การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของตั�วแป็รสุ่��ม ม� 2 ชน่�ด ค�อ การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของตั�วแป็รแบบ

ไม�ตั�อเน่��องและการแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของตั�วแป็รแบบตั�อเน่��อง

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ ของตั�วแป็รสุ่��มไม�ตั�อเน่��อง เป็�น่ความน่�าจะเป็�น่ที่��เก�ดข !น่แน่�น่อน่ใน่แตั�ละค�าของ

ตั�วแป็รจ งสุ่ามารถแสุ่ดงใน่ร$ป็ของฟั&งก'ช�น่หร�อตัารางได)

ม�การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ที่��สุ่*าค�ญม� 4 ชน่�ด การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่เอกร$ป็ (uniform

probability distribution) การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบร'น่$ล�(Bernoulli probability distribution) การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ที่ว�น่าม (binomial probability distribution) การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ป็&วสุ่'ซอง (poisson probability distribution)

1) การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่เอกร$ป็ตั�วแป็ X รสุ่��ม ซ �งเป็�น่ผลมาจากการที่ดลองที่��ม�ค�าที่��เป็�น่ไป็ได)ตั�าง ๆก�น่n xค�า ค�อ 1 , x2 ,…,xn ด)วยความน่�าจะเป็�น่เที่�าๆ ก�น่โดยที่��แตั�ละค�าจะแยก

X ก�น่โดยเด1ดขาดแล)ว จะเป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มที่��ม�การแจกแจงเอกร$ป็ด)วย ฟั&งก'ช�น่ความน่�าจะเป็�น่P(x ; n) โดยที่��

P(X = x) = P(x ; n) = เม��อ; X = X1 , X2 ,…, Xn 2

1

ตั�วอย�าง 1 ใน่การโยน่เหร�ยญ 1 เหร�ยญ คร�!ง X ถ)าให) แที่น่เหร�ยญข !น่ Xห�วจงเข�ยน่ฟั&งก'ช�น่ความน่�าจะเป็�น่ของ

P(X = ) = P(X = ) =ห ก2

1

2) การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบร'น่$ล�โดยที่��วไป็แล)วใน่การที่ดลองตั�างๆน่�!น่อาจม�ผลล�พธ์'ได)

หลายอย�างแตั�ความสุ่น่ใจน่�!น่อาจสุ่น่ใจเพ�ยงอย�างเด�ยว อย�างอ��น่ไม�สุ่น่ใจเลยก1ได) เร�ยกการที่ดลองที่��ม�ผลล�พธ์'ที่��เป็�น่ไป็ได)เพ�ยงสุ่องอย�างน่�!ว�า

การที่ดลองแบร'น่$ล�f(x) =

x)(1x p)(1p ; X = 0 , 1

0 ; ใน่กรณี�อ��น่ๆ

= E(X) = pค�าเฉล��ย = p (1-p)ความแป็รป็รวน่

ตั�วอย�าง 20โรงงาน่ผล�ตัหลอดไฟัพบว�าหลอดไฟัที่��ผล�ตัได)จะช*าร�ดร)อยละ 1 ถ)าที่*าการสุ่��มหลอดไฟัมา หลอด จงค*าน่วณีหา

.ก ความน่�าจะเป็�น่ที่��จะได)หลอดไฟั ช*าร�ด

.ข ความน่�าจะเป็�น่ที่��จะได)หลอดไฟัไม�ช*าร�ด

.ค ค�าเฉล��ยและความแป็รป็รวน่ว�ธ์�ที่*า ให) X = จ*าน่วน่หลอดไฟัช*าร�ด = 0, 1

.ก X ม�การแจกแจง แ บร'น่$ล�โดยม� p = 0.2 ( 20)หลอดไฟัช*าร�ดร)อยละ

. ข ความน่�าจะเป็�น่ที่��จะได)หลอดไฟัไม�ช*าร�ดค�อ 1 - p 1 - p = 1-0.2 = 0.8

. ค =ค�าเฉล��ย p = 0.2 ความแป็รป็รวน่ = p (1-p)= 0.2(1-0.2)

