1

第 5 章 频域分析法

5.1 频率特性及其表示法5.2 典型环节的频率特性5.3 系统开环频率特性的绘制 5.4 用频率特性分析控制系统的稳定性5.5 系统瞬态特性和开环频率特性的关系5.6 闭环系统频率特性5.7 系统瞬态特性和闭环频率特性的关系

2

5.4 用频率特性分析系统稳定性1 控制系统的稳定判据 2 应用幅相频率特性判断系统稳定性 3 应用对数频率特性判断系统稳定性 4 奈氏稳定判据应用举例 5 频率域中描述系统的稳定裕量

3

1 控制系统的稳定判据

闭环系统稳定条件 特征方程式的根必须都在复数平面的左半平面。

一阶系统 特征方程式 : 特征根 : 令 则矢量

( ) 0D s s p

s p

s j( )D j j p

4

1 控制系统的稳定判据 特征根是一个负实根 当 由 0 增加到∞时

特征根是一个正实根 图 5.31 一个负实根 当 由 0 增加到∞时

结论：一阶系统是稳定的，则 由 0→∞ 时， 矢量 将逆时针方向旋转 π/2 。 图 5.32 一个正实根

0

Im

Re

( )D j j p

p

1j

1j[ ( )]

2Arg D j

[ ( )]2

Arg D j

0

Im

Re

1j ( )D j j p

p ( )D j

5

1 控制系统的稳定判据 二阶系统 特征方程式 :

特征根 : 矢量

0))((2)( 21222 pspsssbasssD nn

21,2 (1 )n np j

1 2

2 2

1 2

( ) ( )( ) |

[ ( 1 )][ ( 1 )]

( ) ( )

s j

n n n n

D j s p s p

j j j j

D j D j

6

1 控制系统的稳定判据 特征根在左半平面 当 由 0 增加到∞时 ，

特征根在右半平面 图 5.33 共轭复数根在左半平面 当 由 0 增加到∞时

图 5.33 共轭复数根在由半平面

0

Im

Re

j

01( )D j

02 ( )D j

1 02

02 2

0

Im

Re

j

0

0

1( )D j

2 ( )D j

[ ( )] 22

Arg D j

[ ( )] 22

Arg D j

7

1 控制系统的稳定判据 阶系统 特征方程式 :

矢量 (1) 如果 个根都在复平面的左半平面 当 由 0 增加到∞时，

n0......)( 1

11

n

nn asasassD n

1 2( ) ( )( ) ( )nD j j p j p j p

n

[ ( )]2

Arg D j n

8

1 控制系统的稳定判据 (2) 如果一个根在右半平面， 个根在左半平面 当 由 0 增加到∞时，

系统稳定的条件转化为：当 由 0→∞ 时，如果矢量 的相角变化量为

那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。 当 由 变到 时，如果矢量 的相角变化量为

那么系统是稳定的；否则，系统是不稳定的。

( 1)n

[ ( )] ( 1) ( 2)2 2 2

Arg D j n n

( )D j

[ ( )]2

Arg D j n

+ ( )D j

[ ( )]Arg D j n

9

2 应用幅相特性判断系统稳定性 闭环系统如图示开环传递函数

图 5.35 闭环系统

闭环传递函数

闭环系统的特征多项式

1( )G s

( )H s

( )R s ( )C s

1( ) ( ) ( )G s G s H s

1 1 2

1

( ) ( )

( ) ( )H

H

K N s K N s

D s D s

)(

)(

sD

sKN

)(

)(

)()(

)()(

)()(1

)()( 11

1

1

sD

sN

sKNsD

sDsNK

sHsG

sGs

B

BH

)()()( sKNsDsDB

10

2 应用幅相特性判断系统稳定性 辅助函数

辅助函数 有如下特征：1 ）其零点为闭环传递函数的极点；2 ）其极点为开环传递函数的极点；3 ）其零点和极点的个数是相同的；4 ） 和开环传递函数 只差常数 1 。控制系统稳定的充要条件变为： 辅助函数 的全部零点必须都在复平面的左侧。

