ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТМеханико-математический факультет

С. С. ГОНЧАРОВ

ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКЕ. Частьпервая

Учебное пособие

Новосибирск

2016

УДК 510.5, 510.6

Гончаров С. С. ЛЕКЦИИ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИ-КЕ. Учеб. пособие. Новосибирск, 2015. с.

Учебное пособие предназначено для студентов механико-мате-матических факультетов университетов и всех желающих изу-чить продвинутый курс «Математическая логика», включающийисчисления предикатов, основные понятия и теоремы теории мо-делей, элементы вычислимости с точки зрения логических системи теорема Геделя о неполноте и теорема Черча о неразрешимостиисчисления предикатов.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение в курс математической логики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Программа курса «Математическая логика» . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Лекция 1. Предмет математической логики . . . . . . . . . . . . . . . . 27Лекция 2. Наивная теория множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36Лекция 3. Натуральные числа и вполне упорядоченные

множества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52Лекция 4. Ординалы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Лекция 5. Мощности множеств . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71Лекция 6. Теоретико-множественная и истинностная

семантики высказываний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77Лекция 7. Секвенциальное исчисление высказываний . . . . . . 83Лекция 8. Основные эквивалентности формул

в секвенциальном исчислении высказываний . . . . 88Лекция 9. Нормальные формы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92Лекция 10. Гильбертовское исчисление высказываний . . . . . . 98Лекция 11. Основные проблемы исчисления высказываний 108Лекция 12. Модели и алгебраические системы . . . . . . . . . . . . . 114Лекция 13. Модели и алгебраические системы . . . . . . . . . . . . 116

Лекция 14. Формальный язык исчисления предикатовсигнатуры Σ (с равенством) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Лекция 15. Фильтры и фильтрованные произведенияалгебраических систем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

Лекция 16. Теорема Лося . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152Лекция 17. Локальная теорема Мальцева . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Программа и Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178

3

ЛЕКЦИЯ 1. ПРЕДМЕТ МАТЕМАТИЧЕСКОЙЛОГИКИ

Математическая логика, как одно из важнейших направленийсовременной математики, берет свое начало с конца XIX века. Еесоздание было вызвано новым этапом в развитии математики,когда предметом ее изучения стали идеальные бесконечные объ-екты и расширением класса исследуемых в математике структур.Работа с бесконечно большими и бесконечно малыми величина-ми, с бесконечными рядами, непрерывными и разрывными функ-циями потребовала обратить внимание на те средства, которыеиспользуются в работе математиков и сами являются основани-ями этой древнейшей науки. Необходимо было понять, что жетакое доказательство в математике и как оно связано с истин-ностью исследуемого свойства. Что же такое истинность матема-тического утверждения и что же является предметом изученияматематики, почему математические методы так эффективны впознании окружающего нас мира. В основания математики бы-ла положена теория множеств, в рамках которой оказалось воз-можным определить все математические объекты и построитьформальный язык для построения математических структур, врамках которого удается построить математически корректныйязык, для которого уже дать точную формализацию понятия до-казательства и истинности. То, что наш естественный язык имеетне всегда однозначное понимание, не любое правдоподобное рас-суждение является доказательством, каждый человек сталкива-ется в течении своей жизни многократно. И даже в такой строгойнауке, как математика были обнаружены неразрешимые пара-доксы. Разобраться с этим и с математическими рассуждениями,которые приводят к ошибкам, стало в связи с этим актуальнымв математике и привлекло внимание крупнейших математиков.

Другая проблема,в которую активно включились работающиев логике математики было связано с проблемой возможностинахождения алгоритмов решения математических проблем. Это

4

также стало предметом исследований уже в XX веке. В основуэтих исследований легла проблема математической формализа-ции понятия алгоритма. Успешное решение, которой привело ксовременному бурному развитию компьютерных технологий, ко-торые очень быстро меняют наш мир и всю нашу деятельность ижизнь в этом мире. Важно, что ключевым в этом развитии сталиидеи и методы и понятия математической логики. Но много про-блем до сих пор остаются не решенными и требуют новых мате-матических идей и технических решений. К одной из актуальнойпроблеме современной математической теории в логике относят-ся проблемы искусственного интеллекта и связанного с этим про-блем автоматизации управления сложными техническими объек-тами, проблем прогнозирования, работы с большими объемамиинформации и автоматизации их обработки.

Естественно, что большая часть этих вопросов связана не толь-ко с математикой, но относится к методологии научного познанияи философии математики и науки и техники в целом. В то жевремя их исследование может быть получено лишь в тесном при-менении математической логики, современной Computer Science,математической кибернетики и информатики, методологии и фи-лософии математики.

Математическая логика — это часть логики, которая занима-ется построением математических моделей рассуждений и истин-ности. Интерес крупнейших математиков к математической ло-гике в к. XIX – нач. XX в. был прежде всего связан с проблемойпостроения надежных оснований математики и разрешением об-наруженных парадоксов.

Пока математика работала с конечными объектами — нату-ральными числами, рациональными числами и геометрическимиобъектами, — проблем больших не возникало, в связи с приме-нимостью обычных методов и большой наглядностью. Хотя, каклегко заметить, уже и на уровне школьной геометрии можно об-наружить довольно много ошибочных решений, предлагаемых,например, на вступительных экзаменах задач, из-за потерянных

5

решений в связи с использованием геометрических представле-ний, которые приводят в силу наглядности лишь к одной из воз-можностей.

Возникновение бесконечных идеальных объектов приводит кразличным трудностям с пониманием, что такое корректное рас-суждение или доказательство для этих идеальных предельныхконструкций.

В основу решения этой проблемы обоснования математики бы-ло положено предложенное Г. Кантором понятие множества, поз-воляющее из этой единой основы определить все математическиепонятия. Но быстро было понято, что обращаться с понятиеммножества нужно достаточно осторожно, так как не любые кон-струкции с ними допустимы. Кроме того, и сами способы дока-зательств, которые мы используем, вызывали сомнения в их кор-ректности.

Г. Кантор начал исследовать произвольные совокупности раз-личных элементов как некоторое базисное понятие в математике.Кантор пришел к понятию множества из анализа. Его интересыбыли связаны с изучением бесконечных множеств вещественныхчисел. А собственно проблема нахождения примитивных поня-тий для построения математики, которые можно положить в ееоснову была решена Б. Расселом. Идея Б. Рассела состояла втом, чтобы показать, что математика — это просто логика. Нологика в его понятии была значительно шире, чем она рассмат-ривается сейчас. Сейчас мы можем сказать, что реально Б. Рас-сел показал, что формальная математика — это логика и теориямножеств. С достаточно большой внимательностью и аккуратно-стью можно показать, что определение любых математическихпонятий может быть сведено к понятиям теории множеств и ло-гики, а все доказательства выведены в исчислении предикатов.В рамках построенной им теории множеств, которую мы будемназывать наивной теорией множеств, Г. Кантор установил дваважных результата, происходящих из анализа.

Первый из них связан со сравнением типа бесконечности мно-

6

жества натуральных чисел и множества рациональных чисел.Кантор перенумеровал все рациональные числа натуральнымичислами, расположив все положительные в виде бесконечной мат-рицы вправо и вниз. Нумерация определялась зигзагообразно подиагоналям, на которых стояли дроби с одинаковой суммой чис-лителя и знаменателя.

1/1 −→ 2/1 3/1 −→ 4/1...

↙ ↙1/2 2/2

↓ ↙1/3

Этот результат Г. Кантора показывал, что среди веществен-ных чисел существует счетное всюду плотное множество. С дру-гой стороны, он сравнил множество вещественных чисел и мно-жество натуральных чисел и показал, что вещественных чиселуже несчетное множество и, таким образом, индукция к ним неприменима. Сам метод доказательства этого результата широ-ко используется в настоящее время в математике, его называютдиагональным методом. Доказательство этого факта ведется отпротивного. Пусть мы можем перенумеровать все вещественныечисла r0, . . . , rn, . . . Определим теперь новое число r, которое вдесятичной записи имеет вид 0, δ0δ1δ2 . . ., где цифра δn в этомразложении равна 0, если n-тый знак в десятичном разложениичисла rn не равен 0 и δn равно 1 в противном случае. Легковидеть, что такое число r отлично от всех чисел в последова-тельности r0, . . . , rn, . . . Полученное противоречие доказывает на-ше утверждение. Таким образом, мы доказали, что существуютбесконечные множества с различным числом элементов. ОднакоБ. Расселом было показано, что широкая трактовка множеств поКантору (1895) быстро приводит к парадоксам.

7

Пример 1. (Парадокс Рассела, 1902 г.) Рассмотрим множествовсех множеств Y . Определим теперь множество X = {x ∈ Y |x /∈ x}. Подмножество элементов X выделяется в множестве всехмножеств простым свойством и, конечно же, само является мно-жеством. Рассмотрим теперь для него две возможности.

1) Если X ∈ X, то по определению элементов из X мы полу-чаем, что X /∈ X. Значит, этот случай невозможен.

2) Если же мы рассмотрим вторую возможность X /∈ X, тов силу выполнимости свойства определяющего элементы из Y ,которые лежат в подмножестве X, мы имеем: X ∈ X, что вновьпротиворечит нашему предположению. Таким образом, мы пока-зали, что пришли к противоречию в обоих случаях и наша на-ивная теория множеств противоречива и не годится в качествеоснований математики.

Известны и другие логические парадоксы, связанные с болеепродвинутыми понятиями и результатами из теории множеств.

1. Парадокс Кантора, 1899 г. О мощностях множества всехмножеств и множества всех его подмножеств.

2. Парадокс Бурали–Форти, 1897 г. «О существовании множе-ства всех ординальных чисел».

Были обнаружены и другие парадоксы, носящие уже семан-тический характер.

1. Парадокс «лжеца». Некто говорит:«Я лгу».2. Парадокс Ришара, 1905 г. С помощью фраз русского языка

могут быть охарактеризованы те или иные вещественные числа.Все фразы русского языка могут быть перенумерованы некото-рым стандартным способом, а именно лексикографически срав-ниваем фразы, содержащие одинаковое число букв, а фразы раз-ной длины упорядочим по их длине. Опустив теперь в стандарт-ной нумерации всех фраз все фразы, не определяющие веще-ственных чисел, мы получаем нумерацию вещественных чисел,

8

определимых фразами русского языка. Число, получающее притакой нумерации номер n, назовем n-ым числом Ришара. Опре-делим теперь число α фразой русского языка: «Вещественноечисло, у которого в десятичной записи для любого натуральногочисла на соответствующем месте стоит нуль, если у соответству-ющего числа Ришара на этом десятичном знаке стоит не нульи единица, в противном случае». Это число определимо фразойрусского языка и, следовательно, является числом Ришара, нооно определено так, что отличается от n-го числа Ришара в n-знаке.

3. Парадокс Берри, 1906 г. Рассмотрим натуральное число k соследующим свойством: наименьшее из натуральных чисел, кото-рые не характеризуются никакой фразой русского языка, содер-жащей не более пятидесяти слогов. Но эта фраза содержит менеепятидесяти слогов. Противоречие.

4. Парадокс Греллинга, 1908 г. Рассмотрим прилагательныев русском языке. Определим два типа прилагательных. Автоло-гические прилагательные, которым присуще названное свойство,например, многосложный, русский и т. п. Гетерологические при-лагательные, которым не присуще названное свойство, например,односложный, французский, голубой и т. п. Рассмотрим теперьприлагательное «гетерологическое». К какому типу оно принад-лежит? Если гетерологично, то не обладает этим свойством и,следовательно, не гетерологично. Если же оно автологично, тооно само должно обладать этим свойством, т. е. оно гетерологи-ческое и не автологическое. Противоречие.

Все эти парадоксы подлинные, т. е. не содержат логическихизъянов.

С другой стороны, широко известно и многообразие смысланекоторых фраз русского языка, что также приводит к проблемепонимания математических доказательств. Особенно часто этамногозначность смысла возникает в длинных определениях кон-струкций, даже в математических доказательствах. А в нашихобычных рассуждениях это встречается довольно часто, напри-

9

мер: «Он ждал ее на поляне с цветами». Одним из классическихразделов философии является логика. Логика — это наука обумозаключениях или методах рассуждений, методах познания.При этом большее внимание уделяется форме, а не содержаниюсоответствующих рассуждений. В качестве примера возьмем сле-дующее простое рассуждение.

Пример 1. Павел и Валерий — братья. Павел носит фамилиюБелов. Братья носят одну и ту же фамилию. Следовательно, Ва-лерий носит фамилию Белов.

В повседневной жизни, посылка «Братья носят одну и ту жефамилию» могла бы быть опущена, по крайней мере пока бы невозникли сомнения в ее правильности. Но для целей логическогоанализа все посылки должны быть сформулированы явно. В та-ком случае это рассуждение верно в силу своей формы и не зави-сит от истинности или ложности посылок. Сравним его с другимрассуждением, имеющим ту же форму.

Пример 2. Числа i −√

3�3, ω суть комплексные числа, отно-шение которых действительное положительное число. Аргументω равен 2π�3. Комплексные числа, отношение которых есть дей-ствительное положительное число, имеют один и тот же аргу-мент. Следовательно, аргумент i−

√3�3 равен 2π�3.

Ясно, что форма этого рассуждения та же, но содержание дру-гое.

Но не всегда текстуальное следование форме позволяет сде-лать правильный вывод. Рассмотрим, следуя Алонзо Черчу, сле-дующие два примера.

Пример 3. Я видел портрет Джона Буса. Джон Бус убил Ав-раама Линкольна. Следовательно, я видел портрет убийцы Ав-раама Линкольна.

Пример 4. Я видел портрет некоего мужчины. Некто изобрелколесо. Следовательно, я видел портрет изобретателя колеса.

Внешнее сходство здесь обманчиво. В данном случае ошибкабыстро обнаруживается, когда мы, не ограничиваясь внешнимсходством, обращаемся к содержанию.

10

По этой причине, как отмечает известный математик и логикАлонзо Черч, нам не только желательно, но и просто необхо-димо употреблять для логических целей специально созданныйформальный язык. Этот язык в противоположность обычномуязыку будет следовать за логической формой и воспроизводитьее даже в ущерб краткости и легкости общения. Введение особогоформализованного языка означает принятие особой теории, илисистемы логического анализа. Именно это является главной от-личительной чертой формализованного языка, а вовсе не то, чтооказалось удобным заменить отдельными буквами и различнымиспециальными символами слова, которые в написании в большин-стве обычных языков составляются из нескольких букв. Замечу,кстати, что Алонзо Черч является создателем основы функцио-нального программирования лямбда-исчисления.

Прежде всего необходимо выделить тот математический язык,который мы можем использовать в доказательствах, чтобы невозникали проблемы построения утверждений с неоднозначнымсмыслом. А также требуется уточнить и само понятие доказа-тельства в математике. Для решения этих проблем было разра-ботано исчисление предикатов. В исчислении предикатов опре-делен формальный язык и в нем было построено математическикорректное понятие доказательства. Однако уже в определениипонятия доказательства возникли разные подходы: классическийи интуиционистский. Проблема связана с использованием при до-казательстве существования методов доказательства от против-ного.

Однако проблема выбора оснований математики и обоснова-ние их корректности также привело к различным подходам, к ихрешению. Принципы решений:

1. Давид Гильберт исследовал непротиворечивость различныхтеорий, возникающих в математике. По его мнению, для развитиятеории и ее надежности необходимо доказать ее непротиворечи-вость.

2. Эрнст Цермело создал аксиоматический метод построения

11

теории множеств.3. Бертран Рассел и Альфред Уайтхед создали теория типов. В

теории типов с каждым объектом связывается тип этого объектаи элементы множества имеют меньший тип, чем само это множе-ство. Такой подход позволяет избавиться от парадокса Б. Рассе-ла.

4. Дескриптивная теория множеств была создана на основеработ Э. Борель, Р. Бэр, Х. Лебег, М. Суслин, Г. Александров,Н. Лузин, П. Новиков, В. Серпинский, Я. Московакис). В этойтеории рассматриваются только «простые» множества действи-тельных чисел и изучаются их свойства. Эта теория оказаласьтесным образом связана с теорией вычислимости и теорией до-пустимых множеств.

Давид Гильберт предложил проверить непротиворечивость си-стемы, в рамках системы определить понятие «доказательство» ииспользовать его. Построить конечное обоснование этой области.С другой стороны, возникает проблема семантики формальныхязыков и построения семантики для их различных аксиомати-заций. В то же время с построением формальных языков и ихточной семантики становится актуальной проблема построенияуниверсального способа решения всех математических проблем,формулируемых на этом формальном языке. Таким образом, воз-никает проблема анализа алгоритмов решения математическихпроблем и построение математического понятия алгоритма. Этобыло сделано в работах математиков разных стран. Открытиепривело к неожиданным последствиям как в математике, так ив развитии нашей цивилизации. В математике были доказанызнаменитые теоремы К. Геделя о неполноте арифметики Пеанои теорема А. Черча о неразрешимости исчисления предикатов.А в технике и производстве, во всем укладе жизни нашего об-щества и в нашей цивилизации произошли коренные изменениякак в технологиях, так и в возможностях человека для работы синформацией и доступа к информации и методах познания окру-жающего нас мира.

12

Итак, задача нашего курса — построить математическую тео-рию, в рамках которой мы сможем дать точное математическоеопределение таких важных понятий, как «доказательство утвер-ждения», «истинность утверждения», «алгоритм» и «вычисли-мость», а также установить фундаментальные свойства этих по-нятий и связи между ними. Мы также хотим построить аксиома-тическую теорию множеств, которая лежит в основаниях совре-менной математики, и ответить на вопрос немецкого философа,логика, математика, механика, физика, юриста, историка, дипло-мата, изобретателя и языковеда Готфрида Лейбница: «Есть линекоторый универсальный способ решения всех математическихпроблем?».

Таким образом математическая логика разрабатывает не толь-ко основания математики, но и создало уже новые методы и науч-ные направления в науке и технике, имеет многочисленные при-ложения, как в самой математике, так и при создании языковпрограммирования и спецификаций и других, разработке про-блем и моделей случайности и закономерности, искусственногоинтеллекта и автоматизации управления и обработке большихобъемов информации без которых невозможен прогресс в совре-менной генетике, проблем криптографии и многих других.

Упражнения.1. Сравнить мощность отрезка без концов вещественных чисел

]0, 1[ и всех вещественных чисел.2. Сравнить мощность отрезка без концов вещественных чисел

]0, 1[ и квадрата без границ ]0, 1[×]0, 1[.3. Сравнить мощности множества комплексных чисел с мно-

жеством рациональных чисел и множеством вещественных чисел.4. Показать, что приведенные в лекции парадоксы действи-

тельно приводят к противоречию.

13

ЛЕКЦИЯ 2. НАИВНАЯ ТЕОРИЯ МНОЖЕСТВ

При определении наивной теории множеств, чтобы избежатьконфликтов с существованием множества всех множеств и дру-гими известными противоречиями, мы будем предполагать, чтоимеем некоторый класс множеств U , удовлетворяющий опреде-ленному набору аксиом. Именно объекты из этого класс и толькоих мы и будем называть множествами. Из свойств этого классаследует, что сам этот класс множеств не является множеством ине является элементом самого себя. Исходя из задачи построениявсех используемых в современной математике объектов, будемполагать, что для множеств из этого класса выполняется некото-рая естественная система свойств, необходимых для построенияосновных математических объектов и конструкций. Мы будем до-бавлять эти требования на правила работы со множествами изэтого класса по мере надобности в определении новых конструк-ций над множествами из этого класса. Будем называть этот фик-сированный класс объектов U «универсум множеств U».

Для записи интересующих нас свойств будем использовать хо-рошо известные всем из курса анализа сокращения для запи-си некоторых стандартных выражений, встречающихся в записисвойств. Итак, мы будем использовать сокращения x ∈ Y длязаписи свойства «x является элементом множества Y », а выра-жение x /∈ Y будет обозначать свойство «x не является элемен-том Y ». Мы будем использовать также кванторы (∀x) и (∃x) длясокращения записи выражений «для любого элемента x» и «су-ществует элемент x» соответственно. Также будем использоватьлогические связки: ∧ для союза «и», ∨ для союза «или», ⇔ длявыражения «если и только если», ⇒ для выражения «влечет» и¬ для отрицания записанного правее утверждения.

Нас интересует, из каких элементов состоит данное множество,и никаких иных дополнительных свойств, кроме содержащихсяв нем элементов, множество не имеет и множества различаютсятолько по их содержанию..

14

Поэтому в качестве первой аксиомы для нашего универсумамы требуем выполнимости аксиомы равнообъемности: X =Y ⇔ (∀x)(x ∈ X ⇔ x ∈ Y ).

Мы потребуем от нашего универсума существования в U пу-стого множества аксиомы пустого множества. Существуетмножество в нашем универсуме U , которое не содержит ни од-ного элемента. Заметим, что в силу нашего предположения рав-нообъемности, это свойство отсутствия в нашем множестве эле-ментов определяет данное множество однозначно. Поэтому мыможем ввести для него особый символ ∅. Используя наши со-глашения о сокращениях, можем записать эту аксиому в виде«Множество ∅ принадлежит нашему универсуму» либо в виде(∃X)(∀Y )(Y /∈ X).

Прежде всего, мы хотим определить над элементами из наше-го универсума стандартные теоретико-множественные операции,которые необходимы в любой математической теории. Во-первых,это операции объединения и пересечения.

Потребуем выполнения аксиом существования множеств, рав-ных объединению и пересечению любых совокупностей множеств,которые образуют множество из нашего универсума.

В частности, это будет справедливо и для двухэлементныхмножеств, а отсюда и для любых пар множеств, но при условии,что мы можем образовывать из любых двух элементов нашегоуниверсума множество, состоящее в точности из этих элементов.Отсюда легко следует, что в этом случае мы сможем образовы-вать любые конечные множества из элементов нашего универсу-ма. Чтобы обеспечить эти возможности, введем в качестве ак-сиом следующий набор требований к нашему универсуму. Что-бы определить эти аксиомы, примем следующие соглашения опринятых обозначениях для записи конкретных множеств. Длямножества из нашего универсума, состоящего в точности из эле-ментов набора A1, A2, . . . , An, которое в силу аксиомы равнообъ-емности единственное в нашем универсуме, будем использоватьобозначение {A1, A2, . . . , An}. Если же у нас есть некоторое свой-

15

ство α(x) элементов x нашего универсума и совокупность всех та-ких элементов образует множество из нашего универсума, то этоединственное в силу аксиомы равнообъемности множество будемобозначать через {a|α(a)}.

Аксиома пары. Для любых элементов X,Y нашего универ-сума существует множество {X,Y }, состоящее в точности из эле-ментов X и Y , т. е. в более формализованной записи

(∃Z)(X ∈ Z ∧ Y ∈ Z ∧ (∀W )(W ∈ Z → (W = X ∨W = Y ))).

Аксиома объединения. Для любого множества X совокуп-ность элементов {a| существует элементY из множестваX такой,что a ∈ Y и Y ∈ X}, в более формальной записи с учетом нашихсоглашений совокупность элементов {a|(∃Y )(Y ∈ X∧a ∈ Y ∧Y ∈X} корректно определена и лежит в нашем универсуме. Мы еебудем обозначать через

⋃Y ∈X Y или ∪X.

Легко видеть теперь, что из аксиом пары и объединения длялюбых элементов. Для любых множеств X,Y нашего универсу-ма существует объединение X ∪ Y , которое состоит из элемен-тов лежащих в множестве X или Y , т. е. равного множеству∪{X,Y }. Если у нас есть конечный набор множеств A1, A2, . . . , Anиз нашего универсума, то в силу аксиом пары и объединения поиндукции легко видеть, что существует и конечное множество{A1, A2, . . . , An}, и объединение всех этих множеств A1 ∪ A2 ∪. . . ∪An.

Для определения пересечений отдельное требование нам ненужно. Введем дополнительную аксиому, которая позволяет опре-делять в нашем универсуме подмножества и из которой, в частно-сти, будет следовать и существование пересечений всех множествиз любого данного множества.

Аксиома выделения. Пусть α(x) – некоторое свойство тео-ретико-множественное в формальном языке теории множеств. Бо-лее точно этот язык будет построен при рассмотрении языка ис-числения предикатов. А сейчас будем понимать неформально,

16

что это свойство выражается только через отношение принад-лежности с помощью логических связок и кванторов. Мы требу-ем, чтобы для любого множества X из универсума в нашем уни-версуме нашлось множество Y такое, что оно состоит в точностииз тех элементов множества X, которые удовлетворяют свойствуα(x). В более формализованной записи можно выразить это тре-бование в виде записи (∀X)(∃Y )(∀Z)(Z ∈ Y ↔ ((Z ∈ X) ∧ α(Z).

Нетрудно видеть, что это требование влечет, что для любыхмножеств X,Y существуют в нашем универсуме множество X∩Y(пересечение множеств X,Y ) и множество ∩Y ∈XY (пересечениемножеств из X). Под пересечением X ∩ Y множеств X,Y мыпонимаем множество, состоящее из всех элементов, лежащих од-новременно и в X, и в Y . Под пересечением множеств из X мыпонимаем множество, состоящее в точности из тех элементов, ко-торые входят в любое множество из X, которое и обозначаемодним из двух способов

⋂Y ∈X Y или ∩X.

В дальнейшем будем использовать сокращения для написанияформул подформулы вида X ⊆ Y , X = V ∪W и X = V ∩W ,которые определяются, соответственно, формулы (∀v)(v ∈ X ⇒v ∈ Y ), (∀v)(v ∈ X ⇔ (v ∈ V ∨ v ∈ W )) и (∀v)(v ∈ X ⇔ (v ∈V ∧ v ∈W )).

Еще одна важная конструкция, которая часто используетсяв математике, связана с определением подмножеств некоторогомножества. Допустимость рассмотрения множества подмножествлюбого множества задается аксиомой степени. Мы говорим, чтомножество X является подмножеством множества Y и сокращен-но выражать, как отмечено выше , в виде X ⊆ Y , если любойэлемент их X является элементом Y , т. е. выполнено свойствоформально записанное в виде (∀Z)(Z ∈ X → Z ∈ Y ).

Заметим, что из аксиомы равнообъемности следует, что A =B ⇔ (A ⊆ B ∧B ⊆ A).

Аксиома степени.Для любого множестваX существует мно-жество Y , состоящее из всех подмножеств множества X.

Это множество по свойству равнообъемности единственно в

17

нашем универсуме, и будем обозначать множество всех подмно-жеств X через P(X). Таким образом, P(X) = {Z|Z ⊆ Y }.

18

Упорядоченные пары и n-ки элементов

Для определения многих основных математических понятийна основе понятия множества и отношения быть элеменом пер-вичным является понятие упорядоченной пары элементов. Намнужно исходя только из теоретико-множественных свойств опре-делить для каждой пары элементовX,Y множество, которое опре-деляло бы упорядоченную пару < X,Y > в виде множества, покоторому мы могли бы восстановить эти два элемента, а такжекакой из них является первым в списке, а какой вторым. Важнотакже, чтобы и никакой избыточной информации из этого мно-жества не извлекалось об упорядоченной паре < X,Y >.

Мы назовем множество {{x}, {x, y}} упорядоченной парой,где элемент x — первый, а y — второй. Будем обозначать этомножество через 〈x, y〉. Заметим, что свойство множества X бытьупорядоченной парой 〈x, y〉 является теоретико-множественными определяется следующим свойством: (∃A)(∃B)((A ∈ X ∧ B ∈X) ∧ ((x ∈ A) ∧ (∀z)(z ∈ A⇒ z = x)) ∧ (x ∈ B ∧ y ∈ B ∧ (∀z)(z ∈B ⇒ (z = x ∨ z = y)))).

Будем использовать для выражения «множество X равно упо-рядоченной паре 〈x, y〉» сокращенную запись в виде «X = 〈x, y〉».

Предложение 1. Упорядоченные пары 〈x, y〉 и 〈a, b〉 совпа-дают, если и только если (x = a ∧ y = b).

Докажем наше утверждение справа налево (⇐), т. е. доста-точность. Если x = a и y = b, то очевидно, что {x} = {a},{x, y} ={a, b} и 〈x, y〉 � {{x}, {x, y}} = {{a}, {a, b}} = 〈a, b〉 и утвержде-ние выполнено.

Докажем теперь наше утверждение слева направо(⇒), т. е.необходимость. Итак мы хотим доказать, что если 〈x, y〉 = 〈a, b〉,то {{x}, {x, y}} = {{a}, {a, b}}. Если рассмотрим множество {x}в первой части, то в силу аксиомы равнообъемности возможны 2варианта:

1) {x} = {a};

19

2) {x} = {a, b}.

Рассмотрим первый случай.

1) Пусть {x} = {a}. Тогда по аксиоме равнообъемности x = a,и, следовательно, выполнена одна из следующих возможностейуже для второго элемента из 〈x, y〉.

{x, y} = {a} или (1.1)

{x, y} = {a, b}. (1.2)

Если выполнен случай (1.1), то по аксиоме равнообъемностиx = y = a. Отсюда следует, что множество 〈x, y〉 состоит из 1элемента, и, следовательно, {a, b} = {x}. Отсюда по аксиоме рав-нообъемности x = a и x = b, но тогда x = a = y = b.

Если выполнен случай (1.2), то y 6= x или y = x. Случай y = xсводится к (1.1). А из y 6= x следует, что {x, y} 6= {a}, тогда{x, y} = {a, b}, но из {x} = {a} следует {y} 6= {a}, значит x = a иy = b.

Рассмотрим теперь второй случай.

2) {x} = {a, b}.

Но если {x} = {a, b}, следовательно, симметрично случаю (1.1)получаем a = b = x и x = y = a = b. Предложение доказано.

Данное доказательство показывает, что определенное выше попаре элементов множество действительно кодирует всю требуе-мую информацию об упорядоченной паре, причем эта информа-ция извлекается, основываясь только на теоретико-множествен-ных его свойствах.

Определим теперь понятие упорядоченной n-ки множеств приn ≥ 2 о индукции. Для n = 2 мы уже имеем это понятие. Пусть

20

для наборов из n ≥ 2 элементов a1, . . . , an мы имеем это опре-деление упорядоченной n-ки. Определим теперь упорядоченныйнабор для элементов a1, . . . , an, an+1, взяв для набора элементовa1, . . . , an соответствующую упорядоченную n-ку < a1, . . . , an >,положив в качестве упорядоченного набора < a1, . . . , an, an+1 >из элементов a1, . . . , an, an+1 упорядоченную пару<< a1, . . . , an >, an+1 >. Из предложения 1 мы получаем основное свойство упо-рядоченных наборов.

Следствие. < a1, . . . , an >=< b1, . . . , bn >⇔ a1 = b1, . . . , an =bn.

Декартово произведение

Основываясь на понятии упорядоченной пары, мы можем опре-делить декартово произведение двух множеств.

Рассмотрим два множества A, B. Определим теперь декарто-во произведение как множество A×B в виде {〈x, y〉 | x ∈ A,y ∈ B}. Заметим теперь, что такое множество всегда существуетв нашем универсуме. Это следует из аксиомы выделения и акси-омы степени. Если x ∈ A и y ∈ B, тогда

{x} ⊆ A, {x, y} ⊆ (A ∪B)

и{x} ∈ P(A ∪B), {x, y} ∈ P(A ∪B).

Следовательно, 〈x, y〉 ∈ P(P(A∪B)). Но в таком случае нам нуж-но выделить в множестве P(P(A ∪ B)) упорядоченные пары, вкоторых первый элемент взят из A, а второй из B. Мы сможемдостичь этого, дважды применив аксиому степени и получив на-личие в нашем универсуме множества P(P(A∪B)). А после этого,применяя аксиомы выделения и равнообъемности, легко получа-ем, что

A×B = {Z ∈ P(P(A ∪B))|(∃x)(∃y)(x ∈ A ∧ y ∈ B ∧ Z = 〈x, y〉)}

21

и существование нашего множества доказано.Теперь по индукции мы можем легко определить декартовы

произведения не только пары множеств, но и произвольных nмножеств A1, . . . , An, полагая A1 × . . .×An ×An+1 (A1 × . . .×An) × An+1. Введем также сокращенную запись для декартовойстепени An состоящего из всех упорядоченных наборов из n эле-ментов множества A. Считаем, что A1 = A.

Любое подмножество P в множестве An будем называть n-местным отношением на множестве A. Любое подмножество P вмножестве A1 × . . .× An будем называть отношением на множе-ствах A1, . . . , An.

Функции на множествах

Одно из базисных понятий в современной математике поня-тие функции. В рамках теоретико-множественных понятий мо-жем теперь дать математически точное понятие функции.

Пусть даны множества A и B. Функцией f из A в B назовемподмножество f ⊆ A×B, для которого выполнены следующиедва условия:

1) ∀x ∈ A ∃y ∈ B | 〈x, y〉 ∈ f ;

2) ∀x, y1, y2, если 〈x, y1〉 ∈ f и 〈x, y2〉 ∈ f ⇒ y1 = y2.

Нетрудно понять, что мы определяем понятие функции череззадание ее графика. Первое свойство гарантирует, что для лю-бой точки из A пределен образ. Мы будем называть в этом слу-чае множество A областью определения функции f и обозначатьDom(f). Из второго условия получаем, что в каждом сечении поx есть только одна точка. Будем обозначать единственную точ-ку y для x такую, что 〈x, y〉 ∈ f через f(x). Для подмножествX ⊆ A и Y ⊆ B обозначим через f(X) множество {y|(∃x)(〈x, y〉 ∈fи x ∈ X)} и через f−1(Y ) множество {x|(∃y)(〈x, y〉 ∈ fи y ∈ Y )}.Ясно, что f(X) ⊆ B и f−1(Y ) ⊆ A и будем их называть, соответ-ственно, f -образом множества X и f -прообразом множества Y .

22

Множество f(A) будем называть областью значений функции fи обозначать через Range(f).

Прежде всего заметим, что для любой функции f из A в B иподмножеств X1 ⊆ A и X2 ⊆ A выполнено равенство

f(X1) ∪ f(X2) = f(X1 ∪X2),

а для подмножеств Y1 ⊆ B и Y2 ⊆ B выполнены равенства

f−1(Y1) ∪ f−1(Y2) = f−1(Y1 ∪ Y2)

иf−1(Y1) ∩ f−1(Y2) = f−1(Y1 ∩ Y2).

Это легко следует непосредственной проверкой на основании ак-сиомы равнообъемности.

В то же время выполнено всегда включение

f(X1) ∩ f(X2) ⊇ f(X1 ∩X2),

но обратное включение выполняется не всегда. Мы можем рас-смотреть функцию на всем множестве, равную одному значениюb, и рассмотреть два непустых множества, но без общих точек,т. е. X1 ∩X2 = ∅. Тогда (f(X1)∩ f(X2) = f(X1) = f(X2)) = {b} 6=∅, но f(X1) ∪ f(X2) = ∅. Следовательно, равенство не выполня-ется.

Мы будем называть функцию f из A в B разнозначной илиинъективной, если для любых различных элементов a 6= b из Aзначения на них также различны f(a) 6= f(b). Нетрудно прове-рить, что функция f из A в B разнозначна, если и только еслидля любых подмножеств X1 ⊆ A и X2 ⊆ A выполнено равенство

f(X1) ∩ f(X2) ⊇ f(X1 ∩X2).

Назовем функцию f из A в B отображением из A на B илисюръективной, если для любого элемента b из B существует эле-мент a b A такой, что f(a) = b. Функция f из A в B называется

23

взаимнооднозначным отображением A на B, если она разнознач-на и является отображением A на B. Ясно, что разнозначнаяфункция взаимнооднозначно отображает свою область определе-ния на область значений. Если функция f взаимнооднозначноотображает множество A на B, то множество f−1 {〈y, x〉|〈x, y〉∈ f} отображает взамнооднозначно множествоB наA и f(f−1(b))= b для любого элемента b ∈ B, а f−1(f(a)) = a для любого эле-мента a ∈ A. Здесь и далее мы используем символ для ука-зания того, что мы определяем левую часть, равной правой поопределению.

Если f функция из A в B, а g функция из B в C, то опреде-лим подмножество f ◦ g ⊆ A × C, положив f ◦ g {〈x, z〉|(∃y ∈B)(〈x, y〉 ∈ f∧〈y, z〉 ∈ g)}. Простая проверка показывает, что f ◦gявляется функцией из A в C. Эта функция будет разнозначной,если функции f и g были разнозначны.

По определению множество не пусто, если существует элемент,принадлежащий этому множеству. Но когда мы рассматриваемне одно множество, а некоторую совокупность непустых мно-жеств, то естественно возникает вопрос о выборе в каждом мно-жестве из этой совокупности какого-либо элемента, т. е. вопрос осуществовании функции из множества множеств в их объедине-ние, сопоставляющей каждому множеству из этой совокупностиэлемент из этого множества.

