57
Κεϕάλαιο 1 ∆ράση οµάδων 1.1 ∆ράση οµάδας σε σύνολο ΄Εστω G µία οµάδα και X ένα µη κενό σύνολο. Θα λέµε ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο X (ή ότι η G µεταθέτει τα στοχεία του X ) αν σε κάθε στοιχείο g G και σε κάθε στοιχείο x X υπάρχει ένα µοναδικό στοιχείο gx X τέτοιο, ώστε για όλα τα x X και g 1 ,g 2 G, ισχύουν οι συνθήκες : (i) (g 1 g 2 )x = g 1 (g 2 x ) και (ii) 1x = x . Ουσιαστικά, έχουµε µία απεικόνιση από το G × X στο X που στέλνει το (g, x ) στο gx για όλα τα g G και x X . ∆υικά µπορούµε να ορίσουµε την έννοια η οµάδα G δρα από δεξιά πάνω στο X . Από εδώ και στο εξής όταν αναϕερόµαστε σε δράση οµάδας πάνω σε σύ- νολο ϑα εννοούµε αριστερή δράση. ∆ιαϕορετικά ϑα λέµε σαϕώς ποια δράση χρησιµοποιούµε. Παραδείγµατα 1 (i) ΄Εστω X ένα µη κενό συνολο και G µία υποοµάδα της Sym(X ). Τότε η G δρα πάνω στο X . Στη περίπτωση αυτή gx = g(x ), όπου g(x ) είναι η εικόνα του x µέσω της απεικόνισης g, για κάθε g G και x X . Η δράση αυτή ονοµάζεται φυσική δράση της G στο X . (ii) ΄Εστω V ένας F -διανυσµατικός χώρος. Τότε η οµάδα των αντιστρέψιµων στοιχείων F δρα πάνω στο σύνολο V . ΄Εστω ότι η οµάδα G δρα πάνω στο X . Τότε µπορούµε να πάρουµε µία δεξιά δράση της G πάνω στο X ορίζοντας xg = g 1 x 1

Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων από τον κύκλο μαθημάτων του Α.Πάπιστα στο ΑΠΘ.

Citation preview

Page 1: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

Κεϕάλαιο 1

∆ράση οmicroάδων

11 ∆ράση οmicroάδας σε σύνολο

΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη κενό σύνολο Θα λέmicroε ότι η G δρα απόαριστερά πάνω στο X (ή ότι η G microεταθέτει τα στοχεία του X ) αν σε κάθεστοιχείο g isin G και σε κάθε στοιχείο x isin X υπάρχει ένα microοναδικό στοιχείοgx isin X τέτοιο ώστε για όλα τα x isin X και g1 g2 isin G ισχύουν οι συνθήκες

(i) (g1g2)x = g1(g2x) και(ii) 1x = xΟυσιαστικά έχουmicroε microία απεικόνιση από το G times X στο X που στέλνει το

(g x) στο gx για όλα τα g isin G και x isin X ∆υικά microπορούmicroε να ορίσουmicroε τηνέννοια η οmicroάδα G δρα από δεξιά πάνω στο X

Από εδώ και στο εξής όταν αναϕερόmicroαστε σε δράση οmicroάδας πάνω σε σύ-νολο ϑα εννοούmicroε αριστερή δράση ∆ιαϕορετικά ϑα λέmicroε σαϕώς ποια δράσηχρησιmicroοποιούmicroε

Παραδείγmicroατα 1 (i) ΄Εστω X ένα microη κενό συνολο και G microία υποοmicroάδα τηςSym(X ) Τότε η G δρα πάνω στο X Στη περίπτωση αυτή gx = g(x) όπουg(x) είναι η εικόνα του x microέσω της απεικόνισης g για κάθε g isin G και x isin X Η δράση αυτή ονοmicroάζεται φυσική δράση της G στο X

(ii) ΄Εστω V ένας F -διανυσmicroατικός χώρος Τότε η οmicroάδα των αντιστρέψιmicroωνστοιχείων F lowast δρα πάνω στο σύνολο V

΄Εστω ότι η οmicroάδα G δρα πάνω στο X Τότε microπορούmicroε να πάρουmicroε microίαδεξιά δράση της G πάνω στο X ορίζοντας

xg = gminus1x

1

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

για όλα τα g isin G και x isin X Το gminus1 χρησιmicroοποιείται για να επαληθεύονται οισυνθήκες της δεξιάς δράσης

12 Μετάθεση-Αναπαράσταση

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα microας δίνει την σχέση microεταξύ δράσης οmicroάδας σεσύνολο και αναπαράστασης Οδηγεί στην έννοια microετάθεση-αναπαράστασητης οmicroάδας Η απόδειξη του είναι απλή και αϕήνεται στον αναγνώστη ωςάσκηση

Θεώρηmicroα 1 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη κενό σύνολο(i) ΄Εστω ότι η G δρα πάνω στο X Τότε σε κάθε στοιχείο g isin G αντιστοιχεί

microία απεικόνισηρg X minusrarr X

microε τύπο ρg(x) = gx Η ρg είναι microετάθεση για κάθε g isin G Η απεικόνιση

ρ G minusrarr Sym(X )

που στέλνει το g στο ρg είναι οmicroοmicroορϕισmicroός Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεταιmicroετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην δράση της G στο X

(ii) ΄Εστω σ ένας οmicroοmicroορϕισmicroός από τη G στη Sym(X ) Τότε η G δρα πάνωστο X

gx = σ(g)(x)

για κάθε g isin G και x isin X Η microετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχείσε αυτή τη δράση είναι η σ

΄Ετσι όταν ϑεωρούmicroε δράση οmicroάδων πάνω σε microη-microηδενικό σύνολο X δενπεριοριζόmicroαστε microόνο στις υποοmicroάδες της Sym(X ) αλλά στους οmicroοmicroορϕι-σmicroούς των οmicroάδων στη Sym(X ) Στη περίπτωση που ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ τουΘεωρήmicroατος 1 είναι microονοmicroορϕισmicroός λέmicroε ότι η G δρα πιστά στο X

13 Λήmicromicroα Burnside

Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στο X Ορίζουmicroε microία σχέση sim πάνω στο X(δηλαδή simsube X times X ) ως εξής αν x y isin X τότε x sim y αν και microόνο αν υπάρχει

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 3

g isin G έτσι ώστε gx = y Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η sim είναι σχέσηισοδυναmicroίας Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας ονοmicroάζονται τροχιές (orbits) ΄Ετσι

orb(x) = gx g isin G

ΘέτουmicroεStabG(x) = g isin G gx = x

Είναι απλό να διαπιστώσουmicroε ότι το StabG(x) είναι υποοmicroάδα της G πουονοmicroάζεται σταθεροποιητής του x στην οmicroάδα G Η σχέση που συνδέει τηνmicroετάθεση-αναπαράσταση ρ της οmicroάδας G microε τους σταθεροποιητές είναι ηεξής

Kerρ = capxisinX StabG(x)

΄Εστω H le G Τότε η H δρα πάνω στο σύνολο G microε αριστερό πολλα-πλασιασmicroό δηλαδή σε κάθε h isin H και g isin G αντιστοιχούmicroε το hg isin GΧρησιmicroοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα και την ιδιότητα του ουδετέ-ϱου στοιχείου είναι εύκολο να δειχθεί ότι η παραπάνω ορισθείσα αντιστοιχίαορίζει δράση της H πάνω στο G Για g isin G

StabH(g) = h isin H hg = g = 1

Με άλλα λόγια η δράση είναι πιστή Επίσης η τροχιά του g είναι το σύνολο

ordH(g) = hg h isin H = Hg

το δεξιό σύmicroπλοκο της H στην G που περιέχει το g Εποmicroένως τα διαϕορετικάδεξιά σύmicroπλοκα της H στην G είναι ξένα microεταξύ τους Χρησιmicroοποιώντας τονδεξιό πολλαπλασιασmicroό παίρνουmicroε δεξιά δράση της H στην G και εποmicroένωςτην κατασκευή των αριστερών συmicroπλόκων Αποδεικνύοντας ότι |Hg| = |gH |για κάθε g isin G microπορούmicroε να συmicroπεράνουmicroε το Θεώρηmicroα Lagrange ΑνH = G τότε αποδεικνύεται το Θεώρηmicroα Cayley

Το επόmicroενο αποτέλεσmicroα αναϕέρεται στο microήκος της τροχιάς ενός στοιχείουστην G και είναι το κλειδί σε πολλές εϕαρmicroογές

Λήmicromicroα 1 ΄Εστω ότι η G δρα πάνω στο microη-κενό σύνολο X και έστω x isin X Τότε|orb(x)| = |G StabG(x)|

Απόδειξη Γράϕουmicroε X1 = orb(x) H = StabG(x) και Y το σύνολο των αριστερώνσυmicroπλόκων της H στη G Ορίζουmicroε την απεικόνιση

micro X1 minusrarr Y

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

microε τύπο micro(gx) = gH Ισχυριζόmicroαστε ότι η micro είναι 1 minus 1 και επί Πρώτα απόόλα ϑα δείξουmicroε ότι η micro είναι καλά-ορισmicroένη ΄Εστω g1 g2 isin G Πρέπει ναδείξουmicroε ότι αν g1x = g2x τότε g1H = g2H Χρησιmicroοποιώντας τα αξιώmicroατατου ορισmicroού της δράσης ϐλέπουmicroε ότι αν g1x = g2x τότε

(gminus12 g1)x = gminus1

2 (g1x) = gminus12 (g2x) = (gminus1

2 g2)x = 1x = x

΄Ετσι gminus12 g1 isin StabG(x) = H Συνεπώς g1H = g2H Αν g1H = g2H τότε

gminus12 g1 isin H εποmicroένως (gminus1

2 g1)x = x και έτσι g1x = (g2(gminus12 g1))x = g2x ΄Αρα η micro

είναι 1minus 1 Είναι εύκολο να δούmicroε ότι η micro είναι και επί Συνεπώς παίρνουmicroετο Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

΄Εστω V ένα microη κενό πεπερασmicroένο σύνολο microε |V | = n Μία οmicroάδα συmicromicroε-τριών (permutation group) πάνω στο V είναι εξ ορισmicroού microία υποοmicroάδα τηςSym(V ) ΄Εστω G le Sym(V ) Τότε η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v)για όλα τα v isin V όπου g(v) συmicroβολίζει την εικόνα του v microέσω της microετάθεσηςg Ως άmicroεση συνέπεια του Λήmicromicroατος 1 και του Θεωρήmicroατος Lagrange εί-ναι το παρακάτω αποτέλεσmicroα που είναι γνωστό στην ϐιβλιογραϕία ως Λήmicromicroατροχιά-σταθεροποιητής

Λήmicromicroα 2 (Τροχιά-Σταθεροποιητής) ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δραπάνω στο πεπερασmicroένο σύνολο V και έστω v isin V Τότε |StabG(v)||orb(v)| = |G|

Το επόmicroενο αποτέλεσmicroα microας λέει ότι οι σταθεροποιητές δύο στοιχείων τηςίδιας τροχιάς microιας οmicroάδας G είναι συζυγείς

Λήmicromicroα 3 ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δρα πάνω στο σύνολο V καιέστω v isin V Αν g isin G τότε gStabG(v)gminus1 = StabG(gv)

Απόδειξη ΄Εστω h isin StabG(gv) Τότε (hg)v = gv και συνεπώς gminus1hg isin StabG(v)δηλ h isin gStabG(v)gminus1 Αντίστροϕα έστω h isin gStabG(v)gminus1 Τότε h = ghprimegminus1

microε hprime isin StabG(v) ΄Ετσι hprime = gminus1hg isin StabG(v) και εποmicroένως (gminus1hg)v = v΄Αρα h isin StabG(gv)

Πριν διατυπώσουmicroε και αποδείξουmicroε το Λήmicromicroα Burnside χρειαζόmicroαστεέναν ορισmicroό Για κάθε microετάθεση σ του V fix(σ) είναι το σύνολο όλων τωνv isin V που είναι σταθερά κάτω από την δράση της σ δηλ

fix(σ) = v isin V σ(v) = σv = v

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 5

Λήmicromicroα 4 (Burnside) ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δρα πάνω στο πεπε-ϱασmicroένο σύνολο V Τότε ο αριθmicroός t των τροχιών της G πάνω στο V ισούται microε1|G|

sumσisinG |fix(σ)|

Απόδειξη ΄ΕστωT = (σ v) isin G times V σv = v

Μετράmicroε microε δύο τρόπους τα στοιχεία του T Σταθεροποιούmicroε το v isin V καιπαίρνουmicroε όλα τα σ τέτοια ώστε σv = v Τότε

|T | =sumvisinV|StabG(v)|

Για κάθε τέτοιο σ ο αριθmicroός των v για τα οποία σv = v είναι ίσος microε το |fix(σ)|΄Ετσι αθροίζοντας πάνω από όλα τα σ έχουmicroε ότι

|T | =sumσisinG|fix(σ)|

΄Ετσι sumvisinV|StabG(v)| =

sumσisinG|fix(σ)|

∆ιαmicroελίζουmicroε το V microε την ϐοήθεια της δράσης σε τροχιές

V = orb(v1)cup middot middot middot cuporb(vt)

Τότεtsum

i=1

sumsisinorb(vi )

|StabG(s)| =sumσisinG|fix(σ)|

Από το Λήmicromicroα 3 αν s isin orb(vi) τότε

StabG(s) = σStabG(vi)σminus1

όπου σvi = s Συνεπώς

|StabG(vi)| = |StabG(s)|

όπου s isin orb(vi) ΄Ετσι

tsumi=1

|orb(vi)||StabG(vi)| =sumσisinG|fix(σ)|

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Από το λήmicromicroα (τροχιά-σταθεροποιητής)

t |G| =sumσisinG|fix(σ)|

και έτσι παίρνουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

Θα δώσουmicroε δύο ενδιαϕέρουσες εϕαρmicroογές των εννοιών που αναπτύχθη-καν παραπάνω

Εϕαρmicroογή 1 (Ασυmicromicroετρικά γραϕήmicroατα) ΄Εστω V ένα microη-κενό πεπερασmicroένοσύνολο microε |V | = n ΄Εστω G le Sym(V ) Η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v) για όλα τα v isin V Η δράση της G πάνω στο V επάγει και δράσηπάνω στα υποσύνολα του V ως εξης αν S είναι ένα υποσύνολο του V τότε

gS = gs s isin Sείναι πάλι ένα υποσύνολο του V ΄Ετσι κάθε στοιχείο της G καθορίζει microίαmicroετάθεση των υποσυνόλων του V και έτσι έχουmicroε microία δράση της G πάνω στοδυναmicroοσύνολο P(V ) του V Παρατηρούmicroε ότι |gS| = |S| ΄Ετσι για σταθερό kη δράση της G πάνω στο V επάγει microία δράση της G πάνω στα k-υποσύνολα(δηλαδή υποσύνολα του V microε k στοιχεία) του V ΄Οmicroοια η δράση της G πάνωστο V επάγει microία δράση της G πάνω στις διατεταγmicroενες k-άδες στοιχείων τουV

Αν Γ είναι ένα γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το V τότε microπορούmicroε να ϑε-ωρήσουmicroε κάθε αυτοmicroορϕισmicroό σαν microία microετάθεση του V και έτσι Aut(Γ) είναιοmicroάδα συmicromicroετριών ΄Εστω FV το σύνολο των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και έστω KV το πλήρες γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕώντο V Τότε υπάρχει microία προς microία αντιστοιχία microεταξύ των γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και των υποσυνόλων του E(KV ) Αϕού το KV έχει

(n2

)ακmicroές ο αριθmicroός των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων είναι 2(n

2) ∆οθέντος ενόςγραϕήmicroατος Γ το σύνολο των γραϕηmicroάτων που είναι ισόmicroορϕο microε το Γ ο-νοmicroάζεται η ισοmicroορϕική κλάση του Γ Οι ισοmicroορϕικές κλάσεις διαmicroελίζουντο σύνολο των γραϕηmicroάτων microε σύνολο κορυϕών το V ∆ύο τέτοια γραϕή-microατα Γ1 και Γ2 είναι ισόmicroορϕα αν υπάρχει microία microετάθεση του Sym(V ) πουνα στέλνει το σύνολο των ακmicroών του Γ1 πάνω στο σύνολο των ακmicroών του Γ2Συνεπώς microία ισοmicroορϕική κλάση δεν είναι τίποτα άλλο από microία τροχιά τηςδράσης της Sym(V ) πάνω στο δυναmicroοσύνολο του E(KV ) Εϕαρmicroόζοντας τολήmicromicroα τροχιά-σταθεροποιητής παίρνουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα Οπληθικός αριθmicroός της ισοmicroορϕικής κλάσης που περιέχει το δοθέν γράϕηmicroαΓ είναι n

|Aut(Γ)|

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 7

Εϕαρmicroογή 2 (Μεταβατική δράση) ΄Εστω ότι η οmicroάδα G δρα πάνω στο microη κενόσύνολο X Η δράση λέγεται microεταβατική (transitive) αν έχει microόνο microία τροχιά(Για παράδειγmicroα έστω n ϑετικός ακέραιος αριθmicroός και έστω X = 1 nΤότε η κανονική δράση της Sn πάνω στο X είναι microεταβατική) ΄Εστω H le Gκαι έστω X το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της H στην G Τότε είναιεύκολο να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο X microε αριστερό πολλαπλασιασmicroό σε κάθε g isin G και κάθε xH isin X αντιστοιχούmicroε το σύmicroπλοκο gxH Επίσηςη δράση είναι microεταβατική Πράγmicroατιν αν x1H και x2H είναι δύο δεξιά σύmicro-πλοκα τότε (x1xminus1

2 )x2H = x1H Παρατηρούmicroε ότι stabG(xH) = xHxminus1 Απότο Λήmicromicroα 1 |G xHxminus1| = |X | = |G H | Ασϕαλώς το συmicroπέρασmicroα αυτόέπεται από το Θεώρηmicroα Lagrange αν η G είναι πεπερασmicroένη ΄Εστω ρH ηmicroετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην ανωτέρω δράση ΤότεKerρH = capxisinGxHxminus1 = HG (∆ηλαδή ο core της H στην G) ΄Οταν |G H | lt infinmicroπορούmicroε να ταυτίσουmicroε την Sym(X ) microε την S|GH | Τότε ρH είναι οmicroοmicroορϕι-σmicroός της G στην S|GH | και από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού παίρνουmicroετο παρακάτω αποτέλεσmicroα

Πρόταση 1 Αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη τότε GHG

microπορεί να εmicroϕυτευθεί στην S|GH |

Ως συνέπεια έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 1 Αν H είναι υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη microιας άπειρης οmicroάδαςG τότε υπάρχει κανονική υποοmicroάδα K της G τέτοια ώστε K le H και GK είναιπεπερασmicroένη

Πρόταση 2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα και ότι ο p είναι ο microικρότεροςπρώτος διαιρέτης της τάξης της G Αν H είναι microία υποοmicroάδα της G microε δείκτη pτότε H G

Απόδειξη Υποθέτουmicroε ότι H le G microε |G H | = p Τότε |G HG | = |GHG | =p|H HG | Ισχυριζόmicroαστε ότι |H HG | = 1 ΄Εστω ότι |H HG | gt 1 και q έναςπρώτος διαιρέτης του |H HG | Τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange το q διαρείτην τάξη της G Από την υπόθεση microας το q ge p Από την άλλη πλευρά |GHG |διαιρεί το p Εποmicroένως pq διαιρεί (p minus 1)p και έτσι το q διαιρεί το (p minus 1)Αλλά ο q είναι πρώτος εποmicroένως q lt p άτοπο ΄Αρα |H HG | = 1 και έτσιπαίρνουmicroε το επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Παραδείγmicroατα 2 (I) (∆ράση οmicroάδας στον εαυτόν της microε συζυγία) ΄Εστω G microίαοmicroάδα Για κάθε g x isin G

gx = gxgminus1

(το συζυγές στοιχείο του x) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόντης ως εξής

g lowast x =g x = gxgminus1

για κάθε x g isin G Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση microεσυζυγία Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγιών του x (Μερικές φορέςονοmicroάζεται και κλάση συζυγίας του x) Επίσης

StabG(x) = CG(x)

(δηλαδή ο κεντροποιητής του x στην G) Η αντίστοιχη microετάθεση-αναπαράστασηείναι η απεικόνιση τ G minusrarr Sym(G) microε τύπο τ(g) = τg x 7minusrarr gxgminus1 Είναιεύκολο να δειχθεί ότι

Kerτ = capxisinGCG(x) = Z(G)

Εϕαρmicroόζοντας το Λήmicromicroα 1 |orb(x)| = |G CG(x)| για κάθε x isin G ΄Εναενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα είναι η εξίσωση κλάσεων ΄Εστω G microία πεπερασmicroένηοmicroάδα microε s διαϕορετικές κλάσεις συζυγίας και αν x1 xs στοιχεία της Gένα από κάθε κλάση συζυγίας τότε

|G| =ssum

i=1

|G CG(xi)|

(II) (∆ράση οmicroάδας στον δυναmicroοσύνολο της microε συζυγία) ΄Εστω G microία οmicroάδακαι P(G) το δυναmicroοσύνολο του G Για κάθε g isin G και για κάθε microη κενόυποσύνολο U του G το g microεταϕέρει το U στο σύνολο

gU = gUgminus1 = gugminus1 u isin U

που ονοmicroάζεται συζυγές του U Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνωστο P(G) Επίσης είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η δράση αυτή αποτελείγενίκευση της δράσης του Παραδείγmicroατος 2 (Ι) (Αρκεί να περιοριστούmicroε σταυποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο)

Για κάθε U isin P(G) η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U δηλαδή

orb(U ) = gUgminus1 g isin G

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9

που ονοmicroάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G Ο σταθεροποιητής

StabG(U ) = g isin G gUgminus1 = U

που ονοmicroάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συmicroβολίζεται NG(U ) Με-ϱικές φορές χρησιmicroοποιούmicroε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούmicroεH le NG(U ) Το Λήmicromicroα 1 στη περίπτωση γράϕεται

Πόρισmicroα 2 Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της G |orb(U )| = |G NG(U )| Μεάλλα λόγια |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG

Για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδική υποοmicroάδα τηςG στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα Για κάθε microη κενόυποσύνολο U της G ορίζουmicroε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι

CG(U ) = capuisinU CG(u) le G

Παρατηρήστε ότι CG(U ) = G αν και microόνο αν U sube Z(G) Μερικές φορές λέmicroεότι H κεντροποιεί το U και εννούmicroε ότι H le CG(U ) Γενικά CG(U ) E NG(U )

Λήmicromicroα 5 Για κάθε H le G CG(H)ENG(H) και NG(H)CG(H) microπορεί να εmicroϕυ-τευθεί στην Aut(H)

Απόδειξη Αϕού H le NG(H) gh isin H για κάθε h isin H και g isin NG(H) Τότεείναι προϕανές ότι ο NG(H) δρα πάνω στο H microε συζυγία ΄Εστω σ η microετάθεση-αναπαράσταση του NG(H) Τότε για κάθε g isin NG(H) σ(g)(h) = gh γιαόλα τα h isin H Επίσης Kerσ = CG(H) (αϕού CG(H) le NG(H)) Από το 1οϑεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού CG(H) E NG(H) και Imσ NG(H)CG(H) Για κάθεg isin NG(H) σ(g) είναι microετάθεση του H Επιπλέον σ(g) είναι αυτοmicroορϕισmicroόςτης H Εποmicroένως Imσ είναι υποοmicroάδα της Aut(H) έτσι NG(H)CG(H) microπορείνα εmicroϕυτευθεί στην Aut(H)

Αν η H είναι πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε προϕανώς Aut(H) είναι πεπερα-σmicroένη οmicroάδα Από το Λήmicromicroα 5 έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 3 ΄Εστω G microία άπειρη οmicroάδα Τότε για κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα H της G GCG(H) είναι πεπερασmicroένη Συγκεκριmicroένα αν η G δενέχει microη-τετριmicromicroένα πεπερασmicroένα πηλίκα τότε κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 2: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

2 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

για όλα τα g isin G και x isin X Το gminus1 χρησιmicroοποιείται για να επαληθεύονται οισυνθήκες της δεξιάς δράσης

12 Μετάθεση-Αναπαράσταση

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα microας δίνει την σχέση microεταξύ δράσης οmicroάδας σεσύνολο και αναπαράστασης Οδηγεί στην έννοια microετάθεση-αναπαράστασητης οmicroάδας Η απόδειξη του είναι απλή και αϕήνεται στον αναγνώστη ωςάσκηση

Θεώρηmicroα 1 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη κενό σύνολο(i) ΄Εστω ότι η G δρα πάνω στο X Τότε σε κάθε στοιχείο g isin G αντιστοιχεί

microία απεικόνισηρg X minusrarr X

microε τύπο ρg(x) = gx Η ρg είναι microετάθεση για κάθε g isin G Η απεικόνιση

ρ G minusrarr Sym(X )

που στέλνει το g στο ρg είναι οmicroοmicroορϕισmicroός Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεταιmicroετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην δράση της G στο X

(ii) ΄Εστω σ ένας οmicroοmicroορϕισmicroός από τη G στη Sym(X ) Τότε η G δρα πάνωστο X

gx = σ(g)(x)

για κάθε g isin G και x isin X Η microετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχείσε αυτή τη δράση είναι η σ

΄Ετσι όταν ϑεωρούmicroε δράση οmicroάδων πάνω σε microη-microηδενικό σύνολο X δενπεριοριζόmicroαστε microόνο στις υποοmicroάδες της Sym(X ) αλλά στους οmicroοmicroορϕι-σmicroούς των οmicroάδων στη Sym(X ) Στη περίπτωση που ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ τουΘεωρήmicroατος 1 είναι microονοmicroορϕισmicroός λέmicroε ότι η G δρα πιστά στο X

13 Λήmicromicroα Burnside

Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στο X Ορίζουmicroε microία σχέση sim πάνω στο X(δηλαδή simsube X times X ) ως εξής αν x y isin X τότε x sim y αν και microόνο αν υπάρχει

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 3

g isin G έτσι ώστε gx = y Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η sim είναι σχέσηισοδυναmicroίας Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας ονοmicroάζονται τροχιές (orbits) ΄Ετσι

orb(x) = gx g isin G

ΘέτουmicroεStabG(x) = g isin G gx = x

Είναι απλό να διαπιστώσουmicroε ότι το StabG(x) είναι υποοmicroάδα της G πουονοmicroάζεται σταθεροποιητής του x στην οmicroάδα G Η σχέση που συνδέει τηνmicroετάθεση-αναπαράσταση ρ της οmicroάδας G microε τους σταθεροποιητές είναι ηεξής

Kerρ = capxisinX StabG(x)

΄Εστω H le G Τότε η H δρα πάνω στο σύνολο G microε αριστερό πολλα-πλασιασmicroό δηλαδή σε κάθε h isin H και g isin G αντιστοιχούmicroε το hg isin GΧρησιmicroοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα και την ιδιότητα του ουδετέ-ϱου στοιχείου είναι εύκολο να δειχθεί ότι η παραπάνω ορισθείσα αντιστοιχίαορίζει δράση της H πάνω στο G Για g isin G

StabH(g) = h isin H hg = g = 1

Με άλλα λόγια η δράση είναι πιστή Επίσης η τροχιά του g είναι το σύνολο

ordH(g) = hg h isin H = Hg

το δεξιό σύmicroπλοκο της H στην G που περιέχει το g Εποmicroένως τα διαϕορετικάδεξιά σύmicroπλοκα της H στην G είναι ξένα microεταξύ τους Χρησιmicroοποιώντας τονδεξιό πολλαπλασιασmicroό παίρνουmicroε δεξιά δράση της H στην G και εποmicroένωςτην κατασκευή των αριστερών συmicroπλόκων Αποδεικνύοντας ότι |Hg| = |gH |για κάθε g isin G microπορούmicroε να συmicroπεράνουmicroε το Θεώρηmicroα Lagrange ΑνH = G τότε αποδεικνύεται το Θεώρηmicroα Cayley

Το επόmicroενο αποτέλεσmicroα αναϕέρεται στο microήκος της τροχιάς ενός στοιχείουστην G και είναι το κλειδί σε πολλές εϕαρmicroογές

Λήmicromicroα 1 ΄Εστω ότι η G δρα πάνω στο microη-κενό σύνολο X και έστω x isin X Τότε|orb(x)| = |G StabG(x)|

Απόδειξη Γράϕουmicroε X1 = orb(x) H = StabG(x) και Y το σύνολο των αριστερώνσυmicroπλόκων της H στη G Ορίζουmicroε την απεικόνιση

micro X1 minusrarr Y

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

microε τύπο micro(gx) = gH Ισχυριζόmicroαστε ότι η micro είναι 1 minus 1 και επί Πρώτα απόόλα ϑα δείξουmicroε ότι η micro είναι καλά-ορισmicroένη ΄Εστω g1 g2 isin G Πρέπει ναδείξουmicroε ότι αν g1x = g2x τότε g1H = g2H Χρησιmicroοποιώντας τα αξιώmicroατατου ορισmicroού της δράσης ϐλέπουmicroε ότι αν g1x = g2x τότε

(gminus12 g1)x = gminus1

2 (g1x) = gminus12 (g2x) = (gminus1

2 g2)x = 1x = x

΄Ετσι gminus12 g1 isin StabG(x) = H Συνεπώς g1H = g2H Αν g1H = g2H τότε

gminus12 g1 isin H εποmicroένως (gminus1

2 g1)x = x και έτσι g1x = (g2(gminus12 g1))x = g2x ΄Αρα η micro

είναι 1minus 1 Είναι εύκολο να δούmicroε ότι η micro είναι και επί Συνεπώς παίρνουmicroετο Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

΄Εστω V ένα microη κενό πεπερασmicroένο σύνολο microε |V | = n Μία οmicroάδα συmicromicroε-τριών (permutation group) πάνω στο V είναι εξ ορισmicroού microία υποοmicroάδα τηςSym(V ) ΄Εστω G le Sym(V ) Τότε η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v)για όλα τα v isin V όπου g(v) συmicroβολίζει την εικόνα του v microέσω της microετάθεσηςg Ως άmicroεση συνέπεια του Λήmicromicroατος 1 και του Θεωρήmicroατος Lagrange εί-ναι το παρακάτω αποτέλεσmicroα που είναι γνωστό στην ϐιβλιογραϕία ως Λήmicromicroατροχιά-σταθεροποιητής

Λήmicromicroα 2 (Τροχιά-Σταθεροποιητής) ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δραπάνω στο πεπερασmicroένο σύνολο V και έστω v isin V Τότε |StabG(v)||orb(v)| = |G|

