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r ( t ). c ( t ). 系统. 第五章 频域分析法 — 频率法. 5.1 频率特性. 一、基本概念. 系统的 频率响应 定义为系统对正弦输入信号的稳态响应。. 一个稳定的系统,假设有一正弦信号输入. 其稳态输出可写为. A c - 稳态输出的振幅 -稳态输出的相角. 稳态输出的振幅与输入振幅之比,称为幅频特性。. 稳态输出的相位与输入相位之差 ,称为相频特性。. 如果输入正弦电压信号. 二、求取频率特性的数学方法. RC 网络的传递函数为. 其拉氏变换. 所以系统的输出为. - PowerPoint PPT Presentation
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稳态输出的振幅与输入振幅之比 , 称为幅频特性。
稳态输出的相位与输入相位之差 , 称为相频特性。
c
r
AM
A
一个稳定的系统,假设有一正弦信号输入 r( ) sinr t A t
其稳态输出可写为 c( ) sin( )c t A t Ac- 稳态输出的振幅
- 稳态输出的相角
二、求取频率特性的数学方法
RC 网络的传递函数为 c
r
( ) 1( )
( ) 1
U ss
U s Ts
T RC
如果输入正弦电压信号 r r sinu A t
其拉氏变换 r
r 2 2( )
AU s
s
所以系统的输出为 r
c r 2 2
1( ) ( ) ( )
1
AU s s U s
Ts s
查拉氏变换表,得 Uc(s) 的原函数 uc(t)
r rc 2 2 2 2( ) e sin( arctan )
1 1
t
TA T A
u t t TT T
式中第一项为动态分量,第二项为稳态分量。
rc 2 2
lim ( ) sin( arctan )1t
Au t t T
T
幅频特性和相频特性
2 21/ 1 T
-arctan T
0 1/2T 1/T 2/T 3/T 4/T 5/T
0 0
0
0.89 0.707 0.45 0.32 0.24 0.20
-26.6 -45 -63.5 -71.5 -76 -78.7 -90
2 2
1j
jarctan 1 j
2 2
1sin( arctan )
1
1e e
j11
1 j
T T
t TT
TT
T
j
1 1
1 j 1 sT Ts
只要把传递函数式中的 s 以 j 置换,就可以得到频率特性,即
RC 网络的频率特性
2. 极坐标图 频率特性 (j ) (j ) (j ) ( ) ( )M
幅相特性:以频率作为参变量,将幅频与相频特性同时表示在复平面上。
当频率从零到无穷变化时,矢量 (j) 的端点在复平面上描绘出一条曲线,即为幅相特性曲线,又称奈奎斯特曲线。
3. 对数坐标图—伯德图 (H.W.Bode)
对数频率特性曲线又称伯德图,包括对数幅频和对数相频两条曲线。 对数频率特性曲线的横坐标表示频率,并按对数分度,单位是 1/s 。 对数幅频曲线的纵坐标表示对数幅频特性的函数值,线性均匀分度,单位是分贝,记作dB 。 对数幅频特性定义为
20lg( ) ( )L M
对数相频曲线的纵坐标表示相频特性的函数值,线性均匀分度,单位是度或弧度。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
lg 0 0.301 0.477 0.6020.6990.7780.8450.9030.954 1
采用对数坐标图的优点是:
(1) 可以将幅值的乘除转化为加减。(2) 可以采用简便方法绘制近似的对数幅频曲线。(3) 扩大了研究问题的视野。在一张图上,既画出频率特性的中、高频段特性,又能画出其低频特性,而低频特性对分析、设计控制系统来说是极其重要的。
5.2 典型环节的频率特性 一、比例环节 ( 放大环节 )
传递函数: G(s)=K
频率特性 : G(j)=K
幅频特性: ( ) (j )M G K
相频特性: ( ) (j ) 0G
对数幅频特性: ( ) 20lg ( ) 20lgL M K
二、积分环节 传递函数: 1
( )G ss
频率特性: 1(j )
jG
幅频特性: 1( ) (j )M G
相频特性: ( ) (j ) 90G
对数幅频特性: 1
( ) 20lg ( ) 20lg 20lgL M
四、惯性环节
传递函数: 1
( )1
G sTs
频率特性: 1(j )
j 1G
T
对数幅频特性:
2
2 2
1( ) 20lg (j ) 20lg
1
20lg1 20lg 1 20lg 1
