Задачі на спільну роботу в курсі математики основної школиТелятник К.В., ЗОШ № 54 м. Запоріжжя

У статті розглянуто проблему навчання учнів середньої школи розв’язанню текстових задач в курсі математики та сфокусовано увагу на одному з класів таких задач – задачах на спільну роботу.Ключові слова: методи розв’язання (арифметичний, алгебраїчний); змінні, рівняння, системи рівнянь, обмеження, таблиці (ілюстративна, стандартна, модифікована), шаблони міркувань, алгоритми розв’язань; продуктивність роботи, обсяг роботи, час роботи, сумарна продуктивність. Постановка проблеми. Задачі на спільну роботу шкільного курсу

математики традиційно є одними з найнепопулярніших, найнеулюбленіших школярами задач, як і задачі на рух. Але тут спостерігається дивна картина. Відношення до означених класів задач з боку авторів підручників та дидактичних посібників не є однозначним. Адже навіть за того перевантаження навчальної програми з математики, яке ми бачимо зараз, розв’язанню задач на рух таки приділяється певна увага. Задачі ж на спільну роботу шкільна програма не виокремлює, з специфікою та певними прийомами щодо їх розв’язання школярів майже не знайомлять. Але в будь-якій групі текстових задач учень може зустріти задачу саме цього класу. Це можна пояснити тим, що зміст умови таких задач вже не перше сторіччя тісно пов’язаний з побутом людей. Ці задачі можна зустріти ще у давніх єгиптян або греків, вони були актуальними в будь-який час, їх включали до своїх підручників вітчизняні автори, починаючи з «Арифметики» Л.Ф.Магницького (1703 р.). Сучасним школярам також доводиться розв’язувати задачі цього класу, але більш високого рівня складності. Ці задачі зустрічаються в завданнях різних турів Всеукраїнської олімпіади, в матеріалах державної підсумкової атестації з алгебри (9 клас), в книгах з «цікавої математики», пропонуються для факультативних занять. Вони потребують цілковитого розуміння суті взаємних зв’язків між компонентами, застосування як арифметичних, так і алгебраїчних методів.

Аналіз останніх досліджень та публікацій. По-перше, варто вказати, що публікацій про методи розв’язання текстових задач з шкільного курсу математики небагато, як небагато й публікацій, присвячених методиці навчання школярів розв’язанню текстових задач. Здебільшого ці матеріали представлені Інтернет- статтями та лекційними матеріалами Інтернет-університетів. Серед найцікавіших можна назвати статті та лекційні матеріали О.В. Шевкіна, кандидата педагогічних наук, вчителя СШ № 679 м. Москви, заступника головного редактора газети «Математика», автора підручників та навчально-методичних посібників, зокрема і за означеною темою. По-друге, аналізуючи наявні видання, можна зазначити, що є певні розбіжності між класифікацією, прийнятою для текстових задач шкільного курсу у середній та вищій школі. Так, наприклад, в середній школі часто вважається, що задачі на спільну роботу можна розглядати, як різновид задач на рух. Про це свідчать джерела [1] та [2]. У вищий школі підхід до цього питання дещо інший. Проаналізуємо фрагмент програми курсу математики Навчально-наукового комплексу «Інститут прикладного системного аналізу»[3]:

Текстові задачі на складання рівнянь та систем рівнянь. Задачі на прогресії (арифметична і геометрична прогресії). Задачі на спільну роботу. Задачі на суміші речовин. Задачі на відсотки. Задачі на рух. Задачі з цілочисельними невідомими.

Очевидно, тут задачі на спільну роботу не розглядаються лише як різновид задач на рух. Певно, що вони мають відмінності, і ці відмінності доволі суттєві.

Метою статті є окреслення спільних та відмінних рис цих двох класів текстових задач та доведення доцільності приділяти окрему увагу методиці розв’язання та методиці навчання розв’язанню задач на спільну роботу.

Вказані класи задач потрапляють до уваги учнів ще у початковій школі. І одразу ж можна побачити відмінності у їх розв’язанні. Так для задач на рух учням обов’язково надаються відомості про основні характеристики руху з постійною швидкістю: відстань – S [км] , час – t [год], швидкість – v [км/год]; вводиться формула , за якою надалі діти знаходитимуть невідомі компоненти дії за відомими. Якщо вчитель дбайливо підібрав систему задач, яка поступово ускладнює умови, утримуючи учнів в зоні найближчого розвитку, то особливих труднощів в роботі дітей не виникатиме. Адже в умовах задач враховано, що дії відбуватимуться з натуральними числами, а наявність іменованих даних дозволяє будь-які дані подати у вигляді натуральних чисел: півгодини – 30 хвилин, півметра – 50 сантиметрів тощо. Справа з задачами на спільну роботу зовсім інша. Розглянемо, наприклад, наступну задачу:

Малюк може з’їсти банку варення за 6 хвилин, а Карлсон – за три. Який час знадобиться їм, щоб вдвох упоратися з цією ж банкою?

