Upload
aon-narinchoti
View
24.208
Download
2
Embed Size (px)
Citation preview
ลําลําลําลําดะบแลัอนกุรมดะบแลัอนกุรมดะบแลัอนกุรมดะบแลัอนกุรม ((((Sequences and Series)Sequences and Series)Sequences and Series)Sequences and Series)
หหหหนะงสอืเรยีนออนไลน ชวงชะน้ที ่นะงสอืเรยีนออนไลน ชวงชะน้ที ่นะงสอืเรยีนออนไลน ชวงชะน้ที ่นะงสอืเรยีนออนไลน ชวงชะน้ที ่4444 ชุชชุุชุด ด ด ด ““““คณติศาสตรบนเวบ็ไซตคณติศาสตรบนเวบ็ไซตคณติศาสตรบนเวบ็ไซตคณติศาสตรบนเวบ็ไซต”””” เลมที ่ เลมที ่ เลมที ่ เลมที ่10101010
สะทธา หาญวงศฤทธิ์สะทธา หาญวงศฤทธิ์สะทธา หาญวงศฤทธิ์สะทธา หาญวงศฤทธิ์
�������������� ��� ���������������������������������� ���� !�" �.%. 2537
�����*��+,��+�-����,� ��ก���� �ก�������/�+�-���� ��ก�%0ก1�� ������
������
��������������� ��� �����+2�� �� / 10 ,�5*���� 15 � �� 60/�78��������5�� *��0��-�����������ก/��ก��
*����9 ����ก� -����/����5�ก� / 1 ����������� *���� *������������: ������� *���� *����9ก���ก���
9 � *����;<-���ก� ,�� / 2 ��5�����9������+�8����ก� -����/����5�กก�,����������������ก� ���ก���������:
��ก5�ก����9 ���������ก��������-5 ��+=����ก/��ก�����ก� -��78������*���5�ก��������������� �� �� /��� ��,5,�+< /7���: �� �� ���5�ก�*�����,���������%0ก1����� +>� ���,�� / 3 �ก/��ก�����ก����5*�ก��-��5���/����5�กก�,����������������ก����5*�ก�� ก� 8� ����������ก����5*�ก�� ��ก5�ก����9 �����5�9���*����ก����5*�ก���������� /�����,5���������� �� ������ ���/������ก/��ก��ก�����5*�����ก��,�8+���7 ��ก������ก����5*�ก������������ 78������������ก�5�� *��������������� ��� ����5��+�-����9ก�78��������������กก?���� 9 ����/�������� ���7��� �� /���������ก�9ก����ก������ 50���,��78��������,���*�9���*�����: /�+�-����9ก�78��������/� / 5������5�@�9ก�������+�
����� !� �����%�A !�" 4 ������� �.%. 2549
��������ก���������� ���� 1
�ก�+��+���������������� ��� ��������+2�����9ก -��78�������� *�ก�+��+���*��!����,������� / 1.5 ��/�� *����9ก���ก������,���,��D8ก�������� �����9 � A1E� ���� ������/�����9��FGก������/�����������������,5,������������������ 78������������ก�+��+��,�������5�����,��78������ก����������,5,����������� ���������5�9 �D8ก������ก��/��0���
����� !� �����%�A !�" 16 �A%5�ก��� �.%. 2549
����
���� 1 ���� 1 � 24
1.1 *���� 1
1.2 *����� ��@�� 3
1.3 *��������@�� 5
1.4 ������� *���� 7
1.5 *����9ก���ก��� 20
1.6 *����;<-���ก� 23
���� 2 ���ก�� 25 � 36
2.1 ���ก� 25
2.2 ���ก�� ��@�� 29
2.3 ���ก�����@�� 33
���� 3 ���ก��������ก� 37 � 44
3.1 ���ก����5*�ก�� 37 3.2 ก� 8�����������ก�� 9 ����ก�I������ก 41 3.3 ก�����5*�����ก���+2�7 ��ก������ก����5*�ก�� 43 �� ���ก�� !�"!#���$%��&�������' 45
���� 1
����
1.1 ����
)*�+������ 1.1 ก*����,�� an = 3n + 1 5��� 5 �5��9ก��� *������ *-.���� ���/� n = 1, 2, 3, 4, 5 5������� a1 = 3(1) + 1 = 4
a2 = 3(2) + 1 = 7
a3 = 3(3) + 1 = 10
a4 = 3(4) + 1 = 13
a5 = 3(5) + 1 = 16
����J����� 5 �5��9ก��� *���� an = 3n + 1 ��� 4, 7, 10, 13, 16 �
)*�+������ 1.2 ก*����,�� {�3, 32
, � 34
, 38
, � 316
} �+2� *���� 5����5�� �/��+��� *������
*-.���� ���/��5�ก �3 = (�1)( )03
2
32
= (�1)2( )1
3
2
� 34
= (�1)3( )2
3
2
38
= (�1)4( )3
3
2
� 316
= (�1)5( )4
3
2
����J����� �5�� �/��+��� *��������� an = (�1)n( )n 1
3
2− ���/� n = 1, 2, 3, 4, 5 �
��-+�� 1.1 *���� (sequence) ��� ;=�ก���� /��6����5*������?���ก�+2�-���� 9 ������6����5*����5���+2���5� 9 �,����� �ก1@� {an} 9 ��5�� �/��+��� *���� an ���/� n �+2�5*������?���ก
2 ����!�"���ก��
)*�+������ 1.3 ก*����,�� an + 2 = 1
2 n 1− �*���� �ก:5*������?���ก n > 2 5��� 5 �5��9ก��� *������
*-.���� ,�� m = n + 2 ������� n = m � 2
���/� m = 2 5���� n = 0
������� an + 2 = am = ( )
1
2 m 2 1− − = 1
2 m 3−
D��ก*����,�� m = n 5������� an = 1
2 n 3− �*���� �ก: 5*������?���ก n > 3
���/� n = 4; a4 = 1
2 4 3− = 1
2
���/� n = 5; a5 = 1
2 5 3− = 1
2 2
���/� n = 6; a6 = 1
2 6 3− = 1
2 3
���/� n = 7; a6 = 1
2 7 3− = 1
2 4 = 1
4
���/� n = 8; a8 = 1
2 8 3− = 1
2 5
����J����� 5 �5��9ก��� *��������� { 12
, 1
2 2, 1
2 3, 1
4, 1
2 5} �
$%���/ก) ���� n ��5�����/���� / n = 1 �����+ ����������� / 1.3 ������/���� / n = 4
5�ก ��������������5���?������� ����55*�9�ก *������ก�+2� 2 �������5*�����5����� *���� ก ������
D�� *�����5*�����5��5*�ก�� ��ก?��ก *������������� �������ก�� (finite sequence) 9 �D�� *�����5*�����5�� ���5*�ก�� ��ก?��ก��� ����������ก�� (infinite sequence) ����*������ ����5,���*���� *����������ก?��� ����� ��5ก �������ก�������0/���� � *����5*�ก��� ��� ;=�ก���� /��6����5*������?���ก�+2�-���� 9 ������6���� �6����5*����5���+2���5� 9 � � *�������5*�ก��� ��� ;=�ก���� /��6����5*������?���ก�+2�-����9 ���6�
���5*����5���+2���5�ก?��� ��0/� � �ก�ก@L�,�ก�5*�9�ก *����������5�0����8�ก�� �ก1@��J������ *�������� ���� 7 ���������� *���� ����������������� *���� ���ก� 8����� � 8���ก��� *��������ก?��� 60/���5������5�@�,��� �����
����+
!01ก#� 1.1
1. 5���5�@����;=�ก���� /ก*����,������+���+2� *���������� ���/�,�� R �+2��6����5*����5�� 9 � �ก: Si /ก*����,���+2�����6����5*����5��
1) f1 : {1, 2, 3, 4} → R
2) g1 : {1, 2, 3, '} → R
3) h1 : {1, 3, 5, '} → S1
� -)2��)�'�/*3�4)' 3
4) f2 : {1, 3, 5, '} → R
5) g2 : {1, 2, 3, '} → S2
6) h2 : S3 → R
2. 5���5�@���� *���� /ก*����,������+���+2� *����5*�ก����� *�������5*�ก��
1) {an | an = n2 � 4 9 � 1 ≤ n ≤ 6, n �+2�5*������?���ก}
2) {an | an = 23
n + 1 9 � n ≥ 1, n �+2�5*������?���ก}
3) {an | an = 1
1n n + 1
1
1 −
− 9 � n ≥ 1, n �+2�5*������?���ก}
� � � � � �
1.2 ����/�$� -)
5�ก� ����� 1.2 5������� a1 = a1
a2 = a1 + d
a3 = a2 + d = (a1 + d) + d = a1 + 2d
a4 = a3 + d = (a1 + 2d) + d = a1 + 3d
a5 = a4 + d = (a1 + 3d) + d = a1 + 4d
' ' '
an = a1 + (n � 1)d
����J����� �*����5*������?���ก n ,�: *����� ��@��5���5�� �/��+��� an = a1 + (n � 1)d ���/�
a1 ����5��9ก��� *����� ��@�� d ���7 ������� 9 � an ����5�� / n ��� *����� ��@��
)*�+������ 1.3 5����5�� �/��+��� *���� {�1, 1, 3, 5, 7, '}
*-.���� ���/��5�ก �1 = �1
1 = (�1) + 2
3 = 1 + 2
��-+�� 1.2
����������� (arithmetic sequence) ��� *����60/�7 ��������5�� /��8����ก�������� / 9 ���ก����� /����� �7 �������� (common difference)
4 ����!�"���ก��
5 = 3 + 2
7 = 5 + 2
'
����J����� �5�� �/��+��� *���� {�1, 1, 3, 5, 7, '} ��� an = �1 + (n � 1)(2) = �3 + 2n �
)*�+������ 1.4 5����5�� �/��+��� *���� {1, 3, 5, 7, '}
*-.���� ���/��5�ก 1 = 1
