Раздел 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (задачник)

Кафедра математики

УЧЕБНО – МЕТОДИЧЕСКИЙ КОМПЛЕКС дисциплины «Математика»

________________________________________________________________________________

РАЗДЕЛ 5 «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Контрольно – измерительные материалы

Уфа • 2007

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

"УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ" (УГНТУ)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7

У90

Ответственный редактор д. ф.-м. наук, проф. Р.Н. Бахтизин

Редколлегия: АкмадиеваТ.Р., Аносова Е.П., Байрамгулова Р.С., Галиуллин М.М., Галиева Л.М.,

Галиакбарова Э.В., Гимаев Р.Г., Гудкова Е.В., Егорова Р.А., Жданова Т.Г., Зарипов Э.М., Зарипов Р.М., Исламгулова Г.Ф., Ковалева Э.А., Майский Р.А., Мухаметзянов И.З., Нагаева З.М., Савлучинская Н.М., Сахарова Л.А., Степанова М.Ф., Сокова И.А., Сулейманов И.Н., Умергалина Т.В., Фаткуллин Н.Ю., Хайбуллин Р.Я., Хаки-мов Д.К., Хакимова З.Р., Чернятьева М.Р., Юлдыбаев Л.Х., Шамшович В.Ф., Якубо-ва Д.Ф., Якупов В.М., Янчушка А.П., Яфаров Ш.А.

Рецензенты: Кафедра программирования и вычислительной математики Башкирского государст-

венного педагогического университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Р.М. Асадуллин. Кафедра вычислительной математики Башкирского государственного университета. Заведующий кафедрой д. ф.-м. наук, профессор Н.Д. Морозкин.

Учебно-методический комплекс дисциплины «Математика». Раздел 5 «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных». Контрольно-измерительные материалы. – Уфа: Издательство УГНТУ, 2007. – 159 с.

Содержит комплект заданий в тестовой форме различной сложности по всем темам раздела 5 «Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных», предназначенный для оценки знаний студентов.

Разработан для студентов, обучающихся по всем формам обучения по направлениям подготовки и специальностям, реализуемым в УГНТУ.

УДК 517.2(07) ББК 22.161.1 я 7

© Уфимский государственный нефтяной технический университет, 2007

СОДЕРЖАНИЕ

1.Понятие функции )M(fu = нескольких переменных. Об-ласть определения. Линии и поверхности уровня.

5

2. Предел функции )M(fu = . Непрерывность. 51 3. Частные производные первого порядка функции )M(fu = . 65 4. Полный дифференциал первого порядка. 73 5. Частные производные высших порядков. 81 6.Дифференциалы высших порядков. 88 7.Дифференцирование сложной функции нескольких пере-менных.

93

8.Дифференцирование функций, заданных неявно. 101 9.Касательная плоскость, нормаль к поверхности. 108 10.Производная функции по заданному направлению, гради-ент функции.

125

11.Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.

145

12. Задачи на условный экстремум. 156

4

Разработаны тестовые задания различной сложности (А – легкие; В – средние; С – трудные), которые предназначены для проверки знаний основных положений теории и базовых практических навыков по данному разделу дисциплины математика.

Система нумерации тестовых заданий

Наименование тем заданий контрольно – измерительных материалов

(КИМ) по разделу: «ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ

НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

1.Понятие функции )M(fu = нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня. 2. Предел функции )M(fu = . Непрерывность. 3. Частные производные первого порядка функции )M(fu = . 4. Полный дифференциал первого порядка. 5. Частные производные высших порядков. 6.Дифференциалы высших порядков. 7.Дифференцирование сложной функции нескольких переменных. 8.Дифференцирование функций, заданных неявно. 9.Касательная плоскость, нормаль к поверхности. 10.Производная функции по заданному направлению, градиент функции. 11.Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных. 12. Задачи на условный экстремум.

сложность номер темы порядковый номер

1 2 А

5

1. Понятие функции )M(fu = нескольких переменных. Область определения. Линии и поверхности уровня.

Номер: 1.1.А

Задача: Найти область определения функции 16yxu 22 −+=

Ответы: 1).

4

4 x

y

D

2).

16

4− 4 x

y

3).

y

4−

4−

4

4 x

4).

16

4−

x

y

4

5).

16

4− 4 x

y

6

Номер: 1.2.А

Задача: Найти область определения функции 16yxu 2 −+=

Ответы: 1).

4

4 x

y

D

2).

16

4− 4 x

y

3).

y

4−

4−

4

4 x

4).

16

4−

x

y

4

5).

16

4− 4 x

y

7

Номер: 1.3.А

Задача. Найти область определения функции 4 22 yx16u −−=

Ответы: 1).

4

4 x

y

D

2).

16

4− 4 x

y

3).

y

4−

4−

4

4 x

4).

16

4−

x

y

4

5).

16

4− 4 x

y

8

Номер: 1.4.А

Задача: Найти область определения функции ( )16xylnu 2 −+=

Ответы: 1).

4

4 x

y

D

2).

16

4− 4 x

y

3).

y

4−

4−

4

4 x

4).

16

4−

x

y

4

5).

16

4− 4 x

y

9

Номер: 1.5.А

Задача: Найти область определения функции 8 2 yx16u −−=

Ответы: 1).

4

4 x

y

D

2).

16

4− 4 x

y

3).

y

4−

4−

4

4 x

4).

16

4−

x

y

4

5).

16

4− 4 x

y

10

Номер: 1.6.В

Задача: Найти область определения функции 9y18x30y9x5

yxu 22 ++−++

=

Ответы: 1).

y

x0 1− O′

3

где ( )1;3O −′ 2).

y

x01−

3

O′

где ( )1;3O −′

3).

y

1 O′ 3− x

где ( )1;3O −′

4).

где ( )1;3O −′

y

x0 1−

3

O′

5).

0 x

y

11

Номер: 1.7.В


yxy5u 22 −−−−−

=

Ответы: 1).

y

x01− O′

3

где ( )1;3O −′ 2).

y

x0 1−

3

O′

где ( )1;3O −′

3).

y

1O′ 3− x

где ( )1;3O −′

4).

где ( )1;3O −′

y

x0 1−

3

O′

5).

0 x

y

12

Номер: 1.8.В Задача: Найти область определения функции

( )9y18x30y9x5lnu 22 +−++=

Ответы: 1).

y

x0 1− O′

3

где ( )1;3O −′ 2).

y

x01−

3

O′

где ( )1;3O −′

3).

y

1 O′ 3− x

где ( )1;3O −′

4).

где ( )1;3O −′

y

x0 1−

3

O′

5).

0 x

y

13

Номер: 1.9.В

Задача: Найти область определения функции 6 22 9y18x30y9x5u −−−−=

Ответы: 1).

y

x01− O′

3

где ( )1;3O −′ 2).

y

x0 1−

3

O′

где ( )1;3O −′

3).

y

1O′ 3− x

где ( )1;3O −′

4).

где ( )1;3O −′

y

x0 1−

3

O′

5).

0 x

y

14

Номер: 1.10.В


Ответы: 1).

y

x0 1− O′

3

где ( )1;3O −′ 2).

y

x01−

3

O′

где ( )1;3O −′

3).

y

1 O′ 3− x

где ( )1;3O −′

4).

где ( )1;3O −′

y

x0 1−

3

O′

5).

0 x

y

15

Номер: 1.11.А

Задача: Найти область определения функции 3 2 19y2x10yu −−−=

Ответы: 1).

0 x

y

2).

2−O′

4−

y

x 0

5

1

где ( )1;2O −′

3).

где ( )1;2O −′

2− O′

4−

y

x0 51

4).

2−O′

4−

y

0

5

1x

где ( )1;2O −′

5).

2− O′

4−

y

x0 51

где ( )1;2O −′

16

Номер: 1.12.В

Задача: Найти область определения функции ( )19y2x10ylogu 22 −−−=

Ответы: 1).

0 x

y

2).

2−O′

4−

y

x 0

5

1

где ( )1;2O −′

3).

где ( )1;2O −′

2− O′

4−

y

x0 5 1

4).

2−O′

4−

y

0

5

1x

где ( )1;2O −′

5).

2− O′

4−

y

x0 5 1

где ( )1;2O −′

17

Номер: 1.13.В

Задача: Найти область определения функции 19x2y10x

xy4xu 2

2

−−−+

=

Ответы: 1).

0 x

y

2).

2−O′

4−

y

x 0

5

1

где ( )1;2O −′

3).

где ( )1;2O −′

2− O′

4−

y

x0 51

4).

2−O′

4−

y

0

5

1x

где ( )1;2O −′

5).

2− O′

4−

y

x0 51

где ( )1;2O −′

18

Номер: 1.14.В

Задача: Найти область определения функции 10 2y19y2x10u −++=

Ответы: 1).

0 x

y

2).

2−O′

4−

y

x 0

5

1

где ( )1;2O −′

3).

где ( )1;2O −′

2− O′

4−

y

x0 5 1

4).

2−O′

4−

y

0

5

1x

где ( )1;2O −′

5).

2− O′

4−

y

x0 5 1

где ( )1;2O −′

19

Номер: 1.15.В

Задача: Найти область определения функции ( )19x2y10xlogu 225 −−−=

Ответы: 1).

0 x

y

2).

2−O′

4−

y

x 0

5

1

где ( )1;2O −′

3).

где ( )1;2O −′

2− O′

4−

y

x0 51

4).

2−O′

4−

y

0

5

1x

где ( )1;2O −′

5).

2− O′

4−

y

x0 51

где ( )1;2O −′

20

Номер: 1.16.В


xy2u 22 −+−+=

Ответы: 1).

6−

3− 5 1

y

x0

2− O′

2

2).

6−

3− 5 1

y

x0

2− O′

2

3).

5−

2− 41

y

x

O′

102−

4).

2−

4

1

y

xO′

0

2− 5−

5).

0 x

y

21


( )32y12x8y3x4logu 2221 −+−+=

Ответы: 1).

6−

3− 51

y

x0

2− O′

2

2).

6−

3− 51

y

x0

2− O′

2

3).

5−

2− 41

y

x

O′

102−

4).

2−

4

1

y

xO′

0

2−5−

5).

0 x

y

22

Номер: 1.18.В


Ответы: 1).

6−

3− 5 1

y

x0

2− O′

2

2).

6−

3− 5 1

y

x0

2− O′

2

3).

5−

2− 41

y

x

O′

102−

4).

2−

4

1

y

xO′

0

2− 5−

5).

0 x

y

23


( )32x12y8x3y4logu 225 −−−−=

Ответы: 1).

6−

3− 51

y

x0

2− O′

2

2).

6−

3− 51

y

x0

2− O′

2

3).

5−

2− 41

y

x

O′

102−

4).

2−

4

1

y

xO′

0

2−5−

5).

0 x

y

24

Номер: 1.20.А

Задача: Найти область определения функции 5 22 32x12y8x3y4u −−−−=

Ответы: 1).

6−

3− 5 1

y

x0

2− O′

2

2).

6−

3− 5 1

y

x0

2− O′

2

3).

5−

2− 41

y

x

O′

102−

4).

2−

4

1

y

xO′

0

2− 5−

5).

0 x

y

25

Номер: 1.21.А

Задача: Найти область определения функции 5 2 19y2x10yu −−−=

Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−

3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−

5). ( ) ( )2y101x 2 +>−

Номер: 1.22.А

Задача: Найти область определения функции ( )19y2x10ylogu 253 −−−=

Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−

3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−

5). ( ) ( )2y101x 2 +>−

Номер: 1.23.А

Задача: Найти область определения функции 19x2y10x

1y4x7u 2 −−−−+

=

Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−

3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−

5). ( ) ( )2y101x 2 +>−

Номер: 1.24.А

Задача: Найти область определения функции 2y19y2x10u −++=

Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−

3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−

5). ( ) ( )2y101x 2 +>−

Номер: 1.25.А

Задача: Найти область определения функции ( )19x2y10xlogu 24 −−−=

26

Ответы: 1). ( ) Ry,x ∈ 2). ( ) ( )2x101y 2 +>−

3). ( ) ( )2y101x 2 +≠− 4). ( ) ( )2x101y 2 +≤−

5). ( ) ( )2y101x 2 +>−

Номер: 1.26.А

Задача: Найти область определения функции

19y

25x

xy2u 22

−+=

Ответы: 1). 19y

25x 22

≠+ 2). 19y

25x 22

≠− 3). 19y

25x 22

>+

4). 19y

25x 22

≥− 5). ( ) Ry,x ∈

Номер: 1.27.А

Задача: Найти область определения функции

19y

25x

yxu 22

32

−−

−=


25x 22

≠+ 2). 19y

25x 22

≠− 3). 19y

25x 22

>+

4). 19y

25x 22

≥− 5). ( ) Ry,x ∈

Номер: 1.28.А

Задача: Найти область определения функции ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+= 1

9y

25xlogu

22

5


25x 22

≠+ 2). 19y

25x 22

≠− 3). 19y

25x 22

>+

4). 19y

25x 22

≥− 5). ( ) Ry,x ∈

27

Номер: 1.29.А

Задача: Найти область определения функции 422

19y

25xu −−=


25x 22

≠+ 2). 19y

25x 22

≠− 3). 19y

25x 22

>+

4). 19y

25x 22

≥− 5). ( ) Ry,x ∈

Номер: 1.30.А


19y

25xu −−=


25x 22

≠+ 2). 19y

25x 22

≠− 3). 19y

25x 22

>+

4). 19y

25x 22

≥− 5). ( ) Ry,x ∈

Номер: 1.31.B


ex2u 22

y3

+−−++

=

Ответы: 1).

4

1 4

2

y

x0 2−

O′

2).

0 x

y

28

3).

4

1 4

2

y

x 0 2−

O′

где ( )2;1O′ 4).

4

1 4

2

y

x 02−

O′

5).

y

0 x

O′

где ( )2;1O′

Номер: 1.32.B Задача: Найти область определения функции

7 22 4y36x8y9x104u +−−+=

Ответы: 1).

4

1 4

2

y

x0 2−

O′

2).

0 x

y

3).

4

1 4

2

y

x 0 2−

O′

где ( )2;1O′ 4).

4

1 4

2

y

x 02−

O′

29

5).

y

0x

O′

где ( )2;1O′


( )y36x8y9x44logu 2221 ++−−=

Ответы: 1).

4

1 4

2

y

x0 2−

O′

2).

0 x

y

3).

4

1 4

2

y

x0 2−

O′

где ( )2;1O′ 4).

4

1 4

2

y

x02−

O′

5).

y

0x

O′

где ( )2;1O′

30


( ) xy24y36x8y9x4u6122 +++−−=

Ответы: 1).

4

1 4

2

y

x0 2−

O′

2).

0 x

y

3).

4

1 4

2

y

x 0 2−

O′

где ( )2;1O′ 4).

4

1 4

2

y

x 02−

O′

5).

y

0 x

O′

где ( )2;1O′

31


( ) 32225 yx68y36x8y9x4logu −+−+−−=

Ответы: 1).

4

1 4

2

y

x0 2−

O′

2).

0 x

y

3).

4

1 4

2

y

x0 2−

O′

где ( )2;1O′ 4).

4

1 4

2

y

x02−

O′

5).

y

0x

O′

где ( )2;1O′

32

Номер: 1.36.С

Задача: Найти область определения функции ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= 2y

x8arcsinu

Ответы: 1).

x

y

2).

x

y

3).

x

y

4).

x

y

5).

y

x

33

Номер: 1.37.С

Задача: Найти область определения функции ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= 2x

y8arccosu

Ответы: 1).

x

y

2).

x

y

3).

x

y

4).

x

y

5).

y

x

34

Номер: 1.38.С

Задача: Найти область определения функции 4 22 x8yyx8u ++−=

Ответы: 1).

x

y

2).

x

y

3).

x

y

4).

x

y

5).

y

x

35

Номер: 1.39.С Задача: Найти область определения функции

( ) ( )y8xlogxy8logu 22

25 ++−=

Ответы: 1).

x

y

2).

x

y

3).

x

y

4).

x

y

5).

y

x

36

Номер: 1.40.С

Задача: Найти область определения функции ( )22

4 2yx8log

yx81x4u −−+

−

+=

Ответы: 1).

x

y

2).

x

y

3).

x

y

4).

x

y

5).

y

x

37

Номер: 1.41.C


22

yx2xyx2xu

+−++

=

Ответы: 1).

y

x

1

2−

22− 0

2).

y

x

1

2−

22− 0

3).

y

x

2−

1 22−

2−

4− 4

2

4).

y

x

2−

2−

2−

4−

2

5).

y

x

1

2−

2 0

38

Номер: 1.42.C


22

yx2xyx2xu

+++−

=

Ответы: 1).

y

x

1

2−

22− 0

2).

y

x

1

2−

2 2− 0

3).

y

x

2−

1 22−

2−

4− 4

2

4).

y

x

2−

2−

2−

4−

2

5).

y

x

1

2−

2 0

39

Номер: 1.43.C


22

yx4xyx4xu

+−++

=

Ответы: 1).

y

x

1

2−

22− 0

2).

y

x

1

2−

22− 0

3).

y

x

2−

1 22−

2−

4− 4

2

4).

y

x

2−

2−

2−

4−

2

5).

y

x

1

2−

2 0

40

Номер: 1.44.C


22

yx4xyx4xu

+++−

=

Ответы: 1).

y

x

1

2−

22− 0

2).

y

x

1

2−

2 2− 0

3).

y

x

2−

1 22−

2−

4− 4

2

4).

y

x

2−

2−

2−

4−

2

5).

y

x

1

2−

2 0

41

Номер: 1.45.C


22

yx2xyx4xu

+−++

=

Ответы: 1).

y

x

1

2−

22− 0

2).

y

x

1

2−

22− 0

3).

y

x

2−

1 22−

2−

4− 4

2

4).

y

x

2−

2−

2−

4−

2

5).

y

x

1

2−

2 0

42

Номер: 1.46.C


22

xy6yxy6yu

+−++

=

Ответы: 1).

6

y

x33−

3−

6−

3

2).

6

y

x3 3−

3−

6−

3

3).

6

y

x3 3− 6

3

43

4).

6

y

x33−

3−

6−

3

5).

6

y

x33− 6

3

Номер: 1.47.C


22

xy6yxy6yu

+++−

=

Ответы: 1).

6

y

x33−

3−

6−

3

44

2).

6

y

x3 3−

3−

6−

3

3).

6

y

x3 3− 6

3

4).

6

y

x3 3−

3−

6−

3

5).

6

y

x3 3− 6

3

45

Номер: 1.48.C Задача: Найти область определения функции

( ) ( )225

224 yx6xlogxy6ylogu +−+−+−=

Ответы: 1).

6

y

x33−

3−

6−

3

2).

6

y

x33−

3−

6−

3

3).

6

y

x3 3− 6

3

46

4).

6

y

x3 3−

3−

6−

3

5).

6

y

x3 3− 6

3


( ) ( )224

222 xy6ylogxy6ylogu ++++−=

Ответы: 1).

6

y

x33−

3−

6−

3

47

2).

6

y

x33−

3−

6−

3

3).

6

y

x3 3− 6

3

4).

6

y

x33−

3−

6−

3

5).

6

y

x33− 6

3

48


2 224 22 xy6yyx6xu −+−++−=

Ответы: 1).

6

y

x33−

3−

6−

3

2).

6

y

x3 3−

3−

6−

3

3).

6

y

x3 3− 6

3

49

4).

6

y

x33−

3−

6−

3

5).

6

y

x33− 6

3

Номер: 1.51.А

Задача: Область определения функции ( )y,xfz = - это область изменения:

Ответы: 1). независимых переменных x и y

2). независимой переменной x 3). независимой переменной y

4). переменной z 5). переменных z,y,x

Номер: 1.52.А

Задача: Для табличного способа задания функции двух переменных ( )y,xfz =

приходится применять таблицу: Ответы:1). с одним входом 2). с двумя входами 3). с тремя входами 4). функцию ( )y,xfz = табличным способом задать нельзя

5). количество входов не имеет значения.