Вопрос о существовании такой функции для конечных мно-жеств решается положительно, но в случае бесконечных мно-жеств это уже нетривиальная проблема. Решение ее зависит оттого, какие базовые аксиомы мы накладываем на наш универсум.Заметим только, что без нее невозможно доказать, что объедине-ние счетного множества счетных множеств будет счетно.

Аксиома выбора. Для любого множества существует функ-ция из множества его непустых подмножеств в это множество,которая выдает по каждому такому непустому подмножеству эле-мент из этого подмножества. Такие функции называются функ-циями выбора для данного множества.

24

Эта аксиома не включается в стандартный набор аксиом тео-рии множеств, но в силу ее удобства и возможности доказать,что аксиоматика теории множеств без этой аксиомы и с этой ак-сиомой равнонепротиворечивы, то очень часто она использетсяв различных математических результатах. В то же время приусловии существования таких функций выбора можно доказатьвыполнимость следующего полезного свойства бесконечных мно-жеств: для любого бесконечного множества мощность самого мно-жества совпадает с мощностью его квадрата, т.е. эта аксиома поз-воляет свойства счетных множеств, полученное Г.Кантором, рас-пространить на любые бесконечные множества. В тоже время,существование таких функций выбора не включается в основнуюаксиоматику теории множеств Цермело-Френкеля, восходящуюк построению аксиоматики основоположниками Э. Цермело иА.Френкелю. Эта аксиома выбора будет проанализирована позд-нее с точки зрения ее связи с другими теоретико-множественнымипринципами уже на основе формального исчисления предикатов.

Другое важное свойство, уже необходимое в самых различныхконструкциях, связано с аксиомой подстановки. Если мы вы-брали в нашем универсуме множество A и определили некотороетеоретико-множественное свойство ϕ(x, y) такое, что для любо-го элемента a из множества A существует в нашем универсумеединственный элемент b такой, что выполнено свойство ϕ(a, b),то существует в универсуме множество B, содержащее все такиеэлементы, т. е. любой b такой, что найдется элемент a в A, чтовыполнено свойство ϕ(a, b), лежит в B.

Частичные порядки и частично упорядоченные множества

Наряду с понятием функции важными конструкциями в ма-тематике являются частичные и линейные порядки, а также от-ношения эквивалентности и фактор-множества. Введем, основы-ваясь на теоретико-множественной точке зрения, эти понятия.

Пусть A некоторое непустое множество. Бинарным отношени-ем на множестве A будем называть любое подмножество Q ⊆

25

A×A. Аналогично, n-арным отношением на множестве A, будемназывать подмножество Q ⊆ An.

Бинарное отношение P ⊆ A×A на множестве A называетсячастичным порядком на A, если выполнены следующие свой-ства:

1. Рефлексивность: ∀x ∈ A 〈x, x〉 ∈ P.

2. Антисимметричность: ∀x, y ∈ A, если

〈x, y〉 ∈ P &〈y, x〉 ∈ P ⇒ x = y.

3. Транзитивность: ∀x, y, z ∈ A, если

〈x, y〉 ∈ P &〈y, z〉 ∈ P ⇒ 〈x, z〉 ∈ P .

Если бинарное отношение P ⊆ A×A задает на множестве Aчастичный порядок на A, то подмножество P< ⊆ P , состоящееиз всех тех пар из P , которые состоят из неравных элементов,называется строгим частичным порядком. Легко видеть, что оноудовлетворяет следующим свойствам:

1. Иррефлексивность: ∀x ∈ A 〈x, x〉 /∈ P.

2. Транзитивность: ∀x, y, z ∈ A, если

〈x, y〉 ∈ P &〈y, z〉 ∈ P ⇒ 〈x, z〉 ∈ P .

Пример 1. Рассмотрим множество подмножеств P(A) множе-ства A и бинарное отношение включения θ⊆ {〈X,Y 〉|X ∈P(A) ∧ Y ∈ P(A)∧ << X ⊆ Y >>}. Так мы определяем отно-шение включения на множестве подмножеств, которое, конечноже, является частичным порядком.

Пример 2. Рассмотрим множество натуральных чисел N {0, 1, 2, 3, . . . , n, n + 1, . . .}. Определим отношение делимости «aделит b»:

26

θ/ {〈a, b〉|(∃k)(b = ka)}. Легко проверить, что это отношениеявляется частичным порядком на множестве натуральных чисел.Позднее построим в нашей теории множеств понятие натураль-ного числа и определим множество натуральных чисел в нашемуниверсуме, но для этого нам потребуются дополнительные усло-вия на наш универсум.

Бинарное отношение P ⊆ A×A на множестве A называетсячастичным предпорядком на A, если выполнены следующиесвойства:

1. Рефлексивность: ∀x ∈ A 〈x, x〉 ∈ P.

2. Транзитивность: ∀x, y, z ∈ A, если

〈x, y〉 ∈ P &〈y, z〉 ∈ P ⇒ 〈x, z〉 ∈ P .

Если P — частичный предпорядок на множестве A, то часто вме-сто 〈x, y〉 ∈ P будем использовать более привычное математи-ческое обозначение x ≤P y. Ясно, что любой частичный порядокявляется частичным предпорядком.

Если бинарное отношение P является частичным порядком наA, то назовем пару 〈A,P 〉 частично упорядоченным множеством.Часто мы будем его записывать в виде 〈A,≤P 〉 либо просто 〈A,≤〉.Частично упорядоченное множество 〈A,P 〉 называется линейноупорядоченным множеством, если выполнено условие срав-нимости: (∀a ∈ A)(∀b ∈ A)(〈a, b〉 ∈ P ∨ 〈b, a〉 ∈ P ).

Подмножество B основного множества линейно упорядоченно-го множества 〈A,P 〉 называется начальным сегментом в 〈A,P 〉,если для любых элементов b из B и элемента a из A, если 〈a, b〉 ∈P , то элемент a также из B.

Бинарное отношение θ ⊆ A×A на множестве A называетсяотношением эквивалентности на A, если выполнены следу-ющие свойства:

1. Рефлексивность: ∀x ∈ A 〈x, x〉 ∈ θ.

27

2. Симметричность: ∀x, y ∈ A, если

〈x, y〉 ∈ θ ⇒ 〈y, x〉 ∈ θ.

3. Транзитивность: ∀x, y, z ∈ A, если

〈x, y〉 ∈ θ&〈y, z〉 ∈ θ ⇒ 〈x, z〉 ∈ θ.

Если бинарное отношение θ ⊆ A×A на множестве A являет-ся отношением эквивалентности на A, то для любого элемента aиз A определим смежный класс a/θ {b | b ∈ A и 〈a, b〉 ∈ θ. За-метим, что для любых элементов a, b ∈ A пересечение смежныхклассов a/θ ∩ b/θ не пусто, если и только если 〈a, b〉 ∈ θ. Такимобразом, отношение эквивалентности на множестве A задает раз-биение этого множества на непересекающиеся множества смеж-ных классов, состоящих из попарно эквивалентных элементов.Теперь мы можем определить в множестве подмножеств P(A)множества A подмножество, состоящее из всех смежных классовна A по отношению эквивалентности θ и будем его обозначатьA/θ и называть фактор-множеством множества A по отношениюэквивалентности θ. Ясно, что A/θ = {a/θ|a ∈ A}. Как легко ви-деть, мы показали, что для любого множества и отношения эк-вивалентности на нем из нашего универсума фактор-множествотакже принадлежит нашему универсуму.

Если P – частичный предпорядок на множестве A, то опре-делим новое бинарное отношение θ(P ) {〈x, y〉 ∈ A2|〈x, y〉 ∈P и 〈x, x〉 ∈ P}.

Легко видеть, что отношение θ(P ) является отношением экви-валентности на множестве A.

Рассмотрим теперь фактор-множество A/θ(P ). Определим те-перь на этом фактор-множестве бинарное отношение Pθ {〈x/θ,y/θ〉|〈x, y〉 ∈ P}. Легко проверить непосредственно, что это би-нарное отношение является уже частичным порядком. Будем его

28

называть частичным порядком, индуцированным предпорядкомP . Это стандартная конструкция склеивания эквивалентных эле-ментов относительно предпорядка таким образом, что в результа-те склеивания мы уже получаем на смежных классах частичныйпорядок. А отношение эквивалентности θ(P ) при этом являетсянаименьшим отношением эквивалентности на A таким, что отно-шение P определяет уже на фактор-множестве A/θ частичныйпорядок.

Основные понятия об элементахчастично упорядоченного множества

Пусть A – множество, а P – частичный порядок на A, 〈A,P 〉– частично упорядоченное множество (ч. у. м). Рассмотрим про-извольное подмножество X в множестве A.

Элемент a называется наибольшим (наименьшим) в под-множестве X ч. у. м. 〈A,P 〉, если a ∈ X и (∀y ∈ X)y ≤P a, со-ответственно, ( a ∈ X и (∀y ∈ X) a ≤P y).

Элемент a называется максимальным (минимальным) вподмножествеX ч. у. м. 〈A,P 〉, если a ∈ X и (∀y ∈ X)(a ≤P y ⇒y = a) (a ∈ X и (∀y ∈ X) y ≤P a⇒ y = a).

Пример 3. Рассмотрим в множестве подмножеств P(N) нату-ральных чисел с отношением включения подмножество X, состо-ящее из множеств {0, 1}, {0, 2}, {0}. Тогда {0} – наименьший иминимальный элемент в X, а элементы {0, 1} и {0, 2} – макси-мальные в X.

Элемент a называется верхней (нижней) гранью для под-множества X ч. у. м. 〈A,P 〉, если a ∈ A и (∀y ∈ X)(y ≤P a)(a ∈ A и (∀y ∈ X) (a ≤P y)).

Элемент a называется точной верхней (нижней) граньюдля подмножества X ч. у. м. 〈A,P 〉, если a ∈ A и являет-ся наименьшим (наибольшим) элементом среди верхних (ниж-них) граней для подмножества X ч. у. м. 〈A,P 〉. Мы будем обо-значать точную верхнюю (нижнюю) грань для подмножества X

29

ч. у. м. 〈A,P 〉 или через sup(X), или sup〈A,P 〉(X) (inf(X), илиinf〈A,P 〉(X)).

Легко заметить, что в любом конечном частично упорядочен-ном множестве всегда есть максимальный элемент. В бесконеч-ных же множествах, например в множестве натуральных чиселс естественным порядком, максимальных элементов может и небыть.

Частично упорядоченное множество 〈A,P 〉 называется индук-тивным, если для любого его линейно упорядоченного подмно-жества есть верхняя грань.

На основе аксиомы выбора позднее докажем следующее полез-ное утверждение.

Лемма Цорна. В любом индуктивном частично упорядочен-ном множестве существует максимальный элемент.

Более того, при рассмотрении аксиоматической теории мно-жеств Цермело–Френкеля докажем, что эта лемма эквивалентнааксиоме выбора. Часто это утверждение называют принципоммаксимума.

Упражнения.1. Доказать эквивалентность условий:< a1, a2, a3 >=< b1, b2, b3 >,

если и только если a1 = b1, . . . , an = bn2. Доказать эквивалентность условий при любом натуральном

числе n: < a1, . . . , an >=< b1, . . . , bn >, если и только если a1 =b1, . . . , an = bn.

3.Доказать, что для любой функции f из A в B и подмножествX1 ⊆ A и X2 ⊆ A выполнено равенство

f(X1) ∪ f(X2) = f(X1 ∪X2).

4. Доказать, что для любой функции f из A в B и для под-множеств Y1 ⊆ B и Y2 ⊆ B выполнены равенства

f−1(Y1) ∪ f−1(Y2) = f−1(Y1 ∪ Y2)

иf−1(Y1) ∩ f−1(Y2) = f−1(Y1 ∩ Y2).

30

5. Доказать, что для любой функции f из A в B и подмножествX1 ⊆ A и X2 ⊆ A выполнено включение

f(X1) ∩ f(X2) ⊇ f(X1 ∩X2).

6. Доказать, что функция f из A в B разнозначна, если итолько если для любых подмножествX1 ⊆ A иX2 ⊆ A выполненоравенство

f(X1) ∩ f(X2) ⊆ f(X1 ∩X2).

7. Показать, что наибольший элемент является и максималь-ным, а обратное не всегда верно.

8. Показать, что наименьший элемент является и минималь-ным, а обратное не всегда верно.

9. Показать, что максимальный (минимальный) элемент невсегда единственный.

10. Показать, что точная верняя грань множества не всегдаявляется наибольшим элементом в этом множестве, но наиболь-ший элемент в множестве всегда является точной верхней граньюэтого множества.

11. Показать, что точная нижняя грань множества не всегдаявляется наименьшим элементом, но наименьший элемент в мно-жестве всегда является точной нижней гранью этого множества.

12. Показать, что в конечном множестве под каждым элемен-том есть минимальный элемент в этом множестве, а над каждыммаксимальный элемент в этом множестве.

13. Показать, что в конечном линейно упорядоченном множе-стве существуют наименьший и наибольший элементы этого мно-жества.

14. Пусть P – частичный предпорядок на множествеA и θ(P ){〈x, y〉 ∈ A2|〈x, y〉 ∈ P и 〈y, x〉 ∈ P} бинарное отношение.

а) Показать, что отношение θ(P ) является отношением экви-валентности на множестве A.

б) Доказать, что бинарное отношение Pθ {〈x/θ, y/θ〉||〈x, y〉 ∈P} на фактор-множестве A/θ(P ) является частичным порядком.

31

ЛЕКЦИЯ 3. НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ВПОЛНЕУПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА

В этой лекции мы начнем построение натуральных чисел в на-шем универсуме и множества натуральных чисел, а также мно-жества ординалов как бесконечного аналога натуральных чисели трансфинитной индукции.

Как было замечено ранее, мы имеем для нашего универсумааксиому существования пустого множества:

Существует множество ∅, которое не содержит ни од-ного элемента.

Основываясь на этой аксиоме, аксиомах пары и объединения,мы можем легко определить следующую последовательность мно-жеств, определяя для каждого натурального числа из метатеориисоответствующее множество. Это и будут натуральные числа внашей теории множеств.

Полагаем, 0 ∅. Заметим, что 0 /∈ 0. Теперь определим 1 0 ∪ {0} = {∅}, ясно, что |0| < |1|, где множество 1 состоит в точ-ности из одного элемента 0 ∈ 1, но 1 /∈ 1. Мы можем продолжитьаналогичную конструкцию и дальше.

Пусть n определено, n+ 1 n ∪ {n}, а из n /∈ n следует, чтоn+ 1 /∈ n+ 1 и n ∈ n+ 1.

Образовалась последовательность: 0 ∈ 1 ∈ 2 ∈ 3 ∈ . . ., т. е., на-чиная с пустого множества ∅, мы определили элементы в нашемуниверсуме, определяющие в нем натуральные числа. Нам будетнужно показать в дальнейшем, что они позволяют действитель-но использовать их при построениях в соответствии с нашимиинтуитивными представлениями о натуральных числах.

Следующий вопрос, который нас волнует, а есть ли в нашемуниверсуме множество, состоящее из всех натуральных чисел.Действительно, если мы не примем дополнительных условий нанаш универсум, то доказать существование такого множества мыне сможем. И такие финитарные системы теории множеств так-же исследуются в математике. Но мы хотим построить основу

32

для математики, в которой бы сохранялись основные конструк-ции классической математики и основные теоремы, которые поз-воляют с успехом решать наряду с математическими проблемамии прикладные задачи, что, однако, не приводит к ошибкам. А ес-ли они и появляются, то виной тому не математические методы,а некорректно построенные модели явлений, которые не учиты-вают каких-либо важных факторов, либо виной тому ошибки врассуждениях конкретного исследователя.

Введем теперь абстрактный аналог натуральных чисел орди-налы (порядковые числа), распространяющие свойства натураль-ных чисел, позволяющие осуществлять индуктивные построенияне только на счетных множествах, но и на множествах большеймощности.

Определение.Множество X называется транзитивным, еслилюбой элемент его любого элемента является его элементом, т. е.(∀Y ∈ X)Y ⊆ X.

Определение. Ординалом мы будем называть любое множе-ство, которое транзитивно и все его элементы транзитивны.

Нетрудно проверить прямо из определения по индукции в ме-татеории, что определенные индуктивно множества 0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .,определяющие натуральные числа в теории множеств, являютсяординалами.

Заметим также еще пару простейших свойств ординалов:1. Если α – ординал и β ∈ α, то β тоже ординал (все элементы

ординалов являются ординалами).2. Если α — ординал и β α∪{α}, то β тоже ординал и α ∈ β.Для изучения свойств ординалов и правил работы с ними вве-

дем понятие вполне упорядоченных множеств и изучим их свой-ства.

Вполне упорядоченные множества

Пусть A – множество, P ⊆ A×A — частичный порядок на этоммножестве. Частичный порядок P на множестве A называется

33

линейным порядком на A, если (∀x, y ∈ A) (x≤P y ∨ y≤Px) (т. е.любые два элемента сравнимы между собой).

Определение. Линейно упорядоченное множество (л. у. м.)〈A,≤P 〉 называется вполне упорядоченным (в. у. м.), если в лю-бом непустом подмножестве X ⊆ A множества A в этом подмно-жестве X существует наименьший элемент x0 ∈ X.

Рассмотрим некоторые примеры линейно упорядоченных мно-жеств.

Пример 1. Множество натуральных чисел с естественным по-рядком (N, ≤) является вполне упорядоченным множеством.

Пример 2. Допустим, что ω – множество {0, 1, 2, 3, . . . , n, . . .}натуральных чисел, определенных в нашем универсуме. Опре-делим бинарное отношение P {〈x, y〉 ∈ ω2|x = y ∨ x ∈ y}.В таком случае пара 〈ω,≤P 〉 является вполне упорядоченныммножеством.

Пример 3. Множество вещественных чисел на отрезке [0, 1] сестественным порядком 〈[0, 1],≤〉 не является вполне упорядочен-ным множеством.

Пример 4. Рассмотрим множество пар натуральных чисел слексикографическим порядком 〈N2,≤lex〉, где лексикографиче-ский порядок ≤lex определяется аналогично тому, как в словаресравниваются слова, т.е. вначале сравниваем первые члены пар иу той пары, у которой первый элемент больше первого во второйпаре, та пара и больше. Если же первые элементы у пар совпада-ют, то сравниваем уже вторые элементы пар. Поэтому и порядокназван лексикогоафическим. Исходя из определения такого по-рядка, нетрудно проверить, что 〈N2,≤lex〉 вполне упорядоченноемножество, так как для любого непустого подмножества X мыможем выбрать наименьший элемент, взяв вначале наименьшуюпервую координату у элементов из этого множества X, а затемсреди элементов из X с наименьшей первой координатой выбратьнаименьшую вторую координату. Таким образом, найденная па-ра и будет наименьшим элементом в X. Аналогично мы можемопределить лексикографический порядок на любой декартовой

34

степени 〈Nn,≤lex〉, и это также будет вполне упорядоченным мно-жеством.

Пример 5. Рассмотрим множество N<∞ N ∪ N2 ∪ N3 ∪. . .∪Nn ∪ . . . и определим на этом множестве всех конечных упо-рядоченных наборов натуральных чисел и лексикографическийпорядок на них, как в словаре, где для наборов ищется перваякоордината, где наборы различаются, и то из них больше, у ко-торого соответствующее натуральное число больше, а если однаиз последовательностей является начальным куском второй, тоона меньше. Обозначим такой порядок через ≤lex. Это отноше-ние будет линейным порядком на N<∞, но пара 〈N<∞,≤lex〉 небудет при таком определении линейного порядка вполне упоря-доченным множеством, так как в множестве

{〈0, 1〉, 〈0, 0, 1〉, 〈0, 0, 0, 1〉, . . . , 〈0, 0, . . . , 0, 1〉, . . .}

нет наименьшего элемента.Пример 6. Рассмотрим вновь множество N<∞ N ∪ N2 ∪

N3∪ . . .∪Nn∪ . . . и определим на этом множестве всех конечныхупорядоченных наборов натуральных чисел и новый порядок —почти лексикографический, где вначале мы сравниваем наборыпо длине, и больше набор тот, который обладает большей длиной,а если длины наборов одинаковые, то сравниваем наборы относи-тельно лексикографического порядка. Обозначим такой порядокчерез ≤∗lex. Это отношение будет не только линейным порядкомна N<∞, но пара 〈Nn,≤∗lex〉 будет вполне упорядоченным множе-ством.

Однако не любое множество можно легко вполне упорядо-чить. Так, построить на множестве вещественных чисел какое-либо вполне упорядочение не удается. Если же мы принимаемаксиому выбора, то можно на ее основе доказать и вполне упоря-дочиваемость любых множеств.

Теорема Цермело. Любое множество можно вполне упоря-дочить.

35

Без аксиомы выбора мы ее не можем доказать и, как будетпоказано позднее, теорема Цермело, как и Лемма Цорна, эквива-лентна Аксиоме выбора.

Изоморфизм вполне упорядоченных множеств

Вполне упорядоченные множества обладают довольно силь-ными ограничениями на автоморфизмы и изоморфные вложе-ния. Это и делает их важным инструментом для конструкций наабстрактных множествах.

Пусть 〈A,≤P 〉 и 〈B,≤Q〉 — два частично упорядоченных мно-жества.

Определение. Частично упорядоченные множества 〈A,≤P 〉и 〈B,≤Q〉 изоморфны, если существует функция f : A

1−1−→на B та-кая, что (∀x, y)(x ≤P y → f(x)≤Qf(y)). Будем называть в этомслучае функцию f изоморфизмом ч. у. м. 〈A,≤P 〉 на 〈B,≤Q〉 иобозначать f : 〈A,≤P 〉∼=〈B,≤Q〉.

Определение. Будем говорить, что функция f : A1−1−→B со-

храняет порядок, если (∀x, y) (x≤P y → f(x)≤P f(y)). Будем обо-значать такое вложение через f : 〈A,≤P 〉 → 〈B,≤Q〉.

Определение. Будем говорить, что функция f : A1−1−→B изо-

морфно вкладывает 〈A,≤P 〉 в 〈B,≤Q〉, если (∀x, y) (x≤P y ⇔f(x)≤Qf(y)) и обозначать f : 〈A,≤P 〉

1−1−→в 〈B,≤Q〉.Предложение о монотонных функциях. Если f : 〈A,≤P 〉

→ 〈A,≤P 〉 разнозначное и сохраняет порядок, а множество〈A,≤P 〉 является вполне упорядоченным, то выполняется нера-венство (∀x ∈ A) x ≤P f(x).

Доказательство. Допустим, что это не так. Значит,{x ∈ A | x �P f(x)} 6= ∅. Тогда это подмножество множества Aне пусто, а 〈A,≤P 〉 вполне упорядочено, и, следовательно, суще-ствует наименьший элемент x0 в множестве {x ∈ A | x �P f(x)}.

36

Из линейной упорядоченности следует, что выполнено условиеf(x0) ≤P x0 или x0 ≤P f(x0), но x0 � f(x0). Отсюда f(x0) <P x0.Из условия на функцию f получаем неравенство f(f(x0)) <Pf(x0). Значит, для y = f(x0) выполнено f(y) <P y, значит, y ∈{x | x �P f(x)}. Итак, мы нашли элемент меньший наименьшегои получаем противоречие, так как он тоже лежит в этом множе-стве. Значит, предложение доказано от противного.

Рассмотрим вполне упорядоченное множество 〈A,≤P 〉 и ти-пы изоморфизмов его начальных отрезков. Для элемента a ∈ Aопределим множество a = {y ∈ A | y <P a}. Принято называтьподмножество линейно упорядоченного множества, содержащеевместе с любым элементом и все меньшие него, начальным сег-ментом этого множества. И определенное нами множество a, оче-видно, является начальным сегментом. Если X — подмножествомножества A, то мы можем индуцировать на нем порядок ≤P �X ,полученный из частичного порядка P на A и равный P ∩ X2.Частично упорядоченное множество X с этим индуцированнымпорядком будем обозначать через 〈X,≤P 〉, а сам порядок через≤P вместо ≤P �X . Мы можем на x индуцировать теперь порядокиз 〈A,≤P 〉 и будем обозначать его как упорядоченное множествочерез 〈x,≤P 〉 или просто x.

Может ли начальный сегмент множества (вполне упорядочен-ного) быть изоморфен всему множеству. Легко видеть, что этоневозможно для конечных множеств. Для множества рациональ-ных чисел с естественным порядком это уже не так. Оно изо-морфно любому своему начальному сегменту без наибольшегоэлемента в нем. Следующее следствие показывает, что вполнеупорядоченные множества в этом отношении похожи на конеч-ные множества. Это сразу следует из предложения о монотонныхфункциях на вполне упорядоченных множествах.

Следствие 1. Для любого элемента x вполне упорядоченногомножества 〈A,≤P 〉 собственный начальный сегмент не изомор-фен всему множеству, т. е. 〈x,≤P 〉 � 〈A,≤P 〉.

Более того, для разных точек мы получаем разные типы изо-

37

морфизма начальных сегментов. Таким образом, вполне упоря-дочение задает пересчет уже произвольного множества, анало-гичного в некотором смысле пересчету с помощью натуральныхчисел. Мы покажем позднее, что эта аналогия более сильная иона позволяет построить ординальные (порядковые) числа, кото-рые позволяют использовать индукцию не только для счетныхмножеств, но и перенести ее в некотором виде на произвольныемножества с вполне упорядочением или имеющие пересчет с по-мощью ординальных чисел.

Следствие 2. Если 〈A,≤P 〉 — вполне упорядоченное множе-ство, то начальные сегменты, определенные разными элемента-ми, не изоморфны, т. е. (∀z, x)x 6= z =⇒ 〈x,≤P 〉 � 〈z,≤P 〉.

Принцип трансфинитной индукции

В арифметике и всей математике один из важнейших прин-ципов, лежащих в основе многих конструкций, — это матема-тическая индукция. При работе с абстрактными множествами,аналогом математической индукции и призваны служить вполнеупорядоченные множества и ординалы. Принцип математическойиндукции мы можем сформулировать в двух видах. Первый вболее распространенной форме: Если свойство Q выполнено длянуля (базис индукции) и из выполнимости свойства Q на на-туральном числе n следует его выполнимость на следующемнатуральном числе n + 1(шаг индукции), то свойство Q спра-ведливо для всех натуральных чисел. Более неформальное разъ-яснение этого принципа формулируется в виде: «Если первая вочереди женщина и за каждой женщиной стоит женщина, тов очереди все женщины». В формульном виде это можно запи-сать как ((Q(0) ∧ (∀n)(Q(n) ⇒ Q(n + 1))) =⇒ (∀n)Q(n)). Втораяформа этого принципа, эквивалентная первой, формулируется ввиде: Если для свойства Q справедливо индуктивное условие:для любого натурального числа n из выполнимости свойства Qна всех натуральных числах меньших n следует выполнимость

38

свойства Q и для n, тогда свойство Q выполнено для всех на-туральных чисел. В формульном виде это можно записать как((∀m < n)Q(m)) =⇒ (∀n)Q(n)).

Предложение о трансфинитной индукции на вполнеупорядоченных множествах. Если 〈A,≤P 〉 вполне упорядо-чено и Q ⊆ A такое, что (∀x ∈ A) ((x ⊆ Q) → x ∈ Q), тогдаA = Q.

Доказательство. Докажем наше утверждение от противного.Допустим, что A 6= Q, тогда из A\Q 6= ∅ следует, что существуетнаименьший элемент x0 в этом непустом множестве A \ Q. Рас-смотрим этот наименьший контрпример к нашему предложениюи определим для него начальный сегмент x0, но из условия мини-мальности следует включение x0 ⊆ Q, тогда по индукционномуусловию на Q мы заключаем, что x0 ∈ Q. Но по выбору элементаx0 известно, что x0 ∈ A \ Q, и, следовательно, x0 /∈ Q. Получен-ное противоречие доказывает, что наше предположение невернои предложение справедливо.

Упражнения.1. Доказать, что для любых натуральных чисел k, n таких, что

k 6= n множества k и n различны.2. Доказать, что множество k для любого k является тран-

зитивным и ссостоит из транзитивных элементов, т.е. являетсяординалом.

3. Доказать, что элементы ординалов являются ординалами.4. Доказать, что для ординала α — ординал множество β

α ∪ {α} тоже ординал и α ∈ β, но нет ординала γ такого, чтоα ∈ γ и γ ∈ β.

5. Доказать, что пара 〈N<∞,≤∗lex〉 из примера 6 будет вполнеупорядоченным множеством.

39

ЛЕКЦИЯ 4. ОРДИНАЛЫ

Одними из важных общематематических понятий являютсятеоретико-множественные понятия ординала и кардинала. Орди-налы являются бесконечным аналогом натуральных чисел и поз-воляют перенести на любые бесконечные множества конструк-ции, аналогичные построениям и доказательствам по индукции.Кардиналы же формализуют понятие количества уже на произ-вольные множества.

Как мы ранее уже определили, множество α является орди-налом, если α — транзитивное множество, и все его элементытакже транзитивны. А множество A называется транзитивным,если (∀X ∈ α)(∀y)(y ∈ X ⇒ y ∈ α). Свойство быть ординаломмы будем обозначать через Ord(α) или α ∈ Ord.

Для работы с ординалами и их изучения на основе вполнеупорядоченных множеств мы потребуем выполнимости в нашемуниверсуме еще одной аксиомы, которая, в частности, показыва-ет, что не существует множества всех множеств. Это так называ-емая аксиома регулярности или аксиома фундируемости.

Аксиома фундируемости (регулярности): (∀x)((x 6= ∅)⇒(∃y ∈ x)(y ∩ x = ∅)).

Отсюда следует, что не существует множества, являющего-ся элементом самого себя, т. е. элементов x ∈ x. Таким обра-зом, справедливо свойство (∀x)x /∈ x. Отсюда следует, что нети множества всех множеств. Из аксиомы фундируемости следу-ет, что не существует бесконечной последовательности {xn|n −натуральное число } с условиями: x0 3 x1 3 x2 3 . . . 3 xn 3 . . .Заметим, что здесь мы предполагаем, что в нашем универсумеесть множество натуральных чисел, что пока не следует из пе-речисленных ранее аксиом теории множеств. Их даже недоста-точно, чтобы утверждать существование бесконечных множеств.Позднее мы введем аксиому,из которой уже можно будет выве-сти и существование множества натуральных чисел. Эта аксиомабудет утверждать, что существует заведомо бесконечное множе-

40

ство. Но нам нужно уточнить, что же мы будем понимать подконечным, и что под бесконечным множеством. Для этого оказы-вается удобно обратиться к ординалам и исследовать их свойства.

Докажем сейчас несколько базисных свойств ординалов, кото-рые и позволяют называть их порядковыми числами и использо-вать в теоретико-множественных конструкциях как естественноеобобщение натуральных чисел.

Рассмотрим произвольный непустой ординал α. Определим нанем бинарное отношение x ≤α y следующим образом: для элемен-тов x, y из α полагаем x ≤α y, если x = y или x ∈ y.

Заметим вначале, что это отношение определяет частичныйпорядок на ординале α. Это отношение на элементах множествабудем называть порядком по принадлежности.

1. Рефлексивность x≤αx.

2. Антисимметричность x≤αy ∧ y≤αx⇒ x = y.

Из определения отношения легко следует, что выполняетсяслучай x = y или случай x ∈ y и y ∈ x. В первом случаемы получаем требуемое условие, а во втором — заключаем, чтоx∩{x, y} 6= ∅∧y∩{x, y} 6= ∅. Отсюда для множества {x, y} не вы-полняется аксиома фундируемости, следовательно, и этот случайневозможен.

3. Транзитивность: если x≤αy ∧ y ≤α z ⇒ x≤αz.

Как и в предыдущем случае, возможны два варианта: а) x = yили y = z или б) x ∈ y ∈ z. Но в первом автоматически выполня-ется требуемое заключение x≤αz. Во втором — из транзитивностиэлементов ординала получаем, что x ∈ z, следовательно, x≤αz.

Таким образом, мы доказали, что любой ординал со строгимотношением порядка ∈ является частично упорядоченным мно-жеством.

Докажем теперь принцип трансфинитной индукции для орди-налов, который будем часто называть ординальной индукцией.

41

Теорема о трансфинитной индукции на классе всех ор-диналов Ord. Если ϕ(x) теоретико-множественное свойство ииндуктивное условие «для любого фиксированного ординала αвыполнено свойство ((∀γ ∈ α)ϕ(γ)) =⇒ ϕ(α)», тогда теоретико-множественное свойство ϕ(x) выполнено на любом ординале, т. е.(∀α ∈ Ord)ϕ(α).

Другими словами эта теорема утверждает, что если для лю-бого ординала из выполнимости некоторого свойства на всех ор-диналов меньших данного наследуется выполнимость и на этомординале, то это свойство справедливо для всех ординалов. Заме-тим, что заменив в этом утверждении слова «ординал» на «нату-ральное число», мы получаем одну из стандартных форм обыч-ной индукции в арифметике:« если для любого числа из выпол-нимости некоторого свойства на всех числах меньших данногонаследуется выполнимость и на этом числе, то это свойство спра-ведливо для всех натуральных чисел».

Перейдем теперь к доказательству теоремы. Докажем эту тео-рему методом от противного. Пусть α — ординал, для которогоне выполнено свойство ϕ(x). Из индуктивного условия мы за-ключаем, что существует элемент γ ∈ α такой, что на нем невыполнено свойство ϕ(x), т.е. , используя символику из логики,записывать это свойство символически в виде ¬ϕ(γ). По аксиомевыделения рассмотрим множество ординалов {γ ∈ α|¬ϕ(γ)}. Поаксиоме фундируемости существует элемент γ0 ∈ {γ ∈ α|¬ϕ(γ)}такой, что γ0 ∩ {γ ∈ α|¬ϕ(γ)} = ∅. В этом случае элемент γ0 ∈ αявляется ординалом и все его элементы из транзитивности ор-динала α являются элементами α. А из пустоты пересеченияγ0 ∩ {γ ∈ α|¬ϕ(γ)} = ∅ следует, что все его элементы удовле-творяют в таком случае свойству ϕ(x). Однако в этом случае изиндуктивного условия для свойства ϕ(x) заключаем, что и орди-нал γ0 удовлетворяет свойству ϕ(x), но это противоречит выбо-ру элемента γ0. Полученное противоречие показывает, что нашепредположение ложно и теорема доказана.

Воспользуемся теперь трансфинитной индукцией для ордина-

42

лов для доказательства сравнимости элементов ординала отно-сительно порядка по принадлежности.

Теорема о сравнимости ординалов. Для любых ординаловα и β выполнено одно из условий: α = β ∨ α ∈ β ∨ β ∈ α.

Доказательство. Рассмотрим теоретико-множественное свой-ство Linear(α, β), выражающее сравнимость ординалов α = β ∨α ∈ β ∨ β ∈ α. Нам нужно доказать, что (∀α ∈ Ord)(∀β ∈Ord)Linear(α, β). В силу теоремы об ординальной индукции, длядоказательства (∀α ∈ Ord)(∀β ∈ Ord)Linear(α, β) нам достаточ-но доказать, что выполнено условие индукции (∀α ∈ Ord)((∀γ ∈α)ϕ(γ) =⇒ ϕ(α)), где в качестве свойства в индукции ϕ(x) мырассматриваем свойство (∀β ∈ Ord)Linear(x, β). Итак, пусть вы-полнено предположение в условии индукции (∀α ∈ Ord)((∀γ ∈α)(∀β ∈ Ord)Linear(γ, β). Требуется доказать, что в этом случаевыполнено условие (∀β ∈ Ord)Linear(α, β). Для того чтобы до-казать это условие, снова воспользуемся принципом ординальнойиндукции. По теореме о трансфинитной индукции нам вновь длядоказательства этого факта достаточно показать, что выполня-ется условие индукции (∀β ∈ Ord)((∀γ ∈ β)ϕ(γ) =⇒ ϕ(β)), где вкачестве свойства ϕ(x) мы рассматриваем свойство Linear(α, x).

Мы, таким образом, свели доказательство сравнимости орди-налов к доказательству свойства Linear(α, β) для ординалов α иβ из двух предположений:

1. ((∀γ ∈ α)(∀β ∈ Ord)Linear(γ, β));

2. ((∀γ ∈ β)Linear(α, γ)).

Заметим, что выполняется одна из следующих возможностей:α = β ∨ α \ β 6= ∅ ∨ β \ α 6= ∅.

Если α = β, то условие сравнимости Linear(α, β) очевидновыполнено.