= 0.16

3) การแจกแจงที่ว�น่าม ถ)าที่*าการที่ดลองเอกร$ป็ซ*!า ๆ ก�น่จ*าน่วน่ n

คร�!ง เราเร�ยกการที่ดลองน่�!ว�าการที่ดลองที่ว�น่าม ถ)าให) X แที่น่จ*าน่วน่คร�!งที่��เก�ดเหตั�การณี'สุ่*าเร1จ

ใน่การที่ดลอง n คร�!ง ด�งน่�!น่ x = 0,1,2,…,n สุ่�วน่ จ*าน่วน่เหตั�การณี'ที่��ไม�สุ่*าเร1จค�อ n-x ด�งน่�!น่ความน่�าจะเป็�น่

ที่��จะได)เหตั�การณี'สุ่*าเร1จ x คร�!ง ค�อp (x ; n,p) = P(X =x) = nCx px (1 – p )n – x ; x = 0,1,2,..., n! ; 0 p 1

จะได) ค�าเฉล��ย = np และ = np (1-p)ความแป็รป็รวน่

ตั�วอย�าง 1 ใน่การโยน่เหร�ยญ 5 เหร�ยญ คร�!งความน่�าจะเป็�น่ของการข !น่ห�วเที่�า ก�บความน่�าจะเป็�น่ของการข !น่ก)อย เที่�าก�บ จงหาการแจกแจงความน่�าจะเป็�น่

ของการข !น่ห�ว 2

1

ว�ธ์�ที่*า ให) X แที่น่จ*าน่วน่เหร�ยญข !น่ห�ว ด�งน่�!น่ค�าของX ค�อ0,1,2,3,4, และ5 ตั�วแป็ร สุ่��ม X จะ ม�การแจกแจงที่ว�น่าม ด�งน่�!น่ n = 5 p = การแจก

แจงของ X หาได)ด�งน่�! 2

1

จ*าน่วน่เหร�ยญข !น่ห�ว ความน่�าจะ เป็�น่

0

1

2

3

.03135)21(1

021

05

.15654)21(1

121

15

.31303)21(1

221

25

.31302)21(1

321

35

4

5

.15651)21(1

421

45

.03130)21(1

521

55

ตั�วอย�าง โรงงาน่ผล�ตัหลอดไฟัแห�งหน่ �งพบว�าหลอดไฟัที่��ผล�ตัได)จะช*าร�ดร)อยละ10 20 เม��อสุ่��มเล�อกหลอดไฟัจ*าน่วน่ หลอดจงค*าน่วณีค�าความน่�าจะเป็�น่ที่��จะได)หลอดไฟัช*าร�ด

.ก 1 หลอด

.ข 2 ไม�เก�น่ หลอด

.ค 3 อย�างน่)อย หลอด.ง 5 8 ตั�!งแตั� ถ ง หลอด.จ ค�าเฉล��ยและความแป็รป็รวน่

ว�ธ์�ที่*า ให) X = จ*าน่วน่หลอดไฟัช*าร�ดที่��สุ่��มมาได) = 0, 1, 2,..., 20 X ม�การแจกแจงที่ว�น่ามโดยม� n = 20 และ p = 0.1

1 เป็6ดตัารางที่�� ใน่ภาคผน่วกพบว�า. ก P(X=2) = 0.2852

. ข 2)P(X = P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)= 0.1216+0.2702+0.2852= 0.6770

. ค 3)P(X = 1 - 2)P(X= 1-0.6770= 0.3230

. ง 8)XP(5 = P(X=5)+ P(X=6)+ P(X=7)+ P(X=8)= 0.0319+0.0089+0.0020+0.0003= 0.0431

. จ ค�าเฉล��ย = np = =ความแป็รป็รวน่

20 (0.10) = 220(0.10)(0.90) = 1.8

4. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบที่ว� น่ามลบ (Negative Binomial

Probability Distribution) ถ)าม�การที่ดลองแบบเบอร'น่$ล��ซ*!าๆ ก�น่ จน่กว�าจะได) สุ่��งที่��สุ่น่ใจเป็�น่คร�!งที่�� r(r>1) จะเร�ยกการที่ดลองน่�!ว�า

” ” การที่ดลองแบบที่ว�น่ามลบ เสุ่)น่ X เป็�น่ จ*าน่วน่คร�!งของการโยน่ล$กเตั9าจน่กว�าจะได)เลข 5 เป็�น่คร�!งที่�� 3 (r=3)หร�อ X เป็�น่จ*าน่วน่สุ่�น่ค)าที่��ตัรวจสุ่อบจน่กว�าได)สุ่�น่ค)าช*าร�ดช�!น่ที่�� 7(r=7) ด�งน่�!น่ใน่การที่ดลองสุ่��ม X คร�!ง จะได)สุ่��งที่��ไม�สุ่น่ใจ

คร�!งที่�� r-1 คร�!ง และได)สุ่��งที่��สุ่น่ใจคร�!งที่�� r ใน่การที่ดลอง คร�!งที่�� X ด�งแสุ่ดงใน่แผน่ภาพข)างล�างน่�!

