŒÇÂ n! 0! = 1

àª‹¹

3! = 3 x 2 x 1 = 65! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 3 x 2 x 1

µÑÇÍÂ‹Ò§

× × × × × × ×× × × × ×

8! 8 7 (6 5 4 3 2 1)=6! 6 5 4 3 2 1× ×8 7 6!= 6!

× × ×7! 7!=10! 10 9 8 7! × ×

1= 10 9 81= 720

= 56

µÑÇÍÂ‹Ò§

12!(12-4)!

= 12 x 11 x 10 x 9

= 11,880

(n+3)!(n+1)!

= (n + 3)(n + 2)

12!= 8!× × × ×12 11 10 9 8!= 8!

(n+3)(n+2)(n+1)!= (n+1)!


ÇÔ Õ¡ÒÃËÒ¨íÒ¹Ç¹ÇÔ Õ·Ñé§ËÁ´ã¹¡ÒÃ¨Ñ àÃÕÂ§ÅíÒ´Ñº

ÇÔ ÕàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹áººàÊŒ¹µÃ§

(Linear Permutation)

ÇÔ ÕàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹áººÇ§¡ÅÁ

(Circular Permutation)


• ตาแหนงท 1 เลอกสงของได n วธ

• ตาแหนงท 2 เลอกสงของได n-1 วธ (เพราะมสงหนงถกเลอกแลว)

• ตาแหนงท 3 เลอกสงของได n-2 วธ

• ตาแหนงท r เลอกสงของได n - (r-1) = n – r + 1 วธ

วธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรง

วธเรยงสบเปลยนของ n สงทแตกตางกน คราวละ r สง


ตาแหนงท r เลอกสงของได n - (r-1) = n – r + 1 วธ

วธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรง

วธเรยงสบเปลยนของ n สงทแตกตางกน คราวละ r สง

จากกฎการคณ

จานวนวธ = n (n-1) (n-2) . . . (n-r+1)

× ×× ×

(n-r)(n-r-1) 3 2n(n-1)(n-2) (n-r 1(n-r)(n-r-1) 3 1

+)2

1= n!

(n-r)!=

ÇÔ¸ÕàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹ (Permutation)ÇÔ ÕàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹áººàÊŒ¹µÃ§ÊÔè§¢Í§·Ñé§ËÁ´ n ÊÔè§ «Öè§¹íÒÁÒ¨Ñ´àÃÕÂ§ÅíÒ´Ñºà¾ÕÂ§ r ÊÔè§

à¢ÕÂ¹á·¹´ŒÇÂÊÑÞÅÑ¡É³� nPr ËÃ×Í P(n, r) ËÃ×Í Pn,r

กรณ r = n :

¡Ã³ÕÊÑºà»ÅÕèÂ¹¢Í§ n ÊÔè§ â´ÂÁÕµÑÇ«éíÒ¡Ñ¹¨íÒ¹Ç¹ n1, n2,…,nk ÊÔè§

P(n,r) n!= (n-r)!

P(n,n) n!= (n-n)!n!= 0!

n!= 1 = n!

1 2 kn!P(n,n) n!n ! n !=

µÑÇÍÂ‹Ò§

ÁÕµÑÇÍÑ¡ÉÃ a, b, c, d, e ¹íÒÁÒàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹¤ÃÒÇÅÐ 3 µÑÇ ¨ÐÁÕÇÔ¸ÕÑ´ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ·ÕèäÁ‹«éíÒ¡Ñ¹

จานวนวธทงหมด 35= P 5!2!=

× ×= 5 4 3

= 60

n = 5 และ r = 3

5!(5-3)!=

µÑÇÍÂ‹Ò§ ÁÕË¹Ñ§Ê×Í 9 àÅ‹Á·ÕèäÁ‹àËÁ×Í¹¡Ñ¹ µŒÍ§¡ÒÃ¹íÒÁÒàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹¡Ñ¹

·Ñé§ËÁ´ ¨ÐÁÕÇÔ¸Õ Ñ àÃÕÂ§ä´Œ·Ñé§ËÁ´¡ÕèÇÔ¸Õ ¶ŒÒ

1) äÁ‹ÁÕà§×èÍ¹ä¢ã´æ

n = 9 r = 9

สงของ n สง นามาเรยงสบเปลยนทงหมดได n!

จานวนวธทงหมด =

9!= 0!= 9!

