51
ลํา ลํา ลํา ลําดะบแลอนุกรม ดะบแลอนุกรม ดะบแลอนุกรม ดะบแลอนุกรม (Sequences and Series) Sequences and Series) Sequences and Series) Sequences and Series) หนะงสือเรียนออนไลน ชวงชะ้นทีนะงสือเรียนออนไลน ชวงชะ้นทีนะงสือเรียนออนไลน ชวงชะ้นทีนะงสือเรียนออนไลน ชวงชะ้นที่ 4 ชุ ชุชุ ชุด ด “คณิตศาสตรบนเว็บไซต คณิตศาสตรบนเว็บไซต คณิตศาสตรบนเว็บไซต คณิตศาสตรบนเว็บไซต” เลมทีเลมทีเลมทีเลมที่ 10 10 10 10 สะทธา หาญวงศฤทธิสะทธา หาญวงศฤทธิสะทธา หาญวงศฤทธิสะทธา หาญวงศฤทธิ .. 2537 กก

Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

ลําลําลําลําดะบแลัอนกุรมดะบแลัอนกุรมดะบแลัอนกุรมดะบแลัอนกุรม ((((Sequences and Series)Sequences and Series)Sequences and Series)Sequences and Series)

หหหหนะงสอืเรยีนออนไลน ชวงชะน้ที ่นะงสอืเรยีนออนไลน ชวงชะน้ที ่นะงสอืเรยีนออนไลน ชวงชะน้ที ่นะงสอืเรยีนออนไลน ชวงชะน้ที ่4444 ชุชชุุชุด ด ด ด ““““คณติศาสตรบนเวบ็ไซตคณติศาสตรบนเวบ็ไซตคณติศาสตรบนเวบ็ไซตคณติศาสตรบนเวบ็ไซต”””” เลมที ่ เลมที ่ เลมที ่ เลมที ่10101010

สะทธา หาญวงศฤทธิ์สะทธา หาญวงศฤทธิ์สะทธา หาญวงศฤทธิ์สะทธา หาญวงศฤทธิ์

�������������� ��� ���������������������������������� ���� !�" �.%. 2537

�����*��+,��+�-����,� ��ก���� �ก�������/�+�-���� ��ก�%0ก1�� ������

Page 2: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม
Page 3: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

������

��������������� ��� �����+2�� �� / 10 ,�5*���� 15 � �� 60/�78��������5�� *��0��-�����������ก/��ก��

*����9 ����ก� -����/����5�ก� / 1 ����������� *���� *������������: ������� *���� *����9ก���ก���

9 � *����;<-���ก� ,�� / 2 ��5�����9������+�8����ก� -����/����5�กก�,����������������ก� ���ก���������:

��ก5�ก����9 ���������ก��������-5 ��+=����ก/��ก�����ก� -��78������*���5�ก��������������� �� �� /��� ��,5,�+< /7���: �� �� ���5�ก�*�����,���������%0ก1����� +>� ���,�� / 3 �ก/��ก�����ก����5*�ก��-��5���/����5�กก�,����������������ก����5*�ก�� ก� 8� ����������ก����5*�ก�� ��ก5�ก����9 �����5�9���*����ก����5*�ก���������� /�����,5���������� �� ������ ���/������ก/��ก��ก�����5*�����ก��,�8+���7 ��ก������ก����5*�ก������������ 78������������ก�5�� *��������������� ��� ����5��+�-����9ก�78��������������กก?���� 9 ����/�������� ���7��� �� /���������ก�9ก����ก������ 50���,��78��������,���*�9���*�����: /�+�-����9ก�78��������/� / 5������5�@�9ก�������+�

����� !� �����%�A !�" 4 ������� �.%. 2549

��������ก���������� ���� 1

�ก�+��+���������������� ��� ��������+2�����9ก -��78�������� *�ก�+��+���*��!����,������� / 1.5 ��/�� *����9ก���ก������,���,��D8ก�������� �����9 � A1E� ���� ������/�����9��FGก������/�����������������,5,������������������ 78������������ก�+��+��,�������5�����,��78������ก����������,5,����������� ���������5�9 �D8ก������ก��/��0���

����� !� �����%�A !�" 16 �A%5�ก��� �.%. 2549

Page 4: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม
Page 5: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

����

���� 1 ���� 1 � 24

1.1 *���� 1

1.2 *����� ��@�� 3

1.3 *��������@�� 5

1.4 ������� *���� 7

1.5 *����9ก���ก��� 20

1.6 *����;<-���ก� 23

���� 2 ���ก�� 25 � 36

2.1 ���ก� 25

2.2 ���ก�� ��@�� 29

2.3 ���ก�����@�� 33

���� 3 ���ก��������ก� 37 � 44

3.1 ���ก����5*�ก�� 37 3.2 ก� 8�����������ก�� 9 ����ก�I������ก 41 3.3 ก�����5*�����ก���+2�7 ��ก������ก����5*�ก�� 43 �� ���ก�� !�"!#���$%��&�������' 45

Page 6: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม
Page 7: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

���� 1

����

1.1 ����

)*�+������ 1.1 ก*����,�� an = 3n + 1 5��� 5 �5��9ก��� *������ *-.���� ���/� n = 1, 2, 3, 4, 5 5������� a1 = 3(1) + 1 = 4

a2 = 3(2) + 1 = 7

a3 = 3(3) + 1 = 10

a4 = 3(4) + 1 = 13

a5 = 3(5) + 1 = 16

����J����� 5 �5��9ก��� *���� an = 3n + 1 ��� 4, 7, 10, 13, 16 �

)*�+������ 1.2 ก*����,�� {�3, 32

, � 34

, 38

, � 316

} �+2� *���� 5����5�� �/��+��� *������

*-.���� ���/��5�ก �3 = (�1)( )03

2

32

= (�1)2( )1

3

2

� 34

= (�1)3( )2

3

2

38

= (�1)4( )3

3

2

� 316

= (�1)5( )4

3

2

����J����� �5�� �/��+��� *��������� an = (�1)n( )n 1

3

2− ���/� n = 1, 2, 3, 4, 5 �

��-+�� 1.1 *���� (sequence) ��� ;=�ก���� /��6����5*������?���ก�+2�-���� 9 ������6����5*����5���+2���5� 9 �,����� �ก1@� {an} 9 ��5�� �/��+��� *���� an ���/� n �+2�5*������?���ก

Page 8: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

2 ����!�"���ก��

)*�+������ 1.3 ก*����,�� an + 2 = 1

2 n 1− �*���� �ก:5*������?���ก n > 2 5��� 5 �5��9ก��� *������

*-.���� ,�� m = n + 2 ������� n = m � 2

���/� m = 2 5���� n = 0

������� an + 2 = am = ( )

1

2 m 2 1− − = 1

2 m 3−

D��ก*����,�� m = n 5������� an = 1

2 n 3− �*���� �ก: 5*������?���ก n > 3

���/� n = 4; a4 = 1

2 4 3− = 1

2

���/� n = 5; a5 = 1

2 5 3− = 1

2 2

���/� n = 6; a6 = 1

2 6 3− = 1

2 3

���/� n = 7; a6 = 1

2 7 3− = 1

2 4 = 1

4

���/� n = 8; a8 = 1

2 8 3− = 1

2 5

����J����� 5 �5��9ก��� *��������� { 12

, 1

2 2, 1

2 3, 1

4, 1

2 5} �

$%���/ก) ���� n ��5�����/���� / n = 1 �����+ ����������� / 1.3 ������/���� / n = 4

5�ก ��������������5���?������� ����55*�9�ก *������ก�+2� 2 �������5*�����5����� *���� ก ������

D�� *�����5*�����5��5*�ก�� ��ก?��ก *������������� �������ก�� (finite sequence) 9 �D�� *�����5*�����5�� ���5*�ก�� ��ก?��ก��� ����������ก�� (infinite sequence) ����*������ ����5,���*���� *����������ก?��� ����� ��5ก �������ก�������0/���� � *����5*�ก��� ��� ;=�ก���� /��6����5*������?���ก�+2�-���� 9 ������6���� �6����5*����5���+2���5� 9 � � *�������5*�ก��� ��� ;=�ก���� /��6����5*������?���ก�+2�-����9 ���6�

���5*����5���+2���5�ก?��� ��0/� � �ก�ก@L�,�ก�5*�9�ก *����������5�0����8�ก�� �ก1@��J������ *�������� ���� 7 ���������� *���� ����������������� *���� ���ก� 8����� � 8���ก��� *��������ก?��� 60/���5������5�@�,��� �����

����+

!01ก#� 1.1

1. 5���5�@����;=�ก���� /ก*����,������+���+2� *���������� ���/�,�� R �+2��6����5*����5�� 9 � �ก: Si /ก*����,���+2�����6����5*����5��

1) f1 : {1, 2, 3, 4} → R

2) g1 : {1, 2, 3, '} → R

3) h1 : {1, 3, 5, '} → S1

Page 9: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 3

4) f2 : {1, 3, 5, '} → R

5) g2 : {1, 2, 3, '} → S2

6) h2 : S3 → R

2. 5���5�@���� *���� /ก*����,������+���+2� *����5*�ก����� *�������5*�ก��

1) {an | an = n2 � 4 9 � 1 ≤ n ≤ 6, n �+2�5*������?���ก}

2) {an | an = 23

n + 1 9 � n ≥ 1, n �+2�5*������?���ก}

3) {an | an = 1

1n n + 1

1

1 −

− 9 � n ≥ 1, n �+2�5*������?���ก}

� � � � � �

1.2 ����/�$� -)

5�ก� ����� 1.2 5������� a1 = a1

a2 = a1 + d

a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d

a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d

a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d

' ' '

an = a1 + (n � 1)d

����J����� �*����5*������?���ก n ,�: *����� ��@��5���5�� �/��+��� an = a1 + (n � 1)d ���/�

a1 ����5��9ก��� *����� ��@�� d ���7 ������� 9 � an ����5�� / n ��� *����� ��@��

)*�+������ 1.3 5����5�� �/��+��� *���� {�1, 1, 3, 5, 7, '}

*-.���� ���/��5�ก �1 = �1

1 = (�1) + 2

3 = 1 + 2

��-+�� 1.2

����������� (arithmetic sequence) ��� *����60/�7 ��������5�� /��8����ก�������� / 9 ���ก����� /����� �7 �������� (common difference)

Page 10: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

4 ����!�"���ก��

5 = 3 + 2

7 = 5 + 2

'

