第 3 章 土体中的应力 (6 学时 )

主要内容：土体的自重应力、基底压力、地基中的附加应力、土的有效应力原理

能力培养要求：理解自重应力和附加应力的概念，了解附加应力的分布规律；熟练掌握自重应力、基底压力和基底附加压力的计算；掌握多种荷载作用下竖向附加应力的计算；了解土的有效应力原理。

教学形式：教师主讲、课堂讨论、工程案例分析等。

3.1 概 述

土中应力可分为：自重应力

附加应力

本章只讨论： 自重应力； 静荷载引起的附加应力；

基本假定分析 ：

(1) 土的分散性影响及连续介质假定

基础底面的尺寸远大于土颗粒 ;

工程实践中一般所关心只是平均应力。

(2) 土的非均质性和非线性影响

实际工程中土中应力水平相对较低；

一定应力范围内，应力应变关系可看作是线性关系。

应力符号以压为正； 一般不考虑拉应力的影响； 有现成的简单的解析解。

(3) 弹性理论假定

假定地基土为均匀的、各向同性的弹性体；

采用经典弹性力学方法进行计算。

上述假定是本章的基础

3.2 土体中自重应力一、垂直方向的自重应力

假定土体为均质的半无限弹性体

取高度 z ，截面积 A=1 的土柱

由平衡条件得

szA= z A

于是 sz= z

土体中自重应力

可见，自重应力随深度呈线性增加。

成层土的自重应力

成层土的自重应力分布

各土层厚度及重度分别为 hi 和 i ，则第 n 层土底面上 :

cz=1h1+2h2+…+nhn

有地下水存在时的自重应力首先确定是否考虑浮力考虑浮力影响时，用浮重度代替重度。

二、水平向自重应力的计算

( )sxsx sy szE E

根据广义虎克定律：

对于侧限应力状态，有 sx=sy=0 ，得

( ) 0sxsy szE E

式中， E 为弹性摸量（一般用变形摸量 E0 代替）。

再利用 sx = sy ，得

01sx sy sz szK

式中， K0 为土的静止侧压力系数，为泊松比。

注意： K0 和依土的种类和密度而异，可通过试验确定。

3.3 基底压力

建筑物荷载由基础传给地基 ;

所以，必须首先计算基础底面的应力分布。

基底压力的分布规律

(a) 理想柔性基础 (b) 堤坝下基底压力柔性基础

（ 1 ）情况 1

基础抗弯刚度 EI=0 ，相当于绝对柔性基础基底压力分布与作用荷载分布相同。

（ 2 ）情况 2

刚度很大 ( 即 EI=), 可视为刚性基础 ( 大块混凝土实体结构 ) 。

(a) 马鞍形分布 (b) 抛物线分布 (c) 钟形分布 刚性基础

基底压力的简化计算

基底压力分布十分复杂；

但是，分布形状的影响只局限在一定深度范围内； （圣维南原理）

实用上，假定基底压力分布为线性分布；

一、中心荷载

Fp

A

中心荷载作用

荷 载 作 用 在 基 础 形 心 处时 :

式中： F 竖直荷载；

A 基础底面积。

二、 偏心荷载

按偏心受压公式计算：

maxmin

61

F M F ep

A W A b

式中： F 、 M 中心竖直荷载及弯矩， M=Fe

e 荷载偏心距

W 基础底面抵抗矩

b 、 l 宽度与长度。

基底压力分布可能情况：

(a) (b) (c) 偏心荷载时几种情况

a 、当 e< b/6 时， pmin>0 ，梯形分布；b 、当 e= b/6 时， pmin=0 ，三角形分

布； c 、当 e>b/6 时， pmin<0 ，边缘反力为负值，基底压力重新分布。

假定重新分布后基底最大压应力为 pmax ，则：

max

2

32

Fp

be l

三、偏心斜向荷载

荷载合力可分解为铅直向的分力 PV 与水平向的分力 PH 。沿铅直向基底压力分布可由 PV 代替 P 按前述方法计算。水平方向基底压力的计算分为两种情况：

1 ）假设水平方向基底压力为均匀分布 2 ）假设各点水平方向基底压力与该点铅直向基底压力成正比

四、 基底附加压力的计算

概念：作用在基础底面的压力与该处原来的自重应力之差。

计算公式：

p0=psz=pD

—基底以上土的重度； D— 基底埋深

3.4地基中的附加应力

空间问题 应力与计算点处的坐标 (x, y, z) 有关。 （如 L/B 10 的基础 ) 平面问题 应力与计算点处的坐标 (x, z) 有关。 （如 L/B 10 的基础、路堤、土坝）

一、附加应力的空间问题

（一）集中荷载作用下地基中的附加应力

1.Boussinesq 课题：

半无限弹性体表面作用竖向集中荷载 P ，计算任一点 M 的应力。

对工程应用意义最大的是竖向法向应力，可改写成

K 称为应力分布系数，是 r/z 的函数，可由图 3-7 查得。

22 zrR 5

3

2

3

R

zPz

22/522/522

3

]1)/[(

1

2

3

)(2

3

z

P

zrzr

zPz

2z

PKz

规律分析：

（ 1 ）集中力作用线上最大 .