P(x;r,p) = P(X = x) = x - 1Cr - 1 p rqxr ;x = r,r+1

ค�าเฉล��ยของตั�วแป็รสุ่��มแบบที่ว�น่ามลบ X p ถ)า เป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มแบบที่ว�น่ามลบที่��ม�พาราม�เตัอร' r และ ค�าเฉล��ยของ

X ค�อ E(X) โดยที่��

E(X) = = r/p

ค�าแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��มแบบที่ว�น่ามลบ X ค�าแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��มแบบที่ว�น่าม ค�อV(X) โดยที่��

V(X) = =rq/p22

ตั�วอย�าง ถ)าที่ราบว�าสุ่�น่ค)าชน่�ดหน่ �งม�สุ่�น่ค)าช*าร�ดป็น่อย$�5% จ งสุ่��มสุ่�น่ค)ามา ตัรวจที่�ละช�!น่ จงหาความน่�าจะเป็�น่ที่��จะพบสุ่�น่ค)าช*าร�ดเป็�น่ช�!น่ที่��4 เม��อตัรวจ

สุ่�น่ค)าช�!น่ที่��10

ว�ธ์�ที่*า X = 4ให) จ*าน่วน่สุ่�น่ค)าที่��ตัรวจพบสุ่�น่ค)าช*าร�ดเป็�น่ช�!น่ที่�� X ด�งน่�!น่ จะเป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มแบบที่ว�น่ามลบ p = 0.05,rที่��ม�ค�า =4

P[X = x] = x - 1Cr - 1 p rqx- r ;x = 4,5,6

P[X = 10] = 9C3 (0.05) 4 (0.95)6 = 0.00035

5) การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบเรขาคณี�ตั( Geometrix Probability Distribution

ถ)าที่*าการที่ดลองแบบเบอร'น่$ล��ซ*!าก�น่หลายๆ คร�!ง และน่�บจ*าน่วน่คร�!วของการที่ดลองจน่กว�าจะได)สุ่��งที่��สุ่น่ใจ

(success) เป็�น่คร�!งแรก ฟั&งก'ช�น่การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของ X ค�อ

P(x;p) = P(x) =P(X = x) = qX - 1 p; X = 1,2,3,…

ค�าเฉล��ยตั�วแป็รสุ่��มแบบเลขาคณี�ตั ถ)า X เป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มแบบเรขาคณี�ตัที่��ม�พาราม�เตัอร' pค�าเฉล��ยของตั�วแป็ X รสุ่��ม ค�อE(X) E(X) = โดยที่�� = 1/p

ค�าแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��มแบบเรขาคณี�ตั X ค�าแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��มเรขาคณี�ตั ค�อV(X) โดยที่��

V(X) = 22

p

p

ตั�วอย�าง ถ)าที่ราบว�าจากล$กค)า 5 คน่ที่��เย)ามาใน่ร)าน่ขายเฟัอร'น่�เจอร'แห�ง หน่ �งจะม�ล$กค)าที่��ซ�!อ 1 คน่ จงหาความน่�าจะเป็�น่ที่��ล$กค)าเข)ามาคน่ที่��4 ใน่ว�น่น่�!

