第四章 傅里叶变换和系统的频域分析

本章要点：傅里叶级数和傅里叶级数的性质傅里叶变换和傅里叶变换的性质周期信号和非周期信号的频谱分析周期信号的傅里叶变换LTI 系统的频域分析取样定理

信号分解为正交函数与矢量分解为正交矢量类似一、正交矢量：

定义：如果两个矢量 和 相互垂直，则称

和 为正交矢量。1A 2A

1A 2A

设在平面上，两个矢量

和 夹角为， 在

上的投影为1A 2A 1A 2A

212Ac

1A

2A212Ac

E

§4.1信号分解为正交函数

其误差矢量为：1 、要用一个矢量分量去代表原矢量，当分量

是原矢量的垂直投影时，误差矢量最小：

2

21212

cos

A

AAAc

1A

2A212Ac

E

若用 来近似表示 ，则表达式为：

212Ac 1A

2121 AcA 2121 AcAE

22

2112 A

AAc

§4.1信号分解为正交函数

02

212112

AcAdc

d

2 、若从解析角度考虑 c12 的取值问题，可令误差矢量的平方最小：

22

2112 A

AAc

C12 标志着两个矢量相互接近的程度。

§4.1信号分解为正交函数

二、正交函数： 设在时间区间（ t1 ， t2 ）内，两函数 f1(t) ， f2(t) 。

用 f1(t) 在 f2(t) 中的分量 c12f2(t) 来表示 f1(t) 。即：

)()( 2121 tfctf 21 ttt

yx AAA

x

y

xA

yA

A

这个概念可推广到 n 维空间。

平面上任意矢量在直角坐标系中可分解为两个正交矢量的组合。

§4.1信号分解为正交函数

设误差函数为：

)()( 2121 tfctft 为使 f1(t) 和 f2(t) 达到最佳近似，用均方误差：

dttfctftt

tt

t

2

1

22121

12

2 )()(1

令 012

2

dc

d可得：

§4.1信号分解为正交函数

0)()(1 2

1

22121

1212

t

tdttfctf

ttdc

d

0)(2)()(21 2

1

2

1

221221

12

t

t

t

tdttfcdttftf

tt

0)()()(2)(1 2

1

22

2122112

21

1212

t

tdttfctftfctf

ttdc

d

§4.1信号分解为正交函数

2

1

2

1

2

2

21

12

)(

)()(

t

t

t

t

dttf

dttftfc

当 c12 为 0 时，表示两个函数正交。 c12 为 f1(t)

与 f2(t) 的相关系数。由此，给出正交函数的

定义：

§4.1信号分解为正交函数

1 、 在 [t1,t2] 区间上定义的非零实函数 f1(t) 与 f2(t) ，若满足条件：

)94.1(0)()(2

121

t

tdttftf

则函数 f1(t) 与 f2(t) 为区间 [t1,t2] 上的正交函数 2 、 若 f1(t) 与 f2(t) 是复变函数，则 f1(t) 与 f2(t)在 [t1,t2] 区 间上正交的条件是：

)124.1(0)()()()( 2121

2

1

2

1

dttftfdttftft

t

t

t

正交函数的定义：

§4.1信号分解为正交函数

三、正交函数集：定义：在 [t1,t2] 区间上定义的 n 个非零实函数集

g1(t), g2(t) ,…,gn(t) ，其中任意两个函数 gi(t) 、

gj(t) 均满足：

)134.1(kdt(t)g

ji0(t)dtg(t)g

i2i

ji

2

1

2

1

t

t

t

t

其中， ki 为常数，称此函数集为正交函数

集

§4.1信号分解为正交函数

任意一个函数 f(t) 在区间 [t1,t2] 内，可以用这 n 个正交函数的线性组合来近似表示：

n

rrrnn tgctgctgctgctf

12211 )()(...)()()(

在使近似式的均方误差最小的情况下，可分别求得系数 c1,c2,…,cn ：

dttgctftt

tt

t

n

rrr

2

112

2 2

1

)()(1

§4.1信号分解为正交函数

令 02

idc

d 则：

2

12

1

2

1 )()(1

)(

)()(

2

t

t ii

t

t i

t

t i

i dttgtfkdttg

dttgtfc

dttgctftt

tt

t

n

rrr

2

112

2 2

1

)()(1

§4.1信号分解为正交函数

四、完备正交函数集 在区间 [t1,t2] 内，用正交函数集 g1(t),g2(t) ,...,gn(t) ，来近似表示函数 f(t) ，其方均误差为 ：

dttgctftt

tt

t

n

rrr

2

112

2 2

1

)()(1

若 02lim

n

则称此函数集为完备正交函数集。

§4.1信号分解为正交函数

所谓完备，是指对任意函数 f(t) ，都可以用一无穷级数表示：

1

)()(r

rr tgctf

此级数收敛于 f(t) 。上式即 f(t) 的正交分解。

§4.1信号分解为正交函数

常用的完备正交函数集 :1 、三角函数集： 函数 1 ， cost,cos2t, …,cosnt,...,sint, sin2t,… ,sinnt,…,

当所取函数有无限多个时，在区间 [t0 ， t0+T] 内组成完备正交函数集。其中 T=2/

2 、复指数函数集：函数集 ejnt,n=0,±1, ±2,…, 是一个复变函数集，在区间 [t0 ， t0+T] 内是完备正交函数集。

§4.1信号分解为正交函数