L GT
T T
对数相频特性: (j ) arctanG T
幅相曲线
近似对数幅频特性: 当 时, ,略去 则得 1
T 1T 2( )T
2( ) 20lg 1 20lg1 0L T
扩展为只要 ,则 L()=0 。 1
T
当 时, , ,略去 1 ,得 1
T 1T 2( ) 1T
2 2( ) 20lg 1 20lg 20lgL T T T
扩展为只要 ,就以 近似地代替之。 1
T ( ) 20lgL T
显然在转折频率 处,近似精度最低。其最大误差为
1
T
2
120lg 1 20lg 2 3 dB
T
T
定义 为转折频率,也是特征点。 1
T
其幅频特征值为
对数幅频特征值为
10.707M
T
13 dBL
T
五、一阶微分环节
传递函数: ( ) 1G s s
频率特性: j j 1G
对数幅频特性: 2
( ) 20lg j 20lg 1L G
对数相频特性: ( ) arctan
特征点: 1, ( ) 3 , 45L dB
六、振荡环节 传递函数:
2n
22 2n n
n n
1( )
2 21
G ss s s
s
频率特性:
2 2
n n n n
1 1(j )
j 2 2j 1 1 j
G
对数幅频特性: 22 2
n n
2( ) 20lg (j ) 20lg 1L G
渐近对数幅频特性: 当 n 时,即 /n1 时,则略去 /n ,近似取
( ) 20lg (j ) 20lg1 0 dBL G
在低频段的渐近特性是一条与横轴相重合的直线。
当 n 时,即 /n1 时,则略去 1 和 近似取
n
2
2
n n
( ) 20lg (j ) 20lg 40lgL G
这是一条在 处过横轴且斜率为-40dB/ 十倍频程的直线。
n
为转折频率n
没 有 考 虑 阻 尼比的影响。
n
22 2
n n
220lg 1 0 20lg 2
在转折频率处渐近特性与精确特性线误差为
七、二阶微分环节
传递函数: 2 2( ) 2 1G s s s
频率特性: 22(j ) j 2 j 1G
对数幅频特性: 2 22 2( ) 20lg j 20lg 1 2L G
对数相频特性: 2 2
2arctan
1
八、一阶不稳定环节
传递函数: 1
( )1
G sTs
频率特性: 1
(j )j 1
GT
对数幅频特性:
2
1( ) 20lg (j ) 20lg
1L G
T
对数相频特性:
(j ) arctan1
TG
九、延迟环节
数学表达式: ( ) ( )c t r t
传递函数: ( ) e sG s
频率特性: j(j ) eG
( ) j 1M G 幅频特性:相频特性: jG
对数幅频特性: ( ) 20lg j 20lg1 0L G
5.3 控制系统的开环频率特性 系统的开环频率特性曲线分为:开环幅相特性曲线和开环对数频率特性曲线。
一、开环幅相特性曲线的绘制 设系统的开环传递函数由若干个典型环节相串联
1 2 3( ) ( ) ( ) ( )G s G s G s G s
其开环频率特性1 2 3(j ) (j ) (j ) (j )G G G G
31
1 3
j ( j )j ( j ) j 2( j )1 2 3
j[ ( j ) 2( j ) ( j )]1 2 3
(j ) (j ) e (j ) e (j ) e
(j ) (j ) (j ) e
GG G
G G G
G G G G
G G G
所以,系统的开环幅频和相频分别为
1 2 3
1 2 3
( ) (j )
(j ) (j ) (j )
( ) ( ) ( )
M G
G G G
M M M
1 2 3
1 2 3
( ) (j )
(j ) (j ) (j )
( ) ( ) ( )
G
G G G
1.开环幅相特性曲线的绘制 例 某 0 型单位负反馈控制系统,系统开
环传递函数为 ,试绘制
系统的开环幅相曲线。 1 2
( )( 1)( 1)
KG s
T s T s
解:
当 =0 时 G(j0)=K0
当 = 时 G(j)=0-180
1 2
(j )(j 1)(j 1)
KG
T T
例 某单位负反馈控制系统,系统开环传递函数为 ,试绘制系统
的开环幅相特性曲线。 1 2
( )( 1)( 1)
KG s
s T s T s
解:
当 =0 时 G(j0)= -90
当 = 时 G(j)=0-270
1 2
(j )j (j 1)(j 1)
KG
T T
例 某单位负反馈控制系统,系统开环传递函数为 ,试绘
制系统的开环幅相特性曲线。
1
1 2 3
( 1)( )
( 1)( 1)( 1)
K sG s
T s T s T s
解: 1
