БИЛЕТ7 1) Проблема сходимости интерполяционного многочлена. Интерполяционный многочлен Эрмита. Рассмотрим следующую задачу: пусть задана последовательность узловx k на [a,b], причём . a=x 0 ,x i < x i +1 ,b=x n Поставим в соответствие каждому. x→N k ( N k∈ N) Пусть известны не только значения функции fв точках x k - f(x k ) – но и значения всех N k −1 производных, где для любого x k : f ( x k ) ,f ( x k ) ,…,f (N k −1) ( x k ) Ставится задача построения такого многочлена, который бы удовлетворял всей этой совокупности условий. Очевидно, что степень такого многочлена должна быть равной.( ∑ k=0 n N k −1 ¿ =N ¿. Величина N k называется кратностью k-го узла. Следовательно, нужно определить коэффициенты многочлена. H N ( x ) = ∑ j=0 N a j x j .Они находятся из решения системы Многочлен, строящийся по таким обобщенным условиям, учитывающим кратность узлов интерполирования, называется интерполяционным многочленом Эрмита.Интерполяционный полином Эрмита можно записать в виде: В общем случае функции C kl ( x ) имеют очень сложный вид. Покажем, как выглядит эта формула на простом примере. Пример:Пусть , и даны значения f ( 0) ,f ( 1 ) ,f ¿ ( 0 ) ,f ¿ ( 1) . Найти многочлен , (1) удовлетворяющийобобщенным условиям интерполирования в узлах со значениями с кратностью 2.
