НАРИСНА ГЕОМЕТРІЯ

навчально-методичнийпосібник для самостійної

роботи студентів

Умань 2011

Нарисна геометрія. Навчально-методичний посібник для самостійної роботи студентів. А.М.Гедзик. Умань: 2011. – 127с.: – Рекомендовано до друку рішенням Ради технолого-педагогічного факультету Уманського державного педагогічного університету імені Павла Тичини (протокол №1 від 31.09.11).

Укладач: Гедзик Андрій Миколайович – канд. пед. наук, доцент

Рецензенти: Сидоренко В.К. – доктор пед. наук, професор Азізов Т.Н. – доктор. тех. наук, професор

2

П Е Р Е Д М О В А

Цей курс лекцій написано на підставі досвіду читання лекцій з нарисної геометрії і креслення для майбутніх учителів технологій в Уманському державному педагогічному університеті, а також використано науковий та методичний доробок передових кафедр вищих учбових закладів України..

Навчальний посібник розраховано на студентів 1-го курсу, які володіють знаннями з математики, в першу чергу з елементарної геометрії, в обсязі середньої школи.

Нарисна геометрія є однією з дисциплін, які складають основу політехнічнеої освіти і мають першочергове значення в формуванні майбутнього спеціаліста. Нарисна геометрія покликана навчити майбутнього вчителя технологій зображати геометричні форми на площинах, а по їх зображенню подати ці форми в просторі і уміти розв'язувати задачі геометричного характеру.

Даний навчальний посібник є курсом лекцій, які читаються викладачем в студентській аудиторії і складають тільки основні розділи курсу нарисної геометрії, що побудовані в певній логічній послідовності. В кінці посібника наведено список підручників, де з конкретною темою або питанням можна познайомитись більш детально.

Матеріал навчального посібника подано в відповідності з типовою програмою курсу «Нарисної геометрії і креслення» та орієнтовано головним чином на опанування дисципліни в умовах стаціонару, але він може бути використаний студентами заочної форми навчання. Крім необхідної теорії в ньому наведено приклади розв’язування окремих задач, а також сформульовано запитання для самоперевірки.

3

ПРИЙНЯТА СИСТЕМА СКОРОЧЕНЬ І ПОЗНАЧЕНЬ

І. Позначення геометричних образів у просторі

1.ТочкиА, В, С, … – великі букви латинського алфавіту;1, 2, 3, … – арабські цифри.

2. Лініїа, b, c, … – малі букви латинського алфавіту;h – тільки горизонтальна пряма;f – тільки фронтальна пряма;р – тільки профільна пряма;АВ, (АВ) – пряма, яка визначається точками А і В;[А,В] – відрізок прямої, який обмежений точками А і В.

3. Площини і поверхніГ, Δ, Ω, Σ, Θ, Φ, … – великі букви грецького алфавіту;

П – велика буква грецького алфавіту “ПІ”, використовується для позначення площин проекцій;

П1, П2, П3, П4, … – площини проекцій з відповідним підрядковим індексом;

Σ (А, В, С) – площина, що задана точками А, В, С;Σ (А, m) – площина, що задана точкою А і прямою m;Σ (d // m) – площина, що задана паралельними прямими d і m;Σ (а ∩ с) – площина, що задана прямими а і с, які перетинаються;Σ (Δ АВС) – площина, що задана трикутним відсіком АВС.

4. Кутиα, β, γ, … – малі букви грецького алфавіту;а ^ с – кут між прямими а і с;b ^ Г – кут між прямою b і площиною Г;Σ ^ Г – кут між площинами Σ і Г.

5. Натуральні величини, довжина, відстань|А, В| – відстань між точками А і В, довжина відрізка [АВ];|А, b| – відстань від точки А до прямої b;|а // с| – відстань між паралельними прямими а і с;|Σ // Г| – відстань між паралельними площинами Σ і Г;|d b| – відстань між мимобіжними прямими;|Δ ABC| – натуральна величина трикутника АВС;|Σ ^ Г| – величина кута між площинами Σ і Г;|а ^ с| – величина кута між прямими а і с;|b ^ Г| – величина кута між прямою b і площиною Г.

4

ІІ. Позначення геометричних елементів креслення

1. Проекції геометричних елементівПроекції геометричних елементів позначаються тими ж знаками,

як і у просторі, з додаванням підрядкового індексу, який відповідає індексу площини проекцій:

А1, А2, А3, …, 11, 12, 13, … - проекції точок;а1, а2, а3, …, h1, h2, f1, f2,… - проекції ліній;Г1, Г2, Σ1, Σ2, … - проекції проектуючих поверхонь.

2. Позначення залежностей і інші символи≡ – тотожно збігаються;= – рівність, результат дії;// – паралельність;¿ – перпендикулярність;∩ – перетин;∪– з'єднання; – мимобіжність;

⊂ – належність елемента; – належність точки; ⊄ ; – не належить і т.п. ; – – дотик.

3. Осі проекцій на комплексному кресленні

Х12 – вісь проекцій в системі площин проекцій (П1, П2);Y13 – вісь проекцій в системі площин проекцій (П1, П3);Z23 – вісь проекцій в системі площин проекцій (П2, П3);Хіу – вісь проекцій в системі площин проекцій (Пі, Пу).

4. Лінії зв’язку(А1А2) – вертикальна лінія зв’язку (лінія зв’язку в системі площин

проекцій П1 і П2);(А2А3) – горизонтальна лінія зв’язку (лінія зв’язку в системі

площин проекцій П2 і П3).

5

Л Е К Ц І Я 1

М Е Т О Д П Р О Е К Ц І Й.К О М П Л Е К С Н Е К Р Е С Л Е Н Н Я Т О Ч К И

1.1. Предмет і метод нарисної геометрії

Нарисна геометрія входить до числа дисциплін, які складають основу політехнічної освіти. Предметом нарисної геометрії є виклад і обгрунтування методів побудови зображень просторових форм на площині і способів розв'язання задач геометричного характеру за заданими зображеннями. Нарисна геометрія передає ряд своїх висновків у практику виконання технічних креслень, до яких ставиться ряд вимог:

- креслення повинне бути наочним; - креслення повинне бути оборотним;- креслення повинне бути достатньо простим з точки зору його

графічного виконання;- графічні операції, які виконуються на кресленні, повинні давати

достатньо точний розв'язок. Правила побудови зображень, які викладаються в нарисній геометрії

грунтуються на методі проекціювання (проектування). У зв’язку з цим, креслення, які виконуються в нарисній геометрії, називають проекційними кресленнями. При побудові цих креслень широко використовуються проекційні властивості предметів.

Змістом нарисної геометрії є : - дослідження способів побудови проекційних креслень; - розв'язання геометричних задач, які пов'язані з просторовими

фігурами; - застосування способів нарисної геометрії при дослідженнях

практичних і теоретичних питань науки і техніки.

1.2. Центральне і паралельне проекціювання. Властивості проекцій

Для побудови зображення предметів на площині користуються методом проекціювання (проектування). Слово “ проекція” - латинське, що в перекладі означає “кинути вперед”.

Проекції поділяють на центральні і паралельні.Ідею центрального проектування видно з рисунку 1.1.Точка S, з якої виходять проектуючі промені, називається центром

проекцій. Площина П0, на яку проектуються точки називається площиною проекцій. Якщо провести через точку А і центр проекцій S пряму лінію, то

6

вона перетне площину П0 в точці А0. Одержану точку А0 називають центральною проекцією точки А на площину П0. Аналогічно виконуємо вправу з точкою В. Лінію SAA0 (SBB0) називають проектуючим променем.

Рис. 1.1 Рис. 1.2

Якщо на проектуючому промені SAA0 буде знаходитись точка С, то її проекція буде збігатися з проекцією точки А (С0 ≡А0).

Для того щоб отримати проекцію прямої лінії необхідно побудувати проекції двох її точок, наприклад відрізок АВ. Якщо лінія збігається з проектуючим променем (наприклад відрізок АС), то така лінія (відрізок) називається проектуючою і всі її точки на площині проекцій збігаються.

Властивості центральних проекцій :1. Проекція точки є точка.2. Проекція відрізка є відрізок.3. Проекція площини є площина.4. Проекція проектуючого відрізка є точка.5. Проекція проектуючої площини є відрізок (наприклад А0В0С0 -

проекція площини АВС).Важливо, маючи проекцію точки, визначити її положення у просторі.

Знаючи А0 (рис. 1.1), можемо стверджувати тільки те, що точка А лежить на проектуючій прямій SА0, тобто одна проекція не визначає положення точки у просторі, і для визначення оригінала необхідні додаткові умови.

Візьмемо S' -ще один центр проекцій (рис. 1.2 ). Вкажемо додаткову проекцію А0'. І таким чином одержимо оборотне креслення: точка А лежить на перетині двох проектуючих прямих. Дві проекції однозначно визначають положення точки у просторі.

Якщо центр проекцій S віддалити в нескінченність, то на кінцевому відрізку проектуючі промені будуть паралельні між собою (тобто задається напрямок проектування, а не центр проекцій). Така проекція називається паралельною (рис. 1.3).

Щоб спроектувати точку А на площину П0, через неї проводимо проектуючий промінь, паралельний до напрямку проектування S. Промінь перетинає П0 в точці А0, яка називається паралельною проекцією точки А. Аналогічно будуємо паралельну проекцію точки В - В0.

7

Рис. 1.3 Рис.1.4 Рис 1.5

Для визначення положення точки у просторі необхідно мати дві її паралельні проекції, одержані при двох різних напрямках проектування, тобто задати ще S' і одержати A'0 (рис. 1.4).

Паралельні проекції поділяють на прямокутні і косокутні. Якщо проектуючі промені перпендикулярні до площини проекцій то такий спосіб проектування називається прямокутним, або ортогональним (рис. 1.5). Якщо ж кут нахилу променів не дорівнює 900, то така паралельна проекція називається косокутною.

Надалі ми будемо користуватись прямокутною паралельною проекцією.

Властивості паралельних проекцій 1. Всі властивості центрального проектування. 2. Проекції паралельних прямих паралельні. 3. Якщо точка D розділяє відрізок АВ в деякому співвідношенні, то її

проекція ділить проекцію відрізка в такому ж співвідношенні: АD / DВ = А0D0 / D0В0.

1.3. Двокартинне комплексне креслення точки

Як було зазначено вище, для розв'язання зворотної задачі - визначення положення точки за її паралельними проекціями - необхідно мати дві паралельні проекції, одержані при двох напрямках проектування. Виходячи з того, що через точку можна провести тільки одну пряму, перпендикулярну до площини (тобто задати тільки один напрямок проектування S по відношенню до П0), очевидно, що при ортогональному проектуванні для одержання двох проекцій одної точки необхідно мати дві не паралельні площини проекцій.

Гаспар Монж вперше запропонував здійснювати проектування предметів на дві взаємно перпендикулярні площини. Проектування при цьому залишається прямокутним (рис. 1.6).

Оскільки П1П2, а проектуючі промені SП1 і МП2, то лінія яка з’єднує проекції точки А А1А2 перпендикулярна осі проекцій Х12. А2А12Х12; А1А12Х12.

8

П1 - горизонтальна площина проекцій; П2 - фронтальна площина проекцій; Х12 - вісь проекцій - лінія перетину площин П1 і П2; А1-горизонтальна проекція точки А; А2 - фронтальна проекція точки А. Лінія А1А2 (лінія, яка з’єднує горизонтальну і фронтальну проекції точки А) називається вертикальною лінією зв’язку.

Рис. 1.6 Рис. 1.7

Якщо обернути площину проекцій П1 навколо осі Х12 на кут 900 до суміщення її з площиною проекцій П2 (рис. 1.7), отримаємо плоске креслення, в якому проекції точки А1 і А2 розташовані на одному перпендикулярі до осі Х12. Цей перпендикуляр називається вертикальною лінією зв’язку. Одержане креслення отримало назву епюр Монжа. При цьому відрізок А2А12 визначає відстань від точки А до площини П1, а відрізок А1А12 визначає відстань від точки А до площини П2.

Для простоти побудов надалі комплексне креслення точки в системі двох площин проекцій будемо зображати так, як показано на рисунку 1.8.

Рис. 1.8

1.4. Проекції точки на три площини

Для розв'язання окремих задач необхідно вводити в систему двох взаємно перпендикулярних площин проекцій інші площини проекцій. Розглянемо введення в систему площин П1 і П2 третьої площини П3, яка перпендикулярна до заданих площин П1 і П2. Ця площина називається профільною площиною проекцій (рис. 1.9).

9

Крім осі Х12 з’являються дві нові осі: Y13=П1П3; Z23=П2П3. Буквою О123 позначаємо точку перетину всіх трьох осей проекцій.

Плоске комплексне креслення утворюється шляхом суміщення площин П1 і П3 з П2. Для суміщення П1 з П2 необхідно повернути її на 90° навколо осі Х12 у напрямку руху годинникової стрілки; П3 необхідно повернути навколо осі Z23 на 90° у напрямку, протилежному руху годинникової стрілки. Пряма, яка сполучає А2 і А3 називається горизонтальною лінією зв’язку.

Рис. 1.9 Рис. 1.10

Проекції однієї і тієї ж точки на комплексному кресленні розташовуються не довільно, а знаходяться в проекційному зв’язку (рис. 1.10), який полягає в наступному:

1. Фронтальна і горизонтальна проекції точки завжди знаходяться на одній вертикальній лінії зв’язку (А2 А1 OX).

2. Фронтальна і профільна проекції точки завжди знаходяться на одній горизонтальній лінії зв’язку (A2 A3 OZ).

3. Відстань профільної проекції точки від осі OZ дорівнює відстані горизонтальної проекції від осі ОХ (|А1А12| = |А3 А23|).

1.5. Ортогональні проекції і система прямокутних координат

У просторі є безліч точок, що займають різне положення відносно площин проекцій П1, П2 і П3. В такому разі положення точки визначається дійсними величинами. Для цього в системі площин проекцій П1, П2, П3

розміщується така ж система прямокутних декартових координат. Початок координатних осей суміщається з початком осей проекцій. Тепер положення кожної точки визначається трьома координатами - висотою, глибиною і широтою, які показують величини відстаней, на які точка віддалена від площин проекцій.

10

Висота точки (Z) визначає її відстань від площини проекцій П1 - А А1( на комплексному кресленні це відрізок А12А2 ).

Глибина точки (Y) визначає її відстань від площини проекцій П2 - А А2 (на комплексному кресленні це відрізок А12А1)

Широта точки (Х) визначає її відстань від площини проекцій П3 - А А3 (на комплексному кресленні це відрізок А12О123).

Між координатами точки та її ортогональними проекціями існує зв’язок:

1) координата Х визначає положення вертикальної лінії зв’язку; 2) координата Y визначає положення горизонтальної проекції точки;3) координата Z визначає положення фронтальної проекції точки.

Приклад: Побудувати три проекції точки А(20; 18; 25) (рис.1.11).

Рис. 1.11

1.6. Конкуруючі точки

Точки, проекції яких хоча б на одну із площин проекцій збігаються (точки, які лежать на одному проектуючому промені) називаються конкуруючими. Так, точка А знаходиться над точкою В (рис. 1.12), а точка D знаходиться перед точкою С (рис. 1.13).

.

Рис. 1.12 Рис. 1.13

11

Конкуруючі точки застосовуються при визначенні видимості непрозорих фігур.

Правило конкуруючих точок:- З двох конкуруючих точок в горизонтальній проекції видима та,

висота якої більша;- З двох конкуруючих точок у фронтальній проекції видима та,

глибина якої більша;- З двох конкуруючих точок у профільній проекції видима та,

широта якої більша.

1.7. Точка в квадрантах і октантах простору

Площини проекцій П1 і П2 ділять простір на чотири двогранні кути, які називають квадрантами (рис. 1.14).

Точка може розташовуватись в одному із чотирьох квадрантів. Тоді її проекції на комплексному кресленні займають різні положення (рис. 1.15). Наприклад: т. А - І квадрант; т. В - ІІ квадрант; т. С - ІІІ квадрант; т. D - ІV квадрант.

Рис. 1.14 Рис. 1.15

Площини проекцій П1, П2 і П3 ділять простір на вісім тригранних кутів, які називають октантами. Нумерація октантів показана на рисунку 1.16.

Додатними напрямками осей вважають:- для осі Х - ліворуч від початку координат;- для осі Y - в бік глядача від площини П2;- для осі Z - вгору від площини П1.

12

Рис. 1.16

Приймаючи для відліку координат точки систему знаків, яка вказана на рисунку, отримаємо наступну таблицю:

ОктантЗнаки координат

Х Y Z1 + + +2 + – +3 + – –4 + + –5 – + +6 – – +7 – – –8 – + –

Запитання для самоперевірки

1. У чому полягає суть центрального проектування ?2. У чому полягає суть паралельного проектування ?3. На які види поділяють паралельні проекції ?4. Як називають прямі А1А2, А2А3 ?5. Що таке комплексне креслення точки і як його отримують ?6. У якій послідовності будують проекції точки за її координатами?7. Що таке квадранти ? Що таке октанти ?8. Якими способами можна побудувати третю проекцію точки задвома її відомими?

13

Л Е К Ц І Я 2

К О М П Л Е К С Н Е К Р Е С Л Е Н Н Я П Р Я М О Ї

2.1. Комплексне креслення прямої особливого і загального положення

Пряма в просторі безмежна. Обмежена частина прямої називається відрізком.

При ортогональному проектуванні на площину пряма, не перпендикулярна до площини проекцій, проектується в пряму.

Оскільки положення прямої у просторі повністю визначається двома точками, то для визначення проекцій прямої досить визначити проекції будь-яких двох точок, які належать цій прямій.

Провівши через точки А і В (рис. 2.1) перпендикуляри до площин проекцій П1 і П2, знайдемо проекції точок А і В: А(A1, А2), B(B1, B2).

Відрізок А1В1 - горизонтальна проекція відрізка АВ, а відрізок А2В2 - його фронтальна проекція.

Рис. 2.1 Рис. 2.2

Третю площину проекцій розглядають тільки як додаткову площину, тому що положення точки у просторі однозначно визначається двома її проекціями. Таким чином, дві проекції прямої повністю визначають її положення у просторі.

Для перетворення просторового макета у плоске комплексне креслення площину проекцій П1 необхідно повернути навколо осі Х12 на кут 900 за годинниковою стрілкою і провести перпендикуляри до осі Х12 з проекцій точок А і В - А1А2; B1B2 (вертикальні лінії зв'язку) (рис. 2.2).

Відрізок АВ займає довільне (загальне) положення по відношенню до площин проекцій П1, П2, П3 (тобто кути нахилу відрізка АВ до П1, П2, П3

довільні, але відмінні від 0 і 900) (рис. 2.3). Така пряма називається прямою загального положення. На комплексному кресленні проекції прямої загального положення складають з осями проекцій також довільні кути. Координати будь-якої точки прямої загального положення - мінливі

14

величини: немає таких двох точок, для яких хоча б одна координата була однаковою.

Пряму на комплексному кресленні можна задати не тільки проекціями її відрізка, але і проекціями деякої довільної частини прямої, не позначаючи кінцевих точок цієї частини (рис. 2.4).

Рис. 2.3 Рис. 2.4

Окрім розглянутого загального випадку розміщення прямої по відношенню до заданої системи площин проекцій, існують особливі (часткові) випадки:

а) пряма паралельна до площини проекцій; б) пряма перпендикулярна до площини проекцій. Прямі, паралельні до площин проекцій, називаються лініями рівня.Горизонтальна пряма (горизонталь) - це пряма, паралельна до

горизонтальної площини проекцій. Вона позначається буквою h (h1, h2, h3) (на рис. 2.5 відрізок АВ паралельний до П1). Усі точки горизонталі віддалені на однакові відстані від П1, тобто для усіх точок горизонталі координата Z - величина постійна (Z = const). А тому h2 // Х12 (h2 ¿Z23, h3 ¿Z23).

Кут нахилу горизонталі до П1 - 0. Кут нахилу горизонталі до П2 - і кут нахилу до П3 - визначаються з горизонтальної проекції h - h1(А1

В1) (рис. 2.5).На площину проекцій П1 відрізки прямої h проектуються в натуральну

величину, а на дві інші площини - зі спотворенням - у вигляді відрізків меншої величини.

h // П1: = 0 П1; П2; П3

Рис. 2.5

Фронтальна пряма (фронталь) - це пряма, паралельна до фронтальної площини проекцій. Вона позначається буквою f (f1, f2, f3) (на рис. 2.6 відрізок

15

СD паралельний до П2). Усі точки фронталі віддалені на однакові відстані від П2, тобто для усіх точок фронталі координата Y - величина постійна (Y = const). А тому f1 // Х12 (f1¿Y13, f3 ¿Y31).

Кут нахилу фронталі до П2 - 0. Кут нахилу фронталі до П1 - і кут нахилу до П3 - визначаються з фронтальної проекції f - f2 (С2D2) (рис. 2.6).

На площину П2 відрізки прямої f проектуються в натуральну величину, а на дві інші площини - зі спотворенням - у вигляді відрізків меншої величини.

f // П2: П1; = 0 П2; П3

Рис. 2.6

Профільна пряма - це пряма, паралельна до профільної площини проекцій. Вона позначається буквою р (р1, р2, р3) (на рис. 2.7 відрізок EF паралельний до П3). Усі точки профільної прямої віддалені на однакові відстані від П3, тобто для усіх точок профільної прямої координата Х - величина постійна (Х = const). А тому р1¿Х12 , р2¿Х12 (р1// Y13, р2 // Z23).

