А. Картан ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ

Эта книга, написанная выдающимся математиком Анри Кар-таном, содержит изложение его лекций по курсу «Математика II» в Парижском университете. В них входит дифференциальное исчисление, теория дифференциальных уравнений в банаховых пространствах, теория дифференциальных форм и построенная на ее основе теория многомерных интегралов, а также первоначальные сведения по вариационному исчислению и дифференциальной геометрии. Изложение элементарно, хотя и ведется на современном научном уровне.

Книга принесет большую пользу студентам и преподавателям высших учебных заведений (в том числе и технических), в которых читается расширенный курс математики.

Современная трактовка условий интегрируемости систем дифференциальных уравнений, вариационных задач, метода подвижного репера и дифференциальной геометрии кривых и поверхностей представит большой интерес для механиков, физиков и инженеров, использующих в своей работе математические методы.

Содержание Предисловие редактора перевода 5

ЧАСТЬ I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Глава 1. Дифференциальное исчисление в банаховых пространствах 8 1. Обзор основных понятий, относящихся к банаховым пространствам и непрерывным линейным отображениям 8

1.1. Норма на векторном пространстве E 8 1.2. Примеры банаховых пространств 10 1.3. Нормально сходящиеся ряды в банаховом пространстве 12 1.4. Непрерывные линейные отображения 13 1.5. Композиция непрерывных линейных отображений 15 1.6. Изоморфизм нормированных векторных пространств; эквивалентные нормы на нормированных векторных пространствах 16

1.7. Примеры пространств ),( FEL

));(;();,( GFEGFE LLL ≈

19 1.8. Полилинейные непрерывные отображения 23 1.9. Естественная изометрия 26

2. Дифференцируемые отображения 28 2.1. Определение дифференцируемого отображения 28 2.2. Производная сложной функции 31 2.3. Линейность операции дифференцирования 32 2.4. Производные некоторых функций частного вида 33

2.5. Функции со значениями в произведении банаховых пространств 37 2.6. Случай, когда U - открытое множество в произведении банаховых пространств 39

2.7. Объединение случаев, изученных в п. 2.5. и 2.6 41 2.8. Заключительное замечание: сравнение R-дифференцируемоcти и C-дифференцируемости 42

3. Теорема о конечных приращениях 43 3.1. Формулировка основной теоремы 43 3.2. Частные случаи основной теоремы 46 3.3. Теорема о конечных приращениях для функций, определенных на открытых множествах банахова пространства 46

3.4. Еще одна теорема о конечных приращениях 50 3.5. Упражнения 51 3.6. Первое приложение теоремы о конечных приращениях: сходимость последовательности дифференцируемых функций 52

3.7. Второе приложение теоремы о конечных приращениях: связь между частной дифференцируемостью и дифференцируемостью 54

3.8. Третье приложение теоремы о конечных приращениях: понятие строго дифференцируемой функции 57

4. Локальное обращение отображения класса C1 .Теорема о неявных функциях 58 4.1. Диффеоморфизмы класса C1 58 4.2. Теорема о локальном обращении 60 4.3. Доказательство теоремы о локальном обращении: сведения к частному случаю 61

4.4. Доказательство предложения 4.3.1 62 4.5. Доказательство теоремы 4.4.1 63 4.6. Теорема о локальном обращении в случае пространства конечной размерности 65

4.7. Теорема о неявных функциях 66 5. Производные высших порядков 69

5.1. Вторая производная 69 5.2. Случай, когда nEEE ××= ...1 72 5.3. Последовательные производные 75 5.4. Примеры n раз дифференцируемых функций 78 5.5. Формула Тейлора: частный случай 81 5.6. Формула Тейлора: общий случай 83

6. Полиномы 86 6.1. Однородные полиномы степени n 86 6.2. Полиномы, не обязательно однородные 89 6.3. Последовательные "разности" полиномов 91 6.4. Случай, когда E и F - нормированные векторные пространства 94

