第五章 统计原理 §5.1 数理统计的基本概念

5.1.1 总体和样本 在实际中，我们把研究对象的全体组成的集合称为

总体；组成总体的每一个元素称为个体；总体的一个子集称为样本。

在数学上，我们把随机变量 X 称为总体，并把随机变量 X 的概率分布称为总体分布；把相互独立且与总体 X 同分布的随机变量（ X1 ， X2 ，…， Xn ）称为来自总体 X 的一个简单随机样本； n 称为样本容量；把样本（ X1 ， X2 ，…， Xn ）的每一个具体值

（ x1 ， x2 ，…， xn ）称为样本（ X1 ， X2 ，…， X

n ）的一组样本观测值或样本实现。5.1.2 统计量 设（ X1 ， X2 ，…， Xn ）是来自总体 X 的一个简单

随机样本，称样本的函数 T=g （ X1 ， X2 ，…， X

n ）为统计量，如果它不依赖于任何未知参数。统计量的具体值亦称做统计量的实现。

几个常用的统计量：1 、样本均值

n

iiX

nX

1

1

2 、样本方差

3 、样本标准差

4 、样本 k 阶原点矩

n

ii XX

nS

1

22 )(1

1

n

ii XX

nS

1

2)(1

1

n

i

kik X

na

1

1

5 、样本 k 阶中心矩

6 、顺序统计量 最小统计量

最大统计量

极差

n

i

kik XX

n 1

)(1

},,,min{ 21)1( nXXXX

},,,max{ 21)( nn XXXX

)1()( XXR n

例 1 设假设总体 X 服从参数为 p （ 0<p<1 ）的 0-1

分布， p 未知。（ X1 ， X2 ，…， X5 ）是来自 X

的简单随机样本。

（ 1 ）指出 X1+X3 ， min （ X1 ， X2 ，…， X5 ）， X

5+2p （ X5 -X2 ）， X2-EX4 ，（ X3-X5 ） 2 ，中哪些是统计量，哪些不是统计量 ？

（ 2 ）如果（ 0 ， 1 ， 0 ， 1 ， 1 ）是一个样本值，求样本均值和样本方差 。

例 2 设一个样本由六个 6 ，七个 7 ，八个 8 ，九个9 和十个 10 组成．求样本容量，样本均值、样本方差和样本极差。

例 3 设某地区抽样调查 200 个居民家庭，得到月支出的统计资料如下：

月支出（千元） 1~2 2~3 3~4 4~5 5~6 6~7 7~8

家庭数 18 35 76 24 19 14 14

求样本均值和样本方差近似值。5.1.3 经验分布函数 对于任意实数 x ，设 μn 表示样本（ X1 ， X2 ，…，

Xn ）的 n 个观察值中不大于 x 的观察值的个数，则 μn 表示在对总体 X 的 n 次独立重复观测中，事件 {X≤x} 出现的次数。因此在对总体 X 的 n 次独立重复观测中，事件 {X≤x} 出现的频率

n

xxF n

n

)()(

称为总体 X 的经验分布函数或样本分布函数 。 对于给定的样本值（ x1 ， x2 ，…， xn ），经验分布

函数具有分布函数的一切性质，经验分布函数也是一个阶梯型的函数；经验分布函数依概率收敛于总体的分布函数。

经验分布函数依概率收敛于总体的分布函数这个结论，为进行统计推断提供了依据。

例 4 根据例 1 （ 2 ）和例 2 中的数据，分别求其经验分布函数。

§5.2 抽样分布5.2.1 χ2 分布设（ X1 ， X2 ，…， Xn ）是来自正态总体 N （ 0 ，

1 ）的样本，称统计量 χ2 =X1

2+X22+…+Xn

2

服从自由度为 n 的 χ2 分布，记为 χ2 ~ χ2 （ n ）。χ2 分布上 α 分位点：对于给定的 α （ 0<α<1 ），称满

足条件

为 χ2 （ n ）分布的上 α 分位点。

)}(P{ 22 n

5.2.2 t 分布 随机变量 X~N （ 0 ， 1 ）， Y~χ2 （ n ），且 X 和 Y 相

互独立，则称随机变量

服从自由度为 n 的 t 分布，记为 T~t （ n ）。t 分布上 α 分位点：对于给定的 α （ 0<α<1 ），称满足

条件

为 t （ n ）分布的上 α 分位点。

nY

XT

)}(P{ ntt

5.2.3 正态总体的抽样分布 设（ X1 ， X2 ，…， Xn ）是来自正态总体 N （ μ ， σ

2 ）的一个样本，则（ 1 ）样本均值 （ 2 ）随机变量

（ 3 ）样本均值和样本方差相互独立（ 4 ）随机变量

),(~ nNX 2

)1(~)(1)1( 2

1

222

22

nXXSn n

ii

)1(~

ntnS

XT

例 5 设总体 X 服从 N （ 0 ， 0.32 ），（ X1 ， X2 ，…，X10 ）是来自 X 的一个容量为 10 的样本，求概率

例 6 假设一种电子元件的使用寿命 X （小时）服从正态分布 N （ 3000 ， 8002 ）。一名顾客购买了 50 个元件，试求这 50 个元件的平均使用寿命超过 3250的概率。