1 2 3
(j 1)(j )
(j 1)(j 1)(j 1)
KG
T T T
当 =0 时 G(j0)= K0
当 = 时 G(j)=0(90-270)=0-180
2. 系统开环幅相特性的特点
① 当频率 =0 时,其开环幅相特性完全取决于比例环节 K和积分环节个数。②0 型系统起点为正实轴上一点 ,I型及 I型以上系统起点幅值为无穷大 , 相角为 -·90 。③当频率 = 时,若 n>m( 即传递函数中分母阶次大于分子阶次 ) ,各型系统幅相曲线的幅值等于 0 ,相角为 -(n-m)·90 。
④ G(j) 曲线与负实轴交点坐标,是一个关键点,其交点坐标可由下列方法确定。
(a) 令 G(j)=- 。解出与负实轴交点处对应的频率 x 的值。再将 x 代入|G(j)|中,求得与负实轴交点的模值。(b) 令 ()=0解出 x ,再将 x 代入u(x) 中,求得与负实轴交点的坐标。
j ( j )(j ) (j ) e ( ) j ( )GG G u
二、伯德图的绘制 系统的开环幅频和相频
1 2 3
1 2 3
( ) (j )
(j ) (j ) (j )
( ) ( ) ( )
M G
G G G
M M M
1 2 3
1 2 3
( ) (j )
(j ) (j ) (j )
( ) ( ) ( )
G
G G G
系统的开环对数幅频和对数相频特性开环对数幅频
1 2 3
( ) 20lg ( )
20lg ( ) 20lg ( ) 20lg ( )
L M
M M M
开环对数相频1 2 3( ) ( ) ( ) ( )
系统开环对数幅频等于各环节对数幅频之和;系统开环对数相频等于各环节对数相频之和 。
解决这方面的问题要求掌握:
(1) 正问题能熟练地绘制系统的伯德图。即已知系统的开环传递函数,在半对数坐标纸上绘制出系统开环对数频率特性。
(2) 反问题会求传递函数。即已知对数幅频特性曲线(或实验曲线),能反求其传递函数。
解决正问题的方法与绘制对数幅频特性曲线的步骤:
1. 确定出系统开环增益 K ,并计算 。 20lg K
2. 确定各有关环节的转折频率,并把有关的转折频率标注在半对数坐标的横轴上。 3. 在半对数坐标上确定 =1(1/s) 且纵坐标等于 20lgK dB 的点 A 。过 A 点做一直线,使其斜率等于 -20 dB/ 十倍频程。当 =0, =1, =2 时,斜率分别是 (0 , -20 , -40)/ 十倍频程。
4. 从低频段第一个转折频率开始做斜直线,该直线的斜率等于过 A 点直线的斜率加这个环节的斜率(惯性环节加 -20 ,振荡环节加 -40 ,一阶微分环节加 +20 的斜率),这样过每一个转折频率都要进行斜率的加减。 5. 高 频 段 最后的 斜 线 的 斜 率 应等于 -20(n-m) dB/ 十倍频程。
6.若系统中有振荡环节,当 <0.4 时,需对 L()进行修正。
绘制对数相频特性的步骤:
1. 在半对数坐标纸上分别绘制出各环节的相频特性曲线。
2. 将各环节的相频特性曲线沿纵坐标方向相加,从而得到系统开环对数相频特性曲线 () 。
当 0 时, () -·90 。当 时, ()-(n-m)· 90 。
例 已知单位负反馈系统如图所示,试做出系统的开环伯德图。 解: 作 L():
(1) 40 40 / 4 101 1( 4) ( 1)
1 14 4
KG s
s s s Tss s s s
因此,开环增益 K=10
转折频率
1
14 (1/ s) 20lg 20 dBK
T
作对数相频曲线: 因为该系统是由放大、积分、惯性环节组成的,则
1 2 3( ) ( ) ( )
0 ( 90 ) ( arctan )T
因此,只要从 -90° 起作一惯性环节的相频,即可得到系统的对数相频特性曲线。
例 已知一单位负反馈系统开环传递函数
2
200 1
0.2 4 100
sG s
s s s s
试作系统开环对数幅频 L() 和相频 () 。 解: 作 L():
(1) 2
200 1
0.2 100 5 1 0.01 0.04 1
sG s
s s s s
200
10 20lg 20 dB0.2 100
K K
1 2 3 n0.2, 1, 10, 0.2 1
20lg 8 dB2
/s-1
L()/dB
0.1 101 100
20
40
-20
-40
0
A-20 dB/dec
0.2
B
-40 dB/decC
-20 dB/decD
-60 dB/dec
1
2
3
1
10( )=G s
s①
2
1( )=
5 +1G s
s②
3( ) 1G s s ③
4 2
1( )
0.01 0.04 1G s
s s
④