第七章 Z 变换 Z 域分析 §7.1 引言 §7.2 Z变换定义 典型序列的Z变换§7.3 Z变换的收敛域§7.4 逆Z变换§7.5 Z变换的基本性质§7.6 Z变换与拉普拉斯变换关系§7.7 利用Z变换解差分方程§7.8 离散系统的系统函数

§7.1 引言补充：幂级数 幂级数和函数在收敛区间内可逐项求导，可逐项积幂级数在收敛域内解析、处处可导等比几何级数求值表

　 是幂级数的系数　 iN

N axaxaxaa 2210

11

11

1.1

2

1

0

22

an

aa

aa

nn

n

n　 　 　 　

11

11.2

12

11 22

1 ann

aa

aaa

nnn

nn

n　 　 　 　

11

1.3

0

aa

an

n 　 　 　 　 　　 　 　 　 11

.41

aa

aa

n

n 　 　 　 　 　　 　 　 　

11

.51

1

aa

aa

n

nn

n 　 　 　 　 　　 　 　 　

§ 7.2 Z 变换定义 典型序列的 Z变换

一 . Z 变换定义 1. 由抽样信号引出 Z变换

0

)()()()()()(n

Ts nTtnTxttxtxtx 冲激，抽样

对上式取拉氏变换

dtetxtx stss

0

)()(

dtenTtnTx st

n

0

0

])()([

n

n

n

n

znxzxzxx

znxzxzxxznxzx

))(())(2()1()0(

)()2()1()0()()(

1211

21

0

　 　　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

　

说明：（ 1）序列的 Z变换是复变量 Z-1 的幂级数 （ 2）幂级数的系数是序列 x(n) 的样值 （ 3）只有当幂级数收敛时和存在时， Z变换存在

0

)()]([)(n

nznxnxZzx

n

nznxnxZzx )()]([)(

2. 单边 Z变换

双边 Z变换

1)()]([0

n

nznnZ

100 1

1)()]([

zzznunuZ

n

n

n

n 11 z 1z

200 )1(

)()]([

z

znzznnunnuZ

n

n

n

n

1z

二 . 典型序列的 Z变换

2. 3.

1.

10 1

1

zz

n

n　 1z

21210

11

)1(

1

)1(

)1()(

zz

znn

n

221

1

0

1

)1()1()(

z

z

z

zzn

n

n

对 z-1 逐项求导

两边再乘 z-1

az

zznuanuaZ

n

nnn

0

)()]([ azz

a 　 　 　 　 　 　即　14.

§7.3 Z 变换的收敛域

收敛域：只有当级数收敛时， Z变换才有意义对于任意 给定的有界序列 x(n) ，使 Z变换定义式

n

nznx )(

级数收敛的所有 Z值集合，即 Z满足什么条件和 式收敛，即为收敛域

一 .判定级数收敛方法

n

nznxnxZ )()]([

n

nznx )(

nna

1. 收敛充要条件：

2.比值判定法： 若有一个正项级数

正项级数满足绝对可和

可能收敛、可能发散发散收敛

　 　 　 　 　

1

1

1

lim 1

n

n

n a

a

3. 根值判定法： 若正项级数

nna 的 n次根的极限等于ρ

可能收敛、可能发散发散收敛

　 　 　 　 　

1

1

1

lim

nn

na

令它的后项与前相比值的极限等于ρ

二 .典型序列的收敛域

其它0

0)( 21 nnnnx

)1()()()(2

1

　 　 　

n

nn

n

n

n znxznxzx

1. 有限长序列：

00 21 nn 　 　 　

　 　 　）式（

2

1 0

0

)()(1n

n

n

nn

n znxznx

zazznxnn

n ）式要求　 　 　 （　 　 　 有限项和肯定　 　 只要其中0

1

)(

0)(

)(22

00

zbzz

nxznx

n

nn

n

n

n ）式要求　 　 　 （　 　 有限项和肯定　 只要　　

①

00 21 nn 　 　 　

　 　 　

2

1

)()(n

nn

nzzxzx z

z　 　

00 21 nn 　 　 　

　 　 　

