תורת המספרים : מבוא לתורת המספרים 1 פרק

מבואI ) חוגים

תכונותא( חיבור:(1

(i):שייכות

(ii):אסוציאטיביות

(iii):קומטטיביות

כפל:(2(i):שייכות

(ii):אסוציאטיביות

(iii):קיום איבר היחידה

דוגמאות חשובותב(1)Z

2)(i):תכונות בסיסיות

:יחידות ההצגה

(ii):פונקציות חשובות :צמוד

:הגדרת הפונקציה

:תכונות חשובות :סגירות בחיבור

:סגירות בכפל

:זהות

:חח"עיות

©Noy Soffer 2012

:נורמה :הגדרת הפונקציה

:תכונות חשובות :סגירות בכפל

:חח"עיות

:שימוש בנורמה כדי להוכיח זהות

II ) איברים הפיכים בחבורה A הגדרה:א(

*: A תכונות של ב( חבורה כפלית(1 סגורה ביחס ללקיחת הופכי(2

יחס חלוקה ופריקותI ) יחס החלוקה

הגדרהא(

דוגמאות פשוטות של חלוקהב( כל איבר מחלק את עצמו:(1

: 0 כל איבר מחלק את (2

מחלק את כולם: 1(3

כל האיברים ההפיכים מחלקים את כולם:(4

תכונות של חלוקהג( טרנסיטיביות:(1

סגירות בכפל:(2

סגירות בחיבור:(3

הפיכות:(4

©Noy Soffer 2012

II ) פריקות הגדרות בסיסיות:א(

מספרים חברים:(1

מספר אי פריק:(2

מספר ראשוני:(3

משפטים:ב( איבר ראשוני הוא אי פריק(1

הצגה של איבר כמכפלת אי פריקים בחוג השלמים )או המרוכבים((2(i):קיום ההצגה

(ii):ההצגה יחידה )תחום פריקות יחיד( אם ורק אם ראשוני=אי פריק

III ) חלוקה עם שארית ומחלקים משותפים משפט החלוקה עם שארית:א(

מחלק משותף:ב( הגדרת המחלק המשותף המקסימלי:(1

מספרים זרים:(2

: a,b כצירוף לינארי של gcd משפט: הצגת (3

(i):המשפט

(ii):מסקנות

כל מחלק משותף מחלק את gcd(a,b) :

מחלק משותף שמתחלק בכל המחלקים של a,b -הוא ה gcd :

-כל מספר אי פריק ב Z -( 2.2.2 הוא ראשוני )נא לעיין ב

: gcd אלגוריתמים למציאת (4

(i):האלגוריתם של אוקלדיס :שלב ראשון

שלב i :

©Noy Soffer 2012

:הפסקת הלולאה

אזי:

(ii):לפי פירוק לראשוניים

נפרק את a -ו b :לגורמים ראשוניים

:אזי

IV ) ראשוניים הגדרה וטענות בסיסיותא(

הגדרת המספר הראשוני:(1

טענה לגבי עוצמת המספרים הראשוניים:(2

|P|=ℵ 0 שימושים בהוכחה של משפט זה:(3

(i):)משפט דיריכלה )ללא הוכחה

∀ {an}n=0∞ ≔ {a+bn: n∈ N } gcd (a ,b )=1⟺∨P ∩ {an }n=0

∞ ∨¿ℵ 0 משפט המספרים הראשוניים:(4

limx→ ∞

¿ { p∈P : p≤ x }∨ ¿x

ln (x )

=1¿

מיון מספרים ראשונייםב( מספרי פרמה:(1

(i):הגדרה

Fn=22n

+1(ii):טענה פשוטה

∀n ,m∈N gcd ( Fn , Fm )=1(iii):טענת גאוס

כל הצורות הגיאומטריות שניתנות לבנייה ע"י מחוגה ברדיוס קבוע וסרגל בלבד, הן

∏2nמצולעים משוכללים בעלי i∈ I

(22i

צלעות.(1+

מספרי מרסן:(2(i):הגדרה

M n=2p−1: p∈P

(ii):קשר בין מספרי מרסן ומספרים מושלמים :מספר מושלם

©Noy Soffer 2012

:הגדרה לפי מחלקים

n∈N :n= ∑d<n :d∨n

d

:פונקציה סכימת מחלקים :הגדרה

σ (n )=∑d∨n

d

:תכונות מספר ראושני:○

n∈N⟺σ (n )=n+1 מספר מושלם:○

nמושלם⟺σ (n )=2n:טענת אוקלדיס

∀ p∈ P: 2p−1∈P (2p−1 )(2¿¿ p−1)מושלם¿:טענת אוילר

∀n :σ (n )=2n ,∃! p∈P : n=M p (M p+1)

2

משוואות דיופנטיות: שלשות פיתגוריותI ) רעיון: מציאת שלשות פיתגוריות

מטרה:א(

{ (x , y , z )∈Z : [ gcd (x , y )=gcd ( y , z )=gcd ( x , z )=1 ]∧ [ x2+ y2=z2 ]} שיטה:ב(

הבחנה:(1פתרון המשוואה הנ"ל שקול לפתרון המשוואה:

( xz)2

+( yz)2

=1

לכן:(2נמצא את כל הנקודות הרציונליות על מעגל היחידה.

