专题十一 应用题的解法第二部分

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应用题的解法

应用题能考查学生对数学知识的灵活转化和实际应用的能力，能全面体现学生的数学综合素质，所以很受试卷命题人的青睐，并成为每年高考题的必备题型 . 高考应用题是高考成绩的分水岭，许多中等成绩的同学在处理此类题目时，往往难以下手，不知如何处理繁杂的条件，如何建立数学模型；在运算时，由于生活经验的缺失，不知如何处理数据 . 这些都是常见的错误。

试题特点应用题的解法

近三年高考应用题出现如下特点： 1. 命题点集中： 2005 年应用题，除了上海、湖南、天津； 20

06 年应用题除上海 ( 三角 ) 、湖北 ( 抽样 ) 、江苏 ( 立几 ) 以外所有省市命题均集中在概率与统计这一知识点，等可能事件、互斥事件、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列及数学期望结合出题成为热点 . 但对于 2007 年各地试卷而言 , 虽说概率统计还是出应用题的热门素材 ( 有 11 道 ) 外 , 另传统内容也出现了回热现象 , 涉及函数 4 道 , 三角 2 道 , 数列 1 道 , 立几 1道 , 更有宁夏 / 海南卷出现了三角与概率各一道共两道应用大题。

试题特点应用题的解法

2. 背景丰富公平：应用题命题背景出现了种子发芽、五局三胜的比赛、射击、取球、中奖等等学生耳熟能详，审题时认同感强，理解准确。

3. 运算设计合理，应用题主要出现在 18 题— 20 题，题目难度不是很大，但题目设计的运算有数字运算也有字母运算，对运算的稳定度、运算的准确度要求较高。

试题特点应用题的解法

应 试 策 略

1. 应用题的背景丰富，题目灵活多变，但应用题的解答却是一个程序化的过程：

（ 1）审题：解题的前提；应用题往往题干较长，文字表述较多 . 在审题时，要注意抓住题目中的关键词、关键句，如：至多、至少、直到两人中有一人取到白球，尤其是题目中出现的新词，往往这些新词是平常生活中不太熟悉的，要求把这些新词单独提取出来，如： 2005 年湖南卷中出现的新词汇有：鱼群的总量、鱼群的繁殖量、被捕捞量、死亡量；当这些词汇被提取出来后，要

理顺各种数量之间的关系，解题就可以进入第二步 .

应试策略应用题的解法

（ 2）建模：即用数学语言翻译文字描述，并建立数学模型，这是解题的关键；数学模型的建立主要有两种途径，一利用所学的数学知识如函数、数列、不等式、圆锥曲线、概率等，与题目所给信息相结合，建立数学模型；二是利用题目所给的已知量、未知量、常量、变量等建立数学关系，题目中所给的条件就是题目中所出现的新词汇，如湖南卷中出现的新词汇就可以组成等量关系：鱼群第 n+1 年的总量 = 鱼群第 n 年的总量

+ 鱼群的繁殖量—被捕捞量—死亡量 .

应试策略应用题的解法

（ 3 ）运算：基本等同于常规理论题的解答，这是正确解答

必不可少的环节，应用题的运算包括字母运算和数字运算，无论哪种运算，都要求考虑实际的意义、题目的要求精度（如

保留几位小数等）、运算方法的优化问题等 . 综上分析，应用题是用文字表述，具有一定的事理，它和一

般解答题有明显的不同 . 一般解答题有现成的式子，计算方法和次序都是明确的，逻辑推理能力要求高，而应用题同时还考查了学生的“用所学基础知识分析和解决问题的能力”。

应试策略应用题的解法

2. 应用题在考查知识上主要有： （ 1）函数、不等式的应用题，大多是以函数知识为背景设计，

所涉及的函数主要是一次函数，反比例函数，二次函数、分段函数，以及形如 y=ax+ 的函数等 . 解答此类应用题一般都是从建立函数表达式入手，将实际问题数学化，即将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建函数、不等式的数学模型，在题目给出的实际定义域内求解 . 此类题目在求解时，要注意仔细分析，捕捉题目中的新词汇及数量关系，对于较复杂的数量关系可以根据事物的类别、时间的先后、问题的项目对题目中给出的已知量、未知量、常量的归类，或画出图表，建立等式、不等式，将复杂的数量关系清晰化，从而建立数学模型，进行求解，最后还要注意检验所求是否符合实际意义 .

