º··Õè 3
¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹àº×éͧµŒ¹
૵áÅСÒôíÒà¹Ô¹¡ÒÃÃÐËNjҧ૵
¡ÅØ‹Á ËÁÙ‹ ½Ù§ËÃ×ͪش
• ૵·Õè¹ÔÂÒÁªÑ ਹ (Well - defined set) ¤×Í à«µ·ÕèÊÒÁÒöºÍ¡ÊÁÒªÔ¡¢Í§à«µä Œ
ઋ¹ A = {2, 4, 6, 8, 10} • ૵Njҧ (Empty set ËÃ×Í Null set)
• ÊÑÞÅѡɳ� φ (Í‹Ò¹Ç‹Ò phi) ËÃ×Í { }
૵áÅСÒôíÒà¹Ô¹¡ÒÃÃÐËNjҧ૵
• ૵¨íÒ¡Ñ (Finite set)
• ૵·ÕèÁÕ¨íҹǹÊÁÒªÔ¡¨íҡѴṋ¹Í¹
• ૵͹ѹµ� (Infinite set)
• ૵·ÕèÁÕ¨íҹǹÊÁÒªÔ¡äÁ‹¨íҡѴṋ¹Í¹
• ¨Ñ¡ÃÇÒÅ૵ (Universal set) ËÃ×Í àÍ¡À¾ÊÑÁ¾Ñ·¸�
• ૵·Õè໚¹¢Íºà¢µ·Ñé§ËÁ´·Õèʹã¨ÈÖ¡ÉÒ
• ÊÑÞÅѡɳ� U
૵áÅСÒôíÒà¹Ô¹¡ÒÃÃÐËNjҧ૵
(Element)
ÊÔ觷ÕèÍÂÙ‹ã¹à«µ¨íҹǹÊÁÒªÔ¡ã¹à«µ 㪌ÊÑÞÅѡɳ� n(A)ઋ¹ ૵ A = {3, 5, 7}
à¢Õ¹᷹ ŒÇ n(A) = 3
૵ B = {0}à¢Õ¹᷹ ŒÇ n(B) = 1
૵ C = φà¢Õ¹᷹ ŒÇ n(C) = 0
¡ÒôíÒà¹Ô¹¡ÒÃÃÐËNjҧ૵ (Set Operation)
: ∪¤×Í à«µ·Õè»ÃСͺ仴ŒÇÂÊÁÒªÔ¡¢Í§ A ËÃ×ÍÊÁÒªÔ¡¢Í§ B
ÂÙà¹Õ¹¢Í§ A áÅÐ B à¢Õ¹᷹´ŒÇ A ∪ B
ઋ¹ A = { a, b, c } áÅÐB = { b, c, d, e, f }
A ∪ B = { a, b, c, d, e, f }
A B
á¼¹ÀÒ¾àǹ¹� (venn diagram)
a b c
d e
f
¡ÒôíÒà¹Ô¹¡ÒÃÃÐËNjҧ૵ (Set Operation)
: ∩¤×Í à«µ·Õè»ÃСͺ仴ŒÇÂÊÁÒªÔ¡«Öè§à»š¹ÊÁÒªÔ¡¢Í§·Ñé§ A áÅÐ
B
ÍÔ¹àµÍÃ�à«¡ªÑ¹¢Í§ A áÅÐ B à¢Õ¹᷹´ŒÇ A ∩ B
ઋ¹ A = { a, b, c } áÅÐ B = { b, c, d, e, f }
A ∩ B = { b, c }
bc a d
ef
¡ÒôíÒà¹Ô¹¡ÒÃÃÐËNjҧ૵ (Set Operation)
¤×Í à«µ·Õè»ÃСͺ´ŒÇÂÊÁÒªÔ¡·Ñé§ËÁ´·ÕèÍÂÙ‹ã¹ A ᵋäÁ‹ÍÂÙ‹ã¹ B
¼Åµ‹Ò§¢Í§à«µ A áÅÐ B à¢Õ¹᷹´ŒÇÂÊÑÞÅѡɳ� A - B
ઋ¹ A = {3, 4, 5, 6}, B = {7, 8} áÅÐ C = {5, 6, 7}
A B C B63
87
45 5 78
6
A - B = {3, 4, 5, 6} B - C = { 8 }
¡ÒôíÒà¹Ô¹¡ÒÃÃÐËNjҧ૵ (Set Operation)
: / ËÃ×Í C
¤×Í ¤ÍÁ¾ÅÕàÁ¹µ�¢Í§ A ¤×Í à«µ·Õè»ÃÐ¡Íºä» ŒÇÂÊÁÒªÔ¡¢Í§àÍ¡À¾ÊÑÁ¾Ñ· � ᵋäÁ‹à»š¹ÊÁÒªÔ¡¢Í§ A
¤ÍÁ¾ÅÕàÁ¹µ�¢Í§ A à¢Õ¹᷹ ŒÇÂÊÑÞÅѡɳ� U - A ËÃ×Í A′ ËÃ×Í AC
ઋ¹ ¶ŒÒ U = {0, 1, 2, 3, 4, 5}, A = {0, 3 ,5} áÅÐ B = {1, 5}
A′ 0
35
1
2 4
B′ 1
502
3
4
A′ = {1, 2, 4 } B′ = { 0, 2, 3, 4 }
µÑÇÍ‹ҧ
¡íÒ˹´ãËŒ U = { a, b, c, d, e, f, g} ,
A = {a, b, c, d, e} B = { a, c, e, g} C = { b, e, f, g} 1) A ∪ C
2) B ∩ A3) C - B
4) B/ ∪ C ;
5) C/ ∩ A ;
= {a, b, c, d, e, f, g}= {a, c, e}
= {b, f}
B/ = {b, d, f}∴ B/ ∪ C = {b, d, e, f, g} C/ = {a, c, d}
∴ C/ ∩ A = {a, c, d}
íҹǹÊÁÒªÔ¡¢Í§ A∪B : n(A∪B)
¨Ò¡á¼¹ÀÒ¾àǹ¹�
n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
A B
¨íҹǹÊÁÒªÔ¡¢Í§ A∪B∪C ËÃ×Í n(A∪B∪C )
¨Ò¡á¼¹ÀÒ¾àǹ¹�
A B
C
n (A∪B∪C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A∩B) - n(A∩C) -n(B∩C) + n(A∩B∩C)
µÑÇÍ‹ҧ
¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒã¹ËŒÍ§Ë¹Öè§ 45 ¤¹ ªÍºàÅ‹¹¡ÕÌÒ 28 ¤¹ ªÍºàÅ‹¹´¹µÃÕ 21 ¤¹ áÅйѡÈÖ¡ÉÒ·ÕèªÍºàÅ‹¹·Ñ駡ÕÌÒáÅд¹µÃÕ 7 ¤¹ ¨§ËÒ¨íҹǹ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ·ÕèªÍºàÅ‹¹¡ÕÌÒËÃ×Í´¹µÃÕ
¨Ò¡ n(A∪B) = n(A) + n(B) - n(A∩B)
¨Ò¡â¨·Â�
ãËŒ A - ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉҪͺàÅ‹¹¡ÕÌÒ ∴n(A) = 28
B - ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉҪͺàÅ‹¹´¹µÃÕ ∴n(B) = 21