)(1)(

)(1

)(

)()( sG

sD

sKN

sD

sDsF B

( )( ) 1 ( )

( )BD j

F j G jD j

( )F s

( )F s ( )G s

( )F s

11

2 应用幅相特性判断系统稳定性 分 3 种情况讨论 (1) 开环系统是稳定的情况 如果开环系统是稳定的，那么它的特征方程式 的 个根应都在 S 左半平面，而当 由 到 时，矢量的相角变化量为

如果系统闭环也是稳定的，那么闭环特征方程式 的 个根也应都在 S 左半平面。当 由 到 时，矢量的相角变化量为

矢量 的相角变化为

( ) 0D s

n + ( )D j

[ ( )]Arg D j n

( ) 0BD s

n

[ ( )]BArg D j n

+ ( )BD j

( )F j

[ ( )] [1 ( )] [ ( )] [ ( )] 0BArg F j Arg G j Arg D j Arg D j n n

12

2 应用幅相特性判断系统稳定性

图 5.36 的相角变化 (a) 系统稳定 (b) 系统不稳定

奈奎斯特（ Nyquist ） 稳定判据 ( 奈氏稳定判据 ) 当 由 到 时，矢量 的相角变化量为 0 ，则开环稳定的系统，闭环后也是稳的。

+ ( ) 1 ( )F j G j

0

Im

Re1

0

(a)

0

Im

Re1

0

(b)

13

2 应用幅相特性判断系统稳定性 因为

和 两个矢量之间只相差常数 1 ，如果把 平面坐标原点右移 1 个单位，那么这同一曲线却表示开环频率特性 的矢量轨迹。

图 5.37 和 曲线

( ) 1 ( )F j G j

( )F j ( )G j

( )F j

( )G j

0

Im

Re

0

ImF平面 G平面

( )G j

( ) 1 ( )F j G j

( 1, 0)j

1

( )G j( )F j

14

2 应用幅相特性判断系统稳定性

推论 1 ：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判据 如果开环系统是稳定的，那么闭环系统稳定的条

件： 当 由 变到 时，开环频率特性在复数平面的轨迹 不包围 这一点。

+( )G j ( 1, 0)j

15

2 应用幅相特性判断系统稳定性 (2) 开环系统是不稳定的情况 如果开环系统是不稳定的，那么它的特征方程式有 个根在 S 右半平面， 个根在 S 左半平面，则开环系统是不稳定的。当 由 变到 时，矢量 的相角变化量为

若闭环系统的特征方程式的 个根中，有 个根在 S 右半平面， 个根在 S 左半平面，则 由 变到 时，矢量 的相角变化量为

+

( )D j

n

+

Pn P（ ）

[ ( )]Arg D j P (n-P) （ ） n -P(2 )

Z

( )n Z

( )BD j

[ ( )] ( ) ( ) (2 )BArg D j n Z Z n Z

16

2 应用幅相特性判断系统稳定性 矢量

的相角变化量为

式中 代表矢量 的相角变化圈数。 即：矢量 的轨迹在 平面逆时针围绕坐标原点转 圈；或用 的轨迹说明，开环频率特性 的轨迹在 平面逆时针围绕 这一点转 圈。

( )( ) 1 ( )

( )BD j

F j G jD j

[ ( )] [ ( )] [ ( )] ( )2 2BArg F j Arg D j Arg D j P Z N

N ( )F j

( )F j ( )F jN ( )G j ( )G j

( )G j ( 1, 0)j N P Z

17

2 应用幅相特性判断系统稳定性 推论 2 ：用开环频率特性判断闭环系统稳定性判

据 如果开环系统是不稳定的，开环特征方程式有 个根在S 右半平面上，则闭环系统稳定的充要条件是： 由 变到 时，开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围绕 点转 圈。否则闭环系统是不稳定的。

实际应用判据 若开环传递函数在 S 右半平面上有 个极点，则当 由 0变到 +∞ ，如果开环幅相频率特性 的轨迹在复平面上逆时针围绕 点转 圈，则闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。