2

1

)()(n

nn

nzzxzx 0z

0 z　 　

②

n 都取负值，变成 z的正幂，只要

有限和收敛

③

z 的负幂，只要 有限和收敛

包括∞

包括 z=0

总结：对于有限长序列，收敛域为除 0、∞的整个平面

不包括不包括一正一负）（不包括包括都为负）（不包括包括都为正

0,

0,

0,

21

21

21

nn

nn

nn

1

1

0

0)(

nn

nnnx

　 　 　

1

)()]([)(nn

nznxnxZzx

1)(lim

n n

nznx 1)(lim x

nn

Rnxz

1xR

1n

2. 右边序列

有起点无终点

由根值判别法

时级数收敛右边序列的收敛半径为半径为

的圆外部分是否包括∞和 的取值有关

无穷级数，由级数判定法来判收敛

01 n 　 　 　

1

)(nn

nznx

1xRz

01 n 　 　　

0

0

)()(1 n

n

nn

n znxznx z zRx1

1xRz

z 的负幂次 收敛域包括∞

因果序列

因果序列特点： （包括∞）圆外部分

1

1

0

0)(

nn

nnnx 　 　 　

2

)()(n

n

nznxzx

22

)()()(nm

nnm

nm

m znxzmxzx 　　

1)(lim n n

nznx

2)(lim

1x

nn

Rnx

z

2xR 2n

22

22

00

0

x

x

Rzn

Rzn

3. 左边序列 无始有终信

号

转化成右边序列求，令 m=-n

根值判别法：

左边序列的收敛半径为半径为 的圆内部分是否包括 0和的取值有

关 包括 0

0

1

)()()()(n

n

n

n

n

n znxznxznxzx 　　

2xRz

2xRz

21 xx RR 　 　 　若 21 xx RzR

4. 双边序列

左边 右边

则

例：求序列 )1()()( nubnuanx nn

的单边、双边 Z变换 b>a, b>0,a>0

az

zzaznubnuaznxzx

n

nn

n

nnn

n

n

0

1

0

)]1()([)()( 　　

1z

aaz

1z

aaz 1

b

zbz

bza 　 　

解： 1. 单边 Z变换

2. 双边 Z变换

bz

z

az

z

b

zz

z

a

zbzazbza

znubnuaznxzx

n

nn

n

nn

n

nn

n

nn

n

nnn

n

n

　 　　 　

　 　　 　

　　

11

1

)]1()([)()(

10

1

0结论：（ 1）通常收敛域以极点为边界，且收敛域内无极

点 （ 2）根据 x(n) 是左边、右边、还是双边序列，

直接 写出收敛域形式

§7.4 逆 Z变换

dzzzxzxZnxc

n 11 )(2

1)]([)(

1)( nzzx

一 . 逆 Z变换定义

C是包围 所有极点的逆时针闭合积分路线，

二 .求逆变换方法 1. 留数法（围线积分） 2. 部分分式展开法 经查表求出逐项的逆变换再取和 3. 长除法 x(z) 展开幂级数得到 x(n)

通常选择 Z平面收敛域内以圆点为中心的圆。

（一）留数法 留数定理：设函数 f(z) 在区域 D内除有限个孤立奇点

nzzz ,, 21 外，处处解析（可导）， C为 D内包围诸奇点一

n

iiczzfsjdzzf

1

]),([Re2)(

m

ii

n

m

ii

n

c

n

zzzxs

zzzxsjj

dzzzxj

nx

1

1

1

11

],)([Re

],)([Re22

1)(

2

1)(

　 　 　 　 　 　

　 　 　