3 = 1 + 2
5 = 3 + 2
7 = 5 + 2
'
����J����� �5�� �/��+��� *���� {1, 3, 5, 7, '} ��� an = 1 + (n � 1)(2) = �1 + 2n �
)*�+������ 1.5 *����� ��@�������0/���5��9ก, �5��ก �� 9 ��5�� ����+2�� ��8� D���5�����������5��ก �� � ��ก�� �14 9 � �26 9 ��5����5�� �/��+��� *������ *-.���� -5 ��ก*���� ���������������ก��� ��,��
���/��5�ก�5��ก ����� n2
������� �5�����������5��ก ��ก?���9ก� n2
� 1 9 � n2
+ 1
5�ก��ก� an = a1 + (n � 1)d -----(1.2.1)
9 ���� �14 = a(n/2) + 1 = a1 + ( )n2
+ 1 1 d − = a1 + ( )n2
d -----(1.2.2)
9 ���� �26 = a(n/2) � 1 = a1 + ( )n2
1 1 d − − = a1 + ( )n2
2 d−
= a1 + ( )n2
d � 2d -----(1.2.3)
9 ������ก� (1.2.2) �,���ก� (1.2.3) 5������� �26 = �14 � 2d
2d = �14 + 26 = 12
������� d = 6 9 ���� d = 6 �,���ก� (1.2.2) 5�������
�14 = a1 + ( )n2
(6) = a1 + 3n
������� a1 = �14 � 3n -----(1.2.4)
5�ก��ก� an = a1 + (n � 1)d 9 ���� a1 = �14 � 3n, d = 6 5������� an = (�14 � 3n) + (n � 1)(6) = �14 � 3n + 6n � 6 = �20 � 3n
����J����� �5�� �/��+��� *��������� an = �20 � 3n �
� -)2��)�'�/*3�4)' 5
� *�����ก������0/�60/������0����5�ก *����� ��@������ ���������+��
)*�+������ 1.6 5�9������ *���� {1, 12
, 13
, 14
, '} �+2� *����I��-���ก
*-.���� ���/��5�ก 1 = 11
2 = ( )1
2
1
3 = ( )1
3
1
' ' '
an =
( )n
1a
1
9 �������� {1, 2, 3, ', an} �+2� *����� ��@��
����J����� {1, 12
, 13
, 14
, '} �+2� *����I������ก�������ก� �
!01ก#� 1.2
1. ,�� 5, x, 20, ' �+2� *����� ��@�� /�7 ��ก��� 12 �5��9ก�+2� a 9 � 5, y, 20, ' �+2� *��������
�@�� /��5�� / 6 �+2� b -�� / y < 0 9 �� a + b ����� ��,�
2. �5��9ก /�+2�����*�/)3����� *����� ��@�� 200, 182, 164, 146, ' ��������5�ก�5�� / 10 � ��ก��� ��,�
� � � � � �
1.3 ����/�$�� -)
5�ก� ����� 1.4 5�������
��-+�� 1.3
*���� {a1, a2, a3, ', an, '} �+2� *����I������ก ก?������/� *���� {1
1a
,2
1a
,3
1a
,',n
1a
, '} �+2� *����� ��@��
��-+�� 1.4
������������ (geometric sequence) ��� *���� /�������������5�� /��8����ก��� ��ก��5*����5���� / �����0/� 9 ���ก5*����5���� /����� ������������� (common ratio)
6 ����!�"���ก��
a1 = a1
a2 = ra1
a3 = ra2 = r2a1
a4 = ra3 = r3a1
' ' '
an = ran � 1 = rn � 1
a1
����J����� �*����5*������?���ก n ,�: *��������@��5���5�� �/��+��� an = a1rn � 1
���/� a1 ���
�5��9ก��� *��������@�� r ���7 ������� 9 � an ����5�� / n ��� *��������@��
)*�+������ 1.7 5����5�� �/��+��� *���� {1, 12
, 14
, 18
, 116
, '}
*-.���� ���/��5�ก 1 = ( )012
12
= ( )112
14
= ( )212
18
= ( )312
' ' '
������� �5�� �/��+��� *��������� an = ( )n 112
− �*���� �ก: 5*������?���ก n �
!01ก#� 1.3
1. ก*����,�� a, b, c �+2� 3 �5��������ก��,� *��������@�� 9 ��7 �8@�+2� 27 D�� a, b + 3, c + 2 �+2�
����5��������ก��,� *����� ��@��9 �� a + b + c ����� ��ก��� ��,�
2. ก*����,�� a + 3, a, a � 2 �+2�����5�����ก����� *��������@�� /�������������+2� r 9 ��������
n 1
n = 1
ar∞ −∑ � ��ก��� ��,�
3. ,�� x, y, z, w �+2��5�� 4 �5�����ก��,� *��������@�� -�� / x �+2��5��9ก D�� y + z = 6 9 � z + w = �12 5����������8@�����5�� / 5 ��� *������
� � � � � �
� -)2��)�'�/*3�4)' 7
1.4 �-�-)$������
��5�@� *���� an = nn + 1
���ก�;-��,��9ก�����+2������� n 60/����/��0����/��: ���� /������� 9 �,��
9ก�����+2������� an �*���� n /�����ก����������
�&� 1.1 ก��6$�� an = nn + 1
5���?�������/� n �������/���ก�0����/��: -������ /������� ก�;��� an = nn + 1
5�����,ก ������� y = 1
,�ก@��������5�ก ������ *���� an 8������8� 1 ��� ������� *���� an � ��ก�� 1 60/�����9 ����������� �ก1@����
nn
lim a→∞
= 1
,�ก@ �/�: �+ �*����5*����5�� L ������ 5�ก ������ *���� an 8������8� L 5�����9 ����������� �ก1@�
nn
lim a→∞
= L 9 ���ก an ��� �����&�/$%�� (convergent sequence) 9 �,�ก@ /����5*����5�� L ,�� � /
*���� an 8������8� L 5���ก an ��� �����&���ก� (divergent sequence)
)*�+������ 1.8 ก*����,�� an = 2nn + 1
�*����5*������?���ก n ,�: 5���5�@���� *���� /ก*����,���+2�
*���� 8�������� *���� 8���ก D���+2� *���� 8����� 5��� ������� *������
*-.���� ���ก�;��� an = 2nn + 1
-��,�� n �+2�9ก����60/��������/��0������ /������� 9 �,��9ก������+2����
��� an ��������
��-+�� 1.5 5�ก ������ *���� an �+2� *���� 8�����ก?������/� an 8������8�5*����5�� L ������ 9 �ก ������ an �+2� *���� 8���ก
ก?������/� *���� an ��� 8������8�5*����5��,�� �
8 ����!�"���ก��
��5�@����/� n �+2�5*������?���ก 9 ��������/���ก�0����/��: 5���?���������� 8������8� 2
����J����� *�������+2� *���� 8�����9 ������� nn
lim a→∞
= ( )2nn + 1
n
lim→∞
= 2 �
)*�+������ 1.9 ก*����,�� an = n �*����5*������?���ก n ,�: 5���5�@���� an �+2� *���� 8�������� *����
8���ก D���+2� *���� 8�����5��� ������� *������ *-.���� ���ก�;��� an = n �*����5*������?���ก n ,�: -��,��9ก�����+2������� n 60/����/��0��-�� ���������� 9 �,��9ก������+2������� an ��������
5���?��������ก�;����9��-��� /5� 8�������5*����5��,�� � ����J����� *������ 8���ก �
A1E� /�ก/��ก�� ������� *�������8���ก��� 9��ก���5��+D0�5������78�����5���,��� ����� ������� *����,�����ก�������������5�� (Real Analysis) ���ก��������
$%���/ก) ,�ก�,��� ����� 1.6 ,�ก���5������ ������� *�������8�5�� ��ก *�-����5�ก� �����5� *�
�����ก��ก ������� ,� ��+P�����50�����,��ก�������-����/����5�ก������� |an � L| < ε 9 �� ��������5*������?���ก N /����ก� ��,��78�������5�@�������������+������������5�����,�� ����,5� ����� 1.6 ��ก��/��0��
��-+�� 1.6
ก*����,�� ε > 0 5�����5*������?���ก N /60/�D�� n ≥ N (-�� / N �0����8�ก�� ε) �*���� �ก: 5*����
��?���ก n 9 �� |an � L| < ε
� -)2��)�'�/*3�4)' 9
)*�+������ 1.10 5�9������ nn + 1
n
lim→∞
= 1
*-.���� ,�� ε > 0
��5�@� |an � L| = nn + 1
1− = n n + 1n + 1 n + 1
− = 1n + 1
− = 1n + 1
< ε
5������� 1 < ε(n + 1) (‹ ε > 0)
< εn + ε
1 � ε < εn
1 − εε < n
1ε � 1 < n
5�ก ε > 0 5������� 0 < 1ε < 1
������� 1ε � 1 < 0 < n
��/���� �*����5*������?���ก N ≥ 1ε � 1 5������� n
n + 1n
lim→∞
= 1 �������ก� �
����+���+2� A1E� �ก/��ก�� ���� /�����,5 A1E� ,� /������9���ก����85�������,��78����� �����85�� �+2�9��FGก���-��,��9��ก����85����� /78��������9������+�ก��ก��ก�,��� ����� 1.6 ���ก ���9 ���������
9-�&��' ก*����,�� ε > 0
5�ก nn
lim a→∞
= L1 9 � nn
lim a→∞
= L2 5��������5*������?���ก N1, N2 /60/�
�*���� �ก: 5*������?���ก n ≥ N 5������� |an � L1| < 2ε 9 � |an � L2| <
2ε
��5�@� |(an � L1) � (an � L2)| ≤ |an � L1| + |an � L2| (‹ ���ก����8+����� /��)
≤ 2ε +