+ ( )G j

( 1, 0)j

P

N P

P ( )G j

( 1, 0)j / 2P

18

2 应用幅相特性判断系统稳定性 例 5.4 一个闭环系统如图示，其开环传递函数为

这是一个不稳定的惯性环节，开环特征方程式在右半平面有一个根 。闭环传递函数为

由于 ，闭环特征方程式的根在S 左半平面，所以闭环是稳定的。 开环频率特性如图，当 由 图 5.38 例 5.4 的稳定判定 变到 时， 矢量逆时针围绕 点转一圈。 即 ，故由奈氏稳定判据知闭环系统是稳定的。

+ ( )G j ( 1, 0)j

( ) , 11

KG s K

Ts

( )R s ( )C s

1

K

Ts

(a)

0

Im

Re0

(b)

1

1K

1P

1)(

KTs

Ks

1K

N P

19

2 应用幅相特性判断系统稳定性 (3) 开环系统有积分环节的情况 系统中有串联积分环节（即在坐标原点上有极点）例如开环系统传递函数为

其频率特性

开环频率特性在 处轨迹不连续，可作如下处理：

令 ，当 由 变到 时， 角变化为 图 5.39 坐标原点有极点的处理

1 2

( )( 1)( 1)

KG s

s T s T s

)1)(1()(

21

jTjTj

KjG

0

js e

0

Im

Re

0j

0j

0 0

2 2

20

2 应用幅相特性判断系统稳定性 所以在 由 时，幅相频率特性以∞为半径，相角由 0 度旋转到 ，如图 5.40(a) 所示。

如果在原点处有重根 为重根数目。

在 由 时，幅相特性以∞为半径，转过 ，得到了连续变化的轨迹，如图 5.40 虚线所示。 图 5.40 有积分环节的幅相频率特性

(a) 有一个积分环节

00

2

Im

Re00

(a)

0

1

2

( )N

KG s

s

N

( ) jNN

KG s e

00

2N N

21

2 应用幅相特性判断系统稳定性 用奈氏稳定判据很容易判断出图 5.40(a) 、 (b) 、 (c)中的轨迹都不包围 点，所以闭环系统是稳定的。

图 5.40 有积分环节的幅相频率特性

(b) 有二个积分环节 (c) 有三个积分环节

(b)

00

Im

ReR=∞0 1

22

(c)

00

Im

Re

0

1

32

( 1, 0)j

22

3 应用对数频率特性判断系统稳定性 在波德图上应用奈氏稳定判据 考察一个系统的幅相频率特性及其对应的对数频率特性正穿越： 在区间 由上向下穿越负实轴，以 表示。负穿越： 在区间 由下向上穿越负实轴，以 表示。

图 5.41 用对数频率特性判断系统稳定性 (a) 幅相频率特性 (b) 对应的对数频率特性

001

( )

(a)

Im

Re( )( )

( )L

( )

0°

-180° ( ) ( )( )

c

(b)

( )G j ( , 1) ( )

( )G j ( , 1) ( )

23

3 应用对数频率特性判断系统稳定性 注意： 如果 逆时针方向包围 点，则一定存在正穿越，即在负实轴区间 由上部向下部穿越负实轴。 如果 顺时针方向包围 点，则一定存在负穿越，即在负实轴区间 由下部向上部穿越负实轴。

奈氏稳定判据用正负穿越表述如下： 如果系统开环传递函数的极点全部位于 S 左半平面，当 由 0 变到 +∞ 时， 在复平面上正穿越与负穿越次数之差等于零，则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在 S 右半平面，当 由 0变到 +∞ 时， 在复平面上正穿越和负穿越之差为 ，则闭环系统是稳定的，否则闭环系统是不稳定的。

( )G j ( 1, 0)j

( , 1) ( )G j ( 1, 0)j

( , 1)