注 ：区域 D：指收敛域 围线 C：在收敛域内以圆点为中心

的圆极点的个数：围线 C所包含的极点个数 极点是 这个函数的极

点1)( nzzx

一条简单闭曲线，则有

iz 1)( nzzx

1)( nzzx　

)(zx1nz 0z

iz

izzn

iin zzxzzzzzxs

])()[(],)([Re 11

iz

izznk

ik

k

in zzxzz

dz

d

kzzzxs

]})()[({

)!1(

1],)([Re 1

1

11

说明： 1. 为2.m 为极点个数

的极点既分母为零的点，由两部分构成，

的极点及 提供

n的取值不同， z=0 处是否有极点及阶次将不同若

为一阶极点：则

若 为 k阶极点：则

极点

处极点（当 n-1<0 时），

3. Zi 为收敛域内围线所包围的极点情况

4. 围线的选择 5. z 变换相同，但收敛域不同，逆变换不同

)5.0)(1()(

2

zz

zzx 1z 5.0z 15.0 z 例：

求三种可能收敛域的逆变换

)5.0)(1()5.0)(1()(

11

21

zz

zz

zz

zzzx

nnn　

二阶极点极点一阶极点极点无极点极点

05.013

05.012

05.011

zzzn

zzzn

zzzn

解： 1. 三种可能收敛域 2. 收敛域 |z|>1 时 （ 1）先求围线内所包含的极点个数 x(z)zn-1

]0[Re]5.0[Re]1[Re],)([Re)(1

1 ssszzzxsnxm

ii

n

1n

2n

3n

（ 2）利用公式求 x(n)

n

z

n

z

n

zz

zz

zz

zz

ssnx

)5.0(2

)5.0)(1()5.0(

)5.0)(1()1(

]5.0[Re]1[Re)(

5.0

1

1

1

0)5.0)(1(

)5.0(2

]0[Re]5.0[Re]1[Re)2()(

0

12

z

n

zz

zz

sssxnx

0)5.0)(1()!12(

1

)5.0(2)3()(

0

12

3

z

n

zz

zz

dz

d

xnx

　 　 　 因果序列　 　

　 　 右边序列　 　

　 　 　 　 　　

)(])5.0(2[

)1(])5.0(2[

1)5.0(2)(

nu

nu

nnx

n

n

n

0.5z

二阶极点一阶极点无极点

03

02

01

zn

zn

zn

15.0 z

3. 收敛域（ 1）先求围线内所包含的 极点个数

（ 2）收敛域 时 自己分析

时

总结：步骤：（ 1） f(z)=x(z)zn-1

（ 2）求 x(z)zn-1 的所有极点（ 3）在 x(z) 的收敛域内画围线，确定包含那些极点（ 4）求所包含极点处的留数

（二）幂级数展开法（长除法）

∵ x(z) 的 Z变换就是 z-1 的幂级数 , 幂级数系数就是 x(n)∴ 只要把 x(z) 展成 z-1 的幂级数 ,则系数就是逆变换 x(n)

n

n

n

znxzx

zxzxxznxzx

))(())(3(

))(2()1()0()()(

131

211

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

方法：)(

)()(

zN

zDzX

（ 1） x(z) 收敛域 |z|>Rx2 右边序列 N(z)D(z) 按 Z的降幂排列

（ 2） x(z) 收敛域 |z|<Rx1 左边序列 N(z)D(z) 按 Z的升幂排列

用分子多项式除以分母多项式

21

1

21

21)(

zz

zzx例： )(1 nXz 的逆变换

32

12

1

21

1

85212

12

21

21)( zzz

zz

z

zz

zzx

解： ∵|z|<1 是右边序列 ∴分子分母按 Z-1 的降幂排列则

432 11852)( zzzzzx

1

)13(n

nzn

1

)13(n

mnm

zm

1

)13(n

nzn

)1()13()( nunnx　 　

观察系数

Z 的幂级数

变成 Z-1 的幂级数

1||)()1(

)(2

znxz

zzx 得逆变换例：求

为因果序列　 　解： )(1 nxz

x(z) 按 z的降幂排列

0

321

22

32

12)1()(

n

nnz

zzz

zz

z

z

zzx

　 　 　

　 　 　

)()( nnunx 　 　

注意：长除法适用于看出 x(n) 规律的变换，局限性很大。

)(

)()(

zN

zDzX

mzz

z

z

zx )(

（三）部分分式展开法 方法思路：

把各逆变换相加即可得 x(n) 因为 z变换的基本形式

分子有一个 z所以通常对

然后每个分式乘以 z

把 x(z) 展成一些简单而常用

的部分分式之和，然后分别求出个部分分式的逆变换，

进行部分分式展开，

2

2

1

1)(

zz

k

zz

k

z

zx

21

)(zz

z

zz

zzx

kk

rr

zazaa

zbzbb

zN

zDzX

10

10

)(

)()(

对于物理可实现系统，要求系统是一个因果系统，对于因果系统来说， |Z|>R 为保证 z=∞处收敛，则要求分母多项式的阶次不低于分子多项式的阶次 k≥r1.x(z) 只有一阶极点

k

m m

mk

m m

m

zz

zAzx

zz

A

z

zx

00

)()(

　 　 　 则

k

m m

mk

m m

m

zz

zAzx

zz

A

z

zx

00

)()(

　 　 　 则

的留数是的极点，是式中 mmm zAz

zxz

)(

mzzmmm z

zxzzz

z

zxsA ]