（ 2 ）随着 r 的增加而逐渐减小 ( 应力扩散现象 ) 。

（ 3 ）集中力作用点处为奇异点。

（ 4 ）作用有多个集中力时，可叠加（应力积聚现象）。

2. 西罗第课题 (Cerruti)( 略 )

( 二 ) 分布荷载下地基中的附加应力 1. 矩形面积均布荷载

dxdyzyx

pzd z 2/5222

3

)(2

3

在基底范围内取单元面积 dA=dxdy

单元面积上分布荷载看作是集中力 dF=pdxdy

集中力在 M 点处的竖向附加应力为：

进行积分：

α 可由表 3-2 查得这里 n=L/B ， m=z/B 注意： L 为长边， B 为短边。

z z

2 2 20

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

σ = dσ

p lbz(l +b +2z ) lb= [ +arctan ]

2π (l +z )(b +z ) l +b +z z (l +b +z )

])1(

arctan1)1)((

)12(

2

12222222

22

nmn

m

nmnnm

nmmnc

0c pz

令

则

对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况：

(a) o 点在荷载面边缘

Ⅱ

Ⅰ

(2)o 点在荷载面内

ⅡⅠ

ⅢⅣ

0+z c c( )p Ⅰ Ⅱ 0+ +z c c c( )p Ⅰ Ⅱ Ⅲ cⅣ

o o

对于均布矩形荷载附加应力计算点不位于角点下的情况：

Ⅰ

Ⅱ

Ⅲ

ⅣⅠ

Ⅱ

ⅢⅣ

o

o

(3)o 点在荷载面边缘外侧 (4)o 点在荷载面角点外侧

0c c c c c( )p Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ0c c c c c( )p Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ

2. 矩形面积上作用三角形分布荷载

求角点下 M 的竖向应力？

分析步骤：见教材

将坐标原点取在荷载为零的角点上取单元面积 dA=dxdy ，其上作用集中力 dF=(x/b)p dx

dy ；

求角点下 M 的竖向应力注意的问题：

α 称为应力系数，为 n=L/B 和 m=z/B 的函数，可由表 3-3 查得。

222

2

22

222

2

22

0 02

5222

3

1)1(

1

2

1)1(

1

2

)(2

3

nmm

m

nm

mn

ppnmm

m

mn

mn

zyx

dxdybx

pz

t

t

l b

z

其中，

计算公式：

荷载的组合：

二、附加应力的平面问题 ( 一 ) 均布线荷载情况 -----Flamant 课题

dyR

pzd z 5

3

2

3

取微分长度 dy

荷载 pdy 看成是集中力，则：

则

222

2

222

3

222

3

2

5222

3

)(

2

)(

2

)(

2

)(

d

2

3

zx

pxz

zx

zpx

zx

pz

zyx

yp

z

zxxz

x

z

( 二 ) 条形均布铅直荷载的情况 a) 任一点竖向应力

分析步骤：

荷载宽度方向取微分宽度； 荷载 dp=pd 视为线荷载，在 M 点处附加应力为 dz 。 在荷载宽度范围内积分，得：

u 为应力系数 , 是 n=x/b 和 m=z/b 的函数 , 从表 3-6 查得。

pnm

nm

nm

mn

m

n

m

np

dzx

pzd

u

bb

zz

2222

0 222

3

0

)1(

)1(1arctanarctan

])[(

2

(3) 三角形分布条形荷载

分析步骤：

思路与上类似，见教材！

计算公式为：

pmn

nm

m

n

m

nn

p

zx

d

b

pz

s

b

z

22

0 222

3

)1(

)1(1arctanarctan

])[(

2

s 为应力系数，是 n=x/b 和 m=z/b 的函数。

关于土中附加应力的讨论

回答：基础面积不同，影响深度不同！

思考：影响深度是否相同？

3.5 土的有效应力原理一、基本概念

考虑隔离体平衡，得 A=sAs+uwAw+uaAa

太沙基（ Terzaghi, 1925 ）使土力学从一般固体力学中分离出来，成为一门独立的分支学科。

对于饱和土体， ua 和 Aa 均为零，则

A=sAs+uw(AAs)

)1(A

Au

A

A sw

ss

/s sA A 令 ，定义为有效应力

分析：

As 很小，第 2 项中 As/A 可略去不计；

但第 1 项不能略去。

几点结论： 孔隙水压力在各个方向上的大小相等； 有效应力作用使孔隙体积发生改变 , 土体发生压缩； 有效应力控制了土体的变形及强度。

用 u 表示孔隙水压力 uw 。则

=+u

非饱和土的有效应力公式还处于探索阶段！

此即著名的饱和土的有效应力原理！

二、自重应力、基底压力和附加应力下的两种力系( 一 ) 自重应力下的两种力系

（二）基地压力的两种力系

（三）附加应力的两种力系