第第 44 章章 弹性体振动弹性体振动

4.1 4.1 弦的振动弦的振动4.2 4.2 杆的纵向振动杆的纵向振动4.3 4.3 圆轴的扭转振动圆轴的扭转振动4.4 4.4 梁的横向振动梁的横向振动

弦振动弦振动• 在工程实际中常遇到钢索、电线、电缆和在工程实际中常遇到钢索、电线、电缆和皮带等柔性体构件，其共同特点是皮带等柔性体构件，其共同特点是只能承只能承受拉力受拉力，而，而抵抗弯曲及压缩能力很弱抵抗弯曲及压缩能力很弱，这，这类构件的振动问题称为弦的振动问题。类构件的振动问题称为弦的振动问题。

• 其固有频率与弦的密度、弦的长度、截面、其固有频率与弦的密度、弦的长度、截面、张力等有关，因此，知道弦的基本参数，张力等有关，因此，知道弦的基本参数，可以通过固有频率可以计算张力，如钢索可以通过固有频率可以计算张力，如钢索斜拉桥斜拉索的张力的确定。典型的例子斜拉桥斜拉索的张力的确定。典型的例子还有吉他、二胡、古筝等乐器。还有吉他、二胡、古筝等乐器。

弦振动方程的推导弦振动方程的推导

yy x

dxx x

0F dx

0F

y

x

2 2

0 02 2[ ]

y y y yAdx F dx F

t x x x

2

2 y

ydm F

t

2 2

02 2

y yA F

t x

0 /F A

2 22

2 2

y y

t x

l

dxx

均质弦横向振动的微分方程，又称为波动方程

弦振动方程的求解弦振动方程的求解

2 22

2 2

( ) ( )( ) ( )

t Y xY x t

t x

2 2 2

2 2

1 ( ) ( )

( ) ( )

t Y x

t t Y x x

( , ) ( ) ( )y x t Y x t

1 2( , ) ( sin cos )sin( )n nny x t C x C x t

( ) sin( )nt C t

1 1( ) sin cosn nY x A x B x

22

2

( )( ) 0n

tt

t

22

2 2

( )( ) 0nY x

Y xx

2 22

2 2

y y

t x

上式中 x 和 t 两个变量已经分离。因此，两边都必须等于同一常数。设此常数为 -n

2(只有将常数设为负值时，才有可能得到满足端点条件的非零解，该常数即为系统的固有频率 )

弦振动方程的主振型弦振动方程的主振型0, (0, ) 0

, ( , ) 0

x y t

x l y l t

2

1

0

sin 0n

C

lC

, 1, 2,3,nk k k

1 1( ) sin sin , 1,2,3,nkk k k

kY x C x C x k

l

1 2( , ) ( sin cos )sin( )n nny x t C x C x t

与多自由度系统振型的比较与多自由度系统振型的比较

作为连续系统的弦振动的作为连续系统的弦振动的特性与多自由度系统的特特性与多自由度系统的特性是一致的，不同的是多性是一致的，不同的是多自由度系统主振型是以各自由度系统主振型是以各质点之间的振幅比来表示，质点之间的振幅比来表示，而弦振动中质点数趋于无而弦振动中质点数趋于无穷多个，质点振幅采用的穷多个，质点振幅采用的连续函数－即振型函数连续函数－即振型函数 YY(x)(x) 表示。表示。

弦振动方程的主振动弦振动方程的主振动1( , ) sin sin( ), 1, 2,3,nk

k k nk ky x t C x t k

11

( , ) sin sin( )nkk nk k

k

y x t C x t

杆的轴向振动杆的轴向振动• 在工程问题中，常见到以承受在工程问题中，常见到以承受轴向力为主轴向力为主的直杆零件，如连杆机构中的连杆，凸轮的直杆零件，如连杆机构中的连杆，凸轮机构中的挺杆等，它们同样存在着沿杆轴机构中的挺杆等，它们同样存在着沿杆轴线方向的轴向振动问题。线方向的轴向振动问题。

• 其固有频率与杆的密度、弹性模量、长度、其固有频率与杆的密度、弹性模量、长度、轴向载荷等有关。轴向载荷等有关。

杆的轴向振动模型杆的轴向振动模型u

u dxx

x

O

x dx

u

2

2

u

t

NN

N dxx

dm

2

20x

u NF dm dx

t x

N EA

2

2

uAdx EA dx

t x

2 2

2 2

u uE

t x

三种典型边界条件三种典型边界条件———— (1)(1)

