ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

vii

ΠΡΟΛΟΓΟΣ .................................................................................................................xv

1 ∆ΥΟ ΕΠΙΠΕ∆Α ΠΡΟΒΟΛΗΣ (ΜΕΘΟ∆ΟΣ MONGE) .......................................1

1.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ .............................................................................1

1.1.1 ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΗΜΕΙΟΥ .......................................................................1

1.1.2 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ...............................................................3

1.1.3 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΝ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ ................................5

1.1.4 ΤΑ ΕΠIΠΕ∆Α ΣΥΜΜΕΤΡIΑΣ ΚΑΙ ΣΥΜΠΤΩΣΕΩΣ .........................6

1.1.5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ............................................................................................7

1.2 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ..............................................................................9

1.2.1 ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΕΥΘΕIΑΣ ........................................................................9

1.2.2 ΙΧΝΗ ΕΥΘΕIΑΣ ..................................................................................10

1.2.3 ΧΑΡΑΚΤΗΡIΣΤIΚΕΣ ΘΕΣΕIΣ ΕΥΘΕIΩΝ ........................................12

1.2.4 ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΚΑΙ ΑΣΥΜΒΑΤΕΣ ΕΥΘΕIΕΣ ...............................15

1.2.5 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕIΕΣ .................................................................16

1.2.6 ΕΥΘΕIΕΣ ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΕΚΤΟΣ ΣΧΕ∆ΙΟΥ ................................16

1.2.7 ΣΧΕΣΗ ΕΥΘΕIΩΝ ΜΕ ΤΑ ΕΠIΠΕ∆Α π13 ΚΑI π24 ...........................17

1.2.8 ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕIΑΣ ...............................................19

1.2.9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ..........................................................................................19

1.3 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ .........................................................................21

1.3.1 ΙΧΝΗ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ...............................................................................21

1.3.2 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ ...............................................22

1.3.3 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ .............................................22

1.3.4 ∆ΥΟ ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ΟΡΙΖΟΥΝ ΕΠΙΠΕ∆Ο ..................23

1.3.5 IΧΝΟΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ .......................................................23

1.3.6 IΧΝΟΚΑΘΕΤΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ................................................................24

1.3.7 ΕΙ∆ΙΚΕΣ ΘΕΣΕΙΣ ΕΠΙΠΕ∆ΩΝ ..........................................................25

1.3.8 ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΕΠIΠΕ∆Α ..................................................................27

1.3.9 ΕΠIΠΕ∆Α ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ΣΤΑ π13 ΚΑΙ π24 ......................................28

1.3.10 ΤΟΜΗ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ ΜΕ ΤΑ π13 ΚΑΙ π24 ............................................30

1.3.11 ΟΜΟΛΟΓΙΑ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΠΡΟΒΟΛΩΝ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ ................31

1.3.12 ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΣ ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ............................................31

1.3.13 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ..........................................................................................32

1.4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠIΠΕ∆ΩΝ ..........................................34

1.4.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ΑΠΟ ΣΗΜΕΙΟ ΚΑΙ ΕΥΘΕΙΑ .....................34

1.4.2 ΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΣΘΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ..................................................35

1.4.3 ΠΡΟΣ∆ΙΟΡΙΣΜΟΣ ΠΡΟΒΟΛΗΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ...............36

1.4.4 ΟΡΙΣΜΟΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ΑΠΟ ΤΑ x, z .............................36

1.4.5 ΕΥΘΕΙΑ ΤΟΜΗΣ ∆ΥΟ ΕΠIΠΕ∆ΩΝ .................................................37

1.4.6 ΕΠΙΠΕ∆Ο ∆ΙΑ ΣΗΜΕΙΟΥ ΠΑΡΑΛΛΗΛΟ ΣΕ ΕΠΙΠΕ∆Ο ...............40

1.4.7 ΕΥΘΕIΑ ΚΑΘΕΤΗ ΣΕ ΕΠIΠΕ∆Ο .....................................................41

1.4.8 ΕΠΙΠΕ∆Ο ∆ΙΑ ΣΗΜΕΙΟΥ ΚΑΘΕΤΟ ΣΕ ΕΥΘΕΙΑ ..........................41

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

viii

1.4.9 ΤΟΜΗ ΕΥΘΕIΑΣ ΚΑI ΕΠIΠΕ∆ΟΥ ..................................................42

1.4.10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ..........................................................................................43