Если выполнено условие α \ β 6= ∅, то найдется элемент γ ∈ αтакой, что γ /∈ β. Но из первого индукционного предположениямы имеем для ординала γ сравнимость с любым ординалом, и,

43

следовательно, выполнено γ = β или β ∈ γ. Но тогда мы имеемнепосредственно из равенства или из транзитивности α, что β ∈α, и сравнимость доказана.

Если выполнена последняя возможность β \α 6= ∅, то рассмот-рим ординал γ ∈ β, который не лежит в α. Из второго индукци-онного предположения мы заключаем, что ординал γ сравним сординалом α. Но по выбору этого ординала мы имеем только двевозможности для сравнимости: γ = α или α ∈ γ. Как и во второмслучае из равенства либо транзитивности β, мы получаем, чтоα ∈ β, и сравнимость доказана. Теорема доказана.

Следствие о линейности. Для любого ординала α частичноупорядоченное множество 〈α,≤α〉 — линейно, т. е. (∀x, y ∈ α)(x =y ∨ x ∈ y ∨ y ∈ x).

Доказательство следует из теоремы и того, что элементы ор-диналов являются ординалами.

Теорема. Если α — ординал, то 〈α,≤α〉 является вполне упо-рядоченным множеством.

Доказательство. Мы доказали, что 〈α,≤α〉 — линейно упоря-доченное множество. Покажем основное свойство существованиянаименьшего элемента в любом непустом подмножестве.

Рассмотрим произвольное непустое подмножество X ⊆ α. На-до найти наименьший элемент. По аксиоме регулярности (∃y ∈X)(y ∩ X = ∅). Докажем, что y наименьший в X относительнопорядка ≤α. Выберем произвольный a ∈ X ⊆ α. В силу линейно-сти нашего порядка на ординалах выполняется одно из условийa ∈ y ∨ y ∈ a ∨ y = a. Но a /∈ y, так как иначе a ∈ y ∩ X 6= ∅.Значит, y ≤α a и y действительно является наименьшим в X.Теорема доказана.

Покажем теперь, что порядок по принадлежности на ордина-лах совпадает с отношением на вполне упорядоченных множе-ствах.

Теорема. Если α и β — ординалы и существует изоморфноевложение из 〈α,≤α〉 в 〈β,≤β〉, то α = β или α ∈ β.

Доказательство. По теореме о сравнимости ординалов выпол-

44

няется в точности одно из следующих условий: α = β∨α ∈ β∨β ∈α. Для доказательства нам достаточно заметить, что последняявозможность в нашем случае не выполняется. Действительно, ес-ли β ∈ α, то выполнено включение β ⊆ α и β — начальный сег-мент в α, но в таком случае, по теореме о монотонных функцияхна вполне упорядоченных множествах, элемент β при изоморф-ном вложении 〈α,≤α〉 в 〈β,≤β〉 должен перейти в элемент, неменьший β, а, по предположению, он должен лежать в β. Полу-ченное противоречие доказывает теорему.

Следствие 1. Если α и β — ординалы и существует изоморф-ное вложение из α ⊆ β, то α = β или α ∈ β.

Следствие 2. Если α и β — ординалы и существует изоморф-ное вложение из 〈α,≤α〉 на 〈β,≤β〉, то α = β.

Для того чтобы доказать следующее свойство вполне упоря-доченных множеств, нам потребуется еще одна аксиома о нашемуниверсуме.

Аксиома подстановки. Если X — множество, а ψ(x, y) —некоторое теоретико-множественное свойство такое, что для лю-бого x из X существует единственный элемент y из нашего уни-версума такой, что для них выполнено данное свойство ψ(x, y),тогда в нашем универсуме существует множество, состоящее вточности из всех элементов y, для которых найдется элемент xиз X такой, что выполнено данное свойство ψ(x, y).

Теорема о каноническом вполне упорядоченном мно-жестве. Если 〈A,≤P 〉 — вполне упорядоченное множество, тосуществует ординал α такой, что вполне упорядоченные множе-ства 〈α,≤α〉 и 〈A,≤P 〉 изоморфны.

Доказательство. Рассмотрим начальные интервалыa 〈a,≤P 〉 для элементов a ∈ A. Как было показано ранее, онине изоморфны для различных элементов. Определим подмноже-ство A0 ⊆ A, состоящее из тех элементов a из A, для которыхнайдется ординал αa такой, что 〈αa,≤αa〉 и 〈a,≤P 〉 изоморфны.Причем, если такой ординал существует, то он единственный всилу предыдущего следствия. Пусть ψ(x, y) — формула, которая

45

утверждает, что x — это элемент из A, а y — это ординал, при-чем начальный отрезок, определенный элементом x во вполнеупорядоченном множестве, и ординал с порядком по принадлеж-ности изоморфны. В силу аксиомы подстановки ординалы αa дляa ∈ A0 образуют некоторое множество α, состоящее из ордина-лов. Очевидно, что множество A0 совпадает с A или являетсяначальным отрезком в A. Это следует из того, что сужение лю-бого изоморфизма на меньший начальный сегмент вновь будетизоморфизмом на ординал. Из тех же соображений следует, чтолюбой элемент ординала из α также лежит в α, и, следовательно,α — ординал. Заметим, что свойство ψ(x, y) определяет функциюиз A0 на α, которая сохраняет порядок и разнозначна, т. е. опре-деляет изоморфизм. Если A = A0, то мы нашли искомый орди-нал и изоморфизм. Случай же A 6= A0 невозможен, так как, взявнаименьший элемент a из A\A0, мы получим, что a = A0. Отсю-да a ∈ A0, но это противоречит выбору элемента a. Полученноепротиворечие доказывает теорему.

Следствие о сравнимости для вполне упорядоченныхмножеств. Если 〈A,≤A〉, 〈B,≤B〉 — два вполне упорядоченныхмножества, тогда выполняется в точности один из следующихслучаев:

1. 〈A,≤A〉 ∼= 〈B,≤B〉.

2. ∃b ∈ B : 〈A,≤A〉 ∼= 〈b,≤B〉.

3. ∃a ∈ A : 〈a,≤A〉 ∼= 〈B,≤B〉.

Для построения в теории множеств множества натуральныхчисел ω, а на их основе рациональных и вещественных, нам по-требуется наложить еще одно требование на наш универсум.

Аксиома бесконечности: (∃A)(∅ ∈ A∧(∀x ∈ A)(x∪{x} ∈ A).Заметим, что для множества A, из аксиомы бесконечности,

выполнены следующие свойства: 0 ∈ A, 1 = 0 ∪ {0} ∈ A и поиндукции, если n ∈ A, то n+ 1 = n ∪ {n} ∈ A.

46

Операции на ординалах

Ординалы — это аналог натуральных чисел для произволь-ных множеств. На ординалах мы можем построить ординальнуюарифметику. Для этого определим продолжение операций сложе-ния, умножения и возведения в степень со множества натураль-ных чисел на ординалы.

Определим вначале операцию прибавления единицы для лю-бого ординала α, положив α+ 1� α ∪ {α}.

Так как α — ординал, то множество α + 1 состоит из тран-зитивных элементов. Покажем, что оно транзитивно. Пусть x ∈α ∪ {α}, а y ∈ x. Если x ∈ α, то из того, что y ∈ x и α — ор-динал, заключаем y ∈ α ⊆ α ∪ {α} = α + 1. Если же x = α, тоy ∈ α ⊆ α ∪ {α} = α + 1. Итак, мы получили, что α + 1 транзи-тивно, и, следовательно, α+ 1 — ординал.

Предложение 1. Для любого ординала α множество α + 1определяет ординал такой, что α < α+ 1 и для любого ординалаγ, если α ≤ γ ≤ α+ 1, то γ = α ∨ γ = α+ 1.

Доказательство. Покажем, что α+1 следующий за α ординал.По условию на ординал γ возможны два случая: α = γ или α ∈ γ.Если α = γ, то заключение предложения верно. Если же α ∈ γ,то в силу транзитивности ординалов α ⊆ γ и γ ⊆ α + 1. Изγ ≤ α + 1 получаем, что γ = α + 1 или (γ ∈ α + 1). Если α +1 = γ, то заключение предложения выполнено. Если γ ∈ α + 1,то из транзитивности γ ∈ γ. А это невозможно в силу аксиомыфундируемости.

Ординал α называется непредельным, если существует ор-динал γ такой, что α = γ + 1. Ординал α называется предель-ным, если не существует ординала γ такого, что α = γ+1. Опре-делив прибавление единицы, мы можем рассмотреть и прибавле-ние n–единиц α+ n для любого ординала α, где α+ 0 = α.

Назовем ординал α конечным, если он и все его элементы яв-ляются непредельными ординалами.

47

Ясно, что все ординалы n, построенные для натуральных чи-сел n, являются конечными ординалами. Покажем теперь, что втеоретико-множесвенном универсуме существует множество на-туральных чисел, то есть множество состоящее из всех конечныхординалов.

Теорема о существовании множества натуральных чи-сел. В универсуме множеств существует наименьший ненулевойпредельный ординал, который и определяет множество конечныхординалов ω.

Доказательство. Мы хотим построить теперь ординал, кото-рый содержал бы все конечные ординалы и был наименьшим стаким свойством. Это и будет искомый ординал ω, являющийсямножеством всех конечных ординалов.

Рассмотрим теперь множество A из аксиомы существованиябесконечного множества. Это множество обладает по определе-нию следующим свойством: ∅ ∈ A и для любого элемента x ∈ Aмножество (x ∪ {x} также лежит в A.

Рассмотрим теперь множество α, состоящее из всех таких ко-нечных ординалов β из A, что все элементы β лежат в A. Изопределения ординала α следует, что множество α транзитивнои все его элементы транзитивны, следовательно, множество α —ординал. Очевидно из определения, что α — предельный орди-нал. Действительно, если бы ординал α был непредельным, т. е.α = γ + 1, тогда из определения α элемент γ лежит в α и в A.Но по свойству множества A в таком случае α лежит в A и яв-ляется конечным ординалом, и, следовательно, лежит в α. А этоневозможно по аксиоме фундируемости. Таким образом, ординалα состоит только из непредельных ординалов, а сам предельный.Это и есть искомый ординал ω, состоящий из натуральных чиселв нашем теоретико-множественном универсуме. Теорема доказа-на.

Предложение 2. Для любого ординала α существуют един-ственный предельный ординал γ и n ≥ 0 — натуральное число

48

такие, что α = γ + 1 + 1 + . . .+ 1︸ ︷︷ ︸n раз

= γ + n.

Доказательство. Докажем наше утверждение ординальной ин-дукцией. Пусть для любого ординала, меньшего α, наше утвер-ждение верно. Покажем, что оно верно и для α. Если α — пре-дельный ординал, то γ = α и n = 0. Единственность в этом слу-чае очевидна. Если α непредельный ординал, то существует ор-динал γ такой, что α = γ+ 1. Для ординала γ по индукционномупредположению существуют единственные предельный ординалγ0 и натуральное число n такие, что γ = γ0 + n. В таком случаеα = γ + 1 = (γ0 + n) + 1 = γ0 + (n+ 1). Докажем единственность.Пусть α = γ1 + m. Так как α непредельный ординал, то m 6= 0.Тогда α = (γ1+(m−1))+1. Отсюда следует, что прибавление еди-ницы определяет следующий за данным ординалом ординал, чтоγ0 = (γ1 + (m− 1)), но тогда по индукционному условию γ0 = γ1

и m− 1 = n. Предложение доказано.Определим теперь ординальной индукцией по β сумму двух

ординалов α+ β. Мы предполагаем, что такая сумма α+ γ опре-делена для всех ординалов γ < β. Определим теперь α+ β. Еслиβ = 0, α+ 0� α. Если β = δ+ 1, то полагаем α+β (α+ δ) + 1.Если γ — предельный ординал, то определим α+ γ

⋃δ∈γ

(α+ δ).

Заметим, что объединение любого множества ординалов всегдаснова будет ординалом.

Таким образом, сумма ординалов определена. Заметим, чтоординальной индукцией мы можем легко доказать ряд свойствсложения типа ассоциативности и связи с отношением порядка.Заметим, что не все свойства, справедливые для натуральныхчисел, справедливы и для ординалов. Очевидно, что уже ком-мутативности мы не имеем. Так, для наименьшего ненулевогопредельного ординала ω имеем 1 + ω = ω 6= ω + 1.

Предложение 3. Для любых ординалов α, β и γ из α < βследует, что α+ γ ≤ β + γ и γ + α < γ + β.

Доказательство. Как было указано выше, воспользуемся вновь

49

ординальной индукцией. Будем доказывать ординальной индук-цией по β, что из α < β следует, что γ + α < γ + β. Пусть β —ординал и для всех δ ∈ β предложение справедливо.

Если β — непредельный ординал, то β = δ+ 1. В таком случаеα < δ или α = δ. В первом случае по индуктивному предположе-нию γ + α < γ + δ. Но (γ + δ) + 1 = γ + (δ + 1). Отсюда следует,что γ + α < γ + β. В случае α = δ заключение очевидно.

Если β — предельный ординал, то из неравенства следует, чтоβ > 0. Из определения γ+β =

⋃δ<β

(γ+ δ). Следовательно, γ+α ∈

γ + β и утверждение доказано.Докажем теперь, что из α < β следует, что α+ γ ≤ β + γ. Это

утверждение доказывается ординальной индукцией по γ анало-гично предыдущему случаю.

Определим теперь произведение ординалов α · β.Мы определим α · 0 0. Для непредельного γ = δ+ 1 опреде-

лим α · (γ + 1)� α · γ + α.Если β — предельный ординал, то полагаем α · β

⋃δ<β

α · δ.

Таким образом, произведение по ординальной индукции опре-делено для любых ординалов.

Предложение 4. Для любых ординалов α, β, γ из неравен-ства α < β следует, что γ · α < γ · β, если γ 6= 0, и α · γ ≤ β · γ.

Доказательство аналогично предложению 3.Определение суммы и произведения ординалов легко описать

через операции над вполне упорядоченными множествами. Сум-ма определяет порядок, в котором основное множество состоитиз объединения непересекающихся основных множеств, а поря-док внутри множеств тот же, какой и был на этих множествах,и любой элемент второго множества больше любого элемента изпервого множества.

Для определения произведения 〈A,≤P 〉 × 〈B,≤Q〉 берем де-картово произведение основных множеств B × A данных упоря-доченных множеств, а чтобы сравнить (b, a) и (b′, a′) используемлексикографический порядок. Сначала сравниваем по элементам

50

второго множества, а затем, если они совпадают, по элементампервого множества, т. е. (b, a) ≤P×Q (b′, a′), если b <Q b′ илиb = b′ ∧ a ≤P a′.

Аналогично может быть определено индуктивно и возведениев степень αβ .

Определим α0 1, если α 6= 0.Для непредельного ординала полагаем αγ+1 αγ · α.Для предельного ординала β > 0 полагаем αβ �

⋃δ<β

αδ.

Аналогично может быть доказана монотонность для степени.Предложение 5. Для любых ординалов α, β, γ при α > 1 из

γ < β следует αγ < αβ .Упражнения.1. Доказать, что для любого ординала α существуют един-

ственный ординал β и единственный конечный ординал n такие,что α = ω × β + n.

2. Показать, что ω = 2 + ω 6= ω + 2.3. Показать, что ω = 2× ω 6= ω × 2.4. Доказать, что для любого ординала α существует единствен-

ный набор ординалов β1 > ... > βk и единственный конечныйординал n такие, что α = ωβ1 + ...+ βk + n.

Используя эти свойства операций над ординалами, можно до-казать, что в теории чисел справедлива теорема Гудстейна. ∗

∗ Gudstein R. L. On the restricted ordinal theorem // J. Symb. Logic. Vol. 9(1944), P. 33–41.

51

ЛЕКЦИЯ 5. МОЩНОСТИ МНОЖЕСТВ

Определим теперь сравнимость множеств по числу элементов.Мы назовем множество конечным, если мы можем задать пере-счет элементов этого множества с помощью элементов некоторогоконечного ординала, то есть задать взаимно-однозначное отобра-жение элементов этого ординала на данное множество. В конеч-ном случае мы можем легко сравнить два множества по числуэлементов в них. В таком случае, любые два конечных множе-ства сравнимы по числу элементов, так как ординалы сравнимы,нужно только заметить, что для любого конечного множества мо-жет существовать только единственный ординал с которым этомножество сравнимо по числу элементов. Это легко доказывает-ся индукцией по конечным ординалам, которые непредельны ивсе их элементы непредельны.

Нетрудно проверить, что таким образом определенное понятиеконечного множества обладает всеми естественными свойствамиконечности:

1. Подможество любого конечного множества конечно;2. объединение конечного числа конечных множеств тоже ко-

нечно;3. можество всех конечных подмножеств конечного множества

конечно.Интуитивно, это означает следующий процесс. Берем из каж-

дого множества по одному элементу до тех пор, пока хотя быв одном из них не останется элементов. Если при этом в обоихмножествах не останется элементов, то у них одно и то же числоэлементов, если же в одном из них еще останутся элементы, тооно больше. Таким образом, если есть два множества A и B, у ниходинаковое число элементов, если мы можем установить междуними соответствие. Если в множестве A меньше элементов, чемв B, то, устанавливая соответствие из A и B, мы исчерпаем всеэлементы из A, а в B элементы еще останутся.

Теперь мы можем распространить это отношение сравнимости

52

и на произвольные множества. Мы будем говорить, что два мно-жества A и B равномощны, если существует функция f , устанав-ливающая взаимно-однозначное соответствие между A и B, т. е.f : A

1−1−→на B. В этом случае будем обозначать равномощность сле-дующим сокращением: |A| = |B|. Мы будем говорить, что мощ-ность множества A меньше или равна мощности B (|A| ≤ |B|), ес-ли существует функция f , устанавливающая взаимно-однознач-ное соответствие между A и подмножеством множества B, т. е.существует разнозначная функция f из A в B. Мы будем писатьв этом случае f : A

1−1−→B. Заметим, что для определенных отно-шений на множествах выполняются следующие свойства.

Для отношения равенства мощностей |A| = |B| множеств A Bвыполнены стандартные свойства равенства:

1. Рефлексивность: |A| = |A|.

2. Симметричность: если |A| = |B|, то |B| = |A|.

3. Транзитивность: если |A| = |B| и |B| = |C|, то |A| = |C|.

4. Если |A| = |B|, то |A| ≤ |B| и |B| ≤ |A|.

Для свойства отношения |A| ≤ |B| множеств A B очевидновыполнены стандартные свойства отношения сравнимости:

1. Рефлексивность: |A| ≤ |A|.

2. Транзитивность: если |A| ≤ |B| и |B| ≤ |C|, то |A| ≤ |C|.

Покажем вначале, что определение равномощности и условиевзаимной вложимости множеств друг в друга эквивалентны, т. е.эти определения соответствуют нашей интуиции о сравнимостиколичества элементов.

Теорема Кантора–Шрҷдера–Бернштейна. Если |A| ≤ |B|и |B| ≤ |A|, то |A| = |B|.

53

Доказательство. Из условий теоремы |A| ≤ |B| и |B| ≤ |A|следует, что существуют разнозначные функции f и g такие, чтоf : A

1−1−→B иg : B

1−1−→A.Определим следующую последовательность подмножеств мно-

жества A: A0 A, A1 = g(B). А дальше по индукции определяемдля любого n ≥ 0 множество An+2 = g(f(An)).

Легко видеть из определения, что A2 ⊆ A1 ⊆ A0. Отсюда ин-дукцией по n мы получаем, что при любом n выполнены вклю-чения An+2 ⊆ An+1 ⊆ An. Мы получили убывающую цепочкуподмножеств. Определим теперь множества Mn An \ An+1 имножество M∞

⋂n∈N An, тогда An+1 = g(f(An−1)), а An+2 =

g(f(An)). Заметим, что из убывания последовательности элемен-тов A0 ⊇ A1 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ An+1 ⊇ . . . мы получаем, что длялюбых элементов i, j ∈ N ∪ {∞}, если i 6= j, то Mi ∩Mj = ∅ иM∞ ∪

⋃n∈N Mn = A.

Теперь остается только построить взаимно-однозначное отоб-ражение h : A→ A1 на множество A1. Так как функция g взаим-но-однозначно отображает множество B на A1, то обратная g−1

определяет взаимно-однозначное отображение A1 на B. И в этомслучае композиция h ◦ g−1 устанавливает взаимно-однозначноесоответствие между A и B. Определим теперь функцию h.

Для любого элемента a ∈ A определим значение h(a) следую-щим образом:

h(a) =

a, если a ∈M∞ ∪⋃i≥0

M2i+1,

g(f(a)), если a ∈M2i, i ≥ 0.

Сначала поймем, что h : A→ A1. Действительно, из убыванияпоследовательности A0 ⊇ A1 ⊇ . . . ⊇ An ⊇ An+1 ⊇ . . . сразуследует, что для a ∈ M∞ ∪

⋃i≥0

M2i+1 значение h(a) лежит в A1.

Если же a ∈M2i для i ≥ 0, то a ∈ A2i∧h(a) = g(f(a)), но A2i+2 =g(f(A2i)). Следовательно, h(a) ∈ A2i+2 ⊆ A1.

54

Теперь нужно понять, что это взаимно-однозначное отображе-ние A на A1. Прежде всего заметим, что функция h отображаетвзаимно-однозначно множество M2i на M2i+2, т. е.

M2i+2 = h(M2i),

и функция h разнозначна на множествеM2i. Действительно, функ-ция h совпадает с функцией f ◦ g на множестве M2i, котораяразнозначна, как композиция разнозначных. Из определения по-следовательности множеств мы имеем также, что

A2i+2 = gf(A2i)

иA2i+1 = gf(A2i−1).

Отсюда из разнозначности композиции следует, что f ◦ g отоб-ражает взаимно-однозначно множество M2i на M2i+2. Из совпа-дения функций h и f ◦ g на множестве M2i следует требуемоеусловие. Так как для любых элементов i, j ∈ N ∪{∞}, если i 6= j,тоMi∩Mj = ∅ иM∞∪

⋃n∈N Mn = A, то функция h разнозначна.

Сюръективность функции h тривиально следует из определенияh и равенства

M2i+2 = h(M2i)

для i ∈ N . Теорема доказана.Докажем теперь, что для любого множества найдется множе-

ство строго большей мощности.Теорема Кантора. Для любого множества X мощность это-

го множества строго меньше мощности его множества всех под-множеств P(X), т. е. |X| < |P(X)|.

Доказательство. Покажем вначале, что X1−1−→P(X). Опреде-

лим вложение f из X в P(X). Определим для любого a ∈ Xf(a) {a}. Ясно, что эта функция разнозначно отображает мно-жество X в P(X) и X 1−1−→P(X).

55

Допустим, что |X| = |P(x)|, тогда ∃h : P(x)1−1−→на X. Рассмотрим

множество Y = {x ∈ X | x /∈ h−1(x)}.Каждый элемент x ∈ X является образом какого-то элемента

из P(X), Y ⊆ X ∧ Y ∈ P(X).Пусть h(Y ) = x0 ∈ X. Для элемента x0 возможны следующие

две возможности:

1) x0 ∈ Y ;

2) x0 /∈ Y .

Рассмотрим теперь обе эти возможности:

1) если x0 ∈ Ydf

=⇒x0 /∈ h−1(x0) = Y — противоречие;

2) если x0 /∈ Ydf

=⇒Y = h−1(x0), x0 ∈ Y — противоречие.

Значит, оба случая невозможны, и не существует функции,отображающей множество P (X) на X.

На множестве ординалов у нас также определено сравнение помощности.

Назовем ординал α кардиналом, если он не равномощен ни-какому своему элементу, т. е. это наименьший ординал данноймощности.

Нетрудно понять, что вопрос о равномощности произвольногомножества некоторому кардиналу равносилен вопросу о возмож-ности вполне упорядочить это множество. Как мы увидим позд-нее, теорема Цермело о вполне упорядоченности любого множе-ства следует из аксиомы выбора, более того, она ей эквивалентна.

Множество называется счетным, если его мощность совпада-ет с мощностью множества натуральных чисел. Ясно, что ор-динал, состоящий из натуральных чисел будет кардиналом. Также, как и все конечные ординалы. Ординал называется конеч-ным, если он непредельный и все его элементы — непредельные

56

ординалы. Множество называется конечным, если существуетконечный ординал, которому оно равномощно.

Нетрудно показать, если множество конечно, то оно не рав-номощно своему собственному подмножеству. Заметим, что длялюбого бесконечного ординала α мощности α и α+ 1 совпадают.Множество называется бесконечным, если оно не конечно. Мно-жество элементов ординала будет бесконечным, если оно равно-мощно некоторому своему собственному подмножеству. Однакодля произвольных множеств, мы можем получить сравнимостьлюбого множества по мощности некоторму ординалу, только изэквивалентного свойства вполне упорядоченности любого множе-ства. А это свойство эквивалентно аксиоме выбора.

Без аксиомы выбора мы можем показать, что мощность квад-рата счетного множества также счетно, то есть счетное множе-ство и его квадрат равномощны. Аналогично для множества ве-щественных чисел, это множество и его квадрат равномощны.

Но для доказательства этого свойства для произвольных бес-конечных множеств нам нужна аксиома выбора. Заметим также,что мощность бесконечного множества не изменяется при добав-лении конечного числа элементов. В предположении выполни-мости теоремы Цермело, мощность счетного множества меньшемощности любого бесконечного множества. Назовем мощностьмножества всех подмножеств счетного множества континуаль-ной. Гипотеза континуума о существовании промежуточной мощ-ности между счетной и континуальной привлекала внимание мно-гих логиков. Доказать или опровергнуть эту гипотезу не удаетсядаже при наличии аксиомы выбора. Решение этой проблемы бы-ло получено К. Геделем и П. Коеном, установивших ее независи-мость от стандартной аксиоматики теории множеств.

Теорема о мощности квадрата (следствие из теоремыЦермело). Если множество A бесконечно, то мощностиA и A2 совпадают.

Доказательство. В силу теоремы Цермело любое множествоможно вполне упорядочить. Отсюда по теореме о каноническом

57

вполне упорядоченном множестве любое множество равномощ-но некоторому ординалу. Из вполне упорядоченности ординаловследует, что для любого ординала существует равномощный емукардинал. В таком случае, если теорема неверна, то найдется наи-меньший бесконечный кардинал α, для которого множества α иα2 неравномощны. Заметим также, что в таком случае |α| < |α2|.Однако для любого бесконечного ординала δ < α справедливо ра-венство |δ| = |δ2|, а также δ+1 < α, так как α — бесконечный кар-динал. Рассмотрим множество пар α2 = {(δ1, δ2)|δ1 ∈ α, δ2 ∈ α}.Определим на этом множестве бинарное отношение� следующимобразом: (δ1, δ2) � (γ1, γ2), если max{δ1, δ2} <ε max{γ1, γ2} либоmax{δ1, δ2} = max{γ1, γ2} и δ1 ∈ γ1∨(δ1 = γ1∧δ2 ≤ε γ2). Нетруднозаметить, что такое отношение � вполне упорядочивает множе-ство α2. Отображение f такое, что f(δ) = (δ, δ) сохраняет по-рядок и отображает монотонно и разнозначно 〈α,≤ε〉 в 〈α2,�〉.Рассмотрим ординал β такой, что 〈α2,�〉 и 〈β,≤ε〉 изоморфны.Тогда по следствию из теоремы о монотонных отображениях мыполучаем, что α = β или α ∈ β. Из нашего предположения овыборе α следует, что первый случай невозможен, а из второйвозможности следует, что 〈α,≤ε〉 изоморфно начальному отрезкуиз 〈α2,�〉. Пусть (γ1, γ2) такой элемент из α2, что определенныйим начальный интервал изоморфен 〈α,≤ε〉. Пусть g — функция,задающая этот изоморфизм, а γ = max{γ1, γ2}. Ясно, что γ ∈ α и(γ + 1) ∈ α. В таком случае функция g отображает множество αв (γ + 1)2. Это следует из определения порядка на α2. Так как αбесконечно, то и γ+1 — бесконечное множество. Тогда по выборуα мы имеем равенство мощностей для γ + 1 и (γ + 1)2. В такомслучае получаем неравенства |α| ≤ |(γ + 1)2| = |(γ + 1)| < |α|,т. е. |α| < |α|. Полученное противоречие показывает, что нашепредположение неверно и теорема доказана.

Упражнения.1. Показать, что элементы конечного ординала конечные ор-

диналы.2. Доказать, что суммы, произведения конечных ординалов

58

конечные ординалы.3. Показать, что подмножество конечного множества конечно.4. Показать, что объединение конечных множеств конечно.5. Используя аксиому выбора, показать, что счетное множе-

ство по мощности меньше любого бесконечного множества.6. Показать, что любое множество |X| ≤ |ω| либо конечно,

либо счетно.7. Доказать, что мощность конечного множества меньше мощ-

ности любого бесконечного множества.8. Показать, в предположении аксиомы выбора, что для лю-

бого конечного или счетного множества и любого бесконечногомножества X мощность их объединения равна мощности множе-ства X.

59

ЛЕКЦИЯ 6. ИСЧИСЛЕНИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЙ.ТЕОРЕТИКО-МНОЖЕСТВЕННАЯИ ИСТИННОСТНАЯ СЕМАНТИКИ

ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Для анализа доказательств и определения основных законовлогики, лежащих в основе как логических обоснований, так и на-шей повседневной логики, используемой в общении людей, мыпостроим математические теории, которые строят на основе точ-ных математических моделей понятия доказательства, алгорит-ма и истинности и устанавливают точные математические взаи-мосвязи этих понятий. И именно эти модели и позволили внестив нашу жизнь те огромные преобразования на основе построениякомпьютеров, языков программирования, применимости компью-теров не только как быстрого арифмометра, но и как средствоавтоматизации и преобразования информации именно на основелогических методов. И в настоящее время перед информационны-ми технологиями в различных сферах человеческой деятельностистоят проблемы формализации и разработки методов преобразо-вания информации именно на логических идеях как фундаментеэтих исследований и разработок.

Начнем наше построение с самого простого логического исчис-ления: Исчисления высказываний.

Построим вначале язык исчисления высказываний на основеформального языка, который строится как и естественные язы-ки на основе выбора алфавита, точного математического способаопределения значимых слов - высказываний, на основе которых истроится математическое определение истинности и доказатель-ства. Естественно этот язык достаточно беден, но на этой основеэти понятия и позволяет до конца понять и исследовать связиэтих понятий и возможности моделирования разнообразных ло-гических исчислений уже на этом простом фундаменте.

Выделим на базе этого языка основные логические формы,которые лежат в основе правильных рассуждений и истинност-

60

ных интерпретаций. Этот фрагмент логики базируется на идеяхи силлогизмах Аристотеля в логике. Но не смотря на простотуи бедность этого языка он является достаточным для анализабольшей части, встречающихся в обычной жизни рассуждениях,которые не используют идеализаций бесконечного характера иносят дедуктивный характер.

Мы рассмотрим также ограничение и на способ построенияболее сложных высказываний из заданных, допуская для такихпостроений только логические связки: & (∧) — конъюнкция, ∨— дизъюнкция, −→ — импликация, ¬ — отрицание. Эти связ-ки соответствуют союзам «и», «или», утверждению типа «если..., то ...» и отрицанию высказывания. Естественно, это соответ-ствие неполное. После построения истинностной семантики длянашего исчисления высказываний обсудим некоторые особенно-сти и ограничения в понимании таких связок, отличающих их отпричинно-следственных связей в естественном языке.

Язык высказываний

Определим алфавит нашего формального языка из трех типовсимволов:

1. Множество P, состоящее из символов пропозициональныхпеременных P0, P1, . . . , Q0, Q1, . . . , R0, R1 . . . , . . .

2. Множество логических связок: & — конъюнкция, ∨ — дизъ-юнкция, → — импликация, ¬ — отрицание.

3. Множество вспомогательных символов, которые задают ле-вую и правую скобки, для определения структуры наших выра-жений.

Конечные последовательности символов из алфавита называ-ются словами этого алфавита. Но не все слова осмысленны в рам-ках исчисления высказываний.

Для слов, которые используются в нашем языке в виде выска-зываний, определяется индуктивная процедура определения ос-

61

мысленных слов данного формального языка исчисления выска-зываний. Мы хотим таким образом в нашем фиксированном ал-фавите определить понятие высказывания или пропозициональ-ной формулы, представляемые словами специального вида, с ко-торыми мы и будем работать в нашем формальном языке.

Индуктивное определение высказываний (пропозициональнойформулы) и их подформул.

1. Пропорциональная переменная является высказыванием иединственной ее подформулой (базис индукции).

2. Если ϕ, ψ — высказывания, то (ϕ&ψ), (ϕ∨ψ), (ϕ→ ψ), ¬ϕ— высказывания, а подформулами будут сами формулы, а такжевсе подформулы формул, из которых они определены с помощьюлогических связок (шаг индукции).

3. Других способов построения высказываний нет.Обозначим через Form(P) множество всех высказываний (про-

позициональных формул), построенных из пропозициональныхпеременных P. В дальнейшем будем использовать вместо терми-на пропозициональная формула термин формула, если из контек-ста ясно, что мы рассматриваем пропозициональные формулы.

Теоретико-множественная семантика высказываний

Построим вначале теоретико-множественную семантику. В тео-ретико-множественной семантике каждое высказывание тракту-ется как некоторое свойство объектов из исследуемого универ-сума объектов, относительно которых выполнены естественныесвойства, связывающие выполнимость более сложно определен-ных выражений относительно этих свойств через их составныечасти. Пропозициональные переменные при этом определяют про-стейшие неделимые свойства этих объектов.

Пусть задано множество объектов U . Рассмотрим множествовсех его подмножеств P (U). Мы рассматриваем множество всехпропозициональных переменных P для наших высказываний вкачестве имен простейших свойств, из которых с помощью логи-ческих связок строятся уже более сложные свойства элементов.

62

Мы будем рассмотривать в качестве означиваний в U пропози-циональных переменных функции γ : P → P (U) из множествапропозициональных переменных в множество подмножеств мно-жества U . Любое такое означивание может быть естественнымобразом продолжено до функции Intγ : Form(P) → P (U) на всемножество пропозициональных формул, построенных из множе-ства пропозициональных переменных P, которую будем называтьинтерпретацией в U для означивания γ.

Для любой пропозициональной переменной Q из нашего мно-жества пропозициональных переменных определяем Intγ(Q) γ(Q). Если высказывание ϕ имеет вид (ϕ1 5 ϕ2), где 5 — од-на из логических связок &, ∨ или →, то полагаем для конъ-юнкции Intγ(ϕ1&ϕ2) Intγ(ϕ1) ∩ Intγ(ϕ2), для дизъюнкцииIntγ(ϕ1∨ϕ2) Intγ(ϕ1)∪ Intγ(ϕ2) и для импликации Intγ(ϕ1 →ϕ2) (U\Intγ(ϕ1)) ∪ Intγ(ϕ2).

Для формулы ϕ вида ¬ϕ1 полагаем Intγ(¬ϕ1) (U\Intγ(ϕ1)).Заметим, что γ(ϕ) ⊆ U , и мы говорим, что на элементе a из U

те элементы, которые попадают в подмножество γ(ϕ), обладаютэтим свойством ϕ, остальные нет.

Определим теперь отношение теоретико-множественного сле-дования:

Из гипотез ϕ1, . . . , ϕn следует в теоретико-множествен-ной семантике формула ϕ (ϕ1, . . . , ϕn `TM ϕ), если для любо-го множества U и для любого означивания γ в U интерпретацияIntγ удовлетворяет следующему свойству:γ(ϕ1) ∩ γ(ϕ2) ∩ . . . ∩ γ(ϕn) ⊆ γ(ϕ),

т. е. любой элемент из U , удовлетворяющий при заданной интер-претации всем свойствам из гипотез, удовлетворяет также свой-ству ϕ.

Набор свойств ϕ1, . . . , ϕn совместен в теоретико-множест-венной семантике, если существуют множество U , некотороеозначивание γ в U и хотя бы один элемент при этом означива-нии обладает всеми свойствами ϕ1, . . . , ϕn для интерпретации,построенного по данному означиванию. В противном случае этот

63

набор формул называется несовместным, и обозначим это усло-вие через γ(ϕ1), . . . , γ(ϕn) `TM .

Формулу ϕ исчисления высказываний назовем тождственноистинной в теоретико-множественной семантике, если для любо-го множества U и любого означивания γ в U все элементы из Uобладают свойством ϕ при интерпретации для этого означивания,т. е. выполняется `TM ϕ.

Истинностная семантика высказываний

Построим теперь для исчисления высказываний истинност-ную семантику. При этой семантике про каждое высказываниесможем сказать, истинно оно или ложно, если заданы соответ-ствующие ответы про простые высказывания, соответствующиепропозициональным переменным.