����J����� �5�� �/��+��� *���� {�1, 1, 3, 5, 7, '} ��� an = �1 + (n � 1)(2) = �3 + 2n �

)*�+������ 1.4 5����5�� �/��+��� *���� {1, 3, 5, 7, '}

*-.���� ���/��5�ก 1 = 1

3 = 1 + 2

5 = 3 + 2

7 = 5 + 2

'

����J����� �5�� �/��+��� *���� {1, 3, 5, 7, '} ��� an = 1 + (n � 1)(2) = �1 + 2n �

)*�+������ 1.5 *����� ��@�������0/���5��9ก, �5��ก �� 9 ��5�� ����+2�� ��8� D���5�����������5��ก �� � ��ก�� �14 9 � �26 9 ��5����5�� �/��+��� *������ *-.���� -5 ��ก*���� ���������������ก��� ��,��

���/��5�ก�5��ก ����� n2

������� �5�����������5��ก ��ก?���9ก� n2

� 1 9 � n2

+ 1

5�ก��ก� an = a1 + (n � 1)d -----(1.2.1)

9 ���� �14 = a(n/2) + 1 = a1 + ( )n2

+ 1 1 d − = a1 + ( )n2

d -----(1.2.2)

9 ���� �26 = a(n/2) � 1 = a1 + ( )n2

1 1 d − − = a1 + ( )n2

2 d−

= a1 + ( )n2

d � 2d -----(1.2.3)

9 ������ก� (1.2.2) �,���ก� (1.2.3) 5������� �26 = �14 � 2d

2d = �14 + 26 = 12

������� d = 6 9 ���� d = 6 �,���ก� (1.2.2) 5�������

�14 = a1 + ( )n2

(6) = a1 + 3n

������� a1 = �14 � 3n -----(1.2.4)

5�ก��ก� an = a1 + (n � 1)d 9 ���� a1 = �14 � 3n, d = 6 5������� an = (�14 � 3n) + (n � 1)(6) = �14 � 3n + 6n � 6 = �20 � 3n

����J����� �5�� �/��+��� *��������� an = �20 � 3n �

Page 11: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 5

� *�����ก������0/�60/������0����5�ก *����� ��@������ ���������+��

)*�+������ 1.6 5�9������ *���� {1, 12

, 13

, 14

, '} �+2� *����I��-���ก

*-.���� ���/��5�ก 1 = 11

2 = ( )1

2

1

3 = ( )1

3

1

' ' '

an =

( )n

1a

1

9 �������� {1, 2, 3, ', an} �+2� *����� ��@��

����J����� {1, 12

, 13

, 14

, '} �+2� *����I������ก�������ก� �

!01ก#� 1.2

1. ,�� 5, x, 20, ' �+2� *����� ��@�� /�7 ��ก��� 12 �5��9ก�+2� a 9 � 5, y, 20, ' �+2� *��������

�@�� /��5�� / 6 �+2� b -�� / y < 0 9 �� a + b ����� ��,�

2. �5��9ก /�+2�����*�/)3����� *����� ��@�� 200, 182, 164, 146, ' ��������5�ก�5�� / 10 � ��ก��� ��,�

� � � � � �

1.3 ����/�$�� -)

5�ก� ����� 1.4 5�������

��-+�� 1.3

*���� {a1, a2, a3, ', an, '} �+2� *����I������ก ก?������/� *���� {1

1a

,2

1a

,3

1a

,',n

1a

, '} �+2� *����� ��@��

��-+�� 1.4

������������ (geometric sequence) ��� *���� /�������������5�� /��8����ก��� ��ก��5*����5���� / �����0/� 9 ���ก5*����5���� /����� ������������� (common ratio)

Page 12: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

6 ����!�"���ก��

a1 = a1

a2 = ra1

a3 = ra2 = r2a1

a4 = ra3 = r3a1

' ' '

an = ran � 1 = rn � 1

a1

����J����� �*����5*������?���ก n ,�: *��������@��5���5�� �/��+��� an = a1rn � 1

���/� a1 ���

�5��9ก��� *��������@�� r ���7 ������� 9 � an ����5�� / n ��� *��������@��

)*�+������ 1.7 5����5�� �/��+��� *���� {1, 12

, 14

, 18

, 116

, '}

*-.���� ���/��5�ก 1 = ( )012

12

= ( )112

14

= ( )212

18

= ( )312

' ' '

������� �5�� �/��+��� *��������� an = ( )n 112

− �*���� �ก: 5*������?���ก n �

!01ก#� 1.3

1. ก*����,�� a, b, c �+2� 3 �5��������ก��,� *��������@�� 9 ��7 �8@�+2� 27 D�� a, b + 3, c + 2 �+2�

����5��������ก��,� *����� ��@��9 �� a + b + c ����� ��ก��� ��,�

2. ก*����,�� a + 3, a, a � 2 �+2�����5�����ก����� *��������@�� /�������������+2� r 9 ��������

n 1

n = 1

ar∞ −∑ � ��ก��� ��,�

3. ,�� x, y, z, w �+2��5�� 4 �5�����ก��,� *��������@�� -�� / x �+2��5��9ก D�� y + z = 6 9 � z + w = �12 5����������8@�����5�� / 5 ��� *������

� � � � � �

Page 13: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 7

1.4 �-�-)$������

��5�@� *���� an = nn + 1

���ก�;-��,��9ก�����+2������� n 60/����/��0����/��: ���� /������� 9 �,��

9ก�����+2������� an �*���� n /�����ก����������

�&� 1.1 ก��6$�� an = nn + 1

5���?�������/� n �������/���ก�0����/��: -������ /������� ก�;��� an = nn + 1

5�����,ก ������� y = 1

,�ก@��������5�ก ������ *���� an 8������8� 1 ��� ������� *���� an � ��ก�� 1 60/�����9 ����������� �ก1@����

nn

lim a→∞

= 1

,�ก@ �/�: �+ �*����5*����5�� L ������ 5�ก ������ *���� an 8������8� L 5�����9 ����������� �ก1@�

nn

lim a→∞

= L 9 ���ก an ��� �����&�/$%�� (convergent sequence) 9 �,�ก@ /����5*����5�� L ,�� � /

*���� an 8������8� L 5���ก an ��� �����&���ก� (divergent sequence)

)*�+������ 1.8 ก*����,�� an = 2nn + 1

�*����5*������?���ก n ,�: 5���5�@���� *���� /ก*����,���+2�

*���� 8�������� *���� 8���ก D���+2� *���� 8����� 5��� ������� *������

*-.���� ���ก�;��� an = 2nn + 1

-��,�� n �+2�9ก����60/��������/��0������ /������� 9 �,��9ก������+2����

��� an ��������

��-+�� 1.5 5�ก ������ *���� an �+2� *���� 8�����ก?������/� an 8������8�5*����5�� L ������ 9 �ก ������ an �+2� *���� 8���ก

ก?������/� *���� an ��� 8������8�5*����5��,�� �

Page 14: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

8 ����!�"���ก��

��5�@����/� n �+2�5*������?���ก 9 ��������/���ก�0����/��: 5���?���������� 8������8� 2

����J����� *�������+2� *���� 8�����9 ������� nn

lim a→∞

= ( )2nn + 1

n

lim→∞

= 2 �

)*�+������ 1.9 ก*����,�� an = n �*����5*������?���ก n ,�: 5���5�@���� an �+2� *���� 8�������� *����

8���ก D���+2� *���� 8�����5��� ������� *������ *-.���� ���ก�;��� an = n �*����5*������?���ก n ,�: -��,��9ก�����+2������� n 60/����/��0��-�� ���������� 9 �,��9ก������+2������� an ��������

5���?��������ก�;����9��-��� /5� 8�������5*����5��,�� � ����J����� *������ 8���ก �

A1E� /�ก/��ก�� ������� *�������8���ก��� 9��ก���5��+D0�5������78�����5���,��� ����� ������� *����,�����ก�������������5�� (Real Analysis) ���ก��������

$%���/ก) ,�ก�,��� ����� 1.6 ,�ก���5������ ������� *�������8�5�� ��ก *�-����5�ก� �����5� *�

�����ก��ก ������� ,� ��+P�����50�����,��ก�������-����/����5�ก������� |an � L| < ε 9 �� ��������5*������?���ก N /����ก� ��,��78�������5�@�������������+������������5�����,�� ����,5� ����� 1.6 ��ก��/��0��

��-+�� 1.6

ก*����,�� ε > 0 5�����5*������?���ก N /60/�D�� n ≥ N (-�� / N �0����8�ก�� ε) �*���� �ก: 5*����

��?���ก n 9 �� |an � L| < ε

Page 15: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 9

)*�+������ 1.10 5�9������ nn + 1

n

lim→∞

= 1

*-.���� ,�� ε > 0

��5�@� |an � L| = nn + 1

1− = n n + 1n + 1 n + 1

− = 1n + 1

− = 1n + 1

< ε

5������� 1 < ε(n + 1) (‹ ε > 0)

< εn + ε

1 � ε < εn

1 − εε < n

1ε � 1 < n

5�ก ε > 0 5������� 0 < 1ε < 1

������� 1ε � 1 < 0 < n

��/���� �*����5*������?���ก N ≥ 1ε � 1 5������� n

n + 1n

lim→∞

= 1 �������ก� �

����+���+2� A1E� �ก/��ก�� ���� /�����,5 A1E� ,� /������9���ก����85�������,��78����� �����85�� �+2�9��FGก���-��,��9��ก����85����� /78��������9������+�ก��ก��ก�,��� ����� 1.6 ���ก ���9 ���������

9-�&��' ก*����,�� ε > 0

5�ก nn

lim a→∞

= L1 9 � nn

lim a→∞

= L2 5��������5*������?���ก N1, N2 /60/�

�*���� �ก: 5*������?���ก n ≥ N 5������� |an � L1| < 2ε 9 � |an � L2| <

��5�@� |(an � L1) � (an � L2)| ≤ |an � L1| + |an � L2| (‹ ���ก����8+����� /��)

≤ 2ε +

= ε

9�� |(an � L1) � (an � L2)| = |�(L1 � L2)| = |L1 � L2| = ε

5������� L1 = L2 �������ก� �

$%���/ก) A1E� 1.1 ��5ก ����ก�������0/���� D�� *������ �������9 �� ������� *��������5������������� � ������ (����������� 8������8�5*����5������5*��������� ������)

#��+/#)� 5�ก A1E� 1.1 ��,��78����� �����85����� �*����5*����5����ก ε ,�: D�� |L1 � L2| = ε