9!= 1

99 9!P = (9 - 9)!

= 362,880

µÑÇÍÂ‹Ò§ ÁÕË¹Ñ§Ê×Í 9 àÅ‹Á·ÕèäÁ‹àËÁ×Í¹¡Ñ¹ µŒÍ§¡ÒÃ¹íÒÁÒàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹

¡Ñ¹·Ñé§ËÁ´ ¨ÐÁÕÇÔ Õ¨Ñ´àÃÕÂ§ä Œ·Ñé§ËÁ´¡ÕèÇÔ Õ ¶ŒÒ

2) µŒÍ§¡ÒÃãËŒË¹Ñ§Ê×ÍÊÒÁàÅ‹Á (à©¾ÒÐ·ÕèµŒÍ§¡ÒÃ) ÍÂÙ‹µÔ ¡Ñ¹àÊÁÍ

3 เลมทตองการอยดวยกน

ขน 1 : เรยงหนงสอทงหมด จะเหลอหนงสอ 7 เลม

วธเรยงหนงสอทง 7 เลม = 7! วธ

มดเขาดวยกน และมองวาเปน

หนงสอ 1 เลม

ขน 2 : เรยงหนงสอในมดทงหมด 3 เลม

ทง 3 เลม = 3! วธ

วธเรยงหนงสอทงหมด = 7! × 3! = 5,040 × 6 = 30,240 วธ

ทง 2 ขนตอน จะตองถกทาทกขนใหครบ

µÑÇÍÂ‹Ò§ ÁÕË¹Ñ§Ê×Í 9 àÅ‹Á·ÕèäÁ‹àËÁ×Í¹¡Ñ¹ µŒÍ§¡ÒÃ¹íÒÁÒàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹¡Ñ¹

·Ñé§ËÁ´ ¨ÐÁÕÇÔ¸Õ Ñ àÃÕÂ§ä´Œ·Ñé§ËÁ´¡ÕèÇÔ¸Õ ¶ŒÒ

3) äÁ‹µŒÍ§¡ÒÃãËŒË¹Ñ§Ê×Í·Ñé§ÊÒÁàÅ‹ÁÍÂÙ‹µÔ ¡Ñ¹

จานวนวธ = วธทงหมด - วธททง 3 เลมตดกน

= 362,880 - 30,240

= 332,640 วธ

µÑÇÍÂ‹Ò§ ¨Ò¡¤íÒÇ‹Ò ¨§ËÒ íÒ¹Ç¹·Õèà»š¹ä»ä´Œ·Ñé§ËÁ´·Õèà¡Ô

¨Ò¡¡ÒÃ¼ÊÁµÑÇÍÑ¡ÉÃ

หลกการคด - นาอกษรทกตว (10 ตว) ไปเรยงทงหมด

- ตวทซ ากนสลบกนแลวไมแตกตาง

เชน 3 ตว สลบกนเองได 3! วธ ไมแตกตาง

∴ นาจานวนวธ 3! ไปหารออก

S - 3 ตว T - 3 ตว I - 2 ตว C - 1 ตวA - 1 ตว

µÑÇÍÂ‹Ò§ ¨Ò¡¤íÒÇ‹Ò ¨§ËÒ íÒ¹Ç¹·Õèà»š¹ä»ä´Œ·Ñé§ËÁ´·Õèà¡Ô

¨Ò¡¡ÒÃ¼ÊÁµÑÇÍÑ¡ÉÃ

S - 3 ตว T - 3 ตว I - 2 ตว C - 1 ตวA - 1 ตว

จานวนวธทงหมด10!= 3! 3! 2!

× ×3,628,800= 6 6 2

= 50,400

µÑÇÍÂ‹Ò§ ÁÕ¸§ÊÕá´§ 5 ¼×¹ ÊÕ¢ÒÇ 2 ¼×¹ ÊÕàËÅ×Í§ 3 ¼×¹ ¹íÒÁÒ¼Ù¡à»š¹ÊÑÞÞÒ³ã¹

á¹Ç´Ôè§ ¨ÐÁÕÊÑÞÞÒ³µ‹Ò§æ ¡Ñ¹ä´Œ¡Õèáºº ¶ŒÒ

1) ¸§áµ‹ÅÐÊÕäÁ‹ÁÕ¤ÇÒÁáµ¡µ‹Ò§¡Ñ¹

- 5 ผน - 2 ผน - 3 ผน

จานวนวธทงหมด

= 2,520

10!= 5! 2! 3!