2ε
= ε
9�� |(an � L1) � (an � L2)| = |�(L1 � L2)| = |L1 � L2| = ε
5������� L1 = L2 �������ก� �
$%���/ก) A1E� 1.1 ��5ก ����ก�������0/���� D�� *������ �������9 �� ������� *��������5������������� � ������ (����������� 8������8�5*����5������5*��������� ������)
#��+/#)� 5�ก A1E� 1.1 ��,��78����� �����85����� �*����5*����5����ก ε ,�: D�� |L1 � L2| = ε
9 �� L1 = L2
�:;<�� 1.1 (Uniqueness of limit of sequence) D�� n
n
lim a→∞
= L1 9 � nn
lim a→∞
= L2 9 ��5������� L1 = L2
10 ����!�"���ก��
����+���+2� A1E� �ก/��ก�����@����� ������� *���� 60/��+�-������ก,�ก��*��+,��9ก�+=����ก/��ก��ก��� ������� *����
9-�&��' ก*����,�� ε > 0 9 � N1, N2 �+2�5*������?���ก,�:
1) 5�ก |k � k| < ε
5���� 0 < ε
������� n
lim k→∞
= k �������ก�
2) ก@ k = 0 5���?�������������� /����ก����85���+2�5��
������� �������� k ≠ 0
5�ก nn
lim a→∞
= L 5��5*������?���ก N /60/��*���� n ≥ N 9 �� |an � L| < kε
��5�@� |kan � kL| = |k(an � L)| = |k||an � L| < |k|⋅kε = ε
3) 5�ก nn
lim a→∞
= L, nn
lim b→∞
= M
5��5*������?���ก N1, N2 /60/��*���� n ≥ max{N1, N2}
9 �� |an � L| < 2ε 9 � |bn � L| <
2ε
��5�@� |(an + bn) � (L + M)| = |(an� L) + (bn � M)| ≤ |an � L| + |bn � L|
< 2ε +
2ε = ε
�:;<�� 1.2 ก*����,�� n
n
lim a→∞
= L, nn
lim b→∞
= M 9 � k �+2�5*����5��,�: 5�������
1) n
lim k→∞
= k
2) nn
lim ka→∞
= kL
3) ( )n nn
lim a + b→∞
= L + M
4) ( )n nn
lim a b→∞
− = L � M
5) ( )n nn
lim a b→∞
⋅ = L ⋅ M
6) ( )n
n
a
bn
lim→∞
= LM
7) nn
lim a→∞
= nx
lim a→∞
= |L|
� -)2��)�'�/*3�4)' 11
������� ( )n nn
lim a + b→∞
= L + M
4) ��5�@� *���� an � bn = an + (�bn) 9 �5�ก��� 3) ก?5������� /����ก�
5) ก*����,�� α �+2������������ |an| 5�ก n
n
lim a→∞
= L, nn
lim b→∞
= M
5��5*������?���ก N1, N2 /60/��*���� n ≥ max{N1, N2} 9 �� |an � L| < ( )2 M + 1ε
9 � |bn � M| < 2εα
��5�@� |anbn � LM| = |anbn � LM � anM + anM| = |(anbn � anM) + (anM � LM)| = |an(bn � M) + M(an � L)| ≤ |an(bn � M)| + |M(an � L)| = |an||(bn � M)| + |M||(an � L)|
< α⋅2εα + ( )2 M + 1
ε
< 2ε +
2ε = ε
������� ( )n nn
lim a b→∞
⋅ = L ⋅ M
6) ��5�@� *���� n
n
a
b = an ⋅
n
1b
-�� / bn ≠ 0 9 �5�ก��� 5) ก?5�����������ก�
7) 5�ก nn
lim a→∞
= L 5��5*������?���ก N /60/��*���� n ≥ N 9 �� |an � L| < ε
5������� � ε < an � L < ε
������� L � ε < an < L + ε
5������� an < L + ε
������� |an| < |L + ε| ≤ |L| + |ε| 5������� |an| � |L| < |ε| ������� na L− < ε = ε (‹ ε > 0)
��/���� nn
lim a→∞
= |L|
9 �5�ก |an � L| < ε
5������� na L− < |ε| = ε (‹ ε > 0)
��/���� nn
lim a→∞
= nx
lim a→∞
12 ����!�"���ก��
9 �5�ก nn
lim a→∞
= L 5���?���������� nx
lim a→∞
= |L| �
#��+/#)� ��� �ก1@� max{N1, N2} �*����5*������?���ก N1, N2 ���/�ก*����,�� N = max{N1, N2} ����D0�
N ≥ N1 ��� N ≥ N2
��0/� ������/��5�กก��� ������� *����-��ก����ก�;���� *������ก,�ก@ /���5�������6��6�����ก:
������� 50��ก����� A1E� �0���������0/����/��*������������ก,�ก��� ������� *����,�������0���������+��
9-�&��' 1) ���85��-��,��� �ก��+��������@��%����
ก*����,�� P(k) 9 �������� k1
nn
lim→∞
= 0 �*���� �ก: 5*������?���ก k
�������: ���/� k = 1 5������� 1n
n
lim→∞
= 0 �+2�5��
����������: ก*����,�� k′ �+2�5*������?���ก
�������� k
1
nn
lim ′→∞
= 0
��5�@� k + 1
1
nn
lim ′→∞
= k
1
n nn
lim ′⋅→∞
= ( )k
1 1n
nn
lim ′→∞
⋅
�:;<�� 1.3
1) k1
nn
lim→∞
= 0 �*���� �ก5*����5����ก k
2) k
n
lim n→∞
8���ก
3) k
m
nn
lim→∞
= 0 �*���� �ก5*����5�� m, k 9 � k > 0
4) n
n
lim x→∞
=
5) D�� nn
lim a→∞
= L 9 � m na �+2�5*����5���*���� �ก5*������?���ก n 9 ��
( )mn
n
lim a→∞
= m L
0 ���/� �1 < x < 1
1 ���/� x = 1
8���ก ���/� x > 1
� -)2��)�'�/*3�4)' 13
= k
1
nn
lim ′→∞
⋅ 1n
n
lim→∞
( A1E� 1.2 ��� 5))
= 0 ⋅ 0 (-�������R�� 9 �5�ก����R��) = 0
������� -��� �ก��+��������@��%����5������� k1
nn
lim→∞
= 0 �*���� �ก: 5*������?���ก k
2) ���/��5�ก nk =
( )k1
n
1
����J����� k
n
lim n→∞
=
( )k1n
n
1lim→∞
=
( )n
1k
nn
lim 1
lim
→∞
→∞
5�ก��� 1) k1
nn
lim→∞
= 0 ������� �5�� ( )
n
1k
nn
lim 1
lim
→∞
→∞
50��ก��ก�������%8���60/���������,�
���5*����5�� ����J����� k
n
lim n→∞
����������� 9������ *���� 8���ก
3) ��5�@� km
n = m ⋅ k
1
n 9 �5�ก��� 1) ก?5�����������ก�
4) ก��� �1 < x < 1: ���/��5�ก xn �+2� *��������@�� / |x| < 1 ������� �+2� *���� 8�����
9 �5�ก��� 1) ก?5�����������ก� ก��� x = 1: ������� /����ก����85���+2�5��
ก��� x > 1: ���/��5�ก xn �+2� *��������@�� /� |x| > 1 ������� �+2� *���� 8���ก
5) ,�� L′ = ( )mn
n
lim a→∞
= ( )1m
nn
lim a→∞
5������� ℓn L′ = ( )1m
nn
n lim a→∞
ℓ
= ( )1m
nn
lim n a→∞
ℓ
= ( )1nm
n
lim n a→∞
⋅ ℓ
= ( )1m
n
lim→∞
⋅ ( )nn
lim n a→∞
ℓ
14 ����!�"���ก��
= 1m⋅ n
n
n lim a→∞
ℓ
= 1m⋅ℓn L
= 1mnLℓ
������� L′ = 1mL = m L �
#��+/#)� ���/��5�ก;=�ก���� �ก�� 0�!������+2�;=�ก����������/�� / �ก: 5��,�-���� �������
[ ]nn
lim na→∞ℓ = n
n
n lim a→∞
ℓ �*���� *�������5�� an
)*�+������ 1.11 5��� ������� *���� /ก*����,������+�� (D���)
1) an = 2n + 13n + 4
2) bn = 2
23n 4
2n + 1
−
3) an + bn
4) an ⋅ bn
5) n
n
a
b
*-.���� 1) nn
lim a→∞
= ( )2n + 13n + 4
n
lim→∞
= 1n4n
2 +
3 + n
lim→∞
=
1n
n n
4n
n n
lim 2 + lim
lim 3 + lim
→∞ →∞
→∞ →∞
=
1n
n n
1n
n n
lim 2 + lim
lim 3 + 4 lim
→∞ →∞
→∞ →∞
⋅
= 2 + 03 + 4 0⋅
= 23
� -)2��)�'�/*3�4)' 15
2) nn
lim b→∞
= ( )2
23n 4
2n + 1n
lim −→∞
=
42
n12
n
3
2 + n
lim
−
→∞
=
42
nn n
12
nn n
lim 3 lim
lim 2 + lim
→∞ →∞
→∞ →∞
−
= 3 02 + 0−
= 32
3) ( )n nn
lim a + b→∞
= nn
lim a→∞
+ nn
lim b→∞
= 23
+ 32
= 136
4) ( )n nn
lim a b→∞
⋅ = nn
lim a→∞
⋅ nn
lim b→∞
= 23⋅ 3
2
= 1
5) ( )n
n
a
bn
lim→∞
= n
n
nn
lim a
lim b→∞
→∞
=
2332
= 49
�
16 ����!�"���ก��
����+��5���5�@� *���� /��5�� �/��+��8�,�8+����%1���������
A1E� 1.4 ��5��*��+,�����-���� �� ���85�� ��,��78�������5�@���������-5 ��+=�������+��5� ����,������,5 A1E� 1.4 ��ก��/��0��
)*�+������ 1.12 ก*����,�� an = 2 + 3n + n2 9 � bn = 1 � 3n + 3n
2 � n
3 ����� Pn = n
n
a
b �*���� �ก:5*����
��?���ก n ≥ 2 5��������� nn
lim P→∞
*-.���� -5 ��ก*����,�� nn
lim P→∞
= n
n
a
bn
lim→∞
= ( )2
2 32 + 3n + n
1 3n + 3n nn
lim− −→∞
= ( )
( )3 32 1
3 2 2n n n
3 3 313 2 n
n n
n + +
n n + 1
lim→∞ − −
=
32 13 2 2
n n n3 31
3 2 nn n
+ +
+ 1n
lim− −→∞
= 0 + 0 + 00 0 + 0 1− −
= 0
�����5,�� A1E� 1.4 5�ก-5 ��5������� s = 2, t = 3 ������� s < t
5�ก��� 1) 50���+������ nn
lim P→∞
= 0 �
�:;<�� 1.4
ก*����,�� Pn =
2 3 s 1 s0 1 2 3 s 1 s