应试策略应用题的解法

x

b

（ 2）数列、不等式应用题，大多以数列知识知识为背景，所涉及的知识有数列的首项、通项公式、项数、递推公式、前 n项和公式及 an 与 Sn 的关系等等；常见的命题点有：平均增长率、利率（复利）、分期付款、等值增减或等量增减的问题 . 常用的数学模型有：①构造等差、等比数列的模型，然后应用数列求和或特殊数列求和求解；②利用无穷等比数列的求和公式求解，往往与极限结合出题；③构造数列通项的递推公式或 Sn 的递推公式，利用待定系数法或 an 与 Sn 的关系求解，注意 n 的范围问题；④通过类比归纳得出结论，用数学归纳法或数列的知识求解 .

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(3) 三角、向量应用题，引入角作为参变量，构造三角形，借助正弦定理、余弦定理、三角函数公式、三角函数的最值、反三角函数、向量、不等式、图象的对称及平移等知识，求解实际问题，对于参变量的角要注意角的范围 .

(4) 解析几何应用题，在新教材引入“线性规划”后，使此类题目的命题点从原来的椭圆应用题、双曲线应用题、抛物线应用题又增加了线性规划应用题，解此类应用题往往在理解题意的基础上，利用先行规划求最优解、直线的夹角定比分点公式、或利用圆锥曲线的定义或性质、使用导数与切线的关系等求解问题 .

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(5)排列组合、概率应用题，此类问题无论从内容还是从思想上都能体现实际应用的意义 .排列组合的问题、抽样方法常出现在选择或填空的小应用题，常考查有限定条件的组合与排列问题，从正面或反面入手，当限定条件较多时，正面求解要注意树图列举法的使用或分类讨论思想的应用；当正面突破较困难时要注意反面考虑；抽样方法主要考查概念，在选择填空题里出现较多，属于容易题 . 概率题目主要出现在解答题，分布列及数学期望是高考的热点，考查分类讨论、化归思想，独立事件、互斥事件、随机变量的分布列、数学期望及方差、标准差；正态分布都可能成为考查的对象 .

应试策略应用题的解法

3. 要做好高考应用题，要注意以下三个方面： (1) 文字关：即阅读理解题意，罗列题目的条件，分清题目

中的已知量、未知量、常量、变量、新词汇，分析题目所求，思考可能采用的方法——审题

(2) 建模关：建立数学模型主要包括代数建模、几何建模，其中代数建模主要利用函数、数列、不等式、概率等知识进行建模，其难度主要在阅读题意，建立等式或不等关系上；几何建模主要是利用解析几何知识，建立直角坐标系，使实际问题几何化，解决实际问题 .

(3)运算关：考查学生运算的稳定度，精确度 .

应试策略应用题的解法

考 题 剖 析

1.（ 2007·梅州市二模）某养殖厂需定期购买饲料，已知该厂每天需要饲料 200公斤，每公斤饲料的价格为 1.8 元，饲料的保管与其他费用为平均每公斤每天 0.03 元，购买饲料每次支付运费 300元。（Ⅰ）求该厂多少天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小；

（Ⅱ）若提供饲料的公司规定，当一次购买饲料不少于 5吨时其价格可享受八五折优惠（即原价的 85%） .问该厂是否考虑利用此优惠条件，请说明理由 .

考题剖析应用题的解法

考题剖析 ［解析］（Ⅰ）设该厂应隔x(x∈N+)天购买一次饲料，平

均每天支付的总费用为y1

∵饲料的保管与其它费用每天比前一天少200×0.03=6（元），

∴x天饲料的保管与其它费用共是

6(x－1)+6(x－2)+…+6=3x2－3x(元)

从而有y1= (3x2－3x+300)+200×1.8= +3x+357≥417

当且仅当 =3x，即x=10时，y1有最小值

即每隔10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最小.

应用题的解法

x

1

x

300

x

300

考题剖析 （Ⅱ）若厂家利用此优惠条件，则至少25天购买一次饲料，设该厂利用此优惠条件，每隔x天(x≥25)购买一次饲料，平均每天支付的总费用为y2，则

y2= (3x2－3x+300)+200×1.8×0.85= +3x+303(x≥25)

∵y′2=－ +3

∴当x≥25时，y′2＞0，即函数y2在［25，+∞)上是增函数

∴当x=25时，y2取得最小值为390，而390＜417

∴该厂应接受此优惠条件

应用题的解法

x

1

x

300

2

300

x

考题剖析

［点 评］这是一道以常见的进货及储存费用为背景而命题的应用题 . 审题时要注

意是平均价格的计算，此题涉及到利用基本不等式求最值的知识，要注意应用均值不等式的条件，在第一问中可以直接应用均值不等式进行计算，而第二问最利用函数的单调性来求解 .