Кут нахилу профільної прямої до П3 - 0. Кут нахилу профільної прямої до П1 - і кут нахилу до П2 - визначаються з профільної проекції р - р3 (Е3F3) (рис. 2.7).

На профільну площину проекцій П3 відрізки прямої р проектуються в натуральну величину, а на дві інші площини - зі спотворенням - у вигляді відрізків меншої величини, які перпендикулярні осі Х12.

р // П3: П1; П2; = 0 П3

Рис. 2.7.

Пряма може бути не тільки паралельною до площини проекцій, але і знаходитись у ній. Характерною ознакою комплексного креслення такої прямої є належність однієї з проекцій такої прямої осі проекцій (рис. 2.8).

16

h0 - нульова горизонталь f0 - нульова фронталь

Рис. 2.8

Проектуючими називаються прямі які перпендикулярні до однієї з площин проекцій і паралельні двом іншим площинам проекцій (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Пряма а П1 - горизонтально проектуюча пряма; пряма b П2 - фронтально проектуюча пряма; пряма c П3 - профільно проектуюча пряма.

На одній з площин проекцій проектуюча пряма зображується у вигляді точки, а на двох інших - у вигляді відрізків, які займають горизонтальне або вертикальне положення і величина яких дорівнює натуральній величині відрізка прямої.

2.2. Точка на прямій. Взаємне положення точки і прямої

Якщо точка лежить на прямій, то її проекції лежать на однойменних проекціях цієї прямої і на спільній лінії зв’язку.

Точка А (рис. 2.10) лежить на прямій m, тому що її проекції А1 і А2

розташовані відповідно на горизонтальній m1 і фронтальній m2 проекціях прямої.

Точки В і С не лежать на прямій m, тому що одна з проекцій кожної точки не належить проекції цієї прямої.

Точка, яка не лежить на прямій відносно прямої може займати різне положення. Наприклад: точка В знаходиться над прямою m, а точка С - за прямою m.

17

Рис. 2.10

Приклади розв'язання задач відносно положення точки і прямої:

Приклад 1: Поділити відрізок АВ точкою С у відношенні 2 : 1 (рис. 2.11).

Згадаємо одну з властивостей паралельних проекцій: якщо точка ділить відрізок у даному відношенні, то проекція точки ділить проекцію відрізка у такому ж відношенні.

Щоб поділити відрізок АВ точкою С у відношенні 2 : 1 досить поділити одну його проекцію у даному відношенні (наприклад А1В1) відомим з геометрії способом. З точки А1 проводимо довільний промінь, на якому від точки А1 відкладаємо три однакових довільних відрізка. Кінець третього відрізка (точку В0) з'єднуємо з точкою В1. Кінець другого відрізка позначаємо С0. Точка С0 ділить відрізок А1В0 у відношенні 2 : 1.

Через точку С0 проводимо пряму, яка паралельна відрізку В1В0. Ця лінія перетинає горизонтальну проекцію відрізка АВ в точці С1. С1 ділить А1В1 у відношенні 2 : 1. За допомогою лінії зв’язку знаходимо відсутню фронтальну проекцію точки С на А2В2.

Рис 2.11 Рис. 2.12

Приклад 2: Побудувати відсутню фронтальну проекцію точки М, яка належить відрізку АВ профільного положення (А1В1; А2В2) і горизонтальна проекція точки М (М1) відома. (рис.2.12).

18

Для розв'язання задачі з проекцій точок А2 і В2 проводимо два паралельних промені довільного напрямку до перетину в точках А0 і В0 з відповідними паралельними променями, які провели через проекції А1 і В1.

Далі, через горизонтальну проекцію точки М (М1) проводимо промінь, який паралельний променям А0А1 і В0В1 до перетину його в точці М0 з прямою А0В0. Через точку М0 проводимо промінь, який паралельний променям В0В2 і А0А2 до перетину з проекцією відрізка А2В2 в шуканій точці М2.

2.3. Сліди прямої

Пряма загального положення перетинає всі основні площини проекцій.

Якщо відрізок АВ загального положення продовжити в обидва боки від точок А і В, то в точках М і N він перетне площини проекцій П1 і П2 (рис. 2.13).

Точки перетину прямої з площинами проекцій називаються слідами прямої. Точка М - горизонтальний слід прямої АВ, а точка N - фронтальний.

Рис. 2.13

Слід - це точка, яка одночасно належить прямій і площині проекцій. З цієї умови витікає правило побудови слідів прямої. Побудувати сліди прямої на комплексному кресленні означає - знайти проекції слідів.

Горизонтальний слід прямої - це точка, яка належить прямій, а тому її проекції належать проекціям прямої. З іншого боку ця точка належить і площині проекцій П1, тому вона має особливості точок, які належать площинам проекцій: одна координата дорівнює нулю. Для точки, яка лежить на П1 - Z = 0. Точка прямої АВ, для якої Z = 0, на комплексному кресленні (рис. 2.13) знаходиться на перетині фронтальної проекції прямої АВ (А2В2) з віссю Х12. Це точка М2 - фронтальна проекція горизонтального сліду прямої. Точка М1 знаходиться на одній вертикальній лінії зв'язку з М2 і належить горизонтальній проекції прямої.

19

Таким чином, для побудови на комплексному кресленні горизонтального сліду М прямої АВ необхідно:

1). Продовжити фронтальну проекцію А2В2 до перетину з віссю Х12 в точці М2. Точка М2 - фронтальна проекція сліду М.

2). Провести через точку М2 вертикальну лінію зв’язку до перетину з горизонтальною проекцією А1В1 прямої (або її продовженням) в точці М1

(горизонтальній проекції сліду), яка збігається з самим слідом М. Фронтальний слід прямої - це точка, яка належить прямій, а тому її

проекції належать проекціям прямої. З іншого боку ця точка належить і площині проекцій П2, тому вона має особливості точок, які належать площинам проекцій: одна координата дорівнює нулю. Для точки, яка лежить на П2 - Y = 0. Точка прямої АВ, для якої Y = 0, на комплексному кресленні (рис. 2.13) знаходиться на перетині горизонтальної проекції прямої АВ (А1В1) з віссю Х12. Це N1 - горизонтальна проекція фронтального сліду прямої. N2 знаходиться на одній вертикальній лінії зв'язку з N1 і належить фронтальній проекції прямої.

Таким чином, для побудови фронтального сліду (точки N) прямої АВ необхідно:

1). Продовжити горизонтальну проекцію А1В1 до перетину з віссю Х12

в точці N1. Точка N1- горизонтальна проекція сліду N. 2). Провести через точку N1 вертикальну лінію зв’язку до перетину з

фронтальною проекцією А2В2 прямої (або її продовженням). Отримаємо точку N2 (фронтальну проекцію сліду) яка збігається з самим слідом N.

Пряма загального положення в системі трьох площин проекцій має три сліди: горизонтальний, фронтальний і профільний; пряма рівня - два сліди; проектуюча пряма - один слід. На рисунку 2.14 показана побудова фронтального сліду N і профільного сліду Р горизонталі h, а також горизонтального сліду М і профільного сліду Р фронталі f.

Рис. 2.14Горизонтально-проектуюча пряма а має один горизонтальний слід М

(М1), який збігається з горизонтальною проекцією прямої а (рис. 2.15). Фронтально-проектуюча пряма b має один фронтальний слід

N( N2), який збігається з фронтальною проекцією прямої b (рис. 2.16).

20

Рис. 2.15 Рис.2.16

2.4. Визначення натуральної величини відрізка прямої і кутів його нахилу до площин проекцій

Пряма загального положення нахилена під різними кутами до площин проекцій, а тому проекції відрізка прямої різні за величиною і важливо уміти знаходити натуральну величину відрізка прямої за його проекціями.

Розглянемо проекції відрізка АВ на дві площини П1 і П2. Якщо через точку А провести пряму АВ0, яка паралельна А1В1, то отримаємо прямокутний трикутник АВВ0 у якого: АВ - гіпотенуза - натуральна величина (рис.2.17).

Рис. 2.17

Оскільки АВ0 // А1В1; АВ0 ВВ1, А1В1 = АВ0 - катет АВ0

дорівнює горизонтальній проекції відрізка АВ.

21

Другий катет ВВ0 дорівнює різниці висот між точками В і А: ВВ0 = ZB - ZA.

α - кут між гіпотенузою і катетом АВ0, тобто між відрізком АВ і його проекцією на П1 є кутом нахилу відрізка прямої АВ до площини проекцій П1.

Такий трикутник можна штучно відтворити на комплексному кресленні (рис. 2.18). Горизонтальна проекція А1В1 буде виконувати функцію катета. Другий катет, величина якого дорівнює ZB - ZA, будуємо, взявши за вершину прямого кута точку А1 (слід зауважити, що за вершину прямого кута може бути взятий будь який кінець проекції відрізка).

Натуральна величина відрізка прямої загального положення на комплексному кресленні будується як гіпотенуза прямокутного трикутника, перший катет якого дорівнює одній з проекцій даного відрізка, а другий - різниці відстаней від кінців відрізка, до тієї площини проекцій, на якій взято перший катет (різниці відстаней кінців другої його проекції від площини, на якій знаходиться перша проекція цього відрізка).

Кут нахилу відрізка прямої до площини проекцій визначається як кут між натуральною величиною відрізка і його проекцією на цю площину.

На рисунку 2.18 показано визначення натуральної величини відрізка АВ і кутів його нахилу до площин проекцій: - до П1; - до П2 ; - до П3 .

Для визначення натуральної величини відрізка АВ і кута необхідно :

1. Через одну з точок горизонтальної проекції відрізка (у нас точка А1) провести перпендикуляр до проекції відрізка і на ньому відкласти різницю висот між точками В і А.

2. Точку А0, яку ми отримали, з’єднуємо з точкою В1. Відрізок А0В1

буде натуральною величиною відрізка АВ, а кут між А1В1 і А0В1 буде кутом нахилу відрізка АВ до площини проекцій П1.

Для визначення натуральної величини відрізка АВ і кута необхідно:

1. Через точку А2 або В2 (у нас А2) провести перпендикуляр до А2В2 і на ньому відкласти різницю глибин між точками А і В.

2. Точку А0, яку ми отримали, з’єднуємо з точкою В2. Відрізок А0В2

буде натуральною величиною відрізка АВ, а кут між А2В2 і А0В2 буде кутом нахилу відрізка АВ до площини П2.

Для визначення натуральної величини відрізка АВ і кута нахилу його до П3 необхідно:

1. Через точку А3 або В3 (у нас А3) провести перпендикуляр до А3В3 і на ньому відкласти різницю широт між точками А і В.

22

Рис. 2.18

2. Точку А0, яку ми отримали, з’єднуємо з точкою В3. Відрізок А0В3

буде натуральною величиною відрізка АВ, а кут між А3В3 і А0В3 буде кутом - кутом нахилу відрізка АВ до площини проекцій П3.

2.5. Взаємне положення двох прямих

Дві прямі в просторі одна відносно другої можуть бути взаємно паралельними, перетинатися і бути мимобіжними.

Паралельні прямі. Якщо прямі в просторі паралельні, то їх однойменні проекції на будь-яку площину також взаємно паралельні (рис. 2.19).

Рис. 2.19 Рис. 2.20Паралельність однойменних проекцій прямих не завжди може бути

ознакою паралельності прямих у просторі. Так, прямі АВ і CD є мимобіжними: АВ // П3 ; СD // П3. А2В2 // С2D2, А1В1 // С1D1, А3В3 С3D3:АВ СD (рис. 2.20).

Прямі, що перетинаються . Якщо прямі в просторі перетинаються, то на комплексному кресленні їх однойменні проекції перетинаються в точках К1 і К2, розташованих на одній лінії зв’язку (рис. 2.21).

23

Рис. 2.21 Рис. 2.22

Мимобіжні прямі . Прямі, які в просторі не паралельні між собою і не перетинаються називаються мимобіжними. Точки перетину однойменних проекцій цих прямих не лежать на одній лінії проекційного зв’язку (рис. 2.22).

Запитання для самоперевірки

1. При якому положенні відносно площин проекцій пряма називається прямою загального положення?

2. Як довести, що креслення, яке містить дві, пов'язані між собою проекції у вигляді відрізків прямої лінії, виражає саме відрізок прямої лінії?

3. Як розміщена пряма в системі П1, П2, П3, якщо всі три проекції відрізка цієї прямої рівні між собою?

4. Як побудувати профільну проекцію відрізка прямої загального положення, за даними фронтальною та горизонтальною проекціями?

5. Які положення прямої лінії в системі П1, П2, П3 вважаються "особливими" (або частковими)?

6. Як розміщена фронтальна проекція відрізка прямої лінії, якщо його горизонтальна проекція дорівнює самому відрізку?

7. Як розміщена горизонтальна проекція відрізка прямої лінії, якщо його фронтальна проекція дорівнює самому відрізку?

8. Яка властивість паралельного проектування торкається відношення відрізків прямої лінії?

9. Як розділити на кресленні відрізок прямої лінії у заданому відношенні?

10. Що називається слідом прямої лінії на площині проекцій?11. Яка координата дорівнює нулю: а) для фронтального сліду прямої,

б) для горизонтального сліду прямої?12. Чи може бути випадок, коли пряма лінія в системі П1, П2, П3 має

сліди на кожній із цих площин, які збігаються в одну точку?13. Що означає точка перетину проекцій двох мимобіжних прямих?

Л Е К Ц І Я 3

К О М П Л Е К С Н Е К Р Е С Л Е Н Н Я П Л О Щ И Н И

24

3.1. Способи зображення площини на комплексному кресленні

Положення площини у просторі однозначно визначається трьома різними точками, які не належать одній прямій. А тому, для того, щоб задати площину на комплексному кресленні (рис. 3.1), достатньо вказати проекції таких геометричних елементів:

1) трьох точок, що не лежать на одній прямій;2) прямої і точки, розташованої поза нею;3) двох прямих, що перетинаються;4) двох паралельних прямих;5) відсіку площини (трикутника або іншої плоскої фігури).

Рис. 3.1

3.2. Сліди площини

У деяких випадках площину доцільно задавати не довільними прямими, що перетинаються, а прямими, по яких ця площина перетинає площини проекцій.

Слідом площини називається пряма, по якій ця площина перетинається з площиною проекцій. Позначають сліди відповідно h0, f0, p0. Ці прямі лежать у площині і перетинаються між собою в точках, які лежать на осях проекцій і є точками перетину площини з відповідними осями (горизонтальний і фронтальний сліди перетинаються в точці, яка лежить на осі Х12). Ці точки називаються точками збігу слідів площини.

Для того, щоб побудувати слід площини необхідно і достатньо побудувати сліди двох прямих, які лежать в цій площині (рис. 3.2) (аb) (h0f0).

25

Рис. 3.2

На рисунку 3.3 показано зображення площини на комплексному кресленні за допомогою слідів h0(h0

1, h02) і f0(f0

1, f02). Проекції слідів f0

1 i h02

збігаються з віссю Х12.Горизонтальний слід h0(h0

1, h02): h0 ⊂ П1 h0 h0

1; h0

2 завжди належить осі Х12.Фронтальний слід f0(f0

1, f02): f0⊂ П2 f0 f0

2;

f01 завжди належить осі Х12.

Точка збігу слідів площини Х (Х= Х12) належить осі проекцій (ХХ12 ), тобто ХХ

1Х2, а тому позначаємо її як точку, а не як

проекцію.

Рис. 3.3

3.3. Положення площини в просторі відносно площин проекцій

За розташуванням у просторі розрізняють площини особливого і загального положення. Площини особливого положення поділяють на площини рівня і проектуючі.

26

Площиною рівня називається площина, яка паралельна одній і перпендикулярна до двох інших площин проекцій. Розрізняють три види площин рівня (рис. 3.4): горизонтальну (АВС) - паралельну площини проекцій П1; фронтальну (DEF) - паралельну площині проекцій П2; профільну (КМN) - паралельну площині проекцій П3.

Рис. 3.4

Розглянемо проекційні ознаки площин рівня:1). Довільна фігура, що лежить у площині рівня, проектується в

натуральну величину на ту площину, якій ця площина рівня паралельна. На дві інші площини проекцій фігура проектується відрізками прямих, які займають вертикальне або горизонтальне положення. Ці прямі називаються слідами-проекціями площин рівня.

2). Сліди-проекції площин рівня мають збиральну властивість, яка полягає в тому, що проекції точок, ліній, фігур, що лежать у цих площинах, розташовуються на слідах-проекціях.

3). Не обмежену певною фігурою площину рівня можна задавати лише одним слідом-проекцією (рис. 3.5).

Рис. 3.5

27

Проектуючою площиною називається площина, яка перпендикулярна до однієї з площин проекцій. Розрізняють три види проектуючих площин (рис. 3.6): горизонтально проектуючу Ф(АВС), фронтально проектуючу (DEF), профільно проектуючу Н.

Основні проекційні ознаки проектуючих площин:1). Проектуюча площина зображається слідом-проекцією на

перпендикулярній до неї площині проекцій. На двох інших площинах проекцій фігура, що лежить у проектуючій площині, зображається спотворено.

2). Проектуючу площину можна задати лише одним слідом-проекцією, який має збиральну властивість (точки, лінії, фігури, що належать проектуючій площині, проектуються на слід-проекію цієї площини).

Рис. 3.6

Площина, яка не перпендикулярна ні одній із площин проекцій (рис. 3.7) називається площиною загального положення.

Всі три проекції цієї площини являють собою трикутники. Така площина має три сліди на площинах проекцій, які не перпендикулярні осям проекцій.

Рис. 3.73.4. Прямі і точки, що лежать у площині

28

Пряма належить площині, якщо вона проходить через дві точки, що належать цій площині, або через одну її точку паралельно іншій прямій, проведеній на площині.

Приклад 1: Задана горизонтальна проекція прямої (1), яка належить площині (АВС) . Побувати відсутню фронтальну проекцію прямої (2) (рис. 3.8).

Приклад 2: Задано горизонтальну проекцію прямої k(k1) і фронтальну проекцію прямої m(m2). Прямі k i m належать площині (h0f0). Побудувати відсутні проекції прямих k i m (рис. 3.9).

Рис. 3.8 Рис. 3.9

Точка належить площині, якщо вона лежить на прямій, що належить цій площині. Для визначення відсутньої проекції точки, яка лежить у площині необхідно спочатку побудувати проекції прямої, яка проходить через цю точку і лежить у площині і на цих проекціях прямої позначити проекції точки (рис. 3.10 і 3.11).

Рис. 3.10 Рис. 3.11

3.5. Головні лінії площини

29

В площині загального положення можна провести безліч прямих, які по відношенню до площин проекцій можуть займати особливе і загальне положення.

Горизонталлю площини називається горизонталь, яка належить цій площині.

Побудову горизонталі h площини , заданої АВС починаємо з проведення її фронтальної проекції h2, паралельної осі Х12 (рис. 3.12). Ця проекція перетинає фронтальні проекції прямих А2В2 і В2С2 в точках 12 і 22. Побудувавши горизонтальні проекції точок 11 і 21 і сполучивши їх між собою знайдемо горизонтальну проекцію горизонталі. У площині можна провести безліч горизонталей, і всі вони будуть паралельні між собою і паралельні нульовій горизонталі (горизонтальному сліду площини h0) (рис. 3.13).

Рис. 3.12 Рис. 3.13

Фронталлю площини називається фронталь, що належить цій площині. Побудову фронталі f площини (рис. 3.12 і 3.13) починаємо з проведення її горизонтальної проекції f1, яка паралельна осі Х12. Всі фронталі площини паралельні нульовій фронталі (фронтальному сліду площини f0) (рис. 3.13).

Профільною прямою площини (р) називається пряма, що належить цій площині і паралельна профільній площині проекцій. Її проекції на П1 і П2

завжди перпендикулярні осі Х12 (рис. 3.12). Лініями найбільшого нахилу площини до площин проекцій

називаються прямі, що лежать у площині і перпендикулярні до ліній рівня площини (слідів площини). Для побудови ліній найбільшого нахилу площини (ЛНН) необхідно побудувати лінії рівня площини, а потім - лінії найбільшого нахилу.

30

У площині розрізняють лінії найбільшого нахилу:1) ЛНН відносно П1 визначає нахил площини до П1 і має ще одну

назву: лінія скочування; відмітною особливістю лінії найбільшого нахилу до П1 є перпендикулярність її горизонтальної проекції до горизонтальної проекції горизонталі площини чи до її горизонтального сліду (ЛНН)1¿ h1;

2) ЛНН відносно П2 визначає нахил площини до П2; відмітною особливістю ЛНН до П2 є перпендикулярність її фронтальної проекції до фронтальної проекції фронталі площини чи до її фронтального сліду (ЛНН)2 ¿ f2;

3) ЛНН відносно П3 визначає нахил площини до П3; відмітною особливістю ЛНН до П3 є перпендикулярність її профільної проекції до профільної проекції профільної прямої площини чи до її профільного сліду (ЛНН)3¿ р3.

За допомогою ліній найбільшого нахилу визначають кути нахилу площини до площин проекцій. Ці кути вимірюються кутами, утвореними відповідними ЛНН з П1, П2, П3. Натуральна величина цих кутів може бути визначена способом прямокутного трикутника.

Побудову ліній найбільшого нахилу площини до площин проекцій розглянемо при розгляданні теми «Перпендикулярність».