A∩B - ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉҪͺàÅ‹¹·Ñ駡ÕÌÒáÅд¹µÃÕ ∴n(A∩B) = 7
´Ñ§¹Ñé¹ n(A∪B) = 28 + 21 - 7
= 42
µÑÇÍ‹ҧ
¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ¨íҹǹ 120 ¤¹ 䴌ŧ·ÐàºÕ¹àÃÕ¹ 3 ÇÔªÒ ¤×Í ÇÔªÒ Ê¶ÔµÔ (S) á¤Å¤ÙÅÑÊ (C) áÅÐ ÀÒÉÒÍѧ¡ÄÉ (E) ´Ñ§¹Õé àÃÕ¹ÇÔªÒÊ¶ÔµÔ 47 ¤¹ àÃÕ¹ÇÔªÒá¤Å¤ÙÅÑÊ 56 ¤¹ àÃÕ¹ÇÔªÒÀÒÉÒÍѧ¡ÄÉ 59 ¤¹ àÃÕ¹ÇÔªÒʶԵÔáÅÐá¤Å¤ÙÅÑÊ 20 ¤¹ àÃÕ¹ÇÔªÒʶԵÔáÅÐÀÒÉÒÍѧ¡ÄÉ 21 ¤¹ àÃÕ¹ÇÔªÒá¤Å¤ÙÅÑÊáÅÐÀÒÉÒÍѧ¡ÄÉ 26 ¤¹ àÃÕ¹·Ñé§ÊÒÁÇÔªÒ¹Õé 11 ¤¹
¨Ò¡â¨·Â�
n(S) = 47 n(C) = 56 n(E) = 59
n(S∩C) = 20
n(S∩E) = 21 n(C∩E) = 26
n(S∩C∩E) = 11
¨Ò¡â¨·Â� n(S) = 47 n(C) = 56 n(E) = 59n(S∩C) = 20 n(S∩E) = 21 n(C∩E) = 26
n(S∩C∩E) = 11
S C
E
11
9
10
15
17
21
23
120
20 - 11 = 926 - 11 =
1521 - 11 =
10
56-9-11-15 = 21
47-9-11-10 = 17
59-10-11-15 = 23
àÃÕ¹ÇÔªÒʶԵÔÍ‹ҧà ÕÂÇ
àÃÕ¹ÇÔªÒá¤Å¤ÙÅÑÊÍ‹ҧà ÕÂÇ
àÃÕ¹ÇÔªÒÀÒÉÒÍѧ¡ÄÉÍ‹ҧà ÕÂÇ
àÃÕ¹ÇÔªÒá¤Å¤ÙÅÑÊáÅÐÀÒÉÒÍѧ¡ÄÉ áµ‹äÁ‹àÃÕ¹ÇÔªÒʶԵÔ
àÃÕ¹à¾Õ§ÊͧÇÔªÒà·‹Ò¹Ñé¹
äÁ‹àÃÕ¹·Ñé§ÊÒÁÇÔªÒ
S C
E
11
910 15
17 21
23
120= 17 ¤¹
= 21 ¤¹
= 23 ¤¹
= 15 ¤¹
= 9 + 15 + 10 = 34 คน
= 120 -(17+21+23+9+15+10+11)
= 14 ¤¹
120
¡Ò÷´ÅͧàªÔ§ÊØ‹Á á«Áà»�ÅÊ໫ áÅÐ à˵ءÒó�
¡Ò÷´Åͧ·ÕèäÁ‹ÊÒÁÒö·ÃÒº¼ÅÅѾ �ËÃ×ͼŷÕèà¡Ô´¢Öé¹ä´ŒÍ‹ҧṋ¹Í¹ ᵋÊÒÁÒöºÍ¡¢Íºà¢µ¢Í§¤ÇÒÁ໚¹ä»ä´Œ
૵¢Í§¼ÅÅѾ �·Õè໚¹ä»ä´Œ·Ñé§ËÁ´·Õèà¡Ô´¨Ò¡¡Ò÷´ÅͧàªÔ§ÊØ‹Á
à¢Õ¹᷹´ŒÇ S
µÑÇÍ‹ҧ
â¹àËÃÕÂÞ 2 Íѹ ãËŒ H - ËÑÇ áÅÐ T - ¡ŒÍÂ
S = {HH, HT, TH, TT}
â¹ÅÙ¡àµŽÒ 2 ÅÙ¡ S = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,1), (2,2),
(2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (4,1), (4,2), (4,3), (4,4), (4,5), (4,6),(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6), (6,1), (6,2), (6,3), (6,4), (6,5), (6,6) }
¡Ò÷´ÅͧàªÔ§ÊØ‹Á á«Áà»�ÅÊ໫ áÅÐ à˵ءÒó�
૵¢Í§¼ÅÅѾ �·ÕèàÃÒʹ㨨ҡ¡Ò÷´ÅͧàªÔ§ÊØ‹Á
ÊѺ૵ËÃ×Í૵‹Í¢ͧá«Áà»�ÅÊ໫
ตวอยาง สมตรวจหลอดไฟ 2 หลอด วาแตละหลอดมสภาพด
หรอเสย จงหาเหตการณทพบหลอดไฟดทง 2 หลอด
S = { ดด , ดเสย , เสยด , เสยเสย
} A - พบหลอดไฟดทง 2 หลอด
A = { ดด }
à·¤¹Ô¤¡ÒùѺ (Counting Techniques)
¡®¢Í§¡Òäٳ (Multiplicative Rule)
¡®¢Í§¡Òúǡ (Additive Rule)
• ᵋÅÐà˵ءÒó�·Õèà¡Ô´¢Ö鹡ÃзíÒµ‹Íà¹×èͧ¡Ñ¹à»š¹¢Ñé¹æ
¢Ñ鹵͹¢Í§¡Ò÷´Åͧ k ¢Ñ鹵͹
¢Ñ鹵͹·Õè 1, 2, ... , k ÁÕ íҹǹ¼ÅÅѾ¸�ᵋÅТÑé¹à»š¹ n1, n2,..., nk
¨íҹǹ¼ÅÅѾ¸�·Ñé§ËÁ´ = n1 × n2 × ... × nk ÇÔ Õ
µÑÇÍ‹ҧ
·Ò§à´Ô¹àª×èÍÁÃÐËÇ‹Ò§¤³ÐÇÔÈÇÐáÅФ³ÐºÃÔËÒÃÁÕ 4 ÊÒ áÅзҧà´Ô¹àª×èÍÁ¨Ò¡¤³ÐºÃÔËÒö֧¤³ÐÇÔ·Â�ÁÕ 5 ÊÒ ¡ÒÃà´Ô¹·Ò§¨Ò¡¤³ÐÇÔÈÇÐ令³ÐÇÔ·Â�â´ÂãËŒ¼‹Ò¹¤³ÐºÃÔËÒèÐà´Ô¹·Ò§ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ
วศวะ บรหาร วทย
การเดนทางจากคณะวศวะไปคณะวทยโดยใหผานคณะบรหาร
จะเดนทางได = 4 × 5 = 20 วธ
µÑÇÍ‹ҧ
µŒÍ§¡ÒûÃѺ»ÃاË;ѡâ´ÂµŒÍ§¡ÒüٌÃѺàËÁÒà¡ÕèÂǡѺÃкº»ÃÐ»Ò áÅÐÃкºä¿¿‡Ò ¶ŒÒÁÕ¼ÙŒÃѺàËÁÒÃкº»ÃлÒÍÂÙ‹ 12 ÃÒ áÅмٌÃѺàËÁÒÃкºä¿¿‡ÒÍÂÙ‹ 9 ÃÒ ¨ÐÁÕÇÔ¸Õ¡ÒÃàÅ×Í¡¼ÙŒÃѺàËÁÒä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ
วธการเลอกผรบเหมา = 12 × 9 = 108 วธ
ม 2 ขนตอน
⇒ เลอกผรบเหมาประปา และ เลอกผรบเหมาไฟฟา
µÑÇÍ‹ҧ
¹ÒÂÊÁ⪤ÁÕàÊ×éÍ 5 µÑÇ ¡Ò§à¡§ 4 µÑÇ áÅÐÃÍ§à·ŒÒ 2 ¤Ù‹ à¢Ò¨ÐàÅ×Í¡ÊÇÁàÊ×éÍ ¡Ò§à¡§ áÅÐÃÍ§à·ŒÒ ·Õèᵡµ‹Ò§¡Ñ¹ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ
วธเลอก = 5 × 4 × 2 = 40 วธ
ม 3 ขนตอน
⇒ เลอก เสอ กางเกง และ รองเทา
µÑÇÍ‹ҧ
ÁÕàŢⴴ 4 µÑÇ ¤×Í 1, 2, 3, 4 ¨ÐÊÌҧàÅ¢ íҹǹºÇ¡ 3 ËÅÑ¡ ä´Œ¡Õèíҹǹ â´Â·Õè
¡) ᵋÅÐËÅѡ㪌µÑÇàÅ¢«éíҡѹ䴌
หลกหนวย
หลกสบ
หลกรอย
สรางเลข 3 หลกได = 4 × 4 × 4 = 64 จานวน
เลอกเลขได 4 ตว
เลอกเลขได 4 ตว
เลอกเลขได 4 ตว
µÑÇÍ‹ҧ
ÁÕàŢⴴ 4 µÑÇ ¤×Í 1, 2, 3, 4 ¨ÐÊÌҧàÅ¢ íҹǹºÇ¡ 3 ËÅÑ¡ ä´Œ¡Õèíҹǹ â´Â·Õè
¢) ᵋÅÐËÅѡ㪌µÑÇàÅ¢äÁ‹«éíҡѹ
หลกหนวย
หลกสบ
หลกรอย
สรางเลข 3 หลกได = 4 × 3 × 2 = 24 จานวน
เลอกเลขได 4 ตว
เลอกเลขได 3 ตว
เลอกเลขได 2 ตว
µÑÇÍ‹ҧ
¹Ñ¡¸ØáԨ 3 ¤¹ ¨ÐàÅ×Í¡¾Ñ¡âçáÃÁ«Öè§ÁÕâçáÃÁãËŒàÅ×Í¡ 5 áË‹§ ¹Ñ¡¸ØáԨ¨ÐÁÕ íҹǹÇÔ¸ÕàÅ×Í¡¾Ñ¡ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ ¶ŒÒ¹Ñ¡¸ØáԨᵋÅФ¹
¡) àÅ×Í¡¾Ñ¡âçáÃÁ«éíҡѹäÁ‹ä´Œ
นกธรกจคนท 1นกธรกจคนท 2นกธรกจคนท 3
เลอกโรงแรมได = 5 × 4 × 3 = 60 วธ
เลอกโรงแรมได 5 วธ
เลอกโรงแรมได 4 วธ
เลอกโรงแรมได 3 วธ
µÑÇÍ‹ҧ
¹Ñ¡¸ØáԨ 3 ¤¹ ¨ÐàÅ×Í¡¾Ñ¡âçáÃÁ«Öè§ÁÕâçáÃÁãËŒàÅ×Í¡ 5 áË‹§ ¹Ñ¡¸ØáԨ¨ÐÁÕ íҹǹÇÔ¸ÕàÅ×Í¡¾Ñ¡ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ ¶ŒÒ¹Ñ¡¸ØáԨᵋÅФ¹
¢) àÅ×Í¡¾Ñ¡âçáÃÁ«éíҡѹ䴌
นกธรกจคนท 1นกธรกจคนท 2นกธรกจคนท 3
เลอกโรงแรมได = 5 × 5 × 5 = 125 วธ
เลอกโรงแรมได 5 วธ
เลอกโรงแรมได 5 วธ
เลอกโรงแรมได 5 วธ
à·¤¹Ô¤¡ÒùѺ (Counting Techniques)
(Additive Rule)
ᵋÅÐà˵ءÒó�·Õè໚¹ä»ä´ŒËÃ×Íà˵ءÒó�·Õèà¡Ô´¢Öé¹á¡¡Ñ¹â´ÂÊÔé¹àªÔ§ (à¡Ô´¢Ö鹾ÌÍÁ¡Ñ¹äÁ‹ä´Œ)
¢Ñ鹵͹·Õè 1, 2, ... , k ÁÕ íҹǹ¼ÅÅѾ¸�ᵋÅТÑé¹à»š¹ n1, n2, ... , nk
¨íҹǹ¼ÅÅѾ¸�·Ñé§ËÁ´ = n1 + n2 + ... + nk
µÑÇÍ‹ҧ
¤³ÐÇÔÈÇ¡ÃÃÁÁÕ 3 ÀÒ¤ÇÔªÒ ÀÒ¤ÇÔªÒÇÔÈÇ¡ÃÃÁâÂ¸Ò ÁÕÇÔªÒãËŒàÅ×Í¡àÃÕ¹2 ÇÔªÒ ÀÒ¤ÇÔªÒÇÔÈÇÍصÊÒË¡Òà ÁÕÇÔªÒãËŒàÅ×Í¡àÃÕ¹ 3 ÇÔªÒ áÅÐÀÒ¤ÇÔªÒÇÔÈÇ¡ÃÃÁà·¤â¹âÅÂÕ ÁÕÇÔªÒãËŒàÅ×Í¡àÃÕ¹ 4 ÇÔªÒ ¶ŒÒ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒµŒÍ§àÅ×Í¡àÃÕ¹ÇÔªÒ㹤³ÐÇÔÈÇ¡ÃÃÁ 1 ÃÒÂÇÔªÒ à¢Ò¨ÐÁÕÇÔ ÕàÅ×Í¡àÃÕÂ¹ä Œ¡ÕèÇÔ Õ
เลอกโยธาได 2 ภาควชา
เลอกอตสาหการได 3 ภาควชา
เลอกเทคโนโลยได 4 ภาควชา
เลอกเรยน (อนใดอนหนง) ได = 2 + 3 + 4 = 9 วธ
µÑÇÍ‹ҧ
ËÂԺ例 1 㺨ҡ例·Ñé§ÊíÒÃѺ ¨§ËÒ íҹǹÇÔ¸Õ·Õè¨ÐËÂԺ䴌ᵌÁ á¨�¤, ¤ÇÕ¹, ¤Ô§ ËÃ×Í àÍ
ไพ 1 สารบ ประกอบดวยไพ 52 ใบ
A, 2 -10, แจค, ควนและคง อยางละ 4 ใบ
หยบ แจค ได 4 วธ
หยบ ควน ได 4 วธ
หยบ คง ได 4 วธ
หยบ เอ ได 4 วธ
เลอกหยบ (แบบใดแบบหนง) ได = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 วธ
ÇÔ¸ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹ (Permutation)
ῤ·ÍàÃÕÂÅ (Factorial)
¼Å¤Ù³¢Í§àÅ¢¨íҹǹàµçÁºÇ¡ µÑé§áµ‹ n ¨¹¶Ö§àÅ¢ 1 à¢Õ¹᷹ ŒÇ n! 0! = 1
ઋ¹
3! = 3 x 2 x 1 = 65! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x ... x 3 x 2 x 1
µÑÇÍ‹ҧ
× × × × × × ×× × × × ×
8! 8 7 (6 5 4 3 2 1)=6! 6 5 4 3 2 1× ×8 7 6!= 6!