( )G j

P ( )G j / 2P

24

幅相频率特性与对数频率特性之间存在如下对应关系 平面( )G j 平面/( )L

| ( ) | 1G j 单位圆 ( )L =０分贝线

( , 1) 区段 ( ) 0L 分贝频段/ ( )

( ) 平面

线

( )L

( )

0°

-180°

(b)对应的对数频率特性

( ) ( )( )

c

001

( )

Im

Re( )( )

(a)幅频特性

3 应用对数频率特性判断系统稳定性

25

3 应用对数频率特性判断系统稳定性 奈氏稳定判据用于对数频率特性 如果系统开环传递函数的极点全部在 S 左半平面，即 ，则在 dB 的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为 0 时，闭环系统是稳定的；

否则闭环系统是不稳定的。 如果系统开环传递函数有 个极点在 S 右半平面，则在 dB 的所有频段内，对数相频特性与 线正穿越与负穿越次数之差为 时，闭环系统是稳定的；否则闭环系统是不稳定的。

/ 2P

0P ( ) 0L

P( ) 0L

26

4 奈氏稳定判据应用举例 例 5.5 系统开环传递函数为

其极点全部位于 S 左半平面， 。（ 1 ）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环幅相频率特性如图 5.42 （ a ）。 由于 不包围 点，所以不论 值多大，闭环系统均是稳定的。

图 5.42 例 5.5 的稳定判定

0,)1)(1(

)(21

KsTsT

KsG

0P

( )G j ( 1, 0)j

K 0

Im

Re

0 0 K

(a)

27

4 奈氏稳定判据应用举例 （ 2 ）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图 5.42 （ b ）。 由于在 dB 的频段内，二阶系统对数相频特性不会穿越 线，即对数相频特性与 线正穿越和负穿越次数之差总为 0 ，所以不论 值多大，闭环系统均是稳定的。

图 5.42 例 5.5 的稳定判定

K

( ) 0L

90°

( )

180°

0°

( )L

1

2_

=1/T22

c1 =1/T1

_

_

(b)

_

28

4 奈氏稳定判据应用举例 例 5.6 系统开环传递函数为

没有极点位于位于 S 右半平面， 。（ 1 ）应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 将开环幅相频率特性写成代数形式其中

在 时，

在 时， 。

0P

0,)1)(1(

)(21

KsTsTs

KsG

( ) ( ) ( )G j R jI

21 2 1 2

2 2 2 4 2 2 2 2 2 4 2 21 2 1 2 1 2 1 2

( ) (1 )( ) , ( )

1 ( ) [1 ( ) ]

K T T K TTR I

T T T T T T T T

0 1 2(0) ( ) , ( )R K T T I

21

1

TT 1 2

1 2

( )( ) , ( ) 0

( )

K TTR I

T T

29

4 奈氏稳定判据应用举例 绘出系统开环幅相频率特性如图 5.43 （ a ）。由图看出， 值较大时，当 由 -∞ 变到 +∞ 时， 顺时针包围 两圈， 。故

表明闭环系统在 S 右半平面有两个极点，系统是不稳定的。 如果减小 值，则当 ，

，系统达到稳定边界。 当 时， ，闭环 图 5.43 例 5.6 的稳定判定系统是稳定的。

( )G j ( 1, 0)jK 2N

2Z P N

K 1 2

1 2

T TK

TT

( ) 1R

1 2

1 2

T TK

TT

0N

0

Im

Re

0

0

1R=∞

1 2( )K T T

(a)

30

4 奈氏稳定判据应用举例 （ 2 ）应用开环对数频率特性判断闭环系统的稳定性 绘出系统开环对数频率特性如图 5.43 （ b ）。 值较大时，在 dB的频段内，对数相频特性负穿越 线 1 次，闭环系统不稳定。 如果减小 值，对数幅频特性 下移，幅值穿越频率 左移减小，使在 dB 的频段内，对数相频特性不穿越 线，则闭环系统稳定。 图 5.43 例 5.6 的稳定判定

K

( ) 0L

K

)(L c( ) 0L

90°( )