Запитання для самоперевірки

1. Як задається площина на комплексному кресленні?2. Що таке слід площини?3. Де розташовуються фронтальна проекція горизонтального сліду і

горизонтальна проекція фронтального сліду площини?4. Які площини називаються площинами рівня? Які властивості цих

площин?5. Які площини називаються проектуючими? Які властивості цих

площин?6. Сформулюйте умови належності прямої площині.7. Як побудувати на кресленні точку, яка належить заданій площині?8. Які прямі називаються горизонталями площини? фронталями?9. Що таке лінія найбільшого нахилу площини?

31

Л Е К Ц І Я 4

ВЗАЄМНЕ ПОЛОЖЕННЯ ПРЯМИХ І ПЛОЩИН

Загальним випадком взаємного положення прямої і площини є їх перетин. Якщо точка перетину знаходиться у нескінченності, то пряма і площина паралельні між собою.

Загальним випадком взаємного положення двох площин є їх переріз. Якщо лінія перерізу знаходиться в нескінченності, то площини будуть паралельні між собою.

В залежності від взаємного положення прямої і площини, площин відносно площин проекцій і відносно одна одної можливі наступні випадки:

Випадок 1. Перетин прямої загального положення з проектуючою площиною 2 (рис. 4.1).

= К(К1; К2). Проекція точки перетину прямої з площиною на П2 - К2 визначається відразу: 2 2 = К2. За допомогою лінії зв’язку визначаємо горизонтальну проекцію точки К - К1, виходячи з умови

належності точки К прямій . Видимість на П1 визначаємо за допомогою точок 1 і 2, конкуруючих відносно площини проекцій П1.

Рис. 4.1 Рис. 4.2

Випадок 2. Перетин проектуючої прямої 1 з площиною (a b) загального положення (рис. 4.2).

= K. 1 K1; K , K ; K 12; 12 . Видимість на П2

визначаємо за допомогою конкуруючих точок 3 і 4.Випадок 3. Перетин прямої загального положення з площиною

загального положення (рис. 4.8 і 4.9). Розв'язання даної задачі зводиться до розв'язання задачі на переріз двох площин, а тому буде розглянуто далі (після випадку 7).

Випадок 4. Паралельність прямої і площини.

32

Пряма паралельна площині, якщо вона паралельна якій-небудь прямій, розміщеній на цій площині.

Якщо через точку в просторі треба провести пряму, паралельну площині, то спочатку в цій площині проводимо яку-небудь пряму, а потім через задану точку проводимо другу пряму, паралельну першій.

Приклад 1. Через точку М простору провести пряму , паралельну заданій площині (АВС) (рис. 4.3). M; // : проводимо довільну пряму 12, яка належить площині ; проводимо пряму // 12 1 // 1121; 2 // 1222.

Приклад 2. Задана площина (h0 f0) і точка М. Через точку М провести пряму , паралельну заданій площині і площині проекцій П1 (рис. 4.4).

Через М1 проводимо 1 // h10; через М2 - 2 // h2

0 // h.

Рис. 4.3 Рис. 4.4

Випадок 5. Переріз двох площин, перпендикулярних до однієї з площин проекцій.

Рис. 4.5 Рис. 4.6Дві площини, перпендикулярні до якої-небудь площини проекцій,

перерізаються по прямій, яка перпендикулярна до тієї самої площини проекцій (рис.4.5).

П2, П2, = і, і П2, і2 - точка, і1 - Х12.

33

Випадок 6. Переріз двох площин, перпендикулярних до різних площин проекцій.

Дві площини, які перпендикулярні до різних площин проекцій, перерізаються по прямій, проекції якої збігаються зі слідами-проекціями площин (рис. 4.6).

( АВС ) П1 , ( DEF ) П2 . = n; n1 1; n2 2.

Випадок 7. Переріз площини проектуючого положення з площиною загального положення (рис. 4.7).

П2, (DEF); (АВС). = n. n ; n ; n2 2; пряму n фіксуємо двома точками - 1 і 2, які є спільними для обох площин, що перетинаються. Видимість площин і визначаємо на П1 за допомогою конкуруючих точок 3 і 4.

Рис. 4.7

Випадок 3. Перетин прямої загального положення з площиною загального положення (рис. 4.8 і 4.9).

На рис. 4.8 зображені площина і пряма , що перетинається з цією площиною. Проведемо через пряму площину . Якщо знайти пряму MN перерізу площин і , то точка перетину прямих та MN буде точкою, в якій пряма перетинається з площиною . Цю точку (К) часто називають точкою зустрічі прямої з площиною.

Таким чином, побудова точки зустрічі прямої загального положення з площиною загального положення складається з трьох операцій:

1. Проведення через задану пряму допоміжної площини- посередника . (Як допоміжні звичайно використовуються проектуючі площини внаслідок простоти, з якою здійснюється проведення цих площин через прямі лінії на комплексному кресленні - завдяки збиральній властивості одного зі слідів-проекцій таких площин).

34

2. Знаходження лінії MN перерізу заданої площини з допоміжною площиною посередником .

3. Визначення точки К перетину заданої прямої зі знайденою лінією

перерізу двох площин. Точка К є шуканою точкою перетину прямої з площиною .

На комплексному кресленні (рис. 4.9) задачу розв'язуємо в такому порядку:

1) ; 2;2) = MN; M AC; N BC;3) MN = К; M2N2 2; M1N1 1 = K1; K2 2. 4) Видимість прямої по відношенню до площини на П1 і П2

визначаємо за допомогою конкуруючих точок 1 i M; 2 і 3.

Рис. 4.8 Рис. 4.9

Випадок 8. Переріз двох площин загального положення (рис. 4.10). ( АВС ); (a // в); = n( MN).

Дві площини перерізаються по прямій лінії, а положення прямої цілком визначається двома точками. Тому розв'язання задачі на побудову проекцій прямої перерізу двох площин у загальному випадку зводиться до визначення проекцій двох точок, які одночасно належать кожній з площин, що перерізаються. Лінія перерізу площин пройде через ці дві точки.

Задачу можна розв ' язати двома способами: 1) способом знаходження точки зустрічі прямої з площиною (на рис.

4.10 - точка М);2) способом допоміжних січних площин (метод посередника) (на рис.

4.10 - точка N).Суть метода посередника:

а) дві задані площини перерізаються третьою допоміжною площиною-посередником;

б) будується лінія перерізу кожної з заданих площин з посередником;

35

в) знаходиться точка, в якій перетинаються ці лінії перерізу і яка є одною з точок шуканої лінії перерізу заданих площин.

Розв ' язання задачі: 1). Вводимо допоміжну площину ; 2;

a. a = M. = ; 2 a2 2; 1 a1 =M1 M2.2). Ф П2; Ф = m ( точки 3,4); Ф =d (5,6);

d m = N ; Ф2 d2 m2 N2; d1 m1= N1.3). Видимість площин на П1 і П2 визначаємо за допомогою

конкуруючих точок 7 і 8; 9 і 10.

Рис. 4.10

Випадок 9. Паралельність двох площин. Площини паралельні, якщо дві прямі, що перетинаються, однієї з них

відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються, другої.Площини особливого положення паралельні тоді, коли паралельні їх

однойменні сліди - проекції.Щоб побудувати через задану точку К площину, паралельну площині

(а b), досить через точку К провести дві прямі, відповідно паралельні двом прямим, що перетинаються і належать площині (рис. 4.11).

Приклад 1. Задано площину (а b) і точку К. Через точку К провести площину паралельну заданій площині .

36

Площину задаємо двома прямими, що перетинаються в точці К. ( // n): // a : 1 // a1; 2 // a2; n // b : n1 // b1; n2 // b2.

Рис. 4.11 Рис. 4.12

Приклад 2. Через точку А провести площину , яка паралельна заданій площині (h0 f0) (рис. 4.12).

Для розв'язання задачі через точку А проводимо горизонталь h(h2,h1) і визначаємо фронтальний слід прямої h (точка 1 11,12). Через точку 112

проводимо f20 // f2

0 до перетину з віссю Х12 в точці Х. З точки збігу слідів Х

проводимо h10 // h1

0. Прямі h0 f20 утворюють площину , яка проходить

через точку А і паралельна площині .

Запитання для самоперевірки

1. Яке взаємне положення можуть займати пряма і площина? дві площини?

2. Яка умова паралельності прямої і площини? двох площин?3. Як взаємно розташовані однойменні сліди двох паралельних між

собою площин?4. Чи є ознакою взаємного перерізу двох площин перетин хоча б

одної пари їх однойменних слідів?5. Як визначити взаємне положення прямої і площини?6. Як будується точка перетину прямої лінії з площиною,

перпендикулярною до одної чи до двох площин проекцій?7. Як будується лінія перерізу двох площин, з яких хоча б одна

перпендикулярна до П1 або П2?8. В чому полягає загальний метод побудови лінії перерізу двох

площин?

Л Е К Ц І Я 5

37

П Е Р П Е Н Д И К У Л Я Р Н І С Т Ь

5.1. Теорема про проектування прямого кута

Для того, щоб ортогональна проекція прямого кута на яку-небудь площину проекцій була прямим кутом, необхідно і досить, щоб хоча б одна зі сторін цього кута була паралельною площині проекцій (рис. 5.1), в той час, як інша сторона не повинна бути перпендикулярною до цієї площини проекцій:

ABC=900: BC // П0 A0B0C0=900. Доведемо це. Продовжимо АВ до перетину з площиною П0 в точці К

К0. Через точку К0 в площині П0 проведемо пряму 0 // B0C0. Оскільки 0 // B0C0, а B0C0 // BC, то 0 // BC. Звідси кут BK0L0 = 900. Згідно з теоремою про три перпендикуляри (пряма, яка належить площині, тоді і тільки тоді перпендикулярна похилій до цієї площини, коли вона перпендикулярна до її проекції на розглядувану площину) кут B0K0L0 теж прямий. Через те, що K0L0 // B0C0, а кут B0K0L0=900 і кут K0B0C0 = 900.

Рис. 5.1 Рис. 5.2

Висновок:1. Якщо проекція плоского кута являє собою прямий кут, то

проектований кут буде прямим лише за умови, що хоча б одна зі сторін цього кута паралельна площині проекцій (рис. 5.2).

2. Якщо проекція будь-якого кута, у якого одна із сторін паралельна площині проекцій, являє собою прямий кут, то проектований кут теж буде прямим (рис. 5.2).

Теорема про проектування прямого кута є теоретичною передумовою для побудови на комплексному кресленні проекцій прямих і площин, взаємно перпендикулярних у просторі.

38

5.2. Взаємна перпендикулярність прямої і площини

Пряма перпендикулярна до площини, якщо вона перпендикулярна до двох прямих цієї площини, що перетинаються. Ця ознака перпендикулярності прямої і площини відома з геометрії.

Спочатку розглянемо часткові випадки, коли площина паралельна або перпендикулярна до площини проекцій.

Якщо площина паралельна площині проекцій, то пряма, яка перпендикулярна до неї, буде проектуючою. Одна з її проекцій буде перпендикулярною до сліду проекції площини.

Наприклад, задано площину // П1 (рис. 5.3) і точку А(А1,А2). Необхідно через точку А провести пряму ί .

Оскільки // П1, а ί , то ί П1. А ί : ί 1 А1, ί2 2.

Рис. 5.3 Рис. 5.4

Якщо площина займає проектуюче положення, то пряма лінія, яка перпендикулярна до площини, буде прямою рівня.

Наприклад, задано площину П2 (рис. 5.4) і точку А(А1,А2). Необхідно через точку А провести пряму .

Оскільки площина П2, а , то пряма // П2 1 // X12,, 2

2.

Якщо площина займає загальне положення, то і перпендикуляр до цієї площини теж буде займати загальне положення.

Наприклад, задано площину в системі площин проекцій П1П2 (рис. 5.5). Пряма n . А - основа перпендикуляра на площині . Якщо провести через точку А у площині фронталь f і горизонталь h, то ці прямі утворять з прямою n прямі кути, як і будь-які інші прямі, що належать площині , оскільки з геометрії відомо, що пряма, перпендикулярна до площини, перетинається або схрещується під прямим кутом з будь-якою прямою, проведеною на цій площині.

Але на комплексному кресленні перпендикулярність зберігається не з кожною прямою. Саме тому ми виділяємо фронталь і горизонталь.

39

Через те, що h // П1, прямий кут, утворений нею з прямою n спроектується на П1 без спотворення на основі теореми про проектування прямого кута. З тієї ж причини кут, утворений f з прямою n , спроектується на П2 також без спотворення.

Таким чином, для побудови проекцій перпендикуляра до площини необхідно мати лінії рівня чи сліди площини (рис. 5.6): - площина загального положення, А , n , A n, h і f , h // h1

0: f // f20 : n1

h10 : n2 f2

0.

Висновок. Для того, щоб пряма у просторі була перпендикулярна до площини, необхідно і достатньо, щоб на комплексному кресленні горизонтальна проекція прямої була перпендикулярна до горизонтальної проекції горизонталі площини, а фронтальна проекція прямої перпендикулярна до фронтальної проекції фронталі площини (або необхідно і достатньо, щоб проекції цієї прямої були перпендикулярні до однойменних слідів площини): n1 h1, n2 f2

n (f,h).

Рис. 5.5 Рис. 5.6

Можна провести перпендикуляр до площини з будь-якої точки, а потім розв'язувати задачу про знаходження точки перетину прямої з площиною. Розвиваючи цю думку, приходимо до задачі на визначення відстані від точки до площини.

Задача 1. Визначити відстань від точки А(A1, A2) до площини (c // d) (рис. 5.7).

Відстань від точки до площини вимірюється довжиною відрізка перпендикуляра, опущеного з точки на площину : n ; A n .

1). Проводимо лінії рівня площини h і f.2). Проводимо проекції перпендикуляра з точки А до площини :

n1 h1; n2 f2. Зауважимо, що пряма n схрещується з f і h під прямими кутами, а тому основи перпендикуляра на площині ми не маємо.

40

3). Знаходимо точку К перетину прямої n з площиною : К = n .

4). Визначаємо натуральну величину відрізка перпендикуляра АК способом прямокутного трикутника.

Рис. 5.7 Рис. 5.8

Можна розв'язати зворотну задачу, тобто побудувати площину, перпендикулярну до заданої прямої.

Задача 2. Через точку А(А1,А2) провести площину , яка перпендикулярна до прямої . Пряма - загального положення

Площина буде перпендикулярна до прямої, якщо дві перетинні прямі цієї площини будуть перпендикулярні до заданої прямої. А тому проведення через точку А площини , перпендикулярної до прямої , виконується шляхом побудови фронталі і горизонталі, які схрещуються під прямими кутами із заданою прямою: А; (h f): h1 1 ; f2 2 (рис. 5.8).

5.3. Взаємна перпендикулярність двох площин

Дві площини взаємно перпендикулярні, якщо одна з них проходить через перпендикуляр до другої. Тому достатньо, щоб серед елементів, які задають площину , яка перпендикулярна площині , був перпендикуляр до площини (ABC).

Задача 1. Через точку М провести площину , яка перпендикулярна до заданої площини (рис. 5.9).

Щоб провести через точку М площину, перпендикулярну до площини , треба спочатку з точки М опустити перпендикуляр на цю площину.

1). Проводимо h i f .2). Проводимо проекції перпендикуляра , опущеного з точки М на площину : 1 h1; 2 f2.

41

3). Будуємо площину ( m). Пряму m m1, m2 проводимо довільно, оскільки площин, які проходять через пряму і перпендикулярних до площини , безліч, а тому довільною прямою m визначена одна з можливих.

Рис. 5.9 Рис. 5.10

Задача 2. Через точку М провести площину , яка перпендикулярна площині (h0 f0 ) (рис. 5.10).

1) Задаємо площину ( m): 1 h10

; 2 f20

2) Пряму m m1, m2 проводимо довільно.

5.4. Взаємна перпендикулярність двох прямих

Зміст цього питання розглянемо при розв'язанні задачі на визначення відстані від точки до прямої, оскільки саме відстань від точки до прямої визначається довжиною відрізка перпендикуляра, проведеного з точки на пряму.

Розглянемо три випадки. Випадок 1. Пряма ί П2 (П1); точка А. У випадку, коли пряма займає часткове положення (паралельне або

перпендикулярне до площини проекцій), на основі теореми про проектування прямого кута можна без будь-яких допоміжних побудов провести проекції прямої, перпендикулярної до заданої (рис. 5.11, 5.12).

Являючись фронтально-проектуючою, (рис. 5.11) пряма ί водночас є горизонталлю, а тому на П1 вона зберігає свою перпендикулярність з перпендикуляром, опущеним з точки А на неї. Таким чином, на комплексному кресленні А1К1 ί1. Очевидно, що АК - фронталь, а тому А2К2

- натуральна величина відрізка перпендикуляра АК.

42

Рис. 5.11 Рис. 5.12

Випадок 2. Пряма паралельна П2(П1); точка А.Оскільки - фронталь (рис. 5.12), то на П2 вона збереже

перпендикулярність з перпендикуляром, проведеним до неї з точки А: А2К2

2. З комплексного креслення очевидно, що відрізок АК - загального положення, а тому його натуральну величину визначаємо способом прямокутного трикутника.

Випадок 3. Пряма загального положення; точка А (рис. 5.13). Якщо пряма займає загальне положення то для визначення відстані

від точки до прямої використовуємо відому з геометрії теорему: дві прямі взаємно перпендикулярні тільки в тому випадку, якщо через кожну з них можна провести площину, перпендикулярну до другої прямої.

1). Через точку А проводимо площину , перпендикулярну до прямої . А ; . (h f); h1 1, f2 2.

2). визначає множину прямих, перпендикулярних до прямої , які проходять через точку А. Щоб виділити з цієї множини єдину пряму, яка перетинає пряму і відрізком якої вимірюється відстань від точки А до прямої , необхідно знайти точку К зустрічі прямої з площиною і з'єднати її з точкою А. = K: ; 2 2; 2. АК- відстань від точки А до прямої .

3). Способом прямокутного трикутника визначаємо натуральну величину відрізка АК.

43

Рис. 5.13

5.5. Визначення кута нахилу площини до площини проекцій

Кут нахилу площини до площини проекцій визначається за допомогою лінії найбільшого нахилу площини (дивись розділ 3.5. «Головні лінії площини»).

Для визначення кута нахилу площини до площини проекцій П1 в площині необхідно провести горизонталь площини (рис. 5.14). Згідно теореми про проектування прямого кута прямий кут між горизонталлю і лінією найбільшого нахилу площини спроектується в натуральну величину на площину проекцій П1. Тому на П1 в будь-якому місці заданої площини проводимо горизонтальну проекцію лінії найбільшого нахилу площини до П1

під кутом 900 до h1 (відрізок 1121). Способом прямокутного трикутника визначаємо натуральну величину відрізка лінії найбільшого нахилу і кут нахилу відрізка до П1, який і буде кутом нахилу площини до площини проекцій П1.

На рис. 5.15 показано визначення кута нахилу площини загального положення (ABC) до площини проекцій П2. Для побудови лінії найбільшого нахилу заданої площини до П2 проводимо фронталь площини. На П2 в будь-якому місці площини проводимо фронтальну проекцію лінії найбільшого нахилу площини до П2 під кутом 900 до f2 (відрізок В222). Способом прямокутного трикутника визначаємо натуральну величину

44

відрізка лінії найбільшого нахилу і кут нахилу відрізка до П2, який і буде кутом нахилу площини до площини проекцій П2.

Рис. 5.14 Рис. 5.15

Запитання для самоперевірки

1. Чим відрізняється проекціювання в натуральну величину прямого кута від непрямого?

2. Чи може прямокутна проекція гострого кута бути прямим кутом та навпаки?

3. Як розміщуються проекції перпендикуляра до площини?4. Як провести площину, перпендикулярну до заданої прямої (через

точку на прямій і через точку поза прямою)?5. Як провести перпендикуляр з точки на пряму загального

положення? 6. Як побудувати взаємно перпендикулярні площини?7. Як визначити кут нахилу площини до площини проекцій?

45

Л Е К Ц І Я 6

С П О С О Б И П Е Р Е Т В О Р Е Н Н Я К О М П Л Е К С Н О Г О К Р Е С Л Е Н Н Я

6.1. Загальні положення

Трудомісткість і, як наслідок, точність графічного розв'язання задач часто залежать не тільки від складності задач, але і від того, яке положення займають геометричні фігури, що входять в умову задачі, по відношенню до площин проекцій.

Проектована фігура, як відомо, може займати по відношенню до площин проекцій чи довільне чи особливе положення. У першому випадку, як правило, отримуємо проекції, незручні для розв'язання задач. В той же час розв'язання задач значно спрощується, коли ми маємо справу з особливим розміщенням геометричних фігур відносно площин проекцій.

Найбільш вигідними особливими положеннями проектованої фігури, при яких можуть бути одержані проекції фігури, зручні для розв'язання задач, слід вважати:

а) положення, паралельне площині проекцій;б) положення, перпендикулярне до площини проекцій.Так, наприклад, при розміщенні фігури паралельно будь-якій площині

проекцій вона проектується на цю площину в натуральну величину; за проекцією прямої особливого положення можна визначити довжину її відрізків, величину кутів нахилу до площин проекцій; відстань від точки до прямої проектується на площину проекцій без спотворення, якщо дана пряма перпендикулярна до площини проекцій і т.п.

У зв’язку з цим є потреба в прийомах, які б дали змогу перевести задану фігуру із загального положення в особливе по відношенню до площин проекцій.