หลกการ - ธงสเดยวกนสลบกนแลวไมแตกตาง

µÑÇÍÂ‹Ò§

2) ¸§áµ‹ÅÐÊÕÁÕÅÇ´ÅÒÂáµ¡µ‹Ò§¡Ñ¹

- 5 ผน - 2 ผน - 3 ผน

จานวนวธทงหมด

= 3,628,800

= 10!

หลกการ - ธงทกสแตกตางกน


ÇÔ ÕàÃÕÂ§ÊÑºà»ÅÕèÂ¹áººÇ§¡ÅÁ (Circular Permutation)ÊÔè§¢Í§·Ñé§ËÁ´ n ÊÔè§ «Öè§¹íÒÁÒ¨Ñ´àÃÕÂ§à»š¹Ç§¡ÅÁ

จานวนวธ = (n - 1)!

หลกการคด

กาหนดใหสงของ 1 สงเปนหลก แลวจดเรยงสงของท

เหลอ n - 1 สง

µÑÇÍÂ‹Ò§

µŒÍ§¡ÒÃ Ñ´¤¹ 10 ¤¹ ãËŒ¹Ñè§àÃÕÂ§à»š¹Ç§¡ÅÁ ¨Ð Ñ´ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ

หลกการ - จดคน 1 คน ยนเปนหลก

- จดเรยงคนทเหลอ 9 คน

∴ จานวนวธ = (10 - 1)!

= 9!

= 362,880 วธ

µÑÇÍÂ‹Ò§ »ÃÐªØÁ¤ÃÑé§Ë¹Öè§ÁÕ¼ÙŒà¢ŒÒÃ‹ÇÁ»ÃÐªØÁà»š¹à¾ÈªÒÂ 3 ¤¹áÅÐËÞÔ§ 3 ¤¹ ¨§

ËÒ íÒ¹Ç¹ÇÔ¸Õ·Ñé§ËÁ´ã¹¡ÒÃ Ñ´¼ÙŒà¢ŒÒÃ‹ÇÁ»ÃÐªØÁ¹Ñè§ÃÍºâµ�Ð¡ÅÁ

หลกการ - ไมไดสนใจวา ชาย/หญง แตกตางกน

- จดเรยงคน 6 คนเปนวงกลม

∴ จานวนวธ = (6 - 1)! = 5!

= 120 วธ

ÇÔ¸Õ¡ÒÃ¨Ñ´ËÁÙ‹ (Combination)

สงของทงหมด n สง นามาจดกลมเพยง r สง

สงของภายในกลม r สงไมตองจดเรยง

สญลกษณ nCr หรอ C(n,r) หรอ Cn,r หรอ nr

= C(n,r) n!r! (n-r)!

ÇÔ¸Õ¡ÒÃ¨Ñ´ËÁÙ‹ (Combination)

กรณสงของ n สง นามาจดกลม k กลม โดยแตละกลมมจานวน n1

, n2 , … , nk สง และ n1 ≠ n2 ≠ … ≠ nk

จานวนวธ1 2 k

n!n!n! n !=

กรณสงของ n สง นามาจดกลม k กลม โดยแตละกลมมจานวน

n1 , n2 , … , nk สง และ n1 = n2 = … = nk

จานวนวธ1 2 kn!

n!n n ! !! k=

µÑÇÍÂ‹Ò§

¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒËŒÍ§Ë¹Öè§ÁÕ 30 ¤¹ µŒÍ§¡ÒÃàÅ×Í¡¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒÁÒ 6 ¤¹ ¨ÐàÅ×Í¡ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ

หลกการ - เลอกมาเฉย ๆ (ไมไดจดเรยง) ∴ จดกลม

n = 30 r = 6

( )= 306∴ จานวนวธ

= 30!6! (30-6)!

= 593,775

= C(n,r) n!r! (n-r)!