Το επόmicroενο αποτέλεσmicroα microας λέει ότι οι σταθεροποιητές δύο στοιχείων τηςίδιας τροχιάς microιας οmicroάδας G είναι συζυγείς

Λήmicromicroα 3 ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δρα πάνω στο σύνολο V καιέστω v isin V Αν g isin G τότε gStabG(v)gminus1 = StabG(gv)

Απόδειξη ΄Εστω h isin StabG(gv) Τότε (hg)v = gv και συνεπώς gminus1hg isin StabG(v)δηλ h isin gStabG(v)gminus1 Αντίστροϕα έστω h isin gStabG(v)gminus1 Τότε h = ghprimegminus1

microε hprime isin StabG(v) ΄Ετσι hprime = gminus1hg isin StabG(v) και εποmicroένως (gminus1hg)v = v΄Αρα h isin StabG(gv)

Πριν διατυπώσουmicroε και αποδείξουmicroε το Λήmicromicroα Burnside χρειαζόmicroαστεέναν ορισmicroό Για κάθε microετάθεση σ του V fix(σ) είναι το σύνολο όλων τωνv isin V που είναι σταθερά κάτω από την δράση της σ δηλ

fix(σ) = v isin V σ(v) = σv = v

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 5

Λήmicromicroα 4 (Burnside) ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δρα πάνω στο πεπε-ϱασmicroένο σύνολο V Τότε ο αριθmicroός t των τροχιών της G πάνω στο V ισούται microε1|G|

sumσisinG |fix(σ)|

Απόδειξη ΄ΕστωT = (σ v) isin G times V σv = v

Μετράmicroε microε δύο τρόπους τα στοιχεία του T Σταθεροποιούmicroε το v isin V καιπαίρνουmicroε όλα τα σ τέτοια ώστε σv = v Τότε

|T | =sumvisinV|StabG(v)|

Για κάθε τέτοιο σ ο αριθmicroός των v για τα οποία σv = v είναι ίσος microε το |fix(σ)|΄Ετσι αθροίζοντας πάνω από όλα τα σ έχουmicroε ότι

|T | =sumσisinG|fix(σ)|

΄Ετσι sumvisinV|StabG(v)| =

sumσisinG|fix(σ)|

∆ιαmicroελίζουmicroε το V microε την ϐοήθεια της δράσης σε τροχιές

V = orb(v1)cup middot middot middot cuporb(vt)

Τότεtsum

i=1

sumsisinorb(vi )

|StabG(s)| =sumσisinG|fix(σ)|

Από το Λήmicromicroα 3 αν s isin orb(vi) τότε

StabG(s) = σStabG(vi)σminus1

όπου σvi = s Συνεπώς

|StabG(vi)| = |StabG(s)|

όπου s isin orb(vi) ΄Ετσι

tsumi=1

|orb(vi)||StabG(vi)| =sumσisinG|fix(σ)|

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Από το λήmicromicroα (τροχιά-σταθεροποιητής)

t |G| =sumσisinG|fix(σ)|

και έτσι παίρνουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

Θα δώσουmicroε δύο ενδιαϕέρουσες εϕαρmicroογές των εννοιών που αναπτύχθη-καν παραπάνω

Εϕαρmicroογή 1 (Ασυmicromicroετρικά γραϕήmicroατα) ΄Εστω V ένα microη-κενό πεπερασmicroένοσύνολο microε |V | = n ΄Εστω G le Sym(V ) Η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v) για όλα τα v isin V Η δράση της G πάνω στο V επάγει και δράσηπάνω στα υποσύνολα του V ως εξης αν S είναι ένα υποσύνολο του V τότε

gS = gs s isin Sείναι πάλι ένα υποσύνολο του V ΄Ετσι κάθε στοιχείο της G καθορίζει microίαmicroετάθεση των υποσυνόλων του V και έτσι έχουmicroε microία δράση της G πάνω στοδυναmicroοσύνολο P(V ) του V Παρατηρούmicroε ότι |gS| = |S| ΄Ετσι για σταθερό kη δράση της G πάνω στο V επάγει microία δράση της G πάνω στα k-υποσύνολα(δηλαδή υποσύνολα του V microε k στοιχεία) του V ΄Οmicroοια η δράση της G πάνωστο V επάγει microία δράση της G πάνω στις διατεταγmicroενες k-άδες στοιχείων τουV

Αν Γ είναι ένα γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το V τότε microπορούmicroε να ϑε-ωρήσουmicroε κάθε αυτοmicroορϕισmicroό σαν microία microετάθεση του V και έτσι Aut(Γ) είναιοmicroάδα συmicromicroετριών ΄Εστω FV το σύνολο των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και έστω KV το πλήρες γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕώντο V Τότε υπάρχει microία προς microία αντιστοιχία microεταξύ των γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και των υποσυνόλων του E(KV ) Αϕού το KV έχει

(n2

)ακmicroές ο αριθmicroός των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων είναι 2(n

2) ∆οθέντος ενόςγραϕήmicroατος Γ το σύνολο των γραϕηmicroάτων που είναι ισόmicroορϕο microε το Γ ο-νοmicroάζεται η ισοmicroορϕική κλάση του Γ Οι ισοmicroορϕικές κλάσεις διαmicroελίζουντο σύνολο των γραϕηmicroάτων microε σύνολο κορυϕών το V ∆ύο τέτοια γραϕή-microατα Γ1 και Γ2 είναι ισόmicroορϕα αν υπάρχει microία microετάθεση του Sym(V ) πουνα στέλνει το σύνολο των ακmicroών του Γ1 πάνω στο σύνολο των ακmicroών του Γ2Συνεπώς microία ισοmicroορϕική κλάση δεν είναι τίποτα άλλο από microία τροχιά τηςδράσης της Sym(V ) πάνω στο δυναmicroοσύνολο του E(KV ) Εϕαρmicroόζοντας τολήmicromicroα τροχιά-σταθεροποιητής παίρνουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα Οπληθικός αριθmicroός της ισοmicroορϕικής κλάσης που περιέχει το δοθέν γράϕηmicroαΓ είναι n

|Aut(Γ)|

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 7

Εϕαρmicroογή 2 (Μεταβατική δράση) ΄Εστω ότι η οmicroάδα G δρα πάνω στο microη κενόσύνολο X Η δράση λέγεται microεταβατική (transitive) αν έχει microόνο microία τροχιά(Για παράδειγmicroα έστω n ϑετικός ακέραιος αριθmicroός και έστω X = 1 nΤότε η κανονική δράση της Sn πάνω στο X είναι microεταβατική) ΄Εστω H le Gκαι έστω X το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της H στην G Τότε είναιεύκολο να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο X microε αριστερό πολλαπλασιασmicroό σε κάθε g isin G και κάθε xH isin X αντιστοιχούmicroε το σύmicroπλοκο gxH Επίσηςη δράση είναι microεταβατική Πράγmicroατιν αν x1H και x2H είναι δύο δεξιά σύmicro-πλοκα τότε (x1xminus1

2 )x2H = x1H Παρατηρούmicroε ότι stabG(xH) = xHxminus1 Απότο Λήmicromicroα 1 |G xHxminus1| = |X | = |G H | Ασϕαλώς το συmicroπέρασmicroα αυτόέπεται από το Θεώρηmicroα Lagrange αν η G είναι πεπερασmicroένη ΄Εστω ρH ηmicroετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην ανωτέρω δράση ΤότεKerρH = capxisinGxHxminus1 = HG (∆ηλαδή ο core της H στην G) ΄Οταν |G H | lt infinmicroπορούmicroε να ταυτίσουmicroε την Sym(X ) microε την S|GH | Τότε ρH είναι οmicroοmicroορϕι-σmicroός της G στην S|GH | και από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού παίρνουmicroετο παρακάτω αποτέλεσmicroα

Πρόταση 1 Αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη τότε GHG

microπορεί να εmicroϕυτευθεί στην S|GH |

Ως συνέπεια έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 1 Αν H είναι υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη microιας άπειρης οmicroάδαςG τότε υπάρχει κανονική υποοmicroάδα K της G τέτοια ώστε K le H και GK είναιπεπερασmicroένη

Πρόταση 2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα και ότι ο p είναι ο microικρότεροςπρώτος διαιρέτης της τάξης της G Αν H είναι microία υποοmicroάδα της G microε δείκτη pτότε H G

Απόδειξη Υποθέτουmicroε ότι H le G microε |G H | = p Τότε |G HG | = |GHG | =p|H HG | Ισχυριζόmicroαστε ότι |H HG | = 1 ΄Εστω ότι |H HG | gt 1 και q έναςπρώτος διαιρέτης του |H HG | Τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange το q διαρείτην τάξη της G Από την υπόθεση microας το q ge p Από την άλλη πλευρά |GHG |διαιρεί το p Εποmicroένως pq διαιρεί (p minus 1)p και έτσι το q διαιρεί το (p minus 1)Αλλά ο q είναι πρώτος εποmicroένως q lt p άτοπο ΄Αρα |H HG | = 1 και έτσιπαίρνουmicroε το επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Παραδείγmicroατα 2 (I) (∆ράση οmicroάδας στον εαυτόν της microε συζυγία) ΄Εστω G microίαοmicroάδα Για κάθε g x isin G

gx = gxgminus1

(το συζυγές στοιχείο του x) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόντης ως εξής

g lowast x =g x = gxgminus1

για κάθε x g isin G Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση microεσυζυγία Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγιών του x (Μερικές φορέςονοmicroάζεται και κλάση συζυγίας του x) Επίσης

StabG(x) = CG(x)

(δηλαδή ο κεντροποιητής του x στην G) Η αντίστοιχη microετάθεση-αναπαράστασηείναι η απεικόνιση τ G minusrarr Sym(G) microε τύπο τ(g) = τg x 7minusrarr gxgminus1 Είναιεύκολο να δειχθεί ότι

Kerτ = capxisinGCG(x) = Z(G)

Εϕαρmicroόζοντας το Λήmicromicroα 1 |orb(x)| = |G CG(x)| για κάθε x isin G ΄Εναενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα είναι η εξίσωση κλάσεων ΄Εστω G microία πεπερασmicroένηοmicroάδα microε s διαϕορετικές κλάσεις συζυγίας και αν x1 xs στοιχεία της Gένα από κάθε κλάση συζυγίας τότε

|G| =ssum

i=1

|G CG(xi)|

(II) (∆ράση οmicroάδας στον δυναmicroοσύνολο της microε συζυγία) ΄Εστω G microία οmicroάδακαι P(G) το δυναmicroοσύνολο του G Για κάθε g isin G και για κάθε microη κενόυποσύνολο U του G το g microεταϕέρει το U στο σύνολο

gU = gUgminus1 = gugminus1 u isin U

που ονοmicroάζεται συζυγές του U Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνωστο P(G) Επίσης είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η δράση αυτή αποτελείγενίκευση της δράσης του Παραδείγmicroατος 2 (Ι) (Αρκεί να περιοριστούmicroε σταυποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο)

Για κάθε U isin P(G) η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U δηλαδή

orb(U ) = gUgminus1 g isin G

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9

που ονοmicroάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G Ο σταθεροποιητής

StabG(U ) = g isin G gUgminus1 = U

που ονοmicroάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συmicroβολίζεται NG(U ) Με-ϱικές φορές χρησιmicroοποιούmicroε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούmicroεH le NG(U ) Το Λήmicromicroα 1 στη περίπτωση γράϕεται

Πόρισmicroα 2 Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της G |orb(U )| = |G NG(U )| Μεάλλα λόγια |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG

Για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδική υποοmicroάδα τηςG στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα Για κάθε microη κενόυποσύνολο U της G ορίζουmicroε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι

CG(U ) = capuisinU CG(u) le G

Παρατηρήστε ότι CG(U ) = G αν και microόνο αν U sube Z(G) Μερικές φορές λέmicroεότι H κεντροποιεί το U και εννούmicroε ότι H le CG(U ) Γενικά CG(U ) E NG(U )

Λήmicromicroα 5 Για κάθε H le G CG(H)ENG(H) και NG(H)CG(H) microπορεί να εmicroϕυ-τευθεί στην Aut(H)

Απόδειξη Αϕού H le NG(H) gh isin H για κάθε h isin H και g isin NG(H) Τότεείναι προϕανές ότι ο NG(H) δρα πάνω στο H microε συζυγία ΄Εστω σ η microετάθεση-αναπαράσταση του NG(H) Τότε για κάθε g isin NG(H) σ(g)(h) = gh γιαόλα τα h isin H Επίσης Kerσ = CG(H) (αϕού CG(H) le NG(H)) Από το 1οϑεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού CG(H) E NG(H) και Imσ NG(H)CG(H) Για κάθεg isin NG(H) σ(g) είναι microετάθεση του H Επιπλέον σ(g) είναι αυτοmicroορϕισmicroόςτης H Εποmicroένως Imσ είναι υποοmicroάδα της Aut(H) έτσι NG(H)CG(H) microπορείνα εmicroϕυτευθεί στην Aut(H)

Αν η H είναι πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε προϕανώς Aut(H) είναι πεπερα-σmicroένη οmicroάδα Από το Λήmicromicroα 5 έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 3 ΄Εστω G microία άπειρη οmicroάδα Τότε για κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα H της G GCG(H) είναι πεπερασmicroένη Συγκεκριmicroένα αν η G δενέχει microη-τετριmicromicroένα πεπερασmicroένα πηλίκα τότε κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 3: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 3

g isin G έτσι ώστε gx = y Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η sim είναι σχέσηισοδυναmicroίας Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας ονοmicroάζονται τροχιές (orbits) ΄Ετσι

orb(x) = gx g isin G

ΘέτουmicroεStabG(x) = g isin G gx = x

Είναι απλό να διαπιστώσουmicroε ότι το StabG(x) είναι υποοmicroάδα της G πουονοmicroάζεται σταθεροποιητής του x στην οmicroάδα G Η σχέση που συνδέει τηνmicroετάθεση-αναπαράσταση ρ της οmicroάδας G microε τους σταθεροποιητές είναι ηεξής

Kerρ = capxisinX StabG(x)

΄Εστω H le G Τότε η H δρα πάνω στο σύνολο G microε αριστερό πολλα-πλασιασmicroό δηλαδή σε κάθε h isin H και g isin G αντιστοιχούmicroε το hg isin GΧρησιmicroοποιώντας την προσεταιριστική ιδιότητα και την ιδιότητα του ουδετέ-ϱου στοιχείου είναι εύκολο να δειχθεί ότι η παραπάνω ορισθείσα αντιστοιχίαορίζει δράση της H πάνω στο G Για g isin G

StabH(g) = h isin H hg = g = 1

Με άλλα λόγια η δράση είναι πιστή Επίσης η τροχιά του g είναι το σύνολο

ordH(g) = hg h isin H = Hg

το δεξιό σύmicroπλοκο της H στην G που περιέχει το g Εποmicroένως τα διαϕορετικάδεξιά σύmicroπλοκα της H στην G είναι ξένα microεταξύ τους Χρησιmicroοποιώντας τονδεξιό πολλαπλασιασmicroό παίρνουmicroε δεξιά δράση της H στην G και εποmicroένωςτην κατασκευή των αριστερών συmicroπλόκων Αποδεικνύοντας ότι |Hg| = |gH |για κάθε g isin G microπορούmicroε να συmicroπεράνουmicroε το Θεώρηmicroα Lagrange ΑνH = G τότε αποδεικνύεται το Θεώρηmicroα Cayley

Το επόmicroενο αποτέλεσmicroα αναϕέρεται στο microήκος της τροχιάς ενός στοιχείουστην G και είναι το κλειδί σε πολλές εϕαρmicroογές

Λήmicromicroα 1 ΄Εστω ότι η G δρα πάνω στο microη-κενό σύνολο X και έστω x isin X Τότε|orb(x)| = |G StabG(x)|

Απόδειξη Γράϕουmicroε X1 = orb(x) H = StabG(x) και Y το σύνολο των αριστερώνσυmicroπλόκων της H στη G Ορίζουmicroε την απεικόνιση

micro X1 minusrarr Y

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

microε τύπο micro(gx) = gH Ισχυριζόmicroαστε ότι η micro είναι 1 minus 1 και επί Πρώτα απόόλα ϑα δείξουmicroε ότι η micro είναι καλά-ορισmicroένη ΄Εστω g1 g2 isin G Πρέπει ναδείξουmicroε ότι αν g1x = g2x τότε g1H = g2H Χρησιmicroοποιώντας τα αξιώmicroατατου ορισmicroού της δράσης ϐλέπουmicroε ότι αν g1x = g2x τότε

(gminus12 g1)x = gminus1

2 (g1x) = gminus12 (g2x) = (gminus1

2 g2)x = 1x = x

΄Ετσι gminus12 g1 isin StabG(x) = H Συνεπώς g1H = g2H Αν g1H = g2H τότε

gminus12 g1 isin H εποmicroένως (gminus1

2 g1)x = x και έτσι g1x = (g2(gminus12 g1))x = g2x ΄Αρα η micro

είναι 1minus 1 Είναι εύκολο να δούmicroε ότι η micro είναι και επί Συνεπώς παίρνουmicroετο Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

΄Εστω V ένα microη κενό πεπερασmicroένο σύνολο microε |V | = n Μία οmicroάδα συmicromicroε-τριών (permutation group) πάνω στο V είναι εξ ορισmicroού microία υποοmicroάδα τηςSym(V ) ΄Εστω G le Sym(V ) Τότε η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v)για όλα τα v isin V όπου g(v) συmicroβολίζει την εικόνα του v microέσω της microετάθεσηςg Ως άmicroεση συνέπεια του Λήmicromicroατος 1 και του Θεωρήmicroατος Lagrange εί-ναι το παρακάτω αποτέλεσmicroα που είναι γνωστό στην ϐιβλιογραϕία ως Λήmicromicroατροχιά-σταθεροποιητής

Λήmicromicroα 2 (Τροχιά-Σταθεροποιητής) ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δραπάνω στο πεπερασmicroένο σύνολο V και έστω v isin V Τότε |StabG(v)||orb(v)| = |G|

Το επόmicroενο αποτέλεσmicroα microας λέει ότι οι σταθεροποιητές δύο στοιχείων τηςίδιας τροχιάς microιας οmicroάδας G είναι συζυγείς

Λήmicromicroα 3 ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δρα πάνω στο σύνολο V καιέστω v isin V Αν g isin G τότε gStabG(v)gminus1 = StabG(gv)

Απόδειξη ΄Εστω h isin StabG(gv) Τότε (hg)v = gv και συνεπώς gminus1hg isin StabG(v)δηλ h isin gStabG(v)gminus1 Αντίστροϕα έστω h isin gStabG(v)gminus1 Τότε h = ghprimegminus1

microε hprime isin StabG(v) ΄Ετσι hprime = gminus1hg isin StabG(v) και εποmicroένως (gminus1hg)v = v΄Αρα h isin StabG(gv)

Πριν διατυπώσουmicroε και αποδείξουmicroε το Λήmicromicroα Burnside χρειαζόmicroαστεέναν ορισmicroό Για κάθε microετάθεση σ του V fix(σ) είναι το σύνολο όλων τωνv isin V που είναι σταθερά κάτω από την δράση της σ δηλ

fix(σ) = v isin V σ(v) = σv = v

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 5

Λήmicromicroα 4 (Burnside) ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δρα πάνω στο πεπε-ϱασmicroένο σύνολο V Τότε ο αριθmicroός t των τροχιών της G πάνω στο V ισούται microε1|G|

sumσisinG |fix(σ)|

Απόδειξη ΄ΕστωT = (σ v) isin G times V σv = v

Μετράmicroε microε δύο τρόπους τα στοιχεία του T Σταθεροποιούmicroε το v isin V καιπαίρνουmicroε όλα τα σ τέτοια ώστε σv = v Τότε

|T | =sumvisinV|StabG(v)|

Για κάθε τέτοιο σ ο αριθmicroός των v για τα οποία σv = v είναι ίσος microε το |fix(σ)|΄Ετσι αθροίζοντας πάνω από όλα τα σ έχουmicroε ότι

|T | =sumσisinG|fix(σ)|

΄Ετσι sumvisinV|StabG(v)| =

sumσisinG|fix(σ)|

∆ιαmicroελίζουmicroε το V microε την ϐοήθεια της δράσης σε τροχιές

V = orb(v1)cup middot middot middot cuporb(vt)

Τότεtsum

i=1

sumsisinorb(vi )

|StabG(s)| =sumσisinG|fix(σ)|

Από το Λήmicromicroα 3 αν s isin orb(vi) τότε

StabG(s) = σStabG(vi)σminus1

όπου σvi = s Συνεπώς

|StabG(vi)| = |StabG(s)|

όπου s isin orb(vi) ΄Ετσι

tsumi=1

|orb(vi)||StabG(vi)| =sumσisinG|fix(σ)|

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Από το λήmicromicroα (τροχιά-σταθεροποιητής)

t |G| =sumσisinG|fix(σ)|

και έτσι παίρνουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

Θα δώσουmicroε δύο ενδιαϕέρουσες εϕαρmicroογές των εννοιών που αναπτύχθη-καν παραπάνω

Εϕαρmicroογή 1 (Ασυmicromicroετρικά γραϕήmicroατα) ΄Εστω V ένα microη-κενό πεπερασmicroένοσύνολο microε |V | = n ΄Εστω G le Sym(V ) Η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v) για όλα τα v isin V Η δράση της G πάνω στο V επάγει και δράσηπάνω στα υποσύνολα του V ως εξης αν S είναι ένα υποσύνολο του V τότε

gS = gs s isin Sείναι πάλι ένα υποσύνολο του V ΄Ετσι κάθε στοιχείο της G καθορίζει microίαmicroετάθεση των υποσυνόλων του V και έτσι έχουmicroε microία δράση της G πάνω στοδυναmicroοσύνολο P(V ) του V Παρατηρούmicroε ότι |gS| = |S| ΄Ετσι για σταθερό kη δράση της G πάνω στο V επάγει microία δράση της G πάνω στα k-υποσύνολα(δηλαδή υποσύνολα του V microε k στοιχεία) του V ΄Οmicroοια η δράση της G πάνωστο V επάγει microία δράση της G πάνω στις διατεταγmicroενες k-άδες στοιχείων τουV

Αν Γ είναι ένα γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το V τότε microπορούmicroε να ϑε-ωρήσουmicroε κάθε αυτοmicroορϕισmicroό σαν microία microετάθεση του V και έτσι Aut(Γ) είναιοmicroάδα συmicromicroετριών ΄Εστω FV το σύνολο των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και έστω KV το πλήρες γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕώντο V Τότε υπάρχει microία προς microία αντιστοιχία microεταξύ των γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και των υποσυνόλων του E(KV ) Αϕού το KV έχει

(n2

)ακmicroές ο αριθmicroός των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων είναι 2(n

2) ∆οθέντος ενόςγραϕήmicroατος Γ το σύνολο των γραϕηmicroάτων που είναι ισόmicroορϕο microε το Γ ο-νοmicroάζεται η ισοmicroορϕική κλάση του Γ Οι ισοmicroορϕικές κλάσεις διαmicroελίζουντο σύνολο των γραϕηmicroάτων microε σύνολο κορυϕών το V ∆ύο τέτοια γραϕή-microατα Γ1 και Γ2 είναι ισόmicroορϕα αν υπάρχει microία microετάθεση του Sym(V ) πουνα στέλνει το σύνολο των ακmicroών του Γ1 πάνω στο σύνολο των ακmicroών του Γ2Συνεπώς microία ισοmicroορϕική κλάση δεν είναι τίποτα άλλο από microία τροχιά τηςδράσης της Sym(V ) πάνω στο δυναmicroοσύνολο του E(KV ) Εϕαρmicroόζοντας τολήmicromicroα τροχιά-σταθεροποιητής παίρνουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα Οπληθικός αριθmicroός της ισοmicroορϕικής κλάσης που περιέχει το δοθέν γράϕηmicroαΓ είναι n

|Aut(Γ)|

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 7

Εϕαρmicroογή 2 (Μεταβατική δράση) ΄Εστω ότι η οmicroάδα G δρα πάνω στο microη κενόσύνολο X Η δράση λέγεται microεταβατική (transitive) αν έχει microόνο microία τροχιά(Για παράδειγmicroα έστω n ϑετικός ακέραιος αριθmicroός και έστω X = 1 nΤότε η κανονική δράση της Sn πάνω στο X είναι microεταβατική) ΄Εστω H le Gκαι έστω X το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της H στην G Τότε είναιεύκολο να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο X microε αριστερό πολλαπλασιασmicroό σε κάθε g isin G και κάθε xH isin X αντιστοιχούmicroε το σύmicroπλοκο gxH Επίσηςη δράση είναι microεταβατική Πράγmicroατιν αν x1H και x2H είναι δύο δεξιά σύmicro-πλοκα τότε (x1xminus1

2 )x2H = x1H Παρατηρούmicroε ότι stabG(xH) = xHxminus1 Απότο Λήmicromicroα 1 |G xHxminus1| = |X | = |G H | Ασϕαλώς το συmicroπέρασmicroα αυτόέπεται από το Θεώρηmicroα Lagrange αν η G είναι πεπερασmicroένη ΄Εστω ρH ηmicroετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην ανωτέρω δράση ΤότεKerρH = capxisinGxHxminus1 = HG (∆ηλαδή ο core της H στην G) ΄Οταν |G H | lt infinmicroπορούmicroε να ταυτίσουmicroε την Sym(X ) microε την S|GH | Τότε ρH είναι οmicroοmicroορϕι-σmicroός της G στην S|GH | και από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού παίρνουmicroετο παρακάτω αποτέλεσmicroα

Πρόταση 1 Αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη τότε GHG

microπορεί να εmicroϕυτευθεί στην S|GH |

Ως συνέπεια έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 1 Αν H είναι υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη microιας άπειρης οmicroάδαςG τότε υπάρχει κανονική υποοmicroάδα K της G τέτοια ώστε K le H και GK είναιπεπερασmicroένη

Πρόταση 2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα και ότι ο p είναι ο microικρότεροςπρώτος διαιρέτης της τάξης της G Αν H είναι microία υποοmicroάδα της G microε δείκτη pτότε H G

Απόδειξη Υποθέτουmicroε ότι H le G microε |G H | = p Τότε |G HG | = |GHG | =p|H HG | Ισχυριζόmicroαστε ότι |H HG | = 1 ΄Εστω ότι |H HG | gt 1 και q έναςπρώτος διαιρέτης του |H HG | Τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange το q διαρείτην τάξη της G Από την υπόθεση microας το q ge p Από την άλλη πλευρά |GHG |διαιρεί το p Εποmicroένως pq διαιρεί (p minus 1)p και έτσι το q διαιρεί το (p minus 1)Αλλά ο q είναι πρώτος εποmicroένως q lt p άτοπο ΄Αρα |H HG | = 1 και έτσιπαίρνουmicroε το επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Παραδείγmicroατα 2 (I) (∆ράση οmicroάδας στον εαυτόν της microε συζυγία) ΄Εστω G microίαοmicroάδα Για κάθε g x isin G

gx = gxgminus1

(το συζυγές στοιχείο του x) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόντης ως εξής

g lowast x =g x = gxgminus1

για κάθε x g isin G Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση microεσυζυγία Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγιών του x (Μερικές φορέςονοmicroάζεται και κλάση συζυγίας του x) Επίσης

StabG(x) = CG(x)

(δηλαδή ο κεντροποιητής του x στην G) Η αντίστοιχη microετάθεση-αναπαράστασηείναι η απεικόνιση τ G minusrarr Sym(G) microε τύπο τ(g) = τg x 7minusrarr gxgminus1 Είναιεύκολο να δειχθεί ότι

Kerτ = capxisinGCG(x) = Z(G)

Εϕαρmicroόζοντας το Λήmicromicroα 1 |orb(x)| = |G CG(x)| για κάθε x isin G ΄Εναενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα είναι η εξίσωση κλάσεων ΄Εστω G microία πεπερασmicroένηοmicroάδα microε s διαϕορετικές κλάσεις συζυγίας και αν x1 xs στοιχεία της Gένα από κάθε κλάση συζυγίας τότε

|G| =ssum

i=1

|G CG(xi)|

(II) (∆ράση οmicroάδας στον δυναmicroοσύνολο της microε συζυγία) ΄Εστω G microία οmicroάδακαι P(G) το δυναmicroοσύνολο του G Για κάθε g isin G και για κάθε microη κενόυποσύνολο U του G το g microεταϕέρει το U στο σύνολο

gU = gUgminus1 = gugminus1 u isin U

που ονοmicroάζεται συζυγές του U Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνωστο P(G) Επίσης είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η δράση αυτή αποτελείγενίκευση της δράσης του Παραδείγmicroατος 2 (Ι) (Αρκεί να περιοριστούmicroε σταυποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο)

Για κάθε U isin P(G) η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U δηλαδή

orb(U ) = gUgminus1 g isin G

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9

που ονοmicroάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G Ο σταθεροποιητής

StabG(U ) = g isin G gUgminus1 = U

που ονοmicroάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συmicroβολίζεται NG(U ) Με-ϱικές φορές χρησιmicroοποιούmicroε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούmicroεH le NG(U ) Το Λήmicromicroα 1 στη περίπτωση γράϕεται

Πόρισmicroα 2 Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της G |orb(U )| = |G NG(U )| Μεάλλα λόγια |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG

Για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδική υποοmicroάδα τηςG στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα Για κάθε microη κενόυποσύνολο U της G ορίζουmicroε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι

CG(U ) = capuisinU CG(u) le G

Παρατηρήστε ότι CG(U ) = G αν και microόνο αν U sube Z(G) Μερικές φορές λέmicroεότι H κεντροποιεί το U και εννούmicroε ότι H le CG(U ) Γενικά CG(U ) E NG(U )

Λήmicromicroα 5 Για κάθε H le G CG(H)ENG(H) και NG(H)CG(H) microπορεί να εmicroϕυ-τευθεί στην Aut(H)

Απόδειξη Αϕού H le NG(H) gh isin H για κάθε h isin H και g isin NG(H) Τότεείναι προϕανές ότι ο NG(H) δρα πάνω στο H microε συζυγία ΄Εστω σ η microετάθεση-αναπαράσταση του NG(H) Τότε για κάθε g isin NG(H) σ(g)(h) = gh γιαόλα τα h isin H Επίσης Kerσ = CG(H) (αϕού CG(H) le NG(H)) Από το 1οϑεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού CG(H) E NG(H) και Imσ NG(H)CG(H) Για κάθεg isin NG(H) σ(g) είναι microετάθεση του H Επιπλέον σ(g) είναι αυτοmicroορϕισmicroόςτης H Εποmicroένως Imσ είναι υποοmicroάδα της Aut(H) έτσι NG(H)CG(H) microπορείνα εmicroϕυτευθεί στην Aut(H)

