สารบญ

บทน�า ............................................................................................... 1

บทท 1 ล�าดบกบรปแบบ ............................................................. 3

1.1 ใตตนซากระ.......................................................................... 3

1.2 ทบาน ................................................................................... 7

1.3 โจทยทายเลขไมมค�าตอบสดทาย .......................................... 10

บทท 2 จดหมายรกนามวาสมการ ............................................. 15

2.1 ทประตโรงเรยน .................................................................... 15

2.2 โจทยคณตคดในใจ ............................................................... 16

2.3 จดหมาย .............................................................................. 17

2.4 เลกเรยน .............................................................................. 18

2.5 หองบรรยาย ........................................................................ 19

2.5.1 นยามของจ�านวนเฉพาะ ............................................ 21

2.5.2 นยามของคาสมบรณ ................................................. 25

2.6 ทางกลบบาน ........................................................................ 27

2.7 ทบาน ................................................................................... 29

2.8 เฉลยของคณมรกะ............................................................... 33

2.9 หองสมด .............................................................................. 35

2.9.1 สมการกบเอกลกษณ ................................................. 36

2.9.2 รปผลคณกบรปผลบวก .............................................. 40

2.10 ใครหนอทอยอกฟากฝงของสมการ ..................................... 44

บทท 3 เพลงวอลซของ ω ........................................................ 47

3.1 ณ หองสมด ......................................................................... 47

3.2 การสายกบการหมน ............................................................ 50

3.3 เพลงวอลซของ ω ............................................................... 57

บทท 4 ล�าดบฟโบนชชกบฟงกชนกอก�าเนด ............................. 65

4.1 หองสมด .............................................................................. 65

4.1.1 หารปแบบ ................................................................. 66

4.1.2 ผลบวกอนกรมเรขาคณต ........................................... 68

4.1.3 สอนกรมอนนต .......................................................... 68

4.1.4 ฟงกชนกอก�าเนด ...................................................... 69

4.2 ควาจบล�าดบฟโบนชช........................................................... 72

4.2.1 ล�าดบฟโบนชช .......................................................... 72

4.2.2 ฟงกชนกอก�าเนดของล�าดบฟโบนชช ......................... 74

4.2.3 หารปปด ................................................................... 75

4.2.4 ลองเขยนเปนอนกรมอนนต ....................................... 77

4.2.5 ไขปญหา ................................................................... 79

4.3 มองยอนกลบไป ................................................................... 82

บทท 5 ความสมพนธคาเฉลยเลขคณต-เรขาคณต ................. 85

5.1 ทตกนงเลน........................................................................... 85

5.2 ค�าถามพรงพร ..................................................................... 87

5.3 อสมการ ............................................................................... 89

5.4 ไปตออกกาว ......................................................................... 98

5.5 การเรยนคณตศาสตร ......................................................... 101

บทท 6 เคยงขางคณมรกะ ......................................................... 107

6.1 อนพนธ ................................................................................ 107

6.2 ผลตาง ................................................................................. 111

6.3 อนพนธกบผลตาง ............................................................... 114

6.3.1 ฟงกชนก�าลงหนง(x) ................................................ 114

6.3.2 ฟงกชนก�าลงสอง(x2) ............................................... 115

6.3.3 ฟงกชนก�าลงสาม(x3) ............................................... 118

6.3.4 ฟงกชนเลขชก�าลง(ex) ............................................. 119

6.4 ทองไปในโลกสองใบ ............................................................. 122

บทท 7 คอนโวลชน .................................................................... 125

7.1 หองสมด .............................................................................. 125

7.1.1 คณมรกะ ................................................................... 125

7.1.2 เตตระ ....................................................................... 129

7.1.3 สมการเวยนเกด ........................................................ 130

7.2 กรณทวไประหวางทางกลบบาน ........................................... 133

7.3 ทฤษฎบททวนามทบนส ......................................................... 135

7.4 หาผลคณฟงกชนกอก�าเนดทบาน ........................................ 144

7.5 หองสมด .............................................................................. 150