9 �� L1 = L2

�:;<�� 1.1 (Uniqueness of limit of sequence) D�� n

n

lim a→∞

= L1 9 � nn

lim a→∞

= L2 9 ��5������� L1 = L2

Page 16: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

10 ����!�"���ก��

����+���+2� A1E� �ก/��ก�����@����� ������� *���� 60/��+�-������ก,�ก��*��+,��9ก�+=����ก/��ก��ก��� ������� *����

9-�&��' ก*����,�� ε > 0 9 � N1, N2 �+2�5*������?���ก,�:

1) 5�ก |k � k| < ε

5���� 0 < ε

������� n

lim k→∞

= k �������ก�

2) ก@ k = 0 5���?�������������� /����ก����85���+2�5��

������� �������� k ≠ 0

5�ก nn

lim a→∞

= L 5��5*������?���ก N /60/��*���� n ≥ N 9 �� |an � L| < kε

��5�@� |kan � kL| = |k(an � L)| = |k||an � L| < |k|⋅kε = ε

3) 5�ก nn

lim a→∞

= L, nn

lim b→∞

= M

5��5*������?���ก N1, N2 /60/��*���� n ≥ max{N1, N2}

9 �� |an � L| < 2ε 9 � |bn � L| <

��5�@� |(an + bn) � (L + M)| = |(an� L) + (bn � M)| ≤ |an � L| + |bn � L|

< 2ε +

2ε = ε

�:;<�� 1.2 ก*����,�� n

n

lim a→∞

= L, nn

lim b→∞

= M 9 � k �+2�5*����5��,�: 5�������

1) n

lim k→∞

= k

2) nn

lim ka→∞

= kL

3) ( )n nn

lim a + b→∞

= L + M

4) ( )n nn

lim a b→∞

− = L � M

5) ( )n nn

lim a b→∞

⋅ = L ⋅ M

6) ( )n

n

a

bn

lim→∞

= LM

7) nn

lim a→∞

= nx

lim a→∞

= |L|

Page 17: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 11

������� ( )n nn

lim a + b→∞

= L + M

4) ��5�@� *���� an � bn = an + (�bn) 9 �5�ก��� 3) ก?5������� /����ก�

5) ก*����,�� α �+2������������ |an| 5�ก n

n

lim a→∞

= L, nn

lim b→∞

= M

5��5*������?���ก N1, N2 /60/��*���� n ≥ max{N1, N2} 9 �� |an � L| < ( )2 M + 1ε

9 � |bn � M| < 2εα

��5�@� |anbn � LM| = |anbn � LM � anM + anM| = |(anbn � anM) + (anM � LM)| = |an(bn � M) + M(an � L)| ≤ |an(bn � M)| + |M(an � L)| = |an||(bn � M)| + |M||(an � L)|

< α⋅2εα + ( )2 M + 1

ε

< 2ε +

2ε = ε

������� ( )n nn

lim a b→∞

⋅ = L ⋅ M

6) ��5�@� *���� n

n

a

b = an ⋅

n

1b

-�� / bn ≠ 0 9 �5�ก��� 5) ก?5�����������ก�

7) 5�ก nn

lim a→∞

= L 5��5*������?���ก N /60/��*���� n ≥ N 9 �� |an � L| < ε

5������� � ε < an � L < ε

������� L � ε < an < L + ε

5������� an < L + ε

������� |an| < |L + ε| ≤ |L| + |ε| 5������� |an| � |L| < |ε| ������� na L− < ε = ε (‹ ε > 0)

��/���� nn

lim a→∞

= |L|

9 �5�ก |an � L| < ε

5������� na L− < |ε| = ε (‹ ε > 0)

��/���� nn

lim a→∞

= nx

lim a→∞

Page 18: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

12 ����!�"���ก��

9 �5�ก nn

lim a→∞

= L 5���?���������� nx

lim a→∞

= |L| �

#��+/#)� ��� �ก1@� max{N1, N2} �*����5*������?���ก N1, N2 ���/�ก*����,�� N = max{N1, N2} ����D0�

N ≥ N1 ��� N ≥ N2

��0/� ������/��5�กก��� ������� *����-��ก����ก�;���� *������ก,�ก@ /���5�������6��6�����ก:

������� 50��ก����� A1E� �0���������0/����/��*������������ก,�ก��� ������� *����,�������0���������+��

9-�&��' 1) ���85��-��,��� �ก��+��������@��%����

ก*����,�� P(k) 9 �������� k1

nn

lim→∞

= 0 �*���� �ก: 5*������?���ก k

�������: ���/� k = 1 5������� 1n

n

lim→∞

= 0 �+2�5��

����������: ก*����,�� k′ �+2�5*������?���ก

�������� k

1

nn

lim ′→∞

= 0

��5�@� k + 1

1

nn

lim ′→∞

= k

1

n nn

lim ′⋅→∞

= ( )k

1 1n

nn

lim ′→∞

�:;<�� 1.3

1) k1

nn

lim→∞

= 0 �*���� �ก5*����5����ก k

2) k

n

lim n→∞

8���ก

3) k

m

nn

lim→∞

= 0 �*���� �ก5*����5�� m, k 9 � k > 0

4) n

n

lim x→∞

=

5) D�� nn

lim a→∞

= L 9 � m na �+2�5*����5���*���� �ก5*������?���ก n 9 ��

( )mn

n

lim a→∞

= m L

0 ���/� �1 < x < 1

1 ���/� x = 1

8���ก ���/� x > 1

Page 19: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 13

= k

1

nn

lim ′→∞

⋅ 1n

n

lim→∞

( A1E� 1.2 ��� 5))

= 0 ⋅ 0 (-�������R�� 9 �5�ก����R��) = 0

������� -��� �ก��+��������@��%����5������� k1

nn

lim→∞

= 0 �*���� �ก: 5*������?���ก k

2) ���/��5�ก nk =

( )k1

n

1

����J����� k

n

lim n→∞

=

( )k1n

n

1lim→∞

=

( )n

1k

nn

lim 1

lim

→∞

→∞

5�ก��� 1) k1

nn

lim→∞

= 0 ������� �5�� ( )

n

1k

nn

lim 1

lim

→∞

→∞

50��ก��ก�������%8���60/���������,�

���5*����5�� ����J����� k

n

lim n→∞

����������� 9������ *���� 8���ก

3) ��5�@� km

n = m ⋅ k

1

n 9 �5�ก��� 1) ก?5�����������ก�

4) ก��� �1 < x < 1: ���/��5�ก xn �+2� *��������@�� / |x| < 1 ������� �+2� *���� 8�����

9 �5�ก��� 1) ก?5�����������ก� ก��� x = 1: ������� /����ก����85���+2�5��

ก��� x > 1: ���/��5�ก xn �+2� *��������@�� /� |x| > 1 ������� �+2� *���� 8���ก

5) ,�� L′ = ( )mn

n

lim a→∞

= ( )1m

nn

lim a→∞

5������� ℓn L′ = ( )1m

nn

n lim a→∞

= ( )1m

nn

lim n a→∞

= ( )1nm

n

lim n a→∞

⋅ ℓ

= ( )1m

n

lim→∞

⋅ ( )nn

lim n a→∞

Page 20: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

14 ����!�"���ก��

= 1m⋅ n

n

n lim a→∞

= 1m⋅ℓn L

= 1mnLℓ

������� L′ = 1mL = m L �

#��+/#)� ���/��5�ก;=�ก���� �ก�� 0�!������+2�;=�ก����������/�� / �ก: 5��,�-���� �������

[ ]nn

lim na→∞ℓ = n

n

n lim a→∞

ℓ �*���� *�������5�� an

)*�+������ 1.11 5��� ������� *���� /ก*����,������+�� (D���)

1) an = 2n + 13n + 4

2) bn = 2

23n 4

2n + 1

3) an + bn

4) an ⋅ bn

5) n

n

a

b

*-.���� 1) nn

lim a→∞

= ( )2n + 13n + 4

n

lim→∞

= 1n4n

2 +

3 + n

lim→∞

=

1n

n n

4n

n n

lim 2 + lim

lim 3 + lim

→∞ →∞

→∞ →∞

=

1n

n n

1n

n n

lim 2 + lim

lim 3 + 4 lim

→∞ →∞

→∞ →∞

= 2 + 03 + 4 0⋅

= 23

Page 21: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 15

2) nn

lim b→∞

= ( )2

23n 4

2n + 1n

lim −→∞

=

42

n12

n

3

2 + n

lim

→∞

=

42

nn n

12

nn n

lim 3 lim

lim 2 + lim

→∞ →∞

→∞ →∞

= 3 02 + 0−

= 32

3) ( )n nn

lim a + b→∞

= nn

lim a→∞

+ nn

lim b→∞

= 23

+ 32

= 136

4) ( )n nn

lim a b→∞

⋅ = nn

lim a→∞

⋅ nn

lim b→∞

= 23⋅ 3

2

= 1

5) ( )n

n

a

bn

lim→∞

= n

n

nn

lim a

lim b→∞

→∞

=

2332

= 49

Page 22: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

16 ����!�"���ก��

����+��5���5�@� *���� /��5�� �/��+��8�,�8+����%1���������

A1E� 1.4 ��5��*��+,�����-���� �� ���85�� ��,��78�������5�@���������-5 ��+=�������+��5� ����,������,5 A1E� 1.4 ��ก��/��0��

)*�+������ 1.12 ก*����,�� an = 2 + 3n + n2 9 � bn = 1 � 3n + 3n

2 � n

3 ����� Pn = n

n

a

b �*���� �ก:5*����

��?���ก n ≥ 2 5��������� nn

lim P→∞

*-.���� -5 ��ก*����,�� nn

lim P→∞

= n

n

a

bn

lim→∞

= ( )2

2 32 + 3n + n

1 3n + 3n nn

lim− −→∞

= ( )

