теоретические сведения и типовые задания по разделу «дифференциальное и интегральное исчисление

И.В. Игнатушина, Е.О. Каракулина,

В.И. Каширина, Н.А. Спиридонова

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Учебно-методическое пособие

2015

Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ОРЕНБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

И.В. Игнатушина, Е.О. Каракулина,

В.И. Каширина, Н.А. Спиридонова

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ И ТИПОВЫЕ ЗАДАНИЯ ПО РАЗДЕЛУ

«ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

ФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ»

Учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов педвузов

Оренбург

2015


УДК 517.5 (075) ББК 22.161я73 И 28

Рецензенты И.К. Зубова, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математического анализа Оренбургского государственного университета Л.Н. Курбатова, старший преподаватель кафедры математического анализа и методики преподавания математики Оренбургского государственного педагогического университета Игнатушина, И. В. И 28 Теоретические сведения и типовые задания по разделу «Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких переменных»: учебно-методическое пособие для студентов физико-математических факультетов педвузов / И.В. Игнатушина, Е.О. Каракулина, В.И. Каширина, Н.А. Спиридонова; Мин-во образования и науки Рос. Федерации, ФГБОУ ВПО «Оренб. гос. пед. ун-т». – Оренбург: Южный Урал, 2015.– 105 с.: ил.

УДК 517.5 (075) ББК 22.161я73

© Игнатушина, И. В. Каракулина Е.О., Каширина В.И., Спиридонова Н.А., 2015 © Оформление. Издательство Южный Урал, 2015


3

Содержание

Предисловие*....................................................................................................................................*5*

Часть*I.*Дифференциальное*исчисление*функций*нескольких*переменных*...*6*1.! Область*определения*функции*нескольких*переменных*..............................*6!2.! Предел*функции*нескольких*переменных*............................................................*7!3.! Непрерывность*функции*в*точке*...........................................................................*11!4.! Частные* производные* и* полные* дифференциалы* первого* и* второго*порядка*функции*нескольких*переменных*..............................................................*14!5.! Дифференцирование*неявной*функции*.............................................................*21!6.! Применение*дифференциала*в*приближённых*вычислениях*.................*25!7.! Экстремумы*функции*двух*переменных*.............................................................*27!8.! Наибольшее*и*наименьшее*значения*функции*...............................................*31!9.! Производная*по*направлению.*Градиент*............................................................*35!

Часть*II.*Интегральное*исчисление*функций*нескольких*переменных*...........*40*1.! Определение*и*условия*существования*двойного*интеграла*..................*40!1.1.! Понятие! интегральной! суммы!для! действительной!функции! ( )yxfz ,= !

двух!действительных!переменных,!заданной!в!ограниченной!области!D!........!40!

1.2.!Понятие!предела!интегральных!сумм!............................................................................!41!

1.3.!Понятие!двойного!интеграла!..............................................................................................!41!

2.! Основные*свойства*двойного*интеграла*.............................................................*42!3.! Геометрический*и*физический*смысл*двойного*интеграла*......................*44!4.! Вычисление*двойного*интеграла*в*прямоугольных*координатах*.........*44!4.1!Вычисление!повторных!интегралов!................................................................................!46!

4.2!Расстановка!пределов!интегрирования!в!повторных!интегралах!.................!46!

4.3!Изменение!порядка!интегрирования!в!повторном!интеграле!.........................!52!

5.! Вычисление*двойного*интеграла*в*полярных*координатах*.....................*56!6.! Вычисление*двойного*интеграла*в*криволинейных*координатах*........*59!7.! Криволинейные*интегралы*......................................................................................*64!7.1.!Определение!криволинейного!интеграла!первого!рода!.....................................!64!

7.2.!Основные!свойства!криволинейного!интеграла!первого!рода!........................!65!

7.3.!Вычисление!криволинейного!интеграла!первого!рода!.......................................!65!

7.4.!Физические!приложения!интеграла!первого!рода!.................................................!66!

7.5.!Определение!криволинейного!интеграла!второго!рода!.....................................!68!

7.6.!Основные!свойства!криволинейного!интеграла!второго!рода!........................!69!

7.7.!Вычисление!криволинейного!интеграла!второго!рода!.......................................!70!

7.8.!Формула!ОстроградскогоOГрина!........................................................................................!71!

Часть*III.*Приложения*двойных*интегралов*.................................................................*72*1.! Вычисление*площади*плоской*фигуры*...............................................................*72!


4 4

1.1!Вычисление!площади!плоской!фигуры!в!прямоугольных!координатах!.....!72!

1.2!Вычисление!площади!плоской!фигуры!в!полярных!координатах!..................!74!

1.3!Вычисление!площади!плоской!фигуры!в!криволинейных!координатах!....!76!

2.! Вычисление*объёмов*тел*...........................................................................................*77!2.1!Вычисление!объёмов!тел!в!прямоугольных!координатах!..................................!77!

2.2!Вычисление!объёмов!тел!в!полярных!координатах!...............................................!78!

2.3!Вычисление!объёмов!тел!в!криволинейных!координатах!..................................!79!

3.! Вычисление*площади*поверхности*.......................................................................*81!3.1!Вычисление!площади!поверхности!в!прямоугольных!координатах!.............!81!

3.2!Вычисление!площади!поверхности!в!полярных!координатах!..........................!82!

Задания*для*контрольной*работы*.....................................................................................*85*

Вопросы*к*зачёту*........................................................................................................................*95*

Задачи*для*подготовки*к*зачету*.........................................................................................*97*

Приложение*А*Формулы*дифференцирования*..........................................................*102*

Приложение*Б*Формулы*интегрирования*...................................................................*103*

Список*рекомендуемой*литературы*...............................................................................*104*


5

Предисловие

Настоящее пособие адресовано студентам дневного и заочного

отделений, обучающимся по направлениям: 44.03.01 Педагогическое

образование (профили Математика, Математика и информатика,

Математика и физика), 02.03.03 Математическое обеспечение и

администрирование информационных систем, 01.03.04 Прикладная

математика, при изучении теории функций нескольких переменных.

Оно составлено в соответствии с программой этого курса. Вначале

сообщаются краткие теоретические сведения по каждому из разделов.

Затем приводятся примеры типовых заданий и демонстрируется их

решение.

В конце пособия представлены варианты контрольных работ,

перечень вопросов к зачету, задачи для подготовки к зачету, а также

список рекомендуемой литературы.


6

Часть I. Дифференциальное исчисление

функций нескольких переменных

1. Область определения функции нескольких переменных

Определение. Отображение f некоторого подмножества D

двумерного евклидова пространства R2 во множество R действительных

чисел называют действительной функцией 2-х действительных переменных.

Обозначение функции 2-х переменных: ( )yxfz ,= .

Множество ( )fDDобозн.= и называют областью определения функции f.

Так как D ⊂ R2, то геометрическим образом области определения ( )fD

является множество точек плоскости.

Пример 1. Найти и изобразить область определения функции

( ) 2424ln yxxyz −+−−= .

Решение. Данная функция является суммой двух функций:

( )xy 24ln −− и 24 yx − , поэтому её область определения является

пересечением областей определения этих функций. Первая функция

определена при условии, что выражение, стоящее под знаком логарифма,

положительно, а вторая – при условии, что выражение, стоящее под

знаком квадратного корня, неотрицательно, то есть

!"#

≤

<+⇔

!"#

≥−

>−−

.4

,42

,04

,02422 xy

xy

yx

xy

Неравенство 42 <+ xy задаёт на плоскости

хОу полуплоскость без границы (границу

42 =+ xy изображают штриховой линией),

а неравенство xy 42 ≤ задаёт часть х

у

4

2

04

-2

-4

1 2 4


7

плоскости, которая лежит внутри параболы xy 42 = , включая точки самой

параболы.

Следовательно, областью определения данной функции является

множество точек плоскости хОу, заключённых между параболой xy 42 = ,

включая её точки, и прямой 42 =+ xy , исключая её точки.

Ответ: ( ) ( ) ( ) ( ){ }xyxyyxfD 442; 2 ≤∧<+∈= 2R .

Пример 2. Найти и изобразить область определения функции

( )224

11arcsinyx

yxz−−

++−= .

Решение. Данная функция определена при условии, что

!"#

<+

≤−≤−⇔

!"#

>−−

≤+−≤−

.4

,02

,04

,1112222 yx

yx

ух

yx

Двойное неравенство 02 ≤−≤− yx задаёт на плоскости хОу полосу,

между прямыми 2−=− yx и 0=− yx , а неравенство 422 <+ yx задаёт

открытый круг радиуса 2 с центром в точке ( )0;0 .

Следовательно, областью

определения данной функции является

множество точек полосы, заключённых

внутри открытого круга, включая точки

прямых 2−=− yx и 0=− yx , и исключая

точки окружности 422 =+ yx .

Ответ: ( ) ( ) ( ) ( ){ }402; 22 <+∧≤−≤−∈= yхуxyxfD 2R .

2. Предел функции нескольких переменных

Для функции нескольких переменных, как и для функции одной

переменной, существует несколько определений предела функции в точке:

х

у

04

2

2

-2

-2


8 8

«на языке окрестностей», «по Гейне» (или «на языке

последовательностей»), «по Коши» ( или «на языке ε–δ»).

Сначала введем понятие сходимости последовательности точек на

плоскости 2R . Напомним, что для последовательности чисел 1Rxт ∈

соотношение axn → при ∞→n равносильно стремлению к нулю

расстояния между nx и a . На плоскости 2R расстояние между двумя

точками ( )111 b,aM и ( )222 ,baM определяется равенством

( ) ( ) ( )2212

2121, bbaaMM −+−=ρ .

Поэтому будем говорить, что последовательность точек ( ) 2, Ryx nn ∈

сходится при ∞→n к точке ( ) 2, Rba ∈ , если ( ) ( ) 022 →−+− byax nn , ∞→n .

В этом случае точку ( )ba, будем называть пределом указанной

последовательности точек ( )nn yx , и писать: ( ) ( )bayx nn ,, → при ∞→n .

Ясно, что если ( ) ( )bayx nn ,, → , то axn → и byn → ; верно и обратное

утверждение.

Например, последовательность !"

#$%

& −

nn

n23;1 сходится к пределу ( )3;0 .

Теперь введем понятие предельной точки множества 2RM ⊂ .

Определение. Точку ( )00, yx называют предельной точкой множества 2RM ⊂ , если существует последовательность точек ( ) Myx nn ∈, ,

( ) ( )00 ,, yxyx nn ≠ , такая, что ( ) ( )00 ,, yxyx nn → при ∞→n .

Примеры. 1. Пусть ( ){ }1:, 22 <+= yxyxM , тогда множество его

предельных точек совпадает с кругом ( ){ }1:, 22 ≤+= yxyxM .

2. Множество ( ){ }1:, 22 =+= yxyxG совпадает с множеством своих

предельных точек.

3. Множество ( )!"#

$%& ∈=== Nmn

my

nxyxF ,,1,1:, имеет единственную

предельную точку ( )0,0 .

Эти примеры показывают, что предельные точки множества могут и

не принадлежать ему.


9

Определение. ε-окрестностью точки ( )00 , yx называется

множество точек ( ) 2, Ryx ∈ , удовлетворяющих неравенству:

( ) ( ) 220

20 ε<−+− yyxx , т.е. . ε-окрестность точки ( )00 , yx – это круг радиуса ε с

центром в точке ( )00 , yx .

Выколотая окрестность точки ( )00 , yx получается из обычной

окрестности этой точки путем выкалывания ее центра, т.е. ( )00 , yx .

Теперь введем понятие предела функции в точке.

Пусть точка ( )00, yx – предельная точка области определения функции

( )yxfz ,= .

Определение («на языке окрестностей»). Число A называют

пределом функции ( )yxfz ,= при ( ) ( )00 ,, yxyx → , если для любой

окрестности точки A найдется такая выколотая окрестность точки ( )00, yx ,

что для всех точек из области определения функции и этой выколотой

окрестности значения функции попадают в окрестность точки A .

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )AUyxfyxUDyxyxUAUyxfA f

def

yxyx∈∩∈∀∃∀⇔=

⋅⋅

→,,,,:,,,lim 0000,, 00

.

Определение («по Коши»). Число A называют пределом функции ( )yxfz ,= при ( ) ( )00 ,, yxyx → , если для любого положительного ε найдется

такое положительное δ, что для всех точек из области определения

функции, для которых расстояние до точки ( )00, yx удовлетворяет двойному

неравенству: ( ) ( )( ) δρ << 00 ,,,0 yxyx , значения функции удовлетворяют

неравенству ( ) ε<− Ayxf , .

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) δρδε <<∈∀>∃>∀⇔=

→00,,

,,,0:,:0,0,lim00

yxyxDyxyxfA f

def

yxyx,

( ) ε<− Ayxf , .

Определение («по Гейне»). Число A называют пределом функции ( )yxfz ,= при ( ) ( )00 ,, yxyx → , если для любой последовательности

точек ( ) fnn Dyx ∈, такой, что ( ) ( )00 ,, yxyx nn → и ( ) ( )00 ,, yxyx nn ≠

последовательность соответствующих значений функции ( )nnn yxfz ,=

сходится к A .


10 10

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ., ,,,,,,

,

:,,lim

00

00

,

,, 00

Ayxfyxyxyxyx

Dyx

yxyxfA nn

nn

nn

fnn

nn

def

yxyx→

"#

"$

%

≠

→

∈

∀⇔=→

При кажущейся полной аналогии предела функции одной и

нескольких переменных существует глубокое различие между ними. В

случае функции одной переменной для существования предела в точке

необходимо и достаточно равенство лишь двух чисел – пределов по двум

направлениям: справа и слева от предельной точки 0x , в то время как уже

для функций двух переменных стремление к предельной точке ( )00 , yx на

плоскости 2R может происходить по бесконечному числу направлений, и

потому требование существования предела у функции двух переменных

«жестче» по сравнению с функцией одной переменной.

Пример. Покажем, что функция ( ) 22,yx

xyyxf

+= не имеет предела в

точке ( )0,0 .

Рассмотрим две последовательности точек: ( )0,01,1 →"#

$%&

'nn

,

( )0,02,1 →"#

$%&

'nn

. Тогда последовательности соответствующих значений

функции будут иметь следующие пределы:

21

21

11

111,1

22

→=+

⋅=#

$

%&'

(

nn

nnnn

f , 52

52

41

212,1

22

→=+

⋅=#

$

%&'

(

nn

nnnn

f .

Поскольку пределы получились разными, то по определению Гейне 2200

limyx

xy

yx +

∃→→

.

Сформулируем понятие предела для случая, когда предельная точка

имеет бесконечные координаты. Ограничимся случаем, когда ,+∞→x

+∞→y (остальное предоставляем читателю!).

Определение. Число А называют пределом функции ( )yxfz ,= при

,+∞→x +∞→y , если для 0>∀ε 0>∃K такое, что из неравенства Kx > и

Ky > следует неравенство ( ) ε<− Ayxf , .


11

Читателю будет полезно сформулировать понятие предела функции,

когда одна координата предельной точки ( )00, yx бесконечна. Также будет

полезным упражнением доказать какое-нибудь из утверждений следующей

теоремы, являющейся аналогом теоремы об арифметических операциях

над пределами функций одной переменных.

Теорема 1. Если существуют ( )yxfyyxx

,lim00

→→

и ( )yxgyyxx

,lim00

→→

, то

( ) ( )( ) ( ) ( )yxgyxfyxgyxfyyxx

yyxx

yyxx

,lim,lim,,lim00

00

00

→→

→→

→→

±=± ;

( ) ( ) ( ) ( )yxgyxfyxgyxfyyxx

yyxx

yyxx

,lim,lim,,lim00

00

00

→→

→→

→→

⋅=⋅ ;

( )

( )

( )yxg

yxf

yxgyxf

yyxx

yyxx

yyxx ,lim

,lim

,),(lim

00

00

00

→→

→→

→→

= , при ( ) 0,lim00

≠→→

yxgyyxx

.

Примеры. 1. 1510limlim4lim31043lim

21

21

2

21

2

21

=+⋅

−##

$

%

&&

'

(=##

$

%&&'

(+−

→−→

→−→→

−→→−→ yx

xxy

x

yx

yxy

xyx

.

2. 312

37lim

31limsinlim

31sinlim

31

00

3sinlim

70

70

70

70

70

−=−==⋅=⋅=#$

%&'

(=−→

→−→

→−→

→−→

→−→

→yy

xyxy

yxyxy

xxy

yx

yx

yx

yx

yx

.

3. Непрерывность функции в точке

Особый интерес представляет класс непрерывных функций. Пусть

дана функция ( )yxfz ,= с областью определения fD и пусть точка ( )00, yx –

предельная точка множества fD .

Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= непрерывна в точке

( )00, yx , если:

1) ( ) fDyx ∈00 , ;

2) ( ) ( )00 ,,lim00

yxfyxfyyxx

=→→

.

Выбирая одно из определений предела функции в точке, получим

соответствующее определение непрерывности функции в точке: «на языке

окрестностей», «по Гейне», «по Коши».


12 12

Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= разрывна (или имеет

разрыв) в точке ( )00, yx , если:

1) либо ( ) fDyx ∉00 , , т.е. ( )00 , yxf∃ ;

2) либо ( ) fDyx ∈00 , , при этом ( )yxfyyxx

,lim00

→→

∃ или ( ) ( )00 ,,lim00

yxfyxfyyxx

≠→→

.

Сформулируем равносильное определение непрерывности функции

в точке «на языке приращений». С этой целью через 0xxx −=Δ и 0yyy −=Δ

обозначим приращения независимых аргументов, а через

( ) ( )00 ,, yxfyxfz −=Δ .

Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= непрерывна в точке

( ) fDyx ∈00 , , если выполнено равенство 0lim00

=Δ→Δ→Δ

zyx

.

Определение. Точка ( ) Dyx ∈00 , называется изолированной точкой

некоторого множества D, если существует такая выколотая окрестность

этой точки, в которой нет точек из множества D. Определение. Если функция определена в изолированной точке

области определения, то она в ней непрерывна.

Пример. Показать, что функция yxez 52 += непрерывна в произвольной

точке ( ) 200 , Ryx ∈ . Зададим приращения 0≠Δx и 0≠Δy , составим

приращение функции в точке ( )00, yx : ( ) ( ) ( )152525252 000000 −=−=Δ Δ+Δ++Δ++Δ+ yxyxyxyyxx eeeez .

Так как

( )( ) 111111 52525252 −+−+−−=−=− ΔΔΔΔΔΔΔ+Δ xxyxyxyx eeeeeee ~ yxyx Δ+Δ+Δ⋅Δ 5252 ,

то ( ) 01052limlim00

52

00

00 =ΔΔ+Δ+Δ=Δ→Δ→Δ

+

→Δ→Δ

yxyxezyx

yx

yx

, т.е. функция непрерывна.

Пример. Рассмотрим функцию ( ) 22

44

,yxyx

yxf+

+= . Доопределим ее в

точке разрыва ( )0,0 так, чтобы она стала непрерывной. Для этого вычислим

( )0

sincoslim

sincos

00

lim 2

444

022

44

00

=+

=!"

#$%

&

=

=='

(

)*+

,=+

+→

→→ ρ

ϕϕρϕρ

ϕρρy

xyxyx

yx

.


13

Теперь составим функцию ( )( ) ( )

( ) ( )!"

!#

$

≠

≠+

+=

,0,0,,0

,0,0,,, 22

44

yx

yxyxyx

yxg которая и

будет искомой.

Определение. Функция называется непрерывной на множестве, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

На примерах функций yx

z−

= 2

1 и 22

1yx

z−

= отметим, что множества

точек разрыва функции могут представлять собой кривые, называемые

линиями разрыва: соответственно параболу 2xy = и пару пересекающихся

прямых xy ±= .