Номер: 1.53.А Задача: Линии уровня функции ( )y,xfz = получаются при проектировании

линии пересечения поверхности ( )y,xfz = плоскостями параллельными

плоскости: Ответы: 1). x0z 2). z0y 3). y0x

50

4). любой из плоскостей ;y0x ;z0y x0z 5). таких линий нет

Номер:1.54.А

Задача: Областью определения функции трех переменных ( )z,y,xfu = служит:

Ответы: 1). область изменения переменных y,x

2). область изменения переменных z,y

3). область изменения переменных y,z

4). все пространство аргументов z,y,x

5). такого понятия нет

Номер: 1.55.А Задача: Поверхностью уровня функции ( )z,y,xuu = называется такая

поверхность ( ) сz,y,xf = , в точках которой данная функция имеет

Ответы: 1). 0u = 2). переменное значение u 3). максимальное значение 4). значение eu ≠ 5). постоянное значение сu =

51

2. Предел функции )M(fu = . Непрерывность.

Номер: 2.1.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:

1yxxyu 22 −+−= Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция

непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы 0x4y2 =− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек прямой 0x2y =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы

04y2x 2 =−−

Номер: 2.2.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: x4y

4y2xu 2

2

−−−

=

Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция


04y2x 2 =−−

Номер: 2.3.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: yx2

y3u+

=



04y2x 2 =−−

Номер: 2.4.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 2y5yx2u +

=

52



04y2x 2 =−−

Номер: 2.5.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 4y2x

x4yu 2

2

−−−

=



04y2x 2 =−−

Номер: 2.6.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 2

2

x1yxu +−

=

Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы

01yx 2 =+− 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек окружности

04yx 22 =−+ 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈

Номер: 2.7.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 1yx

x3u 2

2

+−=




53


2

22

y4y4x4u −+

=




Номер: 2.9.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 4yx

y5u 22

2

−+=




Номер: 2.10.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: ( )xysinu = Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy 2).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек параболы



Номер: 2.11.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: ( )yxcosu += Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция непрерывна при любых ( ) 1yx:y,x ≥+ 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек ( ) 1yx:y,x =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy

54

Номер: 2.12.А Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 1yxu −+= Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция непрерывна при любых ( ) 1yx:y,x ≥+ 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек ( ) 1yx:y,x =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy

Номер: 2.13.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: yx1

x5u−−

=

Ответы: 1).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ 2).функция непрерывна при любых ( ) 1yx:y,x ≥+ 3).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек ( ) 1yx:y,x =+ 4).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Ox 5).функция непрерывна при любых ( ) Ry,x ∈ , кроме точек оси Oy

Номер: 2.14.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 2yy4x44u −−

=


Номер: 2.15.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: x

x7y7u +=


55


( )144y9x16sinu 22 −−= Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 4b;3a;0;0O ==′ ) 3).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 3b;4a;0;0O ==′ ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром ( )0;0O′ и полуосями 3b;4a == ) 5).функция непрерывна только в точках ( )y,x , расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,

3b;4a == )


144y9x16xu 22 −−

=

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 4b;3a;0;0O ==′ ) 3).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 3b;4a;0;0O ==′ ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром ( )0;0O′ и полуосями 3b;4a == ) 5).функция непрерывна только в точках ( )y,x , расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,

3b;4a == )


144y9x16yu 22 −+

=

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 4b;3a;0;0O ==′ ) 3).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ( ) 3b;4a;0;0O ==′ ) 4).функция непрерывна во всех точках плоскости Oxy , кроме точек расположенных на эллипсе и внутри него (с центром ( )0;0O′ и полуосями 3b;4a == ) 5).функция

56

непрерывна только в точках ( )y,x , расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ , 3b;4a == )

Номер: 2.19.А

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:

( )144y16x9logu 222 −+=


3b;4a == )


( )224 y16x9144logu −−=


3b;4a == )


( )400y25x16cosu 22 −+= Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( )0;0O′ и полуосями

4b;5a == )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x

57

плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ , 4b;5a == )

Номер: 2.22.В

Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:

400y25x16yxu 22 −+

+=

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( )0;0O′ и полуосями

4b;5a == )и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( )0;0O′ ,

4b;5a == )

Номер: 2.23.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность:

400y25x16xuu 22

2

−−==



4b;5a == )


4 22 y25x16400u −−= Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x

58

плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 4b;5a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( )0;0O′ и полуосями


4b;5a == )


( )400y25x16logu 225 −+=



4b;5a == )

Номер: 2.26.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: 45y9xu 22 −+= Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )


45y9xx4u 22 −+

=

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x

59

плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )


45y9xy4u 22 −−

=

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )

Номер: 2.29.В Задача: Исследовать функцию ( )Mfu = на непрерывность: g Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )


)45y9x(logu 227 −+=

Ответы: 1).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy 2).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек эллипса ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 3).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек гиперболы ( ) 5b;45a;0;0O ==′ 4).функция непрерывна только в точках ( )y;x эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ ) и внутри

60

него 5).функция непрерывна во всех точках ( )y;x плоскости Oxy , кроме точек, расположенных внутри эллипса ( ( ) 5b;45a;0;0O ==′ )

Номер: 2.31.С

Задача: Вычислить предел функции ( )yxytglim

0yax

→→

Ответы: 1).a 2).0 3).a1

4).1 5). 2a1

Номер: 2.32.С

Задача: Вычислить предел функции ( )

yxyarcsinlim

ay0x

→→

Ответы: 1).a 2).0 3).a1

4).1 5). 2a1

Номер: 2.33.С

Задача: Вычислить предел функции ( )хxysinlim

a1

y

0x

→

→

Ответы: 1).a 2).0 3).a1

4).1 5). 2a1

Номер: 2.34.С

Задача: Вычислить предел функции ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+∞→∞→ yx

aarctgyxa1lim

yx

Ответы: 1).a 2).0 3).a1

4).1 5). 2a1

Номер: 2.35.С

Задача: Вычислить предел функции ( )2

2

ay0x xy

axysin

lim⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

→→

Ответы: 1).a 2).0 3).a1

4).1 5). 2a1

61

Номер: 2.36.С

Задача: Вычислить предел функции ( )( )( )( )ayxarcsin

yxasinlim0y0x +

+

→→

Ответы: 1).1 2).a1

3).a 4).0 5).∞

Номер: 2.37.С

Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )xyctg

axylim

ay0x

⋅→→

Ответы: 1).1 2).a1

3).a 4).0 5).∞

Номер: 2.38.С

Задача: Вычислить предел функции ( )xyarctgxyalim

0yax

⋅→→

Ответы: 1).1 2).a1

3).a 4).0 5).∞

Номер: 2.39.С

Задача: Вычислить предел функции ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∞→∞→ xy

1arcsinaxlimyx

Ответы: 1).1 2).a1

3).a 4).0 5).∞

Номер: 2.40.С

Задача: Вычислить предел функции ( )( ) xyxy

axysinlim 20y0x +

→→

Ответы: 1).1 2).a1

3).a 4).0 5).∞

Номер: 2.41.С

Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )( ) ( )xybxyb

axyaxyalim

22

1

322

1

yx +

++

∞→∞→

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).1 5).1

1

ab

62

Номер: 2.42.С


( ) ( ) 322

1

21

yx bxybxyb

axyalim

++

+

∞→∞→

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).1 5).1

1

ab

Номер: 2.43.С

Задача: Вычислить предел функции ( ) ( )

( ) 21

322

1

yx bxyb

axyaxyalim

+++

∞→∞→

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).1 5).1

1

ab

Номер: 2.44.С

Задача: Вычислить предел функции ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∞→→ xy

bsinbxylim 1

1yax 1

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).1 5).1

1

ab

Номер: 2.45.С


⎞⎜⎜⎝

⎛+

⋅+

∞→∞→ yx

barctga

yxlim 1

1yx

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).1 5).1

1

ab

Номер: 2.46.С


( ) ( )yxbyxbayxayxa

lim 22

21

32

222

1

yx +

++

∞→∞→

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).12

2

bab⋅

5).3

1

ba

Номер: 2.47.С


( ) ( ) 32

24

1

22

1

ayx bxybxyb

axyalim

3++

+

→∞→

63

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).12

2

bab⋅

5).3

1

ba

Номер: 2.48.С


( ) 23

1

33

26

1

ybx bxyb

axyaxyalim

3 +

++

∞→→

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).12

2

bab⋅

5).3

1

ba

Номер: 2.49.С

Задача: Вычислить предел функции ( )⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

∞→→ xya

btg

bxylim

2

2

1ybx 3

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).12

2

bab⋅

5).3

1

ba

Номер: 2.50.С


⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

→∞→ yx

aarcsinb

yxlim 1

3byx

2

Ответы: 1).1

1

ba

2).0 3).∞ 4).12

2

bab⋅

5).3

1

ba

Номер: 2.51.С

Задача: Вычислить предел функции a

yx

yx yx

a1lim

+

∞→∞→ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+

Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1

5).1

Номер: 2.52.С

Задача: Вычислить предел функции xy

ybx xy

a1lim ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∞→→

Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1

5).1

64

Номер: 2.53.С

Задача: Вычислить предел функции ( )axy1

0ybx

xy1lim +→→

Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1

5).1

Номер: 2.54.С

Задача: Вычислить предел функции ( )xy1lnaxy1lim

by0x

+⋅→→

Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1

5).1

Номер: 2.55.С


⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅

⋅

∞→→ xy

b1lnb

yxlimy

ax

Ответы: 1).e 2). ae 3). a e 4).a1

5).1

Номер: 2.56.А

Задача: Функция ( )Mfz = называется непрерывной в точке 0M , если она определена в точке 0M и ее окрестности, и имеет место условие: Ответы: 1). ( ) 0Mflim

0MM=

→ 2). ( ) ( )0MM

MfMflim0

=→

3). ( ) ∞=→

Mflim0MM

4). ( ) ( )00MMfMflim =

→ 5). ( ) 0Mflim

M=

∞→

65

3. Частные производные первого порядка функции )M(fu = .

Номер: 3.1.А Задача: Задана функция 256 yx3yxz ⋅⋅−+= . Найти xz′ .

Ответы: 1). 25x y3x6z −=′ 2). yx6y5z 4

x −=′ 3). 2x y3z −=′

4). 245x y3y5x6z −+=′ 5). xy6y5x6z 45

x −+=′

Номер: 3.2.А Задача: Задана функция 24 yx3xyz ++= . Найти yz′ .

Ответы: 1). 2y yyz +=′ 2). 3

y x12yz +=′ 3). y2xz y +=′

4). y2x3xz 4y ++=′ 5). y2x12xz 3

y ++=′ Номер: 3.3.А

Задача: Задана функция x6xyyx4z 2 −+−= . Найти xz′ .

Ответы: 1). x6xyyx8z 2x −+−=′ 2). 6

xyyx8z 2x −−−=′ 3).

x1yx8z x +−=′

4).x1x4z 2

x +−=′ 5). 6xyyx8z 2x −+−=′

Номер: 3.4.А

Задача: Задана функция 22 y17xy9x7z +−= . Найти yz′ .

Ответы: 1). y34z y =′ 2). y34x9x14z y +−=′ 3). y34x9z y +−=′

4). 2y y17x9z +−=′ 5). y34y9z y +−=′

Номер: 3.5.А

Задача: Задана функция 32 xy1x

yz ⋅+−

= . Найти xz′ .

Ответы: 1). 22x yx3yz +=′ 2). 3

x xy21x

1z ⋅+−

=′ 3).( )

222x yx3

1xyz +−

=′

4).( )

222x xy3

1xyz +−

−=′ 5). 22x yx3yz +−=′

Номер: 3.6.В

Задача: Задана функция 2y

xarctgz−

= . Найти yz′ .

66

Ответы: 1).( ) 22y

x2y

2yz−−

−=′ 2). ( )( )2yx1

xz 2y−+

=′ 3).( ) 22y

x2yxz+−

−=′

4).( ) 22y

x2y1z+−

=′ 5).( ) ( )( )22y

x2y2yxz

+−−=′

Номер: 3.7.В

Задача: Задана функция y2xz −= . Найти xz′ .

Ответы: 1). xlnxz y2x ⋅−=′ − 2). ( ) y1

x xy2z −−=′ 3). xlnxz y2x ⋅=′ −

4). ( ) y3x xy2z −−=′ 5). ( )y2lnxz y2

x −⋅−=′ −

Номер: 3.8.А

Задача: Задана функция ( )x

1ycosz2 +

= . Найти yz′ .

Ответы: 1).( )x

1ysiny2z2

y+⋅

−=′ 2).( )

2

2

y x1ysin2z +

−=′ 3).( )

2

2

y x1ycosz +

−=′

4).( )

x1ysinz

2

y+

−=′ 5).( )

2

2

y x1ysinz +

=′

Номер: 3.9.А

Задача: Задана функция ( )22 yxlnz −= . Найти xz′ .

Ответы: 1). 22x yx1z−

=′ 2). 22x yxx2z−

=′ 3). 22x yxy2z

−−

=′ 4). 2x x1z =′

5).yx

1z x +=′

Номер: 3.10.А

Задача: Задана функция xcosyysinxz 22 += . Найти yz′ .

Ответы: 1). ( )xcosyysinx2z y +=′ 2). ( )xsinyycosx2z y −=′

3). xcosy2ycosxz 2y +=′ 4). xcosyycosxz 22

y +=′

5). ( )xcosysin2z y +=′ Номер: 3.11.А

Задача: Задана функция 33 yxyz−

= . Найти xz′ .

67

Ответы: 1).( )233

2

xyx

yx3z−

−=′ 2). 33

2

x yxyx3z

−=′ 3). 32x yx3

1z−

=′

4).( )233

33

xyx

y2xz−

+=′ 5).

( )233xyx

yz−

−=′

Номер: 3.12.А

Задача: Задана функция ( ) y13xyctgz −+−= . Найти yz′ .

Ответы: 1).( )

3ln3xy

1z y12y ⋅+

−=′ − 2).

( )( ) y

2y 3y1xysin

1z −⋅−+−

−=′

3).( )

3ln3xysin

1z y12y

−+−

−=′ 4).( )xysin1z 2y−

=′

5).( )

3ln3xysin

1z y12y ⋅−

−−=′ −

Номер: 3.13.А

Задача: Задана функция ( ) xyxyln2z 2 −+= . Найти xz′ .

Ответы: 1). yxy

2z 2x −+

=′ 2). yxyx4z 2x −+

=′ 3). yxyx2z 2x −

+=′

4). xxy

2z 2x −+

=′ 5). yxy

2z 2x −−

=′

Номер: 3.14.А

Задача: Задана функция ysinxz 22= . Найти yz′ .

Ответы: 1). ysinx4z y =′ 2). ysinx2z 2y =′ 3). y2sinxz 2

y =′

4). ycosxz 22y =′ 5). ysinz 2

y =′

Номер: 3.15.А

Задача: Задана функция 2xyz = . Найти xz′ .

Ответы: 1). 1x2x

2yxz −=′ 2). xlny2z

2xx ⋅=′ 3). ylnyz

2xx ⋅=′

4). ylnyx2z2x

x ⋅⋅=′ 5). 1x3x

2yx2z −⋅=′

Номер: 3.16.А

Задача: Задана функция 22 y5yxyxz −+= . Найти

yz∂∂

.

68

Ответы: 1). y10yxx

yz

22 −−=

∂∂

2). y10y1yx2

yz

−+=∂∂

3). xxyz 2 +=∂∂

4). y10yz

−=∂∂

5). 2y5y1y

yz

−+=∂∂

Номер: 3.17.А

Задача: Задана функция x6xyyx4z 2 −+−= . Найти

yz∂∂

.

Ответы: 1). 6x1x4

yz 2 −+−=∂∂

2). 6xyy4

yz

2 −−−=∂∂

3). 6xyxy8

yz

2 −+−=∂∂

4).x1x4

yz 2 +−=∂∂

5).нет правильного ответа

Номер: 3.18.B

Задача: Задана функция 22xy1y2xz +

−+

= . Найти xz∂∂

.

Ответы: 1). 2xy21y

2xz

+−

=∂∂

2). 2xy21y

1xz

+−

=∂∂

3).( )

22 yx2

1y2x

xz

+−+

=∂∂

4). 2yx21y

1xz

+−

=∂∂


Номер: 3.19.В

Задача: Задана функция ( )1xy1y3xz 2 −+

−−

= . Найти yz∂∂

.


22 y

1y3x

yz

+−−

=∂∂

2). 2y1y

1yz

+−

=∂∂

3).( )

( )1xy21y3x

yz

2 −+−−

−=∂∂

4). yx21y

1yz

+−

=∂∂


Номер: 3.20.А

Задача: Задана функция x5yz −= . Найти yz∂∂

.

69

Ответы: 1). ( ) 5lnyx5yz x5 ⋅−=∂∂ − 2). ( ) x4yx5

yz −−=∂∂

3). 5lnyyz x5 ⋅=∂∂ −

4). x5yyz −=∂∂


Номер: 3.21.А

Задача: Задана функция x5yz −= . Найти xz∂∂

.

Ответы: 1). 5lnyxz x5 ⋅=∂∂ − 2). x5y

xz −−=∂∂

3). ( ) x4yx5xz −−=∂∂

4).нет

правильного ответа 5). 5lnyxz x5 ⋅−=∂∂ −

Номер: 3.22.В

Задача: Задана функция ( ) xy

y1xsinz

2

++

= . Найти yz∂∂

.

Ответы: 1).( ) xy

1xcosyz

2

2

++

−=∂∂

2).( ) xy

1xsinyz

2

2

++

−=∂∂

3).( ) yy

1xcosx2yz 2

++

=∂∂

4).( ) x

y1xsin

yz 2

++

=∂∂


Номер: 3.23.В

Задача: Задана функция ( ) yx63x2ytgz −+−= . Найти yz∂∂

.


( ) yx52 3yx6

x2ycos2

yz −−+

−−=

∂∂

2).( )

3ln3xx2ysin

1yz yx6

2 ⋅⋅−−

−=∂∂ − 3).

( )3ln3x

x2ycos1

yz yx6

2 ⋅⋅−−

=∂∂ −

4).( )

( ) yx52 3yx6

x2ycos1

yz −−+

−−=

∂∂


Номер: 3.24.В

Задача: Задана функция ( ) yx103xytgz −+−= . Найти xz∂∂

.

70


3ln3yxycos

1xz yx10

2 ⋅⋅−−

−=∂∂ −

2).( )

3ln3yxysin

1xz yx10

2 ⋅⋅−−

=∂∂ − 3).

( )( ) yx9

2 3yx10xycos

1xz −⋅−+

−−=

∂∂

4).( )

( ) yx92 3yx10y

xysin1

xz −⋅−+

−=

∂∂


Номер: 3.25.В

Задача: Задана функция xyx

y2z 3 −= . Найти

xz∂∂

.

Ответы: 1).xyx

yx2xz

3 −−=

∂∂

2).( )23

22

xyx

yx6y2xz

−

−=

∂∂

3).( )23 xyx

2xz

−=

∂∂

4).( )23

2

xyx

1y2xz

−

−=

∂∂


Номер: 3.26.В

Задача: Задана функция ( ) xy2yxlnz 32 −+= . Найти yz∂∂

.

Ответы: 1). x2yx

1yz

32 −+

=∂∂

2). y2yx

x2yz

32 −+

=∂∂

3). xy2yx

1yz

32 −+

=∂∂

4). x2yx

y3yz

32

2

−+

=∂∂


Номер: 3.27.А

Задача: Задана функция y1xz −= . Найти yz∂∂

.