จะเป็�น่ผ$)ที่��ซ�!อเป็�น่คน่แรก ว�ธ์�ที่*า ใ X = ห) จ*าน่วน่ล$กค)าที่��เข)ามาใน่ร)าน่จน่กระที่��งม�ล$กค)าที่��ซ�!อสุ่�น่ค)าเป็�น่คน่แรก

X ม�การแจกแจงแบบเรขาคณี�ตั p = 1/5 =0.2ที่��ม�P(X = 4) = q3 p = (0.8)3(0.2 )= 0.1024

6) การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบพห�น่าม(Multinomail Probability Distribution)

การที่ดลองสุ่��มแบบพห�น่ามเป็�น่การที่ดลองสุ่��ม เสุ่ม�อน่การที่ดลองแบบที่ว�น่าม แตั�ผลล�พธ์'ของการ

ที่ดลองแตั�ละคร�!งม�มากกว�า 2 อย�าง เช�น่ ผลการตัรวจ สุ่อบค�ณีภาพสุ่�น่ค)าอาจจะเป็�น่ช*าร�ดมาก ใช)ไม�ได) ช*าร�ดเล1ก

น่)อย และสุ่�น่ค)าม�ค�ณีภาพด�P(x; p1, p2,…,pk ) = P(X1= x2,…,xn ) (p1)

X1(p2)X2…(pk)

Xk

โดยที่��

!!...!

!

21 kXXX

n

k

i nX

ตั�วอย�าง 5 4 3 กล�องใบหน่ �งม�ล$กบอลสุ่�แดง ล$กขาว ล$กด*า ล$กหย�บบอลจาก 6 กล�องใบน่�!มา ล$ก โดยการหย�บที่�ละล$กแบบใสุ่�ค�น่ จงหาความน่�าจะเป็�น่ที่��จะ

3 2 หย�บได)บอลสุ่�แดง ล$กขาว ล$ก 1 และด*า ล$ก

ว�ธ์�ที่*า ก 3 ารหย�บล$กบอลแตั�ละคร�!งผลล�พธ์'ที่��เป็�น่ไป็ได)ม� อย�างค�อได)บอลสุ่�แดง 12(5 + 4 + 3) สุ่�ขาวหร�อสุ่�ด*าจากบอลที่�!งหมดใน่กล�อง ล$ก

p1 = P[ ] = 5/12ได)บอลสุ่�แดงใน่การหย�บแตั�ละคร�!งp2 = P[ ] = 4/12ได)บอลสุ่�ขาวใน่การหย�บแตั�ละคร�!งp3 = P[ ] = 3/12ได)บอลสุ่�ด*าใน่การหย�บแตั�ละคร�!ง

X ให) j = j ; j = 1,2,3 จ*าน่วน่บอลสุ่�ที่�� ที่��หย�บได) X1 = Xจ*าน่วน่ล$กบอลสุ่�แดงที่��หย�บได) 2 = จ*าน่วน่ล$กบอลสุ่�ขาวที่��หย�บได) X3 = จ*าน่วน่ล$กบอลสุ่�ด*าที่��หย�บได)

X1 ,X2 ,X3 n = 6 , pเป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มพห�น่ามที่��ม�ค�า 1 = 5/12, p2= 4/12, p3 = 3/12P[ 3 2 ได)บอลแดง ล$กขาว ล$ก 1 ] = P[Xและด*า ล$ก 1=3, X2 =2, X3 =1]

= (5/12)3(4/12)2(3/12)1 = .12!21!3

!6

7).การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบไฮ เพอร'จ�ออเมตัร�ก (Hypergeometric

Probability Distribution)จาการที่ดลองแบบที่ว�น่ามซ �งการที่ดลองแตั�ละคร�!งจะตั)องเป็�น่อ�สุ่ระตั�อก�น่ การที่ดลองแบบที่ว�น่ามเป็�น่การที่ดลองที่��ม�การน่*าของที่��สุ่��ม

ได)ใสุ่�ค�น่แตั�ถ)าให)ม�การสุ่��มล$กบอลจากล�องใบน่�!โดยไม�ม�การใสุ่� ค�น่ จะที่*าให)การหย�บหร�อการที่ดลองแตั�ละคร�!งไม�เป็�น่อ�สุ่ระ

ตั�อก�น่ “จะเร�ยกการที่ดลองน่�!ว�า การที่ดลองแบบไฮเพอร'จ�” ออเมตัร�ก ซ �งม�ล�กษณีะการที่ดลองด�งน่�!