)()[(],

)([Re

kizz

zNzx

)(

)()(

ki

k

ii

i

kk

ik

i

zz

A

zz

A

zz

A

zz

A

zz

A

zz

A

z

zx

)()(

)()(

)(

221

121

izzk

ijk

jk

j z

zxzz

dz

d

jkA

])(

)([)!(

1

2.x(z) 中含有高阶 k阶极点

j=1.2.‥k

1)(5.05.1

)(2

2

｜　 　 ｜的逆变换例：求 znxzz

zzx

)5.0)(1()(

2

zz

zzx

5.01)5.0)(1(

)( 21

z

k

z

k

zz

z

z

zx

25.0

)()1( 111

zz z

z

z

zxzk

11

)()5.0( 5.05.02

zz z

z

z

zxzk

5.01

2)(

z

z

z

zzx )

5.0

1

1

2)((

zzz

zx

)(])5.0(2[)( nunx n

1z

解：

注意 :收敛域不同，对应逆变换将不同

∴ x(n) 是因果序列

例：画出252

3)(

2

zz

zzx

哪种情况对应左边序列、右边序列、双边序列，并求各自对应序列。

的零极点图，在下列三种收敛域内，

2)1( z　 　 5.0)2( z　 　 25.0)3( z　 　

)21

)(2(2

3

252

3)(

2

zz

z

zz

zzx

2

12

)( 21

z

k

z

k

z

zx

1

2

12

3)()2( 221

zz

z

z

z

zxzk 1

22

3)()