应用题的解法

考题剖析

2.（ 2007·福建）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交 a元（ 3≤a≤5）的管理费，预计当每件产品的售价为 x元（ 9≤x≤11）时，一年的销售量为 (12－ x)2万件 . （Ⅰ）求分公司一年的利润 L（万元）与每件产品的售价x 的函数关系式； （Ⅱ）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润 L最大，并求出 L 的最大值 Q(a).

［解析］（Ⅰ）分公司一年的利润 L（万元）与售价 x 的函数关系式为 : L=(x－ 3－ a)(12－ x)2， x∈［ 9， 11］ .

应用题的解法

考题剖析

（Ⅱ）L′(x)=(12－x)2－2(x－3－a)(12－x)

=(12－x)(18+2a－3x).

令L′=0得x=6+ a或x=12（不合题意，舍去）.

∵3≤a≤5，∴8≤6+ a≤ .

在x=6+ a两侧L′的值由正变负.所以: （1）当8≤6+ a＜9即3≤a ＜ 时，

Lmax=L(9)=(9－3－a)(12－9)2=9(6－a).

应用题的解法

3

2

3

28

3

2

3

2

3

22

9

考题剖析 （2）当9≤6+ a≤ 即 ≤a≤5时，

Lmax=L(6+a)=(6+ a－3－a)［12－(6+ a)］2=4(3－ a)3，

所以Q(a)=

答：若3≤a＜ ，则当每件售价为9元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=9(6－a)（万元）；若 ≤a≤5，则当每件售价为(6+ a)元时，分公司一年的利润L最大，最大值Q(a)=4(3

－ a)3（万元） .

应用题的解法

3

28

3

22

9

52

9,)

3

13(4

,2

93),6(9

3 aa

a＜a

2

9

2

9

3

2

3

1

3

2

3

2

3

1

考题剖析

［点 评］本题主要考查函数及应用导数研究函数的最值的基础知识，以及运用数学知识解决实际

问题的能力 .

本题关键是求出利润L（万元）与售价 x 的函数关系式，从而将待求的最值转化为目标函数——三次函数的最值，这时方法明朗即利用导数求最值 .

应用题的解法

考题剖析 3.（ 2007·湖南部分学校联考）关于某港口今后 20年的发展规划，

有如下两种方案：方案甲：按现状进行运营 . 据测算，每年可收入 7

60万元，但由于港口淤积日益严重，从明年开始需投资进行清淤，第一年投资 50万元，以后逐年递增 20万元 .

方案乙：从明年起开始投资 6000万元进行港口改造，以彻底根治港口淤积并提高吞吐能力 . 港口改造需用时 4 年，在此期间边改造边运营 . 据测算，开始改造后港口第一年的收入为 320 万元，在以后的 4年中，每年收入都比上一年增长 50%，而后各年的收入都稳定在第 5年的水平上 .

（ 1）从明年开始至少经过多少年，方案乙能收回投资（累计总收益为正数）？（ 2）从明年开始至少经过多少年，方案乙的累计总收益超过方案甲？（收益＝收入－投资）

应用题的解法

考题剖析 ［解析］（1）设从明年开始经过第n年，方案乙的

累计总收益为正数.

在方案乙中，前4年的总收入为

=2600＜6000, 故n必定不小于5，

则由 2600+320·1.54(n－4)＞6000，

解得n＞6 ,故n的最小值为7.

答: 从明年开始至少经过7年，方案乙能收回投资.

应用题的解法

5.11

)5.11(320 4

81

8

考题剖析 （2）设从明年开始经过n年方案甲与方案乙的累计总收

益分别为y1, y2万元，则

y1=760n－［50n+ n(n－1)·20］=－10n2+720n,

当n≤4时，则y1＞0, y2＜0,可得y1＞y2.

当n≥5时，y2=2600+320·1.54(n－4)－6000=1620n－9880，

令y1＜y2, 可得1620n－9880＞－10n2+720n,

即n(n+90)＞998, 由10(10+90)＞998, 9(9+90)＜998,

可得n的最小值为10.

答：从明年开始至少经过10年，方案乙的累计总收益超

过方案甲.