ด�งน่�!น่จ งสุ่ร�ป็ได)ว�าใน่การที่ดลองสุ่��มแบบไฮเพอร'จ�ออเมตัร�กn คร�!งถ)าได)สุ่��งที่��สุ่น่ใจx n – x คร�!งและได)สุ่��งที่��ไม�สุ่น่ใจ X คร�!ง จะเป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มแบบไฮเพอร'จ�ออเมตัร�กที่��ม�ฟั&งก'ช�น่ความน่�าจะเป็�น่ด�งน่�!P(x;N,k,n) = P(X = x) = ;x = 0,1,2,…min(n,k) ……………..(5.7)

nN

XnKN

XK

C

CC ))((

ค�าเฉล��ยของตั�วแป็รสุ่��มแบบไฮเพอร'จ�ออเมตัร�ก X X ถ)า เป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มแบบไฮเพอร'จ�ออเมตัร�ก ซ �งม�พาราม�เตัอร'N,n และ

K X E(X)ค�าเฉล��ยของ ค�อ โดยที่�� E(X) = = n

N

K

ค�าแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��มแบบไฮเพอร'จ�ออเมตัร�ก X ค�าแป็รป็รวน่ของตั�วแป็รสุ่��มแบบไฮเพอร'จ�ออเมตัร�ก ซ �งม�พาราม�เตัอร'

N,n K V(X)และ ค�อโดยที่�� V(X) =2=

11.N

nN

N

K

N

Kn

ตั�วอย�าง จากการสุ่��มสุ่�น่ค)า 6 ช�!น่จากกล�องที่��ม�สุ่�น่ค)า20 ช�!น่มาตัรวจสุ่อบ ถ)าพบว�าม�สุ่�น่ค)าช*าร�ดตั�!งแตั�2 ช�!น่ข !น่ไป็จะไม�ยอมร�บสุ่�น่ค)าที่�!งกล�องถ)ากล�อง

ใบน่�!ม�สุ่�น่ค)าช*าร�ด5 ช�!น่จงหาความน่�าจะเป็�น่ที่��จะยอมร�บสุ่�น่ค)าที่�!งกล�อง ว�ธ์�ที่*า X = 6 ให) จ*าน่วน่สุ่�น่ค)าช*าร�ดจากการสุ่��มตัรวจสุ่�น่ค)า ช�!น่โดยที่��การสุ่��ม

n > .05N สุ่�น่ค)าเป็�น่การสุ่��มแบบไม�ใสุ่�ค�น่และ X จ งที่*าให) ม�การแจกแจงแบบไฮเพอร'จ�ออเมตัร�ก

N = 20, n=6,K=5 โดยที่�� X = 0,1,2และ ,…,5

P(X = x) = ,5,4,3,2,1,0;)).((

620

65205

xC

CC xx

P( ) = P(X ยอมร�บสุ่�น่ค)าที่�!งกล�อง 1) = P(X = 0) + P(X = 1)

= 62061505 )).((

C

CC+620151515 )).((

C

CC= 0.129+0.387 = 0.516

8) การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ป็&วสุ่'ซองเป็�น่การแจกแจงที่��อธ์�บายถ งจ*าน่วน่คร�!งที่��เก�ด

เหตั�การณี'สุ่*าเร1จใน่ช�วงเวลาที่��ก*าหน่ด ก*าหน่ดให)ฟั&งก'ช�น่ความน่�าจะเป็�น่ของตั�วแป็รสุ่��ม X ซ �งแที่น่จ*าน่วน่คร�!ง

“ของการเก�ดเหตั�การณี' ” สุ่*าเร1จ ใน่การที่ดลองใน่ช�วงเวลา ที่��ก*าหน่ด เข�ยน่ได)ด�งน่�!

X!

λef(X)

xλ-

X = 0,1,2

ค�อค�าเฉล��ยλ

= โดยม�ค�าเฉล��ย ความแป็รป็รวน่ =λ

ตั�วอย�าง 3 โดยเฉล��ยแล)วจะเก�ดอ�บ�ตั�เหตั�ที่��สุ่��แยกแห�งหน่ �ง คร�!งตั�อว�น่จงหาความน่�าจะเป็�น่ที่��

.ก ไม�ม�อ�บ�ตั�เหตั�เก�ดข !น่เลย

.ข 2 ม�อ�บ�ตั�เหตั�ไม�เก�น่ คร�!ง

.ค 1 ม�อ�บ�ตั�เหตั�ไม�น่)อยกว�า คร�!ง.ง ม�อ�บ�ตั�เหตั�เก�ดข !น่ 2 4 ตั�!งแตั� ถ ง คร�!ง. จ หาค�าเฉล��ยและความแป็รป็รวน่

X = 1 ว�ธ์�ที่*า ให) จ*าน่วน่อ�บ�ตั�เหตั�ที่��เก�ดข !น่ใน่เวลา ว�น่ = 0, 1, 2, ...