Αν η H είναι πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε προϕανώς Aut(H) είναι πεπερα-σmicroένη οmicroάδα Από το Λήmicromicroα 5 έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 3 ΄Εστω G microία άπειρη οmicroάδα Τότε για κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα H της G GCG(H) είναι πεπερασmicroένη Συγκεκριmicroένα αν η G δενέχει microη-τετριmicromicroένα πεπερασmicroένα πηλίκα τότε κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 4: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

4 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

microε τύπο micro(gx) = gH Ισχυριζόmicroαστε ότι η micro είναι 1 minus 1 και επί Πρώτα απόόλα ϑα δείξουmicroε ότι η micro είναι καλά-ορισmicroένη ΄Εστω g1 g2 isin G Πρέπει ναδείξουmicroε ότι αν g1x = g2x τότε g1H = g2H Χρησιmicroοποιώντας τα αξιώmicroατατου ορισmicroού της δράσης ϐλέπουmicroε ότι αν g1x = g2x τότε

(gminus12 g1)x = gminus1

2 (g1x) = gminus12 (g2x) = (gminus1

2 g2)x = 1x = x

΄Ετσι gminus12 g1 isin StabG(x) = H Συνεπώς g1H = g2H Αν g1H = g2H τότε

gminus12 g1 isin H εποmicroένως (gminus1

2 g1)x = x και έτσι g1x = (g2(gminus12 g1))x = g2x ΄Αρα η micro

είναι 1minus 1 Είναι εύκολο να δούmicroε ότι η micro είναι και επί Συνεπώς παίρνουmicroετο Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

΄Εστω V ένα microη κενό πεπερασmicroένο σύνολο microε |V | = n Μία οmicroάδα συmicromicroε-τριών (permutation group) πάνω στο V είναι εξ ορισmicroού microία υποοmicroάδα τηςSym(V ) ΄Εστω G le Sym(V ) Τότε η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v)για όλα τα v isin V όπου g(v) συmicroβολίζει την εικόνα του v microέσω της microετάθεσηςg Ως άmicroεση συνέπεια του Λήmicromicroατος 1 και του Θεωρήmicroατος Lagrange εί-ναι το παρακάτω αποτέλεσmicroα που είναι γνωστό στην ϐιβλιογραϕία ως Λήmicromicroατροχιά-σταθεροποιητής

Λήmicromicroα 2 (Τροχιά-Σταθεροποιητής) ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δραπάνω στο πεπερασmicroένο σύνολο V και έστω v isin V Τότε |StabG(v)||orb(v)| = |G|

Το επόmicroενο αποτέλεσmicroα microας λέει ότι οι σταθεροποιητές δύο στοιχείων τηςίδιας τροχιάς microιας οmicroάδας G είναι συζυγείς

Λήmicromicroα 3 ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δρα πάνω στο σύνολο V καιέστω v isin V Αν g isin G τότε gStabG(v)gminus1 = StabG(gv)

Απόδειξη ΄Εστω h isin StabG(gv) Τότε (hg)v = gv και συνεπώς gminus1hg isin StabG(v)δηλ h isin gStabG(v)gminus1 Αντίστροϕα έστω h isin gStabG(v)gminus1 Τότε h = ghprimegminus1

microε hprime isin StabG(v) ΄Ετσι hprime = gminus1hg isin StabG(v) και εποmicroένως (gminus1hg)v = v΄Αρα h isin StabG(gv)

Πριν διατυπώσουmicroε και αποδείξουmicroε το Λήmicromicroα Burnside χρειαζόmicroαστεέναν ορισmicroό Για κάθε microετάθεση σ του V fix(σ) είναι το σύνολο όλων τωνv isin V που είναι σταθερά κάτω από την δράση της σ δηλ

fix(σ) = v isin V σ(v) = σv = v

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 5

Λήmicromicroα 4 (Burnside) ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δρα πάνω στο πεπε-ϱασmicroένο σύνολο V Τότε ο αριθmicroός t των τροχιών της G πάνω στο V ισούται microε1|G|

sumσisinG |fix(σ)|

Απόδειξη ΄ΕστωT = (σ v) isin G times V σv = v

Μετράmicroε microε δύο τρόπους τα στοιχεία του T Σταθεροποιούmicroε το v isin V καιπαίρνουmicroε όλα τα σ τέτοια ώστε σv = v Τότε

|T | =sumvisinV|StabG(v)|

Για κάθε τέτοιο σ ο αριθmicroός των v για τα οποία σv = v είναι ίσος microε το |fix(σ)|΄Ετσι αθροίζοντας πάνω από όλα τα σ έχουmicroε ότι

|T | =sumσisinG|fix(σ)|

΄Ετσι sumvisinV|StabG(v)| =

sumσisinG|fix(σ)|

∆ιαmicroελίζουmicroε το V microε την ϐοήθεια της δράσης σε τροχιές

V = orb(v1)cup middot middot middot cuporb(vt)

Τότεtsum

i=1

sumsisinorb(vi )

|StabG(s)| =sumσisinG|fix(σ)|

Από το Λήmicromicroα 3 αν s isin orb(vi) τότε

StabG(s) = σStabG(vi)σminus1

όπου σvi = s Συνεπώς

|StabG(vi)| = |StabG(s)|

όπου s isin orb(vi) ΄Ετσι

tsumi=1

|orb(vi)||StabG(vi)| =sumσisinG|fix(σ)|

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Από το λήmicromicroα (τροχιά-σταθεροποιητής)

t |G| =sumσisinG|fix(σ)|

και έτσι παίρνουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

Θα δώσουmicroε δύο ενδιαϕέρουσες εϕαρmicroογές των εννοιών που αναπτύχθη-καν παραπάνω

Εϕαρmicroογή 1 (Ασυmicromicroετρικά γραϕήmicroατα) ΄Εστω V ένα microη-κενό πεπερασmicroένοσύνολο microε |V | = n ΄Εστω G le Sym(V ) Η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v) για όλα τα v isin V Η δράση της G πάνω στο V επάγει και δράσηπάνω στα υποσύνολα του V ως εξης αν S είναι ένα υποσύνολο του V τότε

gS = gs s isin Sείναι πάλι ένα υποσύνολο του V ΄Ετσι κάθε στοιχείο της G καθορίζει microίαmicroετάθεση των υποσυνόλων του V και έτσι έχουmicroε microία δράση της G πάνω στοδυναmicroοσύνολο P(V ) του V Παρατηρούmicroε ότι |gS| = |S| ΄Ετσι για σταθερό kη δράση της G πάνω στο V επάγει microία δράση της G πάνω στα k-υποσύνολα(δηλαδή υποσύνολα του V microε k στοιχεία) του V ΄Οmicroοια η δράση της G πάνωστο V επάγει microία δράση της G πάνω στις διατεταγmicroενες k-άδες στοιχείων τουV

Αν Γ είναι ένα γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το V τότε microπορούmicroε να ϑε-ωρήσουmicroε κάθε αυτοmicroορϕισmicroό σαν microία microετάθεση του V και έτσι Aut(Γ) είναιοmicroάδα συmicromicroετριών ΄Εστω FV το σύνολο των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και έστω KV το πλήρες γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕώντο V Τότε υπάρχει microία προς microία αντιστοιχία microεταξύ των γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και των υποσυνόλων του E(KV ) Αϕού το KV έχει

(n2

)ακmicroές ο αριθmicroός των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων είναι 2(n

2) ∆οθέντος ενόςγραϕήmicroατος Γ το σύνολο των γραϕηmicroάτων που είναι ισόmicroορϕο microε το Γ ο-νοmicroάζεται η ισοmicroορϕική κλάση του Γ Οι ισοmicroορϕικές κλάσεις διαmicroελίζουντο σύνολο των γραϕηmicroάτων microε σύνολο κορυϕών το V ∆ύο τέτοια γραϕή-microατα Γ1 και Γ2 είναι ισόmicroορϕα αν υπάρχει microία microετάθεση του Sym(V ) πουνα στέλνει το σύνολο των ακmicroών του Γ1 πάνω στο σύνολο των ακmicroών του Γ2Συνεπώς microία ισοmicroορϕική κλάση δεν είναι τίποτα άλλο από microία τροχιά τηςδράσης της Sym(V ) πάνω στο δυναmicroοσύνολο του E(KV ) Εϕαρmicroόζοντας τολήmicromicroα τροχιά-σταθεροποιητής παίρνουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα Οπληθικός αριθmicroός της ισοmicroορϕικής κλάσης που περιέχει το δοθέν γράϕηmicroαΓ είναι n

|Aut(Γ)|

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 7

Εϕαρmicroογή 2 (Μεταβατική δράση) ΄Εστω ότι η οmicroάδα G δρα πάνω στο microη κενόσύνολο X Η δράση λέγεται microεταβατική (transitive) αν έχει microόνο microία τροχιά(Για παράδειγmicroα έστω n ϑετικός ακέραιος αριθmicroός και έστω X = 1 nΤότε η κανονική δράση της Sn πάνω στο X είναι microεταβατική) ΄Εστω H le Gκαι έστω X το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της H στην G Τότε είναιεύκολο να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο X microε αριστερό πολλαπλασιασmicroό σε κάθε g isin G και κάθε xH isin X αντιστοιχούmicroε το σύmicroπλοκο gxH Επίσηςη δράση είναι microεταβατική Πράγmicroατιν αν x1H και x2H είναι δύο δεξιά σύmicro-πλοκα τότε (x1xminus1

2 )x2H = x1H Παρατηρούmicroε ότι stabG(xH) = xHxminus1 Απότο Λήmicromicroα 1 |G xHxminus1| = |X | = |G H | Ασϕαλώς το συmicroπέρασmicroα αυτόέπεται από το Θεώρηmicroα Lagrange αν η G είναι πεπερασmicroένη ΄Εστω ρH ηmicroετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην ανωτέρω δράση ΤότεKerρH = capxisinGxHxminus1 = HG (∆ηλαδή ο core της H στην G) ΄Οταν |G H | lt infinmicroπορούmicroε να ταυτίσουmicroε την Sym(X ) microε την S|GH | Τότε ρH είναι οmicroοmicroορϕι-σmicroός της G στην S|GH | και από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού παίρνουmicroετο παρακάτω αποτέλεσmicroα

Πρόταση 1 Αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη τότε GHG

microπορεί να εmicroϕυτευθεί στην S|GH |

Ως συνέπεια έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 1 Αν H είναι υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη microιας άπειρης οmicroάδαςG τότε υπάρχει κανονική υποοmicroάδα K της G τέτοια ώστε K le H και GK είναιπεπερασmicroένη

Πρόταση 2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα και ότι ο p είναι ο microικρότεροςπρώτος διαιρέτης της τάξης της G Αν H είναι microία υποοmicroάδα της G microε δείκτη pτότε H G

Απόδειξη Υποθέτουmicroε ότι H le G microε |G H | = p Τότε |G HG | = |GHG | =p|H HG | Ισχυριζόmicroαστε ότι |H HG | = 1 ΄Εστω ότι |H HG | gt 1 και q έναςπρώτος διαιρέτης του |H HG | Τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange το q διαρείτην τάξη της G Από την υπόθεση microας το q ge p Από την άλλη πλευρά |GHG |διαιρεί το p Εποmicroένως pq διαιρεί (p minus 1)p και έτσι το q διαιρεί το (p minus 1)Αλλά ο q είναι πρώτος εποmicroένως q lt p άτοπο ΄Αρα |H HG | = 1 και έτσιπαίρνουmicroε το επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Παραδείγmicroατα 2 (I) (∆ράση οmicroάδας στον εαυτόν της microε συζυγία) ΄Εστω G microίαοmicroάδα Για κάθε g x isin G

gx = gxgminus1

(το συζυγές στοιχείο του x) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόντης ως εξής

g lowast x =g x = gxgminus1

για κάθε x g isin G Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση microεσυζυγία Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγιών του x (Μερικές φορέςονοmicroάζεται και κλάση συζυγίας του x) Επίσης

StabG(x) = CG(x)

(δηλαδή ο κεντροποιητής του x στην G) Η αντίστοιχη microετάθεση-αναπαράστασηείναι η απεικόνιση τ G minusrarr Sym(G) microε τύπο τ(g) = τg x 7minusrarr gxgminus1 Είναιεύκολο να δειχθεί ότι

Kerτ = capxisinGCG(x) = Z(G)

Εϕαρmicroόζοντας το Λήmicromicroα 1 |orb(x)| = |G CG(x)| για κάθε x isin G ΄Εναενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα είναι η εξίσωση κλάσεων ΄Εστω G microία πεπερασmicroένηοmicroάδα microε s διαϕορετικές κλάσεις συζυγίας και αν x1 xs στοιχεία της Gένα από κάθε κλάση συζυγίας τότε

|G| =ssum

i=1

|G CG(xi)|

(II) (∆ράση οmicroάδας στον δυναmicroοσύνολο της microε συζυγία) ΄Εστω G microία οmicroάδακαι P(G) το δυναmicroοσύνολο του G Για κάθε g isin G και για κάθε microη κενόυποσύνολο U του G το g microεταϕέρει το U στο σύνολο

gU = gUgminus1 = gugminus1 u isin U

που ονοmicroάζεται συζυγές του U Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνωστο P(G) Επίσης είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η δράση αυτή αποτελείγενίκευση της δράσης του Παραδείγmicroατος 2 (Ι) (Αρκεί να περιοριστούmicroε σταυποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο)

Για κάθε U isin P(G) η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U δηλαδή

orb(U ) = gUgminus1 g isin G

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9

που ονοmicroάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G Ο σταθεροποιητής

StabG(U ) = g isin G gUgminus1 = U

που ονοmicroάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συmicroβολίζεται NG(U ) Με-ϱικές φορές χρησιmicroοποιούmicroε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούmicroεH le NG(U ) Το Λήmicromicroα 1 στη περίπτωση γράϕεται

Πόρισmicroα 2 Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της G |orb(U )| = |G NG(U )| Μεάλλα λόγια |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG

Για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδική υποοmicroάδα τηςG στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα Για κάθε microη κενόυποσύνολο U της G ορίζουmicroε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι

CG(U ) = capuisinU CG(u) le G

Παρατηρήστε ότι CG(U ) = G αν και microόνο αν U sube Z(G) Μερικές φορές λέmicroεότι H κεντροποιεί το U και εννούmicroε ότι H le CG(U ) Γενικά CG(U ) E NG(U )

Λήmicromicroα 5 Για κάθε H le G CG(H)ENG(H) και NG(H)CG(H) microπορεί να εmicroϕυ-τευθεί στην Aut(H)

Απόδειξη Αϕού H le NG(H) gh isin H για κάθε h isin H και g isin NG(H) Τότεείναι προϕανές ότι ο NG(H) δρα πάνω στο H microε συζυγία ΄Εστω σ η microετάθεση-αναπαράσταση του NG(H) Τότε για κάθε g isin NG(H) σ(g)(h) = gh γιαόλα τα h isin H Επίσης Kerσ = CG(H) (αϕού CG(H) le NG(H)) Από το 1οϑεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού CG(H) E NG(H) και Imσ NG(H)CG(H) Για κάθεg isin NG(H) σ(g) είναι microετάθεση του H Επιπλέον σ(g) είναι αυτοmicroορϕισmicroόςτης H Εποmicroένως Imσ είναι υποοmicroάδα της Aut(H) έτσι NG(H)CG(H) microπορείνα εmicroϕυτευθεί στην Aut(H)

Αν η H είναι πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε προϕανώς Aut(H) είναι πεπερα-σmicroένη οmicroάδα Από το Λήmicromicroα 5 έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 3 ΄Εστω G microία άπειρη οmicroάδα Τότε για κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα H της G GCG(H) είναι πεπερασmicroένη Συγκεκριmicroένα αν η G δενέχει microη-τετριmicromicroένα πεπερασmicroένα πηλίκα τότε κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 5: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 5

Λήmicromicroα 4 (Burnside) ΄Εστω G microία οmicroάδα συmicromicroετριών που δρα πάνω στο πεπε-ϱασmicroένο σύνολο V Τότε ο αριθmicroός t των τροχιών της G πάνω στο V ισούται microε1|G|

sumσisinG |fix(σ)|

Απόδειξη ΄ΕστωT = (σ v) isin G times V σv = v

Μετράmicroε microε δύο τρόπους τα στοιχεία του T Σταθεροποιούmicroε το v isin V καιπαίρνουmicroε όλα τα σ τέτοια ώστε σv = v Τότε

|T | =sumvisinV|StabG(v)|

Για κάθε τέτοιο σ ο αριθmicroός των v για τα οποία σv = v είναι ίσος microε το |fix(σ)|΄Ετσι αθροίζοντας πάνω από όλα τα σ έχουmicroε ότι

|T | =sumσisinG|fix(σ)|

΄Ετσι sumvisinV|StabG(v)| =

sumσisinG|fix(σ)|

∆ιαmicroελίζουmicroε το V microε την ϐοήθεια της δράσης σε τροχιές

V = orb(v1)cup middot middot middot cuporb(vt)

Τότεtsum

i=1

sumsisinorb(vi )

|StabG(s)| =sumσisinG|fix(σ)|

Από το Λήmicromicroα 3 αν s isin orb(vi) τότε

StabG(s) = σStabG(vi)σminus1

όπου σvi = s Συνεπώς

|StabG(vi)| = |StabG(s)|

όπου s isin orb(vi) ΄Ετσι

tsumi=1

|orb(vi)||StabG(vi)| =sumσisinG|fix(σ)|

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Από το λήmicromicroα (τροχιά-σταθεροποιητής)

t |G| =sumσisinG|fix(σ)|

και έτσι παίρνουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

Θα δώσουmicroε δύο ενδιαϕέρουσες εϕαρmicroογές των εννοιών που αναπτύχθη-καν παραπάνω

Εϕαρmicroογή 1 (Ασυmicromicroετρικά γραϕήmicroατα) ΄Εστω V ένα microη-κενό πεπερασmicroένοσύνολο microε |V | = n ΄Εστω G le Sym(V ) Η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v) για όλα τα v isin V Η δράση της G πάνω στο V επάγει και δράσηπάνω στα υποσύνολα του V ως εξης αν S είναι ένα υποσύνολο του V τότε

gS = gs s isin Sείναι πάλι ένα υποσύνολο του V ΄Ετσι κάθε στοιχείο της G καθορίζει microίαmicroετάθεση των υποσυνόλων του V και έτσι έχουmicroε microία δράση της G πάνω στοδυναmicroοσύνολο P(V ) του V Παρατηρούmicroε ότι |gS| = |S| ΄Ετσι για σταθερό kη δράση της G πάνω στο V επάγει microία δράση της G πάνω στα k-υποσύνολα(δηλαδή υποσύνολα του V microε k στοιχεία) του V ΄Οmicroοια η δράση της G πάνωστο V επάγει microία δράση της G πάνω στις διατεταγmicroενες k-άδες στοιχείων τουV

Αν Γ είναι ένα γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το V τότε microπορούmicroε να ϑε-ωρήσουmicroε κάθε αυτοmicroορϕισmicroό σαν microία microετάθεση του V και έτσι Aut(Γ) είναιοmicroάδα συmicromicroετριών ΄Εστω FV το σύνολο των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και έστω KV το πλήρες γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕώντο V Τότε υπάρχει microία προς microία αντιστοιχία microεταξύ των γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και των υποσυνόλων του E(KV ) Αϕού το KV έχει

(n2

)ακmicroές ο αριθmicroός των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων είναι 2(n

2) ∆οθέντος ενόςγραϕήmicroατος Γ το σύνολο των γραϕηmicroάτων που είναι ισόmicroορϕο microε το Γ ο-νοmicroάζεται η ισοmicroορϕική κλάση του Γ Οι ισοmicroορϕικές κλάσεις διαmicroελίζουντο σύνολο των γραϕηmicroάτων microε σύνολο κορυϕών το V ∆ύο τέτοια γραϕή-microατα Γ1 και Γ2 είναι ισόmicroορϕα αν υπάρχει microία microετάθεση του Sym(V ) πουνα στέλνει το σύνολο των ακmicroών του Γ1 πάνω στο σύνολο των ακmicroών του Γ2Συνεπώς microία ισοmicroορϕική κλάση δεν είναι τίποτα άλλο από microία τροχιά τηςδράσης της Sym(V ) πάνω στο δυναmicroοσύνολο του E(KV ) Εϕαρmicroόζοντας τολήmicromicroα τροχιά-σταθεροποιητής παίρνουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα Οπληθικός αριθmicroός της ισοmicroορϕικής κλάσης που περιέχει το δοθέν γράϕηmicroαΓ είναι n

|Aut(Γ)|

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 7

Εϕαρmicroογή 2 (Μεταβατική δράση) ΄Εστω ότι η οmicroάδα G δρα πάνω στο microη κενόσύνολο X Η δράση λέγεται microεταβατική (transitive) αν έχει microόνο microία τροχιά(Για παράδειγmicroα έστω n ϑετικός ακέραιος αριθmicroός και έστω X = 1 nΤότε η κανονική δράση της Sn πάνω στο X είναι microεταβατική) ΄Εστω H le Gκαι έστω X το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της H στην G Τότε είναιεύκολο να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο X microε αριστερό πολλαπλασιασmicroό σε κάθε g isin G και κάθε xH isin X αντιστοιχούmicroε το σύmicroπλοκο gxH Επίσηςη δράση είναι microεταβατική Πράγmicroατιν αν x1H και x2H είναι δύο δεξιά σύmicro-πλοκα τότε (x1xminus1

2 )x2H = x1H Παρατηρούmicroε ότι stabG(xH) = xHxminus1 Απότο Λήmicromicroα 1 |G xHxminus1| = |X | = |G H | Ασϕαλώς το συmicroπέρασmicroα αυτόέπεται από το Θεώρηmicroα Lagrange αν η G είναι πεπερασmicroένη ΄Εστω ρH ηmicroετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην ανωτέρω δράση ΤότεKerρH = capxisinGxHxminus1 = HG (∆ηλαδή ο core της H στην G) ΄Οταν |G H | lt infinmicroπορούmicroε να ταυτίσουmicroε την Sym(X ) microε την S|GH | Τότε ρH είναι οmicroοmicroορϕι-σmicroός της G στην S|GH | και από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού παίρνουmicroετο παρακάτω αποτέλεσmicroα

Πρόταση 1 Αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη τότε GHG

microπορεί να εmicroϕυτευθεί στην S|GH |

Ως συνέπεια έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 1 Αν H είναι υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη microιας άπειρης οmicroάδαςG τότε υπάρχει κανονική υποοmicroάδα K της G τέτοια ώστε K le H και GK είναιπεπερασmicroένη

Πρόταση 2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα και ότι ο p είναι ο microικρότεροςπρώτος διαιρέτης της τάξης της G Αν H είναι microία υποοmicroάδα της G microε δείκτη pτότε H G

Απόδειξη Υποθέτουmicroε ότι H le G microε |G H | = p Τότε |G HG | = |GHG | =p|H HG | Ισχυριζόmicroαστε ότι |H HG | = 1 ΄Εστω ότι |H HG | gt 1 και q έναςπρώτος διαιρέτης του |H HG | Τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange το q διαρείτην τάξη της G Από την υπόθεση microας το q ge p Από την άλλη πλευρά |GHG |διαιρεί το p Εποmicroένως pq διαιρεί (p minus 1)p και έτσι το q διαιρεί το (p minus 1)Αλλά ο q είναι πρώτος εποmicroένως q lt p άτοπο ΄Αρα |H HG | = 1 και έτσιπαίρνουmicroε το επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Παραδείγmicroατα 2 (I) (∆ράση οmicroάδας στον εαυτόν της microε συζυγία) ΄Εστω G microίαοmicroάδα Για κάθε g x isin G

gx = gxgminus1

(το συζυγές στοιχείο του x) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόντης ως εξής

g lowast x =g x = gxgminus1

για κάθε x g isin G Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση microεσυζυγία Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγιών του x (Μερικές φορέςονοmicroάζεται και κλάση συζυγίας του x) Επίσης

StabG(x) = CG(x)

(δηλαδή ο κεντροποιητής του x στην G) Η αντίστοιχη microετάθεση-αναπαράστασηείναι η απεικόνιση τ G minusrarr Sym(G) microε τύπο τ(g) = τg x 7minusrarr gxgminus1 Είναιεύκολο να δειχθεί ότι

Kerτ = capxisinGCG(x) = Z(G)

Εϕαρmicroόζοντας το Λήmicromicroα 1 |orb(x)| = |G CG(x)| για κάθε x isin G ΄Εναενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα είναι η εξίσωση κλάσεων ΄Εστω G microία πεπερασmicroένηοmicroάδα microε s διαϕορετικές κλάσεις συζυγίας και αν x1 xs στοιχεία της Gένα από κάθε κλάση συζυγίας τότε

|G| =ssum

i=1

|G CG(xi)|

(II) (∆ράση οmicroάδας στον δυναmicroοσύνολο της microε συζυγία) ΄Εστω G microία οmicroάδακαι P(G) το δυναmicroοσύνολο του G Για κάθε g isin G και για κάθε microη κενόυποσύνολο U του G το g microεταϕέρει το U στο σύνολο

gU = gUgminus1 = gugminus1 u isin U

που ονοmicroάζεται συζυγές του U Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνωστο P(G) Επίσης είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η δράση αυτή αποτελείγενίκευση της δράσης του Παραδείγmicroατος 2 (Ι) (Αρκεί να περιοριστούmicroε σταυποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο)

Για κάθε U isin P(G) η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U δηλαδή

orb(U ) = gUgminus1 g isin G

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9

που ονοmicroάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G Ο σταθεροποιητής

StabG(U ) = g isin G gUgminus1 = U

που ονοmicroάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συmicroβολίζεται NG(U ) Με-ϱικές φορές χρησιmicroοποιούmicroε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούmicroεH le NG(U ) Το Λήmicromicroα 1 στη περίπτωση γράϕεται

Πόρισmicroα 2 Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της G |orb(U )| = |G NG(U )| Μεάλλα λόγια |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG

Για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδική υποοmicroάδα τηςG στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα Για κάθε microη κενόυποσύνολο U της G ορίζουmicroε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι

CG(U ) = capuisinU CG(u) le G

Παρατηρήστε ότι CG(U ) = G αν και microόνο αν U sube Z(G) Μερικές φορές λέmicroεότι H κεντροποιεί το U και εννούmicroε ότι H le CG(U ) Γενικά CG(U ) E NG(U )

Λήmicromicroα 5 Για κάθε H le G CG(H)ENG(H) και NG(H)CG(H) microπορεί να εmicroϕυ-τευθεί στην Aut(H)

Απόδειξη Αϕού H le NG(H) gh isin H για κάθε h isin H και g isin NG(H) Τότεείναι προϕανές ότι ο NG(H) δρα πάνω στο H microε συζυγία ΄Εστω σ η microετάθεση-αναπαράσταση του NG(H) Τότε για κάθε g isin NG(H) σ(g)(h) = gh γιαόλα τα h isin H Επίσης Kerσ = CG(H) (αϕού CG(H) le NG(H)) Από το 1οϑεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού CG(H) E NG(H) και Imσ NG(H)CG(H) Για κάθεg isin NG(H) σ(g) είναι microετάθεση του H Επιπλέον σ(g) είναι αυτοmicroορϕισmicroόςτης H Εποmicroένως Imσ είναι υποοmicroάδα της Aut(H) έτσι NG(H)CG(H) microπορείνα εmicroϕυτευθεί στην Aut(H)

Αν η H είναι πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε προϕανώς Aut(H) είναι πεπερα-σmicroένη οmicroάδα Από το Λήmicromicroα 5 έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 3 ΄Εστω G microία άπειρη οmicroάδα Τότε για κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα H της G GCG(H) είναι πεπερασmicroένη Συγκεκριmicroένα αν η G δενέχει microη-τετριmicromicroένα πεπερασmicroένα πηλίκα τότε κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 6: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

6 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Από το λήmicromicroα (τροχιά-σταθεροποιητής)

t |G| =sumσisinG|fix(σ)|

και έτσι παίρνουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

Θα δώσουmicroε δύο ενδιαϕέρουσες εϕαρmicroογές των εννοιών που αναπτύχθη-καν παραπάνω

Εϕαρmicroογή 1 (Ασυmicromicroετρικά γραϕήmicroατα) ΄Εστω V ένα microη-κενό πεπερασmicroένοσύνολο microε |V | = n ΄Εστω G le Sym(V ) Η G δρα πάνω στο V ως εξής gv = g(v) για όλα τα v isin V Η δράση της G πάνω στο V επάγει και δράσηπάνω στα υποσύνολα του V ως εξης αν S είναι ένα υποσύνολο του V τότε

gS = gs s isin Sείναι πάλι ένα υποσύνολο του V ΄Ετσι κάθε στοιχείο της G καθορίζει microίαmicroετάθεση των υποσυνόλων του V και έτσι έχουmicroε microία δράση της G πάνω στοδυναmicroοσύνολο P(V ) του V Παρατηρούmicroε ότι |gS| = |S| ΄Ετσι για σταθερό kη δράση της G πάνω στο V επάγει microία δράση της G πάνω στα k-υποσύνολα(δηλαδή υποσύνολα του V microε k στοιχεία) του V ΄Οmicroοια η δράση της G πάνωστο V επάγει microία δράση της G πάνω στις διατεταγmicroενες k-άδες στοιχείων τουV

Αν Γ είναι ένα γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το V τότε microπορούmicroε να ϑε-ωρήσουmicroε κάθε αυτοmicroορϕισmicroό σαν microία microετάθεση του V και έτσι Aut(Γ) είναιοmicroάδα συmicromicroετριών ΄Εστω FV το σύνολο των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και έστω KV το πλήρες γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕώντο V Τότε υπάρχει microία προς microία αντιστοιχία microεταξύ των γραϕηmicroάτων microεσύνολο κορυϕών το V και των υποσυνόλων του E(KV ) Αϕού το KV έχει