В умовах цієї задачі немає жодної іменованої величини, яку можна б було подати іншим чином, взагалі тут є лише два числа, з якими учень 3-4 класу може виконати будь-яку з відомих йому чотирьох арифметичних дій: додавання, віднімання, множення або ділення. Та, виконуючи ці дії, дитина або отримає відповіді зовсім не на те питання, або взагалі матиме відповідь-нісенітницю. Практика свідчить, що учневі початкової школи потрібно принаймні задати серію питань, які б з опорою на його власний життєвий досвід привели до вірного міркування. Приблизно такого:

Малюк може з’їсти банку варення за 6 хвилин. Якщо одночасно з цим і Карлсон не сидітиме без діла, то він встигне за ті ж 6 хвилин з’їсти банки варення. Отже, вдвох за 6 хвилин вони з’їдять банки варення. Тоді, якщо за 6 хвилин можна з’їсти 3 банки варення, то з однією банкою вони впораються за хвилини.

Таким чином, про формульну залежність характеристик спільної роботи поки що не йдеться, самі ці характеристики ще не названі, отже схожість в процесах руху об’єктів та спільної роботи окремих персонажів можна виявити лише штучно в процесі додаткових міркувань та доказів. А якщо початкові навички розв’язання задач цих двох класів мають суттєві відмінності, то це обов’язково треба враховувати вже на початку навчання учнів названим класам задач, виокремлюючи задачі на спільну роботу в самостійну категорію. До речі, багато так званих «старовинних» задач на спільну роботу найвигідніше розв’язуються саме в такий спосіб.

Дещо згодом, в 5-6 класах середньої школи, коли учні набудуть певних навичок в роботі з дробовими числами, за допомогою дбайливо підібраної серії задач з поступовим ускладненням умов, можна нарешті довести до сприйняття учнів аналогію задач на спільну роботу з задачами на рух. Станеться це лише після введення поняття продуктивності праці як швидкості роботи. На цей час в задачах на рух учням вже зрозуміло, що додавати або віднімати є сенс не час руху, а його швидкість. Отже, проведена аналогія дає школярам можливість зрозуміти,

чому вони отримували відповідь-нісенітницю при спробі додавати час персонажів в задачах на спільну роботу.

Для полегшення набуття початкових навичок роботи з поняттям продуктивності праці можна рекомендувати школярам заповнювати стандартні таблиці, які мають відповідні аналоги в задачах на рух. Порівняймо:

І ІІ Разом

Час роботи

Продуктивність

Обсяг роботи

І ІІ Разом

Час

Швидкість

Відстань

Власне кажучи, в цих таблицях лише назви рядків є стандартизованими, а назви стовпчиків варіюються залежно від персонажів спільної дії або руху: перший та другий робітник або легкове авто та вантажівка тощо. Назва третього стовпчика також може мати варіації, але вже рідше: наприклад, Різниця за умови, коли відомо, що один з персонажів якимось чином випереджує іншого.

В обох випадках частина даних заноситься до таблиці безпосередньо з умови задачі, далі узгоджуються одиниці виміру окремих характеристик і йде поступове заповнення таблиці даними, які розраховуються вже при розв’язанні задачі. При цьому враховуються співвідношення:

або .

Тут теж існує відмінність цих класів задач: під час заповнення таблиці задачі на рух відстань найчастіше відома або легко розраховується при розв’язанні. Для задач на спільну роботу часто не вказується обсяг роботи, який, попри це, безумовно потрібний для подальших розрахунків. Доводиться або штучно домовлятися, що він дорівнює одиниці (тобто виконується одна робота), або вводити іншу ненульову сталу, яка наприкінці задачі зникне сама собою [5] (це складніше зробити і теж доволі штучно, але таким чином зберігається реальний сенс задачі). Цю ситуацію теж треба окремо обумовлювати, бо практика свідчить, що в задачах на рух вона майже не трапляється.

Власне, для розв’язання простих задач можна не залучати таблицю, а просто виконувати дії в певній послідовності згідно певного алгоритму. Заповнення таблиці для задач на спільну роботу переслідує кілька цілей:

– співставлення тексту умови з формальними характеристиками процесу роботи, поданими в таблиці, сприяє розвитку вміння інтерпретувати умови задачі в потрібному ракурсі;

– заповнення таблиці надає розв’язанню задачі більшої наочності, бо стає однією з цілей розв’язання; до того ж, за допомогою таблиці легше помітити необхідність перетворення іменованих чисел;

– вміння заповнювати таблиці, яке набувається під час роботи над задачами в 6-му класі, стане у нагоді і тоді, коли в комірках таблиці будуть розташовані змінні, а сама таблиця слугуватиме інструментом для складання рівнянь.

Арифметичний метод розв’язання задач на спільну роботу має досить широкий спектр варіацій, що підпорядковуються принципам здорового глузду та можуть бути застосовані до великої кількості різноманітних задач, навіть «цікавих» та конкурсних.