II ) מציאת נקודות רציונליות על מעגל היחידה טענה:א(

(0 , t )∈Q⟺ (a ,b )∈Q

לאחר פיתוחים:ב( צורה כללית:(1

Q ∩ {( x , y ): x2+ y2=1}={( t 2−1t 2+1

,2t

t2+1 ) : t∈Q}

צורה שלמה:(2

©Noy Soffer 2012

Q ∩ {( x , y ): x2+ y2=1}={( u2−v2

u+v2,2uv

u2+v2 ) :u , v∈Z }

(i) :מקרה ראשון u,v :אי זוגיים

x=u2−v2

2; y=uv ; z=u2+v2

2(ii) :מקרה שני u -זוגי ו v :)אי זוגי )או ההפך

x=u2−v2 ; y=2uv; z=u2+v2

ייצוג לפי בסיסI ) הקדמה ותכונות בסיסיות

b ייצוג של מפסר לפי בסיס א( טבעי.n טבעי, ו-b≥2יהי

נניח כי:

n=∑i=0

k

ai bi :∀ i∈ [0 ,k ] :a i∈ ¿

אזי:

n=(a¿¿k ak−1……a1a0)b ¿ תכונה פשוטה: קיום ויחידות ההצגה:ב(

∀b∈ [2 ,∞ )∩ N , ∀n∈N ,∃!k∈N ,∃! {ai }i=0k ⊆ [0 , b ) :n=∑

i=0

k

ai bi

II ) אלגוריתם למציאת ייצוג של מספר לפי בסיס סימונים:א(

q−1=n

: i שלב ב(q i−1=qi b+ai

סיום הלולאה:ג(

qk−1=0 (b )+ak

ייצוג:ד(

n=(a¿¿k ak−1……a1a0)b ¿III ) מספר הספרות

סימון:א(

lb(n) טענות:ב(

הערכת אורך:(1

lb (n )=¿ הערכה של אורך של סכום ספרות:(2

max {l b (n ) , lb (m ) }≤ lb (n+m ) ≤max {lb ( n ) ,lb (m ) }+1

: קונגרואנציות 2 פרק מבוא

©Noy Soffer 2012

I ) הגדרה

a≡ b (mod n )⟺n∨(b−a)II ) תכונות בסיסיות

יחס שקילות:א( קונגרואנציה היא יחס שקילות(1 מחלקות שקילות:(2

∀a∈Z ( a ,≡n )={a+nZ }={a+nr :r∈Z } : n חשבון מודולו ב(

חיבור:(1

∀a ,b∈Z : a≡a ' , b≡b ' a+b≡a '+b ' כפל:(2

∀a ,b∈Z : a≡a ' , b≡b ' ab≡ a' b '

מסקנה:

∀ P (x )∈Z [x ] ,∀a≡ a' (mod n )∈Z P (a ) ≡ P (a ' )(mod n) : n חשבון מחלקות שקילות מודולו ג(

חיבור:(1

∀a ,b∈Z (a+nZ )+( b+nZ )=(a+b )+nZ כפל:(2

∀a ,b∈Z (a+nZ ) (b+nZ )=( ab )+nZ היא חבורה חיבורית: Znד(

עומצת החבורה:(1 ולכן, עוצמתה כעוצמתn ניתנת לייצוג ע"י קבוצת שאריות החלוקה ב-Znנשים לב לכך ש-

.n, כלומר nקבוצת שאריות החלוקה ב- אסוציאטיביות:(2

∀a ,b , c∈Zn a+ (b+c )=( a+b )+c

קומטטיביות:(3∀a ,b∈Zn a+b=b+a

דיסטריביוטיביות:(4

∀a ,b , c∈Zn a (b+c )=ab+ac

: 0 איבר ה-(50Zn

=n Z={nr :r∈Z } איבר נגדי:(6

∀a∈Zn ,∃ ! (−a )∈Zn: a+(−a )=0III ) -איברים הפיכים ב Zn

טענה שימושית:א(

a∈Zn¿⟺ gcd ( a ,n )=1

* היא חבורה כפלית: Znב( סגירות בחיבור:(1

∀a ,b∈Zn ab∈Zn

סגירות בלקיחת הופכי:(2

©Noy Soffer 2012

∀a∈Zn a−1∈Zn

טענות פשוטות:ג(

1)∀ k ,n∈Z : gcd (k ,n )=1 ,∀ a ,b∈Z :ka≡ kb (mod n ) a≡b(mod n)

2)∀ r∈Z :r|n∧ r|k ,∀ a ,b∈Z :ka≡kb (mod n )⟺ kr

a≡kr

b (modnr)

*: Zn עוצמת ד(

|Zn¿|=|φ (n )|=¿ {r∈N :r ≤n∧gcd (r , n )=1 }∨¿

IV ) פונקציית ϕ של אוילר הגדרה:א(

|φ (n )|=¿ {r∈N :r≤n∧gcd (r , n )=1 }∨¿ : ϕ תכונות של ב(

תנאי הכרחי ומספיק לראשוניות:(1

n∈P⟺φ (n )=n−1⟺ Zn¿=Zn/ {0 }⟺Zn שדה

2)ϕ :כפלית ∀n ,m∈Z :gcd (m ,n )=1φ (mn )=φ (m) φ (n)