应用题的解法

2

1

考题剖析

［点评］这是一道数列应用题，同时涉及到方案的选择问题 . 在数列

应用问题中，“增长率”的问题一般是等比数列问题，“比上一年增加了多少”往往是等差数列问题 .

应用题的解法

考题剖析

4.（ 2007·湛江市高考预测卷一）高校招生是根据考生所填报的志愿，从考试成绩所达到的最高第一志愿开始，按顺序分批录取，若前一志愿不能录取，则依次给下一个志愿（同批或下一批）录取 .某考生填报了三批共 6 个不同志愿（每批 2 个），并对各志愿的单独录取以及能考上各批分数线的概率进行预测，结果如“下表”所示（表中的数据为相应的概率， a 、 b 分别为第一、第二志愿） .

应用题的解法

批次 高考上线 a b

第 1批 0.6 0.8 0.4

第 2批 0.8 0.9 0.5

第 3 批 0.9 0.95 0.8

考题剖析

（Ⅰ）求该考生能被第 2批b志愿录取的概率；

（Ⅱ）求该考生能被录取的概率；

（Ⅲ）如果已知该考生高考成绩已达到第 2批分数线却未能达到第 1批分数线，请计算其最有可能在哪个志愿被录取？（以上结果均保留二个有效数字）

应用题的解法

考题剖析

［解 析］分别记该考生考上第1、2、3批分数线为事件A、B、C，被相应志愿录取为事件Ai、Bi、Ci，（ i=a、b） , 则以上各事件相互独立.

（Ⅰ）“该考生被第2批b志愿录取”包括上第1批分数线和仅上第2批分数线两种情况，故所求概率为

P1=

=0.6×(1－0.8)(1－0.4)(1－0.9)×0.5+(1－0.6)×0.8

×(1－0.9)×0.5 =0.45.

应用题的解法

)()( bababa BBBAPBBAAAP

考题剖析

（Ⅱ）设该考生所报志愿均未录取的概率为P2，则

P2=

=0.6×(1－0.8)(1－0.4)(1－0.9)(1－0.5)(1－0.95)(1－0.8)

+(1－0.6)×0.8×(1－0.9)(1－0.5)(1－0.95)(1－0.8) +

(1－0.6)(1－0.8)×0.9×(1－0.95)(1－0.8)+(1－0.6)(1－0.8)

(1－0.9)≈0.00892.

∴该考生能被录取的概率为P=1－P2=1－0.00892≈0.99.

应用题的解法

)()()()( CBAPCCCBAPCCBBBAPCCBBAAAP babababababa

考题剖析 （Ⅲ）由已知 ,该考生只可能被第 2或第 3批录取，仿上计算可得各志愿录取的概率如下表所示 .

从表中可以看出，该考生被第 2批a志愿录取的概率最大，故最有可能在第 2批a志愿被录取 .

应用题的解法

批次 a b

第 2批 0.9 0.05

第 3批 0.048 0.0020

［点评］自从高中引入概率统计知识后，这块知识就一直是高考中出应用题的热点 . 解概率题首先要区分应用的概率类型是什么？然后要注意将复杂事件拆分为“和事件”或“积事件”的概率来解 .

考题剖析 5.（2007· 湖南部分中学期中考试）某厂在计划期内要安排生产甲、乙两种产品，这些产品分别需要在 A 、 B 、

C 、 D四种不同的设备上加工，按工艺规定，产品甲和产品乙在各设备上需要的加工台时数于下表给出 . 已知各设备在计划期内有效台时数分别是 12 ， 8 ， 16 ， 12（一台设备工作一小时称为一台时），该厂每生产一件产品甲可得利润2元，每生产一件产品乙可得利润3元，问应如何安排生产计划，才能获得最大利润？

应用题的解法

设备产品 A B C D

甲 2 1 4 0

乙 2 2 0 4

［解析］设计划期内生产甲x 件，生产乙y 件，

则 即

考题剖析应用题的解法

0

0

124

164

82

1222

y

x

y

x

yx

yx

0

0

3

4

82

6

y

x

y

x

yx

yx

考题剖析

目标函数z=2x+3y，作直线2x+3y=t

如图所示，可见当直线2x+3y=t过A

点时，它在y轴上的截距最大，从而 t最大 .

显然A 点坐标为（4 ，2） .

∴当x=4 ，y=2 时，可获得最大利润14元 .

应用题的解法

［点评］这是一个线性规划问题，设恰当的未知量，寻找约束条件，得到目标函数，这是把实际问题向数学问题转化的过程，其求解过程实质是数形结合的应用过程 .