}44.1P{10

1

2

i

iX

§5.3 参数估计5.3.1 统计估计的概念 在统计中，估计既表示由样本特征求总体特征的过

程，也表示由样本求得的总体特征的估计值。 一、参数估计和非参数估计 可以用有限个参数表示的估计问题，统称为参数估

计，否则称为非参数估计。二、参数估计的方法 参数估计有两种基本类型：点估计和区间估计。

点估计，也称“定值估计”，既可以指用统计量的值做为未知参数的估计值，也可以指用来估计未知参数的统计量。

区间估计是指根据估计可靠程度的要求，由样本确定总体参数的一个区间范围。

5.3.2 参数的点估计 最常用的点估计方法：矩估计法和极大似然估计法。一、矩估计法 矩估计法是用样本矩来估计总体矩，用样本矩的函数

来估计总体矩的相应函数的一种估计方法。

例 7 设总体 X 服从参数为 λ 的指数分布，其中 λ未知。（ X1 ， X2 ，， Xn ）是来自 X 的简单随机样本，求 λ的矩估计量 。

例 8 设 X 为任意总体， EX =μ ， DX =σ2 ＞ 0 存在，但未知。（ X1 ， X2 ，， Xn ）是来自总体 X 的简单随机样本，求 μ 和 σ2 的矩估计量。

二、极大似然估计法 设总体 X 的概率密度为 f （ x,θ ）（当 X 为离散型时，

f （ x,θ ） =P{X=x} ，即为概率分布），其中 θ 为待估参数。设（ x1 ， x2 ，， xn ）为样本（ X1 ， X

2 ，， Xn ）的一组观测值，称

为似然函数 。 对于给定的样本观测值（ x1 ， x2 ，， xn ），使

似然函数 L （ θ ）达到最大值的参数值 ，称为未知参数 θ 的极大似然估计值，相应的统计量称为未知参数 θ 的极大似然估计量。

极大似然估计量，可以用微积分中求函数的极大值的方法来求．不过，这里求的不是函数的极大值，而求是函数的极大值点。

n

iin xfxxxL L

121 );();,,,()(

由于 lnx 是 x 的严格单增函数，因此 L(θ) 和 ln L(θ) 在同一处取极大值，因此我们也称 ln L(θ) 为似然函数。

求极大似然的一般步骤：（ 1 ）由总体分布写出似然函数 L(θ) 和 ln L(θ) ；（ 2 ）求似然函数关于 θ 的导数：

如果分布含有多个未知参数（ θ1 ， θ2 ，…， θr ），这时似然函数就是这些未知参数的函数，由方程组

0d

)(lnd

L

（ 3 ）解上述方程可以得到参数 θ 的极大似然估计。例 9 设总体 X 服从参数为（ 1/θ ）的指数分布，求

参数 θ 的极大似然估计量。若有一组样本值 340 ，410 ， 450 ， 520 ， 620 ， 190 ， 210 ， 800 ， 270 ， 500 ，求 θ 的极大似然估计值。