Теорема 2. Если функции ( )yxf , и ( )yxg , непрерывны в точке ( )00 , yx ,

то этим же свойством обладают функции: ( ) ( )yxgyxf ,, ± и ( ) ( )yxgyxf ,, ⋅ , а

если ( ) 0, 00 ≠yxg , то и функция ( )( )yxgyxf,, .

Теорема 3 (о непрерывности сложной функции). Пусть функция ( )yxfz ,= непрерывна в точке ( )00 , yx , а функции ( )τϕ ,tx = и ( )τψ ,ty =

непрерывны в точке ( )00 ,τt , где ( )000 ,τϕ tx = и ( )000 ,τψ ty = . Тогда сложная

функция ( ) ( ) ( )( )τψτϕτ ,,,, ttftFz == непрерывна в точке ( )00 ,τt .

Пример. Функция ( )221ln yxxyz ++= непрерывна в любой точке

( ) 200 , Ryx ∈ . В самом деле, так как она является суперпозицией

непрерывных функций ( ) ττ ln, ttf = , xyt = , 221 yx ++=τ , то ее

непрерывность следует из теоремы 3.

Определение. Точку ( ) 200 , RDyx ⊂∈ назовем внутренней точкой

множества D, если существует ε - окрестность этой точки, целиком

лежащая в D.

Ясно, что каждая внутренняя точка множества D является

одновременно и предельной точкой множества. Обратное, конечно, не

верно.

Определение. Множество 2RD ⊂ называют областью, если: все его

точки внутренние, и любые две его точки можно соединить непрерывной

кривой, лежащей в D.


14 14

Определение. Предельные точки области D, не принадлежащие ей,

образуют ее границу D∂ . Область D вместе с ее границей называют

замкнутой областью и обозначают D ( )DDD ∂∪= . Множество D называют

также замыканием области D.

Теорема 4 (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция

( )yxfz ,= непрерывна на D , то она ограничена, т.е. существуют m и

M такие, что ( ) Myxfm ≤≤ , для ( ) Dyx ∈∀ , .

Теорема 5 (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция

( )yxfz ,= непрерывна на D , то она достигает на D своего минимального и

максимального значения, т.е. существуют ( )11, yx , ( )22 , yx D∈ такие, что

( ) ( )11,, yxfyxf ≥ и ( ) ( )22 ,, yxfyxf ≤ для ( ) Dyx ∈∀ , .

4. Частные производные и полные дифференциалы первого и

второго порядка функции нескольких переменных

Пусть ( )000 , ухМ – внутренняя точка области определения функции

( )yxfz ,= . Рассмотрим частное приращение по х (по у) этой функции в

точке ( )000 , ухМ :

( ) ( )0000 ,, yxfyxxfzx −Δ+=Δ .

( ) ( )( )0000 ,, yxfуyxfzу −Δ+=Δ

Определение. Если существует конечный xzx

x ΔΔ

→Δ 0lim , то его называют

частной производной по х функции ( )yxfz ,= в точке ( )000 , ухМ и

обозначают:

( ) ( ) ( )0000 ,или,или yxfМzМxz

xx !!∂∂

.

Таким образом,

( ) ( )x

yxfyxxfxz

xz

xx

x

def

Δ−Δ+

=ΔΔ

=∂∂

→Δ→Δ

000000

,,limlim .

Аналогично,


15

( ) ( )у

yxfуyxfуz

уz

у

у

у

def

Δ−Δ+

=Δ

Δ=

∂∂

→Δ→Δ

000000

,,limlim .

Определение. Функцию ( )yxfz ,= называют дифференцируемой в

точке ( )000 , ухМ , если её полное приращение zΔ в этой точке можно

представить в виде

yxyBxAz Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅=Δ βα , (1)

где А и В – некоторые действительные числа, а ( ) 0, →ΔΔ= ухαα и

( ) 0, →ΔΔ= ухββ при 0→Δх и 0→Δу .

Теорема 1 (необходимое условие дифференцируемости). Если

функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке ( )000 , ухМ , то существуют

её частные производные в этой точке ( )00, yxfx! и ( )00, yxf y! .

Следствие. Если функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке

( )000 , ухМ , то

( ) ( ) yxyyxfxyxfz yx Δ⋅+Δ⋅+Δ⋅#+Δ⋅#=Δ βα0000 ,, ,

( ) 0, →ΔΔ= ухαα и ( ) 0, →ΔΔ= ухββ при 0→Δх и 0→Δу .

Теорема 2 (о связи между дифференцируемостью и

непрерывностью). Если функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке

( )000 , ухМ , то она непрерывна в этой точке.

Вывод: существование частных производных функции ( )yxfz ,= в

точке ( )000 , ухМ , а также непрерывность её в этой точке являются лишь

необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке.

Теорема 3 (достаточные условия дифференцируемости). Если

функции ( )yxfz ,= в некоторой окрестности точки ( )000 , ухМ имеет

непрерывные частные производные ( )yxfx ,! и ( )yxf y ,! , то она

дифференцируема в точке ( )000 , ухМ .

Определение. Если функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке

( )000 , ухМ , то выражение ( ) ( ) yyxfxyxf yx Δ⋅#+Δ⋅# 0000 ,, называют полным


16 16

дифференциалом функции в этой точке и обозначают: dz или ( )00 , yxdf .


( ) ( ) yyxfxyxfdz yx Δ⋅#+Δ⋅#= 0000 ,, .

yyzx

xzdz Δ⋅

∂∂

+Δ⋅∂∂

= – первая форма полного дифференциала функции.

Если х и у – независимые переменные, то их приращения совпадают

с дифференциалами, то есть dxx =Δ и dyy =Δ . Тогда получаем вторую

форму полного дифференциала функции:

dyyzdx

xzdz ⋅

∂∂

+⋅∂∂

= .

Определение. Если существует частная производная от частной

производной первого порядка функции ( )yxfz ,= , то её называют

частной производной второго порядка.

Функция ( )yxfz ,= имеет 4 частные производные 2-го порядка,

которые обозначают:

2

2

xz

∂

∂ (читается «дэ два зет по дэ икс дважды») или ( )yxfzz xxxxх ,2 !!=!!=!! ;

2

2

уz

∂

∂ или ( )yxfzz ууууу ,2 !!=!!=!! ;

уxz∂∂

∂2 (читается «дэ два зет по дэ икс дэ игрек») или ( )yxfz xуху ,!!=!! ;

хуz∂∂

∂2 или ( )yxfz уxух ,!!=!! э

Частные производные уxz∂∂

∂2 и хуz∂∂

∂2 называют смешанными.

Теорема 4. Если функция ( )yxfz ,= в некоторой точке ( )000 , ухМ

имеет непрерывные смешанные производные, то они в этой точке равны:

хуz

уxz

∂∂∂

=∂∂

∂ 22.


17

Теорема 5. Если функции ( )tх ϕ= и ( )ty ψ= дифференцируемы в

точке 0t , а функция ( )yxfz ,= дифференцируема в соответствующей точке

( )00, yx , где ( )00 tх ϕ= , ( )00 ty ψ= , то сложная функция ( ) ( )( )ttfz ψϕ ,=

дифференцируема в точке 0t , причём её производная находится по

формуле:

dzdt=∂z∂x⋅dxdt+∂z∂y⋅dydt

.

Теорема 6. Если функции ( )yxuu ,= и ( )yxvv ,= дифференцируемы

в точке ( )00, yx , а функция ( )vufz ,= дифференцируема в

соответствующей точке ( )00 ,vu , где ( )000 , yxuu = , ( )000 , yxvv = , то

сложная функция ( ) ( )( )yxvyxufz ,,,= дифференцируема в точке ( )00, yx ,

причём её частные производные находятся по формулам:

xv

vz

xu

uz

хz

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂

и yv

vz

yu

uz

yz

∂∂⋅

∂∂

+∂∂⋅

∂∂

=∂∂ .

Определение. Дифференциал от дифференциала первого порядка

называют дифференциалом 2-го порядка и обозначают ( ) zddzd 2= .

Если х и у – независимые переменные и функция ( )yxfz ,= имеет

непрерывные смешанные производные второго порядка, то полный

дифференциал второго порядка вычисляют по формуле

22

222

2

22 2 dy

yzdxdy

yxzdx

xzzd

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂= .

Пример 1. Найти частные производные и полные дифференциалы

первого и второго порядков от функции

xуyхz cossin 32 += . Решение. 1) Сначала найдём частные производные первого порядка.

Для того чтобы найти частную производную по х, фиксируем у и

дифференцируем z как функцию одной переменной х:


18 18

( ) xyyхxyyxxz

yх sinsin2cossin 3фикс.

32 −="

+=∂∂

− .

Для того чтобы найти частную производную по у, фиксируем х и

дифференцируем z как функцию одной переменной у:

( ) xyyхxyyxyz

xy cos3coscossin 22фикс.

32 +=!

+=∂∂

−.

Полный дифференциал первого порядка функции ( )yxfz ,=

вычислим по формуле

dyyzdx

xzdz ⋅

∂∂

+⋅∂∂

= .

Подставляя в эту формулу частные производные первого порядка,

получаем

( ) ( )dyxyyxdxxyyхdz cos3cossinsin2 223 ++−= .

2) Теперь найдём частные производные второго порядка.

Частную производную второго порядка 2

2

xz

∂

∂ вычисляем,

дифференцируя частную производную первого порядка xz∂∂

по х (при

фиксированном у):

( ) xyyxyyхxz

yх cossin2sinsin2 3фикс.

32

2−=

"−=

∂

∂−

.

Частную производную второго порядка уxz∂∂

∂2 вычисляем,

дифференцируя частную производную первого порядка xz∂∂

по y (при

фиксированном x):

( ) xyyхxyyхуxz

ху sin3cos2sinsin2 2фикс.

32

−="

−=∂∂

∂−

.

Частную производную второго порядка xyz∂∂

∂2 вычисляем,


19

дифференцируя частную производную первого порядка yz∂∂ по x (при

фиксированном y):

( ) xyyхxyyxxyz

yx sin3cos2cos3cos 2фикс.

222

−="

+=∂∂

∂−

.

Частную производную второго порядка 2

2

yz

∂

∂ вычисляем,

дифференцируя частную производную первого порядка yz∂∂ по y (при

фиксированном x):

( ) xyyхxyyxyz

ху cos6sincos3cos 2фикс.

222

2+−=

"+=

∂

∂−

.

Зная частные производные второго порядка, вычислим полный

дифференциал второго порядка по формуле

=∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂= 2

2

222

2

22 2 dy

yzdxdy

yxzdx

xzzd

( ) ( ) ( ) .cos6sinsin3cos22cossin2 22223 dyxyyxdydxxyyxdxxyy +−+−+−=

Пример 2. Найти частные производные и полные дифференциалы

первого и второго порядков от функции ухz = .

Решение. 1) Сначала найдём частные производные первого порядка:

( ) 1−⋅=#=# ух

ух хухz и ( ) .ln xххz у

уу

у =!=!

Тогда полный дифференциал первого порядка вычислим по формуле

dyxxdxxydyzdxzdz yyyх ln1 +=!+!= − .

2) Дифференцируя каждую частную производную первого порядка и

по х и по у, найдём частные производные второго порядка:

( ) ( ) ,1 21 −− −="="" ух

ухх хуухуz

( ) ( ),ln1ln 1111 xyхxхуххуz уууу

уху +=+=!=!! −−−−


20 20

( ) ( ),1lnln1lnln 1111 +=+=+=!=!! −−−− xyxхxyхx

хxyхxхz yууууx

уух

( ) .lnlnlnln 2 xхxxхxхz ууу

уyy =⋅="=""

Полный дифференциал второго порядка вычислим по формуле:

=!!+!!+!!= 222 2 dyzdydxzdxzzd yyxyхх

( ) ( ) .lnln121 22122 dyxxdydxxyxdxхуу yyу +++−= −−

Пример 3. Показать, что функция ху

еz = удовлетворяет уравнению

.02

=∂∂

+∂∂

−∂∂

∂yz

xz

yxzx

Решение. Найдём частные производные первого порядка и

смешанную производную второго порядка:

ху

ху

ху

еxy

xyее

xz

x⋅−=#

$

%&'

(−⋅=)#$

%&'

(=

∂∂

22 ,

ху

ху

ху

еxx

ееyz

y⋅=⋅="#

$

%&'

(=

∂∂ 11

,

ху

ху

ху

ху

ху

ехуе

xxе

xyе

xе

xy

yxz

y⋅−⋅−=⋅⋅−⋅−=#$

%

&'(

)⋅−=

∂∂∂

32222

2 111.

Подставим найденные выражения в левую часть уравнения:

=⋅+⋅+"#

$%&

'⋅−⋅−⋅=

∂∂

+∂∂

−∂∂

∂ ху

ху

ху

ху

ех

ехуе

хуе

хх

yz

xz

yxzx 11

232

2

01122 ≡⋅+⋅+⋅−⋅−= х

уху

ху

ху

ех

ехуе

хуе

х.

Получаем тождество, следовательно, функция ху

еz = удовлетворяет

данному уравнению.

Пример 4. Показать, что функция !"

#$%

& += yxz2

sin2 2 удовлетворяет

уравнению .022

2

2=

∂∂∂

−∂

∂yxz

xz


21

Решение. Найдём частную производную первого порядка по х:

( )yxyxyxyxxz

х2sin

21

2cos

2sin22

2sin2 2 +=⋅"

#

$%&

' +⋅"#

$%&

' +⋅=("#

$%&

'"#

$%&

' +=∂∂

.

Продифференцируем эту производную и по х и по у:

( )( ) ( ),2cos2sin2

2yxyx

xz

x +=!+=∂

∂

( )( ) ( ).2cos22sin2

yxyxyxz

y +=!+=∂∂

∂

Подставляя найденные выражения в левую часть уравнения

( ) ( ) ,02cos22cos222

2

2≡+−+=

∂∂∂

−∂

∂ yxyxyxz

xz

получаем тождество. Следовательно, функция !"

#$%

& += yxz2

sin2 2

удовлетворяет данному уравнению.

5. Дифференцирование неявной функции

Определение. Функция ( )yxfz ,= называется неявной, если она

задается уравнением

( ) 0,, =zyxF ,

неразрешенным относительно z .

Пример 1. Уравнение 0=+−yx

arctgzxy задает неявную функцию

yx

arctgxyz += .

Пример 2. Уравнение 1222 =++ zyx задает две неявные функции:

221 yxz −−= и 221 yxz −−−= .

Определение. Будем говорить, что в прямоугольном

параллелепипеде [ ]fedcba ,;,;, уравнение ( ) 0,, =zyxF задает неявную


22 22

функцию ( )yxfz ,= , если для любой точки ( )yx, , принадлежащей

прямоугольнику [ ]dcba ,;, , найдется единственное значение z из отрезка

[ ]fe, такое, что выполняется условие ( ) 0,, =zyxF .

Теорема (о существовании, непрерывности и дифференцируемости

неявной функции двух переменных).

Пусть функция ( )zyxF ,, удовлетворяет следующим условиям:

1) она определена и непрерывна в некотором замкнутом

параллелепипеде [ ]czczbybyaxaxD +−+−+−= 000000 ,;,;, с центром в точке

( )0000 ,, zyxP ;

2) значение функции ( )zyxF ,, в точке ( )0000 ,, zyxP равно нулю, т.е.

( ) 0,, 000 =zyxF ;

3) существуют частные производные ( )zyxF x ,,' , ( )zyxF y ,,' ;

( )zyxF z ,,' , которые непрерывны внутри D ;

4) ( ) 0,,' 000 ≠zyxF z ;

тогда справедливы следующие утверждения:

а) уравнение ( ) 0,, =zyxF задает неявную функцию ( )yxfz ,= в

некотором открытом прямоугольном параллелепипеде

( ) Dzzhyhyxx ∈+−+−+− εεδδ 000000 ,;,;, ;

б) ( ) 000 , zyxf = ;

в) функция ( )yxfz ,= непрерывна в открытом прямоугольнике

( )hyhyxx +−+− 0000 ,;, δδ ;

г) в открытом прямоугольнике ( )hyhyxx +−+− 0000 ,;, δδ существуют

частные производные ( ) ( )( )yxFyxF

yxfzz

xxx ,'

,','' −== ; ( )( )( )yxFyxF

yxfzz

yyy ,'

,','' −== .

Частные производные неявной функции ( )yxfz ,= можно найти

другим способом. Для этого в уравнение ( ) 0,, =zyxF вместо z напишем

функцию ( )yxf ,


23

( )( ) 0,,, =yxfyxF .

Найдем частные производные по x и y от левой и правой частей

полученного равенства, помня о том, что x и y независимые переменные,

а z − функция от них:

0=∂

∂

∂

∂+

∂

∂

xz

zF

xF ,

0=∂

∂

∂

∂+

∂

∂

yz

zF

yF ,

откуда найдем

z

x

FF

xz

!

!−=

∂

∂ и z

y

FF

yz

!

!−=

∂

∂ .

Замечания. 1) Частные производные функции ( )nxxxfu ,...,, 21= ,

заданной неявно уравнением ( ) 0,,...,, 21 =uxxxF n находятся по формуле

u

x

k F

F

xu k

!

!−=

∂

∂ , где nk ,1= . (1)

2) Частные производные второго порядка находятся путем

дифференцирования по переменной mx , где nm ,1= , правой части равенства

(1)

!!"

#$$%

&'

'−

∂∂

=∂∂∂

u

x

mmk FF

xxxu k

2

.

Аналогично вычисляются частные производные более высокого порядка.

Пример. Найти ( )0'f и ( )0"f неявной функции ( )xfy = , заданной

уравнением 0222 =−+++− yxyxyx , если ( ) 10 =f .

Решение. Покажем, что предложенное в условии уравнение

0222 =−+++− yxyxyx действительно задает неявную функцию ( )xfy = .

Для этого проверим выполнение условий теоремы:

1) функция ( ) 2, 22 −+++−= yxyxyxyxF определена и непрерывна

на множестве 2R , следовательно, она определена и непрерывна в любом

прямоугольнике с центром в точке ( )1;00P ;


24 24

2) ( ) ( ) 01,0, 00 == FyxF ;

3) частные производные 12' +−= yxF x , 12' ++−= yxF y непрерывны

на множестве 2R , следовательно, и в любом открытом прямоугольнике с

центром в точке ( )1;00P ;

4) ( ) ( ) 031,0',' 00 ≠== yy FyxF ;

следовательно, справедливо следующее:

а) существует неявная функция ( )xfy = , определенная уравнением

0222 =−+++− yxyxyx ;

б) ( ) 10 =f ;

в) функция ( )xfy = непрерывна;

г) существует производная ( )( ) 12

12,'),(''

−−

+−=−=

yxyx

yxFyxF

xfy

x .

Найдем значение первой производной в указанной точке:

( ) 0112011020' =

−⋅−

+−⋅=f .

Первую производную можно было получить другим способом,

продифференцировав исходное уравнение 0222 =−+++− yxyxyx по

переменной x:

0'1'2'2 =++⋅+⋅−− xxx yyyyxyx . (2)

Из полученного равенства выражаем xy' :

1212'

−−

+−=

yxyx

y x .

Если продифференцировать еще раз по переменной x равенство

( ) 1212' −−=++− xyyxy x , которое эквивалентно равенству (2), то мы сможем

получить вторую производную для функции ( )xfy = :

( ) ( ) 2''21'12" −=+−+++− xxxxx yyyyxy ,

122)'(2'2"

2

++−

−−=

yxyy

y xxxx .

Теперь найдем значение второй производной в указанной точке:


25

( )32

1120202020" −=

+⋅+−

−⋅−⋅=xxy .