7.5.1 เฉลยของคณมรกะ .................................................... 150

7.5.2 เผชญหนากบฟงกชนกอก�าเนด ................................. 156

7.5.3 ผาพนคอ ................................................................... 159

7.5.4 ปราการดานสดทาย ................................................... 160

7.5.5 ทลายก�าแพง ............................................................. 163

7.5.6 วงกลมรศมศนย ........................................................ 167

บทท 8 จ�านวนฮารมอนก .......................................................... 171

8.1 ลาสมบต .............................................................................. 171

8.1.1 เตตระ ....................................................................... 171

8.1.2 คณมรกะ ................................................................... 173

8.2 ทกหองสมดมบทสนทนา ...................................................... 174

8.2.1 ผลบวกยอยกบอนกรมอนนต ..................................... 175

8.2.2 เรมจากตรงทเหนชด .................................................. 177

8.2.3 ประพจน ................................................................... 179

8.2.4 ส�าหรบทกๆ .............................................................. 182

8.2.5 ม...ซงท�าใหเปนจรง ................................................... 185

8.3 หองดนตรกบบนไดเวยนสอนนต .......................................... 188

8.4 ซตานาหงดหงด ................................................................... 190

8.5 เมอประเมนอนนตไวสงเกนไป ............................................... 192

8.6 ฮารมอนกในหองเรยน.......................................................... 199

8.7 โลกสองใบ การกระท�าสอยาง .............................................. 202

8.8 กญแจรดอก ประตไมรบาน .................................................. 209

8.9 หากโลกนมจ�านวนเฉพาะเพยงสองตว .................................. 211

8.9.1 คอนโวลชน ............................................................... 212

8.9.2 อนกรมเรขาคณตทลเขา ............................................ 213

8.9.3 การแยกตวประกอบเฉพาะท�าไดเพยงหนงเดยว ......... 214

8.9.4 พสจนวาจ�านวนเฉพาะมอยเปนอนนต ....................... 215

8.10 ทองฟาจ�าลอง ...................................................................... 220

บทท 9 การกระจายอนกรมเทยเลอรกบปญหาบาเซล .............. 225

9.1 หองสมด ............................................................................................... 225

9.1.1 การดสองใบ .............................................................. 225

9.1.2 พหนามก�าลงอนนต ................................................... 227

9.2 การเรยนดวยตนเอง ............................................................ 231

9.3 บนส ..................................................................................... 233

9.3.1 กฎการหาอนพนธ ..................................................... 233

9.3.2 หาอนพนธซ�า ............................................................ 236

9.3.3 การกระจายเทยเลอรของsinx ................................. 239

9.3.4 รปรางของฟงกชนในฐานะคาลเขา ............................. 242

9.4 ทบาน ................................................................................... 246

9.5 ทฤษฎบทหลกมลของพชคณต ............................................. 249

9.6 หองสมด .............................................................................. 256

9.6.1 ผลทเตตระลองท�ามา ................................................. 256

9.6.2 จะไปลงเอยตรงไหน .................................................. 259

9.6.3 ทาสสอนนต .............................................................. 266

บทท 10 จ�านวนแบงกน ............................................................... 271

10.1 หองสมด .............................................................................. 271

10.1.1 จ�านวนแบงกน........................................................... 271

10.1.2 ดตวอยางจรง ............................................................ 273

10.2 ทางกลบบาน ........................................................................ 280

10.2.1 ทาฟโบนชช .............................................................. 280

10.2.2 การจบกลม ............................................................... 281

10.3 บนส ..................................................................................... 283

10.4 ทบาน ................................................................................... 286

10.4.1 จะเลอกออกมาอยางไร .............................................. 287

10.5 หองดนตร ............................................................................ 290

10.5.1 การบรรยายของผม

(ฟงกชนกอก�าเนดของจ�านวนแบงกน) ....................... 291

10.5.2 การบรรยายของคณมรกะ

(ขอบเขตบนของจ�านวนแบงกน) ............................... 299

10.5.3 การบรรยายของเตตระ .............................................. 305

10.6 หองเรยน ............................................................................. 309