2

1(

2

1

2

12

zz z

z

z

zxzk

2

11

2

1)(

zzz

zx

2

12)(

z

z

z

zzx

解：

)()2

1(2)( nunx nn

)1()2

1(2)(

nunx nn

25.0 z

)1(2)()2

1()( nununx nn

（ 1） |z|>2 右边序列 因果序列（包括∞）

（ 2） |z|<0.5 左边序列

（ 3）

§7.5 Z 变换的基本性质

)()()()()()(

)()(

21

21 zbYzaXnbynaxRzRzYny

RzRzXnx

yy

xx

　 　 　 则

21 RzR

一、线性

注：相加后 Z变换收敛域一般为两个收敛域的重叠部分),min(),max( 222111 yxyx RRRzRRR

若在这些线性组合中某些零点、极点相抵消，则收敛域 就可能扩大※ 对所有 Z变换的性质，均需注意其变换后收敛域变化

)1()( 变换的例：求 Znuanua nn

az

znua n

)( az

az

zznuanua

n

nnn

1

)1()1( az

1)1()(

az

a

az

znuanua nn

解：

收敛域为全 Z平面（扩大）

)()( zXnx )()( zXzmnx m )()( zXzmnx m

移位性表示序列移位后的 Z变换与原序列 Z变换关系（ 1）双边 Z变换

二、移位性

)()()( zXnunx

])()([)()(1

0

m

k

km zkxzXznumnx

（ 2）单边 Z变换 ⅰ 若 x(n) 为双边序列

移出 m个值，就要减去这 k个值的 Z变换

ⅱ 若 x(n) 为因果序列 )()( zXzmnx m

移入 m个值，但移入的 m个值都是 0， x(n) 为因果序

列 ])()([)()(

1

0

m

k

km zkxzXznumnx

移出 m个值

三 .序列线性加权（ Z域微分）

)()( zXnx )()( zXdz

dznnx 则

)()( zXdz

dznxn

mm

m

dz

dz

))]}(([{ zx

dz

dz

dz

dz

dz

dz

dz

dz 其中 表示 共求导 m次

四 .序列指数加权（ Z域尺度变换）

)()( zXnx 21 xx RzR

)()(a

zXnxa n 则 21 xx R

a

zR

)()( zXnx 因果序列 )(lim)0( zXxz

则五 .初值定理

)()( zXnx 因果序列 )]()1[(lim)()(lim1

zxzxnxzz

则

六 .终值定理

注意： x(n) 序列的终值要存在，即当 n→∞ x(n) 收敛

x(z) 的极点必须处在单位圆内，稳定在单位圆上只能位于

z=±1点且是一阶极点，临界稳定七 .时域卷积)()( zXnx 21 xx RzR

)()( zHnh 21 xx RzR

)()()()( zHzXnhnx 则

)()( zXnx 21 xx RzR

)()( zHnh 21 hh RzR

11

11 )()(2

1)()(

2

1)()(

ccdvv

v

zHvX

jdvvvH

v

zX

jnhnx

则

八 .序列相乘（ Z域卷积）

注：（ 1） 1C 2C )(

v

zx )(vH )(vx )(

v

zH分别为 与 或 与

（ 2）计算围线积分可应用留数定理

收敛与重叠部分内逆时针旋转的围线

§7.6 Z 变换与拉普拉斯变换关系

nn

Ts nTtnTxnTttxttxtxtx )()()()()()()()(

n

snTst

ns enTxdtenTtnTxsx )(])()([)(

n

nez

znxzXsT

)()(

一、 Z平面与 S平面映射关系

jsT

sez zsT 　　则 ln1

jjsT eeez )(

22

s

T Tee s 　则 （两坐标系的对应关系）

在讨论拉时变换时，若函数极点落在 S平面左半面、右半面、虚轴上，直接影响系统稳定性，因此分几个区来讨论

1.S平面虚轴映射到 Z 平面上

0 12

se

:

2s

: 2 s 2

s22ss

)(

对应任意角变化一周足 ，在 S平面上 时

结论： S平面虚轴映射到 Z 平面是单位圆， 只要变化范围为

即只从 ，对应至 Z 平面是单位圆，

时对应无数重叠圆

变化一圈

102

se　 　 　

2)( s

　 　

对应任意角

结论： S平面左半面对应 Z 平面单位圆内部分

2、 S平面左半面映射到 Z平面上

结论： S平面右半面对应 Z 平面单位圆外部分

3 、 S平面右半面映射到 Z平面上

0 　s 02

　 　

se

02 s

4. S平面实轴映射到 Z平面上

结论： S平面实轴映射到 Z 平面是正实轴

二、 Z变换与拉氏变换表达式对应关系

N

i i

i

ps

AsXtx

1

)()(

N

iTpi

TnTtze

AnxnTxtxnx

i1

111

)()()()(

astue at

1

)( 的拉氏变换例：已知

变换的求：抽样序列 ZnTue aaT )(

)()( tuetx at解：

assX

1)(

11

1)(

zezX

aT

§7.7利用 Z 变换解差分方程

)()1()(

)()1()(

10

10

mnxbnxbnxb

Nnyanyanya

m

N

N

rr

N

kk rnxaknya

00

)()(

线性时不变系统的差分方程一般形式：

（ 1）

求差分方程方法：

)()()(

)()()()(),(

nhnxny

nynynynyny

zs

zszizszi 　　 　 　求界条件求系数求齐次解、特解、代边

时域经典法

（ 2） Z变换求差分方程

（ 1）

(3) 求 )]([)( 1 zYZny

一 . Z 变换求差分方程

步骤： (1) 对差分方程进行 Z变换，差分方程变成代数方程 (2) 解方程得 Y(z)

