Основы теории Упругости

Embed Size (px)

Text of Основы теории Упругости

, . . . . . . . () , : , "", . . . . , . . . . . . ()

1.1 , . ,

, . , , , , ( , , ), . . . , , . . (, ) : - , , . . : 1. () . - . 2. , () , , , . . , . , ( ) . 3. , , . , . 4. , , - . , , , , . , , , , , . 5. , . , .

, . 6. -. 7. , , . , , , , . : , . , ( ) . -: , , ( ), . , , . , - , , . . - , , ( ). , (. 1), N , z. , , , N N :

. N - .

. 1 1. Nx , Ny Nz (. 1, ). , . . 1, . (1.1,)

2. N , N s N t ( ) s t (. 1,), ( ). .1, . (1.1,)

, 0z (. 2), x , xy xz . , , , . : () ,

, ; , .

. 2 . 3, , , , , .

. 3

, N , . , , .

, . , , ( ) . , , ( , ) . 1.2 ( , z) dx, dy dz (. 2). , ( ), . , , , . , , . , CAD, , = f1 (x,y,z), xy =f2 (x,y,z,), xz =f3 (x,y,z,) , , , , . 3. , , : , . , , X, Z. , ,

, dxdydz

. z, , ,

.

(1.2)

, , . , , xc, ,

, , , dxdydz yz - zy = 0 yz = zy. c zc , xy = yx, yx = xy , zx = xz . (1.3) : , , . , , :

. (1.2), . , . . , ; N l, . (. 4) - . , , . , , . . 4. , pN , BCD , , z. BCD dF. dF, ACD dFl D dF.

. 4 , , , ; ,

: , . , , z, .

. .

(1.4)

(1.5)

, yz z (. 5) .

. 5

, ( ). N , (1.4) , . . . , , . , , - , .

1.3 ABCD, , N , l, (. 6). , , , BCD. 1 , y1 z1, 1 N ,

. 6

1 z1 BCD. x, y, z , . 1. 1 x1 y1 z1 x l1 l2 l3 y m1 m2 m3 z n1 n2 n3

N , BCD , Nx , pNy pNz . BCD, N ( 1) pN , BCD, N . , . (1.4) , N = x l2 + y m2 + z n2 + 2 xy lm + 2 yz mn + 2 zx nl. (1.6) Nx , pNy pNz 1 (. 6), , (1.4) ,

(1.7,) z1

(1.7,) (1.6) (1.7) , , z 1, 1, z1. (1.6), (1.7) , . 6. 1.4 , ,

. . , , , . , BCD , (. 7), . l, m . v, , v . . (1.4) v :

. , pvx = pvl; pvy = pvm; pvz = pvn.

. 7 ,

, (1.8) : v . : (1.9) l2 + m2 + n2 = 1. , , l,

, , . , ,

. , , . . , 1, 3, 2. , , . , 1 2 3 . 1 2 3, . , . , , l1 , 1, 1 , 1 , 1 - (1.8). , , l1 m1 , 1. l1 1 (1.9), 1 . (. 8). , .

. 8

, BCD , l, n, , . (1.1,) BCD . , ACD, AC ABD , pN , N (1.1,), (1.4) (1.6),

(1.9) n2 = 1 l2 m2, .

N

,

l m. , x > y > z 1 > 2 > 3, l

.

, :

, 0z 45, , , 2 3. (. 9, ).

. 9 , , 1 3 (. 9, ).

, :

3) (. 9, ). , . . l, , : .

(1.10)

1.5 , , (. 10). , , , , , .

. 10

, . 1, 2, 3 , ,

(1.11) (1.6) ,

.

(1.12)

(1.1,a) (1.4)

.

. ,

, , (1.10),

(1.13)

.

(1.13,)

1.6 . , . . - (. 11), , z,

. 11 A1 + , + v z + w. AA1 A, , v w . ; ( ) : u =f1 (x, y, z); v = f2 (x, y, z); w = f3 (x, y, z). (. 12, ) , . : x, y z , x ( xy, yz, zx ).