Ответы: 1). xlnxyz y1 ⋅−=∂∂ − 2). ( ) xlnx1y

yz y ⋅⋅−=∂∂ − 3). y2xy

yz −⋅−=∂∂

4). ( ) yxy1yz −⋅−=∂∂


Номер: 3.28.В

Задача: Задана функция ( ) y5xycosz −= . Найти xz∂∂

.

71

Ответы: 1). ( ) 5xysinyxz

−=∂∂

2). ( )xysinxz=

∂∂

3). ( )xysinyxz

−=∂∂

4). ( )xysinyxz=

∂∂


Номер: 3.29.В

Задача: Задана функция ( ) x6xy71cosz +−= . Найти yz∂∂

.

Ответы: 1). ( )xy71sinx7yz

−=∂∂

2). ( ) x6xy71siny7yz

+−⋅−=∂∂

3). ( )xy71sinx7yz

−⋅−=∂∂

4). ( ) 6xy71sinx7yz

+−−=∂∂

5).нет правильного

ответа

Номер: 3.30.В

Задача: Задана функция ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

yxarcsinz . Найти

yz∂∂

.

Ответы: 1).22 xyy

1yz

−=

∂∂

2).22 xy

xyz

−=

∂∂

3).22 xyy

xyz

−−=

∂∂

4).22 yx

1yz

−=

∂∂


Номер: 3.31.A

Задача: Частной производной функции ( )y,xfz = по переменной ,x в точке ( )y,xM называется предел (если такой существует) отношения:

Ответы: 1).xz

limxz y

0x Δ

Δ=

∂∂

→Δ 2).

xz

limxz x

0x ΔΔ

=∂∂

→Δ 3).

xz

limxz x

x ΔΔ

=∂∂

∞→Δ

4).xy

limxz x

0x ΔΔ

=∂∂

→Δ 5).

yz

limxz x

0y ΔΔ

=∂∂

→Δ

Номер: 3.32.A

Задача: Частной производной функции ( )y,xfz = по переменной y , в точке ( )y,xM называется предел (если такой существует) отношения:

72

Ответы: 1). ( ) ( )y

y,xfyy,xflimyz

0y Δ−Δ+

=∂∂

→Δ 2). ( ) ( )

xy,xfyy,xflim

yz

0x Δ−Δ+

=∂∂

→Δ

3). ( ) ( )y

y,xfy,xxflimyz

0y Δ−Δ+

=∂∂

→Δ 4). ( ) ( )

yy,xxfyy,xflim

yz

0y ΔΔ+−Δ+

=∂∂

→Δ

5). ( ) ( )yx

y,xfyy,xxflimyz

0y ΔΔ−Δ+Δ+

=∂∂

→Δ

73

4. Полный дифференциал первого порядка.

Номер: 4.1.А Задача: Задана функция ( )22 yxsinz += . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )22 yxcos2dz += 2). ( )( )ydyxdxyxcos2dz 22 ++=

3). ( )dxyxcosx2dz 22 += 4). ( )dyyxcosy2dz 22 += 5).нет правильного ответа

Номер: 4.2.В Задача: Задана функция yxz = . Найти дифференциал функции.

Ответы: 1). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += xdylndx

xyxdz y 2). dxyxdz 1y−= 3). xdylnxdz y=

4). xdylndxxydz += 5).нет правильного ответа

Номер: 4.3.А

Задача: Задана функция 3223 y2yx3xyz +−= . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( ) ydy3dxx63ydz 2 +−= 2). ( )dxxy6ydz 23 −= 3). ( ) ( )dyy2x2yxy3dxx6yydz 22 +−+−= 4). 222 y6yx6xy3dz +−= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.4.А

Задача: Найти полный дифференциал функции, если yxyxz

−+

= .

Ответы: 1). ydxxdy − 2).( )2yx

ydxxdy−+

3).( )2yx

xdy−

4).( )( )2yx

ydxxdy2−−

5).нет

правильного ответа

Номер: 4.5.В Задача: Задана функция ( )xysinz = . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( ) ( )xycosydxxdydz += 2). ( )xdyxycosdz = 3). ( ) ( )xycosdxdydz += 4). ydxxdydz −= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.6.А Задача: Задана функция xyzeu = . Найти дифференциал функции.

74

Ответы: 1). ( )xdzxdyzdxedu xyz ++= 2). ( )xydzxzdyyzdxedu xyz ++= 3). ( )zdzydyxdxedu xyz ++= 4). ( )zdzxdyydxedu xyz ++= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.7.В Задача: Задана функция ( )xyarctgz = . Найти дифференциал функции.

Ответы: 1). 22 yx1xdxydydz

+−

= 2). 22 yx1ydxxdydz

++

= 3). 22 yx1dxdydz

++

=

4). 22 yx1xdxydydz

++

= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.8.В

Задача: Задана функция yxyxarctgz

−+

= . Найти дифференциал функции.

Ответы: 1). 22 yxydxxdydz

++

= 2). 22 yxxdxydydz

++

= 3). ydyxdxdz +=

4). 22 yxydxxdydz

+−


Номер: 4.9.А

Задача: Задана функция yx

yxu 2

3

−= . Найти дифференциал функции.

Ответы: 1). 3yxdydxdu +

= 2). 3ydydxdu −

=

3).( ) ( )

3

32

ydyx2xydxyx3du −+−

= 4).( )( )

3yxdydxyx2du −−

= 5).нет


Номер: 4.10.В

Задача: Задана функция 2x1yarctgz+

= . Найти дифференциал функции.

75

Ответы: 1).( )222 x1y

dydxdz+

+= 2).

( )( ) 222

2

yx1

dyx1xydx2dz++

++−=

3).( )222 x1y

ydyxdxdz++

+= 4).

( )222 x1y

xdyydxdz++

−= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.11.B

Задача: Задана функция ( )ylnxlnz += . Найти дифференциал функции.

Ответы: 1). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=

ydydx

ylnx1dz 2). ( )dydx

ylnx1dz −+

=

3). ( )dydxylnx

1dz ++

= 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+= dy

ydx

ylnx1dz 5).нет правильного

ответа

Номер: 4.12.В Задача: Задана функция xy2z = . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )ydyxdx2ln2dz xy +⋅= 2). ( )ydyxdx2dz xy +⋅=

3). ( )xdyydx2ln2dz xy +⋅= 4). ( )xdyydx2ln2dz xy −⋅= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.13.В Задача: Задана функция xyz = . Найти дифференциал функции.


⎞⎜⎜⎝

⎛+= ydyln

ydxydz x 2). ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= dy

yxdxxlnydz x

3). ( )ydyxdxydz x += 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= dy

yxydxlnydz x 5).нет правильного ответа

Номер: 4.14.В

Задача: Задана функция ( )1xycosz −= . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )( )ydyxdx1xysindz +−−= 2). ( )( )xdyydx1xysindz +−−= 3). ( )( )ydyxdx1xysindz +−= 4). ( )( )xdyydx1xysindz −−= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.15.В


ez = . Найти дифференциал функции.

76


⎞⎜⎜⎝

⎛+= xdy

ydxedz y

x

2). ( )xdyydxey1dz y

x

2 −=

3). ( )dydxedz yx

+= 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= dy

yxdxedz y

x


Номер: 4.16.В

Задача: Найти полный дифференциал функции, если yxarcsinz = .


⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−= 222 y

dydxxy

1dz 2). ( )dydxxy

1dz22

−−

=

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ ⋅−

−= 222 y

dyxdxxy

1dz 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−= dy

ydx

xy1dz 222

5).нет


Номер: 4.17.А Задача: Найти полный дифференциал функции, если ( ) 7x21yz 2 +−= .

Ответы: 1). ( )dyx21y2dxy2dz 2 −+−= 2). ydy2dxy2dz 2 += 3). ( )dyx21dxydz 2 −+= 4). ( ) dyydxx21dz 2+−= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.18.А Задача: Найти полный дифференциал функции, если 222 y5xyyxz +−= .

Ответы: 1). ( ) ( )dyy10xyx2dx1xy2ydz 2 +−+−= 2). ( ) ( )dyy10xdx1yydz 2 −+−= 3). ( ) xdydxy10xy2dz ++= 4). ( ) ( )dyy10xyx2dx1yydz 2 +−+−= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.19.А Задача: Найти полный дифференциал функции, если ( )22

3 xy5logz −= .

Ответы: 1). 22

22

xy5dyxdxydz

−+

−= 2).( )

( ) 3lnxy5xdyydxxydz 22−

+=

3).( )

( ) 3lnxy5xdyydxxy2dz 22−

+−= 4). ( ) 3lnxy5

xdyydxdz 22−−

−= 5).нет правильного

ответа

77

Номер: 4.20.В

Задача: Найти полный дифференциал функции, если x

1yu −= .

Ответы: 1). dyx1dx

x1ydu 2 +

−= 2). ( )

xdydx1ydu +−= 3). ydxxdydu +=

4). dyx1dx

x1ydu 2 −

−= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.21.А

Задача: Найти полный дифференциал функции, если 2xy5u −= .

Ответы: 1). xdydxydu 2 −= 2). xydy2dxydu 2 += 3). xdyydxdu += 4). xydy2dxydu 2 −−= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.22.В Задача: Найти полный дифференциал функции, если ( ) 32 zy2xu ⋅⋅−= . Ответы: 1). ( )zdyxdyzdxyzdu ++= 2). ( ) dzz3dy2xy2dxydu 22 +−+=

3). ( ) ( )( )ydz2x3zdy2x2yzdxyzdu 2 −+−+= 4). ( ) dzzdyydx2xdu 32 ++−= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.23.А

Задача: Найти полный дифференциал функции, если 22 yx

1z−

= .


( )ydyxdxyx

1dz322

+−

= 2).( )

( )ydyxdxyx

1dz322

−−

=

3).( )

( )dydxyx

1dz322

+−

= 4).( )

( )xdxydyyx

1dz322

−−

= 5).нет


Номер: 4.24.В

Задача: Найти полный дифференциал функции, если y2zy2zu

+−

= .

78


( )zdyydzy2z

4du 2 −+

= 2).( )

( )zdyydzy2z

1du 2 −+

=

3).( )

( )zdyydzy2z

1du 2 ++

= 4).( )

( )zdyydzy2z

4du 2 −−

= 5).нет


Номер: 4.25.А Задача: Задана функция 3exz y +⋅= . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )dydxedz y += 2). ( )dydxedz y −= 3). ( )xdydxedz y += 4). ( )dyxdxedz y += 5).нет правильного ответа

Номер: 4.26.А

Задача: Задана функция x13yz −⋅= . Найти дифференциал функции.

Ответы: 1). ( )dyydx3dz x1 += − 2). ( )dydx3dz x1 −= − 3). ( )dydx3ln3dz x1 += − 4). ( )dx3lnydy3dz x1 ⋅−= − 5).нет правильного ответа

Номер: 4.27.А Задача: Задана функция ( )xysinz 2 −= . Найти дифференциал функции. Ответы: 1). ( )( )dydxx2y2sindz −−= 2). ( )( )dxdyx2y2sindz −−= 3). ( )( )dydxx2y2cosdz +−= 4). ( )( )dxdyxycos2dz −−= 5).нет правильного ответа

Номер: 4.28.В

Задача: Задана функция υ

=ωuarcctg . Найти дифференциал функции.

Ответы: 1). ( )υυ−+υ

−=ω duduu

1d 22 2). ( )υ++υ

=ω dduu

1d 22

3). ( )dudu

1d 22 −υ+υ

−=ω 4). ( )duudu

1d 22 υ−υ+υ

=ω 5).нет


Номер: 4.29.В Задача: Задана функция υ−=ω uu2

e . Найти дифференциал функции.

79

Ответы: 1). ( )( )υ−υ−=ω υ− udduu2ed uu2 2). ( )υ+υ−=ω υ− uddued uu2

3). ( )υυ+=ω υ− dduu2ed uu2 4). ( ) ( )( )υ−+υ−=ω υ− d1uuduu2ed 2uu2


Номер: 4.30.В

Задача: Найти полный дифференциал функции, если yz

yx

eeu += .

Ответы: 1). dzedyeey1dxedu y

zyz

yx

2yx

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

2). dzedyeey1dxe

y1du y

zyz

yx

2yx

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

3). dzey1dye

yze

yxdxe

y1du y

zyz

2yx

2yx

+⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛+−=

4). dzedyeedxedu y1

yz

yx

y1

22+⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛++=

−−


Номер: 4.31.В

Задача: Найти полный дифференциал функции, если 2xyz = .

Ответы: 1). ( )xdyydxln2ydz2x += 2). ( )xdy2ydxlnydz

2x +=

3). ( )dyxydxlnydz 2x2+= 4). ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= dy

yxydxln2xydz

2x 5).нет


Номер: 4.32.A Задача: Полный дифференциал du функции ( )z,y,xfu = равен:

Ответы: 1). dzzudy

yudx

xudu

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 2). zxuy

xux

xudu Δ

∂∂

+Δ∂∂

+Δ∂∂

=

3). dxzudx

yudx

xudu

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 4). zdzuy

dydux

dxdudu ∂

∂+∂+∂=

5). zzuy

xyux

xudu ∂

∂∂

+∂∂∂

+∂∂∂

=

80

Номер: 4.33.A Задача: Полный дифференциал функции ( )z,y,xfu = представляет собой: Ответы: 1).все приращения функции 2).главную линейную часть приращения функции 3).частное приращение функции по переменной x 4).сумму приращений аргументов 5).коллокацию аргументов.

Номер: 4.34.A

Задача: Найти ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

vud

Ответы: 1). 2vdvuduv + 2).

vudvuduv − 3). 2v

dvuduv − 4). ( )vuddvuduv − 5).

vudvdu

⋅−

Номер: 4.35.A

Задача: Найти ( )vud ⋅ Ответы: 1). dvvduv − 2). dvuduv − 3). dvvduu + 4). dvuduv + 5). dvuduv −

Номер: 4.36.A Задача: Полным приращением функции ( )y,xfz = называют: Ответы: 1).разность ( ) ( )y,xfyy,xxfz −Δ+Δ+=Δ 2).сумму ( ) ( )y,xfyy,xxfz +Δ+Δ+=Δ 3).разность ( ) ( )y,xfy,xxfz −Δ+=Δ 4).разность ( ) ( )y,xfyy,xfz −Δ+=Δ 5).разность ( ) ( )yy,xfy,xxfz Δ+−Δ+=Δ

81

5. Частные производные высших порядков.

Номер: 5.1.А Задача: Задана функция 223 y5yx4xz +−= . Найти xxz ′′ . Ответы: 1). y8x6z xx −=′′ 2). 10y8x6z xx +−=′′ 3). 5y4xz xx +−=′′

4). xy8x3z 2xx −=′′ 5). 10z xx =′′

Номер: 5.2.А

Задача: Задана функция xlnysinylnez x += . Найти xyz ′′ .

Ответы: 1).x

ycosy

ezx

xy +=′′ 2). 0zxy =′′ 3). ycosylnz xy +=′′

4).x

ycosy

ezx

xy +=′′ 5). ycosyez 2

x

xy +−=′′

Номер: 5.3.А

Задача: Задана функция 22 yxz += . Найти xxz ′′ .

Ответы: 1).( ) 2322

2

xxyx

xz+

=′′ 2).( ) 2322xx

yx

yz+

=′′ 3).( )322

2

xxyx

yz+

=′′

4).( )322

22

xxyx

yxz+

−=′′ 5).

( )322xx

yx

1z+

=′′

Номер: 5.4.А

Задача: Задана функция yxz = . Найти yyz ′′ .

Ответы: 1). ( ) 2yyy x1yyz −−=′′ 2). xlnxz 2y

yy ⋅=′′ 3). xlnyxz 1yyy ⋅=′′ −

4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=′′

x1xlnxz y

yy 5). 1yyy xz −=′′

Номер: 5.5.В

Задача: Задана функция ( )yx eelnz += . Найти xyz ′′ .

Ответы: 1). yxxy ee1z+

=′′ 2).( )2yx

y

xyee

ez+

=′′ 3).( )2yx

yx

xyee

ez+

=′′+

4). yx

x

xy eeez+

=′′ 5).( )2yx

yx

xyee

ez+

−=′′+

82

Номер: 5.6.А

Задача: Задана функция 2yx5z ⋅= . Найти xxz ′′ .

Ответы: 1). 4yxxx y5z

2⋅=′′ ⋅ 2). ( ) 2xy22

xx2

51xyyxz −−⋅⋅=′′

3). 5ln5xy2z2yx

xx⋅⋅=′′ 4). 5ln5yz 2yx4

xx2⋅⋅=′′ ⋅ 5).

2yx4xx 5y5lnz ⋅⋅⋅=′′

Номер: 5.7.В

Задача: Задана функция ( )xyarccosz = . Найти yyz ′′ .

Ответы: 1).( )32

yyx1

xz−

−=′′ 2).( )( )32

yyxy1

xyz−

=′′

3).( )( )32

3

yyxy1

yxz−

=′′ 4).( )( )3

2

yyxy1

yxz−

=′′ 5).( )( )32

3

yyxy1

yxz−

=′′

Номер: 5.8.А

Задача: Задана функция xyxyz −= . Найти xyz ′′ .

Ответы: 1).x11z xy −=′′ 2). 2xy x

11z +=′′ 3).x1xz xy −=′′ 4). 2xy x

1yz +=′′

5). 2xy xyxz −=′′

Номер: 5.9.В

Задача: Задана функция yxexz ⋅⋅= . Найти xxz ′′ .

Ответы: 1). ( )x2ez xyxx +=′′ 2). xy2

xx eyxz ⋅⋅=′′ 3). 1xy2xx eyxz −⋅=′′

4). ( )2xyxx xyy2ez +=′′ 5). ( )2xy

xx xy1ez +=′′

Номер: 5.10.В

Задача: Задана функция xysinz = . Найти yyz ′′ .

Ответы: 1).xycosz yy =′′ 2).

xysin

x1z 2yy −=′′ 3).

xysin

xyz 2yy −=′′

4).xycos

x1z 2yy −=′′ 5).

xysin

xyz yy =′′

83

Номер: 5.11.В

Задача: Задана функция xy2xz 2 −= . Найти yyz ′′ .

Ответы: 1).( ) 232

2

yyxy2x

xz−

−=′′ 2).( ) 232

2

yyxy2x

yz−

=′′

3).( ) 232yy

xy2x

yxz−

−=′′ 4).( ) 232yy

xy2x

xz−

−=′′ 5).( ) 232yy

xy2x

1z−

=′′

Номер: 5.12.В

Задача: Задана функция 1x

ycosz−

= . Найти xyz ′′ .

Ответы: 1).1x

ysin1x

1z xy −−=′′ 2).

( ) 1xycos

1x1z xy −−

=′′

3).( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−−=′′

1xycos

1xysin

x11z 2xy

4).( ) ( ) ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

+−−

=′′1x

ycos1x

y1x

ysin1x

1z 2xy

5).1x

ycos1x

y1x

ysinz xy −−+

−=′′

Номер: 5.13.В

Задача: Задана функция ( )3xylogz 2 += . Найти xxz ′′ .

Ответы: 1).( )2xx 3xy

xyz+

=′′ 2).( )3xy2ln1z xx +⋅

−=′′ 3).( )2

2

xx 3xyyz+

−=′′

4).( )3xy2ln

yz xx +−=′′ 5).

( )2

2

xx 3xy2lnyz

+⋅−=′′

Номер: 5.14.В


xyz+

= . Найти xyz ′′ .

