Метод Гаусса решения систем линейных

уравнений

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными:

............................

,...,...

2211

22222121

11212111

тnтnтт

nn

nn

bхахаха

bхахахаbхахаха

Назовем матрицей системы матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных. Матрицу, полученную из А добавлением столбца свободных членов, называют расширенной матрицей:

mmптт

п

п

bааа

bааа

bааа

А

...

...............

...

...

21

222221

111211

Теорема Кронекера–Капелли

Для того чтобы система линейных уравнений была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу ее расширенной матрицы, т.е.

)()( ArAr

Если ранг матрицы совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если же ранг меньше числа неизвестных, то система имеет множество решений.

Две системы, множества решений

которых совпадают, называются

эквивалентными или равносильными.

Преобразование, применение которого

превращает систему в новую

систему, эквивалентную исходной,

называется эквивалентным или

равносильным преобразованием.

Пример

Исследовать систему линейных уравнений

.293822

,132533

,23422

,1323

54321

54321

54321

54321

ххххх

ххххх

ххххх

ххххх

Составим расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований вычислим одновременно ранги обеих матриц.

Метод Гаусса Для того чтобы решить систему

уравнений методом Гаусса выписывают расширенную матрицу

этой системы и над строками этой матрицы производят элементарные преобразования, приводя ее к виду, когда ниже главной диагонали, содержащей элементы

будут располагаться нули.

,,,, 2211 mmaaa

Разрешается:

1) изменять порядок строк матрицы, что соответствует изменению порядка уравнений;

2) умножать строки на любые отличные от нуля числа, что соответствует умножению соответствующих уравнений на эти числа;

3) прибавлять к любой строке матрицы другую, умноженную на отличное от нуля число, что соответствует прибавлению к одному уравнению системы другого, умноженного на число.

С помощью этих преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной, т. е. такой системы, решение которой совпадает с решением исходной системы

• Установить совместность и решить систему

.343

,3232

,125

,251132

4321

4321

4321

4321

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

Выпишем расширенную матрицу системы и поменяем местами первую и вторую строки для того, чтобы элемент равнялся единице (так удобнее производить преобразования матрицы).

Прямой ход

3

5

0

1

4311

2710

1110

2511

3

3

2

1

4311

2312

51132

2511

3

3

1

2

4311

2312

2511

51132

A

5

4

0

1

1600

2200

1110

2511

4

5

0

1

2200

1600

1110

2511

4

5

0

1

2200

2710

1110

2511

1

2

0

1

1000

1100

1110

2511

7

4

0

1

7000

2200

1110

2511

Обратный ход

Ранги матрицы системы и ее расширенной матрицы совпали с числом неизвестных. Согласно теореме Кронекера-Капелли система уравнений совместна и решение ее единственно.

Выпишем систему уравнений, расширенную матрицу которой мы получили в результате преобразований:

.1

,2

,0

,125

4

43

432

4321

x

xx

xxx

xxxx

Имеем Далее, подставляя его в третье уравнение, найдем

Подставляя и во второе уравнение, получим и, наконец, подставляя в первое уравнение найденные неизвестные, получим Таким образом, имеем решение системы

.14 x

.121. 333 xxx13 x 14 x

2 0x

1 2x

.1,1,0,2 4321 xxxx

Общее решение системы линейных уравнений

Если ранг матрицы равен , то любой отличный от нуля минор порядка этой матрицы называется базисным.

rr

Пример

Решить систему уравнений

.32432

,132

,374

,232

4321

432

431

4321

xxxx

xxx

xxx

xxxx

Выпишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее

3

1

3

2

2432

1320

7104

3112

A

Однородные системы

.0...

.............................................

,0...

,0...

2211

2222121

1212111

nmnmm

nn

nn

xaxaxa

xaxaxa

xaxaxa

Теорема о совместности

однородной системы Для того чтобы однородная система

линейных уравнений имела нетривиальное решение, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был меньше числа

неизвестных n.

При r<n система является неопределенной, т.е. имеет бесчисленное множество решений, в том числе и нетривиальное.

Если m=n, т.е. число уравнений совпадает с числом неизвестных, матрица системы является квадратной. условие r<n в этом случае означает, что определитель системы, т.е. det А=0, что следует из определения ранга матрицы.

Пример

.0192483

,03254

,04653

,0342

4321

4321

4321

4321

xхxx

xxxx

xxxx

xxxx

Составим матрицу системы

и методом элементарных преобразований найдем ее ранг.

192483

3254

4653

3421

A

r=2.

.

0000

0000

5610

3421

~

151830

151830

5610

3421

~

A

Выберем в качестве базисного минор

Тогда укороченная система имеет вид

.010

21

.56

,342

432

4321

xxx

xxxx

Общее решение системы

.

56

78

),(

2

1

21

21

21

c

c

cc

cc

ccX

Фундаментальная система решений

Назовем фундаментальной системой решений систему матриц-столбцов, полученную из общего решения при условии, что свободным неизвестным дают последовательно значения

.1,0...

.............................................

,0...,1,0

,0...,1

321

321

321

n

n

n

cccс

cccс

cccс

Матрицы-столбы, т.е. фундаментальную систему решений обозначают Е1, Е2, …, Еn. Общее решение будет представлено в виде

....2211 nnECECECX

Из общего решения последней системы найдем фундаментальную систему решений.

,

Общее решение можно записать в виде

0

1

6

8

)0,1(1 XE .

1

0

5

7

)1,0(2

XE

.),( 221121 ECECCCX