. 12

, , (1.14)

. . . dx dy (. 12, ). A1 , 1. , . = f1 . (x, y, z) . , 1 '. 1 ' v . x

xy , ,

, ,

z yz zx . :

.

(1.15)

(1.15) . , , : , , z zx. 1.7 (, , z) ( + dx, + dy, z + dz), dr (. 13). dr l, .

. 13 , 1, 1, dr .

, r . 1 , v w. 1 + du, v + dv, w + dw. (A1B1)2 = dr2(1+ r)2 dr2(1+2 r). , 11 : (11)2 = dx2 + dy2 + dz2 + 2dxdu + 2dydv + 2dzdw.

.

, v w, ,

, l2 + m2 + 2 = 1, 2, (1.15), . (1.16)

(1.16) r, (1.6) N , , (1.16) (1.6) . , . , :

.

1.8. (1.15) , , v w, . . . , . .

, , . , . , , (. 14,), , (. 14,), (. 14, ).

. 14 (1.15) ,

. ,

. , ,

.

(1.17,)

(1.15), :

. :

. ,

.

(1.17,)

(1.17,) (1.17,6) , , , , v w. (1.15), , , (1.15).

, , , . , , (1.15) . , (1.17, 17,) (1.15), . , , . . , .

1.9 , . :

.

(1.18)

, (1.18) , , : anm = amn. 36 15 = 21.

11, . . ., 66, 21, , . . , , . (1.18)

, . 18 :

.

(1.18,)

, , . 12. 18 6 =

. , . , . 15, zx . , (. 15,), zx (1.18) . , a46 = 0; a64 = 0.

. 15 , z, , a45 = a54 = 0 56 = 65 = 0. 90, . . , , (1.18,) .

11 = 13. (1.18,) 21 = 22 31 = 32. , . . z, z , a11 = a22 = a33 44 = 55 = 66. , . . : , G, k ( ) .

, (1.22).

(1.19)

, ( ) , : 1.

.

(1.20)

2. , . (1.20) + - , + - + z - z. , (1.12) (1.14),

,

(1.21)

(1.22) . 1. , . (1.20) , (1.21),

. (1.19),

(1.23) , , . (1.20) , (1.20) - . :

.

(1.24)

1.10 . , , , - ,

z, . z , , . . : . z (.16,) - ( ). , , z, , . , , , z, z = (. 16,) . w z (w = 0), ( v) z. z (. ), , . . z , zx zy . , , , , , x , y xy z. z , x y. , : 1. . = f1(x, y), v = f2(x, y) w = 0. (1.15)

x, , z ; yz = zx =0. . (1.20)

z = ( x + y),

(1.25)

.. z 0. (1.20) (1.25),

. 16

(1.20).

(1.26) ,

(1.27) 2. . u =f1(x,y); v = f2(x,y) w = f3(x,y). x = 1(x, y); y = 2(x, y); z = 3(x, y); xy = 4(x, y); yz = zx = 0. , ; x = yz = zx = 0.

(1.28) 3. , . (1.2) , z, a zx , : yz

(1.29) (1.4)

(1.30) pNz = 0, z = 0. (1.16) , x, y xy z, z z, yz zx ,

(1.31,) (1.31,) , (1.28),

(1.29) ,

(1.31,) 2 . (1.29) (1.31,) . , , . , , , ,

. Y = (, ), :

, (1.29). (1.31,),

, .

1.11 , , . , z, , (. 17,), - . r T r r . , r, . 17,.

. 17 , , , R

, , rdrd ,

.

(1.32,)

, r d = ds , (1.32,) (1.29) . (1.32,) .

, . r = 0 (1.32,) .

.

(1.33)

, G (1.33) ', G' '. (1.31,) . r :

. - r

. r , ,

. , . , (1.31,)

. , (1.31,) r , ,