M

r rm

mkr

N

k kl

lkk zmxzXzbzlyzYza

0

1

0

1

])()([])()([

M

r rm

mm

r

rr

kr

kl

lN

k

N

k

kk

kk zmxzbzXzbzlyzazYza

0

1

0

1

0 0

])()()()(

N

k

kk

kl

lN

k

kr

N

k

kk

m

r

rr

za

zlyzazX

za

zbzY

0

1

0

0

0

)()()(

1. 对（ 1）式进行 Z变换

零状态 零输入

)()1()( nxnbyny )()( nuanx n 2)1( y

)(])1()([)( 1 zXzyzYbzzY

)1()()()1( 1 byzXzYbz

2)1()(

1

)1(

1

)()(

11

yaz

zzX

bz

by

bz

zXzY

bz

bz

bzaz

zzY

2

))(()(

2

))(()(

2

1 bzaz

zzY

bz

A

az

A

z

zY

211 )(

ba

a

z

zYazA az

)()( 1

1ba

b

z

zYbzA bz

)()( 1

2

bz

bz

bz

z

ba

b

az

z

ba

azY

2)(

111 21

2)(

nnnnnn bbaba

bbbba

baba

any 1n

二 .例：已知一 LTI离散系统满足差分方程 求响应 解：

起始状态：进行 Z变换时，方程中出现的各时刻的 y(i) 值即为起始状态

)(ny

例：已知一 LTI离散系统满足差分方程

)()(1)2(2)1(

0)()1()2()()1(3)2(2

nunxyy

nnxnxnxnynyny

由 Z域求系统零输入响应、零状态响应和完全响应)2()1()()2()1(3)(2 nxnxnxnynyny

)()()()]2()1()([)]1()([3)(2 21121 zXzzXzzXyzyzYzyzYzzY

)(32

1

32

)2()1()1(3)(

21

21

21

1

zXzz

zz

zz

yzyyzY

1121

1

21

1

5.01

5.0

1

3

32

25

32

)2()1()1(3)(

zzzz

z

zz

yzyyzYzi

)(])5.0)(5.0()1(3[)(])5.0()1(3[)]([)( 111 nunuzYZny nnnnzizi

111121

21

21

21

5.01

65

1

5.0

1

61

1

1

32

1)(

32

1)(

zzzzzz

zzzX

zz

zzzYzs

)(])5.0(6

5)1(5.0

6

1[)( nuny nn

zs

)(])5.0(3

4)1(5.3

6

1[)()()( nunynyny nn

zszi

解：令 n=n-2 ，对差分方程两边进行 Z 变换

零输入

零状态

§7.8 离散系统的系统函数一 .定义系统函数

1. 变换激励

变换系统零状态响应的ZzX

zYzH

Z

)(

)()(

2. H(z)=Z[h(n)] : 系统单位样值响应 h(n) 的 Z变换

例：求 y(n)-ay(n-1)=bx(n) 所描述系统的系统函数和单位样值响应。 )(])1()([)( 1 zbXzyzYzazY

)1()()1)(( 1 ayzbXazzY

az

bz

az

b

zX

zYzH

11)(

)()(

)()]([)( 1 nubazHZnh n

解：

二 .系统函数对系统特性的影响 1. 由极点分布决定系统单位样值响应

2. 由极点分布决定系统稳定性 3. 由零点分布决定系统的频率特性

1ip 系统不稳定波形发散)(nh

1ip 系统稳定波形收敛)(nh

1ip 系统临界稳定等幅振荡)(nh

三 .由系统函数零极点分布确定单位样值响应∵ H(z) 与 h(n) 是一个 Z变换对，∴可以从 H(z) 的零极点分布 情况确定 h(n) 的特性 H(z) 的极点决定 h(n) 的收敛域，影响系统的稳定性 H(z) 的零点影响 h(n) 的幅度和相位

极点落在单位圆外， 极点落在单位圆内， 极点落在单位圆上，

四 .判断离散时间系统的稳定性、因果性

az ∴收敛域 的系统是因果系统az

1. 因果性 （ 1）输入输出关系：输出不领先于输入（定义） Y(n)=x(n+1) 非因果 （ 2）由 h(n)判断： h(n)=0 h<0 （ 3）由 H(z) 的收敛域判断 ∵因果序列的收敛域 包括∞在内