(n2

)ακmicroές ο αριθmicroός των διαϕορετικών γραϕηmicroάτων είναι 2(n

2) ∆οθέντος ενόςγραϕήmicroατος Γ το σύνολο των γραϕηmicroάτων που είναι ισόmicroορϕο microε το Γ ο-νοmicroάζεται η ισοmicroορϕική κλάση του Γ Οι ισοmicroορϕικές κλάσεις διαmicroελίζουντο σύνολο των γραϕηmicroάτων microε σύνολο κορυϕών το V ∆ύο τέτοια γραϕή-microατα Γ1 και Γ2 είναι ισόmicroορϕα αν υπάρχει microία microετάθεση του Sym(V ) πουνα στέλνει το σύνολο των ακmicroών του Γ1 πάνω στο σύνολο των ακmicroών του Γ2Συνεπώς microία ισοmicroορϕική κλάση δεν είναι τίποτα άλλο από microία τροχιά τηςδράσης της Sym(V ) πάνω στο δυναmicroοσύνολο του E(KV ) Εϕαρmicroόζοντας τολήmicromicroα τροχιά-σταθεροποιητής παίρνουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα Οπληθικός αριθmicroός της ισοmicroορϕικής κλάσης που περιέχει το δοθέν γράϕηmicroαΓ είναι n

|Aut(Γ)|

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 7

Εϕαρmicroογή 2 (Μεταβατική δράση) ΄Εστω ότι η οmicroάδα G δρα πάνω στο microη κενόσύνολο X Η δράση λέγεται microεταβατική (transitive) αν έχει microόνο microία τροχιά(Για παράδειγmicroα έστω n ϑετικός ακέραιος αριθmicroός και έστω X = 1 nΤότε η κανονική δράση της Sn πάνω στο X είναι microεταβατική) ΄Εστω H le Gκαι έστω X το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της H στην G Τότε είναιεύκολο να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο X microε αριστερό πολλαπλασιασmicroό σε κάθε g isin G και κάθε xH isin X αντιστοιχούmicroε το σύmicroπλοκο gxH Επίσηςη δράση είναι microεταβατική Πράγmicroατιν αν x1H και x2H είναι δύο δεξιά σύmicro-πλοκα τότε (x1xminus1

2 )x2H = x1H Παρατηρούmicroε ότι stabG(xH) = xHxminus1 Απότο Λήmicromicroα 1 |G xHxminus1| = |X | = |G H | Ασϕαλώς το συmicroπέρασmicroα αυτόέπεται από το Θεώρηmicroα Lagrange αν η G είναι πεπερασmicroένη ΄Εστω ρH ηmicroετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην ανωτέρω δράση ΤότεKerρH = capxisinGxHxminus1 = HG (∆ηλαδή ο core της H στην G) ΄Οταν |G H | lt infinmicroπορούmicroε να ταυτίσουmicroε την Sym(X ) microε την S|GH | Τότε ρH είναι οmicroοmicroορϕι-σmicroός της G στην S|GH | και από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού παίρνουmicroετο παρακάτω αποτέλεσmicroα

Πρόταση 1 Αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη τότε GHG

microπορεί να εmicroϕυτευθεί στην S|GH |

Ως συνέπεια έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 1 Αν H είναι υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη microιας άπειρης οmicroάδαςG τότε υπάρχει κανονική υποοmicroάδα K της G τέτοια ώστε K le H και GK είναιπεπερασmicroένη

Πρόταση 2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα και ότι ο p είναι ο microικρότεροςπρώτος διαιρέτης της τάξης της G Αν H είναι microία υποοmicroάδα της G microε δείκτη pτότε H G

Απόδειξη Υποθέτουmicroε ότι H le G microε |G H | = p Τότε |G HG | = |GHG | =p|H HG | Ισχυριζόmicroαστε ότι |H HG | = 1 ΄Εστω ότι |H HG | gt 1 και q έναςπρώτος διαιρέτης του |H HG | Τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange το q διαρείτην τάξη της G Από την υπόθεση microας το q ge p Από την άλλη πλευρά |GHG |διαιρεί το p Εποmicroένως pq διαιρεί (p minus 1)p και έτσι το q διαιρεί το (p minus 1)Αλλά ο q είναι πρώτος εποmicroένως q lt p άτοπο ΄Αρα |H HG | = 1 και έτσιπαίρνουmicroε το επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Παραδείγmicroατα 2 (I) (∆ράση οmicroάδας στον εαυτόν της microε συζυγία) ΄Εστω G microίαοmicroάδα Για κάθε g x isin G

gx = gxgminus1

(το συζυγές στοιχείο του x) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόντης ως εξής

g lowast x =g x = gxgminus1

για κάθε x g isin G Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση microεσυζυγία Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγιών του x (Μερικές φορέςονοmicroάζεται και κλάση συζυγίας του x) Επίσης

StabG(x) = CG(x)

(δηλαδή ο κεντροποιητής του x στην G) Η αντίστοιχη microετάθεση-αναπαράστασηείναι η απεικόνιση τ G minusrarr Sym(G) microε τύπο τ(g) = τg x 7minusrarr gxgminus1 Είναιεύκολο να δειχθεί ότι

Kerτ = capxisinGCG(x) = Z(G)

Εϕαρmicroόζοντας το Λήmicromicroα 1 |orb(x)| = |G CG(x)| για κάθε x isin G ΄Εναενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα είναι η εξίσωση κλάσεων ΄Εστω G microία πεπερασmicroένηοmicroάδα microε s διαϕορετικές κλάσεις συζυγίας και αν x1 xs στοιχεία της Gένα από κάθε κλάση συζυγίας τότε

|G| =ssum

i=1

|G CG(xi)|

(II) (∆ράση οmicroάδας στον δυναmicroοσύνολο της microε συζυγία) ΄Εστω G microία οmicroάδακαι P(G) το δυναmicroοσύνολο του G Για κάθε g isin G και για κάθε microη κενόυποσύνολο U του G το g microεταϕέρει το U στο σύνολο

gU = gUgminus1 = gugminus1 u isin U

που ονοmicroάζεται συζυγές του U Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνωστο P(G) Επίσης είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η δράση αυτή αποτελείγενίκευση της δράσης του Παραδείγmicroατος 2 (Ι) (Αρκεί να περιοριστούmicroε σταυποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο)

Για κάθε U isin P(G) η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U δηλαδή

orb(U ) = gUgminus1 g isin G

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9

που ονοmicroάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G Ο σταθεροποιητής

StabG(U ) = g isin G gUgminus1 = U

που ονοmicroάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συmicroβολίζεται NG(U ) Με-ϱικές φορές χρησιmicroοποιούmicroε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούmicroεH le NG(U ) Το Λήmicromicroα 1 στη περίπτωση γράϕεται

Πόρισmicroα 2 Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της G |orb(U )| = |G NG(U )| Μεάλλα λόγια |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG

Για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδική υποοmicroάδα τηςG στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα Για κάθε microη κενόυποσύνολο U της G ορίζουmicroε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι

CG(U ) = capuisinU CG(u) le G

Παρατηρήστε ότι CG(U ) = G αν και microόνο αν U sube Z(G) Μερικές φορές λέmicroεότι H κεντροποιεί το U και εννούmicroε ότι H le CG(U ) Γενικά CG(U ) E NG(U )

Λήmicromicroα 5 Για κάθε H le G CG(H)ENG(H) και NG(H)CG(H) microπορεί να εmicroϕυ-τευθεί στην Aut(H)

Απόδειξη Αϕού H le NG(H) gh isin H για κάθε h isin H και g isin NG(H) Τότεείναι προϕανές ότι ο NG(H) δρα πάνω στο H microε συζυγία ΄Εστω σ η microετάθεση-αναπαράσταση του NG(H) Τότε για κάθε g isin NG(H) σ(g)(h) = gh γιαόλα τα h isin H Επίσης Kerσ = CG(H) (αϕού CG(H) le NG(H)) Από το 1οϑεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού CG(H) E NG(H) και Imσ NG(H)CG(H) Για κάθεg isin NG(H) σ(g) είναι microετάθεση του H Επιπλέον σ(g) είναι αυτοmicroορϕισmicroόςτης H Εποmicroένως Imσ είναι υποοmicroάδα της Aut(H) έτσι NG(H)CG(H) microπορείνα εmicroϕυτευθεί στην Aut(H)

Αν η H είναι πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε προϕανώς Aut(H) είναι πεπερα-σmicroένη οmicroάδα Από το Λήmicromicroα 5 έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 3 ΄Εστω G microία άπειρη οmicroάδα Τότε για κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα H της G GCG(H) είναι πεπερασmicroένη Συγκεκριmicroένα αν η G δενέχει microη-τετριmicromicroένα πεπερασmicroένα πηλίκα τότε κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 7: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 7

Εϕαρmicroογή 2 (Μεταβατική δράση) ΄Εστω ότι η οmicroάδα G δρα πάνω στο microη κενόσύνολο X Η δράση λέγεται microεταβατική (transitive) αν έχει microόνο microία τροχιά(Για παράδειγmicroα έστω n ϑετικός ακέραιος αριθmicroός και έστω X = 1 nΤότε η κανονική δράση της Sn πάνω στο X είναι microεταβατική) ΄Εστω H le Gκαι έστω X το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της H στην G Τότε είναιεύκολο να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνω στο X microε αριστερό πολλαπλασιασmicroό σε κάθε g isin G και κάθε xH isin X αντιστοιχούmicroε το σύmicroπλοκο gxH Επίσηςη δράση είναι microεταβατική Πράγmicroατιν αν x1H και x2H είναι δύο δεξιά σύmicro-πλοκα τότε (x1xminus1

2 )x2H = x1H Παρατηρούmicroε ότι stabG(xH) = xHxminus1 Απότο Λήmicromicroα 1 |G xHxminus1| = |X | = |G H | Ασϕαλώς το συmicroπέρασmicroα αυτόέπεται από το Θεώρηmicroα Lagrange αν η G είναι πεπερασmicroένη ΄Εστω ρH ηmicroετάθεση-αναπαράσταση της G που αντιστοιχεί στην ανωτέρω δράση ΤότεKerρH = capxisinGxHxminus1 = HG (∆ηλαδή ο core της H στην G) ΄Οταν |G H | lt infinmicroπορούmicroε να ταυτίσουmicroε την Sym(X ) microε την S|GH | Τότε ρH είναι οmicroοmicroορϕι-σmicroός της G στην S|GH | και από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού παίρνουmicroετο παρακάτω αποτέλεσmicroα

Πρόταση 1 Αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη τότε GHG

microπορεί να εmicroϕυτευθεί στην S|GH |

Ως συνέπεια έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 1 Αν H είναι υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη microιας άπειρης οmicroάδαςG τότε υπάρχει κανονική υποοmicroάδα K της G τέτοια ώστε K le H και GK είναιπεπερασmicroένη

Πρόταση 2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα και ότι ο p είναι ο microικρότεροςπρώτος διαιρέτης της τάξης της G Αν H είναι microία υποοmicroάδα της G microε δείκτη pτότε H G

Απόδειξη Υποθέτουmicroε ότι H le G microε |G H | = p Τότε |G HG | = |GHG | =p|H HG | Ισχυριζόmicroαστε ότι |H HG | = 1 ΄Εστω ότι |H HG | gt 1 και q έναςπρώτος διαιρέτης του |H HG | Τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange το q διαρείτην τάξη της G Από την υπόθεση microας το q ge p Από την άλλη πλευρά |GHG |διαιρεί το p Εποmicroένως pq διαιρεί (p minus 1)p και έτσι το q διαιρεί το (p minus 1)Αλλά ο q είναι πρώτος εποmicroένως q lt p άτοπο ΄Αρα |H HG | = 1 και έτσιπαίρνουmicroε το επιθυmicroητό αποτέλεσmicroα

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Παραδείγmicroατα 2 (I) (∆ράση οmicroάδας στον εαυτόν της microε συζυγία) ΄Εστω G microίαοmicroάδα Για κάθε g x isin G

gx = gxgminus1

(το συζυγές στοιχείο του x) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόντης ως εξής

g lowast x =g x = gxgminus1

για κάθε x g isin G Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση microεσυζυγία Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγιών του x (Μερικές φορέςονοmicroάζεται και κλάση συζυγίας του x) Επίσης

StabG(x) = CG(x)

(δηλαδή ο κεντροποιητής του x στην G) Η αντίστοιχη microετάθεση-αναπαράστασηείναι η απεικόνιση τ G minusrarr Sym(G) microε τύπο τ(g) = τg x 7minusrarr gxgminus1 Είναιεύκολο να δειχθεί ότι

Kerτ = capxisinGCG(x) = Z(G)

Εϕαρmicroόζοντας το Λήmicromicroα 1 |orb(x)| = |G CG(x)| για κάθε x isin G ΄Εναενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα είναι η εξίσωση κλάσεων ΄Εστω G microία πεπερασmicroένηοmicroάδα microε s διαϕορετικές κλάσεις συζυγίας και αν x1 xs στοιχεία της Gένα από κάθε κλάση συζυγίας τότε

|G| =ssum

i=1

|G CG(xi)|

(II) (∆ράση οmicroάδας στον δυναmicroοσύνολο της microε συζυγία) ΄Εστω G microία οmicroάδακαι P(G) το δυναmicroοσύνολο του G Για κάθε g isin G και για κάθε microη κενόυποσύνολο U του G το g microεταϕέρει το U στο σύνολο

gU = gUgminus1 = gugminus1 u isin U

που ονοmicroάζεται συζυγές του U Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνωστο P(G) Επίσης είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η δράση αυτή αποτελείγενίκευση της δράσης του Παραδείγmicroατος 2 (Ι) (Αρκεί να περιοριστούmicroε σταυποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο)

Για κάθε U isin P(G) η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U δηλαδή

orb(U ) = gUgminus1 g isin G

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9

που ονοmicroάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G Ο σταθεροποιητής

StabG(U ) = g isin G gUgminus1 = U

που ονοmicroάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συmicroβολίζεται NG(U ) Με-ϱικές φορές χρησιmicroοποιούmicroε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούmicroεH le NG(U ) Το Λήmicromicroα 1 στη περίπτωση γράϕεται

Πόρισmicroα 2 Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της G |orb(U )| = |G NG(U )| Μεάλλα λόγια |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG

Για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδική υποοmicroάδα τηςG στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα Για κάθε microη κενόυποσύνολο U της G ορίζουmicroε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι

CG(U ) = capuisinU CG(u) le G

Παρατηρήστε ότι CG(U ) = G αν και microόνο αν U sube Z(G) Μερικές φορές λέmicroεότι H κεντροποιεί το U και εννούmicroε ότι H le CG(U ) Γενικά CG(U ) E NG(U )

Λήmicromicroα 5 Για κάθε H le G CG(H)ENG(H) και NG(H)CG(H) microπορεί να εmicroϕυ-τευθεί στην Aut(H)

Απόδειξη Αϕού H le NG(H) gh isin H για κάθε h isin H και g isin NG(H) Τότεείναι προϕανές ότι ο NG(H) δρα πάνω στο H microε συζυγία ΄Εστω σ η microετάθεση-αναπαράσταση του NG(H) Τότε για κάθε g isin NG(H) σ(g)(h) = gh γιαόλα τα h isin H Επίσης Kerσ = CG(H) (αϕού CG(H) le NG(H)) Από το 1οϑεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού CG(H) E NG(H) και Imσ NG(H)CG(H) Για κάθεg isin NG(H) σ(g) είναι microετάθεση του H Επιπλέον σ(g) είναι αυτοmicroορϕισmicroόςτης H Εποmicroένως Imσ είναι υποοmicroάδα της Aut(H) έτσι NG(H)CG(H) microπορείνα εmicroϕυτευθεί στην Aut(H)

Αν η H είναι πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε προϕανώς Aut(H) είναι πεπερα-σmicroένη οmicroάδα Από το Λήmicromicroα 5 έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 3 ΄Εστω G microία άπειρη οmicroάδα Τότε για κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα H της G GCG(H) είναι πεπερασmicroένη Συγκεκριmicroένα αν η G δενέχει microη-τετριmicromicroένα πεπερασmicroένα πηλίκα τότε κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 8: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

8 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Παραδείγmicroατα 2 (I) (∆ράση οmicroάδας στον εαυτόν της microε συζυγία) ΄Εστω G microίαοmicroάδα Για κάθε g x isin G

gx = gxgminus1

(το συζυγές στοιχείο του x) Είναι εύκολο να δειχθεί ότι η G δρα στον εαυτόντης ως εξής

g lowast x =g x = gxgminus1

για κάθε x g isin G Η δράση αυτή της G στον εαυτόν της καλείται δράση microεσυζυγία Η τροχιά του x είναι το σύνολο των συζυγιών του x (Μερικές φορέςονοmicroάζεται και κλάση συζυγίας του x) Επίσης

StabG(x) = CG(x)

(δηλαδή ο κεντροποιητής του x στην G) Η αντίστοιχη microετάθεση-αναπαράστασηείναι η απεικόνιση τ G minusrarr Sym(G) microε τύπο τ(g) = τg x 7minusrarr gxgminus1 Είναιεύκολο να δειχθεί ότι

Kerτ = capxisinGCG(x) = Z(G)

Εϕαρmicroόζοντας το Λήmicromicroα 1 |orb(x)| = |G CG(x)| για κάθε x isin G ΄Εναενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα είναι η εξίσωση κλάσεων ΄Εστω G microία πεπερασmicroένηοmicroάδα microε s διαϕορετικές κλάσεις συζυγίας και αν x1 xs στοιχεία της Gένα από κάθε κλάση συζυγίας τότε

|G| =ssum

i=1

|G CG(xi)|

(II) (∆ράση οmicroάδας στον δυναmicroοσύνολο της microε συζυγία) ΄Εστω G microία οmicroάδακαι P(G) το δυναmicroοσύνολο του G Για κάθε g isin G και για κάθε microη κενόυποσύνολο U του G το g microεταϕέρει το U στο σύνολο

gU = gUgminus1 = gugminus1 u isin U

που ονοmicroάζεται συζυγές του U Είναι απλό να αποδειχθεί ότι η G δρα πάνωστο P(G) Επίσης είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι η δράση αυτή αποτελείγενίκευση της δράσης του Παραδείγmicroατος 2 (Ι) (Αρκεί να περιοριστούmicroε σταυποσύνολα του G που αποτελούνται από ένα στοιχείο)

Για κάθε U isin P(G) η τροχιά του U είναι το σύνολο των συζυγών του U δηλαδή

orb(U ) = gUgminus1 g isin G

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9

που ονοmicroάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G Ο σταθεροποιητής

StabG(U ) = g isin G gUgminus1 = U

που ονοmicroάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συmicroβολίζεται NG(U ) Με-ϱικές φορές χρησιmicroοποιούmicroε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούmicroεH le NG(U ) Το Λήmicromicroα 1 στη περίπτωση γράϕεται

Πόρισmicroα 2 Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της G |orb(U )| = |G NG(U )| Μεάλλα λόγια |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG

Για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδική υποοmicroάδα τηςG στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα Για κάθε microη κενόυποσύνολο U της G ορίζουmicroε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι

CG(U ) = capuisinU CG(u) le G

Παρατηρήστε ότι CG(U ) = G αν και microόνο αν U sube Z(G) Μερικές φορές λέmicroεότι H κεντροποιεί το U και εννούmicroε ότι H le CG(U ) Γενικά CG(U ) E NG(U )

Λήmicromicroα 5 Για κάθε H le G CG(H)ENG(H) και NG(H)CG(H) microπορεί να εmicroϕυ-τευθεί στην Aut(H)

Απόδειξη Αϕού H le NG(H) gh isin H για κάθε h isin H και g isin NG(H) Τότεείναι προϕανές ότι ο NG(H) δρα πάνω στο H microε συζυγία ΄Εστω σ η microετάθεση-αναπαράσταση του NG(H) Τότε για κάθε g isin NG(H) σ(g)(h) = gh γιαόλα τα h isin H Επίσης Kerσ = CG(H) (αϕού CG(H) le NG(H)) Από το 1οϑεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού CG(H) E NG(H) και Imσ NG(H)CG(H) Για κάθεg isin NG(H) σ(g) είναι microετάθεση του H Επιπλέον σ(g) είναι αυτοmicroορϕισmicroόςτης H Εποmicroένως Imσ είναι υποοmicroάδα της Aut(H) έτσι NG(H)CG(H) microπορείνα εmicroϕυτευθεί στην Aut(H)

Αν η H είναι πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε προϕανώς Aut(H) είναι πεπερα-σmicroένη οmicroάδα Από το Λήmicromicroα 5 έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 3 ΄Εστω G microία άπειρη οmicroάδα Τότε για κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα H της G GCG(H) είναι πεπερασmicroένη Συγκεκριmicroένα αν η G δενέχει microη-τετριmicromicroένα πεπερασmicroένα πηλίκα τότε κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 9: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

13 ΛΗΜΜΑ BURNSIDE 9

που ονοmicroάζεται η κλάση συζυγίας του U στην G Ο σταθεροποιητής

StabG(U ) = g isin G gUgminus1 = U

που ονοmicroάζεται ο κανονικοποιητής του U στη G και συmicroβολίζεται NG(U ) Με-ϱικές φορές χρησιmicroοποιούmicroε τον όρο H κανονικοποιεί το U και εννοούmicroεH le NG(U ) Το Λήmicromicroα 1 στη περίπτωση γράϕεται

Πόρισmicroα 2 Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της G |orb(U )| = |G NG(U )| Μεάλλα λόγια |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG

Για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδική υποοmicroάδα τηςG στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα Για κάθε microη κενόυποσύνολο U της G ορίζουmicroε τον κεντροποιητή του U στην G να είναι

CG(U ) = capuisinU CG(u) le G

Παρατηρήστε ότι CG(U ) = G αν και microόνο αν U sube Z(G) Μερικές φορές λέmicroεότι H κεντροποιεί το U και εννούmicroε ότι H le CG(U ) Γενικά CG(U ) E NG(U )

Λήmicromicroα 5 Για κάθε H le G CG(H)ENG(H) και NG(H)CG(H) microπορεί να εmicroϕυ-τευθεί στην Aut(H)

Απόδειξη Αϕού H le NG(H) gh isin H για κάθε h isin H και g isin NG(H) Τότεείναι προϕανές ότι ο NG(H) δρα πάνω στο H microε συζυγία ΄Εστω σ η microετάθεση-αναπαράσταση του NG(H) Τότε για κάθε g isin NG(H) σ(g)(h) = gh γιαόλα τα h isin H Επίσης Kerσ = CG(H) (αϕού CG(H) le NG(H)) Από το 1οϑεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού CG(H) E NG(H) και Imσ NG(H)CG(H) Για κάθεg isin NG(H) σ(g) είναι microετάθεση του H Επιπλέον σ(g) είναι αυτοmicroορϕισmicroόςτης H Εποmicroένως Imσ είναι υποοmicroάδα της Aut(H) έτσι NG(H)CG(H) microπορείνα εmicroϕυτευθεί στην Aut(H)

Αν η H είναι πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε προϕανώς Aut(H) είναι πεπερα-σmicroένη οmicroάδα Από το Λήmicromicroα 5 έχουmicroε το εξής ενδιαϕέρον αποτέλεσmicroα

Πόρισmicroα 3 ΄Εστω G microία άπειρη οmicroάδα Τότε για κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα H της G GCG(H) είναι πεπερασmicroένη Συγκεκριmicroένα αν η G δενέχει microη-τετριmicromicroένα πεπερασmicroένα πηλίκα τότε κάθε πεπερασmicroένη κανονικήυποοmicroάδα της G είναι αβελιανή και περιέχεται στο κέντρο της G

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 10: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

10 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Εϕαρmicroογή 3 (Γραϕήmicroατα Cayley) ΄Ενα γράϕηmicroα Γ λέγεται microεταβατικό αν ηοmicroάδα αυτοmicroορϕισmicroών του δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο κορυϕών του∆ηλαδή για κάθε δύο κορυϕές του γραϕήmicroατος υπάρχει αυτοmicroορϕισmicroός πουτα συνδέει ΄Ενα ενδιαϕέρον παράδειγmicroα microεταβατικών γραϕηmicroάτων είναι οιk-κύβοι Qk Το σύνολο κορυϕών είναι

V (Qk) = Zoplusk

2

∆ηλαδή το σύνολο κορυϕών V (Qk) αποτελείται από τις 2k k-άδες που σχη-microατίζονται microε 0 ή 1 ∆ύο κορυϕές είναι γειτονικές αν και microόνο αν αυτέςδιαϕέρουν ακριβώς σε microία συνιστώσα Το να αποδείξουmicroε ότι το Qk είναι microε-ταβατικό δουλεύουmicroε ως εξής έστω v microία σταθερή k-άδα Τότε η απεικόνιση

ρv x 7minusrarr x + v

(όπου η πρόσθεση αναϕέρεται στην Z2) είναι microετάθεση των κορυϕών του QkΕίναι εύκολο να δειχθεί ότι η ρv είναι αυτοmicroορϕισmicroός Υπάρχουν 2k τέτοιοιαυτοmicroορϕισmicroοί και microάλιστα σχηmicroατίζουν microία υποοmicroάδα H Η υποοmicroάδαH δρα microεταβατικά πάνω στο σύνολο V (Qk) Πράγmicroατι έστω x y isin V (Qk)Τότε ο αυτοmicroορϕισmicroός ρx+y απεικονίζει το x στο y Η οmicroάδα H είναι γνήσιαυποοmicroάδα της Aut(Qk) Μία οποιαδήποτε microετάθεση των συνιστωσών microιας k-άδας είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk ∆ηλαδή αν π isin Sk και (x1 xk) isin V (Qk)τότε η απεικόνιση

πk (x1 xk) 7minusrarr (xπ(1) xπ(k))

είναι αυτοmicroορϕισmicroός του Qk (Παρατηρήστε ότι η Sk δρα στο V (Qk) απόδεξιά) ΄Εστω K το σύνολο των πk για π isin Sk Είναι εύκολο να δειχθεί ότιK le Aut(Qk) και K Sk Συνεπώς η Aut(Qk) περιέχει το σύνολο HK Αλλά

|HK | = |H ||K ||H cap K |

Επειδή H cap K = 1 έχουmicroε ότι |Aut(Qk)| ge 2kk Οι k-κύβοι είναι ειδικήπερίπτωση των γραϕηmicroάτων Cayley

΄Εστω G microία οmicroάδα και έστω C ένα υποσύνολο της G που είναι κλειστό ωςπρος τα αντίστροϕα και δεν περιέχει το ουδέτερο στοιχείο Τότε το γράϕηmicroαCayley X (G C) είναι το γράϕηmicroα microε σύνολο κορυϕών το C και σύνολο ακmicroών

E(X (G C)) = gh hgminus1 isin C

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 11: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

14 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΑΣ ΣΕ ΟΜΑ∆Α 11

Ισχυριζόmicroαστε ότι το γράϕηmicroα Cayley είναι microεταβατικό Πράγmicroατι για κάθεg isin G έστω η απεικόνιση

ρg x 7minusrarr gx

για κάθε x isin G Εύκολα αποδεικνύεται ότι η ρg είναι αυτοmicroορϕισmicroός τουX (G C) Το σύνολο των microεταθέσεων ρg αποτελεί υποοmicroάδα της Aut(X (G C))που είναι ισόmicroορϕη microε την G Η υποοmicroάδα αυτή δρα microεταβατικά πάνω στιςκορυϕές του γραϕήmicroατος Πράγmicroατι η ρhgminus1 απεικονίζει το g στο h

14 ∆ράση οmicroάδας σε οmicroάδα

Μία οmicroάδα microπορεί να δρα πάνω και σε άλλα microαθηmicroατικά αντικείmicroενα (εκτόςσυνόλων) ΄Οταν αυτό συmicroβαίνει ϑα πρέπει στα αξιώmicroατα της δράσης πά-νω σε ένα σύνολο να προσθέσουmicroε επιπλέον αξιώmicroατα τέτοια ώστε η δράσηνα διατηρεί τη δοmicroή του συγκεκριmicroένου microαθηmicroατικού αντικειmicroένου Παρα-δείγmicroατος χάριν οι δράσεις οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρους microαςοδηγούν στη ϑεωρία αναπαράστασης οmicroάδων Η ϑεωρία αυτή είναι πολύ ι-σχυρό εργαλείο για να αποδεικνύουmicroε αποτελέσmicroατα για τις οmicroάδες Εδώδεν ϑα ασχοληθούmicroε microε την δράση οmicroάδων πάνω σε διανυσmicroατικούς χώρουςαλλά microε τη δράση οmicroάδων σε οmicroάδες

΄Εστω G και H οmicroάδες Λέmicroε ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην οmicroάδαH αν για κάθε g isin G και για κάθε h isin H υπάρχει microοναδικό στοιχείο gh isin Hέτσι ώστε

(i) η G δρα πάνω στο σύνολο H (από αριστερά) και(ii) g(h1h2) = (gh1)(gh2) για όλα τα g isin G και h1 h2 isin H ΄Οmicroοια microπορού-

microε να ορίσουmicroε δεξιά δράση πάνω σε οmicroάδα

Παραδείγmicroατα 3 (i) ΄Εστω R δακτύλιος microε microονάδα 1R U (R) η οmicroάδα τωναντιστρέψιmicroων στοιχείων του R και R+ = (R++) η προσθετική οmicroάδα τουR Τότε η U (R) δρα πάνω στην R+ ως εξής Για κάθε g isin U (R) α isin R+g lowast α = gα

(ii) ΄Εστω G le Aut(H) Τότε η G δρα φυσικά πάνω στην H ως εξής Για ϕ isin G και h isin H ϕ lowast h = ϕ(h)(iii) ΄Εστω K E G Τότε η G δρα πάνω στην K (ως οmicroάδα) microε συζυγία

∆ηλαδή g lowast k = gkgminus1 για κάθε g isin G k isin K

Θεώρηmicroα 2 ΄Εστω ότι η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H Τότε για κάθεg isin G η απεικόνιση ϕg H minusrarr H microε ϕg(h) = g lowast h είναι αυτοmicroορϕισmicroός

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 12: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

12 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

της H Επιπλέον η απεικόνιση ϕ G minusrarr Aut(H) microε τύπο ϕ(g) = ϕg είναιοmicroοmicroορϕισmicroός Αντίστροϕα έστω ϕ G minusrarr Aut(H) οmicroοmicroορϕισmicroός οmicroάδωνΤότε η G δρα (από αριστερά) πάνω στην H ως εξής Για κάθε g isin G h isin Hg lowast h = ϕg(h) όπου ϕg = ϕ(g)

Απόδειξη ΄Εστω g isin G Αϕού η G δρα πάνω στην H έχουmicroε ότι η G δρα πάνωστο σύνολο H και έτσι η ϕg είναι microετάθεση του H Αλλά για h1 h2 isin H

ϕg(h1h2) = g(h1h2) = (g lowast h1)(g lowast h2) = ϕg(h1)ϕg(h2)

Εποmicroένως ϕg isin Aut(H) Αντίστροϕα αϕού Aut(H) le Sym(H) και

ϕ G minusrarr Aut(H)

είναι οmicroοmicroορϕισmicroός η G δρα πάνω στο σύνολο H Επιπλέον

g lowast (h1h2) = ϕg(h1h2) = ϕg(h1)ϕg(h2) = (g lowast h1)(g lowast h2)