µÑÇÍÂ‹Ò§ã¹¡ÒÃá¢‹§¢Ñ¹¿ØµºÍÅ¤ÃÑé§Ë¹Öè§ÁÕ·ÕÁà¢ŒÒá¢‹§·Ñé§ËÁ´ 10 ·ÕÁà¢ŒÒ

á¢‹§áºº¾º¡Ñ¹ËÁ´ ¨§ËÒÇ‹Ò¼ÙŒ Ñ´¡ÒÃá¢‹§¢Ñ¹¨ÐµŒÍ§·íÒ¡ÒÃá¢‹§¢Ñ¹¡Õè¤ÃÑé§ หลกการ - เลอกมาครงละ 2 ทม

n = 10 r = 2

( )= 102∴ จานวนวธ

= 10!2! (10-2)!

= 45

= C(n,r) n!r! (n-r)!

µÑÇÍÂ‹Ò§ ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ¤¹Ë¹Öè§µŒÍ§¡ÒÃ Ñ´ÇÑ¹ã¹Ë¹Öè§ÊÑ»´ÒË�à¾×èÍ·íÒ¡Ô¨¡ÃÃÁ´Ñ§¹Õé

Í‹Ò¹Ë¹Ñ§Ê×Í 4 ÇÑ¹ ¾Ñ¡¼‹Í¹ 1 ÇÑ¹ áÅÐÍÍ¡¡íÒÅÑ§¡ÒÂ 2 ÇÑ¹ ¨ÐÁÕÇÔ¸ÕÑ´ÇÑ¹ÊíÒËÃÑº¡Ô¨¡ÃÃÁàËÅ‹Ò¹Õéä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ

หลกการ - จดกลมวน 3 กลม - 4 วน, 1 วน, 2 วน

n = 4+1+2 = 7 n1 = 4 , n2 = 1 , n3 = 2

1 2 3n!= n!n!n! ∴ จานวนวธ

= 7!4! 1!2!

= 105

µÑÇÍÂ‹Ò§ áº‹§¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 12 ¤¹ ÍÍ¡à»š¹ 3 ¡ÅØ‹Á ¡ÅØ‹ÁÅÐà·‹Òæ ¡Ñ¹ ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ

หลกการ - แบง 3 กลม กลมละ 4 คน

n = 12 n1 = 4 , n2 = 4 , n3 = 4 k = 3

1 2 3n!= n!n!n!k! ∴ จานวนวธ

= 12!4! 4!4! 3!

= 5,775

ม 4 ซา

กน 3 ตว

µÑÇÍÂ‹Ò§ ÁÕ¤¹§Ò¹ÍÂÙ‹ 12 ¤¹ áº‹§ÍÍ¡à»š¹ 3 ¡ÅØ‹Á à¾×èÍ·íÒ§Ò¹ 3 ªÔé¹ â´ÂãËŒ

¤¹§Ò¹ 3 ¤¹ ·íÒ§Ò¹ªÔé¹·ÕèË¹Öè§ ¤¹§Ò¹ 4 ¤¹ ·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè 2 áÅÐÍÕ¡ 5 ¤¹·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè 3 ¨Ð·íÒä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ

หลกการ - แบง 3 กลม กลมละ 3 , 4 , 5 คน

n = 12 n1 = 3 , n2 = 4 , n3 = 5

1 2 3n!= n!n!n! ∴ จานวนวธ

= 12!3! 4!5!

= 27,720

µÑÇÍÂ‹Ò§ ÁÕ¤¹§Ò¹ÍÂÙ‹ 12 ¤¹ áº‹§ÍÍ¡à»š¹ 3 ¡ÅØ‹Á à¾×èÍ·íÒ§Ò¹ 3 ªÔé¹ â´ÂãËŒ

¤¹§Ò¹ 3 ¤¹ ·íÒ§Ò¹ªÔé¹·ÕèË¹Öè§ ¤¹§Ò¹ 4 ¤¹ ·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè 2 áÅÐÍÕ¡ 5 ¤¹·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè 3 ¨Ð·íÒä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ

วธท 2 n = 12 n1 = 3 , n2 = 4 , n3 = 5

( )123= ∴ จานวนวธ

× ×= 12! 9! 5!3! 9! 4! 5! 5! 0!

= 27,720

( )94 ( )5

5

= 12!3! 4!5!

¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹ (Probability)

µÑÇàÅ¢ºÍ¡âÍ¡ÒÊ¡ÒÃà¡Ô´¢Öé¹¢Í§àËµØ¡ÒÃ³�Ç‹Ò ÁÒ¡/¹ŒÍÂ à¾ÕÂ§ã´

ให n(E) - จานวนสมาชกในเหตการณ E

n(S) - จานวนสมาชกในแซมเปลสเปซ

P(E) - ความนาจะเปนของเหตการณ E

: สมาชกใน S มโอกาสเกดขนเทา ๆ กน (Equally

likely outcomes)

n(E)P(E) = n(S)

o ãËŒ A à»š¹àËµØ¡ÒÃ�ã´ æ

ความนาจะเปนมคาระหวาง 0 กบ 1 (0 ≤ P(A) ≤1)

ความนาจะเปน S มคาเทากบ 1 (P(S) = 1)

ความนาจะเปนของเหตการณทเปนไปไมไดเปนศนย (P(φ) = 0)

ถาเหตการณ A และเหตการณ B เปนเหตการณไมเกดรวมกน

P(A∪B) = P(A) + P(B)

A1 , A2 , A3 , ... เปนเหตการณทไมเกดรวมกนตามลาดบ

จะได

·ÄÉ®Õ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹o ãËŒ A à»š¹àËµØ¡ÒÃ³�ã´ æ

¶ŒÒàËµØ¡ÒÃ³� A áÅÐàËµØ¡ÒÃ³� B à»š¹àËµØ¡ÒÃ³�à¡Ô´Ã‹ÇÁ¡Ñ¹

¶ŒÒ A, B áÅÐ C à»š¹àËµØ¡ÒÃ³�ã´ æ ã¹á«Áà»�ÅÊà»« S áÅŒÇ

µÑÇÍÂ‹Ò§กลองใบหนงบรรจบอลสขาว 4 ลก ดา 3 ลก ถาทาการสมหยบลกบอลมา 2

ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนของการหยบบอลสขาวไดทง 2 ลก

ให S - แซมเปลสเปซของการหยบลกบอล 2 ลก

E - เหตการณทหยบไดสขาวทง 2 ลก

ให P(E) - ความนาจะเปนของเหตการณทหยบไดสขาวทง 2 ลก

ขาว - 4 , ดา - 3

หยบใหไดขาว

หยบเฉพาะ ขาว

n(S) = C(7,2) = 21 n(E) = C(4,2) = 6

7!= 2!(7-2)!4!= 2!(4-2)!

µÑÇÍÂ‹Ò§

n(S) = 21 n(E) = 6

n(E)P(E) = n(S)6= 212= 7

= 0.2857

µÑÇÍÂ‹Ò§ตองการเลอกคณะกรรมการ 3 คน จากนกศกษาคณะวศวะฯ 4 คน

และนกศกษาคณะบรหารฯ 3 คน จงหาความนาจะเปนทจะได

คณะกรรมการเปนนกศกษาคณะวศวะฯ 2 คน และนกศกษาคณะ

บรหารฯ 1 คน

ให S - เลอก 3 คนจากทงหมด 7 คน

E - เลอกวศวะ 2 คน และ เลอกบรหาร 1 คน

วศวะ - 4 , บรหาร - 3

สนใจ - วศวะ 2 คน เลอกเฉพาะวศวะ 2 คน

- บรหาร 1 คน เลอกเฉพาะบรหาร 1 คน

µÑÇÍÂ‹Ò§

ให S - เลอก 3 คนจากทงหมด 7 คน

E - เลอกวศวะ 2 คน และ เลอกบรหาร 1 คน

n(S) = C(7,3) = 35

วศวะ - 4 , บรหาร - 3 ,

n(E1) = C(4,2) = 6

E1 เลอกวศวะ 2 จาก 4 คน

n(E2) = C(3,1) = 3

E2 เลอกบรหาร 1 จาก 3 คน

n(E) = n(E1) × n(E2)

= 6 × 3 = 18

n(E)P(E) = n(S)18= 35

7!= 3!(7-3)!

4!= 2!(4-2)!

3!= 1!(3-1)!