Цього можна досягти двома шляхами:1) вибором нової площини проекцій, по відношенню до якої

проектована фігура, що не змінює свого положення у просторі, займе особливе положення (спосіб заміни площин проекцій);

2) переміщенням у просторі проектованої фігури так, щоб вона зайняла часткове положення відносно площин проекцій, які при цьому не змінюють свого положення у просторі (способи обертання, спосіб плоско-паралельного переміщення);

6.2. Спосіб заміни площин проекцій

Зміна взаємного положення проектованої фігури і площин проекцій досягається шляхом переходу від заданих площин проекцій до нових.

Нова площина проекцій вибирається перпендикулярною до однієї з старих площин проекцій.

46

Проектовані геометричні фігури при цьому не змінюють свого положення у просторі.

Вибираючи положення нової площини проекцій, слід керуватися тим, щоб по відношенню до нової площини проекцій проектована фігура займала особливе (часткове) положення, яке забезпечує одержання проекцій, найбільш зручних для розв'язання поставленої задачі.

Якщо заміна однієї площини проекцій не забезпечує потрібного вигляду допоміжної проекції, виконують подальшу заміну.

При цьому перехід від заданої системи площин проекцій Х12

П2

П1 до

нової Х45

П5

П4 може бути здійснений за однією з наступних схем:

Х12

П2

П1 Х42

П2

П4 Х45

П5

П4 ;

Х12

П2

П1 Х14

П4

П1 Х54

П4

П5 .Наведені схеми показують, що водночас ми можемо замінювати

тільки одну площину проекцій. Друга площина при цьому залишається незмінною.

Наявність однієї площини проекцій, яка не змінює свого положення, дозволяє використовувати її як сполучну ланку між старими (вихідними) проекціями і новими. В систему площин П1 і П2 (рис. 6.1) вводиться додаткова площина П4. Площину П4 вибираємо так, щоб вона була паралельна відрізку АВ і перпендикулярна площині П1. П4 // АВ і П4 П1.

Рис. 6.1

47

Утворена нова система площин

П4

П1 . Ці площини між собою перетинаються по новій осі Х14. Ця вісь паралельна проекції відрізка А1В1. Оскільки П4 // АВ, то проекція АВ на П4 є натуральною величиною, а відрізок

АВ в системі площин проекцій

П4

П1 є фронталлю. При заміні однієї з площин проекцій необхідно керуватись такими

правилами:1. Залежно від умови задачі вибираємо нову площину проекцій. Лінія

перетину нової площини з незмінною площиною проекцій є новою віссю проекцій (Х14).

2. Через незмінну проекцію точки проводимо нову лінію зв’язку перпендикулярну до нової осі проекцій.

3. На новій лінії зв’язку від нової осі проекцій відкладаємо координату проекції, яка замінюється (відстань від точки до незмінної площини проекцій).

Примітка: При відсутності на епюрі Монжа осі проекцій координати точок слід відраховувати від буд-якої горизонтальної лінії відліку.

Приклад 1. Перетворити пряму загального положення в проектуючу пряму і визначити кути нахилу її до площин проекцій (рис. 6.2).

1). П4 // АВ : П4 П2; П4 П2 = Х24: Х24 // А2В2. В системі

П4

П2 пряма АВ є горизонталлю: В4А4 - натуральна величина відрізка АВ, і - натуральна величина кутів його нахилу до відповідних площин проекцій.

П5 АВ : П5 П4; П4 П5 = Х45: Х45 А4В4; в системі

П4

П5 пряма АВ є проектуючою.

Рис. 6.2

48

2). П6 // АВ : П6 П1; П6 П1 = Х16: Х16 // А1В1; в системі

П1

П6 пряма АВ є фронталлю. А6В6 - натуральна величина відрізка АВ, і - натуральна величина кутів його нахилу до відповідних площин проекцій.

Приклад 2. Визначити натуральну величину АВС і кути і його нахилу до П1 і П2. АВС - площина загального положення (рис. 6.3).

При розв’язуванні цієї задачі необхідно виконати подвійне перетворення (подвійну заміну площин проекцій): спочатку перетворити площину загального положення в проектуючу площину, а потім проектуючу площину в площину рівня.

1). Проводимо лінії рівня площини - h і f.2). Вибираємо П4 h; 4 1, 4 1 = X14; X14 h1.

В системі

П4

П1 горизонталь стане проектуючою прямою, а площина АВС - проектуючою площиною. і - натуральна величина кутів нахилу площини АВС до відповідних площин проекцій.

3). П5 // АВС; П5 П4, П5 П4 = Х45; Х45 // А4В4С4; А5В5С5- натуральна величина АВС.

4). П6 АВС : П6 f; П6 П2, П6 П2 = Х26; Х26 f2 : і - натуральна величина кутів нахилу площини АВС до відповідних площин проекцій.

Рис. 6.3

49

6.3. Спосіб плоско-паралельного переміщення

На відміну від способу заміни площин проекцій, де задана фігура залишалась нерухомою, а площини проекцій змінювали своє положення, можна досягти того ж самого результату зворотним шляхом: залишаючи площини проекцій нерухомими, переміщувати фігуру у просторі як тверду систему до бажаного положення.

Плоско-паралельним переміщенням фігури у просторі називається таке переміщення, при якому усі точки фігури переміщуються у площинах, паралельних між собою і паралельних до площини проекцій.

Так, у плоско-паралельному переміщенні відносно П1 усі точки фігури переміщуються у горизонтальних площинах рівня.

Теорема. Якщо фігура здійснює плоско-паралельне переміщення відносно П1, то фронтальні проекції її точок будуть рухатися по прямих, перпендикулярних до ліній зв'язку. У цей час горизонтальна проекція фігури рухається по площині проекцій, залишаючись рівною самій собі.

У випадку плоско-паралельного переміщення фігури відносно П2

горизонтальні проекції її точок рухаються по прямих, перпендикулярних до ліній зв'язку, а фронтальна проекція фігури переміщується по площині проекцій, залишаючись рівною самій собі.

Приклад 1. Перетворити пряму загального положення в проектуючу пряму (рис. 6.4).

Спочатку перетворюємо комплексне креслення так, щоб відрізок АВ став // П2, а потім так, щоб став перпендикулярним площині П1.

А1В1 = А1В1, А1В1 // X12. А2В2 = А2В2, А2В2 Х12.

Рис. 6.4

50

Приклад 2. Визначити натуральну величину АВС. АВС - площина загального положення (рис. 6.5).

Перетворення проводимо в два етапи:1) Перетворюємо площину загального положення в проектуючу. Для

цього в площині проводимо лінію рівня - h або f. Розміщуємо ту проекцію площини, в якій лінія рівня є натуральною величиною так, щоб натуральна величина лінії рівня стала перпендикулярною до осі проекцій Х12. При цьому лінія рівня стане проектуючою прямою і на другу площину проекцій спроектується в точку. Площина при цьому стане проектуючою відносно цієї ж площини проекцій..

2) Перетворюємо проектуючу площину в площину рівня. Для цього ту проекцію площини, яка являє собою пряму лінію розташовуємо паралельно осі Х12. Інша проекція буде являти собою натуральну величину АВС .

Рис. 6.5

Запитання для самоперевірки

1. Яке положення в системі

П2

П1 займе площина П4 , яка вводиться для

утворення системи

П4

П1 ?2. Як знайти довжину відрізка прямої лінії і кути цієї прямої з

площинами П1 і П2 , вводячи додаткові площини проекцій?

3. Скільки додаткових площин проекцій треба ввести в систему

П2

П1 , щоб визначити натуральну величину фігури, площина якої перпендикулярна до площини П1 або до площини П2 ?

4. Знайдіть способом плоско-паралельного переміщення натуральні величини відрізка прямої і трикутника, що лежать у фронтально-проектуючій площині.

51

Л Е К Ц І Я 7

С П О С О Б И П Е Р Е Т В О Р Е Н Н Я К О М П Л Е К С Н О Г О К Р Е С Л Е Н Н Я

7.1. Спосіб обертання навколо проектуючої прямої

Частковим випадком плоско-паралельного переміщення є обертання фігури навколо осі, перпендикулярної до однієї з площин проекцій. При цьому усі точки фігури рухаються (переміщуються) по колах у площинах рівня, перпендикулярних до осі обертання. Центри кіл знаходяться у точках перетину осі із вказаними площинами. Якщо точка фігури знаходиться на осі обертання, то при обертанні системи ця точка вважається нерухомою.

Таким чином, при обертанні навколо горизонтально-проектуючої осі, фронтальні проекції точок фігури переміщуються по прямих, перпендикулярних до ліній зв'язку, а горизонтальні - по дугах кіл.

При обертанні навколо фронтально-проектуючої прямої горизонтальні проекції точок переміщуються по прямих, перпендикулярних до ліній зв'язку, а фронтальні - по дугах кіл.

Розв'язуючи задачі способами обертання треба уміти показувати на кресленні такі основні елементи обертання:

1). Вісь обертання ί - пряму, навколо якої обертається точка. Вісь обертання (ί) беруть перпендикулярною до площин проекцій П1 або П2.

2). Площину обертання , тобто площину, в якій переміщується точка і яка перпендикулярна до осі обертання ί.

Якщо вісь обертання П1, то площина обертання буде горизонтальною. Якщо вісь обертання П2, то площина обертання буде фронтальною.

3). Центр обертання - точку О перетину осі з площиною обертання О = ί.

4). Радіус обертання Rоб. - відстань точки від центра обертання. Радіус обертання проектується в натуральну величину на ту площину проекцій, перпендикулярно до якої вибрано вісь обертання.

52

На рис. 7.1 показано обертання точки А навколо горизонтально-проектуючої прямої.

Рис. 7.1

Приклад 1. Перетворити пряму загального положення в проектуючу пряму, визначити натуральну величину її відрізка АВ (рис. 7.2).

При обертанні прямої навколо осі доводиться обертати дві її точки. Побудова спрощується, якщо вісь обертання провести через одну з кінцевих точок відрізка: вісь ί проводимо через точку А. ί П2. Щоб визначити натуральну величину відрізка АВ, обертаємо його фронтальну проекцію до положення // Х12. Таким чином відрізок АВ став горизонталлю, а горизонтальна проекція А1В1 є його натуральною величиною. Для перетворення відрізка в проектуюче положення здійснюємо обертання відрізка АВ навколо горизонтально-проектуючої осі q (q П1), яку проводимо через точку В. Обертаємо горизонтальну проекцію до положення А1В1 Х12. Фронтальна проекція відрізка стане точкою: А2 В2.

Рис. 7.2

Приклад 2. Визначити натуральну величину АВС. АВС - площина загального положення (рис. 7.3).

53

Перетворення виконуємо послідовним подвійним обертанням. Спочатку перетворюємо площину загального положення в проектуючу площину. Для цього в площині АВС проводимо одну із ліній рівня - h або f і обертаємо її до положення, коли вона стане перпендикулярною площині проекцій. При цьому лінія рівня спроектується в точку, а площина - в лінію.

Потім площину обертаємо навколо іншої проектуючої прямої до положення коли площина стане паралельною площині проекцій. На цю площину вона спроектується в натуральну величину.

Рис. 7.3

7.2. Обертання навколо лінії рівня (спосіб суміщення)

Обертання навколо горизонталі або фронталі застосовують, коли задану плоску фігуру потрібно сумістити з площиною рівня, паралельною площині проекцій. В такому положенні плоска фігура проектується на відповідну площину проекцій в натуральну величину.

Розглянемо спочатку обертання точки А навколо горизонталі (рис. 7.4). Суть перетворення залишається такою ж, як і у випадку обертання навколо осей, які перпендикулярні до площин проекцій.При обертанні навколо h точка А описує дугу кола у площині обертання . Площина обертання перпендикулярна до осі обертання: h. Таким чином, є горизонтально-проектуючою площиною: П1. Центр обертання - точка О. О = h. Радіус обертання точки А (АО - відрізок прямої загального положення) знаходиться у площині . Якщо радіус обертання точки А стане // П1, то він суміститься з площиною рівня, паралельною до П1, в якій знаходиться вісь обертання h. В цій самій площині рівня опиниться і точка А R. Таким чином, способом прямокутного

54

трикутника визначаємо натуральну величину радіуса обертання точки А навколо h. Натуральну величину радіуса обертання відкладаємо від точки О1

на 1 (або за допомогою циркуля горизонтальну проекцію точки переміщуємо в нове положення А1), оскільки завжди R . В новому положенні точка А знаходиться з горизонталлю h в одній площині, яка паралельна П1. Друга проекція А2 в цьому випадку буде збігатися з проекцією h - h2.

Рис. 7.4

Приклад: Визначити натуральну величину АВС площини загального положення (рис. 7.5).

Для визначення натуральної величини АВС, через точки С і l проводимо горизонталь площини. Ці точки при обертанні будуть нерухомими, оскільки вони знаходяться на осі обертання h. Обертатись будуть лише точки А і В. Вони переміщуються по колах у площинах обертання, перпендикулярних до осі обертання h. Для визначення положення точки В1 після обертання, знаходимо натуральну величину радіуса обертання точки В навколо горизонталі h і цим радіусом переводимо горизонтальну проекцію точки В в нове положення.

Радіус обертання точки А можна не знаходити, тому що точка А лежить на прямій l-АВ, а положення двох точок цієї прямої ми визначили.

55

В ; h; А ; h.

Рис. 7.5

Проекція Ā1В1С1 є натуральною величину АВС, оскільки площина АВС стала // П1. Фронтальна проекція АВС збігається з фронтальною проекцією h2 горизонталі, тобто являє собою пряму лінію.

Запитання для самоперевірки

1. Які основні елементи способу обертання?2. У чому суть способу обертання навколо осей, перпендикулярних

до площин проекцій?3. Визначте способом обертання навколо проектуючих осей

натуральні величини відрізка прямої і трикутника.4. Як розміститься площина обертання точки, якщо її вісь обертання

лише паралельна до пл. П1 або до пл. П2 але не перпендикулярна ні до П1 ні до П2? Чому при цьому доводиться визначати натуральну величину радіуса обертання?

5. Знайдіть способом суміщення натуральну величину трикутника, що лежить у горизонтально-проектуючій площині.

6. Що є ознакою досягнення горизонтального положення площини, заданої горизонталлю і точкою, при повороті навколо цієї горизонталі і де розміститься фронтальна проекція точки після повороту?

56

Л Е К Ц І Я 8

М Н О Г О Г Р А Н Н И К И

8.1. Побудова проекцій многогранників

Многогранником називається тіло, яке обмежене плоскими многокут-никами. Елементами многогранника є: площини (грані), ребра (лінії перетину двох граней), вершини (спільні точки декількох граней).

Сукупність всіх ребер многогранника називають його сіткою. Із всієї кількості многогранників для нас найбільший практичний інтерес являють піраміди, призми і правильні опуклі многогранники.

У правильних опуклих многогранників усі ребра, грані, плоскі двогранні та просторові кути дорівнюють один одному.

Різновидності правильних многогранників:1) Тетраедр (чотиригранник) - грані рівні трикутники;2) Октаедр (восьмигранник) - грані рівні трикутники;3) Ікосаедр (двадцятигранник) - грані рівні трикутники;4) Гексаедр (шестигранник) - грані квадрати; 5) Додекаедр (дванадцятигранник) - грані правильні п’ятикутники.

Навколо всіх правильних многоранників можна описати сферу.Пірамідою називається многогранник у якого всі бічні ребра

перетинаються в одній точці.Призмою називається многогранник у якого всі бічні ребра паралельні

між собою. Основами призми є рівні многокутники. Якщо основи призми перпендикулярні бічним ребрам, то призма називається прямою. Якщо цієї умови немає - призма похила. Побудова проекцій многогранника зводиться до побудови його сітки.

Комплексне креслення призм, пірамід і інших многогранників краще виконувати з тих площин проекцій, на які їх основи проектуються в натуральну величину (рис. 8.1 і 8.2).

Рис. 8.1 Рис. 8.2

57

При розв’язанні різних задач часто необхідно визначити на поверхні многогранника точку чи відрізок прямої. Ця задача полегшується, якщо точка чи відрізок знаходяться у проектуючих гранях. Наприклад: бічні грані прямої призми (рис. 8.1). У випадку загального положення граней виконують такі ж самі побудови, як при визначенні точки чи відрізка прямої, що належить площині загального положення.

Так, якщо задані фронтальні проекції К2, М2 точок, що лежать на поверхні призми (рис. 8.1), то горизонтальні проекції цих точок визначаються просто. Бічні грані призми є горизонтально проектуючими, тому горизонтальні проекції всіх точок, що лежать у цих гранях збігаються зі слідами-проекціями відповідних граней.

Якщо точки E і F лежать на бічних гранях піраміди (рис. 8.2), то для визначення відсутніх проекцій точок необхідно в гранях через ці точки провести довільні прямі, визначити положення проекцій цих прямих на проекціях граней многогранника, а потім визначити положення проекцій точок E і F на проекціях відповідних прямих, яким вони належать.

8.2. Переріз многогранника площиною

При перерізі многогранника площиною утворюється плоска фігура, що називається перерізом. Перерізом многогранника є многокутник вершинами якого служать точки перетину ребер многогранника з січною площиною, а сторонами є лінії перетину цієї площини з гранями многогранника.

Розрізняють два способи побудови плоского перерізу многогранника:1) знаходження вершин многокутника перерізу (спосіб ребер);2) знаходження сторін многокутника перерізу (спосіб граней).

У першому випадку побудова зводиться до багатократного розв'язання задачі на знаходження точки перетину прямої з площиною (перша позиційна задача), у другому випадку - на знаходження лінії перетину двох площин (друга позиційна задача). Можлива комбінація в використанні цих двох способів.

Приклад 1. Переріз многогранника проектуючою площиною (рис. 8.3).

Розв'язання задачі на визначення перерізу многогранника площиною значно спрощується, якщо січна площина займає проектуюче положення. У цьому випадку одна з проекцій перерізу - відрізок прямої - належить сліду-проекції січної площини.

Визначення другої проекції лінії перерізу зводиться до розв'язання раніше розглянутої задачі на побудову відсутньої проекції точки, що належить многограннику, якщо відома хоча б одна її проекція.

58

Рис. 8.3

Приклад 2. Переріз многогранника площиною загального положення (a ∩ b) (рис. 8.4).

На відміну від попередньої задачі переріз призми площиною на площини проекцій П1 і П2 не проектується у вигляді прямої лінії.

Але, оскільки бічна поверхня призми горизонтально-проектуюча (три бічні грані є площинами, перпендикулярними до П1), то горизонтальна проекція перерізу призми площиною збігається з горизонтальною проекцією призми. Внаслідок цього горизонтальні проекції вершин перерізу збігаються з горизонтальними проекціями ребер призми, а горизонтальні проекції сторін перерізу - з горизонтальними проекціями граней призми.

Задачу розв'язуємо способом граней, двічі розв'язуючи задачу про перетин двох площин, одна з яких є горизонтально-проектуючою.

Рис. 8.4

59

Приклад 3. Побудувати проекції перерізу трикутної призми площиною (m n) - загального положення (рис. 8.5).

Розв'язання задачі ускладнюється тим, що на П1 і П2 переріз не проектується у вигляді відрізка прямої, а бічна поверхня призми не є проектуючою - бічні грані займають загальне положення.

В заданому випадку необхідно використати спосіб ребер: послідовно побудувати точки перетину бічних ребер з площиною загального положення. Для цього через бічні ребра проводимо допоміжні площини (в даному випадку - горизонтально-проектуючі , , ) - тричі розв'язуємо задачу про перетин прямої з площиною.

Рис. 8.5

8.3. Перетин многогранника з прямою

Поверхня опуклого многогранника має з прямою дві спільні точки - це точки перетину прямої з гранями многогранника. Якщо одну з таких точок назвати точкою входу прямої, то друга з них буде точкою виходу. При побудові точок перетину прямої з гранями застосовуються способи: допоміжної січної (краще проектуючої) площини та перетворення проекцій. У першому випадку через пряму проводиться допоміжна проектуюча площина і визначається переріз многогранника цією площиною. Одержаний переріз та пряма лежать в одній площині і перетинаються в двох точках, які є шуканими точками перетину прямої з многогранником.

60

Приклад 1. Визначити точки перетину прямої з поверхнею піраміди (рис. 8.6).

1. Через пряму проводимо фронтально-проектуючу площину . 22.

2. Будуємо проекції перерізу піраміди площиною: 12,22,3211,21,31.

3. Визначаємо точки перетину прямої з побудованим перерізом - точки M і N (M1,N1 M2, N2).

4. Визначаємо видимість прямої на П1 і П2.Якщо проекція прямої не перетинається з проекцією перерізу, то

пряма не перетинається з поверхнею.

Рис. 8.6

Приклад 2. Визначити точки перетину прямої з поверхнею похилої призми.

1). Через пряму проводимо площину загального положення (m ). Для цього на прямій беремо довільну точку К. Через цю точку проводимо пряму m, яка паралельна бічним ребрам призми (рис. 8.7).

2). Будуємо горизонтальний слід площини .m 1 = 1. П1 = 2. 1-2 - горизонтальний слід площини .3). З точок перетину горизонтального сліду площини з основою

призми (точки 31 і 41) проводимо лінії, паралельні бічним ребрам призми. Ми

61

визначили горизонтальну проекцію перерізу призми площиною . Ця проекція перерізу перетинається з проекцією прямої 1 в точках М1 і N1, які є горизонтальними проекціями точок перетину прямої з поверхнею похилої призми.

Якщо проекція сліду площини не перетинається з проекцією основи поверхні, то пряма не перетинається з поверхнею.