για όλα τα g isin G h1 h2 isin H Εποmicroένως η G δρα πάνω στην H

15 Ηmicroιευθύ γινόmicroενο

΄Εστω G και H οmicroάδες Υποθέτουmicroε ότι η G δρα πάνω στην H Επειδή η G καιH είναι οmicroάδες microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microία νέα οmicroάδα microε την ϐοήθειατης δράσης Η νέα οmicroάδα που ϑα κατασκευάσουmicroε περιέχει υποοmicroάδες πουείναι ισόmicroορϕες microε τις G και H κατά τέτοιο τρόπο που η δράση να διατηρείταιστη νέα δοmicroή Είναι εύκολο να δειχθεί η παρακάτω πρόταση και αϕήνεταισαν άσκηση στον αναγνώστη

Πρόταση 3 ΄Εστω ότι η G δρα (απο αριστερά) στην H (σαν οmicroάδα) Τότε τοσύνολο των διατεταγmicroένων Ϲευγών (h g) microε g isin G και h isin H δοmicroείται σε οmicroάδαmicroε την εξής πράξη (h1 g1)(h2 g2) = (h1(g1 lowast h2) g1g2) για κάθε g1 g2 isin G καιh1 h2 isin H

Η οmicroάδα που κατασκευάζεται στη Πρόταση 3 ονοmicroάζεται ηmicroιευθύ γινόmicroενοτων G και H και συmicroβολίζεται H timesϕ G (έχοντας στο microυαλό microας το Θεώρηmicroα2) όπου ϕ είναι η δράση της G πάνω στην H Στη περίπτωση που η Gδρα τετριmicromicroένα πάνω στην H τότε έχουmicroε την ειδική περίπτωση του ευθέως

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 13: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

15 ΗΜΙΕΥΘΥ ΓΙΝΟΜΕΝΟ 13

γινοmicroένου των H και G Υποθέτουmicroε ότι η G δρα στην H microε δράση ϕ καιέστω Γϕ = H timesϕ G Για κάθε g isin G ταυτίζουmicroε το g microε το στοιχείο (1H g) καιγια κάθε h isin H ταυτίζουmicroε το h microε το στοιχείο (h 1G) ΄Εστω Gϕ = (1H g) g isin G και Hϕ = (h 1G) h isin H Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι Gϕ καιHϕ είναι υποοmicroάδες της Γϕ Επιπλέον Hϕ E Γϕ ΓϕHϕ Gϕ Γϕ = HϕGϕ

και Gϕ cap Hϕ = 1 Οι τελευταίες αυτές παρατηρήσεις microας οδηγούν στο νακάνουmicroε χρήση του συmicroβολισmicroού hg microε g isin G και h isin H στη περίπτωσηπου έχουmicroε ηmicroιευθύ γινόmicroενο Γg = H timesϕ G

151 ∆ιεδρική οmicroάδα

Η διεδρική οmicroάδα Dn είναι η οmicroάδα των συmicromicroετριών ενός επίπεδου n-κανονικούπολυγώνου Οι συmicromicroετρίες προσδιορίζονται πλήρως microε το τρόπο που οι κο-ϱυϕές του n-κανονικού πολυγώνου απεικονίζονται στον εαυτόν τους Η Dn

έχει τάξη 2n και έχει laquoπαράστασηraquo microε γεννήτορες και laquoσχέσειςraquo την

Dn = ⟨c b cn = b2 = 1 bc = cminus1b⟩

Επίσης Dn = HK όπου H = ⟨c⟩ είναι κανονική υποοmicroάδα της Dn microε δείκτη 2και K = ⟨b⟩ υποοmicroάδα της Dn microε τάξη 2 ΄Εχουmicroε ότι H cap K = 1 Κάτω απόαυτές τις προυποθέσεις η Dn είναι το ηmicroιευθύ γινόmicroενο των K και H όπου ηK δρα από αριστερά στην H (ως οmicroάδα) ως εξής ορίζουmicroε τον οmicroοmicroορϕισmicroό

φ K minusrarr Aut(H)

microε φ(b) = θ όπου θ είναι ο αυτοmicroορϕισmicroός της H microε θ(c) = cminus1

152 Ολόmicroορϕο

΄Εστω G microία οmicroάδα Για κάθε a isin G ϑεωρούmicroε την απεικόνιση ℓa G minusrarr Gόπου ℓa(g) = ag forall g isin G Είναι εύκολο να δειχθεί ότι ℓa isin Sym(G) ΄Εχουmicroεότι

ℓab(g) = (ab)g = a(bg) = ℓa(bg) = ℓaℓb(g)

και ℓaℓaminus1(g) = g για όλα τα g isin G Εποmicroένως ℓab = ℓaℓb ℓaminus1 = ℓminus1a ΄Εστω

ℓ(G) = ℓa a isin G

Λόγω των παραπάνω σχέσεων ℓ(G) είναι υποοmicroάδα της Sym(G) Θεωρούmicroετην απεικόνιση ℓ G minusrarr Sym(G) microε τύπο ℓ(a) = ℓa για κάθε a isin G Είναι

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 14: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

14 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

απλό να διαπιστώσουmicroε ότι η ℓ είναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα απόαριστερά στο σύνολο G Η ℓ ονοmicroάζεται αριστερή κανονική αναπαράστασητης G Θεωρώντας την απεικόνιση ra G minusrarr G όπου ra(g) = gaminus1 για κάθεg isin G είναι εύκολο να δειχθεί ότι ra isin Sym(G) και ότι ra είναι ενδοmicroορϕισmicroόςτης G

΄Εστωr(G) = ra a isin G

΄Οmicroοια επιχειρήmicroατα όπως προηγουmicroένως αποδεικνύεται ότι η r(G) le Sym(G)και η απεικόνιση r G minusrarr Sym(G) microε τύπο r(a) = ra για κάθε a isin G Η rείναι microονοmicroορϕισmicroός και έτσι η G δρα από αριστερά στο σύνολο G Η ανα-παράσταση r της G ονοmicroάζεται δεξιά κανονική αναπαράσταση της G Επειδή

(ra ℓa)(x) = axaminus1 = τa(x)

για κάθε x isin G και Aut(G) le Sym(G) έχουmicroε ότι

⟨ℓ(G) Aut(G)⟩ = ⟨r(G) Aut(G)⟩

Η προαναϕερθείσα υποοmicroάδα της Sym(G) ονοmicroάζεται ολόmicroορϕο της G καισυmicroβολίζεται microε Hol(G)

Στη συνέχεια ϑα ερευνήσουmicroε τη δοmicroή της Hol(G) ΄Εστω α isin Aut(G) καιg isin G Τότε α rg αminus1 = rα(g)minus1 και α ℓg αminus1 = ℓα(g) και έτσι r(G) ℓ(G) είναικανονικές υποοmicroάδες της Hol(G) και

Hol(G) = r(G)Hol(G) = ℓ(G)Hol(G)

Αϕού r και ℓ είναι κανονικές r(G) cap Aut(G) = ℓ(G) cap Aut(G) = 1 Συνεπώςτο ολόmicroορϕο είναι ένα ηmicroιευθύ γινόmicroενο

Hol(G) = r(G) o Aut(G)= ℓ(G) o Aut(G)

όπου ένας αυτοmicroορϕισmicroός α της G επάγει στην r(G) (αντ ℓ(G)) τον αυτο-microορϕισmicroό α(rg) = rα(g)minus1 (αντ α(ℓg) = ℓα(g)) ΄Ετσι αν α isin Aut(G) τότε ηαπεικόνιση ℓg minusrarr ℓα(g) για κάθε g isin G είναι ένας αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G)και αντίστροϕα λόγω του ισοmicroορϕισmicroού ℓ G minusrarr ℓ(G) κάθε αυτοmicroορϕισmicroόςτης ℓ(G) είναι αυτής της microορϕής Συνεπώς κάθε αυτοmicroορϕισmicroός της ℓ(G) ε-πάγεται από έναν εσωτερικό αυτοmicroορϕισmicroό της Hol(G) Συmicroπεραίνουmicroε απότην παραπάνω διαδικασία ότι

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 15: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 15

Μπορούmicroε να εmicroϕυτεύσουmicroε microια δοθείσα οmicroάδα G σε microία κατάλληλη ο-microάδα H που εξαρτάται από την G έτσι ώστε όλοι οι αυτοmicroορϕισmicroοί της G ναλαmicroβάνονται από τους εσωτερικούς αυτοmicroορϕισmicroούς της H

Αλλά ποιά σχέση συνδέει τις οmicroάδες r(G) και ℓ(G) Οι δύο υποοmicroάδεςσυνδέονται microε την έννοια του κεντροποιητή και η σχέση τους περιγράϕεταιστην επόmicroενη πρόταση

Πρόταση 4 Οι ισότητες CHol(G)(r(G)) = ℓ(G) και CHol(G)(ℓ(G)) = r(G) ισχύουνσε οποιαδήποτε οmicroάδα G

Απόδειξη ΄Εστω C = CHol(G)(r(G)) και ζ isin C Τότε ra ζ = ζ ra για κάθεa isin G Θέτουmicroε ζ (1) = s Τότε ra(ζ (1)) = ra(s) = saminus1 και ζ (ra(1)) = ζ (aminus1)Εποmicroένως ζ (aminus1) = saminus1 forall a isin G και έτσι ζ (a) = sa για κάθε a isin G ΄Αραζ = ℓs isin ℓ(G) Αντίστροϕα έστω ℓs isin ℓ(G) Τότε

ra(ℓs(g)) = ra(sg) = (sg)aminus1

καιℓsra(g) = ℓs(gaminus1) = s(gaminus1)

Εποmicroένως ra ℓs = ℓs ra για κάθε a isin G και έτσι ℓs isin C ΣυνεπώςCHol(G)(r(G)) = ℓ(G) Εϕαρmicroόζοντας ανάλογα επιχειρήmicroατα microπορούmicroε ναδείξουmicroε ότι CHol(G)(ℓ(G)) = r(G)

16 Ασκήσεις

1 Αποδείξτε την Πρόταση 3

(Υπόδειξη Επαληθεύστε τα αξιώmicroατα του ορισmicroού της οmicroάδας)

2 ΄Εστω ότι η G δρα από αριστερά πάνω στο microη-κενό σύνολο X Για κάθεg isin G και x isin X ορίζουmicroε xg = gminus1x ∆είξτε ότι η ανωτέρω πράξη είναι δεξιάδράση της G πάνω στο X

3 ∆είξτε ότι αν H le G τότε HG = ⟨Hg g isin G⟩ και HG = capgisinGHg

(Υπόδειξη ∆είτε και εϕαρmicroογή 2)

4 ∆είξτε ότι αν H είναι υποοmicroάδα της G microε πεπερασmicroένο δείκτη n τότεHG έχει πεπερασmicroένο δείκτη που διαιρεί n

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 16: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

16 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

(Υπόδειξη ∆είτε εϕαρmicroογή 2)

5 Μία οmicroάδα λέγεται απλή αν οι microόνες κανονικές υποοmicroάδες της είναιοι τετριmicromicroένες ΄Εστω G microια άπειρη απλή οmicroάδα ∆είξτε ότι η G δεν microπορείνα έχει γνήσια υποοmicroάδα microε πεπερασmicroένο δείκτη

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε την άσκηση 4)

6 ΄Εστω G microία οmicroάδα και X ένα microη-κενό σύνολο Το σύνολο X ονοmicroάζεταιG-σύνολο αν η G δρα στο X Αν X είναι ένα G-σύνολο και Y sube X τότετο Y είναι G-υποσύνολο αν gy isin Y για κάθε g isin G και y isin Y Το κενόσύνολο empty ϑεωρείται G-υποσύνολο για κάθε G-σύνολο ΄Ενα microη-κενό G-σύνολοκαλείται ανάγωγο (irreducible) αν τα microόνα G-υποσύνολα του X είναι empty καιX Μία απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε άλλο G-σύνολο Y ονοmicroάζεταιG-απεικόνιση αν ϕ(gx) = gϕ(x) για κάθε g isin G και x isin X

(6α) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο Τότε οι τροχιές της δράσης της Gστο X είναι ανάγωγα G-υποσύνολα του X και είναι τα microόνα ανάγωγα G-υποσύνολα του X Συγκεκριmicroένα το X είναι ανάγωγο αν και microόνο αν ηδράση της G πάνω στο X είναι microεταβατική

(6) ΄Εστω X ένα microη-κενό G-σύνολο και έστω Xr r isin R το σύνολο τωναναγώγων G-υποσυνόλων του X ∆είξτε ότι για κάθε microη-κενό G-υποσύνολοY του X υπάρχει microη-κενό υποσύνολο S του R τέτοιο ώστε Y = cupsisinSXs

(6γ) ΄Εστω microία G-απεικόνιση ϕ από ένα G-σύνολο X σε ένα άλλο G-σύνολοY Τότε Imϕ είναι ένα G-υποσύνολο του Y Επιπλέον για κάθε G-υποσύνολοW του U το x isin X ϕ(x) isin W είναι ένα G-υποσύνολο του X

(6δ) ΄Εστω ϕ microία G-απεικόνιση από ένα ανάγωγο G-σύνολο X σε ένα G-σύνολο Y Τότε για κάθε G-υποσύνολο W του Y ή Imϕ sube W ή W cap Imϕ = empty

(6ϸ) Αν X είναι ένα microη-κενό G-σύνολο τότε το σύνολο που αποτελείταιαπό όλες τις G-απεικονίσεις X minusrarr X που είναι αmicroϕιέσεις είναι υποοmicroάδαSymG(X ) της Sym(X ) Αν X είναι ανάγωγο G-σύνολο τότε |SymG(X )| le |X |

(6ζ ) Αν H le G και X είναι το σύνολο των αριστερών συmicroπλόκων της Hστην G microε δράση της G πάνω στο X τον αριστερό πολλαπλασιασmicroό τότε το Xείναι ανάγωγο G-σύνολο και SymG(X ) NG(H)H

(Υπόδειξη Εϕαρmicroογή των ορισmicroών και σχετικών προτάσεων)

7 ΄Εστω G microία οmicroάδα και x y isin G ∆είξτε ότι τα xy και yx είναι συζυγήΕπιπλέον να δείξετε ότι συζυγή στοιχεία έχουν την ίδια τάξη

(Λύση Παρατηρούmicroε ότι yx = xminus1(xy)x ΄Εστω x y isin G συζυγή στοιχεία

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 17: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 17

δηλ x = gminus1yg για κάποιο g isin G Υποθέτουmicroε ότι οι τάξεις των x y είναιn m αντίστοιχα Χρησιmicroοποιώντας τη σχέση συζυγίας και τον ορισmicroό τηςτάξης στοιχείου έχουmicroε το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα)

Θυmicroίζουmicroε ότι Για κάθε microη κενό υποσύνολο U της οmicroάδας G

|orb(U )| = |G NG(U )|

∆ηλαδή |G NG(U )| είναι ο αριθmicroός των διαϕορετικών συζυγών του U στηνG ΄Ετσι το σύνολο U έχει n συζυγή σύνολα αν και microόνο αν |G NG(U )| = nΣτη περίπτωση που το U = s τότε NG(U ) = CG(s) και το s έχει |G CG(s)|συζυγή στην G Επίσης για κάθε H le G NG(H) είναι η microεγαλύτερη microοναδικήυποοmicroάδα της G στην οποία η H περιέχεται ως κανονική υποοmicroάδα

8 ΄Εστω H microία υποοmicroάδα της οmicroάδας G microε πεπερασmicroένο δείκτη Να δεί-ξετε ότι η H περιέχει υποοmicroάδα N που είναι κανονική και έχει πεπερασmicroένοδείκτη στη G

(Λύση Ασϕαλώς microπορούmicroε να χρησιmicroοποιήσουmicroε την άσκηση 4 αλλά ϑαακολουθήσουmicroε microία διαϕορετική προσέγγιση κάνοντας χρήση της έννοιαςτου κανονικοποιητή Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le G τότε|G K | = |G H ||H K | Η υποοmicroάδα H περιέχεται στην NG(H) Επειδή ηH έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην G η H έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγώνκαι έστω H = H1 H2 Hm τα συζυγή του στην G Αϕού |G Hi | = |G H | για κάθε i εϕαρmicroόζοντας την άσκηση 9 του κεϕαλαίου 2 διαδοχικά γιαH1 H1capH2 H1capH2capmiddot middot middotcapHm έχουmicroε ότι όλες οι προηγούmicroενες υποοmicroάδεςέχουν πεπερασmicroένο δείκτη στην G Είναι εύκολο να διαπιστώσουmicroε ότι ηH1 cap H2 cap middot middot middot cap Hm έχει δείκτη le |G H |m Μένει να δείξουmicroε ότι η K = H1 capH2 cap middot middot middot capHm είναι κανονική Παρατηρούmicroε ότι K = capaisinGaminus1Ha ΄Εστω x isin Kκαι g isin G Τότε x isin aminus1Ha για κάθε a isin G και εποmicroένως gminus1xg isin gminus1aminus1Hagγια κάθε a isin G Αλλά για κάθε b isin G υπάρχει ένα a isin G ώστε ag = bΕποmicroένως gminus1xg isin bminus1Hb για κάθε b isin G και εποmicroένως gminus1xg isin K ΄ΑραK G)

9 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι για κάθε υποοmicroάδα H της G η H cap xminus1Hxέχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για κάθε x isin G

(Λύση ΄Εστω X = ⟨x⟩ Επειδή η X έχει πεπερασmicroένο πλήθος συζυγων στηνG έχουmicroε ότι |G NG(X )| lt infin Παρατηρούmicroε ότι NH(X ) = H cap NG(X ) Τότε

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 18: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

18 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

έχουmicroε ότι |H NH(X )| lt infin (Θυmicroίζουmicroε ότι αν G είναι οmicroάδα και K le H le Gτότε |G K | = |G H ||H K |) Προϕανώς CH(X ) sube H cap xminus1Hx και έτσι microένεινα δείξουmicroε ότι CH(X ) έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην NH(X ) Θα δείξουmicroεότι ο δείκτης είναι το πολύ 2 αν η X είναι άπειρη κυκλική και το πολύ n αν|X | = n lt infin ΄Εστω y isin NH(X ) Τότε ⟨yminus1xy⟩ = yminus1Xy = X και άρα yminus1xyπαράγει την X Επιπλέον αν y1 yr είναι αντιπρόσωποι των διαϕορετικώνδεξιών πλευρικών κλάσεων της CH(X ) στην NH(X ) τότε yiyminus1

j lt CH(X ) γιατυχαία i j και έτσι yminus1

i xyi (i = 1 r) είναι διαϕορετικοί γεννήτορες τηςX Αλλά η X έχει δύο γεννήτορες όταν η X είναι άπειρη και το πολύ n όταν|X | = n)

10 ΄Εστω G microία οmicroάδα τέτοια ώστε κάθε υποοmicroάδα της έχει πεπερασmicroένοαριθmicroό συζυγών στην G ∆είξτε ότι κάθε υποοmicroάδα H της G περιέχει microίακανονική υποοmicroάδα N της G τέτοια ώστε η N έχει πεπερασmicroένο δείκτη στηνH

(Υπόδειξη ΄Εστω H = H1 H2 Hr οι συζυγείς οmicroάδες της H στην GΧρησιmicroοποιώντας την άσκηση 9 και εϕαρmicroόζοντας επαγωγή στο κ αποδει-κνύουmicroε ότι capκ

i=1Hi έχει πεπερασmicroένο δείκτη στην H για k = 1 r Τότε ηN = capr

i=1Hi έχει τις απαιτούmicroενες ιδιότητες)

11 ΄Εστω G οmicroάδα και H και K συζυγείς υποοmicroάδες της G ∆είξτε ότιNG(H) και NG(K) είναι συζυγείς στην G

(Λύση Υποθέτουmicroε ότι K = xminus1Hx Ισχυριζόmicroαστε ότι NG(K) = xminus1NG(H)x΄Εστω a isin NG(K) Για να δείξουmicroε ότι a isin xminus1NG(H)x αρκεί να δείξουmicroε ότιxaxminus1 isin NG(H) ΄Εστω h isin H και ϑεωρούmicroε το

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xaminus1xminus1hxaxminus1

Τώρα xminus1hx = k isin K αϕού xminus1Hx = K και aminus1ka = kprime isin K αϕού a isin NG(K)΄Ετσι

(xaxminus1)minus1hxaxminus1 = xkprimexminus1 = hprime isin H

αϕού xKxminus1 = H)

12 ∆είξτε ότι δύο microεταθέσεις στην Sn είναι συζυγείς αν στην παράστασητους ως γινόmicroενο κύκλων ξένων microεταξύ τους ανά δύο έχουν το ίδιο πλήθοςk-κύκλων για κάθε k

(Υπόδειξη ΄Εστω σ isin Sn Γράϕουmicroε την σ ως γινόmicroενο κύκλων ξένων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 19: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

16 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 19

microεταξύ τους ανά δύο ΄Εστω π isin Sn Τότε πσπminus1 έχει το ίδιο γινόmicroενο κύκλωνξένων microεταξύ τους ανά δύο)

13 ∆είξτε ότι το κέντρο της Sn microε n ge 3 είναι τετριmicromicroένο

(Λύση ΄Ενα στοιχείο ανήκει στο κέντρο αν συmicroπίπτει microε όλα τα συζυγήτου Από την άσκηση 12 έπεται αmicroέσως ότι η ταυτοτική microετάθεση συmicroπίπτειmicroε όλες τις συζυγείς της όταν n ge 3)

14 ∆είξτε ότι η microόνη πεπερασmicroένη κλάση συζυγίας σε microια άπειρη απλήοmicroάδα είναι η 1

(Λύση ΄Εστω C microια κλάση συζυγίας στην G και |C| = n gt 1 Αν c isin C τότε|G NG(c)| = n και η NG(c) είναι γνήσια υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη΄Αρα η G έχει microια γνήσια κανονική υποοmicroάδα πεπερασmicroένου δείκτη Αυτόείναι άτοπο διότι η G ως απλή έχει microόνο την τετριmicromicroένη ως γνήσια κανονικήυποοmicroάδα που προϕανώς έχει άπειρο δείκτη)

15 ΄Εστω H υποοmicroάδα της G και έστω ρ G minusrarr H οmicroοmicroορϕισmicroός τέτοιοςώστε ρ(h) = h για κάθε h isin H Να δείξετε ότι G = (Kerρ)H και KerρcapH = 1(Ο οmicroοmicroορϕισmicroός ρ ονοmicroάζεται ανάκληση Παρατηρήστε ότι η H δρα αποαριστερά ως οmicroάδα στην Kerρ microε συζυγία ΄Ετσι έχουmicroε οmicroοmicroορϕισmicroό απότην H στην Kerρ Γενικά αν έχουmicroε έναν οmicroοmicroορϕισmicroό ϑ G1 minusrarr Aut(G2)τότε η G1 microπορεί να δρα ως οmicroάδα στην G2 και από αριστερά και από δεξιάως εξής g middot x = ϑg(x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (αριστερά) ήx middot g = ϑminus1

g (x) για κάθε g isin G1 και για κάθε x isin G2 (δεξιά))

16 ∆είξτε ότι το ολόmicroορϕο της οmicroάδας Klein είναι η οmicroάδα S4

(Λύση Θεωρούmicroε V = (1) (12)(34) (13)(24) (14)(23) την υποοmicroάδατης S4 (Η οmicroάδα Klein) Θυmicroίζουmicroε ότι S3 le S4 S3 cap V = 1 S3VV S3

και S3V = S4 Αλλά Aut(V ) S3 όπου η S3 παράγεται από τις microεταθέσειςα = (12)(34) = (13)(24) γ = (14)(23) Η οmicroάδα r(V ) είναι η οmicroάδα Kleinr(V ) = (1) (1α)(γ) (1)(αγ) (1γ)(α) ΄Αρα Hol(V ) = r(V ) middot S3 S4)

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 20: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

20 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ∆ΡΑΣΗ ΟΜΑ∆ΩΝ

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 21: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

Κεϕάλαιο 2

Αβελιανές Οmicroάδες

21 Ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα

Μία από τις ϐασικές έννοιες που χρησιmicroοποιούmicroε στη microελέτη των αβελια-νών οmicroάδων είναι το ευθύ γινόmicroενο οmicroάδων ΄Οταν αναϕερόmicroαστε στο ευθύ(εσωτερικό ή εξωτερικό) γινόmicroενο ϑα χρησιmicroοποιούmicroε το συmicroβολισmicroό H oplus K

΄Εστω H1 Hm υποοmicroάδες microιας οmicroάδας G Θυmicroίζουmicroε ότι η οmicroάδα Gείναι το ευθύ γινόmicroενο των H1 Hm συmicroβολίζεται H1oplusmiddot middot middotoplusHm αν ισχύουνοι παρακάτω συνθήκες

(i) Hi E G για κάθε i = 1 m(ii) G = ⟨H1 Hm⟩ και(iii) Hi cap ⟨H1 H2 Himinus1 Hi+1 Hm⟩ = 1 για κάθε i = 1 mΣε όλο το κεϕάλαιο 2 όταν λέmicroε οmicroάδα ϑα εννοούmicroε αβελιανή οmicroάδα (δια-

φορετικά ϑα το τονίζουmicroε) Για τη microελέτη των οmicroάδων ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετη προσθετική γραϕή Αυτό επιϕέρει microερικές αλλαγές Πρώτα από όλα τοουδέτερο στοιχείο ϑα συmicroβολίζεται 0G και το αντίστροϕο του g ϑα γράϕεταιminusg και ϑα ονοmicroάζεται συmicromicroετρικό του g Επίσης η τετριmicromicroένη υποοmicroάδα τηςG ϑα ονοmicroάζεται microηδενική Στη παρούσα παράγραϕο ϑα χρησιmicroοποιήσουmicroετο ευθύ άθροισmicroα των αβελιανών οmicroάδων Με τη ϐοήθεια του ευθέως αθροί-σmicroατος ορίζουmicroε την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα και αποδεικνύουmicroε ότι κάθεπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα δηmicroιουργείται από κυκλικές ο-microάδες

Μία οmicroάδα A λέmicroε ότι είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα αν η A είναι τοευθύ άθροισmicroα άπειρων κυκλικών οmicroάδων ΄Ετσι microία οmicroάδα A είναι ελεύθερηαβελιανή αν και microόνο αν η A έχει την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο g isin A microπορεί

21

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 22: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

22 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

να γραϕεί microε ένα και microοναδικό τρόπο ως

g = a1 + middot middot middot + an

microε ai isin Ui όπου Ui είναι άπειρη κυκλική Θυmicroίζουmicroε ότι Ui (Z+) και ότιUi παράγεται από ένα στοιχείο ui Αν η A είναι το ευθύ άθροισmicroα n άπειρωνκυκλικών οmicroάδων τότε λέmicroε ότι η A είναι ελεύθερη πάνω από n γεννήτορες Οαριθmicroός n αποδεικνύεται ότι είναι microοναδικός και ονοmicroάζεται η ϐαθmicroίδα (rank)της A Στην περίπτωση που η A έχει ϐαθmicroίδα n και A = ⟨u1 un⟩ τότε λέmicroεότι το σύνολο u1 un είναι ένα σύνολο ελεύθερων γεννητόρων της A Τιςπερισσότερες φορές ονοmicroάζεται ϐάση της A Σηmicroειώνουmicroε ότι έχουmicroε δώσειτον ορισmicroό microόνο της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδαΟ ορισmicroός microπορεί να επεκταθεί για ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε άπειρηϐαθmicroίδα Για το σκόπο αυτό ϑα πρέπει να ορισθεί το ευθύ άθροισmicroα απόάπειρο πλήθος άπειρων κυκλικών οmicroάδων που οδηγεί στην κατασκευή τουπεριορισmicroένου ευθέως αθροίσmicroατος (restricted direct sum)

Τα επόmicroενα δύο αποτελέσmicroατα αναϕέρονται στη δοmicroή των υποοmicroάδωνελεύθερης αβελιανής οmicroάδας microε πεπερασmicroένη ϐαθmicroίδα Το Θεώρηmicroα 3 επε-κτείνει το κλασικό αποτέλεσmicroα για άπειρη κυκλική οmicroάδα Επίσης ϑυmicroίζειτο ϑεώρηmicroα διάστασης στους διανυσmicroατικούς χώρους

Θεώρηmicroα 3 ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Τότε κάθε microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H της A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαmicroε ϐαθmicroίδα m και m le n

Απόδειξη ΄Εστω A = ⟨u1 un⟩ microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδαςn Θα αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα microε επαγωγή στη ϐαθmicroίδα n ΄Εστω n =1 Τότε η A είναι άπειρη κυκλική ισόmicroορϕη microε την (Z+) Αλλά κάθε microητετριmicromicroένη υποοmicroάδα της είναι άπειρη κυκλική και εποmicroένως παράγεταιαπό ένα στοιχείο ΄Ετσι m = 1 και m le n Υποθέτουmicroε ότι το ϑεώρηmicroαισχύει για όλες τις ελεύθερες αβελιανές οmicroάδες microε ϐαθmicroίδα microικρότερη τουn ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Αν η H παράγεται απότα u1 unminus1 τότε η H είναι ελεύθερη πάνω στους γεννήτορες u1 unminus1αϕού το σύνολο u1 unminus1 είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Εποmicroένως αν ηH είναι υποοmicroάδα της ⟨u1 unminus1⟩ τότε από την επαγωγική microας υπόθεσηη H είναι ελεύθερη microε ϐαθmicroίδα microικρότερη του n Συνεπώς υποθέτουmicroε ότιυπάρχει στοιχείο h isin H που έχει την microορϕή

h = a1u1 + middot middot middot + anminus1unminus1 + anun

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 23: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 23

microε an 0 ΄Εστω S το σύνολο αποτελούmicroενο από τα an gt 0 για h isin HΕπειδή το S είναι microη κενό υποσύνολο των ϑετικών ακέραιων αριθmicroών έχειελάχιστο στοιχείο micron Τότε an = bmicron + r b isin Z και 0 le r lt micron Από τον τρόποκατασκευής του S έπεται ότι an minus bmicron isin S Λόγω της επιλογής του micron έχουmicroεότι r = 0 ΄Εστω

v = micro1u1 + middot middot middot + micronun isin H

(Από την κατασκευή του S) Τότε

h minus bv = γ1u1 + middot middot middot + γnminus1unminus1

΄Εστω N η υποοmicroάδα της H microε την ιδιότητα ότι κάθε στοιχείο της εκϕράζεταιως Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός των u1 unminus1 Η N είναι ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα αϕου είναι microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδαςmicroε n minus 1 γεννήτορες ΄Εστω N = ⟨v1 vmminus1⟩ και έτσι m minus 1 le n minus 1Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή microε ϐαθmicroίδα m Συγκεκριmicroέναϑα δείξουmicroε ότι H = N oplus ⟨v⟩ ΄Οmicroως h minus bv isin N και N = ⟨v1 vmminus1⟩Εποmicroένως H sube N + ⟨v⟩ Επειδή N sube H και v isin H έχουmicroε ότι N + ⟨v⟩ sube H΄Ετσι H = N + ⟨v⟩ = ⟨v1 vmminus1 v⟩ Υποθέτουmicroε ότι

b1v1 + + bmminus1vmminus1 + bmv = 0

microε bm 0 Επειδή τα v1 vmminus1 είναι Z-γραmicromicroικός συνδυασmicroός τωνu1 unminus1 έχουmicroε ότι bmmicron = 0 microε micron 0 ΄Αρα bm = 0 που είναι άτο-πο Επειδή τα v1 vmminus1 είναι γραmicromicroικά ανεξάρτητα ως γεννήτορες της N έχουmicroε ότι τα v1 vmminus1 v είναι Z γραmicromicroικά ανεξάρτητα Εποmicroένως η Hείναι ελεύθερη αβελιανή πάνω στους γεννήτορες v1 vmminus1 v