ค�าเฉล��ย 3 คร�!งตั�อว�น่ค�อ = 3λ

สุ่$ตัร X = 0,1,2 โดยเป็6ดตัาราง 2 ที่�� ใน่ภาคผน่วกพบว�าX!

λef(X)

xλ-

. ก P(X=0) = 0.0498

. ข = P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)2)P(X

ค. = 1-P(X=0)= 1-0.0498= 0.9502

1)P(X

ง. = P(X=2)+ P(X=3)+ P(X=4)= 0.2240+0.2240+0.1680

4)XP(2

. จ = = 3ค�าเฉล��ย ความแป็รป็รวน่

การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่ของตั�วแป็รสุ่��ม ตั�อเน่��อง1) การแจกแจงที่� (t-distribution)

ม�ล�กษณีะคล)ายการแจกแจงป็กตั�มาตัรฐาน่ ค�อ เป็�น่โค)งร$ป็ระฆั�งคว*�า แตั�ม�ล�กษณีะแบน่ราบกว�าโค)งป็กตั�

มาตัรฐาน่

การแจกแจงที่�ที่��df= 20

การแจกแจงป็กตั�

การแจกแจงที่�ที่�� df =15

เช�น่ t 0.05 t ค�อค�าของ ซ � P(t > t งที่*าให) 0.05) = 0.05 tน่��น่ค�อ พ�!น่ที่��ใตั)เสุ่)น่โค)งขวาของ 0.05 0.05 จะม�ค�าเที่�าก�บ ซ �งค�อพ�!น่ที่��แรเงาใน่ 4.2ภาพที่��

ตั�วอย�าง การแจกแจงที่� ที่��ม�ระด�บข�!น่ความ เสุ่ร� เที่�าก�บdf จงค*าน่วณีหา. ก t0.05 เม��อ df = 10. ข t0.025 เม��อdf = 10. ค t0.05 เม��อ df =

. P (1.725 < t < 2.528ง ) เม��อ df = 20

. P (-2.528 < t < 2.845จ ) เม��อ df = 20ว�ธ์�ที่*า เป็6ดตัารา 3 งที่�� ใน่ภาคผน่วกพบว�า

. ก เม��อ df = 10, t 0.05 = 1.812

.ข เม��อdf = 10, t 0.025 = 2.228

.ค เม��อdf = , t 0.05 = 1.645.ง P (1.725 < t < 2.528) = P (t > 1.725) – P(t > 2.528)

= 0.05 – 0.01 = 0.04

1.725

2.528

. จ เม��อdf = 20 P (-2.528 < t < 2.845) = P (-2.528 < t < 0) + P(0 < t < 2.845)

= [0.5 – P (t > 2.528)] + [ 0.5 – P( t > 2.845)] = [ 0.5 – 0.1] + [0.5 – 0.005] = 0.4 + 0.495 = 0.895

-2.528 2.845

2) การแจกแจงไคสุ่แควร' ( – distribution) 2

ม�ล�กษณีะไม�สุ่มมาตัร ม�เฉพาะค�าบวกเที่�าน่�!น่ ถ)า ระด�บข�!น่ความเสุ่ร� เพ��มข !น่ความเบ)จะลดลง

2

เช�น่ 20.05 t ค�อค�าของ ซ � P (งที่*าให) 2 >2

0.05) = 0.05 น่��น่ค�อ พ�!น่ที่��ใตั)เสุ่)น่โค)งที่างขวาของ 2

0.05 0.05 จะม�ค�าเที่�าก�บ น่��น่ค�อพ�!น่ที่��แรเงาใน่ภาพที่�� 4.4

ตั�วอย�าง การแจกแจงไคสุ่แควร'ที่��ม�ระด�บข�!น่ความเสุ่ร� เที่�าก�บdf ให)ค*าน่วณีหา.ก เม��อdf = 15. ข เม��อdf= 15. ค เม��อdf = 10. P (10.85 < ง 2 < 31.41)เม��อ df= 20

20.0520.1020.99

ว�ธ์�ที่*า. ก เม��อdf= 15 = 25.00. ข เม��อ df= 15 = 22.31. ค เม��อ df= 10 = 2.56

20.0520.1020.99

ง. เม��อ df = 20P (10.85 < 2 < 31.41) = P(2 > 10.85) – P(2 > 31.41)