× × ×7! 7!=10! 10 9 8 7! × ×
1= 10 9 81= 720
= 56
µÑÇÍ‹ҧ
12!(12-4)!
= 12 x 11 x 10 x 9
= 11,880
(n+3)!(n+1)!
= (n + 3)(n + 2)
12!= 8!× × × ×12 11 10 9 8!= 8!
(n+3)(n+2)(n+1)!= (n+1)!
ÇÔ¸ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹ (Permutation)
ÇÔ Õ¡ÒÃËÒ¨íҹǹÇÔ Õ·Ñé§ËÁ´ã¹¡ÒÃ¨Ñ àÃÕ§ÅíҴѺ
ÇÔ ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹ẺàÊŒ¹µÃ§
(Linear Permutation)
ÇÔ ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹Ẻǧ¡ÅÁ
(Circular Permutation)
ÇÔ¸ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹ (Permutation)
• ตาแหนงท 1 เลอกสงของได n วธ
• ตาแหนงท 2 เลอกสงของได n-1 วธ (เพราะมสงหนงถกเลอกแลว)
• ตาแหนงท 3 เลอกสงของได n-2 วธ
• ตาแหนงท r เลอกสงของได n - (r-1) = n – r + 1 วธ
วธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรง
วธเรยงสบเปลยนของ n สงทแตกตางกน คราวละ r สง
ÇÔ¸ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹ (Permutation)
ตาแหนงท r เลอกสงของได n - (r-1) = n – r + 1 วธ
วธเรยงสบเปลยนเปนเสนตรง
วธเรยงสบเปลยนของ n สงทแตกตางกน คราวละ r สง
จากกฎการคณ
จานวนวธ = n (n-1) (n-2) . . . (n-r+1)
× ×× ×
(n-r)(n-r-1) 3 2n(n-1)(n-2) (n-r 1(n-r)(n-r-1) 3 1
+)2
1= n!
(n-r)!=
ÇÔ¸ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹ (Permutation)ÇÔ ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹ẺàÊŒ¹µÃ§ÊÔ觢ͧ·Ñé§ËÁ´ n ÊÔè§ «Ö觹íÒÁҨѴàÃÕ§ÅíҴѺà¾Õ§ r ÊÔè§
à¢Õ¹᷹´ŒÇÂÊÑÞÅѡɳ� nPr ËÃ×Í P(n, r) ËÃ×Í Pn,r
กรณ r = n :
¡Ã³ÕÊѺà»ÅÕ蹢ͧ n ÊÔè§ â´ÂÁÕµÑÇ«éíҡѹ¨íҹǹ n1, n2,…,nk ÊÔè§
P(n,r) n!= (n-r)!
P(n,n) n!= (n-n)!n!= 0!
n!= 1 = n!
1 2 kn!P(n,n) n!n ! n !=
µÑÇÍ‹ҧ
ÁÕµÑÇÍÑ¡Éà a, b, c, d, e ¹íÒÁÒàÃÕ§ÊѺà»ÅÕ蹤ÃÒÇÅÐ 3 µÑÇ ¨ÐÁÕÇÔ¸ÕÑ´ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ·ÕèäÁ‹«éíҡѹ
จานวนวธทงหมด 35= P 5!2!=
× ×= 5 4 3
= 60
n = 5 และ r = 3
5!(5-3)!=
µÑÇÍ‹ҧ ÁÕ˹ѧÊ×Í 9 àÅ‹Á·ÕèäÁ‹àËÁ×͹¡Ñ¹ µŒÍ§¡ÒùíÒÁÒàÃÕ§ÊѺà»ÅÕ蹡ѹ
·Ñé§ËÁ´ ¨ÐÁÕÇÔ¸Õ Ñ àÃÕ§䴌·Ñé§ËÁ´¡ÕèÇÔ¸Õ ¶ŒÒ
1) äÁ‹ÁÕà§×è͹ä¢ã´æ
n = 9 r = 9
สงของ n สง นามาเรยงสบเปลยนทงหมดได n!
จานวนวธทงหมด =
9!= 0!= 9!
9!= 1
99 9!P = (9 - 9)!