2 3 t 1 t0 1 2 3 t 1 t
a + a n + a n + a n + ... + a x + a x
b + b n + b n + b n + ... + b x + b x
−−
−−
-�� / n �+2�5*������?���ก 9 � s, t �+2�
5*����5��,�: �+2� *����9 ��
1) D�� s < t 9 �� nn
lim P→∞
= 0
2) D�� s = t 9 �� nn
lim P→∞
= s
t
a
b
3) D�� s > t 9 �� Pn 8���ก
� -)2��)�'�/*3�4)' 17
)*�+������ 1.13 5��������� ( )2 3 4
2 3 44 + 3n n + 2n
3 n + n 3nn
lim −− −→∞
*-.���� 5�ก-5 �� ���/��5�ก s = t = 1 ������� 5�ก A1E� 1.4 ��� 2) ��+������
( )2 3 4
2 3 44 + 3n n + 2n
3 n + n 3nn
lim −− −→∞
= 23
− �
$%�/���!�" 5�ก�������� / 1.13 ��,��78����� �������-�����,�� A1E� 1.4 9 �� � ���+��� �������� ���� ��ก��������
)*�+������ 1.14 5��������� 1 13 2
12
n n
n n n
lim −→∞ −
*-.���� ���/��5�ก s = 12
, t = 1 5���?���� s < t
������� -�� A1E� 1.4 ��� 1) ��+������ 1 13 2
12
n n
n n n
lim −→∞ −
= 0 �
$%���/ก) ก��� ������� *���� /�8+9������5�� �/��+����������� / 1.14 ��5 *����-�����������ก ก� ,��7 ��� A1E� 1.4 5�����,��ก��� ���� /�8+9�����ก �������ก��/��0��
,�ก���������� *���� /��ก*� ����5�@���8����� 8�������� 8���ก��5 *������ก ����5��5��� ������-�� ก���5������ *��������������� *���� /��ก*� ����5�@���8����� 8�������� 8���ก ��� /5�ก ���D0�,� A1E�
����+��
9-�&��' ก*����,�� an, bn, cn �+2� *�������5*����5��-�� / an ≤ bn ≤ cn �*���� �ก: 5*������?���ก n
1) ก*����,�� ε > 0 �������� n
n
lim a→∞
= L 9 � nn
lim c→∞
= L
������� 5��5*������?���ก N1, N2 /60/��*����5*������?���ก n ≥ max{N1, N2} 9 ��
|an � L| < ε 9 � |cn � L| < ε
5������� L � ε < an 9 � cn � L < ε ���ก?��� cn < L + ε
�:;<�� 1.5 (Squeeze Theorem for sequence)
ก*����,�� an, bn, cn �+2� *�������5*����5��-�� / an ≤ bn ≤ cn �*���� �ก5*������?���ก n 9 �� �����������+���+2�5�� 1) D�� n
n
lim a→∞
= L 9 � nn
lim c→∞
= L 9 �� nn
lim b→∞
= L
2) D�� bn 8���ก9 �� cn 8���ก����
18 ����!�"���ก��
������� L � ε < an ≤ bn 9 � bn ≤ cn < L + ε
9 ������� L � ε < bn < L + ε
���ก?��� |bn � L| < ε
����J����� 50������� nn
lim b→∞
= L
2) -���������9���� �� / (contraposition) ������� /����ก����85��50��+ /���+2���� �D�� cn 8�����9 �� bn 8����������
�����,�� ε > 0 9 � nn
lim c→∞
= L
������� 5��5*������?���ก N /60/��*����5*������?���ก n ≥ N 9 �� |cn � L| < ε
5������� L � ε < cn < L + ε
���/��5�ก bn ≤ cn �*���� �ก: 5*������?���ก n
5������� L � ε < bn < L + ε
������� |bn � L| < ε 9 ������� bn 8����� ����J����� 5�ก�������9���� �� /9������������� /����ก����85�����+2�5�� �
)*�+������ 1.15 5���5�@���� *���� bn = 2
32n + 5
5n + 4 �*����5*������?���ก n ,�: 8�������� 8���ก
*-.���� ��5�@� *���� cn = 2
32n
5n = 2
5n
9 � an = 2
32n + 5
5n + 10 =
( )2
32n + 5
5 n + 2
5���?���� an ≤ bn ≤ cn �*���� �ก: 5*������?���ก n
9 ����/��5�ก nn
lim a→∞
= nn
lim c→∞
= 0
������� -�� A1E� 1.5 5������� nn
lim b→∞
= 0 �
)*�+������ 1.16 5��������� nn
2n
lim→∞
*-.���� ������� nn
2 = n
n 1
2
− + n1
2 ������� n
1
2 < n
n
2
9 �������� nn
2 < 1
n 5���� n
1
2 < n
n
2 < 1
n
���/��5�ก n1
2n
lim→∞
= 0 = 1n
n
lim→∞
-�� A1E� 1.5 5������� nn
2n
lim→∞
= 0 �
� -)2��)�'�/*3�4)' 19
!01ก#� 1.4
1. 5����������+��
1) 1n
n
lim n→∞
2) ( )n1n
n
lim 0.999... + →∞
3) ( )1n
21
n + 3n + 2n
lim 1 + →∞
4)
111 1 n82 4 2
1 1 13 5 2n-1
n + n + n + ... + n
n n + n + n + ... + n
lim→∞
5) ( )n1ln n
n
lim→∞
6) ( )1n1
ln nn
lim→∞
2. 5�,�� A1E� 1.5 ���85����� sin nn
n
lim→∞
= 0 9 � cos nn
n
lim→∞
= 0 9 ������ ������� *���� /ก*����
,������+��
1) ( )1nsin n
nn
lim→∞
2) ( )nsin nn
n
lim→∞
3) ( )1ncos n
nn
lim→∞
4) ( )ncos nn
n
lim→∞
3. �*����5*������?���ก n ,�: ก*����,�� Mn =
1n
1n
n
n 1
− +
9 � an = det(Mn) 9 ��5���������
nn
lim a→∞
4. �*����9�� �5*������?���ก n ≥ 4 ก*����,�� an = 4
3 3 3 3n + 1
1 + 2 + 3 + ... + n 5��������� n
n
lim a→∞
5. D�� an = 2
2n + n + 1
3n + 1 9 � bn =
n n
n2 5
5 + 9
− 9 �� ������� *���� /��5�� / n �+2� an � bn + anbn ����� ��,�
20 ����!�"���ก��
6. ก*����,�� an �+2� *�������5�� 5����85�����D�� nn
lim a→∞
= 0 9 �� nn
lim a→∞
= 0
� � � � � �
1.5 ����!ก*��ก*�
��5�@� *���� {1, �2, 3, �4, 5, �6, '} D���*� *���� /ก*����,�����ก ��������5�� �/��+9 �� ��5���� �5�� �/��+����,�8+ an = (�1)
nn �*���� �ก: 5*������?���ก n
��5�@��ก����������0/� {1, �3, 5, �7, 9, �11, '} ,� *��������ก���������� /7����� ������D���5�� �/��+��� *���������9ก� bn = (�1)
n(2n � 1) �*���� �ก: 5*������?���ก n
5���?������� 9�� ��5����� *���� ���������ก �������� ���+�������������กก����� � ���/��*������5�� �/��+9 �� 5�����+2�7 �8@��� (�1)
nAn -�� / An �+2� *�������5��9 ��+2� *���� 8���ก9 �� ����ก *���� /�
�ก1@���������� � *����9ก���ก���� (oscillating sequence)
)*�+������ 1.17 5���5�@���� *���� /ก*����,������+�� *����,��+2� *����9ก���ก���
1) an = 4n + 33n 1−
2) bn = (�1)n 4n + 33n 1−
3) cn = (�1)n(3n � 1)
*-.���� -��� ����� 1.7 1) *���� an ���+�กP�����5����� (�1)
n ������� ����+2� *����9ก���ก���
2) *���� bn +�กP�5����� (�1)n 9�� 4n + 3
3n 1n
lim −→∞
= 43
9�������+2� *���� 8�����
������� bn ����+2� *����9ก���ก���
3) *���� cn +�กP�5����� (�1)n 9 � An = 3n � 1 �+2� *���� 8���ก
������� cn �+2� *����9ก���ก��� �
��-+�� 1.7
�������ก���ก��� (oscillating sequence) ��� *���� /������8�,�8+ an = (�1)nAn �*���� �ก: 5*������?���ก
n 9 � An �+2� *�������5��60/� 8���ก
� -)2��)�'�/*3�4)' 21
)*�+������ 1.18 5���5�@���� *���� /ก*����,������+�� *����,��+2� *����9ก���ก���
1) an = sin n4π
2) bn = sin (�1)n n
4π
3) cn = cos (�1)n
nn
2
π
*-.���� 5���?���������� ������ *���� /ก*����������+2� *����9ก���ก���
���/��5�ก *���� an ���+�กP�5�� (�1)n ��8�� � 9 �D0�9����� *���� bn ��� *���� cn 5�+�กP�5��
(�1)n ��8� 9��ก?��������8�,�8+ (�1)
nAn -������ก�����5�� (�1)
n n4π ก���5�� (�1)
n
nn
2
π �+2����ก�������
���;=�ก�����6��9 �;=�ก����-��6����� *����� ������ �
)*�+������ 1.19 5���5�@���� *���� an = cos (�1)n
nn
2
π �+2� *���� 8�������� *���� 8���ก D���+2� *���� 8�����,����
������� *������
*-.���� 5�ก�������� / 1.18 �� ����� *���� an = cos (�1)n
nn
2
π ���,�� *����9ก���ก���
���/��5�ก cos (�1)n
nn
2
π =
5�ก ( )nn
2n
lim cos π→∞
= ( ) ( ) ( ) ( )n n n n
2 4 6 8n n n n1 1 1 1
2! 4! 6! 8!2 2 2 2n
lim 1 + + ...π π π π→∞
− − −
��������5�� ( ) ( ) ( ) ( )n n n n
2 4 6 8n n n n1 1 1 1
2! 4! 6! 8!2 2 2 2n
lim + + ...π π π π→∞
− − −
����������ก
������� ( )nn
2n
lim cos π→∞
= 1