7. Ограниченные разложения 96 7.1. Определения 96 7.2. Случай, когда функция f дифференцируемая n раз в точке a 100 7.3. Операции над ограниченными разложениями 100 7.4. Композиция двух ограниченных разложений 101 7.5. Вычисление последовательных производных сложной функции 103

8. Локальные максимумы и минимумы 105 8.1. Первое необходимое условие для локального минимума 105 8.2. Условие второго порядка для локального минимума 106 8.3. Достаточное условие для строгого локального минимума 107

Упражнения 110 Глава 2. Дифференциальные уравнения 119 1. Основные теоремы и определения 119

1.1. Дифференциальное уравнение первого порядка 119 1.2. Дифференциальные уравнения n-го порядка 120 1.3. Приближенные решения 121 1.4. Пример: линейное дифференциальное уравнение 125 1.5. Случай, когда правая часть удовлетворяет условию Липшица; основная лемма 126

1.6. Применение основной леммы: теорема единственности 129 1.7. Теорема существования в случае, когда правая часть удовлетворяет условию Липшица 129

1.8. Случай, когда f локально удовлетворяет условию Липшица 131 1.9. Случай линейного дифференциального уравнения 134 1.10. Зависимость от начальных данных 135 1.11.Случай, когда дифференциальное уравнение зависит от параметра 137

2. Линейные дифференциальные уравнения 138 2.1. Общее решение 138 2.2. Линейное однородное уравнение 139 2.3. Случай, когда размерность пространства E конечна 141

2.4. Линейное уравнение "с правой частью" 143 2.5. Линейное однородное дифференциальное уравнение n-го порядка 145 2.6. Линейное дифференциальное уравнение n-го порядка "с правой частью" 148

2.7. Линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами 150

2.8. Уравнение с постоянными коэффициентами: случай, когда размерность пространства Е конечна 151

2.9. Линейное дифференциальное уравнение порядка n с постоянными коэффициентами 153

3. Различные вопросы 155 3.1. Однопараметрические группы линейных автоморфизмов 155 3.2. Образующая однопараметрической группы 157 3.3. Вопросы дифференцируемости 159 3.4. Вопросы дифференцируемости: дифференцируемость по начальному значению u 160

3.5. Доказательство теоремы 3.4.2 163 3.6. Дифференцируемость по параметру, от которого зависит правая часть дифференциального уравнения 165

3.7. Дифференцируемость высшего порядка 166 3.8. Дифференциальное уравнение второго порядка 167 3.9. Дифференциальные уравнения, не содержащие независимой переменной 169

3.10.Дифференциальные уравнения, "не разрешенные" относительно y' 173 4. Первые интегралы и линейные уравнения в частных производных 177

4.1. Определение первых интегралов дифференциальной системы 177 4.2. Существование первых интегралов 179 4.3. Неоднородное линейное уравнение в частных производных 181 4.4. Примеры 182

Упражнения 184 ЧАСТЬ II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ФОРМЫ. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ

ПРИМЕНЕНИЯ К ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ, ТЕОРИИ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕЙ

Глава 3. Дифференциальные формы 192 1. Знакопеременные полилинейные отображения 192

1.1. Определение знакопеременных полилинейных отображений 192

1.2. Группы перестановок 193 1.3. Свойства знакопеременных полилинейных отображений 194 1.4. Умножение знакопеременных полилинейных отображений 195 1.5. Свойства внешнего умножения 198 1.6. Внешнее произведение n линейных форм 201 1.7. Случай, когда пространство Е конечномерно 202