= 362,880
µÑÇÍ‹ҧ ÁÕ˹ѧÊ×Í 9 àÅ‹Á·ÕèäÁ‹àËÁ×͹¡Ñ¹ µŒÍ§¡ÒùíÒÁÒàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹
¡Ñ¹·Ñé§ËÁ´ ¨ÐÁÕÇÔ Õ¨Ñ´àÃÕÂ§ä Œ·Ñé§ËÁ´¡ÕèÇÔ Õ ¶ŒÒ
2) µŒÍ§¡ÒÃãˌ˹ѧÊ×ÍÊÒÁàÅ‹Á (੾ÒзÕ赌ͧ¡ÒÃ) ÍÂÙ‹µÔ ¡Ñ¹àÊÁÍ
3 เลมทตองการอยดวยกน
ขน 1 : เรยงหนงสอทงหมด จะเหลอหนงสอ 7 เลม
วธเรยงหนงสอทง 7 เลม = 7! วธ
มดเขาดวยกน และมองวาเปน
หนงสอ 1 เลม
ขน 2 : เรยงหนงสอในมดทงหมด 3 เลม
ทง 3 เลม = 3! วธ
วธเรยงหนงสอทงหมด = 7! × 3! = 5,040 × 6 = 30,240 วธ
ทง 2 ขนตอน จะตองถกทาทกขนใหครบ
µÑÇÍ‹ҧ ÁÕ˹ѧÊ×Í 9 àÅ‹Á·ÕèäÁ‹àËÁ×͹¡Ñ¹ µŒÍ§¡ÒùíÒÁÒàÃÕ§ÊѺà»ÅÕ蹡ѹ
·Ñé§ËÁ´ ¨ÐÁÕÇÔ¸Õ Ñ àÃÕ§䴌·Ñé§ËÁ´¡ÕèÇÔ¸Õ ¶ŒÒ
3) äÁ‹µŒÍ§¡ÒÃãˌ˹ѧÊ×Í·Ñé§ÊÒÁàÅ‹ÁÍÂÙ‹µÔ ¡Ñ¹
จานวนวธ = วธทงหมด - วธททง 3 เลมตดกน
= 362,880 - 30,240
= 332,640 วธ
µÑÇÍ‹ҧ ¨Ò¡¤íÒÇ‹Ò ¨§ËÒ íҹǹ·Õè໚¹ä»ä´Œ·Ñé§ËÁ´·Õèà¡Ô
¨Ò¡¡ÒüÊÁµÑÇÍÑ¡ÉÃ
หลกการคด - นาอกษรทกตว (10 ตว) ไปเรยงทงหมด
- ตวทซ ากนสลบกนแลวไมแตกตาง
เชน 3 ตว สลบกนเองได 3! วธ ไมแตกตาง
∴ นาจานวนวธ 3! ไปหารออก
S - 3 ตว T - 3 ตว I - 2 ตว C - 1 ตวA - 1 ตว
µÑÇÍ‹ҧ ¨Ò¡¤íÒÇ‹Ò ¨§ËÒ íҹǹ·Õè໚¹ä»ä´Œ·Ñé§ËÁ´·Õèà¡Ô
¨Ò¡¡ÒüÊÁµÑÇÍÑ¡ÉÃ
S - 3 ตว T - 3 ตว I - 2 ตว C - 1 ตวA - 1 ตว
จานวนวธทงหมด10!= 3! 3! 2!
× ×3,628,800= 6 6 2
= 50,400
µÑÇÍ‹ҧ ÁÕ¸§ÊÕá´§ 5 ¼×¹ ÊÕ¢ÒÇ 2 ¼×¹ ÊÕàËÅ×ͧ 3 ¼×¹ ¹íÒÁҼ١໚¹ÊÑÞÞÒ³ã¹
á¹Ç´Ôè§ ¨ÐÁÕÊÑÞÞÒ³µ‹Ò§æ ¡Ñ¹ä´Œ¡ÕèẺ ¶ŒÒ
1) ¸§áµ‹ÅÐÊÕäÁ‹ÁÕ¤ÇÒÁᵡµ‹Ò§¡Ñ¹
- 5 ผน - 2 ผน - 3 ผน
จานวนวธทงหมด
= 2,520
10!= 5! 2! 3!
หลกการ - ธงสเดยวกนสลบกนแลวไมแตกตาง
µÑÇÍ‹ҧ
2) ¸§áµ‹ÅÐÊÕÁÕÅÇ´ÅÒÂᵡµ‹Ò§¡Ñ¹
- 5 ผน - 2 ผน - 3 ผน
จานวนวธทงหมด
= 3,628,800
= 10!
หลกการ - ธงทกสแตกตางกน
ÇÔ¸ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹ (Permutation)
ÇÔ ÕàÃÕ§ÊѺà»ÅÕè¹Ẻǧ¡ÅÁ (Circular Permutation)ÊÔ觢ͧ·Ñé§ËÁ´ n ÊÔè§ «Ö觹íÒÁҨѴàÃÕ§໚¹Ç§¡ÅÁ
จานวนวธ = (n - 1)!
หลกการคด
กาหนดใหสงของ 1 สงเปนหลก แลวจดเรยงสงของท
เหลอ n - 1 สง
µÑÇÍ‹ҧ
µŒÍ§¡Òà Ѵ¤¹ 10 ¤¹ ãËŒ¹Ñè§àÃÕ§໚¹Ç§¡ÅÁ ¨Ð Ñ´ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ
หลกการ - จดคน 1 คน ยนเปนหลก
- จดเรยงคนทเหลอ 9 คน
∴ จานวนวธ = (10 - 1)!
= 9!
= 362,880 วธ
µÑÇÍ‹ҧ »ÃЪØÁ¤ÃÑé§Ë¹Öè§ÁռٌࢌÒËÇÁ»ÃЪØÁ໚¹à¾ÈªÒ 3 ¤¹áÅÐËÞÔ§ 3 ¤¹ ¨§
ËÒ íҹǹÇÔ¸Õ·Ñé§ËÁ´ã¹¡Òà Ѵ¼ÙŒà¢ŒÒËÇÁ»ÃЪØÁ¹Ñè§Ãͺâµ�СÅÁ
หลกการ - ไมไดสนใจวา ชาย/หญง แตกตางกน
- จดเรยงคน 6 คนเปนวงกลม
∴ จานวนวธ = (6 - 1)! = 5!
= 120 วธ
ÇÔ¸Õ¡ÒèѴËÁÙ‹ (Combination)
สงของทงหมด n สง นามาจดกลมเพยง r สง
สงของภายในกลม r สงไมตองจดเรยง
สญลกษณ nCr หรอ C(n,r) หรอ Cn,r หรอ nr
= C(n,r) n!r! (n-r)!
ÇÔ¸Õ¡ÒèѴËÁÙ‹ (Combination)
กรณสงของ n สง นามาจดกลม k กลม โดยแตละกลมมจานวน n1
, n2 , … , nk สง และ n1 ≠ n2 ≠ … ≠ nk
จานวนวธ1 2 k
n!n!n! n !=
กรณสงของ n สง นามาจดกลม k กลม โดยแตละกลมมจานวน
n1 , n2 , … , nk สง และ n1 = n2 = … = nk
จานวนวธ1 2 kn!
n!n n ! !! k=
µÑÇÍ‹ҧ
¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒˌͧ˹Öè§ÁÕ 30 ¤¹ µŒÍ§¡ÒÃàÅ×Í¡¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒÁÒ 6 ¤¹ ¨ÐàÅ×Í¡ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ
หลกการ - เลอกมาเฉย ๆ (ไมไดจดเรยง) ∴ จดกลม
n = 30 r = 6
( )= 306∴ จานวนวธ
= 30!6! (30-6)!
= 593,775
= C(n,r) n!r! (n-r)!