定两类把系统分成稳定和不稳绝对可和充分必要条件：

有界输入产生有界输出

-

)(

:SISO

nh

不稳定平面单位圆外极点位于临界稳定平面单位圆上极点位于稳定平面单位圆内极点位于

的极点位置判断由Z

Z

Z

)(zH

n

z

n

n nhznhnhZzH )()()]([)(1

2. 稳定性

（ 2）

（ 3） H(z) 的收敛域判定：收敛域包含单位圆在内系统稳定

-

)(nh令 z=1 要使系统稳定应有

也即稳定系统收敛域肯定包括单位圆在内

（ 1）

-

)(nh 则 一定成立1z∴此时收敛域肯定包括 在内，

收敛域的求法 :1.根据典型序列：有限长、右边、左边、双边序列先确定收敛域的一般形式

双边左边右边、因果bzaazazz 0

2. 再由 Z变换极点来确定 a、 b值 收敛域特点：以极点为边界，且在收敛域内不能包括极点

)2

3

2

1)(

2

3

2

1(

)1()(

jzjz

zzzH

2

3

2

11 jp

2

3

2

12 jp

12,1 p

解：

临界稳定

21

1

1

1)(

zz

zzH例：已知 判断是否稳定

)10)(5.0(

5.9)(

zz

zzH

z10

102 z 12 z

)(])10()5.0[()( 11 nunh nn

105.0 z

)1()10()()5.0()( 11 nununh nn

例：已知系统函数如下，试说明分别在（ 1），（ 2）两种情 况下系统的稳定性、因果性

z10 （ 1） 105.0 z （ 2）

解： 1.

收敛域包含∞在内，是因果系统，右边序列

极点落在单位圆外，不稳定

2.

双边序列：非因果系统

系统稳定

)1()()2(24.0)1(2.0)( nxnxnynyny

)()()(24.0)(2.0)( 121 zXzzXzYzzYzzY

)6.0)(4.0(

)1(

24.02.01

1

)(

)()(

21

1

zz

zz

zz

z

zX

zYzH 6.0z

6.0

4.0

4.0

4.1)(

z

z

z

zzH 6.0z

)(])6.0(4.0)4.0(4.1[)( nunh nn

6.0

15.0

4.0

93.0

1

08.2

)6.0)(4.0)(1(

)1()()()(

2

z

z

z

z

z

z

zzz

zzzXzHzY

例：差分方程表示的某离散系统 求： (1)H(z) (2)讨论 H(z) 的收敛域和稳定性 (3) 求 h(n)(4) 当激励 x(n) 为单位阶跃序列时， x(n)=u(n) 求 yzs

(n)

6.0z 对此因果系统的收敛域为包含∞时稳定因果系统

)()( nunx 1

)(

z

zzX 1z(4) 则

解： (1)

4.01 p 6.02 p(2) 极点 都在单位圆内，系统稳定

(3)

)sin()( nAne 0n

五 . 由 H(s) 的零极点决定离散时间系统的频率响应特性

)sin()()( neHAny jss则

)()()()(

jj

ez

j eeHzHeH j 其中

jez

j zHeH

)()(3.频率响应函数 具有周期性，

Ts

2 je为重复周期 ∵为周期函数以

2.正弦稳态响应

1.离散时间系统的频率响应特性：离散时间系统在正弦序列的 激励下所引起的稳态响应随频率变化情况，分为幅频特性和相频 特性

)())((

)())(()(

21

21

N

M

pzpzpz

zzzzzzzH

)())((

)())(()(

21

21

Njjj

Mjjj

j

pepepe

zezezeeH

rjrr

j eAze rjrr

j eBpe

N

M

jN

jj

jM

jjj

eBeBeB

eAeAeAeH

21

21

21

21)(

N

Mj

BBB

AAAeH

21

21)(

)()( 2121 NM

4.频响特性的几何确定法

如果单位圆上的点 D不断移动，就可以得到全部频率响应。由于离散系统频响是周期性的，因此只要 D点转一周就可以了。利用这种方法可以比较方便的由 H(z) 的零极点位置求出系统的频率响应。

Re(z)θ1

θ2

φ1

jIm(z)

D

（ 1）求

（ 2）求频响函数

（ 3）写成矢量形式，令

1)(

)()(

az

z

zX

zYzH

1az

sin)cos1(

1

]sin[cos1

1

1

1)(

11111 jaajaeaae

eeH

jj

jj

cos21

1)(

121 aa

eH j

cos1

sinarctan)(

1

1

a

a

10 1 a

01 1 a

01 a

11

1)(

aeH j

0)(

2

11

1)(

aeH j

1arctan)( a

2s

11

1)(

aeH j

0)(

例：求图示系统一阶离散系统的频率响应

)()()( 11 zXzYzazY 系统函数：

频响函数：

系统是低通特性 系统是高通特性全通

)()1()( 1 nxnyany 解：差分方程：

z-

1

Σx(n)

y(n)a1

0