10.7 หนทางยาวไกลสขอบเขตบนทดกวาเดม ............................... 311

10.7.1 เรมตนจากฟงกชนกอก�าเนด ...................................... 312

10.7.2 ‘โคงแรก’เปลยนคณเปนบวก .................................... 313

10.7.3 ‘ปาตะวนออก’การกระจายเทยเลอร .......................... 315

10.7.4 ‘เนนตะวนตก’จ�านวนฮารมอนก ............................... 320

10.7.5 สนสดการเดนทาง ..................................................... 322

10.7.6 เมอเตตระมองยอนกลบไป ......................................... 324

10.8 แลวพบกนใหม ...................................................................... 326

บทสงทาย ..................................................................................... 329

จากผเขยน .................................................................................... 333

แหลงอางองและหนงสออานเพมเตม ............................................. 335

ดชน ............................................................................................ 345

ผลงานของผเขยน ........................................................................ 346

ผมยงไมลม

ไมมทางลมพวกเธอทผมเขาไปของแวะผานคณตศาสตรสมยอย

ม.ปลาย

ทงคณ “มรกะ” ผปราดเปรอง ทท�าผมตะลงดวยวธไขโจทยอนงดงาม

หรอสาวนอยราเรงอยาง “เตตระ” ทหมนตงค�าถามกบผมดวยความ

กระตอรอรน

นกถงชวงเวลานนแลว สมการกผดขนในใจ ความคดสดใหมฟงกระจาย

ไปทว อนวาสมการนนไมจดจางไปเลยแมจะลวงผานกาลเวลา แตยงคงบอกเลา

ประกายความคดของบรรดานกคณตศาสตรใหผมฟง ทงของยคลด เกาส และ

ออยเลอร...

...คณตศาสตรขามผานกาลเวลา

เมอผมอานสมการคราใด ไมวานกคณตศาสตรสมยโบราณเขาประทบ

ใจสงใด ผมกพลอยไดลมรสสงนนไปดวย แมพสจนไดแลวตงแตกรอยปกอน

บทน�ำ

เพยงทองจ�ำใชไดเสยทไหน

ตองหวนนกไดตำงหำกใชหรอไม

—โคบายาช ฮเดโอะ

2 สาวนอยรอยเลข

กไมส�าคญ แตความรสกในใจระหวางทไลตามทฤษฎบทในตอนนมนเปนของผม

อยางแนนอน

...คณตศาสตรพาเรากาวขามกาลเวลา

มนพาเราบกปาฝาดงไลลาหาขมสมบตทซอนอย คณตศาสตรคอเกม

อนนาตนเตน คอการประชนปญญา มงหนาสผลเฉลยทแขงแกรงทสด แลวบาง

ครงคณตศาสตรยงเปนศกประลองใหใจสนระรวอกดวย

สมยนนผมเพงเรมหยบจบอาวธทชอวาคณตศาสตรไดไมนาน แตเหต

วาอาวธนนมโหฬารจงเกนมอผมอยร�าไป ดงทความเยาววย ดงทหวงคะนงถง

เธอทงสองยงเกนมอตน

เพยงทองจ�าใชไดเสยทไหน

ตองหวนนกไดตางหากใชหรอไม

เรองราวเรมตนขนในฤดใบไมผลชน ม.4...

1.1 ใตตนซากระ

...ฤดใบไมผลของชน ม.4

ทองฟาแจมใสรบพธเปดภาคการศกษา

ซากระงามเบงบาน...ในโอกาสททกคนเรมออกเดนทางครงใหม...ใน

สถาบนอนมประวตมายาวนานแหงน...ขอใหนกเรยนทมเทใหการเรยน ใหการ

กฬา...พวกเธอเอย ความรเจายงดอยเรงศกษา...