Рис. 8.7

Запитання для самоперевірки

1. Що називається призмою? Чим задається призматична поверхня?2. Що називається пірамідою? Чим задається поверхня піраміди?3. Як визначити проекції точок, що лежать на поверхні

многогранника?4. Що розуміється під назвою "тетраедр"?5. Як будується фігура, що отримується при перетині призми чи

піраміди площиною?6. Як будуються точки перетину призми чи піраміди прямою лінією

(точки входу і виходу)?7. Як перерізається призма площиною, яка паралельна до бічних

ребер?8. Як перерізається піраміда площиною, яка проходить через вершину

піраміди?

62

ЛЕКЦІЯ 9

КРИВІ ЛІНІЇ

9.1. Способи утворення кривих ліній

Обрисами багатьох інженерних конструкцій і споруд, деталей машин і механізмів є криві лінії. Кривими лініями складаються каркаси і сітки поверхонь.

Будь-яка крива лінія може бути отримана:1) рухом точки у просторі (рис. 9.1);2) перетином кривих поверхонь площиною (рис. 9.2);3) взаємним перетином двох поверхонь, з яких хоча б одна крива

(рис. 9.3).

Рис. 9.1 Рис. 9.2 Рис. 9.3

9.2. Класифікація кривих ліній

Плоскими називаються криві лінії, всі точки яких лежать в одній площині.

Ознакою плоскої кривої на епюрі є належність проекцій всіх точок кривої однойменним проекціях прямих, які належать площині (рис. 9.4).

Рис. 9.4

63

Тобто, за двома ортогональними проекціями кривої неможливо одразу відповісти на запитання, плоскій чи просторовій кривій відповідають задані проекції. Необхідно з'ясувати, чи належать усі точки кривої одній площині. Якщо належать, крива - плоска, якщо не належать - просторова.

Просторовими називаються криві лінії, всі точки яких не належать одній площині (рис 9.5).

Щоб визначити, плоска чи просторова крива лінія m(m1, m2) задана на епюрі (рис. 9.6), необхідно:

позначити на кривій m три довільні точки А, В, С, які визначають собою площину;

взяти на кривій m четверту довільну точку D і перевірити, чи належить вона цій площині.

Виявилось, що точка D площині АВС не належить. Крива лінія m(m1,m2) просторова.

Рис. 9.5 Рис. 9.6

Алгебраїчний порядок кривої визначає степінь її рівняння.Геометричний порядок плоскої кривої дорівнює найбільшій можливій

кількості точок перетину її з прямою лінією, а порядок просторової кривої - кількості точок перетину її з площиною загального положення.

9.3. Плоскі криві лінії

На рис. 9.7 показана плоска крива m. Візьмемо на ній довільну точку М і проведемо через неї січну . Коли точка М', рухаючись по кривій m, співпаде з точкою М, січна (М'М) досягне свого граничного положення (пряма t). Напрям переміщення точки в кожному її положенні визначається дотичною прямою t-t в заданій точці М кривої лінії.

Дотичною прямою t-t в точці М плоскої кривої m називається граничне положення січної (М М), коли точка М, залишаючись на кривій m, наближається до точки М.

Нормаль n до плоскої кривої m в точці М - це пряма, яка лежить у площині (в цій площині лежить крива m) і перпендикулярна до дотичної в точці М.

64

Рис. 9.7 Рис. 9.8

Для побудови проекцій плоскої кривої необхідно перш за все визначити особливі точки і точки, які найбільш і найменш віддалені від площин проекцій (рис. 9.8).

Звичайна точка (А) - в цій точці дуги кривої знаходяться з одного боку від дотичної, але з різних боків від нормалі.

Точка перегину (В) - в цій точці дуги кривої лежать по різні сторони від дотичної і нормалі.

Точка звороту (С) - вістря - в цій точці дуги кривої знаходяться по різні боки від дотичної і по один бік від нормалі.

Точка звороту (D) - дзьоб - в цій точці обидві дуги кривої знаходяться з одного боку від дотичної і з одного боку від нормалі.

Точка злому (Е) - в цій точці крива має дві дотичні.Точка вузла (F) - в цій точці крива сама себе перетинає і має дві

дотичні.

Точка самодотику (G) - в цій точці крива, зустрічаючись із собою, має одну дотичну.

Основні властивості проекцій плоских кривих:

1) порядок плоскої алгебраїчної кривої при паралельному проектуванні не змінюється;

2) нескінченно віддалені точки кривої проектуються в нескінченно віддалені точки її проекції;

3) дотична до кривої проектується в дотичну до її проекції;4) число точок перетину плоских кривих зберігається при

проектуванні;5) проекції точок перетину знаходяться на спільних лініях зв’язку.

65

9.4. Проекції кола, яке лежить у площині

Коло є найбільш поширеною в техніці плоскою кривою. У загальному випадку коло проектується в еліпс, велика і мала осі якого є проекціями взаємно перпендикулярних діаметрів кола.

Розглянемо положення кола в наступних площинах:а) рівня Коло, яке лежить у площині рівня (рис. 9.9) проектується в натуральну

величину на ту площину проекцій, до якої паралельна площина, в якій лежить коло. На інші площини проекцій коло проектується в лінії, паралельні осям проекцій.

Рис. 9.9 Рис. 9.10

б) в проектуючій площині На площину П2, до якої перпендикулярна площина, в якій лежить коло

(рис. 9.10), коло проектується у вигляді відрізка прямої лінії, який дорівнює діаметру кола.

На інші площини коло проектуються у вигляді еліпсів, велика і мала осі яких визначаються з проекцій. Знаючи розміри великої і малої осі еліпса, можна побудувати сам еліпс одним із відомих з креслення способів.

в) в площині загального положення Дано: площина (h0f0 ) - загального положення, центр кола- точка О

і радіус кола R (рис. 9.11).Через центр кола проводимо горизонталь (h) і фронталь (f) площини -

таким чином виділяємо фронтальний і горизонтальний діаметри кола. Фронтальний діаметр кола зображається в натуральну величину на фронтальній площині проекцій, а горизонтальний - на горизонтальній.

66

На площини проекцій П1 і П2 коло буде проектуватись в еліпси, у яких велика вісь відома (вона збігається з h1 i f2 площини). Малі осі еліпсів будуть перпендикулярні до великих, але нам невідома їх величина.

Величину малої осі еліпса визначаємо таким чином: на П1 - через

точку 21 проводимо перпендикуляр до 51 41 , цей перпендикуляр перетинається з колом в точці 20. З’єднуємо точку 20 з точкою О1 - через точку А0 проводимо лінію, яка паралельна 20О1, а через отриману точку В1 лінію, яка паралельна О1 21. Точка А1 визначить розмір малої півосі еліпса. А1О1 = О1С1.

Нам відомі розміри і положення малої і великої осей еліпса і ми можемо відомим нам способом побудувати еліпс.

Фронтальна проекція кола будується так само, тобто у відповідності з уже побудованою горизонтальною проекцією.

Рис. 9.11

9.5. Просторові криві лінії

Просторові лінії займають більш складне положення у просторі, ніж плоскі криві.

Дана просторова лінія і точка М на ній (рис. 9.12). Проведемо через цю точку дві січні a і b, які перетинають криву в точках А і B.

При наближенні точок А і В до точки М січні будуть провертатись навколо точки М і, коли всі три точки співпадуть, займуть положення напівдотичних t1 i t2 . Якщо точка М звичайна, то напівдотичні будуть мати протилежне направлення, утворюючи загальну дотичну.

67

Через дотичну до кривої в точці М можна провести нескінчену кількість площин. Одна з них, яка визначає граничне положення площини, що проходить через три нескінченно близькі точки просторової кривої, називається стичною площиною.

Рис. 9.12 Рис. 9.13

Через точку М кривої можна провести нескінчену кількість прямих, що будуть перпендикулярні до дотичної. Всі вони лежать у площині, яка називається нормальною площиною. Одна з цих нормалей лежить у стичній площині і називається головною нормаллю nг.

Друга нормаль, яка перпендикулярна до стичної площини називається бінормаллю nр (рис. 9.13).

Проекційні властивості просторових кривих ліній такі ж самі як і плоских кривих. Але є і деякі відмінності. Так, наприклад, просторова крива лінія проектується тільки в плоску криву. Зображення точок на проекціях кривих ліній може не відповідати положенню самих точок.

З усіх просторових кривих ліній, що використовуються в техніці, найбільш розповсюджені гвинтові лінії.

Циліндрична гвинтова лінія

Циліндричною гвинтовою лінією називається лінія, яка розташована на поверхні циліндра та утворена рівномірним рухом точки по твірній, що рівномірно обертається навколо осі циліндра.

Висота циліндра h, на поверхні якого точка здійснює один поворот навколо осі, називається кроком гвинтової лінії.

На фронтальній проекції гвинтова лінія зображається у вигляді синусоїди постійної амплітуди. На горизонтальній проекції - у вигляді кола. Якщо виконати розгортку гвинтової лінії, то вона зобразиться прямою, що нахилена під кутом ; tg = h/2πr (рис. 9.14).

68

Гвинтові лінії можуть бути правими і лівими. Правою називається та гвинтова лінія, яка на циліндрі піднімається зліва вгору направо.

Побудову циліндричної гвинтової лінії показано на рис. 9.14.

Задані діаметр гвинтової лінії Ø і крок p.

1. Ділимо коло основи циліндра і крок на однакову кількість рівних частин.

2. Проводимо через перший поділ кроку гвинтової лінії 1 горизонтальну пряму, а через перший поділ 11 кола - вертикальну пряму.

3. Перетин проведених прямих визначить положення фронтальної проекції 12 точки, яка перемістилася з початкового положення 0 в положення 1, тобто на одну восьму кроку h.

4. Інші точки 22, 32 - 82, які належать фронтальній проекції гвинтової лінії, будуємо аналогічно.

5. Побудовані на П2 точки з'єднуємо плавною кривою.

Рис. 9.14

Конічна гвинтова лінія

Закон утворення конічної гвинтової лінії такий же, як і циліндричної: навколо осі рівномірно обертається твірна пряма кругового конуса, по якій рівномірно переміщується точка. Горизонтальна проекція конічної гвинтової лінії - спіраль Архімеда, фронтальна - синусоїда з затухаючою амплітудою.

Побудову конічної гвинтової лінії показано на рис. 9.15.

1. Розділимо крок і горизонтальну проекцію конуса на 8 рівних частин.

2. Побудуємо проекції восьми твірних конуса.

69

3. З першого ділення на П2 проведемо горизонтальну лінію до перетину з першою твірною і позначимо 12.

4. Аналогічно будуємо фронтальні проекції всіх восьми положень точки і обводимо їх плавною кривою лінією.

5. Проводячи лінії зв'язку від кожної побудованої на П2 точки до горизонтальної проекції відповідної твірної, визначимо положення горизонтальних проекцій точок і обводимо їх плавною кривою лінією.

Рис. 9.15

Запитання для самоперевірки

1. Дайте визначення просторової і плоскої кривої.2. Як визначити порядок кривої, якщо крива (плоска чи просторова)

задана графічно?3. Назвіть "особливі " точки кривої і дайте їх визначення. 4. Що таке дотична площина?5. Що таке крок гвинтової лінії?6. Як побудувати на кресленні циліндричну гвинтову лінію?7. Як побудувати на кресленні конічну гвинтову лінію?

70

ЛЕКЦІЯ 10

ПОВЕРХНІ

За різноманітністю форм і властивостей, за своїм значенням при формуванні різних геометричних фігур, за роллю, яку вони відіграють в науці, техніці, архітектурі, поверхні не мають собі рівних серед інших геометричних форм. Світ поверхонь безмежний - від елементарної площини до найскладніших форм криволінійних поверхонь, які не піддаються математичному опису. І якою б складною не була поверхня, її необхідно уміти зображати на кресленні, де повинні бути відображені всі її геометричні властивості.

10.1. Способи утворення поверхонь

Розрізняють наступні способи утворення поверхонь:а). Аналітичний спосіб . При цьому поверхня розглядається як

геометричне місце точок, координати яких задовольняють заданому рівнянню.

Наприклад− x2

p+ y2

q =2Z (гіперболічний параболоїд) (рис. 10.1).

Рис. 10.1

б). Каркасний спосіб. При цьому поверхня задається дискретною множиною точок або ліній.

Точковим каркасом називається сукупність точок на поверхні, заданих таким чином, щоб можна було уявити форму поверхні в усіх її частинах (рис. 10.2).

Лінійчатим каркасом називається сукупність ліній, що лежать на поверхні. За допомогою ліній, що лежать на поверхні, зображаються обтічні поверхні суден, автомобілів, лопаток парових і газових турбін, літаків, а також поверхня Землі (рис. 10.3).

71

Рис. 10.2 Рис. 10.3

в). Кінематичний спосіб. При цьому поверхня розглядається як геометричне місце послідовних положень ліній (твірних), які рухаються у просторі по деякому закону (по напрямним).

Твірною називається лінія, що утворює поверхню. Твірна при русі може зберігати свою форму, змінюючи лише положення, або ж змінювати і положення і форму.

Закон руху твірної може бути заданий кількома лініями, через які проходить твірна. Ці лінії називаються напрямними (рис. 10.4).

Визначником поверхні називається сукупність незалежних геометричних елементів, що визначають дану поверхню. Наприклад, визначником площини є три точки, що не лежать на одній прямій, визначником поверхонь обертання є вісь поверхні та твірна.

Рис. 10.4

72

Основною ознакою, яку покладено в основу класифікації поверхонь, є форма твірної (рис. 10.5).

П О В Е Р Х Н І

Л І Н І Й Ч А Т І К Р И В О Л І Н І Й Н І

Поверхні паралельного Поверхні Гвинтові переносу обертання поверхні

Рис. 10.5

Поверхні, твірні яких - прямі лінії, називаються лінійчатими.Поверхні, твірні яких - криві лінії, називаються криволінійними.Поверхні, утворені поступальним рухом твірної лінії називаються

поверхнями паралельного переносу.Поверхні, утворені обертанням твірної лінії називаються поверхнями

обертання.Поверхні, утворені гвинтовим переміщенням твірної, називаються

гвинтовими поверхнями.В залежності від вигляду твірної (пряма чи крива) поверхні

паралельного переносу, обертання і гвинтові можуть бути віднесені як до лінійчатих, так і до криволінійних.

10.3. Лінійчаті поверхні

В залежності від характеру руху твірної отримуємо різні типи лінійчатих поверхонь.

1). Конічні і циліндричні поверхні.Конічна поверхня однозначно визначається прямолінійною твірною,

кривою напрямною і точкою S. При цьому прямолінійна твірна перетинає напрямну m і всі прямолінійні твірні конічної поверхні перетинаються в одній власній точці S (рис.10.6а).

Визначник конічної поверхні - Q(, m, S). На рис. 10.6б показано задавання конічної поверхні на епюрі Монжа.

73

а) б)Рис. 10.6

Циліндрична поверхня утворюється у тому випадку, коли всі прямолінійні твірні перетинаються у невласній точці S, тобто вони паралельні між собою. Визначник циліндричної поверхні - Q(, m, S).

На рис. 10.7а показана довільна циліндрична поверхня. Рис 10.7б дає уяву про задавання циліндричної поверхні на епюрі Монжа.

а) б)Рис. 10.7

2). Поверхні з ребром звороту (торси). Це поверхні, які утворені переміщенням прямої твірної , яка дотикається у всіх своїх положеннях до деякої просторової кривої m, яку називають ребром звороту (рис.10.8а). Визначник поверхні - Q(, m).

В машинобудуванні знаходить використання частковий випадок торсової поверхні, у якої ребром звороту є циліндрична гвинтова лінія. Одержану за допомогою цієї лінії поверхню називають гвинтовим торсом.

74

На рис. 10.8б показані ортогональні проекції відсіку поверхні гвинтового торса.

а) б)Рис. 10.8

Розглянуті лінійчаті поверхні відносяться до таких поверхонь, які розгортуються (у цих поверхонь суміжні твірні паралельні або перетинаються).

Всі інші лінійчаті поверхні є такими, що не розгортуються.

3). Лінійчаті поверхні з площиною паралелізму. До цього типу лінійчатих поверхонь відносяться поверхні, всі твірні яких паралельні постійній площині , яку називають площиною паралелізму.

Циліндроїд - лінійчата поверхня , яка має площину паралелізму і дві криволінійні напрямні (рис. 10.9).

Коноїд - лінійчата поверхня, яка має площину паралелізму, одну криволінійну, а другу прямолінійну напрямні (рис. 10.10).

Рис. 10.9 Рис. 10.10 Рис. 10.11

75

Гіперболічний параболоїд (коса площина) - поверхня з двома мимобіжними прямолінійними напрямними, при цьому твірна залишається паралельною площині паралелізму (рис. 10.11).

10.4. Поверхні обертання

В техніці, зокрема в машинобудуванні, поверхні обертання знаходять широке використання. Це пояснюється розповсюдженістю обертального руху і простотою обробки поверхонь обертання на верстатах.

Поверхнею обертання називається поверхня, яка утворюється при обертанні будь-якої твірної (прямої, плоскої або просторової кривої) навколо нерухомої осі (рис. 10.12а).

До визначника поверхні обертання входять твірна m та вісь обертання ί: Q(m, ί).

Точки твірної кривої m описують навколо осі ί кола: кола, утворені в результаті перетину поверхні обертання площинами, перпендикулярними до осі поверхні обертання, називаються паралелями.

Паралель, менша за дві сусідні з обох боків, називається горлом.Паралель, більша за дві сусідні з обох боків, називається екватором.Лінії, що утворюються в результаті перетину поверхні обертання

площинами, які проходять через вісь, називаються меридіанами. Фронтальний меридіан називається головним.

а) б)Рис. 10.12

76

При задаванні поверхні обертання на кресленні (рис. 10.12б) звичайно вказують проекції її осі, головного меридіана та екватора (інколи показують коло, по якому поверхня обертання перетинається з площиною проекцій). При цьому вказують тільки горизонтальну проекцію екватора (або паралелі) і фронтальну проекцію головного меридіана.

Властивості поверхонь обертання .

1). Поверхні обертання мають властивість зміщування. Обертаючись навколо своєї осі, вони можуть зміщуватись без деформації вздовж самої себе.

2). Якщо меридіан поверхні обертання проходить через дві точки поверхні, то він є найкоротшою лінією між цими точками. Всі меридіани рівні між собою.

3). Кожна з паралелей поверхні обертання перетинає всі меридіани під прямим кутом.

4). Кожна з нормалей до поверхні обертання перетинає вісь поверхні.

Поверхні обертання другого порядку. Точка на поверхні.

При обертанні кривої другого порядку навколо її осі утворюється поверхня обертання другого порядку.

1. Сфера - якщо твірна лінія є коло, а вісь обертання збігається з її діаметром (рис. 10.13).

2. Еліпсоїд обертання утворюється обертанням еліпса навколо його осі (рис. 10.14).

3. Параболоїд обертання утворюється обертанням параболи навколо її осі (рис. 10.15).

Рис. 10.13 Рис. 10.14 Рис. 10.15

77

4. Однопорожнинний гіперболоїд обертання утворюється обертанням гіперболи навколо її уявної осі (рис 10.16).

5. Двопорожнинний гіперболоїд обертання утворюється обертанням гіперболи навколо її дійсної осі (рис. 10.17).

Рис. 10.16 Рис. 10.17

Тор - поверхня 4-го порядку - утворена обертанням кола навколо осі, яка не проходить через центр кола (рис. 10.18).

В залежності від співвідношення величин R - радіуса твірного кола і відстані t від центра кола до осі обертання поверхні тора поділяють на:

відкритий тор (або кільце) при R t - коло не перетинає вісь обертання (рис. 10.18,а);

закритий тор при R t - коло перетинає вісь обертання або дотикається до неї (рис. 10.18,б).

а) б)

Рис. 10.18

78

10.5. Поверхні паралельного переносу

Поверхнею паралельного переносу називається поверхня. яка утворена поступальним переміщенням плоскої лінії, при цьому твірні поверхні весь час залишаються паралельними між собою. Рис. 10.19 дає уяву про утворення такої поверхні.

До визначника поверхні входять твірна крива g і напрямна d: Q(g, d).

Рис. 10.19

10.6. Гвинтові поверхні

Поверхня називається гвинтовою, якщо вона утворюється гвинтовим переміщенням твірної (рис. 10.20).

В залежності від форми твірної окремі види гвинтових поверхонь можуть бути віднесені як до лінійчатих, так і до криволінійних. Їх відокремлення пов'язане з великим значенням гвинтових поверхонь у техніці і, особливо, у машинобудуванні. Визначник гвинтової поверхні має вигляд: Q(g, ί), де g - твірна (крива або пряма), ί - вісь гвинтової лінії. Твірна g здійснює гвинтове переміщення, яке можна розглядати, як композицію з двох переміщень: паралельного переміщення уздовж осі ί та обертання навколо цієї осі.

Гвинтова лінія постійного кроку, побудована на поверхні прямого кругового циліндра, називається гелісою. Тому лінійчаті гвинтові поверхні, напрямна яких - геліса, називаються гелікоїдами. В залежності від величини кута нахилу твірної до осі гелікоїди бувають прямими, якщо цей кут дорівнює 90°, і косими (похилими), якщо кут - довільний, відмінний від 0 і 90°. Рис. 10.21 дає уяву про прямий гелікоїд.