6. Применение дифференциала в приближённых

вычислениях

Пусть функция ( )yxfz ,= дифференцируема в точке ( )000 , ухМ ,

тогда при достаточно малых приращениях аргументов xΔ и уΔ полагают

dzz ≈Δ . Так как

( ) ( ) ( ) ( )000000 ,,,, yxfyxfyxfyyxxfz −=−Δ+Δ+=Δ ,

то ( ) ( ) ( )0000 ,,, yxdzyxfyxf ≈− или

( ) ( ) ( ).,,, 0000 yxdzyxfyxf +≈

Пример 1. Вычислить приближённо значение ( )897,202,1ln 23 −⋅ .

Решение. Пусть 97,2,02,1 == ух , тогда получим функцию

( ) ( )8ln, 23 −⋅= yxyxf . Полагая 10 =х и 30 =у , найдём приращения

аргументов

02,0102,10 =−=−=Δ ххх и 03,0397,20 −=−=−=Δ ууу .

Вычислим значение функции ( ) ( ) ( ) 01ln831ln3;1, 2300 ==−⋅=== fyxf .

Найдём частные производные первого порядка и вычислим их значения в

точке ( )3;1 :

( ) ( )( ) ;8

38ln, 23

2223

−⋅=#−⋅=#

yxухyxyxf хх ( ) ( ) ;27

8313133;1, 23

22

00 =−⋅

⋅⋅=#=# хx fyxf

( ) ( )( ) ;8

28ln, 23

323

−⋅=#−⋅=#

yxухyxyxf уу ( ) ( ) ;6

8313123;1, 23

3

00 =−⋅

⋅⋅=#=# уy fyxf

Вычислим значение дифференциала в точке ( )3;1 по формуле

( ) ( ) ( ) yyxfxyxfухdz yx Δ⋅#+Δ⋅#= 000000 ,,, ,

то есть


26 26

( ) ( ) ( ) ( ) 36,018,054,003,0602,0273;13;13;1 =−=−⋅+⋅=Δ⋅$+Δ⋅$= yfxfdz yx .

Следовательно,

( ) ( ) ( ) ( ) 36,036,00,,,897,202 1,ln 000023 =+=+≈=−⋅ yxdzyxfyxf .

Пример 2. Вычислить приближённо значение oo 44tg32sin ⋅ .

Решение. Пусть oo 44,32 == ух , тогда получаем функцию

( ) yxyxf tgsin, ⋅= . Полагая o0 30=х и o

0 45=у , найдём приращения

аргументов ooo

0 23032 =−=−=Δ ххх и ooo0 14544 −=−=−=Δ ууу .

Переводя градусы в радианы, получим, что

034,090180

2 ≈=⋅=Δππх и 017,0

180−≈−=Δ

πу .

Вычислим значение функции

( ) ( ) 5,015,045tg30sin45;30, ooоо00 =⋅=⋅=== fyxf .

Найдём частные производные первого порядка и вычислим их значения в

точке ( )oo 45;30 :

( ) ( ) ;tgcostgsin, yxyxyxf хх ⋅="⋅="

( ) ( ) ;cossin

cos1sintgsin, 22 y

xy

xyxyxf уу =⋅="⋅="

( ) ( ) ;231

2345tg30cos45;30, oooo

00 =⋅=⋅="=" хx fyxf

( ) ( ) .121:

21

45cos30sin45;30, o2

ooo

00 ===!=! уу fyxf

Вычислим значение дифференциала в точке ( )oo 45;30 по формуле

( ) ( ) ( ) yyxfxyxfухdz yx Δ⋅#+Δ⋅#= 000000 ,,, ,

то есть


27

( ) ( ) ( )( ) .012,0017,0034,0866,0017,01034,0

23

45;3045;3045;30 оооооо

≈−⋅≈−⋅+⋅≈

≈Δ⋅%+Δ⋅%= yfxfdz yx


( ) ( ) ( ) 512,0012,05,0,,,44tg32sin 0000oo =+=+≈=⋅ yxdzyxfyxf .

7. Экстремумы функции двух переменных

Пусть функция ( )yxfz ,= определена в некоторой окрестности

точки ( )000 , ухМ .

Определение. Говорят, что функция ( )yxfz ,= имеет в точке

( )000 , ухМ максимум (или минимум), если существует проколотая

окрестность этой точки, в которой выполняется неравенство

( ) ( )00 ,, yxfyxf < (или ( ) ( )00 ,, yxfyxf > ).

Максимумы и минимумы функции ( )yxfz ,= называют её

экстремумами.

Теорема 1 (необходимое условие экстремума). Если

дифференцируемая функция ( )yxfz ,= имеет в точке ( )000 , ухМ

экстремум, то её частные производные первого порядка в этой точке равны

нулю:

( ) ( ) .0,, 0000 =!=! yxfyxf yх

Определение. Точки, в которых частные производные первого

порядка равны нулю, называют стационарными.

Теорема 2 (достаточное условие экстремума). Если функция

( )yxfz ,= дифференцируема в некоторой окрестности стационарной точки

( )000 , ухМ и дважды дифференцируема в самой точке 0М и при этом

определитель в этой точке

( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( )20000000000

00000 ,,,

,,

,,yxfyxfyxf

yxfyxf

yxfyxfМ xyyyxx

yyxу

xyxx!!−!!⋅!!=

!!!!

!!!!=Δ


28 28

удовлетворяет следующим условиям:

1) ( ) 00 >Δ М , то в точке 0М функция ( )yxfz ,= имеет экстремум,

причём при ( ) 0, 00 >!! yxfxx – минимум, а при ( ) 0, 00 <!! yxfxx – максимум;

2) ( ) 00 <Δ М , то в точке 0М функция ( )yxfz ,= не имеет

экстремума;

3) ( ) 00 =Δ М – функция может иметь, а может и не иметь экстремум

(необходимо дополнительное исследование).

Алгоритм исследования функции ( )yxfz ,= на экстремум

1) Найти область определения функции ( )zD .

2) Найти частные производные 1-го порядка: xz! и уz! .

3) Используя необходимое условие экстремума, найти

стационарные точки, принадлежащие области определения

функции ( )zD , то есть точки в которых !"#

=$

=$

.0,0

y

x

zz

4) Найти частные производные 2-го порядка: уyхyxx zzz !!!!!! и, .

5) В каждой стационарной точке ( )000 , ухМ определить знак

выражения ( ) ( ) ( ) ( )( )20000000 ,,, yxfyxfyxfM xyyyxx !!−!!⋅!!=Δ и,

пользуясь достаточным условием, сделать вывод о наличии в

этой точке экстремума функции.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию 768 33 −++= xуyxz .

Решение. 1) Находим область определения функции ( ) 2R=zD .

2) Находим частные производные первого порядка:

( ) ( )уxуxхуyxz xx 2363768 2233 +=+=!−++=! ;

( ) ( )хухухуyxz yy +=+=!−++=! 2233 46624768 .

3) Находим стационарные точки, принадлежащие области

определения функции ( )zD , используя необходимое условие экстремума:


29

( )( )

( )

!!!!!

"

#

$%&

−=

−=

$%&

=

=

⇔)$

)%&

−=

=+⇔

)$

)%&

−=

=+⇔

)$

)%&

=+

=+⇔

$%&

=*

=*

.5,0,1

,0,0

,4

,0182

,4

,0216

,046

,023,0,0

2

3

2

4

2

2

yx

yx

ух

уу

ух

уу

ху

уxzz

y

x

Получили две стационарные точки:

( ) ( )5,0;1и0;0 21 −−ММ .

4) Находим частные производные 2-го порядка:

( ) xуxz xxx 623 2 =!+=!! ; ( ) 623 2 =!+=!! yxy уxz ; ( ) yхyz yyy 4846 2 =!−=!! .

5) В каждой стационарной точке М определим знак выражения

( ) ( ) ( ) ( )( )2,,, yxfyxfyxfM xyyyxx !!−!!⋅!!=Δ .

а) В точке ( )0;01М :

( ) ( ) ( ) ( ) 036600,60;0,00;0,00;0 21 <−=−⋅=Δ⇒=%%=%%=%% Мfff xуууxx .

Следовательно, в точке ( )0;01М заданная функция не имеет экстремума.

б) В точке ( )5,0;12 −−М :

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) .0108361446246

,65,0;1,245,0;1,65,0;12

2 >=−=−−⋅−=Δ⇒

⇒=−%%−=−−%%−=−−%%

М

fff xуууxx

Следовательно, в точке ( )5,0;12 −−М экстремум есть. Так как

( ) 065,0;1 <−=−−""xxf , то функция в точке 2М имеет максимум

( ) ( ) ( ) ( )( ) 675,0165,0815,0;1 33max −=−−−+−⋅+−=−−= zz .

Ответ: ( ) 65,0;1max −=−−= zz .

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию 223 324 ухуxz ++−= .

Решение. 1) Находим область определения функции ( ) 2R=zD .


( ) ( )xуххуxухуxz xx −=+−="++−=" 1666324 2223 ;


30 30

( ) ( )33223 222324 хуухухуxz yy −=+−="++−=" .

3) Находим стационарные точки, принадлежащие область

определения функции ( )zD , используя необходимое условие экстремума:

( )( )

!!!!!!!!

"

#

$%&

−=

−=

$%&

=

=

$%&

=

=

⇔

!!!!!

"

#

)$

)%&

=

=

$%&

=

=

⇔

!!!!!

"

#

$%&

=

=

$%&

=

=

⇔$%&

=−

=−⇔

$%&

=*

=*

,1,1

,1,1

,0,0

,

,1

,0,0

,

,1

,0,0

,02

,016,0,0

3

4

3

3

yx

yx

yx

ху

х

ух

ху

хуух

ху

xухzz

y

x

Получили три стационарные точки:

( ) ( ) ( )1;1,1;1,0;0 321 −−МММ .


( ) ( )хууxхz xxx 2166 2 −="−="" ; ( ) 22 66 хуxхz yxy −="−="" ; ( ) 22 3 =!−=!! yyy хуz .

5) В каждой стационарной точке М определим знак выражения

( ) ( ) ( ) ( )( )2,,, yxfyxfyxfM xyyyxx !!−!!⋅!!=Δ .

а) В точке ( )0;01М :

( ) ( ) ( ) ( ) .01202600;0,20;0,60;0 21 >=−⋅=Δ⇒=%%=%%=%% Мfff xуууxx Следо

вательно, в точке ( )0;01М заданная функция имеет экстремум. Так как

( ) 060;0 >=!!xxf , то это минимум ( ) 40;0min == zz .

б) В точке ( )1;12М :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .048626,61;1,21;1,61;1 22 <−=−−⋅−=Δ⇒−=%%=%%−=%% Мfff xуууxx

Следовательно, в точке ( )1;12М функция не имеет экстремума.

в) В точке ( )1;13 −−М :

( ) ( ) ( ) ⇒−=−−##=−−##−=−−## ,61;1,21;1,61;1 xуууxx fff

( ) ( ) ( ) 048626 23 <−=−−⋅−=Δ М .

Следовательно, в точке ( )1;13 −М экстремума нет.


31

Ответ: ( ) 40;0min == zz .

8. Наибольшее и наименьшее значения функции

Если функция ( )yxfz ,= непрерывна на замкнутом ограниченном

множестве 2R⊂D , то по 2-ой теореме Вейерштрасса она имеет на этом

множестве как наибольшее, так и наименьшее значения. Эти значения

функция может принимать как во внутренних точках множества D , так и

на его границе.

Алгоритм исследования функции ( )yxfz ,=

на наибольшее и наименьшее значения

1) Изобразить на плоскости замкнутое ограниченное множество

D .

2) Найти стационарные точки внутри множества D и вычислить

значения функции в этих точках.

3) Исследовать функцию на границе множества D .

4) Из всех найденных значений функции выбрать самое большое

и самое маленькое, они и будут соответственно наибольшим и

наименьшим значениями функции на замкнутом ограниченном множестве

D .

Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

1642 22 +++−= xxyхyz в области, ограниченной прямыми

03,0,0 =−−== ухух .

Решение. 1) Построим на плоскости область D , ограниченную

координатными осями 0,0 == ух и прямой

03 =−− ух . Это замкнутое ограниченное

множество и данная функция непрерывна на нём,

поэтому она на этом множестве принимает и

наибольшее, и наименьшее значения.

х

у

04

-3

3

B

A O


32 32

2) Находим стационарные точки, лежащие внутри множества D . Для

этого сначала найдём частные производные первого порядка:

( ) ( )3226421642 22 +−=++−="+++−=" хуyxxxyхyz xx ,

( ) ( )хуxyxxyхyz yy +=+=!+++−=! 4441642 22 .

Теперь решим систему уравнений:

( )( ) !

"#

−=

=⇔

!"#

−=

=+−⇔

!"#

=+

=+−⇔

!"#

=&

=&

.1,1

,,033

,04,0322

,0,0

yx

xух

xyху

zz

y

x

Получили стационарную точку ( )1;11 −М , которая является

внутренней точкой множества D . Вычислим значение функции в этой

точке: ( ) 41;11 =−= zz .

Заметим, что исследовать функцию на экстремум не надо.

3) Исследуем функцию на границе множества D . Поскольку граница

состоит из трёх участков, которые заданы разными уравнениями, то

исследуем функцию на каждом участке отдельно.

а) Рассмотрим участок ОА, который задаётся условиями !"#

=

≤≤

.0,30

yx

Подставив 0=y в заданную функцию, получим 162 ++−= xxz и,

следовательно, надо найти наибольшее и наименьшее значения функции одной переменной на отрезке [ ]3;0 . Для этого найдём стационарные точки:

( ) 62162 +−="++−=" хxxz хх .

30620 =⇔=+−⇔=# ххzх .

Так как ( )3;03∉=х , то стационарных точек внутри отрезка [ ]3;0 нет.

Вычислим значения функции на концах отрезка ОА: ( ) 10;02 == zz , ( ) 100;33 == zz .

б) Исследуем функцию на участке АВ: !"#

−=

≤≤

.3,30

хyx

Функция принимает вид:

( ) ( ) 19185163432 222 +−=++−+−−= ххxхxххz .

Находим ( ) 181019185 2 −="+−=" хxxz xx .


33

Тогда ( )3;08,1018100 ∈=⇔=−⇔=$ xxzx .

Получили стационарную точку ( )2,1;8,13 −М . Вычислим значения функции

в точках 3М и В :

( ) ( ) ( ) =+⋅+−⋅⋅+−−⋅=−= 18,162,18,148,12,122,1;8,1 224 zz

8,218,1064,824,388,2 =++−−= ,

( ) 193;05 =−= zz .

в) Рассмотрим участок ВО, который задаётся условиями !"#

≤≤−

=

.03,0у

х

Функция на этом участке принимает вид: 12 2 += уz . Находим

уzу 2=! . Тогда

( )0;30020 −∉=⇔=⇔=$ ууzу .

Стационарных точек внутри отрезка [ ]0;3− нет, а в точках А и В значения

функции уже вычислены. 4) Сравнивая значения

41 =z , 12 =z , 103 =z , 8,24 =z , 195 =z ,

заключаем, что наибольшее значение функции 19=z достигается в точке ( )3;0 −В , а наименьшее значение 1=z – в точке ( )0;0О .

Ответ: ( )

( ) ( ) 193;0, наибу,

=−=∈

zyxzDх

,

( )( ) ( ) 10;0, наим

у,==

∈zyxz

Dх.

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции

( )ухухz −−= 42 в области, ограниченной прямыми хуух −=== 6,0,0 .

Решение. 1) Построим на плоскости область D , ограниченную координатными осями 0,0 == ух и прямой

ху −= 6 . Это замкнутое ограниченное

множество и данная функция непрерывна на нём, поэтому она на этом множестве принимает и наибольшее и наименьшее значения.

2) Находим стационарные точки, лежащие внутри множества D . Для этого сначала найдём частные производные первого порядка:

х

у

04

6

3

B

A O


34 34

( )( ) ( ) ( ),23823844 2222322 уххухуyхxуухухухухухz xxx −−=−−="−−="−−="

( )( ) ( ) ( ).242444 223222322 уххухxхухухухухухz уyy −−=−−="−−="−−="

Теперь решим систему уравнений:

( )( )

⇔"#$

=−−

=−−⇔

"#$

=&

=&

,024

,0238,0,0

2 ухх

уххуzz

y

x

!!!!!!!!!!!!!!

"

#

$%&

=

=

$%&

=

=

$%&

=

=

$%&

=

=

$%&

=

=

⇔

!!!!!!!!!!!!!!

"

#

$%&

=−−

=−−

$%&

=−−

=

$%&

=−−

=

$%&

=−−

=

$%&

=

=

⇔

.1,2

,0,4

,2,0

,4,0

,0,0

,024,0238

,024,0

,024,0

,0238,0

,0,0

ухухухухух

ухухух

уух

хух

хух

Получили пять стационарных точек:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;2,0;4,2;0,4;0,0;0 54321 МММММ ,

из которых только точка ( )1;25М является внутренней точкой

множества D . Вычислим значение функции в этой точке: ( ) 41;21 == zz .

3) Исследуем функцию на границе множества D . Граница состоит из

трёх участков, которые заданы разными уравнениями, поэтому исследуем

функцию на каждом участке отдельно.

а) Рассмотрим участок ОА, который задаётся условиями !"#

=

≤≤

.0,60

yx

Подставив 0=y в заданную функцию, получим 0=z , то есть данная

функция постоянна на отрезке [ ]6;0 .

б) Исследуем функцию на участке АВ: !"#

−=

≤≤

.6,60хy

x

Функция принимает вид:


35

( )( ) ( ) ( )2322 6262646 ххххххххz −=−−=+−−−⋅= .

Находим ( ) ( ) ( )46123262 223 −=−="−=" ххххxxz xx .

Тогда ( ) !"

#

=

=⇔=−⇔=&

.4,0

0460хх

ххzx

Получили две стационарные точки, но только 4=х является внутренней

точкой отрезка [ ]6;0 . Вычислим значения функции в точках ( )2;46М и В :

( ) 642;42 −== zz , ( ) 06;03 == zz .

в) Рассмотрим участок ВО, который задаётся условиями !"#

≤≤

=

.60,0у

х

Функция на этом участке постоянна: 0=z .

4) Сравнивая значения

41 =z , 642 −=z , 03 =z ,

заключаем, что наибольшее значение 4=z функция имеет в точке ( )1;25М ,

а наименьшее значение 64−=z в точке ( )2;46М .

Ответ: ( )

( ) ( ) 41;2, наибу,

==∈

zyxzDх

,

( )( ) ( ) .642;4, наим

у,−==

∈zyxz

Dх

9. Производная по направлению. Градиент

Пусть функция двух переменных ( )yxfz ,= определена в некоторой

окрестности точки ( )000 , yxM . Пусть l – некоторый луч с началом в точке

0M и ( )yxМ , – произвольная точка луча, принадлежащая окрестности

( )0MU .

Определение. Производной функции ( )yxfz ,= в направлении

( )βα cos,cos=l!

в точке ( )000 , yxM называют предел

( ) ( ) ( ) .

lim 0

0

0

0

Mlz

MM

MfMfММ ∂

∂=

−→


36 36

Механический смысл производной по направлению состоит в том,

что это скорость изменения функции ( )yxfz ,= по направлению l в точке

( )000 , yxM .

Если l – единичный вектор, образующий с осями координат Ох и Оу

углы α и β, то он имеет координаты ( )βα cos,cos=l!

.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке ( )000 , yxM , то в

этой точке существует производная lz∂∂ по любому

направлению ( )βα cos,cos=l!