לפי מכפלת ראשוניים: ϕ דרך לחשב את ג(φ ¿

טענה שימושיתד(

∀n∈N ∑d∨n

φ (d )=n

V ) פתרון קונגרואנציות ממעלה ראשונה מתי יש פתרון לקונגרואנציה ממעלה ראשונה:א(

תנאי מספיק והכרחי לקיום פתרון:(1

∃ x∈Z : ax≡ b (mod n )⟺d=gcd (a ,n )∨b מספר הפתרונות:(2

(i)d פתרונות מודולו n

(ii) פתרון יחיד מודולוnd

שיטה למציאת פתרונות:ב( : d=gcd(a,n) נחשב את (1

(i) אםb>0 (mod d)אז אין פתרון ,

(ii)-אחרת, נחלק בd:ad

x≡bd

mod( nd)

נכפיל בהופכי של (2ad

מודולו nd

:

x≡( ad )

−1

( bd )mod ( n

d)

שהתקבל כפולות של x , נוסיף ל- n כדי למצוא פתרונות מודולו (3nd

:

©Noy Soffer 2012

r=0,1,2…nd−1 x≡( a

d )−1

( bd )+ n

dr (mod n)

VI ) פתרון משוואה דיופנטית ax+ny=b תנאי הכרחי ומספיק לקיום פתרונות:א(

∃ x∈Z : ax≡ b (mod n )⟺d=gcd (a ,n )∨b מציאת פתרון:ב(

ax=b (mod n) נפתור את הקונגרואנציה (1

x המתאים לפי y נמצא את ה-(2 פתרונות:ג(

{(( ad )

−1

( bd )+r ( n

d ) ,−( ad )−∝( b

d )) :r∈Z }

VII ) משפט השאריות הסיני

∀ {ni }i=1k ⊆N : [∀ i ≠ j∈ [1 ,k ] gcd ( ni ,n j )=1] ,∀ {c i }i=1

k ⊆N

∃! x∈Z : [∀ i∈ [1 , k ] x≡ c i ( mod ni ) ] mod∏i=1

k

ni

VIII ) משפט אוילר משפט:א(

∀n∈N ,∀ a∈Z : gcd (a ,n )=1 , aϕ (n )≡1(mod n) מקרה פרטי: משפט פרמה:ב(

∀ p∈ P ,∀a∈Z :a>0 (mod p ) ap−1≡1(mod p) שיפור:ג(

∀n∈N :∃r , s∈ N{0,1,2 }

:n=rs∧gcd (r , s )=1

∀ a∈Z : gcd (a ,n )=1, a12

φ (n )≡1(mod n)

IX ) קונגרואנציות פולינומיאליות

בפולינומים: n הגדרה של שקילות מודולו א(

∑i=0

m

ai xi ≡∑

i=0

m

b i xi (mod n )⟺∀ i∈ [0 ,m ]a i≡ bi(mod n)

מיון למקרים:ב( ראשוני: n כאשר (1

הבחנה:

Zn ולכן:0 הוא שדה, ולכן, תחום שלמות, כלומר אין מחלקי ,

f ( a )≡0(mod n)⟺ ( x−a )∨f (x) אינו ראשוני: n כאשר (2

(i) נפרק את n :לגורמים ראשוניים

n=∏i=1

m

pir i

(ii) נפתור את הקונגרואנציות f ( x ) ≡0 (mod piri):

:טענה מצדיקה

©Noy Soffer 2012

:תנאי הכרחי ומספיק לקיום פתרונות

∃ x∈Z : f (x ) ≡0 (mod n )⟺∀ i∈ [1 ,m ] f ( x )≡0(mod pir i)

:מספר פתרונות

(iii) נפתור את הקונגרואנציות f ( x ) ≡0 (mod pi):

(iv) נעשה הרמה של פתרון mod pij לפתרון mod pi

j+1:

נניח כיr j הוא פתרון כללי mod pij:

f ( r j )=0mod pij

נרשום את הפתרון הכלליmod pij+1:כך

r j+1=r j+ p j k

f (r j+ p j k )≡0 (mod p j+1) נעשה פיתוח טיילור סביבr j:

0≡ f (r j+ p j k )=∑m=0

∞ p(m )(r j)m!

p jmk m

הבחנה:

p, כל המחוברים מתחלקים מ-m=0נשים לב לכך שהחל מ- j+1.ולכן, מתאפסים ,

לכן, ניתן לרשום:

0≡f (r j+ p j k )=∑m=0

∞ p(m )(r j)m!

p jmk m=f ( r j )+ f ' ( r j ) p j k (mod p j+1)

נבטא אתf ( r j )=a p j:

a p j+ f ' (r j ) p j k≡0(mod p j+1)