µÑÇÍÂ‹Ò§ขอสอบวชาสถตเบองตนม 8 ขอ ผเขาสอบทกคนจะตองทาขอสอบ

ขอแรก และเลอกทาขออนๆ อก 5 ขอ รวมเปน 6 ขอ จงหาความ

นาจะเปนทผเขาสอบจะไมทาขอสอบขอสดทาย

ขน 1 เลอกขอแรกได 1 วธ

ขน 2 เลอก 5 ขอ จากทเหลอ 8 - 1 = 7 ขอ

ไดวธ = C(7,5) = 21 วธ

n(s) = 1 × 21 = 21 วธ

ตองทาขอแรก เลอกขอแรกไวกอน แลวเลอกขออน

ไมทาขอสดทาย ไมตองนามาใหเลอก

µÑÇÍÂ‹Ò§ขอสอบ 8 ขอ ตองทาขอแรก และขออนอก 5 ขอ รวมเปน 6 ขอ

สนใจ → ไมทาขอสอบขอสดทาย

ขน 1 เลอกขอแรกได 1 วธ

ขน 2 เลอก 5 ขอ จากทเหลอและยกเวนขอสดทาย

8 - 1 - 1 = 6 ขอ

ไดวธ = C(6,5) = 6 วธ

n(E) = 1 × 6 = 6 วธ n(s) = 21

n(E)P(E) = n(S)6= 21

2= 7

µÑÇÍÂ‹Ò§

รานขายวทยเทปแหงหนง มวทยเทป จานวนทงหมด 15 เครอง จะม

ตาหนอย 2 เครอง นอกนนเปนเครองด สานกงานแหงหนงสงซอ

วทยเทปจากรานนอยางสม 3 เครอง จงหาความนาจะเปนไดเครองท

มตาหนอยางนอย 1 เครอง

ม 15 เครอง เลอก 3 เครอง

n(S) = C(15,3) = 455

ไดเครองตาหนอยางนอย 1 เครอง ตองไมไดเครองดหมด

µÑÇÍÂ‹Ò§รานขายวทยเทปม 15 เครอง ตาหน - 2 เครอง (ด - 13 เครอง) สม 3

เครอง สนใจไดเครองทมตาหนอยางนอย 1 เครอง

n(E1) = C(2,1) ×C(13,2)

= 2 × 78

= 156

n(E2) = C(2,2) ×C(13,1)

= 1 × 13

= 13

n(E) = n(E1) + n(E2) = 156 + 13 = 169

µÑÇÍÂ‹Ò§

รานขายวทยเทปม 15 เครอง ตาหน - 2 เครอง (ด - 13 เครอง) สม 3

เครอง สนใจไดเครองทมตาหนอยางนอย 1 เครอง

n(S) = 455n(E) = 169

n(E)P(E) = n(S)169= 455

13= 35

µÑÇÍÂ‹Ò§อาสาสมครทจะไปดแลผสงอายประกอบดวยผชาย 8 คน ผหญง 10

คน จะเลอกอาสาสมครมา 4 คน จงหาความนาจะเปนทจะเปน

ผหญงอยางนอยทสด 2 คน

ม 18 คน เลอก 4 คน

n(S) = C(18,4) = 3,060

หญงอยางนอย 2 คน หญง 2 หรอ หญง 3 หรอ หญง 4

หญง 2 คน ⇒ ชาย 2 คน

เลอกหญง จานวนวธ = C(10,2) = 45

เลอกชายจานวนวธ = C(8,2) = 28

n(E2) = 45 × 28 = 1,260 วธ

18!= 4!(18-4)! 10!= 2!(10-2)!8!= 2!(8-2)!

µÑÇÍÂ‹Ò§อาสาสมคร ผชาย 8 คน ผหญง 10 คน เลอก4 คน สนใจเปนผหญงอยาง

นอยทสด 2 คน

n(S) = 3,060 n(E2) = 1,260



เลอกชายจานวนวธ = C(8,1) = 8

n(E3) = 120 × 8 = 960 วธ



เลอกชาย จานวนวธ = C(8,0) = 1

10!= 3!(10-3)!8!= 1!(8-1)!

10!= 4!(10-4)!8!= 0!(8-0)!

n(E4) = 210 × 1 = 210 วธ

µÑÇÍÂ‹Ò§

อาสาสมคร ผชาย 8 คน ผหญง 10 คน เลอก4 คน สนใจเปนผหญงอยาง

นอยทสด 2 คน

n(S) = 3,060 n(E4) = 210

n(E) = n(E2) + n(E3) + n(E4)

= 1,260 + 960 + 210

= 2,430

n(E2) = 1,260 n(E3) = 960

n(E)P(E) = n(S)2,430= 3,060

µÑÇÍÂ‹Ò§นสตมโอกาสท สอบผานวชาสถตมคาความนาจะเปนเทากบ

0.6 ผานวชาคณตศาสตรมคานาจะเปนเทากบ 0.7 และสอบ

ผานทงสองวชาดวยคาความนาจะเปนเทากบ 0.5 จงคานวณหา

ความนาจะเปนทนสตสอบผานวชาสถตหรอวชาคณตศาสตรมคา

เทาใดA - ÊÍº¼‹Ò¹Ê¶ÔµÔ , B - ÊÍº¼‹Ò¹¤³Ôµ

P(A) = 0.6 , P(B) = 0.7 , P(A∩B) = 0.5 , P(A∪B) = ?