0)(ln

0)(ln

1

r

L

L

例 10 设总体 X 服从参数为 p 的 0-1 分布，求参数 p的极大似然估计量。

若从一大批产品中，用还原方法抽取了 50 件产品，发现其中有 2 件是次品，求 p 的极大似然估计值。

例 11 假设总体 X～ N （ μ ， σ2 ）， μ 与 σ2都未知．试根据来自 X 的简单随机样本（ X1 ， X2 ，， X

n ），求 μ 与 σ2 的极大似然估计量。

三、评价估计量的标准1 、无偏性 设 是未知参数 θ的估计量，如果 E =θ ，则称 是

θ 的无偏估计量。例 12 设 X 为任意总体， EX =μ ， DX = σ2 存在。（ X

1 ， X2 ，， Xn ）是来自总体 X 的简单随机样本，证明（ 1 ）样本均值是 μ 的无偏估计量；（ 2 ）样本方差是 σ2 的无偏估计量。

2 、有效性 设 与 为未知参数 θ的两个无偏估计量，如果

D <D

则称 是比 有效的估计量。在未知参数的任意两个无偏估计中，显然应该选更有效

的，即方差较小的。3 、一致性设 为未知参数 θ 的估计量，如果 依概率收敛于 θ ，

则称 是 θ 的一致估计量。

1 2

12

1 2

例 13 设 X 为任意总体，其 k 阶原点矩 ak= EXk （ k ＞0 ）存在。设（ X1 ， X2 ，， Xn ）是来自总体 X

的简单随机样本，证明样本 k 阶原点矩 是总体 k 阶原点矩 ak 的无偏与一致估计量。

5.3.3 正态总体参数的区间估计一、区间估计的概念 未知参数 θ的区间估计，也称置信区间，是以统计

量为端点，以充分大的概率包含未知参数 θ值的随机区间。

n

i

kik X

na

1

1

设 θ 是总体 X 的未知参数，（ X1 ， X2 ，， Xn ）是来自总体 X 的简单随机样本。对给定的数 α （ 0＜ α＜ 1 ），如果存在两个统计量 和 ，满足

则称（随机）区间 称为参数 θ的区间估计或置信区间，称概率 1-α为置信区间的置信度（水平）。

二、一个正态均值 μ的置信区间1 、 总体方差 σ2已知 均值的 1-α为置信区间为

1 2

1}ˆˆ{P 21

)ˆ,ˆ( 21

其中 uα/2 为标准正态分布双侧分位数。例 14 某企业生产的滚珠直径 X 服从 N （ μ， 0.000

6 ）。现从产品中随机抽取 6颗进行检测，得到它们的平均值为 1.495cm ，标准差为 0.0226cm 。试求滚珠平均直径的置信水平为 0.95 的置信区间。

置信区间的长度 l 为

)( 2/2/n

uXn

uX

，

nul

22/

2 、总体方差 σ2 未知 均值的 1-α为置信区间为

其中 tα/2 （ n-1 ）为 t （ n-1 ）分布双侧分位数。例 15 在例 14 中若总体方差未知，试求滚珠平均直径的置信水平为 0.95 的置信区间。

三、一个总体方差 σ2 的置信区间 总体方差 σ2 的 1-α置信区间为

))1()1(( 2/2/n

SntX

n

SntX ，

其中 是是自由度为 ν 的 χ2 分布水平 p 的上侧分位数。

标准差的 1-α置信区间为

)1(

)1(,

)1(

)1(2

2/1

2

22/

2

n

Sn

n

Sn

2 ,p

)1(

)1(,

)1(

)1(2

2/1

2

22/

2

n

Sn

n

Sn

例 16 从自动车床加工的一批零件中随机抽取了 16件，测得零件长度的平均值为 2.125cm ，标准差为 0.017cm 。假设零件的长度服从正态分布，求零件长度标准差的 0.95置信区间。

§5.4 假设检验一、假设检验的基本概念 1 、统计假设的概念 统计假设是关于总体参数或数字特征、总体的分布

以及两个或两个以上总体之间的关系的一切论断或命题，简称假设。通常用字母“ H” 表示假设。

2 、统计假设的基本类型 （ 1 ）参数假设与非参数假设 可以用有限个参数表示的统计假设称为参数假设，

否则称为非参数假设。（ 2 ）原假设与备择假设 两个二者必居其一的假设，其中一个称做原假设，习惯上记为 H0 ；而另一个称做备择假设，习惯上记为 H1 。原假设也称为零假设；备择假设也称为对立假设。

3 、统计假设的检验

统计假设的检验，简称假设检验，是指按照一定规则即检验准则，根据样本来判断所作假设的真伪，以决定接受还是否定假设。

（ 1 ）检验准则 检验准则，简称为检验，指接受还是否定假设所

依据的规则。检验准则通常用原假设的否定域来表示。

否定域亦称拒绝域或临界域，假设 H0 的否定域是样本空间的一个区域 V ，当样本值落入区域 V 时，否定假设 H0 。

（ 2 ）假设检验的理论依据 小概率原则。所谓小概率原则，就是根据具体问

题的要求，指定一个可以认为“充分小”的数 α（ 0<α<1 ），并且把概率不大于 α的事件认为是“实际不可能事件”，即认为这样的事件在一次试验或观测中实际上不会出现。

4 、假设检验的基本步骤（ 1 ）根据实际问题的要求提出原假设 H0 和备择假

设 H1 ，并且在作出最后的判断之前，将始终在假设 H0 成立的假定下进行分析；

（ 2 ）构造适当的检验统计量 J ，在假设 H0成立下，其分布已知；

（ 3）对给定的水平（ 0< <1），确定否定域 V ；（ 4）根据检验统计量 J 的观察值，作出统计决策。5、假设检验的两类错误 否定了本来真实的假设，称为第一类（弃真）错误，犯这类错误的概率记为 ；