µÑÇÍ‹ҧ㹡ÒÃᢋ§¢Ñ¹¿ØµºÍŤÃÑé§Ë¹Öè§ÁÕ·ÕÁࢌÒᢋ§·Ñé§ËÁ´ 10 ·ÕÁࢌÒ
ᢋ§áºº¾º¡Ñ¹ËÁ´ ¨§ËÒÇ‹Ò¼ÙŒ Ñ´¡ÒÃᢋ§¢Ñ¹¨ÐµŒÍ§·íÒ¡ÒÃᢋ§¢Ñ¹¡Õè¤ÃÑé§ หลกการ - เลอกมาครงละ 2 ทม
n = 10 r = 2
( )= 102∴ จานวนวธ
= 10!2! (10-2)!
= 45
= C(n,r) n!r! (n-r)!
µÑÇÍ‹ҧ ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ¤¹Ë¹Ö觵ŒÍ§¡Òà ѴÇѹã¹Ë¹Öè§ÊÑ»´ÒË�à¾×èÍ·íÒ¡Ô¨¡ÃÃÁ´Ñ§¹Õé
͋ҹ˹ѧÊ×Í 4 Çѹ ¾Ñ¡¼‹Í¹ 1 Çѹ áÅÐÍÍ¡¡íÒÅѧ¡Ò 2 Çѹ ¨ÐÁÕÇÔ¸ÕÑ´ÇѹÊíÒËÃѺ¡Ô¨¡ÃÃÁàËÅ‹Ò¹Õéä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ
หลกการ - จดกลมวน 3 กลม - 4 วน, 1 วน, 2 วน
n = 4+1+2 = 7 n1 = 4 , n2 = 1 , n3 = 2
1 2 3n!= n!n!n! ∴ จานวนวธ
= 7!4! 1!2!
= 105
µÑÇÍ‹ҧ ẋ§¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 12 ¤¹ Í͡໚¹ 3 ¡ÅØ‹Á ¡ÅØ‹ÁÅÐà·‹Òæ ¡Ñ¹ ä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ
หลกการ - แบง 3 กลม กลมละ 4 คน
n = 12 n1 = 4 , n2 = 4 , n3 = 4 k = 3
1 2 3n!= n!n!n!k! ∴ จานวนวธ
= 12!4! 4!4! 3!
= 5,775
ม 4 ซา
กน 3 ตว
µÑÇÍ‹ҧ ÁÕ¤¹§Ò¹ÍÂÙ‹ 12 ¤¹ ẋ§Í͡໚¹ 3 ¡ÅØ‹Á à¾×èÍ·íÒ§Ò¹ 3 ªÔé¹ â´ÂãËŒ
¤¹§Ò¹ 3 ¤¹ ·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè˹Öè§ ¤¹§Ò¹ 4 ¤¹ ·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè 2 áÅÐÍÕ¡ 5 ¤¹·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè 3 ¨Ð·íÒä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ
หลกการ - แบง 3 กลม กลมละ 3 , 4 , 5 คน
n = 12 n1 = 3 , n2 = 4 , n3 = 5
1 2 3n!= n!n!n! ∴ จานวนวธ
= 12!3! 4!5!
= 27,720
µÑÇÍ‹ҧ ÁÕ¤¹§Ò¹ÍÂÙ‹ 12 ¤¹ ẋ§Í͡໚¹ 3 ¡ÅØ‹Á à¾×èÍ·íÒ§Ò¹ 3 ªÔé¹ â´ÂãËŒ
¤¹§Ò¹ 3 ¤¹ ·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè˹Öè§ ¤¹§Ò¹ 4 ¤¹ ·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè 2 áÅÐÍÕ¡ 5 ¤¹·íÒ§Ò¹ªÔé¹·Õè 3 ¨Ð·íÒä´Œ¡ÕèÇÔ¸Õ
วธท 2 n = 12 n1 = 3 , n2 = 4 , n3 = 5
( )123= ∴ จานวนวธ
× ×= 12! 9! 5!3! 9! 4! 5! 5! 0!
= 27,720
( )94 ( )5
5
= 12!3! 4!5!
¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹ (Probability)
µÑÇàÅ¢ºÍ¡âÍ¡ÒÊ¡ÒÃà¡Ô´¢Ö鹢ͧà˵ءÒó�Ç‹Ò ÁÒ¡/¹ŒÍ à¾Õ§ã´
ให n(E) - จานวนสมาชกในเหตการณ E
n(S) - จานวนสมาชกในแซมเปลสเปซ
P(E) - ความนาจะเปนของเหตการณ E
: สมาชกใน S มโอกาสเกดขนเทา ๆ กน (Equally
likely outcomes)
n(E)P(E) = n(S)
o ãËŒ A ໚¹à˵ءÒÃ�ã´ æ
ความนาจะเปนมคาระหวาง 0 กบ 1 (0 ≤ P(A) ≤1)
ความนาจะเปน S มคาเทากบ 1 (P(S) = 1)
ความนาจะเปนของเหตการณทเปนไปไมไดเปนศนย (P(φ) = 0)
ถาเหตการณ A และเหตการณ B เปนเหตการณไมเกดรวมกน
P(A∪B) = P(A) + P(B)
A1 , A2 , A3 , ... เปนเหตการณทไมเกดรวมกนตามลาดบ
จะได
·ÄɮդÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹o ãËŒ A ໚¹à˵ءÒó�ã´ æ
¶ŒÒà˵ءÒó� A áÅÐà˵ءÒó� B ໚¹à˵ءÒó�à¡Ô´Ã‹ÇÁ¡Ñ¹
¶ŒÒ A, B áÅÐ C ໚¹à˵ءÒó�ã´ æ ã¹á«Áà»�ÅÊ໫ S áÅŒÇ
µÑÇÍ‹ҧกลองใบหนงบรรจบอลสขาว 4 ลก ดา 3 ลก ถาทาการสมหยบลกบอลมา 2
ลกพรอมกน จงหาความนาจะเปนของการหยบบอลสขาวไดทง 2 ลก
ให S - แซมเปลสเปซของการหยบลกบอล 2 ลก
E - เหตการณทหยบไดสขาวทง 2 ลก
ให P(E) - ความนาจะเปนของเหตการณทหยบไดสขาวทง 2 ลก
ขาว - 4 , ดา - 3
หยบใหไดขาว
หยบเฉพาะ ขาว
n(S) = C(7,2) = 21 n(E) = C(4,2) = 6
7!= 2!(7-2)!4!= 2!(4-2)!
µÑÇÍ‹ҧ
n(S) = 21 n(E) = 6
n(E)P(E) = n(S)6= 212= 7
= 0.2857
µÑÇÍ‹ҧตองการเลอกคณะกรรมการ 3 คน จากนกศกษาคณะวศวะฯ 4 คน
และนกศกษาคณะบรหารฯ 3 คน จงหาความนาจะเปนทจะได
คณะกรรมการเปนนกศกษาคณะวศวะฯ 2 คน และนกศกษาคณะ
บรหารฯ 1 คน
ให S - เลอก 3 คนจากทงหมด 7 คน
E - เลอกวศวะ 2 คน และ เลอกบรหาร 1 คน
วศวะ - 4 , บรหาร - 3
สนใจ - วศวะ 2 คน เลอกเฉพาะวศวะ 2 คน
- บรหาร 1 คน เลอกเฉพาะบรหาร 1 คน
µÑÇÍ‹ҧ
ให S - เลอก 3 คนจากทงหมด 7 คน
E - เลอกวศวะ 2 คน และ เลอกบรหาร 1 คน
n(S) = C(7,3) = 35
วศวะ - 4 , บรหาร - 3 ,
n(E1) = C(4,2) = 6
E1 เลอกวศวะ 2 จาก 4 คน
n(E2) = C(3,1) = 3
E2 เลอกบรหาร 1 จาก 3 คน
n(E) = n(E1) × n(E2)
= 6 × 3 = 18
n(E)P(E) = n(S)18= 35
7!= 3!(7-3)!