µÑÇÍÂ‹Ò§ในหมบานแหงหนง มประชากร 100 ครอบครว ทกครอบครว

ตางกมอาชพอยางนอย 1 อยาง จากการสารวจพบวา

อาชพทาสวนลาไย 52 ครอบครว

อาชพทาสวนลนจ 42 ครอบครว

อาชพทาสวนมะมวง 53 ครอบครว

ทาสวนลาไยและลนจ 14 ครอบครว

ทาสวนลาไยอยางเดยว 22 ครอบครว

ทาสวนลนจอยางเดยว 15 ครอบครว

ทาอาชพทง 3 อยาง 4 ครอบครว

A - ลาไย , B - ลนจ , C - มะมวง

n(A) = 52n(B) = 42

n(C) = 53

n(A∩B) = 14

n(A-(B∪C)) = 22

n(B-(A∪C)) = 15

n(A∩B∩C) = 4

¨Ò¡â¨·Â� n(A) = 52 n(B) = 42 n(C) = 53n(A∩B) = 14 n(A-(B∪C)) = 22 n(B-(A∪C) = 15

n(A∩B∩C) = 4

A B

C

4

10

16 13

22 15

20

100

52 - 22 - 10 - 4 = 16

n(A-(B∪C)) = 22

53 - 16 - 4 - 13 = 20

n(B-(A∪C) = 15

14 - 4 = 10

42 - 15 - 10 - 4 = 13

ÅíÒäÂ ÅÔé¹¨Õè

ÁÐÁ‹Ç§

410

16 13

22 15

100

20

¡. ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹¢Í§¡ÒÃ·íÒÊÇ¹ÁÐÁ‹Ç§ÍÂ‹Ò§à´ÕÂÇ 20= 100 = 0.20

¢. ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹¢Í§¡ÒÃ·íÒÊÇ¹ÅÔé¹¨ÕèáÅÐÁÐÁ‹Ç§ 4+13= 100 = 0.17

¤. ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹¢Í§¡ÒÃ·íÒÊÇ¹ÁÐÁ‹Ç§ËÃ×ÍÅíÒäÂ22+10+4+16+13+20= 100 = 0.85

20

µÑÇÍÂ‹Ò§

o ÁÕ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 30 ¤¹ªÍº¡ÕÌÒÇÍÅàÅÂ�ºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 20 ¤¹ªÍº¡ÕÌÒ¿ØµºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÒÂ 8 ¤¹ªÍº¡ÕÌÒÇÍÅàÅÂ�ºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 6 ¤¹ ªÍº·Ñé§¡ÕÌÒÇÍÅàÅÂ�ºÍÅ

áÅÐ¿ØµºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÒÂ 12 ¤¹ ªÍº¡ÕÌÒ¿ØµºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÒÂ 3 ¤¹ ªÍº·Ñé§¡ÕÌÒ

ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅÐ¿ØµºÍÅV - ÇÍÅàÅÂ� , F - ¿ØµºÍÅ , M - ªÒÂ , W - ËÞÔ§

n(V) = 30

n(F) = 20

n(M | V) = 8

n(V∩F) = 6

n(M | F) = 12

n(M | V∩F) = 3

¨Ò¡¡ÒÃÊíÒÃÇ¨¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 100 ¤¹ à»š¹ªÒÂ 60 ¤¹ ËÞÔ§ 40 ¤¹ ¾ºÇ‹Ò

¨§ËÒ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹·Õè¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 1 ¤¹ äÁ‹ªÍº·Ñé§ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅÐ¿ØµºÍÅ

µÑÇÍÂ‹Ò§

6n(F) = 20

n(M | V) = 8n(V∩F) = 6n(M | F) = 12n(M | V∩F) =

3

¨Ò¡¡ÒÃÊíÒÃÇ¨¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 100 ¤¹ à»š¹ªÒÂ 60 ¤¹ ËÞÔ§ 40 ¤¹ ¾ºÇ‹Ò ªÒÂ-