-נצמצם בpij:

a p j+ f ' (r j ) p j k≡0(mod p j+1)

a+ f ' (r j ) k ≡0(mod p):נפתור את

אםf ' (r j ) ≠0 (mod p j) ,יש פתרון יחיד

אםf ' (r j )=0(mod p j) , ישpפתרונות שונים

אםf ' (r j )=0 ( mod p j )∧a≢0(mod p j) ,אין פתרון

X ) שורשים פרימיטיביים

: n הסדר של מספר מודולו א( הגדרה:(1

∀a ,n∈Z : gcd (a ,n )=1ordn (a )=min {r∈Z : ar ≡1 (mod n ) } תכונות:(2

(i) הסדר של מספר מודולו n מחלק את φ (n):

ordn (a )∨φ(n)(ii) הסדר של am מודולו n :

ordn ( am )= ordn(a)gcd (ordn (a ) ,m)

©Noy Soffer 2012

(iii)-תנאי הכרחי ומספיק לכך ש :ak ≡1 (mod n )∀a ,n∈Z : gcd (a ,n )=1 , ∀ k∈N ak≡1 (mod n )⟺ ordn (a )∨k

שורש פרימיטיבי:ב( הגדרה:(1

ordn (a )=φ(n) תכונות:(2

(i):עוצמת מספר השורשים הפרימיטיביים – 0אם אין שורשים פרימיטיביים:אם יש שורש פרימיטיבי אחד

:הבחנה

Zn חבורה ציקלית ¿= {1 , a ,….aφ (n )−1 }

:לפי התנאי להיות שורש פרימיטיבי

שורש am⟺ordn ( am )= φ(n)gcd (m,φ (n ))

=φ(n)

:לכןam שורש פרימיטיבי ⟺ m-ו φ (n):זרים

gcd ( m,φ (n ) )=1:לכן

|{a∈Z : ordn (a )=φ (n ) }|=φ (φ (n ))(ii):למי יש שורש פרימיטיבי

מספרים ראשונייםחזקות של ראשוניים אי זוגיים4

XI ) אלגוריתמים של הצפנה

RSAא(( סודיים, כאשר:m,n( מחזיקים את )Alice, Bobשני הצדדים )(1

(i)gcd ( m,φ (n ) )=12)Bob-שולח ל Alice את המסר Eבצורת Em

3)Alice מקבל את F=Em ומעלה F k:כאשר

(i)km=1 מודולו φ (n )(ii)F k≡ Emk ≡ E(mod φ (n ))

Diffie-Hellmanב(1)Alice-ו Bob( מחזיקים את p,a:גלויים כאשר )

(i)pראשוני

(ii)a-זר ל pבחירת מעריך:(2

(i)Bob בוחר k B∈Zp¿

Alice ושולח ל-akB, מחשב את

(ii)Alice בוחר k A∈Z p¿

Bob ושולח ל-akA, מחשב את העלה בחזקה:(3

(i)Bob מקבל את akA ומעלה בחזקת k B כדי לקבל t '=(a¿¿k B)k A¿

©Noy Soffer 2012

(ii)Alice מקבל את akB ומעלה בחזקה k A כדי לקבל את t '=(a¿¿k B)k A¿

:tקביעת (4

t= t '

gcd (t' , p−1)שליחה:(5

Bob-שולח ל Alice את המספר Eבצורת F=Et.

פיענוח:(6Alice מפענח את E:ע"י

st ≡1(mod n)F s≡(E t)s=E

XII ) מבחני ראשוניות מבחן וילסון:א(

(n−1 )!≡−1 (mod n )⟺n is prime המשפט הקטן של פרמה:ב(

הגדרה:(1

∀ p∈ P ,∀ a∈Z : gcd (a , p )=1, a p−1≡1(mod p) בעיה: זהו תנאי הכרחי, אך אינו מספיק:(2

(i):מספרי כרמיכאל :הגדרה

{n∈N :∀ a∈Z : gcd ( a ,n )=1an−1≡1 (mod n ) }:צורה של מספרי כרמיכאל

∀n∈N [∀a∈Z : gcd (a ,n )=1an−1≡1 (mod n ) ]⇕

∃{p i}i=1k ⊂P /{2}:n=∏

i=1

k

pi

(ii) פונקציית λ : :הגדרה

λ (n )={1 n=12 n=2,42 j−2 n=2 j

p j−1( p−1) n=p j

lcm(λ ( p iji )i=1

k) n=∏

i=1

k

piji

פונקציית λ מהווה את הסדר המקסימלי שיכול להתקבל

∀n∈N ,∀ a∈Z : gcd (a ,n )=1aλ(n)≡1(mod n)λ (n )=max {ordn (a ) }∃a∈Z : ordn (a )=λ(n)

מבחן רבין מילר:ג( שלבים:(1

(i)-בשלב ה k נחשב את a( n−12k )

2:

©Noy Soffer 2012

אםa( n−12k )

2≡ ±1(mod n)-נמשיך לשלב ה ,k+1

אםa( n−12k )

2≢±1(mod n)נעצור ,

ולכן, הוא אינו, a לא עובר את מבחן רבין מילר לפי בסיס nבמקרה זה, נאמר כי ראשוני.