1.5 ΜΕΘΟ∆ΟI ΕΠIΛΥΣΗΣ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ...............................................45

1.5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ..........................................................................................45

1.5.2 ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΚΑΤΑΚΛIΣΗΣ .......................................................46

1.5.3 MΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ ..............................................................51

1.5.4 ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΠΕΡIΣΤΡΟΦΗΣ ......................................................57

1.5.5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ..........................................................................................61

1.6 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ............................................................................63

1.6.1 ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ...............................................63

1.6.2 ΚΥΚΛΟΣ ΠΡΟΣΘΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ..................................................64

1.6.3 ΚΥΚΛΟΣ ΤΥΧΑΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ.....................................................65

1.6.4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ..........................................................................................68

1.7 ΠΟΛΥΕ∆ΡΑ ................................................................................................69

1.7.1 ΟΡΙΣΜΟΙ .............................................................................................69

1.7.2 ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΟΛΥΕ∆ΡΟΥ ............................................70

1.7.3 ΟΡΘΗ ΠΡΟΒΟΛΗ ΠΟΛΥΕ∆ΡΟΥ .....................................................71

1.7.4 ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΕ∆ΡΑ ..................................................................72

1.7.5 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΤΕΤΡΑΕ∆ΡΟ .................................................................73

1.7.6 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΟΚΤΑΕ∆ΡΟ ..................................................................74

1.7.7 ΚΥΒΟΣ ................................................................................................76

1.7.8 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ∆Ω∆ΕΚΑΕ∆ΡΟ .............................................................77

1.7.9 ΚΑΝΟΝΙΚΟ ΕΙΚΟΣΑΕ∆ΡΟ ..............................................................79

1.7.10 ΗΜΙΚΑΝΟΝΙΚΑ ΚΑΙ ΑΣΤΕΡΟΕΙ∆Η ΠΟΛΥΕ∆ΡΑ ........................80

1.7.11 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ..........................................................................................82

1.8 ΠΥΡΑΜI∆Α .................................................................................................83

1.8.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ..............................................................83

1.8.2 ΤΟΜΗ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ ΜΕ ΠΡΟΣΘΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ..............................83

1.8.3 ΤΟΜΗ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ ΜΕ ΤΥΧΑΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο. ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ

ΑΛΛΑΓΗΣ ...........................................................................................................85

1.8.4 ΤΟΜΗ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ ΜΕ ΤΥΧΑΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο. ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ

ΕΥΘΕΙΑΣ ξ ..........................................................................................................87

1.8.5 ΤΟΜΗ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ ΜΕ ΤΥΧΑΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο. ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ

ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ ......................................................................................................90

1.8.6 ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟ ΣΧΗΜΑ ΤΗΣ ΤΟΜΗΣ ............................................91

1.8.7 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ ............................................................91

1.8.8 ΤΟΜΗ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ ΜΕ ΕΥΘΕΙΑ ...................................................94

1.8.9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ..........................................................................................96

1.9 ΠΡΙΣΜΑ .......................................................................................................97

1.9.1 ΤΟΜΗ ΟΡΘΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΠΡΟΣΘΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ................97

1.9.2 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΟΡΘΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ..............................................98

1.9.3 ΤΟΜΗ ΠΛΑΓΙΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΠΡΟΣΘΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ...........99

1.9.4 ΤΟΜΗ ΟΡΘΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΥΧΑΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ................100

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

ix

1.9.5 ΤΟΜΗ ΠΛΑΓΙΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΥΧΑΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο.

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΟΜΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ..........................................101

1.9.6 ΤΟΜΗ ΠΛΑΓΙΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΥΧΑΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο.

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ξ ...........................................................................101

1.9.7 ΤΟΜΗ ΠΛΑΓΙΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΤΥΧΑΙΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο.

ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ .......................................................................102

1.9.8 ΤΟΜΗ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΥΘΕΙΑ .................................................104

1.9.9 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΠΛΑΓΙΟΥ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ .......................................105

1.9.10 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ........................................................................................108

1.10 ΚΩΝIΚΗ ΕΠIΦΑΝΕIΑ..............................................................................109

1.10.1 ΟΡΙΣΜΟΙ ...........................................................................................109

1.10.2 ΚΩΝΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ...................................110

1.10.3 ΕΚΦΥΛΙΣΜΕΝΕΣ ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ...........................................112

1.10.4 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΤΩΝ ΓΝΗΣΙΩΝ ΚΩΝΙΚΩΝ ΤΟΜΩΝ ..................113

1.10.5 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΩΝΟΥ .....................................................................114

1.10.6 ΤΟΜΗ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΕΥΘΕIΑ ..........................................................116

1.10.7 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΚΩΝΟΥ ..............................................119

1.10.8 ΕΥΘΕIΑ ΚΑΘΕΤΗ ΣΕ ΚΩΝΟ .........................................................120

1.10.9 ΤΟΜΗ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΕΠIΠΕ∆Ο .......................................................121

1.10.10 ΤΟΜΗ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΠΡΟΣΘIΟ ΕΠIΠΕ∆Ο .....................................122

1.10.11 ΤΟΜΗ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ∆Ο ΤΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ξ ................126

1.10.12 ΤΟΜΗ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ∆Ο ΤΗΣ ΑΛΛΑΓΗΣ .................130

1.10.13 ΤΟΜΗ ΚΩΝΟΥ ΜΕ ΤΗΝ ΜΕΘΟ∆Ο ΤΗΣ ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ ............132

1.10.14 ΤΟΜΗ ΚΩΝΟΥ ΚΑΤΑ ΥΠΕΡΒΟΛΗ ..............................................134

1.10.15 ΤΟΜΗ ΚΩΝΟΥ ΚΑΤΑ ΠΑΡΑΒΟΛΗ .............................................138

1.10.16 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΚΩΝΟΥ ...................................................................140

1.10.17 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΤΟΜΗΣ ΟΡΘΟΥ ΚΩΝΟΥ ....................................149

1.10.18 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΤΟΜΗΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΚΩΝΟΥ ................................152

1.10.19 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ........................................................................................157

1.11 ΚΥΛIΝ∆ΡIΚΗ ΕΠIΦΑΝΕIΑ .....................................................................158

1.11.1 ΟΡΙΣΜΟΙ ...........................................................................................158

1.11.2 ΚΥΛΙΝ∆ΡΙΚΗ ΕΠΙΦΑΝΕΙΑ ΕΚ ΠΕΡΙΣΤΡΟΦΗΣ ..........................159

1.11.3 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΛIΝ∆ΡΟΥ ............................................................160

1.11.4 ΤΟΜΗ ΚΥΛIΝ∆ΡΟΥ ΜΕ ΕΥΘΕIΑ .................................................161

1.11.5 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΚΥΛΙΝ∆ΡΟΥ .....................................163

1.11.6 ΕΥΘΕΙΑ ΚΑΘΕΤΗ ΣΕ ΚΥΛΙΝ∆ΡΟ ................................................164

1.11.7 ΤΟΜΗ ΚΥΛIΝ∆ΡΟΥ ΜΕ ΕΠIΠΕ∆Ο ..............................................164

1.11.8 ΤΟΜΗ ΟΡΘΟΥ ΚΥΛIΝ∆ΡΟΥ ΜΕ ΕΠIΠΕ∆Ο ...............................165

1.11.9 ΤΟΜΗ ΠΛΑΓΙΟΥ ΚΥΛIΝ∆ΡΟΥ ΜΕ ΕΠIΠΕ∆Ο-ΜΕΘΟ∆ΟΣ ΤΗΣ

ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ ....................................................................................................167

1.11.10 ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΠΛΑΓΙΟΥ ΚΥΛIΝ∆ΡΟΥ .......................................169

1.11.11 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΑΝΑΠΤΥΓΜΑΤΟΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΚΥΛIΝ∆ΡΟΥ ....171

1.11.12 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΟΡΘΟΥ ΚΥΛIΝ∆ΡΟΥ 1 ........................................174

1.11.13 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑ ΟΡΘΟΥ ΚΥΛIΝ∆ΡΟΥ 2 ........................................177

1.11.14 ΕΛΙΚΕΣ ΚΑΙ ΕΛΙΚΟΕΙ∆ΕΙΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΕΣ ...................................180

1.11.15 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ........................................................................................182