接受了本来错误的假设，称为第二类（存伪）错误，犯这类错误的概率记为 β。

二、一个总体参数的假设检验 1 、一个总体均值的假设检验 （ 1 ）正态总体，方差 σ2已知

n

XU

/0

n

XU

/0

n

XU

/0

2/uu

双侧检验 上侧检验 下侧检验

假设 H0： μ=μ0

H1 ： μ≠μ0

H0 ： μ≤μ0

H1 ： μ ＞ μ0

H0 ： μ≥μ0

H1 ： μ＜ μ0

检验统计量

拒绝域 u ＞ uα u ＜ -uα

例 17 味精厂用一台包装机自动包装味精，包得的袋装味精重量服从 N （ μ ， 0.0152 ）。当机器正常时，其均值为 0.5kg 。某日开工后随机地抽取9袋味精，称得平均重量为 0.511kg ，问在显著性水平 0.05 下，这台包装机是否正常？

（ 2 ）正态总体，方差 σ2 未知

nS

XT

/0

nS

XT

/0

nS

XT

/0

)1(2/ ntt

双侧检验 上侧检验 下侧检验

假设 H0： μ=μ0

H1 ： μ≠μ0

H0 ： μ≤μ0

H1 ： μ ＞ μ0

H0 ： μ≥μ0

H1 ： μ＜ μ0

检验统计量

拒绝域 t ＞ tα(n-1) t ＜ - tα(n-1)

例 18 某厂生产的螺杆直径服从正态分布 N （ μ ， σ2 ）。现从中抽取 5 件，测得平均直径为 21.8mm ，标准差为 0.367mm 。若 σ2 未知，在显著性水平 0.05 下，检验假设 H0 ： μ=21 是否成立。

例 19 用某种农药施入农田种防治病虫害，经过三个月后，如果土壤中的浓度不低于 5ppm ，认为仍有残效。在一块已施药的农田中随机抽取 10 个土样进行分析，其浓度的平均值为 4.08ppm ，标准差为 1.80ppm 。假设土壤残余农药的浓度服从正态分布，在显著性水平 0.05 下，问该农药经过三个月后是否仍有残效？

（ 3 ）总体分布未知，但大样本情形

nS

XT

/0

nS

XT

/0

nS

XT

/0

2/ut

双侧检验 上侧检验 下侧检验

假设 H0： μ=μ0

H1 ： μ≠μ0

H0 ： μ≤μ0

H1 ： μ ＞ μ0

H0 ： μ≥μ0

H1 ： μ＜ μ0

检验统计量

拒绝域 t ＞ uα t ＜ - uα

例 20 某厂生产的一种型号的电阻元件其平均电阻一直保持在 2.64欧姆。改变生产工艺后，测得所生产的 100 个元件的平均电阻为 2.62欧姆，标准差为 0.06欧姆，在显著性水平 0.01 下，问新工艺对该电阻元件的生产有无显著影响？

2 、一个正态总体方差 σ2 的假设检验（自由度为 n-1 ）

双侧检验 上侧检验 下侧检验

假设 H0： σ=σ0

H1 ： σ≠σ0

H0 ： σ≤σ0

H1 ： σ ＞ σ0

H0 ： σ≥σ0

H1 ： σ＜ σ0

检验统计量

拒绝域2

21

2

2

12

20

22 )1(

Sn

20

22 )1(

Sn

2

2

2 或 22

20

22 )1(

Sn

例 21 设某厂生产的产品服从 N （ μ ， 0.0482 ）。今任取 5 件进行检测，得到其平均值为 1.414 ，方差为 0.00778 。问在显著性水平 0.1 下，能否认为总体的方差没有显著变化？

3 、一个总体比率的假设检验（大样本）

)1( 00

0

pnp

npU n

)1( 00

0

pnp

npU n

)1( 00

0

pnp

npU n

2/uu

双侧检验 上侧检验 下侧检验

假设 H0： p=p0

H1 ： p≠p0

H0 ： p≤p0

H1 ： p ＞ p0

H0 ： p≥p0

H1 ： p＜ p0

检验统计量

拒绝域 u ＞ uα u ＜ - uα

例 22 某厂生产了一批产品，按规定次品率不超过 0.05才能出厂，否则不能出厂。现从产品中随机抽取 50 件进行检查，发现有 4 件次品，问在显著性水平 0.05 下，该批产品能否出厂？