Ответы: 1).( )2

2

xy yxyx2yz

++

=′′ 2).( )2xy yx

x2yz++

=′′ 3).yx

1z xy +=′′

4).( )2xy yx

yz+

=′′ 5).( )2

2

xy yxyx2yz

+−

=′′

84

Номер: 5.15.В Задача: Задана функция ( )xy2tgz −= . Найти xxz ′′ .

Ответы: 1).( )xy2cos4z 3xx −

=′′ 2).( )xy2cos1z 2xx −

=′′

3).( )( )xy2cos

xy2sinz 3xx −−

=′′ 4).( )( )xy2cos

xy2sin2z 3xx −−

−=′′ 5).( )( )xy2cos

xy2sinz 2xx −−

=′′

Номер: 5.16.А

Задача: Дана функция ( )y2x5ctgz −= . Вычислить производную 2xz

∂∂2

.

Ответы: 1).( )( )y2x5sin

y2x5cos23 −

− 2).

( )( )y2x5sin

y2x5cos2 −

−− 3).

( )( )y2x5sin

y2x5cos502 −

−⋅

4).( )( )y2x5cos

y2x5sin53 −

−⋅− 5).нет правильного ответа

Номер: 5.17.А

Задача: Дана функция ( )y4x3ctgz −= . Вычислить производную 2yz

∂∂2

.


( )y4x3siny4x3cos32

3 −−⋅

− 2).( )( )y4x3sin

y4x3cos43 −

−⋅ 3).

( )( )y4x3sin

y4x3cos42 −

−⋅−

4).( )( )y4x3cos

y4x3sin83 −

−⋅ 5).нет правильного ответа

Номер: 5.18.А

Задача: Дана функция ( )y3x2ctgz −= . Вычислить производную yxz∂∂

∂2

.

Ответы: 1).( )( )y3x2sin

y3x2cos32 −

−⋅− 2).

( )( )y3x2sin

y3x2cos123 −

−⋅ 3).

( )( )y3x2cos

y3x2sin123 −

−⋅

4).( )( )y3x2sin

y3x2cos22 −

−⋅ 5).нет правильного ответа

Номер: 5.19.А

Задача: Дана функция 3223 y2yxx2z +−= . Вычислить производную 2xz

∂∂2

.

Ответы: 1). 22 xy2x6 − 2). y12xy4x12 +− 3). 22 y6yx2 +− 4). 2y2x12 − 5).нет правильного ответа

85

Номер: 5.20.А

Задача: Дана функция 3223 y2yx3xz −+−= . Вычислить производную 2yz

∂∂2

.

Ответы: 1). y6xy12x6 2 −+− 2). y12x6 2 − 3). y12yx6 − 4). 22 y6yx6 − 5).нет правильного ответа

Номер: 5.21.А Задача: Дана функция 3223 y3yxx2z +−−= . Вычислить производную

yxz∂∂

∂2

.

Ответы: 1). 22 y9xy4x6 +−− 2). y18xy4 +− 3). xy4− 4). 2y2x12 −− 5).нет правильного ответа

Номер: 5.22.В

Задача: Дана функция y73z yx += ⋅− . Вычислить производную 2xz

∂∂2

.

Ответы: 1). xy22 33lnx −⋅ 2). 733lnx xy22 +⋅ − 3). xy22 33lny −⋅⋅

4). 3ln3y xy2 ⋅⋅ − 5).нет правильного ответа

Номер: 5.23.В

Задача: Дана функция x34z yx2 −= ⋅− . Вычислить производную 2yz

∂∂2

.

Ответы: 1). 34ln4x2 xy2 −⋅⋅− − 2). 4ln4y4 2xy22 ⋅⋅ − 3). 4ln4y2 xy2 ⋅⋅ − 4). 4ln4x4 2xy22 ⋅⋅ − 5).нет правильного ответа

Номер: 5.24.В

Задача: Дана функция 26z 3xy

+=−

. Вычислить производную yxz∂∂

∂2

.

Ответы: 1). ( )6lnxy36ln691 3

xy

⋅−⋅−−

2). ( )xy16ln631 3

xy

−⋅−−

3). 6ln691 3

xy−

⋅ 4). 26ln6 23xy

+−


86

Номер: 5.25.А

Задача: Дана функция yx

ez−

= . Вычислить производную 2xz

∂∂2

.

Ответы: 1). yx

2 ex1 −

2). yx

2 ey1 −

3). yx

2 ex1 −

− 4). yx

e−


Номер: 5.26.А

Задача: Дана функция y2x

ez = . Вычислить производную 2yz

∂∂2

.

Ответы: 1). y2x

e41

2). ( )y2xey21 y2

x

4 −⋅− 3). ( )y4xey41 y2

x

4 +⋅ 4). y2x2

e4

x⋅


Номер: 5.27.А

Задача: Дана функция yx3

ez = . Вычислить производную yxz∂∂

∂2

.

Ответы: 1). yx3

e9 2). ( )x1ey1 y

x3

2 +⋅ 3). yx3

2

2

eyx9

⋅− 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−

yx31e

y3 y

x3

2

5).нет правильного ответа Номер: 5.28.В

Задача: Дана функция ( )xy23arcsinz −= . Вычислить производную 2xz

∂∂2

.

Ответы: 1).( )( )32

32

xy231

xy8y12

−−

− 2).

( )2xy231

y23

−−

− 3).

( )( )32xy231

1

−−

4).( )2

2

xy231

yx4

−− 5).нет правильного ответа

Номер: 5.29.В

Задача: Дана функция ( )xy5arcsinz = . Вычислить производную 2yz

∂∂2

.

87

Ответы: 1).( )322

2

yx251

x25

− 2).

( )322

3

yx251

yx125

−− 3).

( )322 yx251

1

−

4).22 yx251

x5−

− 5).нет правильного ответа

Номер: 5.30.В

Задача: Дана функция yxy

3z−

= . Вычислить производную 2xz

∂∂2

.

Ответы: 1). 3ln3 2yyx

⋅+

2). yx

3y

yx⋅

+ 3). 3ln3

y1 2y

yx

2 ⋅⋅−+

4). 3ln3y1 2y

xy

2 ⋅⋅−


Номер: 5.31.A

Задача: Если функция ( )y,xfz = определена вместе со своими частными производными xyyxyx z,z,z,z ′′′′′′ в некоторой окрестности точки ( )000 y,xM , причем xyyx z,z ′′′′ непрерывны в точке 0M , то Ответы: 1). ( ) ( )00xy00yx yxzyxz ′′≠′′ 2). ( ) ( )00xy00yx yxzyxz ′′=′′ 3). ( ) ( )00y00yx yxzyxz ′=′′ 4). ( ) ( )00xy00x yxzyxz ′′=′ 5). ( ) ( )00y00x yxzyxz ′=′

88

6. Дифференциалы высших порядков.

Номер: 6.1.В

Задача: Найти zd 2 , если yxez += .

Ответы: 1). dxdye2 yx+ 2). ( )2yx dydxe ++ 3). dxdye yx+ 4). ( )22yx dydxe ++

5). ( )dydxe yx ++

Номер: 6.2.В

Задача: Найти zd2 , если 23 y5xz += .

Ответы: 1). 22 dy10dx6 − 2). 2dy10 3). 22dxx3 4). 22 dy10dx6 +

5). 22 dy10xdx6 +

Номер: 6.3.А

Задача: Найти zd2 , если yx2z ⋅= .

Ответы: 1). ( )dydx2 + 2). dydx4 3). dydx2 4). 2ydx2 5). 2xdy2

Номер: 6.4.В

Задача: Найти zd2 , если xyz = .

Ответы: 1). dxdyx1dx

xy

22

2 + 2). 222 dy

x1dx

xy

+ 3). dxdyx1dx

xy

22

3 +−

4). dxdyx2dx

xy2

22

3 −− 5).нет правильного ответа

Номер: 6.5.А

Задача: Найти zd 2 , если 323 xxy4yz −+= .

Ответы: 1). 22 ydy6dxdy8dx6 ++− 2). ( ) 22 dyx8y6ydxdy16xdx6 +++−

3). 22 ydy6ydxdy8xdx6 +− 4). 22 ydy6xdx + 5).нет правильного ответа

89

Номер: 6.6.В

Задача: Найти zd2 , если 2x4yxz +−= .


2 dyy1dxdy

y1dx8 ++ 2). 2

22 dy

yxdxdy

y1dx4 ++

3). 232

2 dyyx2

ydxdydx8 ++ 4). 2

222 dy

yxdxdy

y2dx4 ++

5). 232

2 dyyx2dxdy

y2dx8 −+

Номер: 6.7.В

Задача: Найти zd 2 , если xy2xz 2 += .

Ответы: 1).( ) 232

2222

xy2x

dyyxydxdy2dxx

+

−+ 2).

( ) 232

2222

xy2x

dyxxydxdy2dxy

+

−+−

3).( ) 232

22

xy2x

dydxdy2dx

+

++ 4).

( ) 212

22

xy2x

dyxydxdydx

+

−+ 5).нет правильного ответа

Номер: 6.8.В

Задача: Найти zd2 , если yx

xarctgz+

= .


2 dyyx

ydxdydx

x1

−+− 2). 22 dydxdy2dx −+

3).нет правильного ответа 4). 22

2 dyyxdxdy

y2dx

x1

−+−

5). 2

22

ydy

ydxdy

xdx

−+

Номер: 6.9.В

Задача: Найти zd 2 , если ( )yxlnz −= .

90

Ответы: 1).( )( )2

2

yxdydx

−−

2).( )( )2

2

yxdydx

−−

− 3).( )( )yx

dydx 2

−−

4).( )2

22

yxdydx

−−


Номер: 6.10.А

Задача: Найти zd2 , если ysinxz 2⋅= .

Ответы: 1). 2ydy2cosx2ydxdy2sin2 + 2). 2ydy2cosxydxdysin +

3). 2ydy2cosxydxdy2sin2 + 4). 2ydy2cosx2ydxdy2sin −


Номер: 6.11.В

Задача: Найти zd 2 , если ( )22 yx21z+

= .

Ответы: 1).( )322

2222

yx

dyxxydxdy4dxy

+

−+

2).( ) ( )

( )322

222222

yx

dyxy3xydxdy8dxyx3

+

−++−

3).( )

( )322

2222

yx

dyy3xydxdydxx3

+

++ 4).

( )322

22

yx

dydxdy2dx

+

++


Номер: 6.12.В

Задача: Найти zd2 , если yxyxz

+−

= .

Ответы: 1).( )( )3

22

yxxdydxdyyxydx

++−+

2).( )( )3

22

yxxdy4dxdyyx4ydx4

++−+−

3).( )( )3

22

yxdydxdyyxdx

++−+

91

4).( )( )3

22

yxxdydxdyxyydx

++−+−


Номер: 6.13.А

Задача: Найти zd2 , если 22 y2xyx3z +−= .

Ответы: 1). 22 ydy4dxdy2xdx6 ++ 2). 22 dy4dxdy2dx6 +−

3). 22 dy2dxdydx3 ++ 4). 22 dy4dx6 + 5).нет правильного ответа

Номер: 6.14.А

Задача: Найти zd2 , если 22 y4xy3xz −+−= .

Ответы: 1). 22 dy4dxdyxdx2 −+− 2). 22 dy4dxdy3dx2 −+−

3). 22 dy8dxdy3dx2 −−− 4). 22 dy8dxdy6dx2 −+−


Номер: 6.15.А

Задача: Найти zd 2 , если ( )x3cosy2z 2= .

Ответы: 1). ( ) ( )dxdyx6sin12dxx6cosy36 2 −−

2). ( ) 222 dyx3cos2dxx6cosy18 + 3). ( ) ( )dxdyx6sindxx6cos 2 −

4). ( )dxdyx6sin2 5).нет правильного ответа

Номер: 6.16.А

Задача: Найти zd 2 , если ( )x2cosyz 2⋅−= .

Ответы: 1). ( ) 22 dy2dxx4cosy + 2). ( ) ( )dxdyx4sin4dxx4cosy8 2 +

3). ( ) ( )dxdyx4sindxx4cos 2 + 4). ( ) ( )dxdyx2sin8dxx2cosy16 2 −


Номер: 6.17.А

Задача: Найти zd2 , если ( )y2x5lnz −= .


22

y2x5dy2dxdy4dx5

−−+

− 2). ( )y2x5dy2dx5

−−

92

3).( )2

22

y2x5dy4dxdy20dx25

−−+−

4).( )2

22

y2x5dydx

−+


Номер: 6.18.А

Задача: Найти zd2 , если ( )y3x7lnz −= .


22

y3x7dy9dxdy21dx49

−++

2). ( )y3x7dy3dx7

−−

3).( )2

22

y3x7dy3dxdy2dx7

−−+

4).( )2

22

y3x7dy9dxdy42dx49

−−+−


Номер: 6.19.А

Задача: Найти zd2 , если y4x3z += .


22

y4x34

dy16dxdy24dx9

+

++− 2).

( )322

y4x34

dy4dxdy12dx3

+

++

3).( )3

22

y4x34

dy4dxdy12dx3

+

++ 4).

( )322

y4x3

dy4dxdy12dx3

+

−+− 5).нет правильного

ответа

Номер: 6.20.А

Задача: Найти zd2 , если xy7z = .

Ответы: 1). ( )2222xy dyxxydxdy2dxy7 ++

2). ( )( )22222xy dyy2dxdy1xy2dxx7ln7 +++⋅

3). ( )( )2222xy dy7lnxdxdy17lnxy2dx7lny7ln7 +++⋅

4). ( )22xy xdydxdy2ydx7 ++ 5).нет правильного ответа

Номер: 6.21.A

Задача: Найти ( )nud

Ответы: 1). duun n 2). duun 1n− 3). duu 1n− 4).( ) duu1n 1n−−

5).( ) duu1n n−

93

7. Дифференцирование сложной функции нескольких переменных.

Номер: 7.1.А Задача: Если ( )y,xfz = - дифференцируемая функция переменных x и y , которые сами являются дифференцируемыми функциями независимой переменной t : ( )tx ϕ= , ( )ty ψ= , то производная сложной функции

( ) ( )( )t,tfz ψϕ= вычисляется по формуле:

Ответы: 1). dyyzdx

xz

dtdz

∂∂

+∂∂

= 2). dyyzdx

xz

dtdz

∂∂

−∂∂

=

3).dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

⋅∂∂

+⋅∂∂

= 4).dtdx

yz

dtdy

xz

dtdz

⋅∂∂

+⋅∂∂

=


Номер: 7.2.А

Задача: Если функция ( )y,x,tfz = и ( )txx = , ( )tyy = , то полная производная функции z вычисляется по формуле:

Ответы: 1).dtdy

yz

dtdx

xz

tz

dtdz

⋅∂∂

+⋅∂∂

+∂∂

= 2).dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

⋅∂∂

+⋅∂∂

=

3).tz

yz

xz

dtdz

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 4).tz

dtdz

∂∂


Номер: 7.3.В

Задача: Найти полную производную сложной функции v2 euy ⋅= , где xsinu = , xcosv = .

Ответы: 1).( ) vexcosxsin ⋅+− 2). ( )xsinxcos2uev −⋅

3).( ) vexcosxsin ⋅− 4). ( ) v2 uex2sinxsin ⋅− 5).нет правильного ответа

Номер: 7.4.А Задача: Найти полную производную данной функции ( )4x1lnz −= , где

tsinx = .

Ответы: 1). ttg2− 2). tctg 3). ( )t2tg 4).tcos

12 5).нет правильного ответа

Номер: 7.5.В

Задача: Найти полную производную функции ( )

1azyeu 2

ax

+−

= , где xsinay = ,

xcosz = ( consta = ).

94

Ответы: 1). xcoseax 2). ( )( )xsinzyxcosa1a

e2

ax

+−++

3). tgxeax

4). ( )zyxcoseax −+ 5).нет правильного ответа

Номер: 7.6.В

Задача: Найти xz∂∂

, если v2uez −= , xsinu = , 33 yxv += .

Ответы: 1). ( )2v2u x6xcose −⋅− 2). v2ue − 3). v2uey4 −⋅−

4).( ) v2u2 ey6xcos −− 5).нет правильного ответа

Номер: 7.7.В


, если vlnuz 2= , где xyu = , 22 yxv += .


⎜⎝⎛ − 2x

vlnyv

uxu4 2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − 2x

vlnyv

uxu2 3). 2xvlny

vux3

−

4). 2xvlny

vux


Номер: 7.8.В

Задача: Найти yz∂∂

, если vlnuz 2= , где xyu = , 22 yxv += .

Ответы: 1).vy

xvlnu+ 2).

vuy

xvln− 3).

vuy2 ⋅ 4). ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

vuy

xvlnu2


Номер: 7.9.А Задача: Найти полную производную функции ( )yx eelnu += , если 3xy = .

Ответы: 1). yx

y

eee3

dxdu

+= 2). yx ee

dxdu

+= 3). yx

2yx

eexe3e

dxdu

+⋅+

=

4). yx

yx

eexe3e

dxdu

+⋅+


Номер: 7.10.А

Задача: Найти полную производную данной функции ( )yx2t3tgz 2 −+= ,

если t1x = , ty = .

95

Ответы: 1).( )yx2t3cos

1dtdz

2 −+= 2). y

tx43

dtdz

2 −−= 3). tt43dtdz

−−=

4).( )yx2t3cos

1t2

1tx43

dtdz

22 −+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 5).нет правильного ответа

Номер: 7.11.А

Задача: Найти полную производную данной функции y2xez −= , если tsinx = , 3ty = .

Ответы: 1). ( )3y2x ttsinedtdz

−= − 2). ( )3t6tcos t2tsinedtdz 3

−= −

3). ( )2y2x t6tcosedtdz

−= − 4). y2xedtdz −= 5).нет правильного ответа

Номер: 7.12.В


, если vlnuz 2= , где yxu = , y2x3v −= .

Ответы: 1).v

uvlnu22

+ 2). ( )vlnv2x3vyu

+ 3). ( )vlnvu3yv

+

4). ( )vlnu3yu

+ 5).нет правильного ответа

Номер: 7.13.В


, если vlnuz 2= , где yxu = , y2x3v −= .

Ответы: 1). 2

2

yx

vu

− 2). ( )vlnxvuyvyxu2

+ 3). ( )vlnvyuvyxu4

+⋅

4). ( )vlnvxyuvy

u22 ⋅+⋅


Номер: 7.14.А

Задача: Найти полную производную данной функции yxarcsinu = , если

1xy 2 += .

96

Ответы: 1).2x1

1dxdu

−= 2). ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

++

−=

1xyx1

xy1

dxdu

222

3).1x

xdxdu

2 += 4). ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

−=

1xyx1

xy1

dxdu

2

2

22 5).нет правильного ответа

Номер: 7.15.А

Задача: ( )tx eelnz += . Найти dtdz

, если 2t1x −= .

Ответы: 1). tx

xt

eete2e

+−

2). tx

xt

eetee++

3). tx

t

eee+

4). tx

x2t

eeete

+−


Номер: 7.16.В

Задача: Найти x∂ω∂

, если υ⋅=ω u3 , ( )y4x3arctgu −= , 7yx5 2 +=υ .

Ответы: 1). ( )υ+⋅υ⋅ u3ln3u 2).( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+υ

⋅υ⋅ xyu10y4x31

33ln3 2u

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++υ

⋅υ⋅ yu10x91

33ln3 2u 4).

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+υ

⋅υ⋅ yu10y4x31

3 2u


Номер: 7.17.В

Задача: Найти y∂ω∂

, если υ⋅=ω u3 , ( )y4x3arctgu −= , 1yx5 2 −=υ .


⎞⎜⎜⎝

⎛−

+υ

⋅υ⋅ yu10y161

3ln3 2u 2).

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+υ

+⋅υ⋅2

2u

y4x31ux53ln3

3).( ) ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+υ

⋅υ⋅ xyu10y4x31

33ln3 2u 4).