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

x

1.12 ΣΦΑΙΡΑ .....................................................................................................183

1.12.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΦΑΙΡΑΣ ..................................................................183

1.12.2 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο ΣΦΑΙΡΑΣ ...........................................185

1.12.3 ΤΟΜΗ ΣΦΑΙΡΑΣ ΜΕ ΕΠΙΠΕ∆Ο .....................................................185

1.12.4 ΤΟΜΗ ΣΦΑΙΡΑΣ ΜΕ ΕΥΘΕΙΑ .......................................................187

1.12.5 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ........................................................................................187

2 ΥΨΟΜΕΤΡΙΚΗ ΜΕΘΟ∆ΟΣ .............................................................................189

2.1 ΣΗΜΕΙΟ .....................................................................................................189

2.1.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ .................................................................189

2.1.2 ΤΟ ΣΥΣΤΗΜΑ ΑΝΑΦΟΡΑΣ ...........................................................190

2.2 ΕΥΘΕIΑ .....................................................................................................191

2.2.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ..................................................................191

2.2.2 IXΝΟΣ-ΓΩΝIΑ ΚΛIΣΗΣ-ΚΛIΣΗ-ΒΑΘΜI∆Α ΕΥΘΕIΑΣ ..............191

2.2.3 ΥΨΟΜΕΤΡIΚΗ ΚΛIΜΑΚΑ ΕΥΘΕIΑΣ ...........................................193

2.2.4 ΣΧΕΤIΚΗ ΘΕΣΗ ΕΥΘΕIΑΣ ΚΑI ΣΗΜΕIΟΥ .................................194

2.2.5 ΕΥΘΕIΕΣ ΣΥΜΒΑΤΕΣ ΚΑI ΑΣΥΜΒΑΤΕΣ ...................................194

2.2.6 ΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ ΕΥΘΕIΕΣ ...............................................................195

2.3 ΕΠΙΠΕ∆Ο ...................................................................................................196

2.3.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ-IΧΝΟΠΑΡΑΛΛΗΛΕΣ-

IΧΝΟΚΑΘΕΤΕΣ-ΥΨΟΜΕΤΡIΚΗ ΚΛIΜΑΚΑ ...............................................196

2.3.2 ΕΠIΠΕ∆Ο ΟΡΙΖΟΜΕΝΟ ΑΠΟ ∆ΥΟ ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ 197

2.4 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΕΥΘΕΙΩΝ ΚΑΙ ΕΠΙΠΕ∆ΩΝ ........................................198

2.4.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ΥΨΟΜΕΤΡΟΥ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ .......................198

2.4.2 ΟΡΙΣΜΟΣ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ...................................................198

2.4.3 ΤΕΜΝΟΜΕΝΕΣ ΕΥΘΕΙΕΣ ..............................................................199

2.4.4 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ∆ΙΑ ΕΥΘΕΙΑΣ ....................................199

2.4.5 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ΕΠΙ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ....................................201

2.4.6 ΤΟΜΗ ∆ΥΟ ΕΠIΠΕ∆ΩΝ .................................................................202

2.4.7 ΕΠIΠΕ∆Α ΠΑΡΑΛΛΗΛΑ ................................................................204

2.4.8 TOMH ΕΥΘΕΙΑΣ ΚΑΙ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ ................................................204

2.4.9 ΕΥΘΕIΑ ΚΑΘΕΤΗ ΣΕ ΕΠIΠΕ∆Ο ...................................................206

2.5 ΚΑΤΑΚΛIΣΗ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ ........................................................................207

2.5.1 ΚΑΤΑΚΛΙΣΗ ΣΗΜΕΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ............................................207

2.5.2 ΠΡΑΓΜΑΤIΚΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ ΣΧΗΜΑΤΟΣ .................207

2.5.3 ΓΩΝIΑ ΕΥΘΕIΑΣ ΚΑI ΕΠIΠΕ∆ΟΥ ................................................208

2.6 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΚΥΚΛΟΥ ..........................................................................209

2.6.1 ΚΥΚΛΟΣ ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ......................................209

2.6.2 ΚΥΚΛΟΣ ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ.............................................209

2.6.3 ΚΥΚΛΟΣ ΠΛΑΓΙΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ...................................................209

2.7 ΠΟΛΥΕ∆ΡΑ ..............................................................................................211

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

xi

2.7.1 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΠΟΛΥΕ∆ΡΟΥ...........................................................211