( )3 32 1

3 2 2n n n

3 3 313 2 n

n n

n + +

n n + 1

lim→∞ − −

=

32 13 2 2

n n n3 31

3 2 nn n

+ +

+ 1n

lim− −→∞

= 0 + 0 + 00 0 + 0 1− −

= 0

�����5,�� A1E� 1.4 5�ก-5 ��5������� s = 2, t = 3 ������� s < t

5�ก��� 1) 50���+������ nn

lim P→∞

= 0 �

�:;<�� 1.4

ก*����,�� Pn =

2 3 s 1 s0 1 2 3 s 1 s

2 3 t 1 t0 1 2 3 t 1 t

a + a n + a n + a n + ... + a x + a x

b + b n + b n + b n + ... + b x + b x

−−

−−

-�� / n �+2�5*������?���ก 9 � s, t �+2�

5*����5��,�: �+2� *����9 ��

1) D�� s < t 9 �� nn

lim P→∞

= 0

2) D�� s = t 9 �� nn

lim P→∞

= s

t

a

b

3) D�� s > t 9 �� Pn 8���ก

Page 23: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 17

)*�+������ 1.13 5��������� ( )2 3 4

2 3 44 + 3n n + 2n

3 n + n 3nn

lim −− −→∞

*-.���� 5�ก-5 �� ���/��5�ก s = t = 1 ������� 5�ก A1E� 1.4 ��� 2) ��+������

( )2 3 4

2 3 44 + 3n n + 2n

3 n + n 3nn

lim −− −→∞

= 23

− �

$%�/���!�" 5�ก�������� / 1.13 ��,��78����� �������-�����,�� A1E� 1.4 9 �� � ���+��� �������� ���� ��ก��������

)*�+������ 1.14 5��������� 1 13 2

12

n n

n n n

lim −→∞ −

*-.���� ���/��5�ก s = 12

, t = 1 5���?���� s < t

������� -�� A1E� 1.4 ��� 1) ��+������ 1 13 2

12

n n

n n n

lim −→∞ −

= 0 �

$%���/ก) ก��� ������� *���� /�8+9������5�� �/��+����������� / 1.14 ��5 *����-�����������ก ก� ,��7 ��� A1E� 1.4 5�����,��ก��� ���� /�8+9�����ก �������ก��/��0��

,�ก���������� *���� /��ก*� ����5�@���8����� 8�������� 8���ก��5 *������ก ����5��5��� ������-�� ก���5������ *��������������� *���� /��ก*� ����5�@���8����� 8�������� 8���ก ��� /5�ก ���D0�,� A1E�

����+��

9-�&��' ก*����,�� an, bn, cn �+2� *�������5*����5��-�� / an ≤ bn ≤ cn �*���� �ก: 5*������?���ก n

1) ก*����,�� ε > 0 �������� n

n

lim a→∞

= L 9 � nn

lim c→∞

= L

������� 5��5*������?���ก N1, N2 /60/��*����5*������?���ก n ≥ max{N1, N2} 9 ��

|an � L| < ε 9 � |cn � L| < ε

5������� L � ε < an 9 � cn � L < ε ���ก?��� cn < L + ε

�:;<�� 1.5 (Squeeze Theorem for sequence)

ก*����,�� an, bn, cn �+2� *�������5*����5��-�� / an ≤ bn ≤ cn �*���� �ก5*������?���ก n 9 �� �����������+���+2�5�� 1) D�� n

n

lim a→∞

= L 9 � nn

lim c→∞

= L 9 �� nn

lim b→∞

= L

2) D�� bn 8���ก9 �� cn 8���ก����

Page 24: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

18 ����!�"���ก��

������� L � ε < an ≤ bn 9 � bn ≤ cn < L + ε

9 ������� L � ε < bn < L + ε

���ก?��� |bn � L| < ε

����J����� 50������� nn

lim b→∞

= L

2) -���������9���� �� / (contraposition) ������� /����ก����85��50��+ /���+2���� �D�� cn 8�����9 �� bn 8����������

�����,�� ε > 0 9 � nn

lim c→∞

= L

������� 5��5*������?���ก N /60/��*����5*������?���ก n ≥ N 9 �� |cn � L| < ε

5������� L � ε < cn < L + ε

���/��5�ก bn ≤ cn �*���� �ก: 5*������?���ก n

5������� L � ε < bn < L + ε

������� |bn � L| < ε 9 ������� bn 8����� ����J����� 5�ก�������9���� �� /9������������� /����ก����85�����+2�5�� �

)*�+������ 1.15 5���5�@���� *���� bn = 2

32n + 5

5n + 4 �*����5*������?���ก n ,�: 8�������� 8���ก

*-.���� ��5�@� *���� cn = 2

32n

5n = 2

5n

9 � an = 2

32n + 5

5n + 10 =

( )2

32n + 5

5 n + 2

5���?���� an ≤ bn ≤ cn �*���� �ก: 5*������?���ก n

9 ����/��5�ก nn

lim a→∞

= nn

lim c→∞

= 0

������� -�� A1E� 1.5 5������� nn

lim b→∞

= 0 �

)*�+������ 1.16 5��������� nn

2n

lim→∞

*-.���� ������� nn

2 = n

n 1

2

− + n1

2 ������� n

1

2 < n

n

2

9 �������� nn

2 < 1

n 5���� n

1

2 < n

n

2 < 1

n

���/��5�ก n1

2n

lim→∞

= 0 = 1n

n

lim→∞

-�� A1E� 1.5 5������� nn

2n

lim→∞

= 0 �

Page 25: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 19

!01ก#� 1.4

1. 5����������+��

1) 1n

n

lim n→∞

2) ( )n1n

n

lim 0.999... + →∞

3) ( )1n

21

n + 3n + 2n

lim 1 + →∞

4)

111 1 n82 4 2

1 1 13 5 2n-1

n + n + n + ... + n

n n + n + n + ... + n

lim→∞

5) ( )n1ln n

n

lim→∞

6) ( )1n1

ln nn

lim→∞

2. 5�,�� A1E� 1.5 ���85����� sin nn

n

lim→∞

= 0 9 � cos nn

n

lim→∞

= 0 9 ������ ������� *���� /ก*����

,������+��

1) ( )1nsin n

nn

lim→∞

2) ( )nsin nn

n

lim→∞

3) ( )1ncos n

nn

lim→∞

4) ( )ncos nn

n

lim→∞

3. �*����5*������?���ก n ,�: ก*����,�� Mn =

1n

1n

n

n 1

− +

9 � an = det(Mn) 9 ��5���������

nn

lim a→∞

4. �*����9�� �5*������?���ก n ≥ 4 ก*����,�� an = 4

3 3 3 3n + 1

1 + 2 + 3 + ... + n 5��������� n

n

lim a→∞

5. D�� an = 2

2n + n + 1

3n + 1 9 � bn =

n n

n2 5

5 + 9

− 9 �� ������� *���� /��5�� / n �+2� an � bn + anbn ����� ��,�

Page 26: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

20 ����!�"���ก��

6. ก*����,�� an �+2� *�������5�� 5����85�����D�� nn

lim a→∞

= 0 9 �� nn

lim a→∞

= 0

� � � � � �

1.5 ����!ก*��ก*�

��5�@� *���� {1, �2, 3, �4, 5, �6, '} D���*� *���� /ก*����,�����ก ��������5�� �/��+9 �� ��5���� �5�� �/��+����,�8+ an = (�1)

nn �*���� �ก: 5*������?���ก n

��5�@��ก����������0/� {1, �3, 5, �7, 9, �11, '} ,� *��������ก���������� /7����� ������D���5�� �/��+��� *���������9ก� bn = (�1)

n(2n � 1) �*���� �ก: 5*������?���ก n

5���?������� 9�� ��5����� *���� ���������ก �������� ���+�������������กก����� � ���/��*������5�� �/��+9 �� 5�����+2�7 �8@��� (�1)

nAn -�� / An �+2� *�������5��9 ��+2� *���� 8���ก9 �� ����ก *���� /�

�ก1@���������� � *����9ก���ก���� (oscillating sequence)

)*�+������ 1.17 5���5�@���� *���� /ก*����,������+�� *����,��+2� *����9ก���ก���

1) an = 4n + 33n 1−

2) bn = (�1)n 4n + 33n 1−

3) cn = (�1)n(3n � 1)

*-.���� -��� ����� 1.7 1) *���� an ���+�กP�����5����� (�1)

n ������� ����+2� *����9ก���ก���

2) *���� bn +�กP�5����� (�1)n 9�� 4n + 3

3n 1n

lim −→∞

= 43

9�������+2� *���� 8�����

������� bn ����+2� *����9ก���ก���

3) *���� cn +�กP�5����� (�1)n 9 � An = 3n � 1 �+2� *���� 8���ก

������� cn �+2� *����9ก���ก��� �

��-+�� 1.7

�������ก���ก��� (oscillating sequence) ��� *���� /������8�,�8+ an = (�1)nAn �*���� �ก: 5*������?���ก

n 9 � An �+2� *�������5��60/� 8���ก

Page 27: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 21

)*�+������ 1.18 5���5�@���� *���� /ก*����,������+�� *����,��+2� *����9ก���ก���

1) an = sin n4π

2) bn = sin (�1)n n

3) cn = cos (�1)n

nn

2

π

*-.���� 5���?���������� ������ *���� /ก*����������+2� *����9ก���ก���

���/��5�ก *���� an ���+�กP�5�� (�1)n ��8�� � 9 �D0�9����� *���� bn ��� *���� cn 5�+�กP�5��

(�1)n ��8� 9��ก?��������8�,�8+ (�1)

nAn -������ก�����5�� (�1)

n n4π ก���5�� (�1)

n

nn

2

π �+2����ก�������

���;=�ก�����6��9 �;=�ก����-��6����� *����� ������ �

)*�+������ 1.19 5���5�@���� *���� an = cos (�1)n

nn

2

π �+2� *���� 8�������� *���� 8���ก D���+2� *���� 8�����,����

������� *������

*-.���� 5�ก�������� / 1.18 �� ����� *���� an = cos (�1)n

nn

2

π ���,�� *����9ก���ก���

���/��5�ก cos (�1)n

nn

2

π =

5�ก ( )nn

2n

lim cos π→∞

= ( ) ( ) ( ) ( )n n n n

2 4 6 8n n n n1 1 1 1

2! 4! 6! 8!2 2 2 2n

lim 1 + + ...π π π π→∞

− − −

��������5�� ( ) ( ) ( ) ( )n n n n

2 4 6 8n n n n1 1 1 1

2! 4! 6! 8!2 2 2 2n

lim + + ...π π π π→∞

− − −

����������ก

������� ( )nn

2n

lim cos π→∞

= 1

9 �,� *��������ก�� 5������� ( )nn

2n

lim cos π→∞

− = �(�1) = 1 (‹ cos nπ = �1 ���/� n �+2�

5*������?��/�+2� �����)

5������� ( )nn

2n

lim cos π→∞

= ( )nn

2n

lim cos π→∞

− = 1

9������ n

n n

2n

lim ( 1) cos π→∞

− = 1 ���/� n �+2�5*������?���ก,�:

��/���� *���� an = cos (�1)n

nn

2

π �+2� *���� 8����� �

cos nn

2

π ���/� n �+2�5*������?��8�

� cos nn

2

π ���/� n �+2�5*������?��/

Page 28: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

22 ����!�"���ก��

!01ก#� 1.5

5���5�@���� *���� /ก*����,������+�� *����,� 8����� *����,� 8���ก D�� 8�����5��� ������� *��������

1. an = n

n n

2( 1)−

2. an = 2

n

n n

2( 1)−

3. an = n

3

n e

n( 1)

−−

4. an = 2

n sin n

n( 1)−

5. an = n n

ln n( 1)−

� � � � � �

Page 29: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 23

1.6 ����6>?�ก@�

*����,�!�����60/��+2� /8�5�กก����ก /�����?�5����9ก� � *����;<-���ก�� (Fibonacci Sequence) -�� *����������D8ก�����-����ก����������� /��/���� �;<-���ก�� 5�กก�����ก� *��������+��

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, '

��,��78���������ก���� �ก: �5����� *��������9���5�� / 3 �+2�����+ ���9���ก���0��5�กก���ก����5�� / ��ก������� 2 �5�� ������������

2 = 1 + 1 = a1 + a2

3 = 1 + 2 = a2 + a3

5 = 2 + 3 = a3 + a4

8 = 3 + 5 = a4 + a5

' ' ' '

5���?������� �*���� �ก: 5*������?���ก n ≥ 3 *���������������D����,����8�,�8+ �/��+������

an = an � 2 + an � 1

-�� /ก*���������/���� (initial value) ��� a1 = 1 9 � a2 = 1

)*�+������ 1.20 5���5�@���� *���� 6, 7, 13, 20, 33, ' �+2� *����;<-���ก������� *-.���� ���/��5�ก 13 = 6 + 7

20 = 7 + 13

33 = 13 + 20

' ' '

5���?��������5�� �/��+��� *��������8�,�8+��� an = an � 2 + an � 1 9�������/�������,�� 1 9������ *���� /ก*����,�������,�� *����;<-���ก� �

��5�@� *���� 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ' ����� ������ก���� -���*��5�� / n �+���5�� / n + 1 �*����

5*������?���ก n ,�: ����� 11

, 21

, 32

, 53

, 85

, 138

, '

D��ก*����,�� x1 = 11

, x2 = 21

, x3 = 32

, ' 5���?������� xn ����D�������,�8+ xn = n + 1

n

a

a

��-+�� 1.8

������������ก�� (Fibonacci Sequence) ��� *���� /��5�� �/��+��8�,�8+ an = an � 2 + an � 1 -�� / a1 = 1

9 � a2 = 1 �*���� �ก: 5*������?���ก n ≥ 3

Page 30: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

24 ����!�"���ก��

��5�@� xn = n + 1

n

a

a -----(1.8.1)

= n n 1

n

a + a

a− (-��ก�9 ���� n = n + 1 �,���ก� an = an � 2 + an � 1)

= n

n

a

a + n 1

n

a

a−

= 1 + n

n 1

a

a

1

= 1 + n 1

1x −

(-��ก�9 ���� n = n � 1 �,���ก� 1.8.1)

�������� xn 8������8�5*����5�������0/� 9 �5���?���������� xn � 1 ก? 8������8�5*����5���������ก��

5������� nn

lim x→∞

= ( )n 1

1x

n

lim 1 + −→∞

x = 1 + 1x

x � 1x

= 1

2

x 1x− = 1

x2 � x � 1 = 0 -----(1.8.2)

9ก���ก� (1.8.2) 5��������ก /�+2���ก��� x = 12

+5

2 60/�������+2� /8�5�กก��������9������กก-����ก

�@��%������ก5*����5������� �)����*����� (golden ratio) �������%5������������� �� /����?�

,�!������� ��8+9�� ������������

1) 8+������9Jก /������ /��� ����������9�� �����5�����+�ก���+������������ �� 2) �������������������8�����ก����������0/�R����������,�+�� %���+���+2��������� �� 3) 8+�/�� /��7��7��60/�����������������������ก������ก�����+2��������� �� �+2�8+�/�� /��

7��7�� /������ /��� 9 ���ก8+�/�� /��7��7�� /���������������� ��/�� /��7��7�� ��� (golden rectangle)

4) S�����-��� �6����������� ����������������,�����ก���������ก���+2��������� ��

!01ก#� 1.6

1. 5����5�� / n /ก*����,������+����� *����;<-���ก� 1) n = 9

2) n = 13

3) n = 16

2. 5����5��9ก /��กก��� 100 ��� *����;<-�ก��ก�

� � � � � �

Page 31: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

���� 2

���ก��

2.1 ���ก��

-�� �/��+ ����������9 ����ก��������/������ �7 ��� ��� �Σ� 9 �5�ก� ����� 1.1 ����D

,����������������ก�,������5���/��0��-��,�����/������ Σ ��������

��0/� ��������� Σ ���8�� ��+�ก�60/��*��+,��,��@��%���������8��� ���,��D���%���� ��� A1E�

����+��

9-�&��' 1) ก*����,�� ai = k �*���� �ก: 5*������?���ก i 5�������

n

ii 1

a∑=

= a1 + a2 + a3 + ' + an = k + k + k + ' + k = nk

��-+�� 2.1 ���ก� (series) ��� ก�����7 ��ก��� *��������: ��������ก��

��-+�� 2.2

�*����5*������?���ก n ,�: 9 �,�� a1, a2, a3, ', ai �+2� *����9 �� n

ii 1

a∑=

= a1 + a2 + a3 + ' + ai

�:;<�� 2.1

1) �*���� �ก: 5*������?���ก i D�� ai = k 9 �� n

ii 1

a∑=

= nk

2) n

ii 1

ka∑=

= kn

ii 1

a∑=

3) ( )n

i ii 1

a + b∑=

= n

ii 1

a∑=

+ n

ii 1

b∑=

4) ( )n

i ii 1

a b∑=

− = n

ii 1

a∑=

� n

ii 1

b∑=

n ���

Page 32: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

26 ����!�"���ก��

2) n

ii 1

ka∑=

= ka1 + ka2 + ka3 + ' + kan

= k(a1 + a2 + a3 + ' + an)

= kn

ii 1

a∑=

3) ( )n

i ii 1

a + b∑=

= (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + ' + (an + bn)

= (a1 + a2 + a3 + ' + an) + (b1 + b2 + b3 + ' + bn)

= n

ii 1

a∑=

+n

ii 1

b∑=

4) ��5�@� ai � bi = ai + (� bi) 9 �5�ก��� 1) ก����� 3) ก?5�����������ก� �

���/��5�ก *����� 2 �������9ก� *����5*�ก�� 9 � *�������5*�ก�� ,���/�����ก�ก?��������ก�� ������D

9������ก���ก�+2� 2 �������9ก� ���ก�5*�ก�� 9 ����ก����5*�ก�� ���� ���������+��

9 �D����5�@��ก/��ก�� �ก1@�ก� 8����� � 8���ก ก?����D9�������+2����ก� 8����� (convergent series) 9 � ���ก� 8���ก (divergent series) �����

��5�@�5�ก������������: �������+��5�����,������,5� ����� 2.3 9 �� ����� 2.4 ��ก��/��0��

)*�+������ 2.1 5���5�@�������ก� 1 + 12 + 1

4 + ' + 1

1024 �+2����ก�����,�

*-.���� 5�ก� ����� 2.3 5����������ก����+2����ก�5*�ก�� ����+5���5�@�������ก��� 8����������� ,�� Sn �+2�7 ��ก���� n �5��9ก������ก� 5������� S1 = 1 = 1

S2 = 1 + 12

= 32

S3 = S2 + 14 = 7

4 = 1 + 3

4

��-+�� 2.3 1) ���ก�5*�ก�� (finite series) ��� ���ก� /�5*�����5��5*�ก��

2) ���ก����5*�ก�� (infinite series) ��� ���ก� /�5*�����5�����5*�ก��

��-+�� 2.4 1) ���ก� 8����� ��� ���ก� /� *�������7 ��ก���� 8����� 2) ���ก� 8���ก ��� ���ก� /� *�������7 ��ก���� 8���ก

Page 33: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 27

S4 = S3 + 18

= 158

= 1 + 78

S5 = S4 + 116

= 3116

= 1 + 1516

S6 = S5 + 132

= 6332

= 1 + 3132

S7 = S6 + 164

= 12764

= 1 + 6364

S8 = S7 + 1128

= 255128

= 1 + 127128

S9 = S8 + 1256

= 511256

= 1 + 255256

S10 = S9 + 1512

= 1023512

= 1 + 511512

S11 = S10 + 11024

= 20471024

= 1 + 10231024

5������� Sn = 1 + n 1

n 12 1

2

−−− = 2 � n 1

1

2−

������� nn

lim S→∞

= ( )n 11

2n

lim 2 −→∞

− = 2

-��� ����� 2.4 ��+������ ���ก����+2����ก� 8�����9 ��7 ��ก������ก�� ��ก�� S11 �

#��+/#)� ,����������: �+ ��5���� ��������ก����+2����ก�����@��5*�ก�� (finite geometrical series) 60/�

�7 ��ก� ��ก�� 20471024

= S11 ��/����

)*�+������ 2.2 5���5�@�������ก� 1 + 12 + 1

3 + ' + 1

n + ' �+2����ก�����,�

*-.���� 5�ก� ����� 2.3 ���ก����+2����ก����5*�ก�� ����+5���5�@�������ก��� 8����������� ,�� Sn �+2�7 ��ก���� n �5��9ก������ก� 5������� S1 = 1

S2 = 1 + 12

= 32

S3 = S2 + 13

= 116

= 2 � 16

S4 = S3 + 14

= 2512

= 2 + 112

S5 = S4 + 15

= 13760

= 2 + 1760

S6 = S5 + 16

= 14760

= 2 + 2760

S7 = S6 + 17

= 1089420

= 2 + 249420

' ' '

5���?���� �������D���5�� �/��+��� *����7 ��ก�������� � 50���+����+2����ก� 8���ก �

#��+/#)� ,�� ����5�%0ก1��J������ก�5*�ก�����ก��� �*�������ก����5*�ก��������5��+��5�@�,�

� / 3 ����+

Page 34: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

28 ����!�"���ก��

!01ก#� 2.1

1. �*����5*������?���ก n ,�: 5����85�������������+��

1) n

i 1

i∑=

= n(n + 1)