Застосовуючи до розв’язання задач вказаних типів алгебраїчний метод, можна також побачити ряд відмінностей. Відомо, що для складання рівнянь до задачі умову її потрібно прочитати щонайменше три рази. Під час першого читання відбувається первинне ознайомлення з умовою, під час другого – вибір змінних, під час третього – виділення логічних частин, кожній з яких відповідає одне обмеження в умові задачі. Змінних для розв’язання задачі потрібно обирати стільки, скільки потрібно, а от умов (тобто рівнянь) вийде стільки, скільки вийде. В задачах на рух основне питання здебільшого стосується основних характеристик руху персонажів задачі. Шукати доводиться або швидкість, або час, або відстань; цим задачам часто властивий найпростіший випадок, коли кількість складених рівнянь відповідає кількості обраних невідомих. Серед питань задач на спільну роботу часто трапляються такі, які стосуються не основних характеристик, а величин, похідних від них; при конструюванні рівнянь виявляється, що їх кількість не відповідає кількості невідомих, та й в умові зустрічається більше персонажів (щонайменше три). Це призводить до необхідності привчати учнів уважно читати в умові задачі, що потрібно знайти, і з більшою винахідливістю трактувати вже знайдені дані.

Взагалі можна зазначити, що найбільше схожі розв’язання задач на рух та на спільну роботу в тих випадках, коли за умовами задачі складається дрібно-раціональне рівняння. Таке рівняння можливо скласти за допомогою наведеної вище стандартної таблиці, також для складніших випадків може прислужитися дещо модифікована таблиця. Розглянемо, наприклад, задачу:

Один тракторист обробляв поле 9 годин, потім до нього приєднався другий тракторист. За 7 годин спільної роботи вони закінчили обробляти поле. За скільки годин впорався би з цією роботою кожен тракторист, якщо першому з них потрібно було б на 3 години більше, ніж другому?

Модифікована таблиця має вигляд:При роботі взагалі За даного режиму роботи

Перший

тракторист

Другий

тракторист

Перший

тракторист

Другий

тракторист

Разом

Часу на роботу,

годин

16 7

Продуктивність,

частина поля за

годину

Кількість роботи,

частина поля

1 1 1

Рівняння, що конструюється за допомогою такої таблиці, базується не на підсумовуванні продуктивності обох працівників, а на додаванні частин виконаної

роботи, і має вигляд: . Модифікована таблиця станеться в нагоді і

для задач на рух, якщо вони розраховані на аналогічний принцип додавання частин шляху.

Якщо ж умови задачі варіативніші за наведені, що часто властиве задачам на спільну роботу, схожість двох означених класів задач зникає. Так в задачах на спільну роботу можуть зустрічатися числові послідовності і альтернативні умови, для розв’язання можуть бути застосовані системи лінійних і нелінійних рівнянь. До кожної такої задачі необхідно буде знайти певний комплексний підхід залежно від того, композицією яких задач певних класів вона є.

Висновки. Отже, спираючись на зазначене вище, можна зауважити, що: задачі на спільну роботу є самостійним класом текстових задач, в деяких

випадках вони схожі з задачами на рух, але ця схожість не є загальною; незважаючи на зовнішню схожість запису розв’язання цих задач,

міркування, що призводять до такого запису можуть істотно відрізнятися; при навчанні учнів розв’язанню задач на спільну роботу треба звертати

увагу на розуміння учнями взаємозв’язку між основними характеристиками роботи, використовуючи в разі потреби аналогію з характеристиками руху, якщо вона зрозуміла учням та спирається на їх власний досвід;

для полегшення набуття навичок розв’язання задач на спільну роботу можна рекомендувати школярам застосовувати шаблони міркувань, виконувати серії дій за заздалегідь визначеним алгоритмом, заповнювати таблиці (ілюстративні, стандартні чи модифіковані);

робота з таблицями та шаблонами не повинна призводити до цілковитої алгоритмізації дій учнів, адже практика навчання учнів розв’язанню задач, що не спирається на цілковите розуміння суті виконуваних дій, приречена на поразку.

Література:1. Беденко М. Задачі на рух без нудьги. 2-3 класи: Зошит-посібник. –

Тернопіль: Навчальна книга Богдан, 2006 г. – 48 с.2. Клевцова С.В. Теоретическая часть по теме «Текстовые задачи». Задачи на

работу (в частности, на совместную работу). www.sooro.ru/materials/files/723.doc

3. Institute of Applied and System Analysis. http://www.fdp-ipsa.ntu-kpi.kiev.ua/eng/courseprogrammes/mathematics/index.html, http://ipsa.edu.ua/abiturienti/neobhidna-informatziia-2.html.

4. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики (5–9-е классы). Курс лекций. Педагогический университет Первое сентября http://edu.1september.ru/

5. Хабибуллин К. Полтора землекопа или Как решать задачи на совместную работу. Учительская газета. №4, 2003 http://www.ug.ru/03.04/t12.htm