2. Дифференциальные формы 203 2.1. Определение дифференциальных форм 203 2.2. Операции над дифференциальными формами 204 2.3. Операция внешнего дифференцирования 206 2.4. Свойства операции внешнего дифференцирования 208 2.5. Основное свойство внешнего дифференцирования 210 2.6. Дифференциальные формы на конечномерном пространстве 211 2.7. Операции над дифференциальными формами в канонической записи 213 2.8. Замена переменных в дифференциальных формах 216 2.9. Свойства отображения ϕ* 218 2.10. Операция ϕ* в канонической записи 219 2.11. Транзитивность замены переменных 221 2.12. Условия, при которых дифференциальная форма имеет вид dα 222 2.13. Доказательство теоремы Пуанкаре 225

3. Криволинейный интеграл от дифференциальной формы первой степени 230 3.1. Пути класса C1 230 3.2. Криволинейный интеграл 231 3.3. Замена параметра 234 3.4. Случай, когда ω - дифференциал функции 235 3.5. Замкнутые дифференциальные формы первой степени 240 3.6. Примитивная от замкнутой формы вдоль пути 241 3.7. Гомотопия двух путей 244 3.8. Односвязные открытые множества 248

4. Интегрирование дифференциальных форм степени, большей 1 249 4.1. Дифференцируемое разбиение единицы 249 4.2. Компакт с краем в плоскости R2 254 4.3. Интеграл дифференциальной 2-формы по компакту с краем 257 4.4. Теорема Стокса на плоскости 259

4.5. Доказательство теоремы 4.4.1 (теоремы Стокса) 261 4.6. Замена переменных в двойном интеграле 265 4.7. Многообразия в пространстве Rn 270 4.8. Ориентация многообразия 275 4.9. Интегрирование дифференциальной 2-формы на двумерном ориентируемом компактном многообразии класса C2 276

4.10. n-кратные интегралы 280 4.11. Дифференциальные формы на многообразии M ⊂Rn 283 4.12. Элемент р-мерного объема на многообразии M размерности p (M⊂Rn) 284

5. Максимум и минимум числовой функции на многообразии 287 5.1. Условия первого порядка 288 5.2. Условия второго порядка 288

6. Теорема Фробениуса 290 6.1. Постановка задачи 290 6.2. Первая теорема существования 292 6.3. Вторая теорема существования 294 6.4. Завершение доказательства второй теоремы существования (теоремы 6.3.1) 295

6.5. Основная теорема 297 6.6. Интерпретации в терминах дифференциальных форм 298

Упражнения 302 Глава 4. Элементы вариационного исчисления 310 1. Постановка задачи 310

1.1. Пространство кривых класса C1 310 1.2. Функционал, определяемый кривой 311 1.3. Пример 314 1.4. Задача на минимум 314 1.5. Другой вид условий экстремума 316 1.6. Вычисление f '(ϕ)u для экстремалей 321

2. Изучение уравнения Эйлера. Существование экстремалей. Примеры 322 2.1. Уравнение Эйлера в случае E= Rn 322 2.2. Примеры 324 2.3. Уравнения Лагранжа в механике 326 2.4. Возвращение к общему случаю: случай, когда F (t, x, y) не зависит от 328

t 2.5. Случай, когда функция F(x, y) есть однородный полином второй степени от y 329

2.6. Геодезические кривые на многообразиях 331 2.7. Задачи на экстремум для кривых, лежащих на многообразии 334 2.8. Преобразование предыдущего условия 337

3. Двумерные задачи 339 3.1. Постановка задачи 339 3.2. Преобразование условия экстремума 341

Упражнения 344 Глава 5. Применение метода подвижного репера в теории кривых и поверхностей 350

1. Подвижный репер 350 1.1. Определение дифференциальных форм ωi и ωij 350

1.2. Соотношения, которым удовлетворяют формы ωi и ωij 352 1.3. Ортонормированные реперы 352 1.4. Репер Френе ориентированной кривой в R3 354 1.5. Репер Дарбу ориентированной кривой С, лежащей на ориентированной поверхности S в R3 356

1.6. Вычисление геодезической кривизны, нормальной кривизны и геодезического кручения 358

2. Трехпараметрическое семейство реперов, связанное с поверхностью в пространстве R3 360