9 �,� *��������ก�� 5������� ( )nn
2n
lim cos π→∞
− = �(�1) = 1 (‹ cos nπ = �1 ���/� n �+2�
5*������?��/�+2� �����)
5������� ( )nn
2n
lim cos π→∞
= ( )nn
2n
lim cos π→∞
− = 1
9������ n
n n
2n
lim ( 1) cos π→∞
− = 1 ���/� n �+2�5*������?���ก,�:
��/���� *���� an = cos (�1)n
nn
2
π �+2� *���� 8����� �
cos nn
2
π ���/� n �+2�5*������?��8�
� cos nn
2
π ���/� n �+2�5*������?��/
22 ����!�"���ก��
!01ก#� 1.5
5���5�@���� *���� /ก*����,������+�� *����,� 8����� *����,� 8���ก D�� 8�����5��� ������� *��������
1. an = n
n n
2( 1)−
2. an = 2
n
n n
2( 1)−
3. an = n
3
n e
n( 1)
−−
4. an = 2
n sin n
n( 1)−
5. an = n n
ln n( 1)−
� � � � � �
� -)2��)�'�/*3�4)' 23
1.6 ����6>?�ก@�
*����,�!�����60/��+2� /8�5�กก����ก /�����?�5����9ก� � *����;<-���ก�� (Fibonacci Sequence) -�� *����������D8ก�����-����ก����������� /��/���� �;<-���ก�� 5�กก�����ก� *��������+��
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, '
��,��78���������ก���� �ก: �5����� *��������9���5�� / 3 �+2�����+ ���9���ก���0��5�กก���ก����5�� / ��ก������� 2 �5�� ������������
2 = 1 + 1 = a1 + a2
3 = 1 + 2 = a2 + a3
5 = 2 + 3 = a3 + a4
8 = 3 + 5 = a4 + a5
' ' ' '
5���?������� �*���� �ก: 5*������?���ก n ≥ 3 *���������������D����,����8�,�8+ �/��+������
an = an � 2 + an � 1
-�� /ก*���������/���� (initial value) ��� a1 = 1 9 � a2 = 1
)*�+������ 1.20 5���5�@���� *���� 6, 7, 13, 20, 33, ' �+2� *����;<-���ก������� *-.���� ���/��5�ก 13 = 6 + 7
20 = 7 + 13
33 = 13 + 20
' ' '
5���?��������5�� �/��+��� *��������8�,�8+��� an = an � 2 + an � 1 9�������/�������,�� 1 9������ *���� /ก*����,�������,�� *����;<-���ก� �
��5�@� *���� 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, ' ����� ������ก���� -���*��5�� / n �+���5�� / n + 1 �*����
5*������?���ก n ,�: ����� 11
, 21
, 32
, 53
, 85
, 138
, '
D��ก*����,�� x1 = 11
, x2 = 21
, x3 = 32
, ' 5���?������� xn ����D�������,�8+ xn = n + 1
n
a
a
��-+�� 1.8
������������ก�� (Fibonacci Sequence) ��� *���� /��5�� �/��+��8�,�8+ an = an � 2 + an � 1 -�� / a1 = 1
9 � a2 = 1 �*���� �ก: 5*������?���ก n ≥ 3
24 ����!�"���ก��
��5�@� xn = n + 1
n
a
a -----(1.8.1)
= n n 1
n
a + a
a− (-��ก�9 ���� n = n + 1 �,���ก� an = an � 2 + an � 1)
= n
n
a
a + n 1
n
a
a−
= 1 + n
n 1
a
a
1
−
= 1 + n 1
1x −
(-��ก�9 ���� n = n � 1 �,���ก� 1.8.1)
�������� xn 8������8�5*����5�������0/� 9 �5���?���������� xn � 1 ก? 8������8�5*����5���������ก��
5������� nn
lim x→∞
= ( )n 1
1x
n
lim 1 + −→∞
x = 1 + 1x
x � 1x
= 1
2
x 1x− = 1
x2 � x � 1 = 0 -----(1.8.2)
9ก���ก� (1.8.2) 5��������ก /�+2���ก��� x = 12
+5
2 60/�������+2� /8�5�กก��������9������กก-����ก
�@��%������ก5*����5������� �)����*����� (golden ratio) �������%5������������� �� /����?�
,�!������� ��8+9�� ������������
1) 8+������9Jก /������ /��� ����������9�� �����5�����+�ก���+������������ �� 2) �������������������8�����ก����������0/�R����������,�+�� %���+���+2��������� �� 3) 8+�/�� /��7��7��60/�����������������������ก������ก�����+2��������� �� �+2�8+�/�� /��
7��7�� /������ /��� 9 ���ก8+�/�� /��7��7�� /���������������� ��/�� /��7��7�� ��� (golden rectangle)
4) S�����-��� �6����������� ����������������,�����ก���������ก���+2��������� ��
!01ก#� 1.6
1. 5����5�� / n /ก*����,������+����� *����;<-���ก� 1) n = 9
2) n = 13
3) n = 16
2. 5����5��9ก /��กก��� 100 ��� *����;<-�ก��ก�
� � � � � �
���� 2
���ก��
2.1 ���ก��
-�� �/��+ ����������9 ����ก��������/������ �7 ��� ��� �Σ� 9 �5�ก� ����� 1.1 ����D
,����������������ก�,������5���/��0��-��,�����/������ Σ ��������
��0/� ��������� Σ ���8�� ��+�ก�60/��*��+,��,��@��%���������8��� ���,��D���%���� ��� A1E�
����+��
9-�&��' 1) ก*����,�� ai = k �*���� �ก: 5*������?���ก i 5�������
n
ii 1
a∑=
= a1 + a2 + a3 + ' + an = k + k + k + ' + k = nk
��-+�� 2.1 ���ก� (series) ��� ก�����7 ��ก��� *��������: ��������ก��
��-+�� 2.2
�*����5*������?���ก n ,�: 9 �,�� a1, a2, a3, ', ai �+2� *����9 �� n
ii 1
a∑=
= a1 + a2 + a3 + ' + ai
�:;<�� 2.1
1) �*���� �ก: 5*������?���ก i D�� ai = k 9 �� n
ii 1
a∑=
= nk
2) n
ii 1
ka∑=
= kn
ii 1
a∑=
3) ( )n
i ii 1
a + b∑=
= n
ii 1
a∑=
+ n
ii 1
b∑=
4) ( )n
i ii 1
a b∑=
− = n
ii 1
a∑=
� n
ii 1
b∑=
n ���
26 ����!�"���ก��
2) n
ii 1
ka∑=
= ka1 + ka2 + ka3 + ' + kan
= k(a1 + a2 + a3 + ' + an)
= kn
ii 1
a∑=
3) ( )n
i ii 1
a + b∑=
= (a1 + b1) + (a2 + b2) + (a3 + b3) + ' + (an + bn)
= (a1 + a2 + a3 + ' + an) + (b1 + b2 + b3 + ' + bn)
= n
ii 1
a∑=
+n
ii 1
b∑=
4) ��5�@� ai � bi = ai + (� bi) 9 �5�ก��� 1) ก����� 3) ก?5�����������ก� �
���/��5�ก *����� 2 �������9ก� *����5*�ก�� 9 � *�������5*�ก�� ,���/�����ก�ก?��������ก�� ������D
9������ก���ก�+2� 2 �������9ก� ���ก�5*�ก�� 9 ����ก����5*�ก�� ���� ���������+��
9 �D����5�@��ก/��ก�� �ก1@�ก� 8����� � 8���ก ก?����D9�������+2����ก� 8����� (convergent series) 9 � ���ก� 8���ก (divergent series) �����
��5�@�5�ก������������: �������+��5�����,������,5� ����� 2.3 9 �� ����� 2.4 ��ก��/��0��
)*�+������ 2.1 5���5�@�������ก� 1 + 12 + 1
4 + ' + 1
1024 �+2����ก�����,�
*-.���� 5�ก� ����� 2.3 5����������ก����+2����ก�5*�ก�� ����+5���5�@�������ก��� 8����������� ,�� Sn �+2�7 ��ก���� n �5��9ก������ก� 5������� S1 = 1 = 1
S2 = 1 + 12
= 32
S3 = S2 + 14 = 7
4 = 1 + 3
4
��-+�� 2.3 1) ���ก�5*�ก�� (finite series) ��� ���ก� /�5*�����5��5*�ก��
2) ���ก����5*�ก�� (infinite series) ��� ���ก� /�5*�����5�����5*�ก��
��-+�� 2.4 1) ���ก� 8����� ��� ���ก� /� *�������7 ��ก���� 8����� 2) ���ก� 8���ก ��� ���ก� /� *�������7 ��ก���� 8���ก
� -)2��)�'�/*3�4)' 27
S4 = S3 + 18
= 158
= 1 + 78
S5 = S4 + 116
= 3116
= 1 + 1516
S6 = S5 + 132
= 6332
= 1 + 3132
S7 = S6 + 164
= 12764
= 1 + 6364
S8 = S7 + 1128
= 255128
= 1 + 127128
S9 = S8 + 1256
= 511256
= 1 + 255256
S10 = S9 + 1512
= 1023512
= 1 + 511512
S11 = S10 + 11024
= 20471024
= 1 + 10231024
5������� Sn = 1 + n 1
n 12 1
2
−−− = 2 � n 1
1
2−
������� nn
lim S→∞
= ( )n 11
2n
lim 2 −→∞
− = 2
-��� ����� 2.4 ��+������ ���ก����+2����ก� 8�����9 ��7 ��ก������ก�� ��ก�� S11 �
#��+/#)� ,����������: �+ ��5���� ��������ก����+2����ก�����@��5*�ก�� (finite geometrical series) 60/�
�7 ��ก� ��ก�� 20471024
= S11 ��/����
)*�+������ 2.2 5���5�@�������ก� 1 + 12 + 1
3 + ' + 1
n + ' �+2����ก�����,�
*-.���� 5�ก� ����� 2.3 ���ก����+2����ก����5*�ก�� ����+5���5�@�������ก��� 8����������� ,�� Sn �+2�7 ��ก���� n �5��9ก������ก� 5������� S1 = 1
S2 = 1 + 12
= 32
S3 = S2 + 13
= 116
= 2 � 16
S4 = S3 + 14
= 2512
= 2 + 112
S5 = S4 + 15
= 13760
= 2 + 1760
S6 = S5 + 16
= 14760
= 2 + 2760
S7 = S6 + 17
= 1089420
= 2 + 249420
' ' '
5���?���� �������D���5�� �/��+��� *����7 ��ก�������� � 50���+����+2����ก� 8���ก �
#��+/#)� ,�� ����5�%0ก1��J������ก�5*�ก�����ก��� �*�������ก����5*�ก��������5��+��5�@�,�
� / 3 ����+
28 ����!�"���ก��
!01ก#� 2.1
1. �*����5*������?���ก n ,�: 5����85�������������+��
1) n
i 1
i∑=
= n(n + 1)
2
2) n
2
i 1
i∑=
= n(n + 1)(2n + 1)
6
3) n
3
i 1
i∑=
=
2n
i 1
i∑=
2. �*���� �ก: 5*������?���ก n 5���������� ������85���*������� ���
1) ( )n
2i i
i 1
a b∑=
+
2) ( )n
3i i
i 1
a b∑=
+
3. 5����85��������85��9��� ( )n
2i i
i 1
a b∑=
+ ≤ n
2i
i 1
a∑=
+ n
2i
i 1
b∑=
�*���� �ก: 5*������?���ก n
4. D�� 10
ii 1
x∑=
= � 8, 10
ii 1
y∑=
= 4 9 � ( )( )10
i ii 1
5 x y 2∑=
− + = 76 9 �� 10
i ii 1
x y∑=
����� ��ก��� ��,�
5. 5���7 ��ก������ก� /ก*����,������+�� 1) 1 � 3 + 5 � 7 + 9 � ' + 99
2) 1 � 2 + 3 � 4 + 5 � ' � 100
3) 1 � 1 + 2 � 3 + 5 � 8 + ' � 55
4) 1 � 12
+ 14
� 18
+ '
5) 1(n + 3)(n + 4)
n 1
∞∑=
6. 5��������� � sin21° + sin
22° � sin
23° + ' � sin
289°
� � � � � �
� -)2��)�'�/*3�4)' 29
2.2 ���ก��/�$� -)
)*�+������ 2.3 ก*����,�� an = 2n + 3 �+2� *����� ��@�� 5���7 ��ก��� an 5*���� 10 �5��9ก
*-.���� 10
ni 1
a∑=
= ( )10
i 1
2n + 3∑=
= ( )10
i 1
2n∑=
+ ( )10
i 1
3∑=
= 2 ⋅10
i 1
n∑=
+ (10)(3)
= 2 ⋅ 102
(10 + 1)+ (10)(3)
= 110 + 30 = 140 �
,�ก@ /����ก���7 ��ก������ก�� ��@�� 9��������ก*�����5�� �/��+��,���������,��������� / 2.3 ก?��5 *����-��,����ก�����+��
9-�&��' ,�� P(n) 9 �������� Sn = [ ]n12
2a + (n 1)d− �*���� �ก: 5*������?���ก n
�������: ,�� n = 1 5������� S1 = [ ]112
2a + (1 1)d− = a1 5��
����������: ,�� n = k
�������� P(k) �+2�5�� 5�9������ P(k + 1) �+2�5��
��5�@��5�� Sk + ak + 1 = [ ]k12
2a + (k 1)d− + ak + 1
= [ ]k12
2a + (k 1)d− + (a1 + kd) (‹ ak = a1 + (k � 1)d)
= ka1 + 2
k2
� k2
d + (a1 + kd)
= (ka1 + a1) +2
k2
+ k2
d
= 12
[2(k + 1)a1] +2
k2
+ k2
d
= 12
[2(k + 1)a1 + k2 + kd]
= 12
[2(k + 1)a1 + k(k + 1)d]
��-+�� 2.5 ���ก�� ��@�� (arithmetic series) ��� ���ก� /���5�กก��*� *����� ��@������กก��
�:;<�� 2.2 �*����5*������?���ก n 7 ��ก n �5��9ก������ก�� ��@��,����� �ก1@���� Sn �����5�ก��ก�
Sn = [ ]n12
2a + (n 1)d− ���/� a1 ����5��9ก,� *����� ��@��, d ���7 �������,� *����� ��@��
30 ����!�"���ก��
= k + 12
[2a1 + kd]
= k + 12
[2a1 + (k + 1 � 1)d]
= Sk + 1
����J����� P(k + 1) �+2�5��
-��� �ก��+��������@��%����5������� Sn = [ ]n12
2a + (n 1)d− �*���� �ก: 5*������?���ก n �
9-�&��' 5�ก A1E� 2.2 �������� Sn = [ ]n12
2a + (n 1)d− = ( )n1 12
a + a + (n 1)d−
9�� an = a1 + (n � 1)d (‹ �5�� �/��+��� *����� ��@��)
������� Sn = n2
(a1 + an) �*���� �ก: 5*������?���ก n �
)*�+������ 2.4 5���7 ��ก������ก� 14+ 1
3+ 5
12+ 1
2+ ' + 1
*-.���� d1 = 13
� 14 = 1
12
d2 = 512
� 13
= 112
d3 = 12
� 512
= 112
' '
dn = 112
9���������ก� /ก*����,�����+2����ก�� ��@�� 60/���5��9ก (a1) = 14
, d = 112
ก�����/�5�������5*�����5�����ก���
5�ก an = a1 + (n � 1)d
9 ���� a1 = 14
, d = 112
, an = 1
5������� 1 = 14+ (n � 1) 1
12
(n � 1) 112
= 1 � 14
= 34
n � 1 = 9
n = 10
����J����� -��� 9 ก 2.1 5������� S8 = 102
( 14
+ 1) = 254
�
)*�+������ 2.5 ก*���� *���� an = 10 � 2n 5���7 ��ก 10 �5��9ก /�+2�5*������?� � *-.���� n = 6; a6 = 10 � 2(6) = �2
n = 15; a15 = 10 � 2(15) = �20
����J����� -��� 9 ก 2.1 5������� S10 = 102
((�2) + (�20)) = �110 �
�!��ก 2.1 Sn = n2
(a1 + an) �*���� �ก: 5*������?���ก n
� -)2��)�'�/*3�4)' 31
)*�+������ 2.6 D�� log93, log9(3x � 2), log9(3
x + 16) �+2�����5��9ก /���ก��,����ก�� ��@�� 9 � S �+2�
7 ��ก����/�5��9ก������ก��� 9 �� 3S ����� ��ก��� ��,�
*-.���� -5 ��ก*����,�� log93, log9(3x � 2), log9(3
x + 16) �+2�����5��9ก /���ก��,����ก�� ��@��
5������� d1 = log9(3x � 2) � log93 = ( )x
3 29 3
log −
9 � d2 = log9(3x + 16) � log9(3
x � 2) = ( )x
x3 + 16
93 2
log−
9�� d1 = d2 (‹ 7 ���������� *����� ��@��)
������� ( )x3 2
9 3log − = ( )x
x3 + 16
93 2
log−
x
3 23− =
x
x3 + 16
3 2−
(3x � 2)
2 = 3(3
x + 16)
(3x)2 � 4(3
x) + 4 = 3(3
x) + 48
(3x)2 � 7(3
x) � 44 = 0
(3x � 11)(3
x + 4) = 0
������� 3x � 11 = 0 ��� 3x
+ 4 = 0
5���� 3x = 11 (‹ 3
x + 4 = 0 �����*���� /�+2�5*����5��)
������� x = log311
5���� d1 = ( )log 1133 29 3
log − = ( )11 29 3
log − = log93
5�ก S = ( ) ( )49 92
2 log 3 + (4 1) log 3−
= ( ) ( )9 92 2 log 3 + 3 log 3
= 10 log93
= 10( )132
log 3
= 5
����J����� 3S = 3
5 = 243 �
)*�+������ 2.7 ก*����,�� n �+2�5*������?���ก / *�,��7 ��ก n �5��9ก������ก�� ��@�� 7 + 15 + 23 + '
����� ��ก�� 217 9 �� n n+1 2n
82 + 2 + ... + 2
2 ����� ��ก��� ��,�
*-.���� ��5�@�7 ��ก������ก� 7 + 15 + 23 + '
-5 ��ก*����,�� Sn = 217
5�ก��ก� Sn = [ ]n12
2a + (n 1)d− 9 ���� a1 = 7, d = 8
32 ����!�"���ก��
5������� 217 = [ ]n2
2(7)+ (n 1)8−
= ( )n2
6 + 8n
9ก���ก������� n = 7 (��� ����,��) ��5�@����ก� 2n
+ 2n + 1
+ ' + 22n = 2
7 + 2
8 + ' + 2
14
60/��+2�7 ��ก������ก�����@��5*�ก�� /�7 ��ก n �5��9ก� ��ก�� Sn = n
1a (1 r )
1 r
−−
9 ���� n = 14 � 7 + 1 = 8, a1 = 27, r = 2 5�������
S7 = 7 8
2 (1 2 )1 2−−
= 128(1 256)
1−−
= 128( 255)
1−
����J����� n n+1 2n
82 + 2 + ... + 2
2 =
128(255)256
= 127.5 �
!01ก#� 2.2
1. ก*����,�� an =
5��������� 101
ii 1
a∑=
2. ���9���*������+F�ก!����������-��F�ก�����9ก 100 �� ���������+F�ก���/��0������� � 5 ��
�ก����� ���/��� 2 +< ���9���*������+F�ก ������� ��,�
3. 5*���������ก,��6� {100, 101, 102, ', 600} 60/������� 8 ��� 12 ����� ��ก��� ��,�
� � � � � �
1 ���/� n = 1, 2
an � 2 + 2 ���/� n = 3, 5, 7
2an � 2 ���/� n = 4, 6, 8, '
� -)2��)�'�/*3�4)' 33
2.3 ���ก��/�$�� -)
)*�+������ 2.8 5���5�@�������ก� /ก*����,��,�9�� ��������+�� �+2����ก�����@�������� 1) 1 + 2 + 3 + ' + 100
2) 1 + 13
+ 19
+ 127
+ '
3) 1 � 12
+ 14
� 18
+ '
*-.���� 1) ���/��5�ก *���� 1, 2, 3, ', 100 ���,�� *��������@�� ������� 1 + 2 + 3 + ' + 100 ���,�����ก�
����@��
2) ���/��5�ก *���� 1, 13
, 19
, 127
, ' �+2� *��������@�� ������� 1 + 13
+ 19
+ 127
+ '�+2����ก�
����@��
3) ���/��5�ก *���� 1, � 12
, 14
, � 18
, ' �+2� *��������@�� ������� 1 � 12
+ 14