Рассмотрим двухэлементное множество {0, 1}. Мы будем трак-товать число 1 как значение истинности «истинно» и 0 как «лож-но». При истиностной семантике также будем рассматривать озна-чивания для пропозициональных переменных и в зависимости отнего определять для любого высказывания, ложно оно или истин-но. Итак, означиваниями в истинностной семантике будут функ-ции γ : P → {0, 1}. Любое такое означивание может быть есте-ственным образом продолжено до функции Intγ : Form(P) →{0, 1} на все множество пропозициональных формул Form(P),построенных из множества пропозициональных переменных P,которое будем называть интерпретацией в U для означивания γ.

Для любой пропозициональной переменной Q из нашего мно-жества пропозициональных переменных определяем Intγ(Q) γ(Q). Если высказывание ϕ имеет вид (ϕ1 5 ϕ2), где 5 — од-на из логических связок &, ∨ или →, то полагаем для конъ-юнкции Intγ(ϕ1 &ϕ2) min{Intγ(ϕ1), Intγ(ϕ2)}, для дизъюнк-ции Intγ(ϕ1 ∨ ϕ2) max{Intγ(ϕ1), Intγ(ϕ2)} и для импликацииIntγ(ϕ1 → ϕ2) max{(1− Intγ(ϕ1)), Intγ(ϕ2)}.

64

Для формулы ϕ вида ¬ϕ1 полагаем Intγ(¬ϕ1) (1−Intγ(ϕ1)).Заметим, что γ(ϕ) ∈ {0, 1}.Определим теперь отношение следования в истинностной се-

мантике.Из гипотез ϕ1, . . . , ϕn следует в истинностной семантике

формула ϕ (ϕ1, . . . , ϕn `I ϕ), если для любого истинностногоозначивания γ в {0, 1} интерпретация Intγ удовлетворяет следу-ющему свойству: если все формулы из ϕ1, . . . , ϕn при этой интер-претации Intγ истинны, то и формула ϕ при этой интерпретацииистинна.

Набор свойств ϕ1, . . . , ϕn совместен в истинностной семан-тике, если существует истинностное означивание γ в U такое,что все формулы из ϕ1, . . . , ϕn при этой интерпретации истин-ны. В противном случае этот набор формул называется несов-местным в истинностной семантике, будем в этом случае длякраткости обозначать это условие в виде ϕ1, . . . , ϕn `I .

Если в формулу ϕ входят только пропозициональные пере-менные из набора P1, . . . , Pn, то для того чтобы определить наэтой формуле интерпретацию, достаточно знать интерпретациитолько символов из этого набора пропозициональных перемен-ных P1, . . . , Pn. В таком случае мы можем обозначить в качествеозначивания последовательность значений ε1, . . . , εn из {0, 1}. Втаком случае функция fϕ из {0, 1}n в {0, 1} такая, что fϕ(ε1, . . . , εn)Intε1,...,εn(ϕ) для любого набора ε1, . . . , εn из{0, 1}n, называется таблицей истинности формулы ϕ. Обычнофункция, являющаяся таблицей истинности некоторой форму-лы, записывается в табличном виде. Заметим, что формула на-зывается тождественно истинной, если ее таблица истинноститождественно равна единице, и тождественно ложной, если онатождественно равна нулю. Функции из {0, 1}n в {0, 1} называют-ся булевыми функциями. Нетрудно заметить, что любая булевафункция может быть представлена в виде таблицы истинностинекоторой формулы.

Покажем, что две эти семантики тесно взаимосвязаны.

65

Пусть задано произвольное множество U и некоторое истин-ностное означивание пропозициональных переменных γ. Опреде-лим для него теоретико-множественное означивание γ в универ-сум U , определив для любой пропозициональной переменной Qиз заданного набора:

1. γ(Q) U , если γ(Q) = 1,

2. γ(Q) ∅, если γ(Q) = 0.

Теперь мы можем определить связь между этими двумя ин-терпретациями высказываний: теоретико-множественной Intγ иистиностной Intγ . Докажем вначале следующее свойство о связизначений для этих интерпретаций.

Предложение. Для любой формулы ϕ и любого истинност-ного означивания γ выполняются следующие эквивалентности:

1. Intγ(ϕ) U , если Intγ(ϕ) = 1,

2. Intγ(ϕ) ∅, если Intγ(ϕ) = 0.

Доказательство следует из определений индукцией по слож-ности формулы ϕ.

Непосредственно из этого предложения и определения следо-вания получаем следующую связь между следованиями в раз-личных семантиках.

Теорема о связи семантик.

1. Если ϕ1, . . . , ϕn `TM ϕ, то ϕ1, . . . , ϕn `I ϕ.

2. Если ϕ1, . . . , ϕn `TM , то ϕ1, . . . , ϕn `I .

Упражнения. 1. Построить две формулы, каждая из которыхсовместна в теоретико-множественной семантике, а вместе онинесовместны.

66

2. Показать, что любая формула вида (ϕ ∨ ¬ϕ) тождественноистинна в истинностной и теоретико-множественной семантике.

3. Показать, что любая формула вида (ϕ&¬ϕ) несовместна, т.е.тождественно ложна в истинностной и теоретико-множественнойсемантике.

4. Доказать, что если каждое конечное подмножество беско-нечного множества формул ∆ совместно в истинностной семан-тике, то и все множество ∆ совместно в истинностной семантике.

5. Доказать, что для любой формулы ϕ и любого истинност-ного означивания γ выполняются следующие эквивалентности:

1. Intγ(ϕ) U , если Intγ(ϕ) = 1,

2. Intγ(ϕ) ∅, если Intγ(ϕ) = 0.

6. Доказать тождественную истинность всех формул, имею-щих следующий вид:

1. A→ (B → A);

2. (A→ B)→ ((A→ (B → C))→ (A→ C));

3. (A&B)→ A;

4. (A&B)→ B;

5. (C → A)→ ((C → B)→ (C → (A&B)));

6. A→ (A ∨B);

7. B → (A ∨B);

8. (A→ C)→ ((B → C)→ ((A ∨B)→ C));

9. (A→ B)→ ((A→ ¬B)→ ¬A);

10. ¬¬A→ A.

67

ЛЕКЦИЯ 7. ГИЛЬБЕРТОВСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕВЫСКАЗЫВАНИЙ

Построим формальное исчисление, в котором мы на основесинтаксических преобразований обоснуем следование из гипотездругих высказываний, согласованное с теоретико-множественными истинностным следованием. Мы начнем с гильбертовского ис-числения высказываний(ГИВ), в рамках которого понятие дока-зательства более соответствует нашей интуиции об изложенииматематического доказательства, а затем построим секвенциаль-ное исчисление высказываний (СИВ), которое на мой взгляд бо-лее удобно и естественно с точки зрения достижения цели, кото-рую исследователь ставит перед собой. Уже исходя от цели, до-стижения которой мы хотим достичь, мы ищем целенаправленносведение стоящей перед нами задачи к подзадачам, из решениякоторых мы получаем решение нашей целевой задачи. В строя-щемся исчислении в качестве цели мы рассматриваем построениедоказательства для обоснования, рассматриваемого нами следо-вания из принятых гипотез рассматриваемого высказывания.

Для построения формального языка и исисления, нам нужноопределить алфавит, в которов строятся формальный язык, вы-делить основные слова языка являющиеся основными объектамиисчисления, а также основные аксиомы, правила преобразованияи понятие доказательства на основе этих аксиом и правил.

Наша задача состоит в построении двух исчислений, которыебудут согласованы с рассмотренными ранее семантиками, дляэтого, выбрав основные выражения для наших исчислений, бу-дем строить множества аксиом и правил вывода для строящихсяисчислений: гильбертовского исчисления высказываний и секвен-циального исчисления высказываний. Для построения гильбер-товского исчисления высказываний наиболее важным вопросомявляется определение основных аксиом работы с утверждения-ми в нашем формальном языке, которые задают аксиоматически

68

смысл и свойства логических связок в высказываниях. Существу-ют различные способы задания таких аксиом. Причем не все изних приводят к одним и тем же понятиям доказуемых утвержде-ний. Мы хотим определить правила формального доказательствав построенном формальном языке, которые были бы согласованыс построенными ранее семантиками и определяют классическоеисчисление.

Как было отмечено выше будут предложены два способа опре-деления таких формальных доказательств, соответственно, в двухисчислениях: гильбертовском исчислении высказываний и секвен-циальном исчислении высказываний. Как будет показано в даль-нейшем, эти исчисления эквивалентны. Эти исчисления точноотражают следования относительно стандартных семантик и ихбудем называть классическими исчислениями. Пример неэкви-валентного определения дает интуиционистское исчисление вы-сказываний (ИИВ), которое будет рассмотрено на семинарскихзанятиях.

Построим сейчас гильбертовское исчисление высказываний,в котором основными объектами являются пропозициональныеформулы (высказывания) и преобразования определены непосред-ственно на формулах. Таким образом, определенные правила пре-образования в большей мере отвечают нашему привычному ин-туитивному понятию доказательства. Однако, как мы покажемпозднее, эти два исчисления эквивалентны. Тем не менее дляпостроения конкретных доказательств оказывается более легкооперировать с доказательствами в секвенциальной форме, а дляприменения свойств доказуемых формул и различных их свойствоказывается более удобным использовать исчисление, основанноена высказываниях и аксиоматическом описании всех логическихсимволов, которое традиционно называется гильбертовским ис-числением высказываний. В гильбертовском классическом исчис-лении высказываний таких логических символов всего четыре.Это логические связки, использованные ранее для определениявысказываний.

69

Для задания формального исчисления нам нужно определитьчетыре типа конструкций для строящегося гильбертовского ис-числения высказываний:

1. Высказывания (формулы).

2. Аксиомы.

3. Правила вывода.

4. Понятие доказательства.

Как уже было замечено, формулами гильбертовского исчис-ления будут ранее определеные высказывания в том же самомалфавите без значка секвенции.

Правило вывода только одно:

A, A→BB ,

где A и B — пропозициональные формулы (высказывания).Это правило называется правилом отделения (rule of modus

ponens).Аксиомами гильбертовского исчисления высказываний

являются все формулы, имеющие одну из следующих форм:

1. A→ (B → A);

2. (A→ B)→ ((A→ (B → C))→ (A→ C));

3. (A&B)→ A;

4. (A&B)→ B;

5. (C → A)→ ((C → B)→ (C → (A&B)));

6. A→ (A ∨B);

70

7. B → (A ∨B);

8. (A→ C)→ ((B → C)→ ((A ∨B)→ C));

9. (A→ B)→ ((A→ ¬B)→ ¬A);

10. ¬¬A→ A.

Заметим, что часто эти формы называют схемами аксиом, таккак каждая форма задает целый класс формул, являющихся ак-сиомами.

Формула A доказуема из множества формул Γ в ГИВ (Γ A), если существует последовательность формул B0, B1, . . . , Bn сBn = A такая, что для любого i ≤ n формула Bi является акси-омой, или Bi ∈ Γ, или существуют формулы Bp, Bq с индексамиp < i, q < i такие, что формула Bi получается из формул Bp и Bqпо правилу отделения. В этом случае последовательность формулB0, B1, . . . , Bn называется доказательством в ГИВ из множе-ства формул Γ формулы A или просто доказательством. Частов этом случае говорят, что формула A доказуема из множествагипотез Γ.

Формула называется доказуемой в ГИВ, если она доказуемаиз пустого множества формул.

Множество формул Γ называется противоречивым в ГИВ(Γ ), если существует формула A такая, что A и ее отрицание¬A доказуемы из множества формул Γ.

Чтобы иметь некоторое интуитивное представление о значе-нии этого символа, можем сформулировать в качестве цели по-строения этого исчисления Γ ` A — формализацию того, из за-данного набора утверждений Γ, следует утверждение, формули-ровка которого имеет структуру формулы A. Этот набор выска-зываний Γ в этом случае будем называть гипотезами Γ в выра-жении Γ ` A. А выражение Γ ` будет соответствовать формали-зации противоречивости набора высказываний из последователь-ности Γ.

71

Лемма 1. Формула A→ A доказуема в ГИВ.Доказательство. Построим требуемую последовательность фор-

мул.

1. A→ (A→ A) — первая аксиома при B A.

2. (A → (A → A)) → ((A → ((A → A) → A)) → (A → A)) —вторая аксиома при B (A→ A), C A.

3. (A → ((A → A) → A)) → (A → A) — формула получаетсяпо правилу отделения из первой и второй формул.

4. A→ ((A→ A)→ A) — первая аксиома при B (A→ A).

5. A → A получается из третьей и четвертой формул по пра-вилу отделения.

Лемма доказана.Как уже раньше было замечено, строить доказательства в гиль-

бертовском исчислении довольно трудоемкая задача. Следующаяважная теорема позволяет для обоснования доказуемости исполь-зовать метаконструкции, которые значительно облегчают эту де-ятельность.

Теорема о дедукции. Если Γ, A B, то Γ A→ B.Доказательство. Воспользуемся индукцией по длине кратчай-

шего доказательства формулы B из последовательностиформул Γ, A.

Пусть Γ, A B и рассмотрим кратчайшее доказательствоΨ0, . . . ,Ψn формулы B из Γ, A. Докажем справедливость базисаиндукции. При n = 0 доказательство состоит из одной форму-лы B, и в этом случае по определению доказательства из фор-мул Γ, A выполняется одна из следующих возможностей для этойформулы: B ∈ Γ или B = A или B — аксиома.

Если B ∈ Γ или B — аксиома, то следующая последователь-ность формул

72

1. B,

2. B → (A→ B) (аксиома 1),

3. A→ B

будет доказательством из множества формул Γ формулы A→ Bи базис индукции выполнен в этом случае, т. е. Γ A→ B.

Если B = A, то нужно доказать формулу A→ A, но по леммеформула A → A доказуема, и, следовательно, получаем, что ⇒Γ A→ A.

Докажем теперь индуктивный переход.Пусть для доказательств длины, меньшей n, теорема верна.

Докажем для длины n + 1. Пусть Ψ0, . . . ,Ψn+1 доказательствоформулы B из Γ, A. По определению Ψn+1 = B.

Для последней формулы Ψn+1 имеется по определению следу-ющие возможности:

1) Ψn+1 ∈ Γ;

2) Ψn+1 — аксиома;

3) Ψn+1 = A;

4) Ψn+1 получается из формул Ψi и Ψj по правилу выводанашего исчисления для (i, j < n+ 1). В этом случае выпол-нено равенство Ψj = (Ψi → Ψn+1).

Так как мы взяли кратчайшее доказательство и оно имеетдлину, большую 1, то первые три случая невозможны. Такимобразом, выполняется четвертый случай. Но последовательностьформул Ψ0, . . . ,Ψm любогоm ≤ n+1 также является доказатель-ством из множества формул Γ, A. При этом длина доказательствуже меньше n + 1. Отсюда по индукционному предположениюполучаем, что Γ A→ Ψi, Γ A→ Ψj .

73

Рассмотрим последовательность формул ρ1, ρ2, . . . , ρm, являю-щуюся доказательством формулы (A→ Ψi) из Γ и σ1, σ2, . . . , σk,являющуюся доказательством формулы (A→ Ψj) из Γ.

Построим теперь доказательство формулы (A→ B) из Γ, взявследующую последовательность формул: ρ1, ρ2, . . . , ρm, (A→ Ψi)→ ((A→ (Ψi → Ψn+1))→ (A→ Ψn+1)) (аксиома 2), (A→ (Ψi →Ψn+1))→ (A→ Ψn+1)), σ1, σ2, . . . , σk, A→ Ψn+1.

Заметим, что ρm = (A → Ψi) и σk = (A → Ψj), а Ψj =(Ψi → Ψn+1) иB = Ψn+1. Отсюда следует, что построенная после-довательность формул является доказательством из Γ формулы(A→ B). Теорема доказана.

Установим теперь связь наших исчислений с теоретико-мно-жественной семантикой. Прежде всего мы покажем, что любаяформула доказуемая в гильбертовском исчислении высказыванийбудет тождественно истинной формулой.

Лемма 2. Любая аксиома ГИВ тождественно истинна в тео-ретико-множественной семантике, т. е. для любой аксиомы ϕ вы-полняется |=TM ϕ.

Доказательство. Рассмотрим произвольное множество U и про-извольное означивание γ на этом множестве U . Определим дляэтого означивания интерпретацию Intγ и покажем, что для любойаксиомы ϕ гильбертовского исчисления высказываний Intγ(ϕ) =U , т. е. для любого элемента из U выполнено свойство ϕ. Для до-казательства этой леммы нам нужно рассмотреть аксиомы всехдесяти форм и убедиться, что для них указанное свойство выпол-няется. Мы будем доказывать это от противного, предполагая,что для некоторого элемента s не выполнено свойство ϕ.

Мы опишем здесь доказательства только для восьмой и девя-той аксиом: (A → C) →((B → C) → ((A ∨ B) → C)) и (A → B) → ((A → ¬B) → ¬A).Остальные случаи остаются в качестве упражнений.

Итак, пусть вначале ϕ = ((A → C) → ((B → C) → ((A ∨B) → C))) и s /∈ Intγ(ϕ). Тогда по определению интерпретацииs ∈ Intγ(A → C) и s /∈ Intγ((B → C) → ((A ∨ B) → C)). Вновь

74

воспользуемся определением интерпретаций для второй формулыи получим: s ∈ Intγ(B → C) и s /∈ Intγ((A ∨ B) → C). А теперьполучаем, что s ∈ Intγ(A∨B) и s /∈ IntγC. Из условий s /∈ IntγCи s ∈ Intγ(A → C) заключаем, что s /∈ IntγA. Аналогично изs /∈ IntγC и s ∈ Intγ(B → C) получаем s /∈ IntγB. Но в такомслучае s /∈ Intγ(A∨B). Но мы уже заметили, что s ∈ Intγ(A∨B).Полученное противоречие показывает, что наше предположениеневерно и для восьмой аксиомы требуемое условие выполненовсегда.

Докажем теперь требуемое условие в случае девятой аксиомы,т. е. в случае ϕ = (A → B) → ((A → ¬B) → ¬A). Предполагаем,как и в предыдущем случае, что s /∈ Intγ(ϕ). Тогда по опреде-лению интерпретации s ∈ Intγ(A → B) и s /∈ Intγ((A → ¬B) →¬A). Вновь воспользуемся определением интерпретаций для вто-рой формулы и получим: s ∈ Intγ(A → ¬B) и s /∈ Intγ¬A. Атеперь получаем, что s ∈ IntγA. Из условий s ∈ Intγ(A → B) иs ∈ IntγA заключаем, что s /∈ IntγB. Аналогично из s ∈ IntγAи s ∈ Intγ(A → ¬B) получаем s ∈ Intγ¬B. Но в таком случаеs /∈ IntγB. Но мы уже заметили, что s ∈ IntγB. Полученное про-тиворечие показывает, что наше предположение неверно и длядевятой аксиомы требуемое условие выполнено всегда. Мы остав-ляем разбор остальных случаев читателям в качестве упражне-ния. Лемма доказана.

Лемма 3. Если формулы A и (A→ B) тождественно истинныв теоретико-множественной семантике, то и формула B тожде-ственно истинна для теоретико-множественной семантики.

Доказательство следует непосредственно из определения тео-ретико-множественной интерпретации для импликации.

Из этих двух лемм индукцией по длине доказательств мы по-лучаем следующее важное соотношение доказуемости и теорети-ко-множественной семантики.

Теорема о корректности доказуемости. Любая формула,доказуемая в гильбертовском исчислении высказываний, тожде-ственно истинна в теоретико-множественной семантике.

75

Следствие 1. Если в гильбертовском исчислении высказыва-ний из гипотез ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn выводима формула ϕ, т. е. (ϕ1, ϕ2, . . . ,ϕn ϕ), то ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn |=TM ϕ.

Доказательство получаем n–кратным применением теоремы одедукции и затем теоремы о корректности доказательств.

Следствие 2. Если в гильбертовском исчислении высказы-ваний гипотезы ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn противоречивы, т. е. (ϕ1, ϕ2, . . . ,ϕn ), то ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn |=TM .

Упражнения.1. Доказать секвенции ` (A→ A), ` (A→ ¬¬A).2. Доказать секвенции (A&A) ` A, A ` (A&A), (A&B) `

(B&A), ((A&B)&C) ` (A&(B&C)).3. Доказать секвенции A ` (A ∨ A), A ` (A ∨ A), (A ∨ B) `

(B ∨A), ((A ∨B) ∨ C) ` (A ∨ (B ∨ C)).4. Доказать секвенции A, (A → B) ` B, A, (A → B), (A →

(B → C)) ` C.5. Доказать, что следующие формулы доказуемы в секвенци-

альном исчислении высказываний:

1. A→ (B → A);

2. (A→ B)→ ((A→ (B → C))→ (A→ C));

3. (A&B)→ A;

4. (A&B)→ B;

5. (C → A)→ ((C → B)→ (C → (A&B)));

6. A→ (A ∨B);

7. B → (A ∨B);

8. (A→ C)→ ((B → C)→ ((A ∨B)→ C));

9. (A→ B)→ ((A→ ¬B)→ ¬A);

10. ¬¬A→ A.

76

ЛЕКЦИЯ 8. СЕКВЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕВЫСКАЗЫВАНИЙ

Построим в этой лекции секвенциальное исчисление высказы-ваний (СИВ), которое на мой взгляд более удобно и естественнос точки зрения достижения цели, которую исследователь ставитперед собой. Уже исходя от цели, достижения которой мы хотимдостичь, мы ищем целенаправленно сведение стоящей перед на-ми задачи к подзадачам, из решения которых мы получаем реше-ние нашей целевой задачи. В строящемся исчислении в качествецели мы рассматриваем построение доказательства для обосно-вания, рассматриваемого нами следования из принятых гипотезрассматриваемого высказывания.

Начнем теперь построение классического секвенциального ис-числениявысказываний. Введем в алфавит нашего формального языка дляпостроения основных выражений нашего формального языка ещедва новых символа «`» — символ секвенции и символ запятой «,».Запятая будет использована для формальной записи последова-тельностей высказываний. Эти символы мы добавим к алфавитувысказываний, чтобы построить основные формальные выраже-ния секвенциального исчисления высказываний— секвенций.

Для любой непустой последовательности высказываний Γ ивысказывания A выражения вида Γ ` A, Γ ` и ` A назовем се-квенциями. При этом под последовательностью высказываний Γмы понимаем пустую совокупность высказываний или выраже-ние нашего языка вида ϕ1, . . . , ϕn, где ϕ1, . . . , ϕn — формулынашего языка исчисления высказываний и n ≥ 1.

Чтобы иметь некоторое интуитивное представление о значе-нии этого символа, можем сформулировать в качестве цели по-строения этого исчисления Γ ` A — формализацию того, из за-данного набора утверждений Γ, следует высказывание A, а выра-жение Γ ` будет соответствовать формализации противоречиво-сти набора высказываний из последовательности Γ. Этот набор

77

высказываний Γ из секвнций Γ ` A и Γ ` будем называть Γ ги-потезами в секвенциях Γ ` A и Γ `.

Построим теперь секвенциальное классическое исчисление вы-сказываний.

Чтобы определить исчисление, нам нужно определить в немаксиомы и правила вывода (правила преобразований).

Аксиомы СИВ: все выражения вида ϕ ` ϕ для любого вы-сказывания (пропозициональной формулы) ϕ будет аксиомой на-шего исчисления секвенций.

Зададим теперь основные правила вывода для секвенциально-го исчисления высказываний.

Пусть Γ и Γ′ — наборы высказываний, а A,B,C — высказыва-ния. Определим теперь правила вывода секвенциального исчис-ления высказываний.

Правила вывода СИВ:1. Правила вывода с коньюнкцией — (&):Γ`A Γ`BΓ`(A&B)

Γ`(A&B)Γ`A

Γ`(A&B)Γ`B .

2. Правила вывода с дизъюнкцией — (∨):Γ`A

Γ`(A∨B)Γ`B

Γ`(A∨B)Γ`(A∨B) Γ,A`C Γ,B`C

Γ`C (правило разбора слу-чаев).

3. Правила вывода с импликацией — (→):Γ`A Γ`(A→B) Γ ` B Γ,A`B Γ ` A→ B.4. Правила вывода с отрицанием — (¬):Γ`A Γ`¬A

Γ`Γ,A`Γ`¬A

Γ,¬A`Γ`A .

5. Структурные правила вывода:Γ`A

Γ,B`A (правило утончения);Γ,A,A,Γ′`BΓ,A,Γ′`B ;

Γ,A,B,Γ′`CΓ,B,A,Γ′`C .

Линейный вывод

78

Будем говорить, что секвенция γ доказуема (выводима),если существует последовательность секвенций γ0, . . . , γn такая,что γn = γ и для каждого i ≤ n секвенция γi — аксиома или по-лучается из предыдущих секвенций по одному из правил вывода.Последовательность секвенций γ0, . . . , γn будем называть в этомслучае доказательством (выводом) секвенции γ.

Заметим, что начальный кусок γ0, . . . , γi для i ≤ n из доказа-тельства γ0, . . . , γn секвенции γn будет доказательством секвен-ции γi.

Последовательность секвенций называется квазивыводом,если наряду с аксиомами мы можем использовать в доказатель-стве доказуемые секвенции. Ясно, что любой квазивывод мы мо-жем дополнить до вывода.

Докажем теперь утверждение о связи двух исчислений.Теорема о связи исчислений.1. Если секвенция ϕ1, . . . , ϕn ` ϕ доказуема, то в гильбертов-

ском исчислении высказываний мы имеем выводимость ϕ1, . . . ,ϕn ϕ.

2. Если секвенция ϕ1, . . . , ϕn ` доказуема, то в гильбертовскомисчислении высказываний мы имеем выводимость ϕ1, . . . , ϕn .

Доказательство проведем индукцией по длине доказательствав секвенциальном исчислении высказываний. Пусть γ0, . . . , γn =γ — доказательство длины n+ 1.

Если n = 0, то γn аксиома и γn = A ` A, но тогда очевидно,что A A. Таким образом, базис индукции доказан.

Докажем шаг индукции. Пусть для доказательств длины, мень-шей n + 1, наша теорема уже доказана. Покажем ее справедли-вость и для доказательств длины n + 2. Пусть γ0, . . . , γn+1 = γ— доказательство секвенции γ. В таком случае секвенция γn+1

— либо аксиома, либо получается из предыдущих секвенций поодному из правил вывода. Если γn+1 — аксиома, то γn+1 = A ` A,но тогда, как и раньше, очевидно, что A A. Остается рассмот-реть теперь все возможности для правил вывода. Однако любой

79

кусок доказательства есть доказательство, а поэтому все секвен-ции γi для i ≤ n имеют доказательства длины, меньшей n+ 2, ик ним применимо предположение индукции.

Рассмотрим здесь доказательство только для двух правил, остав-ляя разбор остальных в качестве упражнения.

Рассмотрим правило с конъюнкцией. Пусть наша секвенцияγn+1 получается по правилу

Γ ` A Γ ` BΓ ` A&B

,

где γn+1 = Γ ` (A&B), γi = Γ ` A и γj = Γ ` B, а i, j ≤ n.Отсюда по индукционному предположению получаем, что Γ

A и Γ B.Построим теперь квазивывод формулы (A&B).

1. (C → A) → ((C → B) → (C → (A&B))) — пятая аксиомаГИВ, где C — любая аксиома ГИВ.

2. C — аксиома ГИВ.

3. A→ (C → A) — первая аксиома ГИВ.

4. A по индукционному предположению доказуема из Γ.

5. C → A получается из третьей и четвертой формулы по пра-вилу отделения.

6. ((C → B) → (C → (A&B))) получается из первой и пятойформулы по правилу отделения.

7. B → (C → B) — первая аксиома ГИВ.

8. B по индукционному предположению доказуема из Γ.

80

9. C → B получается из седьмой и восьмой формулы по пра-вилу отделения.

10. (C → (A&B)) получается из девятой и шестой формулыпо правилу отделения.

11. (A&B) получается из второй и десятой формулы по пра-вилу отделения.

Разберем еще случай трехпосылочного правила разбора слу-чаев.

Пусть наша секвенция γn+1 получается по правилу

Γ ` (A ∨B) Γ, A ` C Γ, B ` CΓ ` C

,

где γn+1 = Γ ` C, γi = Γ ` (A ∨B), γk = Γ, A ` C и γj = Γ, B ` C,а i, j, k ≤ n.

Отсюда по индукционному предположению получаем, что Γ (A ∨ B), Γ, A C и Γ, B C. По теореме о дедукции мы можемзаключить теперь, что Γ (A→ C) и Γ (B → C).

Построим теперь квазивывод формулы C.

1. (A∨B) по индукционному предположению доказуема из Γ.

2. (A → C) по индукционному предположению и теореме одедукции доказуема из Γ.

3. (B → C) по индукционному предположению и теореме одедукции доказуема из Γ.

4. (A→ C)→ ((B → C)→ ((A∨B)→ C)) — восьмая аксиомаГИВ.

5. ((B → C)→ ((A∨B)→ C)) получается из второй и четвер-той формулы по правилу отделения.

81

6. ((A ∨ B) → C) получается из третьей и пятой формулы поправилу отделения.

7. C получается из первой и шестой формулы по правилу от-деления.

Разбор для остальных правил вывода проводится аналогич-но и ключевая роль принадлежит теореме о дедукции. Теоремадоказана.

Следствие 1. Выполнены следующие следствия:

1. Если секвенция Γ ` A доказуема, то Γ A.

2. Если Γ A, то Γ |=TM A.

3. Если Γ |=TM A, то Γ |=I A.

Следствие 2. Выполнены следующие следствия:

1. Если секвенция Γ ` доказуема, то Γ .

2. Если Γ , то Γ |=TM .

3. Если Γ |=TM , то Γ |=I .

Теорема о корректности семантик для секвенциально-го исчисления.

1. Если секвенция ϕ1, . . . , ϕn ` ϕ доказуема, тоϕ1, . . . , ϕn `TM ϕ, а тогда ϕ1, . . . , ϕn `I ϕ,

2. Если секвенция ϕ1, . . . , ϕn ` доказуема, то ϕ1, . . . , ϕn `TM ,

а тогда и ϕ1, . . . , ϕn `I .

Доказательство легко получаем индукцией по длине линейно-го вывода.

Древовидный вывод

82

Определим вначале понятие дерева секвенций и его основныхэлементов.

Дерево секвенций определяется индуктивно по числу пере-ходов в нем.

1. Любая секвенция γ является деревом с основанием ивершиной γ, а переходов в этом дереве нет (базис индук-ции).

2. Если D0,D1, . . . ,Dn — деревья с основаниями γ0, γ1, . . . , γn,а γ секвенция, то выражениеD0,D1,...,Dn

γявляется деревом с основанием γ, вершинами этого дереваявляются все вершины деревьев D0,D1, . . . ,Dn, а переходысостоят из переходов деревьев D0,D1, . . . ,Dn и перехода

γ0,γ1,...,γnγ (шаг индукции).

Дерево секвенций называется деревом вывода, или древо-видным выводом, если все переходы в нем являются правиламивывода в секвенциальном исчислении высказываний, а вершиныдерева являются аксиомами нашего исчисления.

Аналогично линейному выводу мы можем определить для де-ревьев понятия квазивывода, допустив в качестве вершин до-казуемые секвенции. Ясно, что и в этом случае квазивывод легкодополняется до вывода.

Покажем, что линейный и древовидный выводы определяютодни и те же доказуемые секвенции.

Теорема о древовидном и линейном выводах. Секвен-ция γ доказуема, если и только если существует дерево вывода соснованием γ.

Доказательство. Докажем необходимость (=⇒) индукцией подлине вывода секвенции. Если вывод состоит из одной секвен-ции, то она является и деревом вывода. Таким образом, базисиндукции доказан. Предположим, что для секвенций с доказа-тельствами длины, меньшей n + 1, наше утверждение справед-ливо. Пусть секвенция γ имеет доказательство γ0, γ1, . . . , γn дли-ны n + 1. В таком случае секвенция γ либо является аксиомой,

83

но тогда она имеет доказательство длины 1 и по ранее доказан-ному имеет дерево вывода, либо она получается из предыдущихγs0 , γs1 , . . . , γsk по одному из правил вывода. Но тогда по индукци-онному предположению эти секвенции уже имеют дерево выводаDs0 , Ds1 , . . . , Dsk . Тогда дерево

Ds0 ,Ds1 ,...,Dskγ

будет деревом вывода для секвенции γ.Докажем теперь достаточность (⇐=) индукцией по числу пе-

реходов в дереве вывода. Если дерево вывода не имеет переходов,то секвенция является вершиной и, следовательно, аксиомой, нотогда последовательность из одной этой секвенции является еелинейным выводом. Это доказывает базис индукции.

Докажем индукционный переход. Предположим, что для се-квенций с деревьями вывода с числом переходов, меньшим n+ 1,наше утверждение справедливо. Пусть секвенция γ имеет деревовывода

Ds0 ,Ds1 ,...,Dskγ

с числом переходов n + 1. Рассмотрим основания γs0 , γs1 , . . . , γskдеревьев вывода Ds0 , Ds1 , . . . , Dsk . В таком случае по индукци-онному предположению для секвенций γs0 , γs1 , . . . , γsk существу-ют последовательности линейных доказательств Ls0 , Ls1 , . . . , Lsk ,так как деревья Ds0 , Ds1 , . . . , Dsk имеют уже по крайней мере наодин переход меньше, чем все дерево вывода. Но тогда последова-тельность формул Ls0 , Ls1 , . . . , Lsk , γ, составленная из объедине-ния всех доказательств и добавленной секвенции γ в конце после-довательности, будет линейным выводом этой секвенции. Доказа-тельство теоремы об эквивалентности двух способов построениядоказательств, таким образом, закончено.

Докажем теперь, что построенное нами исчисление двузнач-ное. Мы будем говорить, что формула A доказуема в секвенци-альном исчислении высказываний, если секвенция ` A доказуемав нашем исчислении СИВ.

Теорема о двузначности СИВ. Для любой формулы A

84

формула A∨¬A доказуема в секвенциальном исчислении выска-зываний.

Доказательство. Построим для секвенции ` (A ∨ ¬A) деревовывода.

¬A`¬A¬A`(A∨¬A)

, ¬(A∨¬A)`¬(A∨¬A)

¬(A∨¬A),¬A`¬(A∨¬A)`A

A`AA`‘(A∨¬A)

¬(A∨¬A)`¬(A∨¬A)

¬(A∨¬A),A`¬(A∨¬A)`¬A

¬(A∨¬A)`

` (A ∨ ¬A).

Нетрудно видеть, что представленное дерево является деревомвывода и теорема доказана.

Упражнения.1. Построить деревья выводов всех эквивалентности из теоре-

мы, т.е. справедливость для всех высказываний A,B,C:

1. A&A ≡ A и A ∨A ≡ A (идемпотентность);

2. (A&B) ≡ (B&A) и (A ∨B) ≡ (B ∨A) (коммутативность);

3. ((A&B)&C) ≡ (A& (B&C)) и ((A∨B)∨C) ≡ (A∨ (B ∨C)(ассоциативность);

4. (A& (B ∨C)) ≡ ((A&B)∨ (B&C)) и (A∨ (B&C)) ≡ ((A∨B) & (A ∨ C) (дистрибутивность);

5. (A→ B) ≡ (¬A ∨B);

6. ¬¬A ≡ A (двойное отрицание);

7. ¬(A∨B) ≡ (¬A&¬B), и ¬(A&B) ≡ (¬A∨¬B) (двойствен-ность);

8. ((A&B)→ C) ≡ (A→ (B → C));

9. ((A&¬A) ∨ C) ≡ C;

10. ((A ∨ ¬A) &C) ≡ C.

85

2. Доказать также эквивалентность следующих пар формул:Следующие эквивалентности справедливы для всех высказы-

ваний A,B,C:

1. (B ∨ ¬B)) ≡ (A ∨ ¬A) и (B&¬B) ≡ (A&¬A) ;

2. (A& (B → C)) ≡ ((A&¬B) ∨ (A&C)) и (A ∨ (B → C)) ≡((B → (A ∨ C)) ;

3. (A→ (B → C) ≡ (B → (A→ C));

4. (A→ (B → C) ≡ ((B&A)→ C);

5. ((A&B)→ C) ≡ (A→ (B → C));

6. ¬(A→ B) ≡ (A&¬B);

86

ЛЕКЦИЯ 9. ОСНОВНЫЕ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИФОРМУЛ В СЕКВЕНЦИАЛЬНОМ ИСЧИСЛЕНИИ

ВЫСКАЗЫВАНИЙ

Определим бинарное отношение «A и B эквивалентные фор-мулы» на множестве формул. Мы назовем формулы A и B эк-вивалентными (будем писать в этом случае (A ≡ B)), если се-квенции A ` B и B ` A доказуемы в секвенциальном исчислениивысказываний.