2.7.2 ΤΟΜΗ ΠΥΡΑΜΙ∆ΑΣ ΜΕ ΕΠIΠΕ∆Ο ..............................................211

2.7.3 ΤΟΜΗ ΠΥΡΑΜI∆ΑΣ ΜΕ ΕΥΘΕIΑ .................................................213

2.7.4 ΤΟΜΗ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΠΙΠΕ∆Ο ...............................................215

2.7.5 ΤΟΜΗ ΠΡΙΣΜΑΤΟΣ ΜΕ ΕΥΘΕIΑ .................................................216

2.8 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ............................................................................................217

2.8.1 ΣΤΕΓΕΣ ..............................................................................................217

2.8.2 ΤΟΠΟΓΡΑΦIΚΕΣ ΕΠIΦΑΝΕIΕΣ-ΧΩΡΟΣΤΑΘΜIΚΕΣ

ΚΑΜΠΥΛΕΣ-ΓΡΑΜΜΕΣ ΜΕΓIΣΤΗΣ ΚΛIΣΗΣ ............................................220

2.8.3 ΧΩΜΑΤΟΥΡΓΙΚΑ ΕΡΓΑ .................................................................223

2.8.4 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΧΩΜΑΤΟΥΡΓΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ 1 .................................224

2.8.5 ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΧΩΜΑΤΟΥΡΓΙΚΟΥ ΕΡΓΟΥ 2 .................................227

2.9 ΑΣΚΗΣΕIΣ .................................................................................................229

3 ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ...............................................................................................231

3.1 ΕIΣΑΓΩΓΗ .................................................................................................231

3.2 ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΠΡΟΒΟΛΕΣ ΣΗΜΕΙΟΥ ..........................................233

3.3 ΣΗΝΗΘΗ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ..........................................235

3.3.1 ΟΡΘH ΙΣΟΜΕΤΡΙΚΗ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ..........................................235

3.3.2 ΟΡΘΗ ∆ΙΜΕΤΡΙΚΗ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ............................................236

3.3.3 ΟΡΘΗ ΤΡΙΜΕΤΡΙΚΗ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ..........................................236

3.3.4 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ .........................................................237

3.3.5 ΜΕΤΩΠΙΚΗ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ........................................................237

3.4 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΥΘΕΙΑΣ ..........................................................................238

3.5 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ .......................................................................238

3.6 ΜΟΝΑ∆ΙΑΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ....................................................239

3.6.1 ΜΟΝΑ∆ΙΑΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗ ΤΟΥ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ Oxy ...........................239

3.6.2 ΜΟΝΑ∆ΙΑΙΑ ΕΛΛΕΙΨΗ ΤΥΧΟΝΤΟΣ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ ......................240

3.6.3 ΚΥΚΛΟΙ ΕΠΙΠΕ∆ΟΥ .......................................................................241

3.7 ΟΡΘΗ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ............................................................................242

3.8 ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ MONGE ΚΑΙ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ......................................245

3.8.1 ΜΕΤΩΠΙΚΗ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ ........................................................245

3.8.2 ΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΑΞΟΝΟΜΕΤΡΙΑ .........................................................247

3.9 ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ ............................................................................................249

3.10 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ-ΑΣΚΗΣΕΙΣ....................................................................253

4 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ.....................................................................................................255

4.1 ΕIΣΑΓΩΓΗ .................................................................................................255

4.2 ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΕΙΚΟΝΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ π1 ........................................257

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

xii

4.2.1 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕIΚΟΝΑ ΕΥΘΕIΑΣ ΤΟΥ π1 ....................................257

4.2.2 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕIΚΟΝΑ ΣΗΜΕIΟΥ ΤΟΥ ΕΠIΠΕ∆ΟΥ π1 ..............260

4.2.3 ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΕΙΚΟΝΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΟΥ ΤΟΥ π1 ...........................262

4.2.4 ΠΡΟΟΠΤΙΚΟ ΚΑΝΑΒΟΥ ................................................................263

4.2.5 ∆IΑIΡΕΣΗ ΤΜΗΜΑΤΟΣ ΤΟΥ π1 ....................................................264

4.2.6 ΣΗΜΕIΑ ΑΠΟΣΤΑΣΗΣ ΕΥΘΕΙΑΣ .................................................266

4.3 ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΕΙΚΟΝΑ ΣΧΗΜΑΤΩΝ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ .............................268