0, (0) 0

, ( )

x U

dUx l EA kU l

dx

2 1 10, cos sinn n nC EAC l kC l

cos sinn n nEA l k l

①

2

E=6.9E3

A= *0.01

L=1

2.001

4.901

7.974

杆的轴向振动主振型杆的轴向振动主振型

杆的轴向振动主振动杆的轴向振动主振动

三种典型边界条件三种典型边界条件———— (2)(2)

②

0, (0) 0; , 0dU

x U x ldx

cos 0n l

(2 1) (2 1), 1, 2,3,

2 2nk

k k Ek

l l

1, 0,1,2,3

2n l k k

杆的纵向振动主振型杆的纵向振动主振型

杆的纵向振动主振动杆的纵向振动主振动

三种典型边界条件三种典型边界条件———— (3)(3)

③

圆轴的扭转振动圆轴的扭转振动• 在各类机械中，传动轴是经常遇见的零部在各类机械中，传动轴是经常遇见的零部件，它主要用来传递转矩而不承受弯矩，件，它主要用来传递转矩而不承受弯矩，其振动可简化为细长杆的扭转振动问题。其振动可简化为细长杆的扭转振动问题。钻杆、车床的转轴、变速箱的齿轮轴等都钻杆、车床的转轴、变速箱的齿轮轴等都存在扭转振动。存在扭转振动。

• 其固有频率与轴的密度、转动惯量、截面、其固有频率与轴的密度、转动惯量、截面、长度、承受的扭矩等有关。长度、承受的扭矩等有关。

圆轴的扭转振动圆轴的扭转振动

dx

xOx

tTt

t

TT dx

x

dxx

t

p

Tdx dx

x GI

t pT GI dxx

2

2t

p

TJ dx

t x

pJ4

( )32p p

dJ dx I x dx

2

2( ) [ ( ) ]p pI x GI x

t x x

2 2

2 2t x

梁的横向振动梁的横向振动• 工程中常见的以承受弯曲为主的机械零件，工程中常见的以承受弯曲为主的机械零件，可简化为梁类力学模型，当一根梁作垂直可简化为梁类力学模型，当一根梁作垂直于其轴线方向的振动时，称为梁的横向振于其轴线方向的振动时，称为梁的横向振动，由于其主要变形形式是弯曲变形，所动，由于其主要变形形式是弯曲变形，所以又称为弯曲振动。以又称为弯曲振动。

• 八音盒上发声的声片就是梁振动的典型例八音盒上发声的声片就是梁振动的典型例子。其固有频率与梁的密度、弹性模量、子。其固有频率与梁的密度、弹性模量、轴向惯性矩、截面、长度等有关。轴向惯性矩、截面、长度等有关。

梁的横向振动梁的横向振动

dxx

l

x

dxQQ

Q dxx

MM dx

x

M

2

2

y QAdx dx

t x

MQ

x

2

2

Q M

x x

2

2

yEI M

x

2 2 2

2 2 2[ ] 0

y yA EI

t x x

2 42

2 40

y y

t x

2 EI

A

梁的横向振动的求解梁的横向振动的求解( , ) ( ) ( )y x t Y x t

( ) sin( )nt t

( , ) ( )sin( )ny x t Y x t

22

2

4 4

4 4

( )sin( )

( )sin( )

n n

n

yY x t

t

y d Y xt

x dx

4 2 2/n

44

4

( )( ) 0

d Y xY x

dx ( ) sxY x e

4 4 0s

1,2s 3,4s i

1 2 3 4( ) x x i x i xY x C e C e C e C e

xe ch x sh x cos sini xe x x

1 2 3 4( ) sin cosY x C x C x C sh x C ch x

梁对应的不同边界条件梁对应的不同边界条件

边界条件边界条件 位移位移 转角转角 弯矩弯矩 剪切力剪切力两端自由梁两端自由梁两端简支梁两端简支梁两端固定梁两端固定梁固定固定 // 自由自由梁梁固定固定 // 简支简支梁梁