ถอยค�ากลาวตอนรบแสดงความยนดของผอ�านวยการเรยกความงวงงน

มาใหไมหยดหยอน ผมท�าเปนขยบแวนเพอกลนหาว

เสรจสนพธเปดภาคการศกษา ระหวางทางกลบหองเรยน ผมแอบยอง

ออกจากอาคาร ย�าเทาไปยงทวตนซากระดานหลง กาวเดนไปชาๆ รอบตวผม

ไมมใคร

บทท 1

ล�ำดบกบรปแบบ

หนง, สอง, สำม สำมหนงหน

หนง, สอง, สำม สำมสองหน

—โอชมะ ยมโกะ, “ดาวแผนดนปยฝาย (Wata no kuni hoshi)”

4 สาวนอยรอยเลข

ขณะนผมอาย 15 ป 15, 16, 17, ... พอเรยนจบก 18 ในนมจ�านวนก�าลง

สอยหนงตว จ�านวนเฉพาะหนงตว

15 = 3 ∙ 5

16 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 24 จ�านวนก�าลง 4

17 = 17 จ�านวนเฉพาะ

18 = 2 ∙ 3 ∙ 3 = 2 ∙ 32

ปานนในหองเรยนคงก�าลงแนะน�าตวกนอย ผมเองไมถนดแนะน�าตว

สกเทาไร จะใหผมพดอะไรเกยวกบตวเองละ ?

“ผมชอบเลข มงานอดเรกชอบกระจายสตรเลขครบ ยนดทไดรจก”

...ฟงดงเงาชอบกล

ชางมนเหอะ ยงไงผมกคงเรยนไปสงบๆ นงกระจายสตรเลขอยในหอง

สมดทไมมใครเขาไปใช ท�าไปอกสามปไมตางจากตอน ม.ตน นนแหละ

เบองหนาผมมตนซากระใหญสะดดตาตนหนง

หญงสาวคนหนง ยนแหงนมองซากระตนนนอย

นกเรยนใหมงนหรอ คงแอบดอดมาเหมอนเราละมง

ผมเงยหนามองตนซากระบาง สสนเบาบางแผคลมทองฟาไว

สายลมโบกพดกลบซากระปลวไหวไปโอบกอดหญงสาว

เธอหนมามองผม

ล�าตวเธอผอมเพรยว เรอนผมสด�ายาว

ใบหนาจรงจงก�าลงเมมปากภายใตแวนกรอบโลหะ

แลวเธอกพดขนเสยงดงฟงชด

“หนง, หนง, สอง, สาม”

1 1 2 3

5บทท 1 ล�าดบกบรปแบบ

พอทองตวเลขไดสตว หญงสาวกเงยบลงแลวชมาทางผม คลายจะบอก

วา... เอา นายทยนอยนนนะ ตอบมาซวาตวถดไปคออะไร

ผมชตวเอง (ใหเราตอบ ?)

เจาหลอนเพยงพยกหนาโดยไมพดอะไร ยงคงชนวมาทางผม

อะไรละเนย... เดนดทวซากระอยดๆ ท�าไมตองมาเลนเดาเลขดวย เออ

เมอกมเลขอะไรบางนะ ?

1, 1, 2, 3, ...

“1, 1, 2, 3 ถดไปคอ 5 แลวก 8 แลวก 13 ถดไปอกก 21 จากนน...”

เธอหนฝามอมาทางผม สงสญญาณใหหยด

คราวนอกค�าถาม เปนเลขอกสตว

1 4 27 256

แลวเธอกชผม

นทดสอบกนอยร

1, 4, 27, 256, ...

ผมมองกฎออกในพรบตา

“ตอจาก 1, 4, 27, 256 ก 3125 ละมง แลวก... เออ คดในใจไมไหวละ”

สหนาเธอผดหวงเมอผมบอกวา คดในใจไมไหว แลวเธอกสายหนา

สองสามทกอนเฉลยเสยงใสวา

“1, 4, 27, 256, 3125, 46656, ...”