4.3.1 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕΙΚΟΝΑ ΣΗΜΕIΟΥ ΤΟΥ ΧΩΡΟΥ .........................268

4.3.2 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕIΚΟΝΑ ΚΥΒΟΥ .....................................................270

4.3.3 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕIΚΟΝΑ ΠΡIΣΜΑΤΟΣ ............................................271

4.3.4 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕIΚΟΝΑ ΠΥΡΑΜI∆ΑΣ ............................................272

4.3.5 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕIΚΟΝΑ ΚΤΗΡΙΟΥ ..................................................273

4.4 ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΕΙΚΟΝΑ ΚΥΚΛΟΥ ...........................................................275

4.4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ........................................................................................275

4.4.2 ΚΥΚΛΟΣ ΤΟΥ π1..............................................................................276

4.4.3 ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ..................................................................278

4.4.4 ΚΑΤΑΚΟΡΥΦΟΣ ΚΥΚΛΟΣ ............................................................279

4.4.5 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕIΚΟΝΑ ΑΨI∆ΑΣ ....................................................281

4.4.6 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕIΚΟΝΑ ΚΥΒΟΥ .....................................................282

4.5 Η ΠΡΟΟΠΤΙΚΗ ΩΣ ΟΜΟΛΟΓΙΑ ............................................................285

4.5.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ ........................................................................................285

4.5.2 ΠΡΟΟΠΤIΚΗ ΕΙΚΟΝΑ ΚΩΝΟΥ .....................................................287

4.6 ΑΣΚΗΣΕΙΣ .................................................................................................290

5 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Α: Η ΟΜΟΛΟΓΙΑ ...................................................................293

5.1 ΟΡΙΣΜΟΣ ...................................................................................................293

5.2 ΚΑΤΑΣΚΕΥΗ ΤΗΣ ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ ..........................................................294

5.3 Η ΑΝΑΛΛΟΙΩΤΟΣ ΤΗΣ ΟΜΟΛΟΓΙΑΣ ..................................................295

5.4 ΣΗΜΕΙΑ ΚΑΙ ΕΥΘΕΙΕΣ ΦΥΓΗΣ .............................................................295

5.5 Η ΟΜΟΛΟΓΟΣ ΚΑΜΠΥΛΗΣ ..................................................................296

5.6 ΟΜΟΛΟΓΟΣ ΚΑΜΠΥΛΗ ΚΥΚΛΟΥ ......................................................296

5.6.1 ΕΛΛΕΙΨΗ ..........................................................................................297

5.6.2 ΥΠΕΡΒΟΛΗ ......................................................................................298

5.6.3 ΠΑΡΑΒΟΛΗ ......................................................................................300

5.7 ΕΙ∆ΙΚΕΣ ΟΜΟΛΟΓΙΕΣ .............................................................................301

5.7.1 ΠΑΡΑΛΛΗΛΗ ΟΜΟΛΟΓΙΑ ............................................................301

5.7.2 ΛΟΞΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ........................................................................303

5.7.3 ΟΡΘΗ ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ........................................................................304

5.7.4 ΟΜΟΙΟΘΕΣΙΑ ..................................................................................304

5.7.5 ΣΥΜΜΕΤΡΙΑ ΩΣ ΠΡΟΣ ΚΕΝΤΡΟ ..................................................305

5.7.6 ΕΙ∆ΙΚΕΣ ΟΜΟΛΟΓΙΕΣ ....................................................................305

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ

xiii

6 ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ Β: ΣΤΟΙΧΕΙΑ ∆ΙΑΦΟΡΙΚΗΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΑΣ ΕΠΙΦΑΝΕΙΩΝ

307

6.1.1 ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΟ ΕΠΙΠΕ∆Ο-ΚΑΘΕΤΕΣ ΤΟΜΕΣ ...........................307

6.1.2 ΚΥΡΙΕΣ ΚΑΜΠΥΛΟΤΗΤΕΣ ...........................................................308

6.1.3 ∆ΕΙΚΤΡΙΕΣ ........................................................................................309

6.1.4 ΠΛΑΓΙΕΣ ΤΟΜΕΣ ............................................................................310

ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ........................................................................................................313