Заметим прежде всего, что это отношение, действительно, эк-вивалентность, т. е. для него выполнены свойства рефлексивно-сти, симметричности и транзитивности.

Лемма 1 (об эквивалентности). Для отношения A ≡ Bвыполнены следующие три свойства для любых высказыванийA,B,C:

1. A ≡ A (рефлексивность);

2. если A ≡ B, то B ≡ A (симметричность);

3. если A ≡ B и B ≡ C, то A ≡ C (транзитивность),

т. е. отношение A ≡ B на множестве высказываний является от-ношением эквивалентности на множестве всех формул.

Доказательство непосредственно следует из определения.Докажем теперь, что эквивалентность согласована и с логиче-

скими операциями.Лемма 2 (о конгруэнтности). Для любых высказываний

A,A′, B, B′, если A ≡ A′ и B ≡ B′, то справедливы следующиесвойства:

1. (A&B) ≡ (A′&B′),

2. (A ∨B) ≡ (A′ ∨B′),

3. (A→ B) ≡ (A′ → B′),

87

4. ¬A ≡ ¬A′; ¬B ≡ ¬B′,

т. е. отношение эквивалентности A ≡ B согласовано с логически-ми связками, задающими операции на множестве формул.

Доказательство. Так как условия симметричны, то достаточнодоказать для каждой эквивалентности только одну из требуемыхсеквенций.

1. Докажем для конъюнкции, т.е. (A&B) ` (A′&B′):

(A&B)`(A&B)(A&B)`A

A`A′`(A→A′)

(A&B)`A′

(A&B)`(A&B)(A&B)`B

B`B′`(B→B′)

(A&B)`B′

(A&B) ` (A′&B′).

2. Докажем лемму для дизъюнкции, т. е. (A ∨B) ` (A′ ∨B′):

(A ∨B) ` (A ∨B) A`A′A`(A′∨B′)

B`B′B`(A′∨B′)

(A ∨B) ` (A′ ∨B′).

3. Докажем эквивалентность для импликации, т. е. (A→ B) `(A′ → B′):

A′`A (A→B)`(A→B)(A→B),A′`B

B`B′`(B→B′)

(A→B),A′`B′(A→B)`(A′→B′)

.

4. Докажем последнее утверждение для отрицания, т. е. ¬A `¬A′:

¬A`¬A A′`A¬A,A′`¬A`¬A′ .

Лемма доказана.Из этой леммы о конгруэнтности следует непосредственно ин-

дукцией по сложности формулы B следующая теорема.Теорема о замене. Если формула A является подформулой

формулы B, а формулы A и A′ эквивалентны, то, подставив в Bвместо подформулы A формулу A′, получим формулу BA

A′ экви-валентную формуле B.

88

Докажем теперь основные свойства эквивалентности, которыебудут использоваться при нахождении специальных нормальныхформ высказываний, аналогичных преобразованиям многочле-нов в алгебре.

Теорема об основных эквивалентностях. Следующие эк-вивалентности справедливы для всех высказываний A,B,C:

1. A&A ≡ A и A ∨A ≡ A (идемпотентность);

2. (A&B) ≡ (B&A) и (A ∨B) ≡ (B ∨A) (коммутативность);

3. ((A&B)&C) ≡ (A& (B&C)) и ((A∨B)∨C) ≡ (A∨ (B∨C))(ассоциативность);

4. (A& (B ∨C)) ≡ ((A&B)∨ (A&C)) и (A∨ (B&C)) ≡ ((A∨B) & (A ∨ C) (дистрибутивность);

5. (A→ B) ≡ (¬A ∨B);

6. ¬¬A ≡ A (двойное отрицание);

7. ¬(A∨B) ≡ (¬A&¬B), и ¬(A&B) ≡ (¬A∨¬B) (двойствен-ность);

8. ((A&B)→ C) ≡ (A→ (B → C));

9. ((A&¬A) ∨ C) ≡ C;

10. ((A ∨ ¬A) &C) ≡ C.

Докажем вначале 4-ю эквивалентность. Для этого построимвначале дерево вывода для первой секвенции из определения эк-вивалентности:

(A& (B∨C))`(A& (B∨C))(A& (B∨C))`(B∨C)

(A& (B∨C))`(A& (B∨C))(A& (B∨C))`A

B`B

(A& (B∨C)),B`(A&B)(A& (B∨C)),B`((A&B)∨(A&C))

(A& (B∨C))`(A& (B∨C))(A& (B∨C))`A

C`C

(A& (B∨C)),C`(A&C)(A& (B∨C)),C`((A&B)∨(A&C))

(A& (B ∨ C)),` ((A&B) ∨ (A&C)).

89

Построим дерево вывода для второй секвенции из определенияэквивалентности формул:

((A&B) ∨ (A&C)) ` ((A&B) ∨ (A&C))(A&B)`(A&B)

(A&B)`A

(A&B)`(A&B)(A&B)`B

(A&B)`(B∨C)

(A&B)`(A& (B∨C))

(A&B)`(A&B)(A&B)`A

(A&C)`(A&C)(A&C)`C

(A&C)`(B∨C)

(A&C)`(A& (B∨C))

((A&B) ∨ (A&C)) ` (A& (B ∨ C)).

Доказательство остальных эквивалентностей остается читате-лям в качестве упражнения.

На этом доказательство теоремы завершено.Упражнения.1. Доказать секвенцию (A→ B) ∨ (B → A).2. Доказать эквивалентность ¬(A→ B) ≡ (A&¬B);3. Доказать эквивалентность (A&B) ≡ ¬(¬A ∨ ¬B);4. Доказать эквивалентность (A ∨B) ≡ ¬(¬A&¬B);5. Доказать эквивалентность (A→ B) ≡ ¬(A&¬B);

90

ЛЕКЦИЯ 10. НОРМАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

В этой лекции мы найдем для любой формулы эквивалентныеей формулы в форме, которая более явно позволяет распознаватьдоказуемость формул, а на основе этой характеризации доказатьтеорему Геделя о полноте исчисления высказываний.

Определим вначале понятия элементарной дизъюнкции и эле-ментарной конъюнкции, которые определяются индуктивно.

Определение. Элементарная дизъюнкция определяетсяиндуктивно:

1. Базис индукции: любая пропозициональная переменная илиее отрицание являются элементарными дизъюнкциями.

2. Шаг индукции: если высказывания A,B являются элемен-тарными дизъюнкциями, то и формула (A∨B) является элемен-тарной дизъюнкцией.

Определение. Элементарная конъюнкция определяетсяиндуктивно:

1. Базис индукции: любая пропозициональная переменная илиее отрицание являются элементарными конъюнкциями.

2. Шаг индукции: если высказывания A,B являются элемен-тарными конъюнкциями, то и формула (A&B) является элемен-тарной конъюнкцией.

Заметим, что из теоремы об основных эквивалентностях ас-социативности конъюнкции и дизъюнкции, индукцией по числусоответственно дизъюнкций или конъюнкций, следует, что эле-ментарные дизъюнкции (и соответственно конънкции), отлича-ющиеся только расстановкой скобок в формулах, будут эквива-лентны. Нетрудно заметить, что и порядок пропозициональныхпеременных и отрицаний пропозициональных переменных в силуэквивалентности для коммутативности конъюнкции и дизъюнк-ции не нарушает эквивалентности.

Конъюнктивная нормальная форма (к. н. ф.) для вы-сказываний определятся также индуктивно.

91

1. Базис индукции: любая элементарная дизъюнкция являетсяк. н. ф. и единственной элементарной дизъюнкцией этой к. н. ф.

2. Шаг индукции: еслиK1,K2 — к. н. ф., то и формулаK1 &K2

находится в к. н. ф., а их элементарные дизъюнкции являются вточности элементарными дизъюнкциями нашей к. н. ф.

Дизъюнктивная нормальная форма (д. н. ф.) для вы-сказываний определятся также индуктивно.

1. Базис индукции: любая элементарная конъюнкция являетсяд. н. ф. и единственной элементарной конъюнкцией этой д. н. ф.

2. Шаг индукции: если D1, D2 — д. н. ф., то и формула D1∨D2

находится в д. н. ф., а их элементарные конъюнкции являются вточности элементарными конъюнкциями нашей д. н. ф.

Покажем, что любая формула эквивалентна в секвенциаль-ном исчислении высказываний формулам в к. н. ф. и д. н. ф.Для этого мы последовательно будем определять эквивалентныепреобразования формул.

Сначала избавимся в нашей формуле от импликаций. Для это-го докажем следующее утверждение.

Теорема (об устранении импликации). Для любого вы-сказывания существует эквивалентное ему высказывание, не со-держащее символа импликации «→».

Докажем эту теорему индукцией по числу логических связокв формуле.

1. Базис индукции: если A — пропозициональная переменная,то A ≡ A и A не содержит импликаций →.

2. Шаг индукции: пусть для формул с числом логических свя-зок, меньшем n, наше утверждение верно. Рассмотрим формулуA с n логическими связками. Если A — непропозициональная пе-ременная, тогда по опреределению формула A имеет вид (B&C),(B ∨ C), ¬B или (B → C) для высказываний B,C, для которыхвыполнено индукционное предположение, т. е. существуют фор-мулы B′, C ′, не содержащие импликаций→ и такие, что B ≡ B′ иC ≡ C ′. Рассмотрим все случаи для формулы A. В случае, если Aимеет вид (B&C), то A эквивалентно формуле (B′ & C ′),которая

92

уже не содержит импликаций. Если A имеет вид (B ∨ C), то Aэквивалентно формуле (B′ ∨ C ′) без импликаций. Если A имеетвид ¬B, то A эквивалентно формуле ¬B′, а если A имеет вид(B → C), то A эквивалентно формуле (¬B′ ∨ C ′),которая уже несодержит импликаций. Теорема доказана.

Теорема (об устранении импликации и отрицания).Для любой формулы A существует формула B, которая эквива-лентна формуле A, не содержит символа импликации →, а сим-волы отрицания ¬ в ее подформулах могут стоять только передпропозициональными переменными.

В силу теоремы об элиминации импликации достаточно до-казать, что для любой формулы A без импликаций существуетформула D, эквивалентная A, не содержит символа импликации→, а символы отрицания ¬ в ее подформулах могут стоять толькоперед пропозициональными переменными.

Доказательство проведем индукцией по числу логических свя-зок в формуле без импликаций A.

1. Базис индукции: если A — пропозициональная переменная,то A ≡ A и A — искомая формула.

2. Шаг индукции: пусть для формул с числом логических свя-зок, меньшем n, наше утверждение верно. Рассмотрим формулуA с n логическими связками и без символов импликации. Если A— непропозициональная переменная, тогда по определению фор-мула A имеет вид (B&C), (B ∨ C), ¬B для высказываний B,C,для которых выполнено индукционное предположение, т. е. суще-ствуют формулы B′, C ′, не содержащие импликаций →, а симво-лы отрицания ¬ в ее подформулах могут стоять только перед про-позициональными переменными, и такие, что B ≡ B′ и C ≡ C ′.Отсюда, если A имеет вид (B&C), то A эквивалентно формуле(B′&C ′), а если A имеет вид (B∨C), то A эквивалентно формуле(B′∨C ′). Остается рассмотреть последний случай, когда A имеетвид ¬B. В этом случае формула B имеет вид (B1 &B2), (B1∨B2),¬B1 или Q, где Q — пропозициональная переменная, а B1 и B2

— формулы, у которых по крайней мере на две логических связ-

93

ки меньше, чем в формуле A. Если формула B имеет вид Q, гдеQ — пропозициональная переменная, то сама формула A имеетискомый вид ¬Q. Формула B в этом случае имеет вид (B1 &B2),(B1 ∨ B2) или ¬B1 и не содержит импликаций. Тогда формулыB1 и B2 содержат по крайней мере на две логических связкименьше, чем формула A. В этом случае наша формула A в силутеоремы об основных эквивалентностях эквивалентна формуле(¬B1 ∨¬B2), (¬B1 &¬B2), B1. Заметим, что формулы ¬B1, ¬B2,B1 имеют меньше n логических связок, чем наша формула A.Тогда по индукционному предположению существуют формулыC1, C2 и C, эквивалентные соответственно формулам ¬B1, ¬B2

и B1, которые не содержат импликаций, а отрицания могут сто-ять только перед пропозициональными переменными. Но в такомслучае наша формула A эквивалентна, соответственно, формуле(C1 ∨ C2), (C1 &C2) или C, которые не содержат импликаций, ис отрицаниями только перед пропозициональными переменными.Теорема доказана.

Теорема (о д. н. ф. и к. н. ф.). Для любой формулы Aсуществуют формулы K в к. н. ф. и D в д. н. ф. такие, что A ≡ Kи A ≡ D.

Доказательство. Достаточно доказать теорему для формул безимпликаций и с отрицаниями только перед пропозициональнымипеременными.

Докажем это индукцией по числу логических связок в форму-ле A без импликаций и с отрицаниями только перед пропозицио-нальными переменными.

1. Базис индукции: если A — пропозиционнальная переменная,то в силу эквивалентности A ≡ A определим K � A и D � A иискомые формулы получены.

2. Шаг индукции: пусть для формул с числом логических свя-зок, меньшем n, наше утверждение верно. Рассмотрим формулуA с n логическими связками. В этом случае формула A один изслудующих типов B ∨ C, или B&C или ¬Q, или Q, где Q —пропозициональная переменная, где подформулы B и C имеют

94

меньшее число логических связок.В случае A имеет вид ¬Q или Q, где Q — пропозициональная

переменная, мы определим, соответственно, K � ¬Q и D � ¬Qв первом случае, и K � Q и D � Q во втором.

Построим к.н. K для A вида (B&C). По индуктивному пред-положению для B и C существуют к. н. ф. KB и KC соответ-ственно. В таком случае (B&C) ≡ (KB &KC). По определению вэтом случае формула (KB &KC) уже находится в конъюктивнойнормальной форме. Построим теперь для A вида (B&C) дизъ-юнктивную нормальную форму D. По индуктивному предполо-жению для B и C существуют д. н. ф. DB и DC соответственно.Индукцией по числу конъюнкций в формулах A,B мы можемдоказать следующую лемму, которая доказывает существованиеэквивалентной д. н. ф. в данном случае.

Лемма. Если A,B — д. н. ф., то (A&B) также эквивалентнаформуле в дизъюнктивной нормальной форме.

Доказательство индукцией по числу конъюнкций (∨) в A и B.Докажем вначале базис индукции: если дизъюнкций нет, тогда

A,B — элементарные конъюнкции и формула (A&B) являетсяэлементарной конъюнкцией и, следовательно, является дизъюнк-тивной нормальной формой.

Докажем теперь шаг индукции. Пусть мы имеем n+ 1 сим-волов дизъюнкции в двух формулах A и B, тогда A или B —не элементарная конъюнкция. По коммутативности можем счи-тать, что это дизъюнкция имется в формуле A. В таком случаеA = (D1 ∨D2), где D1, D2 — д. н. ф. Из основных эквивалентно-стей по правилу дистрибутивности мы получаем, что формула(A&B) имеет вид ((D1 ∨ D2) &B). Но выполнена эквивалент-ность ((D1 ∨ D2) &B) ≡ ((D1 &B) ∨ (D2 &B)). По индукцион-ному предположению существуют конъюнктивные нормальныеформы D′1 и D′2 такие, что D′1 ≡ (D1 &B) и D′2 ≡ (D2 &B). От-сюда (A&B) ≡ (D′1 ∨D′2) и лемма доказана.

Построим искомые д. н. ф. D и к. н. ф. K для A, в случаеA вида (B ∨ C). Аналогично предыдущему случаю для B и C

95

по индукционному предположению существуют эквивалентныедизъюнктивные нормальные формы DB и DC . В таком случае(B ∨ C) ≡ (DB ∨ DC). По определению в этом случае формула(DB ∨DC) уже находится в дизъюнктивной нормальной форме.

Построим теперь для A вида (B ∨ C) конъюнктивную нор-мальную форму K. По индуктивному предположению для B иC существуют к. н. ф. KB и KC соответственно. Индукцией почислу дизъюнкции в формулах A,B мы можем доказать следу-ющую лемму, которая доказывает существование эквивалентнойк. н. ф. в данном случае.

Лемма. Если A,B — к. н. ф., то формула (A ∨ B) эквива-лентна формуле в конъюнктивной нормальной форме.

Доказательство индукцией по сумме числа конъюнкций (&) вA и B.

Докажем для базиса индукции: если конъюнкций нет, тогдаA,B — элементарные дизъюнкции и формула (A ∨ B) являетсяэлементарной дизъюнкцией и, следовательно, является конъюк-тивной нормальной формой.

Перейдем теперь к обоснованию шага индукции. Пусть мыимеем n+ 1 — конъюнкцию в формулах A и B, тогда A илиB — не элементарная дизъюнкция. По коммутативности можемсчитать, что хотя бы одна конъюнкция есть в A. В таком слу-чае A = (K1 &K2), где K1,K2 — к. н. ф. Из основных экви-валентностей по правилу дистрибутивности мы получаем, что(A ∨ B) эквивалентна ((K1 &K2) ∨ B) и выполнена эквивалент-ность ((K1 &K2)∨B) ≡ ((K1∨B) & (K2∨B)). По индукционномупредположению существуют конъюнктивные нормальные формыK ′1 и K ′2 такие, что K ′1 ≡ (K1 ∨ B) и K ′2 ≡ (K2 ∨ B). Отсюда(A ∨B) ≡ (K ′1 &K ′2) и лемма доказана.

Упражнения.Привести к к.н.ф. и д.н.ф. следующие формулы:

1. ¬((A→ C)&(B → A));

2. (¬(A→ B))→ ((A→ (B → C))→ ¬(A→ C));

96

3. ¬(A&B)→ (A→ ¬(A ∨B));

4. ((A&B)→ (¬((A&B)→ B)→ B));

5. (C → (A ∨B))→ (((A ∨B)→ B)→ (C → (A&B)));

6. A→ (¬(A&B) ∨B);

7. B → (¬(A&B) ∨ ¬(A ∨ B));

8. (A→ ¬(A&B))→ ((B → ¬(A&B))→ ((A ∨B)→ C));

9. (¬(A ∨ B)→ ¬(A&B))→ ((¬(A&B)→ ¬B)→ ¬A);

10. ¬(¬A→ ¬(A&B)).

97

ЛЕКЦИЯ 11. ОСНОВНЫЕ ПРОБЛЕМЫИСЧИСЛЕНИЯ ВЫСКАЗЫВАНИЙ

При изучении исчислений одна из основных проблем состоитв построении корректной семантики. В этом случае появляетсявозможность строить контрпримеры к выводимости и на этой ос-нове мы можем решить вторую проблему уже о свойстве непро-тиворечивости самого исчисления, что по мнению Д.Гильберталежит в фундаменте соответсствующих формальных систем, т.е.есть не выводимые в данном исчислении выражения. Следую-щая базисная проблема состоит в проверке полноты построеннойдля данного исчисления семантики, а если исчисление построенодля данной семантики, то также актуальна проблема полноты, тоесть показать, что не только истинны формулы доказуемые в дан-ном исчислении, но и наоборот все, что истинно в рассмотреннойсемантике, то и доказуемо в данном исчислении. И следующаяпроблема для исчислений формулируется, как проблема разре-шимости исчисления, то есть существования алгоритма проверя-ющего доказуемость формул в рассматриваемом исчислении.

Перейдем к рассмотрению этих проблем для классическогогильбертовского исчисления высказываний. Для него мы постро-или две корректные семантики: теоретико-множественной и ис-тинностной. Частности из существования этих семантик мы сразузаключаем, что любая доказемая формула всегда тождественноистинная, а тогда формула и ее отрицание одновременно тожде-ственно истинными быть не могут и исчисление ГИВ непротиво-речиво.

Перейдем к решению проблемы полноты. Для этого будут ис-пользоваться конъюктивные нормальные формы. Уточним вна-чале некоторые понятия для подформул формул в к.н.ф.

Определим понятие дизъюнктивного члена в элементарнойдизъюнкции и элементарной дизъюнкции в конъюнктивной нор-мальной форме индукцией по построению формулы.

Если формула в конъюнктивной нормальной форме является

98

элементарной дизъюнкцией, то только эта элементарная дизъ-юнкция и является элементарной дизъюнкцией этой формулы;если же формула является конъюнкцией формул в конъюнктив-ной нормальной форме, то все элементарные дизъюнкции этихконъюнктивных членов и являются элементарными дизъюнкци-ями этой формулы.

Для элементарной дизъюнкции, являющейся пропозициональ-ной переменной или отрицанием пропозициональной переменной,сама эта формула и только она является дизъюнктивным членом,а для дизъюнкции элементарных дизъюнкций все дизъюнктив-ные члены этих дизъюнкций и являются дизъюнктивными чле-нами этой элементарной дизъюнкции.

Будем говорить, что формула в конъюнктивной нормальнойформе удовлетворяет условию двузначности, если для любой ееэлементарной дизъюнкции найдется некоторая пропозициональ-ная переменная Q такая, что Q и ¬Q являются дизъюнктивнымичленами этой элементарной дизъюнкции.

Теорема о характеризации доказуемых формул. Длялюбой формулы Исчисления Высказываний следующие условияэквивалентны:

1. Формула ϕ доказуема в ГИВ.2. Существует эквивалентная ϕ формула в конъюнктивной

нормальной форме и с условием двузначности.3. Любая формула в конъюнктивной нормальной форме, эк-

вивалентная данной формуле ϕ, удовлетворяет условию двузнач-ности.

Доказательство. Докажем, что из условия (1) следует условие(3). Пусть ϕ — доказуемая формула в ГИВ. Рассмотрим форму-луK в конъюнктивной нормальной форме, которая эквивалентнанашей формуле. Покажем, что она удовлетворяет условию дву-значности.

Докажем следующую простую лемму о ее элементарных дизъ-юнкциях.

Лемма 1. Если к. н. ф. K доказуема, то все ее элементарные

99

дизъюнкции D доказуемы.Доказательство проведем индукцией по числу конъюнкций &

в формуле K. Если K является элементарной дизъюнкцией, тоэто справедливо по условию. Если K = (K1 &K2), то из доказу-емости K следует доказуемость ее конъюнктивных членов K1 иK2, тогда по индукционному предположению все элементарныедизъюнкции из них, а, следовательно, и из K доказуемы.

Из этой леммы следует, что все элементарные дизъюнкции до-казуемы.

Предположим, что в нашей к. н. ф. есть элементарная дизъ-юнкция, не удовлетворяющая условию двузначности. Рассмот-рим такую дизъюнкцию D. По ранее доказанному она доказуема.В таком случае из теоремы о тождественной истинности доказу-емых формул она и тождественно истинна. Рассмотрим теперьозначивание ξ пропозициональных переменных из элементарнойдизъюнкцииD, которое определим следующим образом: для про-позициональной переменной P такой, что она является дизъюнк-тивным членом вD, полагаем ξ(P ) = 0, а для пропозициональнойпеременной P такой, что ¬P является дизъюнктивным членомв D, полагаем ξ(P ) = 1. Из невыполнимости для этой элемен-тарной дизъюнкции условия двузначности следует корректностьэтого определения. Снова индукцией по построению элементар-ной дизъюнкции легко показать, что для такого означивания этаэлементарная дизъюнкция принимает значение ложь 0, что про-тиворечит тождественной истинности данной элементарной дизъ-юнкции. Противоречие показывает, что для этой к. н. ф. K вы-полнено условие двузначности и заключение выполнено.

Докажем теперь, что из условия (3) следует условие (2). Потеореме о нормальной форме для нашей формулы существуетэквивалентная ей формула K в к. н. ф. По условию (3) эта фор-мула удовлетворяет условию двузначности. Таким образом, мыдоказали существование требуемой к. н. ф. с условием двузнач-ности.

Докажем теперь, что из условия (2) следует условие (1). Пусть

100

ϕ — данная нам формула, а K к. н. ф. эквивалентная ей и удо-влетворяющая условию двузначности.

Докажем вначале следующую лемму.Лемма 2. Если B является дизъюнктивным членом элемен-

тарной дизъюнкции D, то секвенция B ` D доказуема.Доказательство получим индукцией по построению элементар-

ной дизъюнкции D.Базис индукции: если элементарная дизъюнкция D являет-

ся пропозициональной переменной или отрицанием пропозицио-нальной переменной, то ее единственным дизъюнктивным чле-ном является она сама и D = B. В этом случае секвенция B ` Dявляется аксиомой и B ` D доказуема. Если D = D1 ∨D2, то Bявляется дизъюнктивным членом в D1 или в D2, но тогда по ин-дукционному предположению доказуема секвенция B ` D1 илиB ` D2, а отсюда по правилам вывода с дизъюнкцией выводимаи B ` D.

Рассмотрим теперь для элементарной дизъюнкцииD c услови-ем двузначности пропозициональную переменную Q такую, чтоQ и ¬Q являются дизъюнктивными членами этой элементарнойдизъюнкции. В силу леммы секвенции Q ` D и ¬Q ` D доказу-емы. Используя трехпосылочное правило и доказуемость секвен-ции ` Q ∨ ¬Q, получаем доказуемость секвенции ` D.

Таким образом, для любой элементарной дизъюнкции конъ-юнктивной нормальной формы K секвенция ` D доказуема. По-кажем, что в этом случае и сама конъюнктивная нормальнаяформа доказуема. Это доказывается на основе метода индукциипо сложности конъюнктивной нормальной формы. Таким обра-зом, и эквивалентная этой к. н. ф. формула ϕ доказуема. Теоремадоказана.

Докажем теперь основную теорему о построенном нами исчис-лении и семантике - теорему Геделя о полноте исчисления выска-зываний.

Теорема Геделя о полноте. Формула исчисления высказы-ваний A тождественно истинна тогда и только тогда, когда она

101

доказуема в гильбертовском исчислении высказываний.Доказательство. Из теоремы о тождественной истинности до-

казуемых формул мы имеем достаточность, т. е. из доказуемостиследует тождественная истинность.

Докажем необходимость. Рассмотрим тождественно истиннуюформулу A. По теореме о нормальной форме существует для нееконъюнктивная нормальная форма K, т. е. K — к. н. ф. такая,что A ≡ K. А это означает, что секвенции A ` K и K ` A дока-зуемы. Отсюда следует по теореме о связи двух исчислений, чтов гильбертовском исчислении выводимо A K и K A. Сле-довательно, по теореме о дедукции в гильбертовском исчислениивыводима формула (K → A).

Теперь достаточно доказать, что выводима формула K.Так как K — к. н. ф. и секвенция A ` K доказуема, то из

тождественной истинности формулы A следует, что и формулаK тождественно истинна.

Лемма. Если к. н. ф. тождественно истинная формула, то ивсе ее элементарные дизъюнкции тождественно истинны.

Доказательство леммы легко получается по числу конъюнк-ций в этой конъюнктивной нормальной форме.

Из этой леммы получаем, что элементарные дизъюнкции Dиз K тождественно истинны. Покажем, что в этом случае всеэлементарные дизъюнкции из к. н. ф. K удовлетворяют условиюдвузначности, т. е. тогда для любой элементарной дизъюнкцииD из K найдется пропозициональная переменная P такая, что Pи ¬P являются дизъюнктивными членами D. Отсюда по теоремео характеризации доказуемых формул сразу получаем доказуе-мость формулы A.

Итак, осталось показать, что не может быть тождественно ис-тинной формула в к. н. ф. без одновременного вхождения P и¬P в любую ее элементарную дизъюнкцию для подходящего P .Это легко доказать, применив вновь индукцию по числу симво-лов конъюнкции в к. н. ф. K. Действительно, если K являетсяэлементарной дизъюнкцией, то рассмотрим означивание ξ пропо-

102

зициональных переменных из элементарной дизъюнкцииD, кото-рое определим следующим образом: для пропозициональной пе-ременной P такой, что она является дизъюнктивным членом вD, полагаем ξ(P ) = 0, а для пропозициональной переменной Pтакой, что ¬P является дизъюнктивным членом в D, полагаемξ(P ) = 1. Из невыполнимости для этой элементарной дизъюнк-ции условия двузначности следует корректность этого опреде-ления. Снова индукцией по построению элементарной дизъюнк-ции легко показать, что для такого означивания эта элементар-ная дизъюнкция принимает значение ложь 0. Но это противоре-чит тождественной истинности этой элементарной дизъюнкции.Шаг индукции очевиден из определения значений истинностидля конъюнкции.

Теорема (об эквивалентности следования).1. Для любого набора формул Γ и формулы A исчисления вы-

сказываний эквивалентны следующие условия:

1) Секвенция Γ ` A доказуема.

2) Выполнено Γ A в гильбертовском исчислении высказыва-ний.

3) Γ |=TM A.

4) Γ |=I A.

2. Для любого набора формул Γ исчисления высказываний сле-дующие условия эквивалентны:

1) Секвенция Γ ` доказуема.

2) Множество формул Γ противоречиво в гильбертовском ис-числении высказываний.

3) Γ |=TM , т. е. Γ не совместна в теоретико-множественной се-мантике.

103

4) Γ |=I , т. е. Γ не совместна в истинностной семантике.

Из такой характеризации мы получаем два возможных алго-ритма проверки доказуемоти:

1. Построить таблицу истинности для формулы, что легко вы-числяется и если на любых наборах мы получаем в качестве зна-чения единицу, тогда и только тогда формула доказуема.

2. Для проверки доказуемости достаточно привести к.н.ф. ипроверить двузначность.

Следствие 1. (Из теоремы Геделя.) Гильбертовское исчисле-ние высказываний разрешимо.

Следствие 2. Множество тождественно истинных формулразрешимо.

Основные проблемы для исчислений.1. Проблема полноты (проблема полноты исчисления относи-

тельно выбранной семантики).2. Проблема разрешимости (существует ли алгоритм, позволя-

ющий распознавать доказуемые формулы?).3. Проблема независимости аксиом (можно ли какую-либо из

аксиом доказать из остальных?).В гильбертовском исчислении мы получили полноту относи-

тельно теоретико-множественной и истинностных семантик, ис-тинностная семантика дает алгоритм проверки доказуемости вы-сказываний, нетрудно установить через построение подходящихсемантик, что излишних аксиом в гильбертовском исчислениивысказываний также нет.

Одна из открытых и важнейших проблем для исчисления вы-сказываний состоит в сложности алгоритма проверки доказуе-мости высказываний. Предложенный алгоритм имеет степеннуюсложность. Открытая проблема состоит в нахождении алгорит-ма для проверки доказуемости полиномиальной сложности. Этапроблема связана со многими другими сложностными проблема-ми и эквивалентна известной проблеме P = NP .

104

ЛЕКЦИЯ 12. МОДЕЛИ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕСИСТЕМЫ

В древней математике основными объектами изучения былигеометрические фигуры и числа, однако и сами понятия числаи геометрической фигуры развивались и приводили к изучениювсе новых и новых математических структур. В XIX в. разно-образие структур и появление в математических конструкцияхбесконечности, понятий предела,непрерывности, площади, объе-ма, производной и других понятий потребовали создания единойматематической основы для разнообразия возникших математи-ческих конструкций и математических объектов. А также вста-ла проблема обоснованности математических результатов, анали-зе используемых математиками средств и логики и разработкинадежных корректных средств работы с этими разнообразнымиматематическими структурами. Важным шагом в развитии это-го подхода стали понятия модели и алгебраической системы, ос-нованные на понятиях теории множеств, а также формальногоязыка ддля описания свойств их элементов — языка исчисленияпредикатов, а также распространение с исчисления высказыва-ний на этот язык понятия доказательства.

Рассмотрим примеры некоторых математических структур, наи-более широко используюемым в различных разделах математикии ее приложениях.

Примеры

1) 〈N,+, ·, s, 0,≤〉 — стандартная модель арифметики, состо-ящая из множества натуральных чисел N и заданных на немосновных арифметических операций сложения + , умножения · ,прибавления единицы s , выделенного особого натурального чис-ла нуль 0 и отношения порядка на натуральных числах ≤.

2) Кольцо целых чисел 〈Z,+, ·, 0, 1〉, состоящее из множествацелых чисел Z и заданных на нем основных операций сложения+ и умножения ·, а также двух выделенных особых элементов

105

нуль 0 и единица 1.

3) Группа 〈G, ·,−1 , e〉, состоящая из множества элементов груп-пы G и заданных на нем основных операций умножения «·» и од-номестной операции обращения «−1», а также выделенного осо-бого элемента единицы e. На группе мы требуем, чтобы основныеоперации удовлетворяли следующим соотношениям:

(xy)z = x(yz),x−1 · x = x · x−1 = e

иe · x = x · e = x, для любых элементов x, y, z из основного

множества элементов группы.

4) 〈A,≤P 〉 — частично упорядоченное множество, состоящееиз основного множества элементов и заданном на нем бинарномотношении порядка.

5) 〈Z[x],+, ·, 0, 1〉 — кольцо многочленов над кольцом целыхчисел.

6) Поля 〈C,+, ·, 0, 1〉 — комплексных чисел, 〈R,+, ·, 0, 1〉 — ве-щественных чисел, 〈Q,+, ·, 0, 1〉 — рациональных чисел, 〈Alg,+,·, 0, 1〉 — алгебраических чисел. Часто рассматриваются упорядо-ченные поля, например, упорядоченное поле вещественных чисел〈R,+, ·, 0, 1, ≤〉.

7) Булева алгебра 〈P(X), ∪, ∩, −, 0, 1〉 подмножеств мно-жества X.

8) Векторные пространства V = (V, +, 0, αf : f ∈ F ) надполем F .

9) Структура множест 〈A,∈〉, состоящая из универсума мно-жеств с отношением принадлежности. Заметим, что A являетсямножеством в метатеории множеств, но в этой модели теориимножеств его нет.

Из приведенных примеров видим, что задание модели состоит

106

в определении базисного множества, определения типов основ-ных операций, отношений на базисных элементах и присвоенныхимен некоторым особым выделенным элементам.

Приведем теперь точное определение всех требуемых для за-дания математически точного определения модели понятия. За-метим, что часто вместо термина «модель» используются тер-мины «алгебраическая система» или «структура», а термин «мо-дель» используется в случае отсутствия в сигнатуре предикатныхсимволов.

Перейдем теперь к определению общего математического по-нятия модели.

Прежде чем определить понятие модели, определим понятиесигнатуры. Именно сигнатура определяет набор имен для основ-ных отношений, операций и выделенных элементов, а также мест-ность (= арность), соответствующих отношений и операций.

1. Сигнатура.Сигнатурой называется набор Σ = 〈ΣR,ΣF ,ΣC , ρ〉, состоя-

щий из множествΣR — символов (имен) для основных отношений (предикатов),ΣF — символов (имен) для основных операций (функций),ΣC — символов (имен) для основных констант (выделенных

элементов) и функции ρ, сопоставляющей именам предикатов иопераций их арность, т. е. местность соответствующих операцийи отношений ρ : Σp ∪ Σf → N.

Часто мы будем записывать сигнатуру в виде〈Pm1

1 , . . . , Pmkn ;Gn1

1 , . . . , Gnss ; c0, . . . , cz〉

или〈P1, . . . , Pn;G1, . . . , Gs; c0, . . . , cr; ρ〉,

когда местность предикатных и функциональных символов опре-делена из контекста.

2. Алгебраические системы заданной сигнатуры.Назовем алгебраической системой A сигнатуры Σ пару

〈A; intAΣ〉, состоящую из непустого множества A и intAΣ — отобра-

107

жения из множества имен сигнатуры этой модели в множествоотношений и операций на A и элементов из A, которое мы бу-дем называть интерпретацией для имен из сигнатуры Σ, еслиинтерпретация intAΣ представляется функцией, определенной намножестве ΣR

⋃ΣF⋃

ΣC такой, что

intAΣ : ΣR → P(Aω),где множество всех подмножеств из P(Aω)

⋃nP(An);

intAΣ : ΣF →⋃nF (An, A),

где F (An, A) множество всех функций из An в A;

intAΣ : ΣC → A,причем выполнено следующее условие относительно местностиопределяемых отношений и операций:

intAΣ(P ) ⊆ An, если ρ(P ) = n и P ∈ ΣR

иintAΣ(G) : Am → A, если ρ(G) = m и G ∈ ΣF .Множество A в этом случае называется основным множе-

ством алгебраической системы A и будем, как правило, обо-значать через |A|. Заметим, что часто вместо термина алгебраи-ческая система используются термины «модель» или «структу-ра».