, причём

( ) ( ) ( ) βα coscos 000 ⋅∂∂

+⋅∂∂

=∂∂ М

yzМ

хzМ

lz (1)

Определение. Градиентом функции ( )yxfz ,= в точке ( )000 , yxM

называют вектор

( ) ( ) .00 jМyziМ

хzzgrad ⋅

∂

∂+⋅

∂

∂=

! (2)

Так как скалярное произведение

( ) ( ) ( ) ,coscos, 00 βα ⋅∂∂

+⋅∂∂

= МyzМ

хzlzgrad (3)

то из (2) и (3) следует, что

( ) ( )lzgradMlz ,0 =∂∂

.

Поскольку

( )!

ϕϕ coscos,1

⋅=⋅⋅= zgradlzgradlzgrad""

,

где ϕ – угол между векторами zgrad и l , тогда при 1cos =ϕ или 0=ϕ , то

есть если направления векторов zgrad и l совпадают, получаем

( ) .0 zgradМlz

=∂∂

Это равенство означает, что наибольшая скорость изменения функции

достигается в направлении градиента


37

22

наиб.!!"

#$$%

&

∂∂

+!"

#$%

&∂∂

==!"

#$%

&∂∂

уz

хzzgrad

lz .

Пример 1. Найти производную функции 22 ухz −= в точке ( )2;10M

в направлении вектора l , составляющем угол о30=α с положительным

направлением оси Ох.

Решение. 1) Найдём частные производные:

( ) ;222 xyxхz

x =!−=

∂∂

( ) .222 yyxyz

y −="−=∂∂

2) Вычислим значения частных производных в точке ( )2;10M :

( ) ;22;1 =∂∂хz

( ) .42;1 −=∂∂уz

3) Найдём направляющие косинусы вектора l :

;2330coscos о ==α ( ) .

2160cos3090coscos oоo ==−=β

4) Вычислим производную данной функции в направлении

вектора l в точке ( )2;10M :

( ) ( ) ( ) 23214

232cos2;1cos2;12;1 −=⋅−⋅=⋅

∂∂

+⋅∂∂

=∂∂

βαyz

xz

lz

.

Пример 2. Найти производную функции ( )22ln ухz += в точке

( )4;30M в направлении градиента функции z.

Решение. 1) Найдём градиент функции ( )22ln ухz += . Для этого

найдём её частные производные и вычислим их значения в точке 0M :

( )( ) ( )256

16964;32ln 22

22 =+

=∂∂

⇒+

=#+=∂∂

хz

yxxyx

хz

x ;

( )( ) ( )258

16984;32ln 22

22 =+

=∂∂

⇒+

=#+=∂∂

yz

yxyyx

yz

y ;

( ) ( ) .258

256

00 jijМyziМ

хzzgrad

!!⋅+⋅=⋅

∂∂

+⋅∂∂

=

2) Так как zgradl = , то


38 38

.52

2510

258

256 22

==!"

#$%

&+!"

#$%

&==∂∂ zgradlz

Для функции трёх переменных ( )zyxfu ,,= направление

{ }γβα cos,cos,cos=l , где γβα и, – углы между вектором l и

положительными направлениями осей Ох, Оу и Оz.

Тогда производная функции ( )zyxfu ,,= в направлении вектора l в

точке ( )0000 ,, zyxM вычисляется по формуле

( ) ( ) ( ) ( ) γβα coscoscos 0000 ⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=∂∂ М

zuМ

yuМ

хuМ

lu ,

где ( ) ( ) ( )000 и, МхuМ

хuМ

хu

∂∂

∂∂

∂∂

– значения частных производных в

точке 0М .

Градиент функции ( )zyxfu ,,= в точке ( )0000 ,, zyxM – это вектор

( ) ( ) ( ) .000 kМzujМ

yuiМ

хuugrad ⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

Пример 3. Найти производную функции zухu 23= в точке

( )3;2;10M в направлении вектора MM0 , где ( )5;4;2M .

Решение. 1) Найдём вектор { }2;2;10 =MM и его длину

34410 =++=MM .

2) Вычислим его направляющие косинусы:

.32cos;

31cos;

31cos === γβα

3) Найдём частные производные и вычислим их значения в точке 0M :

( ) ( ) 3632133;2;13 22223 =⋅⋅⋅=∂∂

⇒=$=∂∂

хuzyxzyx

хu

x ;

( ) ( ) ;1232123;2;12 323 =⋅⋅⋅=∂∂

⇒=$=∂∂

yuzyxzyx

yu

y

( ) ( ) .4213;2;1 22323 =⋅=∂∂

⇒=$=∂∂

zuyxzyx

zu

z


39

4) Найдём производную данной функции в направлении вектора

lМMобозн.

0 = в точке 0M :

( ) ( ) ( ) ( ) =⋅∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=∂∂

γβα coscoscos 0000 МzuМ

yuМ

хuМ

lu

.3222

38812

324

3212

3136 =++=⋅+⋅+⋅=

Пример 4. Найти величину и направление градиента функции zухu = в точке ( )1;1;20M .

Решение. 1) Найдём частные производные и вычислим их значения в точке 0M :

( ) ( ) 1111;1;2 =⋅=∂∂

⇒=$=∂∂

хuyzxyz

хu

x ;

( ) ( ) ;2121;1;2 =⋅=∂∂

⇒=$=∂∂

хuхzxyz

уu

у

( ) ( ) .2121;1;2 =⋅=∂∂

⇒=$=∂∂

zuхyxyz

zu

z

2) Найдём градиент заданной функции и его величину:

( ) ( ) ( ) ,22000 kjikМzujМ

yuiМ

хuugrad ++=⋅

∂∂

+⋅∂∂

+⋅∂∂

=

.39221 22 ==++=zgrad

3) Вычислим направляющие косинусы градиента:

.32cos;

32cos;

31cos === γβα


40 40

Часть II. Интегральное исчисление функций

нескольких переменных

1. Определение и условия существования двойного интеграла

Понятие интеграла можно обобщить на случай, когда

интегрирование проводится по двумерной области, лежащей в плоскости

хОу.

1.1. Понятие интегральной суммы для действительной функции

( )yxfz ,= двух действительных переменных, заданной в ограниченной

области D

Введем понятия разбиения и диаметра области.

Определение. Разбиением Т квадрируемой замкнутой области D

называют конечное множество { }nDDТ ,...,1= квадрируемых замкнутых

областей kD , называемых частичными областями разбиения, и

обладающих следующими свойствами:

1) никакие две частичные области не имеют общих внутренних точек;

2) объединение частичных областей составляет область D , то есть

k

п

kDD1=

= ∪ .

Определение. Диаметром замкнутой области называют

наибольшее расстояние между двумя точками контура этой области

(наибольшая хорда области).

Пусть в замкнутой квадрируемой области D определена

ограниченная действительная функция ( )yxfz ,= . Произведём

произвольно разбиение { }nDDТ ,...,1= области D сетью кривых и


41

составим сумму ( )∑=

Δ⋅=n

kkkk Pf

1,ηξσ , где ( )kk ηξ , – точка частичной

области kD , а kPΔ – площадь kD .

Сумму ( )∑=

Δ⋅=n

kkkk Pf

1,ηξσ называют интегральной суммой

функции ( )yxfz ,= в замкнутой области D.

Интегральная сумма зависит от разбиения T и от выбора точек ( )kk ηξ , .

1.2. Понятие предела интегральных сумм

Обозначим через λ наибольший из диаметров частичных

областей kD .

Определeние. Число I называют пределом интегральных сумм σ ,

если для любого числа 0>ε существует такое число ( ) 0>= εδδ , что для

любого разбиения { }nDDТ ,...,1= замкнутой области D на части и любого

выбора точек ( ) kkk D∈ηξ , лишь только δλ < выполняется неравенство

εσ <− I .

1.3. Понятие двойного интеграла

Определение. Двойным интегралом функции ( )yxfz ,= по

области D называют конечный предел I интегральных сумм при 0→λ и

обозначают

( ) dxdyyxfD∫∫ , .


( ) ( )dxdyyxfPfID

k

n

kkk ∫∫∑ =Δ⋅=

=→

,,lim10

ηξλ

.

В этом случае функцию ( )yxfz ,= называют интегрируемой в области D .

Необходимым условием интегрируемости функции, как и для


42 42

функции одного переменного, является её ограниченность.

Однако существуют ограниченные, но не интегрируемые функции.

Для нахождения достаточных условий интегрируемости, как и в

случае одного переменного, удобно воспользоваться теорией сумм Дарбу,

которая полностью переносится на случай двойного интеграла.

Определение. Нижней и верхней суммами Дарбу для функции

( )yxfz ,= , соответствующими разбиению Т, называют суммы вида:

( ) ∑=

Δ⋅=n

kkk PmTs

1

и ( ) ∑=

Δ⋅=n

kkk PMTS

1

,

где km и kM – точная нижняя и точная верхняя границы функции

( )yxfz ,= в частичной области kD , а kPΔ – площадь этой области.

Теорема 1 (критерий существования двойного интеграла в

терминах сумм Дарбу). Для того чтобы функция ( )yxfz ,= , ограниченная

в замкнутой квадрируемой области D , была интегрируема в этой области,

необходимо и достаточно, чтобы ( ) 0lim0

=−→

sSλ

.

Важное значение в прикладных задачах имеет теорема, выражающая

достаточное условие интегрируемости.

Теорема 2. Всякая функция, непрерывная в замкнутой квадрируемой

области 2R⊂D , интегрируема в этой области.

Имеет место и более общая теорема.

Теорема 3. Функция, ограниченная в замкнутой ограниченной

области и непрерывная в ней всюду, кроме точек, лежащих на конечном

числе кривых, являющихся графиками непрерывных функций вида

( )xfу = или ( )ygx = , интегрируема в этой области.

2. Основные свойства двойного интеграла

Они аналогичны соответствующим свойствам определённого

интеграла. Обозначим через D плоскую замкнутую квадрируемую

область.


43

Свойство 1. ( )DPdxdyD

=∫∫ , где ( )DP – площадь области D .

Свойство 2 (линейность двойного интеграла). Если функции ( )yxf ,

и ( )yxg , интегрируемы в областиD , то их линейная комбинация

( ) ( )yxgbyxfa ,, + , где R∈ba, – произвольные константы, также

интегрируема в D , причём

( ) ( )( ) ( ) ( ) .,,,, dxdyyxgbdxdyyxfadxdyyxgbyxfaDDD∫∫∫∫∫∫ +=+

Свойство 3. Если функция ( )yxf , неотрицательна и интегрируема в

области D , то

( ) 0, ≥∫∫ dxdyyxfD

.

Свойство 4. Если функции ( )yxf , и ( )yxg , интегрируемы в

области D и для любых ( ) Dyx ∈, ( ) ( )yxgyxf ,, ≥ , то

( ) ( ) dxdyyxgdxdyyxfDD∫∫∫∫ ≥ ,, .

Свойство 5. Если функция ( )yxf , интегрируема в области D , то она

интегрируема в любой замкнутой квадрируемой области D! , содержащейся в D .

Свойство 6 (аддитивность двойного интеграла). Если область D

является объединением областей 1D и 2D , не имеющих общих внутренних

точек, в каждой из которых функция ( )yxf , интегрируема, то в области D

эта функция также интегрируема, причем

( ) ( ) ( ) .,,,21

dxdyyxfdxdyyxfdxdyyxfDDD∫∫∫∫∫∫ +=

Свойство 7. Если функция ( )yxf , интегрируема в области D , то и

функция ( )yxf , интегрируема в этой области, причем

( ) ( ) dxdyyxfdxdyyxfDD∫∫∫∫ ≤ ,, .


44 44

3. Геометрический и физический смысл двойного интеграла

Двойной интеграл ( )dxdyyxfD∫∫ , по области D от неотрицательной

и непрерывной функции ( )yxfz ,= представляет собой

геометрически

• объём цилиндрического тела, ограниченного сверху

поверхностью ( )yxfz ,= , сбоку цилиндрической поверхностью с

образующими, параллельными оси Oz, и снизу областью интегрирования

D плоскости xOy ;

и физически

• массу пластины D с поверхностной плотностью ( )yxfz ,= .

4. Вычисление двойного интеграла в прямоугольных

координатах

Различают два основных вида области интегрирования.

Первый вид: область интегрирования D

ограничена слева и справа прямыми ax = и

bx = ( )ba < , а снизу и сверху – графиками

непрерывных на отрезке [ ]ba, функций

( )xyy 1= и ( )xyy 2= , где ( ) ( )xyxy 21 < ,

каждый из которых пересекается

вертикальной прямой только в одной точке.

Тогда двойной интеграл от функции

( )yxfz ,= , непрерывной в области D , равен повторному интегралу:

( ) ( )( )

( )

.,,2

1

∫∫ ∫ ∫=D

b

a

xy

xy

dyyxfdxdydxyxf (1)

y=y2(x)


45

Таким образом, вычисление двойного интеграла по области 1-го вида

сводится к вычислению двух определённых интегралов, а именно: сначала

вычисляется внутренний интеграл ( )( )

( )( )xIdyyxf

xy

xy

=∫2

1

, , в котором

переменная х считается постоянной, а затем вычисляется внешний

интеграл ( )dxxIb

a∫ .

Второй вид: область интегрирования D

ограничена слева и справа прямыми

( )dcdусу <== , и графиками непрерывных

на отрезке [ ]dc, функций ( )yxx 1= и ( )yxx 2= ,

где ( ) ( )yxyx 21 < , каждый из которых

пересекается горизонтальной прямой только в

одной точке.

Тогда двойной интеграл от функции ( )yxfz ,= , непрерывной в

области D , равен повторному интегралу:

( ) ( )( )

( )

∫∫ ∫ ∫=D

d

c

yx

yx

dxyxfdydydxyxf2

1

,, . (2)

Таким образом, вычисление двойного интеграла по области 2-го вида сводится к вычислению двух определённых интегралов, а именно: сначала

вычисляется внутренний интеграл ( )( )

( )

( )yIdxyxfyx

yx

=∫2

1

, , в котором

переменная у считается постоянной, а затем вычисляется внешний

интеграл ( )dyyId

c∫ .

Если область интегрирования не относится к рассмотренным основным видам, то её разбивают на части, каждая из которых относится к одному из них. Тогда двойной интеграл по всей области в силу свойства аддитивности равен сумме двойных интегралов по каждой части.

y

x

0

x=x2(y) x=x1(y)

c

d y


46 46

4.1 Вычисление повторных интегралов

Пример 1. Вычислить повторный интеграл ( )∫ ∫−

+0

2

2

0

cosπ

π

dxyxdу .

Решение. Запишем данный повторный интеграл в виде

( ) ( ) dydxyxdxyxdу∫ ∫ ∫ ∫− − #

##

$

%

&&&

'

(+=+

0

2

2

0

0

2

2

0

coscosπ

π

π

π

.

Сначала вычислим внутренний интеграл, который находится в скобках. Считая переменную у постоянной, находим

( ) ( ) yyyyyxdxyx sincossin2

sinsincos 20

2

0

−=−"#

$%&

' +=+=+∫ππ

π

.

Теперь вычислим внешний интеграл, для чего полученную функцию

интегрируем по у в пределах от до 0:

( ) ( ) 211cossinsincos 0

2

0

2

=+=+=−−

−

∫ π

π

уydyyу .

Пример 2. Вычислить повторный интеграл ∫ ∫+3

1

5

22

2

1х

dух

dх .

Решение.

( )∫ ∫∫∫∫ ∫ =−+⋅=⋅==+

++ 3

1

3

1

22

5

22

5

2

3

12

3

1

5

22 251111 2

22

dxxх

yх

dуdxх

dух

dх xхх

431133313

1

3

12 =+−−="

#

$%&

' −="#

$%&

' += ∫ xxdx

x.

4.2 Расстановка пределов интегрирования в повторных

интегралах

Поскольку вычисление двойного интеграла ( )∫∫D

dydxyxf , от

функции ( )yxfz ,= , непрерывной в области D сводится к вычислению

повторного интеграла, то одним из главных моментов является


47

расстановка пределов интегрирования в повторном интеграле.

Пример 1. Свести двойной интеграл ( )∫∫D

dydxyxf , к повторному

интегралу, если множество D задано

неравенствами 922 ≤+ ух и 3≥+ ух .

Решение. Сначала построим область

D , ограниченную сверху окружностью

922 =+ ух и снизу прямой 3=+ ух .

Эти линии пересекаются в точках ( )3;0A и

( )0;3B .

Первый способ. Так как контур области пересекается прямыми,

параллельными оси Оу, не более чем в двух точках, то для вычисления

двойного интеграла по этой замкнутой области воспользуемся формулой

( ) ( )( )

( )

,,,2

1

∫∫ ∫ ∫=D

b

a

xy

xy

dyyxfdxdydxyxf (1)

Пределами интегрирования для х являются абсциссы точек А и В, то

есть 0=а и 3=b .

Чтобы найти пределы интегрирования для у, возьмём на оси Ох

произвольную точку на интервале ( )3;0 и проведём через неё прямую,

параллельную оси Оу, в направлении этой оси. Так как точка входа этой

прямой в область D лежит на прямой ху −= 3 , а точка выхода – на

полуокружности 29 ху −= , то уравнения этих линий дают

соответственно нижний и верхний пределы интегрирования для

внутреннего интеграла.


( ) ( ) .,,3

0

9

3

2

∫∫ ∫ ∫−

−

=D

х

х

dyyxfdxdydxyxf

Второй способ. Для вычисления двойного интеграла по заданной

замкнутой области D можно воспользоваться формулой

y

! y

x

0

!

B

3 A

3


48 48

( ) ( )( )

( )

∫∫ ∫ ∫=D

d

c

yx

yx

dxyxfdydydxyxf2

1

,, (2)

поскольку контур области пересекается прямыми, параллельными оси Ох,

не более чем в двух точках.

Пределами интегрирования для у являются ординаты точек А и В, то

есть 0=с и 3=d .

Чтобы найти пределы интегрирования для х, возьмём на оси Оу

произвольную точку на интервале ( )3;0 и проведём через неё прямую,

параллельную оси Ох, в направлении этой оси. Так как точка входа этой

прямой в область D лежит на прямой yx −= 3 , а точка выхода – на

полуокружности 29 yx −= , то уравнения этих линий дают

соответственно нижний и верхний пределы интегрирования для

внутреннего интеграла.


( ) ( )∫ ∫∫∫−

−

=3

0

9

3

2

,,у

уD

dхyxfdуdydxyxf

и

( ) ( ) ( ) .,,,3

0

9

3

3

0

9

3

22

∫ ∫∫∫ ∫ ∫−

−

−

−

==у

уD

х

х

dхyxfdуdyyxfdxdydxyxf



интегралу, если область D ограничена треугольником с вершинами в

точках ( ) ( ) ( )2;6и2;1,2;2 СВА −−− .

Решение. Составим уравнения прямых, на которых лежат стороны

треугольника:

;064: =−− хуАВ ;2: =уВС

.022: =+− хуАС

Из рисунка видно, что вычисление

двойного интеграла целесообразнее

y

x

0

C

-1

6

A

-2

-2

y=2

2y-x+2=0

y-4x-6=0


49

произвести по формуле (2), где внутренний интеграл берётся по

переменной х, а внешний – по у. В этом случае получим один повторный

интеграл, поскольку все прямые, параллельные оси Ох, входят в область

интегрирования на прямой 064 =−− ху и выходят из неё на прямой

022 =+− ху .

Из рисунка видно, что внешний интеграл по переменной у нужно

брать в пределах от – 2 до 2, а пределы внутреннего интеграла находятся

из уравнений прямых АВ и АС, если их решить относительно х:

46: −

=ухАВ , 22: += ухАС .

Тогда

( ) ( )∫∫ ∫ ∫−

+

−

=D

у

уdхyxfdуdydxyxf

2

2

22

46

,, .