79

Рис. 10.20 Рис. 10.21

Гвинтові поверхні, так само як і поверхні обертання, можуть зміщуватись, тобто здійснюючи гвинтове переміщення, поверхня зсувається уздовж самої себе. Ця властивість забезпечує гвинтовим поверхням широке використання в техніці. Гвинти, шнеки, свердла, пружини, поверхні лопаток турбін і вентиляторів, робочі органи судових двигунів, сільськогосподарських машин, конструкції гвинтових сходів - ось далеко не повний перелік технічного використання гвинтових поверхонь.

Запитання для самоперевірки

1. В чому полягає суть утворення поверхонь кінематичним способом?

2. Що називається каркасом поверхні?3. Що таке визначник поверхні?4. Дайте загальну схему класифікації поверхонь.5. Дайте визначники різних видів лінійчатих поверхонь.6. Як утворюються поверхні обертання?7. Вкажіть основні властивості поверхонь обертання.8. Як утворюються гвинтові поверхні?

80

ЛЕКЦІЯ 11

ПЕРЕРІЗ КРИВОЇ ПОВЕРХНІ ПЛОЩИНОЮ

11.1. Переріз кривої поверхні площиною

При перерізах поверхонь площиною утворюється переріз, який обмежений плоскою кривою лінією, кожна точка якої є точкою перетину твірної з заданою січною площиною.

Для побудови точок лінії перерізу застосовуються способи допоміжних січних площин або способи перетворення комплексного креслення.

Допоміжні січні площини здебільшого вибираються площинами рівня або проектуючими, що дає можливість визначити множину точок перетину плоских ліній каркаса поверхні з заданою площиною.

Способи перетворення проекцій дозволяють перевести площину в проектуюче положення і цим спростити розв’язування задачі.

При побудові лінії перетину необхідно в першу чергу визначити положення опорних (характерних) точок цієї лінії. До цих точок відносяться точки, які мінімально або максимально віддалені від площин проекцій, точки переходу видимої частини кривої в невидиму.

Приклад 1. Побудувати проекції перерізу поверхні сфери проектуючою площиною (рис. 11.1).

Рис. 11.1 Рис. 11.2Внаслідок фронтально-проектуючого положення січної площини ,

фронтальна проекція лінії перерізу відома - вона збігається з фронтальним

81

слідом-проекцією 2. А тому задача зводиться до визначення відсутньої горизонтальної проекції лінії перерізу, виходячи з умови належності її точок поверхні сфери.

При перерізі поверхні сфери площиною утворюється коло. На горизонтальну площину проекцій це коло спроектується в еліпс.

Характерні точки 1 і 2 визначаємо, як точки, що лежать на головному меридіані, а точки 3 і 3, як точки, що лежать на екваторі сфери.

Положення довільних точок 4 і 4, 5 і 5 визначаємо за допомогою паралелей сфери, які проходять через ці точки.

Приклад 2. Побудувати проекції перерізу циліндра площиною загального положення (h0∩f0) (рис. 11.2).

Внаслідок того, що бічна поверхня циліндра займає горизонтально-проектуюче положення, горизонтальна проекція лінії перерізу відома - вона збігається з горизонтальним обрисом циліндра. А тому задача зводиться до визначення відсутньої фронтальної проекції лінії перерізу, виходячи з умови належності її точок січній площині .

Точки 1 і 2, в яких слід h10 перетинає коло основи циліндра, будуть

найнижчими точками кривої перерізу (еліпса).Найвищу точку 3 визначаємо за допомогою площини , яка

проходить через вісь циліндра перпендикулярно до січної площини .Достатню кількість довільних точок лінії перерізу, а також точку 4,

яка є межею видимості кривої у фронтальній проекції, визначаємо за допомогою фронтальних площин рівня. Ці площини перетинають задану січну площину по прямих лініях, а циліндр - по твірних. Точки перетину прямих з твірними, що належать відповідній фронтальній площині рівня, будуть шуканими точками лінії перерізу.

11.2. Види конічних перерізів. Переріз конуса площиною

Залежно від положення січної площини в перерізі конуса можуть утворюватись (рис. 11.3):

а) еліпс (повний або неповний), якщо січна площина перерізає всі прямолінійні твірні конічної поверхні;

б) у частковому випадку - коли січна площина перпендикулярна до осі конічної поверхні - коло;

в) парабола, якщо січна площина паралельна до однієї твірної конічної поверхні;

г) гіпербола, якщо січна площина паралельна до двох твірних конічної поверхні;

д) у частковому випадку - коли січна площина проходить через вершину конічної поверхні - гіпербола розпадається на дві пересічні прямі.

82

Рис. 11.3

Приклад 1. Побудувати проекції перерізу поверхні прямого кругового конуса горизонтально-проектуючою площиною (рис. 11.4).

При перерізі конуса обертання горизонтально-проектуючою площиною , яка паралельна до двох прямолінійних твірних конічної поверхні, в перерізі отримаємо гіперболу, горизонтальна проекція якої збігається зі слідом 1. Задача зводиться до побудови відсутньої фронтальної проекції цієї кривої.

В перетині 1 з горизонтальною проекцією основи визначаються точки 11 і 21, а по них - проекції 12 і 22.

Для визначення точки 3(31, 32) - найвищої точки (вершини гіперболи) проведемо допоміжну горизонтально-проектуючу площину Δ через вісь конуса перпендикулярно до сліду 1. Горизонтальну проекцію 31 шуканої точки 3 позначаємо в перетині 1 і Δ1. Визначивши фронтальну проекцію твірної SK, позначаємо на ній точку 32.

Далі визначаємо точку 42, в якій фронтальна проекція гіперболи розділяється на видиму і невидиму частини. Ця точка знаходиться за допомогою твірної SN, яка є обрисною у фронтальній проекції.

Для визначення інших точок гіперболи, можна провести декілька твірних в межах тієї частини поверхні конуса, яка позначена 154362, або декілька горизонтальних допоміжних січних площин. На рис. 11.4 за допомогою такої площини Φ знайдені точки 6 і 7.

Приклад 2. Побудувати проекції перерізу поверхні прямого кругового конуса площиною загального положення (h0 ∩ f0) (рис. 11.5).

Точки 1 і 2, в яких слід h10 перетинає коло основи конуса, будуть

найнижчими точками кривої перерізу (еліпса - січна площина перетинає всі прямолінійні твірні конічної поверхні).

Найвищу точку 3 визначаємо за допомогою площини , яка проходить через вісь конуса перпендикулярно до січної площини .

83

Рис. 11.4 Рис. 11.5

Точку 4, в якій лінія перерізу у фронтальній проекції розділяється на дві частини - видиму і невидиму, визначаємо за допомогою допоміжної січної площини Δ, яку проводимо через обрисні (контурні) твірні фронтальної проекції.

Для визначення проміжних точок лінії перерізу зручно скористатися горизонтальними січними площинами, тому що вони перетинають поверхню конуса по колах, а площину - по горизонталях. Придатні для цих побудов лише ті площини, у яких фронтальні сліди знаходяться у межах між 1222 і 32, тому що у даному випадку вище точки 3 і нижче точок 1 і 2 не може бути точок, які належать лінії перерізу. На рис. 11.5 показано побудову точок 5 і 6 за допомогою площини Ф.

Приклад 3. Побудувати проекції лінії перерізу поверхні конуса площиною загального положення (f ∩ h) (рис. 11.6).

Для спрощення розв'язання задачі здійснюємо заміну площини проекцій П2 на нову площину П4. Площину П4 вибираємо так, щоб по відношенню до неї січна площина (h∩f) зайняла фронтально-проектуюче

84

положення. П4 . П4 ∩ П1 = Х14. Х14 h1. Спроектуємо на площину П4

конічну поверхню. Виконані перетворення дозволили звести розв'язання задачі до випадків, розглянутих вище (рис. 11.1 і 11.4), коли січна площина займає проектуюче положення.

Рис. 11.6

Запитання для самоперевірки

1. Як будується крива лінія при перетині кривої поверхні площиною?2. По яких лініях перетинається циліндрична поверхня площиною,

проведеною паралельно до твірної цієї поверхні?3. Які лінії отримують при перетині циліндра обертання площинами?4. Як треба провести площину, щоб конічна поверхня перетиналась

по прямих лініях?5. Які криві отримують при перетині конуса обертання площинами?6. Яку криву отримують при перетині сфери будь-якою площиною і

якими можуть бути проекції цієї лінії?

85

ЛЕКЦІЯ 12

ПЕРЕТИН ПРЯМОЇ ЛІНІЇ З ПОВЕРХНЕЮ

12.1. Перетин прямої лінії з поверхнею

Пряма перетинає поверхню другого порядку в двох точках, що називаються точками виходу і входу. Положення цих точок визначаємо за наступною схемою:

1. Через пряму проводимо допоміжну січну площину (найчастіше проектуючу).

2. Будуємо проекції перерізу поверхні січною площиною.3. Оскільки переріз і пряма лежать в одній площині, то вони між

собою перетинаються в двох точках, які є точками перетину прямої з поверхнею.

Щоб отримати раціональне розв'язання цієї задачі, слід вибирати найбільш простий спосіб визначення лінії перерізу поверхні січною площиною. Цього можна досягти двома шляхами:

1) відповідним вибором положення січної площини;2) переведенням прямої в особливе положення.Розглянемо кожний з цих варіантів розв'язання.

Варіант 1.а) допоміжна січна площина - проектуюча

Приклад. Побудувати проекції точок перетину поверхні сфери з прямою загального положення (рис. 12.1).

1). Через пряму проводимо допоміжну фронтально-проектуючу площину Σ.

2). Будуємо горизонтальну проекцію перерізу сфери площиною Σ так, як було розглянуто вище (рис. 11.1).

3). Визначаємо А1 і В1 - горизонтальні проекції точок зустрічі прямої зі сферою. Їх фронтальні проекції знаходимо за допомогою ліній зв'язку на фронтальній проекції - 2. Точка А знаходиться на верхній передній частині сфери, а тому є видимою на П1 і П2. Точка В знаходиться на нижній задній частині сфери і тому невидима на П1 і П2.

б) допоміжна січна площина - загального положенняЯк відзначалося вище, допоміжну площину, що проходить через

пряму при перетині нею якоїсь поверхні, слід вибирати так, щоб отримати найпростіші перерізи. Використання допоміжної проектуючої площини не завжди спрощує розв'язання, можливі випадки, коли доцільно вибирати площину загального положення.

86

Наприклад, при перетині конічної поверхні з прямою лінією такою є площина, яка проходить через вершину і тому перетинає цю поверхню по прямих лініях – твірних конічної поверхні.

При перетині циліндричної поверхні з прямою лінією доцільно проводити допоміжну площину через задану пряму паралельно твірним цієї поверхні – така площина переріже циліндричну поверхню по прямих лініях – твірних циліндричної поверхні.

Приклад. Побудувати проекції точок перетину прямої загального положення з конусом (рис. 12.2).

Точки перетину А і В будуємо за допомогою площини Σ, яка визначається вершиною конуса і заданою прямою.

Для визначення твірних, по яких площина Σ перетинає конус, треба знайти ще по одній точці для кожної твірної, окрім точки S. Ці точки можуть бути знайдені в перетині горизонтального сліду площини Σ - h

0 - з колом основи конуса на П1. h

0 знаходимо так:1) будуємо горизонтальний слід прямої - точку 1;2) у площині Σ проводимо довільну пряму SK (точка К взята довільно

на прямій ) і будуємо її горизонтальний слід - точку 2;3) 1 ¿ 2 = h

0. Шукані твірні пройдуть через точки 3 і 4.

Точки А і В є точками входу і виходу при перетині прямої з поверхнею конуса.

Рис. 12.1 Рис. 12.2Варіант 2. Переведення прямої в особливе положення

87

При перерізі поверхні сфери площиною в перерізі утворюється коло, яке проектується на площину проекцій у загальному випадку у вигляді еліпсів або прямої та еліпса - якщо січна площина проектуюча (рис. 12.1).

В особливому випадку, коли січна площина паралельна площині проекцій, коло проектується на цю площину проекцій без спотворення. Тому, щоб спростити розв'язання задачі, показаної на рис. 12.1, слід довільно розміщену пряму перевести у положення, паралельне будь-якій площині проекцій. Тоді з'являється можливість провести через пряму допоміжну січну площину, паралельну площині проекцій.

Приклад 1. Визначити точки зустрічі прямої, заданої відрізком АВ з поверхнею сфери (рис. 12.3).

Переводимо пряму, довільно розміщену у просторі, в положення,

паралельне площині проекцій. Для цього переходимо від системи Х12

П2

П1 до

системи Х14

П4

П1 , в якій П4 // АВ. У цьому випадку горизонтально-проектуюча площина Σ АВ переріже поверхню сфери по колу радіуса R´, проекція якого на П1 збігається з А1В1, а на П4 є колом того ж самого радіуса R´. Точки М4 і N4 перетину цього кола з А4В4 - це проекції на П4 шуканих точок зустрічі прямої з поверхнею сфери, по яких за допомогою ліній зв’язку визначаємо спочатку М1 і N1, а потім М2 і N2.

Рис. 12.3 Рис. 12.4

88

Якщо пряма а (рис. 12.4), що перетинає поверхню обертання, проходить через вісь і цієї поверхні, то переведення прямої а в особливе положення доцільно здійснити шляхом обертання прямої навколо осі і.

Приклад 2. Визначити точки зустрічі прямої а з поверхнею обертання Δ (рис. 12.4).

Горизонтально-проектуюча площина , яку проводимо через пряму а, переріже поверхню обертання по меридіану g. Щоб не будувати спотворену фронтальну проекцію меридіонального перерізу, повертаємо площину і пряму а, яка в ній знаходиться, навколо осі і до положення, паралельного П2, тоді g1 збігається з g'1 - горизонтальною проекцією головного меридіана, а h0

з h0'. Після повороту, пряма а займе положення а'(а'1, а'2). За допомогою точок М'2 та N'2, в яких а'2 ∩ g'2, визначаємо положення М2 і N2 та М1 і N1.

12.2. Пряма та площина, дотичні до поверхні. Нормаль до поверхні

Дотична до поверхні являє собою граничне положення прямої, яка перетинає поверхню в двох точках, коли точки перетину збігаються.

Дотичною до поверхні називається пряма, дотична до будь-якої кривої, яка належить поверхні.

Площина, дотична до поверхні в заданій на поверхні точці, являє собою множину всіх прямих-дотичних, проведених до поверхні через задану точку.

Оскільки площина цілком визначається двома прямими, що перетинаються, то для побудови площини, дотичної до поверхні в заданій точці (рис. 12.5), досить провести через цю точку дві довільні лінії, які належать поверхні (бажано прості за формою), і до кожної з них побудувати дотичні в точці перетину цих ліній. Побудовані дотичні цілком визначають дотичну площину. На поверхні обертання довільними кривими будуть: паралель - коло по якому обертається точка; меридіан - крива (або пряма твірна) на якій знаходиться точка.

Нормаллю до поверхні в заданій точці називається пряма, перпендикулярна до дотичної площини і проведена в точці дотику.

Приклад 1. Через точку М поверхні сфери провести площину, дотичну до поверхні (рис. 12.6).

Через точку М, яка лежить на поверхні сфери проведемо паралель а(а1, а2) і дотичну до неї, пряму h(h1, h2).

Горизонтальна проекція дотичної 1 до меридіана d сфери, який проходить через точку М, збігається з горизонтальною проекцією меридіана. Щоб знайти фронтальну проекцію дотичної 2, меридіональну площину Φ (МΦ) обертаємо навколо осі сфери до положення, паралельного площині П2. Тоді точка М М. Проведемо в точці М дотичну до головного меридіана (). Ця дотична перетинає вісь обертання в точці 1(12,11). Якщо ми

89

тепер повернемо площину Φ у вихідне положення, то точка 1 залишиться на місці (як точка, що належить осі обертання), а М М і фронтальна проекція дотичної 2 пройде через точки 12 і М2.

Рис. 12.5 Рис. 12.6

Приклад 2. Через точку А поверхні конуса провести площину, дотичну до поверхні (рис. 12.7).

Площина, дотична до конічної поверхні, дотикається до неї по прямолінійній твірній. Для її побудови через задану точку А проводимо твірну . Визначаємо точку М перетину твірної з напрямною (колом основи конуса). Проводимо дотичну h(h1, h2) в точці М до кола основи. Твірна разом з прямою h утворює площину, дотичну до поверхні конуса в точці А.

90

Рис. 12.7 Рис. 12.8

Приклад 3. Через точку А простору провести площину, дотичну до поверхні конуса (рис. 12.8).

Через вершину конуса S і точку А проводимо пряму і будуємо її горизонтальний слід (точка 1). Через цю точку проводимо дотичні до основи конуса, які разом з прямою утворюють дві площини, які будуть дотичні до поверхні конуса і проходити через точку А.

Запитання для самоперевірки

1. У чому полягає загальний метод побудови точок перетину прямої лінії з кривою поверхнею?

2. Як провести допоміжну січну площину при перетині конуса прямою лінією, щоб отримати на поверхні конуса прямі лінії?

3. Що називається площиною, дотичною до кривої поверхні в даній точці цієї поверхні?

4. Як побудувати площину, дотичну до поверхні в заданій точці?5. Що називається нормаллю до поверхні?6. Як побудувати площину, дотичну до сфери в будь-якій точці на

сфері?ЛЕКЦІЯ 13

91

ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ

13.1. Побудова лінії перетину поверхонь (загальний випадок)

При утворенні складних форм машинобудівних деталей чи інженерних конструкцій виникає потреба в побудові ліній перетину простих форм, що утворюють ці складні форми. Лінія, спільна для двох поверхонь, які перетинаються, називається лінією перетину. Для визначення проекцій лінії перетину необхідно знайти проекції точок, спільних для поверхонь, що розглядаються.

Лінією перетину кривих поверхонь у загальному випадку є просторова замкнена крива лінія. Лінію перетину поверхонь, як і лінію перерізу поверхні площиною, будуємо за окремими точками.

В першу чергу визначаємо характерні (опорні) точки. Це точки злому, екстремальні точки (крайні права і ліва, найближчі і найвіддаленіші, найвищі і найнижчі), точки розташовані на осях симетрії та інші, а також точки переходу видимої частини лінії перетину в невидиму (точки дотику проекції лінії перетину до контуру поверхні).

Після цього визначаємо довільні точки лінії перетину. Кількість додаткових довільних точок і їх розташування визначається необхідною точністю побудови лінії перетину.

Загальний метод побудови точок, які належать лінії перетину поверхонь, полягає в застосуванні поверхонь-посередників:

дві задані поверхні і перетинаємо третьою, допоміжною поверхнею-посередником (рис.13.1);

визначаємо лінії, по яких ця допоміжна січна поверхня перетинає кожну із заданих поверхонь (а = , b = );

знаходимо точки, в яких перетинаються одержані лінії перетину (оскільки лінії а і b належать одній поверхні , то вони перетинаються між собою в одній або двох точках, які належать лінії перетину заданих поверхонь);

змінюючи положення поверхні-посередника , визначаємо достатню кількість точок шуканої лінії , які з'єднуємо плавною кривою.

За посередники слід вибирати поверхні, які перетинали б задані поверхні і по найбільш простих для побудови лініях - прямих або колах. Тому найчастіше як поверхні-посередники використовують проектуючі площини, площини рівня, а також сфери.

Примітка. Перш ніж вирішити питання, яку допоміжну січну поверхню-посередник вибрати для побудови лінії перетину поверхонь, слід з'ясувати, чи не займає одна з поверхонь, які перетинаються, проектуюче

92

положення, тому що в такому випадку розв'язання задачі значно спрощується, оскільки одна з проекцій лінії перетину буде збігатися зі слідом-проекцією проектуючої поверхні, яка входить в умову задачі. І тому розв'язання зводиться до визначення відсутньої проекції лінії, що належить поверхні, якщо відома одна її проекція і вказані проекції поверхні.

Рис. 13.1

13.2. Перетин многогранних поверхонь

Лінія перетину двох многогранних поверхонь в загальному випадку являє собою замкнену просторову ламану лінію, побудову якої можна здійснювати двома способами, вибираючи серед них той, який дає найбільш простіші побудови:

1). Визначають точки, в яких ребра першої з поверхонь перетинають грані другої і ребра другої перетинають грані першої (задача на перетин прямої лінії з площиною). Через знайдені точки у певній послідовності проводять ламану лінію, яка являє собою лінію перетину заданих поверхонь. При цьому можна з'єднувати прямими проекції лише тих точок, які знаходяться в одній і тій самій грані.

2). Визначають відрізки прямих, по яких грані однієї поверхні, перетинають грані другої (задача на перетин двох площин між собою). Ці відрізки є частинами ламаної лінії, яка є лінією перетину многогранних поверхонь між собою.

Якщо проекція ребра однієї з поверхонь не перетинає грані другої хоча б на одній з проекцій, то це ребро не перетинає цю грань. Водночас перетин проекцій ребра і грані ще не означає, що ці ребро і грань перетинаються у просторі.

93

Приклад. Побудувати лінію перетину поверхонь: призми і піраміди (рис. 13.2).

1. Проекції точок 1, 2, 3, 4 визначаємо з горизонтальної проекції (точки перетину ребер піраміди з гранями призми ).

2. Проекції точок перетину ребра 2 призми з гранями піраміди визначаємо за допомогою допоміжної горизонтально проектуючої площини (точки 5 і 6 ).

3. З’єднуємо точки між собою в такій послідовності: 1-3-5-4-2-6-1.Теоретичною основою цього питання є визначення точки перетину

прямої з площиною.