Мы будем записывать алгебраические системы конечной сиг-натуры в виде

A = 〈A, (Pm11 )A, . . . , (Pk

mk)A; (Gn11 )A, . . . , (G

nss )A; (c0)A, . . . , (cz)A〉,

указывая непосредственно через индекс модель, в которой ониинтерпретируются. Если из контекста ясно, в какой модели ин-терпретируются эти сигнатурные символы, а также определена иих местность, то будем опускать эти индексы в задании модели.

Пусть заданы две модели

A = 〈A, (Pm11 )A, . . . , (Pk

mk)A; (Gn11 )A, . . . , (G

nss )A; (c0)A, . . . , (cr)A〉

108

и

B = 〈B, (Pm11 )B, . . . , (P

mkk )B; (Fn1

1 )B, . . . , (Fnss )B; (c0)B, . . . , (cr)B〉

одной сигнатуры.Определим теперь в случае конечной сигнатуры знакомое из

алгебры понятие гомоморфизма алгебраических систем однойи той же сигнатуры.

Гомоморфизмом ϕ : A→ B алгебраической системы

A = 〈A, (Pm11 )A, . . . , (Pk

mk)A; (Fn11 )A, . . . , (F

nss )A; (c0)A, . . . , (cr)A〉

в алгебраическую систему

B = 〈B, (Pm11 )B, . . . , (P

mkk )B; (Fn1

1 )B, . . . , (Fnss )B; (c0)B, . . . , (cr)B〉

той же сигнатуры назовем отображение ϕ : A→ B такое, что1) для любого сигнатурного константного символа ci, i ≤ r

выполнено равенство ϕ((ci)A) = (ci)B;2) для любого сигнатурного предикатного символа Pi, i ≤ k

местностиmi и любого набора элементов 〈a1, . . . , ami〉 ∈ Ami , если〈a1, . . . , ami〉 ∈ (Pi)A, тогда 〈ϕ(a1), . . . , ϕ(ami)〉 ∈ (Pi)B;

3) для любого сигнатурного функционального символа Fi, i ≤s, местности ni и любого набора элементов 〈a1, . . . , ani〉 ∈ Ani

выполнено равенство FiB(ϕ(a1), . . . , ϕ(ani)) = ϕ(FiA(a1, . . . , ani)).Рассмотрим несколько примеров.Пример 1. Рассмотрим группы в сигнатуре 〈·,−1 , e〉. В этом

случае для гомоморфизма ϕ : A → B группы A = 〈A, (·)A, (−1)A,(e)A〉 в группу B = 〈B, (·)B, (−1)B, (e)B〉 мы получаем обычноепонятие гомомофизма одной группы в другую.

Пример 2. Если мы рассматриваем частично упорядоченныемножества, то сигнатура состоит из символа одного бинарногоотношения ≤. Пусть заданы два частично упорядоченных мно-жества A = 〈A,≤A〉 и B = 〈B,≤B〉.

109

В этом случае гомоморфизмом ϕ : A → B из частично упоря-доченного множества A = 〈A,≤A〉 в частично упорядоченное мно-жество B = 〈B,≤B〉 будет такое отображение из A в B, что длялюбых двух элементов a, b из A из a ≤A b следует ϕ(a) ≤B ϕ(b).Вновь мы получили обычное понятие гомоморфизма для частич-но упорядоченных множеств.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть задана сигнатураΣ = 〈ΣR,ΣF ,ΣC , ρ〉, состоящая из множеств ΣR — имен для ос-новных отношений (предикатов), ΣF — имен для основных опера-ций (функций), ΣC — имен для основных констант (выделенныхэлементов), и функции ρ, сопоставляющей именам предикатов иопераций их арность, т. е. местность соответствующих операцийи отношений ρ : ΣR ∪ ΣF → N.

Рассмотрим две модели A = 〈A, intAΣ〉 и B = 〈B, intBΣ〉 этойсигнатуры.

Мы будем часто использовать вместо выражения intAΣ(U) обо-значение (U)M для интерпретации этого сигнатурного символа Uв модели M.

Отображение ϕ : M → N называется гомоморфизмом мо-дели M в N, если:

1) для любого сигнатурного константного символа c выполне-но равенство ϕ((c)A) = (c)B;

2) для любого предикатного символа P местности n = ρ(P )и любого набора элементов a1, . . . , an ∈ An, если 〈a1, . . . , an〉 ∈(P )A, тогда 〈ϕ(a1), . . . , ϕ(an)〉 ∈ (P )B;

3) для любого функционального символа F местности n =ρ(F ) и любого набора элементов a1, . . . , an ∈ An выполнено ра-венство (Fn)B(ϕ(a1), . . . , ϕ(an)) = ϕ(FA(a1, . . . , an)).

Гомоморфизм модели M в N называется строгим гомомор-физмом, если из истинности на образах следует истинность напрообразах для всех предикатов данной сигнатуры, т. е. для лю-бого предикатного символа P данной сигнатуры местности n =ρ(P ) и любого набора элементов a1, . . . , an ∈ An, если из 〈ϕ(a1), . . . , ϕ(an)〉∈ (P )B следует 〈a1, . . . , an〉 ∈ (P )A.

110

Гомоморфизм модели M в N называется сильным гомомор-физмом, если из истинности на образах следует истинность нанекоторых из прообразов для всех предикатов данной сигнату-ры, т. е. для любого предикатного символа P данной сигнатурыместности n = ρ(P ) и любого набора элементов a1, . . . , an ∈ An,если из 〈ϕ(a1), . . . , ϕ(an)〉 ∈ (P )B следует 〈b1, . . . , bn〉 ∈ (P )A длянекоторого набора элементов b1, . . . , bn ∈ An таких, что ϕ(a1) =ϕ(b1), . . . , ϕ(an) = ϕ(bn).

Пример 1. Рассмотрим пример гомоморфизма для двух двух-элементных частично упорядоченных множеств, который, одна-ко, не является изоморфизмом. Сигнатура частично упорядочен-ных множеств состоит из одного символа P для бинарного отно-шения. Пусть модели заданы при этом следующим образом:A 〈{0, 1}, P 2〉 и P = {〈0, 0〉, 〈1, 1〉}, а вторая модельB 〈{0, 1},≤〉, где 0 ≤ 1, 0 ≤ 0, 1 ≤ 1.Определим теперь гомоморфизм модели A в модель B, кото-

рый отображает тождественно основное множество модели A наосновное множество модели B, для которого обратное отображе-ние уже не будет гомоморфизмом модели B в модель A, так как0 ≤ 1 выполнено в модели B, а в модели A это не так.

Определение. Гомоморфизм ϕ : M→ N называется изоморф-ным вложениемM в N( ϕ : M

1−1−→N), если отображение ϕ : M1−1−→N

разнозначно и для любого набора элементов 〈a1, . . . , an〉 и сигна-турного предикатного символа P местности n выполнено 〈a1, . . . , an〉 ∈(P )M ⇔ тогда и только тогда, когда 〈ϕ(a1), . . . , ϕ(an)〉 ∈ (P )M.

Две модели называются изоморфными (M ≡ N), если суще-ствует изоморфизм ϕ : M−→на N, т.е. ϕ отображает основное мно-жество модели M на основное множество модели N.

Заметим следующее простое свойство изоморфизма.Предложение 1. Если ϕ — гомоморфизм M в N, то ϕ явля-

ется изоморфизмом M на N тогда и только тогда, когда обратноеотношение ϕ−1 функция, которая является гомоморфизмом.

Доказательство. Докажем необходимость. Пусть ϕ — изомор-

111

физм, тогда ϕ−1 является гомоморфизмом из-за симметричностив определении изоморфизма.

Докажем достаточность. Если ϕ−1 определено, то ϕ−1 : N1−1−→M ,

так как ϕ : M1−1−→на N . Нужно лишь доказать, что 〈a1, . . . , an〉 ∈

(P )M ⇔ 〈ϕ(a1), . . . , ϕ(an)〉 ∈ (P )N. Слева направо импликацияверна по определению гомоморфизма. Нужно лишь доказать об-ратную импликацию. Но у каждого элемента существует един-ственный прообраз. Из выполнимости левой части следует, чтоϕ−1-образы элементов 〈ϕ(a1), . . . , ϕ(an)〉 лежат в (P )M, так какϕ−1 гомоморфизм. А эти образы, очевидно, равны 〈a1, . . . , an〉,это и требовалось заметить.

Определение. Модель N является подмоделью модели M(N ⊆M) той же сигнатуры Σ, если основное множество N содер-жится в основном множестве M (N ⊆ M) и выполнены следую-щие условия:

1) (c)N = (c)M для любого константного символа;2) если f — функциональный символ местности ρ(f) = n, то

сужение (f)M на Nn должно совпадать с соответствующей опе-рацией (f)N, т. е. (f)N = (f)M ↑ Nn;

3) для любого предикатного символа P местности ρ(P ) = mвыполнено равенство (P )N = (P )M ∩Nm.

Пусть X ⊆ M , gr(X) ⊆M (подсистема, порожденная X).Это наименьшая подсистема M, содержащая X. Легко видеть,что она равна пересечению всех подмоделей, содержащих мно-жество X и всегда существует.

Рассмотрим некоторую модель M = 〈M, int〉 фиксированнойсигнатуры σ. Определим вначале понятия конгруэнтности на мо-дели и фактор-модели по конгруэнтности.

Рассмотрим произвольное отношение эквивалентности η намножестве M , т. е. бинарное отношение, удовлетворяющее усло-виям рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отно-шение эквивалентности в таком случае задает разбиение множе-стваM на классы эквивалентных элементов, которые попарно не

112

пересекаются. Для любого элемента a из множества M мы опре-деляем смежный класс a/η как множество всех элементов из M ,которые эквивалентны элементу a, т. е. множество {b|〈a, b〉 ∈ η}.

Мы можем теперь определить фактор-множество M/η, какмножество всех смежных классов по отношению эквивалентно-сти η на множестве M , т. е. множество {b/η|b ∈ M}.

Если на множестве M определены в нашей модели операции,то возникает проблема с определением этих операций на фактор-множестве M/η. Однако для определения структуры той же сиг-натуры на фактор-множестве нам необходима выполнимость до-полнительных условий на рассматриваемую эквивалентность.

Определение. Отношение эквивалентности η на M называ-ется отношением конгруэнтности на модели M сигнатуры σ, есливыполнены следующие условия:

1) если 〈x1, y1〉 ∈ η, . . . , 〈xn, yn〉 ∈ η и ρ(f) = n, то〈f(x1, . . . , xn), f(y1, . . . , yn)〉 ∈ η;

2) если 〈x1, y1〉 ∈ η, . . . , 〈xm, ym〉 ∈ η, то 〈x1, . . . , xm〉 ∈ (P )m ⇔〈y1, . . . , ym〉 ∈ (P )M.

Мы назовем отношение эквивалентности слабой конгруэнтно-стью, если выполнено только первое условие.

Построим теперь M/η — фактор-модель по (слабой) конгру-энтности η. Для этого определим интерпретацию всех символовсигнатуры σ на фактор-множестве M/η:

1) для константных символов c сигнатуры σ полагаем (c)M/η �(c)M/η;

2) для предикатных символов P сигнатуры σ соответствующейместности полагаем 〈x1/η, . . . , xn/η〉 ∈ (P )M/η, если 〈x1, . . . , xn〉лежит в (P )M (а в случае слабой конгруэнтности полагаем 〈x1/η,. . . , xn/η〉 ∈ (P )M/η, если существуют элементы y1, . . . , yn такие,что 〈x1, y1〉 ∈ η, . . . , 〈xn, yn〉 ∈ η и 〈y1, . . . , yn〉 лежит в (P )M);

3) для функциональных символов F сигнатуры σ соответству-ющей местности полагаем (F )M/η(x1/η, . . . , xn/η)� FM(x1, . . . , xn)/η.

Нетрудно проверить, что таким образом мы корректно опре-деляем соответствующие отношения и операции на фактор-мно-

113

жестве как в случае конгруэнтности, так и в случае слабой кон-груэнтности.

Определим теперь естественное отображение I/η : M →M/η:I/η(x)� x/η.

Лемма. Если η (слабая) — конгруэнция на модели M, то отоб-ражение I/η множества M на фактор-множество M/η являетсягомоморфизмом модели M на модель M/η, т. е. эпиморфизмом.

Доказательство. Из определения отображения следует, что оносохраняет значение констант, из условия слабой конгруэнтностиследует, что сохраняются и значения операций, а из определенияпредикатов, — что при этом отображении сохраняется истинностьпредикатов. Отсюда это отображение является гомоморфизмоми эпиморфизмом.

Пусть ϕ : M→ N — гомоморфизм, определим ядро ker(ϕ) это-го гомоморфизма как множество всех пар элементов, образы ко-торых при этом гомоморфизме совпадают, т. е. ker(ϕ) = {〈x, y〉 |ϕ(x) = ϕ(y)}.

Лемма. Ядро ker(ϕ) гомоморфизма ϕ : M → N является от-ношением слабой конгруэнтности на M .

ТогдаM/ker ϕ является фактор-моделью моделиM по ядру ϕ.Определим теперь естественный сильный гомоморфизм I/ker (ϕ) :M → M/ker ϕ модели M на фактор модель M/ker ϕ и отобра-жение ϕ фактор-множества M/ker ϕ в N, положив ϕ(a/ker ϕ) =ϕ(a). Из определения ядра следует, что это определение функциикорректно и это отображение является изоморфным вложениемфактор-модели M/ker ϕ в N. Таким образом, мы доказали сле-дуюший факт.

Теорема о гомоморфизмах. Для любого гомоморфизмаϕ : M → N модели M в модель N существует слабое отношениеконгруэнтности θ, сильный эпиморфизм модели M на фактор-модель M/θ и изоморфное вложение ϕ фактор-модели M/ker ϕв N такие, что ϕ = I/θ ◦ ϕ, т. е. ϕ(a) = ϕ(a/ker ϕ) для любого aиз M .

114

ЛЕКЦИЯ 13. ФОРМАЛЬНЫЙ ЯЗЫКИСЧИСЛЕНИЯ ПРЕДИКАТОВ СИГНАТУРЫ Σ

С РАВЕНСТВОМ

Для описания и доказательства различных свойств введенныхнами моделей и их элементов построим формальный язык исчис-ления предикатов. На этом языке мы сможем описывать различ-ные свойства как элементов и наборов элементов моделей, кон-кретных моделей, так и классов моделей. При этом каждая такаяформула допускает однозначно определенную семантику по Тар-скому. Эта семантика отвечает нашим интуитивным представ-лениям о проверке истинности утверждений и является базисомдля исследования свойств моделей в рамках формального языкаисчисления предикатов. Позднее мы построим и точное матема-тическое понятие доказательства, следующее идеологии понятиядоказательства в исчислении высказываний, а также тесно свя-занное со свойствами доказательства в исчислении высказыва-ний, что будет установлено в теореме о подстановке. Для опре-деления нашего языка фиксированной сигнатуры и набора пере-менных определим два типа формальных выражений: термы иформулы нашего формального языка, а также их семантику вмоделях фиксированной сигнатуры.

Термы исчисления предикатов

Определим вначале понятие терма, которое обобщает понятиемногочлена из алгебры на произвольную сигнатуру. Естествен-но, что нам нужно зафиксировать сигнатуру, в которой мы рас-сматриваем наши модели, а также множество, из которого мывыбираем переменные для нашего языка термов и формул.

Пусть, как и ранее, задана сигнатура Σ = 〈ΣR,ΣF ,ΣC , ρ〉, со-стоящая из множеств ΣR — имен для основных отношений (пре-дикатов), ΣF — имен для основных операций (функций), ΣC —

115

имен для основных констант (выделенных элементов), и функ-ции ρ, сопоставляющей именам предикатов и операций их ар-ность, т. е. местность соответствующих операций и отношенийρ : Σp ∪ Σf → N.

Для определения термов и формул определим алфавит, в ко-торый включаем следующий набор символов: логические связ-ки: «∧», «∨», «−→», «¬», кванторы: «∀», «∃»; отношение равен-ства «=»; три вспомогательных символа: левая скобка «(», праваяскобка «)» и запятая «,», а также предикатные, функциональныеи константные символы сигнатуры Σ и как символы для пере-менных элементы из множества V. Мы будем предполагать, чтовсе эти наборы символов не имеют общих элементов.

Конечные последовательности символов из этого алфавита яв-ляются словами, но, как в обычном языке, не все такие после-довательности осмыслены. Выделим вначале среди них термы.

Терм сигнатуры Σ с переменными из V определяем поиндукции:

1. Базис индукции: любая переменная v из множества V (v ∈V) является термом и любой константный символ c ∈ ΣC нашейфиксированной сигнатуры ΣC является термом.

2. Шаг индукции: пусть уже построены термы t1, . . . , tm, а f— символ операции (f ∈ ΣF ) и местность операции равна m, гдеρ(f) = m, тогда выражение f(t1, . . . , tm) также является термом.

Определим теперь значения термов t на модели. Ясно, чтоэтот терм зависит от переменных, которые в него входят. Так же,как и в случае многочленов, мы вычисляем значения терма назаданных значениях переменных.

Пусть задана модель M данной сигнатуры Σ.Рассмотрим терм t, в который входят переменные из после-

довательности переменных ~v = v1, . . . , vn, а также задана после-довательность элементов из нашей модели той же длины ~a =a1, . . . , an, которое назовем означиванием переменных v1, . . . , vnиз последовательности ~v. Таким образом, в общем случае озна-чиванием в модели M назовем отображение ζ из множества пе-

116

ременных V нашего языка в основное множество M нашей моде-ли M.

Мы сопоставим каждому терму t и означиванию ~a его пере-менных ~v элемент b из нашей модели M, который определяетсяиндукцией по построению терма и назовем значением терма приданном означивании. Будем писать в этом случае

(t)Mv1, . . . , vna1, . . . , an

= b

или в сокращенной форме

(t)M~v~a

= b.

Если из контекста ясно, вместо каких переменных подставля-ются какие значения, то будем писать tM(~a) = b или tM(a1, . . . , an)= b. Если же задано означивание в виде функции ζ из множествапеременных в основное множество нашей модели, то будем писатьtM(ζ) = b. В случае, когда задана уже модель и мы знаем, чтозначения определяются именно в ней, то часто опускаем индексM в этих записях.

1. Базис индукции: для терма t, равного переменной v из мно-жества v ∈ V, полагаем значение терма t при означивании ζ рав-ным tM(ζ) = ζ(v). Для терма t, равного некоторому константномусимволу c ∈ ΣC нашей фиксированной сигнатуры ΣC , полагаемзначение терма t при означивании ζ, равным tM(ζ) = (c)M, т. е.равным значению этого символа в нашей модели.

2. Шаг индукции: если для термов t1, . . . , tm уже определенызначения при означивании переменных ζ как t1M(ζ),..., tmM(ζ),а f — символ операции (f ∈ ΣF ) и местность операции равнаρ(f) = m, тогда для терма t, равного f(t1, . . . , tm), определимtM(ζ) = fM(t1M(ζ),..., tmM(ζ)), где fM — m-местная функция,сопоставленная функциональному символу f при ρ(f) = m на-шей сигнатуры.

117

Лемма. ЕслиN ⊆M иX ⊆ N , t(v0, . . . , vn) — терм и x0, . . . , xnзначения из основного множества N подмодели N модели M, тозначение терма tM(x0, . . . , xn) совпадает со значением этого термав подмодели

(t)Nv0, . . . , vnx0, . . . , xn

∈ |N|.

Доказательство получаем индукцией по построению термов.Из этой леммы очевидным образом получаем следующие два след-ствия.

Следствие 1. Значение

(t)v0, . . . , vnx0, . . . , xn

∈ gr(X)

и tM(x0, . . . , xn) совпадает со значением этого терма в подмодели

(t)gr(X)v0, . . . , vnx0, . . . , xn

.

Следствие 2. Для любого подмножества X из основного мно-жества модели для наименьшей подмодели вM, содержащей мно-жество X, выполнено равенство grM(X) = {t(x0, . . . , xn) | t —терм, x0, . . . , xn ∈ X}.

Рассмотрим две модели A = 〈A, intAΣ〉 и B = 〈B, intBΣ〉 этойсигнатуры. Будем использовать вместо выражения intAΣ(U) обо-значение (U)M для любого сигнатурного символа U и модели M.

Пусть задано отображение ϕ : M → N , являющееся гомомор-физмом модели M в N, т. е.

1) для любого сигнатурного константного символа c выполне-но равенство ϕ((c)A) = ((c)B;

2) для любого предикатного символа P местности n = ρ(P )и любого набора элементов 〈a1, . . . , an〉 ∈ An, если 〈a1, . . . , an〉 ∈(P )A, тогда〈ϕ(a1), . . . , ϕ(an)〉 ∈ (P )B;

118

3) для любого функционального символа F местности n =ρ(F ) и любого набора элементов 〈a1, . . . , an〉 ∈ An выполнено ра-венство (F )B(ϕ(a1), . . . , ϕ(am)) = ϕ((F )A(a1, . . . , am)) .

Теорема о значениях термов при гомоморфизмах. Еслиϕ : M→ N — гомоморфизм модели M в N, а t — терм и ζ — неко-торое означивание переменных в модели M, то композиция ϕ ◦ ζявляется означиванием переменных в модели N и для значенийтермов выполнено равенство ϕ(tM(ζ)) = tN(ϕ ◦ ζ).

Доказательство теоремы легко получается индукцией по по-строению терма непосредственно из требований о значениях кон-стант и согласованности гомоморфных отображений с основнымиоперациями модели.

Теорема о значениях термов на обогащениях. Если M— модель сигнатуры Σ, а модель N получается из модели M до-определением новых предикатных, функциональных и констант-ных символов, добавленных к сигнатуре Σ до ее расширения Σ′, аt — терм сигнатуры Σ и ζ — некоторое означивание переменных восновном множестве наших моделей, у которых оно одно и то же,то значения этого терма в модели и в ее обогащении совпадают,т. е. выполнено равенство tM(ζ) = tN(ζ).

Доказательство теоремы также легко получается индукциейпо построению терма непосредственно из определения значенийтерма.

Формулы исчисления предикатов

Как уже было замечено ранее, при задании формального язы-ка для описания свойств в моделях заданного типа нужно за-фиксировать сигнатуру Σ этих моделей и множество перемен-ных V, которые используются в определении нашего формально-го языка. Элементы из множества V будем называть в дальней-шем переменными. Обычно переменные обозначаются буквамиx, y, z, u, v, w с различными индексами. Символы сигнатурные ипеременные входят в алфавит нашего формального языка. Обыч-

119

но принято рассматривать язык с особым дополнительным сим-волом равенства «=», которое также включается в наш алфавит.Кроме того, в алфавит наряду с логическими связками: отрица-ния — «¬», конъюнкции — «∧», дизъюнкции — «∨», импликации— «−→», добавили также кванторы: существования — «∃» и все-общности — «∀». Также в алфавит мы включаем три вспомога-тельных символа: левая скобка «(», правая скобка «)» и запятая«,». Конечные последовательности символов из этого алфавитаявляются словами, но, как в обычном языке, не все такие после-довательности осмыслены. Выделим среди них формулы.

Итак, пусть фиксирована сигнатура Σ = 〈ΣR,ΣF ,ΣC , ρ〉, со-стоящая из множеств ΣR — имен для основных отношений (пре-дикатов), ΣF — имен для основных операций (функций), ΣC —имен для основных констант (выделенных элементов), и функ-ции ρ, сопоставляющей именам предикатов и операций их ар-ность, т. е. местность соответствующих операций и отношенийρ : ΣP ∪ ΣF → N.

Формулы сигнатуры Σ с переменными из V определяем по ин-дукции:

1. Базис индукции: если p, q — термы, то выражение p = qявляется формулой, а для любой переменной v из множества V(v ∈ V) любое вхождение этой переменной v в выражение p =q является свободным вхождением переменных в эту формулу,связанных вхождений переменных в эту формулу нет. Если P— символ n-местного предиката сигнатуры Σ, т. е. (ρ(P ) = n),а t1, . . . , tn — термы этой сигнатуры, то выражение P (t1, . . . , tn)является формулой, а для любой переменной v из множества V,любое вхождение этой переменной v в это выражение P (t1, . . . , tn)является свободным вхождением этой переменной в указаннуюформулу, связанных вхождений переменных в эту формулу нет.Эти формулы p = q и P (t1, . . . , tn) называются атомарными, иони не имеют других подформул, кроме самих себя.

2. Шаг индукции: пусть уже построены формулы ϕ и ψ, тогдавыражения ϕ∧ψ, ϕ∨ψ, ϕ −→ ψ и ¬ϕ являются формулами. Под-

120

формулами формул ϕ∧ψ, ϕ∨ψ, ϕ −→ ψ являются они сами и всеподформулы формул ϕ и ψ. Подформулами формулы ¬ϕ явля-ется она сама и все подформулы формулы ϕ. Любое вхождениепеременной v в таким образом определенные формулы являет-ся вхождением и в одну из подформул, и это вхождение являетсясвободным, если оно входило в соответствующем месте в подфор-мулу свободно, и связанным в противном случае.

Определим теперь конструкцию с кванторами. Если ϕ — фор-мула, а vi — переменная, то определим две новые формулы (∀vi)ϕи (∃vi)ϕ, полученные навешиванием кванторов ∀ и ∃ по этой пере-менной vi на формулу ϕ. Подформулами формул (∀vi)ϕ и (∃vi)ϕявляется, соответственно, сами рассматриваемые формулы и всеподформулы формулы ϕ. Любое вхождение переменной v, отлич-ной от переменной vi, в таким образом определенные формулыявляется вхождением и в ее подформулу ϕ, и это вхождение яв-ляется свободным, если оно входило в соответствующем месте вподформуле ϕ свободно, и связанным в противном случае, а самапеременная vi не имеет свободных вхождений в эти формулы, ивсе ее свободные вхождения в формулу ϕ в новых формулах ужесвязаны соответствующим квантором, который навешивается поэтой переменной на формулу ϕ.

Заметим, что других типов порождения формул в нашем язы-ке нет.

Истинность по Тарскому формул исчисленияпредикатов на моделях

Определим теперь как интерпретируются формулы языка пер-вого порядка на моделях той же сигнатуры. Так как наши форму-лы имеют свободные вхождения переменных, то, как и в случаетермов, мы определяем их истинность лишь при наличии неко-торого означивания переменных элементами из нашей модели.

Пусть задана модель M данной сигнатуры Σ.Рассмотрим формулу ϕ, в которую входят свободно перемен-

ные из последовательности переменных ~v = v1, . . . , vn, а также

121

задана последовательность элементов из нашей модели той жедлины ~a = a1, . . . , an, которую назовем, как и раньше, означива-нием переменных v1, . . . , vn из последовательности ~v. Как и рань-ше, в общем случае означиванием в модели M назовем отобра-жение ζ из множества переменных V нашего языка в основноемножество нашей модели M .

Определим для каждой формулы ϕ данной сигнатуры Σ иозначивания ~a его переменных ~v, наша формула будет при этомозначивании истинна или ложна в нашей модели M, котораяопределяется индукцией по построению формулы.

Будем использовать обозначениеM |= ϕv1,...,vna1,...,an , в случае, когдаформула при этом означивании истинна, иM 2 ϕv1,...,vna1,...,an , в случае,когда формула при этом означивании ложна.

А в общем случае при означивании ζ будем использовать за-пись M |= ϕ(ζ), в случае, когда формула при этом означиванииистинна, и M 2 ϕ(ζ), в случае, когда формула при этом означи-вании ложна.

Определим истинность формулы индукцией по сложности по-строения формулы. Так как каждая формула есть конечная по-следовательность символов, которая задает атомарную формулуили получается из более простых с помощью логических связокили кванторов, то с помощью индукции по сложности формул мыбудем доказывать общие свойства формул, а также определятьна формулах различные операции и конструкции.

Итак, дадим определение истинности и ложности формулы намодели при заданных значениях переменных, которые имеют сво-бодные вхождения в эту формулу. Заметим, что формула будетложна в том и только в том случае, когда она не истинна в этоймодели при заданном означивании переменных.

1. Базис индукции: для предикатного символа P сигнатуры Σместности n и термов t1, . . . , tn мы определили атомарную форму-лу ϕ вида P (t1, . . . , tn). Для этой формулы определим, при озна-чивании ζ в модели M истинна она или ложна следующим обра-зом. Мы уже знаем, как вычислить значения (t1)M(ζ), . . . , (tn)M(ζ)

122

термов t1, . . . , tn при означивании ζ в модели M. Рассмотрим те-перь интерпретацию intMΣ (P ) нашего предикатного символа P вмодели M. Если набор значений термов 〈(t1)M(ζ), . . . , (tn)M(ζ)〉принадлежит предикату intMΣ (P ), то формула ϕ при означиванииζ в модели M будет истинна и пишем в этом случае M |= ϕ(ζ), впротивном случае при этом означивании формула ложна в нашеймодели и мы записываем это в виде M 2 ϕ(ζ).

Если p, q — термы, то выражение p = q является также ато-марной формулой.

Для этой формулы также определим, при означивании ζ в мо-дели M истинна она или ложна. Мы уже знаем, как вычислитьзначения (p)M(ζ) и (q)M(ζ) термов p, q при означивании ζ в мо-дели M. Если значения термов (p)M(ζ) и (q)M(ζ) совпадают, тонаша формула ϕ при означивании ζ в модели M будет истиннаи пишем в этом случае M |= ϕ(ζ), в противном случае при этомозначивании формула ложна в нашей модели, и мы записываемэто в виде M 2 ϕ(ζ).

2. Шаг индукции: пусть уже определено для формул Φ и Ψ ихистинность или ложность при означивании ζ в модели M, тогдадля выражений Φ ∧ Ψ, Φ ∨ Ψ, Φ −→ Ψ и ¬Φ истинность либоих ложность зависят от истинности либо ложности Φ и Ψ приозначивании ζ в модели M.

А именно:1. Формула (Φ ∨ Ψ)(v) при означивании ζ истинна на модели

M (M |= (Φ ∨ Ψ)(v)(ζ) ), если и только если M |= Φ(v)(ζ) илиM |= Ψ(v)(ζ), иначе ложна (M 2 (Φ ∨Ψ)(v)(ζ)).

2. Формула (Φ & Ψ)(v) при означивании ζ истинна на моделиM (M |= (Φ & Ψ)(v)(ζ)), если и только если M |= Φ(v)(ζ) и M |=Ψ(v)(ζ), иначе ложна ( M 2 (Φ & Ψ)(v)(ζ)).

3. Формула (Φ −→ Ψ)(v) при означивании ζ истинна на моделиM (M |= (Φ −→ Ψ)(v)(ζ)), если и только если M 2 Φ(v)(ζ) илиM |= Ψ(v)(ζ), иначе она ложна (M 2 (Φ −→ Ψ)(v)(ζ)).

4. Формула ¬Φ(v) при означивании ζ истинна на модели M(M |= ¬Φ(v)(ζ)), если и только если M 2 Φ(v)(ζ), иначе она

123

ложна (M 2 ¬Φ(v)(ζ)).В случае, когда мы выделяем переменные, которые входят сво-

бодно в нашу формулу в виде последовательности переменных~v = v1, . . . , vn, а также задана последовательность элементов изнашей модели той же длины ~a = a1, . . . , an, которое в этом случаезадает означивание переменных v1, . . . , vn из последовательности~v, которые и важны для определения истинности этой форму-лы, то, как и в случае термов, определение будет записываться ввиде:

1. ВыполненоM |= [(Φ∨Ψ)]v1,...,vna1,...,an , если и только еслиM |= [Φ]vaили M |= [Ψ]va, иначе выполнено M 2 [(Φ ∨Ψ)]v1,...,vna1,...,an .

2. Выполнено M |= [(Φ&Ψ)]v1,...,vna1,...,an , если и только если M |=[Φ]va и M |= [Ψ]va, иначе M 2 [(Φ&Ψ)]v1,...,vna1,...,an .

3. Выполнено M |= [(Φ −→ Ψ)]v1,...,vna1,...,an , если и только если M 2[Φ]va или M |= [Ψ]va, иначе M 2 [(Φ −→ Ψ)]v1,...,vna1,...,an .

4. Выполнено M |= [¬Φ]va, если и только если M 2 [Φ]va, иначевыполнено M 2 [¬Φ]va.

Распространим теперь определение истинности по Тарскому ина конструкцию с кванторами. Если ϕ — формула, а vi — пере-менная, то мы имеем две новые формулы (∀vi)ϕ и (∃vi)ϕ, полу-ченные навешиванием кванторов ∀ и ∃ по этой переменной vi наформулу ϕ.

1. Формула (∀vi)Φ(v) при означивании ζ истинна на моделиM (M |= (∀vi)Φ(v)(ζ)), если и только если M |= Φ(v)(ζ

′) для

любого означивания ζ′ , совпадающего с ζ на всех переменных

за исключением, быть может, переменной vi, иначе она ложна(M 2 (∀vi)Φ(v)(ζ)).

2. Формула (∃vi)Φ(v) при означивании ζ истинна на моделиM (M |= (∃vi)Φ(v)(ζ)), если и только если M |= Φ(v)(ζ

′) для

некоторого означивания ζ ′ , совпадающего с ζ на всех переменныхза исключением, быть может, переменной vi, иначе она ложна(M 2 (∃vi)Φ(v)(ζ)).

При означивании только переменных, входящих свободно в за-данную формулу, это будет записываться в виде:

124

1. Выполнено M |= [(∀vi)ϕ]va, если и только если для любогоэлемента a из нашей модели M |= [ϕ]

v0,v1,...,vi−1,vi,vi+1,...,vna0,a1,...,ai−1,a,ai+1,...,an , в про-

тивном случае M 2 [(∀vi)ϕ]va.2. Выполнено M |= [(∃vi)ϕ]va, если и только если для некото-

рого элемента a из нашей модели M |= [ϕ]v0,v1,...,vi−1,vi,vi+1,...,vna0,a1,...,ai−1,a,ai+1,...,an , в

противном случае M 2 [(∃vi)ϕ]va.

Элементарные теории моделей и классов моделей

Формулы, в которых всякая переменная связана, называют-ся предложениями.

Теория модели — это множество предложений, истинных вэтой модели. Мы обозначим через Th(M) теорию модели M, гдеTh(M) {ϕ | ϕ — предложение и M |= ϕ}.

Если K — некоторый класс моделей фиксированной сигнату-ры, то аналогично определим теорию этого класса моделейTh(K) {ϕ | ϕ — предложение и в любой модели M из класса

выполнено M |= ϕ}.По любому множеству предложений A мы можем определить

класс моделей Mod(A) как класс всех моделей, в которых истин-ны все предложения из A. В этом случае множество предложенийA называется системой аксиом класса Mod(A).

Нетрудно видеть, что для любого множества предложений A идля любого класса моделейK выполнены следующие включения:

(1) A ⊆ Th(Mod(A)) и(2) K ⊂Mod(Th(K)).Во многих приложениях важным является рассмотрение ко-

нечных моделей, в которых выполняются аксиомы класса.Пусть ϕ — предложение. Определим спектр ϕ как множество

Spectorϕ {n | n натуральное число, и существует модель Mтакая, что M |= ϕ& |M | = n}, где M основное множество моделиM.

Нерешенная проблема спектра. Если S является спектром неко-торого предложения ϕ, то будет ли N \S спектром предложениякакого-либо предложения?

125

Более общая проблема состоит в описании класса всех мно-жеств, которые являются спектрами каких-либо предложений.

Упражнения.1. Показать, что спектр формулы Fin2 вида (∃x)(∃y)(¬(x =

y) & (∀z) (z = x ∨ z = y)) равен одноэлементному множеству {2}.2. Показать, что спектр формулы Finn вида (∃x1) . . . (∃xn)

(∧i 6=j¬xi = xj & (∀z)(

n∨i=1z = xi)) равен одноэлементному множеству

{n} для любого натурального числа n ≥ 1.3. Показать, что в свободной бесконечно порожденной группе

F (x1, . . . , xn, . . .) подгруппа F (x2, . . . , xn, . . .), порожденная всемипорождающими {x2, . . . , xn, . . .}, кроме первого, будет элементар-ной подмоделью.

126

ЛЕКЦИЯ 15. ФИЛЬТРЫ И ФИЛЬТРОВАННЫЕПРОИЗВЕДЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Определим вначале одну известную из алгебры конструкциюна моделях, а именно прямое произведение семейства моделей, азатем более общую конструкцию — фильтрованные произведениясемейств моделей.