2.1. Многообразие реперов ориентированной поверхности 360 2.2. Уравнения движения репера, связанного с ориентированной поверхностью 362

2.3. Элемент площади поверхности 364 2.4. Вторая основная квадратичная форма поверхности S 365 2.5. Вычисление нормальной кривизны и геодезического кручения в данном направлении 366

2.6. Главные направления. Линии кривизны 368 2.7. Дифференциальная форма геодезической кривизны 370 2.8. Использование поля реперов 371 2.9. Параллельный перенос вдоль кривой 372 2.10. Связь между полной кривизной и параллельным переносом 374

2.11. Вычисление полной кривизны поверхности с помощью первой основной формы 377

Упражнения 378 Предметный указатель 383

Предметный указатель Алгебра 20 - ассоциативная 20 - банахова 20 - градуированная 206 - полиномов 89 Аффинное линейное преобразование

351 Базис модуля 212 Банахово пространство 10 Билинейное непрерывное отображение

33 - отображение 20 Векторное поле 158, 230 Вихрь 230 Внешнее произведение

дифференциальных форм 205 - - линейных форм 201 - - отображений 197 Внешний дифференциал 207 Вполне интегрируемое уравнение 297,

302 Вронскиан 148 Вторая основная квадратичная форма

366 - производная 69, 75 - разность 92 - теорема существования 294 Выпуклое множество 47 Геодезическая кривая 332 - кривизна 357, 373 Геодезический треугольник 376 Геодезическое кручение 357 Геометрическая кривая 329 Гиперплоскость 110 Главная кривизна 369 Главные направления 369

Гомотопический класс цикла 248 Гомотопия 244 - с фиксированным началом и концом

244 Гомотопные пути 244 - циклы 247 Грина—Римана формула 259 Группа ортогональная 352 - перестановок 193 Дважды непрерывно

дифференцируемое отображение 69

Двойной интеграл 339 Действительное векторное

пространство 8 Деформация непрерывная 244 Дивергенция 230 Дискриминант квадратичной формы

108 C1 диффеоморфизм, 1, 58 Диффеоморфизм, изменяющий

ориентацию 234, 266 - класса C1 58 - обращающий ориентацию 234, 266 - сохраняющий ориентацию 234, 266 Дифференциал 351 - внешний 207 Дифференциальная p-форма 204 - форма геодезической кривизны 370 - - на поверхности 363 - - первой степени замкнутая 240 - - - - со скалярными значениями 352 - - степени p 204 Дифференциальное уравнение второго

порядка 167 - - линейное 125

- - однородное 138 - - - линейное 139 - - первого порядка 119 - - n-го порядка 120 Дифференцируемое разбиение

единицы 249 C-дифференцируемость 42 R-дифференцируемость 42 Длина ломаной линии 50 - отрезка 50 Евклидово движение 352 - - собственное 258 Единичный вектор, нормальный к

многообразию 286 Естественная изометрия 19, 26 Замена переменных в двойном

интеграле 265 - - - дифференциальной форме 216 Замена переменных в n-кратном

интеграле 281 Замкнутая дифференциальная форма

первой степени 240 Звездное множество 222 Знакопеременная полилинейная

функция 283 Знакопеременное p-линейное

отображение 192 - отображение 192 Изометрия 16 - естественная 19 Изоморфизм 16 Интеграл действия 327 - дифференциальной формы, 2, 257 - n-кратный 280 - особый 175 - первый 177 Интегральная кривая 175 Интегрирование дифференциальной

формы, 2, 276 Каноническая запись внешнего

дифференциала 214 - - дифференциальной формы 212, 213 Каноническое поднятие кривой 371

Касательное пространство к многообразию 273

Квадрат дифференциальной формы 364

Квадратичная форма 106 - - невырожденная 108 - - положительно определенная 106 Компакт с краем 255, 339 - - - класса C1, 279, 280 Комплексное векторное пространство