Το Θεώρηmicroα 3 microας δίνει microια σηmicroαντική πληροϕορία για τις υποοmicroάδεςελεύθερης αβελιανής οmicroάδας Σε αντίθεση microε τους διανυσmicroατικούς χώρουςείναι δυνατόν r(H) = r(A) και H A Ο λόγος είναι πολύ απλός Στηπερίπτωση των διανυσmicroατικών χώρων δουλεύουmicroε πάνω από σώmicroα ενώ στιςελεύθερες αβελιανές οmicroάδες πεπερασmicroένης διάστασης πάνω από το Z ΄Ετσιr(Z) = r(2Z) = 1 και Z 2Z Το φαινόmicroενο αυτό microας οδηγεί στην έννοια τηςπροβολικότητας

Μία αβελιανή οmicroάδα G λέγεται προβολική (projective) αν δοθέντος επιmicroορ-φισmicroού ε K minusrarr H και οmicroοmicroορϕισmicroού α G minusrarr H για κάποιες αβελιανέςοmicroάδες H και K υπάρχει οmicroοmicroορϕισmicroός G minusrarr K έτσι ώστε ε = α (Ηταξινόmicroηση των προβολικών αβελιανών οmicroάδων δόθηκε απο τον Mac Lane

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 24: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

24 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

ως εξής Μία αβελιανή οmicroάδα G είναι προβολική αν και microόνο αν η G είναιελεύθερη αβελιανή)

Η επόmicroενη πρόταση δείχνει την έννοια της laquoπροβολικότηταςraquo (projectivity)της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Πρόταση 5 Αν G είναι microία αβελιανή οmicroάδα N υποοmicroάδα της G και GN είναιελεύθερη αβελιανή πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας n τότε υπάρχει microία ελεύθερηυποοmicroάδα A ϐαθmicroίδας n της G έτσι ώστε A GN και G = A oplus N

Απόδειξη ΄Εστω g1 gn isin G microε

GN =noplus

i=1

⟨gi + N⟩ (1)

Θέτουmicroε A = ⟨gi i = 1 n⟩ Αν k1g1 + middot middot middot + kngn = 0 τότε

k1(g1 + N) + middot middot middot + kn(gn + N) = N (2)

λόγω της (1) έχουmicroε ότι k1 = middot middot middot = kn = 0 ΄Αρα A =oplusn

i=1⟨gi⟩ GN Ανg isin G τότε έχουmicroε ότι g+N = (k1g1+ middot middot middot+kngn)+N ή gminus(k1g1+ middot middot middot+kngn) = bγια κάποιο b isin N και G = A+N Αν g isin AcapN τότε g = k1g1+middot middot middot+kngn isin N καιπαίρνουmicroε microία σχέση της microορϕής (2) από όπου προκύπτει k1 = middot middot middot = kn = 0και g = 0 Εποmicroένως G = A oplus N

Στο επόmicroενο ϑεώρηmicroα περιγράϕεται ένα σύνολο γεννητόρων της υποοmicroά-δας σχετικά microε τους γεννήτορες της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 4 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδαςn και H microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της A Τότε η H είναι ελεύθερη αβελιανήmicroε ϐαθmicroίδα m le n και υπάρχει microία ϐάση u1 un της A και microία ϐάσηv1 vm της H έτσι ώστε vi = γiui γi isin Z i = 1 m και γj|γj+1 j isin1 m minus 1

Απόδειξη Το γεγονός ότι η H είναι ελεύθερη αβελιανή έχει αποδειχθεί στο Θε-ώρηmicroα 3 ΄Εστω A = f1 fn microία τυχαία ϐάση της A και H = h1 hmmicroία τυχαία ϐάση της H Τότε

hi =

nsumj=1

aijfj

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 25: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 25

aij isin Z i = 1 m ΄Ετσι συmicroβολικά γράϕουmicroε

Π

f1f2fn

=

h1

h2

hm

όπου Π = (aij) είναι ένας m times n microε i = 1 m και j = 1 n Μεlaquoστοιχειώδεις πράξειςraquo ϑα microετατρέψουmicroε τον πίνακα Π σε ένα πίνακα τηςmicroορϕής

Γ =

γ1 0 00 γ2 0 0

0 γm 0 0

microε γi |γi+1 i = 1 m minus 1 Ο πίνακας Γ ονοmicroάζεται κανονική microορϕή του ΠΓια να επιτευχθεί αυτό ϑα πρέπει να αλλάξουmicroε τη ϐάση της A και τη ϐάσητης H Πρώτα από όλα παρατηρούmicroε τα εξήςbull α) Εναλλαγή δύο στοιχείων fr fs της A αντιστοιχεί στην εναλλαγή των r

και s στηλών του πίνακα Π Εναλλαγή δύο στοιχείων hmicro hν τηςH αντιστοιχείστην εναλλαγή των micro και ν γραmicromicroών του πίνακα Πbull ϐ) Αντικαθιστούmicroε το fj microε το fj + λfs microε λ 0 και s jΑν το λ gt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj + λfs) + + (ais minus λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να αϕαιρέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π από την s στήλη του πίνακα Π

Αν το λ lt 0 τότε η έκϕραση των hi γίνεται

hi = ai1f1 + ai2f2 + + aij(fj minus λfs) + + (ais + λaij)fs + + ainfn

Η laquoπράξηraquo αυτή ισοδυναmicroεί (ή αντιστοιχεί) microε το να προσθέσουmicroε την λ times j-στήλη του πίνακα Π στην s στήλη του πίνακα Πbull γ) Αντικαθιστούmicroε το hr microε το hr + λhs (s r) Τότε

hr + λhs =

nsumj=1

(arj + λasj)fj

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 26: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

26 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

΄Ετσι η r-γραmicromicroή του πίνακα M microετατρέπεται στην ar1 + λas1 arn + λasn

που προκύπτει laquoπροσθέτονταςraquo την λ times s-γραmicromicroή στην r-γραmicromicroή του πίνακαΠbull δ) Αντικαθιστούmicroε το fr microε το minusfr ή αντικαθιστούmicroε το hi microε το minushi Με

άλλα λόγια πολλαπλασιάζουmicroε την r στήλη ή την i γραmicromicroή του πίνακα Π microετο minus1

Σηmicroειώνουmicroε ότι οι αλλαγές α)-δ) πάνω στα στοιχεία των ϐάσεων A καιH microετατρέπουν τη ϐάση A σε ϐάση Aprime της A και τη ϐάση H σε ϐάση H primeτης H ΄Ετσι microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε καινούργιες ϐάσεις για την A καιτην H microετατρέποντας τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή Γ εϕαρmicroόζοντας τιςπαρακάτω τέσσερις laquoστοιχειώδεις πράξειςraquobull Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλώνbull Προσθέντοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας στήλης σε microία άλληbull Προσθέτοντας ένα ακέραιο πολλαπλάσιο microιας γραmicromicroής σε microία άλληbull Πολλαπλασιάζουmicroε microία γραmicromicroή ή microία στήλη microε το minus1Για να αποδείξουmicroε το ϑεώρηmicroα ϑα πρέπει να microετασχηmicroατίσουmicroε τον πί-

νακα Π στην κανονική του microορϕή Γ χρησιmicroοποιώντας τις παραπάνω πράξειςΕπειδή η διαδικασία που ακολουθείται εϕαρmicroόζεται για οποιοδήποτε πίνα-κα microε ακέραια στοιχεία ϑα παρουσιάζουmicroε στην επόmicroενη παράγραϕο έναναλγόριθmicroο για πίνακες

Παράδειγmicroα 1 (Εναλλαγή γραmicromicroών ή στηλών) ΄Εστω

A =

a11 a12 a13 a14

a21 a22 a23 a24

a31 a32 a33 a34

isin M3times4(R)

Συmicroβολίζουmicroε microε ΓAi i = 1 2 3 την i-γραmicromicroή του πίνακα A και microε ΣAjj = 1 2 3 4 την j-στήλη του πίνακα A Σηmicroειώνουmicroε ότι οι γραmicromicroές τουA microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρου M1times4(R) καιοι στήλες του A microπορούν να ϑεωρηθούν στοιχεία του διανυσmicroατικού χώρουM3times1(R) Τον πίνακα A microπορούmicroε να τον γράϕουmicroε και ως εξής

A =

ΓA1

ΓA2

ΓA3

αν δουλεύουmicroε microε γραmicromicroές ή

A =(ΣA1 ΣA2 ΣA3 ΣA4

)

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 27: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

21 ΕΛΕΥΘΕΡΗ ΑΒΕΛΙΑΝΗ ΟΜΑ∆Α 27

αν δουλεύουmicroε microε στήλες ΄Εστω I3 και I4 οι ταυτοτικοί πίνακες τάξης 3 και4 αντίστοιχα Ο I3 δίνει εναλλαγές στις γραmicromicroές του πίνακα A και ο I4 δίνειεναλλαγές στις στήλες του πίνακα A ΄Ετσι γράϕουmicroε τον

I3 =

Γ31

Γ32

Γ33

και τον

I4 =(Σ41 Σ42 Σ43 Σ44

)

΄Εστω

Γ2larrrarr3 =

Γ31

Γ33

Γ32

ο πίνακας που προκύπτει από τον I3 αλλάζοντας τις γραmicromicroές Γ32 και Γ33Τότε ο πίνακας Γ2larrrarr3A αλλάζει την 2-γραmicromicroή microε την 3-γραmicromicroή του πίνακαA ∆ηλαδή

Γ2larrrarr3A =

ΓA1

ΓA3

ΓA2

Αλλάζοντας την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα I4 παίρνουmicroε τον πίνακαΣ2larrrarr4 Τότε ο πίνακας

AΣ2larrrarr4 =(ΣA1 ΣA4 ΣA3 ΣA2

)αλλάζει την 2-στήλη microε την 4-στήλη του πίνακα A Λόγω του ότι ισχύει ηπροσεταιριστική ιδιότητα για τον πολλαπλασιασmicroό πινάκων έχουmicroε ότι

(Γ2larrrarr3A)Σ2larrrarr4 = Γ2larrrarr3(AΣ2larrrarr4)

Για την πράξη της microορϕής λΓAi + ΓAj microε λ isin R i j ∆ηλαδή προσθέ-τουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΓAi στην ΓAj Πχ η πράξη λΓA2 + ΓA3

επιτυγχάνεται ως εξής Γ31

Γ32

λΓ32 + Γ33

A =

ΓA1

ΓA2

λΓA2 + ΓA3

Τέλος για την πράξη της microορϕής microΣAi + ΣAj microε λ isin R i j ∆ηλαδήπροσθέτουmicroε ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο της ΣAi στην ΣAj Πχ η πράξη microΣA2 +

ΣA4 επιτυγχάνεται ως εξής

A(Σ41Σ42Σ43 microΣ42 + Σ44

)=

(ΣA1ΣA2ΣA3 microΣA2 + ΣA4

)

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 28: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

28 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

22 Αλγόριθmicroος για πίνακες

΄ΕστωΠ ένας rtimess πίνακας microε ακέραια στοιχεία Στη παρούσα παράγραϕο κά-νοντας χρήση των στοιχειωδών πράξεων πάνω στις γραmicromicroές και στις στήλες τουπίνακα Π ϑα περιγράψουmicroε έναν αλγόριθmicroο microε τον οποίο ϑα microετατρέψου-microε τον πίνακα Π στην κανονική microορϕή D = diag(d1 dk) k = min(r s)di isin N cup 0 1 le i le k di |di+1 1 le i le k minus 1 Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι ησυνθήκη διαιρετότητας microας λέει ότι αν υπάρχουν 1 microεταξύ των di είναι στηναρχή και αν υπάρχουν 0 είναι στο τέλος Ο αλγόριθmicroος ουσιαστικά ϑααποδεικνύει την παρακάτω πρόταση

Πρόταση 6 ΄Εστω Π ένας πίνακας microε ακέραια στοιχεία Τότε υπάρχουν αντι-στρέψιmicroοι πίνακες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 να είναι σε κανονική microορϕή

Για λόγους συmicroβολισmicroού και καλύτερης κατανόησης οι στοιχειώδεις πρά-ξεις πάνω στις γραmicromicroές και στήλες είναιbull P (permuting) Μετάθεση γραmicromicroών (ή στηλών)bull M (multiplying) Πολλαπλασιασmicroός microιας γραmicromicroής (ή στήλης) microε minus1 καιbull A (adding) Πρόσθεση σε γραmicromicroή (ή στήλη) ένα ϐαθmicroωτό πολλαπλάσιο

microιας άλλης γραmicromicroής (ή στήλης)

Τα ϐήmicroατα του αλγορίθmicroου είναι τα εξής (Να παρατηρήσουmicroε εδώ ότι ηδιαδιακασία είναι ανάλογη της απαλειϕής Gauss ή της κλιmicroακωτής microορϕήςενός πίνακα)

Γράϕουmicroε Π = (mij) microε mij isin Z i = 1 r j = 1 s και υποθέτουmicroεότι Π είναι microη-microηδενικός

1 ΄Εστω EΠ = |mij| i = 1 r j = 1 s Επειδή ο Π είναι microη-microηδενικός το σύνολο EΠ περιέχει ϑετικούς ακέραιους και έστω κ ο microικρό-τερος ∆ιαλέγουmicroε ένα στοιχείο έστω d του πίνακα Π τέτοιο ώστε κ = |d|Μεταϕέρουmicroε τον d στη ϑέση (1 1) Χρησιmicroοποιώντας τις P-πράξεις

2 Χρησιmicroοποιούmicroε M-πράξεις για να ϐεβαιωθούmicroε ότι το d gt 03 Κάνουmicroε την διαίρεση του στοιχείου που είναι στη ϑέση (2 1) microε το

d Κάνοντας χρήση microιας A-πράξης αντικαθιστούmicroε το στοιχείο αυτό microε το b0 le b lt d Στη περίπτωση που s = 1 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 7

4 Αν το b = 0 microεταϕερόmicroαστε στο ϐήmicroα 6 Αν b 0 αλληλοmicroεταθέτουmicroετις γραmicromicroές 1 και 2 και επανερχόmicroαστε στο ϐήmicroα 3 microε b στη ϑέση του d

5 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3 και 4 microέχρι το στοιχείο στη ϑέση (2 1)να είναι microηδέν

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 29: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 29

6 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3 minus 5 στις υπόλοιπες γραmicromicroές microέχρι το microόνοmicroη-microηδενικό στοιχείο στη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1)

7 Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 3minus6 στις στήλες microέχρι κάθε στοιχείο της πρώτηςγραmicromicroής να είναι microηδέν εκτός για το d στη ϑέση (1 1)

8 Αν το d διαιρεί κάθε στοιχείο του πίνακα τότε πηγαίνουmicroε στο ϐήmicroα11 Αν όχι κάνοντας χρήση microίας P και microίας A φέρνουmicroε το b στη ϑέση (2 1)microε d - b

9 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 3minus5 microέχρι το microόνο microη-microηδενικό στοιχείοστη πρώτη στήλη είναι d στη ϑέση (1 1) Τότε επιστρέϕουmicroε στο ϐήmicroα 7 microετο νέο d

10 Επαναλαmicroβάνουmicroε τα ϐήmicroατα 8 και 9 microέχρι το στοιχείο d = d1 τηςϑέσης (1 1) διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο του στον πίνακα

11 Εϕαρmicroόζουmicroε τα ϐήmicroατα 1minus10 στον πίνακα που πήραmicroε αποmicroακρύ-νοντας την πρώτη γραmicromicroά και στήλη για να πάρουmicroε ένα d2 στη ϑέση (1 1)που διαιρεί κάθε άλλο στοιχείο (και προϕανώς διαιρείται από το d1)

12 Επαναλαmicroβάνουmicroε το ϐήmicroα 11 microέχρι είτε οι γραmicromicroές είτε οι στήλεςείτε τα microη-microηδενικά στοιχεία αποmicroακρυνθούν

Παραθέτουmicroε ένα αναλυτικό παράδειγmicroα εϕαρmicroογής του αλγορίθmicroου

Παράδειγmicroα 2 ΄Εστω ο πίνακας

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Θα εϕαρmicroόσουmicroε τον παραπάνω αλγόριθmicroο για να γράψουmicroε τον Π στηνκανονική του microορϕή Γράϕουmicroε

EΠ = 2 3 4 6

και κ = 2 ∆ιαλέγουmicroε ως d το 2 που ϐρίσκεται στη ϑέση (2 1) ΄Ετσι microε τοϐήmicroα 1 αλλάζουmicroε την πρώτη γραmicromicroή microε την δεύτερη και έχουmicroε

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Π =

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 30: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

30 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Εκτελούmicroε τα ϐήmicroατα 2 minus 6 (τέσσερις φορές εϕαρmicroόζουmicroε πράξεις τύπου Aκαι παίρνουmicroε

Γ51

(minus3)Γ51 + Γ52

(minus1)Γ51 + Γ53

Γ51 + Γ54

(minus2)Γ51 + Γ55

2 0 2 minus26 6 6 02 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

=

2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Το ϐήmicroα 7 microας δίνει2 0 2 minus20 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Σ41

Σ42

(minus1)Σ41 + Σ43

Σ41 + Σ44

T

=

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

όπου microε BT συmicroβολίζουmicroε τον ανάστροϕο του πίνακα B Θέτουmicroε

Π1 =

2 0 0 00 6 0 60 6 0 60 2 minus1 20 6 0 6

Για το ϐήmicroα 8 αλλάζουmicroε τις γραmicromicroές 2 και 4 και microετά προσθέτουmicroε τηντρίτη στήλη στην πρώτη στήλη και έχουmicroε

Γ51

Γ54

Γ53

Γ52

Γ55

Π1

Σ43 + Σ41

Σ42

Σ43

Σ44

T

=

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Θέτουmicroε

ΓΠ1 =

Γ51

(minus2)Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

Γ52

Γ51

Γ53

Γ54

Γ55

Γ51

Γ51 + Γ52

Γ53

Γ54

Γ55

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 31: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

22 ΑΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΓΙΑ ΠΙΝΑΚΕΣ 31

και

Π2 =

2 0 0 0minus1 2 minus1 20 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Με το ϐήmicroα 9 προσθέτουmicroε τη γραmicromicroή 1 στη γραmicromicroή 2 microετά αλλάζουmicroε τιςδύο πρώτες γραmicromicroές κατόπιν αϕαιρούmicroε δύο φορές την γραmicromicroή 1 από τηνγραmicromicroή 2 και τέλος `καθαρίζουmicroε ΄την πρώτη γραmicromicroή (microε το ϐήmicroα 7)

ΓΠ1Π2

Σ41

(minus2)Σ41 + Σ42

Σ41 + Σ43

(minus2)Σ41 + Σ44

T

=

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Αϕού το 1 διαιρεί όλα τα στοιχεία του παραπάνω πίνακα εϕαρmicroόζουmicroε τοϐήmicroα 11 και παίρνουmicroε

1 0 0 00 minus4 2 minus40 6 0 60 6 0 60 6 0 6

Σ41

Σ43

Σ42

Σ44

T Σ41

Σ42

2Σ42 + Σ43

2Σ42 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Τέλος το ϐήmicroα 12 microας δίνειΓ51

Γ52

Γ53

(minus1)Γ53 + Γ54

(minus1)Γ53 + Γ55

1 0 0 00 2 0 00 0 6 60 0 6 60 0 6 6

Σ41

Σ42

Σ43

(minus1)Σ43 + Σ44

T

=

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

και έτσι ο πίνακας Π παίρνει την κανονική microορϕή

D =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε d1 d2 d3 d4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα Συνεπώς υπάρχουν πίνα-κες T και Q έτσι ώστε TΠQminus1 = D

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 32: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

32 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

23 Ταξινόmicroηση αβελιανών οmicroάδων

Ο σκοπός της παρούσας παραγράϕου είναι η απόδειξη του ϑεωρήmicroατος γιατην ταξινόmicroηση των αβελιανών οmicroάδων microε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων

Θεώρηmicroα 5 ΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα Τότε η G είναι τοευθύ άθροισmicroα των κυκλικών οmicroάδων ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩ όπου οι ⟨h1⟩ ⟨hm⟩είναι πεπερασmicroένες microε τάξεις γ1 γm αντίστοιχα microε γi |γi+1 i = 1 m minus1και οι ⟨hm+1⟩ ⟨hn⟩ είναι άπειρες

Να σηmicroειώσουmicroε εδώ ότι κάποιες από τις ⟨h1⟩ ⟨hm⟩ microπορεί να είναιτετριmicromicroένες δηλαδή κάποια από τα γi να είναι 1 Η ουσιαστική σύνδεση τοlaquoπέρασmicroαraquo από την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n σε πεπερασmicroέναπαραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες microε n γεννήτορες δίνεται στο επόmicroενο αποτέ-λεσmicroα

Πρόταση 7 Κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι πηλίκοmicroιας ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

Απόδειξη Πρώτα απο όλα παρατηρούmicroε το εξής ΄Εστω X = x1 xn έναπεπερασmicroένο σύνολο Για κάθε x isin X ϑεωρούmicroε την άπειρη κυκλική οmicroάδαAx = nx n isin Z ΄Εστω

A(X ) =oplusxisinX

Ax

την ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πάνω από το X Η A(X ) είναι ϐαθmicroίδας n΄Εστω G microία n-γεννητόρων αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn ένα σύνολογεννητόρων της G Θεωρούmicroε ένα σύνολο συmicroβόλων X = xi i = 1 n καιτην ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα A(X ) πάνω στο X Η απεικόνιση ϕ X minusrarr Gmicroε ϕ(xi) = gi για κάθε i isin 1 n επεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόποσε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων ϕ A(X ) minusrarr G Η απεικόνιση ϕ είναι επί και αποτο πρώτο ϑεώρηmicroα ισοmicroοmicroορϕισmicroού A(X )Kerϕ G

Στο παρακάτω αποτέλεσmicroα περιγράϕεται microία πολύ ισχυρή ιδιότητα πουέχουν οι πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες

Θεώρηmicroα 6 Αν G είναι microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα τότεκάθε υποοmicroάδα της είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 33: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 33

Απόδειξη ΄Εστω H microία microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα της G Από την Πρόταση7 η G είναι ισόmicroορϕη microε πηλίκο AN όπου A είναι microία πεπερασmicroένα πα-ϱαγόmicroενη ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα Η υποοmicroάδα H της G αντιστοιχεί σεmicroία υποοmicroάδα H1 της A έτσι ώστε H1N H και επειδή η H1 είναι πεπερα-σmicroένα παραγόmicroενη (από το Θεώρηmicroα 3) έχουmicroε ότι η H είναι πεπερασmicroέναπαραγόmicroενη

Μία οmicroάδα G λέγεται περιοδική (torsion group ή periodic group) αν όλα ταστοιχεία της έχουν πεπερασmicroένη τάξη Στη περίπτωση που το microόνο στοιχείοτης G που έχει πεπερασmicroένη τάξη είναι το ουδέτερο ϑα λέmicroε ότι η G είναιελεύθερης στρέψης (torsion free) Μία υποοmicroάδα H της οmicroάδας G ονοmicroάζεταιπλήρως αναλλοίωτη αν ϕ(H) sube H για κάθε ενδοmicroορϕισmicroό ϕ της G Μία(αβελιανή) οmicroάδα G microπορεί να είναι περιοδική ελεύθερη στρέψης ή microικτή

Πρόταση 8 ΄Εστω G microία οmicroάδα και T το σύνολο των στοιχείων της microε πεπε-ϱασmicroένη τάξη ∆ηλαδή T = g isin G ng = 0G n isin N Τότε το T είναι microίαπλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Επιπλέον η οmicroάδα πηλίκο GT είναιελεύθερη στρέψης

Απόδειξη Είναι εύκολο να δειχθεί ότι 0G isin T ΄Εστω x y isin T Τότε υπάρχουνn m ακέραιοι αριθmicroοί έτσι ώστε nx = 0G και my = 0G Αν d είναι το ελάχιστοκοινό πολλαπλάσιο των n m τότε d(x minus y) = 0G ΄Αρα x minus y isin T και έτσι Tείναι υποοmicroάδα της G (και microάλιστα κανονική) ΄Εστω ϕ ενδοmicroορϕισmicroός τηςG Αν x isin T τότε και το ϕ(x) έχει πεπερασmicroένη τάξη και εποmicroένως ϕ(x) isin T Συνεπώς η T είναι microία πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G Τέλος έστωg + T ένα στοιχείο της GT και υποθέτουmicroε ότι υπάρχει ϑετικός ακέραιοςαριθmicroό έτσι ώστε n(g + T ) = T Τότε ng isin T Επειδή η T είναι περιοδικήυπάρχει m isin N έτσι ώστε m(ng) = 0G Αλλά m(ng) = (nm)g = 0G καιεποmicroένως g isin T ∆ηλαδή το microόνο στοιχείο της GT που έχει πεπερασmicroένητάξη είναι το ουδέτερο T

Η υποοmicroάδα T που ορίζεται στην Πρόταση 8 ονοmicroάζεται το περιοδικό microέροςτης G Στη περίπτωση που η οmicroάδα G είναι ελεύθερης στρέψης η T = 0΄Εστω G microία αβελιανή οmicroάδα (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένα παραγόmicroενη)Για κάθε πρώτο αριθmicroό p συmicroβολίζουmicroε microε Gp το υποσύνολο της G πουαποτελείται από τα στοιχεία της G που έχουν τάξη κάποια δύναmicroη του p

Πρόταση 9 (i) Το υποσύνολο Gp microιας (αβελιανής) οmicroάδας G είναι πλήρωςαναλλοίωτη υποοmicroάδα της G

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 34: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

34 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(ii) Αν G είναι microία πεπερασmicroένη (αβελιανή) οmicroάδα και P συmicroβολίζει τοσύνολο των πρώτων αριθmicroών p για τους οποίους Gp 0 τότε G =

opluspisinP Gp

Απόδειξη (i) Απλή(ii) ΄Εστω g isin G 0 και n η τάξη του g ΄Εστω n = pn1

1 middot middot middot pnkk η πρωτογενής

ανάλυση του n Για i = 1 k ϑέτουmicroε qi =n

pnii

οπότε οι q1 qk είναισχετικά πρώτοι ΄Αρα υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί x1 xk έτσι ώστε

q1x1 + middot middot middot + qkxk = 1

(Γίνεται χρήση της ταυτότητας Bezout) Τώρα

g = q1x1g + middot middot middot + qkxkg = b1 + b2 + middot middot middot + bk

όπου bi = qixig i = 1 k Αλλά

pnii bi = pni

i qixig = xi(ng) = 0

και εποmicroένως bi isin Gpi ΄Αρα

g isin Gp1 + middot middot middot + Gpk

και συνεπώς G = ⟨Gp p isin P⟩ Αν P = p τότε G = Gp Υποθέτουmicroε ότιP p και συmicroβολίζουmicroε microε

Tp = ⟨Gq q isin P q p⟩

και g isin Tp Αν g 0 τότε υπάρχουν p1 pk isin P microε pi p i = 1 kώστε g = g1 + middot middot middot+ gk και το gi είναι τάξης pni

i για κάποιο ni isin N i = 1 k΄Αρα το g έχει τάξη που διαιρεί τον pn1

1 middot middot middot pnkk και εποmicroένως g lt Gp ΄Αρα

Gp cap ⟨Gq q isin P q p⟩ = 0 και εποmicroένως G =oplus

pisinP Gp

΄Ενα από τα ϑεmicroελιώδη αποτελέσmicroατα στη ϑεωρία των αβελιανών οmicroάδωνmicroε πεπερασmicroένο πλήθος γεννητόρων είναι το εξής

Θεώρηmicroα 7 (i) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη ελεύθερη στρέψης αβελιανήοmicroάδα G είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα πεπερασmicroένης ϐαθmicroίδας

(ii) Μία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα είναι ευθύ άθροισmicroαmicroιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης ελεύθερης οmicroάδας και microιας πεπερασmicroένηςοmicroάδας

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 35: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 35

Απόδειξη ΄Εστω G = ⟨x1 xn⟩ Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στοn Αν n = 1 τότε η G είναι κυκλική Επειδή είναι ελεύθερη στρέψης η Gάπειρη κυκλική ΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι n gt 1 Θεωρούmicroε το υποσύνολο

H = y isin G existm isin Z 0 my isin ⟨xn⟩

Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι το H είναι υποοmicroάδα της G Η GH είναιελεύθερη στρέψης επειδή αν k(g + H) = H τότε kg isin H και εποmicroένωςmkg isin ⟨xn⟩ για κάποιο m isin Z 0 ΄Αρα g isin H και g + H = H Η GH έχειn minus 1 γεννήτορες (x1 + H xnminus1 + H) και εποmicroένως από την επαγωγικήmicroας υπόθεση είναι ελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης Από την Πρόταση 5υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα A πεπερασmicroένης διάστασης έτσι ώστε

G = H oplus A

Ισχυριζόmicroαστε ότι η H είναι κυκλική Θεωρούmicroε την απεικόνιση

φ H minusrarr Qmicroε φ(y) = k

m όπου my = kxn Η φ είναι καλά ορισmicroένη επειδή αν m1y = k1xn

και m2y = k2xn τότε

0 = m2(m1y) minusm1(m2y) = (m2k1 minus k2m1)xn

από όπου προκύπτει k1m1= k2

m2 Η φ είναι οmicroοmicroορϕισmicroός επειδή αν φ(y1) = k1

m1

και φ(y2) = k2m2

τότεm1y1 = k1xn m2y2 = k2xn

καιm1m2(y1 + y2) = (k1m2 + k2m1)xn

δηλαδή

φ(y1 + y2) =k1

m1+

k2

m2= φ(y1) + φ(y2)