Заметим, что при другом порядке интегрирования получили бы

сумму двух повторных интегралов.



интегралу, если D – замкнутая область, ограниченная трапецией с

вершинами в точках ( ) ( ) ( ) ( ).3;2и4;5,4;1,1;2 −−− DСВА

Решение. Составим уравнения прямых, на которых лежат стороны

трапеции:

;03: =−− хуАВ ;4: =уВС

;01: =+− хуСD .2: −=xDA

Из рисунка видно, что вычисление

двойного интеграла свести к вычислению

лишь одного повторного интеграла не

удаётся, поскольку точки входа в область

прямых, параллельных оси Ох, лежат на

разных прямых, а именно: одних – на прямой

2−=x , а других – на прямой 3+= ху ; точки

y

x

0

C

-1

B

5

A

-2

-3

4 y=4

у=х-1

у=x+3

D

x=-2


50 50

же выхода из области D всех этих прямых лежат на одной прямой 1−= ху .

Если же рассматривать точки входа в

область всех прямых, параллельных оси Оу, то

все они лежат на прямой 1+= ух , однако

точки выхода из области лежат на разных

прямых, а именно: одних – на прямой

3−= ух , а других – на прямой 4=у .

Значит, при любом порядке

интегрирования область D разбивается на две

части, соответственно двойной интеграл по

свойству аддитивности представляется в виде суммы двойных интегралов

по каждой из частей.

Для вычисления двойного интеграла с помощью формулы (1)

область интегрирования разобьём на две части так, что

если [ ] 31то,1;2 +≤≤−−∈ хухx ,

если [ ] 41то,5;1 ≤≤−∈ ухx .

Тогда исходный двойной интеграл будет представлен суммой двух

повторных:

( ) ( ) ( ) .,,,5

1

4

1

1

2

3

1∫ ∫∫∫ ∫ ∫

−−

+

−

+=хD

х

х

dуyxfdхdyyxfdxdydxyxf

Применяя формулу (2), область интегрирования разобьём на две

части следующим образом:

если [ ] 12то,1;3 +≤≤−−∈ уху ,

если [ ] 13то,4;1 +≤≤−∈ ухуу .

В этом случае получаем

( ) ( ) ( ) .,,,4

1

1

3

1

3

1

2∫ ∫∫∫ ∫ ∫

+

−−

+

−

+=у

уD

у

dхyxfdуdхyxfdуdydxyxf



y

x

0

C

1

B

5

A

-2

-3

4

x=y+1

x=y-3

D

x=-2

1


51

интегралу, если замкнутая область D – круговой сектор АВС с центром в

точке ( )1;1А и дугой ВС, где ( )2;4В , ( )4;2С .

Решение. Построим область D и запишем

уравнения линий, ограничивающих эту область:

;023: =+− хуАС ;023: =−− хуАВ

( ) ( ) .1011 22 =−+− ух

При любом порядке интегрирования

заданное множество приходится представлять в

виде объединения двух множеств.

Применим сначала формулу (1). Поскольку линия, ограничивающая

область сверху, на различных промежутках определяется разными

уравнениями: 23 −= ху – для отрезка АС и хху 291 2 +−+= – для дуги

ВС , то получаем, что

( ) ( ) ( ) .,,,4

2

291

32

2

1

23

32

2

∫ ∫∫∫ ∫ ∫+−+

+

−

+

+=хх

хD

х

х

dуyxfdхdуyxfdхdydxyxf

Поменяем порядок интегрирования. Линия, ограничивающая область

справа, при [ ]2;1∈у определяется уравнением 32+

=ух , а при [ ]4;2∈у –

уравнением уух 291 2 +−+= .

Получим

( ) ( ) ( ) .,,,4

2

291

32

2

1

23

32

2

∫ ∫∫∫ ∫ ∫+−+

+

−

+

+=уу

уD

у

у

dхyxfdуdхyxfdуdydxyxf

Следует обратить внимание на пределы интегрирования в

полученных двух формулах для вычисления заданного двойного

интеграла: при перемене порядка интегрирования в них одна переменная

заменяется другой. Это объясняется тем, что область интегрирования

симметрична относительно прямой ху = и прямые АС и АВ являются

графиками взаимно-обратных функций.

y

x

0 1 2 4

2

1

В

С

А


52 52



интегралу, если замкнутая область D – круговое

кольцо, ограниченное окружностями радиусов

1=r и 3=R c общим центром в точке ( )0;0O .

1-ый способ. Изобразим область

интегрирования. Вычисление двойного интеграла

в ней сводится к сумме четырёх повторных

интегралов при любом порядке интегрирования.

Применим формулу (1). Тогда прямыми 1−=х и

1=х область разобьём на четыре части:

если [ ] 22

21 9,9то,1;3 хухух −=−−=−−∈ ,

если [ ] 22

21 1,9то,1;1 хухух −−=−−=−∈ ,

если [ ] 22

21 9,1то,1;1 хухух −=−=−∈ ,

если [ ] 22

21 9,9то,3;1 хухух −=−−=∈ .

В этом случае получаем

( )∫∫ =D

dydxyxf ,

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫−

−−−

−

−−

−−

−−

−

−

−

−−

+++=3

1

9

9

1

1

9

1

1

1

1

9

1

3

9

9

2

2

2

2

2

2

2

2

.,,,,х

х

х

х

х

х

х

х

dуyxfdхdуyxfdхdуyxfdхdуyxfdх

2-ой способ. Можно разбить область прямыми 1−=у и 1=у на

четыре части и применить формулу (2).

Учитывая, что область интегрирования симметрична относительно

прямой ху = , проверьте полученный результат.

4.3 Изменение порядка интегрирования в повторном интеграле

Пример 1. Изменить порядок интегрирования в повторном

y

x0

3

3

x=1 x=-1

-3

-3

1

1

-1 -1


53

интеграле ( )∫ ∫е x

dyyxfdx1

ln

0

, .

Решение. 1) В подобных задачах сначала надо восстановить область

интегрирования D по известным пределам данного повторного интеграла.

Пределы внешнего интеграла указывают промежуток изменения

переменой x: ех ≤≤1 . Поскольку внутренний интеграл берётся по

у, то пределы внутреннего интеграла показывают,

какими линиями область D ограничена снизу и

сверху. Уравнения этих линий соответственно

0=у и xу ln= .

Таким образом, замкнутая область интегрирования имеет вид:

( ){ }xyеxухD ln0,1:; ≤≤≤≤∈= 2R .

2) Изменим порядок интегрирования: внешнее интегрирование

произведём по переменной у, а внутреннее – по х. Пределами внешнего

интеграла будут числа 0=у и 1=у . Поскольку область интегрирования D

слева ограничена кривой уех = , а справа прямой ех = , то её можно также

представить в виде

( ){ }еxеyухD у ≤≤≤≤∈= ,10:; 2R .


( ) ( )∫ ∫∫ ∫ =1

01

ln

0

,,е

е

е x

у

dхyxfdуdyyxfdx .


интеграле ( )∫ ∫−+

−

1

0

11

2

2

,у

у

dхyxfdу .

Решение. 1) Восстановим область

интегрирования по известным пределам

данного повторного интеграла:

( ) [ ] [ ]{ }211;2,1;0:; уухуухD −+−∈∈∈= 2R

y

x

0 1 e

1

y=ln x! y

y

x

0

!

1 2

1

-1

!


54 54

Замкнутая область D ограничена

прямыми: 0=у , 1=у и ух −= 2 , а также дугой 211 ух −+= окружности

( ) 11 22 =+− ух . Эти линии пересекаются в точках ( )1;1А и ( )0;2В .

2) Меняя пределы интегрирования, получаем, что пределами

внешнего интеграла будут числа 1=х и 2=х . Снизу область D

ограничена прямой ху −= 2 , а сверху – дугой 22 хху −= , уравнение

которой получаем из уравнения окружности ( ) 11 22 =+− ух , учитывая, что

[ ]1;0∈у .

Тогда область интегрирования можно представить в виде:

( ) [ ] [ ]{ }22;2,2;1:; хххухухD −−∈∈∈= 2R .


( ) ( )∫ ∫∫ ∫−

−

−+

−

=2

1

2

2

1

0

11

2

22

,,хх

х

у

у

dуyxfdхdхyxfdу .


интеграле

( )∫ ∫−

−

−

1

2 2

2

,х

х

dуyxfdх .

Решение. 1) Восстановим замкнутую область интегрирования по

известным пределам данного повторного интеграла:

( ){ }22,12:; хуххухD −≤≤−≤≤−∈= 2R .

Область интегрирования ограничена снизу прямой 2−= ху , сверху

параболой, заданной уравнением 2ху −= . Эти линии пересекаются в

точках ( )4;2 −−А и ( )1;1 −В .

2) Изменим порядок интегрирования, для

чего прямой 1−=у заданную область разделим

на две части: область D1, ограниченную слева и

y

x

0

2 1 y=x-2

-2 -1

-4 A

B -1 y=-x2


55

справа ветвями параболы ух −±= , где 01 ≤≤− у , и область D2,

ограниченную слева ветвью параболы ух −−= , справа – отрезком

прямой 2+= ух , где 14 −≤≤− у . Тогда

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ∫−

−

−−

−

−

+

−−−

−

−

+=0

1

1

4

21

2 2

,,,2 у

у

у

у

х

х

dхyxfdуdхyxfdуdуyxfdх .


интеграле

( )∫ ∫−

4

0

2

4 2

,х

хх

dуyxfdх .

Решение. Пределы внутреннего интеграла, который берётся по у,

показывают, что замкнутая область интегрирования снизу ограничена

верхней полуокружностью 24 хху −= ( 40 ≤≤ х )

окружности ( ) 42 22 =+− ух , а сверху дугой

параболы ( )402 ≤≤= хху . Чтобы изменить

порядок интегрирования в данном повторном

интеграле, разобьем область интегрирования

( ){ }хухххухD 24,40:; 2 ≤≤−≤≤∈= 2R

прямой 2=у на три части:

( )!"#

$%&

−−≤≤≤≤∈= 22

1 424

,20:; ухууухD 2R ,

( ){ }442,20:; 22 ≤≤−+≤≤∈= хууухD 2R ,

( )!"#

$%&

≤≤≤≤∈= 44

,42:;2

3 уууухD 2R .

В результате получаем три повторных интеграла

( ) =∫ ∫−

4

0

2

4 2

,х

хх

dуyxfdх

y

x 0 2

2

4

4


56 56

( ) ( ) ( )∫ ∫∫ ∫∫ ∫ ++=−+

−− 4

2

4

4

2

0

4

42

2

0

42

4

22

2

2

,,,уу

у

у

dхyxfdуdхyxfdуdхyxfdу .

5. Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

Замену переменных в двойном интеграле, как и в определённом

интеграле, применяют для приведения его к виду, более удобному для

вычисления. Но в случае двойного интеграла, заменяя переменные,

стремятся упростить не только подынтегральную функцию, но и вид

области интегрирования. В результате замены переменных изменяется

область интегрирования двойного интеграла.

Полярные координаты ρ и ϕ являются простейшим и важнейшим

примером криволинейных координат. Известно, что прямоугольные

координаты х и у связаны с полярными координатами ρ и ϕ

соотношениями

ϕρ cos=х , ϕρ sin=у .

Преобразование двойного интеграла от прямоугольных координат к

полярным выполняется по формуле

( ) ( )∫∫ ∫∫=D D

ddfdydxyxf ϕρρϕρϕρ1

sin,cos, .

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах, как и в

случае прямоугольных координат, выполняется также приведением его к

повторному интегралу.

Если область интегрирования D ограничена двумя лучами αϕ = и

( )βαβϕ <= , выходящими из полюса, и кривыми ( )ϕρρ 1= и ( )ϕρρ 2= ,

где ( )ϕρ1 и ( )ϕρ2 – однозначные функции при βϕα ≤≤ и ( ) ( )ϕρϕρ 21 ≤ , то

двойной интеграл вычисляется по формуле


57

( ) ( )( )

( )

.sin,cossin,cos2

1

∫ ∫∫∫ =β

α

ϕρ

ϕρ

ρρϕρϕρϕϕρρϕρϕρ dfdddfD

(3)

Если область интегрирования D охватывает начало координат, то

двойной интеграл вычисляется по формуле

( ) ( )( )

.sin,cossin,cos2

0 0∫ ∫∫∫ =π ϕρ

ρρϕρϕρϕϕρρϕρϕρ dfdddfD

(4)

Переход к полярным координатам при вычислении двойных

интегралов особенно полезен в случае, когда областью интегрирования

ограничена кругом или его частью или когда подынтегральная функция

содержит в себе выражение вида 22 ух + .

Замечание. На практике при замене переменных нет необходимости

детально строить область 1D . Обычно выясняют пределы изменения

новых координат, используя вид области D на плоскости xOy.

Пример 1. В повторном интеграле перейти к полярным координатам

и расставить в этих координатах пределы интегрирования:

( )∫ ∫−1

0

1

0

,х

dуyxfdх .

Решение. В этом случае замыкание области интегрирования

определяется условиями:

хух −≤≤≤≤ 10,10 .

Запишем уравнение прямой 1=+ ух в полярных

координатах: ( ) 1cossin =+ ϕϕρ . Тогда замыкание

области интегрирования в полярных координатах

ρ и ϕ будет описываться неравенствами:

ϕϕρ

πϕ

cossin10,

20

+≤≤≤≤ .

В результате получаем

( ) ( ) ρρϕρϕρϕπ

ϕϕ

dfddуyxfdхх

∫ ∫∫ ∫+

=− 2 cossin

1

0 0

1

0

1

0

sin,cos, .

y

x

0 1

1

y=1-x


58 58

Пример 2. Вычислить ( ) ϕρϕρ ddD

22 cos∫∫ , где область D – круговой

сектор, ограниченный линиями: 4π

ϕ = , 2π

ϕ = и 3=ρ .

Решение. Изобразим заданное множество D . Вычисление

произведём по формуле (3). Здесь

4π

α = , 2π

β = , ( ) 01 =ϕρ и ( ) 32 =ϕρ .

Тогда

( ) =+

⋅= ∫∫∫∫ ϕρϕ

ρϕρϕρ ddddDD 2

2cos1cos 222

( ) ( )∫∫ ∫ =+=+=2

4

2

4

3

0

33

0

2

32cos1

212cos1

21

π

π

π

π

ϕρ

ϕρρϕϕ ddd

( ) !"

#$%

& −=!"

#$%

& +=+= ∫ 124

92sin21

292cos1

29 2

4

2

4

πϕϕϕϕ

π

π

π

π

d .

Ответ: !"

#$%

& −124

9 π .

Пример 3. Вычислить ( ) dydxyxD∫∫ + 22 , где D – область,

ограниченная линиями 922 =+ yx , 2522 =+ yx , xy = и .3 xy =

Решение. Подынтегральная функция представляет собой выражение 22 yx + и замкнутая область D является частью кругового кольца,

расположенного между двумя прямыми

xy = и ,3 xy = поэтому перейдём к

полярным координатам

ϕρ cos=х , ϕρ sin=у .

Запишем и подынтегральную

функцию, и уравнения границ области D

в полярных координатах.

yy

x! y

x

00

3

ρ =3 !3

y

x

! 3

!

5

5

3

-3 -5

-5

-3

!

!

4π

ϕ =


59

Так как 2222222 sincos ρϕρϕρ =+=+ yx , то

( ) 399 1222 =⇒=⇔=+ ϕρρyx ,

( ) 52525 2222 =⇒=⇔=+ ϕρρyx ,

41tgcossin 1

πϕϕϕρϕρ =⇒=⇔=⇔= xy ,

33tgcos3sin3 2

πϕϕϕρϕρ =⇒=⇔=⇔= xy .

По формуле (3) получаем, что

( ) ∫∫∫ ∫∫∫∫∫ =−

===⋅=+3

4

3

4

3

4281625

422

5

3

45

3

3222

π

π

π

π

π

π

ϕϕρ

ρρϕϕρρρ dddddddydxyxDD

πππ

ϕπ

π 3222

368

12272272 3

4==⋅== .

Ответ: π3222 .

6. Вычисление двойного интеграла в криволинейных


Пусть прямоугольные координаты х и у связаны с криволинейными

координатами и и v соотношениями

( )vuхх ,= , ( )vuyy ,= . (5)

Функции (5) называют отображением области 1D плоскости vuO1

на область D плоскости xOy .

Пусть выполняются следующие условия:

• отображение (5) взаимно однозначно;

• функции ( )vuхх ,= и ( )vuyy ,= имеют в области 1D

непрерывные частные производные первого порядка;

• якобиан отображения (функциональный определитель)


60 60

х

у

04

1

1

D A

3

2

4

2

B C

( )vu

vu

yyxx

vuI!!

!!=, отличен от нуля во всех точках области 1D .

Тогда справедлива формула замены переменных в двойном

интеграле

( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫ ∫∫=D D

dvdиvuIvuуvuхfdydxyxf ,,,,,1

. (6)

Замечание. Для случая полярных координат, которые являются

частным случаем криволинейных координат ϕρ == vи , , получаем

( ) ( ) ρϕρ == ,, IvuI .

Пример 1. Вычислить ( )∫∫ +D yx

dydx4 , где D – область, ограниченная

линиями 1=+ yx , 2=+ yx , 03 =− yх и 04 =− yх .

Решение. Введем новые переменные, положив uyx =+ и vxy = .

Тогда получим, что

.4и3,2,1 ==== vvuu

В результате замены переменных область D , которая на плоскости

xOy представляет собой трапецию ABCD , преобразовалась (отобразилась)

в прямоугольник 1111 DCBA на плоскости uOv .

Из равенств uyx =+ и vxy = выразим х и у:

v

u 0 1

3 D1

4

2

C1 B1

A1


61

.1

;1 v

uvyvux

+=

+=

Найдём их частные производные:

vxu +=!11

; ( )21 vuxv+

−=" ; vvyu +

=!1

; ( )21 vuyv+

=!

и якобиан отображения

( )( ) ( )

( )( ) ( )

.11

11111

1, 2322 vu

vvu

vv

vu

vu

vyxyx

yyxx

vuI uvvuvu

vu

+=

+

+=

+⋅

++

+⋅

+="⋅"−"⋅"=

""

""=

Так как якобиан ( ) 0, ≠vuI , то во всех точках области 1D , то по формуле

( ) ( ) ( )( ) ( )∫∫ ∫∫=D D

dvdиvuIvuуvuхfdydxyxf ,,,,,1

вычисляем

( ) ( ) ( ) ( )=

+=

+⋅=

+⋅=

+ ∫∫∫∫∫∫∫∫4

32

2

1323244 11

111

1

11vdv

ududvdu

vudvdu

vu

uyxdydx

DDD

.1603

201

83

41

51

21

81

11

21

4

3

2

12 =⋅="

#

$%&

' +−"#

$%&

' +−="#

$%&

'+

−⋅−=vu

Ответ: .1603

Пример 2. Вычислить ∫∫D

dydxху , где D – область, ограниченная

линиями 4=xy , 9=xy , хy 32 = и хy 62 = .

Решение. Введём новые переменные по формулам uxy = и vxy=

2

.

Тогда получим, что

,6и3,9,4 ==== vvuu

то есть криволинейному четырёхугольнику на плоскости xOy

соответствует прямоугольник

( ) [ ] [ ]{ }6;3,9;4:;1 ∈∈∈= vuvuD 2R


62 62

Из равенств uxy = и vxy=

2

выразим х и у:

.; 332

uvyvux ==

Найдём их частные производные:

3

132

uvxu ⋅=" ; 3

4

2

31

vuxv ⋅−=# ; 3

231

uvyu ⋅=" ; 3

231

vuyv ⋅="

и якобиан отображения

( ) .31

91

92

31

31

31

32, 3

23

4

23

23 vvvuv

vu

vu

uvyxyx

yyxx

vuI uvvuvu

vu =+=⋅+⋅="⋅"−"⋅"=""

""=

Так как якобиан ( ) 0, ≠vuI , то во всех точках области 1D , то вычисляем

=!!"