= 0.95 – 0.05= 0.90

31.4110.85

0.900.05

0.05

3) การแจกแจงเอฟั (F - distribution)

การแจกแจง เอฟัจะคล)ายก�บการแจกแจงไคสุ่แควร'ค�อจะไม�สุ่มมาตัรและจะม� ล�กษณีะเบ)ขวาแตั�การแจกแจงเอฟัจะข !น่อย$�ก�บระด�บข�!น่ความ เสุ่ร�2 ตั�ว

การแจกแจงเอฟั 2 เป็�น่อ�ตัราสุ่�วน่ของตั�วแป็รสุ่��มไคสุ่แควร' จ*าน่วน่

FX =2

22

1

21

df

df

(df1 = 25 , df2 = 25)(df1 = 5 , df2 = 5)(df1 = 2 , df2 =

1)

ตั�วอย�าง เป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มม�ระด�บข�!น่ความเสุ่ร�เที่�าก�บ df1 , df2 จงค*าน่วณีค�า.ก F.05 dfเม��อ 1 = 10 dfและ 2= 20.ข F.01 เม��อdf 1 = 20 และ df 2 = 30

ว�ธ์�ที่*า 6 เป็6ดตัารางที่�� ใน่ภาคผน่วกพบว�า . dfก 1 = 10 dfและ 2 = 20 F.05 = 2.77 . dfข 1 = 20 dfและ 2 = 30 F.01 = 2.78

4. การแจกแจงความน่�าจะเป็�น่แบบ ป็กตั� (Nornal Probability

Distributionv)ซ !งม�ค�ณีสุ่มบ�ตั�ด�งน่�!1. (เป็�น่กราฟัที่��ม�จ�ดยอดเพ�ยงจ�ดเด�ยวUnimodel)2. (โค)งป็กตั�ม�ล�กษณีะสุ่มมาตัรSymmetric)3. ค�าเฉล��ยค�าม�ธ์ยฐาน่และค�าฐาน่น่�ยมจะเที่�าก�น่และอย$�ที่��จ�ดก �งกลาง4. 1พ�!น่ที่��ใตั)โค)งที่�!งหมดเป็�น่

µ-3 µ-2 µ- µ µ+ µ+2 µ+3

22

21

µ1=µ2

µ1 µ2

µ1 µ2

21

21

Z=XZ จะเป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มป็กตั�มาตัรฐาน่

ตั�วอย�าง เป็�น่ตั�วแป็รสุ่��มป็กตั�มาตัรฐาน่จงหา)ก ค))ข )ง

)24.10( ZP

)35.0( ZP)25.0( ZP

)75.05.0( ZP

3925.05.08925.0)0()24.1()24.10( zPzPZP)ก

)ข 3632.06368.01)35.0(1)35.0( zPzP

)ค 4013.05987.01)25.0(1)25.0()25.0( zPzPzP

)ง )75.5( zP =4639.0)6915.1(7734.

))5.0(1()75.0(

)5.0()75.0(

)5.0()75.0(

zPzP

zPzP

zPzP

ตั�วอย�าง 5 เคร��องจ�กรของโรงงาน่แห�งหน่ �งม�อาย�การใช)งาน่โดยเฉล��ย ป็>สุ่�วน่ 1 เบ��ยงเบน่มาตัรฐาน่ ป็>ถ)าอาย�การใช)งาน่ของเคร��องจ�กรม�การแจกแจงแบบป็กตั�

3 จงหาความน่�าจะเป็�น่ที่��เคร��องจ�กรน่�!จะม�อาย�การใช)งาน่มากกว�า ป็>ว�ธ์�ที่*า ให)x = ()อาย�การใช)งาน่ของเคร��องจ�กรป็>

1,5),,(~ 2 normalX

ตั)องการหา )3( xP - ตั)องป็ร�บx ให)เป็�น่z

โดยที่��

z

Z

3

)3( x

PxP

)2()1

53(

zPzP

= )2(zPโดยที่��ค�ณีสุ่มบ�ตั�สุ่มมาตัร= 0.9772

ตั)องการหา

ตั�วอย�างที่�� คะ แน่น่สุ่อบของน่�สุ่�ตัใ น่ว�ชาสุ่ถ�ตัม�การแจกแจงป็กตั�ด)วยคะ แน่น่ 60 15 เฉล��ย คะ แน่น่ค�าเบ��ยงเบน่มาตัรฐาน่เป็�น่ คะ แน่น่ อยากที่ราบว�าม�น่�สุ่�ตัก��

85-95 เป็อร'เซ1น่ตั'ที่�� สุ่อบได)คะ แน่น่ตั�!งแตั� คะ แน่น่ว� ธ์� ที่*า ใ ห) xเ ป็� น่ ค ะ แ น่ น่ สุ่ อ บ ว� ช า สุ่ ถ� ตั )15,60(~ 2normalx น่�� น่ ค� อ

15,60

)9585

()9585(

xPxP

0376.09525.09901.0

)67.1()33.2(

zPzP

ตั�วอย�าง ถ)าอาจารย'ผ$)สุ่อน่ว�ชาสุ่ถ�ตัให)A 10แก�น่�สุ่�ตัที่��สุ่อบได)คะแน่น่สุ่$งสุ่�ด %ของ ห)องอยากที่ราบว�าน่�สุ่�ตัจะตั)องใช)คะแน่น่อย�างน่)อยเที่�าใดจ งจะได)เกรดA ว�ธ์�ที่*าให)X เป็�น่คะแน่น่สุ่อบว�ชาสุ่ถ�ตัด�งน่�!น่X~normal(60,152)

ให)aเป็�น่คะแน่น่ตั*�าสุ่�ดของการให)เกรดA

2.7960)15(28.1

28.115

60,90.)

15

60(,10.0)

15

60(

10.)(

a

aaZP

aZP

aXP

79.2 น่�สุ่�ตัจะตั)องได)คะแน่น่อย�างน่)อย คะแน่น่จ งจะได)เกรดA

ตั�วอย�าง -ถ)าบร�ษ�ที่ซ �งผล�ตัไอศคร�ม ขายโดยก*าหน่ดให)ม�น่*!าตัาลใน่ไอศคร�มแตั�ละ18- 22- - 2กล�องเป็�น่ โดยที่��บร�ษ�ที่ม�โรงงาน่ผล�ตัไอศคร�ม โรงงาน่ค�อ-โรงงาน่ม�น่*!าตัาลใน่ไอศคร�ม 20เฉล��ยตั�อกล�อง % 2ค�าเบ��ยงเบน่มาตัรฐาน่ %- 19โรงงาน่ม�น่*!าตัาลใน่ไอศกร�มเฉล��ยตั�อกล�อง % 1ค�าเบ��ยงเบน่มาตัรฐาน่ %

ถ)าป็ร�มาณีน่*!าตัาลใน่ไอศคร�ม แตั�ละกล�องม�การแจกแจงแบบป็กตั� อยากที่ราบว�าโรงงาน่ใดสุ่ามารถที่*าไอศกร�มได)ตัามที่��ก*าหน่ดด�กว�าอ�กโรงงาน่หน่ �งว� ธ์� ที่*า ใ ห) X เป็� น่ เป็ อ ร' เซ น่ ตั' น่*!า ตั า ล ใ น่ ไ ฮ ศ ก ร� ม โ ด ย ที่�� X~Normal( 2, )

ร งงา น่ A : X~normal ( %4%,20 2 )ร งงา น่ B : X~normal ( %1%,19 2 )อ งก า ร เป็ ร� ย บ เที่� ย บ %)22%18( xP ข อ งโ ร งงา น่ A -แ ล ะ Bสุ่*าหร�บของโรงงาน่ A : )

2

2022

2

2018(%)22%18(

ZPxP

6862.0

8413.018413.0

)]1(1[8413.0

)1()1(

)11(

Zp

ZPZP

ZP

สุ่*าหร�บโรงงาน่ B : )1

1922

1

1918(%)22%18(

ZPXP

84.0

8413.018413.0

)]1(1[9987.0

)1()3(

)11(

ZP

ZPZP

ZP

โรงงาน่B ที่*าตัามที่��ก*าหน่ดได)ด�กว�าโรงงาน่ Aเน่��องจากสุ่ามารถที่*าตัามที่��84ก*าหน่ดได) %ขณีะที่��โรงงาน่A 64.26ที่*าได)เพ�ยง %