(ii):מתי עוצרים את הלולאה

אםa( n−12k )

2≢±1(mod n) , אזnאינו ראושני

אםn−12k ,אז לא ניתן לקבוע אם אי-זוגיnראשוני

בעיה: זהו תנאי הכרחי, אך אינו מספיק, ולכן, נדרשים הרבה בסיסים על מנת לקבוע(2

: קונגרואנציות ריבועיות 3 פרק I ) :אינטואיציה – פתרון משוואה ריבועית כללית

המשוואה:א(

a x2+bx+c≡0(mod n) : 4a נכפיל את הכל ב-ב(

4 a2 x2+4abx+4ac≡0(mod 4 an) מעט אלגברה:ג(

(2ax+b)2≡ b2−4ac מסקנה:ד(

b2−4יש פתרון אם ורק אם ac.שורש ריבועי

II ) :מציאת שורשים ריבועיים

ראשוני: p>2 עבור א( משפט מנחה:(1

∃ x∈Z : xm ≡a (mod n )⟺aφ(n)

gcd (φ (n) , m)≡1(mod n) מסקנה: קריטריון אוילר:(2

aφ(n)

gcd (φ ( n) ,m )≡ ap−12 ≡1(mod n)

**הערה: לכן, על מנת לשלול קיום של שורש ריבועי מספיק לדרוש כי:

ap−12 ≡−1(mod n)

טענה: מספר השורשים הריבועיים מודולו מספר ראשוני שווה למספר השורשים הלא(3ריבועיים:

|{a∈Z :∃ x∈Z x2≡a (mod p ) }|=|{a∈Z :∀ x∈Z x2≢a (mod p ) }|= p−12

p עבור ב( j כאשר p>2 :ראשוני

כי: 2.1.1 כמו מקודם, נסיק ממשפט מנחה (1

gcd (2 , φ ( p j ))=2⇒ap j−1( p−1)

2 ≡1(mod p j)

©Noy Soffer 2012

הבחנה: יש כאן שורש פרימיטיבי, ולכן, נרשום:(2

x≡ gt ;a≡ gr⇒ gmt ≡ gr (mod p j) פתרונות. 2 מסקנה: יש לקונגרואנציה (3

2 עבור ג( j:

: j=1 עבור (1

∃ x∈Z2¿ : x2≡a (mod 2 )⟺ x≡1∧a≡1(mod 2)

: j=2 עבור (2

∃ x∈Z4¿ : x2≡ a (mod 4 )⟺ x≡±1∧a≡1 (mod 4 )

: j>2 עבור (3

(i) :הבחנה a אי-זוגי

(ii):פיתוח

נרשום x=2r+1 :כך ש

4 r (r+1 )+1≡ a(mod 2k)-לכן, הכרחי ש a≡1(mod 8)

(iii):טענה שימושית

∀ k∈N ,∃ x∈Z : x2≡1 ( mod 2k )⟺a≡1(mod 8)III ) הלמה של גאוס

הלמה עצמה:א(

∀ p∈ P{2 }

,∀ a∈Z : gcd ( a , p )=1( ap )=(−1 )l :

l=¿ { j∈[1,p−12 ]:∃ r∈[−p−1

2,

p−12 ] :r<0 r ≡aj (mod p )}∨¿

מסקנות:ב( : p מודולו 2 הסמל של (1

∀ p∈ P/ {2 },( 2p )=(−1)p2−18 ={ 1 p≡ ±1(mod 8)

−1 p≡ ±3 (mod 8) משפט על ראשוני מרסן:(2

∀ p∈ P/ {2 }: [ p≡3 (mod 4 ) ]∧ [2 p+1∈ P ]2p−1∈ P⟺ p=3

IV ) חוק ההדדיות הריבועית של גאוס

∀ p ,q∈P/ {2 }: p≠ q ( pq )( q

p )=¿

V ) הכללה של הסמל של לז'נדר – הסמל של יעקובי הגדרה:א(

∀ n∈N :n=∏i=1

k

pi ,∀ a∈Z : gcd (a ,n )=1( an )=∏

i=1

k

( api

) תכונות:ב(

סגירות בכפל:(1(i):סגירות בכפל מונים

©Noy Soffer 2012

∀ n∈N ,∀ a ,b∈Z : gcd (a ,n )=gcd (b ,n )=1( abn )=( a

n )( bn )

(ii):סגירות בכפל מכנים

∀ n ,m∈N ,∀ a∈Z : gcd (a ,n )=gcd (a ,m )=1( anm )=( a

n )( am )

סדים מיוחדים:(2(i) 1 הסמל של :-

∀ n∈N (−1n )=¿

(ii) 2 הסמל של :

∀ n∈N ( 2n )=¿

חוק ההדדיות הריבועית של גאוס:(3

∀n ,m∈N (mn )( n

m )¿ (−1)( m−1) (n−1)

4

משנתנים 2 : תבניות ריבועיות ב- 4 פרק I ) מבוא

הגדרה: תבנית ריבועיתא(

f :Z2→Z

f ( x , y )=a x2+bxy+c y2: a ,b ,c∈Z דיסקרימיננטהב(

הגדרה:(1

∆ f =b2−4ac זהות פשוטה:(2

4 af ( x , y )=(2ax+by )2−∆ f y2

מסקנה פשוטה מחישוב:(3

∀ f ∈Z [x , y ] :∆f ≤0 ,∀ ( x , y )∈Z2/ {(0,0 ) }sgn ( f ( x , y ) )=sgn (a )=sgn (c) קונגרואנציה:(4