8 Композиция двух ограниченных

разложений 101 Конец пути 49 Кососимметрическое полилинейное

отображение 195 Кривая геодезическая 332 - класса C1, 254 - - C1, 272 Кривизна кривой 355 - нормального сечения 360 Криволинейный интеграл 232 Критерий продолжаемости решения

134 Кручение кривой 355 Кусочно гладкая кривая класса C1, 255 - гладкий путь класса C1, 255 - непрерывная функция 233 Лагранжа уравнение 176, 328 Лемма о дифференцировании под

знаком интеграла 223 Линейная непрерывная форма 19 Линейное дифференциальное

уравнение первого порядка 125 - - - порядка n с постоянными

коэффициентами 153 - - - - - с правой частью 148 - - - с постоянными коэффициентами

150 - однородное уравнение первого

порядка в частных производных 178

Линейно зависимые решения 139 Линия кривизны 369

Липшица k-условие 47 Локально постоянная функция 48 Локальный максимум 105 - - строгий 105 - минимум 105, 288 - - строгий 105, 288 - - функционала 335 Ломаная линия 49 Ломаный цикл 237 Максимальное решение 133, 135 p-мерное многообразие класса Ck 272 Метод вариации постоянных 143 - подвижного репера 350 Метрическое пространство 9 - - полное 10 Минимальная поверхность 343 Модуль над кольцом 212 Наложение разбиений 231 Начало пути 49 - репера 350 Неоднородное линейное уравнение в

частных производных 181 Непрерывная деформация 244 Непрерывно дифференцируемое

отображение 30 Непрерывный полином 94 Неравенство Шварца 106 Норма 8 - кривой класса C1 310 Нормальная кривизна 357, 365 Нормально сходящийся ряд 12 Нормированное векторное

пространство 8 Носитель 249 Область существования решения 160 Образующая однопараметрической

группы 159 Огибающая 176 Ограниченная функция 10 Ограниченное отображение 11 - разложение порядка и для функции в

точке 97, 103 Однопараметрическая аддитивная

группа 157

Однородная компонента степени i 93 Однородное полиномиальное

отображение степени n 87 Омбилическая точка 368 Операция внешнего

дифференцирования 206 Определитель 65 Орбита группы 362 Ориентация края 255 - многообразия 275, 280 Ориентированная поверхность класса

Ck 361 Ориентируемое многообразие 275 Ортонормированный базис 352 - репер 352 Особый интеграл 175 Остроградского формула 283 Открытое множество 9 Отношение эквивалентности 28, 57, 97 Отображение бесконечно

дифференцируемое 76 - билинейное 20 - дважды дифференцируемое в точке

69 - - - на множестве 69 - - непрерывно дифференцируемое 69 - дифференцируемое в точке 29 - - на множестве 30 - знакопеременное 192 - имеющее касания n-го порядка к

нулевому отображению 96 - касательное к нулевому отображению

в точке 28 - n-касательное к нулевому

отображению 96 - непрерывно дифференцируемое 30 - полилинейное 23 - принадлежащее к классу C1 30 - - - - C2 69 - - - - Cn 76 - - - - C 76 ∞

- n раз дифференцируемое в точке 76 - - - - на множестве 76 - симметрическое 77

- строго дифференцируемое 57 - - касающееся другого отображения в

точке 57 - - - нулевого отображения в точке 57 Отображения касательные в точке 28 Отрезок 47 - полинома порядка p 99 Параллельный перенос вектора вдоль

кривой 374 Параметризация p-мерного

многообразия класса Ck в окрестности точки 273

- множества в окрестности точки 271 Параметризованная кривая 329 Первая основная квадратичная форма

364 - теорема существования 292 Первый интеграл 177, 179, 298 Поверхность класса Ck 272 Подвижный репер 351 Поле векторов, параллельных вдоль

