Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений

11 1 12 2 1 1

21 1 22 2 2 2

1 1 2 2

,

,n n

n n

n n nn n n

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

• Ее можно записать в векторно-матричном виде

• где

Ax b

1

2

n

x

xx

x

11 12 1

21 22 2

1 2

...

...

...

n

n

n n nn

a a a

a a aA

a a a

1

2

n

b

bb

b

Методы решения линейных систем

• 1. Прямые методы

• 1.1 Метод Гаусса.

• 1.2 Метод Крамера.

• 1.3 Метод обратной матрицы.

• 2. Итерационные методы.

• 2.1 Уточнение решений.

• Найдем решение системы линейных уравнений

• Пусть с помощью некоторого прямого метода вычислено приближенное решение

(1)Ax b

(0)x

• Подставляя это решение в систему (1) получим

(0) (0) (2)Ax b

• Вычитая (2) из (1)

• обозначив

,

• Получаем систему уравнений

• и находим

(0) (0)x x x (0) (0) (0)r Ax b b b

(0) (0)A x r

(0)x

• далее уточняем решение

• подставляя это решение в систему (1) находим

(1) (1)Ax b

(1) (0) (0)x x x

(1)b

• (обозначив

, )

• Получаем систему уравнений

• и находим

(1) (0) (1)x x x (1) (1) (0)r b b

(1) (1)A x r (0)x

• уточняем решение

• и так далее…..

(2) (1) (1)x x x

• Процесс продолжается до тех пор, пока очередное значение погрешности (поправки) не станет достаточно малым

( )kx

• критерием окончания итерационного процесса можно считать выполнение неравенства

( ) ( 1)

1max , (4)k k

i ii n

x x

• Пример. Найти решение СЛАУ методом уточнения решения с точностью .

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 3 1,

2 4 3,

3 5 2

x x x

x x x

x x x

0,01

• 1. Методом обратной матрицы найдем решение системы

• находим из системы

(0)

1,32

0,37

1,26

x

(0)b (0) (0)b Ax

(0)

0,98

2,98

1,97

b

• находим

• Получаем систему уравнений

• и находим

(0) (0)r b b

(0) (0)A x r

(0)

0,0042

0,0016

0,0032

x

• далее уточняем решение

(1) (0) (0)x x x

(1)

1,3118

0,3664

1,2662

x

• 2.3 Метод Гаусса-Зейделя.

• Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными. Запишем ее в виде

• (будем предполагать, что все диагональные элементы отличны от нуля).

1 1 , 1 1 , 1 1 ,i i i i i i i i i i i n n ia x a x a x a x a x b

1,2, , .i n

• В соответствии с методом Гаусса-Зейделя k-е приближение к решению можно представить в виде

( ) ( ) ( )1 1 , 1 1

( 1) ( 1), 1 1

1k k ki i i i i i

ii

k ki i i in n

x b a x a xa

a x a x

1,2, , .i n

• Итерационный процесс продолжается до тех пор, пока все значения не станут близкими к т. е. в качестве критерия завершения итерации используется условие (4).

( )kix

( 1)kix

• Для сходимости данного итерационного процесса достаточно, чтобы модули диагональных коэффициентов для каждого уравнения системы были не меньше сумм модулей всех остальных коэффициентов:

• (при этом хотя бы для одного уравнения неравенство должно выполняться строго)

, 1, 2, , .ii i ja a i n

• Эти условия являются достаточными для сходимости метода, но они не являются необходимыми.

• Проиллюстрируем этот метод на примере решения системы

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

31 1 32 2 33 3 3

,

,

.

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

• Приближение с номером k можно вычислить, зная приближение с но- номером k -1, как

( ) ( 1) ( 1)1 1 12 2 13 3

22

( ) ( ) ( 1)2 2 21 1 23 3

11

( ) ( ) ( )3 3 31 1 32 2

33

1,

1,

1,

k k k

k k k

k k k

x b a x a xa

x b a x a xa

x b a x a xa

• Пример.

• Решить СЛАУ с помощью метода Гаусса-Зейделя (точность ).

1 2 3

1 2 3

1 2 3

4 4,

2 6 7,

2 3 0.

x x x

x x x

x x x

0,1

( ) ( 1) ( 1)1 2 3

( ) ( ) ( 1)2 2 1 3

( ) ( ) ( )3 1 2

14 ,

41

7 2 ,61

2 ,3

k k k

k k k

k k k

x x x

x x x

x x x

• В качестве начального приближения примем

(0)

0

0

0

x

(1)1

(1)2

(1)3

14 0 0

41

7 2 061

1 23

x

x

x

(0) (1)

0 1 1

| | 0 0,833 0,833

0 0,889 0,889

x x

• далее

(2)1

(2)2 2

(2)3

1 5 8 714 0,986

4 9 9 72

1 71 8 717 2 0,986

6 72 9 72

1 71 71 712 0,986

3 72 72 72

x

x

x

(0) (1)

1 0,986 0,014

| | 0,833 0,986 0,153

0,889 0,986 0,097

x x

• 2.2 Метод простой итерации.

запишем исходную систему в виде (1)

выполним ряд преобразований

;Ax b

x Bx b

• Тогда по известному k-му приближению можно найти (k+1)-е приближение

• - метод простой итерации.

( 1) ( ) , 0,1,...k kx Bx b k

• Теорема.

Пусть . Метод простой итерации сходится тогда и только тогда, когда все собственные числа матрицы по модулю меньше единицы.

det 0A

В A E

• Для некоторых типов матрицы A можно указать правило выбора . В простейшем же случае можно положить, например 1, 0.1 и т.д.