4!= 2!(4-2)!
3!= 1!(3-1)!
µÑÇÍ‹ҧขอสอบวชาสถตเบองตนม 8 ขอ ผเขาสอบทกคนจะตองทาขอสอบ
ขอแรก และเลอกทาขออนๆ อก 5 ขอ รวมเปน 6 ขอ จงหาความ
นาจะเปนทผเขาสอบจะไมทาขอสอบขอสดทาย
ขน 1 เลอกขอแรกได 1 วธ
ขน 2 เลอก 5 ขอ จากทเหลอ 8 - 1 = 7 ขอ
ไดวธ = C(7,5) = 21 วธ
n(s) = 1 × 21 = 21 วธ
ตองทาขอแรก เลอกขอแรกไวกอน แลวเลอกขออน
ไมทาขอสดทาย ไมตองนามาใหเลอก
µÑÇÍ‹ҧขอสอบ 8 ขอ ตองทาขอแรก และขออนอก 5 ขอ รวมเปน 6 ขอ
สนใจ → ไมทาขอสอบขอสดทาย
ขน 1 เลอกขอแรกได 1 วธ
ขน 2 เลอก 5 ขอ จากทเหลอและยกเวนขอสดทาย
8 - 1 - 1 = 6 ขอ
ไดวธ = C(6,5) = 6 วธ
n(E) = 1 × 6 = 6 วธ n(s) = 21
n(E)P(E) = n(S)6= 21
2= 7
µÑÇÍ‹ҧ
รานขายวทยเทปแหงหนง มวทยเทป จานวนทงหมด 15 เครอง จะม
ตาหนอย 2 เครอง นอกนนเปนเครองด สานกงานแหงหนงสงซอ
วทยเทปจากรานนอยางสม 3 เครอง จงหาความนาจะเปนไดเครองท
มตาหนอยางนอย 1 เครอง
ม 15 เครอง เลอก 3 เครอง
n(S) = C(15,3) = 455
ไดเครองตาหนอยางนอย 1 เครอง ตองไมไดเครองดหมด
µÑÇÍ‹ҧรานขายวทยเทปม 15 เครอง ตาหน - 2 เครอง (ด - 13 เครอง) สม 3
เครอง สนใจไดเครองทมตาหนอยางนอย 1 เครอง
n(E1) = C(2,1) ×C(13,2)
= 2 × 78
= 156
n(E2) = C(2,2) ×C(13,1)
= 1 × 13
= 13
n(E) = n(E1) + n(E2) = 156 + 13 = 169
µÑÇÍ‹ҧ
รานขายวทยเทปม 15 เครอง ตาหน - 2 เครอง (ด - 13 เครอง) สม 3
เครอง สนใจไดเครองทมตาหนอยางนอย 1 เครอง
n(S) = 455n(E) = 169
n(E)P(E) = n(S)169= 455
13= 35
µÑÇÍ‹ҧอาสาสมครทจะไปดแลผสงอายประกอบดวยผชาย 8 คน ผหญง 10
คน จะเลอกอาสาสมครมา 4 คน จงหาความนาจะเปนทจะเปน
ผหญงอยางนอยทสด 2 คน
ม 18 คน เลอก 4 คน
n(S) = C(18,4) = 3,060
หญงอยางนอย 2 คน หญง 2 หรอ หญง 3 หรอ หญง 4
หญง 2 คน ⇒ ชาย 2 คน
เลอกหญง จานวนวธ = C(10,2) = 45
เลอกชายจานวนวธ = C(8,2) = 28
n(E2) = 45 × 28 = 1,260 วธ
18!= 4!(18-4)! 10!= 2!(10-2)!8!= 2!(8-2)!
µÑÇÍ‹ҧอาสาสมคร ผชาย 8 คน ผหญง 10 คน เลอก4 คน สนใจเปนผหญงอยาง
นอยทสด 2 คน
n(S) = 3,060 n(E2) = 1,260
หญง 3 คน ⇒ ชาย 1 คน
เลอกหญง จานวนวธ = C(10,3) = 120
เลอกชายจานวนวธ = C(8,1) = 8
n(E3) = 120 × 8 = 960 วธ
หญง 4 คน ⇒ ชาย 0 คน
เลอกหญง จานวนวธ = C(10,4) = 210
เลอกชาย จานวนวธ = C(8,0) = 1
10!= 3!(10-3)!8!= 1!(8-1)!
10!= 4!(10-4)!8!= 0!(8-0)!
n(E4) = 210 × 1 = 210 วธ
µÑÇÍ‹ҧ
อาสาสมคร ผชาย 8 คน ผหญง 10 คน เลอก4 คน สนใจเปนผหญงอยาง
นอยทสด 2 คน
n(S) = 3,060 n(E4) = 210
n(E) = n(E2) + n(E3) + n(E4)
= 1,260 + 960 + 210
= 2,430
n(E2) = 1,260 n(E3) = 960
n(E)P(E) = n(S)2,430= 3,060
µÑÇÍ‹ҧนสตมโอกาสท สอบผานวชาสถตมคาความนาจะเปนเทากบ
0.6 ผานวชาคณตศาสตรมคานาจะเปนเทากบ 0.7 และสอบ
ผานทงสองวชาดวยคาความนาจะเปนเทากบ 0.5 จงคานวณหา
ความนาจะเปนทนสตสอบผานวชาสถตหรอวชาคณตศาสตรมคา
เทาใดA - Êͺ¼‹Ò¹Ê¶ÔµÔ , B - Êͺ¼‹Ò¹¤³Ôµ
P(A) = 0.6 , P(B) = 0.7 , P(A∩B) = 0.5 , P(A∪B) = ?