270°

( )L

1

3_

=1/T22

c1 =1/T1

_

_

(b)

_

2_

180°_

31

4 奈氏稳定判据应用举例 例 5.7 系统开环传递函数为

没有极点位于位于 S 右半平面， 。 应用开环幅相频率特性判断闭环系统的稳定性 系统开环频率特性为

其中

相频特性为

0P

( ) ( ) ( )G j R jI

22

1

( 1)( )

( 1)

K T sG s

s T s

21 2 2 1

2 2 2 2 21 1

(1 ) ( )( ) , ( )

(1 ) (1 )

K TT K T TR I

T T

1 2( ) 180 arctan arctanT T

32

4 奈氏稳定判据应用举例 分几种情况讨论 （ 1 ） 幅相频率特性如图 5.44(a) 示。

当 由 -∞ 变到 +∞ 时， 顺时针包围 点两圈：

即闭环传递函数有两个极点位于S 右半平面，闭环系统不稳定。 图 5.44 例 5.7 幅相频率特性示意图

( )G j

( 1, 0)j

2Z P N

2N 0

0

1

0

(a)

I( )j

( )R

1 2arctan arctanT T 1 2T T

33

4 奈氏稳定判据应用举例 （ 2 ） 幅相频率特性如图 5.44(b) 示。

当 由 -∞ 变到 +∞ 时， 不包围 点：

闭环系统稳定。

图 5.44 例 5.7 幅相频率特性示意图

( )G j

( 1, 0)j

1 2T T

1 2arctan arctanT T

0N

0Z P N

0

0

1

0

I( )j

( )R

(b)

34

4 奈氏稳定判据应用举例 （ 3 ） 幅相频率特性如图 5.44(c) 示。

当 由 -∞ 变到 +∞ 时， 正好通过 点。 闭环系统处于临界稳定状态。

图 5.44 例 5.7 幅相频率特性示意图

( )G j

( 1, 0)j

1 2T T( ) 180

( ) 180

1 ( )R

I( )j

(c)

35

4 奈氏稳定判据应用举例 例 5.8 系统开环传递函数为

在 S 右半平面有一个极点， 。 系统开环频率特性为其中

相频特性为 当 时， ， 当 时， 当 时，

( ) ( ) ( )G j R jI

2

1

( 1)( )

( 1)

K T sG s

s T s

1P

21 2 1 2

2 2 2 21 1

( ) ( 1)( ) , ( )

1 ( 1)

K T T K TTR I

T T

1 2( ) 90 ( 180 arctan ) arctanT T

0 (0) 270 1 2(0) ( ) , (0)R K T T I

( ) 90

21

1

TT 2( ) , ( ) 0R KT I

36

4 奈氏稳定判据应用举例 幅相频率特性绘于图 5.45 。 当 时

闭环系统是稳定的； 当 时

闭环系统是不稳定的。

图 5.44 例 5.7 幅相频率特性示意图

2 1KT

1N 0Z P N

2 1KT 1N

2Z P N

0

Im

Re

0

0

12KT

37

5 频率域中描述系统的稳定裕量 如果开环系统传递函数没有极点位于 S 右半平面，那么

闭环系统稳定的充要条件是： 开环系统幅相频率特性 不包围 点；或 闭环系统临界稳定的条件是开环系统幅相频率特性经过 点。即满足：

式中： 称为幅值穿越频率； 称为相位穿越频率。

( )G j

( 1, 0)j

( 1, 0)j

( )G j

| ( ) | 1,

( ) 180c

c jj

G j

且

c

j

38

5 频率域中描述系统的稳定裕量 相位裕量

增益裕量

dB

图 5.46 稳定裕量

( ) ( ) 180c c

1 1

| ( ) |j

GMG j

1

(c)

Im

Rej

c

( )G j(a)

1

Im

Rej

c

( )G j

( )L

( ) 0°

-180°

c

(b)

j

PM

GM

-90°

20

( )L

( ) 0°

-180°

c

(d)

j

PM

GM

-90°

20

120lg 20lgGM

39

The End!