Рис. 13.2

13.3. Перетин кривої поверхні з поверхнею многогранника

Лінія перетину кривої поверхні з поверхнею многогранника складається з кількох частин, кожною з яких є плоска крива - лінія перетину кривої поверхні з гранню многогранника. Точки переходу однієї плоскої кривої в іншу (точки злому) є точками перетину ребер многогранника з кривою поверхнею. Таким чином, побудова лінії перетину кривої поверхні з поверхнею многогранника складається із задач: перетин прямої з поверхнею; побудова плоских перерізів.

94

Приклад: Побудувати дві проекції лінії перетину прямого кругового конуса з наскрізним призматичним отвором (рис. 13.3).

Оскільки призма займає фронтально проектуюче положення, фронтальна проекція лінії перетину конуса і призми відома - вона збігається з фронтальною проекцією призми. Тому розв'язання задачі зводиться до визначення відсутньої горизонтальної проекції лінії перетину з тієї умови, що її точки належать поверхні конуса. Для цього на фронтальній проекції конуса (через відомі фронтальні проекції точок лінії перерізу) проводимо фронтальні проекції паралелей; знаходимо горизонтальні проекції цих паралелей; позначаємо точки (12≡1′2, 22≡2′2, 32≡3′2, 42≡4′2, 52≡5′2, 62≡6′2), в яких фронтальна проекція лінії перетину перетинає фронтальні проекції паралелей; знаходимо горизонтальні проекції точок 11, 1′1, 21, 2′1, 31, 3′1, 41, 4′1, 51, 5′1, 61, 6′1 на відповідних горизонтальних проекціях паралелей. З'єднавши їх плавними кривими, характер яких очевидний з умови задачі, отримаємо шукану горизонтальну проекцію лінії перерізу.

Рис. 13.3 Рис. 13.4

13.4. Взаємний перетин кривих поверхонь. Посередник площина рівня

95

(загальний випадок)

Приклад. Побудувати дві проекції лінії перетину напівсфери і прямого кругового конуса (рис. 13.4).

Для розв'язання задачі в ролі посередника використовуємо горизонтальні площини рівня: вони перерізають обидві поверхні по колах, на перетині яких і будуть знаходитись точки, які належать лінії перетину поверхонь. В ролі опорних точок виступають тільки екстремальні точки по висоті. Оскільки обидві поверхні мають спільну площину симетрії, яка паралельна фронтальній площині проекцій П2, то їх головні меридіани перетинаються в точці 1, яка є найвищою точкою лінії перетину. І оскільки основи заданих поверхонь знаходяться в одній площині (П1), то вони перетинаються між собою в точках 2 і 3.

Для визначення положення точок 4, 4′, 5, 5′ використовуємо горизонтальні площини рівня. Наприклад, площина 1 перерізає поверхню напівсфери по колу радіуса R (проекції а1,а2), а поверхню конуса по колу радіуса r (проекції b2,b1), ці два кола перетинаються між собою в точках 4 і 4′.

Спочатку визначаємо горизонтальні проекції цих точок - 4′1 і 41 , а потім по

лініях зв’язку визначаємо положення фронтальних проекцій цих точок - 42 і 4′2, знаючи, що вони лежать на фронтальних проекціях ліній а2 і b2.

З’єднавши отримані точки 2-5-4-1-4′-5′-3′ плавною кривою, одержуємо лінію перетину двох поверхонь і .

Примітка. Якби спільна площина симетрії не була паралельна П2, то необхідно було б виконати перетворення комплексного креслення так, щоб ця площина стала площиною рівня.

Запитання для самоперевірки

1. У чому полягає загальний метод побудови лінії перетину однієї поверхні іншою?

2. Які точки лінії перетину поверхонь називаються "характерними?"3. Як будується лінія перетину однієї многогранної поверхні іншою?4. У яких випадках для побудови лінії перетину однієї поверхні

іншою рекомендується використовувати допоміжні січні площини, паралельні площинам проекцій?

5. По яких лініях перетинаються між собою: а) циліндричні поверхні, твірні яких паралельні між собою, б) конічні поверхні зі спільною вершиною?

6. Як можна використати випадок, коли одна з поверхонь, які перетинаються, займає проектуюче положення?

96

ЛЕКЦІЯ 14

ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ

14.1. Взаємний перетин поверхонь. Посередник - площина загального положення

В ряді випадків виявляється неможливим підібрати проектуючі площини-посередники, кожна з яких перетинала б одночасно обидві задані поверхні по простих лініях (прямі, кола), але можна підібрати площини - посередники загального положення, які задовольняють даній умові. Особливо ефективним цей підхід виявляється при побудові лінії перетину похилих конічних і циліндричних поверхонь.

Приклад 1. Побудувати лінію перетину двох похилих конусів (рис. 14.1).

(mn)- площина загального положення.

97

Рис. 14.1

Відомо, що найбільш простим перерізом конуса є трикутник. Цей переріз можна отримати за допомогою площини, що проходить через його вершину. У зв’язку з цим через вершини конусів проводять площину, яка переріже обидва конуси по трикутниках.

Площину задаємо двома прямими - n, яка проходить через вершини конусів, та m, яка лежить у площині основ конусів.

Побудови виконуємо у такій послідовності:

1). Проводимо проекції прямої n - n1 і n2. Будуємо горизонтальний слід прямої n - точку 1.

2). Через точку 1 у П1 проводимо пряму m (m1 ) так, щоб вона була дотичною до основи першого конуса і перетинала основу другого конуса.

3). Площина (nm) перерізає другий конус по трикутнику і дотикається до першого конуса по твірній. Визначимо дві точки де твірна першого конуса перетне трикутник перерізу другого конуса (2 і 3).

4). Наступне положення прямої m буде таким, щоб горизонтальна проекція її перетинала основи обох конусів. Визначимо положення чотирьох точок.

5). Кінцеве положення площини буде таким, щоб вона дотикалася до поверхні другого конуса і перетинала поверхню першого конуса. При цьому горизонтальна проекція прямої m - займе положення mn

1.

Приклад 2. Побудувати лінію перетину поверхонь похилого конуса і похилого циліндра (рис. 14.2).

(nm)- загального положення.

98

Рис. 14.2

1. n - пряма загального положення, проходить через вершину

конуса і паралельно твірній циліндра: n1S1 , n1 //O1O1; n2S2, n2//O2O2.Точка 1 - горизонтальний слід прямої n.

2. Пряма m (m1 , m2 ) - горизонтальний слід площини - на П1 може

змінювати положення від m1 до m1n .

3. Площина перерізає задані поверхні по твірних. Точки перетину цих ліній між собою визначать шукану лінію перетину двох поверхонь.

Приклад 3. Побудувати лінію перетину двох похилих циліндрів (рис. 14.3).

1. Через довільну точку М(М1,М2) проводимо площину (nm). Пряма n паралельна твірним першого циліндра; пряма m - твірним другого. - площина загального положення. Будуємо горизонтальний слід цієї площини.

2. Паралельно до горизонтального сліду площини проводимо сліди січних площин у межах від h1 до hn. Ці площини перерізають циліндричні поверхні по твірних. Точки перетину твірних, які належать одній допоміжній січній площині, визначать точки лінії перетину заданих поверхонь.

Рис. 14.3

Запитання для самоперевірки

1. У яких випадках для визначення лінії перетину двох поверхонь можна використати площини загального положення як посередники?

99

2. Які рекомендації щодо вибору допоміжних січних площин можна дати для випадків перетину циліндрів, конусів, призм, пірамід?

ЛЕКЦІЯ 15

ВЗАЄМНИЙ ПЕРЕТИН ПОВЕРХОНЬ

15.1. Побудова лінії перетину поверхонь за допомогою січних сфер

Для визначення лінії перетину двох довільних поверхонь обертання доцільно скористатися однією властивістю поверхонь обертання, яка полягає у тому, що дві будь-які співвісні поверхні обертання перетинаються по колах, які проходять через точки перетину меридіанів поверхонь.

У частковому випадку, коли одна з поверхонь обертання - сфера, ця властивість може бути сформульована так: сфера з центром на осі поверхні обертання перетинає цю поверхню по колах, кількість яких дорівнює кількості точок перетину головних меридіанів поверхонь (рис. 15.1).

Якщо вісь поверхні обертання перпендикулярна площині проекцій П1

(або П2), то кола проектуються на площину П1 (або П2) без спотворення, а на площину П2 (або П1) у відрізки прямих, перпендикулярних фронтальній (горизонтальній) проекції осі обертання (рис. 15.1).

100

Рис. 15.1

Поверхня сфери може перетинатися по колу не тільки з співвісною поверхнею обертання, але і з будь-якою іншою поверхнею, яка має кругові перерізи, наприклад, з конічною або циліндричною поверхнями другого порядку, що мають в основі коло, та ін.

Побудувати лінії перетину поверхонь за допомогою допоміжних січних сфер можна двома способами:

1) способом концентричних сфер;2) способом ексценричних сфер.Особливості кожного з цих способів і умови їх застосування

прослідкуємо на конкретних прикладах.

15.2. Спосіб концентричних сфер

Для двох поверхонь обертання, осі яких перетинаються, точка перетину осей може бути взята за центр концентричних сфер:

спосіб концентричних сфер застосовується при побудові лінії перетину поверхонь, осі яких паралельні до однієї з площин проекцій і перетинаються.

Приклад. Побудувати лінію перетину циліндра обертання з фронтальною віссю і конуса обертання з фронтальною віссю. Осі поверхонь перетинаються в точці О (рис. 15.2).

Спільна площина симетрії, яка проходить через осі поверхонь і паралельна до фронтальної площини проекцій, дає можливість визначити опорні (крайні) точки А і В, які знаходяться безпосередньо на перетині обрисних твірних конуса і циліндра на П2.

101

Рис. 15.2

Для визначення точок С2, С2, D2, D2 з центру О2 проведемо дві довільні сферичні поверхні. Сфери перетинаються з поверхнями по колах. Точки перетину двох кіл, що належать одній сфері, дають дві шукані точки С2 і С2, які на фронтальній проекції збігаються в одну.

Радіуси січних сфер вибирають довільно в межах від Rmin до Rmax.

Rmax дорівнює відстані від фронтальної проекції точки О до найвіддаленішої проекції крайньої точки.

Для визначення Rmin необхідно виявити, яка сфера найменшого радіусу перетинає одну з поверхонь і дотикається до іншої - як правило, це сфера, вписана в одну з поверхонь, які перетинаються.

У даному прикладі мінімальний радіус сфери дорівнює радіусу сфери вписаної в конус, а максимальний - сфера, що проходить через крайню точку А.

15.3. Спосіб ексцентричних сфер

Спосіб ексцентричних сфер може бути використаний для побудови лінії перетину двох поверхонь, які мають спільну площину симетрії. При цьому кожна поверхня повинна мати кругові перерізи. Як і у способі концентричних сфер, площина симетрії повинна бути паралельною одній із площин проекцій, але центри січних сфер не збігаються в одній точці, а знаходяться на спільній прямій - осі однієї з поверхонь, що перетинаються.

Приклад. Побудувати фронтальну проекцію лінії перетину конуса з частиною тора (рис. 15.3).

Дві точки - найвища та найнижча - визначаються безпосередньо на перетині контурної твірної тора з контурними твірними конуса. Це точки А і В.

Переріжемо поверхню кільця фронтально-проектуючою площиною Δ, що проходить через вісь тора. Ця площина переріже поверхню тора по колу, фронтальна проекція якого - відрізок 1222. Це ж саме коло може бути отримане, якщо поверхню кільця перерізати ексцентричними сферами, центри яких розміщені на перпендикулярі, проведеному через центр кола 1-2 до площини Δ.

Для того, щоб допоміжна сфера перерізала по колу і поверхню конуса обертання, необхідно щоб її центр належав осі конуса. Тому за центр допоміжної сфери слід взяти точку перетину перпендикуляра з віссю конуса. У цьому випадку сфера, радіус якої дорівнює відстані від її центра до точки 1 (або 2) переріже обидві поверхні по колах. Коло 3-4, по якому ця сфера перетинає конус, є паралеллю конуса.

102

Кола 1-2 і 3-4 перетинаються в точках D, D (D2, D2), які є спільними для двох заданих поверхонь.

Аналогічно, за допомогою серії фронтально-проектуючих площин ( і т.п.), що перетинають поверхню тора по колах і проводяться між крайніми точками А і В, будуємо достатню кількість довільних точок шуканої лінії перетину: С, С (С2, С2) і т.п

Рис. 15.3

15.4. Перетин кривих поверхонь другого порядку по плоских кривих

При взаємному перетині двох кривих поверхонь другого порядку можливі випадки, коли просторова крива четвертого порядку взаємного перетину двох поверхонь розпадається на дві плоскі криві другого.

Теорема Монжа. Якщо дві поверхні другого порядку описані навколо третьої поверхні другого порядку або вписані в неї, то лінія їх перетину розпадається на дві криві другого порядку, площини яких проходять через пряму, яка з'єднує точки перетину ліній дотику.

Практичне використання теореми можливе у тому випадку, коли дві поверхні обертання другого порядку можуть бути описані навколо сфери або вписані в неї (рис. 15.4).

103

Рис. 15.4

Рис. 15.5 дає уяву про те, як можна визначити лінії перетину двох конічних поверхонь і , описаних навколо сфери . Поверхня дотикається до сфери по колу, фронтальна проекція якого 1222, а поверхня - по колу, яке проектується в 3242. Точки перетину цих кіл А і В є точками дотику поверхонь і .

Відповідно теоремі Монжа площини кривих 1 і 2 повинні проходити через пряму АВ. Оскільки АВ¿П2, то площини 1 і 2 - фронтально-проектуючі, а криві 1 і 2 проектуються у відрізки С2D2 і E2F2.

Наведені на рис. 15.5 конічні поверхні і перетинаються по двох кривих, одна з яких 1 - еліпс, а друга 2 - парабола (див. рис. 11.3).

104

Рис. 15.5

Запитання для самоперевірки

1. У яких випадках для визначення лінії перетину двох поверхонь можна використати спосіб концентричних сфер? ексцентричних сфер?

2. Які лінії одержують при взаємному перетині двох поверхонь обертання, описаних навколо спільної для них сфери або вписаних у сферу?

3. По яких лініях перетинаються між собою дві співвісні поверхні обертання?

4. Вкажіть способи, які використовуються для побудови проекцій лінії перетину поверхонь?

105

ЛЕКЦІЯ 16

РОЗГОРТКА ПОВЕРХОНЬ

16.1. Розгортка поверхонь. Основні властивості розгортки.Види розгорток

Розгорткою поверхні називається плоска фігура, що утворюється при суміщенні поверхні з площиною. Поверхні, які не можуть бути суміщені з площиною, відносяться до нерозгортних поверхонь.

До групи розгортних поверхонь відносяться тільки лінійчаті поверхні і, зокрема ті з них, які мають пересічні суміжні твірні. Точка перетину може бути як власною (поверхні з ребром звороту і конічні), так і невласною (циліндричні поверхні).

Деякі геометричні властивості елементів поверхонь не змінюються при розгортці. Оскільки розгортка поверхні являє собою плоску фігуру, утворену з поверхні без розривів і склеювання, то кожній точці (фігурі) на поверхні відповідає точка (фігура) на розгортці і навпаки. Звідси випливають основні властивості розгортки поверхонь:

1. Довжини двох відповідних ліній поверхні та її розгортки рівні між собою, наслідком чого є те, що замкнена лінія на поверхні і відповідна їй лінія на розгортці обмежують однакову площу.

2. Кут між лініями на поверхні дорівнює куту між відповідними їм лініями на розгортці.

3. Прямій на поверхні відповідає також пряма на розгортці (зворотне твердження не має змісту).

4. Паралельним прямим на поверхні відповідають також паралельні прямі на розгортці.

В залежності від виду поверхонь їхні розгортки можуть бути: точними, наближеними і умовними.

Точна розгортка може бути побудована лише для многогранників та відсіків розгортних поверхонь (циліндра, конуса, торса) - поверхню многогранника завжди можна сумістити з площиною, тому що вона складається з плоских відсіків.

Побудова точної розгортки похилого конуса або циліндра пов’язана з обчисленням довжини кривої лінії, що само по собі ставить не просту задачу. Тому розгортку будують наближено, замінюючи поверхню конуса многогранною пірамідою, а поверхню циліндра поверхнею многогранної призми.

При побудові розгортки нерозгортних поверхонь (сфера, тор) їх апроксимують відсіками розгортних поверхонь і будують розгортки цих відсіків. Сукупність розгорток відсіків розгортних поверхонь, якими замінюється нерозгортна поверхня, називається умовною наближеною розгорткою нерозгортної поверхні.

106

Побудова розгорток має велике практичне значення, тому що дозволяє виготовляти різноманітні вироби з плоского (листового) матеріалу шляхом його згинання.

16.2. Розгортка многогранних поверхонь

Розгорткою многогранної поверхні є плоска фігура, яка складається з граней цієї поверхні, суміщених з одною площиною.

Для того, щоб при побудові розгортки многогранника його грані зобразились неспотворено, вони суміщаються з площиною, паралельною площині проекцій.

Існує три способи побудови розгортки многогранних поверхонь:1) спосіб трикутників (триангуляції);2) спосіб нормального перерізу;3) спосіб розкочування.

Спосіб трикутників (триангуляції).

Приклад. Побудувати розгортку бічної поверхні піраміди SАВС (рис. 16.1).

Рис. 16.1

107

Розгортка бічної поверхні піраміди являє собою плоску фігуру, яка складається з трикутників - граней піраміди, і проводиться за наступною схемою:

1) визначається натуральна величина ребер і сторін основи піраміди;2) в площині креслення послідовно способом засічок будуються

натуральні величини трикутників (граней).На рис. 16.1 довжина ребра піраміди SА визначена способом

прямокутного трикутника, ребра SВ - обертанням навколо проектуючої прямої ί S, ребро SС паралельне фронтальній площині проекцій, а тому проектується на П2 в натуральну величину. Після того, як визначені довжини ребер S2А2,S2В2,S2С2 переходимо до побудови розгортки. Для цього на вільному полі креслення будуємо трикутник основи А0В0С0, яка на П1

спроектувалася в натуральну величину. З точки А0 проводимо дуги радіусом АS , з точки В0 - дуги радіусом ВS, з точки С0 - дуги радіусом СS. Точки перетину дуг визначать положення точок S0 і, відповідно, ребер А0S0, В0S0, С0S0 на розгортці.

Спосіб нормального перерізу.

Приклад. Побудувати розгортку похилої тригранної призми АВСDEF (рис. 16.2).

1). Перерізаємо призму площиною , яка перпендикулярна до бічних ребер. Будуємо переріз заданої призми цією площиною ( 123).

2). Визначаємо довжини сторін 123 (відрізків ламаної лінії, яка отримана при перерізі поверхні призми цією площиною) обертанням навколо фронтально-проектуючої прямої ί 3.

3). Ламану розгортаємо в пряму. Для цього на вільному полі креслення проведемо довільну горизонтальну пряму а. Від довільної точки 10, взятої на цій прямій, відкладаємо відрізки 1020,2030,3010, довжини яких дорівнюють довжинам сторін трикутника 123. Через точки 10, 20, 30, 10

проведемо прямі, перпендикулярні до прямої а, і відкладемо на них від точок 10, 20, 30, 10 відрізки, довжини яких дорівнюють відповідним довжинам бічних ребер (1A,1D,2B,2E, …….). Отримані точки А0 В0 С0 та D0 E0 F0

з'єднуємо прямими. Плоска фігура А0В0С0А0D0E0F0D0 являє собою розгортку бічної поверхні призми.

Примітка. На рис.16.2 ребра АD, ВE і СF паралельні площині П2, тому вони проектуються на цю площину без спотворення. Якщо ребра призми займають довільне положення, то перш ніж перейти до побудови розгортки, слід за допомогою способів перетворення комплексного креслення перевести їх у положення, паралельне до якоїсь площини проекцій.

Щоб отримати повну розгортку призми, необхідно до розгортки бічної поверхні добудувати основи призми - А0В0С0 та D0E0F0, побудова яких очевидна з рис. 16.2.

108

Примітка. Якщо основи призми займають загальне положення, слід попередньо визначити їх неспотворені розміри.

Рис. 16.2

Спосіб розкочування.

Цей спосіб доцільно використовувати для побудови розгортки поверхні призми у тому випадку, коли основа призми паралельна до якоїсь одної площини проекцій, а її ребра паралельні іншій площині проекцій.

Приклад. Побудувати розгортку похилої тригранної призми АВСDEF (рис. 16.3).

Приймемо за площину розгортки площину , яка проходить через ребро АD і паралельна до фронтальної площини проекцій. Сумістимо грань ADEB з площиною . Для цього уявно розріжемо бічну поверхню призми по ребру АD, а потім повернемо грань ADEB навколо ребра АD (А2D2).

Для визначення суміщеного з площиною положення ребра В0Е0 з точки В2 проводимо промінь, перпендикулярний до А2D2, і засікаємо на ньому дугою радіуса А1В1, проведеною з центру А2, точку В0. Через В0

проводимо пряму В0Е0, паралельну А2D2.

109

Приймаємо суміщене положення ребра В0Е0 за нову вісь обертання і повертаємо навколо неї грань ВЕFС до суміщення з площиною . Для цього з точки С2 проводимо промінь, перпендикулярний до суміщеного ребра В0Е0, а за точки В0 - дугу кола радіусом, рівним В1С1; перетин дуги з променем визначить положення точки С0. Через С0 проводимо С0F0 паралельно В0Е0. Аналогічно знаходимо положення ребра А0D0. З'єднавши точки А2В0С0А0 і D2E0F0D0 прямими, отримаємо фігуру А2В0С0А0D0F0E0D2 - розгортку бічної поверхні призми. Для отримання повної розгортки призми досить до якої-небудь з частин ламаної лінії А2В0С0А0 і D2E0F0D0 добудувати трикутники основи A0B0C0 та D0E0F0.