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+υ

−⋅υ⋅2

2u

y4x314ux53ln3


Номер: 7.18.В

Задача: Найти dtdz

, если ( )t3sinyxarctgz += , 1ex t2 += , 2ey t3 −= − .

97

Ответы: 1). t3cos3xy

xe3ye222

t3t2

+++ −

2). t3cos3xye3e222

t3t2

+−+ −

3). 22

t2t3

xyye2xe3

−+−

4). t3cos3xyxe3ye222

t3t2

−++ −


Номер: 7.19.А

Задача: Найти t∂ω∂

, если u2υ=ω , ( )t1ln −=υ , tcosu = .


⎜⎝⎛ υ⋅−−

υ lntsint1

uu 2).( )

u2lntsint1

uυ⋅⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛υ⋅+

υ−−

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ υ⋅+−

υ lntcost1

uu 4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

υ−υ⋅υ

ulntsinu 5).нет правильного ответа

Номер: 7.20.А

Задача: Найти dtdz

, если 22 tysinxz += , t4x −= , 1ty 3 −= .

Ответы: 1). t2ycostx4ysinx 22t −+⋅⋅ − 2). ysint4ycosx 2t2 +⋅⋅ −

3). t2ycostx34ln4ysinx2 22t ++⋅⋅− − 4). ycost3ysinx4 2t +⋅− 5).нет правильного ответа

Номер: 7.21.А

Задача: Найти полный дифференциал функции dtdz

, если txyyxz 22 +−⋅= ,

t1x = , tey = .

Ответы: 1).( ) ( ) t22 exytyx −+− 2). ( ) 1eyx2xt

xy t23

+−+−

3).( ) ( ) 1eyx2xtyxy2 x22 +−+−

4). ( ) ( ) 1eyx2xyxy2t2

1 t223

+−+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 5).нет правильного ответа

Номер: 7.22.В

Задача: Найти полный дифференциал функции – dtdz

, если

( )tx2ycosz 23 +−= , tlny = , t3x = .

98

Ответы: 1). ( )tx2ysin1ty3x12 23

2

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

2).( ) ( )tx2ysin1x4y3 232 +−+− 3). ( )tx2ysin1ty3x4 23

2

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

4). ( )tx2ysin 23 +− 5).нет правильного ответа

Номер: 7.23.В


, если xytz = ,

t2sinx = , tcosy 2= . Ответы: 1). xyt2sinxtt2cosyt ++ 2). tt2sinxt2cosy ++ 3). xyt2sinxtt2cosyt2 +− 4). xyt2cost2sint −− 5).нет правильного ответа

Номер: 7.24.В


, если ( ) 2t3xycosz += ,

t1x −= , tty 2 −= . Ответы: 1). ( ) ( )( ) t6x1t2yxysin +−− 2). ( )( ) t6xyxysin +−− 3). ( )( ) t61t2yxysin −+− 4). ( ) ( )( )x1t2yxysin −−− 5).нет правильного ответа

Номер: 7.25.А


, если ( )xyarctgz −= ,

t3ey = , 2ttx += .


( )t21e3xy1

1 t32 −−⋅

−+ 2).

( )( )t2e3

xy1

1 t32

−⋅−−

3).( )

( )t32 e3t21

xy11

++⋅−+

− 4).( )

( )t322

e3ttxy1

1++⋅

−+ 5).нет


Номер: 7.26.А


, если

xy2yxz 22 ++= , tcosx = , t3y = .

99

Ответы: 1). 3ln3y2tsinx2 t ⋅⋅+− 2). ( )( )tsin3ln3yx2 t −+

3).( )( )tsin3yx t −+ 4). ( ) tsinyx23ln3y2 t +−⋅ 5).нет правильного ответа

Номер: 7.27.В

Задача: Найти полный дифференциал функции – dxdu

, если ( )zyzlnu 2 −= ,

x3ez = , xlogy 4= .

Ответы: 1). ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅−

− 4lnxzeyz23

zyz1 x3

2 2).4lnx

1e3 x3

⋅−⋅

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅

− x4lnzez6

zyz1 x3

2 4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⋅−⋅

− 4lnx1e3

zyz1 x3

2 5).нет


Номер: 7.28.А


, если ( )1tysinz −⋅= ,

3t1y −= .

Ответы: 1). ( )1ytcost12

t3y3

2

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−− 2). ( ) ( )1ytcost3y 2 −−

3). ( ) ( )1ytcost12

t3y3

3

−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−− 4). ( )1ytcos

t13t3

3

2

−−


Номер: 7.29.В

Задача: Найти полный дифференциал функции – dxdz

, если ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

xyarctgz ,

( )x21siny −= .

Ответы: 1). ( )( )x21cos2yyx

122 −−

+ 2). ( )x2y

yx1

22 +−

3). ( )( )x21cosx2yyx

122 −+

+− 4). ( )( )x21cosxy

yx1

22 −−−


100

Номер: 7.30.А

Задача: Найти полный дифференциал функции – dxdz

, если ( )2yxlnz −= ,

2x1y −= .

Ответы: 1). ( ) 22 x1yxx2−−

− 2). ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−

− 22

2 x1xy

yx1

3). 2yx1−

4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+

− 22 x1yx21

yx1


Номер:7.31.A

Задача: Производная сложной функции ( )y,xfz = , где ( ) ( )ty,tx ψ=ϕ= , если ( )y,xf дифференцируема по y,x , а ( ) ( )−ψϕ t,t дифференцируема по t

определяется по формуле

Ответы: 1).dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

⋅∂∂

+⋅∂∂

= 2).dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

⋅∂∂

−⋅∂∂

−=

3).dtdy

yz

dtdx

xz

dtdz

⋅∂∂

−⋅∂∂

= 4).dtdy

tz

dtdx

tz

dtdz

⋅∂∂

+⋅∂∂

= 5). dtyzdt

xz

dtdz

∂∂

+∂∂

=

101

8. Дифференцирование функций, заданных неявно.

Номер: 8.1.В Задача: Найти производную от неявной функции от x , заданной уравнением:

yx xy = .

Ответы: 1).xlnxyylnyx

dxdy

y1x

x1y

−−

=−

−

2).xlnxxyylnyyx

dxdy

y1x

x1y

−−

=−

−

3). y1x

x1y

xyyyx

dxdy

−−

=−

−

4). yx xydxdy

−= 5). xlnxylnydxdy yx −=

Номер: 8.2.А

Задача: Найти u∂ω∂

, если 0atgvu =ω⋅−

Ответы: 1).av

acos2 ω 2).

ωacosv2 3). ω− atg 4). 1− 5).нет правильного ответа

Номер: 8.3.А

Задача: Найти v∂ω∂

, если 0atgvu =ω⋅−

Ответы: 1). ω− acos2 2).ω

−acos

v2 3). ω⋅av 4).

av2a2sin ω

−


Номер: 8.4.А Задача: Найти xz′ ; yz′ , если 1xz2zyx 222 =+++ .

Ответы: 1). ( )zx2 + ; y2 2). 1− ; zx

y+

− 3). 2;2 4). y2;x2


Номер: 8.5.А

Задача: Найти tu;

vu

∂∂

∂∂

, если tcosvcoseu ⋅= .

Ответы: 1). vsin− ; tsin− 2). tcosvsin− ; vcostsin− 3). ttg;vtg −−

4). uu etcos;e −⋅ 5).нет правильного ответа

Номер: 8.6.А

Задача: Найти dxdy

, если 0eyex x22y22 =− .

102

Ответы: 1). ( )x22y2 eyxe2 − 2). x2y22

y2x22

yeexxeey

−−

3). ( )x2y22 yeex2 −

4). x2y2

x2y2

xeyeyexe

−−


Номер: 8.7.А


, если yxeyx −=+ .

Ответы: 1).1e1e

yx

yx

+−

−

−

2). 1e yx +− 3). yxe −− 4). yxe1 −−


Номер: 8.8.В


, если ( ) 0z

xyxzlnz =−+ .

Ответы: 1).xz

z+

2).( )

( )zxxy2zzzxyz

3

3

++−+

3).zy

xzz

−+

4).zy

−


Номер: 8.9.В


, если ( ) 0z

xyxzlnz =−+ .

Ответы: 1).zx

− 2). ( )xz

zxzln+

++ 3).( )

( )zxxy2zzxz

2 ++−

4).( )

( )zxxy2zzxxz

3 +++


Номер: 8.10.А

Задача: Найти производную dxdy

от функции заданной неявно:

0eyexe xyxy =−+

Ответы: 1). xyxy

yxxy

xeexeeyeye

−+−−

2). xyxy yeyee −+ 3). xy

yxy

yexeee

+−

4). xy exe +


Номер: 8.11.А

Задача: Найти zy∂∂

, если 0xyzey =− .

103

Ответы: 1). xy− 2). ( )1yzy−

3). xzey − 4). yexy +−


Номер: 8.12.А

Задача: Найти xy∂∂

, если 0xyzey =− .

Ответы: 1). yz− 2). yzey − 3).xy

4).( )1yx

y−


Номер: 8.13.В


, если ( )xzarctgyz = .

Ответы: 1). 22zx11

+ 2).

xyzxyz22 −⋅+

3).xy

z−

4). 22zx1z

+


Номер: 8.14.В


, если ( )xzarctgyz = .

Ответы: 1).xxyzy

zx122

22

−⋅++

2).( )

xxyzyzx1z22

22

−⋅++

− 3). 22zx1zx

+ 4). 22zx1

y+


Номер: 8.15.А


, если y3x2ey3x2 −=+ .

Ответы: 1). ( )y3x2e13 −+ 2).( )( )y3x2

y3x2

e13e12

−

−

+−

− 3). y3x2

y3x2

e3e2

−

−

+−

− 4). ( )y3x2e12 −+


Номер: 8.16.А


, если y3x5ey3x5 −=+ .

Ответы: 1).( )( )y3x5

y3x5

e15e13

−

−

−−

2). ( )y3x5e15 −− 3).( )( )y3x5

y3x5

e13e15

−

−

+−

− 4). ( )y3x5e13 −+


104

Номер: 8.17.В


, если ( ) 0yx3exycos 2xy2 =−− .

Ответы: 1).( )( )( )( )x3e2xysinx

x6e2xysinyxy2

xy2

++++

− 2).( )( ) 2xy2

xy2

x3exysinxx6exysiny

−+++

3).( )( ) xy2

xy2

xe2xysinxx6e2xysiny

+++

4).( )( )xysinxxysiny


Номер: 8.18.А


, если ( )zylnxy += .

Ответы: 1).zy

y+

2). ( )zyy + 3).zy

1y+

−− 4). ( )zyx +


Номер: 8.19.А


, если ( )zylnxy += .

Ответы: 1). zx − 2).zy

x+

3). ( )zyx +− 4). ( ) 1zyx −+


Номер: 8.20.В


, если ( )z2y3coszyx −= .

Ответы: 1). ( )z2y3sin21zy−

− 2). ( )z2y3sin2

y−

3). ( ) yxz2y3sin2zy

−−−

4). ( ) yxz2y3sin2z

−− 5).нет правильного ответа

Номер: 8.21.В


, если ( )z2y3coszyx −= .

105

Ответы: 1). ( )z2y3sin2yxzx

−− 2).

( )( )z2y3sin2yx

z2y3sin3zy−−−+

3). ( )z2y3sinzx −+

4).( )

( ) yxz2y3sin2z2y3sin3zx

−−−+


Номер: 8.22.В


, если 0zlnexz y2x3 =− − .

Ответы: 1).xz3

zlnez2

y2x3 −− 2). y2x

y2x2

exexz3−

−

−−

3). y2x

y2x3

exez

−

−

−−

4).( )

y2x3

y2x3

exz3zelnzz

−

−

−−


Номер: 8.23.А


, если zx2 eeyz =−⋅ .

Ответы: 1). 2z yeyz2−

2). z2 eyyz2−

3). z2 eyz−

4). zy2 5).нет правильного

ответа

Номер: 8.24.А


, если zx2 eeyz =−⋅ .

Ответы: 1). z2

x

eye−

2). xe− 3). z2

x

eye−

− 4). zxe −− 5).нет правильного

ответа

Номер: 8.25.А


, если 3yze 2xz =⋅− .

Ответы: 1).zy2xe

z2xz

2

−− 2). xz

2

e3z +

3).zy2xe

zxz

2

− 4). 3zy2 −


Номер: 8.26.В


, если yxyyzsin 2 =⋅− .

106

Ответы: 1).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yzcos

y 2).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛yzcos

xy2 2

3).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yzcos

yx2 4). yx2−


Номер: 8.27.В


, если yxyzsin 2 =− .

Ответы: 1).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yzcos

xy2 2).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

yzcosy

yzcoszy2

3).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

yzcos

yzcoszy

4). 2yzcos

yz

2 +−


Номер: 8.28.В


и yz∂∂

, если 322 zzyxzyx =+− .

Ответы: 1). 2z3yy−

− ; 2z3yx−

− 2). 22

2

z3zx2yxzy−−

−; 22 z3zx2y

zx−−

−

3). 22

2

z3zx2yyxz2−−−

; yzx2z3

zx22 −+

+ 4). xz2y 2− ; zx +


Номер: 8.29.В


и xy∂∂

, если x4yze 2y2x =−− .

Ответы: 1). 2y2x zey2+−

; y2x2

y2x

eze

−

−

+ 2). zy2− ; 4e y2x −− 3). 2y2x ze2

zy2+

−−

;

y2x2

y2x

e2ze4

−

−

+−

− 4). 2y2x zezy2−−

; 2y2x ze4−

−−


Номер: 8.30.А


, если xyze y2 = .

Ответы: 1). y2exzxy−

2).xze2

xy2 −

3).xze2

yy2 −

4).xze2

xyy2 −

107


Номер: 8.31.A Задача: Производная неявно заданной функции ( ) 0y,xF = находится по формуле

Ответы: 1). ( )( )y,xF

y,xFdxdy

y

x′′

= 2). ( )( )y,xF

y,xFdxdy

y

x′′

−= 3). ( ) ( )y,xFy,xFdxdy

yx ′⋅′=

4). ( )( )y,xF

y,xFdxdy

y

x′′′′

−= 5). ( )( )y,xF

y,xFdxdy

x

x′′′

−=

Номер: 8.32.A

Задача: Если функция ( )z,y,xF дифференцируема по z,y,x , определяет неявно

заданную функцию z , причем ( ) 0z,y,xFz ≠′ , то частные производные xz∂∂ и

yz∂∂ находят по формулам

Ответы: 1).( )( )

( )( )z,y,xF

z,y,xFyz;

z,y,xFz,y,xF

xz

z

y

z

x

′

′−=

∂∂

′′

−=∂∂

2).( )( )

( )( )z,y,xF

z,y,xFyz;

z,y,xFz,y,xF

xz

z

y

z

x

′

′=

∂∂

′′

=∂∂ 3).

( )( )

( )( )z,y,xF

z,y,xFyz;

z,y,xFz,y,xF

xz

x

y

z

x

′

′=

∂∂

′′

=∂∂

4).( )( )

( )( )z,y,xF

z,y,xFyz;

z,y,xFz,y,xF

xz

y

z

x

z

′′

=∂∂

′′

=∂∂

5).( )( )

( )( )z,y,xF

z,y,xFyz;

z,y,xFz,y,xF

xz

y

z

x

z

′′

−=∂∂

′′

−=∂∂

108

9. Касательная плоскость, нормаль к поверхности.

Номер: 9.1.В

Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=++ в

точке ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3

3c,3

3b,3

3aM0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).

3c2

3cz

3b2

3by

3a2

3ax −

=−

=−

2).

c2cz

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

3).

c32c3z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

− 4).

c22c2z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

5).

c2

cz

b32b3y

a2

ax −=

−

−=

−

Номер: 9.2.В


by

ax

2

2

2

2

2

2

=−+ в

точке ( )c,b,aM0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).

3c2

3cz

3b2

3by

3a2

3ax −

=−

=−

2).

c2cz

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

3).

c32c3z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

− 4).

c22c2z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

5).

c2

cz

b32b3y

a2

ax −=

−

−=

−

109

Номер: 9.3.В


by

ax

2

2

2

2

2

2

−=−+

в точке ( )c3,b,aM0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).

3c2

3cz

3b2

3by

3a2

3ax −

=−

=−

2).

c2cz

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

3).

c32c3z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

− 4).

c22c2z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

5).

c2

cz

b32b3y

a2

ax −=

−

−=

−

Номер: 9.4.В


by

ax

2

2

2

2

2

2

=−+ в

точке ( )c2,b,aM0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).

3c2

3cz

3b2

3by

3a2

3ax −

=−

=−

2).

c2cz

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

3).

c32c3z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

− 4).

c22c2z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

5).

c2

cz

b32b3y

a2

ax −=

−

−=

−

Номер: 9.5.В

Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 1by

cz

ax

2

2

2

2

2

2

−=−+

в точке ( )c,b3,aM0 , где Nc,b,a ∈

110

Ответы: 1).