∀∆∈Z ∆ ≡0 (mod 4 )∨∆≡1 (mod 4 )⟺∃ f ∈Z [x , y ] :∆f =∆

II ) פירוק לגורמים לינאריים משפט: קיים פירוק לרציונליים אמ"מ קיים פירוק לשלמים:א(

∀ f ∈Z [x , y ]∃u , v , r , s∈Q : f ( x , y )=(ux+vy ) (rx+xy )⇕

∃α , β , γ , δ∈Z : f (x , y )=( αx+βy )(γx+δy) משפט: קיים פירוק לשלמים אמ"מ הדיסקרימיננטה ריבוע שלם:ב(

∀ f ∈Z [x , y ]∃α , β , γ , δ∈Z : f (x , y )=( αx+βy ) ( γx+δy )⟺∃ k∈Z :∆ f =k2

III ) ייצוג ע"י תבנית

©Noy Soffer 2012

f הגדרה: מיוצג לפי תבנית א(∃u , v∈Z :gcd (u , v )=1∧n=f (u , v )

Δ מיוצג ע"י תבנית עם דיסקרימיננטה n טענה: תנאי הכרחי ומספיק לכך ש-ב(∀∆∈Z :∆ ≡0 (mod 4 )∨∆≡1 (mod 4 ) ,∀n∈N

∃ f ∈Z [ x , y ] : [∆ f=∆ ]∧¿⇕

∃ x∈Z4n: x2≡ ∆(mod 4n)

S חבורת ג( L2(Z ) – Special Linear :

S L2 ( Z )={U∈M 2× 2 ( Z ): det (U )=1 } תבניות שקולות:ד(

הגדרה: שקילות תבניות:(1

∀ f , g∈Z [ x , y ] , f ≅ g⇔∃U∈S L2 ( Z ) :∀ x , y∈Z ,g ( x , y )=f ( (x , y )U ) תכנות של יחס התבניות השקולות:(2

(i)זהו יחס שקילות

(ii):יחס זה שומר על זרות

∀U∈S L2 ( Z ) , ∀ x , y∈ Z2

{(0,0 ) }: gcd ( x , y )=1⇔ gcd ( x ' , y ' )=gcd ( ( x , y )U )=1

(iii):משפט: קיום תבנית עם מקדמים מסויימים

∀ Δ∈Z : ( Δ≡0,1 ( mod 4 ) )∧ (∀ k∈Z ,k 2≠ Δ ) ,∀ f ∈Z [x , y ] : Δf =Δ

∃g ( x , y )∈Z [x , y ] : ( f ≅ g )∧(g ( x , y )=a x2+bxy+c y2 :|b|≤|a|≤|c|)**מסקנה: מספר האיברים בכל מחלקת שקילות הוא סופי.

דיסקרימיננטה שלילית:ה( סימן התבנית:(1

(i):תבנית חיובית לחלוטין

sgn (f ( x , y ))=sgn (a )=sgn (c )=1/.

(ii):תבנית שלילית לחלוטין

sgn (f ( x , y ))=sgn (a )=sgn (c )=−1**הערה:

sgn (f ( x , y ))=1⇔ sgn (−f ( x , y ) )=−1 תבנית מצומצמת:(2

(i):הגדרה

{f ( x , y )=a x2+bxy+c y2 : (−a<b≤a<c )∨ (0≤b≤a=c ) }(ii):קיום ויחידות של תבנית מצומצמת בכל מחלקת שקילות

∀ Δ∈−N :Δ≡0,1 (mod 4 ) ,∀ [α x2+βxy+γ y2 ]≅ :Δf =Δ

∃! f ∈Z [ x , y ] : f ( x , y )=a x2+bxy+c y2 : (−a<b≤ a<c )∨(0≤ b≤ a=c)

Continued Fractions : שברים משולבים – 5 פרק I ) מבוא

©Noy Soffer 2012

הגדרת השבר המשולבא( כשבר משולב: θ אלגוריתם לחישוב ההצגה של מספר ממשי ב(

( 0 )שלב θ0=θ נסמן: (1

: k שלב (2θk=ak

θk=ak+1

θk +1

תנאי עצירה:(3

[θ s ]=as=θ s∈Z

II ) פולינומים במקדמים שלמים 2 כתיבה של שבר משולב כמנת סימון:א(

[a0 , a1,….an ]=p ( a0 ,…an )q (a0 ,….an )

=pn

qn

נוסחא רקורסיבית לחישוב פולינומים:ב(1)p :

(i)p−2=0(ii)p−1=1(iii)pk +1=ak+1 pk+ pk−1

2)q : (i)q−2=1(ii)q−1=0(iii)qk+1=ak +1qk+qk−1

תכונות פשוטות:ג(

1)qn:עולה מונוטונית

∀n∈N ,qn∈N ,qn+1>qn

pn קשר בין (2 , qn:

(i):משפט

∀ k∈N , pk qk−1−pk−1qk=(−1 ) k−1

(ii):מסקנה

∀ k∈N , gcd ( pk , qk )=1 מנות זוגיות עולות ומנות אי-זוגיות יורדות:(3

∀ k∈N ,p1q1

>….>p2k+1

q2k +1>…>θ>…>

p2k

q2k

>…>p2q2

קירוב של מספר אי רציונלי ע"י מנות של פולינומים:ד( קיום וערך הקירוב:(1

∀ θ∈R/Q , limn→∞

pn

qn

=θ∧ limn→ ∞

¿θ−pn

qn

∨¿ 1qn2

זוה הקירוב האופטימלי:(2

∀ θ∈R/Q ,∀ n∈N ,∀ a ,b∈Z :b∈ [1 , qn+1 ) ,|bθ−a|≥∨qn θ−pn∨¿

©Noy Soffer 2012

III ) פיתוחים מחזוריים למה חישובית פשוטה:א(

∀ p ,q∈Z :q≥1 ,∀ x∈R , ⌊ p+xq

⌋=⌊ p+⌊ x ⌋q

⌋

משפט לגרנז':ב(

∀ θ∈R/Q ,∃N0∈N ,∃m∈N ,∃{ak }k=1m ∈ {0,1 ,…,9 }m :∀n≥ N 0 , an∈ {ak}k=1

m

⇕∃ f ∈Z [ x ] :Δf >0∧f (θ )=0

מחזוריות טהורה:ג( הגדרה:(1

θ=[a0,…am]:θ פולינום מינימלי של (2

(i):הגדרה

{p ( x )=x2+βx+γ : β , γ∈Q∧ p (θ )=0 }(ii):יחידות הפולינום המינימלי

∀ θ∈R/Q :degθ=2 ,∃ ! p∈Q2 [x ] : p (θ )=0∧ f (θ )=0→ p∨f

(iii):הגדרת צמוד ע"י הפולינום המינימלי

הגדרת השדה Q [√d ]:

Q [√d ]={x+ y √d : x , y∈Q}:אוטומורפיזם הצמוד

σ :Q [√d ]→Q [√d ]σ ( x+ y √d )=x− y √d

:הקשר לפולינום מינימלי

∀ θ∈R/Q :deg (θ )=2 , p ( x )=( x−θ ) ( x−θ' ): θ'=σ (θ) מעלQ [√Δ](iv):תנאי מספיק והכרחי למחזוריות טהורה

∀ θ∈R/Q :deg (θ )=2 ,∃m∈N ,∃ {ak }k=0m ⊂ {0,1…9 }N :θ=[a0 ,… ..am ]

⇕θ>1∧−1<θ '<0

: Pell מציאת פתרונות של משוואת (3

(i) הגדרת משוואת Pell :

x2−d y2=1 :d∈Z /Z2

(ii):טענת עזר פשוטה

∀d∈Z /Z2 ,∃m∈N :∃ {ak }k=0m:

1

√d−[√d ]=[a0 ,….am ]

(iii)תכונות של הפתרונות

קשר לפיתוח של √d:

∃n∈N : x=pn∧ y=qn

מה ניתן לומר על n :

{n∈N : pn2−d qn

2=1}={n∈2N+1 :n≡−1 (mod m )}

©Noy Soffer 2012

המבנה של הפתרונות הוא חבורה כפלית Z [√d ]¿:

:הגדרה

Z [√d ]¿={z∈Z : z z '=1}:זו חבורה ציקלית

∀d∈Z /Z2 ,∃ z0∈Z [√d ]¿ :Z [√d ]¿={± z0n:n∈Z }

Quadratic Fields : שדות ריבועיים 6 פרק I ) מבוא

הגדרת השדה הריבועיא(

∀d∈Z /Z2Q [√d ]={x+ y √d : x , y∈Q} פונקציות בסיסיותב(

אוטומורפיזם ההצמדה:(1

נורמה:(2II ) שלמים אלגבריים

הגדרה:א(

Od={z∈C :∃ p ( x )∈Z [ x ] : [ p ( x )=xn+∑i=0

n−1

a i xi]∧[ p ( z )=0]}

אפיון השלמים האלגברייםב(

Q לכל שדה (1 [√d ]:

Z⊆Od

Ir עבור (2 ( z )≠0:

(i) נניח כי z :שורש אלגברי, ונחפש את צורתו

a+b√d=z שורש של f ( x )=x2+ux+v∈Z [ x]:כאשר ,

:לכן, נדרוש

∀ k∈Z ,a= r2

m=a2−d b2= r2−4 db2

4∈Z

:לכן

r2− (2b )2d=4m : 2b= ts

, gcd (t , s )=1

s2 (r2−4m )=d t 2

s2|d t2⇒ s2|t⇒ t=1

לכן, נקבל כי b=12

:

:מסקנה

r2−d t 2=4m⇒ r2≡ dt 2(mod 4):מקרים

עבור r :אי-זוגי

©Noy Soffer 2012

r2≡t 2≡1 (mod 4 )מסקנה:

d ≢1 (mod 4 )⇒r , t∈2Z

עבור d ≡2,3(mod 4 Od=Z, אז (

נבדוק את המקרה של d ≡1(mod 4):

r2≡t 2 (mod 4 )⇒r ≡ t (mod 2 )⇒∃ k∈Z :r=t+2k: לכן, ניתן לאפיין את השלמים האלגבריים כך(3

Od={ Z+Z √d d ≡2,3(mod 4)

Z+Z( 1+√d2 ) d≡1(mod 4)

מבחנים לקביעת שורש אלגבריג(

u מציאת (1 , v∈Z : ( z=u+v √d )∨ ¿ בדיקה אם:(2

f ( x )= (x−z ) ( x−z ' )∈Z [ x ]?? ?