Построим прямое произведение двух моделей. Пусть заданыдве модели N и M заданной сигнатуры σ. Определим теперьпрямое произведение N×M этих моделей. В качестве основногоего множества рассмотрим прямое произведение N ×M основ-ных множеств N и M соответственно моделей N и M. Опреде-лим теперь на этом множестве все остальные сигнатурные сим-волы. Для каждого константного символа c сигнатуры σ опреде-лим (c)N×M 〈(c)N, (c)M〉. Для каждого предикатного символаP местности k сигнатуры σ полагаем, что набор (〈n1,m1〉, . . . ,〈nk,mk〉) принадлежит интерпретации PN×M в прямом произве-дении N×M, если набор (n1, . . . , nk) принадлежит интерпрета-ции PN, а набор (m1, . . . ,mk) принадлежит интерпретации PM.

Осталось определить интерпретации для функциональных сим-волов. Нужные нам операции определяются покоординатно. Длякаждого функционального символа F местности k сигнатуры σопределим значение интерпретации FN×M этого функционально-го символа в прямом произведении на наборе (〈n1,m1〉, . . . ,〈nk,mk〉) следующим образом:

FN×M(〈n1,m1〉, . . . , 〈nk,mk〉) 〈FN(n1, . . . , nk), FM(m1, . . . ,mk)〉.

Определим прямое произведение для семейства моделей однойсигнатуры σ.

Пусть задано семейство моделей Ni, i ∈ I сигнатуры σ. Опре-делим теперь прямое произведение этого семейства моделей∏i∈I Ni как модель той же сигнатуры σ. Для этого определим

в качестве основного множества этого произведения прямое про-изведение

∏i∈I Ni основных множеств Ni, i ∈ I моделей из этого

127

семейства Ni, i ∈ I. Мы полагаем∏i∈I Ni {f : I → ∪Ni —

функция из I в ∪i∈INi и для любого индекса i из I выполненоf(i) ∈ Ni}.

Определим на этом множестве требуемую интерпретацию всехсигнатурных символов.

Для каждого константного символа c сигнатуры σ определим(c)∏

i∈I Ni(i) fC , где для каждого i ∈ I fC(i) = (c)Ni . Для каж-

дого предикатного символа P местности k сигнатуры σ полага-ем, что набор (f1, . . . , fk) принадлежит интерпретации P∏

i∈I Niв

прямом произведении∏i∈I Ni, если набор (f1(i), . . . , fk(i)) при-

надлежит интерпретации PNi для каждого индекса i ∈ I.Осталось определить интерпретации для функциональных сим-

волов. Нужные нам операции определяются покоординатно. Длякаждого функционального символа F местности k сигнатуры σопределим значение интерпретации F∏

i∈I Niэтого функциональ-

ного символа в прямом произведении на наборе (f1, . . . , fk) сле-дующим образом: F∏

i∈I Ni(f1, . . . , fk)(i) FNi(f1(i), . . . , fk(i)).

Лемма. Для каждого терма t сигнатуры σ с переменнымиx1, . . . , xn значение интерпретации t∏

i∈I Niэтого терма в прямом

произведении на наборе (f1, . . . , fk) определено так, что выполне-но свойство (f1, . . . , fk) следующим образом: t∏

i∈I Ni(f1, . . . , fk)(i)

tNi(f1(i), . . . , fk(i)).Лемма легко доказывается из определения интерпретации для

операций индукцией по сложности терма.Прежде чем определим теперь понятие фильтрованного про-

изведения∏

Mi/D семейства моделей Mi, i ∈ I сигнатуры σ пофильтру D на множестве индексов моделей I, нам нужно опреде-лить понятие фильтра на множестве. Понятие фильтра — обще-математическое понятие, широко применяемое в различных раз-делах математики.

Пусть задано множество I. Подмножество D множества под-множеств D ⊆ P(I) множества I называется фильтром на I, есливыполнены следующие свойства:

1. I ∈ D, но � /∈ D.

128

2. Для любых элементов X,Y ∈ D их пересечение X∩Y такжепринадлежит D, т. е. D замкнуто относительно пересечений.

3. Если X ∈ D, а X ⊆ Y ⊆ I, то Y ∈ D, т. е. D замкнутоотносительно надмножеств.

Рассмотрим некоторые примеры фильтров.Пример 1. (Фильтр Фреше.)Пусть задано бесконечное множество A.Определим множество Φ(A) = {X ∈ P(A) | A \ X конечно }.

Очевидно, что Φ(A) ⊆ P(A). Нетрудно заметить, что все три тре-бования из определения фильтра на A для него справедливы.Этот фильтр Φ(A) называется фильтром Фреше на множестве A.Заметим, что любой фильтр D на множестве A, содержащий в ка-честве подмножества фильтр Фреше Φ(A), не имеет наименьшегопо включению элемента.

Пример 2. Пусть задано непустое множество A и его непустоеподмножество B ⊆ A.DB = {X ∈ P(A) | B ⊆ X}. Вновь нетрудно видеть, что DB яв-

ляется фильтром на множестве A. Будем называть определенныетаким образом фильтры главными фильтрами на A.

Нетрудно проверить, что фильтр D на непустом множестве Aглавный, если и только если в нем есть наименьший по включе-нию элемент.

Перейдем теперь к определению фильтрованных произведе-ний для семейств моделей одной сигнатуры σ.

Вначале определим понятие фильтрованного произведения се-мейства множеств.

Пусть задано семейство множеств Mi, i ∈ I и фильтр D намножестве индексов этих множеств I.

Определим теперь фильтрованное произведение∏i∈IMi/D

этого семейства множеств Mi, i ∈ I по фильтру D.Рассмотрим прямое произведение этого семейства множеств∏i∈IMi семейства множеств Mi, i ∈ I. Мы полагаем, как и рань-

ше∏i∈IMi {f : I → ∪Mi-функция из I в ∪i∈IMi и для любого

индекса i из I выполнено f(i) ∈Mi}.

129

Заметим сразу, что непустота таких прямых произведений се-мейства непустых множеств равносильна аксиоме выбора.

Определим теперь на прямом произведении∏i∈IMi семей-

ства множеств Mi, i ∈ I бинарное отношение ∼D: для элемен-тов f, g ∈

∏i∈IMi выполнено f ∼D g, если множество индексов

{i ∈ I|f(i) = g(i)} принадлежит фильтру D.Заметим, что из первого свойства определения фильтра следу-

ет рефлексивность отношения ∼D, т. е. f ∼D f для f ∈∏i∈IMi.

Симметричность отношения∼D следует непосредственно из опре-деления. А транзитивность ∼D является следствием замкнуто-сти фильтра относительно пересечений и расширений, так как({i ∈ I|f(i) = g(i)} ∩ {i ∈ I|g(i) = h(i)}) ⊆ {i ∈ I|f(i) = h(i)}.Таким образом мы показали, что бинарное отношение ∼D яв-ляется отношением эквивалентности на множестве

∏i∈IMi. Бу-

дем обозначать смежный класс по этому отношению ∼D на мно-жестве

∏i∈IMi, содержащий элемент f через f/D, а фактор-

множество множества∏i∈IMi по этому отношению эквивалент-

ности ∼D через∏i∈IMi/D. Мы назовем это фактор-множество∏

i∈IMi/D множества∏i∈IMi по этому отношению эквивалент-

ности∼D фильтрованным произведением∏i∈IMi/D семей-

ства множеств Mi, i ∈ I по фильтру D.Пусть задано семейство моделейMi, i ∈ I сигнатуры σ и фильтр

D на множестве индексов этих моделей I.Определим теперь фильтрованное произведение этого семей-

ства моделей∏i∈I Mi/D как модель той же сигнатуры σ. Для

этого определим в качестве основного множества этого произ-ведения фильтрованное произведение

∏i∈IMi/D основных мно-

жеств Mi, i ∈ I моделей из этого семейства Mi, i ∈ I.Мы определили на прямом произведении

∏i∈IMi семейства

множеств Mi, i ∈ I бинарное отношение ∼D: для элементов f, g ∈∏i∈IMi выполнено f ∼D g, если множество индексов {i ∈ I|f(i) =

g(i)} принадлежит фильтру D. Выше было показано, что отно-шение ∼D является отношением эквивалентности на прямом про-изведении основных множеств моделей

∏i∈IMi.

130

Докажем, что отношение эквивалентности ∼D является отно-шением слабой конгруэнтности на прямом произведении семей-ства моделей

∏Mi семейства моделей Mi, i ∈ I сигнатуры σ.

Для этого рассмотрим две последовательности элементов пря-мого произведения (f1, . . . , fk) и (g1, . . . , gk) такие, что f1 ∼Dg1, . . . , fk ∼D gk, а также сигнатурный функциональный символF местности k. Нам нужно показать, что значения соответствую-щей операции в прямом произведении на этих двух наборах эле-ментов будут эквивалентны по определенному отношению экви-валентности. По выбору элементов и определению эквивалентно-сти ∼D мы имеем, что множество {i|i ∈ I и fs(i) = gs(i)} при-надлежит D для каждого 1 ≤ s ≤ k. Отсюда в силу замкну-тости фильтра относительно пересечений элементов из фильтрамы получаем, что пересечение

⋂ks=1{i|i ∈ I и fs(i) = gs(i)} так-

же лежит в D. Но мы имеем включение⋂ks=1{i|i ∈ I иfs(i) =

gs(i)} ⊆ {i|i ∈ I &F∏Mi

(f1, . . . , fk)(i) = F∏Mi

(g1, . . . , gk)(i)}, таккак F∏

Mi(h1, . . . , hk)(i) = FMi(h1(i), . . . , hk(i)) для любых эле-

ментов прямого произведения. А отсюда из замкнутости филь-тров относительно надмножеств мы получаем требуемую экви-валентность значений.

Определим теперь уже на этом множестве требуемую интер-претацию всех сигнатурных символов.

Для каждого константного символа c сигнатуры σ определим(c)∏

i∈I Mi/D fc/D, где fc(i) (c)Mi .Определим интерпретации для функциональных символов.

Нужные нам операции определяются покоординатно. Для каж-дого функционального символа F местности k сигнатуры σ рас-смотрим значение интерпретации F∏

i∈I Miэтого функционально-

го символа в прямом произведении на наборе (f1, . . . , fk), а зна-чения этой операции в фильтрованном произведении определимследующим образом:

F∏i∈I Mi/D(f1/D, . . . , fk/D)(i) F∏

i∈I Mi(f1, . . . , fk)/D.

Теперь нам нужно проверить, что данное определение опе-

131

раций корректно, т. е. не зависит от выбора представителей изсмежных классов. Но это следует из того, что оно является сла-бой конгруентностью на прямом произведении моделей.

Лемма. Для каждого терма t сигнатуры σ с переменнымиx1, . . . , xn значение интерпретации t∏

i∈I Miэтого терма в пря-

мом произведении на наборе (f1, . . . , fk) и значения этого терма вфильтрованном произведении на наборе (f1/D, . . . , fkD) связаныследующим образом:t∏

i∈I Mi/D(f1/D, . . . , fk/D)(i) t∏i∈I Mi

(f1, . . . , fk)/D.Лемма легко доказывается из определения интерпретации для

операций индукцией по сложности терма.Для каждого предикатного символа P местности k сигнатуры

σ полагаем, что набор (f1/D, . . . , fk/D) принадлежит интерпре-тации P∏

i∈I Mi/D в фильтрованном произведении∏i∈I Mi, если

множество индексов {i|i ∈ I & (f1(i), . . . , fk(i)) ∈ PMi} принадле-жит фильтру D.

Теперь нам нужно проверить, что данное определение преди-катов корректно, т. е. не зависит от выбора представителей изсмежных классов.

Нам осталось показать, что для пар эквивалентных наборовсоответствующая эквивалентность справедлива для предикатныхсимволов. Для этого рассмотрим две последовательности элемен-тов прямого произведения (f1, . . . , fk) и (g1, . . . , gk) такие, чтоf1 ∼D g1, . . . , fk ∼D gk, а также сигнатурный предикатный сим-вол P местности k. Нам нужно показать, что для этих наборовсоответствующие им смежные классы либо одновременно удовле-творяют условию, либо одновременно не удовлетворяют условиюопределения принадлежности смежного класса данной интерпре-тации. Как и в случае функциональных символов по выбору эле-ментов и определению эквивалентности ∼D мы имеем, что мно-жество {i|i ∈ I & fs(i) = gs(i)} принадлежит D для каждого1 ≤ s ≤ k. Отсюда в силу замкнутости фильтра относительнопересечений элементов из фильтра мы получаем, что пересече-ние

⋂ks=1{i|i ∈ I & fs(i) = gs(i)} также лежит в D. Но мы имеем

132

включения(⋂ks=1{i|i ∈ I & fs(i) = gs(i)}

⋂{i|i ∈ I & (f1(i), . . . , fk(i)) ∈

PMi}) ⊆ {i|i ∈ I & (g1(i), . . . , gk(i)) ∈ PMi} и(⋂ks=1{i|i ∈ I & fs(i) = gs(i)}

⋂{i|i ∈ I & (g1(i), . . . , gk(i)) ∈

PMi}) ⊆ {i|i ∈ I & (f1(i), . . . , fk(i)) ∈ PMi}.А отсюда из замкнутости фильтров относительно надмножеств

мы получаем требуемую эквивалентность значений.Таким образом, мы корректно определили на фильтрованном

произведении множеств все наши константы, предикатные и функ-циональные символы данной сигнатуры.

Нетрудно заметить, что фильтрованное произведение по глав-ному фильтру изоморфно прямому произведению подсемействамоделей с индексами из наименьшего по включению элементуфильтра, а прямые произведения — частный случай фильтро-ванного произведения по одноэлементному фильтру, состоящемуиз всего множества индексов I, т. е. D = {I}.

Нетрудно понять, что отображение IdD такое, что IdD(f) f/D, является эпиморфизмом прямого произведения

∏i∈I Mi на

фильтрованное произведение∏i∈I Mi/D.

Ультрафильтры и ультрапроизведения

В этом разделе будем рассматривать специальный класс филь-тров, а именно ультрафильтры, и фильтрованные произведенияпо ультрафильтрам. Будем называть фильтрованные произведе-ния по ультрафильтрам ультрапроизведениями.

Фильтр D на I называется ультрафильтром, если для любогоподмножества X ⊆ I выполнено одно из условий X ∈ D илиI \X ∈ D.

Пример. Рассмотрим непустое множество I и его элементa ∈ I. Рассмотрим главный фильтр, определенный одноэлемент-ным множеством {a}. Очевидно, что такой фильтр является уль-трафильтром.

133

Нетрудно заметить, что главный фильтр является ультрафиль-тром, если и только если он содержит одноэлементное множество.

Определим глобальную характеризацию ультрафильтров че-рез их отношения с другими фильтрами, а не через их внутреннеестроение.

Мы рассмотрели (F(I),⊆) — множество всех фильтров на I сотношением включения. Нетрудно проверить, что это частичноупорядоченное множество (ч. у. м.).

Фильтр D на множестве I называется максимальным, если онмаксимален в частично упорядоченном множестве всех фильтровна множестве I.

Теорема о характеризации ультрафильтров. Фильтр Dна I максимален, если и только если фильтр D является ультра-фильтром.

Докажем максимальность любого ультрафильтра. Пусть D —ультрафильтр, но допустим, что он не максимален. Тогда суще-ствует фильтр D′ такой, что D′ ⊃ D и существует подмножествоX ⊆ I такое, что X ∈ D′ \ D. Тогда X /∈ D. Следовательно, поопределению ультрафильтра I \X ∈ D. Отсюда I \X ∈ D ⊆ D′.Следовательно, в D′ лежат два множества X ∈ D′ и I \X ∈ D′.Но в этом случае и их пересечение, равное �, лежит в D′, чтоневозможно по определению фильтра. Полученное противоречиепоказывает, что ультрафильтр всегда максимален.

Докажем теперь, что максимальный фильтр является ультра-фильтром. Предположим, что это неверно и пусть фильтр Dмаксимален, но не ультрафильтр. Из определения ультрафиль-тра тогда существует подмножество ∃X ⊆ I такое, что X /∈ D иI \X /∈ D.

Определим теперь общую конструкцию расширения фильтра.Рассмотрим подмножество Y ⊆ I. Определим для него и фильтраD множествоDY � {Z ⊆ I | ∃V ∈ D такое, что (Y ∩ V ) ⊆ Z}.Покажем, что построенное множество подмножеств из I удо-

влетворяет почти всем свойствам фильтра и расширяет фильтрD.

134

Заметим, что выполнено включение D ⊆ DY .Если V ∈ D, тогда (Y ∩V ) ⊆ V и по определению DY получаем

V ∈ DY .Заметим также, что Y ∈ DY . Это очевидно выполняется в силу

включения I ∩ Y ⊆ Y ∈ DY и условия I ∈ D.Начнем теперь проверку условий определения фильтра дляDY .1. Выполнено условие I ∈ DY , так как (Y ∩ I) ⊆ I и I ∈ D.2. Если Z1, Z2 ∈ DY , тогда (Z1 ∩ Z2) ∈ DY .Действительно, по определению DY существуют A1, A2 ∈ D

такие, что A1 ∩ Y ⊆ Z1 и A2 ∩ Y ⊆ Z2. Рассмотрим множествоA A1∩A2. Так какD —фильтр, то A ∈ D. Очевидно включение(A1 ∩ A2) ∩ Y ⊆ Z1 ∩ Z2 и, следовательно, Z1 ∩ Z2 ∈ DY . Чтои требовалось показать, т. е. из Z1, Z2 ∈ DY следует, что Z1 ∩Z2 ∈ DY .

3. Если Z ∈ DY и Z ⊆ Z ′ ⊆ I, то Z ′ ⊆ DY .Действительно, рассмотрим множество V ∈ D такое, что (V ∩

Y ) ∈ Z. Тогда (V ∩ Y ) ⊆ Z ⊆ Z ′ и по определению Z ′ ∈ DY .Для того чтобы показать, что D — фильтр, нужно показать

только, что пустое множество не лежит в D. Таким образом, эторасширение DY фильтра D является фильтром, если и толькоесли пустое множество не принадлежит этому расширению DY .

В силу того, что два подмножества X, I \ X множества I нележат в D, но лежат, соответственно, в DX и в DI\X , мы за-ключаем, что DX и DI\X являются собственными расширениямимаксимального фильтра D. Отсюда следует, что эти расширенияне являются фильтрами и пустое множество принадлежит и DX ,и DI\X . Итак, � ∈ DX и � ∈ DI\X .

Но из условия � ∈ D следует, что существует множество A1 ∈D такое, что (A1 ∩ X) ⊆ �, т. е. (A1 ∩ X) = �. А из условия� ∈ DI\X следует, что существует множество A2 ∈ D такое, что(A2 ∩ (I \X)) ⊆ �. Отсюда (A2 ∩ (I \X)) = �.

Рассмотрим множество A A1∩A2. По определению фильтраA ∈ D. Очевидно выполнены включения (A∩X) ⊆ (A1 ∩X) ⊆ �и (A ∩ (I \X)) ⊆ (A2 ∩ (I \X)) ⊆ �.

135

Отсюда следует, что A = �. Следовательно, � ∈ D, что про-тиворечит определению фильтра.

Значит, один из элементов X или I \ X лежит в D и D —ультрафильтр. Теорема доказана.

Существование ультрафильтров

Рассмотрим теперь вопрос о существовании ультрафильтров.Мы хотим показать, что любой фильтр можно расширить, добав-ляя в него множества до ультрафильтра. Однако это невозможнодоказать, не привлекая дополнительных свойств об универсумемножеств. Нам потребуется принцип максимума (лемма Цорна).

Частично упорядоченное множество (L,≤L) называется ин-дуктивным, если для любого его линейно упорядоченного относи-тельно порядка ≤L подмножества X ⊆ L существует в L верхняягрань для множестваX, т. е. такой элемент a ∈ L, что для любогоэлемента l ∈ L выполнено неравенство l ≤ a.

Подмножество X частично упорядоченного множества (L,≤L)линейно упорядочено, если любые два элемента из подмножестваX сравнимы относительно порядка ≤L, т. е. (∀a, b ∈ X)((a ≤Lb) ∨ (b ≤L a)).

Лемма Цорна (Принцип максимума). В любом индук-тивном частично упорядоченном множестве существует макси-мальный элемент.

Мы докажем в аксиоматической теории множеств, что леммаЦорна эквивалентна аксиоме выбора.

Теорема о существовании ультрафильтров (из леммыЦорна). Для любого фильтра D на I существует ультрафильтрD′ на I такой, что D ⊆ D′.

Для доказательства этой теоремы рассмотрим множество всехфильтров (F(I)D,⊆) на I, содержащих заданный фильтр D на I,с отношением включения. Очевидно, что максимальные элемен-ты в этом множестве будут максимальными и в множестве всехфильтров на I с отношением включения. Таким образом, доста-

136

точно доказать в силу теоремы о характеризации ультрафиль-тров существование максимальных элементов в этом частичноупорядоченном множестве (F(I)D,⊆). В силу леммы Цорна намдостаточно доказать индуктивность этого частично упорядочен-ного множества (F(I)D,⊆).

Пусть L ⊆ F(I)D и L — линейно упорядочено, т. е. для любыхфильтров D′,D′′ из L выполнено D′ ⊆ D′′ или D′′ ⊆ D′. Этоозначает что любые два фильтра D′ и D′′ из L сравнимы междусобой по включению.

Определим множество D∗ {A ⊆ I | (∃D′ ∈ L)A ∈ D′}. Этомножество равно ∪L, т. е. ∪{D′|D′ ∈ L}. Очевидно, что для лю-бого D′ из L выполнено D′ ⊆ D∗. Таким образом, нам достаточнопоказать, что это множество D∗ является фильтром на I и лежитв F(I)D.

Покажем, что оно удовлетворяет всем условиям определенияфильтра. Так как все элементы L являются фильтрами, то онине содержат пустого множества, но содержат все множество I.Отсюда первое условие для D∗ выполнено и оно содержит I, ноне содержит пустого, так как равно объединению элементов из L.

Проверим выполнимость второго условия определения филь-тра. Пусть X,Y ∈ D∗. Покажем, что (X ∩ Y ) ∈ D∗. Из опреде-ления множества D∗ следует, что существуют фильтры D′ ∈ L иD′′ ∈ L такие, что X ∈ D′ и Y ∈ D′′. Из линейности множестваL следует, что для фильтров D′,D′′ из L выполнено D′ ⊆ D′′ илиD′′ ⊆ D′. Отсюда X,Y ∈ D′ или X,Y ∈ D′′. Из этого вытекает,что X ∩ Y ∈ D′ или X ∩ Y ∈ D′′ и, следовательно, (X ∩ Y ) ∈ D∗.

Проверим теперь выполнимость третьего условия. Пусть X ∈D0, а X ⊆ Y ⊆ I. В таком случае существует фильтр D′ ∈ Lтакой, что X ∈ D′. Но тогда и Y ∈ D′, а отсюда Y ∈ D∗.

Итак, мы показали, что D∗ — фильтр, который расширяет всефильтры из L. Следовательно, множество фильтров, расширяю-щих фильтр D индуктивно и содержит максимальный элемент,что и дает существование искомого ультрафильтра. Теорема до-казана.

137

Задача. Рассмотрим стандартную модель арифметики N =(N,+, ·, s, 0,≤), где s(x) = x + 1. Определим семейство моделейNn = N для n ∈ N . Рассмотрим теперь фильтр Фреше F на N .Для него по нашей теореме найдется ультрафильтр D, расширя-ющий фильтр Фреше.

Рассмотрим теперь ультрапроизведение∏Nn/D для этого се-

мейства моделей, изоморфных одной фиксированной модели.В таком случае мы называем ультрапроизведение ультрастепе-нью. Требуется доказать, что данная ультрастепень будет конти-нуальна.

138

ЛЕКЦИЯ 16. ТЕОРЕМА ЛОСЯ

В этой лекции рассмотрим связь между истинностью формулна слагаемых и в ультрапроизведении семейств моделей. Суще-ствует зависимость и для произвольных фильтрованных произ-ведений, но технически она несколько более сложно формулиру-ется, а для наших целей и многих приложений в нестандартноманализе достаточно использовать такую связь, устанавливаемуютеоремой Лося, лишь в случае ультрапроизведений.

Пусть D — ультрафильтр на множестве индексов I семействамоделей Mi, i ∈ I сигнатуры σ.

Рассмотрим фильтрованное произведение∏

Mi/D семействамоделей Mi, i ∈ I сигнатуры σ по ультрафильтру D на множествеиндексов моделей I. Как было отмечено ранее, такие фильтро-ванные произведения мы называем ультрапроизведениями. Рас-смотрим также произвольный набор элементов (f1/D, . . . , fn/D)из основного множества ультрапроизведения. Нас интересует, какзависит вопрос об истинности формул ϕ(x1, . . . , xn) сигнатурыσ на наборе элементов (f1/D, . . . , fn/D) из основного множестваультрапроизведения от выполнимости этой формулы в слагаемыхMi, i ∈ I соответственно на наборе элементов (f1(i), . . . , fn(i)),i ∈ I.

Теорема Лося. ЕслиD — ультрафильтр на I и ϕ(x1, . . . , xn) —формула, то

∏Mi/D |= ϕ(f1/D, . . . , fn/D) тогда и только тогда,

когда {i |Mi |= ϕ(f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D.Доказательство теоремы Лося проведем индукцией по слож-

ности формулы ϕ(x1, . . . , xn).1. Базис индукции: если формула ϕ(x1, . . . , xn) имеет вид t = q.Тогда по определению истинности формулы на модели мы име-

ем эквивалентность Mi/D |= t = q(x1,...,xn)(f1/D,...,fn/D) тогда и только

тогда, когда Mi/D |= t(f1/D, . . . , fn/D) = q(f1/D, . . . , fn/D).Последнее равенство в силу лемм о значениях термов на пря-

мом произведении и фильтрованном произведении моделей экви-валентно {i |Mi |= t(f1(i), . . . , fn(i)) = q(f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D.

139

А это вновь по определению истинности эквивалентно

{i |Mi |= t = q(x1,...,xn)(f1(i),...,fn(i))} ∈ D.

Итак, в первом случае требуемая эквивалентность выполнена.Рассмотрим теперь случай, когда формула ϕ(x1, . . . , xn) имеет

вид p(t1, . . . , tn).По определению фильтрованного произведения для предика-

тов и леммам о значениях термов выполнена эквивалентностьMi/D |= p(t1, . . . , tn)(f1/D, . . . , fn/D) тогда и только тогда, ко-гда {i | Mi |= p(t1, . . . , tn)(f1(i), . . . , fn(i)) ∈ D}. А это и естьтребуемое условие.

2. Шаг индукции: рассмотрим формулу ϕ сложности n + 1.В таком случае она имеет один из следующих типов: (ϕ1 &ϕ2),(ϕ1 ∨ ϕ2), (ϕ1 → ϕ2), ¬ϕ1, (∃y)ϕ1, (∀y)ϕ1.

Нам нужно рассмотреть все эти шесть возможностей для по-строения формул.

Если формула имеет вид ϕ = (ϕ1 &ϕ2).Если

∏Mi/D |= ϕ(f1/D, . . . , fn/D), то по определению∏

Mi/D |= ϕ1(f1/D, . . . , fn/D) и∏

Mi/D |= ϕ2(f1/D, . . . , fn/D),следовательно, по индукционному предположению {i | Mi |=ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D и {i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D.

Значит, {i |Mi |= ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))}∩{i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i)))} ∈D, по определению фильтра. А это влечет {i |Mi |= ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))}∩{i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} = {i |Mi |= (ϕ1 &ϕ2)(f1(i), . . . , fn(i))} ле-жит в D.

В обратную сторону, если

{i |Mi |= (ϕ1 &ϕ2)(f1(i), . . . , fn(i))}

лежит в D, то из того, что множества{i |Mi |= ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))} и {i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} рас-ширяют данное множество и замкнутости фильтров относитель-но расширений, следует, что {i | Mi |= ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))} ∈ Dи {i | Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D. Теперь по индукционному

140

предположению мы имеем:∏Mi/D |= ϕ1(f1/D, . . . , fn/D) и

∏Mi/D |= ϕ2(f1/D, . . . , fn/D),

а по определению истинности —∏

Mi/D |= ϕ(f1/D, . . . , fn/D).Итак, мы получили требуемую эквивалентность в случае конъ-юнкции.

Рассмотрим теперь случай дизъюнкции ϕ = (ϕ1 ∨ ϕ2).Если

∏Mi/D |= ϕ(f1/D, . . . , fn/D), то по определению∏

Mi/D |= ϕ1(f1/D, . . . , fn/D) или∏

Mi/D |= ϕ2(f1/D, . . . , fn/D),следовательно, по индукционному предположению {i | Mi |=ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D или {i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D.

Значит, {i |Mi |= ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))}∪{i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} ∈D, по определению фильтра. А это влечет {i |Mi |= ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))}∪{i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} = {i |Mi |= (ϕ1∨ϕ2)(f1(i), . . . , fn(i))}лежит в D.

В обратную сторону, если {i |Mi |= (ϕ1 ∨ ϕ2)(f1(i), . . . , fn(i))}лежит в D, то из того, что выполнено равенство {i | Mi |=ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))} ∪ {i | Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} = {i | Mi |=(f1(i), . . . , fn(i))}, а фильтр D — ультрафильтр, следует, что од-но из этих множеств лежит в D. Так как в противном случае ихдополнения лежат в ультрафильтре, а отсюда и пересечение до-полнений лежит в D. Но тогда множество и его дополнение лежатв D, что невозможно, так как пустое множество не может лежатьв фильтре. Теперь по индукционному предположению мы имеем,что ∏

Mi/D |= ϕ1(f1/D, . . . , fn/D)

или ∏Mi/D |= ϕ2(f1/D, . . . , fn/D),

а тогда по определению истинности∏Mi/D |= ϕ(f1/D, . . . , fn/D). Итак, мы получили требуемую

эквивалентность в случае дизъюнкции.Рассмотрим теперь случай импликации (ϕ1 → ϕ2).Если

∏Mi/D |= ϕ(f1/D, . . . , fn/D), то по определению∏

Mi/D 2 ϕ1(f1/D, . . . , fn/D)

141

или ∏Mi/D |= ϕ2(f1/D, . . . , fn/D),

следовательно, по индукционному предположению {i | Mi |=ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))} не лежит вD или {i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} ∈D. Следовательно, дополнение множества {i |Mi |= ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))}лежит в D или {i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D.

Значит, I\{i |Mi |= ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))}∪{i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} ∈D, по определению фильтра. А это влечет I\{i |Mi |= ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))}∪{i |Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} = {i |Mi |= (ϕ1 → ϕ2)(f1(i), . . . , fn(i))}лежит в D.

В обратную сторону, если {i |Mi |= (ϕ1 → ϕ2)(f1(i), . . . , fn(i))}лежит в D, то из того, что выполнено равенство I\{i | Mi |=ϕ1(f1(i), . . . , fn(i))} ∪ {i | Mi |= ϕ2(f1(i), . . . , fn(i))} = {i | Mi |=(ϕ1 → ϕ2)(f1(i), . . . , fn(i))}, а фильтр D — ультрафильтр, следу-ет, что одно из этих множеств лежит в D. Так как в противномслучае их дополнения лежат в ультрафильтре, а отсюда и пере-сечение дополнений лежит в D. Но тогда множество и его допол-нение лежат в D, что невозможно, так как пустое множество неможет лежать в фильтре. Теперь по индукционному предполо-жению мы имеем, что∏

Mi/D 2 ϕ1(f1/D, . . . , fn/D)

или ∏Mi/D |= ϕ2(f1/D, . . . , fn/D),

а тогда по определению истинности∏Mi/D |= ϕ(f1/D, . . . , fn/D).

Итак, мы получили требуемую эквивалентность в случае импли-кации.

Рассмотрим теперь случай отрицания ϕ = ¬ϕ1.По определению истинности

∏Mi/D |= ϕ(f1/D . . . , fn/D) то-

гда и только тогда, когда∏

Mi/D 2 ϕ1(f1/D, . . . , fn/D). Отсюда

142

по индукционному предположению мы имеем требуемую эквива-лентность.

Остается разобрать два случая формул, начинающихся с кван-торов.

Рассмотрим случай квантора существования ϕ = (∃x)ϕ1.Если выполнено

∏Mi/D |= (∃x)ϕ1(x, f1/D, . . . , fn/D), то най-

дется элемент g такой, что∏

Mi/D |= ϕ1(g/D, f/D). Отсюдапо индукционному предположению заключаем, что {i | Mi |=ϕ1(g(i), f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D. Но это множество является подмно-жеством в {i | Mi |= (∃x)ϕ1(x, f1(i), . . . , fn(i))}, а надмножествомножества из фильтра должно лежать в фильтре, следовательно,{i |Mi |= (∃x)ϕ1(x, f1(i), . . . , fn(i))} ∈ D.

Докажем в обратную сторону. Пусть {i |Mi |= (∃x)ϕ1(x, f1(i),. . . , fn(i))} ∈ D.

Определим семейство непустых множеств Ai, i ∈ I.Определим J такое, чтоJ {i | Mi |= (∃x)ϕ1(x, f1(i), . . . ,

fn(i))} ∈ D. Возьмем Ai Mi, если i ∈ I \ J . Для i ∈ J мы по-лагаем Ai {a ∈ Mi |Mi |= ϕ′(a, f1(i), . . . , fn(i))}. Легко видетьиз построения, что Ai, i ∈ I — семейство непустых множеств.

По аксиоме выбора существует функция g : I → ∪Mi такая,что ∀ig(i) ∈ Ai, т. е. в каждом из непустых множеств можновыбрать по элементу.

Для этого элемента выполнено равенство J = {i | Mi |=ϕ1(g(i), f1(i), . . . , fn(i))}. Следовательно, это множество лежитв D и по индукционному предположению∏

Mi/D |= ϕ1(g/D, f1/D, . . . , fn/D).

А тогда и∏

Mi/D |= (∃x)ϕ1(x, f1/D, . . . , fn/D).Рассмотрим случай с универсальным квантором ϕ = (∀x)ϕ1.Если не выполнено∏

Mi/D |= (∀x)ϕ1(x, f1/D, . . . , fn/D),

то найдется элемент g такой, что не выполнено∏Mi/D |= ϕ1(g/D, f1/D, . . . , fn/D).

143

Отсюда по индукционному предположению заключаем, что мно-жество {i |Mi |= ϕ1(g(i), f1(i), . . . , fn(i))} не лежит в D. Но D —ультрафильтр, следовательно, I\{i |Mi |= ϕ1(g(i), f1(i), . . . , fn(i))} ∈D. Но это множество является подмножеством в I\{i | Mi |=(∀x)ϕ1(x, f1(i), . . . , fn(i))}, а надмножество множества из филь-тра должно лежать в фильтре, следовательно, для его дополне-ния {i |Mi |= (∃x)ϕ1(x, f1(i), . . . , fn(i))} не лежит в D.

Докажем в обратную сторону. Пусть {i |Mi |= (∀x)ϕ1(x, f1(i),. . . , fn(i))} не лежит в D, тогда I\{i | Mi |= (∀x)ϕ1(x, f1(i), . . . ,fn(i))} ∈ D, так как D — ультрафильтр.

Определим семейство непустых множеств Ai, i ∈ I.Определим J такое, что J {i | Mi 2 (∀x)ϕ1(x, f1(i), . . . ,

fn(i))} ∈ D. Возьмем Ai Mi, если i ∈ I \ J . Для i ∈ J мы по-лагаем Ai {a ∈ Mi |Mi 2 ϕ1(a, f1(i), . . . , fn(i))}. Легко видетьиз построения, что Ai, i ∈ I — семейство непустых множеств.

По аксиоме выбора существует функция g : I → ∪Mi такая,что ∀ig(i) ∈ Ai, т. е. в каждом из непустых множеств можновыбрать по элементу.

Для этого элемента выполнено равенство J = {i | Mi 1ϕ1(g(i), f1(i), . . . , fn(i))}. Следовательно, это множество лежит вD и по индукционному предположению

∏Mi/D 2 ϕ1(g/D, f1/D, . . . , fn/D).

А тогда и∏

Mi/D 2 (∀x)ϕ1(x, f1/D, . . . , fn/D).Теорема Лося доказана.Получим теперь некоторые следствия из теоремы Лося.Определение. Класс моделей K называется аксиоматизиру-

емым, если существует множество предложений A таких, чтоK = {M |M |= A}.

Следствие I. Аксиоматизируемые классы замкнуты относи-тельно:

1) изоморфизма (если берем систему из класса K и ей изо-морфную, то она тоже лежит в K);

2) элементарных подсистем (N 4M ∈ K);3) ультрапроизведений, если берем семейство моделей из K,

то их ультрапроизведение снова лежит в K.

144

Докажем третье свойство. Пусть∏

Mi/D — ультрапроизве-дение моделей из класса K. Рассмотрим систему аксиом A дляаксиоматизируемого классаK. Докажем, что все аксиомы выпол-няются и на ультрапроизведении

∏Mi/D.