кривой 373 - действительных чисел R 8 - комплексных чисел С 8 - реперов 371 Полилинейное отображение 23 - непрерывное отображение 23 Полином непрерывный 94 - однородный степени n 86 Полная кривизна 370 Полное метрическое пространство 10 Положительно определенная

квадратичная форма 106 Последовательность Коши 9 Последовательные производные

сложной функции 103 - "разности" полиномов 91 Предел последовательности 9 ε-приближенное решение

дифференциального уравнения 121

Примитивная функция 237 - - замкнутой формы вдоль пути 241 - - - - относительно отображения 245

Принципы наименьшего действия 327 Производная левая 44 - правая 44 - сложной функции 31, 78 Производное отображение 29, 30 Пространство кривых класса C1 310 Прямое движение 354 Прямой репер 275, 354 Прямоугольник K-специальный 260 Псевдорешение дифференциального

уравнения 292 Пуанкаре теорема 222, 225, 227, 267 Путь 49 - класса C1 231 - кусочно гладкий класса C1 231 - получающийся заменой параметра

234 Разбиение единицы

дифференцируемое 249 - пространства 50 Ранг отображения класса C1 271 Расслоенное пространство 361 Расстояние 9, 51 Регулярная точка кривой 255 Резольвента 140, 150 Резольвентное ядро 140 Репер аффинный 350 - Дарбу 356 - Френе 354 Решение дифференциального

уравнения 119, 290 - максимальное 133, 135 - точное 135 Ротация 230 Ротор 230 Ряд нормально сходящийся 12 Свертка 269 Связная компонента 50 Связное множество 47 - топологическое пространство 361 Сжатие 62 Сигнатура перестановки 193 Симметрическая функция 77

Симметрическое p-линейное отображение 192

- отображение 77 Система характеристическая 178 След матрицы 142 Слой 361 Собственное евклидово движение 258 - значение 152 Сопряженное пространство

алгебраическое 19 - - топологическое 19 Сохраняющий ориентацию

диффеоморфизм 266 Средняя кривизна поверхности 368 Строгий локальный максимум 105 - - минимум 105, 288 Сумма отображений 33 Существование первого интеграла 179 Сферический треугольник 376 Теорема Банаха 16 - единственности 129, 159 - о глобальной единственности 132 - - глобальном существовании 134 - - замене переменных 281 - - конечных приращениях 43, 113 - - локальном обращении 60, 65 - - существовании 131 - - - неявных функциях 66 - Пуанкаре 222, 225, 227, 267 - Стокса 259, 261, 279 - существования 129 - Фробениуса 290 - Шварца 75 Топологическое пространство 9 - - односвязное 248 - - связное 47 - - сопряженное 19 Топология отделимая 9 - произведения 10, 34 Траектория 169 Транспозиция 193 Угловая точка кривой 255 Умножение знакопеременных

полилинейных отображений 195

- ограниченных разложений 101 - однородных полиномов 88 Уравнение в полных дифференциалах

291 - движения репера 362 - Клеро 175 - конуса с вершиной в начале

координат 183 - Эйлера 317, 322 Условие дифференцируемости

решения 162 k-условие Липшица 47 - полной интегрируемости 299, 300 - Фробениуса 302 Форма, индуцирующая нулевую форму

на многообразии 274 - квадратичная 106 Формула Раусса—Боне 377 - Грина—Римана 259 - замены переменных 266 - Остроградского 283 - Стокса 282 - Тейлора 83 Функционал, определяемый кривой

311 Функция кусочно гладкая класса C1

122 - локально удовлетворяющая условию

Липшица 131 Характеристическая система 178 Характеристическое уравнение 151 Цикл 237 - ломаный 237 Частная производная 40 Эквивалентные нормы 17 Экстремаль 316, 337, 340 Экстремум функции 316 Элемент длины кривой 287 - мерного, объема, 2, 286 - р-мерного объема 285 - площади 28, 343, 364 Якобиан 65, 265