3c2

3cz

3b2

3by

3a2

3ax −

=−

=−

2).

c2cz

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

3).

c32c3z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

− 4).

c22c2z

b2

by

a2

ax

−

−=

−=

−

5).

c2

cz

b32b3y

a2

ax −=

−

−=

−

Номер: 9.6.В

Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности

1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=++ в точке ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛3

3c,3

3b,3

3aM0


cz3c

23

by3b

23

ax3a

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by

b2ax

a2

=−−−+−

3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc

32byb2ax

a2

=−−−+−

4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc

22byb2ax

a2

=−−−+−

5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y

b32ax

a2

=−+−−−

Номер: 9.7.В


1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=−+ в точке ( )c,b,aM0


cz3c

23

by3b

23

ax3a

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by

b2ax

a2

=−−−+−

111

3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc

32byb2ax

a2

=−−−+−

4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc

22byb2ax

a2

=−−−+−

5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y

b32ax

a2

=−+−−−

Номер: 9.8.В


1cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

−=−+ в точке ( )c3,b,aM0


cz3

23

by3b

23

ax3

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by

b2ax

a2

=−−−+−

3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc

32byb2ax

a2

=−−−+−

4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc

22byb2ax

a2

=−−−+−

5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y

b32ax

a2

=−+−−−

Номер: 9.9.В


0cz

by

ax

2

2

2

2

2

2

=−+ в точке ( )c2,b,aM0


cz3

23

by3b

23

ax3

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by

b2ax

a2

=−−−+−

3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc

32byb2ax

a2

=−−−+−

112

4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc

22byb2ax

a2

=−−−+−

5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y

b32ax

a2

=−+−−−

Номер: 9.10.В


1by

cz

ax

2

2

2

2

2

2

−=−+ в точке ( )c,b3,aM0


cz3c

23

by3b

23

ax3a

2=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

2). ( ) ( ) ( ) 0czc2by

b2ax

a2

=−−−+−

3). ( ) ( ) ( ) 0c3zc

32byb2ax

a2

=−−−+−

4). ( ) ( ) ( ) 0c2zc

22byb2ax

a2

=−−−+−

5). ( ) ( ) ( ) 0czc2b3y

b32ax

a2

=−+−−−

Номер: 9.11.C


ax

2

2

2

2

=+ в точке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛c,b

22,a

22M0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).0

cz

b2

b22y

a2

a22x −

=−

=−

2).0

cz

b2by

a22

a2x −=

−

−=

−

3).

c2

c22z

b2

b22y

0ax −

=−

=−

4).

c2

c22z

0by

a2

a22x −

=−

=−

113

5).

c2cz

b22

b2y0

ax

−

−=

−=

−

Номер: 9.12.C


ax

2

2

2

2

=− в точке

( )c,b,a2M0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).0

cz

b2

b22y

a2

a22x −

=−

=−

2).0

cz

b2by

a22

a2x −=

−

−=

−

3).

c2

c22z

b2

b22y

0ax −

=−

=−

4).

c2

c22z

0by

a2

a22x −

=−

=−

5).

c2cz

b22

b2y0

ax

−

−=

−=

−

Номер: 9.13.C


by

2

2

2

2

=+ в точке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛c

22,b

22,aM0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).0

cz

b2

b22y

a2

a22x −

=−

=−

2).0

cz

b2by

a22

a2x −=

−

−=

−

3).

c2

c22z

b2

b22y

0ax −

=−

=−

4).

c2

c22z

0by

a2

a22x −

=−

=−

114

5).

c2cz

b22

b2y0

ax

−

−=

−=

−

Номер: 9.14.C


ax

2

2

2

2

=+ в точке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛c

22,b,a

22M0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).0

cz

b2

b22y

a2

a22x −

=−

=−

2).0

cz

b2by

a22

a2x −=

−

−=

−

3).

c2

c22z

b2

b22y

0ax −

=−

=−

4).

c2

c22z

0by

a2

a22x −

=−

=−

5).

c2cz

b22

b2y0

ax

−

−=

−=

−

Номер: 9.15.C


by

2

2

2

2

=− в точке

( )c,b2,aM0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).0

cz

b2

b22y

a2

a22x −

=−

=−

2).0

cz

b2by

a22

a2x −=

−

−=

−

3).

c2

c22z

b2

b22y

0ax −

=−

=−

4).

c2

c22z

0by

a2

a22x −

=−

=−

115

5).

c2cz

b22

b2y0

ax

−

−=

−=

−

Номер: 9.16.C


1by

ax

2

2

2

2

=+ в точке ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛c,b

22,a

22M0

Ответы: 1). 0b22y

b2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2). ( ) ( ) 0byb2a2x

a22

=−−− 3). 0c22z

c2b

22y

b2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

4). 0c22z

c2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 5). ( ) ( ) 0cz

c2b2y

b22

=−−−

Номер: 9.17.C


1by

ax

2

2

2

2

=− в точке ( )c,b,a2M0


b2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2). ( ) ( ) 0byb2a2x

a22

=−−− 3). 0c22z

c2b

22y

b2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

4). 0c22z

c2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 5). ( ) ( ) 0cz

c2b2y

b22

=−−−

Номер: 9.18.C


1cz

by

2

2

2

2


⎞⎜⎜⎝

⎛c

22,b

22,aM0

116


b2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2). ( ) ( ) 0byb2a2x

a22

=−−− 3). 0c22z

c2b

22y

b2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

4). 0c22z

c2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 5). ( ) ( ) 0cz

c2b2y

b22

=−−−

Номер: 9.19.C


1cz

ax

2

2

2

2


⎞⎜⎜⎝

⎛c

22,b,a

22M0


b2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2). ( ) ( ) 0byb2a2x

a22

=−−− 3). 0c22z

c2b

22y

b2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

4). 0c22z

c2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 5). ( ) ( ) 0cz

c2b2y

b22

=−−−

Номер: 9.20.C


1cz

by

2

2

2

2

=− в точке ( )c,b2,aM0


b2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

2). ( ) ( ) 0byb2a2x

a22

=−−− 3). 0c22z

c2b

22y

b2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

4). 0c22z

c2a

22x

a2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− 5). ( ) ( ) 0cz

c2b2y

b22

=−−−

Номер: 9.21.C

Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности

( ) ( )0

22

0 yyb

axx −=− в точке ( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈

117

Ответы: 1).0

cz

ba

byya2

axx2

00 −=

−

−−=

−−

2).

ca

czz0

bya2

axx2

00

−

−−=

−=

−− 3).

0cz

b2byy

cb

axx 020 −

=−−

=−−

4).c2

czz

bc

byy0

ax 020 −−

=−−

=−

5).

cb

czz2b

byy0

ax2

00

−

−−=

−−=

−

Номер: 9.22.C


( ) ( )0

22

0 zzc

axx −=− в точке ( )cz,b,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈

Ответы: 1).0

cz

ba

byya2

axx2

00 −=

−

−−=

−−

2).

ca

czz0

bya2

axx2

00

−

−−=

−=

−− 3).

0cz

b2byy

cb

axx 020 −

=−−

=−−

4).c2

czz

bc

byy0

ax 020 −−

=−−

=−

5).

cb

czz2b

byy0

ax2

00

−

−−=

−−=

−

Номер: 9.23.C


( ) ( )0

22

0 xxc

byy −−=− в точке ( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈

Ответы: 1).0

cz

ba

byya2

axx2

00 −=

−

−−=

−−

2).

ca

czz0

bya2

axx2

00

−

−−=

−=

−− 3).

0cz

b2byy

cb

axx 020 −

=−−

=−−

118

4).c2

czz

bc

byy0

ax 020 −−

=−−

=−

5).

cb

czz2b

byy0

ax2

00

−

−−=

−−=

−

Номер: 9.24.C


( ) ( )0

22

0 yybczz −−=− в точке ( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈

Ответы: 1).0

cz

ba

byya2

axx2

00 −=

−

−−=

−−

2).

ca

czz0

bya2

axx2

00

−

−−=

−=

−− 3).

0cz

b2byy

cb

axx 020 −

=−−

=−−

4).c2

czz

bc

byy0

ax 020 −−

=−−

=−

5).

cb

czz2b

byy0

ax2

00

−

−−=

−−=

−

Номер: 9.25.C


( ) ( )0

22

0 zzc

byy −=− в точке ( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈

Ответы: 1).0

cz

ba

byya2

axx2

00 −=

−

−−=

−−

2).

ca

czz0

bya2

axx2

00

−

−−=

−=

−− 3).

0cz

b2byy

cb

axx 020 −

=−−

=−−

4).c2

czz

bc

byy0

ax 020 −−

=−−

=−

5).

cb

czz2b

byy0

ax2

00

−

−−=

−−=

−

119

Номер: 9.26.C Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности

( ) ( )0

22

0 yyb

axx −=− в точке ( )c,by,axM 000 ++

Ответы: 1). ( ) ( ) 0byyb

aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

2). ( ) ( ) 0czzc

aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

3). ( ) ( ) 0byyb2axxc

b00

2

=−−+−−

4). ( ) ( ) 0czzc2byybc

00

2

=−−+−−

5). ( ) ( ) 0czzc

bbyyb2 0

2

0 =−−−−−

Номер: 9.27.C


( ) ( )0

22

0 zzc

axx −=− в точке ( )cz,b,axM 000 ++


aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

2). ( ) ( ) 0czzc

aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

3). ( ) ( ) 0byyb2axxc

b00

2

=−−+−−

4). ( ) ( ) 0czzc2byybc

00

2

=−−+−−

5). ( ) ( ) 0czzc

bbyyb2 0

2

0 =−−−−−

Номер: 9.28.C


( ) ( )0

22

0 xxc

byy −−=− в точке ( )c,by,axM 000 ++

120


aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

2). ( ) ( ) 0czzc

aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

3). ( ) ( ) 0byyb2axxc

b00

2

=−−+−−

4). ( ) ( ) 0czzc2byybc

00

2

=−−+−−

5). ( ) ( ) 0czzc

bbyyb2 0

2

0 =−−−−−

Номер: 9.29.C


( ) ( )0

22

0 yybczz −−=− в точке ( )cz,by,aM 000 ++


aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

2). ( ) ( ) 0czzc

aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

3). ( ) ( ) 0byyb2axxc

b00

2

=−−+−−

4). ( ) ( ) 0czzc2byybc

00

2

=−−+−−

5). ( ) ( ) 0czzc

bbyyb2 0

2

0 =−−−−−

Номер: 9.30.C


( ) ( )0

22

0 zzc

byy −=− в точке ( )cz,by,aM 000 ++


aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

2). ( ) ( ) 0czzc

aaxxa2 0

2

0 =−−−−−

121

3). ( ) ( ) 0byyb2axxc

b00

2

=−−+−−

4). ( ) ( ) 0czzc2byybc

00

2

=−−+−−

5). ( ) ( ) 0czzc

bbyyb2 0

2

0 =−−−−−

Номер: 9.31.В

Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 01zyx 22 =+−+ в точке ( )3;1;1M0 , где Nc,b,a ∈

Ответы: 1).⎪⎩

⎪⎨

⎧

+−=+=+=

3tz1t2y1t2x

2).⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+=

1tz1t2y1t2x

3).2

1z21y

21x −

=−+

=−+

4).⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+−=+=

1tz1t2y

1t2x 5).

11z

21y

21x +

=−

=+

Номер: 9.32.В

Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 01zyx 22 =−++ в точке ( )1;1;1M0 − , где Nc,b,a ∈


⎪⎨

⎧

+−=+=+=

3tz1t2y1t2x

2).⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+=

1tz1t2y1t2x

3).2

1z21y

21x −

=−+

=−+

4).⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+−=+=

1tz1t2y

1t2x 5).

11z

21y

21x +

=−

=+

Номер: 9.33.В


03zyx 222 =−++ в точке ( )1;1;1M0 −− , где Nc,b,a ∈

122


⎪⎨

⎧

+−=+=+=

3tz1t2y1t2x

2).⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+=

1tz1t2y1t2x

3).2

1z21y

21x −

=−+

=−+

4).⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+−=+=

1tz1t2y

1t2x 5).

11z

21y

21x +

=−

=+

Номер: 9.34.В

Задача: Составить уравнение нормали ( )nl к поверхности 01zyx 22 =−+− в точке ( )1;1;1M0 , где Nc,b,a ∈


⎪⎨

⎧

+−=+=+=

3tz1t2y1t2x

2).⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+=

1tz1t2y1t2x

3).2

1z21y

21x −

=−+

=−+

4).⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+−=+=

1tz1t2y

1t2x 5).

11z

21y

21x +

=−

=+

Номер: 9.35.В


01zyx 22 =+++− в точке ( )1;1;1M0 −− , где Nc,b,a ∈


⎪⎨

⎧

+−=+=+=

3tz1t2y1t2x

2).⎪⎩

⎪⎨

⎧

−=+=+=

1tz1t2y1t2x

3).2

1z21y

21x −

=−+

=−+

4).⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=+−=+=

1tz1t2y

1t2x 5).

11z

21y

21x +

=−

=+

Номер: 9.36.В


01zyx 22 =+−+ в точке ( )3;1;1M0 Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++

123

Номер: 9.37.В Задача: Составить уравнение касательной плоскости ( )α к поверхности

01zyx 22 =−++ в точке ( )1;1;1M0 − Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++


03zyx 222 =−++ в точке ( )1;1;1M0 −− Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++


01zyx 22 =−+− в точке ( )1;1;1M0 Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++


01zyx 22 =+++− в точке ( )1;1;1M0 −− Ответы: 1). 01zy2x2 =−−+ 2). 03zy2x2 =−++ 3). 06z2y2x2 =+−+ 4). 01zy2x2 =−+− 5). 01zy2x2 =+++

Номер: 9.41.А Задача: Чтобы поверхность S имела касательную плоскость в ее точке

( )( )0000 y,xf,y,x необходимо и достаточно, чтобы функция ( )y,xf была в точке ( )000 y,xP :

Ответы: 1).дифференцируемой 2).разрывной 3).сложной 4).линейной 5).голоморфной

Номер: 9.42.А Задача: Прямая, перпендикулярная к касательной плоскости в точке касания называется: Ответы: 1).вектором 2).нормалью 3).трендом 4).функтором 5).ротором

Номер: 9.43.А Задача: Уравнение нормали к поверхности ( ) 0z,y,xF = в точке ( )0000 z,y,xM имеет вид

124

Ответы: 1). ( ) ( ) 1zz

z,y,xFyy

z,y,xFxx 0

000y

0

000x

0

−−

=′

−=

′−

2). ( ) ( ) 1zz

z,y,xFyy

z,y,xFxx 0

000y

0

000x

0 −=

′−

=′

−

3). ( ) ( ) ( )000z

0

000y

0

000x

0

z,y,xFzz

z,y,xFyy

z,y,xFxx

′−

=′

−=

′−

4). ( ) ( ) ( )z,y,xFzz

z,y,xFyy

z,y,xFxx

z

0

y

0

x

0′−

=′−

=′−

5). 0)zz()z,y,x(F)yy()z,y,x(F)xx()z,y,x(F 0000z0000y0000x =−⋅′+−⋅′+−⋅′

Номер: 9.44.А Задача: Уравнение касательной плоскости к поверхности ( ) 0z,y,xF = в точке

( )0000 z,y,xM имеет вид Ответы: 1). ( ) ( ) ( ) ( )000y000x0 yyyxfxxy,xfzz −⋅′+−⋅′=−

2). ( ) ( ) ( )000z

0

000y

0

000x

0z,y,xF

zzz,y,xF

yyz,y,xF

xx′

−=

′−

=′

−

3). ( ) ( ) ( ) ( )000y000x0 yyyxfxxy,xfzz −⋅′′+−⋅′′=− 4). 0)zz()z,y,x(F)yy()z,y,x(F)xx()z,y,x(F 0000z0000y0000x =−⋅′+−⋅′+−⋅′ 5). 0)zz()z,y,x(F)yy()z,y,x(F)xx()z,y,x(F 0z0y0x =−⋅′+−⋅′+−⋅′

125

10. Производная функции по заданному направлению, градиент функции.

Номер: 10.1.В

Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( )1

czz

byy

axx

2

20

2

20

2

20 =

−+

−+

−

в точке ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

33cz,

33by,

33axM 0000

Ответы: 1).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧=

c32;

b32;

a32zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

c2;

b2;

a2zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

32;b2;

a2zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

22;b2;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b32;

a2zgrad

0M

Номер: 10.2.В

Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( )1

czz

byy

axx

2

20

2

20

2

20 =

−−

−+

−

в точке ( )cz,by,axM 0000 +++


⎩⎨⎧=

c32;

b32;

a32zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

c2;

b2;

a2zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

32;b2;

a2zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

22;b2;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b32;

a2zgrad

0M

Номер: 10.3.В

Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( )

1czz

byy

axx

2

20

2

20

2

20 −=

−−

−+

− в точке ( )c3z,by,axM 0000 +++

126


⎩⎨⎧=

c32;

b32;

a32zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

c2;

b2;

a2zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

32;b2;

a2zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

22;b2;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b32;

a2zgrad

0M

Номер: 10.4.В

Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( ) 0czz

byy

axx

2

20

2

20

2

20 =

−−

−+

− в

точке ( )c2z,by,axM 0000 +++


⎩⎨⎧=

c32;

b32;

a32zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

c2;

b2;

a2zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

32;b2;

a2zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

22;b2;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b32;

a2zgrad

0M

Номер: 10.5.В

Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( ) ( )

1b

yyczz

axx

2

20

2

20

2

20 −=

−−

−+

− в точке ( )cz,b3y,axM 0000 +++


⎩⎨⎧=

c32;

b32;

a32zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −=

c2;

b2;

a2zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

32;b2;

a2zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

22;b2;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b32;

a2zgrad

0M

Номер: 10.6.В

Задача: Найти вектор zgrad для функции ( ) ( )1

byy

axx

2

20

2

20 =

−+

− в точке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++ cz,b

22y,a

22xM 0000

127


⎩⎨⎧

= 0;b2;

a2zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 0;b2;

a22zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;

b2;0zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;0;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b22;0zgrad

0M

Номер: 10.7.В


byy

axx

2

20

2

20 =

−−

− в точке

( )cz,by,a2xM 0000 +++


⎩⎨⎧

= 0;b2;

a2zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 0;b2;

a22zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;

b2;0zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;0;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b22;0zgrad

0M

Номер: 10.8.В


czz

byy

2

20

2

20 =

−+

− в точке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++ c

22z,b

22y,axM 0000


⎩⎨⎧

= 0;b2;

a2zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 0;b2;

a22zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;

b2;0zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;0;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b22;0zgrad

0M

128

Номер: 10.9.В


czz

axx

2

20

2

20 =

−+

− в точке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++ c

22z,by,a

22xM 0000


⎩⎨⎧

= 0;b2;

a2zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 0;b2;

a22zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;

b2;0zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;0;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b22;0zgrad

0M

Номер: 10.10.В


czz

byy

2

20

2

20 =

−−

− в точке

( )cz,b2y,axM 0000 +++


⎩⎨⎧

= 0;b2;

a2zgrad

0M 2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−= 0;b2;

a22zgrad

0M

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;

b2;0zgrad

0M 4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=c2;0;

a2zgrad

0M

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c2;