µÑÇÍ‹ҧในหมบานแหงหนง มประชากร 100 ครอบครว ทกครอบครว
ตางกมอาชพอยางนอย 1 อยาง จากการสารวจพบวา
อาชพทาสวนลาไย 52 ครอบครว
อาชพทาสวนลนจ 42 ครอบครว
อาชพทาสวนมะมวง 53 ครอบครว
ทาสวนลาไยและลนจ 14 ครอบครว
ทาสวนลาไยอยางเดยว 22 ครอบครว
ทาสวนลนจอยางเดยว 15 ครอบครว
ทาอาชพทง 3 อยาง 4 ครอบครว
A - ลาไย , B - ลนจ , C - มะมวง
n(A) = 52n(B) = 42
n(C) = 53
n(A∩B) = 14
n(A-(B∪C)) = 22
n(B-(A∪C)) = 15
n(A∩B∩C) = 4
¨Ò¡â¨·Â� n(A) = 52 n(B) = 42 n(C) = 53n(A∩B) = 14 n(A-(B∪C)) = 22 n(B-(A∪C) = 15
n(A∩B∩C) = 4
A B
C
4
10
16 13
22 15
20
100
52 - 22 - 10 - 4 = 16
n(A-(B∪C)) = 22
53 - 16 - 4 - 13 = 20
n(B-(A∪C) = 15
14 - 4 = 10
42 - 15 - 10 - 4 = 13
ÅíÒä ÅÔ鹨Õè
ÁÐÁ‹Ç§
410
16 13
22 15
100
20
¡. ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹¢Í§¡Ò÷íÒÊǹÁÐÁ‹Ç§Í‹ҧà´ÕÂÇ 20= 100 = 0.20
¢. ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹¢Í§¡Ò÷íÒÊǹÅÔ鹨ÕèáÅÐÁÐÁ‹Ç§ 4+13= 100 = 0.17
¤. ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹¢Í§¡Ò÷íÒÊǹÁÐÁ‹Ç§ËÃ×ÍÅíÒäÂ22+10+4+16+13+20= 100 = 0.85
20
µÑÇÍ‹ҧ
o ÁչѡÈÖ¡ÉÒ 30 ¤¹ªÍº¡ÕÌÒÇÍÅàÅÂ�ºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 20 ¤¹ªÍº¡ÕÌҿصºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÒ 8 ¤¹ªÍº¡ÕÌÒÇÍÅàÅÂ�ºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 6 ¤¹ ªÍº·Ñ駡ÕÌÒÇÍÅàÅÂ�ºÍÅ
áÅпصºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÒ 12 ¤¹ ªÍº¡ÕÌҿصºÍÅo ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÒ 3 ¤¹ ªÍº·Ñ駡ÕÌÒ
ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅпصºÍÅV - ÇÍÅàÅÂ� , F - ¿ØµºÍÅ , M - ªÒ , W - ËÞÔ§
n(V) = 30
n(F) = 20
n(M | V) = 8
n(V∩F) = 6
n(M | F) = 12
n(M | V∩F) = 3
¨Ò¡¡ÒÃÊíÒÃǨ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 100 ¤¹ ໚¹ªÒ 60 ¤¹ ËÞÔ§ 40 ¤¹ ¾ºÇ‹Ò
¨§ËÒ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹·Õè¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 1 ¤¹ äÁ‹ªÍº·Ñé§ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅпصºÍÅ
µÑÇÍ‹ҧ
6n(F) = 20
n(M | V) = 8n(V∩F) = 6n(M | F) = 12n(M | V∩F) =
3
¨Ò¡¡ÒÃÊíÒÃǨ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 100 ¤¹ ໚¹ªÒ 60 ¤¹ ËÞÔ§ 40 ¤¹ ¾ºÇ‹Ò ªÒÂ-
60
ËÞÔ§-40
V F3 9
3
5
19 5
¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 1 ¤¹ äÁ‹ªÍº·Ñé§ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅпصºÍÅ äÁ‹ÍÂÙ‹ã¹Ç§¡ÅÁ¨íҹǹ¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒäÁ‹ªÍº·Ñé§ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅпصºÍÅ
= 100 - ( 5 + 3 + 9 + 19 + 3 + 5 ) = 56
6 - 3 = 3
12 - 3 = 98 - 3 = 5
20 - 3 - 9 - 3 = 5
n(V) = 3030 - 5 - 3 - 3 =
19
¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹·Õè¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒ 1 ¤¹ äÁ‹ªÍº·Ñé§ÇÍÅàÅÂ�ºÍÅáÅпصºÍÅ
= 0.5656= 100
µÑÇÍ‹ҧ
42 ¤¹ àÃÕ¹¤³ÔµÈÒʵÃ�
68 ¤¹ àÃÕ¹à¢Õ¹Ẻ
54 ¤¹ àÃÕ¹ºÑÞªÕ
22 ¤¹ àÃÕ¹·Ñ駤³ÔµÈÒʵÃ�áÅкÑÞªÕ
25 ¤¹ àÃÕ¹·Ñ駤³ÔµÈÒʵÃ�áÅÐà¢Õ¹Ẻ
7 ¤¹ àÃÕ¹ºÑÞªÕᵋäÁ‹àÃÕ¹·Ñ駤³ÔµÈÒʵÃ� áÅÐà¢Õ¹Ẻ
10 ¤¹ àÃÕ¹·Ñé§ÊÒÁÇÔªÒ
8 ¤¹ äÁ‹àÃÕ¹ÇÔªÒã´àÅÂã¹ÊÒÁÇÔªÒ¹Õé
n(M) = 42
n(D) = 68n(A) = 54
n(M∩A) = 22n(M∩D) = 25n(A-(M∪D) = 7
¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÑé¹»‚·Õè 1 ¨íҹǹ 100 ¤¹ ä´ŒàÅ×Í¡àÃÕ¹ÇÔªÒµ‹Ò§æ ´Ñ§¹Õé
M – ¤³ÔµÈÒʵÃ�, D - à¢Õ¹Ẻ , A - ºÑÞªÕ
n(M∩D∩A) = 10n(S-(M∪D∪A)) = 8
µÑÇÍ‹ҧ
n(M) = 42n(D) = 68n(A) = 54
n(M∩A) = 22n(M∩D) = 25
n(A-(M∪D) = 7
¹Ñ¡ÈÖ¡ÉÒªÑé¹»‚·Õè 1 ¨íҹǹ 100 ¤¹ ä´ŒàÅ×Í¡àÃÕ¹ÇÔªÒµ‹Ò§æ ´Ñ§¹Õé
n(M∩D∩A) = 10n(S-(M∪D∪A)) = 8
M D
A
10
15
12
5 18
7
100
68 - 15 - 10 - 25 = 1842 - 15 - 10 - 12 =
554 - 12 - 10 - 7 = 25
25
µÑÇÍ‹ҧM D
A
1015
12 25
5 18
7
100
¨§ËÒ¤ÇÒÁ¹‹Ò¨Ð໚¹
• àÃÕ¹à¢Õ¹ẺÍ‹ҧà´ÕÂÇ
• àÃÕ¹¤³ÔµÈÒʵÃ�áÅÐà¢Õ¹ẺᵋäÁ‹àÃÕ¹ºÑÞªÕ
• àÃÕ¹ºÑÞªÕáÅÐà¢Õ¹ẺᵋäÁ‹àÃÕ¹¤³ÔµÈÒʵÃ�
• àÃÕ¹¤³ÔµÈÒʵÃ�Í‹ҧà´ÕÂÇ
18= 100 = 0.18
15= 100 = 0.15
25= 100 = 0.25
5= 100 = 0.05