Αν φ(y) = 0 τότε my = 0 και y = 0 ΄Αρα η ϕ είναι microονοmicroορϕισmicroός της H προςmicroία υποοmicroάδα N της (Q+) Η H είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη (Θεώρηmicroα6) και εποmicroένως η N πεπερασmicroένα παραγόmicroενη Επειδή η N είναι κυκλική(δες ΄Ασκηση 1) το ίδιο ισχύει και για την H Συνεπώς η G = H oplus A είναιελεύθερη πεπερασmicroένης διάστασης ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενηαβελιανή οmicroάδα και έστω T το περιοδικό microέρος της G Τότε από το Θεώρηmicroα6 η T είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και εποmicroένως πεπερασmicroένη Είναι

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 36: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

36 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

εύκολο να διαπιστωθεί ότι η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη και άραελεύθερη στρέψης Εποmicroένως υπάρχει microία ελεύθερη υποοmicroάδα F της G microεF GT ώστε G = F oplus T

Απόδειξη του Θεωρήmicroατος 5 ΄Εστω A = ⟨f1 fn⟩ microία ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας n και έστω φ ο επιmicroορϕισmicroός από την A στη G τέτοιοςώστε φ(fi) = gi i = 1 n ΄Οπως είδαmicroε στην απόδειξη της Πρότασης 7AKerφ G Θέτουmicroε H = Kerφ Τότε h isin H αν και microόνο αν φ(h) = 0΄Ετσι αν h = λ1f1 + middot middot middot+ λnfn όπου λ1 λn isin Z τότε h isin H αν και microόνο ανφ(h) = 0 δηλαδή λ1g1+middot middot middot+λngn = 0 Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερηαβελιανή microε ϐαθmicroίδα m le n Από το Θεώρηmicroα 4 διαλέγουmicroε u1 unϐάση για την A και v1 vm ϐάση για την H έτσι ώστε vi = γiui και γi |γi+1

microε i = 1 m minus 1 Από τον ισοmicroορϕισmicroό AH G υπάρχουν στοιχείαh1 hn isin G που αντιστοιχούν στις πλευρικές κλάσεις u1 + H un + HΕπιπλέον τα στοιχεία h1 hn παράγουν την G Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

Πρώτα από όλα ϑα δείξουmicroε ότι αν micro1h1 + middot middot middot + micronhn = 0 τότε microihi = 0 γιαi = 1 n Πράγmicroατι υπάρχουν t1 tm isin Z έτσι ώστε

micro1u1 + middot middot middot + micronun = t1v1 + middot middot middot + tmvm

Επειδή vi = γiui i = 1 m και u1 un είναι ϐάση της A έχουmicroε ότιmicroi = γiti microε i = 1 m και microj = 0 microε j = m + 1 n ΄Ετσι

microiui = tiγiui = tivi isin H

για i = 1 m Συνεπώς

micro1h1 = middot middot middot = micromhm = 0

καιmicrom+1hm+1 = middot middot middot = micronhn = 0

Για να δείξουmicroε ότι η G είναι το ευθύ άθροισmicroα των κυκλικών υποοmicroάδωντης ⟨h1⟩ ⟨hn⟩ αρκεί να δείξουmicroε ότι κάθε στοιχείο g isin G γράϕεται microεένα και microοναδικό τρόπο ως g = g1 + middot middot middot + gn όπου gi isin ⟨hi⟩ microε i = 1 n΄Εστω ότι g = g1 + middot middot middot + gn = gprime1 + middot middot middot + gprimen Τότε επειδή gi = δihi gprime = δprimei hi

(i = 1 n) και (g1 minus gprime1) + middot middot middot + (gn minus gprimen) = 0 έχουmicroε (σύmicroϕωνα microε τηνπαραπάνω ανάλυση) ότι (δi minus δprimei )hi = 0 microε i = 1 n ∆ηλαδή gi = gprimei

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 37: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 37

i = 1 n Παρατηρούmicroε ότι microihi = 0 αν και microόνο αν microiui isin H αν και microόνοαν microi = tiγi για κάποιο ti isin Z i = 1 m ΄Ετσι η τάξη του hi είναι |γi | ανi = 1 m και microihi = 0 αν και microόνο αν microi = 0 i = m + 1 n Τελικά

G = ⟨h1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨hn⟩

όπου η τάξη της ⟨hi⟩ είναι |γi | microε i = 1 m και η τάξη της ⟨hi⟩ microε i =m + 1 n είναι άπειρη

Είναι εύλογο να αναρωτηθούmicroε αν microία άπειρη κυκλική οmicroάδα ή microία πε-περασmicroένη κυκλική οmicroάδα έχει περαιτέρω laquoδιάσπασηraquo σε κυκλικές οmicroάδεςΘα λέmicroε ότι microία τυχαία οmicroάδα είναι microη-αναλύσιmicroη (indecomposable) αν δενmicroπορεί να γραϕεί ως ευθύ άθροισmicroα microη τετριmicromicroένων υποοmicroάδων της Θααποδείξουmicroε ότι οι microόνες microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες είναι η άπειρηκυκλική και οι πεπερασmicroένες κυκλικές που οι τάξεις τους είναι δυνάmicroειςπρώτων αριθmicroών (δηλαδή είναι κυκλικές p-οmicroάδες)

Θεώρηmicroα 8 Αν G είναι microία κυκλική οmicroάδα τάξης n όπου n σύνθετος αριθmicroόςτότε η G είναι ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διάϕορους πρώτουςαριθmicroούς p

Απόδειξη ΄Εστω n = pt11 middot middot middot p

trr η πρωτογενής ανάλυση της τάξης του n microε

p1 pr διαϕορετικοί πρώτοι αριθmicroοί ανά δύο Θα αποδείξουmicroε ότι

G = ⟨g1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨gr⟩

όπου gi έχει τάξη ptii i = 1 r Πρώτα απο όλα γράϕουmicroε το n = n1n2

όπου οι 1 lt n1 n2 lt n και σχετικά πρώτοι Επειδή ο microέγιστος κοινόςδιαίρετης των n1 n2 είναι 1 υπάρχουν ακέραιοι αριθmicroοί m1 m2 (από τηνταυτότητα του Bezout) έτσι ώστε m1n1 + m2n2 = 1 Θεωρούmicroε τις κυκλικέςυποοmicroάδες G1 = ⟨n1g⟩ και G2 = ⟨n2g⟩ της G = ⟨g⟩ Προϕανώς το g έχει τάξηn Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = G1 oplus G2

Αϕού g = m1(n1g) + m2(n2g) και η G είναι κυκλική αρκεί να δείξουmicroε ότιG1 cap G2 = 0 ΄Εστω x isin G1 cap G2 Τότε n2x = 0 και αϕού x isin G2 έχουmicroεότι n1x = 0 ΄Ετσι x = m1n1x + m2n2x = 0 Εποmicroένως G = G1 oplus G2Επαναλαmicroβάνοντας την διαδιακασία πάνω στις οmicroάδες G1 και G2 έχουmicroε τοεπιθυmicroιτό αποτέλεσmicroα

Απάντηση στην ερώτηση ποιες κυκλικές οmicroάδες είναι microη αναλύσιmicroες microαςδίνει το επόmicroενο αποτέλεσmicroα

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 38: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

38 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Θεώρηmicroα 9 (i) Η άπειρη κυκλική οmicroάδα είναι microη αναλύσιmicroη(ii) Μία κυκλική p-οmicroάδα τάξης pr όπου p πρώτος αριθmicroός και r ϑετικός

ακέραιος είναι microη αναλύσιmicroη

Απόδειξη (i) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία άπειρη κυκλική οmicroάδα Είναι γνωστό ότι όλεςοι υποοmicroάδες της G είναι ⟨ng⟩ microε n microη αρνητικός ακέραιος ΄Εστω

G1 = ⟨mg⟩

καιG2 = ⟨tg⟩

microε m t διαϕορετικοί ϑετικοί ακέραιοι Επειδη mtg 0 και mtg isin G1 cap G2έχουmicroε ότι G G1 oplus G2 Αυτό συmicroβαίνει για κάθε Ϲεύγος microη τετριmicromicroένωνυποοmicroάδων της G και εποmicroένως η G είναι microη-αναλύσιmicroη

(ii) ΄Εστω G = ⟨g⟩ microία κυκλική οmicroάδα τάξης pr Τότε όλες οι υποοmicroάδεςτης G είναι G ⟨pg⟩ ⟨p2g⟩ ⟨pnminus1g⟩ Επιπλέον

G sup ⟨pg⟩ sup middot middot middot sup ⟨pnminus1g⟩

΄Ετσι αν G1 και G2 είναι δύο microη τετριmicromicroένες υποοmicroάδες της G τότε G1capG2 0και εποmicroένως G G1 oplus G2

Αν G είναι microία οmicroάδα και n isin N τότε microε nG ϑα συmicroβολίζουmicroε την υ-ποοmicroάδα της G που παράγεται από όλα τα στοιχεία της microορϕής ng g isin GΕπειδή n(g plusmn h) = ng plusmn nh η nG ταυτίζεται microε το υποσύνολο των στοιχείωντης microορϕής ng g isin G

Μία οmicroάδα G για την οποία ισχύει pG = 0 όπου p είναι πρώτος αριθ-microός ονοmicroάζεται στοιχειώδης αβελιανή p-οmicroάδα Μία τέτοια οmicroάδα microπορεί ναϑεωρηθεί σαν διανυσmicroατικός χώρος πάνω από το Zp Με άλλα λόγια η στοι-χειώδης αβελιανή p-οmicroάδα είναι αντίγραϕα του Zp Μία (αβελιανή) οmicroάδα Gλέγεται p-οmicroάδα microε p πρώτο αν κάθε microη τετριmicromicroένο στοιχείο της έχει τάξηmicroια δύναmicroη του p

Το παρακάτω αποτέλεσmicroα γενικεύει το Θεώρηmicroα 8

Θεώρηmicroα 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα G είναι ένα ευθύ άθροισmicroακυκλικών οmicroάδων και έχει τάξη microία δύναmicroη του p

Απόδειξη Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή πάνω στη τάξη |G| της οmicroάδας GΑν |G| = 1 τότε το Θεώρηmicroα ισχύει Υποθέτουmicroε ότι |G| = n gt 1 και ότι

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 39: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 39

το Θεώρηmicroα ισχύει για όλες τις πεπερασmicroένες (αβελιανές) p-οmicroάδες microε τάξηmicroικρότερη από το n Αν η G είναι κυκλική δεν έχουmicroε τίποτα να αποδείξουmicroε΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι η G είναι αβελιανη p-οmicroάδα όχι κυκλική ΄Εστω g isin Gmicroε την microεγαλύτερη τάξη και P = ⟨g⟩ ΄Εστω pm η τάξη του g (Προϕανώςαυτή συmicroπίπτει microε την τάξη του P ∆ηλαδή P = 0 g 2g (pmminus1 minus 1)g)Θεωρούmicroε την οmicroάδα πηλίκο GP Αϕού η GP είναι p-οmicroάδα και |GP | lt infinmicroπορούmicroε να εϕαρmicroόσουmicroε επαγωγή ΄Αρα υπάρχουν κυκλικές υποοmicroάδεςτης GP ⟨b1 + P⟩ ⟨bk + P⟩ έτσι ώστε

GP = ⟨b1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨bk + P⟩

΄Εστω pni η τάξη του στοιχείου bi+P Ισχυριζόmicroαστε ότι υπάρχει στοιχείο ci isin Gmicroε τάξη pni τέτοιο ώστε bi + P = ci + P Αν pni bi = 0 τότε ϑεωρούmicroε ci = bi΄Ετσι υποθέτουmicroε ότι pni bi 0 Εποmicroένως pni bi = microig microε 1 lt micro lt pm minus 1 Αν(microi pm) = 1 τότε pm+ni bi = 0 που είναι άτοπο λόγω της επιλογής του g καιέτσι microi = kipρi microε (ki p) = 1 Συνεπώς

ord(pni bi) = pmminusρi

και εποmicroένως η τάξη του bi είναι pmminusρi+ni Λόγω της επιλογής του g m minus ρi +

ni le m και έτσι ρi le ni Θέτουmicroε

ci = bi minus kipρiminusni g

και έχουmicroε το Ϲητούmicroενο Επειδή bi + P = ci + P i = 1 k έχουmicroε ότι

GP = ⟨c1 + P⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1 + P⟩

όπου τα στοιχεία ci +P της GP και ci του G έχουν την ίδια τάξη Θα δείξουmicroεότι

G = ⟨c1⟩ oplus middot middot middot oplus ⟨c1⟩ oplus ⟨g⟩Αν x isin G τότε

x + P = λ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = (λ1c1 + middot middot middotλkck) + P

και συνεπώς x minus (λ1c1 + middot middot middotλkck) isin P ΄Αρα x = λ1c1 + middot middot middot + λkck + λgλ1 λk λ isin Z ΄Εστω

λ1c1 + middot middot middot + λkck + λg = 0

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 40: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

40 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Τότελ1(c1 + P) + middot middot middot + λk(ck + P) = P

(Το P είναι το microηδέν της GP) Επειδή η GP είναι το ευθύ άθροισmicroα των⟨ci+P⟩ i = 1 k έχουmicroε ότι λi(ci+P) = P i = 1 k και επειδή το ci+Pκαι ci έχουν την ίδια τάξη έχουmicroε λici = 0 i = 1 k ΄Ετσι λg = 0 ΄Αρακάθε στοιχείο της G γράϕεται κατά ένα και microοναδικό τρόπο υπό την microορϕήλ1c1 + middot middot middot + λkck + λg

Πόρισmicroα 4 Αν G είναι microία πεπερασmicroένη αβελιανή p-οmicroάδα και g ένα στοιχείοτης G microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη τότε η ⟨g⟩ είναι ευθύς προσθετέος τηςG

Πρόταση 10 Μία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n = pn11 middot middot middot p

nkk όπου

p1 pk διαϕορετικοί ανά δύο πρώτοι αριθmicroοί αναλύεται σε ευθύ άθροισmicroατων υποοmicroάδων Gpi i = 1 k Επιπλέον |Gpi | = pni

i i = 1 k

Απόδειξη Από την Πρόταση 9

G = opluspisinPGp

όπου P το σύνολο των πρώτων αριθmicroών p έτσι ώστε Gp 0 Επειδή η τάξηενός στοιχείου διαιρεί την τάξη της οmicroάδας (Θεώρηmicroα Lagrange) έπεται ότιαν Gp 0 τότε p isin p1 pk ΄Αρα G = Gp1 oplus middot middot middot oplus Gpk Από το Θεώρηmicroα10 |Gpi | = pmi

i i = 1 k mi ge 0 ΄Ετσι n = |G| = pm11 middot middot middot p

mkk Εποmicroένως

mi = ni i = 1 k

Το αντίστροϕο του Θεωρήmicroατος Lagrange γενικά δεν ισχύει Αλλά στηνπερίπτωση των πεπερασmicroένων αβελιανών οmicroάδων ισχύει

Πόρισmicroα 5 Αν G microία πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα τάξης n τότε η οmicroάδαέχει υποοmicroάδα τάξης m για κάθε διαιρέτη m του n

Πρόταση 11 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη αβελιανή p οmicroάδα και έστω

G = Cpm1 oplus middot middot middot oplus Cpmr (3)

microε m1 ge m2 ge middot middot middot ge mr και

G = Cprimepn1 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (4)

microε n1 ge n2 ge middot middot middot ge ns Τότε r = s και mi = ni i = 1 r

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 41: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

23 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΑΒΕΛΙΑΝΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 41

Απόδειξη ΄Εστω Cpmi = ⟨ai⟩ i = 1 r και Cprimepnj = ⟨bj⟩ j = 1 s Επειδή

a1 isin G έχουmicroε ότιa1 = k1b1 + middot middot middot + ksbs (5)

Η τάξη του a1 είναι pm1 και επειδή προϕανώς το a1 όπως και το b1 είναιστοιχείο microε την microεγαλύτερη δυνατή τάξη της G έχουmicroε ότι m1 = n1 Ανb1 bρ είναι τα στοιχεία από τα b1 bs που έχουν τάξη pn1 = pm1 τότεένα τουλάχιστον από τα k1 kρ στην (3) δεν πρέπει να διαιρείται από το pεπειδή διαϕορετικά το a1 ϑα είχε τάξη microικρότερη του pm1 Χωρίς ϐλάβη τηςγενικότητας microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι p - k1 (αλλάζοντας αν χρειασθείτην σειρά των b1 bρ) Ισχυριζόmicroαστε ότι

G = Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (6)

΄Εστω g isin Cpm1 cap (Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns ) Τότε

g = λa1 = λ2b2 + middot middot middot + λsbs (7)

Από τις σχέσεις (5) και (7) έχουmicroε

λk1b1 = λa1 minus λk2b2 minus middot middot middot minus λksbs

= (λ2 minus λk2)b2 + middot middot middot + (λs minus λks)bs

και εποmicroένως λk1b1 = 0 (λόγω της (4)) ΄Αρα ο pm1 = pn1 διαιρεί το λk1 καιεπειδή (k1 p) = 1 έχουmicroε ότι pm1 |λ Συνεπώς g = λa1 = 0 και έχουmicroε το ευθύάθροισmicroα Cpm1 oplus Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns Επειδή αυτό έχει την ίδια τάξη microε την Gέχουmicroε την (3) Αν |G| = p τότε το Θεώρηmicroα προϕανώς ισχύει ΄Εστω ότι τοΘεώρηmicroα ισχύει για όλες τις p-οmicroάδες microε τάξη microικρότερη του pn και έστω ότι|G| = pn Από τις σχέσεις (3) και (6) είναι εύκολο να συmicroπεράνουmicroε ότι

Cpm2 oplus middot middot middot oplus Cpmr GCpm1 Cprimepn2 oplus middot middot middot oplus Cprimepns (8)

Από την υπόθεση της επαγωγής έχουmicroε ότι r minus 1 = s minus 1 και mi = ni i =2 r Επειδή m1 = n1 έχουmicroε r = s και mi = ni i = 1 r

Θα παρατηρήσουmicroε εδώ ότι microία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn είναι πλήρωςκαθορισmicroένη από τις τάξεις pn1 pn2 pnk των κυκλικών οmicroάδων που είναιευθύ άθροισmicroα Μία ενδιαϕέρουσα συνέπεια της παραπάνω ανάλυσης είναιότι

Υπάρχουν τόσες (microη ισόmicroορϕες) αβελιανές οmicroάδες τάξης pn όσεςείναι οι διαmicroερίσεις του n

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 42: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

42 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

(∆ιαmicroέριση του n είναι microια φθίνουσα ακολουθία microη-αρνητικών ακεραίων n1 gen2 middot middot middot ge nk ge 0 έτσι ώστε n = n1+middot middot middot+nk Για παράδειγmicroα (3 2 1 1) είναι microίαδιαmicroέριση του 7 Οι διαmicroερίσεις παίζουν πρωτεύοντα ϱόλο στις πολυωνυmicroικέςαναπαραστάσεις της GLn(K) microε K σώmicroα χαρακτηριστικής 0)

Μία αβελιανή p-οmicroάδα τάξης pn που είναι το ευθύ άθροισmicroα κυκλικώνοmicroάδων τάξης pn1 pnk microε n1 ge middot middot middot ge nk ge 0 ονοmicroάζεται αβελιανή p-οmicroάδατου τύπου (n1 nk) Στο επόmicroενο αποτέλεσmicroα δίνουmicroε την microοναδικότητατης διάσπασης microιας πεπερασmicroένα παραγόmicroενης αβελιανής οmicroάδας

Θεώρηmicroα 11 (Μοναδικότητα διάσπασης) Αν microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη α-ϐελιανή οmicroάδα εκϕράζεται ως ευθύ άθροισmicroα κυκλικών p-οmicroάδων για διαϕο-ϱετκούς πρώτους αριθmicroούς p ή άπειρων κυκλικών οmicroάδων τότε κάθε άλληδιάσπαση της οmicroάδας σε microη-αναλύσιmicroες κυκλικές οmicroάδες έχει τον ίδιο αριθmicroόκυκλικών p-οmicroάδων και τον ίδιο αριθmicroό άπειρων κυκλικών οmicroάδων

Απόδειξη ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και υπο-ϑέτουmicroε ότι

G Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸n

oplusCpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r

καιG Z oplus middot middot middot oplus Z︸ ︷︷ ︸

m

oplusCqn11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

όπου microε Cpr συmicroβολίζουmicroε την κυκλική οmicroάδα microε τάξη pr ΄Εστω T το σύ-νολο των στοιχείων της G microε πεπερασmicroένη τάξη Από την Πρόταση 8 η Tείναι πλήρως αναλλοίωτη υποοmicroάδα της G και GT είναι ελεύθερη στρέψηςΕπειδή η GT είναι πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή ελεύθερη στρέψηςαπό το Θεώρηmicroα 7 (ii) έπεται ότι η GT είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microετην microεγαλύτερη δυνατή ϐαθmicroίδα Συνεπώς n = m Από την Πρόταση 5G = A oplus T όπου A ελεύθερη αβελιανή υποοmicroάδα της G microε ϐαθmicroίδα n Απότην Πρόταση 8 η T είναι πεπερασmicroένη αβελιανή οmicroάδα Εποmicroένως

T = Cpm11oplus middot middot middot oplus Cpmr

r= Cq

n11oplus middot middot middot oplus Cqns

s

΄Εστω t η τάξη της T και έστω t = pt11 middot middot middot p

tνν η πρωτογενής ανάλυση του t Από

την Πρόταση 10

T =νoplus

i=1

Gpi

όπου |Gpi | = ptii i = 1 ν Από το Θεώρηmicroα 10 και την Πρόταση 11

προκύπτει το Ϲητούmicroενο αποτέλεσmicroα

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 43: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 43

24 Παραδείγmicroατα

΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και έστω g1 gn

ένα σύνολο γεννητόρων της G ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroί-δας n microε ελεύθερους γεννήτορες x1 xn Επειδή η A είναι ελεύθερη πάνωστο σύνολο x1 xn η απεικόνιση ϕ που στέλνει το xi στο gi i = 1 nεπεκτείνεται microε ένα και microοναδικό τρόπο σε οmicroοmicroορϕισmicroό οmicroάδων από τηνA στην G Αϕού το σύνολο g1 gn παράγει την G ο οmicroοmicroορϕισmicroός ϕείνα επιmicroορϕισmicroός και έτσι από το πρώτο Θεώρηmicroα ισοmicroορϕισmicroού έχουmicroεότι AKerϕ G Ας συmicroβολίσουmicroε τον πυρήνα Kerϕ microε H Είναι προϕα-νές ότι ένα στοιχείο x της A ανήκει στην H αν και microόνο αν ϕ(x) = 0 ΄Ετσιαν x = λ1x1 + + λnxn isin H (λ1 λn isin Z) τότε λ1g1 + + λngn = 0και αντίστροϕα Από το Θεώρηmicroα 3 η H είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα microεϐαθmicroίδα m le n Με άλλα λόγια όλες οι δυνατές σχέσεις που ικανοποιούν οιγεννήτορες της G προέρχονται από τους γεννήτορες της H

Παρακάτω δίνουmicroε microία πολύ χρήσιmicroη παρατήρηση που microπορεί να απο-δειχθεί εύκολα κάνοντας χρήση του πρώτου ϑεωρήmicroατος ισοmicroορϕισmicroού

΄Εστω G H τυχαίες οmicroάδες τέτοιες ώστε A G B H ΤότεA times B G times H και ότι GtimesH

AtimesB GA times

HB

Μία άmicroεση εϕαρmicroογή της παραπάνω παρατήρησης είναι η εξής ΄Εστω Gπεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Τότε η G έχει την microορϕή AHόπου A είναι ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H ελεύθερη αβελιανήοmicroάδα ϐαθmicroίδας m m le n (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7 και τα Θεωρήmicroατα3 και 4)

AH = A(x1 xn)⟨γ1x1 γmxm⟩ (⟨x1⟩ times middot middot middot times ⟨xm⟩ times middot middot middot times ⟨xn⟩)(⟨γ1x1⟩ times middot middot middot times ⟨γmxm⟩) Cγ1 times middot middot middot times Cγm times ⟨xm+1⟩ times middot middot middot middot middot middot times ⟨xn⟩

όπου στην παραπάνω γραϕή αν κάποιο από τα γ είναι 0 το C0 ερmicroηνεύεται ωςZ αν κάποιο από τα γ είναι 1 το C1 ερmicroηνεύεται ως την τετριmicromicroένη υποοmicroάδακαι υπάρχουν n minusm αντίγραϕα της (Z+)

(Ι) ΄Εστω A = A(x y z t) microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 4 καιH = gpv1 = 6x + 6y + 6z v2 = 2x + 2z minus 2t v3 = 2x + 6y + 2z + 4t v4 =

minus2x + 2y minus 3z + 4t v5 = 4x + 6y + 4z + 2t Από Θεώρηmicroα 3 τα στοιχεία

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 44: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

44 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

v1 v5 είναι Z-γραmicromicroικά εξαρτηmicroένα Ο πίνακας συντελεστών είναι ο

Π =

6 6 6 02 0 2 minus22 6 2 4minus2 2 minus3 44 6 4 2

Στη παράγραϕο 12 είδαmicroε αναλυτικά ότι η κανονική microορϕή του πίνακα Πείναι

Γ =

1 0 0 00 2 0 00 0 6 00 0 0 00 0 0 0

microε γ1 γ2 γ3 γ4 να ισούται microε 1 2 6 0 αντίστοιχα ΄Εχουmicroε ότι

Π

xyzt

=

v1

v2

v3

v4

v5

Πολλαπλασιάζουmicroε την παραπάνω σχέση microε τον πίνακα T (δες παράδειγmicroα2) και αντικαθιστούmicroε τον πίνακα TΠ microε τον ΓQ Επειδή Q isin GL4(Z) και

x y z t είναι ϐάση της A Q

xyzt

δίνει καινούρια ϐάση f prime1 f prime2 f prime3 f prime4 της A

Οι γεννήτορες της H είναι f prime1 2f prime2 6f prime3 και έτσι από το Θεώρηmicroα 4 η ϐαθmicroίδατης H είναι 3 ΄Εστω G = A(x y z t)H Τότε η G έχει την εξής διάσπαση

G C2 oplus C6 oplus Cinfin C2 oplus C2 oplus C3 oplus Cinfin

(ΙΙ) ΄Εστω G η αβελιανή οmicroάδα που παράγεται από τα στοιχεία x y z καιικανοποιούν τις σχέσεις

x + y + 4z = x + 4y + z = 4x + y + z = 0

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 45: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

24 ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ 45

΄Εστω A η ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας 3 που παράγεται από τα στοι-χεία x1 x2 x3 και έστω η υποοmicroάδα H της G που παράγεται από τα στοιχείαu = x1+x2+4x3 v = x1+2x2+x3 w = 4x1+x2+x3 Τότε η G είναι ισόmicroορϕηmicroε την οmicroάδα πηλίκο AH (σύmicroϕωνα microε την Πρόταση 7) Είναι εύκολο ναδείξουmicroε ότι το σύνολο u v w είναι Z-γραmicromicroικά ανεξάρτητο Συνεπώς η Hέχει ϐαθmicroίδα 3 Παρατηρούmicroε ότι

Π

x1

x2

x3

= u

vw

όπου

Π =

1 1 41 4 14 1 1

Κάνοντας χρήση του αλγορίθmicroού 12 η κανονική microορϕή του πίνακα Π είναι

Γ =

γ1 0 00 γ2 00 0 γ3

microε γ1 γ2 γ3 να ισούται microε 1 3 18 αντίστοιχα Οι νέοι γεννήτορες της A είναιf1 = x1 + x2 + 4x3 f2 = x2 minus x1 και f3 = x3 ενώ οι γεννήτορες της H είναιf1 3f2 και 18f3 ΄Ετσι G C1 oplus C3 oplus C18 Αϕού 18 = 2 middot 32 microπορούmicroε ναδιασπάσουmicroε την C18 και να πάρουmicroε C18 C2oplusC9 Επειδή C1 = 0 έχουmicroεότι G C3 oplus C2 oplus C9

(ΙΙΙ) ΄Εστω G οmicroάδα microε τάξη p2 όπου p πρώτος Τότε |Z (G)| gt p Επιπλέονϑα συmicroπεράνουmicroε ότι η G είναι αβελιανή και ϑα ϐρούmicroε όλες τις οmicroάδες microετάξη p2 Επειδή |G| = p2 η G έχει microη τετριmicromicroένο κέντρο Από το ΘεώρηmicroαLagrange έχουmicroε ότι |Z (G)| = p ή p2 ΄Εστω |Z (G)| = p Η τάξη της οmicroάδαςπηλίκο GZ (G) είναι ίση microε το δείκτη |G Z (G)| του κέντρου στην οmicroάδαG Από το Θεώρηmicroα Lagrange έχουmicroε ότι |GZ (G)| είναι p Επειδή ο p είναιπρώτος αριθmicroός η GZ (G) είναι κυκλική και έστω gZ (G) ένας γεννήτορας της΄Εστω x y isin G Τότε υπάρχουν u v isin Z (G) έτσι ώστε x = gnu και y = gmvmicroε n m isin Z Είναι εύκολο να δείξουmicroε ότι xy = yx ΄Αρα η G είναι αβελιανήκαι επόmicroένως G = Z (G) άτοπο ΄Αρα |Z (G)| gt p και έτσι G = Z (G) δηλαδήη G είναι αβελιανή Για να ϐρούmicroε όλες τις (αβελιανές) οmicroάδες τάξης p2ϐρίσκουmicroε όλες τις διαmicroερίσεις του 2 Τότε από το Θεώρηmicroα 10 έχουmicroε ότιη G είναι είτε η κυκλική Cp2 είτε η Cp oplus Cp

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 46: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

46 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

25 Ασκήσεις

1 ∆είξτε ότι κάθε πεπερασmicroένα παραγόmicroενη microη τετριmicromicroένη υποοmicroάδα H τηςπροσθετικής οmicroάδας (Q+) των ϱητών αριθmicroών είναι άπειρη κυκλική

(Υπόδειξη Υποθέτουmicroε ότι X = p1q1

pn

qn Παρατηρούmicroε ότι

X sube ⟨ 1q1q2 middot middot middot qn

΄Ετσι ⟨X⟩ είναι κυκλική οmicroάδα)

2 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Αν G0 είναιπεριοδική υποοmicroάδα της G και GG0 είναι ελεύθερη στρέψης τότε G0 = T (G)

(Λύση Από τη Πρόταση 29 G0 sube T (G) Επειδή GG0 είναι ελεύθερηστρέψης από την Πρόταση 26 έπεται ότι υπάρχει ελεύθερη αβελιανή οmicroάδαA ϐαθmicroίδας n έτσι ώστε G = AoplusG0 Από το Θεώρηmicroα 17 ο n είναι microοναδικόςΑπό την Πρόταση 29 GT (G) είναι ελεύθερη στρέψης και έτσι GT (G) AΣυνεπώς G = A oplus G0 = A oplus T (G))