#$$%

&==⋅= ∫∫∫∫∫∫

6

3

9

4

6

3

39

4

ln31

32

31

31

1

vudvv

duudvduv

udydxхуDD

( )( ) .2ln9383ln6ln827

92

=−−=

Ответ: .2ln938

v

u 0 4

3

D1 6

91 1

х

у

04

1

1

3

4

3 6 9

6

9

D


63

Если область интегрирования ограничена эллипсом

,12

2

2

2

=+bу

аx

то для вычисления двойного интеграла удобно перейти к обобщённым

полярным координатам

,sin,cos ϕρϕρ byax == где 0≥ρ и [ ]πϕ 2;0∈ .

В этих координатах уравнение эллипса имеет вид 1=ρ , а якобиан

отображения равен

( ) ρϕρ abI =, .

Пример 3. Вычислить ∫∫ −−D

dydxух49

1622

, где D – область,

ограниченная линией 149

22

=+уx

.

Решение. Так как область интегрирования

ограничена эллипсом, то

для вычисления данного двойного интеграла

перейдём к обобщённым полярным

координатам:

,sin2,cos3 ϕρϕρ == yx

где 0≥ρ и [ ]πϕ 2;0∈ .

Тогда подынтегральная функция примет вид 222

1649

16 ρ−=−−ух , а

якобиан отображения ( ) ρρϕρ 6, == abI .

Таким образом, область D , ограниченная эллипсом, отображается в

круг с центром в точке 1О радиуса 1=ρ , при этом угол [ ]πϕ 2;0∈ . Тогда

∫ ∫∫∫∫∫ =⋅−=⋅−=−−π

ρρρϕϕρρρ2

0

1

0

2222

16661649

161

dddddydxухDD

( ) ( ) ( ).156441632231616

216 3

1

0

3221

0

22

0−=−⋅⋅−=−−#

$

%&'

(−⋅= ∫ πρπρρϕπ d

y

x

0

!

3

2

-3

-2

D


64 64

1−nA

2A1A

B

Ax

y

z

O

Ответ: ( ).15644 3−π

7. Криволинейные интегралы

Обобщим понятие определенного интеграла на случай, когда

областью интегрирования является некоторая кусочно-гладкая кривая

пространства. Интегралы такого рода называются криволинейными и

имеют широкое применение в различных разделах математики.

Различают два типа криволинейных интегралов: криволинейные

интегралы первого и второго рода.

7.1. Определение криволинейного

интеграла первого рода

Рассмотрим функцию u = f (x, y, z) ,

определенную на дуге L = AB

пространственной кусочно-гладкой кривой.

f : L→ R1 .

1. Разобьём дугу AB на n частичных дуг Ak−1Ak k =1,n( ) точками

BAAAAAAA nkk == − ,...,,,...,,, 1210 и пусть Δlk - длина дуги Ak−1Ak . Обозначим

через λ наибольшую из длин частичных дуг.

2. Выберем на каждой из частичных дуг Ak−1Ak произвольную

точку Mk xk , yk , zk( ) . Вычислим f xk , yk , zk( ) и рассмотрим f xk , yk , zk( ) ⋅ Δlk .

3. Составим сумму всех таких произведений: f xk , yk , zk( ) ⋅ Δlkk=1

n

∑ ,

которая называется интегральной суммой функции u = f (x, y, z) по длине

дуги AB .


65

4. Если существует конечный предел интегральной суммы при

λ→ 0 , то он называется криволинейным интегралом первого рода от

функции u = f (x, y, z) по дуге AB и обозначается

( )∑∫=

→Δ⋅=

n

kkkkk

AB

lzyxfdlzyxf10

,,lim),,(λ

.

Функция u = f (x, y, z) называется интегрируемой вдоль кривой AB .

Кривая AB – контур интегрирования. А – начальная, В – конечная точки

интегрирования.

Замечание. Предел интегральной суммы существует, если функция

u = f (x, y, z) непрерывна.

7.2. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода

Простейшие свойства криволинейного интеграла первого рода

следуют из его определения.

1. dlzyxfdlzyxfBAAB∫∫ = ),,(),,( , т.е. криволинейный интеграл первого

рода не зависит от выбора направления интегрирования.

2. ( )[ ] dlzyxdlzyxfdlzyxzyxfABABAB∫∫∫ ±=± ),,(),,(,,),,( ϕϕ .

3. constkdlzyxfkdlzyxfkABAB

==⋅ ∫∫ ,),,(),,( .

4. dlzyxfdlzyxfdlzyxfCBACAB∫∫∫ += ),,(),,(),,( .

7.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода

Криволинейный интеграл первого рода сводится к вычислению

определенного интеграла.


66 66

1) Если кривая задана параметрическими уравнениями

x = x t( ), y = y t( ), z = z t( ) , где α ≤ t ≤ β и x = x t( ), y = y t( ), z = z t( ) -

непрерывно дифференцируемые функции, то

f x, y, z( )dlAB∫ = f x t( ), y t( ), z t( )"

#$% &x 2 + &y 2 + &z 2 dt

α

β

∫ .

2) В частности, если дуга AB целиком лежит в плоскости xOy

последняя формула принимает вид:

f x, y( )dlAB∫ = f x t( ), y t( )"

#$% &x 2 + &y 2 dt

α

β

∫ .

3) Если дуга AB плоской кривой задана уравнением y =ϕ x( ) , где

a ≤ x ≤ b и y =ϕ x( ) – непрерывно дифференцируемая функция, то

f x, y( )dlAB∫ = f x,ϕ x( )"

#$% 1+ ϕ ' x( )"

#$%2dx

a

b

∫ .

7.4. Физические приложения интеграла первого рода

Интеграл первого рода имеет ряд физических приложений.

Рассмотрим некоторые из них.

1. Предположим, что кусок проволоки описывается некоторой

пространственной кривой L. Пусть масса распределена вдоль этой кривой

с плотностью ρ x, y, z( ) . Тогда общая масса кривой выражается через

криволинейный интеграл первого рода m = ρ x, y, z( )L∫ dl .

2. Координаты центра масс кривой определяются формулами

x =Myz

m, y =

Mxz

m, z =

Mxy

m,


67

где Myz = xρ x, y, z( )dlL∫ , Mxz = yρ x, y, z( )dl

L∫ , Mxy = zρ x, y, z( )dl

L∫ − так

называемые моменты первого порядка.

3. Моменты инерции относительно осей Ox, Oy и Oz определяются

формулами:

Ix = y2 + z2( )ρ x, y, z( )dlL∫ , I y = x2 + z2( )ρ x, y, z( )dl

L∫ ,

Iz = x2 + y2( )ρ x, y, z( )dlL∫ .

Пример. Вычислить массу, координаты центра масс и моменты

инерции относительно координатных осей проволоки, имеющей форму

отрезка, соединяющего точки A(1;1) и B(2;4). Масса распределена вдоль

отрезка с плотностью ρ x, y( ) = 3x + 2y .

Решение. Составим сначала параметрическое уравнение отрезка АВ:

x − xAxB − xA

=y − yAyB − yA

= t ⇒ x −12−1

=y −14−1

= t ⇒ x = t +1,y = 3t +1,

!"#

где t ∈ 0;1"# $% .

Тогда масса проволоки равна

m = ρ x t( ), y t( )( ) x 't( )2+ y 't( )

2dt

α

β

∫ = 3x t( )+ 2y t( )( )0

1

∫ 1+9dt =

= 3 t +1( )+ 2 3t +1( )( )0

1

∫ 1+9dt = 10 9t +5( )dt = 10 9t2

2+5t

"

#$

%

&'

0

1

∫0

1

=19210.

Найдем моменты первого порядка:

My = x t( )ρ x t( ), y t( )( ) x 't( )2+ y 't( )

2dt

α

β

∫ = 10 t +1( ) 9t +5( )dt0

1

∫ =

= 10 3t3 +7t 2 +5t( )0

1

=15 10,

Mx = y t( )ρ x t( ), y t( )( ) x 't( )2+ y 't( )

2dt

α

β

∫ = 10 3t +1( ) 9t +5( )dt0

1

∫ =

= 10 9t3 +12t 2 +5t( )0

1

= 26 10.


68 68

Тогда координаты центра масс будут следующими:

x =My

m=3019

, y =Mx

m=5219

.

Теперь вычислим моменты инерции относительно координатных осей.

I y = x2 t( )ρ x t( ), y t( )( ) x 't( )2+ y 't( )

2dt

α

β

∫ = 10 t +1( )29t +5( )dt

0

1

∫ =

= 10 94t 4 + 23

3t3 +19

2t 2 +5t

"

#$

%

&'0

1

=29312

10,

Ix = y2 t( )ρ x t( ), y t( )( ) x 't( )2+ y 't( )

2dt

α

β

∫ = 10 3t +1( )29t +5( )dt

0

1

∫ =

= 10 814t 4 +33t3 + 39

2t 2 +5t

"

#$

%

&'0

1

=2954

10.

7.5. Определение криволинейного интеграла второго рода

Пусть на кривой АВ определены ограниченные функции P(x, y, z) и

Q(x, y, z) , R(x, y, z)

1. Разобьем кривую АВ на n-производных дуг точками

A= A0 ,A1,A2 ,...,Ak−1,Ak ,...,An = B в направлении от точки А к точке В с

длинами Δlk k =1,n( ) .

Обозначим через Δxk , Δyk , Δzk – проекции дуг Ak−1Ak на оси

координат соответственно и knklΔ=

≤≤1maxλ – наибольшая из длин частичных

дуг.

2. Выберем на каждой из частичных дуг Ak−1Ak произвольную точку

),,( kkkkМ ζηξ ; вычислим значение функций в точке Mk (ξk ,ηk ,ζk ) :

P(Mk ) = P(ξk ,ηk ,ζk ) , Q(Mk ) =Q(ξk ,ηk ,ζk ) , R(Mk ) =Q(ξk ,ηk ,ζk ) .


69

Составим произведения P(ξk ,ηk ,ζk ) ⋅ Δxk , Q(ξk ,ηk ,ζk ) ⋅ Δyk ,

R(ξk ,ηk ,ζk ) ⋅ Δzk .

3. Составим интегральные суммы P(ξk ,ηk ,ζk ) ⋅ Δxkk=1

n

∑ ,

Q(ξk ;ηk ,ζk ) ⋅ Δykk=1

n

∑ , R(ξk ;ηk ,ζk ) ⋅ Δzkk=1

n

∑ .

4. Криволинейным интегралом второго рода от функций

P(x, y, z) , Q(x, y, z) , R(x, y, z) по кривой АВ будем называть предел

соответствующей интегральной суммы, т.е.

P(x, y, z)dx =limλ→0

AB∫ P(ξk ,ηk ,ζk )Δxk

k=1

n

∑

Q(x, y, z)dy =limλ→0

AB∫ Q

k=1

n

∑ (ξk ,ηk ,ζk )Δyk

R(x, y, z)dz =limλ→0

AB∫ R

k=1

n

∑ (ξk ,ηk ,ζk )Δzk

Сумму P(x, y, z)dx + Q(x, y, z)dyAB∫ +

AB∫ R(x, y, z)dz

AB∫ называют общим

криволинейным интегралом второго рода и обозначают:

P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dzAB∫ .

7.6. Основные свойства криволинейного интеграла второго рода 1. ∫∫ ++−=++

BAB

dzzyxRdyzyxQdxzyxPdzzyxRdyzyxQdxzyxP ),,(),,(),,(),,(),,(),,(A

,

т.е. при изменении направления обхода кривой АВ изменяется знак

интеграла.

2. ∫∫ ∫∫ ++=++BB BB

dzzyxRdyzyxQdxzyxPdzzyxRdyzyxQdxzyxPAA AA

),,(),,(),,(),,(),,(),,(

Остальные свойства аналогичны свойствам криволинейного интеграла

первого рода.


70 70

7.7. Вычисление криволинейного интеграла второго рода

Криволинейный интеграл второго рода сводится к вычислению

определенного интеграла.

1) Если кривая задана параметрическими уравнениями

x = x t( ), y = y t( ), z = z t( ) , где α ≤ t ≤ β и x = x t( ), y = y t( ), z = z t( ) -

непрерывно дифференцируемые функции, то

P(x, y, z)dx +Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dzAB∫ =

= P x t( ), y t( ), z t( )( ) "x t( )+Q x t( ), y t( ), z t( )( ) "y t( )+ R x t( ), y t( ), z t( )( ) "z t( )#$

%&dt

α

β

∫ .

2) В частности, если дуга AB целиком лежит в плоскости xOy , то

последняя формула принимает вид:

P(x, y)dx +Q(x, y)dyAB∫ = P x t( ), y t( )( ) "x t( )+Q x t( ), y t( )( ) "y t( )#

$%&dt

α

β

∫ .

3) Если дуга AB плоской линии задана уравнением y =ϕ x( ) , где

a ≤ x ≤ b и y =ϕ x( ) - непрерывно дифференцируемая функция, то

P(x, y)dx +Q(x, y)dyAB∫ = P x,ϕ x( )( )+Q x,ϕ x( )( )ϕ ' x( )"

#$%dx

a

b

∫ .

Поскольку при вычислении криволинейного интеграла второго рода

необходимо учитывать направление обхода, то в случае когда кривая АВ

замкнутая, т.е. точка В совпадает с точкой А, из двух возможных

направлений обхода замкнутого контура L , условимся называть

положительным то направление, при котором область, лежащая внутри

этого контура, остается слева по отношению к точке, совершающей обход,

противоположное направление обхода контура условимся называть

отрицательным.


71

Криволинейный интеграл по замкнутому контуру L , пробегающему

в положительном направлении, обозначают символом:

P(x, y)dx +Q(x, y)dyL!∫ .

7.8. Формула Остроградского-Грина

Формула Остроградского-Грина устанавливает связь между

криволинейными и двойными интегралами.

Теорема. Пусть G – некоторая простая замкнутая область,

ограниченная контуром L и пусть функции ),( yxP и ),( yxQ непрерывны

вместе со своими частными производными xQ

yP

∂∂

∂∂ ; в данной области, тогда

имеет место формула Остроградского-Грина:

Pdx +QdyL!∫ =

∂Q∂x

−∂P∂y

$

%&

'

()dxdy

G∫∫

.

Пример. Вычислить интеграл второго рода xdyL!∫ , где L – контур

треугольника, образованного осями координат и прямой

x2+y3=1 в положительном направлении.

Решение. Первый способ. Применим формулу

Остроградского-Грина.

xdyL!∫ =

∂Q∂x

−∂P∂y

$

%&

'

()dxdy

G∫∫ = 1dxdy = 3

G∫∫ .

Второй способ.

xdyL!∫ = xdy

AOx=00<y<3

∫ + xdyOBy=00<x<2

∫ + xdyBAx=2−2 y

30≤y≤3

∫ = 0+0+ 2− 2y3

$

%&

'

()dy = 2y − y

2

3

$

%&

'

()

0

3

∫0

3

= 6−3= 3.

O B

A

x

y


72 72

Часть III. Приложения двойных интегралов

1. Вычисление площади плоской фигуры

1.1 Вычисление площади плоской фигуры в прямоугольных


Площадь ( )DР плоской фигуры D в прямоугольных координатах

находится по формуле

( ) .∫∫=D

dydxDР

(6)

Пример 1. Вычислить площадь фигуры D , ограниченной линиями:

.2;2;022;42 =−==+−= ууухху Решение. Изобразим данную фигуру D . Она ограничена слева,

сверху и снизу прямыми, справа – параболой ху 42 = . Эти линии

пересекаются в точках ( )2;2 −−А , ( )2;0В , ( )2;1С , ( )2;1 −D . Координаты

их найдены из системы уравнений линий.

Из рисунка видно, что искомая площадь

Р может быть найдена, как разность

площадей P1 трапеции ABCD и P2

параболического сектора OСD:

21 РРР −= , где 84231

1 =⋅+

=Р (кв. ед.).

Вычислим

P2 = dxdy = dx dy−2 x

2 x

∫ = 20

1

∫OCD∫∫ dx dy

0

2 x

∫ =0

1

∫

= 2 y0

2 x!

"#

$

%&

0

1

∫ dx = 2 2 x dx0

1

∫ = 4 ⋅ 23⋅ x3

0

1

=83

(кв. ед.).

хy=y1

(x)

уa

4b 2x 04

-2

-4

1 -2 4

-2

B

C

D A


73

Тогда искомая площадь 316

38821 =−=−= РРР (кв. ед.).

Ответ: 316

(кв. ед.).

Пример 2. Вычислить площадь фигуры D , ограниченной линиями:

( ).22;5 2222 xухуух ≥==+

Решение: Обе заданные линии

симметричны относительно оси Оу. Область

интегрирования – внутренняя часть параболы 22ху = (очевидно, что 0≥у ), отсечённая

сверху окружностью 522 =+ ух .

Найдём координаты точек пересечения

заданных линий, решая систему уравнений

!"#

=

=+

.,5

2

22

хуух

В результате получим точки ( )2;1−А и ( ).2;1В В силу симметричности

области относительно оси Оу искомая площадь равна удвоенной площади

фигуры, расположенной в первой четверти.

( ) ( ) =−−=== ∫∫ ∫∫∫−

dxxxdydxdydxDРx

xD

1

0

221

0

5

2

25222

2

3452

3452

1

0

21

0

31

0

2 ∫∫ −−=−−= dxxxdxx .

Вычислим по частям интеграл

5− x2 dx =0

1

∫u = 5− x2 du = − x

5− x2dx

dv = dx v = x

#

$

%%%

&

'

(((= x ⋅ 5− x2

0

1

+x2

5− x2dx

0

1

∫ =

( )=!!

"

#$$%

&

−−−−=

−

−−−= ∫∫

1

02

21

02

2

5552

5552 dx

xxdx

x

x

А B

y

x

0 1 -1

2


74 74

∫∫ ⋅+−−=⋅+−−=1

0

21

0

1

0

2

51arcsin552

5arcsin552 dxxxdxx .

Получили уравнение

∫∫ ⋅+−−=−1

0

21

0

2

51arcsin5525 dxxdxx ,

откуда

51arcsin5252

1

0

2 ⋅+=−∫ dxx .

Тогда искомая площадь

( )51arcsin5

32

34

51arcsin52 ⋅+=−⋅+=DP (кв. ед.).

Ответ: 51arcsin5

32

⋅+ (кв. ед.).

1.2 Вычисление площади плоской фигуры в полярных


Площадь ( )DР плоской фигуры D в полярных координатах

находится по формуле

( ) .∫∫=D

ddDР ϕρρ

(7)

Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:

( ) .;2 2222222 ауххуаух =+=+

Решение. Перейдем к полярным координатам ϕρ cos=х , ϕρ sin=у .

Так как 222 ρ=+ ух , то заданные линии примут вид:

( ) ϕϕρρ sincos22 2242222 ⋅=⇒=+ ахуаух ,

ϕρϕϕϕρ 2sin2sinsincos2 222 aaа =⇔=⋅=


75

и

аааух =⇔=⇒=+ ρρ 22222 .

Таким образом, данная область ограничена окружностью а=ρ и

лемнискатой ϕρ 2sina= .

Решая неравенство 02sin ≥ϕ , получаем

.N,2

02220 ∈+≤≤+⇔+≤≤+ ппппп ππ

ϕπππϕπ

Найдем точки пересечения окружности и

лемнискаты, приравняв их уравнения:

,12sin12sin2sin =⇔=⇔= ϕϕϕ аa

N,4

22

2 ∈+=⇔+= ппп ππ

ϕππ

ϕ .