แลวเธอกหลบตา แหงนคอขนเลกนอยคลายเงยหนามองตนซากระ

เธอชนวชขนกลางอากาศวาด วบ วบ วบ

เหมอนสาวนอยผนจะพดถงแตตวเลข เธอเพยงรอยเรยงจ�านวนอยาง

เรยบงายพรอมออกทาทางเลกนอย ทวาผมกลบละสายตาจากเดกผหญงแปลกๆ

คนนไมได เธอคดอะไรถงได...

6 สาวนอยรอยเลข

แลวเธอกมองมา

6 15 35 77

เลขสตวอกละ

6, 15, 35, 77, …

อนนยากแฮะ ผมครนคดเตมก�าลง

6 กบ 15 เปนพหคณของ 3 แต 35 ไมใช แลว 35 กบ 77 เปนพหคณ

ของ 7 งนก... ถาทดในกระดาษคงนกออกไดไมยาก

ผมเหลอบมองเธอ ปรากฏวาหญงสาวทใตตนไมยงคงยนตรงมองผม

สหนาจรงจง แมกลบซากระจะปลวมาตดผม เธอกไมปดทง จรงจงอยางนสงสย

เปนการทดสอบกนแหงๆ

“รแลว”

พอผมวาเชนนน หญงสาวกตาเปนประกาย คลยมนอยๆ เปนครงแรก

“6, 15, 35, 77 แลวก 133” ผมเผลอพดเสยงดง

แตเธอกลบสายหนาเปนเชงวานาเสยดาย เสนผมยาวพลวไหว กลบ

ดอกไมรวงโรย

“คดเลขผด” นวเธอสมผสแวน

คดเลขผดหรอ... อาว จรงดวย 11 × 13 = 143 นนา ไมใช 133

เธอวาตอ... งนค�าถามถดไป

6 2 8 2 10 18

คราวนใหมาหกตว ผมคดอยพกหนง ตวสดทายเปน 18 นล�าบากจรง

ถาเปน 2 กสบายไปแลว เหมอนใหเลขมามวๆ เลย... เดยวนะ ทกตวเปนเลขค

7บทท 1 ล�าดบกบรปแบบ

เหรอ... ออรแลว!

“ตอไปคอ 4, 12, 10, 6, ... ขอนโหดนะ” ผมวาเชนนน

“เหรอ ? แตนายกตอบไดน”

เธอพดสหนาละมนละไม ขยบเขาใกลแลวยนมอมาหาผม นวเธอชาง

เรยวยาว

(จบมอ ?)

ผมจบมอเธออยางไมคอยเขาใจ มอนนนมนวลและอบอนเสยจรง

“ฉนชอมรกะ ยนดทรจก”

แลวผมกรจกกบคณมรกะดวยประการฉะนเอง

1.2 ทบาน

ตกกลางคน

ผมชอบเวลากลางคน เมอคนในบานเขานอนแลวกเปนชวงเวลาอสระ

ทไรขอบเขตส�าหรบผม มโลกอยใบหนงซงไมมใครแวะเวยนเขามา ภายในมผม

อาศยอยเพยงผเดยว ผมกางต�าราส�ารวจโลก ครนคดคณตศาสตรดงฝาเขาไป

ในดงลก คนพบสตวแปลกประหลาดทงหลายแลทะเลสาบใสจนตองตะลง ไปเจอ

ตนไมใหญขนาดตองแหงนหนามอง ไปพบดอกไมงามเขาโดยไมคาดฝน

คณมรกะ

เจอกนครงแรกกชวนคยเรองนน ถอวาเธอแปลกคนอย เธอคงชอบเลข

ไมผดแน มทไหนอยดๆ กทายล�าดบเลขโดยไมทนใหตงตว ท�าอยางกบทดสอบ

กนเลย วาแตเราสอบผานหรอเปลานะ จบมอทกทาย มอทนมนวล กลนหอมจางๆ

เปนกลนละมนบางเบา...ของเดกผหญง