b22;0zgrad

0M



22

0 yyb

axx −=− в точке

( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈


⎩⎨⎧

−= 0;b

a;a2zgrad2

M0

2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

a;0;a2zgrad2

M0

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= 0;b2;c

bzgrad2

M0

4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= c2;b

c;0zgrad2

M0

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

b;b2;0zgrad2

M0

129



22

0 zzc


( )cz,b,axM 000 ++


⎩⎨⎧

−= 0;b

a;a2zgrad2

M0

2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

a;0;a2zgrad2

M0

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= 0;b2;c

bzgrad2

M0

4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= c2;b

c;0zgrad2

M0

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

b;b2;0zgrad2

M0



22

0 xxc

byy −−=− в точке

( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈


⎩⎨⎧

−= 0;b

a;a2zgrad2

M0

2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

a;0;a2zgrad2

M0

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= 0;b2;c

bzgrad2

M0

4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= c2;b

c;0zgrad2

M0

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

b;b2;0zgrad2

M0



22

0 yybczz −−=− в точке

( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈


⎩⎨⎧

−= 0;b

a;a2zgrad2

M0

2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

a;0;a2zgrad2

M0

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= 0;b2;c

bzgrad2

M0

4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= c2;b

c;0zgrad2

M0

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

b;b2;0zgrad2

M0

130



22

0 zzc

byy −=− в точке



⎩⎨⎧

−= 0;b

a;a2zgrad2

M0

2).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

a;0;a2zgrad2

M0

3).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= 0;b2;c

bzgrad2

M0

4).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

= c2;b

c;0zgrad2

M0

5).⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=c

b;b2;0zgrad2

M0


Задача: Найти производную от функции ( ) ( ) ( )1

czz

byy

axx

2

20

2

20

2

20 =

−+

−+

− в

точке ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

33cz,

33by,

33axM 0000 в направлении { }321 l,l,ll =

r

Ответы: 1). ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ ++=∂∂

c3l

b3l

a3l

lz 321

M0l2r 2). ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

∂∂

cl

bl

al

l2

lz 321

M0

r

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl3

bl

al

l2

lz 321

M0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl2

bl

al

l2

lz 321

M0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∂∂

cl

bl3

al

l2

lz 321

M0

r



czz

byy

axx

2

20

2

20

2

20 =

−−

−+

− в

точке ( )cz,by,axM 0000 +++ в направлении { }321 l,l,ll =r


⎜⎝⎛ ++=

∂∂

c3l

b3l

a3l

l2

lz 321

M0

r 2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

∂∂

cl

bl

al

l2

lz 321

M0

r

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl3

bl

al

l2

lz 321

M0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl2

bl

al

l2

lz 321

M0

r

131

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∂∂

cl

bl3

al

l2

lz 321

M0

r



czz

byy

axx

2

20

2

20

2

20 −=

−−

−+

−

в точке ( )c3z,by,axM 0000 +++ в направлении { }321 l,l,ll =r


⎜⎝⎛ ++=

∂∂

c3l

b3l

a3l

l2

lz 321

M0

r 2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

∂∂

cl

bl

al

l2

lz 321

M0

r

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl3

bl

al

l2

lz 321

M0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl2

bl

al

l2

lz 321

M0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∂∂

cl

bl3

al

l2

lz 321

M0

r


Задача: Найти производную от функции ( ) ( ) ( ) 0czz

byy

axx

2

20

2

20

2

20 =

−−

−+

− в точке

( )c2z,by,axM 0000 +++ в направлении { }321 l,l,ll =r


⎜⎝⎛ ++=

∂∂

c3l

b3l

a3l

l2

lz 321

M0

r 2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

∂∂

cl

bl

al

l2

lz 321

M0

r

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl3

bl

al

l2

lz 321

M0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl2

bl

al

l2

lz 321

M0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∂∂

cl

bl3

al

l2

lz 321

M0

r



byy

czz

axx

2

20

2

20

2

20 −=

−−

−+

−

в точке ( )cz,b3y,axM 0000 +++ в направлении { }321 l,l,ll =r


⎜⎝⎛ ++=

∂∂

c3l

b3l

a3l

l2

lz 321

M0

r 2). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

∂∂

cl

bl

al

l2

lz 321

M0

r

132

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl3

bl

al

l2

lz 321

M0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+=

∂∂

cl2

bl

al

l2

lz 321

M0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

∂∂

cl

bl3

al

l2

lz 321

M0

r

Номер: 10.21.C

Задача: Найти производную от функции 1by

ax

2

2

2

2

=+ в точке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛c,b

22,a

22M0 в направлении { }321 l,l,ll =

r


⎜⎝⎛ +=

∂∂

bl

al

l2

lz 21

M0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

bl

al2

l2

lz 21

M0

r

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

bl

l2

lz 32

M0

r 4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

al

l2

lz 31

M0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

cl

bl2

l2

lz 32

M0

r

Номер: 10.22.C

Задача: Найти производную от функции 1by

ax

2

2

2

2

=− в точке ( )c,b,a2M0 в

направлении { }321 l,l,ll =r


⎜⎝⎛ +=

∂∂

bl

al

l2

lz 21

M0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

bl

al2

l2

lz 21

M0

r

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

bl

l2

lz 32

M0

r 4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

al

l2

lz 31

M0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

cl

bl2

l2

lz 32

M0

r

133

Номер: 10.23.C

Задача: Найти производную от функции 1cz

by

2

2

2

2

=+ в точке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛c

22,b

22,aM0 в направлении { }321 l,l,ll =

r


⎜⎝⎛ +=

∂∂

bl

al

l2

lz 21

M0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

bl

al2

l2

lz 21

M0

r

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

bl

l2

lz 32

M0

r 4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

al

l2

lz 31

M0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

cl

bl2

l2

lz 32

M0

r

Номер: 10.24.C


ax

2

2

2

2

=+ в точке

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛c

22,b,a

22M0 в направлении { }321 l,l,ll =

r


⎜⎝⎛ +=

∂∂

bl

al

l2

lz 21

M0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

bl

al2

l2

lz 21

M0

r

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

bl

l2

lz 32

M0

r 4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

al

l2

lz 31

M0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

cl

bl2

l2

lz 32

M0

r

Номер: 10.25.C


by

2

2

2

2

=− в точке ( )c,b2,aM0

в направлении { }321 l,l,ll =r


⎜⎝⎛ +=

∂∂

bl

al

l2

lz 21

M0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

bl

al2

l2

lz 21

M0

r

134

3). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

bl

l2

lz 32

M0

r 4). ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

∂∂

cl

al

l2

lz 31

M0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∂∂

cl

bl2

l2

lz 32

M0

r

Номер: 10.26.C

Задача: Найти производную от функции ( ) ( )0

22

0 yyb


( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈ в направлении { }321 l,l,ll =r


⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

2

2

1M

lb

ala2l1

lz

0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

1M

lc

ala2l1

lz

0

r

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

21

2

Mlb2l

cb

l1

lz

0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

32

2

Mlc2l

bc

l1

lz

0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

2M

lc

blb2l1

lz

0

r

Номер: 10.27.C


22

0 zzc


( )cz,b,axM 000 ++ в направлении { }321 l,l,ll =r


⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

2

2

1M

lb

ala2l1

lz

0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

1M

lc

ala2l1

lz

0

r

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

21

2

Mlb2l

cb

l1

lz

0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

32

2

Mlc2l

bc

l1

lz

0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

2M

lc

blb2l1

lz

0

r

Номер: 10.28.C


22

0 xxc

byy −−=− в точке

( )c,by,axM 000 ++ , где Rec,b,a ∈ в направлении { }321 l,l,ll =r

135


⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

2

2

1M

lb

ala2l1

lz

0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

1M

lc

ala2l1

lz

0

r

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

21

2

Mlb2l

cb

l1

lz

0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

32

2

Mlc2l

bc

l1

lz

0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

2M

lc

blb2l1

lz

0

r

Номер: 10.29.C


22

0 yybczz −−=− в точке

( )cz,by,aM 000 ++ , где Rec,b,a ∈ в направлении { }321 l,l,ll =r


⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

2

2

1M

lb

ala2l1

lz

0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

1M

lc

ala2l1

lz

0

r

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

21

2

Mlb2l

cb

l1

lz

0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

32

2

Mlc2l

bc

l1

lz

0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

2M

lc

blb2l1

lz

0

r

Номер: 10.30.C


22

0 zzc

byy −=− в точке


в направлении { }321 l,l,ll =r


⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

2

2

1M

lb

ala2l1

lz

0

r 2). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

1M

lc

ala2l1

lz

0

r

3). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

21

2

Mlb2l

cb

l1

lz

0

r 4). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅+⋅=

∂∂

32

2

Mlc2l

bc

l1

lz

0

r

5). ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅=

∂∂

3

2

2M

lc

blb2l1

lz

0

r

136

Номер: 10.31.A Задача: Из всех производных по направлению, вычисленных для функции

( )z,y,xuu = в одной и той же точке, наибольшее значение имеет та производная, которая вычислена: Ответы: 1).в направлении градиента 2).перпендикулярно градиенту 3).все производные равны 4).нет правильного ответа 5).в любом направлении

Номер: 10.32.A

Задача: Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору ugrad

Ответы: 1).не равна нулю 2).равна нулю 3).имеет положительное значение 4).отрицательная 5).не имеет смысла

Номер: 10.33.A Задача: Для дифференцируемой функции двух переменных ( )y,xuu = градиент определяется формулой

Ответы: 1). jyui

xuugrad

∂∂

−∂∂

= 2). jxui

yuugrad

∂∂

+∂∂

= 3). jyui

xuugrad

∂∂

+∂∂

=

4). jyui

xuugrad

∂∂

−∂∂

−= 5). jyui

xuugrad

∂∂

+∂∂

−=

Номер: 10.34.A

Задача: Для функции двух переменных ( )y,xuu = вектор ugrad направлен по отношению к касательной, проведенной к линии уровня ( ) сy,xu = в точке ( )y,xM

Ответы: 1).параллельно 2).под углом 015 3).под углом 045 4).перпендикулярно 5).под углом 030

Номер: 10.35.A Задача: Градиент функции трех переменных ( )z,y,xuu = направлен к поверхности уровня, проходящей через данную точку Ответы: 1).параллельно 2).под углом 015 3).под углом 045 4).под углом 030 5).по нормали

Номер: 10.36.A Задача: Для функции двух переменных ( )y,xuu = производная по направлению вектора { }βα= cos,cosa в точке ( )y,xM вычисляется по формуле

Ответы: 1). β∂∂

+α∂∂

=∂∂ sin

yusin

xu

au 2). β

∂∂

−α∂∂

=∂∂ sin

yucos

xu

au

3). β∂∂

+α∂∂

=∂∂ cos

yucos

xu

au 4). β

∂∂

+α∂∂

=∂∂ cos

yusin

xu

au 5). β

∂∂

+α∂∂

−=∂∂ cos

yucos

xu

au

137

Номер: 10.37.А

Задача: Найти градиент функции 222 z2y21x4u ++= в точке М(1;1;1) .

Mugrad =

Ответы: 1). 81 2). 44 3). 29 4). 36 5). 72

Номер: 10.38.А Задача: Найти градиент функции 222 zyx3u −−= в точке М(1;1; 1)..

Mugrad =

Ответы: 1). 81 2). 44 3). 29 4). 36 5). 72

Номер: 10.39.А

Задача: Найти градиент функции 222 z2y21x4u −−= в точке М(1;1; 1).. .

Mugrad =

Ответы: 1). 81 2). 44 3). 29 4). 36 5). 72

Номер: 10.40.В Задача: Даны функция z x xy= +3 22 ,точка ( )2,1A и вектор { }4;3а =r . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{10;2} 2).{5; 2).. 3).{10;5} 4).{2;10} 5).{0;0}


Задача: Даны функция xyy4z 2 += и точка ( )1,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{1;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{9;9}

Номер: 10.42.В Задача: Даны функция yxy100z 24 −= и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;1} 2).{1;0) 3).{-1;0} 4).{0;-1} 5).{-1;1}

Номер: 10.43.В Задача: Даны функция xyxx4z 3 +−= и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{-1;0} 2).{0;0) 3).{10;0} 4).{1;0} 5).{9;9}

Номер: 10.44.В Задача: Даны функция 22 x1000yx100y1000z ++= и точка ( )1,0A − . Найти grad z в точке A .

138

Ответы: 1).{-100;2000} 2).{-100;-2000) 3).{0;0} 4).{100;900} 5).{9;9}

Номер: 10.45.В Задача: Даны функция ( )z x y= +ln 2 23 и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}

Номер: 10.46.В Задача: Даны функция ( )63 yxln100z −+= и точка ( )1,0A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{0;6} 5).{2;1}

Номер: 10.47.В Задача: Даны функция ( )yxxlnz −= и точка ( )1,2A . Найти grad z в точке A .

Ответы: 1).{23 ;-1} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}


Задача: Даны функция ( )yxlnz −= и точка ( )3,4A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{1;-1} 4).{1;9} 5).{2;1}

Номер: 10.49.В Задача: Даны функция ( )22 y3xlnx80z ++−= и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;1} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}

Номер: 10.50.В Задача: Даны функция yxez = и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}

Номер: 10.51.В Задача: Даны функция ( ) exz y5y+= и точка ( )0,1A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}

Номер: 10.52.В Задача: Даны функция yxez = и точка ( )0,5A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;5} 5).{2;1}

Номер: 10.53.В Задача: Даны функция ye2z x+= и точка ( )8,0A . Найти grad z в точке A .

139

Ответы: 1).{0;8} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;2} 5).{8;1}

Номер: 10.54.В Задача: даны функция yx xeez += и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}

Номер: 10.55.В Задача: Даны функция ( )z arctg x y= 2 2 и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).. {0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}

Номер: 10.56.В Задача: Даны функция ( )yxarctgz += и точка ( )1,1A − . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{1; 1).. 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{2;1}

Номер: 10.57.В Задача: Даны функция ( )yxarctgz 3 += и точка ( )1,1A − . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;9} 5).{3;1}

Номер: 10.58.В Задача: Даны функция ( )xyarctg5z 3 ++= и точка ( )1,1A − . Найти grad z в точке A . Ответы: 1).{0;9} 2).{2;0) 3).{0;0} 4).{1;3} 5).{3;1}

Номер: 10.59.В Задача: Даны функция ( )yxarctg100z 3+= и точка ( )1,1A . Найти grad z в точке A .

Ответы: 1).{23 ;

21 } 2).{2;0) 3).{

21;

23− } 4).{1;9} 5).{

21;

23 −− }


Задача: Даны функция ( )22 yxarctg25z += и точка ( )1,1A . Найти grad z в точке A .

Ответы: 1).{23 ;

21 } 2).{1; 1).. 3).{

21;

23− } 4).{1;-1} 5).{

21;

23 −− }


Задача: Даны функция ( )22 yxarctg25z += и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A .

140

Ответы: 1).{23 ;

21 } 2).{1; 1).. 3).{ 0;0 } 4).{1;-1} 5).{

21;

23 −− }


Задача: Даны функция ( )22xy yxarctgez += и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A .

Ответы: 1).{23 ;

21 } 2).{1; 1).. 3).{ 0;0 } 4).{1;-1} 5).{

21;

23 −− }


Задача: Даны функция ( )22yx2 yxarctgez += − и точка ( )0,0A . Найти grad z в точке A .

Ответы: 1).{23 ;

21 } 2).{1; 1).. 3).{ 0;0 } 4).{2;-1} 5).{

21;

23 −− }


Задача: Найти градиент функции 4

zyxu2

22 ++= в точке ( )1,1,1M : =Mugrad

Ответы: 1).2

33 2).233 3).

211 4).

255 5).

255


Задача: Найти градиент функции 3

y2

xu22

+= в точке ( )4,2M0 K=ugrad

Ответы: 1).3

10 2).53 3).

511 4).

31 5).

21


Задача: Даны функция z x xy= +3 22 , точка ( )2,1A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Ответы: 1).{10;2} 2).10 3).5

38− 4).

538

5).0


Задача: Даны функция xyy4z 2 += , точка ( )1,1A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Ответы: 1).{1;9} 2).5

39 3).

538

− 4).538

5).5

39−

141

Номер: 10.68.В Задача: Даны функция yxy100z 24 −= , точка ( )0,1A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Ответы: 1).{0;-1} 2).5

39 3).

54

− 4).0 5).54


Задача: Даны функция xyxx4z 3 +−= , точка ( )0,0A и вектор { }4;3а −=r

. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Ответы: 1).{0;-1} 2).53

3).54

− 4).0 5).54


Задача: Даны функция 22 x1000yx100y1000z ++= , точка ( )1,0A − и вектор { }4;3а −−=

r. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Ответы: 1).420 2).400 3).- 420 4).0 5).- 400

Номер: 10.71.В Задача: Даны функция ( )22 y3xlnz += , точка ( )0,1A и вектор { }4;3а −−=

r.

Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Ответы: 1).420 2).56

3).– 420 4).0 5).56

−


Задача: Даны функция ( )63 yxln100z −+= , точка ( )1,0A и вектор { }4;3а −=r


Ответы: 1).524

2).56

3).524−

4).0 5).56

−


Задача: Даны функция ( )yxxlnz −= , точка ( )1,2A и вектор { }4;3а −=r



2).1017

3).524−

4).0 5).1017−


Задача: Даны функция ( )yxlnz −= , точка ( )3,4A и вектор { }4;3а −=r



2).1017

3).51−

4).0 5).51

142

Номер: 10.75.В Задача: Даны функция ( )22 y3xlnx80z ++−= , точка ( )0,1A и вектор

{ }4;3а −=r



2).1017

3).54−

4).0 5).54


Задача: Даны функция yxez = , точка ( )0,1A и вектор { }0;1а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .


2).1017

3).54−

4).0 5).54


Задача: Даны функция ( ) exz y5y+= , точка ( )0,1A и вектор { }4;3а −=r



2).1017

3).0 4).54−

5).54

Номер: 10.78.С

Задача: Даны функция yxez = , точка ( )0,5A и вектор { }4;3а −=r



2).5

17 3).0 4).

517−

5).54


Задача: Даны функция ye2z x+= , точка ( )8,0A и вектор { }4;3а −=r



2).54−

3).-4 4).517−

5).54


Задача: Даны функция yx xeez += , точка ( )0,0A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Ответы: 1).52−

2).56−

3).-4 4).56

5).54


Задача: Даны функция ( )z arctg x y= 2 2 , точка ( )0,0A и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .

143

Ответы: 1).0 2).56−

3).-4 4).56

5).54


Задача: Даны функция ( )yxarctgz += , точка ( )1,1A − и вектор { }4;3а −=r


Ответы: 1).0 2).-51

3).-4 4).56

5).51


Задача: Даны функция ( )yxarctgz 3 += , точка ( )1,1A − и вектор { }4;3а −=r


Ответы: 1).-1 2).-51

3).-4 4).1 5).51


Задача: Даны функция ( )xyarctg5z 3 ++= , точка ( )1,1A − и вектор { }4;3а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Ответы: 1).-1 2).3 3).-3 4).1 5).51


Задача: Даны функция ( )yxarctg100z 3+= , точка ( )1,1A и вектор { }4;3а −=r



2).3 3).21

4).1 5).51


Задача: Даны функция ( )22 yxarctg25z += , точка ( )1,1A и вектор { }1;0а −=r



2).3 3).21

4).-1 5).51


Задача: Даны функция ( )22 yxarctg25z += , точка ( )0,0A и вектор { }0;1а =r . Найти производную в точке A по направлению вектора a .


2).0 3).21

4).-1 5).51

144

Номер: 10.88.С Задача: Даны функция ( )22xy yxarctgez += ,точка ( )0,0A и вектор

{ }3;1а −−=r


Ответы: 1).0 2).-3 3).21

4).-1 5).51


Задача: Даны функция ( )22yx2 yxarctgez += − ,точка ( )0,0A и вектор { }4;3а −=

r. Найти производную в точке A по направлению вектора a .

Ответы: 1).0 2).2 3).21

4).-1 5).51

145

11.Экстремумы функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.