� 18
+ '�+2����ก�
����@�� �
9-�&��' ก*����,�� P(n) 9 �������� Sn = ( )n
1a 1 r
1 r
−− �*����5*������?���ก n ,�:
�������: ���/� n = 1 5������� S1 = a1 �+2�5�� ������� P(1) �+2�5�� ����������: ���/� n = k �������� P(k) �+2�5��
��/���� �������� Sk = ( )k
1a 1 r
1 r
−− �*����5*������?���ก k ,�:
5�9������ P(k + 1) �+2�5��
��5�@� Sk + ak + 1 = ( )k
1a 1 r
1 r
−− + a1r
k
= ( )k k1 r1 1 r
a + r−−
��-+�� 2.6 ���ก�����@�� (geometrical series) ��� ���ก� /�ก��5�กก���ก *��������@����������ก��
�:;<�� 2.3 �*����5*������?���ก n 7 ��ก n �5��9ก������ก�����@��,����� �ก1@���� Sn �����5�ก��ก�
Sn = ( )n
1a 1 r
1 r
−− ���/� a1 ����5��9ก,� *��������@��, r ��������������,� *��������@��
34 ����!�"���ก��
= ( ) ( )k k1 r + r 1 r
1 1 ra
− −−
= k + 1
1 r1 1 r
a −−
= Sk + 1
��/���� P(k + 1) �+2�5��
-��� �ก��+��������@��%����5������� Sn = ( )n
1a 1 r
1 r
−− �*����5*������?���ก n ,�: �
��0/� ���/��5�ก���ก�����@��� �����ก��9��-��� /5� 8�������� ��ก��5�@�5*�����5�� /��ก��
���ก �������: ��� �+2����ก�����@�����5*�ก�� (infinite geometrical series) ก?���ก� /,��,�ก���7 ��ก��� ���������
9-�&��' 5�ก A1E� 2.3 �� ����� Sn = ( )n
1a 1 r
1 r
−− 5�������
nn
lim S→∞
= ( )n
1a 1 r
1 rn
lim−−
→∞
= 1a
1 rn
lim −→∞
� n
1a r
1 rn
lim −→∞
= 1a
1 rn
lim −→∞
� 1a n1 r
n
lim r−→∞
= 1a
1 r− (‹ 5�ก A1E� 1.3 ��� 4(1) 5������� n
n
lim r→∞
= 0 ���/� |r| < 1) �
�:;<�� 2.4 7 ��ก������ก�����@�����5*�ก��
�*����5*������?���ก n ,�: 9 � |r| < 1 -�� / r �+2������������������ก�����@�����5*�ก��5����
���7 ��ก������ก�����@�����5*�ก��9 �������� �ก1@� S∞ -�� / S∞ = 1a
1 r−
� -)2��)�'�/*3�4)' 35
)*�+������ 2.9 5���7 ��ก 10 �5��9ก������ก� 1 + 13
+ 19
+ 127
+ '
*-.���� ���/��5�ก a1 = 1, r = 13
, n = 10
5�ก A1E� 2.3 5������� S10 = ( )101
3
13
1 1
1
−
−
= ( )103 12 3
1 −
= 32
� ( )103 12 3
�
)*�+������ 2.10 5���7 ��ก������ก� 1 + 13
+ 19
+ 127
+ '
*-.���� �� ����� a1 = 1, r = 13
5�ก A1E� 2.4 50������� S∞ = 13
1
1− = 3
2 �
)*�+������ 2.11 �*���� x ∈ (�1, 1) ,�� S(x) �+2�7 ��ก������ก� 1 � x + x2 � x
3 + ' 5��������������
����6� A = { }1S(x)
x ( 1,1)∈ −
*-.���� ��5�@����ก� 1 � x + x2 � x
3 + '
5���?�������ก����+2����ก�����@�����5*�ก�� /������������ r = � x 60/�� a1 = 1 = x0
������� 5�ก A1E� 2.4 5������� S∞ = 11 ( x)− − = 1
1 + x
��/���� 1S(x)
= x + 1
9��-5 ��ก*������� x ∈ (�1, 1) 9������ �1 < x < 1
5������� 0 = �1 + 1 < x + 1 < 1 + 1 = 2
���ก?��� 0 < x + 1 < 2
9�������*���� 1S(x)
�ก: x ∈ (�1, 1) 5���������ก��� 2
��/���� ������������6� A � ��ก�� 2 �
36 ����!�"���ก��
)*�+������ 2.12 ก*����,�� Sn = ( )n k 11
10k 1
−∑=
9 � S = ( )k 1110
k 1
∞ −∑=
5*������?���ก n / *�,�� S � Sn = 19
(10� 5
) � ��ก��� ��,�
*-.���� 5�ก Sn = ( )n k 11
10k 1
−∑=
= 10⋅ ( )n k1
10k 1
∑=
= 10⋅( )n1 1
10 10
110
1
1
− −
= ( )n10 19 10
1 −
-----(2.3.1)
5�ก S = ( )k 1110
k 1
∞ −∑=
= 10⋅ ( )k110
k 1
∞∑=
= 10⋅110
110
1−
= 10⋅110910
= 109
��5�@� S � Sn = 109
� ( )n10 19 10
1 −
= ( )n10 19 10
9�� S � Sn = 19
(10� 5
)
5������� ( )n10 19 10
= 19
(10� 5
)
101 � n
= 10� 5
������� 1 � n = �5 ���ก?��� n = 6 �
!01ก#� 2.3
1. ,�� S = ( )2 2,π π− 9 � F(x) = sin
2x + sin
4x + sin
6x + ', x ∈ S D�� a �+2������ก����6� S /����
/��� / *�,�� F(a) ≤ 1 9 �� F(a) ����� ��ก��� ��,�
2. D�� 1 + cos2θ + cos
4θ + ' = a -�� / a �+2�5*����5�� 9 �������� cos(π � 2θ) ⋅ sin(2π � 2θ)
� ��ก��� ��,�
� � � � � �
���� 3
���ก��������ก�
3.1 ���ก��������ก�
#��+/#)� ,��*������ ����5,�� ����ก�������� 9 ��*���� ����ก����5*�ก��� ก?���
)*�+������ 3.1 5���5�@����ก� /ก*����,������+������+2����ก����5*�ก�������� 1) 1 + 2 + 3 + 4 + '
2) 12
+ 21
2+ 3
1
2+ 4
1
2+ '
3) 1 + 2 + 3 + 4 + ' + 1,000
4) 1 + 3 + 5 + 7 + ' + (2n � 1)
*-.���� 5�ก /ก*����,�� ���/���5�@�5�ก� ����� 3.1 5���������ก� /�+2����ก����5*�ก�����9ก� ���ก� / ก*����,��,���� 1), 2) ������� /�� ���+2����ก�5*�ก�� �
)*�+������ 3.2 5���7 ��ก��� 1(n + 3)(n + 4)
n 1
∞∑=
*-.���� ก*����,�� Sn = 1(n + 3)(n + 4)
n 1
∞∑=
�*����5*������?���ก n ,�: �+2�7 ��ก����
= 14⋅ 1
5 + 1
5⋅ 1
6 + 1
6⋅ 1
7 + ' + 1
(n + 3)(n + 4)
= ( )1 14 5− + ( )1 1
5 6− + ( )1 1
6 7− + ' + ( )1 1
n + 3 n + 4−
= 14
� 1n + 4
������� nn
lim S→∞
= ( )1 14 n + 4
n
lim→∞
− = 14
���/��5�ก *�������7 ��ก���� 8����� ������� 1(n + 3)(n + 4)
n 1
∞∑=
= 14
�
��-+�� 3.1 ���ก����5*�ก�� (infinite series) ��� ���ก� a1 + a2 + a3 + ' + an + ' -�� / n �+2�5*������?���ก,�:
38 ����!�"���ก��
)*�+������ 3.3 5���7 ��ก��� 2
3n 1
n 1n 2
∞ −∑−=
*-.���� ก*����,�� Sn = 2
3n 1
n 1n 2
∞ −∑−=
= 37
+ 826
+ 1563
+ ' + 2
3n 1
n 1
−−
+ '
��5�@� *�������7 ��ก���� 37
, 37
+ 826
, 37
+ 826
+ 1563
5���?���������� 8���ก
����J����� ��7 ��ก������ �
���/��5�ก 1(n + 3)(n + 4)
n
lim→∞
= 2
20n + 0n + 1
n + 7n + 12n
lim→∞
= 0 9 � ( )2
3n 1
n 1n
lim −−→∞
= 0 5���?�������
������� *���� �������+2�%8���������ก�� 9�����ก������� 8�������� 8���ก������ก�� ������� ���/� ����� ��ก��%8��� 5��������D��+���������ก����� 8�������� 8���ก 9��������ก?��� D���� ����� ���ก�,� 8�����9 ������D
��+��� �� ��� ����� ��ก�� 0 ������� A1E� ����+��
9-�&��' �������� nn 1
a∞∑=
8����� �������,�� S = nn 1
a∞∑=
= a1 + a2 + a3 + '
��5�@� *�������7 ��ก���� S1 = a1
S2 = S1 + a2 = a1 + a2
S3 = S2 + a3 = a1 + a2 + a3
S4 = S3 + a4 = a1 + a2 + a3 + a4
' '
Sn = Sn � 1 + an = (a1 + a2 + a3 + ' + an � 1) + an
������� an = Sn � Sn � 1
5������� nn
lim a→∞
= ( )n n 1n
lim S S −→∞
− -----(3.1.1)
���/��5�ก���/� n → ∞ �� ����� Sn ≈ Sn � 1
����J����� nn
lim a→∞
= 0 �
�:;<�� 3.1
D�����ก� nn 1
a∞∑=
8����� (converges) 9 �� nn
lim a→∞
= 0
� -)2��)�'�/*3�4)' 39
)*�+������ 3.4 5�9���������ก� 1n(n + 1)
n 1
∞∑=
8����� 9 �9������ an = 1n(n + 1)
8������8�%8���
*-.���� ก*����,�� Sn = nn 1
a∞∑=
= a1 + a2 + a3 + ' + an
= 11 2⋅ + 1
2 3⋅ + 13 4⋅ + 1
4 5⋅ + '
= ( )12
1− + ( )1 12 3− + ( )1 1
3 4− + ( )1 1
4 5− + ' + ( )1 1
n n + 1−
= 1 � 1n + 1
������� ( )1n + 1
n
lim 1→∞
− = 1
9������ *�������7 ��ก���� 8����� 9 ����������ก��� 8�����
����+5�9������ ( )1n(n + 1)
n
lim→∞
= 0
��5�@� 1n(n + 1)
9�ก�%1��������-��,�� 1n(n + 1)
= An
+ Bn + 1
= A(n + 1) + Bn
n(n + 1)
= (A + B)n + A
n(n + 1)
� �����+��� !�"5������� A + B = 0 -----(3.1.2)
9 � A = 1 -----(3.1.3)
5���� A = 1 9 � B = �1
������� 1n(n + 1)
= 1n
� 1n + 1