60

ËÞÔ§-40

V F3 9

3

5

19 5

¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 1 ¤¹ äÁ‹ªÍº·Ñé§ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅÐ¿ØµºÍÅ äÁ‹ÍÂÙ‹ã¹Ç§¡ÅÁ¨íÒ¹Ç¹¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒäÁ‹ªÍº·Ñé§ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅÐ¿ØµºÍÅ

= 100 - ( 5 + 3 + 9 + 19 + 3 + 5 ) = 56

6 - 3 = 3

12 - 3 = 98 - 3 = 5

20 - 3 - 9 - 3 = 5

n(V) = 3030 - 5 - 3 - 3 =

19

¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹·Õè¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 1 ¤¹ äÁ‹ªÍº·Ñé§ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅÐ¿ØµºÍÅ

= 0.5656= 100

µÑÇÍÂ‹Ò§

42 ¤¹ àÃÕÂ¹¤³ÔµÈÒÊµÃ�

68 ¤¹ àÃÕÂ¹à¢ÕÂ¹áºº

54 ¤¹ àÃÕÂ¹ºÑÞªÕ

22 ¤¹ àÃÕÂ¹·Ñé§¤³ÔµÈÒÊµÃ�áÅÐºÑÞªÕ

25 ¤¹ àÃÕÂ¹·Ñé§¤³ÔµÈÒÊµÃ�áÅÐà¢ÕÂ¹áºº

7 ¤¹ àÃÕÂ¹ºÑÞªÕáµ‹äÁ‹àÃÕÂ¹·Ñé§¤³ÔµÈÒÊµÃ� áÅÐà¢ÕÂ¹áºº

10 ¤¹ àÃÕÂ¹·Ñé§ÊÒÁÇÔªÒ

8 ¤¹ äÁ‹àÃÕÂ¹ÇÔªÒã´àÅÂã¹ÊÒÁÇÔªÒ¹Õé

n(M) = 42

n(D) = 68n(A) = 54

n(M∩A) = 22n(M∩D) = 25n(A-(M∪D) = 7

¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÑé¹»‚·Õè 1 ¨íÒ¹Ç¹ 100 ¤¹ ä´ŒàÅ×Í¡àÃÕÂ¹ÇÔªÒµ‹Ò§æ ´Ñ§¹Õé

M – ¤³ÔµÈÒÊµÃ�, D - à¢ÕÂ¹áºº , A - ºÑÞªÕ

n(M∩D∩A) = 10n(S-(M∪D∪A)) = 8

µÑÇÍÂ‹Ò§

n(M) = 42n(D) = 68n(A) = 54

n(M∩A) = 22n(M∩D) = 25

n(A-(M∪D) = 7

¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÑé¹»‚·Õè 1 ¨íÒ¹Ç¹ 100 ¤¹ ä´ŒàÅ×Í¡àÃÕÂ¹ÇÔªÒµ‹Ò§æ ´Ñ§¹Õé

n(M∩D∩A) = 10n(S-(M∪D∪A)) = 8

M D

A

10

15

12

5 18

7

100

68 - 15 - 10 - 25 = 1842 - 15 - 10 - 12 =

554 - 12 - 10 - 7 = 25

25

µÑÇÍÂ‹Ò§M D

A

1015

12 25

5 18

7

100

¨§ËÒ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ðà»š¹

• àÃÕÂ¹à¢ÕÂ¹áººÍÂ‹Ò§à´ÕÂÇ

• àÃÕÂ¹¤³ÔµÈÒÊµÃ�áÅÐà¢ÕÂ¹áººáµ‹äÁ‹àÃÕÂ¹ºÑÞªÕ

• àÃÕÂ¹ºÑÞªÕáÅÐà¢ÕÂ¹áººáµ‹äÁ‹àÃÕÂ¹¤³ÔµÈÒÊµÃ�

• àÃÕÂ¹¤³ÔµÈÒÊµÃ�ÍÂ‹Ò§à´ÕÂÇ

18= 100 = 0.18

15= 100 = 0.15

25= 100 = 0.25

5= 100 = 0.05

Documents

บทที่ 3 ความน่าจะเป็นเบื้องต้น