2

2) n

2

i 1

i∑=

= n(n + 1)(2n + 1)

6

3) n

3

i 1

i∑=

=

2n

i 1

i∑=

2. �*���� �ก: 5*������?���ก n 5���������� ������85���*������� ���

1) ( )n

2i i

i 1

a b∑=

+

2) ( )n

3i i

i 1

a b∑=

+

3. 5����85��������85��9��� ( )n

2i i

i 1

a b∑=

+ ≤ n

2i

i 1

a∑=

+ n

2i

i 1

b∑=

�*���� �ก: 5*������?���ก n

4. D�� 10

ii 1

x∑=

= � 8, 10

ii 1

y∑=

= 4 9 � ( )( )10

i ii 1

5 x y 2∑=

− + = 76 9 �� 10

i ii 1

x y∑=

����� ��ก��� ��,�

5. 5���7 ��ก������ก� /ก*����,������+�� 1) 1 � 3 + 5 � 7 + 9 � ' + 99

2) 1 � 2 + 3 � 4 + 5 � ' � 100

3) 1 � 1 + 2 � 3 + 5 � 8 + ' � 55

4) 1 � 12

+ 14

� 18

+ '

5) 1(n + 3)(n + 4)

n 1

∞∑=

6. 5��������� � sin21° + sin

22° � sin

23° + ' � sin

289°

� � � � � �

Page 35: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 29

2.2 ���ก��/�$� -)

)*�+������ 2.3 ก*����,�� an = 2n + 3 �+2� *����� ��@�� 5���7 ��ก��� an 5*���� 10 �5��9ก

*-.���� 10

ni 1

a∑=

= ( )10

i 1

2n + 3∑=

= ( )10

i 1

2n∑=

+ ( )10

i 1

3∑=

= 2 ⋅10

i 1

n∑=

+ (10)(3)

= 2 ⋅ 102

(10 + 1)+ (10)(3)

= 110 + 30 = 140 �

,�ก@ /����ก���7 ��ก������ก�� ��@�� 9��������ก*�����5�� �/��+��,���������,��������� / 2.3 ก?��5 *����-��,����ก�����+��

9-�&��' ,�� P(n) 9 �������� Sn = [ ]n12

2a + (n 1)d− �*���� �ก: 5*������?���ก n

�������: ,�� n = 1 5������� S1 = [ ]112

2a + (1 1)d− = a1 5��

����������: ,�� n = k

�������� P(k) �+2�5�� 5�9������ P(k + 1) �+2�5��

��5�@��5�� Sk + ak + 1 = [ ]k12

2a + (k 1)d− + ak + 1

= [ ]k12

2a + (k 1)d− + (a1 + kd) (‹ ak = a1 + (k � 1)d)

= ka1 + 2

k2

� k2

d + (a1 + kd)

= (ka1 + a1) +2

k2

+ k2

d

= 12

[2(k + 1)a1] +2

k2

+ k2

d

= 12

[2(k + 1)a1 + k2 + kd]

= 12

[2(k + 1)a1 + k(k + 1)d]

��-+�� 2.5 ���ก�� ��@�� (arithmetic series) ��� ���ก� /���5�กก��*� *����� ��@������กก��

�:;<�� 2.2 �*����5*������?���ก n 7 ��ก n �5��9ก������ก�� ��@��,����� �ก1@���� Sn �����5�ก��ก�

Sn = [ ]n12

2a + (n 1)d− ���/� a1 ����5��9ก,� *����� ��@��, d ���7 �������,� *����� ��@��

Page 36: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

30 ����!�"���ก��

= k + 12

[2a1 + kd]

= k + 12

[2a1 + (k + 1 � 1)d]

= Sk + 1

����J����� P(k + 1) �+2�5��

-��� �ก��+��������@��%����5������� Sn = [ ]n12

2a + (n 1)d− �*���� �ก: 5*������?���ก n �

9-�&��' 5�ก A1E� 2.2 �������� Sn = [ ]n12

2a + (n 1)d− = ( )n1 12

a + a + (n 1)d−

9�� an = a1 + (n � 1)d (‹ �5�� �/��+��� *����� ��@��)

������� Sn = n2

(a1 + an) �*���� �ก: 5*������?���ก n �

)*�+������ 2.4 5���7 ��ก������ก� 14+ 1

3+ 5

12+ 1

2+ ' + 1

*-.���� d1 = 13

� 14 = 1

12

d2 = 512

� 13

= 112

d3 = 12

� 512

= 112

' '

dn = 112

9���������ก� /ก*����,�����+2����ก�� ��@�� 60/���5��9ก (a1) = 14

, d = 112

ก�����/�5�������5*�����5�����ก���

5�ก an = a1 + (n � 1)d

9 ���� a1 = 14

, d = 112

, an = 1

5������� 1 = 14+ (n � 1) 1

12

(n � 1) 112

= 1 � 14

= 34

n � 1 = 9

n = 10

����J����� -��� 9 ก 2.1 5������� S8 = 102

( 14

+ 1) = 254

)*�+������ 2.5 ก*���� *���� an = 10 � 2n 5���7 ��ก 10 �5��9ก /�+2�5*������?� � *-.���� n = 6; a6 = 10 � 2(6) = �2

n = 15; a15 = 10 � 2(15) = �20

����J����� -��� 9 ก 2.1 5������� S10 = 102

((�2) + (�20)) = �110 �

�!��ก 2.1 Sn = n2

(a1 + an) �*���� �ก: 5*������?���ก n

Page 37: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 31

)*�+������ 2.6 D�� log93, log9(3x � 2), log9(3

x + 16) �+2�����5��9ก /���ก��,����ก�� ��@�� 9 � S �+2�

7 ��ก����/�5��9ก������ก��� 9 �� 3S ����� ��ก��� ��,�

*-.���� -5 ��ก*����,�� log93, log9(3x � 2), log9(3

x + 16) �+2�����5��9ก /���ก��,����ก�� ��@��

5������� d1 = log9(3x � 2) � log93 = ( )x

3 29 3

log −

9 � d2 = log9(3x + 16) � log9(3

x � 2) = ( )x

x3 + 16

93 2

log−

9�� d1 = d2 (‹ 7 ���������� *����� ��@��)

������� ( )x3 2

9 3log − = ( )x

x3 + 16

93 2

log−

x

3 23− =

x

x3 + 16

3 2−

(3x � 2)

2 = 3(3

x + 16)

(3x)2 � 4(3

x) + 4 = 3(3

x) + 48

(3x)2 � 7(3

x) � 44 = 0

(3x � 11)(3

x + 4) = 0

������� 3x � 11 = 0 ��� 3x

+ 4 = 0

5���� 3x = 11 (‹ 3

x + 4 = 0 �����*���� /�+2�5*����5��)

������� x = log311

5���� d1 = ( )log 1133 29 3

log − = ( )11 29 3

log − = log93

5�ก S = ( ) ( )49 92

2 log 3 + (4 1) log 3−

= ( ) ( )9 92 2 log 3 + 3 log 3

= 10 log93

= 10( )132

log 3

= 5

����J����� 3S = 3

5 = 243 �

)*�+������ 2.7 ก*����,�� n �+2�5*������?���ก / *�,��7 ��ก n �5��9ก������ก�� ��@�� 7 + 15 + 23 + '

����� ��ก�� 217 9 �� n n+1 2n

82 + 2 + ... + 2

2 ����� ��ก��� ��,�

*-.���� ��5�@�7 ��ก������ก� 7 + 15 + 23 + '

-5 ��ก*����,�� Sn = 217

5�ก��ก� Sn = [ ]n12

2a + (n 1)d− 9 ���� a1 = 7, d = 8

Page 38: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

32 ����!�"���ก��

5������� 217 = [ ]n2

2(7)+ (n 1)8−

= ( )n2

6 + 8n

9ก���ก������� n = 7 (��� ����,��) ��5�@����ก� 2n

+ 2n + 1

+ ' + 22n = 2

7 + 2

8 + ' + 2

14

60/��+2�7 ��ก������ก�����@��5*�ก�� /�7 ��ก n �5��9ก� ��ก�� Sn = n

1a (1 r )

1 r

−−

9 ���� n = 14 � 7 + 1 = 8, a1 = 27, r = 2 5�������

S7 = 7 8

2 (1 2 )1 2−−

= 128(1 256)

1−−

= 128( 255)

1−

����J����� n n+1 2n

82 + 2 + ... + 2

2 =

128(255)256

= 127.5 �

!01ก#� 2.2

1. ก*����,�� an =

5��������� 101

ii 1

a∑=

2. ���9���*������+F�ก!����������-��F�ก�����9ก 100 �� ���������+F�ก���/��0������� � 5 ��

�ก����� ���/��� 2 +< ���9���*������+F�ก ������� ��,�

3. 5*���������ก,��6� {100, 101, 102, ', 600} 60/������� 8 ��� 12 ����� ��ก��� ��,�

� � � � � �

1 ���/� n = 1, 2

an � 2 + 2 ���/� n = 3, 5, 7

2an � 2 ���/� n = 4, 6, 8, '

Page 39: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 33

2.3 ���ก��/�$�� -)

)*�+������ 2.8 5���5�@�������ก� /ก*����,��,�9�� ��������+�� �+2����ก�����@�������� 1) 1 + 2 + 3 + ' + 100

2) 1 + 13

+ 19

+ 127

+ '

3) 1 � 12

+ 14

� 18

+ '

*-.���� 1) ���/��5�ก *���� 1, 2, 3, ', 100 ���,�� *��������@�� ������� 1 + 2 + 3 + ' + 100 ���,�����ก�

����@��

2) ���/��5�ก *���� 1, 13

, 19

, 127

, ' �+2� *��������@�� ������� 1 + 13

+ 19

+ 127

+ '�+2����ก�

����@��

3) ���/��5�ก *���� 1, � 12

, 14

, � 18

, ' �+2� *��������@�� ������� 1 � 12

+ 14

� 18

+ '�+2����ก�

����@�� �

9-�&��' ก*����,�� P(n) 9 �������� Sn = ( )n

1a 1 r

1 r

−− �*����5*������?���ก n ,�:

�������: ���/� n = 1 5������� S1 = a1 �+2�5�� ������� P(1) �+2�5�� ����������: ���/� n = k �������� P(k) �+2�5��

��/���� �������� Sk = ( )k

1a 1 r

1 r

−− �*����5*������?���ก k ,�:

5�9������ P(k + 1) �+2�5��

��5�@� Sk + ak + 1 = ( )k

1a 1 r

1 r

−− + a1r

k

= ( )k k1 r1 1 r

a + r−−

��-+�� 2.6 ���ก�����@�� (geometrical series) ��� ���ก� /�ก��5�กก���ก *��������@����������ก��

�:;<�� 2.3 �*����5*������?���ก n 7 ��ก n �5��9ก������ก�����@��,����� �ก1@���� Sn �����5�ก��ก�

Sn = ( )n

1a 1 r

1 r

−− ���/� a1 ����5��9ก,� *��������@��, r ��������������,� *��������@��

Page 40: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

34 ����!�"���ก��

= ( ) ( )k k1 r + r 1 r

1 1 ra

− −−

= k + 1

1 r1 1 r

a −−

= Sk + 1

��/���� P(k + 1) �+2�5��

-��� �ก��+��������@��%����5������� Sn = ( )n

1a 1 r

1 r

−− �*����5*������?���ก n ,�: �

��0/� ���/��5�ก���ก�����@��� �����ก��9��-��� /5� 8�������� ��ก��5�@�5*�����5�� /��ก��

���ก �������: ��� �+2����ก�����@�����5*�ก�� (infinite geometrical series) ก?���ก� /,��,�ก���7 ��ก��� ���������

9-�&��' 5�ก A1E� 2.3 �� ����� Sn = ( )n

1a 1 r

1 r

−− 5�������

nn

lim S→∞

= ( )n

1a 1 r

1 rn

lim−−

→∞

= 1a

1 rn

lim −→∞

� n

1a r

1 rn

lim −→∞

= 1a

1 rn

lim −→∞

� 1a n1 r

n

lim r−→∞

= 1a

1 r− (‹ 5�ก A1E� 1.3 ��� 4(1) 5������� n

n

lim r→∞

= 0 ���/� |r| < 1) �

�:;<�� 2.4 7 ��ก������ก�����@�����5*�ก��

�*����5*������?���ก n ,�: 9 � |r| < 1 -�� / r �+2������������������ก�����@�����5*�ก��5����

���7 ��ก������ก�����@�����5*�ก��9 �������� �ก1@� S∞ -�� / S∞ = 1a

1 r−

Page 41: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 35

)*�+������ 2.9 5���7 ��ก 10 �5��9ก������ก� 1 + 13

+ 19

+ 127

+ '

*-.���� ���/��5�ก a1 = 1, r = 13

, n = 10

5�ก A1E� 2.3 5������� S10 = ( )101

3

13

1 1

1

= ( )103 12 3

1 −

= 32

� ( )103 12 3

)*�+������ 2.10 5���7 ��ก������ก� 1 + 13

+ 19

+ 127

+ '

*-.���� �� ����� a1 = 1, r = 13

5�ก A1E� 2.4 50������� S∞ = 13

1

1− = 3

2 �

)*�+������ 2.11 �*���� x ∈ (�1, 1) ,�� S(x) �+2�7 ��ก������ก� 1 � x + x2 � x

3 + ' 5��������������

����6� A = { }1S(x)

x ( 1,1)∈ −

*-.���� ��5�@����ก� 1 � x + x2 � x

3 + '

5���?�������ก����+2����ก�����@�����5*�ก�� /������������ r = � x 60/�� a1 = 1 = x0

������� 5�ก A1E� 2.4 5������� S∞ = 11 ( x)− − = 1

1 + x

��/���� 1S(x)

= x + 1

9��-5 ��ก*������� x ∈ (�1, 1) 9������ �1 < x < 1

5������� 0 = �1 + 1 < x + 1 < 1 + 1 = 2

���ก?��� 0 < x + 1 < 2

9�������*���� 1S(x)

�ก: x ∈ (�1, 1) 5���������ก��� 2

��/���� ������������6� A � ��ก�� 2 �

Page 42: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

36 ����!�"���ก��

)*�+������ 2.12 ก*����,�� Sn = ( )n k 11

10k 1

−∑=

9 � S = ( )k 1110

k 1

∞ −∑=

5*������?���ก n / *�,�� S � Sn = 19

(10� 5

) � ��ก��� ��,�

*-.���� 5�ก Sn = ( )n k 11

10k 1

−∑=

= 10⋅ ( )n k1

10k 1

∑=

= 10⋅( )n1 1

10 10

110

1

1

− −

= ( )n10 19 10

1 −

-----(2.3.1)

5�ก S = ( )k 1110

k 1

∞ −∑=

= 10⋅ ( )k110

k 1

∞∑=

= 10⋅110

110

1−

= 10⋅110910

= 109

��5�@� S � Sn = 109

� ( )n10 19 10

1 −

= ( )n10 19 10

9�� S � Sn = 19

(10� 5

)

5������� ( )n10 19 10

= 19

(10� 5

)

101 � n

= 10� 5

������� 1 � n = �5 ���ก?��� n = 6 �

!01ก#� 2.3

1. ,�� S = ( )2 2,π π− 9 � F(x) = sin

2x + sin

4x + sin

6x + ', x ∈ S D�� a �+2������ก����6� S /����

/��� / *�,�� F(a) ≤ 1 9 �� F(a) ����� ��ก��� ��,�

2. D�� 1 + cos2θ + cos

4θ + ' = a -�� / a �+2�5*����5�� 9 �������� cos(π � 2θ) ⋅ sin(2π � 2θ)

� ��ก��� ��,�

� � � � � �

Page 43: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

���� 3

���ก��������ก�

3.1 ���ก��������ก�

#��+/#)� ,��*������ ����5,�� ����ก�������� 9 ��*���� ����ก����5*�ก��� ก?���

)*�+������ 3.1 5���5�@����ก� /ก*����,������+������+2����ก����5*�ก�������� 1) 1 + 2 + 3 + 4 + '

2) 12

+ 21

2+ 3

1

2+ 4

1

2+ '

3) 1 + 2 + 3 + 4 + ' + 1,000

4) 1 + 3 + 5 + 7 + ' + (2n � 1)

*-.���� 5�ก /ก*����,�� ���/���5�@�5�ก� ����� 3.1 5���������ก� /�+2����ก����5*�ก�����9ก� ���ก� / ก*����,��,���� 1), 2) ������� /�� ���+2����ก�5*�ก�� �

)*�+������ 3.2 5���7 ��ก��� 1(n + 3)(n + 4)

n 1

∞∑=

*-.���� ก*����,�� Sn = 1(n + 3)(n + 4)

n 1

∞∑=

�*����5*������?���ก n ,�: �+2�7 ��ก����

= 14⋅ 1

5 + 1

5⋅ 1

6 + 1

6⋅ 1

7 + ' + 1

(n + 3)(n + 4)

= ( )1 14 5− + ( )1 1

5 6− + ( )1 1

6 7− + ' + ( )1 1

n + 3 n + 4−

= 14

� 1n + 4

������� nn

lim S→∞

= ( )1 14 n + 4

n

lim→∞

− = 14

���/��5�ก *�������7 ��ก���� 8����� ������� 1(n + 3)(n + 4)

n 1

∞∑=

= 14

��-+�� 3.1 ���ก����5*�ก�� (infinite series) ��� ���ก� a1 + a2 + a3 + ' + an + ' -�� / n �+2�5*������?���ก,�:

Page 44: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

38 ����!�"���ก��

)*�+������ 3.3 5���7 ��ก��� 2

3n 1

n 1n 2

∞ −∑−=

*-.���� ก*����,�� Sn = 2

3n 1

n 1n 2

∞ −∑−=

= 37

+ 826

+ 1563

+ ' + 2

3n 1

n 1

−−

+ '

��5�@� *�������7 ��ก���� 37

, 37

+ 826

, 37

+ 826

+ 1563

5���?���������� 8���ก

����J����� ��7 ��ก������ �

���/��5�ก 1(n + 3)(n + 4)

n

lim→∞

= 2

20n + 0n + 1

n + 7n + 12n

lim→∞

= 0 9 � ( )2

3n 1

n 1n

lim −−→∞

= 0 5���?�������

������� *���� �������+2�%8���������ก�� 9�����ก������� 8�������� 8���ก������ก�� ������� ���/� ����� ��ก��%8��� 5��������D��+���������ก����� 8�������� 8���ก 9��������ก?��� D���� ����� ���ก�,� 8�����9 ������D

��+��� �� ��� ����� ��ก�� 0 ������� A1E� ����+��

9-�&��' �������� nn 1

a∞∑=

8����� �������,�� S = nn 1

a∞∑=

= a1 + a2 + a3 + '

��5�@� *�������7 ��ก���� S1 = a1

S2 = S1 + a2 = a1 + a2

S3 = S2 + a3 = a1 + a2 + a3

S4 = S3 + a4 = a1 + a2 + a3 + a4

' '

Sn = Sn � 1 + an = (a1 + a2 + a3 + ' + an � 1) + an

������� an = Sn � Sn � 1

5������� nn

lim a→∞

= ( )n n 1n

lim S S −→∞

− -----(3.1.1)

���/��5�ก���/� n → ∞ �� ����� Sn ≈ Sn � 1

����J����� nn

lim a→∞

= 0 �

�:;<�� 3.1

D�����ก� nn 1

a∞∑=

8����� (converges) 9 �� nn

lim a→∞

= 0

Page 45: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 39

)*�+������ 3.4 5�9���������ก� 1n(n + 1)

n 1

∞∑=

8����� 9 �9������ an = 1n(n + 1)

8������8�%8���

*-.���� ก*����,�� Sn = nn 1

a∞∑=

= a1 + a2 + a3 + ' + an

= 11 2⋅ + 1

2 3⋅ + 13 4⋅ + 1

4 5⋅ + '

= ( )12

1− + ( )1 12 3− + ( )1 1

3 4− + ( )1 1

4 5− + ' + ( )1 1

n n + 1−

= 1 � 1n + 1

������� ( )1n + 1

n

lim 1→∞

− = 1

9������ *�������7 ��ก���� 8����� 9 ����������ก��� 8�����

����+5�9������ ( )1n(n + 1)

n

lim→∞

= 0

��5�@� 1n(n + 1)

9�ก�%1��������-��,�� 1n(n + 1)

= An

+ Bn + 1

= A(n + 1) + Bn

n(n + 1)

= (A + B)n + A

n(n + 1)

� �����+��� !�"5������� A + B = 0 -----(3.1.2)

9 � A = 1 -----(3.1.3)

5���� A = 1 9 � B = �1

������� 1n(n + 1)