Лемниската касается окружности, когда угол 4π

ϕ = и 43π .

Найдём сначала площадь фигуры 1D , ограниченной лемнискатой. Так как

изменению переменной ϕ в пределах от 0 до 4π соответствует четвертая

часть искомой площади, то имеем

( ) ===== ∫∫ ∫ ∫∫∫44 4

1 0

2

2sin

00

2sin

0 0

2

1 2sin22

44ππ π

ϕϕϕρ

ρρϕϕρρ

ϕϕ

dadddddDРa

a

D

.0cos2

cos2cos 220

2 4 aaa =!"

#$%

& −−=−=π

ϕπ

Поскольку площадь круга 2D равна ( ) 22 аDР π= , то искомая площадь Р

равна разности найденных площадей:

( ) ( ) ( )122212 −=−=− ππ aaaDРDР (кв. ед.).

Ответ: ( )12 −πa (кв. ед.).

y

x

0

D2

-a

-a

a

a D1


76 76

1.3 Вычисление площади плоской фигуры в криволинейных


Пример. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми

( ) ( ) .0;;0; 4444 dcdxуcxуbabухаух <<==<<==

Решение. Данная область расположена в первой четверти и является

криволинейным четырёхугольником.

Введём криволинейные координаты по формулам

иух

=4

и vxy

=4

,

откуда .; 15 415 4 uvyvиx == Введённое! преобразование! переводит! область! D ! плоскости! xOy в

прямоугольник 1D плоскости uOv, определяемый неравенствами

dvcbua ≤≤≤≤ ; .

Вычислим якобиан отображения

( ) .11511

22511

22516

154

151

151

154

,3 223 223 22

1511

1514

4

1514

415

11

vuvuvuvu

uv

vu

uv

yyxx

vuIvu

vu ⋅=⋅−⋅=

⋅⋅

⋅⋅=

##

##=


( ) ( ) =⋅=== ∫∫∫∫∫∫ dudvvu

dudvvuIdydxDРDDD

3 22

1151,

11

( ) =⋅−⋅=⋅⋅⋅=⋅

⋅= ∫∫∫ ∫−− duuсdduvu

vudvdu

b

а

b

a

d

с

b

a

d

с

32

31

32

32

32

33

513

151

151

( ) ( ) ( )333333

533

51

31

аbсdисdb

а−⋅−⋅=⋅⋅−⋅= (кв. ед.).

Ответ: ( ) ( )3333

53 аbсd −⋅−⋅ (кв. ед.).


77

2. Вычисление объёмов тел

2.1 Вычисление объёмов тел в прямоугольных координатах

Объём V цилиндрического тела Т, ограниченного сверху

непрерывной поверхностью ( )yxfz ,= , снизу плоскостью 0=z и сбоку

прямой цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости xOy

область D , вычисляется по формуле

( ) ( ) .,∫∫=D

dydxyxfTV

(8)

Пример. Вычислить объём тела Т, ограниченного поверхностями:

.0;2;01832;052;02 ===−+=+−=−+ zуухyхzух Решение: Данное тело ограничено сверху плоскостью ухz += 2 .

Замыкание области интегрирования D – треугольник, стороны которого

лежат на прямых

2и01832;052 ==−+=+− уухyх .

Вершинами треугольника являются точки ( )2;1−А , ( )4;3В и ( )2;6С .


( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫∫∫−

−

=+=+==4

2 52

2318

22,y

yDD

dxyxdydxdyyxdydxyxfTV

y

x

0

!

1 3

2

-5 6 9 -1

6

4

!

!

! y

А

В

С


78 78

( ) ( ) ( ) =!!"

#$$%

&−⋅−−−!

"

#$%

& −⋅+!"

#$%

& −=+= ∫∫−

−

dyyyyyyydyyxxy

y

4

2

229

52

4

2

2 5252239

239

23

=!"

#$%

& +−−+−−++−= ∫ dyyyyyyyyy4

2

2222 5225204239

492781

5642

874387

421756

4

2

324

2

24

2

2 =!!"

#$$%

&−+=!

"

#$%

& −+=!"

#$%

& −+= ∫∫yyydyyydyyy (куб.ед.).

Ответ: 56(куб. ед.).

2.2 Вычисление объёмов тел в полярных координатах

Объём V цилиндрического тела Т в полярных координатах

вычисляется по формуле

( ) ( ) .sin,cos∫∫=D

ddfTV ϕρρϕρϕρ

(9)

Пример 1. Вычислить объём тела Т, ограниченного поверхностями:

.0;1;02 2222 ==+=+−+ zухzух

Решение: Сверху тело ограничено параболоидом 222 ++= ухz ,

снизу – плоскостью xOy, с боков – круговым цилиндром 122 =+ ух .

Замкнутая область интегрирования D на плоскости xOy представляет

собой круг, ограниченный окружностью 122 =+ ух .

Перейдя к полярным координатам ϕρ cos=х , ϕρ sin=у , получим,

что уравнение параболоида 222 ++= ухz примет вид 22 += ρz , а

уравнение окружности 122 =+ ух будет иметь вид 1=ρ . Тогда

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∫∫∫∫ =+=⋅+==π

ρρρϕϕρρρϕρρϕρϕρ2

0

1

0

32 22sin,cos ddddddfTVDD


79

πϕϕϕρρ π

π π

5,245

45

42

0

2

0

2

0

1

0

24

===$$%

&''(

)+= ∫ ∫dd (куб. ед.).

Ответ: 2,5 (куб. ед.).

Пример 2. Вычислить объём тела Т, ограниченного поверхностями:

.0;;3 222 ==+=++ zаухаzух

Решение: Сверху тело ограничено плоскостью ухаz −−= 3 , а

основанием его является круг, ограниченный окружностью 222 аух =+ .

Значит, замыканием области интегрирования является круг 222 аух ≤+

на плоскости xOy. Для вычисления объёма данного тела удобно перейти к

полярным координатам:

( )ϕϕρ sincos3 +−= аz – уравнение поверхности,

а=ρ – уравнение окружности.


( ) ( ) ( )( ) =⋅+−== ∫∫∫∫ ϕρρϕϕρϕρρϕρϕρ ddаddfTVDD

sincos3sin,cos

( )( ) ( )∫∫ ∫ =""#

$%%&

'+−=+−=

ππ

ϕρ

ϕϕρ

ϕϕϕρρϕ2

0

1

0

322

0 0

2

3sincos

23sincos3 dadad

a

( ) ( ) 32

0

32

0

33 3cossin

31

23

3sincos

23 aadaa πϕϕϕϕϕϕ

ππ

=#$

%&'

( −−=##$

%&&'

(+−= ∫ (куб.

ед.).

Ответ: 33 aπ (куб. ед.).

2.3 Вычисление объёмов тел в криволинейных координатах

Пример 1. Вычислить объём тела Т, ограниченного сверху

поверхностью ( )31ух

z+

= , снизу – плоскостью xOy, с боков – плоскостями

.03и0,4,2 =−=−=+=+ ухухухух


80 80

Решение. Область интегрирования D ограничена линиями

.03и0,4,2 =−=−=+=+ ухухухух

Искомый объём выражается формулой

( ) ( )( )

.1, 3∫∫∫∫ +==

DD

dydxух

dydxyxfTV

Для вычисления этого двойного интеграла перейдём к криволинейным

координатам u, v по формулам

,и vхуиух ==+

из которых следует, что

.1

и1 v

uvуvих

+=

+=

Преобразование vхуиух ==+ и отображает область D плоскости xOy

на прямоугольник D1, определяемый неравенствами ,31,42 ≤≤≤≤ vи

плоскости uOv.

Для вычисления якобиана преобразования найдём частные

производные

( ) ( ).

1,

1;

1,

1 22 vи

vy

vv

иy

vи

vх

vи

их

+=

∂∂

+=

∂∂

+−=

∂∂

+=

∂∂

Тогда

( ) ( )

( )( ) ( )

( )( ) ( )

.11

111

11

11, 2333

2

2

vu

vvu

vuv

vu

vu

vv

vu

vu

vy

uy

vx

uх

vuI+

=+

+=

++

+=

++

+−

+=

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

=

Так как [ ]4;2∈и , то ( ) ( )vuIvuI ,, = . Следовательно,

( )( ) ( ) ( )

=+

=+

⋅=+

= ∫∫∫∫∫∫ dvv

dии

dvdиvи

иdydx

ухTV

DD

3

12

4

22233 1

111

11

1

161

41

411

411

21

41

111

4

22

4

2

4

2

3

12 =⋅="

#

$%&

'−⋅=⋅"#

$%&

' +−="#

$%&

'+

−= ∫∫ иdи

иdи

vи (куб.ед.).


81

Ответ: 161

(куб.ед.).

3. Вычисление площади поверхности

3.1 Вычисление площади поверхности в прямоугольных


Пусть ( )yxfz ,= – непрерывно дифференцируемая функция в

замкнутой области 2R⊂D , ограниченной кусочно-гладким контуром.

Тогда поверхность ( )yxfz ,= – график функции ( )yxfz ,= , является

гладкой и квадрируемой.

Площадь Р гладкой поверхности ( )yxfz ,= выражается формулой

,122

dxdyyz

xz

PD∫∫ ""

#

$%%&

'

∂

∂+"

#

$%&

'∂

∂+=

(10)

где D – проекция данной поверхности на плоскость хОу.

Аналогично, если поверхность задана уравнением ( )zxfу ,= , то

площадь такой поверхности выражается формулой

,122

dxdzzу

xуP

D∫∫ "

#

$%&

'∂∂

+"#

$%&

'∂∂

+=

(11)

где D – проекция данной поверхности на плоскость хОz.

Если же уравнение поверхности имеет вид ( )zуfх ,= , то

,122

dydzzx

yxP

D∫∫ "

#

$%&

'∂∂

+""#

$%%&

'

∂∂

+=

(12)

где D – проекция данной поверхности на плоскость уОz

Пример. Вычислить площадь поверхности плоскости 6=++ zух ,

отсекаемой плоскостями .3и0,3,0 ==== уухх


82 82

Решение. Проекцией D заданной части плоскости на плоскость хОу

является квадрат, определяемый неравенствами 30,30 ≤≤≤≤ ух .

Функция ухz −−= 6 непрерывно дифференцируема в этой

замкнутой области, поэтому искомую площадь можно вычислить по

формуле (10).

Поскольку 1−=∂∂xz

и 1−=∂∂уz , то 31

22

=!!"

#$$%

&

∂∂

+!"

#$%

&∂∂

+yz

xz . Тогда

39333313

0

3

0

3

0

22

∫∫ ∫∫∫∫∫ ====""#

$%%&

'

∂

∂+"

#

$%&

'∂

∂+= dxdydxdxdydxdy

yz

xz

PDD

.

Ответ: 39 (кв.ед.).

3.2 Вычисление площади поверхности в полярных координатах

Пример 1. Вычислить площадь поверхности шара радиуса а.

Решение. Можно ограничиться вычислением половины площади

поверхности, например, той её части, где 0≥z . Указанную часть

поверхности может толковать как график функции 222 ухаz −−= , а её

проекцией на плоскость xOy является замкнутая область D – круг

222 аух ≤+ В результате получаем ,1222

dxdyyz

xzP

D∫∫ ""

#

$%%&

'

∂∂

+"#

$%&

'∂∂

+⋅= где

222 ухах

xz

−−−=

∂∂ и

222 ухау

уz

−−−=

∂∂ .

Так как 222222

2222

11уха

ауха

ухyz

xz

−−=

−−+

+=""#

$%%&

'

∂∂

+"#

$%&

'∂∂

+ , то

переходя к полярным координатам, находим площадь поверхности шара:

=−−

⋅=##$

%&&'

(

∂∂

+#$

%&'

(∂∂

+⋅= ∫∫∫∫ dxdyyxa

adxdyyz

xzP

DD222

22

212


83

∫ ∫∫∫ =−

⋅=−

⋅=π

ρρρ

ϕϕρρρ

2

0 02222

1212a

D

da

dadda

a

( ) 2

0

222

0

2

0 022

22

42 adaaaadda

aa

πϕρρ

ρϕ

ππ

=−⋅⋅−=−

−⋅−= ∫∫ ∫ (кв.ед.).

Ответ: 24 аπ (кв.ед.).

Пример 2. Вычислить площадь поверхности части сферы 2222 Rzух =++ , вырезанной цилиндром Rxух =+ 22 .

Решение. Для нахождения заданной поверхности удобно

воспользоваться симметрией тела относительно плоскостей xOz и хОу. Это

позволяет ограничиться вычислением площади четвёртой части данной

поверхности, расположенной, например, в первом октанте.

Поскольку эта часть тела ограничена сверху поверхностью

222 ухаz −−= , a областью интегрирования D является полукруг,

ограниченный дугой окружности Rxух =+ 22 и осью Ох, то для искомой

площади поверхности имеем:

.1422

dxdyyz

xzP

D∫∫ ""

#

$%%&

'

∂∂

+"#

$%&

'∂∂

+⋅=

Частные производные функции 222 ухаz −−= найдены в предыдущем

примере. В этом случае также целесообразно перейти к полярным

координатам. Тогда уравнение окружности Rxух =+ 22 примет вид:

ϕρ cosR= , где !"

#$%

&∈2;0 π

ϕ . Получим

∫ ∫∫∫ =−

⋅=−

⋅=2

0

cos

02222

144π

ϕ

ρρρ

ϕϕρρρ

R

D

dR

dRddRRP

( )=−⋅⋅−=

−

−⋅−= ∫∫ ∫ ϕρ

ρ

ρϕ

ϕϕππ

dRRRRddR

RR cos

0

22

00

cos

022

22 22

222


84 84

( ) ( ) !"

#$%

& −=+=−⋅−= ∫ 12

4cos4sin4 2

0

2

0

22 π

ϕϕϕϕπ

π

RRdRRR (кв.ед.).

Ответ: !"

#$%

& −12

4 2 πR (кв.ед.).

Пример 3. Вычислить площадь части поверхности 22 zху += ,

вырезанной цилиндром 122 =+ zх и расположенной в первом октанте.

Решение. В этом случае удобно рассматриваемую часть параболоида 22 zху += проектировать на плоскость xOz и считать у функцией от

независимых переменных х и z.

Параболоид вращения 22 zху += и цилиндр 122 =+ zх пересекаются

по окружности, которая определяется уравнениями .1,122 ==+ уzх

Проекция этой окружности на плоскость хОz определяется уравнениями

.0,122 ==+ уzх

Данная поверхность – это часть параболоида вращения, отсечённая

плоскостью 1=у и расположенная в 1 октанте. Проекцией D этой

поверхности на плоскость хОz является четверть круга

( )0,0122 ≥≥≤+ zхzх .

Поскольку хxу 2=∂∂

и zzу 2=∂∂

, то вычислим площадь заданной

поверхности, переходя к полярным координатам.

( ) =++=!"

#$%

&∂∂

+!"

#$%

&∂∂

+= ∫∫∫∫ dxdzzxdxdzzу

xуP

DD

2222

411

( )=++=+=+= ∫∫∫ ∫∫∫ 21

0

2

00

1

0

22 4141814141

22

1

ρρϕρρρϕϕρρρ

ππ

ddddddD

( ) ( ) ( )24155

212155155

12141

32

81 22

00

1

0

32 ππϕϕρ

ππ

⋅−=⋅

−=−⋅=+⋅⋅= ∫∫ dd (кв.ед.)

Ответ: ( )24155 π⋅− (кв.ед.).


85

Задания для контрольной работы

Вариант 1

1. Найдите и изобразите область определения функции:

( ) 2291arcsin yxxz −−++= .

2. Найдите полные дифференциалы первого и второго порядков от

функции ( )yxfz ,= , если

yxxyz ln= .

3. Покажите, что функция ( )2yxez x −= − удовлетворяет уравнению:

zyz

yz

xz

=∂∂

−∂

∂−

∂

∂ 22

2

2

2.

4. Вычислите приближённо: 32 97,002,3 ⋅ .

5. Исследуйте на экстремум функцию: yxyxyxz 9622 −−++= .

6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 22322 yxyxyxz −−=

в области, ограниченной прямыми: 6,0,0 =+== ухух .

7. Вычислите двойной интеграл ( )∫∫ +D

dydxyx2 ,

где область D ограничена линиями: xyxy == ,2 .

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями:

02и42 =+−−= yxху .

9. Найдите объём тела, ограниченного поверхностями:

2,2,2 =+== zxхуху .

10. Вычислить криволинейный интеграл y dlAB∫ по параболе y2 = 2x ,

A 0,0( ) , B 2,2( ) .


86 86

Вариант 2


( )1ln12 +−+−+= xyxуz .



22 yxez ⋅= .

3. Покажите, что функция xy

xz cos= удовлетворяет уравнению:

02 2

22

2

2

22 =

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂

yz

yyxz

xyxz

x .

4. Вычислите приближённо: 22 03,498,2 + .

5. Исследуйте на экстремум функцию: 7933 33 +−+= xуyxz .

6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции

yxyxyхz 222 22 +−−+=

в области, ограниченной прямыми: 2,0,2 +=== хуух .

7. Вычислите двойной интеграл

( )∫∫ −D

dydxyx ,

где область D ограничена линиями: 12,2 2 −=−= хyxy .


2и, === − yеуеу хх .


0,0,0,93,2 ====+= zyxyxxz .

10. Вычислить криволинейный интеграл xy dx + y2 dyAB∫ по кривой

x = t 2 , y = t ,1≤ t ≤ 2 .


87

Вариант 3


221

4

1

yxеz ух

−−+= ++ .



( )32sin yxz += .

3. Покажите, что функция ( )22ln yxz += удовлетворяет уравнению:

02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yz

xz .

4. Вычислите приближённо: 05,0204,2 e⋅ .

5. Исследуйте на экстремум функцию: 2261 yxyxxz −−−+= .


142 22 ++−−= xyxyxz

в области, ограниченной прямыми: 01,0,3 =++=−= ухух .


( )∫∫D

dydxxy ln ,

где область D ограничена линиями: 2,,1 === xxyx

y .

8. Найдите площадь фигуры, ограниченной заданными линиями: 232 и2 xyxy =−= .


0,0,632,33,3 ===+=+=++ zyyxyxzyx .

10. Вычислить криволинейный интеграл: xdy − y dxAB∫ по кривой y = x3 ,

A 0,0( ) , B 2,8( ) .


88 88

Вариант 4


( )yxxуz −++−= arccos1sin 2 .



( )1ln 23 −−= yxz .

3. Покажите, что функция ( )yxez yx += + удовлетворяет уравнению:

02 2

22

2

2=

∂

∂+

∂∂∂

−∂

∂

yz

yxz

xz .

4. Вычислите приближённо: oo 46tg58cos ⋅ .

5. Исследуйте на экстремум функцию: 5622 33 +−+= xyyxz .


xyxyxz 42 22 −−+=

в области, ограниченной прямыми: 1,0,3 +=== xуух .


( )∫∫ +D

dydxyx sin2cos ,

где область D ограничена линиями: 0,0,4

==−= xyxy π .


ххyхху 2и4 22 −=−= .


0,0,0,1,22 ====++= zyxyxyxz .

10. Вычислить криволинейный интеграл x2 + y2( )dlAB∫ , где

x = cos t, y = sin t ,0 ≤ t ≤ π2

.


89

Вариант 5


( )2

124ln 2

+−+−+=

yxxyz .



( )yxz 32tg += .


exz ⋅= удовлетворяет уравнению:

02 2

22

2

2

22 =

∂

∂+

∂∂∂

+∂

∂

yz

yyxz

xyxz

x .

4. Вычислите приближённо: ( )32 08,098,0ln + .