2

2

0,

0x l

y

x

3

3

0,

0x l

M y

x x

0,0

x ly

2

2

0,

0x l

y

x

0,0

x ly

0,

0x l

y

x

00

xy

0

0x

y

x

2

20

x l

y

x

3

30

x l

M y

x x

0,0

x ly

0

0x

y

x

2

20

x l

y

x

一端固定一端简支梁一端固定一端简支梁0,

0x l

y

0

0x

y

x

2

20

x l

y

x

一端固定一端自由梁一端固定一端自由梁0

0x

y

0

0x

y

x

2

20

x l

y

x

3

30

x l

M y

x x

4 3 3

4 3 30 00

3 2 22

3 2 2 200 0

2

2 0

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ]

( ) ( )

ll lj j jk

k k

l llj j jk k

k

lnjk j

d Y x d Y x d Y xdY xY x dx Y x dx

dx dx dx dx

d Y x d Y x d Y xdY x d Y xY x dx

dx dx dx dx dx

Y x Y x dx

24 3 2 2

4 3 2 2 20 00 0

2

2 0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) [ ]

( ) ( )

l ll lj jk k k k

j j

lnjj k

dY x d Y xd Y x d Y x d Y x d Y xY dx Y x dx

dx dx dx dx dx dx

Y x Y x dx

梁振动主振型的正交性梁振动主振型的正交性

2 22 0

3 23 2

3 3 2 2

0 0

1( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )[ ( ) ( ) ] [ ]

l

nk nj k j

l l

j j jk k kj k

Y x Y x dx

d Y x dY x d Y xd Y x d Y x dY xY x Y x

dx dx dx dx dx dx

右边实际上是梁的端点边界条件，无论梁的端点是自由、固定或简支，将端点边界条件代入上式，右边始终为零

梁振动主振型的正交性梁振动主振型的正交性

22

2 20

( )( )0,

l jkd Y xd Y x

dx j kdx dx

2 22 0

1( ) ( ) ( ) 0

l

nk nj k jY x Y x dx

j k2 2nk nj

0( ) ( ) 0,

l

k jY x Y x dx j k 4 3 3

4 3 30 00

3 2 22

3 2 2 200 0

( ) ( ) ( )( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ]

ll lj j jk

k k

l llj j jk k

k

d Y x d Y x d Y xdY xY x dx Y x dx

dx dx dx dx

d Y x d Y x d Y xdY x d Y xY x dx

dx dx dx dx dx

用模态分析法求梁稳态响应用模态分析法求梁稳态响应(1) 通过求梁的自由振动微分方程，可求出在给定端点条件下梁各阶固有频率 n

k 和相应的各阶主振型 Yk (x)

(2) 对原方程进行坐标变换，将梁的受迫振动微分方程变换成用模态方程来表达。梁的坐标变换表达式

对变量 x 和 t 分别求偏导，然后代入梁横向振动微分方程1

( , ) ( ) ( )k kk

y x t Y x q t

将 Yj(x) 乘以上式两边，并对梁的全长积分得

4 2

4 21 1

( ) ( )( ) ( ) ( , )k k

k kk k

d Y x d q tEI q t A Y x f x t

dx t

4 2

4 20 0 01

( ) ( )[ ( ) ( ) ( ) ( ) ] ( ) ( , )

l l lk k

k j k j jk

d Y x d q tEIq t Y x dx A Y x Y x dx Y x f x t dx

dx t

用模态分析法求梁稳态响应用模态分析法求梁稳态响应4 2

24 20 0 0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( , )

l l lk k

k k k k

d Y x d q tEIq t Y x dx A Y x dx Y x f x t dx

dx t

2

22

( )( ) ( ), 1, 2,3,k

nk k k

d q tq t Q t k

dt

(3) 求解模态方程，求模态坐标响应 ，用杜哈美积分求解。

0

1( ) ( )sin ( ) , 1, 2,3,

t

k k nknk

q t Q t t d k

(4) 求系统的响应

for i=1:3; pp0=0; i B=D*A; pp=1.0/B(3); A=B/B(3); while abs((pp-pp0)/pp)>1.e-12 pp0=pp; B=D*A; pp=1.0/B(3); A=B*pp; end if(pp)>0 f=sqrt(pp)/2/pi %/单位HZ else f=0 endfprintf(fid1,'%20.5f',A);fprintf(fid2,'%20.5f',f);D=D-A*A'*M/(A'*M*A*pp);end