= 1n

� 1n + 1

5������� ( )1n(n + 1)

n

lim→∞

= 1n

n

lim→∞

� 1n + 1

n

lim→∞

= 0 �

)*�+������ 3.5 5���7 ��ก������ก� 12⋅ 1

3 + 1

3⋅ 1

4 + 1

4⋅ 1

5 + '

*-.���� ก*����,�� Sn = 12⋅ 1

3 + 1

3⋅ 1

4 + 1

4⋅ 1

5 + '

= ( )1 12 3− + ( )1 1

3 4− + ( )1 1

4 5− + ' + ( )1 1

n n + 1−

= 12

� 1n + 1

������� nn

lim S→∞

= ( )1 12 n + 1

n

lim→∞

− = 12

���/��5�ก ������� *����7 ��ก���� 8����� 50������� 12⋅ 1

3 + 1

3⋅ 1

4 + 1

4⋅ 1

5 + ' = 1

2 �

Page 46: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

40 ����!�"���ก��

)*�+������ 3.6 5���7 ��ก������ก� 1⋅ 13 + 1

3⋅ 1

5 + 1

5⋅ 1

7 + '

*-.���� ,�� S = 1⋅ 13 + 1

3⋅ 1

5 + 1

5⋅ 1

7 + ' -----(3.1.4)

�8@� ����ก� (3.1.4) ���� 2 5�������

2S = ( )13

2 1⋅ + ( )1 13 5

2 ⋅ + ( )1 15 7

2 ⋅ + '

= ( )13

1− + ( )1 13 5− + ( )1 1

5 7− + ' + ( )1 1

2n 1 2n + 1− −

= 1 � 12n + 1

5���� S = 12

� ( )1 12 2n + 1

������� nn

lim S→∞

= 12

� ( )1 12 2n + 1

n

lim→∞

= 12

��/���� 7 ��ก������ก� 1⋅ 13 + 1

3⋅ 1

5 + 1

5⋅ 1

7 + ' � ��ก�� 1

2 �

!01ก#� 3.1

1. 5���7 ��ก������ก����5*�ก���������+�� (D���)

1) 12⋅ 1

4 + 1

4⋅ 1

6 + '

2) 1⋅ 12 + 1

3⋅ 1

4 + 1

5⋅ 1

6 + '

3) 1⋅ 14 + 2

4⋅ 2

2

4 + 2

3

4⋅ 3

3

4 + 3

4

4⋅ 4

4

4 + '

4) 21

1⋅

21

3 +

21

3⋅

21

5 +

21

5⋅

21

7 +

21

7⋅

21

9 + '

2. �*�������ก�,���� 1 5�9���������ก� / 8������ nn

lim a→∞

= 0

3. 5�9������D�� nn

lim a→∞

= L 9 � L ≠ 0 9 �� ii 1

a∞∑=

�+2����ก� 8���ก

� � � � � �

Page 47: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 41

3.2 ก���&�/$%�$�����ก��9� !�"���ก��A��'���-ก

)*�+������ 3.7 5���5�@�������ก� /ก*����,������+�� ���,��+2����ก�I������ก ���ก�� ������,�� ������

1) 1n + 1

+ ( )2

1

n + 1 + ( )3

1

n + 1 + ' +

( )p1

n + 1 + ' ���/� p �+2�5*������?���ก

2) 12n

+ ( )2

1

2n + ( )3

1

2n + ' +

( )p1

2n + ' ���/� p �+2�5*������?���ก

3) 1 + 31

2 +

31

3 + 3

1

4 + ' + 3

1

n + ' ���/� p �+2�5*������?���ก

*-.���� 1) �+2����ก�����@�����5*�ก�� /������������� ��ก�� 1n + 1

2) �+2����ก�����@�����5*�ก�� /������������� ��ก�� 12n

3) �+2����ก�� (p � series) /� p = 3 �

9-�&��' ก*����,�� 1 + p1

2 +

p1

3 + ' + p

1

n + ' �+2����ก� -�� / p �+2�5*������?�,�:

,� /��78�����5�9���ก����85����� 1) � ������ ������� 2) �������,��78��������85���+2�9��FGก���

(⇒) �����������ก� 8�����

5�ก A1E� 3.1 5������� p1

nn

lim→∞

= 0 -----(3.2.1)

5���?������������ก� (3.2.1) 5��+2�5�����/� p > 1 � ������

��-+�� 3.2 1) ���ก�I������ก (Harmonic series) ��� ���ก� /���5�กก��*� *����I������ก����กก��

ก ������ ��8�,�8+ 1n

n 1

∞∑=

2) ���ก�� (P � series) ��� ���ก� /��8�,�8+ p1

nn 1

∞∑=

-�� / p �+2�5*������?�

�:;<�� 3.2 ก� 8�����������ก��

ก*�������ก� 1 + p1

2 +

p1

3 + ' + p

1

n + ' -�� / p �+2�5*������?�,�: 9 ��

1) ���ก�� 8����� ก?������/� p > 1

2) ���ก�� 8���ก ก?������/� p ≤ 1

Page 48: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

42 ����!�"���ก��

(⇐)

�������� p > 1 9 � n �+2�5*������?���ก,�:

,�� Sn = p1

nn 1

∞∑=

5�9������ Sn ��������-��,��� �ก��+��������@��%����

���/� n = 1 5������� S1 = p1

1 = 1 5��

���/� n = k �������� Sk = p1

kk 1

∞∑=

5�9������ Sk + 1 �+2�5��

5�ก Sk + ak + 1 = p1

kk 1

∞∑=

+ ( )p

1

k + 1

= 1 + p1

2 +

p1

3 + ' + p

1

k + ( )p

1

k + 1

= ( )p

1

k + 1k 1

∞∑=

= Sk + 1

-��� �ก��+��������@��%���� 5������� p1

nn 1

∞∑=

�*����5*������?���ก n ,�:

9 ������� Sn �������� ����J����� p1

nn 1

∞∑=

8����� �

�*����ก� 8�����������ก�I������ก���� 5���?����������ก�I������กก?������ก��60/�� p = 1 ��/���� 9 �ก?5���������������ก�I������ก�+2����ก� / 8���ก���� 78�����50�5������ก ���D0��ก

!01ก#� 3.2

5����85�� A1E� 3.2 (2)

� � � � � �

Page 49: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 43

3.3 ก��/$�+�����*�)��ก+"/�B�C�*ก$�����ก��������ก�

�����,�� S = 0.99' ������D����5*���� ��������,����8�,�8+������ก����5*�ก������������+�����

910 +

29

10 +

39

10 + '

5���?����������ก����5*�ก�����ก ����+2����ก�����@�����5*�ก�� 60/�����������5�@�ก����9 ��,�� / 7����� -��������ก�� ��ก����5�������

S = 910 +

29

10 +

39

10 + '

=

910

110

1−

=

910910

= 1

9������ 0.99' = 1 ��/���� 9 ��+2�ก�9���,����?����5*����5���+2�7 ��ก������ก����5*�ก�����

����ก� ����� ����5���85������ก9����0/��������+��

S = 910 +

29

10 +

39

10 + ' -----(3.3.1)

�8@� ����ก� (3.5.1) ���� 110 5�������

110

S = 2

9

10 +

39

10 +

49

10 + ' -----(3.3.2)

9 ����5�ก��ก� (3.3.2) �,���ก� (3.3.1) 5�������

S = 910 + 1

10S

S � 110

S = 910

910

S = 910 5������� S = 1

)*�+������ 3. 8 5��������� 0.2323'

*-.���� ก*����,�� S = 0.2323'

5������� S = 210

+ 2

3

10 +

32

10 +

43

10 +

52

10 +

63

10 + '

= ( )3 52 2 210 10 10

+ + + ... + ( )2 4 63 3 3

10 10 10 + + + ...

=

210

1100

1− +

3100

1100

1−

= 2099

+ 399

= 2399

Page 50: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

44 ����!�"���ก��

#��+/#)� 5�ก�������� / 3.9 ����5��� 0.2323' ,�8+ 0.23 23 ' ก ��������� 23 �+2� 1 ก ��� ���/�����

����ก,�ก��*���@ก?��� 60/�ก?5����7 ��!����9�ก����ก��

)*�+������ 3.9 5��������� 0.455455455'

*-.���� ก*����,�� S = 0.455455'

5������� S = 3

455

10 +

6455

10 +

9455

10 + '

= 3

3

455

101

101−

= 455999

!01ก#� 3.3

5����������+�� 1. 0.11'

2. 0.4747'

3. 0.993993993'

4. 0.12131415'

� � � � � �

Page 51: Lecture 010 sequence-series ลำดับและอนุกรม

� -)2��)�'�/*3�4)' 45

�� ���ก��

�����@L��9��9��. /D�+$%��� ENT( ������ 44. ก��� �T : �����@L��9��9��, 2544. 288 ����. . /D�+$%��� Ent( ���� 45. ก��� �T : �*���ก�����@L��9��9��, 2545. 264 ����. . /D�+$%��� Ent( ���� 46. ก��� �T : �*���ก�����@L��9��9��, 2546. 272 ����. . /D�+$%��� Ent( ���� 48. ก��� �T : ������������ก������, 2548. 256 ����. ����� ������. ก��*-/���"#'/@-���-�/E ��)%� 1. ��������� / 7. ก��� �T : �*���ก���������� �� �����*�9��, 2545. ����� +��� !�"58��ก8 . F-���� -)2��)�'. ��������� / 2. ก��� �T : ������ !�ก������, 2546. 325 ����. ����@ ����5����U��ก� 9 ���%�ก��" ������ �%. !���&��$ ��&� 1. ก��� �T : �*���ก���������� �� �� ���*�9��, 2547. ���� ����5��. /�ก�����"ก������+�+*-@�� -)2��)�' 1 ��?���ก��!���'4�/���'!���G 2004. ก��� �T : �����@L��9��9��, 2547. ��%�ก��" ��U���ก� 9 ��@�. /D�+ Ent( )����� 43 !C�ก*-�+'. ��������� / 1. ����,��� : +���ก!�ก�5, 2543. 256 ����.

Bibliography

Prof. Lee Larson, Ph.D. Notes on Real Analysis. Louisville, 1998.

!#���$%��&�������'

http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/fibonac/

http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html

http://encyclopedia.learn.in.th/content.php?encid=49

http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio

http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon03/limcon03.html

http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/sequences.3/index.html

http://www.thai-mathpaper.net/documents/sequence_series_key.pdf