Рис. 16.3

16.3. Розгортка лінійчатих поверхонь

Вище ми визначали, що до розгортних поверхонь видносяться тільки поверхні з ребром звироту, конічна та циліндрична.

Розгортка будь-якої розгортної поверхні (окрім гранних) є наближеною. Це пояснюється тим, що при розгортці поверхні її апроксимують поверхнями вписаних або описаних многогранників, які мають грані у вигляді прямокутників або трикутників. Тому при графічному

110

виконанні розгортки поверхні завжди доводиться здійснювати розгинання чи спрямлення кривих ліній поверхні, що неминуче призводить до втрати точності.

Розглянемо способи побудови розгорток двох поверхонь, що широко використовуються в практиці: конічної і циліндричної.

Розгортка конічної поверхні.

Розгортка бічної поверхні прямого кругового конуса являє собою круговий сектор, радіус якого дорівнює довжині твірної конічної поверхні L

= SA, а центральний кут =

RL 3600 , де R - радіус кола основи конуса. (рис.

16.4).

Рис. 16.4

Задача на побудову розгортки бічної поверхні похилого конуса розв'язується так само, як і у випадку побудови розгортки бічної поверхні піраміди - способом трикутників:

1). Коло основи замінюється многокутником (на рис.16.5 - восьмикутник), а конічна поверхня замінюється поверхнею піраміди з трикутними гранями.

111

2). Визначається натуральна величина ребер піраміди (на рис. 16.5 це зроблено способом обертання навколо проектуючої прямої);

2). Будується розгортка бічної поверхні піраміди (рис. 16.6).Фігуру S010203040……10 приймаємо за наближену розгортку конічної

поверхні. Чим більша кількість граней у вписаної піраміди, тим меншою буде різниця між дійсною і наближеною розгортками конічної поверхні.

Рис. 16.5

Рис. 16.6Розгортка циліндричної поверхні.

Розгорткою бічної поверхні прямого циліндра є прямокутник, довжина якого дорівнює довжині кола основи циліндра, тобто L = 2R, а висота - дорівнює висоті циліндра h (рис. 16.7).

112

Рис. 16.7

Для побудови розгортки бічної поверхні похилого циліндра використовуються ті ж самі способи нормального перерізу і розкочування, якими користувалися при розгортці бічної поверхні призми. В обох випадках циліндричну поверхню замінюють призматичною поверхнею, вписаною (або описаною) в задану циліндричну. Потім задачу розв’язують так, як це було показано у прикладах на рис. 16.2 і 16.3.

На рис. 16.8 показано побудову розгортки бічної поверхні еліптичного циліндра способом розкочування. Необхідні геометричні побудови виконуємо у наступній послідовності:

1. Ділимо коло основи циліндра на n рівних частин (на рис. 16.8 n = 6, точність побудов зростає зі збільшенням n ).

2. Через точки поділу проводимо прямолінійні твірні циліндричної поверхні - ребра призми, якою ми замінюємо циліндричну поверхню .

3. Приймаємо за площину розгортки фронтальну площину , яка проходить через ребро 1 призми, тотожне 1-й твірній циліндричної поверхні.

Подальші побудови аналогічні виконаним на рис.16.3 при побудові

розгортки бічної поверхні призми ABCDEF.

Таким чином, розгорткою бічної поверхні похилого циліндра є плоска фігура, обмежена з двох боків прямими твірними, а з двох інших боків кривими - розгортками кривих основ циліндра (рис. 16.8).

113

Примітка. Якщо твірні циліндра є прямими загального положення, то необхідно перетворенням комплексного креслення зробити так, щоб твірні циліндра зобразились в натуральну величину.

Рис. 16.8

16.4. Умовна розгортка поверхонь

Теоретично нерозгортна поверхня не має своєї розгортки. Але на практиці для отримання необхідної нерозгортрої поверхні з листового матеріалу будують так звані умовні (наближені) розгортки нерозгортних

114

поверхонь. При цьому доводиться окрім згинання здійснювати також стискування і розтягування певних ділянок листа.

Загальний метод розв’язання задачі на побудову умовної розгортки нерозгортної поверхні полягає у тому, що відсіки заданої поверхні замінюються відсіками розгортної поверхні з наступною побудовою розгортки цієї поверхні.

Розгортка поверхні сфери.

Переріжемо поверхню сфери горизонтально-проектуючими площинами 1, 2, 3, …, які проходять через центр сфери, на кілька рівних ділянок (скибок). Після цього одна з ділянок горизонтальними площинами рівня 1, 2, 3, … розрізається на плоскі многокутники (трикутник і трапеції) (рис. 16.9).

Елементи многокутників будуть проектуватися в натуральну величину на П1 або П2. По цих елементах будуємо дійсну величину однієї ділянки (рис. 16.10).

Повна розгортка поверхні сфери буде складатися з розгорток усіх

ділянок (скибок).

Рис. 16.9 Рис. 16.10Запитання для самоперевірки

115

1. Що називається розгорткою поверхні?2. Які поверхні відносяться до розгортних?3. Назвіть властивості поверхні, які зберігаються на її розгортці?4. Назвіть способи побудови розгорток і сформулюйте зміст кожного

з них.5. В яких випадках для побудови розгортки використовуються

способи: нормального перерізу, розкочування, трикутників?6. У чому полягає загальний прийом розв’язання задачі на побудову

умовної розгортки нерозгортних поверхонь?7. Як можна побудувати розгортку зрізаної конічної поверхні з

недосяжною вершиною?8. Який спосіб доцільно використати для побудови умовної розгортки

поверхні сфери?

ЛЕКЦІЯ 17

116

АКСОНОМЕТРИЧНІ ПРОЕКЦІЇ

17.1. Загальні визначення і види аксонометричних проекцій

Дуже часто в практиці проектування поряд з зображенням предметів в системі ортогональних проекцій виникає необхідність наочних зображень. Для побудови таких зображень використовують проекції, які називаються аксонометричними. Слово “аксонометрія” означає “вимірювання по осях”.

Суть аксонометричного проектування полягає в тому, що предмет відносять до системи координатних осей і проектують його разом з цими осями на вибрану площину П (рис. 17.1). Проектування при цьому є паралельним.

Рис. 17.1

Відрізки ОХ, ОY, OZ - називаються осями координат у просторі, а відрізки OX, OZ, OY- аксонометричними осями. Площина П, на якій будують аксонометричну проекцію, називається аксонометричною площиною. Точка О - початок аксонометричних осей. S – напрям аксонометричного проектування. А - аксонометрична проекція точки А.

Аксонометрична проекція А точки А не визначає положення цієї точки в просторі, тому що А зображає не тільки точку А, а і будь-яку іншу точку, що лежить на проектуючому промені АА. Якщо задати аксонометричну проекцію А точки А і одну з її вторинних проекцій, наприклад А1 (аксонометричну проекцію будь-якої ортогональної проекції точки називають вторинною проекцією точки), то ці дві проекції повністю визначають положення точки А в просторі.

Якщо на осях координат від точки О відкласти відрізки однакової довжини - , яка приймається за одиницю виміру і виконати аксонометричну проекцію, то відрізки на аксонометричних осях х, y, z є

117

аксонометричними проекціями відрізка , який відкладено на осях координат.

Положення точки А в просторі може бути також визначене, якщо відомі її аксонометричні координати. Перехід від аксонометричних координат до декартових, і навпаки, виконується згідно з відношеннями: х

= k; y = m; z = n.Відношення х, y, z називаються коефіцієнтами

спотворення по аксонометричних осях. Коефіцієнти спотворення показують, як змінюються координати точки при проектуванні на аксонометричну площину.

Ці відношення є мірою спотворення всіх відрізків, які паралельні відповідним осям OX, OY, OZ.

В залежності від показників спотворення виділяють такі види

аксонометричних проекцій:

- ізометрію - всі коефіцієнти спотворення рівні між собою - k = m = n;

- диметрію - два рівних коефіцієнта спотворення і третій, що не дорівнює їм - k m n, k m n, k n m;

- триметрію - всі три показники спотворення не дорівнюють один одному - k m n.

При побудові аксонометричних проекцій проектуючі промені S можуть бути перпендикулярні або не перпендикулярні до аксонометричної площини.

У першому випадку ці проекції називаються прямокутними аксонометричними проекціями, а у другому - косокутними.

17.2. Теорема Польке

Зобразимо на площині П чотирикутник АВСD з діагоналями АС та ВD, що перетинаються. Проведемо з кожної вершини чотирикутника паралельні прямі, що перетинають площину П і візьмемо на

цих прямих довільні точки А0 ,В0 ,С0 ,D0 , які не лежать в одній площині (рис. 17.2).

Чотирикутник АСВD можна розглядати, як паралельну проекцію

тетраедра А0 В0 С0 D0 . Серед безлічі тетраедрів, прoекції яких відповідають чотирикутнику АВСD, є і такий, у якого три ребра АВ, АС і АD взаємно перпендикулярні і дорівнюють одне одному. Ці три ребра можуть бути прийняті за напрям осей декартової системи координат, на яких відкладені натуральні одиниці виміру. Тоді відрізки АВ, АС і АD можуть бути прийняті за аксонометричні осі координат, на яких відкладені аксонометричні масштаби.

118

Рис. 17.2

Теорема Польке: Будь-який чотирикутник зі своїми діагоналями може бути отриманий, як паралельна проекція деякої масштабної трикутної піраміди.

Теорема Польке-Шварца: Будь-який плоский чотирикутник зі своїми діагоналями може бути отриманий, як паралельна проекція деякої трикутної піраміди, яка подібна будь якій даній трикутній піраміді.

Наслідок з цих теорем: Три будь-яких відрізка довільної довжини, які виходять з одної точки на площині, можуть бути розглянуті як паралельна проекція трьох рівних відрізків, які відкладені на взаємно перпендикулярних осях проекцій у просторі.

17.3. Трикутник слідів і його властивості

Якщо взяти аксонометричну площину П так, щоб вона перетинала всі три координатні осі в точках X,Y,Z і способом прямокутного проектування спроектувати точку О на П (рис.17.3), то відрізок ОО буде перпендикулярним до П. Позначимо OXO ; OYO ; OZO . Відрізки ОX, OY, OZ є катетами прямокутних трикутників.Відрізки O X, OY,OZ є гіпотенузами прямокутних трикутників.

З цих прямокутних трикутників можна записати:ОХ ОХ = cos, ОY ОY = cos , OZ OZ = cos .

Або cos = k, cos = m, cos = n.Теорема. Сума квадратів показників спотворення в прямокутній

аксонометрії дорівнює 2. k2 + m2 + n2 = 2

В аналітичній геометрії при розгляданні куба, доводиться рівняння:cos2 +cos2 +cos2 = 1.

Але cos = sin, cos = sin, cos = sin.sin2+sin2+sin2 = 1,

119

1 cos2 1 cos2 1 cos2 = 1,cos2 cos2 cos2 = 2,або k2 +m2 +n2 = 2

Рис. 17.3

Площина аксонометричних проекцій П, перетинаючи площини координат, утворює трикутник XYZ, який називається трикутником слідів.

Властивості трикутника слідів.

1. Трикутник слідів завжди гострокутний.2. В прямокутних аксонометричних проекціях аксонометричні осі є

висотами трикутника слідів.3. Три відрізка на площині, які виходять з однієї точки тільки в тому

випадку є аксонометричними осями, якщо вони утворюють між собою тупі кути.

17.4. Прямокутні аксонометричні проекції

Прямокутна ізометрична проекція.

Якщо розмістити осі координат OX OY OZ під однаковими кутами до площини П, то cos = cos = cos і, відповідно, k = m = n, утвориться прямокутна ізометрія.

На основі вище розглянутої теореми 3k2 = 2,

звідки k = m = n = √2/3 = 0,82.Щоб побудувати предмет в ізометрії, треба всі його лінійні розміри,

паралельні координатним осям, помножити на коефіцієнт спотворення 0,82. Таке зображення називається точним.

На практиці побудову ізометрії спрощують: відкладають по осях ОX, ОY, ОZ і паралельно їм натуральні розміри предмета, тобто коефіцієнт спотворення k = 0,82 замінюють на приведений коефіцієнт

120

спотворення k = 1. Утворюється збільшене зображення без порушення пропорційності його елементів. Це збільшення становить 1 0,82 1,22 рази.

Осі в прямокутній ізометрії розміщуються під кутами 120 (при цьому вісь OZ - вертикально) (рис. 17.4).

Рис. 17.4 Рис. 17.5

Прямокутна диметрична проекція.

Якщо двом осям (найчастіше OX і OZ) задати рівний нахил до площини П, а третю вісь нахилити так, щоб показник спотворення по ній був удвічі меншим, ніж по двох інших осях k = n, m = 0,5k, утвориться прямокутна диметрія.

Згідно формули k2 + m2 + n2 = 2 маємо k = n = 0,94; m = 0,47.

За стандартом використовують так звану збільшену диметрію з коефіцієнтами k = n = 1 і m = 0,5. Величина збільшення при цьому становить 1,06.

Осі в прямокутній диметрії розміщуються так: вісь OZ - вертикально, а осі: OX і OY - під кутами 70 10 і 4125, відповідно, до горизонтального напрямку (рис. 17.5).

17.5. Коло в прямокутній аксонометричній проекції

Кола, які лежать у площинах, паралельних площинам OXZ, OYZ, OXY на аксонометричну площину проекцій проектуються у вигляді еліпсів.

В прямокутній аксонометрії велика вісь еліпса завжди перпендикулярна до тієї аксонометричної осі, якої немає в площині заданого кола, а мала вісь збігається з цією віссю або паралельна їй.

а) прямокутна ізометрична проекція.

Ізометричними проекціями кіл, які знаходяться у площинах проекцій, є еліпси з однаковим співвідношенням осей (рис. 17.6).

121

Великі осі еліпсів дорівнюють 1,22d, а малі 0,71d, де d діаметр зображеного кола.

Рис. 17.6 Рис. 17.7

б) прямокутна диметрична проекція.

Довжина великої осі для всіх еліпсів однакова і дорівнює 1,06d. Довжина малої осі для всіх еліпсів різна (рис. 17.7).

17.6. Косокутні аксонометричні проекції

а) фронтальна ізометрична проекція (рис. 17.8).

k=m=n=1

Рис. 17.8

122

б) горизонтальна ізометрична проекція (рис. 17.9).

k=m=n=1

Рис.17.9

в) фронтальна диметрична проекція (рис. 17.10).

k=n=1 ; m=0.5

Рис. 17.10

Запитання для самоперевірки

1. У чому перевага аксонометричних проекцій порівняно з комплексними?

2. У чому суть аксонометричного проектування?3. Що називається коефіцієнтом спотворення?4. Як класифікують аксонометричні проекції?5. Як будувати осі в прямокутній ізометрії і чому дорівнюють

показники спотворення по аксонометричних осях? в прямокутній диметрії?

6. Як побудувати коло в прямокутній ізометрії, якщо площина кола паралельна площині проекцій П2? площині П1? площині П3?

7. Як побудувати коло в прямокутній диметрії, якщо площина кола паралельна площині П3? площині П1? площині П2?

123

8. Як будувати проекції кола у косокутних аксонометричних проекціях?

Список рекомендованої літератури

1. Арустамов Х.А. Сборник задач по начертательной геометрии. М.: Машиностроение, 1978. 448 с.

2. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. 3-е изд. М.: Высш. шк., 1985. 288 с.

3. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. 23 изд., перераб. М.: Наука, 1988. 272 с.

4. Інженерна та комп’ютерна графіка / Михайленко В.Є. та ін. К.: Вища школа, 2000. 342 с.

5. Фролов С.А. Начертательная геометрия. 2-е изд. М.: Машиностроение, 1983. 240 с.

6. Начертательная геометрия / Четверухин Н.Ф. и др. М.: Высш. шк., 1963. 420 с.

7. Посвянский А.Д. Краткий курс начертательной геометрии. 4-е изд. М.: Высш. шк., 1974. 192 с.

8. Чалый А.Т. Курс начертательной геометрии. М.: Машгиз, 1962. 272 с.

124

Питання до екзамену 1. Способи проектування. Центральне та паралельне проектування.

Властивості проекцій.2. Прямокутне проектування. Комплексне двокартинне креслення точки.

Конкуруючі точки. Висота, глибина точки.3. Комплексне трикартинне креслення точки. Прийоми побудови відсутньої

проекції точки за двома заданими. Висота, глибина, широта точки.4. Зв’язок між координатами точки та її проекціями. Координати точок, які

лежать в площинах проекцій, на осях проекцій, в різних октантах.5. Пряма лінія загального положення. Побудова слідів прямої лінії на

площинах проекцій П1, П2, П3.6. Співвідношення між відрізком прямої загального положення та його

ортогональними проекціями. Визначення натуральної величини відрізка прямої та кутів його нахилу до площин проекцій П1, П2, П3 способом “прямокутного трикутника”.

7. Проектуючі прямі та прямі рівня. Сліди цих прямих на площинах проекцій. Кути їх нахилу до площин проекцій.

8. Паралельність прямих загального та особливого положення. Паралельність двох прямих профільного положення. Прийоми перевірки таких прямих на паралельність.

9. Зображення на кресленні прямих загального та особливого положення, що перетинаються. Відмінність проекцій прямих, що перетинаються, від мимобіжних.

10.Способи зображення площин загального положення на комплексному кресленні. Сліди площини.

11.Площини рівня. Проектуючі площини. 12.Лінії рівня площин загального та особливого положення. Приклади

використання ліній рівня площини при розв’язуванні задач. Нульові лінії рівня.

13.Побудова прямої лінії, яка паралельна до площини загального та особливого положення. Необхідна і достатня умова паралельності.

14.Перетин прямої з площиною загального та особливого положення.15.Переріз двох площин. Способи побудови лінії перерізу.16.Паралельність двох площин. Необхідна і достатня умова паралельності

площин. Приклади зображення на кресленні паралельних площин загального та особливого положення.

17.Побудова прямої, яка перпендикулярна до площини загального положення. Необхідна і достатня умова перпендикулярності прямої і площини.

18.Побудова площини, яка перпендикулярна до площини загального положення. Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох площин.

19.Побудова прямої лінії, яка перпендикулярна до прямої загального положення. Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох прямих.

125

20.Лінії найбільшого нахилу. Навести приклади визначення кута нахилу площини до площини проекцій.

21.Многогранники. Види многогранників та їх зображення на комплексному кресленні. Побудова точки, яка лежить на поверхні многогранника.

22.Переріз многогранника площиною. Способи побудови перерізу. Навести приклади побудови задач різними способами.

23.Перетин многогранника з прямою лінією.24.Перетворення проекцій способом заміни площин проекцій. Суть способу

та його основні закономірності.25.Основні задачі, які розв’язуються способом заміни площин проекцій.

Навести приклади розв’язування різних задач.26.Перетворення проекцій способом обертання навколо проектуючої прямої.

Суть способу та його основні закономірності.27.Основні задачі, які розв’язуються способом обертання навколо

проектуючої прямої.28.Перетворення проекцій способом плоско-паралельного переміщення. Суть

способу та його основні закономірності.29.Перетворення проекцій способом обертання навколо лінії рівня. Суть

способу та його основні закономірності, навести приклади.30.Просторові криві лінії. Проекції просторових кривих ліній. Циліндрична

гвинтова лінія. Конічна гвинтова лінія. 31.Криві поверхні. Приклади поверхонь в технічних формах. Класифікація

поверхонь. Визначник поверхні. Приклади визначників.32.Способи утворення поверхонь. 33.Лінійчаті поверхні. Поверхні з ребром звороту – торси. Приклади

торсових поверхонь.34.Поверхні обертання. Основні визначення. Креслення широковживаних

поверхонь. Побудова проекцій точок, які лежать на поверхні обертання.35.Поверхні паралельного переносу. Гвинтові поверхні. Каналові поверхні.36.Переріз кривої поверхні площиною. Порядок побудови перерізу. Переріз

конуса обертання площиною. Види конічних перерізів.37.Перетин прямої та кривої лінії з поверхнею. Навести приклади.38.Пряма та площина, дотичні до поверхні. Нормаль до поверхні.39.Побудова лінії перетину поверхонь (загальний випадок). Перетин

многогранних поверхонь.40.Перетин кривої поверхні з поверхнею многогранника.41.Взаємний перетин кривих поверхонь. Посередник – площина рівня

(загальний випадок).42.Побудова ліній перетину поверхонь за допомогою січних (концентричних

та ексцентричних) сфер.43.Розгортки поверхонь. Види розгорток та їх властивості. Приклади

розгорток в техніці.44.Побудова розгорток многогранних поверхонь.45.Побудова розгорток конічних поверхонь.46.Побудова розгорток циліндричних поверхонь.

126

47.Побудова умовних розгорток поверхонь.48.Аксонометричні проекції. Основні поняття та визначення. Показники

спотворення по аксонометричних осях. Теорема Польке. Види аксонометричних проекцій.

49.Прямокутні аксонометричні проекції. Трикутник слідів та його властивості. Основні теореми прямокутної аксонометрії.

50.Прямокутні аксонометричні проекції - прямокутна ізометрія, прямокутна диметрія.

127