5������� ( )1n(n + 1)
n
lim→∞
= 1n
n
lim→∞
� 1n + 1
n
lim→∞
= 0 �
)*�+������ 3.5 5���7 ��ก������ก� 12⋅ 1
3 + 1
3⋅ 1
4 + 1
4⋅ 1
5 + '
*-.���� ก*����,�� Sn = 12⋅ 1
3 + 1
3⋅ 1
4 + 1
4⋅ 1
5 + '
= ( )1 12 3− + ( )1 1
3 4− + ( )1 1
4 5− + ' + ( )1 1
n n + 1−
= 12
� 1n + 1
������� nn
lim S→∞
= ( )1 12 n + 1
n
lim→∞
− = 12
���/��5�ก ������� *����7 ��ก���� 8����� 50������� 12⋅ 1
3 + 1
3⋅ 1
4 + 1
4⋅ 1
5 + ' = 1
2 �
40 ����!�"���ก��
)*�+������ 3.6 5���7 ��ก������ก� 1⋅ 13 + 1
3⋅ 1
5 + 1
5⋅ 1
7 + '
*-.���� ,�� S = 1⋅ 13 + 1
3⋅ 1
5 + 1
5⋅ 1
7 + ' -----(3.1.4)
�8@� ����ก� (3.1.4) ���� 2 5�������
2S = ( )13
2 1⋅ + ( )1 13 5
2 ⋅ + ( )1 15 7
2 ⋅ + '
= ( )13
1− + ( )1 13 5− + ( )1 1
5 7− + ' + ( )1 1
2n 1 2n + 1− −
= 1 � 12n + 1
5���� S = 12
� ( )1 12 2n + 1
������� nn
lim S→∞
= 12
� ( )1 12 2n + 1
n
lim→∞
= 12
��/���� 7 ��ก������ก� 1⋅ 13 + 1
3⋅ 1
5 + 1
5⋅ 1
7 + ' � ��ก�� 1
2 �
!01ก#� 3.1
1. 5���7 ��ก������ก����5*�ก���������+�� (D���)
1) 12⋅ 1
4 + 1
4⋅ 1
6 + '
2) 1⋅ 12 + 1
3⋅ 1
4 + 1
5⋅ 1
6 + '
3) 1⋅ 14 + 2
4⋅ 2
2
4 + 2
3
4⋅ 3
3
4 + 3
4
4⋅ 4
4
4 + '
4) 21
1⋅
21
3 +
21
3⋅
21
5 +
21
5⋅
21
7 +
21
7⋅
21
9 + '
2. �*�������ก�,���� 1 5�9���������ก� / 8������ nn
lim a→∞
= 0
3. 5�9������D�� nn
lim a→∞
= L 9 � L ≠ 0 9 �� ii 1
a∞∑=
�+2����ก� 8���ก
� � � � � �
� -)2��)�'�/*3�4)' 41
3.2 ก���&�/$%�$�����ก��9� !�"���ก��A��'���-ก
)*�+������ 3.7 5���5�@�������ก� /ก*����,������+�� ���,��+2����ก�I������ก ���ก�� ������,�� ������
1) 1n + 1
+ ( )2
1
n + 1 + ( )3
1
n + 1 + ' +
( )p1
n + 1 + ' ���/� p �+2�5*������?���ก
2) 12n
+ ( )2
1
2n + ( )3
1
2n + ' +
( )p1
2n + ' ���/� p �+2�5*������?���ก
3) 1 + 31
2 +
31
3 + 3
1
4 + ' + 3
1
n + ' ���/� p �+2�5*������?���ก
*-.���� 1) �+2����ก�����@�����5*�ก�� /������������� ��ก�� 1n + 1
2) �+2����ก�����@�����5*�ก�� /������������� ��ก�� 12n
3) �+2����ก�� (p � series) /� p = 3 �
9-�&��' ก*����,�� 1 + p1
2 +
p1
3 + ' + p
1
n + ' �+2����ก� -�� / p �+2�5*������?�,�:
,� /��78�����5�9���ก����85����� 1) � ������ ������� 2) �������,��78��������85���+2�9��FGก���
(⇒) �����������ก� 8�����
5�ก A1E� 3.1 5������� p1
nn
lim→∞
= 0 -----(3.2.1)
5���?������������ก� (3.2.1) 5��+2�5�����/� p > 1 � ������
��-+�� 3.2 1) ���ก�I������ก (Harmonic series) ��� ���ก� /���5�กก��*� *����I������ก����กก��
ก ������ ��8�,�8+ 1n
n 1
∞∑=
2) ���ก�� (P � series) ��� ���ก� /��8�,�8+ p1
nn 1
∞∑=
-�� / p �+2�5*������?�
�:;<�� 3.2 ก� 8�����������ก��
ก*�������ก� 1 + p1
2 +
p1
3 + ' + p
1
n + ' -�� / p �+2�5*������?�,�: 9 ��
1) ���ก�� 8����� ก?������/� p > 1
2) ���ก�� 8���ก ก?������/� p ≤ 1
42 ����!�"���ก��
(⇐)
�������� p > 1 9 � n �+2�5*������?���ก,�:
,�� Sn = p1
nn 1
∞∑=
5�9������ Sn ��������-��,��� �ก��+��������@��%����
���/� n = 1 5������� S1 = p1
1 = 1 5��
���/� n = k �������� Sk = p1
kk 1
∞∑=
5�9������ Sk + 1 �+2�5��
5�ก Sk + ak + 1 = p1
kk 1
∞∑=
+ ( )p
1
k + 1
= 1 + p1
2 +
p1
3 + ' + p
1
k + ( )p
1
k + 1
= ( )p
1
k + 1k 1
∞∑=
= Sk + 1
-��� �ก��+��������@��%���� 5������� p1
nn 1
∞∑=
�*����5*������?���ก n ,�:
9 ������� Sn �������� ����J����� p1
nn 1
∞∑=
8����� �
�*����ก� 8�����������ก�I������ก���� 5���?����������ก�I������กก?������ก��60/�� p = 1 ��/���� 9 �ก?5���������������ก�I������ก�+2����ก� / 8���ก���� 78�����50�5������ก ���D0��ก
!01ก#� 3.2
5����85�� A1E� 3.2 (2)
� � � � � �
� -)2��)�'�/*3�4)' 43
3.3 ก��/$�+�����*�)��ก+"/�B�C�*ก$�����ก��������ก�
�����,�� S = 0.99' ������D����5*���� ��������,����8�,�8+������ก����5*�ก������������+�����
910 +
29
10 +
39
10 + '
5���?����������ก����5*�ก�����ก ����+2����ก�����@�����5*�ก�� 60/�����������5�@�ก����9 ��,�� / 7����� -��������ก�� ��ก����5�������
S = 910 +
29
10 +
39
10 + '
=
910
110
1−
=
910910
= 1
9������ 0.99' = 1 ��/���� 9 ��+2�ก�9���,����?����5*����5���+2�7 ��ก������ก����5*�ก�����
����ก� ����� ����5���85������ก9����0/��������+��
S = 910 +
29
10 +
39
10 + ' -----(3.3.1)
�8@� ����ก� (3.5.1) ���� 110 5�������
110
S = 2
9
10 +
39
10 +
49
10 + ' -----(3.3.2)
9 ����5�ก��ก� (3.3.2) �,���ก� (3.3.1) 5�������
S = 910 + 1
10S
S � 110
S = 910
910
S = 910 5������� S = 1
)*�+������ 3. 8 5��������� 0.2323'
*-.���� ก*����,�� S = 0.2323'
5������� S = 210
+ 2
3
10 +
32
10 +
43
10 +
52
10 +
63
10 + '
= ( )3 52 2 210 10 10
+ + + ... + ( )2 4 63 3 3
10 10 10 + + + ...
=
210
1100
1− +
3100
1100
1−
= 2099
+ 399
= 2399
�
44 ����!�"���ก��
#��+/#)� 5�ก�������� / 3.9 ����5��� 0.2323' ,�8+ 0.23 23 ' ก ��������� 23 �+2� 1 ก ��� ���/�����
����ก,�ก��*���@ก?��� 60/�ก?5����7 ��!����9�ก����ก��
)*�+������ 3.9 5��������� 0.455455455'
*-.���� ก*����,�� S = 0.455455'
5������� S = 3
455
10 +
6455
10 +
9455
10 + '
= 3
3
455
101
101−
= 455999
�
!01ก#� 3.3
5����������+�� 1. 0.11'
2. 0.4747'
3. 0.993993993'
4. 0.12131415'
� � � � � �
� -)2��)�'�/*3�4)' 45
�� ���ก��
�����@L��9��9��. /D�+$%��� ENT( ������ 44. ก��� �T : �����@L��9��9��, 2544. 288 ����. . /D�+$%��� Ent( ���� 45. ก��� �T : �*���ก�����@L��9��9��, 2545. 264 ����. . /D�+$%��� Ent( ���� 46. ก��� �T : �*���ก�����@L��9��9��, 2546. 272 ����. . /D�+$%��� Ent( ���� 48. ก��� �T : ������������ก������, 2548. 256 ����. ����� ������. ก��*-/���"#'/@-���-�/E ��)%� 1. ��������� / 7. ก��� �T : �*���ก���������� �� �����*�9��, 2545. ����� +��� !�"58��ก8 . F-���� -)2��)�'. ��������� / 2. ก��� �T : ������ !�ก������, 2546. 325 ����. ����@ ����5����U��ก� 9 ���%�ก��" ������ �%. !���&��$ ��&� 1. ก��� �T : �*���ก���������� �� �� ���*�9��, 2547. ���� ����5��. /�ก�����"ก������+�+*-@�� -)2��)�' 1 ��?���ก��!���'4�/���'!���G 2004. ก��� �T : �����@L��9��9��, 2547. ��%�ก��" ��U���ก� 9 ��@�. /D�+ Ent( )����� 43 !C�ก*-�+'. ��������� / 1. ����,��� : +���ก!�ก�5, 2543. 256 ����.
Bibliography
Prof. Lee Larson, Ph.D. Notes on Real Analysis. Louisville, 1998.
!#���$%��&�������'
http://www.mathacademy.com/pr/prime/articles/fibonac/
http://mathworld.wolfram.com/FibonacciNumber.html
http://encyclopedia.learn.in.th/content.php?encid=49
http://en.wikipedia.org/wiki/Golden_ratio
http://www.sosmath.com/calculus/limcon/limcon03/limcon03.html
http://archives.math.utk.edu/visual.calculus/6/sequences.3/index.html
http://www.thai-mathpaper.net/documents/sequence_series_key.pdf