Берем предложение ϕ из аксиом A, т. е. ϕ ∈ A. Так каквсе модели из класса K, то в них все аксиомы из A истинны.И, следовательно,

∏Mi/D |= ϕ в силу теоремы Лося, так как

{i|Mi |= ϕ} = I ∈ D.Следствие II. Если аксиоматизируемый класс K содержит

сколь угодно большие конечные системы, то он содержит и бес-конечную систему.

Доказательство. Так как для любого n найдется модель Mn

из класса K, которая содержит не менее, чем n элементов. Рас-смотрим это семейство моделей {Mn|n ∈ N} такое, что |Mn| ≥ n.

Рассмотрим фильтр Фреше F на множестве N , который опре-деляется следующим образом: F {X | X ⊆ N и N\X конечно},так как мы показали из леммы Цорна, что любой фильтр содер-жится в ультрафильтре D на N и F ⊇ D.

Рассмотрим ультрапроизведение∏

Mn/D выбранного семей-ства моделей. Из замкнутости аксиоматизируемых классов от-носительно ультрапроизведений, мы получаем, что оно лежит вэтом классе

∏Mn/D ∈ K.

Покажем теперь, что эта модель∏

Mn/D бесконечна.Допустим,

∏Mi/D конечно и содержит точно n элементов.

Рассмотрим формулу

ϕn (∃x1) . . . (∃xn)(∧i 6=j¬(xi = xj) & (∀y)

(y = x1 ∨ y = x2 ∨ . . . ∨ y = xn).

Тогда из∏

Mi/D |= ϕn следует по теореме Лося, что {i | Mi |=ϕn} ∈ D и {i | Mi |= ϕn} ⊆ {i | i ≤ n} ∈ D. Но по определениюфильтра F мы имеем, что {i | i > n} ∈ F ⊆ D. Отсюда {i | i ≤n} ∩ {i | i > n} = � ∈ D.

145

Но из определения фильтра невозможно, что � ∈ D. Получен-ное противоречие завершает доказательство.

146

ЛЕКЦИЯ 17. ЛОКАЛЬНАЯ ТЕОРЕМА МАЛЬЦЕВА

В этой лекции мы докажем одну из важных теорем теории мо-делей, которая является одним из базовых инструментов в изу-чении моделей и классов моделей.

Определение. Множество формул σ совместно, если суще-ствует модель M и означивание переменных γ для всех перемен-ных ϕ ∈ σ такое, что M |= ϕ[γ].

Теорема А. И. Мальцева о компактности . Множествоформул Σ совместно, если любое его конечное подмножество сов-местно.

Доказательство. Без ограничения общности, заменив перемен-ные на новые символы констант, мы можем считать, что локальносовместное множество формул σ состоит только из предложений,т. е. формул без свободных вхождений переменных.

Определим множество индексов I {∆ | ∆ ⊆ Σ и ∆−конечно}.Если ∆ ∈ I, то в силу локальной совместности существует

модель M∆ |= ∆. Заметим, что для выбора такой модели покаждому конечному подмножеству из σ нам требуется исполь-зовать аксиому выбора. Итак, мы получаем семейство моделей{M∆ | ∆ ∈ I} такое, что все формулы из ∆ справедливы в M∆.

Теперь построим на множестве индексов I фильтр D. Опре-делим для каждого ∆ из I множество его конечных расширений∆ � {∆′ ∈ I | ∆ ⊆ ∆′} ⊆ I. Возьмем теперь множество S всехтаких множеств расширений из I, положив S � {∆ | ∆ ∈ I}.Оно является базисом требующегося нам фильтра. Мы полагаемтеперь DS {X ⊆ I | (∃∆ ∈ I)(∆ ⊆ X)}.

Лемма. Множество DS является фильтром на множестве ин-дексов I.

Доказательство. Проверим три свойства из определенияфильтра.

1. Выполнимость первого условия определения непосредствен-но из построения нашего множества DS . Действительно I ∈ DS ,

147

так как ∆ ⊆ I, а � /∈ DS , так как в множестве ∆ всегда лежитконечное множество ∆.

2. Замкнутость относительно расширений очевидна, так какесли X ∈ DS и X ⊆ Y ⊆ I, то ∆ ⊆ X и, следовательно, ∆ ⊆ Y иY ∈ DS .

3. Замкнутость относительно пересечений следует из замкну-тости множества S относительно пересечений. Докажем это.

Пусть X,Y ∈ DS . Покажем, что X ∩ Y ∈ DS .Из определения DS мы находим множества ∆1,∆2 из I такие,

что ∆1 ⊆ X, ∆2 ⊆ Y . Отсюда ∆1 ∩ ∆2 ⊆ X ∩ Y . Но ∆1 ∪ ∆2 =∆1 ∩∆2 и, следовательно, по определению X ∩ Y ∈ DS . Леммадоказана.

По теореме о существовании ультрафильтра мы имеем неко-торый ультрафильтр D на множестве индексов I, расширяющийпостроенный фильтр DS , т. е. DS ⊆ D.

Определим теперь по нашему семейству моделей {M∆ | ∆ ∈ I}ультрапроизведение

∏∆∈I

M∆/D по выбранному ульрафильтру D.

Покажем теперь, что M ∏

∆∈IM∆/D будет искомой

моделью M.Рассмотрим произвольное предложение ϕ ∈ Σ из локально

совместного множества Σ. По теореме ЛосяM |= ϕ⇔ {∆ |M∆ |=ϕ} ∈ D.

Рассмотрим конечное множество {ϕ} = ∆0 ∈ I, по нему стро-ится ∆0 ∈ S.

Если ∆ ∈ ∆0, то M∆ |= ∆. Но в таком случае ϕ ∈ ∆, а всеформулы из ∆ истинны в M∆, тогда и M∆ |= ϕ.

По определению Ds мы заключаем, что {∆ |M∆ |= ϕ} ∈ Ds ⊆D. По теореме Лося это множество лежит в D. Теорема доказана.

Покажем, что установленные нами в конце предыдущей лек-ции свойства аксиоматизируемых классов являются не тольконеобходимыми для аксиоматизируемости, но и достаточными.

Теорема об аксиоматизируемости. Пусть K — некоторыйкласс моделей сигнатуры Σ. Класс K аксиоматизируем, если и

148

только если он замкнут относительно изоморфизма, элементар-ных подмоделей и ультрапроизведений.

Доказательство необходимости уже было проведено ранее. До-кажем достаточность. Рассмотрим элементарную теорию T Th(K) этого класса моделей. Покажем, что она как раз и аксиома-тизирует этот класс моделей. Рассмотрим произвольную модельM |= T , на которой выполнены все предложения из T . Покажем,что она лежит в заданном классе K.

Пусть D(M) — полная диаграмма выбранной модели M. Рас-смотрим произвольное конечное множество формул K = {ψ1(ca1 ,. . . , can) ψn(ca1 , . . . , can)} ⊆ D(M). Определим теперь формулуψ

∧ni=1 ψi(ca1 , . . . , can). В этом случае для K = {ψ1, . . . , ψn}

существует модель NK ∈ K такая, что

NK |= (∃x1) . . . (∃xn)ψ(x1, . . . , xn).

Такая модель найдется, так как в противном случае отрицаниеэтой формулы лежит в теории T и не может быть истинным вмодели M. Мы можем теперь определить обогащение модели NKдо модели NC

K , добавляя константы в сигнатуру и определяя ихзначения в модели NK так, что NC

K |= ψ(ca1 , . . . , can).Рассмотрим теперь в качестве множества индексов I {K ⊆

D(M)|K конечно}. Фиксируем для каждого конечного множестваK ∈ I построенную по конечному множеству модельNCK |= K.Пусть

D′ {X ⊆ I | (∃K ∈ I) K ⊆ X

}, где

K {K ′ ∈ I | K ⊆ K ′} .

Легко заметить, как и в теореме компактности, что D′ —фильтр. По теореме о существовании ультрафильтра мы можемвыбрать ультрафильтр D ⊇ D′.

Определим теперь fc(K) cNK и f : M → (∏

Mk)/D, гдеf(c) fc/D.

149

Простая проверка показывает, что f является элементарнымвложением из M в ультрапроизведение

∏Mk/D. Отсюда заклю-

чаем, что M ∈ K, и теорема доказана.Теорема о конечной аксиоматизируемости. Класс K ко-

нечно аксиоматизируем, если и только если оба класса K и егодополнение K аксиоматизируемы.

Доказательство. Необходимость очевидна. Покажем достаточ-ность. Предположим, что K и его дополнение K аксиоматизиру-емы. Пусть Φ — множество аксиом для класса K и Ψ аксиомыдополнения K. Тогда объединения этих множеств аксиом Φ ∪ Ψнесовместно. В таком случае по теореме компактности Мальцевасуществует конечное подмножество этого объединения Γ ⊆ Φ∪Ψ,которое несовместно. В таком случае Γ = (Φ∩Γ)∪(Ψ∩Γ). Нетруд-но проверить теперь, что множество Γ∩Φ является конечной си-стемой аксиом класса K. Пусть на модели M выполнены аксиомыΓ ∩ Φ. Покажем, что она лежит в классе K. Если это не так, тоона лежит в классе K и на ней выполнены все аксиомы Ψ это-го класса. Но тогда на ней выполнены все формулы из Γ, чтоневозможно в силу несовместности. Теорема доказана.

Докажем еще один важный результат о понижении мощностибесконечных моделей.

Теорема Левенгейма–Скулема.Пусть M — бесконечная модель сигнатуры Σ и непустое под-

множество X ⊆ |M| — подмножество из основного множестваданной модели. Для любого бесконечного кардинала

α ≥ max{ω, card(Σ), card(X)}

существует элементарная подмодель в модели M такая, что мощ-ность ее основного множества, меньше или равна α.

Доказательство. Для каждой формулы вида ϕ = (∃x)ψ(x, y) спеременными из счетного множества V мы добавим в сигнатуруновый функциональный символ fϕ местности, равной числу раз-личных переменных, имеющих свободные вхождения в эту фор-мулу. Таким образом, мы получим новую сигнатуру Σ1. Рассмот-

150

рим функцию выбора H из множества всех непустых подмно-жеств основного множества нашей модели в основное множествоэтой модели. Мы определим теперь интерпретацию этого функ-ционального символа в рассматриваемой модели следующим об-разом:

fϕ(y)

{H({a |M |= ψ(a, y)}), если M |= (∃x)ψ(x, y)}H(M), в противном случае.

Таким образом, мы построили обогащение M1 нашей моделиM до сигнатуры Σ1. Теперь мы поступаем так же с новой сиг-натурой и моделью и так далее ω раз. Так мы построим длякаждого натурального n-сигнатуру Σn, причем сигнатура Σn+1

расширяет сигнатуру Σn и обогащение Mn нашей модели до сиг-натуры Σn. Рассмотрим теперь сигнатуру Σ∗, равную объеди-нению всей этой последовательности сигнатур и полученную врезультате этих обогащений модель M∗ сигнатуры Σ∗. Заметим,что мощность этой сигнатуры совпадает с мощностью множествавсех формул нашей первоначальной сигнатуры c переменнымииз множества V . Рассмотрим теперь замыкание M0 множестваX относительно всех операций и константных символов сигнату-ры Σ∗. На этом множестве мы определим подмодель M0 моделиM∗. Из построения модели M∗ и подмодели M0 следует, что дляних выполнено условие Робинсона и, следовательно, подмодельM0 будет элементарной подмоделью модели M∗ в сигнатуре Σ∗.Рассмотрев теперь обеднение этих моделей до первоначальнойсигнатуры Σ, мы получаем элементарную подмодель M0 � Σ мо-дели M. Основное множество M0 имеет мощность не более чемmax{ω, card(Σ), card(X)}. Теорема доказана.

Из этой теоремы следует, что непротиворечивая теория не бо-лее чем счетной сигнатуры в каждой бесконечной мощности име-ет хотя бы одну модель, а также невозможность в языке первогопорядка однозначно определить какую-либо бесконечную модель,в частности модель арифметики. А именно в любой бесконечной

151

мощности можно найти модель, в которой в точности справед-ливы все теоремы об арифметике натуральных чисел. В тожевремя, если аксиоматика теории множеств непротиворечива, тоона выполнится на некоторой счетной модели.

152

ВВЕДЕНИЕ В КУРС МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

В представленном пособии изложены лекции по математиче-ской логике, которые читались в Новосибирском государственномуниверситете в 2006/07 учебном году. В основу лекций было по-ложено изложение основ теории множеств для построения базис-ных математических объектов, классическое исчисление выска-зываний — гильбертовское и секвенциальное — и различные ти-пы его семантики, базисные теоретико-модельные конструкции,исчисления предикатов гильбертовского и секвенциального типаи их полная семантика на основе теоретико-модельного подхо-да. В рамках аксиоматических классов излагается аксиоматиче-ский подход Цермело–Френкеля в теории множеств и Пеановскаяарифметика на основе исчисления предикатов. Базируясь на под-ходах к вычислимости через определимость и клиниевскую тео-рию рекурсивных функций, излагается теорема Геделя о непол-ноте арифметики и теорема Черча о неразрешимости Исчисленияпредикатов.

1. Курс «Математическая логика» реализуется по направле-ниям: Математика, Прикладная математика и информатика врамках федеральной и региональной компоненты и Механика врамках региональной компоненты.

2. Цели и задачи курса.Целью курса является овладение основными методами форма-

лизации понятия доказательства, истинности, алгоритма и фор-мальных языков логики первого порядка и ее семантики.

Задачами курса являются:1) построение современной теории аксиоматической теории

множеств и формальной арифметики Пеано;2) определение формальных логических исчислений для логи-

ки высказываний и предикатной логики;3) установление связей между доказуемостью и истинностью

для классических логических исчислений, доказательство основ-ной теоремы о полноте исчислений;

153

4) построение точного математического понятия разрешимо-сти и алгоритма, построение теории вычислимых и вычислимоперечислимых отношений, анализ различных подходов к поня-тию алгоритма, теорема о неполноте непротиворечивых эффек-тивно аксиоматизируемых расширений арифметики Пеано.

3. Требования к уровню освоения содержания курса матема-тической логики.

Иметь представления о возможности погружения математиче-ских теорий в аксиоматическую теорию множеств, проблемах по-строения логических исчислений и их семантики, основных про-блемах современной математической логики и оснований матема-тики, основных свойствах моделей и описаниях на языке первогопорядка, выразимости логики первого порядка и многоосновныхлогик, методах доказательства непротиворечивости аксиоматиче-ских теорий и проблемах полноты и независимости аксиом, раз-личных разрешимых и неразрешимых проблемах и способах ихсравнениях.

Знать Классическое исчисление предикатов гильбертовскогои секвенциального типа, теорему об их взаимосвязи, основаннуюна теореме о дедукции, семантику Исчисления высказываний,истинностную и теоретико-множественную, семантику предикат-ных исчислений на основе теории моделей (алгебраических си-стем) и истинности по Тарскому и теоремы полноты для них.Знать общее математическое понятие доказательства и алгорит-ма, доказательство теоремы Геделя о неполноте и локальную тео-рему Мальцева.

Уметь строить формальные теории для различных математи-ческих объектов, уметь пользоваться теоремой полноты для ана-лиза свойств аксиоматизируемых классов, уметь строить моделис различными свойствами, а также уметь находить взаимосвя-зи между теоретико-модельными и синтаксическими свойствамиклассов. Уметь строить алгоритмы для проверки выполнимостисвойств как на конкретных моделях, так и в аксиоматизируемыхклассах, уметь анализировать основные проблемы для аксиома-

154

тизируемых классах, уметь пользоваться современными резуль-татами математической логики в приложениях к алгебре, анали-зу, теории вероятностей, теории вычислимости и теоретическогопрограммирования. Уметь находить пределы применимости ал-горитмических методов к анализу различных проблем в програм-мировании.

4. Формы контроля: 2 экзамена и 2 зачета, контрольные ра-боты. Предусмотрено использование компьютерных тренажеровпо отдельным темам и компьютерного тестирования для выпол-нения самостоятельной подготовки.

5. Содержание дисциплины.Курс носит оригинальный характер. В основу курса положен

учебник наших профессоров Ю. Л. Ершова и Е. А. Палютина«Математическая логика», который доработан в связи с новы-ми направлениями исследований и приложений математическойлогики, в первую очередь с задачами современного программиро-вания и моделирования, а также приложений к моделированиюсложных процессов, сочетающих как непрерывные, так и дис-кретные компоненты.

ПРОГРАММА КУРСА «МАТЕМАТИЧЕСКАЯЛОГИКА»

2-й и 3-й семестры

Элементы теории множеств

1. Основные понятия теории множеств. Операции над множе-ствами.

2. Упорядоченные пары, декартово (прямое) произведение мно-жеств.

3. Отношения и функции над множествами, образы, прообра-зы и композиция, аксиома выбора и бесконечные прямые произ-ведения множеств.

155

4. Отношения эквивалентности, предпорядка, порядка, линей-ного порядка и фактор-множества. Лемма Цорна (без доказа-тельства).

5. Вполне упорядоченные множества, ординалы и кардиналы,трансфинитная индукция, натуральные числа и ординалы в тео-рии множеств, аксиома существования бесконечного множестваи построение множества натуральных чисел. Теорема о сравни-мости ординалов. Теорема о сравнимости вполне упорядоченныхмножеств. Теорема Цермело (без доказательства).

6. Теоремы Кантора и Кантора–Бернштейна. Операции на кар-диналах и ординалах. Теорема о мощности квадрата (из теоремыЦермело).

Исчисление высказываний

1. Высказывания и их истинностная и теоретико-множествен-ная семантика и теорема о следовании в истинностной семантикеиз следования в теоретико-множественной.

2. Секвенциальное исчисление высказываний. Линейный и дре-вовидный выводы и их эквивалентность. Теорема о построениивывода для квазивывода. Теорема о двузначности секвенциаль-ного исчисления высказываний. Основные эквивалентности, нор-мальные формы. Доказательство теоретико-множественного сле-дования из теоретико-множественного.

3. Гильбертовское исчисление высказываний. Теорема дедук-ции. Теорема о доказуемости из секвенциального следования вгильбертовском исчислении. Доказательство тождественной ис-тинности в теоретико-множественной семантике формул, доказу-емых в гильбертовском исчислении высказываний.

4. Теорема об эквивалентности исчислений и семантик. Теоре-ма о существовании конъюнктивной и дизъюнктивной нормаль-ных форм в секвенциальном исчислении высказываний.

5. Теорема о характеризации доказуемых формул в секвенци-альном исчислении высказываний и Теорема Геделя о полноте.

156

Теория моделей

1. Предикаты, сигнатуры, модели (алгебраические системы).2. Синтаксис языка исчисления предикатов (термы, формулы,

свободные и связанные вхождения переменных).3. Семантика языка исчисления предикатов (истинность фор-

мул на модели и значение термов).4. Гомоморфизмы, изоморфизмы; подмодели, связь теоретико-

модельных свойств с универсальными, экзистенциальными и по-зитивными формулами.

5. Элементарные расширения и подсистемы; элементарные вло-жения; объединение элементарных цепей.

6. Фильтры, главные и неглавные, максимальные и ультра-фильтры. Фильтрованные произведения и теорема Лося.

7. Теорема компактности Мальцева. Метод диаграмм и теоре-ма Мальцева о расширении.

Исчисление предикатов

1. Предикатное исчисление в секвенциальной и гильбертов-ской формах.

2. Теорема о подстановке. Основные эквивалентности.3. Теорема дедукции для гильбертовского исчисления. Теоре-

ма об эквивалентности секвенциального и гильбертовского исчис-лений.

4. Пренексная и Предваренная нормальные формы. Теорема оприведении к нормальной форме.

5. Непротиворечивые множества формул и их свойства.7. Теорема о существовании расширений Хенкина.8. Каноническая модель теории Хенкина.9. Теорема о существовании модели.10. Теорема Геделя о полноте классического исчисления пре-

дикатов.

157

Аксиоматическая система теории множествЦермело–Френкеля

1. Аксиоматика Цермело–Френкеля ZF.2. Теорема об эквивалентности аксиомы выбора, леммы Цорна

и теоремы Цермело и теоремы о мощности квадрата.

Аксиоматическая теория Пеано

1. Аксиоматика Пеано и ее свойства.2. Стандартные и нестандартные модели арифметики Пеано.3. Концевые расширения. Формулы с ограниченными кванто-

рами и Сигма-формулы.

Теория вычислимости и теорема Геделя о неполноте

1. Примитивно рекурсивные и частично рекурсивные и вычис-лимые функции. Операторы суммирования, произведения, огра-ниченной минимизации. Составное определение. Теорема оΣ-представимости в стандартной модели арифметики.

2. Теорема о представимости в аксиоматике Пеано.3. Геделевская нумерация термов и формул и ее свойства.4. Примитивная рекурсивность и возвратная рекурсия. Опе-

раторы суммирования, произведения, ограниченной минимиза-ции. Примитивная рекурсивность основных операций и отноше-ний над термами и формулами: множества формул, множестватермов, операции подстановки, множества аксиом гильбертовско-го исчисления предикатов, правил вывода, доказательств.

5. Вычислимо перечислимые множества и их свойства. Пере-числимость вычислимо аксиоматизируемых теорий и вычисли-мая аксиоматизируемость вычислимо перечислимо аксиоматизи-руемых теорий. Теорема об универсальной функции и нормаль-ной форме Клини. Вычислимая перечислимость доказуемых фор-мул.

158

6. Теорема о неразрешимости непротиворечивых расширенийаксиоматики Пеано.

7. Теорема Геделя о неполноте. Теорема Черча о неразреши-мости исчисления предикатов.

Семинары

II семестр первого курса

1. Теоретико-множественные отношения на множествах.2. Частично упорядоченные множества и отношения эквива-

лентности.3–4. Вполне упорядоченные множества, ординалы и мощности

множеств.5. Теоретико-множественная семантика высказываний и таб-

лица истинности.6. Исчисление высказываний секвенциальное. Нормальная фор-

ма.7–8. Исчисление высказываний гильбертовского типа. Незави-

симость аксиом.9. Контрольная работа.10. Модели, гомоморфизмы, подмодели, произведения моде-

лей.11. Язык исчисления предикатов и его семантика.12. Формульные множества и аксиоматизируемые классы. Эле-

ментарные подмодели.13. Квазитождества и тождества. Свободные системы, конгру-

энтности и фактор-системы.14 Теорема компактности Мальцева и ее применения.15. Арифметика Пеано и ее модели.16. Контрольная работа.

III семестр второго курса

1. Гильбертовское исчисление предикатов.

159

2. Истинность доказуемых формул.3–4. Секвенциальное исчисление предикатов.5. Приведение к пренексной и приведенной нормальной форме.6. Устойчивость A-формул относительно подмоделей, E-фор-

мул относительно расширений и позитивных формул относитель-но гомоморфизмов. Аксоматика Пеано и типы индукции в ариф-метике.

7. Аксиоматическая теория множеств. Ординалы и их свой-ства.

8. Контрольная работа.9–10. Примитивно рекурсивные и частично рекурсивные функ-

ции.11–12. Арифметика Пеано ее модели и Σ-формулы. Предста-

вимость рекурсивных функций в стандартной модели и теорииарифметики Пеано.

13. Геделевская нумерация термов и формул.14–15. Неразрешимые проблемы. Теоремы неполноты расши-

рений арифметики и разрешимости и неразрешимости теорий.16. Контрольная работа.

Учебно-методическое обеспечение дисциплины

Перечень типичных вопросов и билетов на экзамен в первомсеместре.

Билет N 1

1. Основные понятия теории множеств. Лемма Цорна. Аксио-ма выбора. Теорема Цермело.

2. Теорема дедукции.

160

Билет N 2

1. Операции над множествами.2. Теорема Геделя о полноте ИС. Характеризация доказуемых

формул.

Билет N 3

1. Упорядоченные пары. Декартово (прямое) произведение мно-жеств.

2. Элиминация импликации.

Билет N 4

1. Отношения и функции над множествами, образы, прообра-зы и композиция.

2. Секвенциальное исчисление высказываний.

Билет N 5

1. Отношения эквивалентности, предпорядка, порядка, линей-ного порядка и фактор-множества.

2. Характеризация доказуемых формул.

Билет N 6

1. Вполне упорядоченные множества (эквивалентные опреде-ления).

2. Элиминация отрицания.

Билет N 7

1. Сравнение вполне упорядоченных множеств.2. Высказывания и их истинностная и теоретико-множественная

семантика.

161

Билет N 8

1. Ординалы и кардиналы.2. Гильбертовское исчисление. Теорема о дедукции.

Билет N 9

1. Теорема Кантора.2. Нормальные формы.

Билет N 10

1. Теорема Кантора–Бернштейна.2. Синтаксис языка исчисления предикатов (термы, формулы,

свободные и связанные вхождения переменных).

Билет N 11

1. Высказывания и их истинностная и теоретико-множественнаясемантика.

2. Теорема Кантора–Бернштейна.

Билет N 12

1. Секвенциальное исчисление высказываний.2. Теорема Лося.

Билет N 13

1. Основные эквивалентности.2. Теорема Кантора–Бернштейна.

Билет N 14

1. Нормальные формы.2. Теорема о сравнении вполне упорядоченных множеств.

162

Билет N 15

1. Гильбертовское исчисление. Истиностная семантика.2. Теорема компактности.

Билет N 16

1. Теорема дедукции.2. Вполне упорядоченные множества.

Билет N 17

1. Теорема Геделя о полноте ИС. Характеризация доказуемыхформул.

2. Модели и подмодели.

Билет N 18

1. Элиминация импликации.2. Теорема Кантора.

Билет N 19

1. Элиминация отрицания.2. Теорема Кантора.

Билет N 20

1. Предикаты, сигнатуры, модели (алгебраические системы).Семантика языка исчисления предикатов (истинность формул намодели и значение термов).

2. Теорема о двузначности ИС (` P ∨ ¬P ).

163

Билет N 21

1. Синтаксис языка исчисления предикатов (термы, формулы,свободные и связанные вхождения переменных).

2. Теорема Кантора–Бернштейна.

Билет N 22

1. Гомоморфизмы, изоморфизмы; подмодели, связь с универ-сальными и экзистенциальными формулами; позитивные форму-лы.

2. Теорема о вполне упорядоченных множествах.

Билет N 23

1. Элементарные расширения и подсистемы; элементарные вло-жения. Объединение элементарных цепей.

2. Фильтры и ультрафильтры.

Билет N 24

1. Фильтрованные произведения. Теорема Лося.2. Гильбертовское исчисление.

Билет N 25

1. Теорема Лося.2. Характеризация доказуемых формул.

Билет N 26

1. Теорема компактности Мальцева.2. Теорема Кантора.

164

Билет N 27

1. Теорема Мальцева о расширении. Полные диаграммы моде-лей.

2. Теорема о существовании ультрафильтров.

Билет N 28

1. Теорема Робинсона о элементарных расширениях.2. Связь истинностной и теоретико-множественной семантики.

Билет N 29

1. Связь теоретико-множественной семантики и исчисления се-квенций.

2. Теорема компактности.

Билет N 30

1. Связь исчислений секвенций и гильбертовского исчисления.2. Теорема Лося.

Билет N 31

1. Фильтры, ультрафильтры и максимальные фильтры.2. Нормальные формы.

Билет N 32

1. Теорема о существовании ультрафильтров.2. Основные эквивалентности ИС.

Билет N 33

1. Основные эквивалентности ИС.2. Фильтры и ультрафильтры.

165

Билет N 34

1. Основные эквивалентности ИС.2. Вполне упорядоченные множества и ординалы.

Билет N 35

1. Фильтры, главные и неглавные, максимальные и ультра-фильтры.

2. Основные эквивалентности ИС.

Типичные вопросы и билеты на экзамен за второй семестркурса.

Билет N 1

1. Аксиоматическая теория Пеано арифметики. Стандартныеи нестандартные модели. Σ-формулы и их свойства. Концевыерасширения.

2. Доказать недоказуемость формулы(∀x)(∃y)P (x, y)→ (∃y)(∀x)P (x, y).

Билет N 2

1. Аксиоматическая теория множеств Цермело–Френкеля. Вполнеупорядоченные множества, ординалы и кардиналы.

2. Конечно аксиоматизируемые классы. Будет ли класс беско-нечных групп конечно аксиоматизируемым?

Билет N 3

1. Эквивалентность аксиомы выбора, леммы Цорна и теоремыЦермело

(АВ ⇒ ЛЦ).2. Написать формулу, опредедяющую упорядоченные пары и

декартовы произведения множеств.

166

Билет N 4

1. Эквивалентность аксиомы выбора, леммы Цорна и теоремыЦермело

(ЛЦ ⇒ ТЦ).2. Доказать примитивную рекурсивность функции, перечис-

ляющей простые числа (n→ pn).

Билет N 5

1. Эквивалентность аксиомы выбора, леммы Цорна и теоремыЦермело (ТЦ ⇒ α = α2 для α – бесконечного).

2. Свойства Σ-формул относительно концевых расширений.

Билет N 6

1. Геделевская нумерация термов и формул конечной сигнату-ры. Функция Sb.

2. Исчисление предикатов геделевского типа.

Билет N 7

1. Аксиоматизируемые классы.2. Примитивная рекурсивность функций: rest, [x�2], |x−y|, pn,

ex(x, y).

Билет N 8

1. Тождественная истинность аксиом исчисления предикатов.2. Построить формулу для определения функций c, l, r , нуме-

рующих пары натуральных чисел.

167

Билет N 9

1. Σ-представимость рекурсивных функций в арифметике Пе-ано.

2. Теорема о замене.

Билет N 10

1. Основные эквивалентности исчисления предикатов.2. Теорема о мощности квадрата.

Билет N 11

1. Эквивалентность гильбертовского и секвенциального исчис-лений.

2. Доказать, что из аксиом Цермело–Френкеля следует суще-ствование декартовых произведений множеств.

Билет N 12

1. Эквивалентность аксиомы выбора, леммы Цорна и теоремыЦермело (из ТЦ доказать АВ).

2. Доказать примитивную рекурсивность функций Sb, Nm.

Билет N 13

1. Эквивалентность аксиомы выбора, леммы Цорна и теоремыЦермело (из АВ доказать ЛЦ).

2. Стандартные и нестандартные модели арифметики Пеано.

Билет N 14

1. Теорема о существовании наименьшего бесконечного орди-нала ω.

2. Теорема о неразрешимости непротиворечивых расширенийаксиом Пеано.

168

Билет N 15

1. Перечислимость следствий рекурсивно аксоматизируемыхтеорий.

2. Существование декартовых произведений в аксиоматиче-ской теории множеств.

Билет N 16

1. Перечислимость теорем исчисления предикатов.2. Пренексная нормальная форма.

Билет N 17

1. Примитивно рекурсивные и частично рекурсивные функ-ции. Их свойства.

2. Концевые расширения, ограниченные модели и теорема орефлексии для Σ-формул.

Билет N 18

1. Теорема о существовании стандартных подмоделей в моде-лях пеановской арифметики.

2. Теорема о представимости рекурсивных функций в стан-дартной модели арифметики Пеано.

Билет N 19

1. Неразрешимость расширений аксиом Пеано.2. Исчисление секвенций. Основные эквивалентности.

169

Билет N 20

1. Теорема Геделя о неполноте.2. Теорема о дедукции.

Билет N 21

1. Теорема Черча о неразрешимости исчисления предикатов.2. Теорема Цермело (из Леммы Цорна).

Билет N 22

1. Секвенциальное исчисление предикатов.2. Функция Геделя и ее свойства.

Билет N 23

1. Гильбертовское исчисление предикатов.2. Каноническая модель теории Хенкина.

Билет N 24

1. Истинность доказуемых формул.2. Возвратная рекурсия. Примитивная рекурсивность множеств

геделевских номеров формул, термов и Σ-формул.

170

Билет N 25

1. Теорема Геделя о полноте.2. Свойства рекурсивных, примитивно рекурсивных и рекур-

сивно перечислимых множеств. Существование перечислимого,но не рекурсивного множества.

Билет N 26

1. Теорема о существовании расширения Хенкина.2. Определимость рекурсивных функций в арифметике Пеано

Σ-формулами.

Билет N 27

1. Свойства отношения равенства в исчислении предикатов.2. Ординалы и вполне упорядоченные множества.

Билет N 28

1. Аксиоматическая теория множеств Цермело–Френкеля и про-стейшие свойства. Существование упорядоченных пар, декарто-вых произведений.

2. Непротиворечивые множества формул и их свойства.

Билет N 29

1. Теорема о существовании канонической модели для теорииХенкина.

2. Разрешимость полных рекурсивно аксиоматизируемых тео-рий.

171

Билет N 30

1. Аксиоматическая теория множеств ZF и ZFC.2. Теорема об универсальной вычислимой функции.

Билет N 31

1. Примитивно-рекурсивные и частично рекурсивные функ-ции.

2. Ординалы и кардиналы. Операции над ними. Теорема омощности квадрата.

Билет N 32

1. Арифметика Пеано, ее модели и Σ-формулы.2. Пренексная нормальная форма.

Билет N 33

1. Представимость рекурсивных функций в моделях арифме-тики Пеано.

2. Теорема о подстановке в доказуемые секвенции и формулыИВ формул ИП вместо пропозициональных переменных.

Билет N 34

1. Геделевская нумерация термов и формул. Отношение Pr(n,m).2. Лемма Цорна (из аксиомы выбора).

172

Билет N 35

1. Неразрешимые проблемы. Теорема Черча.2. Теоремы неполноты расширений арифметики.

Билет N 36

1. Теорема Робинсона об элементарности подмодели.2. Ограниченные кванторы на рекурсивных и примитивно ре-

курсивных отношениях.

Билет N 37

1. Теорема Левенгейма–Скулема.2. Теорема Геделя о полноте ИП.

Билет N 38

1. Теорема об эквивалентности СИП и ГИП.2. Теорема о свойствах Σ-вычислимых функций.

Билет N 39

1. Теорема о дедукции.2. Теорема Геделя о неполноте арифметики.

Билет N 40

1. Теорема о существовании модели. Теорема Геделя о полнотеИП.

2. Метод диаграмм и свойства диаграмм моделей.

173

Билет N 41

1. Теорема Геделя о полноте ИП.2. Теорема Геделя о неполноте арифметики Пеано.

Основная литература по курсу «Математическая ло-гика»

1. Ершов Ю. Л., Палютин Е. А. Математическая логика. М.:Наука, 1979.

2. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. М.: На-ука, 1971.

3. ЕршовЮ. Л. Определимость и разрешимость. Новосибирск:НИИ МИОО НГУ, Научная книга, 1996.

4. Максимова Л. Л., Лавров И. А. Задачи по теории мно-жеств математической логики и теории алгоритмов. М.: Физмат-лит, 2001.

Дополнительная литература по курсу «Математиче-ская логика»

1. Справочная книга по математической логике / Под ред.Дж. Барвайса. М.: Наука, 1982. Т. 1–4.

2. Кейслер Г., Чен Ч. Ч. Теория моделей. М.: Мир, 1977.3. Гончаров С. С., Ершов Ю. Л. Конструктивные модели. Но-

восибирск: Научная книга, 1999.4. Гончаров С. С. Счетные булевы алгебры и разрешимость.

Новосибирск: Научная книга, 1996.5. Роджерс Х. Теория рекурсивных функций и вычислимость.

М.: Мир, 1972.6. Соар Р. Вычислимо перечислимые множества и степени. Ка-

зань: Казанское мат. общ-во, 2000.7. Ершов Ю. Л. Проблемы разрешимости и конструктивные

модели. М.: Наука, 1980.

174

8. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир,1970.

9. Мальцев А. И. Алгоритмы и рекурсивные функции. М.: На-ука, 1986.

10. Шенфилд Дж. Математическая логика. М.: Наука, 1975.11. Робинсон А. Введение в теорию моделей и метаматематику

алгебры. М.: Наука, 1967.12. Черч А. Введение в математическую логику. М.: Изд-во

иностр. лит., 1960.13. Новиков П. С. Элементы математической логики. М.: На-

ука, 1973.14. Клини С. Математическая логика. М.: Мир, 1973.15. Клини С. Введение в метаматематику. М.: Изд-во иностр.

лит., 1957.16. Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир,

1994.17. Катленд Н. Вычислимость. Введение в теорию рекурсив-

ных функций. М.: Мир, 1983.18. Handbook of Recursive mathematics, Studies in logic and the

foundation of mathematics, v. 1–2, Edited by Yu. Ershov, S. Goncha-rov, A. Nerode, J. Remmel, ass.editor V. Marek, Elsever. Amsterdam;Lausanne; N. Y.; Oxford; Shanon; Singapore; Tokio, 1998.

175