3 ΄Εστω G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενες αβελιανές οmicroάδες Αν G Hτότε T (G) T (H) και GT (G) HT (H)

(Υπόδειξη Εϕαρmicroόστε το Θεώρηmicroα 17)

4 ΄Εστω G microία πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα και H le G∆είξτε ότι

(α) T (H) = H cap T (G)(ϐ) T (G)T (H) HT (G)H T (GH)

(Υπόδειξη (α) Κάνοντας χρήση τους ορισmicroούς (ϐ) GH είναι πεπερασmicroέ-να παραγόmicroενη αβελιανή οmicroάδα Η οmicroάδα T (GH) = g + H ng isin Hexistn isinN = g + H g isin T (G))

5 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G και H πεπερασmicroένα παραγόmicroενεςαβελιανές οmicroάδες Να αποδειχθεί

(α) ΄Εστω nG = ng g isin G Τότε nG le G(ϐ) Αν G H τότε nG nH και GnG HnH

6 ΄Εστω n ϑετικός ακέραιος και G πεπερασmicroένα παραγόmicroενη αβελια-νή οmicroάδα Από το Θεώρηmicroα 5 υπάρχουν g1 gr isin G τέτοια ώστε G =oplusr

i=1⟨gi⟩ ∆είξτε ότι nG =oplusr

i=1⟨ngi⟩

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 47: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

25 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 47

7 ΄Εστω n r ϑετικοί ακέραιοι και G microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθ-microίδας r ∆είξτε ότι η GnG είναι το ευθύ άθροισmicroα r κυκλικών οmicroάδων τάξηςn

8 ΄Εστω A microία ελεύθερη αβελιανή οmicroάδα ϐαθmicroίδας n και H microία υποοmicroάδααυτής ϐαθmicroίδας n ∆είξτε ότι η AH είναι πεπερασmicroένη

9 Αν x1 xn microία ϐάση της ελεύθερης αβελιανής οmicroάδας A τότε καιη x prime1 x2 xn είναι ϐάση της A όπου x prime1 = x1 + q2x2 + middot middot middot + qnxn

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 48: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

48 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΒΕΛΙΑΝΕΣ ΟΜΑ∆ΕΣ

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 49: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

Κεϕάλαιο 3

Θεώρηmicroα Sylow

31 ∆ιατύπωση και Απόδειξη του Θεωρήmicroατος

Αν G είναι microία πεπερασmicroένη οmicroάδα τότε από το Θεώρηmicroα Lagrange κάθευποοmicroάδα της G έχει τάξη που διαιρεί τη τάξη της G Το αντίστροϕο δενισχύει γενικά ∆ηλαδή αν m διαιρεί την τάξη n = |G| δεν υπάρχει πάνταυποοmicroάδα της G microε τάξη m Αλλά αν ο διαιρέτης m είναι δύναmicroη ενόςπρώτου αριθmicroού τότε πάντοτε υπάρχουν υποοmicroάδες τάξης m Το 1872 οΝορβηγός microαθηmicroατικός Sylow ανάπτυξε τη σχετική ϑεωρία ανακαλύπτονταςmicroερικά αξιόλογα ϑεωρήmicroατα για κάποιες συγκεκριmicroένες υποοmicroάδες τυχαίαςπεπερασmicroένης οmicroάδας

΄Εστω G microία (όχι απαραίτητα πεπερασmicroένη) οmicroάδα και A και B υποοmicroάδεςτης G Ορίζουmicroε microία σχέση R πάνω στο G microε τη ϐοήθεια των A B ως εξής

(x y) isin R lArrrArr x = ayb

για κάποιο a isin A και b isin B Είναι εύκολο να αποδειχθεί ότι η R είναι σχέσηισοδυναmicroίας πάνω στο G Οι κλάσεις ισοδυναmicroίας γράϕονται

AyB = ayb a isin A b isin B

όπου το y είναι ένα οποιοδήποτε στοιχείο της δοθείσης κλάσης Οι κλάσειςAyB ονοmicroάζονται διπλά σύmicroπλοκα

Από εδώ και στο εξής στο κεϕάλαιο αυτό όλες οι οmicroάδες ϑα ϑεωρούνταιπεπερασmicroένες ΄Εστω G microία οmicroάδα και A B υποοmicroάδες της G Είναι απλόνα δειχθεί ότι το διπλό σύmicroπλοκο AxB έχει τον ίδιο πληθικό αριθmicroό microε το

49

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 50: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

50 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

xminus1AxB Παρατηρώντας ότι το xminus1AxB είναι γινόmicroενο των υποοmicroάδων xminus1Axκαι B έχουmicroε ότι

(|AxB| =) |xminus1AxB| = |xminus1Ax ||B|

|xminus1Ax cap B| =|A||B|

|xminus1Ax cap B|

΄Εστω Ax1B AxκB οι διαϕορετικές κλάσεις ισοδυναmicroίας της R πάνω στοG Τότε

κsumi=1

1|xminus1

κ Axκ cap B| =|G||A||B|

Θεώρηmicroα 12 (Sylow) ΄Εστω G microία πεπερασmicroένη οmicroάδα(I) ΄Εστω |G| = n p πρώτος και pm η microεγαλύτερη δύναmicroη του p που διαιρεί

το n (∆ηλαδή n = pmr όπου (p r) = 1) Τότε η οmicroάδα G έχει υποοmicroάδες τάξηςpi για κάθε i isin 0 m (Η υποοmicroάδα τάξης pm ονοmicroάζεται p-υποοmicroάδαSylow)

(II) ∆ύο υποοmicroάδες Sylow είναι συζυγείς Επιπλέον υπάρχει ακριβώς microίαp-υποοmicroάδα Sylow της G αν και microόνο αν αυτή είναι κανονική

(III) Το πλήθος των p-υποοmicroάδων Sylow της G είναι της microορϕής 1 + kp καιείναι διαιρέτης της τάξης της G

Απόδειξη (I) Θα χρησιmicroοποιήσουmicroε επαγωγή στη τάξη n = |G| Θυmicroίζουmicroεότι

n = |G| = ζ + micro1 + middot middot middot + microk

όπου ζ = |Z(G)| microi = |Ci | i = 1 k και Ci i = 1 k είναι οι κλάσειςτης G microε |Ci | gt 1 Ο αριθmicroός microi είναι ο δείκτης της κανονικοποιούσας ενόςστοιχείου της Ci και έτσι microi |n i = 1 k Αν n = 1 το αποτελέσmicroα είναιπροϕανές Υποθέτουmicroε ότι το αποτέλεσmicroα ισχύει για όλες τις οmicroάδες τάξηςlt n και ότι |G| = n Μπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι m gt 0 Αν p|ζ τότε επειδήη Z(G) είναι πεπερασmicroένη αβελιανή έχουmicroε ότι η Z(G) έχει microία υποοmicroάδαH τάξης p (∆ες πόρισmicroα 6) Επειδή H E Z(G) έχουmicroε ότι H E G Η οmicroάδαπηλίκο GH έχει τάξη pmminus1r και λόγω της επαγωγικής microας υπόθεσης έχειυποοmicroάδα τάξης pi microε i isin 0 m minus 1 ΄Εστω NH lt GH microε |NH | = pi

microε i isin 0 1 m minus 1 και έστω π G minusrarr GH ο φυσικός επιmicroορϕισmicroόςαπό την G στην GH Τότε πminus1(NH) = N Από το Θεώρηmicroα Lagrange |N | =pi |H | = pi+1 και εποmicroένως αποδείξαmicroε τον ισχυρισmicroό microας στη περίπτωση πουp|ζ Υποθέτουmicroε ότι p δεν διαιρεί τη τάξη του κέντρου δηλαδή p - ζ Επειδήpm |n και (pm ζ ) = 1 έχουmicroε ότι για κάποιο microi πρέπει να ισχύει (pm microi) = 1

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 51: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

31 ∆ΙΑΤΥΠΩΣΗ ΚΑΙ ΑΠΟ∆ΕΙΞΗ ΤΟΥ ΘΕΩΡΗΜΑΤΟΣ 51

Αλλά microi = |G N | όπου N η κανονικοποιούσα υποοmicroάδα ενός στοιχείου τηςκλάσης συζυγίας Ci Επειδή (pm microi) = 1 και microi gt 1 έχουmicroε ότι pm ||N | και|N | = n

microilt n ΄Αρα υπάρχουν υποοmicroάδες της N τάξης pi i = 0 m

(II) ΄Εστω P1 P2 δύο p-υποοmicroάδες Sylow Θέλουmicroε να δείξουmicroε ότι P1 καιP2 είναι συζυγείς Γράϕουmicroε την G ως ένωση διπλών συmicroπλόκων ως προς P1

και P2G = P1x1P2 cup P1x2P2 cup middot middot middot cup P1xκP2

microε x1 = 1G Επειδή |P1| = |P2| = pm έχουmicroε ότι

|G| = pmr =pmpm

d1+ middot middot middot + pmpm

dk

όπου di = |xminus1i P1xi cap P2| i = 1 κ ΄Ετσι r = pm

d1+ middot middot middot + pm

dκ Επειδή di |pm

i = 1 κ κάθε pm

diείναι ακέραιος Επειδή (pm r) = 1 δεν είναι δυνατόν να

ισχύει di lt pm για όλα τα i (διαϕορετικά το p διαιρεί το r που είναι άτοπο)΄Αρα di = pm για κάποιο i Εποmicroένως |xminus1

i P1xicapP2| = |P2| και έτσι P2 sube xminus1i P1xi

Επειδή |P1| = |xminus1i P1xi | = |P2| έχουmicroε ότι xminus1

i P1xi = P2 δηλαδή οι P1 και P2

είναι συζυγείς ΄Ετσι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο ανείναι αυτο-συζυγής δηλ gminus1Pg = P για όλα τα g isin G Εποmicroένως η P είναι ηmicroόνη p-υποοmicroάδα Sylow αν και microόνο αν η P είναι κανονική

(III) Αν υπάρχει microόνο microία p-υποοmicroάδα Sylow το αποτέλεσmicroα είναι τετριmicro-microένο Υποθέτουmicroε ότι έχουmicroε τουλάχιστον δύο Συmicroβολίζουmicroε microε P1 Ps

όλες τις p-υποοmicroάδες Sylow της G Από το (II) το σύνολο P1 Ps είναιίσο microε το σύνολο των συζυγών του P1 Συνεπώς s = |G NG(P1)| και άρα τοs είναι διαιρέτης του |G| (από το Θεώρηmicroα Lagrange) Θα δείξουmicroε ότι το sέχει την microορϕή 1+λp microε λ ge 1 ΄Εστω P isin P1 Ps και NG(P) η κανονικο-ποιούσα της P στην G Ισχυριζόmicroαστε ότι η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδα τουSylow της NG(P) ΄Εχουmicroε ότι P ENG(P) και εποmicroένως η P συmicroπίπτει microε όλεςτις συζυγείς της στην NG(P) ΄Ετσι από το (II) η P είναι η microόνη p-υποοmicroάδατου Sylow στην NG(P)

΄Εστω i microε i 1 Παρατηρούmicroε ότι P1 = aminus1Pia microε a isin P1 συνεπάγεταιP1 = Pi και έτσι οι υποοmicroάδες της microορϕής aminus1Pia microε a isin P1 ϐρίσκονταιmicroεταξύ των P2 Ps Επειδή NP1(Pi) = P1 cap NG(Pi) από την Πρόταση 17το πλήθος αυτών είναι |P1 P1 cap NG(Pi)| Αλλά επειδή η Pi είναι η microόνη p-υποοmicroάδα Sylow της NG(Pi) έχουmicroε ότι η P1 cap NG(Pi) είναι γνήσια υποοmicroάδατης P1 και εποmicroένως |P1 P1 cap NG(Pi)| = pαi για κάποιο αi gt 0 Στο σύνολοP2 Ps ορίζουmicroε microία σχέση S ως εξής Pi equiv Pj αν και microόνο αν Pi = aminus1Pjaγια κάποιο a isin P1 Η S είναι σχέση ισοδυναmicroίας και άρα το P2 Ps

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 52: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

52 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

διαmicroερίζεται σε κλάσεις ΄Εστω t το πλήθος Κάθε κλάση περιέχει pj p-υποοmicroάδες Sylow microε j gt 0 για j = 1 t Εποmicroένως το s είναι της microορϕήςs = 1 + p1 + middot middot middot + pt i gt 0 i = 1 t Συνεπώς s = 1 + kp

Ως συνέπεια του Θεωρήmicroατος Sylow (Ι) είναι το παρακάτω Θεώρηmicroα Caushychy Στην άσκηση 9 δίνουmicroε microία διαϕορετική απόδειξη του ϑεωρήmicroατοςCauchy Χρησιmicroοποιώντας την Αλγεβρική Συνδυαστική

Πόρισmicroα 6 (Θεώρηmicroα Cauchy) Αν ο πρώτος αριθmicroός p διαιρεί τη τάξη τηςοmicroάδας G τότε η G έχει ένα τουλάχιστον στοιχείο τάξης p

Θα αναπτύξουmicroε παρακάτω δύο κλασικές τεχνικές που προκύπτουν απότην εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow

Θεώρηmicroα 13 (Κυκλική) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης pq όπου p και q είναιπρώτοι αριθmicroοί microε p lt q Τότε η G έχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης q καιmicroάλιστα είναι κανονική στην G Αν το p δεν διαιρεί τον q minus 1 τότε η G είναικυκλική

Απόδειξη Υπάρχουν 1 + k1p p-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k1p)|pq Υπάρ-χουν 1 + k2q q-υποοmicroάδες Sylow όπου (1 + k2q)|pq Επειδή q δεν διαιρείτον 1 + k2q έχουmicroε ότι (1 + k2q)|p Αλλά q gt p ΄Ετσι 1 + k2q = 1 Ε-ποmicroένως υπάρχει ακριβώς microία q-υποοmicroάδα Sylow H Από το Θεώρηmicroα τουSylow (ΙΙ) η H είναι κανονική Υποθέτουmicroε ότι το p δεν διαιρεί τον q minus 1∆ηλαδή q 1 + k1p Τώρα επειδή (1 + k1p)|pq και p - (1 + k1p) έχουmicroε ότι(1 + k1p)|q ΄Ετσι 1 + k1p = q ή 1 + k1p = 1 αϕού το q είναι πρώτος και άρα1+k1p = 1 Συνεπώς υπάρχει ακριβώς microία p-υποοmicroάδα Sylow K που πρέπεινα είναι κανονική (΄Οπως προηγουmicroένως) Ισχυριζόmicroαστε ότι H cap K = 1GΠράγmicroατι |H cap K | διαιρεί και το p και το q (από το Θεώρηmicroα Lagrange)Επειδή (p q) = 1 έχουmicroε ότι H cap K = 1G ΄Εστω H = ⟨h⟩ και K = ⟨k⟩ Τότε(h k) = hminus1kminus1hk = 1 (επειδή και οι δύο υποοmicroάδες H K είναι κανονικέςστην G και H cap K = 1G) ∆ηλαδή hk = kh Θα δείξουmicroε ότι η τάξη τουhk είναι pq Γράϕουmicroε m την τάξη του hk Επειδή (hk)pq = 1 (ϑυmicroίζουmicroεότι hk = kh) m |pq Οι microόνοι φυσικοί διαιρέτες του pq είναι 1 p q pq καιεποmicroένως m = pq ΄Αρα G = ⟨hk⟩

Τη δεύτερη τεχνική (απαρίθmicroηση) ϑα την εϕαρmicroόσουmicroε στην οmicroάδα τάξης30

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 53: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 53

Θεώρηmicroα 14 (Απαρίθmicroηση) ΄Εστω G microία οmicroάδα τάξης 30 Τότε η G έχειτουλάχιστον microία γνήσια κανονική υποοmicroάδα

Απόδειξη Γράϕουmicroε 30 = 2 middot 3 middot 5 Από το Θεώρηmicroα Sylow έπεται ότι ηG έχει 1 + 2k1 υποοmicroάδες τάξης 2 1 + 3k2 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 +5k3 υποοmicroάδες τάξης 5 όπου k1 k2 και k3 είναι microη-αρνητικοί ακέραιοιΕπιπλέον 1 + 2k1 1 + 3k2 και 1 + 5k3 διαιρούν το 30 ∆ίνοντας τιmicroές σταk1 k2 και k3 συmicroπεραίνουmicroε ότι οι δυνατές υποοmicroάδες της G τάξης 2 3 και5 είναι 1 3 5 ή 15 υποοmicroάδες τάξης 2 1 ή 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 1 ή6 υποοmicroάδες τάξης 5 Υποθέτουmicroε ότι υπάρχουν τουλάχιστον 3 υποοmicroάδεςτάξης 2 10 υποοmicroάδες τάξης 3 και 6 υποοmicroάδες τάξης 5 ΄Εστω H και Kδύο από τις διαϕορετικές υποοmicroάδες όπου |H | = p |K | = q p isin 2 3 5 q isin2 3 5 Θεωρούmicroε H cap K Χρησιmicroοποιώντας ίδια επιχειρήmicroατα όπως στηναπόδειξη του ϑεωρήmicroατος 13 αποδεικνύουmicroε ότι H capK = 1 Συνεπώς microόνοτο ουδέτερο στοιχείο είναι κοινό σε οποιοδήποτε τέτοιο Ϲευγάρι υποοmicroάδων Οαριθmicroός των στοιχείων που είναι διαϕορετικά από το ουδέτερο και περιέχονταιστις τρεις υποοmicroάδες τάξης 2 είναι 3 στις 10 υποοmicroάδες τάξης 3 είναι 20 καιστις 6 υποοmicroάδες τάξης 5 είναι 24 ΄Ετσι ο ολικός αριθmicroός είναι 48 που είναιάτοπο ΄Αρα υπάρχει ακριβώς microία υποοmicroάδα τάξης 2 3 ή 5 Από το ΘεώρηmicroαSylow (ΙΙ) έχουmicroε ότι η υποοmicroάδα αυτή είναι κανονική ΄Ετσι σε microία τυχαίαοmicroάδα τάξης 30 υπάρχει τουλάχιστον microία κανονική υποοmicroάδα

32 Ταξινόmicroηση Μικρών Οmicroάδων

΄Οταν λέmicroε laquoΜικρές Οmicroάδεςraquo εννοούmicroε ότι οι τάξεις των οmicroάδων είναι το πολύ15 Παρόλο που οι τεχνικές και η ανάλογη ϑεωρία που έχει αναπτυχθεί σταπροηγούmicroενα κεϕάλαια microας επιτρέπουν να κάνουmicroε ταξινόmicroηση των οmicroάδωνmicroε τάξη το πολύ 15 εντούτοις ϑα αναϕερθούmicroε σε εκείνες τις microικρές οmicroάδεςπου συσχετίζονται και microε τις συmicromicroετρίες των επίπεδων κανονικών πολυγώνων

321 Οmicroάδες τάξης 6

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 6 Από το Θεώρηmicroα Sylow (ΙΙΙ) έπεται ότι η G έχει1 + 3κ1 3-υποοmicroάδες Sylow τάξης 3 microε (1 + 3κ1)|6 και 1 + 2κ2 2-υποοmicroάδεςSylow τάξης 2 microε (1 + 2κ2)|6 Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι κ1 = 0 και έτσιέχουmicroε ακριβώς microία 3-υποοmicroάδα Sylow H τάξης 3 που είναι κανονική Η Gέχει microία ή τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 54: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

54 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Πρώτα υποθέτουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 2-υποοmicroάδα Sylow K τάξης2 ΄Αρα η K είναι κανονική Στη περίπτωη αυτή εϕαρmicroόζουmicroε την κυκλικήmicroέθοδο για να δείξουmicroε ότι η G είναι κυκλική Από την ταξινόmicroηση των πε-περασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων αυτή είναι η microοναδική (microέχριισοmicroορϕίας) αβελιανή οmicroάδα

Υποθέτουmicroε ότι η G έχει τρεις 2-υποοmicroάδες Sylow Συνεπώς η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα Θυmicroίζουmicroε ότι η H είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδατης G microε τάξη 3 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2microε ord(a) = 3 ΄Εστω b isin G H Επειδή |GH | = |G||H | = 2 έχουmicroε

GH = ⟨Hb⟩ = H Hb

΄ΑραG = 1 a a2 ab a2b b

Αυτό σηmicroαίνει ότι αν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G τάξης 6 τα στοιχεία τηςϑα εκϕράζονται microε την ϐοήθεια δύο συmicroβόλων a και b όπως παραπάνω Τοστοιχείο ba isin bH = Hb = ab a2b b Εποmicroένως είτε ba = b είτε ba = abείτε ba = a2b Οι δύο πρώτες περιπτώσεις εύκολα αποκλείονται και έτσι ba =a2b Η τάξη του b είναι 2 ή 3 Αν η ord(b) = 3 τότε η οmicroάδα που παράγεταιαπό το b έχει δείκτη 2 στην G και εποmicroένως ⟨b⟩ είναι κανονική Επειδή ηH είναι η microοναδική κανονική υποοmicroάδα της G microε τάξη 3 εύκολα προκύπτειότι η ord(b) = 2 Μετά την παραπάνω ανάλυση η G = 1 a a2 ab a2b bmicroε ba = a2b ord(a) = 3 και ord(b) = 2 Αλλά υπάρχει τέτοια οmicroάδα Μίατέτοια οmicroάδα είναι η S3 microε a = (123) και b = (23) που είναι οι συmicromicroετρίες τουισοπλεύρου τριγώνου (Το a είναι στροϕή του τριγώνου microε άξονα περιστροϕήςτο ϐαρύκεντρο microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά2π3 και b είναι η στροϕή του τριγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής τηνmicroεσοκάθετο microε κορυϕή την 1)

322 Οmicroάδες τάξης 8

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 8 = 23 Θα δείξουmicroε ότι υπάρχουν πέντε microη ισόmicroορϕεςmicroεταξύ τους οmicroάδες τάξης 8 Πρώτα ϑα ϐρούmicroε όλες τις αβελιανές οmicroάδεςΕπειδή οι διαmicroερίσεις του 3 είναι (1 1 1) (2 1) και (3) από το Θεώρηmicroαταξινόmicroησης των πεπερασmicroένων παραγόmicroενων αβελιανών οmicroάδων έπεται ότιοι microη ισόmicroορϕες αβελιανές οmicroάδες τάξης 8 είναι

C2 oplus C2 oplus C2 C4 oplus C2 C8

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 55: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 55

΄Ετσι microπορούmicroε να υποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή οmicroάδα και έστωx isin G microε microέγιστη τάξη m Από το Θεώρηmicroα Lagrange το m = 2 4 ή 8 Οιπεριπτώσεις m = 2 ή 8 οδηγούν σε άτοπο Συνεπώς έχουmicroε τη περίπτωσηπου η H = ⟨x⟩ έχει τάξη 4 και επειδή η H έχει δείκτη 2 στην G η H είναικανονική στην G ΄Εστω y isin G H και άρα y2 yminus1xy isin H = 1 x x2 x3Επειδή GH = ⟨Hy⟩ έχουmicroε ότι

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

Αν λοιπόν υπάρχει microη-αβελιανή οmicroάδα G microε τάξη 8 ϑα δηmicroιουργείται απόδύο σύmicroβολα x και y και τα παραπάνω οκτώ στοιχεία Αλλά yx isin yH = Hyκαι εποmicroένως το yx ϑα πρέπει να είναι ίσο microε ένα από τα y xy x2y x3y Θαεξετάσουmicroε microία-microία τις περιπτώσεις

bull ΄Εστω yx = y Τότε x = 1 άτοπο

bull ΄Εστω yx = xy ή ισοδύναmicroα x = yminus1xy Τότε η G είναι αβελιανή άτοπο

bull ΄Εστω yx = x2y Τότε

x = yminus1x2y =rArr x2 = (yminus1x2y)(yminus1x2y)=rArr x2 = yminus1x4y = yminus11y = 1

που είναι άτοπο ΄Αρα yx = x3y ή ισοδύναmicroα yminus1xy = xminus1 Στη συνέχειαϑεωρούmicroε την περίπτωση y2 Υπάρχουν τέσσερις περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = x Τότε η τάξη του y δεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατίδιαϕορετικά x = 1 ή x2 = 1 άτοπο Από την άλλη πλευρά η τάξη κάθεmicroη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4 Συνεπώς y2 x

bull ΄Εστω y2 = x3 Με την ίδια σκέψη όπως προηγουmicroένως Η τάξη του yδεν microπορεί να είναι 2 ή 4 γιατί διαϕορετικά x3 = 1 ή x2 = 1 άτοπο Απότην άλλη πλευρά η τάξη κάθε microη-τετριmicromicroένου στοιχείου της G είναι 2 ή 4Συνεπώς y2 x3

΄Ετσι έmicroειναν δύο περιπτώσεις

bull ΄Εστω y2 = 1 (Συmicromicroετρίες τετραγώνου) Στη περίπτωση αυτή έχουmicroε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = 1 και yx = x3yΚάτω από αυτές τις συνθήκες εύκολα microπορεί να δειχθεί ότι η G είναι οmicroάδα

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 56: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

56 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ΘΕΩΡΗΜΑ SYLOW

Μπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού των στοιχείων τηςG Αλλά microπορούmicroε να κατασκευάσουmicroε microια τέτοια οmicroάδα G Η απάντησηείναι οι συmicromicroετρίες του τετραγώνου (΄Εστω 0 το κέντρο του τετραγώνου και Eη ευθεία που είναι παράλληλη προς microία πλευρά του τετραγώνου Το x είναιη στροϕή του τετραγώνου microε άξονα περιστροϕής την κάθετη στο επίπεδο στο0 microε φορά αντίθετη της κίνησης των δεικτών του ϱολογιού κατά π2 και yείναι η στροϕή του τετραγώνου κατά π microε άξονα περιστροϕής την E)

bull ΄Εστω y2 = x2 (Κουαρτένια) Τότε

G = 1 x x2 x3 y xy x2y x3y

microε σχέσεις microεταξύ των συmicroβόλων x και y x4 = 1 y2 = x2 και yx = x3y Μεαυτές τις σχέσεις ϑα microπορούσαmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολλαπλασια-σmicroού των στοιχείων της G όπως προηγουmicroένως αλλά ϑα κατασκευάσουmicroεσυγκεκριmicroένη οmicroάδα G τάξης 8 της ανωτέρω microορϕής

΄Εστω H το σύνολο των πινάκων της microορϕής

A =

(z wminusw z

)

όπου z w isin C Είναι εύκολο να να επαληθεύσουmicroε ότι αν A B isin H τότεA + BminusA AB isin H και στη περίπτωση που A 0 Aminus1 isin H Με άλλα λόγια Hείναι δακτύλιος microε διαίρεση πάνω από το R (τα κουαρτένια) Να σηmicroειώσουmicroεεδώ ότι αν z = a + ib και w = c + id είναι microη-microηδενικοί microιγαδικοί αριθmicroοίτότε det(A) = a2 + b2 + c2 + d2 0 Μία R-ϐάση των κουαρτενίων είναι η(

1 00 1

) X =

(i 00 minusi

) Y =

(0 1minus1 0

)

(0 iminusi 0

)

Οι ανωτέρω πίνακες microαζί microε τους αντίθετους τους αποτελούν την οmicroάδα Q4Εύκολα διαπιστώνουmicroε ότι X4 = I2 X2 = Y 2 και Y minus1XY = Xminus1

323 Οmicroάδες τάξης 10

΄Εστω G οmicroάδα τάξης 10 Αν η G είναι αβελιανή οmicroάδα τότε αυτή είναικυκλική και microάλιστα είναι ισόmicroορϕη microε την C2 oplus C5 ΄Ετσι microπορούmicroε ναυποθέσουmicroε ότι η G είναι microη-αβελιανή Με εϕαρmicroογή του ϑεωρήmicroατος Sylow(ΙΙΙ) ϐρίσκουmicroε ότι η G έχει ακριβώς microία 5-υποοmicroάδα Sylow τάξης 5 έστωH και άρα η H είναι κανονική και 1 + 2κ 2-υποοmicroάδες Sylow τάξης 2

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5

Page 57: Σημειώσεις για τη Θεωρία Ομάδων

32 ΤΑΞΙΝΟΜΗΣΗ ΜΙΚΡΩΝ ΟΜΑ∆ΩΝ 57

Επιπλέον (1 + 2κ)|10 Επειδή 1 + 2κ 1 (διαϕορετικά οδηγούmicroαστε σεάτοπο) συmicroπεραίνουmicroε ότι έχουmicroε 5 υποοmicroάδες τάξης 2 ΄Εστω K microία απότις 5 υποοmicroάδες τάξης 2 Τότε

H = ⟨a⟩ = 1 a a2 a3 a4

καιK = ⟨b⟩ = 1 b

Χρησιmicroοποιώντας όmicroοια επιχειρήmicroατα όπως στην κυκλική microέθοδο έχουmicroεότι

H cap K = 1΄Αρα b lt H Τώρα

|GH | = |G||K | = 2

΄Επεται ότιG = 1 a a2 a3 a4 b ab a2b a3b a4b

Το στοιχείο ba isin bH = Hb και έτσι το ba είναι ένα από τα

b ab a2b a3b a4b

∆ουλεύοντας ανάλογα όπως στις οmicroάδες τάξης 8 έχουmicroε ότι

ba = a4b

΄Εχοντας αυτές τις πληροϕορίες microπορούmicroε να σχηmicroατίσουmicroε τον πίνακα πολ-λαπλασιασmicroού για την G Με αυτόν τον πίνακα πολλαπλασιασmicroού microπορούmicroενα δείξουmicroε ότι η G είναι πράγmicroατι οmicroάδα Την προσεταριστική ιδιότηταmicroπορούmicroε να την αποδείξουmicroε microε τη ϐοήθεια των συmicromicroετριών του επίπεδουκανονικού πενταγώνου

΄Εστω ABCDE ένα κανονικό πεντάγωνο microε κέντρο το 0 ΄Εστω E η σταθερήευθεία που περνά από το κέντρο 0 και είναι κάθετη σε microία πλευρά του πεντα-γώνου ΄Εστω a η στροϕή κατά 72o microοίρες κατά την αντίθετη φορά των δεικτώντου ϱολογιού microε άξονα περιστροϕής τη κάθετο στο επίπεδο που περνά απότο 0 και b η στροϕή γύρω από την ευθεία E κατά 180o microοιρών Τότε όλες οικινήσεις του κανονικού πενταγώνου που το αϕήνουν σταθερό στο επίπεδοmicroπορούν να περιγραϕούν microε την ϐοήθεια των a και b ΄Ολες οι κινήσεις είναιτα στοιχεία του G ΄Ετσι οι συmicromicroετρίες του επίπεδου κανονικού πενταγώνουαποτελούν οmicroάδα και συmicroβολίζεται microε D5