:Od איברים הפיכים ב-ד(

הגדרה:(1

Od¿={z∈Od : z

−1∈Od }={ z∈O d:N ( z )=±1 }

Od אפיון (2¿

לפי מקרים:

(i) עבור d<0 :

3− אם≠ d←1:אז ברור כי ,

Od¿={±1 }

אם d=-1 :אז מדובר בחבורת השלמים של גאוס ,

O−1¿ ={±1, ± i}

אם d=-3 :אזי ,

O−3¿ ={±1 ,±

12

(1+√−3 ) , ± 12

(1−√−3 )}={z∈C : z6=1 }

(ii) עבור d>0 :

:טענה Od¿

ציקלית:

∀d∈N : [∀ k∈Z ,d>0 (mod k ) ] ,∃ ε∈Od¿ :Od

¿={± ε n:n∈N }III ) :תחום פריקות יחידה

פריקות לגורמים ראשוניים:א(

∀d∈Z : [∀a∈Z ,d>0 (mod a ) ] ,∀ z∈Od / {0 }/Od¿ ,∃ { pi }⊆POd

: z=∏i=1

k

pi

תחום פריקות יחידה:ב( הגדרה:(1

Od :∀ z∈Od/ {0}/Od¿ ,∃! {p i }⊆PO d

: z=∏i=1

k

pi

ראשוני=אי פריק אמ"מ מדובר בתחום פריקות יחידה:(2

©Noy Soffer 2012

∀ z∈Od/ {0 }/Od¿ ,∃! {p i }⊆POd

: z=∏i=1

k

pi ⇔

{ p∈O d: p|ab⇔ p|a∨ p|b}={p∈O d:∀ a∈Od/Od¿ / pOd

¿ ,a∤ p }

)ללא הוכחה(: d<0 תחום פריקות יחידה ל- Od משפט לגבי מתי ג(

d∈{−1 ,−2,−3 ,−7 ,−11 ,−19 ,−43 ,−67 ,−163 }IV ) :חוג אוקלידי

הגדרהא(

A :∀α , β∈ A : β≠0 ,∃ γ , δ∈ A : α=βγ +δ :∨N (δ )∨¿∨N (β )∨¿ תנאי מספיק והכחרי לחוג אוקלידיב(

∀d∈Z : [∀a∈Z ,a2∤d ] ,∀α ,β∈Od : β≠0 ,∃ γ , δ∈ A : (α=βγ+δ )∧ (|N ( δ )|<|N ( β )|)⇕

∀ z∈Z [√d ] ,∃t∈Od :|N ( z−t )|<1 אפיון חוגים אוקלידיםג(

d עבור (1 ≡2,3(mod 4 Od=Z, אז ( [√d ]:

d=−2 ,−1,2d עבור (2 ≡1 (mod 4 )∧d<0:

d=−3 ,−7 ,−11: באופן כללי, הנה הם כל החוגים האוקלידים(3

d=−11 ,−7 ,−2 ,−1,2,3,5,6,7,13,17,19,21,29,33,37,37,41,57,73 gcd בחוגים אוקלידים ניתן להשתמש באלגוריתם אוקלדס לחישוב ד(

V ) -ראשוניות ואי פריקות ב Od:

טענה פשוטה: כל ראשוני שלם אלגברי מחלק ראשוני טבעיא(

∀π∈ P ( Od ) ,∃! p∈P ( N ) : π |Odp

תחום פריקות יחידהOd ראשוניות בב(

: לכל ראשוני טבעי, יש ראשוני שלם אלגברי שמחלק אותו: 5.1 משפט הפוך ל-(1 הגדרה: מונח מעל:(2

N תכונה של (3 (π ):

(i):פיתוח

נניח כי π∨p⇒ p=απ:ניקח נורמה :

p2=N ( p )=N ( α ) N (π )מסקנה :

N (π )∨p2⇒∨N ( π )=p , p2

(ii):מקרים

עבור ¿ N (π )∨¿ p:

p=± π ⋅π ' :מסקנה p :מתפרק לגורמים אי פריקים

.Od אינו ראשוני ב-pלכן,

עבור ¿ N (π )∨¿ p2:

p2=± π ⋅ π '

©Noy Soffer 2012

:הבחנה

p2=± π ⋅ π '=N ( π ) N (α )=p2N (α ):מסקנה

N (α )=1⇒α∈Od¿

.Od ראשוני ב- pלכן,

VI ) :משפט המספרים הראשוניים משפט המספרים הראשוניים:א(

limx→ ∞

π ( x )x

lnx=lim

x→ ∞

¿ {n≤ x :n∈P ( N ) }∨¿x

lnx=1¿

משפט צ'בישב:ב( המשפט עצמו:(1

∃ c1 , c2>0:∀ x ≥2 ,c2 x

logx≤ π ( x ) ≤

c1 x

logx מסקנה לגבי הערכת המספרים הראשוניים:(2

∃α , β>0:∀ r ≥2 , βrlogr ≤ pr ≤ αrlogr

©Noy Soffer 2012