Номер: 11.1.А

Задача: Найти экстремум функции 2xy3y5x4z 22 +++= Ответы: 1).zmax=-2 2).zmin=2 3) экстремума не существует 4).zmin=-2 5).zmax=2

Номер: 11.2.А Задача: Найти экстремум функции 4xyy2xz 22 +−+= Ответы: 1).zmax=4 2).zmin=-4 3).экстремума не существует 4).zmin=4 5).zmax=-4

Номер: 11.3.А Задача: Найти экстремум функции xy3yxz 22 −+= Ответы: 1).zmax=2 2).zmin=0 3).zmin=2 4).экстремума не существует 5).zmax=0

Номер:11.4.А Задача: Функция ( )y,xfz = имеет экстремум в данной точке, если Ответы: 1).функция имеет максимум в данной точке 2).функция имеет минимум в данной точке 3).функция имеет максимум и минимум в данной точке 4).функция имеет перегиб в данной точке 5).функция бесконечно приближается к данной точке

Номер:11.5.А Задача: Если функция ( )y,xfz = имеет в точке ( )000 y,xM экстремум и в точке

0M существуют частные производные первого порядка, то они Ответы: 1). ( ) ( ) 0yxfyxf 00y00x ≠′=′ 2). ( ) ( ) 0yxf;0yxf 00y00x =′=′

3). ( ) ( ) 0yxf;1yxf 00y00x =′=′ 4).( )( ) 2

yxfyxf

00y

00x =′′

5). ( ) ( ) 2yxf;1yxf 00y00x =′=′

Номер:11.6.А

Задача: Критическими точками функции ( )y,xfz = называется точки, в которых частные производные первого порядка ( )y,xf x′ и ( )y,xf y′ : Ответы: 1).обращается в нуль 2).не существует 3).обращаются в нуль или не существуют 4).не равны нулю 5).могут принимать любое значение

Номер:11.7.А Задача: Наибольшее и наименьшее значения функции ( )y,xfz = в ограниченной, замкнутой области D находится:

146

Ответы: 1).в наибольшем или наименьшем значении функции ( )y,xfz = на границе областиD 2).в наибольшем или наименьшем значении функции ( )y,xfz = на границе области D либо в критических точках области D 3).в критических точках области D 4).такое значение найти невозможно 5).в некритических точках области D

Номер: 11.8.А Задача: Если функция ( )y,xfz = достигает экстремума в точке ( )000 y,xM , то каждая частная производная первого порядка от z Ответы: 1).обращается в нуль в этой точке 2).не существует 3).обращается в нуль в этой точке или не существует 4).не равна нулю 5).положительна

Номер: 11.9.А Задача: Точки в которых yx z,z ′′ равны нулю или не существуют (где ( )y,xfz = называются Ответы: 1).особенными точками 2).существенными точками 3).определяемыми точками 4).критическими точками функции 5).нулевыми точками

Номер: 11.10.В Задача: Исследовать функцию на экстремум y5x4xyyxz 22 −−++= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (1;2)=0 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9

Номер: 11.11.В Задача: Исследовать функцию на экстремум ( )yx2yxz 23 −−=

Ответы: 1).zmax (1;32 )=

274 2).zmin (1;

32 )=

274 3).zmax (1;

32 )=-

274

4).zmin (1;32 )=-

274 5).zmax (1;2)=9


Задача: Исследовать функцию на экстремум ( )yxsinysinxsinz +++= , (0<x<π ,0<y< π )

Ответы: 1).zmax ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

3;

3=

233 2).zmin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

3;

3=

233 3).zmin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

3;

3=

23

4).zmin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ππ

3;

3=-

233

5).экстремума нет

147

Номер: 11.13.В Задача: Исследовать функцию на экстремум 22 yxyxy6x3z +−−+= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9

Номер: 11.14.В Задача: Исследовать функцию на экстремум yln18xln2yxz 22 −−+= Ответы: 1).zmax (1;2)=ln3 2).zmin (1;3)=10-18ln3 3).zmin (1;3)=10+18ln3 4).zmin (1;2)=10-18ln3 5).zmax (1;3)=1-18ln3


Задача: Исследовать функцию на экстремум ( ) ( )22 yx22 eyx2z +−+= Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (0;0)=0 4).zmin (0;0)=-7 5).zmax (1;2)=0


Задача: Исследовать функцию на экстремум xyz = Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9

Номер: 11.17.В Задача: Исследовать функцию на экстремум ( )yx1xyz −−=


⎜⎝⎛

31;

31

=271 2).zmin ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

31;

31

=271

3).zmax ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31;

31

= 271−

4).zmin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31;

31

= 271−

5).zmax ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

31;

31

= 271

Номер: 11.18.В Задача: Исследовать функцию на экстремум 22 yxyxz ++= Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (0;0)=0 4).zmin (0;0)=-7 5).zmax (1;2)=0


Задача: Исследовать функцию на экстремум 2223 yx5xyx2z ++−= Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (1;2)=4 3).zmin (0;0)=0 4).zmin (0;0)=-7 5).zmax (1;2)=0


Задача: Исследовать функцию на экстремум ( )22x

yxez +=

148

Ответы: 1).zmax (-2;0)=2e 2).zmin (-1; 2).=-4e 3).zmin (1;2)=-2e

4).zmin (-2;0)=-е2

5).zmax (1;2)=9


Задача: Исследовать функцию на экстремум 22 yxxyz+

=

Ответы: 1).zmax (x=y≠ 0)=21 2).zmin (x=y≠ 0)=-

21 3).zmax (x=y≠ 0)=

31

4).zmax (x=y≠ 0)=41 5).zmin (x=y≠ 0)=

21


Задача: Исследовать функцию на экстремум 20y6x9yxyxz 22 +−++−= Ответы: 1).zmax (0;0)=4 2).zmin (-4; 1).=-1 3).zmin (-4; 1).=0 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (0;0)=2

Номер: 11.23.В Задача: Исследовать функцию на экстремум 32 xyxyxyz −−= ( )0y,0x >> Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9

Номер: 11.24.В Задача: Исследовать функцию на экстремум y4y3xx3z 232 ++−=


⎜⎝⎛ −

32;0 =

34−

2).zmin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

32;0 =

34

3).zmax ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

31;

31

= 271−

4).zmin ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

31;

31

= 271−

5).zmax ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

31;

31

= 271


Задача: Исследовать функцию на экстремум y6xyxyz 2 +−−= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9

Номер: 11.26.В Задача: Найти экстремум функции y18x30yx3xz 23 −−+= Ответы: 1). 36z,36z maxmin =−= 2). 72z,72z maxmin =−= 3). 9z,9z maxmin =−= 4). 90z,90z maxmin =−= 5). 288z,288z maxmin =−=

149

Номер: 11.27.В Задача: Найти точки экстремума функции 1yxyyxxz 22 +−+++= Ответы: 1).(-2;2) 2).(-1;1) 3).(-3;3) 4).(0;0) 5).(-5;5)

Номер: 11.28.В Задача: Найти точки экстремума функции ( ) 22 yxyx4z −−−= Ответы: 1).(-1;1) 2).(2;-2) 3).(-3;3) 4).(-10;19) 5).(-5;5)

Номер: 11.29.В Задача: Найти точки экстремума функции 10y2x3yx2z 22 +−−= Ответы: 1).(2;2) 2).(0;0) 3).(1;1) 4).(5;5) 5).(4;4)

Номер: 11.30.В Задача: Найти точки экстремума функции 25y2x3yx2z 22 +−−= Ответы: 1).(2;2) 2).(0;0) 3).(1;1) 4).(5;5) 5).(4;4)


Задача: Найти точки экстремума функции y2x5yxyx21z 22 −−−+−=

Ответы: 1).(12;7)-т. max 2).(-12;-7) –т.min 3).(-12;-7)-т. max 4).экстремума нет 5).(5;4)-т.min

Номер: 11.32.В Задача: Найти точки экстремума функции y8x3yxy2z 2 +−−= Ответы: 1) (4;6)-т. max 2) (0;1) –т.min 3) (1;2)-т. max 4) экстремума нет 5) (2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции y5x2yx4xz 2 +−−= Ответы: 1).(5;4)-т. max 2).(-5;4) –т.min 3).(-5;-4)-т. max 4).экстремума нет 5) (5;4)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции 22 yx5z −= Ответы: 1) (4;6)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(5;4)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции x7y2xyxz 22 +++= Ответы: 1).(-4;1)-т. max 2).(-4;1) –т.min 3).(-4;-1)-т. max 4).экстремума нет 5).(-1;4)-т.min

150

Номер: 11.36.В Задача: Найти точки экстремума функции y2xyxyxz 22 −++−= Ответы: 1).(-1;1)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;0)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции y3yxyxz 22 +++= Ответы: 1).(-1;2)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;-2)-т. max 4).экстремума нет 5).(1;-2)-т.min

Номер: 11.38.В Задача: Найти точки экстремума функции 1y6xy10x3z 22 +++= Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(-1;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции 2x26y27xy7x3z 22 +−−+=

Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(5;4)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции 17x12y5,0x3z 22 −−+= Ответы: 1).(2;0)-т. max 2).(-1;1) –т.min 3).(0;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min

Номер: 11.41.В Задача: Найти точки экстремума функции x18xy3x2z 3 ++−= Ответы: 1) (4;6)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).(5;4)-т.min 5) экстремума нет


Задача: Найти точки экстремума функции 23xyez 22x ++= Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(0;0) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции yxz 2 += Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(0;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min

151

Номер: 11.44.В Задача: Найти точки экстремума функции 99yxz 22 +−= Ответы: 1).(4;6)-т. max 2).(0;0) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции 32 y2xz += Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min

Номер: 11.46.В Задача: Найти точки экстремума функции 222 yxy6x8z ++−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(1;2)-т. max 4).экстремума нет 5).(2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции 1xy12yx8z 22 −−−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции xy6yx2z 22 ++= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(1;2)-т. max 5) (2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции 222 xy2yxz −−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(0;0)-т. max 5).(-2;1)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции 12yxyx2z 22 −+−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3) экстремума нет 4).(0;0)-т. min 5).(-2;1)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции y12x12yxy6x3z 32 +−−−= Ответы: 1).(0;-2)-т. max 2).(2;0) –т.min 3).(-2;0) –т.min 4).экстремума нет 5).(0;-2)-т.min

152

Номер: 11.52.В Задача: Найти точки экстремума функции 3y3xxyz 22 +−−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).экстремума нет 4).(0;0)-т. mах 5).(-2;1)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции y18x18y3yx6xz 23 −−++= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(0;3) –т.min 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции 1y3x2xyz 22 −++= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(0;0) –т.min 4).(1;2)-т. max 5).(2;0)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции 1yx3xyxz 2223 −++−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3).(0;3) –т.min 4).(1;2)-т. max 5).(0;0)-т.min

Номер: 11.56.В Задача: Найти точки экстремума функции 1xy6y3xz 22 +−−= Ответы: 1).(1;3)-т. max 2).(2;1) –т.min 3) экстремума нет 4).(0;0)-т. mах 5).(-2;1)-т.min


Задача: Найти точки экстремума функции y40x24y2xy6z 2 −−+= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9

Номер: 11.58.В Задача: Найти точки экстремума функции 22 yxz −= Ответы: 1).zmax (1;2)=4 2).zmin (1;2)=4 3).экстремума нет 4).zmin (1;2)=-7 5).zmax (1;2)=9

Номер: 11.59.В Задача: Найти точки экстремума функции x4xy2xz 22 −+= Ответы: 1).(4;0)-т. max 2).(4;0) –т.min 3).(0;-2) –т.min 4).(0;2)-т. max 5).экстремума нет

153

Номер: 11.60.B Задача: Найти экстремум функции cxybyaxz 22 ++= +d

Ответы: 1).если 0cab4 2 >− , a>0, то dz max = 2).если 0cab4 2 >− , a<0, то dz min = 3).если 0cab4 2 <− , a>0, то czmax −=

4).если 0cab4 2 >− , a<0, то dz max = 5).если 0cab4 2 >− , a<0, то нет экстремума

Номер: 11.61.B Задача: Найти экстремум функции dcxybyaxz 22 +++= Ответы: 1).если 0cab4 2 >− , a>0, то нет экстремума 2).если 0cab4 2 >− , a<0, то dz max = 3).если 0cab4 2 <− , a>0, то czmax −= 4).если 0cab4 2 >− , a>0, то dz max =

5).если 0cab4 2 >− , a<0, то cz min =

Номер: 11.62.B Задача: Найти экстремум функции cxybyaxz 22 ++= +d Ответы: 1).если 0cab4 2 <− , a>0, то нет экстремума 2).если 0cab4 2 >− , a<0, то czmax = 3).если 0cab4 2 <− , a>0, то czmax −= 4).если 0cab4 2 >− , a>0, то dz max =

5).если 0cab4 2 >− , a<0, то cz min =

Номер: 11.63.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областях, задаваемых неравенствами: 5y2xz +−= , при 0x ≥ , 0y ≥ , 1yx ≤+ Ответы: 1).zнаим(0;1)=4, zнаиб(1;0)=6 2).zнаим(1;1)=4, zнаиб(0;0)=6 3).zнаим(1;0)=4, zнаиб(0;1)=6 4).zнаим(0;1)=-4, zнаиб(1;0)=-6 5).zнаим(0;1)=-4, zнаиб(1;0)=6


Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областях, задаваемых неравенствами: 33 yxz += , при 1yx 22 ≤+ Ответы: 1).zнаим(1;0)=-1, zнаиб(0;-1)= zнаиб(-1;0)=1

154

2).zнаим(-1;0)=-1, zнаиб(0;-1)= zнаиб(0;1)=1 3).zнаим(-1;0)=-1, zнаиб(0;1)= zнаиб(1;0)=1 4).zнаим(1;0)=1, zнаиб(0;-1)= zнаиб(-1;0)=-1 5).экстремума нет


Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции в областях, задаваемых неравенствами: ( )yxlnz += , при ( ) ( ) 22y2x 22 ≤−+−

Ответы: 1).zнаим(2-2

1;2-

21

)=ln(4- 2 ), zнаиб(2+2

1;2+

21

)=ln(4+ 2 )

2).zнаим(2-2

1;2+

21

)=ln(4- 2 ), zнаиб(2+2

1;2-

21

)=ln(4+ 2 )

3).zнаим(2-2

1;2-

21

)=ln(4+ 2 ), zнаиб(2+2

1;2+

21

)=ln(4- 2 )

4).zнаим(2+2

1;2-

21

)=ln(4- 2 ), zнаиб(2-2

1;2+

21

)=ln(4+ 2 )

5).zнаим(2-2

1;2-

21

)=ln(4- 2 ), zнаиб(2+2

1;2-

21

)=ln(4+ 2 )


Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции 1y2x3y2yxxz 22 ++++−= в замкнутом треугольнике, ограниченном

осями координат и прямой 05yx =++ . Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=-4 2).Zнаиб=-3, Zнаим=-41 3).Zнаиб=41, Zнаим=0 4).Zнаиб=41, Zнаим=-3 5).Zнаиб=-3, Zнаим=41

Номер: 11.67.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции 22 yxz −= в круге

22 yx + 4≤ Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=-4 2).Zнаиб=-4, Zнаим=4 3).Zнаиб=4, Zнаим=0 4).Zнаиб=0, Zнаим=-4 5).Zнаиб=-4, Zнаим=0

Номер: 11.68.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции

y8x4xy2xz 2 +−+= в прямоугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0,x=1, y=2. Ответы: 1).Zнаиб=-3, Zнаим=17 2).Zнаиб=-17, Zнаим=3 3).Zнаиб=3, Zнаим=-17 4).Zнаиб=0, Zнаим=-4 5).Zнаиб=17, Zнаим=-3

155


( )yx4yxz 2 −−= в треугольнике, ограниченном прямыми x=0, y=0, x + y=6. Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=-64, Zнаим=-4 3).Zнаиб=4, Zнаим=-64 4).Zнаиб=64, Zнаим=-4 5).Zнаиб=64, Zнаим=4

Номер: 11.70.С Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции yxxyz ++= в квадрате 3y2,2x1 ≤≤≤≤ . Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=12, Zнаим=5 3).Zнаиб=5, Zнаим=12 4).Zнаиб=12, Zнаим=-4 5).Zнаиб=64, Zнаим=12


Задача: Найти наибольшее и наименьшее значение функции 22 yx1z −−= в

круге ( ) ( ) 12y1x 22 ≤−+− . Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=-2( )12 + , Zнаим=2 ( )12 − 3).Zнаиб=5, Zнаим=12 4).Zнаиб=12, Zнаим=-4 5).Zнаиб=2 ( )12 − , Zнаим=-2 ( )12 +


1x10xy10xz 22 ++−= в замкнутой области: 12y

7x

≤+ .

Ответы: 1).Zнаиб=4, Zнаим=64 2).Zнаиб=120, Zнаим=24 3).Zнаиб=120, Zнаим=-24 4).Zнаиб=-120, Zнаим=-4 5).Zнаиб=-24, Zнаим=120

156

12. Задачи на условный экстремум.

Номер:12.1.В Задача: Задачи об условном экстремуме функции 2-х переменных решают в случае: Ответы: 1).появление новых условий задачи 2).когда переменные связаны друг с другом некоторыми условиями 3).когда переменные независимы 4).когда невозможно найти производную 5).когда решение носит условный характер

Номер:12.2.В Задача: Необходимое условие условного экстремума для функции ( )y,xfz = , при условии, что x и y связаны уравнением ( ) :0y,x =ϕ

Ответы: 1). ( ) 0y,x,0yy

f,0xx

f=ϕ=

∂ϕ∂

λ+∂∂

=∂ϕ∂

λ+∂∂

2). ( ) 0y,x,0yy

f,0xx

f=ϕ=

∂ϕ∂

λ−∂∂

=∂ϕ∂

λ−∂∂

3). ( ) 0y,x,0yx

f,0xy

f=ϕ=

∂ϕ∂

λ+∂∂

=∂ϕ∂

λ+∂∂

4). ( ) 0y,x,0yy

f,0xx

f≠ϕ=

∂ϕ∂

λ+∂∂

=∂ϕ∂

λ+∂∂

5). ( ) λ=ϕλ−=∂ϕ∂

+∂∂

λ=∂ϕ∂

+∂∂ y,x,

yyf,

xxf

Номер:12.3.В

Задача: При нахождении условного экстремума определяется вспомогательный множитель λ , который называется: Ответы: 1).множителем Даламбера 2).множителем Коши 3).множителем Лагранжа 4).множителем Тейлора 5).множителем Лопиталя

Номер:12.4.В

Задача: Метод множителей Лагранжа распространяется на исследование условного экстремума функции: Ответы: 1).одной переменной 2).двух переменных 3).трех переменных 4).любого числа переменных 5).не менее трех переменных

Номер: 12.5.В Задача: Точкой локально условного экстремума называется точка Ответы: 1).локального условного максимума 2).локального условного минимума 3).локального условного максимума и минимума 4).максимума функции 5).минимума функции

157

Номер: 12.6.В Задача: Функция Лагранжа используется для Ответы: 1).решения дифференциальных уравнений 2).выяснение, будет ли стационарная точка точкой условного экстремума 3).нахождение максимума функции 4).нахождение минимума функции 5).определение коэффициента

Номер: 12.7.С Задача: Найти экстремум функции yx2z += при условии, что 5yx 22 =+ Ответы: 1).zmin=-5, zmax=5 2).zmin=5, zmax=-5 3).zmin=0, zmax=5 4).zmin=-5, zmax=0 5).zmin=-5, zmax=25

Номер: 12.8.С Задача: Найти экстремум функции 4yxxyyxz 22 −++−+= при условии, что 03yx =++ Ответы: 1).zmin=5 2).zmin=-4,75 3).zmax=5 4).zmax=-4,75 5).экстремума нет

Номер: 12.9.С Задача: Найти экстремум функции 2xyz = при условии, что 1y2x =+

Ответы: 1).zmin=-5, zmax= 271

2).zmin=5, zmax=-5 3).zmin=0, zmax= 271

4).zmin=-5, zmax=0 5).zmin=0, zmax=-271


Задача: Найти экстремум функции y2xz += при условии, что 1yx 22 =+ . Ответы: 1).zmin=-5, zmax=5 2).zmin= 5 , zmax=- 5 3).zmin=0, zmax= 5 4).zmin=- 5 , zmax=0 5).zmin=- 5 , zmax= 5


Задача: Найти экстремум функции yxz += при условии, что 21

y1

x1

22 =+ .

Ответы: 1).zmin=-4, zmax=4 2).zmin=4, zmax=-4 3).zmin=0, zmax=-4 4).zmin=-4, zmax=0 5).zmin=0, zmax=4

Номер: 12.12.С Задача: Найти экстремум функции z=xy при условии, что х и у связаны уравнением 2х + 3у – 5 = 0.

158

Ответы: 1).zmin= 2425

2).zmin=- 2425

3).zmax= 2425

4).zmax=- 2425



Задача: Из всех прямоугольных треугольников с заданной площадью S найти такой, гипотенуза которого имеет наименьшее значение. Ответы: 1).нет такого 2).катеты не равны между собой 3).катеты равны между собой 4).стороны пропорциональны числам 1,2,3 5).один катет в два раза больше другого

Номер: 12.14.С Задача: Найти экстремум функции z=x2 + y2, если х и у связаны уравнением

13y

4x

=+ .

Ответы: 1).zmin= 25144

2).zmin=- 25

144 3).zmax= 25

144 4).zmax=-

25144



Задача: Найти экстремум функции y1

x1z += , если х и у связаны уравнением

х + у =2. Ответы: 1).zmin=-2 2).zmin=2 3).zmax=2 4).zmax=-2 5).экстремума нет

Номер: 12.16.С Задача: Найти экстремум функции xyez = , если х и у связаны уравнением х + у =1.

Ответы: 1).zmin=- 41

e 2).zmin= 41

e 3).zmax= 41

e

4).zmax=- 41

e 5).экстремума нет

Номер: 12.17.С Задача: Найти экстремум функции z=6 – 4x – 3y при условии, что х и у связаны уравнением 1yx 22 =+ . Ответы: 1).zmin=-1, zmax=11 2).zmin=11, zmax=-1 3).zmin=0, zmax=-11 4).zmin=-11, zmax=0 5).zmin=1, zmax=11

159


Задача: Найти экстремум функции y1

x1z += , если х и у связаны уравнением

х + у =2a (a> 0).

Ответы: 1).zmin= а2

2).zmin=- а2

3).zmax= а2

4).zmax= а2

− 5).экстремума нет

Documents

Раздел 5. Дифференциальное исчисление функции нескольких переменных (задачник)