5. Исследуйте на экстремум функцию: 122 +−+++= yxyxyxz .


82222 +−−+= yxyxz

в области, ограниченной прямыми: 01,0,0 =−+== ухух .


( )∫∫ +D

dydxyxsin ,

где область D ограничена линиями: 0,2

, === xyxy π .


0и04,2 ==+−+= yхyxу .


0,0,2,4 22 ===−= yxxyxz .

10. Вычислить криволинейный интеграл xdlAB∫ по параболе y = x2 ,

A 2,4( ) , B 1,1( ) .


90 90

Вариант 6


( )224 16ln2

yxеz х −−+= − .



( )yez x ⋅= cos .

3. Покажите, что функция ( )yexz −+= ln удовлетворяет уравнению:

02

22=

∂

∂⋅

∂∂

−∂∂

∂⋅

∂∂

xz

yz

yxz

xz .

4. Вычислите приближённо: 04,02 597,1 e⋅+ .

5. Исследуйте на экстремум функцию: 2265 yxyxxz −+−−= .


133 2 +−−+= yxxyxz

в области, ограниченной прямыми: 1,0,5 =−== ухух .


∫∫D

dydxух2

2,

где область D ограничена линиями: 2,1, === xх

yxy .


yхху 3и3 22 == .


0,0,0,2,2 ====+++= zyxyxyxz .

10. Вычислить криволинейный интеграл x2 y dx + y2xdyAB∫ по кривой

x = t, y = t3 ,0 ≤ t ≤1.


91

Вариант 7


( )1

1arcsin2 +−

++=yx

yxz .



( )xyyxz ln= .

3. Покажите, что функция xyez = удовлетворяет уравнению:

02

22

2

22 =

∂

∂+

∂

∂

yz

yxz

x .

4. Вычислите приближённо: oo 61cos28sin ⋅ .

5. Исследуйте на экстремум функцию: 206922 +−++−= yxyxyxz .

6. Найдите наименьшее и наибольшее значения функции 22 42 yxxyxz −++=

в области, ограниченной прямыми: 02,0,0 =++== ухух .


( )∫∫ +D

dydxух2 ,

где область D ограничена линиями: хyxy == ,2 .


3,23,6 === хху

ху .


0,2,2 2222 ==+=+ zyyxzyx .

10. Вычислить криволинейный интеграл x2 + y2 dlAB∫ , где

x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t , 0 ≤ t ≤ 2π .


92 92

Вариант 8


( ) 222 4cosln xyxz −+−= .



( )yxz 23ctg −= .

3. Покажите, что функция ( )yxz 2sin2 −= удовлетворяет уравнению:

04 2

2

2

2=

∂

∂−

∂

∂⋅

yz

xz .

4. Вычислите приближённо: ( )198,003,1ln 32 +− .

5. Исследуйте на экстремум функцию: уxyxyxz −−++= 222 .


yxyxz −++= 22 3



( )∫∫ −D

dydxух2 ,

где область D ограничена линиями: 2,1,,2 ==== хххyxy .


2,0,2,2 2 ==−== ххххуу х .


0,0,2,222 ===+=+ yxyxzyx .

10. Вычислить криволинейный интеграл x dx + y dyAB∫ по кривой

2xy = , ( )0,0A , ( )1,1B .


93

Вариант 9


2225

11sin yxe

yxz −−++−

= .



( )xyz arcsin= .

3. Покажите, что функция ( )12ln 22 +++= xyxz удовлетворяет

уравнению:

02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yz

xz .

4. Вычислите приближённо: 04,0203,3 −⋅ e .

5. Исследуйте на экстремум функцию: xyxyxz 222 22 ++−= .


22233 22 +−−+= yxyxz



( )∫∫ −D

dydxух 4 ,

где область D ограничена линиями: 0,1,2 2 ==−= хууух


0и5,3 =−=+= yxуxу .


( ) xzzyx 24,22 22 −==+− .

10. Вычислить интеграл (1− x2 )y dx + x(1+ y2 )dyL∫ по формуле

Остроградского-Грина, где 1: 22 =+ yxL .


94 94

Вариант 10


( )22

11arccos

yxxz

−+−= .


функции ( )yxfz ,= , если y

xz

1ln2 +

= .


z arctg= удовлетворяет уравнению:

02

2

2

2=

∂

∂+

∂

∂

yz

xz .

4. Вычислите приближённо: ( )102,197,0ln −+ .

5. Исследуйте на экстремум функцию: yxyxz 632 33 +−−= .


xyxyxz 42122 22 −−+=

в области, ограниченной прямыми: xуух 2,2,0 === .

7. Вычислите двойной интеграл ( )∫∫ +D

dydxух 2 ,

где область D ограничена линиями: 2,2 +== xyxy .


02и2 2 =+−−= хухху .


0,2,2,522 ====+ zxzxyyx .

10. Вычислить массу плоской пластины 9 ≤ x2 + y2 ≤ 25, x ≤ 0, y ≥ 0 , где

µ =2y − xx2 + y2

.


95

Вопросы к зачёту

1. Определение метрического пространства. Примеры метрических

пространств. Линейные нормированные пространства. N-мерные

евклидовы пространства.

2. Основные топологические понятия и теоремы в метрических

пространствах.

3. Последовательности точек в метрических пространствах и их

сходимость.

4. Функции нескольких переменных как отображения из Rn в R.

Линии уровня. Предел функции нескольких переменных и повторные

пределы, связь между ними.

5. Непрерывность функций нескольких переменных по совокупности

переменных и по одной переменной. Свойства непрерывных функций.

6. Частные производные, их геометрический и механический смысл.

Дифференцируемые функции, необходимые условия дифференцируемости

(непрерывность, существование частных производных).

7. Достаточные условия дифференцируемости. Дифференциал

функции нескольких переменных и его свойства.

8. Касательная плоскость и нормаль к поверхности, их уравнения.

Геометрический смысл дифференциала функции двух переменных.

9. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Оценка погрешности приближенного вычисления.

10. Производная сложной функции. Дифференциал сложной

функции. Дифференциал сложной функции. Свойство инвариантности

дифференциала.

11. Частные производные и дифференциалы высших порядков.

12. Формула Тейлора.

13. Экстремум функции двух переменных, его необходимые условия.

Необходимое и достаточное условия экстремума функции.


96 96

14. Достаточные условия экстремума функции двух переменных.

Наибольшее и наименьшее значения функции непрерывной в замкнутой

ограниченной области.

15. Неявная функция одной переменной (определение,

существование, непрерывность). Дифференцирование неявной функции

одной переменной.

16. Уравнения касательной и нормали к кривой F(x,y)=0. Неявные

функции нескольких переменных. Дифференцирование неявной функции

двух переменных.

17. Конструктивное определение двойного интеграла. Задачи о массе

неоднородной плоской пластинки и об объеме цилиндрического бруса.

18. Условия существования двойного интеграла и его основные

свойства.

19. Вычисление двойного интеграла в прямоугольной и

криволинейной области.

20. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в

полярной системе координат.

21. Приложения двойного интеграла к вычислению площадей

плоских фигур, объемов, площадей поверхностей.

22. Определение криволинейного интеграла первого рода. Его

основные свойства и физические приложения.

23. Конструктивное определение криволинейного интеграла второго

рода.

24. Теорема о существовании криволинейного интеграла второго

рода и его вычисление. Свойства криволинейных интегралов второго

рода.

25.Формула Грина-Остроградского. Условия независимости

криволинейного интеграла от пути интегрирования.


97

Задачи для подготовки к зачету

1. Найдите область определения функции

xy

z1arcsin −

= .

2. Найдите область определения функции yx

z3ln −

= .

3. Найдите область определения функции yx

z1

arccos−

= .

4. Найдите область определения функции 5−−= yxz .

5. Найдите область определения функции xyz 2sin= .

6. Найти область определения функции )4)(1( −+= yxz .

7. Найти область определения функции )9ln(2)1(

4 22

yzzx

u −−−

−= .

8. Найдите y

yx x

!"

#$%

& +∞→

∞→ 2

11lim , если точка M(x,y) движется по кривой 2xy = .

9. Найдите ),(lim11

yxfyx→→

для функции

!!"

!!#

$

=

≠−

−+

=

,,34

,,32

),(33

22

yx

yxyxyxyx

yxf если он

существует.

10. Выясните, существует ли 44

3

00

limyxyx

yx +→→

, и если он существует, то

найдите значение этого предела.

11. Вычислите 44

1

00

44

limyx

e yx

yx +

+−

→→

.

12. Выясните, существует ли 22limyx

xy

yx +

∞→∞→

. Если предел существует, то

найдите его значение.

13. Найти полный дифференциал функции yxyx

z−

+=

33 .


98 98

14. Найти zd 2 для функции 3

2 1yx

z+

= .

15. Найдите dz , zd 2 для функции ( )yxfz ,= vu

x = , 2uy = .

16. .Найдите точки локального экстремума для функции )( 22 yxezx

+= .

17. Найдите 2

2

, xz

xz

∂

∂

∂

∂ неявной функции ( )yxfz ,= , заданной

уравнением 0)ln( =−+zxy

zxz .

18. Найти yz

xz∂

∂

∂

∂ , функции, заданной неявно 1ln +=yz

zx .

19. Найдите производные 1-го и 2-го порядков для неявной функции

)(xfy = , которая определяется уравнением 0333 =−+ axyyx .

20. Найдите du для функции ( )432 zyxfu = , где ts

x arcsin= , 22 sty −= ,

tz ln= .

21. Найдите uddu 2 , для функции ( )zfu ln= , где 22 yxz += .


( )xfy = , которая определяется уравнением 08ln2 =−− xyxe y .

23. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков для функции

!!"

#$$%

&=

yx

xyfu , .

24. Найдите дифференциалы 1-го и 2-го порядков для функции

( )yxfz ,= , где 22 tsx += , tsy += .

25. Докажите, что функция ( )22 xyxfz −= удовлетворяет соотношению

yzxz

xyyz

x =∂

∂+

∂

∂2 .


( )xfy = , заданной уравнением xy yx = .

27. Найти при 1=x производные y! , y !! , z! , z !! неявных функций )(xy

и )(xz , определяемых системой уравнений


99

!"

!#$

−=+−

=−−

.35,038

23

432

yzx

yzx

Дано, что при 1=x функции y и z принимают соответственно

значения 0 и 2: ( ) 01 =y , ( ) 21 =z .

28. Вычислить приближенно в точке М(-1,1) полное приращение

функции yxxyz 654 23 +−= , пользуясь его заменой полным

дифференциалом. Принять 001,0=Δ=Δ yx .

29. В результате измерения получено: диаметр r основания конуса

равен 8,3 см, высота h равна 35,7 см; абсолютная погрешность измерений

меньше 0,1 см. Вычислить объем конуса и указать относительную

погрешность подсчета.

30. Найдите приближенное значение (0,99)3,01.

31. Найти границы погрешности в вычислении объема ящика,

размеры которого: 1,3м; 0,8м и 1,4м измерены с ошибкой, не

превышающей 1см.

32. Найдите точки локального экстремума для функции

( )22 3222

yxez yx += −− .


54562 22 −+−++= yxyxyxz .

34. Найдите наибольшее и наименьшее значение функции 22 yxz +=

в области 2xy = , 1≤y .


12322 +−++−= yxyxyxz .


12322 +−++−= yxyxyxz .

37. При каких размерах прямоугольного открытого ящика с

заданным объемом 4 м3 его поверхность будет наименьшей из возможных.


100 100

38. Из всех треугольников, вписанных в данный круг, найти тот,

площадь которого наибольшая (возьмите центральные углы за

независимые переменные)

39. Вычислите интеграл: ( )∫∫ +G

dxdyyx 22 , где G - круг: xyx 222 ≤+ .

40. Вычислите интеграл ( )∫∫ +G

dxdyyx222 , где G – круг : 422 ≤+ yx .

41. Вычислите интеграл ∫∫G

dxdyyx , где G – квадрат: 10 ,10 ≤≤≤≤ yx .

42. Вычислите интеграл ∫∫ ++G

dxdyyx 221 , где G – четверть круга:

122 ≤+ yx , лежащая в первом квадранте.

43. Вычислите интеграл ∫∫ +

G

yx dxdye22 , где G – круг: 122 ≤+ yx .

44. С помощью двойного интеграла найдите площадь фигуры,

ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда ϕar = ,

где a–положительное число.

45. С помощью двойного интеграла найти площадь, ограниченной

линиями 2 ,2 ,4 , 22 −==== xxxyxy .

46. С помощью двойного интеграла найти площадь фигуры,

ограниченной линиями 4 ,1 2222 =+=+ yxyx .


ограниченной линиями 03 ,42 =++= yxxy .


ограниченной линиями 1 ,1 ,ln −==−= yyxxy .

49. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями:

axzy 422 =+ , axy =2 , ax 3= (вне цилиндра).


1 ,1 2

2

2

2

2

2

2

2

=+=+by

ax

bz

ax .


101

51. Вычислите объем тела, ограниченного поверхностью:

12

2

2

2

2

2

=++cz

by

ax .


( ) 22222 , ayxaxz =++= .

53.Вычислите объем тела, ограниченного поверхностями:

0 ,1 , , 222 ===+= zyxyyxz .

54. Вычислите криволинейный интеграл ∫ ++−L

dyyxdxyx )()( , где L –

окружность 222 Ryx =+ .

55. Вычислите криволинейный интеграл ∫ −OA

ydxxdy , если OA – дуга

параболы 2xy = , O(0;0), A(2;4).

56. Вычислите криволинейный интеграл ( )∫ ++L

dyyxdxy 22 по контуру

треугольника с вершинами A(1;0), B(1;1), C(0;1).

57. Вычислите криволинейный интеграл ( )∫ −L

dlyx , где L –

четырехугольник ABCD с вершинами A(0;0), B(1;2), C(3;3), D(3;-1).

58. Вычислите криволинейный интеграл ∫L

xydl , где L – треугольник

ABC с вершинами A(-1;0), B(1;0), C(0;1).


102 102

Приложение А

Формулы дифференцирования

1. ( ) 0=!C

2. ( ) 1−=" αα αxx

3. ( ) 1=!x

4. 2

11xx

−="#$

%&'

(

5. ( )x

x21

=!

6. ( )ax

xa ln1

log⋅

="

7. ( )x

x1ln =!

8. ( ) aaa xx ln⋅="

9. ( ) xx ee =!

10. ( ) xx cossin =!

11. ( ) xx sincos −="

12. ( )x

x 2cos1

tg =!

13. ( )x

x 2sin1ctg −="

14. ( )21

1arcsinx

x−

="

15. ( )21

1arccos

xx

−−="

16. ( ) 211arctgx

x+

=!

17. ( ) 211arcctgx

x+

−="

18. ( ) xx chsh =!

19. ( ) xx shch =!

20. ( )x

x 2ch1th =!

21. ( )x

x 2sh1cth −="


103

Приложение Б

Формулы интегрирования

1. Cdx =⋅∫0 ; 2. Cxdx +=∫ ;

3. 1,1

1

−≠++

=∫+

αα

αα C

xdxx ; 4. Сx

xdx

+=∫ ln ;

5. ∫ += Cedxe xx ; 6. Caa

dxax

x +=∫ ln;

7. Cxxdx +−=∫ cossin ; 8. Cxxdx +=∫ sincos ;

9. ( ) Ctgx

dx x ++=∫ 42lncos

π ; 10. Cx

dx x +=∫ 2tglnsin

;

11. ∫ += Ctgxx

dx2cos

; 12. ∫ +−= Cxx

dx ctgsin2

;

13. ∫ +=−

Cxa

dxaxarcsin

22; 14. Cx

x

dx+=

−∫ arcsin1 2

;

15. Caxa

dxax +⋅=

+∫ arctg122

; 16. Cxxdx

+=+∫ arctg1 2

;

17. Caxax

aaxdx

++

−⋅=

−∫ ln21

22 ; 18. Caxxax

dx+±+=

±∫ 2

2ln .


104

Список рекомендуемой литературы 1. Берман, Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа:

учеб. пособие для вузов [Текст] / Г.Н. Берман. – 22-е изд., перераб. – CПб.:

Профессия, 2002. – 432 с.

2. Бермант, А.Ф. Курс математического анализа для втузов.

Дифференциальные уравнения. Ряды / А.Ф. Бермант. – Москва;

Ленинград: Государственное технико-теоретическое изд-во, 1941. – Ч. 2.

Функция нескольких переменных.– 357 с. ; То же [Электронный ресурс]. -

URL: http://biblioclub.ru/132696

3. Бутузов, В.Ф. Математический анализ в вопросах и задачах: учеб.

Пособие [Текст] / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А.

Шишкиш; под ред. В.Ф. Бутузова. – 5-е изд., испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ,

2002. – 480 с.

4 Виленкин, Н.Я. Задачник по курсу математического анализа. ч. 2:

учебное пособие [Текст] / Н.Я. Виленкин, К.А. Бохан и др. М.:

Просвещение, 1971. – 336 с.

5. Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения

по математическому анализу: пособие для университетов, пед. вузов: В 2

ч. [Текст] / Под ред. В.А. Садовничего. – 3-е изд., испр. – М.: Дрофа, 2001.

– 712 с.

6 Гурьянова, К.Н. Математический анализ: учебное пособие /

К.Н. Гурьянова, У.А. Алексеева, В.В. Бояршинов; Министерство

образования и науки Российской Федерации, Уральский федеральный

университет имени первого Президента России Б. Н. Ельцина. -

Екатеринбург: Издательство Уральского университета, 2014. – 332 с. -

ISBN 978-5-7996-1340-2; То же [Электронный ресурс]. – URL:

http://biblioclub.ru/275708


105

7. Данко, П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч.

Ч.1: учебное пособие для вузов [Текст] / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я.

Кожевникова. – 7-е изд., испр. – М.: Мир и Образование, 2012. – 368 с.

8. Дифференциальное и интегральное исчисление функций многих

переменных / . - Кемерово : Кемеровский государственный университет,

2012. - Ч. 2. - 108 с.; То же [Электронный ресурс]. – URL:


9. Егорова, И.А. Задачник-практикум по математическому анализу /

И.А. Егорова. - 2-е изд. - М.: Государственное учебно-педагогическое

издательство, 1962. - Ч. 3. Функции нескольких переменных. - 105 с. -

ISBN 978-5-4458-4469-3; То же [Электронный ресурс]. – URL:


10. Максименко, В.Н. Курс математического анализа: учебное пособие /

В.Н. Максименко, А.Г. Меграбов, Л.В. Павшок. - Новосибирск: НГТУ,

2011. – Ч. 2. – 411 с. – ISBN 978-5-7782-1746-1; То же [Электронный

ресурс]. – URL: http://biblioclub.ru/228792

11. Туганбаев, А.А. Функции нескольких переменных и кратные

интегралы: учебное пособие / А.А. Туганбаев. – 2-е изд., стереотип. – М.:

Флинта, 2011. – 66 с. – ISBN 978-5-9765-1308-2; То же [Электронный

ресурс]. – URL: http://biblioclub.ru/103834

12. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального

исчисления. ( В 3-х томах). – М.: Физматлит, 2003.

13. Хузиахметова, Р.Н. Теория функций нескольких переменных.

Дифференциальное и интегральное исчисление: учебное пособие /

Р.Н. Хузиахметова, Е.М. Романова, Д.Г. Субханкулова; Федеральное

агентство по образованию, ГОУ ВПО Казанский государственный

технологический университет. – Казань: КГТУ, 2008. – 106 с.: ил. –

Библиогр. в кн . – ISBN 978-5-7882-0681-3; То же [Электронный ресурс]. –

URL: http://biblioclub.ru/258962


Internet

теоретические сведения и типовые задания по разделу «дифференциальное и интегральное исчисление